Densidad de estados
𝑔(𝐸 ) =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐸 𝑦 𝐸 + 𝑑𝐸
𝑑𝐸
E
∆E
∆E
𝑑𝑁(𝐸 )
𝑑𝐸
Tomemos una caja de potencial tridimensional cúbica
ℏ2 2
ℏ2 𝜋 2 2
2
2
(𝑛1 + 𝑛22 + 𝑛32 )
𝐸=
(𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑘𝑧 ) =
2
2𝑚
2𝑚𝑎
Un estado está determinado por 𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 .
O, un estado está determinado por kx, ky, kz .
Espacio-𝑘⃗ :
kz
ky
kx
Espacio-n:
n3
n2
n1
kz n3
ky
kx
n2
n1
kz
kx
E1
E2
E3
ky
¿Cuántos estados hay con energías entre 0 y E?
N(E) - número de estados con energías entre 0 y E
dN(E) – número de estados con energías entre E y E+dE
(número de estados con vectores de onda cuyos módulos
están entre |𝑘⃗| y |𝑘⃗ | + 𝑑|𝑘⃗| )
Evaluemos la densidad de estados.
*Una forma:
“Volumen” en el espacio-k asociado a un estado:
Para 𝑛1 → 𝑘𝑥 =
𝑛1 𝜋
𝑎
Para 𝑛1 +1 → 𝑘′𝑥 =
Para 𝑛2 → 𝑘𝑦 =
𝑎
→
∆𝑘𝑥 =
→
∆𝑘𝑦 =
𝜋
𝑎
𝑛2 𝜋
𝑎
Para 𝑛2 +1 → 𝑘′𝑦 =
Para 𝑛3 → 𝑘𝑧 =
(𝑛1 +1)𝜋
(𝑛2 +1)𝜋
𝑎
𝜋
𝑎
𝑛3 𝜋
𝑎
Para 𝑛3 +1 → 𝑘𝑧 =
(𝑛3 +1)𝜋
𝑎
→
∆𝑘𝑧 =
𝜋
𝑎
𝜋 3
Volumen por cada estado: ( )
𝑎
dN(E) – número de estados con energías entre E y E+dE
(número de estados con vectores de onda cuyos módulos
están entre |𝑘⃗| y |𝑘⃗ | + 𝑑|𝑘⃗| )
kz
ky
kx
2
4𝜋|𝑘⃗ | 𝑑|𝑘⃗| 1
𝑑𝑁 (𝐸 ) =
. .2
𝜋 3
8
( )
𝑎
Pero
2
ℏ2 2
ℏ2
2
2
𝐸=
(𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑘𝑧 ) =
|𝑘⃗ |
2𝑚
2𝑚
ℏ2
𝑑𝐸 =
|𝑘⃗|. 𝑑|𝑘⃗|
𝑚
Entonces:
𝑑𝑁(𝐸 ) =
4𝜋. 2𝑚𝐸. 𝑚𝑑𝐸. ℏ 1
. .2
𝜋 3 2 2
8
( ) ℏ ℏ √2𝑚𝐸
𝑎
Luego:
3/2
𝑑𝑁(𝐸 )
1
2𝑚
𝑔(𝐸 ) =
= 𝑎3 2 ( 2 ) 𝐸1/2
𝑑𝐸
2𝜋 ℏ
(densidad de estados)
Densidad de estados por unidad de volumen:
𝐷 (𝐸 ) =
𝑔(𝐸)
𝑉
=
1
2𝜋
2𝑚 3/2
2(
ℏ2
)
𝐸1/2 ;
*Otra forma:
ℏ2 𝜋 2 2
(𝑛1 + 𝑛22 + 𝑛32 )
𝐸=
2
2𝑚𝑎
𝑉 = 𝑎3
kz n3
ky
kx
n2
n1
“Volumen” en el espacio-n asociado a un estado:
𝑛1 → un estado
𝑛1 +1 → estado contiguo
→
∆𝑛1 = 1
→
∆𝑛2 = 1
→
∆𝑛3 = 1
𝑛2 → un estado
𝑛2 +1 → estado contiguo
𝑛3 → un estado
𝑛3 +1 → estado contiguo
Volumen por cada estado: 1.1.1=1
dN(E) – número de estados con energías entre E y E+dE
n3
n2
n1
𝐸=
ℏ2 𝜋2
2𝑚𝑎
2
2)
( 2
2 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3
𝑛12 + 𝑛22 + 𝑛32 =
2𝑚𝑎2 𝐸
ℏ2 𝜋2
(esfera)
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 1
. .2
1.1.1
8
𝑁(𝐸 ) =
4 2𝑚𝑎2 𝐸
𝜋( 2 2 )
3
ℏ 𝜋
𝑁(𝐸 ) =
1.1.1
3⁄
2
1
. .2
8
𝑑𝑁(𝐸 )
𝑎3 2𝑚
𝑔(𝐸 ) =
= 2.( 2 )
𝑑𝐸
2𝜋
ℏ
3⁄
2
.𝐸
1⁄
2
1 2𝑚 3/2 1/2
𝐷(𝐸 ) = 2 ( 2 ) 𝐸
2𝜋 ℏ
Ejemplo:
A la temperatura de 0K, halle el número de estados por unidad de
volumen con energías entre 0 y EF, y relaciónelo con la concentración
electrónica.
1
2𝑚 3/2
Rpta: 𝑛 = 3𝜋2 ( ℏ2 )
Adicional:
∈𝐹 =
3/2
∈𝐹
ℏ2
2𝑚
(3𝜋2 𝑛)2/3
Ejemplo:
Halle el número de estados con energías entre 0 y 2EF.
Ejemplo:
A una temperatura T>0, halle el número de electrones con energías
entre 0 y EF, por unidad de volumen.
Efecto Hall
Es un fenómeno que se explica también con el modelo del electrón
libre.
Consiste en la aparición de un campo eléctrico en un conductor por
el que circula una corriente en presencia de un campo magnético.
𝑉𝐻 = 𝑅𝐻
𝑖𝐵
𝑑
El campo B ejerce fuerza sobre los electrones libres, estos se mueven
hacia la cara izquierda del paralelepípedo.
En la cara izquierda aparece un exceso de carga negativa.
Como el material es eléctricamente neutro, en la cara derecha
aparece un defecto de electrones.
Aparece un campo eléctrico EH.
Este campo frena a los electrones que posteriormente quieren seguir
moviéndose hacia la cara izquierda, llegándose a un equilibrio.
⃗ =0
−𝑒𝐸⃗𝐻 − 𝑒𝑣𝑑 𝑥𝐵
𝐸𝐻 = 𝑣𝑑 𝐵 =
𝑉𝐻 = 𝐸𝐻 𝑏 =
𝑉𝐻 =
𝑖
𝐵
𝑛𝑒(𝑏𝑑)
𝑖
𝐵. 𝑏
𝑛𝑒(𝑏𝑑)
1 𝑖𝐵
.
𝑛𝑒 𝑑
TEORÍA DE BANDAS
Resolvamos la Ecuación de Schrodinger para el cristal.
̂ 𝜑 = 𝐸𝜑
𝐻
Un cristal está formado por núcleos y electrones.
2
̂=∑
𝐻
𝑖
−ћ2 ∇𝑖
2𝑚𝑖
1
+
2
∑
𝑖≠𝑗
2
𝑒2
4𝜋𝜀𝑜 𝑟𝑖𝑗
+
∑
𝛼
−ћ2 ∇𝛼
2𝑚𝛼
+ 𝑈𝑛 + 𝑈
𝜑 = 𝜑(𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 , … ; 𝑅⃗1 , 𝑅⃗2 , 𝑅⃗3 , … )
Donde
Un – energía de interacción de núcleos entre sí
U - energía de interacción de núcleos con electrones
𝑈𝑛 = 𝑈𝑛 (𝑅⃗1 , 𝑅⃗2 , 𝑅⃗3 , … )
𝑈 = 𝑈(𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 , … ; 𝑅⃗1 , 𝑅⃗2 , 𝑅⃗3 , … )
Aproximaciones
Aproximación adiabática:
El sistema está formado por núcleos (muy pesados) en reposo y
electrones.
∑𝛼
−ћ2 ⃗∇2𝛼
2𝑚𝛼
=0
y
𝑈𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (en particular Un = 0)
𝜑 = 𝜑(𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 , … )
Aproximación de valencia:
Se considera en lugar de electrones y núcleos, electrones de valencia
e iones. Así se reduce el número de partículas.
Aproximación monoelectrónica
Reemplazamos:
1
2
∑𝑖≠𝑗
U
𝑒2
→ ∑𝑖 Ω𝑖 (𝑟𝑖 )
4𝜋𝜀𝑜 𝑟𝑖𝑗
→
∑𝑖 U𝑖 (𝑟𝑖 )
Ω𝑖 (𝑟𝑖 ) – energía potencial del electrón i en el campo promedio del
resto de electrones.
U𝑖 (𝑟𝑖 ) - energía potencial del electrón i en el campo de todos los
núcleos.
−ћ2 ⃗∇2𝑖
{∑
+ ∑ Ω𝑖 (𝑟𝑖 ) + ∑ U𝑖 (𝑟𝑖 )} 𝜑 = 𝐸𝜑
2𝑚𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
−ћ2 ⃗∇2𝑖
{∑ [
+ Ω𝑖 (𝑟𝑖 ) + U𝑖 (𝑟𝑖 )]} 𝜑 = 𝐸𝜑
2𝑚𝑖
𝑖
̂𝑖 } 𝜑 = 𝐸𝜑
{∑ 𝐻
𝑖
Separación de variables:
𝜑 = 𝜑1 (𝑟1 )𝜑2 (𝑟2 )𝜑3 (𝑟3 ) …
̂ +𝐻
̂ +𝐻
̂ + ⋯ } 𝜑 𝜑 𝜑 … = 𝐸𝜑 𝜑 𝜑 …
{𝐻
1
2
3
1 2 3
1 2 3
̂ 𝜑 ) 𝜑 𝜑 … + 𝜑 (𝐻
̂ 𝜑 ) 𝜑 … + °°° = 𝐸 𝜑 𝜑 𝜑 …
(𝐻
1 1
2 2
2 3
1
3
1 2 3
Dividimos entre 𝜑1 𝜑2 𝜑3 … :
̂1 𝜑1 𝐻
̂2 𝜑2 𝐻
̂3 𝜑3
𝐻
+
+
+ °°° = 𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + °°°
𝜑1
𝜑2
𝜑3
̂1 𝜑1 = 𝐸1 𝜑1
𝐻
̂2 𝜑2 = 𝐸2 𝜑2
𝐻
̂3 𝜑3 = 𝐸3 𝜑3
𝐻
°°°
Tomamos una cualquiera de estas ecuaciones como ecuación para el
electrón en el cristal:
̂ 𝜑 = 𝐸𝜑
𝐻
−ћ2 ⃗∇2
(
+ Ω(𝑟) + U(𝑟)) 𝜑(𝑟) = 𝐸𝜑(𝑟)
2𝑚
V(𝑟) = Ω(𝑟) + U(𝑟)
Para resolver es necesario conocer V(r).
Teorema de Bloch:
Para resolver la ecuación anterior, no es necesario conocer V(r).
Basta saber que V(r) es periódica para hallar la función de onda.
𝑉(𝑟 + 𝑎𝑛 ) = 𝑉(𝑟)
𝑎𝑛 = 𝑛1 𝑎1 + 𝑛2 𝑎2 + 𝑛3 𝑎3
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 - vectores base
Entonces:
𝜑(𝑟 + 𝑎𝑛 ) = 𝐶. 𝜑(𝑟)
Le damos a C la forma:
⃗
𝐶 = 𝑒 𝑖𝑘.𝑎⃗𝑛
Luego:
⃗
⃗
⃗
𝜑(𝑟) = 𝑒 −𝑖𝑘.𝑎⃗𝑛 . 𝜑(𝑟 + 𝑎𝑛 )𝑒 −𝑖𝑘.𝑟 𝑒 𝑖𝑘.𝑟
⃗
⃗
𝜑(𝑟) = 𝑒 −𝑖𝑘.(𝑟+𝑎⃗𝑛) . 𝜑(𝑟 + 𝑎𝑛 ). 𝑒 𝑖𝑘.𝑟
Se obtiene:
⃗
𝜑(𝑟) = 𝑢𝑘 (𝑟)𝑒 𝑖𝑘.𝑟
(función de Bloch)
La función de onda del electrón en el cristal representa una onda
plana modulada en amplitud por una función periódica con periodo
de la red.
-.-
