CAPÍTULO 1 EL CAMPO ELECTROSTÁTICO (1)

CAPÍTULO 1
EL CAMPO ELECTROSTÁTICO
CONTENIDOS
1. CARGA ELÉCTRICA.
2.LEY DE COULOMB.
3.CAMPO ELECTROSTÁTICO.
4.POTENCIAL ELECTROSTÁTICO.
5.TEOREMA DE GAUSS.
6.DIPOLO ELÉCTRICO.
7.ACCIONES DE UN CAMPO EXTERIOR SOBRE UN DIPOLO.
BIBLIOGRAFÍA
-MANGLANO. LECCIONES DE FÍSICA. TOMO III
-URCHUEGUÍA. ELECTROMAGNETISMO PARA LA INGENIERÍA
-LORRAIN-CORSON. CAMPOS Y ONDAS
ELECTROMAGNÉTICOS.
-ALONSO-FINN. FÍSICA.
-CATALÀ. FÍSICA GENERAL.
1. CARGA ELÉCTRICA.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
En la Naturaleza existen partículas elementales y sistemas.
Aunque se conocen más de una treintena de partículas elementales, las más
comunes son el protón y el electrón.
Se suele denominar micropartículas a los átomos y moléculas, cuya característica
más importante es la ley de interacción.
Existen tres tipos de interacción: Electromagnética; gravitatoria y nuclear. En
cuanto a la electromagnética, el caso más simple, es la de partículas en reposo
relativo tal que la fuerza de interacción depende de la distancia entre
micropartículas y su característica carga eléctrica.
La unidad elemental de carga es la del electrón.
Se cumple la Ley de Conservación de la Carga  En los procesos, la suma
algebraica de las cargas no varia.
Para la descripción matemática es conveniente sustituir la verdadera distribución
de cargas puntuales por una distribución continua ficticia. Se utiliza el concepto de
densidad de cargas en volumen
La función continua de la densidad de carga se puede establecer mediante la
función- Kronecker
sustituyendo este valor, se obtiene
𝜌 𝑟 𝑑𝑉 =
𝑞𝑖 𝛿 𝑟 − 𝑟𝑖 𝑑𝑉 =
𝑞𝑖
𝑖
En particular, la densidad de carga que corresponde una carga situada en el
punto O, se puede representar en la forma,
𝜌 𝑟 = 𝑞𝛿 𝑟 − 𝑟𝑜
La introducción de una densidad continua de carga permite describir mediante
funciones de punto continuas tanto el propio campo, como la distribución de
cargas.
2.
LEY DE COULOMB
z
j
i
y
x
Se cumple:
-Cuando las dimensiones de las cargas son muy pequeñas en comparación con
la distancia que las separa.
- Cuando las cargas están en reposo relativo.
- Se aplica en interacciones de partículas elementales.
- El Principio de Superposición.
Ejemplo 1. ¿Con qué fuerza actuarían mutuamente dos cargas puntuales de
un culombio, situadas a una distancia de 1 km una de otra?
Ejemplo 2. Comparar las fuerzas de atracción gravitatoria y eléctrica entre un
electrón y un protón.
3. CAMPO ELECTROSTÁTICO
CREADO POR LAS CARGAS ELÉCTRICAS EN REPOSO,
INTERPRETÁNDOSE LA ACCIÓN ENTRE CARGAS POR LA CONSIDERACIÓN DE QUE LA REGIÓN
DEL ESPACIO QUE RODEA LAS CARGAS ADQUIERE UNAS PROPIEDADES ESPECIALES DEBIDO A
LA PRESENCIA DE CARGAS ELÉCTRICAS.
CONCEPTO DE CAMPO:
SE PUEDE DEFINIR EL CAMPO ELECTROSTÁTICO CREADO POR UNA DETERMINADA CARGA,
COMO LA REGIÓN DEL ESPACIO DONDE SE MANIFIESTA UNA FUERZA SOBRE CUALQUIER
CARGA EN REPOSO INTRODUCIDA EN ÉL.
LA RELACIÓN CAMPO ELÉCTRICO-FUERZA ES,
NOS SIRVE PARA CUANDO NO SE CONOCE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS QUE CREA EL CAMPO
E INCLUSO CUANDO LAS CARGAS GENERADORAS DEL CAMPO Qi ESTÁN EN MOVIMIENTO, Y
TIENE EL INCONVENIENTE DE QUE PARA MEDIR EL CAMPO ELÉCTRICO ES NECESARIO
INTRODUCIR LA CARGA DE PRUEBA Q QUE AUNQUE SEA MUY PEQUEÑA SIEMPRE
PERTURBARÁ ALGO EL CAMPO EXISTENTE ANTES DE INTRODUCIRLA.
DIRECCIÓN DEL CAMPO: LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA QUE ACTÚA SOBRE UNA CARGA
POSITIVA SITUADA EN UN PUNTO.
SENTIDO DEL CAMPO: SALIENTE DE LA CARGA POSITIVA Y ENTRANTE EN LA NEGATIVA.
PROPIEDADES:
a. Cumple el Principio de Superposición.
b. Tiene existencia real (posee energía, impulso,…etc)
c. No existe interacción a distancia entre dos partículas. Se produce mediante la Teoría
de la acción contigua, la cual implica sucesivas perturbaciones en la región del
espacio desde la primera carga hasta la carga de destino.
d. El trabajo realizado por el campo sobre la partícula de prueba cuando ésta se
desplaza desde el punto 1 al punto 2, no depende del camino seguido. Esto significa
que el trabajo de desplazamiento a lo largo de un contorno cerrado es cero.
3. CAMPO ELECTROSTÁTICO
El resultado anterior conduce a,
𝐸 𝑑𝑙 = 0
El campo electrostático es conservativo. Se puede deducir del hecho de ser central la
fuerza culombiana.
Si el campo eléctrico está producido por una distribución de cargas fijas, las intergrales
correspondientes a cada carga individual de la distribución son todas nulas.
Es un resultado general para toda distribución de cargas fijas.
Como la circulación del campo electrostático a lo largo de una trayectoria cerrada es
cero, al aplicar el Teorema de Stokes,
𝐸 𝑑𝑙 =
∇ ∧ E 𝑑𝑆 = 0
𝐶
𝑆
La superficie S es arbitraria y limitada por la línea de integración C.
Entonces, se deduce que,
∇∧𝐸 =0
El campo electrostático carece de vórtices. Las líneas de campo son abiertas,
existiendo fuentes de campo (cargas positivas) y sumideros (cargas negativas)
CAMPO ELÉCTRICO CALCULADO EN FUNCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE
CARGAS PUNTUALES, VOLUMÉTRICA, SUPERFICIAL Y LINEAL QUE LO CREAN
SI TENEMOS UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES, UNA DISTRIBUCIÓN VOLUMÉTRICA DE
CARGA DEFINIDA POR (r), UNA DISTRIBUCIÓN SUPERFICIAL DEFINIDA POR (r), Y UNA
DISTRIBUCIÓN LINEAL DEFINIDA POR (r), EL CAMPO EN UN PUNTO, EN VIRTUD DEL PRINCIPIO
DE SUPERPOSICIÓN ES,
𝐸 𝑟 = 𝐾𝑜
𝑄𝑖
𝑟𝑖 +
𝑟𝑖3
𝑉
𝜌 𝑟 𝑑𝑉
+
𝑟3
𝑆
𝜎 𝑟 𝑑𝑆
+
𝑟3
ℓ
𝜆 𝑟 𝑑ℓ
𝑟3
DETERMINACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO POR INTEGRACIÓN
Dado un hilo conductor semicircular adosado a otro conductor rectilíneo, como indica la
figura, cargados con una densidad de carga lineal uniforme , se pide calcular el campo
eléctrico en el punto O (centro de la semicircunferencia de radio R).
SOLUCIÓN
Tramo 1. El campo eléctrico creado por el tramo 1 en
O es:
dE1 = −dE ⋅ j
1
dq
dE = 4⋅π⋅ε ⋅ y 2
0
λ
dE1 = − 4⋅π⋅ε ⋅
0
dℓ
ℓ+R 2
⋅j
dq = λ ⋅ dℓ
y=ℓ+R
Integrando:
λ
E1 = − 4⋅π⋅ε ⋅
0
∞ dℓ
R ℓ+R 2
λ
⋅ j = − 4⋅π⋅ε ⋅
0
−1 ∞
ℓ+R R
λ
⋅ j = − 8⋅π⋅ε
0 ⋅R
⋅j
Tramo 2. El campo eléctrico
creado por el tramo 2 en O es:
dE2 = dEx ⋅ i − dEy ⋅ j
dEx = sen θ ⋅ dE ;
dEy = cos θ ⋅ d
Sustituyendo, se tiene:
dE2 = dE ⋅ sen θ ⋅ i − cos θ ⋅ j
dl
λ
dE = 4⋅π⋅ε ⋅ R 2
0
;
dl = R ⋅ dθ
λ
E2 =
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
π
π
cos θ ⋅ dθ ⋅ j =
sen θ ⋅ dθ ⋅ i −
0
0
λ
⋅i
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
Tramo 3. Análogamente a como se ha operado en el tramo 1, pero con sentido opuesto, es
decir:
E3 =
λ
⋅j
8 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
El campo eléctrico total resultante en el punto O es:
ET = E1 + E2 + E3 =
λ
⋅i
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
3. CAMPO ELECTROSTÁTICO
LÍNEAS DE FUERZA
SE HA DEFINIDO EL CAMPO ELÉCTRICO ASIGNANDO UN VALOR A CIERTA VARIABLE
FÍSICA EN TODOS LOS PUNTOS DEL ESPACIO. EL CAMPO ES VECTORIAL Y SE PUEDE
ESCRIBIR EN COORDENADAS CARTESIANAS
𝐸 = 𝐸𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝐸𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝐸𝑍 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘
LAS LÍNEAS DE FUERZA SON LAS TRAYECTORIAS QUE SEGUIRÍA UNA CARGA POSITIVA,
SOMETIDA A LA INFLUENCIA DEL CAMPO, EN UNA SUCESIÓN DE CAMINOS ELEMENTALES,
PARTIENDO, EN TODOS ELLOS, DEL REPOSO.
EL CONCEPTO BÁSICO DE CAMPO FUE DESARROLLADO POR MICHAEL FARADAY (17911867) Y UTILIZÓ LAS LÍNEAS DE CAMPO O LÍNEAS DE FUERZA PARA HACER UNA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUERZAS ELÉCTRICAS QUE ACTÚAN EN EL ESPACIO
QUE RODEA UN CUERPO CARGADO. EL CONCEPTO MATEMÁTICO ACTUAL DE CAMPO FUE
UNA ABSTRACCIÓN POSTERIOR DE SU PROPIA REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
IMAGINEMOS UNA CARGA POSITIVA QUE ABANDONAMOS EN UN CAMPO ELÉCTRICO.
COMENZARÁ A MOVERSE POR LA INFLUENCIA DEL CAMPO. EN CUANTO HA INICIADO SU
MOVIMIENTO LA DETENEMOS, VOLVIENDO A ABANDONARLA DE NUEVO Y A DETENERLA.
DE ESTA FORMA DESCRIBIRÍA UNA TRAYECTORIA – SUCESIÓN INDEFINIDA DE ESPACIOS
ELEMENTALES – QUE SE LLAMA LÍNEA DE FUERZA.
EL VECTOR INTENSIDAD DEL CAMPO ES SIEMPRE TANGENTE A LAS LÍNEAS DE FUERZA.
LAS LÍNEAS DE FUERZA VAN DE LAS CARGAS POSITIVAS A LAS NEGATIVAS.
PARA DAR UNA IDEA GRÁFICA DEL CAMPO ELÉCTRICO SE CONVIENE EN REPRESENTAR
SU VALOR EN UN PUNTO POR EL NÚMERO DE LÍNEAS DE FUERZA QUE ATRAVIESAN
NORMALMENTE A LA UNIDAD DE SUPERFICIE LOCALIZADA EN DICHO PUNTO.
REALMENTE EL NÚMERO DE LÍNEAS DE FUERZA QUE ATRAVIESA NORMALMENTE A
CUALQUIER SUPERFICIE ES INFINITO. ESTE ARTIFICIO NO ES MÁS QUE UN SISTEMA DE
REPRESENTACIÓN.
EN UN CAMPO UNIFORME, LAS LÍNEAS DE FUERZA SON PARALELAS Y SE DIBUJAN
EQUIDISTANTES.
3. CAMPO ELECTROSTÁTICO
LA PROPIEDAD DE QUE UNA LÍNEA DE CAMPO, SEA SIEMPRE TANGENTE AL VECTOR INTENSIDAD
ELÉCTRICO, PODEMOS EXPRESARLA,
𝐸 ∧ 𝑑𝑟 = 0
EXPRESIÓN QUE NOS PROPORCIONA UN PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA ECUACIÓN
DE LAS LÍNEAS DE CAMPO. EN GENERAL ES COMPLICADO, SIMPLIFICÁNDOSE EN EL CASO DEL
PLANO,
E X dy  EY dx  0 
dy E X

 f  x, y 
dx EY
EL PROBLEMA SE REDUCE ASÍ A LA RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER
ORDEN, QUE EN MUCHAS OCASIONES ES TAMBIÉN COMPLICADA.
Ejemplo: Hallar la ecuación de las líneas de campo que surgen de una carga
puntual positiva.
SUPONGAMOS COLOCADA LA CARGA EN EL ORIGEN DE COORDENADAS. EL CAMPO
ELECTROSTÁTICO PRODUCIDO POR ELLA EN UN PUNTO P(x,y) ES,
𝐸 𝑃 = 𝐾𝑜
𝑄
𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
𝑟3
𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗
𝐸 ∧ 𝑑𝑟 = 𝐾𝑜
xdy  ydx  0 
𝑄
𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 𝑘 = 0
𝑟3
dy dx

y
x
 ln y  ln x  C 
y  eC x
ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN
CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO
𝐸 = 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
OPERADOR NABLA
∇=
δ
δ
δ
𝑖+ 𝑗+ 𝑘
δx
δy
δz
ROTACIONAL
𝑖
δ
∇∧E=
δx
x
𝑗
𝑘
δ δ
=0
δy δz
y 0
CIRCULACIÓN DEL CAMPO A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA CERRADA
Y
(1,1)
(0,1)
(0,0)
X
(1,0)
(1,1)
𝐸 𝑑𝑟 =
𝐶
(0,1)
𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 +
(1,0)
𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗
(1,1)
(0,0)
+
(1,0)
𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 +
(0,1)
𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗
(0,0)
1er término del segundo miembro: dx = 0  resultado = Eo/2
2º término del segundo miembro: dy = 0  resultado = -Eo/2
3er término del segundo miembro: dx = 0  resultado = -Eo/2
4º término del segundo miembro: dy = 0  resultado = Eo/2
TEOREMA DE STOKES
𝐸 𝑑𝑟 =
𝐶
∇ ∧ E 𝑑𝑆
𝑆
Siendo 𝑑𝑆 = 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 𝑘 . Es evidente que se cumple.
CAMPO VECTORIAL NO CONSERVATIVO
𝐸 = 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗
ROTACIONAL
𝑖
𝑗
𝑘
δ δ δ
∇∧E=
=y𝑘
δx δy δz
x xy 0
CIRCULACIÓN DEL CAMPO A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA CERRADA
Y
(1,1)
(0,1)
(0,0)
X
(1,0)
(1,1)
𝐸 𝑑𝑟 =
𝐶
(0,1)
𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗
𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 +
(1,0)
𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗
(1,1)
(0,0)
+
(1,0)
𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 +
(0,1)
𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗
(0,0)
1er término del segundo miembro: dx = 0  resultado = Eo/2
2º término del segundo miembro: dy = 0  resultado = Eo/2
3er término del segundo miembro: dx = 0  resultado = 0
4º término del segundo miembro: dy = 0  resultado = Eo/2
TEOREMA DE STOKES
𝐸 𝑑𝑟 =
∇ ∧ E 𝑑𝑆
𝐶
𝑆
Siendo 𝑑𝑆 = 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 𝑘
∇ ∧ E 𝑑𝑆 =
𝑆
𝑆
𝐶
3
𝑦 𝑘 · 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 𝑘 = 𝐸𝑜
2
3
𝐸 𝑑𝑟 = 𝐸𝑜
2
4. EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
ESTUDIEMOS LAS CARACTERÍSTICAS DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO CREADO
POR UNA CARGA PUNTUAL “Q” SITUADA EN EL VACÍO.
EL TRABAJO ELEMENTAL POR UNIDAD DE CARGA CONTRA LAS FUERZAS DEL
CAMPO.
FUERZA DEL CAMPO
𝐹 = 𝐾𝑜
𝑄𝑞
𝑟
𝑟3
𝑑𝑊
𝑄 𝑟
𝑄 𝑑𝑟
= −𝐸 𝑑𝑟 = −
𝑑𝑟
=
−
= 𝑑𝑉
𝑞
4𝜋𝜀𝑜 𝑟 3
4𝜋𝜀𝑜 𝑟 2
−
SE ORIGINA UNA FUNCIÓN ESCALAR V(X,Y,Z) DENOMINADA POTENCIAL QUE
DESCRIBE COMPLETAMENTE EL CAMPO ELECTROSTÁTICO.
INTEGRANDO
POTENCIAL.
ENTRE
𝐵
−
𝐴
DOS
PUNTOS
𝑄
𝐹 𝑑𝑟 = −
4𝜋𝜀𝑜
𝐵
𝐴
DETERMINAMOS
LA
DIFERENCIA
DE
𝑑𝑟
𝑄 1 1
=
−
= 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
𝑟 2 4𝜋𝜀𝑜 𝑟𝐵 𝑟𝐴
LA FUNCIÓN POTENCIAL NO ESTÁ UNÍVOCAMENTE DEFINIDA. SE LE PUEDE
AÑADIR CUALQUIER CONSTANTE SIN AFECTAR EN EL VALOR DEL CAMPO.
SE ESTABLECE UN ORIGEN DE POTENCIALES: V=0 EN EL INFINITO.
𝑃
𝑉𝑃 − 𝑉∞ = 𝑉𝑃 = −
𝐸 𝑑𝑟 =
∞
𝑄
4𝜋𝜀𝑜 𝑟
AUNQUE LAS EXPRESIONES ANTERIORES SIRVEN PARA EL CASO DE CAMPO CREADO POR UNA
CARGA PUNTUAL “Q”, APLICANDO EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN, SE INFIERE SU VALIDEZ
PARA CUALQUIER CAMPO ELECTROSTÁTICO.
4.
EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
UNIDAD DE POTENCIAL: EN EL S.I. SE LLAMA VOLTIO Y ES LA DIFERENCIA
DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS TALES QUE AL DESPLAZARSE ENTRE
ELLOS LA CARGA DE UN CULOMBIO, SE REALIZA UN TRABAJO DE UN
JULIO.
LA UNIDAD ELECTROSTÁTICA DE POTENCIAL ES LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE
DOS PUNTOS TALES QUE PARA TRASLADAR DE UNO A OTRO LA CARGA DE 1 UEE HAY
QUE REALIZAR EL TRABAJO DE 1 ERGIO. LA RELACIÓN ENTRE LAS DOS UNIDADES ES:
1 UEE = 300 V
EL ELECTRÓN-VOLTIO (eV) ES UNA UNIDAD DE ENERGÍA QUE SE DEFINE COMO LA
ENERGÍA ADQUIRIDA POR UN ELECTRÓN AL SER ACELERADO POR UN CAMPO
ELÉCTRICO ENTRE DOS PUNTOS CUYA DIFERENCIA DE POTENCIAL ES DE UN VOLTIO.
1 eV = 1.602·10-19
J
SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL: ES EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS
QUE ESTÁN AL MISMO POTENCIAL. V(X,Y,Z)=CTE.
PARA UNA CARGA PUNTUAL SON ESFERAS

E
+Q
LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES SE CORTAN NORMALMENTE CON LAS LÍNEAS DEL
CAMPO.
SON PROPIEDADES INMEDIATAS DE LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES: 1) LAS
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES NO SE CORTAN ( EL POTENCIAL EN UN PUNTO TIENE
UN VALOR ÚNICO). 2) EN EL INTERIOR DE UNA SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL CERRADA
DE POTENCIAL NO NULO EXISTE NECESARIAMENTE CARGA NETA NO NULA.
4.
EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
SI QUEREMOS CONSIDERAR EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO EN UN PUNTO DADO,
DEBEMOS ELEGIR UN ORIGEN PARA LA FUNCIÓN POTENCIAL. LO MÁS CONVENIENTE ES
TOMAR COMO ORIGEN DE POTENCIALES EL INFINITO, PERO SE PUEDE SEGUIR CUALQUIER
OTRO CRITERIO.
EL ADMITIR COMO SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL NULA LA SUPERFICIE ESFERICA DE RADIO
INFINITO, SERÁ POSIBLE SIEMPRE Y CUANDO NO EXISTAN CARGAS EN EL INFINITO, COMO
OCURRE EN EL CASO DE UNA DISTRIBUCIÓN INDEFINIDA DE CARGAS.
POR LA TEORÍA DE CAMPOS SE PUEDEN DEDUCIR LAS SIGUIENTES PROPIEDADES DEL
CAMPO ELECTROSTÁTICO:
A)
EL DIFERENCIAL DEL POTENCIAL ES UNA DIFERENCIAL EXACTA.
B)
EL CAMPO ELECTROSTÁTICO ES IRROTACIONAL.
C)
SE VERIFICA LA IGUALDAD DE DERIVADAS CRUZADAS.
D)
EL TRABAJO REALIZADO POR EL CAMPO NO DEPENDE DEL CAMINO SEGUIDO SINO
SÓLO DE LOS PUNTOS INICIAL Y FINAL.
E)
EL TRABAJO REALIZADO POR EL CAMPO A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA
CERRADA ES NULO.
F)
EL CAMPO DERIVA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL.
𝐸 = −∇V
La ecuación del operador nabla en coordenadas cartesianas es,
𝐸=−
𝜕
𝜕
𝜕
𝑖+
𝑗+ 𝑘 ·𝑉
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
LA VARIACIÓN DEL POTENCIAL POR UNIDAD DE LONGITUD AL MOVERNOS EN UNA
DETERMINADA DIRECCIÓN, ES IGUAL Y DE SIGNO CONTRARIO A LA COMPONENTE DEL
CAMPO EN ESA MISMA DIRECCIÓN.
LA VARIACIÓN MÁXIMA IMPLICA EL VALOR QUE CORRESPONDE AL GRADIENTE DEL
POTENCIAL.
PROBLEMA DE CÁLCULO DE CAMPO ELÉCTRICO APLICANDO EL
GRADIENTE DE LA FUNCIÓN POTENCIAL
Una corona circular metálica de radios R1 y R2 (R1 < R2), de espesor despreciable, está
cargada con una densidad uniforme de  (C/m2). Se pide calcular en un punto
cualquiera P del eje perpendicular al plano de la corona:
1º.- Potencial electrostático VP.
2º.- Campo electrostático.
Z
P
r
z
R
SOLUCIÓN
1º.- Potencial VP.
La carga dq situada en una corona circular de anchura ''dR'', produce un potencial VP en
el punto P del eje situado a una distancia ''z'' del plano:

2RdR

VP  dVP 

4 0
r
S

  S  corona circular

dq  dS   2RdR 
siendo r  R 2  z 2
dV 

dq
4 0 r
Integrando obtenemos: VP 

2 0
R

2
2
 z 2  R 12  z 2




  VP 
2 0



R2
R1

2º.- Campo electrostático.
A partir del campo potencial hallado en el apartado anterior resulta:
𝐸 = −∇V = −

dV
d σ
k=−
R22 + z 2 − R21 + z 2
dz
dz 2εo
σ
z
z
=
−
k
2εo R21 + z 2
R22 + z 2
R dR
R 2  z2
4.
EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
2
𝑊1→2 =
𝐹 𝑑𝑟 = 𝑈1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 − 𝑈2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2
1
LA DIFERENCIA DE LA ENERGÍA POTENCIAL OBEDECE AL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA
ENERGÍA.
LA ENERGÍA POTENCIAL ES UNA FUNCIÓN DE PUNTO TAL QUE LA DIFERENCIA ENTRE SUS
VALORES EN LAS POSICIONES INICIAL Y FINAL ES IGUAL AL TRABAJO EFECTUADO POR LA
FUERZA CONSERVATIVA DEL CAMPO AL SER DESPLAZADA LA PARTÍCULA DESDE LA POSICIÓN
INICIAL A LA FINAL.
EL TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DELCAMPO ES IGUAL A MENOS EL INCREMENTO DE
LA ENERGÍA POTENCIAL.
EN FORMA DIFERENCIAL ES,
𝑑𝑊 = 𝐹 𝑑𝑟 = −𝑑𝑈
𝐹 = −∇𝑈
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA DE UNA CARGA q SITUADA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO
CREADO POR UNA CARGA Q
1 1 
U1  U 2  K OQq   
 r1 r2 
EXPRESIÓN QUE NOS MIDE EL TRABAJO REALIZADO PARA TRASLADAR LA CARGA q DESDE UN
PUNTO 1 AL PUNTO 2 DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO.
NO SE PUEDE CALCULAR LA ENERGÍA POTENCIAL ABSOLUTA DE UNA CARGA EN UN CAMPO
ELECTROSTÁTICO. SIN EMBARGO, SI CONVENIMOS QUE EN UN PUNTO DEL ESPACIO LA
ENERGÍA POTENCIAL SEA NULA, LLAMAREMOS ENERGÍA POTENCIAL EN UN PUNTO
CUALQUIERA DEL CAMPO A LA DIFERENCIA DE ENERGÍA POTENCIAL ENTRE EL PUNTO EN EL
CUÁL SE ANULA Y EL PUNTO CONSIDERADO.
LA HIPÓTESIS MÁS FRECUENTE ES SUPONER “U = 0” EN EL INFINITO. LA ENERGÍA POTENCIAL
DE UNA CARGA q ES NULA, EN UN PUNTO LO SUFICIENTEMENTE ALEJADO PARA QUE
PRÁCTICAMENTE NO EXISTA INFLUENCIA DEL CAMPO.
ENTONCES, LA EXPRESIÓN QUE NOS MIDE EL TRABAJO QUE HA DE REALIZAR UNA FUERZA
EXTERIOR PARA TRASLADAR LA CARGA q DESDE EL INFINITO AL PUNTO EN PRESENCIA DE Q, O
BIEN EL TRABAJO QUE HARÍA LA FUERZA DEL CAMPO PARA TRASLADARLA DEL PUNTO AL
INFINITO, ES,
U  KO
Qq
r
LA ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA PUEDE SER POSITIVA O NEGATIVA DEPENDIENDO DE LOS
SIGNOS DE LAS CARGAS. LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA SIEMPRE ES NEGATIVA.
4.
EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
MOVIMIENTO DE UNA CARGA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO
SUPONGAMOS QUE q SE MUEVE POR LA ACCIÓN DE FUERZAS ELECTROSTÁTICAS QUE Q
PRODUCE. SEAN r1 Y r2 LAS DISTANCIAS DE Q AL PUNTO 1 Y 2 RESPECTIVAMENTE, ADEMÁS
DE CONSIDERAR COMO ORIGEN DE ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA EL INFINITO.
POR EL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA DE UNA PARTÍCULA EN UN CAMPO
CONSERVATIVO, SE TIENE,
1
Qq 1
Qq
m v12  K O
 m v22  K O
2
r1
2
r2
APLICANDO LA SEGUNDA LEY DE NEWTON,
𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝑞𝐸 = 𝑚𝑎 ; 𝑠𝑖 𝐸 = 𝐾𝑜
𝑄
𝑄𝑞
𝑟
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑎
=
𝐾
𝑟
𝑜
𝑟3
𝑚𝑟 3
SI SE SUPONE UNA SUCESIÓN DE ESTADOS DE EQUILIBRIO, TAL QUE NO EXISTEN
ACELERACIONES Y SE ANULA EL TÉRMINO DE ENERGÍA CINÉTICA, ENTONCES INTERVIENEN SÓLO
LAS ENERGÍAS POTENCIALES, DE MODO QUE, TODO SISTEMA FÍSICO ABANDONADO A SÍ MISMO
TENDERÁ HACIA EL MÍNIMO DE SU ENERGÍA POTENCIAL.
U = q V

q > 0 ESPONTÁNEO  V < 0
 q < 0 ESPONTÁNEO  V > 0
-q
SENTIDO
POTENCIALES
CRECIENTES
SENTIDO
POTENCIALES
CRECIENTES
-q
+q
+q
-
+
SENTIDO
POTENCIALES
DECRECIENTES
SENTIDO
POTENCIALES
DECRECIENTES
PROBLEMA DE BALANCE DE ENERGÍA
Sean dos esferas cargadas B y C con 1 C cada una, fijas en el espacio, aisladas y
alejadas una distancia a = 10 m. A una distancia de 10 m, perpendicular al punto medio
(M) entre las esferas, existe una partícula en reposo de masa 1 g y carga de 1 pC (punto
A). Esta partícula debe moverse en línea recta hasta llegar al punto medio M.
A
d
M
B
C
a
Calcular la velocidad inicial que se le debe comunicar a la partícula A para que llegue al
punto M con velocidad cero.
El campo electrostático es conservativo; por lo tanto, haciendo un balance de energías:
𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 𝐸𝑁 𝐴 + 𝐸𝐶𝐼𝑁 𝐸𝑁 𝐴 = 𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 𝐸𝑁 𝑀 + 𝐸𝐶𝐼𝑁 𝐸𝑁 𝑀
𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 𝐸𝑁 𝐴 =
𝑞 𝑄𝐵 𝑄𝐶
+
4𝜋𝜀𝑜 𝑑
𝑑
𝐸𝐶𝐼𝑁 𝐸𝑁 𝐴 =
1
𝑚𝑣 2
2 𝐴
;
𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 𝐸𝑁 𝐴 =
;
𝐸𝐶𝐼𝑁 𝐸𝑁 𝑀 = 0
𝑣𝐴 = 0,002 𝑚 · 𝑠 −1
𝑞 𝑄𝐵 𝑄𝐶
+ 𝑎
4𝜋𝜀𝑜 𝑎
2
2
4.
EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO
SE HA VISTO QUE LA ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA QUE POSEEN DOS CARGAS
PUNTUALES ES,
U  KO
q1q2
r12
SI LAS CARGAS SON DEL MISMO SIGNO, EL TRABAJO SE HA EFECTUADO SOBRE EL SISTEMA
Y POR TANTO ES POSITIVA LA ENERGÍA. LA ENERGÍA POTENCIAL SERÍA NEGATIVA SI LAS
CARGAS FUESEN DE DISTINTO SIGNO, LO QUE QUIERE DECIR QUE EN ESTE CASO ES EL
CAMPO ELÉCTRICO EL QUE REALIZA UN TRABAJO POSITIVO.
SUPONGAMOS AHORA UNA DISTRIBUCIÓN DE TRES CARGAS. LA ENERGÍA QUE POSEE EL
SISTEMA SERÁ EL TRABAJO NECESARIO PARA FORMAR DICHA CONFIGURACIÓN. SI
PARTIMOS DE LA EXISTENCIA DE DOS CARGAS 1 Y 2 AL ACERCAR LA CARGA 3 EL TRABAJO
SERÁ,
q q q q 
U 3  KO  1 2  2 3 
r23 
 r12
ENTONCES EL TRABAJO TOTAL O ENERGÍA DEL SISTEMA ES,
U  KO
qq
qq
q1q2
 KO 1 3  KO 2 3
r12
r13
r23
GENERALIZANDO PARA UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS PUNTUALES SE DEBE DIVIDIR POR DOS,
PORQUE LOS PRODUCTOS BINARIOS APARECEN DOS VECES,
U   K O
i
j
1 qi q j
2 rij
i  j 
SE PUEDE ESCRIBIR DEL SIGUIENTE MODO,
U

qj 
1
qi  K O 

2 i  j
rij 
(i  j ) ; U 
PARA UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA,
U
1
 Vdv
2 VOL
1
 qi Vi
2 i
4. EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
DENSIDAD DE ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELECTROSTÁTICO
LA DIFERENCIAL DE LA EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA ASOCIADA A UNA DISTRIBUCIÓN DE
VOLUMEN DE CARGA ES,
1
dU  V dv 
2
dU 1
 V
dv 2
LA CUAL NOS INDICA UNA PROPIEDAD LOCAL DEL CAMPO POR LA QUE PODEMOS ASOCIAR
A CADA PUNTO DE ÉL UNA MAGNITUD ESCALAR, QUE NOS REPRESENTA UNA DENSIDAD DE
ENERGÍA (ENERGÍA POR UNIDAD DE VOLUMEN).
TENIENDO EN CUENTA LA ECUACIÓN DE POISSON QUE SE CUMPLE PARA TODOS LOS
PUNTOS DEL CAMPO Y SUSTITUYENDO LA DENSIDAD EN LA ECUACIÓN ANTERIOR,
∇2 𝑉 = −
𝜌
𝜀𝑜
1
U   O  E 2 dv
2 v
SE TRANSFORMA EN
DENSIDAD DE ENERGÍA ASOCIADO A UN CAMPO ELÉCTRICO
u
dU 1
 O  E2
dv 2 v
EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN NO SE CUMPLE CON LA ENERGÍA. SI POR EJEMPLO, EL
CAMPO 1 (CON INTENSIDAD E1) POSEE UNA ENERGÍA U1 Y EL CAMPO 2, UNA ENERGÍA U2, AL
EXISTIR LOS DOS CAMPO SIMULTÁNEAMENTE, LA ENERGÍA SERÁ IGUAL A,
𝑈𝑇 =
𝜀𝑜 𝐸1 + 𝐸2
𝑣
2
𝑑𝑣 =
1
2
𝜀𝑜 𝐸12 𝑑𝑣 +
𝑣
1
2
𝜀𝑜 𝐸22 𝑑𝑣 +
𝑣
𝜀𝑜 𝐸1 𝐸2 𝑑𝑣
𝑣
EN DONDE EL TERCER TÉRMINO DEL SEGUNDO MIEMBRO SE DENOMINA ENERGÍA MUTUA DE
AMBOS CAMPOS.
PROBLEMA DE ESTABILIDAD
Analizar la estabilidad de la carga “q” en el punto de equilibrio M del problema
anterior.
Posición genérica de la carga “q” entre QB y QC
q
B
C
x
a-x
a
Energía potencial electrostática de la carga “q” en el punto M.
𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 =
𝑞 𝑄𝐵
𝑄𝐶
+
4𝜋𝜀𝑜 𝑥
𝑎−𝑥
El punto de equilibrio se obtiene derivando e igualando a cero
𝑑𝐸𝑃𝑂𝑇
𝑞 −𝑄𝐵
𝑄𝐶
=
+
2
𝑑𝑥
4𝜋𝜀𝑜 𝑥
𝑎−𝑥
2
=0
→
𝑥=
𝑎
2
La estabilidad se estudia haciendo la segunda derivada y sustituyendo la raíz obtenida,
𝑑 2 𝐸𝑃𝑂𝑇
𝑞 2𝑥𝑄𝐵 2 𝑎 − 𝑥 𝑄𝐶
=
+
𝑑𝑥 2
4𝜋𝜀𝑜 𝑥 4
𝑎−𝑥 4
→
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 =
𝑎
𝑑 2 𝐸𝑃𝑂𝑇
→
>0
2
𝑑𝑥 2
En consecuencia es un mínimo de la energía potencial, lo cual implica que el punto M
es estable.
5. TEOREMA DE GAUSS
SUPONGAMOS UNA CARGA “Q” QUE CREA UN CAMPO ELECTROSTÁTICO, Y
UNA SUPERFICIE “S” QUE ENCIERRE A DICHA CARGA.
CALCULEMOS EL FLUJO DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO A TRAVÉS DE UNA
SUPERFICIE “dS”
𝑑𝜙 = 𝐸 𝑑𝑆 =
𝑄
𝑢𝑑𝑆
4𝜋𝜀𝑜 𝑟 2
EL ÁNGULO SÓLIDO BAJO EL CUAL SE VE “dS” DESDE LA CARGA ES,
𝑑Ω =
𝑢
𝑑𝑆
𝑟2
dΩ
dS
SUSTITUYENDO EN LA EXPRESIÓN DEL FLUJO E INTEGRANDO,
𝜙=
𝐸 𝑑𝑆 =
𝑆
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
𝑑Ω =
𝑆
𝑄
𝜀𝑜
INTEGRACIÓN SOBRE UNA SUPERFICIE CERRADA. MIEMBRO DERECHO
ES LA CARGA ENCERRADA EN LA SUPERFICIE.
5. TEOREMA DE GAUSS
EL TEOREMA DE GAUSS DICE: LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS CARGAS
CONTENIDAS EN EL INTERIOR DE LA SUPERFICIE “S” NOS DA EL SIGNO DEL
FLUJO, SIENDO ÉSTE POSITIVO (FLUJO SALIENTE) PARA CARGA NETA
POSITIVA EN EL INTERIOR DE LA SUPERFICIE (LÍNEAS DE CAMPO SALIENDO
DE LA SUPERFICIE “S” HACIA EL EXTERIOR), Y NEGATIVO (FLUJO ENTRANTE)
PARA CARGA NETA NEGATIVA EN EL INTERIOR DE “S” (LÍNEAS DE CAMPO
ENTRANDO DESDE EL EXTERIOR AL INTERIOR DE “S”).
SI LA SUPERFICIE “S” NO CONTIENE CARGAS EN SU INTERIOR, LAS CARGAS
EXTERIORES A “S” CONTRIBUYEN CADA UNA CON UN ÁNGULO SÓLIDO NULO,
POR LO QUE EL FLUJO TOTAL ES NULO, YA QUE EL FLUJO ENTRANTE EN “S”
ES IGUAL AL FLUJO SALIENTE DE “S”, AL NO HABER EN EL INTERIOR CARGAS
QUE GENEREN FLUJO ADICIONAL.
EL TEOREMA DE GAUSS PUEDE UTILIZARSE PARA DETERMINAR EL CAMPO
ELECTROSTÁTICO.
CASOS EN LOS QUE PUEDA ENCONTRARSE UNA SUPERFICIE GAUSSIANA;
CONDICIONES A CUMPLIR:
-EL CAMPO ELECTROSTÁTICO CONSTANTE SOBRE ELLA.
-ÁNGULO CONSTANTE ENTRE dS y E.
APLICACIONES:
1º.- CAMPO CREADO POR UNA CARGA PUNTUAL.
2º.- CAMPO CREADO POR UNA DISTRIBUCIÓN LINEAL DE CARGA.
𝐸=
𝜆
𝑢
2𝜋𝜀𝑜 𝑟 𝑛
3.- CAMPO CREADO POR UN PLANO UNIFORMEMENTE CARGADO
Carga contenida en el volumen limitado por la
superficie gaussiana
  2E S 
S
0
 E

2 0
Por simetría, el flujo a través de la
superficie lateral del cilindro es nulo
4.- CAMPO CREADO POR UNA PLACA INDEFINIDA UNIFORMEMENTE
CARGADA EN SUS DOS CARAS












Campo en un punto interior Pi de la placa
𝐸𝑖𝑛𝑡 = 0
Campo en un punto exterior y muy próximo
𝐸𝑒𝑥𝑡 =
𝜎
𝑢
𝜀𝑜 𝑛
Otra forma
  Ee S 
 ·S
0
 Ee 

0
5. TEOREMA DE GAUSS
E) CAMPO CREADO POR DOS PLACAS UNIFORMEMENTE CARGADAS MUY
PRÓXIMAS.
E
+
-
𝐸=
𝜎
𝑢
𝜀𝑜 𝑛
En el interior de una placa de espesor d e indefinida en las otras
direcciones existe un hueco esférico de radio a. En la placa, excepto en el
hueco, se distribuye uniformemente una carga cuya densidad es . Calcular
el campo eléctrico en el punto P que dista d/2 de la placa, según se
muestra en la figura.
d
a
P
d/2
d/2
Se aplica el principio de superposición al sistema equivalente constituido
por dos distribuciones de carga: una primera formada por una placa de
espesor d e indefinida con densidad  y la segunda formada por una
esfera de radio a y densidad -.
CAMPO DE LA PLACA
E1 ·2·S 
1
0

 d S  E1 
d 
i
2 0
CAMPO DE LA ESFERA
3d
3


4

a
2
3
E2 ·4 d      a  E2  
i
2
0
3
3 0 d
1
CAMPO TOTAL EN EL PUNTO P

  d a3  
EP    2  i
0  2 3d 
6. DIPOLO ELÉCTRICO
Dos cargas iguales de distinto signo, rígidamente unidas y muy
próximas (distancia 2a)
Momento dipolar
SIENDO 2a EL VECTOR DE ORIGEN EN LA CARGA NEGATIVA Y EXTREMO LA POSITIVA
M
POTENCIAL
r1
r
1 q q
V (M ) 
  
4o  r2 r1 

r1  r 2  a 2  2ar cos 

r2
2a

1
2
 a

2a
r1  r 1  2  cos  
r
 r

2

;
r1  r 2  a 2  2ar cos 
;
 a

2a
r2  r 1  2  cos  
r
 r

1
2
2
𝑉 𝑀 =
𝑝
𝑟
4𝜋𝜀𝑜 𝑟 3
CAMPO ELECTROSTÁTICO
𝐸=
1
𝑝𝑟
3
𝑟−𝑝
4𝜋𝜀𝑜 𝑟 5
𝑟2
1
2

1
2
ACCIONES DE UN CAMPO EXTERIOR SOBRE UN DIPOLO
𝐸𝑃𝑂𝑇 = −𝑝𝐸
𝐹 = −∇𝐸𝑃𝑂𝑇 = ∇ pE
𝑀 =𝑝∧𝐸
PROBLEMA DE DIPOLOS
Calcular el campo eléctrico que crea el dipolo 1 sobre el dipolo 2
𝐸1 =
1
𝑝1 𝑟
3 2 𝑟 − 𝑝1
5
4𝜋𝜀𝑜 𝑟
𝑟
;
𝑟 = ℓ𝑗
⇒
𝐸1 =
𝑝1
−𝑘
4𝜋𝜀𝑜 ℓ5
Y
𝑝2 𝑗
𝑟
𝐸1
X
𝑝1 = 𝑝1 𝑘
Momento que actúa sobre el dipolo 2 debido al campo E1.
𝑖 𝑗
𝑀 = 0 𝑝2
0 0
𝑘
0 = 𝑝2 𝐸1 −𝑖
𝐸1
;
𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑔ú𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
Energía potencial del dipolo 2 debido al campo E1
𝐸𝑃𝑂𝑇 = −𝑝2 𝐸1 = 0