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Repaso de Mátemáticas
Macroeconomía II
Febrero 2009
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Funciones
Funciones
Una función representa una relación entre una variable, que llamaremos
por ejemplo y , y otro conjunto de variables, por ejemplo x, z, ..... La
característica fundamental de una función es que, para cualquier conjunto
dado de valores de x, z, ..., existe uno y solamente un valor para y .
Ejemplo:
y = f (x ) = x 2 .
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Funciones
Funciones
Dominio de la función:
Valores que puede tomar x
Rango de la función:
Valores que puede tomar y
Si llamamos X al conjunto de valores que componen el dominio y
llamamos Y al conjunto de valores que componen el rango, entonces
f : X ! Y,
Ejemplo: Si x 2 [0, 5] e y = f (x ) = x 2 , entonces
f : [0, 5] ! [0, 25].
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Derivada de una Función
Derivada de una Función
Suponga que y es una función de x, i.e. y = f (x ). La derivada de
f (x ) con respecto a x, cuya notación es
∂f (x )
∂y
o bien
∂x
∂x
nos dice como cambia f (x ) cuando x se incrementa en una cantidad
muy pequeña
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Derivada de una Función
Derivada de una Función
Suponga que y es una función de x, i.e. y = f (x ). La derivada de
f (x ) con respecto a x, cuya notación es
∂f (x )
∂y
o bien
∂x
∂x
nos dice como cambia f (x ) cuando x se incrementa en una cantidad
muy pequeña
Si y aumenta cuando x aumenta, entonces la derivada es positiva,
∂y
∂x > 0, y si y disminuye cuando x disminuye, entonces la derivada es
negativa, ∂y
∂x < 0.
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Derivada de una Función
Derivada de una Función
Suponga que y es una función de x, i.e. y = f (x ). La derivada de
f (x ) con respecto a x, cuya notación es
∂f (x )
∂y
o bien
∂x
∂x
nos dice como cambia f (x ) cuando x se incrementa en una cantidad
muy pequeña
Si y aumenta cuando x aumenta, entonces la derivada es positiva,
∂y
∂x > 0, y si y disminuye cuando x disminuye, entonces la derivada es
negativa, ∂y
∂x < 0.
Si ∂y
∂x > 0 para todo valor de x, entonces y es una función creciente
de x, y si ∂y
∂x < 0 para todo valor de x, entonces y es una función
decreciente de x.
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Derivada de una Función
Derivada de una Función
Suponga que y es una función de x, i.e. y = f (x ). La derivada de
f (x ) con respecto a x, cuya notación es
∂f (x )
∂y
o bien
∂x
∂x
nos dice como cambia f (x ) cuando x se incrementa en una cantidad
muy pequeña
Si y aumenta cuando x aumenta, entonces la derivada es positiva,
∂y
∂x > 0, y si y disminuye cuando x disminuye, entonces la derivada es
negativa, ∂y
∂x < 0.
Si ∂y
∂x > 0 para todo valor de x, entonces y es una función creciente
de x, y si ∂y
∂x < 0 para todo valor de x, entonces y es una función
decreciente de x.
Por ejemplo, la función y = x 2 es creciente para todos los valores de
x 2 (0, 5]
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Derivada de una Función
Derivada de una Función
Considere nuevamente el caso de y = x 2 , pero ahora supongamos que
x 2 X = [ 5, 5].
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Derivada de una Función
Derivada de una Función
Considere nuevamente el caso de y = x 2 , pero ahora supongamos que
x 2 X = [ 5, 5].
Para valores de x menores que 0, la función es decreciente, mientras
que para valores de x mayores que 0 la función es creciente, ya que
∂y
∂y
= 2x < 0 para x 2 [ 5, 0) y
= 2x > 0 para x 2 (0, 5] .
∂x
∂x
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Derivada de una Función
25
20
15
10
5
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figure: y = x 2
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Derivada de una Función
Derivada Segunda
La derivada segunda, cuya notación es
f 00 (x ) =
∂2 y
.
∂x 2
nos indica cuanto cambia la derivada como resultado de un pequeño
aumento en x.
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Derivada de una Función
Derivada Segunda
La derivada segunda, cuya notación es
f 00 (x ) =
∂2 y
.
∂x 2
nos indica cuanto cambia la derivada como resultado de un pequeño
aumento en x.
2
∂ y
Si tenemos ∂y
∂x > 0 y ∂x 2 > 0 , no solamente ocurre que y aumenta a
medida que aumenta x, sino que también y se incrementa en
cantidades cada vez más grandes.
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Derivada de una Función
Función Convexa
y
y=f(x)
x
Figure: Función Convexa
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Derivada de una Función
Función Cóncava
y
y=f(x)
x
Figure: Función Cóncava
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Derivada de una Función
Derivadas y la Pendiente de una Tangente
Suponga que y = f (x ). En el caso que ∂y
∂x > 0, si dibujamos una recta en
el punto (x, y ), esta recta tendrá una pendiente positiva, o sea será una
recta creciente. Si ∂y
∂x < 0, entonces la recta tendrá una pendiente
negativa.
y
y = f(x)
x2
x1
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x
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Derivada de una Función
Derivadas y la Pendiente de una Tangente
Note primeramente que la pendiente de una recta es
y2 y1
,
pendiente =
x2 x1
y
Line 2
Line 1
y1
y2
slope = (y2 –y1)/ (x2 –x1)
x1
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x2
x
Figure: Pendiente
de una Recta
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Derivada de una Función
Derivadas y la Pendiente de una Tangente
y
y2
B
A
y1
x1
D
C
x2
x
Figure: Derivada y la Pendiente de una Tangente
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Derivada de una Función
Algunas Reglas de Derivación
Suponga que y = a, donde a es una constante, entonces
∂y
= 0,
∂x
ya que x no afecta a y .
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Derivada de una Función
Algunas Reglas de Derivación
Suponga que y = a, donde a es una constante, entonces
∂y
= 0,
∂x
ya que x no afecta a y .
Suponga que y = ax, entonces
∂y
= a.
∂x
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Derivada de una Función
Algunas Reglas de Derivación
Suponga que y = a, donde a es una constante, entonces
∂y
= 0,
∂x
ya que x no afecta a y .
Suponga que y = ax, entonces
∂y
= a.
∂x
Suponga que y = ax b , entonces
∂y
= abx b
∂x
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1
.
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Derivada de una Función
Algunas Reglas de Derivación
Suponga que y = e x , entonces
∂y
= ex .
∂x
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Derivada de una Función
Algunas Reglas de Derivación
Suponga que y = e x , entonces
∂y
= ex .
∂x
Suponga que y = ln(x ), entonces
∂y
1
=
∂x
x
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Derivada de una Función
Regla de la Cadena
Suponga que y es función de x, y que x es función de z, i.e.
y = f (x (z )),
donde x (z ) indica el hecho de que x es función de z.
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Derivada de una Función
Regla de la Cadena
Suponga que y es función de x, y que x es función de z, i.e.
y = f (x (z )),
donde x (z ) indica el hecho de que x es función de z.
Qué es
∂y
∂z
? Está dado simplemente por
∂y
∂y ∂x
=
.
∂z
∂x ∂z
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Derivada de una Función
Regla de la Cadena
Suponga que y es función de x, y que x es función de z, i.e.
y = f (x (z )),
donde x (z ) indica el hecho de que x es función de z.
Qué es
∂y
∂z
? Está dado simplemente por
∂y
∂y ∂x
=
.
∂z
∂x ∂z
Por ejemplo, suponga que y = ln(x ) = ln(z 2 + 2z ), i.e. x = z 2 + 2z,
entonces
∂y
∂y ∂x
1
(2z + 2)
=
= (2z + 2) = 2
.
∂x
∂x ∂z
x
z + 2z
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Derivada de una Función
Regla del Producto
Suponga y (x ) y g (x ), y que z = y (x )g (x ). Entonces,
∂z
∂y
∂g
=
g (x ) +
f (x )
∂x
∂x
∂x
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Derivada de una Función
Regla del Producto
Suponga y (x ) y g (x ), y que z = y (x )g (x ). Entonces,
∂z
∂y
∂g
=
g (x ) +
f (x )
∂x
∂x
∂x
Por ejemplo, suponga que z = (2x + 3)(3x 2 ), entonces
∂z
∂y
∂g
=
g (x ) +
f (x ) = (2)(3x 2 ) + (6x )(2x + 3)
∂x
∂x
∂x
= 6x 2 + 12x 2 + 18x = 18x 2 + 18x.
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Derivada de una Función
Regla del Cociente
Suponga que y (x ) y g (x ), donde z =
∂z
=
∂x
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y (x )
.
g (x )
∂y
∂x g (x )
∂g
∂x f
g (x )2
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Entonces,
(x )
.
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Derivada de una Función
Regla del Cociente
Suponga que y (x ) y g (x ), donde z =
∂z
=
∂x
Por ejemplo, si z =
2x 3
x +1 ,
∂y
∂x g (x )
y (x )
.
g (x )
∂y
∂x g (x )
∂g
∂x f
g (x )2
Entonces,
(x )
.
entonces
∂g
∂x f
g (x )2
(x )
(2)(x + 1) (1)(2x
(x + 1)2
2x + 1 2x + 3
4
=
=
.
2
(x + 1)
(x + 1)2
∂z
=
∂x
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=
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3)
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Derivada de una Función
Una variable que depende de mas de una variable
Suponga y = f (k (z ), l (z )). La variable y depende de k y l, y estas a
su vez dependen de z. Como podemos encontrar la derivada ∂y
∂z ? Esta
dada por
∂y ∂k
∂y ∂l
∂y
=
+
.
∂z
∂k ∂z
∂l ∂z
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Derivada de una Función
Una variable que depende de mas de una variable
Suponga y = f (k (z ), l (z )). La variable y depende de k y l, y estas a
su vez dependen de z. Como podemos encontrar la derivada ∂y
∂z ? Esta
dada por
∂y ∂k
∂y ∂l
∂y
=
+
.
∂z
∂k ∂z
∂l ∂z
Por ejemplo, suponga que y = k a l, y que k = 2z y l = z
Entonces,
∂y
∂y ∂k
∂y ∂l
=
+
= (αk α
∂z
∂k ∂z
∂l ∂z
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1
l )2 + (k a )( 2)z
2.
3
.
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Derivada de una Función
Regla de Taylor
Supongamos que todo lo que sabe es el valor de una funcion y el
valor de su derivada en cierto punto x1 . Entonces el valor de la
funcion en otro punto x2 , el cual se encuentra en una vecindad de x1 ,
puede ser aproximado por
f (x2 ) ' f (x1 ) +
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∂y
∂x
(x2
x1 ).
x =x 1
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Derivada de una Función
Regla de Taylor
Supongamos que todo lo que sabe es el valor de una funcion y el
valor de su derivada en cierto punto x1 . Entonces el valor de la
funcion en otro punto x2 , el cual se encuentra en una vecindad de x1 ,
puede ser aproximado por
f (x2 ) ' f (x1 ) +
∂y
∂x
(x2
x1 ).
x =x 1
Suponga que y = f (x ) = x 2 y x1 = 2. Entonces
f (x1 ) ' 22 = 4 y
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∂y
∂x
= 2(2) = 4.
x =2
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Derivada de una Función
Regla de Taylor
Supongamos que todo lo que sabe es el valor de una funcion y el
valor de su derivada en cierto punto x1 . Entonces el valor de la
funcion en otro punto x2 , el cual se encuentra en una vecindad de x1 ,
puede ser aproximado por
f (x2 ) ' f (x1 ) +
∂y
∂x
(x2
x1 ).
x =x 1
Suponga que y = f (x ) = x 2 y x1 = 2. Entonces
f (x1 ) ' 22 = 4 y
∂y
∂x
= 2(2) = 4.
x =2
La Regla de Taylor nos indica que el valor que toma la funcion en el
punto x2 = 2.1 esta dado por
f (2.1) ' f (2) +
∂y
∂x
(2.1
2)
x =2
= 4 + 4(2.1
2) = 4.4
En este caso particular, obviamente, sabemos que
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Derivada de una Función
Regla de Taylor
Como la pendiente de la recta es aproximadamente igual al valor de la
derivada de la function tenemos que
pendiente ' f 0 (x1 ) =
y2
x2
y1
.
x1
Entonces,
y1 ' f 0 (x1 )(x2
x1 ),
y2 ' y1 + f 0 (x1 )(x2
x1 ).
y2
por lo tanto,
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Derivada de una Función
Regla de Taylor
y
y2
f’(x1)(x2 –x1)
y1
x2 –x1
x1
y = f(x)
x2
Figure: Regla de Taylor
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Derivada de una Función
Máximo y Mínimo de una Funcion
Suponga que y = f (x ). Si algun punto x satisface
f 0 (x ) = 0,
entonces decimos que x es un minimo local o un maximo local de la
funcion f .
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Derivada de una Función
Máximo y Mínimo de una Funcion
Suponga que y = f (x ). Si algun punto x satisface
f 0 (x ) = 0,
entonces decimos que x es un minimo local o un maximo local de la
funcion f .
Si una funcion es estrictamente concava, entonces tiene solamente un
maximo, mientras que si es convexa tiene solamente un minimo.
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Derivada de una Función
Máximo y Mínimo de una Funcion
Suponga que y = f (x ). Si algun punto x satisface
f 0 (x ) = 0,
entonces decimos que x es un minimo local o un maximo local de la
funcion f .
Si una funcion es estrictamente concava, entonces tiene solamente un
maximo, mientras que si es convexa tiene solamente un minimo.
Para ello usamos la derivada segunda de f : si f 00 (x ) < 0 (funcion
concava) entonces f tiene un unico maximo y si en cambio
f 00 (x ) > 0, entonces x es el unico minimo.
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Derivada de una Función
Máximo y Mínimo de una Funcion
y
B
A
x
Figure: Minimo y Maximo
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Derivada de una Función
Máximo y Mínimo de una Funcion
Por ejemplo, supongamos que y = x 2 , entonces
f 0 (x ) = 2x = 0,
con lo cual x = 0. Es mas, como
f 00 (x ) = f 00 (0) = 2 > 0,
x = 0 es un minimo global o unico (ver la Figura 1).
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24 / 38
Variables que dependen del tiempo
Variables que dependen del tiempo
Consideremos una variable que cambia a traves del tiempo.
Si el valor que toma en el periodo t está dado por Xt y en el periodo
t + 1 por Xt +1 , entonces la tasa de crecimiento (porcentual) se de…ne
como
Xt +1
Xt +1 Xt
=
1
(1)
Xt
Xt
En esta formula consideramos al tiempo como una variable discreta,
hablamos de "períodos", por ejemplo t = 2000, 2001, ...puede indicar
los años 2000, 2001, etc. y Xt puede tomar diferentes valores en cada
t.
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25 / 38
Variables que dependen del tiempo
Variables que dependen del tiempo
Como dijimos antes, las funciones son utilizadas para representar el
hecho de que ciertas variables dependen de otras.
Si hablamos de una variable que cambia a través del tiempo, tambien
es usual utilizar la siguiente notación
X (t ),
para indicar, simplemente, que X depende de t.
Bajo esta notación tratamos al tiempo como una variable contínua,
i.e. decimos que X esta de…nida en cada "instante" de tiempo.
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Si una variable depende del tiempo, utilizamos una notación especial
para denotar su derivada con respecto al tiempo:
∂X (t )
= X.
∂t
Entonces, X denota el cambio en X cuando el tiempo se incrementa
en una pequeña unidad.
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Si una variable depende del tiempo, utilizamos una notación especial
para denotar su derivada con respecto al tiempo:
∂X (t )
= X.
∂t
Entonces, X denota el cambio en X cuando el tiempo se incrementa
en una pequeña unidad.
Si una variable cambia a traves del tiempo, podemos tomar su
derivada con respecto a t. Dicha derivada nos indica el cambio en X
a medida que transcurre un instante. Con lo cual,
X (t )
X (t )
indica la tasa de crecimiento instantánea.
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Note que la tasa de crecimiento instantánea de X (t ) es nada mas ni
nada menos que la derivada del lnX (t ) con respecto al tiempo:
g (t ) =
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X (t )
∂(ln(X (t ))
1
=
=
X (t ).
X (t )
∂t
X (t )
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Note que la tasa de crecimiento instantánea de X (t ) es nada mas ni
nada menos que la derivada del lnX (t ) con respecto al tiempo:
g (t ) =
X (t )
∂(ln(X (t ))
1
=
=
X (t ).
X (t )
∂t
X (t )
Si el objetivo es encontrar la tasa de crecimiendo de una variable, lo
primero que debemos hacer es tomar su logaritmo natural y luego la
derivada de este logaritmo a traves del tiempo.
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Vamos a utilizar funciones que tienen tasas de crecimiento
instantaneas constantes. Suponga que X (t ) depende del tiempo de la
siguiente manera:
X (t ) = X0 e gt ,
(2)
donde e ' 2.718 es la variable exponencial.
Entonces el cambio en X (t ) esta dado por,
ln(X (t + 1))
ln(X (t )) = ln(X (0)) + g (t + 1)
= ln(X (0)) + g (t + 1)
= g (t + 1) gt
= g.
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(ln(X (0)) + gt )
ln(X (0)) gt
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Vamos a utilizar funciones que tienen tasas de crecimiento
instantaneas constantes. Suponga que X (t ) depende del tiempo de la
siguiente manera:
X (t ) = X0 e gt ,
(2)
donde e ' 2.718 es la variable exponencial.
Una propiedad importante de los logaritmos es que ln(e ) = 1. Con lo
cual
ln(X (t )) = ln(X (0)) + gt
Entonces el cambio en X (t ) esta dado por,
ln(X (t + 1))
ln(X (t )) = ln(X (0)) + g (t + 1)
= ln(X (0)) + g (t + 1)
= g (t + 1) gt
= g.
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(ln(X (0)) + gt )
ln(X (0)) gt
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Si una variable crece a tasa g , entonces su logaritmo tomo una forma
particular, i.e. su logaritmo crece en g .
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Si una variable crece a tasa g , entonces su logaritmo tomo una forma
particular, i.e. su logaritmo crece en g .
Para
X (t ) = X0 e gt
X (t )
X0 e gt g
=
= g.
X (t )
X0 e gt
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(3)
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Si una variable crece a tasa g , entonces su logaritmo tomo una forma
particular, i.e. su logaritmo crece en g .
Para
X (t ) = X0 e gt
X (t )
X0 e gt g
=
= g.
X (t )
X0 e gt
(3)
Entonces si una funcion satisface (2), sabemos que tiene una tasa de
crecimiento constante. Nos referiremos a una variable que satisface
(2) como una variable con crecimiento exponencial.
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Cual es la conexion entre (3) y (1)? Recordemos que alrededor del 0,
e x ' 1 + x.
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Variables que dependen del tiempo
Derivada con respecto del tiempo
Cual es la conexion entre (3) y (1)? Recordemos que alrededor del 0,
e x ' 1 + x.
Con lo cual, para X (t ) = X0 e gt ,
X (t ) X (t 1)
= eg 1
X (t 1)
' g +1 1
= g.
Entonces para tasas de crecimiento pequeñas (note que la
aproximacion esta calculada alrededor de g = 0), la tasa de
crecimiento instantánea es cercana al cambio proporcional de la
variable.
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Algunas reglas útiles
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Las reglas que siguen seran utiles para encontrar tasas de crecimiento:
ln(xy ) = ln(x ) + ln(y ),
x
ln( ) = ln(x )
y
ln(y ),
ln(x a ) = a ln(x ).
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Algunas reglas útiles
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Utilizando estas reglas es facil deducir que si X crece a tasa gx y si Y
crece a tasa gy , entonces Z = XY crece a tasa gx + gy , porque
ln(Z ) = ln(X ) + ln(Y ),
y
∂(ln(Z ))
∂(ln(X )) ∂(ln(Y ))
=
+
= gx + gy .
∂t
∂t
∂t
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Algunas reglas útiles
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Utilizando estas reglas es facil deducir que si X crece a tasa gx y si Y
crece a tasa gy , entonces Z = XY crece a tasa gx + gy , porque
ln(Z ) = ln(X ) + ln(Y ),
y
∂(ln(Z ))
∂(ln(X )) ∂(ln(Y ))
=
+
= gx + gy .
∂t
∂t
∂t
Si Z =
X
Y
, entonces
ln(Z ) = ln(X )
ln(Y ),
y
∂(ln(Z ))
∂(ln(X )) ∂(ln(Y ))
=
= gx gy .
∂t
∂t
∂t
Con lo cual, si X crece a tasa gx e Y crece a tasa gy , entonces
Z = X /Y crece a tasa gx gy .
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Finalmente, si Z = X a , entonces ln(Z ) = a ln(X ),
ln(Z ) = a ln(X ),
y
∂(ln(Z ))
∂(ln(X ))
=a
= agx
∂t
∂t
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Algunas reglas útiles
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Finalmente, si Z = X a , entonces ln(Z ) = a ln(X ),
ln(Z ) = a ln(X ),
y
∂(ln(Z ))
∂(ln(X ))
=a
= agx
∂t
∂t
Suponga que queremos encontrar la tasa de crecimiento de
Y (t ) = K (t )α L(t )1 α . Tomando logaritmos obtenemos
ln(Y (t )) = α ln(K (t )) + (1
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α) ln(L(t )),
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Finalmente, si Z = X a , entonces ln(Z ) = a ln(X ),
ln(Z ) = a ln(X ),
y
∂(ln(Z ))
∂(ln(X ))
=a
= agx
∂t
∂t
Suponga que queremos encontrar la tasa de crecimiento de
Y (t ) = K (t )α L(t )1 α . Tomando logaritmos obtenemos
ln(Y (t )) = α ln(K (t )) + (1
α) ln(L(t )),
Con lo cual,
Y (t )
K (t )
=α
+ (1
Y (t )
K (t )
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α)
L(t )
.
L(t )
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¿Qué es e?
Si se preguntan de donde sale e, aqui proveemos una interpretación
económica. Suponga que tiene 1$ y lo invierte a una tasa de interes
de 100% por un año. Al …nal del año tendra
V (1) = 1(1 + 1) = 2.
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¿Qué es e?
Si se preguntan de donde sale e, aqui proveemos una interpretación
económica. Suponga que tiene 1$ y lo invierte a una tasa de interes
de 100% por un año. Al …nal del año tendra
V (1) = 1(1 + 1) = 2.
Suponga ahora que invierte su 1$ a 6 meses con un interes del 100%
e invierte el total (1$+interés) nuevamente por otros 6 meses. Al
…nal de este proceso tendra
1
1
9
1
V (2) = (1 + )(1 + ) = (1 + )2 = ,
2
2
2
4
donde
1
2
re‡eja el interes del 100% en 6 meses.
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¿Qué es e?
Suponga que hace esto m veces, al …nal del año tendra
V (m ) = (1 +
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1 m
) .
m
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¿Qué es e?
Suponga que hace esto m veces, al …nal del año tendra
V (m ) = (1 +
1 m
) .
m
El valor de e esta dado por
e = lim (1 +
m !∞
1 m
) .
m
En otras palabras, e nos dice lo siguiente: cuanto dinero tendria al
…nal de un año si 1$ creciera continuamente (i.e. invierte in…nitas
veces durante un año al 100%).
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Elasticidad
Suponga que y = f (x ). La elasticidad de y con respecto a x esta
de…nida como
∂y x
.
elasticidad =
∂x y
La elasticidad nos dice el cambio porcentual en y cuando x cambia en
un 1%.
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Elasticidad
Suponga que y = f (x ). La elasticidad de y con respecto a x esta
de…nida como
∂y x
.
elasticidad =
∂x y
La elasticidad nos dice el cambio porcentual en y cuando x cambia en
un 1%.
Entonces, si y = f (x ) = x α , tendria
elasticidad =
∂y x
= αx α
∂y y
1x
y
= αx α
1
x
= α.
xα
Entonces un cambio en x del 1% lleva a un incremento en y de α por
ciento.Si por ejemplo x incrementase en 50% entonces y aumentaria
en α por 50%.
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Elasticidad
Esta es una de…nicion util de la elasticidad
elasticidad =
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∂(ln(y ))
.
∂(ln(x ))
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Elasticidad
Esta es una de…nicion util de la elasticidad
elasticidad =
∂(ln(y ))
.
∂(ln(x ))
En nuestro ejemplo
ln(y ) = α ln(x ),
con lo cual,
∂(ln(y ))
= α.
∂(ln(x ))
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