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Encuestas temáticas ICME-13
Carolyn Kieran
Jeong Suk Pang
Deborah Schifter
Swee Fong Ng
Álgebra temprana
Investigación sobre su naturaleza, su aprendizaje,
su enseñanza.
Encuestas temáticas ICME-13
Editor de series
Gabriele Kaiser, Facultad de Educación, Universidad de Hamburgo, Hamburgo, Alemania
Más información sobre esta serie en http://www.springer.com/series/14352
Carolyn Kieran • Jeong Suk Pang
Deborah Schifter • Swee Fong Ng
Álgebra temprana
Investigación sobre su naturaleza, su aprendizaje,
su enseñanza.
matiquesmidu qumibecaMontrmial Montrémial,
Deborah Schifter
Centro de desarrollo educativo, Inc.
Waltham, MA
control de calidad
EE.UU
Carolyn Kieran
Dmidepartamento de matemáticasmiuniversidad
Canadá
Swee Fong Ng
Jeong Suk Pang
Departamento de Educación Primaria
Universidad Nacional de Educación de Corea
Chungbuk
Corea, República de (Corea del Sur)
Instituto Nacional de Educación
Universidad Tecnológica de Nanyang
Singapur
Singapur
ISSN 2366-5947
ISSN 2366-5955 (electrónico)
Encuestas temáticas ICME-13
ISBN 978-3-319-32257-5
ISBN 978-3-319-32258-2 (libro electrónico)
DOI 10.1007/978-3-319-32258-2
Número de control de la Biblioteca del Congreso: 2016935597
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Temas principales que puede encontrar en esta
encuesta temática ICME-13
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Una breve historia del movimiento del álgebra temprana y su evolución.
La naturaleza del álgebra temprana, sus procesos y su contenido matemático.
Investigación sobre el aprendizaje temprano de álgebra
Investigación sobre la enseñanza de álgebra temprana, incluida la necesidad de apoyo
profesional para el profesor de álgebra temprana
Una perspectiva neurocognitiva sobre el álgebra temprana.
v
Contenido
1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 Estudio del Estado del Arte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1 Breve historia del movimiento del álgebra temprana y su investigación
hasta principios de la década de 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 El movimiento del álgebra temprana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 El desarrollo del pensamiento algebraico en los primeros
grados: algunos ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Observaciones finales: investigación temprana en álgebra
en los años previos a principios de la década de 2000. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Investigaciones recientes sobre el aprendizaje temprano de álgebra y una
mayor evolución del campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 La
naturaleza del pensamiento algebraico temprano. . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Procesos del pensamiento algebraico temprano. . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Áreas de contenido matemático del pensamiento algebraico
temprano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Implicaciones para investigaciones futuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Llevando el álgebra temprana a las aulas de primaria. . . . . . . . . .
2.3.1 La naturaleza del contenido algebraico temprano en contextos
de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Funciones de estudiantes y profesores en las aulas. . . . . . . . .
2.3.3 ¿Qué puede pasar en las aulas en general? . . . . . . . . . .
2.3.4 Conclusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Una perspectiva neurocognitiva del álgebra temprana. . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Método del modelo de Singapur para resolver aritmética
y problemas de álgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Diferentes métodos utilizados para resolver problemas planteados de
álgebra secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Neuroimagen, método modelo y álgebra. . . . . . . .
3
3
4
9
10
10
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12
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dieciséis
dieciséis
20
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22
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23
25
viii
viii
Contenido
2.4.4 Por qué el álgebra puede consumir más recursos
de los Dos Métodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Los adultos y los niños competentes procesan la información aritmética
27
2.5 Comentarios finales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
31
3 Resumen y mirada al futuro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
de manera diferente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capítulo 1
Introducción
Este estudio del estado del arte de la investigación en álgebra temprana traza la evolución de un
campo relativamente nuevo de investigación y práctica docente. Centrándose en el estudiante más
joven, con edades comprendidas entre 6 y 12 años, este documento revela la naturaleza de la
investigación que se ha llevado a cabo en álgebra temprana y cómo ha dado forma al crecimiento del
campo. La encuesta intenta extraer de esta base de investigación en constante evolución y
crecimiento tanto la naturaleza del pensamiento algebraico como las formas en que este
pensamiento puede desarrollarse en los estudiantes de primaria (primaria) y de los primeros años de
secundaria. Las relaciones matemáticas, los patrones y las estructuras aritméticas se encuentran en
el corazón de la actividad algebraica temprana, siendo fundamentales para la participación de los
estudiantes procesos como notar, conjeturar, generalizar, representar, justificar y comunicar. El
papel del lenguaje natural en el desarrollo del pensamiento algebraico temprano se considera
fundamental. Se presentan ejemplos extraídos de algunas de las investigaciones sobre el aprendizaje
y la enseñanza del álgebra temprana, junto con hallazgos de estudios neurocognitivos recientes que
ofrecen información sobre el pensamiento algebraico y su actividad relacionada. Este estudio
temático del campo en desarrollo del estudio de la investigación y la práctica docente en álgebra
temprana debería ser de interés tanto para los recién llegados al campo como para los más
experimentados.
Acceso abiertoEste capítulo se distribuye bajo los términos de la Licencia Internacional Creative Commons
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©El autor(es) 2016
C. Kieran et al.,álgebra temprana,ICME-13 Encuestas Tópicas,
DOI 10.1007/978-3-319-32258-2_1
1
Capitulo 2
Estudio del estado del arte
Este segundo capítulo del estudio temático ICME-13 sobre álgebra temprana se divide en cinco
secciones: (1) una breve historia del movimiento del álgebra temprana y su investigación durante la
primera fase de su desarrollo en los años previos a principios de la década de 2000, (2)
investigaciones recientes sobre el aprendizaje temprano de álgebra y la evolución posterior del
campo desde principios de la década de 2000, (3) álgebra temprana en el aula de primaria, (4) una
perspectiva neurocognitiva sobre el álgebra temprana y (5) comentarios finales.
2.1 Breve historia del movimiento del álgebra temprana y su investigación
hasta principios de la década de 2000
Esta primera sección del capítulo trata de los primeros días del movimiento y señala las principales
áreas de investigación que estaban surgiendo en varias partes del mundo en este nuevo campo del
álgebra temprana. Hasta aproximadamente el momento de la 12ª Conferencia de Estudio del ICMI
sobre el Futuro de la Enseñanza y el Aprendizaje del Álgebra (Stacey et al. 2004), celebrada en
Australia en 2001, la investigación relacionada con el álgebra temprana tendía a ser de naturaleza
más bien fragmentada, ya que Los investigadores se enfrentaron a preguntas relacionadas con cuál
podría o debería ser el contenido y el enfoque central del álgebra temprana. Durante los años
siguientes, el campo del álgebra temprana quedó más claramente delineado; Esta evolución histórica
posterior se esboza en la sección.2.2.
2.1.1 El movimiento del álgebra temprana
La investigación sobre álgebra llevada a cabo durante las últimas décadas del siglo XX con jóvenes de
12 a 15 años señaló algunas de las deficiencias de una forma de pensar aritmética cuando los
estudiantes experimentan el álgebra por primera vez en la escuela secundaria. los innumerables
©El autor(es) 2016
C. Kieran et al.,álgebra temprana,ICME-13 Encuestas Tópicas,
DOI 10.1007/978-3-319-32258-2_2
3
4
2 Estudio del Estado del Arte
Los estudios de investigación que habían revelado las dificultades que implica pasar de
una forma de razonamiento aritmético a una algebraica (por ejemplo, Kieran 1992;
Linchevski 1995; Rojano y Sutherland 2001; Wagner y Kieran 1989) proporcionaron un
estímulo para explorar si ciertos tipos de actividad algebraica, centrándose en lo que se
viene denominando genéricamentepensamiento algebraico,podría ser accesible para
estudiantes más jóvenes y, por lo tanto, ayudar en la eventual transición al estudio más
formal del álgebra.
Sin embargo, como señaló Davis (1995), desde la década de 1960 se habían
llevado a cabo investigaciones sobre la cuestión de si el estudio del álgebra
debería extenderse a todos los planes de estudio de primaria y secundaria. Su
informe ICME-5, titulado “Pensamiento algebraico en los primeros
grados” (Davis 1985), fue una de las principales influencias en las primeras
discusiones sobre la cuestión del álgebra para niños de 6 a 12 años. Otras
influencias incluyeron el trabajo de investigación de educadores de
matemáticas que sugerían formas alternativas de conceptualizar el área del
álgebra escolar (por ejemplo, Kaput 1998); gran parte de este trabajo emanó
del Grupo de Investigación de Álgebra Temprana apoyado por el
Departamento de Educación de los EE. UU. mediados de los años 1990 (Kaput
et al. 2008b), así como las iniciativas del Consejo Nacional de Profesores de
Matemáticas (NCTM 1989, 2000).
Al mismo tiempo que comenzaba el primer movimiento del álgebra en Estados Unidos, se
producían desarrollos paralelos, por ejemplo, en las escuelas experimentales rusas y en la
educación primaria china; sin embargo, como se verá, las descripciones de esta actividad no
estuvieron disponibles en publicaciones de investigación inglesas hasta algo más tarde.
Algunos de los artículos presentados en las conferencias de la Sociedad Europea para la
Investigación en Educación Matemática (p. ej., Bolea et al. 1998) y la Psicología de la Educación
Matemática (PME) también indicaron reflejos del interés internacional más amplio en este
campo emergente (p. ej., Bolea et al. 1998). por ejemplo, Steinweg 2001). El año 2001 fue
testigo por primera vez no sólo de un Foro de Investigación PME dedicado al tema del álgebra
temprana (Ainley 2001), sino también de la designación de uno de los grupos temáticos en la
12ª Conferencia de Estudio ICMI como elÁlgebra tempranagrupo (Lins y Kaput 2004). En este
grupo de Álgebra Temprana, los participantes internacionales presentaron artículos y
discutieron la investigación de álgebra temprana que se había llevado a cabo durante los años
previos a la Conferencia de Estudio. Esas discusiones enfatizaron que una característica clave
del pensamiento algebraico temprano es la expresión de generalidad, una característica que
ocupa un lugar destacado en las muestras representativas de investigación que se destacan
en la subsección siguiente.
2.1.2 El desarrollo del pensamiento algebraico en los primeros
grados: algunos ejemplos
La investigación relacionada con el desarrollo del pensamiento algebraico en los primeros grados era un
dominio de estudio tan nuevo a finales de los años 1980 que no se trató como un tema separado.
2.1 Breve historia del movimiento del álgebra temprana y su investigación…
5
categoría en el 1992manual de investigacion sobre la ensenanza y el aprendizaje de las matematicas
(Crece 1992). Se trataba de un cuerpo de trabajo emergente al que en todo el mundo se hacía
referencia como Álgebra Temprana. En contraste con la enseñanza tradicional de álgebra que
generalmente comienza cuando los estudiantes tienen alrededor de 12 años de edad, el creciente
cuerpo de trabajo sobre álgebra temprana tendió a centrarse en los niños de 6 a 12 años. Sin
embargo, el interés enpensamiento algebraicono se limita al joven alumno; el términopensamiento
algebraicose ha convertido en un elemento central de la investigación actual en álgebra que
involucra también a estudiantes mayores (ver, por ejemplo, Radford 2010; Zazkis y Liljedahl 2002).
pensamiento algebraicohabiendo sido definido, por ejemplo, por Blanton y Kaput (2004) como “un
hábito mental que impregna todas las matemáticas y que involucra la capacidad de los estudiantes
para construir, justificar y expresar conjeturas sobre la estructura y las relaciones matemáticas” (p.
142) .
Además del rango de edad más joven, en este conjunto de trabajos conocido como Álgebra
temprana hubo un cambio sutil en el énfasis de una caracterización tradicional del álgebra centrada
en el contenido a la de los procesos y representaciones de razonamiento matemático que también
parecerían apropiados para los niños pequeños. en cuanto a la naturaleza de las primeras
actividades de álgebra que podrían promover el desarrollo de estos procesos y representaciones. En
particular, los principales temas centrales durante los años previos a principios de la década de 2000
incluyeron: (i) generalización relacionada con la actividad de creación de patrones, (ii) generalización
relacionada con las propiedades de las operaciones y la estructura numérica,
(iii) representar relaciones entre cantidades, y (iv) introducir notación
alfanumérica.
2.1.2.1 Generalización relacionada con la actividad de creación de patrones
Kaput y Blanton (2001) sugirieron que laalgebraificaciónLa aritmética implica ir más allá de
una visión orientada a la competencia hacia la de desarrollar en los grados elementales las
formas de pensar que puedan apoyar el aprendizaje posterior del álgebra. Un aspecto central
de esta perspectiva, según estos dos investigadores, es el aspecto del álgebra que incluye la
generalización y las formas en que este aspecto puede capitalizarse en los grados de primaria.
Con diferencia, la generalización a partir de patrones numéricos y geométricos fue testigo de
la mayor cantidad de interés en desarrollo e investigación.
Un ejemplo temprano de este enfoque proviene de un estudio australiano realizado por Bourke y
Stacey (1988) con 371 estudiantes, de edades comprendidas entre 9 y 11 años, sobre un patrón lineal
que incluía representaciones de escaleras de varias longitudes. Según los investigadores, ninguno de
los estudiantes tuvo dificultades para encontrar una manera de generalizar; pero tendían a aferrarse
a soluciones rápidas (como multiplicar el número de peldaños por 3) y no sometían sus respuestas al
pensamiento crítico ni a probarlas frente a los datos proporcionados (ver también Stacey 1989).
Hallazgos como estos impulsaron a investigadores y educadores a abogar por una variedad mucho
mayor en las tareas de creación de patrones (p. ej., Orton 1999), así como a comenzar a abordar
teóricamente cuestiones sobre la naturaleza del pensamiento algebraico y la forma en que se
relaciona con la generalización (p. ej. , Mason 1996; Radford 2000).
6
2 Estudio del Estado del Arte
Aunque la búsqueda de patrones en situaciones de una sola variable se estaba volviendo
bastante común en los planes de estudios de matemáticas de primaria, Blanton y Kaput (2004, p.
142) sostuvieron que los programas de escuela primaria que apuntan a promover el razonamiento
algebraico deberían extenderse más para incluir el pensamiento funcional (que definieron como
“pensamiento representacional que se centra en la relación entre dos o más cantidades variables”). A
partir de los estudios que llevaron a cabo desde preescolar hasta quinto grado, descubrieron que
estudiantes tan pequeños como los de jardín de infantes podían participar en el pensamiento
covariacional y los de primer grado podían describir cómo se correspondían las cantidades.
2.1.2.2 Generalización relacionada con propiedades de
operaciones y estructura numérica
La tesis que subyace al trabajo de Carpenter et al. (2003) fue que, si los estudiantes entienden su
aritmética de tal manera que puedan explicar y justificar las propiedades que utilizan al realizar
cálculos, habrán aprendido algunos fundamentos críticos del álgebra. Estos investigadores
consideraron que los estudiantes no sólo dan sentido a las operaciones y procedimientos básicos
dentro del contexto de los problemas planteados (Carpenter et al. 1999; véase también Schifter
1999), sino también que dicha actividad sirve como ocasión para reflexionar sobre propiedades
importantes de estas operaciones. . Tareas que involucran oraciones numéricas abiertas y de
verdadero/falso (muchas de ellas extraídas del trabajo anterior de Davis (1964), en elProyecto
Madison—por ejemplo, ¿9 + 5 = 0 + 14 es verdadero o falso? ¿Cuál es el valor de Δ en 18 + 27 = Δ +
29?) resultaron, según los investigadores, extremadamente eficaces. Los resultados de la
investigación de Carpenter et al. (2003) incluyeron (a) puntos de referencia relacionados con las
concepciones en desarrollo del signo igual por parte de los estudiantes, (b) una clasificación de los
tipos de conjeturas que hacen los estudiantes, y (c) una serie de descripciones ricas de las formas en
que los estudiantes jóvenes llegan a ser consciente de las propiedades y aprender a utilizarlas para
articular y justificar conjeturas. Su investigación fue un precursor influyente de varios estudios
tempranos de álgebra que involucraban números, operaciones y propiedades, que seguirían en los
años siguientes.
Otro ejemplo de generalización sobre relaciones numéricas fue la investigación de Fujii
(2003) y Fujii y Stephens (2001). Fujii introdujo a los jóvenes estudiantes japoneses en el
pensamiento algebraico a través de expresiones numéricas generalizables, utilizando
números comocuasi-variables—por ejemplo, con oraciones numéricas como 78 – 49 + 49 = 78,
que son verdaderas independientemente del número que se reste y luego se vuelva a sumar.
Fujii (2003) afirmó que estas expresiones “permiten a los profesores construir un puente entre
los problemas aritméticos existentes y las oportunidades para pensar algebraicamente sin
tener que depender del conocimiento previo de formas simbólicas literales” (p. 62).
2.1.2.3 Representación de relaciones entre cantidades
En contraste con gran parte de la investigación relacionada numéricamente sobre el
pensamiento algebraico temprano, el enfoque ruso desarrollado por Davydov y sus colegas
(Davydov et al. 1999) enfatizó la enseñanza del álgebra basada, no en su valor numérico.
2.1 Breve historia del movimiento del álgebra temprana y su investigación…
7
fundamentos, sino sobre relaciones entre cantidades y que involucran el uso de
símbolos literales desde el primer grado. Schmittau tradujo el plan de estudios de
tres años de Davydov y lo implementó en una escuela primaria de Estados Unidos
(ver Schmittau y Morris 2004). En referencia a este currículo donde las relaciones
parte-todo son centrales, Schmittau y Morris (2004) han afirmado que “los niños
escriben 'si C < P por B, entonces C = P − B y C + B = P'; la notación indica que
pueden pasar de una relación de desigualdad a una de igualdad sumando o
restando la diferencia, y que la suma y la resta son acciones relacionadas” (p. 81).
Han argumentado además que este enfoque “desarrolla el pensamiento teórico,
que según Vygotsky comprende la esencia del álgebra” (p. 83). Dougherty (2003),
Valorar,encontró que el uso de símbolos y diagramas algebraicos por parte de los
estudiantes de tercer grado, que evolucionan dentro de situaciones de medición,
“impacta positivamente en su desarrollo matemático, especialmente cuando se
usan… [dentro de] un enfoque que vincula simultáneamente el modelo físico, las
representaciones intermedias y las simbolizaciones” (Dougherty y Slovin 2004, p.
301).
El enfoque ruso no enseña a los niños a resolver ecuaciones pensando en “hacer y
deshacer” operaciones numéricas, sino mediante comparaciones directas entre cantidades.
Esto es bastante diferente del enfoque de Singapur para desarrollar el pensamiento
algebraico en los primeros grados (Ng 2004), donde también están involucradas relaciones
parte-todo, pero hacer y deshacer se considera central. El plan de estudios de matemáticas de
primaria de Singapur hace hincapié en tres procesos de pensamiento: analizar partes y el
todo, generalizar y especializar, y hacer y deshacer. Una parte integral del plan de estudios es
lamétodo del modelo (o ecuación pictórica, como a veces se la denomina): una herramienta
esquemática para representar relaciones cuantitativas y numéricas y para resolver problemas
relacionados. Se cree que, si a los niños se les proporciona un medio para visualizar un
problema, llegarán a ver sus fundamentos estructurales. Un ejemplo de un problema escrito
representado y resuelto por elmétodo modelose proporciona en la Fig.2.1(ver Ng 2004, para
más detalles).
Si bien el método del modelo de Singapur no implica símbolos o métodos algebraicos, el
plan de estudios elemental chino para el quinto grado (niños de 10 y 11 años) se centra en
problemas de aplicación en los que se enseña a los estudiantes a utilizar métodos de
resolución tanto aritméticos como algebraicos (Cai 2004). . Según Cai, el objetivo de enseñar a
los estudiantes más jóvenes métodos aritméticos y algebraicos no es sólo ayudarlos a lograr
una comprensión profunda de las relaciones cuantitativas, sino también guiarlos para que
vean las similitudes entre los enfoques aritmético y algebraico y así crear una transición más
suave del pensamiento aritmético al algebraico.
2.1.2.4 Introducción a la notación alfanumérica
Como se puede deducir de algunos de los ejemplos presentados hasta ahora, la cuestión de si
el álgebra temprana debería o no involucrar formas simbólicas fue una cuestión
8
2 Estudio del Estado del Arte
Figura 2.1Representación y
resolución de un problema por el
método del modelo dentro de la
primaria de Singapur.
plan de estudios de matemáticas (Ng
2004)
cuestión muy debatida durante las décadas previas a principios de la década de 2000. Entre
los defensores de una introducción temprana al pensamiento algebraico, pero sin el uso del
simbolismo algebraico, se encontraban los investigadores que desarrollaron el proyecto
curricular, Investigaciones en datos numéricos y espaciodesde jardín de infantes hasta quinto
grado (TERC 1998; véase Noble et al. 2001). El cambio matemático, los patrones y relaciones, la
representación y el modelado fueron las áreas clave de enfoque de este proyecto. Moyer et al.
(2004), quienes utilizaron el marco de Driscoll (1999) para analizar este proyecto (el marco de
Driscoll incluye los siguientes “hábitos mentales” algebraicos: hacer y deshacer, construir
reglas para representar funciones y abstraerse de la computación), señalaron que, si bien Se
espera que los estudiantes propongan una regla general: “no es la intención del plan de
estudios que los estudiantes desarrollen la capacidad de representar formalmente funciones
con símbolos algebraicos” (p. 31). De hecho, muchos investigadores consideraron el uso del
lenguaje natural por parte de los estudiantes para expresar relaciones aritméticas,
propiedades y estructuras de patrones generalizados (por ejemplo, Malara y Navarra 2003;
Radford 2000) es fundamental para desarrollar y expresar el pensamiento algebraico, además
de ser un mediador en la construcción a largo plazo de modos de representación
alfanuméricos.
Incluso siÁlgebra tempranaAunque esto no significa trasladar el programa tradicional de
álgebra al nivel de la escuela primaria, ciertos investigadores tenían la sensación de que la
notación alfanumérica puede y debe introducirse gradualmente a los primeros estudiantes de
álgebra. El programa de investigación de, por ejemplo, Carraher et al. (2001; Schliemann et al.
2003) ha llevado a estos investigadores a las aulas de niños de 8 a 11 años para estudiar las
formas en que su instrucción innovadora lleva a los jóvenes estudiantes a utilizar la notación
algebraica para representar situaciones problemáticas e interpretar las relaciones. siendo
representado. Han argumentado que los estudiantes de esta edad pueden desarrollar un
sentido ampliado del signo igual, representar cantidades desconocidas con una letra,
representar relaciones con variables, trabajar con incógnitas, escribir ecuaciones e incluso
resolver ecuaciones lineales con letras simbólicas (Brizuela y Schliemann 2004). ).
A pesar de la evidencia de que algunos niños de esta edad son capaces de utilizar la notación
alfanumérica, Warren (2003) recomienda precaución. Su estudio longitudinal de jóvenes
2.1 Breve historia del movimiento del álgebra temprana y su investigación…
9
La comprensión de los estudiantes australianos sobre el uso del signo igual encontró evidencia de
una cierta persistencia de puntos de vista estrechos. Warren (2002) también señaló las dificultades
que experimentan los niños de 8 y 9 años para manejar problemas con incógnitas. Van Ameron
(2002) informó de manera similar a partir de su estudio sobre estudiantes holandeses que empujar a
niños de 11 años a usar fórmulas simbólicas no es productivo, ni siquiera si se hace de manera
tentativa y bien considerada.
Si bien la tecnología no fue un componente importante de gran parte de las primeras
investigaciones en Álgebra temprana, hubo algunas excepciones. Por ejemplo, la investigación
de Ainley (1999) y Ainley et al. (1998) demostraron que las hojas de cálculo, con su notación
similar al álgebra y su capacidad gráfica, pueden ser bastante productivas para niños de 8 a 11
años como herramienta para el razonamiento algebraico emergente. La investigación de
Sutherland (1993) en el proyecto Logo de ANA con niños de 11 y 12 años informó el uso
exitoso de variables por parte de los estudiantes para expresar relaciones matemáticas
simples dentro del contexto de tareas desarrolladas y apoyadas por maestros en el entorno
de programación Logo.
2.1.3 Observaciones finales: investigaciones tempranas en álgebra en los
años previos a principios de la década de 2000
En la conferencia ICME-8 celebrada en Sevilla en 1996, Kieran (1996) propuso un modelo de
actividad algebraica que sirvió unos años más tarde como base para una definición de
pensamiento algebraico en los primeros grados, una definición que no dependía del uso de la
letra simbólica (Kieran 2004):
Pensamiento algebraico en los primeros grados.Implica el desarrollo de formas de pensar dentro de
actividades para las cuales la letra simbólica podría usarse como herramienta, o alternativamente
dentro de actividades que podrían realizarse sin usar la letra simbólica en absoluto, por ejemplo,
analizar relaciones entre cantidades, notar la estructura. , estudiar el cambio, generalizar, resolver
problemas, modelar, justificar, probar y predecir. (pág. 149).
Esta caracterización del pensamiento algebraico en los primeros grados sintetizó los principales
impulsos de los diversos estudios de álgebra iniciales hasta principios de la década de 2000, investigaciones
que se basaron en el análisis de las relaciones entre cantidades, el desarrollo de la conciencia de la
estructura y las propiedades numéricas, y que involucraron el análisis de las relaciones entre cantidades.
estudio del cambio en situaciones funcionales, generalizando y justificando, y la resolución de problemas con
enfoque relacional.
Como se verá en las secciones siguientes de este capítulo de estudio, la investigación que
se desarrollaría durante la década siguiente produciría una imagen más coherente del área
del álgebra temprana, así como una comprensión más profunda del pensamiento algebraico,
cómo se desarrolla, y cómo se puede apoyar su desarrollo en los niveles de primaria y
secundaria temprana.
10
2 Estudio del Estado del Arte
2.2 Investigaciones recientes sobre el aprendizaje temprano de
álgebra y una mayor evolución del campo
Esta segunda sección del estudio temático aborda la investigación sobre el aprendizaje temprano de
álgebra desde principios de la década de 2000 en adelante. Como se verá en los diversos estudios
ejemplificados aquí, el campo del álgebra temprana se ha delineado gradualmente más claramente
desde la década de 2000, trayendo consigo visiones y marcos teóricos más completos del
pensamiento algebraico. En el centro de esta investigación reciente se ha centrado la atención en las
relaciones, patrones y estructuras aritméticas matemáticas, con atención detallada a los procesos de
razonamiento utilizados por estudiantes jóvenes, con edades comprendidas entre 6 y 12 años, a
medida que construyen estas relaciones, patrones. y estructura procesos tales como notar,
conjeturar, generalizar, representar y justificar. Entrelazadas con el estudio de las formas en que se
desarrollan estos procesos se encuentran las dos principales áreas de contenido matemático de la
aritmética generalizada (es decir, número/cantidad, operaciones, propiedades) y funciones. Ambas
áreas de contenido tienen sus conceptos y objetos propios, incluyendo igualdad/equivalencia,
covariación, variable/cuasivariable, expresión, ecuación, diagramas, tablas, gráficos y símbolos. En
resumen, en los últimos 10 a 15 años, nuestra visión del campo de la investigación en álgebra
temprana se ha vuelto más explícitamente caracterizable con respecto a su enfoque central, sus
procesos de razonamiento, sus áreas de contenido y sus conceptos y objetos. . En línea con esta
evolución, esta sección del estudio temático se estructura de acuerdo con las siguientes
subsecciones: la naturaleza del pensamiento algebraico temprano, sus procesos, sus áreas de
contenido matemático y breves comentarios finales que incluyen implicaciones para futuras
investigaciones. Las restricciones de espacio limitan severamente el número de ejemplos que se
pueden presentar aquí; por lo tanto, las tendencias generales son el foco principal (ver también, por
ejemplo, Cai y Knuth 2011; Carraher y Schliemann 2007; Kieran 2011).
2.2.1 La naturaleza del pensamiento algebraico temprano
Blanton et al. (2011) sostienen que la estructura y las relaciones matemáticas son fundamentales
para la práctica del álgebra temprana. Para Britt e Irwin (2011), el pensamiento algebraico temprano
implica llegar a utilizar números y palabras para expresar transformaciones aritméticas en términos
generales. Carraher y Schliemann (2015) caracterizan el pensamiento algebraico temprano en
términos de formas básicas de razonamiento que expresan relaciones entre números o cantidades,
en particular, relaciones funcionales. En estos estudios y otros, se considera que las relaciones
matemáticas, los patrones y las estructuras aritméticas están en el corazón del pensamiento
algebraico temprano.
En el desarrollo del pensamiento algebraico temprano, el papel del lenguaje natural es de
suma importancia (Cusi et al. 2011; Malara y Navarra 2003). Los análisis detallados de Radford
(2011b) sobre el pensamiento algebraico de los alumnos de segundo grado tienen en cuenta
no sólo su uso del lenguaje natural, sino también sus descripciones espaciales y gestos.
Radford (2006) sostiene además que “usar letras no equivale a hacer álgebra”
2.2 Investigaciones recientes sobre el aprendizaje temprano de álgebra y su evolución posterior…
11
(pág. 3). Insiste en que, fundamentalmente, el pensamiento algebraico es una forma particular de
reflexionar matemáticamente y que no es necesario el uso de símbolos alfanuméricos; También se
pueden utilizar otras representaciones semióticas.
Para concluir esta primera subsección sobre la naturaleza del pensamiento algebraico,
señalamos el reciente desarrollo de Radford (2014) de un marco para caracterizar el
pensamiento algebraico, que involucra las siguientes tres nociones clave: (a)indeterminación:
números desconocidos están involucrados en el problema dado, (b)denotación:los números
indeterminados se nombran o simbolizan de diversas maneras, como por ejemplo con gestos,
palabras, signos alfanuméricos o alguna combinación de estos, y (c)analiticidad:las cantidades
indeterminadas se tratan como si fueran números conocidos.
2.2.2 Procesos del pensamiento algebraico temprano
Blanton et al. (2011) se centran en los procesos degeneralizar, representar, justificar,y
razonar conestructura y relaciones matemáticas. Russell y cols. (en prensa) centrarse en
notar, articular, representar, justificar,ycontrastante. Cusi et al. (2011) se centran en
verbalizar, traducir, argumentar, interpretar, predecir,ycomunicado.Sin embargo, la
mayor parte de la investigación sobre el desarrollo del pensamiento algebraico
temprano se centra en el proceso de generalización, un proceso inherente a toda
actividad algebraica temprana, al igual que a toda actividad matemática (Mason 2005),
con toda una subcategoría de generalización. investigación orientada a la generalización
de patrones numéricos y geométricos (por ejemplo, Cooper y Warren 2011; Moss y
London McNab 2011).
De acuerdo con la importancia dada a la generalización en el pensamiento algebraico temprano,
Kaput et al. (2008a) enfatizan que un aspecto crítico que hace que una actividad sea algebraica es la
generalización deliberada. Incluso el uso de números puede calificarse de algebraico en la medida en
que su finalidad no es el cálculo per se sino la representación de un ejemplo genérico. Por ejemplo,
cuando se les pidió que encontraran el número de cuadrados en figuras "grandes" en la actividad de
generalización de patrones geométricos, los alumnos de segundo grado pudieron generar métodos
o reglas de cálculo en casos específicos utilizando números de manera general (Radford 2011b).
Basándose en varios estudios anteriores sobre actividades de patrones, Radford (2003) ha
teorizado tres niveles en la actividad generalizadora de los estudiantes: (a)generalización
fácticaque emplea acciones a nivel concreto generalmente asociadas con gestos, palabras y
actividad perceptiva, (b)generalización contextualque se basa en descripciones situadas de los
objetos y su denominación (como, por ejemplo, refiriéndose a los “fifigura” y la “siguiente
figura”; sin embargo, Radford no considera algebraicas estas generalizaciones porque las
generalizaciones algebraicas comprenden objetos que no están situados y son atemporales,
sin acceso a un punto de referencia que implique ver los objetos), y (c)generalización simbólica
que utiliza símbolos o signos para expresar la generalización. En 2006, Radford reformuló sus
anteriores “capas de generalidad algebraica” en la siguiente definición deGeneralización de
patrones algebraicos:
12
2 Estudio del Estado del Arte
“Generalizar un patrón algebraicamente se basa en la capacidad de captar un punto en común
observado en algunos elementos de una secuencia S, siendo consciente de que este punto en común
se aplica a todos los términos de S, y siendo capaz de usarlo para proporcionar una expresión directa
de cualquier término de S. S” (Radford 2006, pág. 5).
Rivera (2013) ha observado que el proceso de generalización de patrones no es lineal,
jerárquico y transicional. Más bien, es de carácter multidimensional, dinámico y emergente,
influenciado por factores cognitivos, socioculturales y de otro tipo. Estas características se
reflejan en suTeoría de representaciones graduadas en generalización de patrones.en el que
varias coordinaciones y conexiones entre diferentes capas (es decir, entrada, relación,
representación, oculta y salida) dan forma al procesamiento de generalización de patrones.
Esta teoría es única porque explica tanto las diferencias individuales en la realización de la
generalización de patrones como las características en continua evolución basadas en el
aprendizaje y la experiencia.
2.2.3 Áreas de contenido matemático del pensamiento
algebraico temprano
Kaput (2008) ha afirmado que tres líneas de contenido involucran el pensamiento algebraico: el
álgebra como estudio de estructuras y relaciones que surgen en la aritmética, el álgebra como
estudio de funciones y el álgebra como un grupo de lenguajes de modelado. Dado que la mayor
parte de las primeras investigaciones en álgebra integran la tercera línea dentro de las otras dos
mediante diversos contextos de problemas, el enfoque principal aquí son las dos primeras líneas de
contenido de Kaput. Cabe señalar que recientemente se ha hecho referencia a la primera corriente
de Kaput, la del estudio de las estructuras y relaciones que surgen en la aritmética, comoaritmética
generalizada.En el pasado, el términoaritmética generalizadaera sinónimo de álgebra simbólica de
letras, con sus ecuaciones e incógnitas. Sin embargo, dentro del contexto del álgebra temprana,
aritmética generalizadaha adquirido un sentido mucho más amplio en el sentido de que las
relaciones y propiedades inherentes a las operaciones aritméticas son exploradas y vistas por los
estudiantes como generalizables, sin involucrar necesariamente símbolos alfanuméricos. Como se
verá, algunas de las investigaciones recientes sobre el aprendizaje temprano del álgebra que
adoptan una perspectiva aritmética generalizada incluyen el trabajo con símbolos alfanuméricos y
otras no. Otros estudios adoptan una perspectiva funcional y otros combinan ambas perspectivas.
Sección2.3El capítulo revisa estas dos primeras líneas de contenido del álgebra temprana de Kaput,
proporcionando un escenario detallado de cada una.
2.2.3.1 Una perspectiva aritmética generalizada sobre el contenido
En el álgebra temprana, la aritmética generalizada no sólo incluye números/cantidades,
operaciones, propiedades, igualdad y representaciones y diagramas relacionados, sino
que también puede incluir variables, expresiones y ecuaciones, dependiendo de si
2.2 Investigaciones recientes sobre el aprendizaje temprano de álgebra y su evolución posterior…
13
Se han integrado símbolos alfanuméricos en el entorno de aprendizaje. Algunas de las
investigaciones recientes en esta área de contenido se sitúan en el trabajo aritmético de
estudiantes jóvenes con números y operaciones de suma y resta (p. ej., Blanton et al. 2015b), y
se amplían para incluir la experimentación con el uso de variables por parte de los estudiantes
para representar cantidades desconocidas. . Por ejemplo, Blanton y sus colegas llevaron a
cabo un experimento de enseñanza en esta área de contenido y descubrieron que casi el 75 %
de los estudiantes de tercer grado que participaron en el programa de intervención
aprendieron a representar cantidades desconocidas con notación variable, a pesar de que
habían asignado un valor numérico específico a lo desconocido al inicio del estudio.
Se han llevado a cabo otros estudios que han probado la comprensión de los niños sobre el signo
igual, las expresiones y las ecuaciones. Por ejemplo, Matthews et al. (2012) desarrollaron un mapa de
constructo para las diversas facetas del conocimiento del signo igual de los estudiantes en términos
de cuatro niveles (es decir,operacional rígido, operacional flexible, relacional básico,yrelacional
comparativo).Diseñaron un conjunto integral de tareas con cuatro tipos de elementos para evaluar la
comprensión de los estudiantes sobre el signo igual y, en última instancia, sobre la igualdad
matemática. Las tareas se asignaron a 224 estudiantes de segundo a sexto grado. Los resultados
indicaron que los estudiantes eran sensibles a los formatos de ecuaciones así como a la ubicación de
las operaciones. Proporcionar explicaciones verbales para los elementos de razonamiento relacional
avanzado siguió siendo un desafío incluso para los estudiantes de grados superiores. Un resultado
notable fue que los niños con una comprensión avanzada del signo igual tendían a resolver
ecuaciones difíciles, lo que sugiere un vínculo directo entre el conocimiento del signo igual y el
pensamiento algebraico.
En un proyecto de Nueva Zelanda que involucraba un programa de intervención que promovía el
pensamiento algebraico temprano y que incluía estudios comparativos con estudiantes en un plan
de estudios típico basado en aritmética, Britt e Irwin (2011) encontraron que los estudiantes que
utilizaron el nuevo plan de estudios desarrollado por el proyecto tuvieron más éxito que sus sus
contrapartes utilizaron el plan de estudios convencional para resolver ítems de prueba, ítems que
incluían no sólo compensación simple además sino también equivalencia compleja con valores
fraccionarios. Con un estudio longitudinal adicional que incluyó a estudiantes de 12 a 14 años, los
investigadores demostraron que la exposición temprana y sostenida al pensamiento algebraico en la
escuela primaria conduce a una generalización más sofisticada que involucra los símbolos
alfanuméricos del álgebra en la escuela intermedia.
2.2.3.2 Una perspectiva funcional del contenido
Dentro de una perspectiva funcional del contenido matemático del álgebra temprana, el
concepto de covariación y su noción relacionada de cambio son centrales, al igual que
representaciones como tablas, gráficos y otros diagramas orientados a funciones. Los objetos
de variable, expresión y ecuación también están involucrados, pero con una interpretación
diferente a la que se mantiene dentro de la perspectiva de la aritmética generalizada. Blanton
et al. (2011) sostienen que el pensamiento funcional implica “generalizar relaciones entre
cantidades covariables, expresar esas relaciones en palabras, símbolos, tablas o gráficos, y
razonar con estas diversas representaciones para analizar el comportamiento de la
función” (p. 13).
14
2 Estudio del Estado del Arte
Un gran número de estudios anteriores sobre el pensamiento funcional de los estudiantes se han
centrado en los estudiantes de los grados superiores de primaria y secundaria (por ejemplo, Ellis 2007). Sin
embargo, algunos investigadores que investigan la comprensión de las relaciones funcionales por parte de
los estudiantes sugieren que incluso los niños más pequeños, con el apoyo pedagógico apropiado para su
edad, son capaces de participar en el pensamiento covariacional y pueden representar cómo dos cantidades
variables se corresponden de múltiples maneras, incluso con letras como variables. . Moss y London McNab
(2011) informaron que los alumnos de segundo grado podían descifrar una regla de función general
centrándose en la relación entre el número de posición y el número de bloques en actividades de patrones
de crecimiento geométrico. Los estudiantes también pudieron desarrollar una comprensión sólida de las
reglas de funciones de dos partes (es decir,y = hacha + b)al notar la constante en los conjuntos visuales y
representarla en su lenguaje natural.
Blanton et al. (2015a) han enfatizado que incluso algunos de los alumnos de primer grado en su estudio fueron capaces de generalizar
varias relaciones funcionales entre cantidades covariables y que sus niveles iniciales de comprensión podrían volverse más sofisticados con el
apoyo de una instrucción bien diseñada. En ese mismo estudio, Blanton y sus colegas desarrollaron una trayectoria de aprendizaje para
describir el pensamiento de los niños de primer grado (de 6 años) sobre la generalización de las relaciones funcionales. La trayectoria, que
puede servir como marco para trabajos relacionados sobre el desarrollo del pensamiento funcional de los niños pequeños, implica diferentes
niveles de sofisticación en la generalización de relaciones funcionales al especificar si los niños pueden (a) notar características matemáticas
en una tarea, (b) comprender las relaciones entre cantidades a través del pensamiento recursivo o el pensamiento funcional, (c) observar la
regularidad dentro de instancias particulares o de otro modo en todas las instancias, (d) describir una relación funcional en una forma
generalizada, (e) elaborar sobre dos cantidades que se comparados y la relación funcional entre ellos, y (f) abordar la función como un objeto
al tiempo que comprende los límites de la generalidad. Comprender las características de tales niveles es importante porque arroja luz sobre
la sofisticación con la que los niños pequeños condensan las relaciones funcionales. (e) profundizar en dos cantidades que se comparan y la
relación funcional entre ellas, y (f) abordar la función como un objeto al mismo tiempo que se comprenden los límites de la generalidad.
Comprender las características de tales niveles es importante porque arroja luz sobre la sofisticación con la que los niños pequeños
condensan las relaciones funcionales. (e) profundizar en dos cantidades que se comparan y la relación funcional entre ellas, y (f) abordar la
función como un objeto al mismo tiempo que se comprenden los límites de la generalidad. Comprender las características de tales niveles es
importante porque arroja luz sobre la sofisticación con la que los niños pequeños condensan las relaciones funcionales.
A partir de sus estudios longitudinales de alumnos de 3.º a 5.º grado, Carraher y
Schliemann (2015) han descubierto que estudiantes de entre 8 y 9 años de edad pueden
utilizar relaciones para derivar otras relaciones. Por ejemplo, con la afirmación “Tom es 4
pulgadas más alto que Mary y Mary es 6 pulgadas más baja que Leslie”, los estudiantes
pudieron derivar la altura de Tom a partir de las alturas de Mary y Leslie, derivar la altura de
Mary a partir de las alturas de Tom y Leslie, y calcular deriva la altura de Leslie a partir de las
alturas de Tom y Mary. Aprendieron a expresar esta relación ternaria en una recta numérica
con un “origen variable N”, lo que los investigadores denominaron “recta numérica N”, y en
cuyas posiciones se denotaron como N-2, N-1, N, N+. 1, N+2, etc.
Si bien algunas de las investigaciones anteriores que involucran el pensamiento algebraico de
estudiantes más jóvenes se han centrado en los desafíos de introducir ideas funcionales, como por ejemplo,
cambiar el enfoque de los estudiantes de una perspectiva recursiva a una funcional explícita (Warren y
Cooper 2008), el trabajo más reciente sugiere que los estudiantes de los primeros grados de primaria,
incluso en el jardín de infantes, pueden ser mucho más capaces de comenzar a pensar algebraicamente de
lo que se imaginaba anteriormente. Pero esto no ocurre de forma espontánea.
2.2 Investigaciones recientes sobre el aprendizaje temprano de álgebra y su evolución posterior…
15
Requiere, en palabras de Bass y Ball (2003), “apoyos para el trabajo matemático del
profesor presionando a los estudiantes, provocando, apoyando, señalando y atendiendo
con cuidado” (p. vii).
2.2.4 Implicaciones para investigaciones futuras
En esta sección del capítulo hemos intentado ilustrar las principales tendencias en la investigación desde principios de la década de 2000 sobre el desarrollo del pensamiento
algebraico en los primeros estudiantes de álgebra y, al mismo tiempo, ofrecer nuestra perspectiva sobre cómo este campo ha llegado a delinearse más claramente. —en
términos de la naturaleza del pensamiento algebraico, sus procesos de razonamiento y sus áreas de contenido matemático. En estas observaciones finales, deseamos extraer
algunas implicaciones para futuras investigaciones. Nuestro primer comentario se refiere al aspecto evolutivo del pensamiento algebraico. Algunos estudios, específicamente
aquellos que comparan un grupo de intervención con un grupo de no intervención, muestran claramente que el pensamiento algebraico no se desarrolla naturalmente a través
de la instrucción y los planes de estudio tradicionales basados en la aritmética a medida que los estudiantes progresan en la escuela primaria y secundaria. Para desarrollar el
pensamiento algebraico, es necesario fomentar intencionalmente formas esenciales de pensar algebraicamente en la instrucción desde los primeros grados. Existe un creciente
cuerpo de investigación que proporciona evidencia empírica de cómo el desarrollo del pensamiento algebraico temprano evoluciona hacia formas de pensamiento más
sofisticadas. A su vez, estas formas de pensar más sofisticadas sirven para influir en el aprendizaje posterior de conceptos algebraicos importantes dadas las intervenciones
longitudinales. Sin embargo, se necesita una investigación más sistemática y a largo plazo para mostrar el impacto del pensamiento algebraico temprano en el estudio posterior
del álgebra. Existe un creciente cuerpo de investigación que proporciona evidencia empírica de cómo el desarrollo del pensamiento algebraico temprano evoluciona hacia
formas de pensamiento más sofisticadas. A su vez, estas formas de pensamiento más sofisticadas sirven para influir en el aprendizaje posterior de conceptos algebraicos
importantes dadas las intervenciones longitudinales. Sin embargo, se necesita una investigación más sistemática y a largo plazo para mostrar el impacto del pensamiento
algebraico temprano en el estudio posterior del álgebra. Existe un creciente cuerpo de investigación que proporciona evidencia empírica de cómo el desarrollo del pensamiento
algebraico temprano evoluciona hacia formas de pensamiento más sofisticadas. A su vez, estas formas de pensamiento más sofisticadas sirven para influir en el aprendizaje
posterior de conceptos algebraicos importantes dadas las intervenciones longitudinales. Sin embargo, se necesita una investigación más sistemática y a largo plazo para
mostrar el impacto del pensamiento algebraico temprano en el estudio posterior del álgebra.
Otra área que necesita mayor exploración y estudio es el desarrollo y uso de herramientas
digitales en la investigación de álgebra temprana dentro del área de contenido de números,
operaciones y propiedades. Gran parte de las investigaciones recientes que integran la
tecnología en el aprendizaje del pensamiento algebraico se han llevado a cabo en las áreas de
generalización de patrones y pensamiento funcional, y con estudiantes en el rango de edad de
12 a 14 años (p. ej., Mavrikis et al. 2013; Roschelle y otros 2010). Si bien ha habido algunas
excepciones, como la investigación de Hewitt (2014) con niños de 9 y 10 años en elÁlgebra de
cuadrículaAunque se ha demostrado que este entorno amplía la comprensión de las
operaciones numéricas de los estudiantes, pocos entornos digitales se han diseñado con el
objetivo de desarrollar el pensamiento algebraico de los estudiantes de primaria en esta área.
Un comentario final que surge de nuestro estudio de estudios recientes, relacionado con
las observaciones anteriores sobre el uso de entornos digitales en el aprendizaje temprano de
álgebra, se refiere al desarrollo teórico. Gran parte del desarrollo teórico que se ha producido
se ha realizado junto con investigaciones empíricas centradas en las áreas de generalización
de patrones algebraicos y pensamiento funcional. Sin embargo, se ha producido poca
teorización sobre el área de los números, las operaciones y las propiedades, a pesar de que
esta área es una de las principales rutas críticas para fomentar el pensamiento algebraico
temprano.
2 Estudio del Estado del Arte
dieciséis
2.3 Llevando el álgebra temprana a las aulas de primaria
Esta tercera sección del capítulo aborda las siguientes preguntas: ¿Cuál es la naturaleza del
contenido algebraico temprano en contextos de aula? ¿Qué interacciones entre profesores y
estudiantes sustentan el compromiso de los estudiantes con el álgebra temprana? ¿Qué
apoyos son necesarios?
2.3.1 La naturaleza del contenido algebraico temprano en contextos de
aula
Para comenzar un examen del álgebra temprana en el aula, considere dos escenas, la primera
que involucra el álgebra como estudio de funciones, la segunda, como el estudio de
estructuras que surgen en el razonamiento aritmético y cuantitativo.
En la primera escena, a una clase canadiense de cuarto grado se le presentó la siguiente
situación:Para su cumpleaños, Marc recibió una alcancía con un dólar. Ahorra 2 dólares cada
semana. Al final de la primera semana tiene 3 dólares; al final de la segunda semana tiene 5
dólares, y así sucesivamente.A los estudiantes se les dieron fichas rojas y azules para modelar
la situación de las semanas 1 a 5 y se les pidió que calcularan cuánto tendría Marc después de
las semanas 10, 15 y 25. El modelo de Krysta y Albert para las primeras 5 semanas se parece a
la pantalla de Higo.2.2. (El chip superior en cada configuración es azul; el resto es rojo). Ahora
están discutiendo la cantidad de dinero ahorrada después de 10 semanas.
krysta
Entonces deberíamos hacer…Eso (señalando las fichas de la semana 5) se multiplica por dos. Entonces 11.
Alberto
11 más 11. 22.
krysta
Alberto
22.
Bueno, espera. No. Sería 11 más 10 porque (señalando la ficha azul).
Siempre comenzamos con el [blue chip] (Radford y Roth 2011, p. 235).
Como gran parte del trabajo algebraico en las aulas de primaria, estos estudiantes
participan en el estudio de funciones (por ejemplo, Blanton 2008; Carraher et al. 2006; Malara
y Navarra 2003; Moss y London McNab 2011): la cantidad de dinero en la alcancía de Marc es
en función del número de semanas que han transcurrido. Vemos a dos estudiantes trabajando
juntos para encontrar el valor de la función en puntos particulares. Krysta ha cometido un
error común al suponer que el valor a las 10 semanas debería ser el doble del valor a las 5
semanas. Pero con las fichas que representan las semanas 1 a 5 dispuestas ante ellos, Albert
reconoce qué es lo mismo a lo largo de las semanas y se da cuenta de que deben prestar
atención a esa ficha azul, que siempre contaban primero.
17
2.3 Llevando el álgebra temprana a las aulas de primaria
Figura 2.2El modelo de Krysta y
Albert.
Lo importante en esta lección no es simplemente que los estudiantes extiendan la secuencia para
responder los problemas planteados. Los estudiantes podían colocar fichas y contar el número de
fichas sin involucrarse en el pensamiento algebraico. Tampoco se trata de idear una regla que defina
la cantidad de dinero que hay en una alcancía en función del número de semana. Los estudiantes
pueden adivinar y comprobar, probando una secuencia de reglas:norte +1,norte +2, norte +3—hasta
que encuentren uno que se ajuste a los valores que han determinado.
Más bien, como empezamos a ver con Albert, se trata de reconocer lo que es general en todos los
problemas. El objetivo es que los estudiantes vean sus modelos no simplemente como un montón de
fichas, sino como una colección que se puede descomponer, para ver cómo se relaciona el término
número con las partes descompuestas y para ver cómo se calcula la cantidad de fichas para cada
semana. se puede calcular a partir del número de términos (Radford y Roth 2011). El trabajo de notar
la estructura subyacente para generalizar en instancias específicas es lo que hace de este un ejemplo
de pensamiento algebraico.
En la segunda escena, una clase de cuarto grado de EE. UU. está investigando qué sucede
con el producto de una expresión de multiplicación cuando un factor se incrementa en una
cantidad determinada. Ya han discutido lo que sucede cuando un factor aumenta en 1 o en 5,
y ahora consideran lo que sucede cuando un factor aumenta en 2. Antes de esta lección, a los
estudiantes se les mostraron pares de ecuaciones como las que se muestran en la figura.2.3y
se les preguntó: "Cuando sumo 2 a un factor, esto le sucede al producto".
La lección comienza cuando el maestro presenta las declaraciones de cuatro estudiantes.
1. Cuando sumo 2 a un factor, cambia según la cantidad de grupos.
2. Por 7×3 = 21 y 9×3 = 27, el producto cambia en dos 3. y por 7×3 = 21 y 7×
5 = 35, el producto aumenta en dos 7.
3. Cuando le sumo 2 a un factor, tomo el otro factor y lo multiplico por 2.
4. Cuando le sumo 2 a un factor, el producto aumenta en 2 grupos del otro factor.
La clase comenta cada afirmación, trabajando para comprender su significado.
Durante la discusión, la diferencia entre 7×3 y 9×3 está ilustrada por dibujos como
los mostrados en la Fig.2.4.
Figura 2.3Las ecuaciones
relacionadas impulsan un examen
de la estructura.
7 × 3 = 21
7 × 3 = 21
7 × 5 = 35
9 × 3 = 27
18
2 Estudio del Estado del Arte
Figura 2.4Representaciones para comparar 7×3 y 9×3
A lo largo de la discusión, el maestro pide a los estudiantes que muestren cómo las
representaciones ilustran las expresiones, describan las correspondencias entre
representaciones y expliquen por qué sus ideas funcionan para cualquier expresión de
multiplicación, no solo para 7.×3. Luego le pide a la clase que extienda su reclamo.
Maestro
anita
Hemos estado hablando de sumar 2 a un factor, y la semana pasada
hablamos de sumar 5. ¿Podríamos llegar a una conjetura que funcione para
cualquier número sumado a un factor? ¿Funciona solo porque estamos
sumando 2?
Si sumas cualquier número a uno de los factores, el otro factor
aumenta en ese número.
Varios estudiantes no están de acuerdo con la afirmación de Anita.
Maestro Déjame escribirlo para que podamos ver si todos estamos de acuerdo o en desacuerdo.
anita
kevin
Si se suma cualquier número a uno de los factores, entonces el producto
aumenta en el otro factor multiplicado por el número que se sumó al factor.
Esta debería ser nuestra conjetura de clase.
Maestro
Megan, ¿quieres añadir algo más o decir algo diferente?
megan
Es más o menos lo mismo, como si Lila estuviera ahí arriba. Cuando sumo
cualquier número a un factor, tomo el otro factor y lo multiplico por el número que
sumé a uno de los factores (Russell et al. en prensa).
Estos estudiantes se dedican al álgebra como estudio de estructuras en aritmética y
razonamiento cuantitativo (por ejemplo, Britt e Irwin 2011; Russell et al. 2011; Schifter et al. 2008a).
En diferentes estudios, los investigadores utilizan diversas estrategias para centrar a los estudiantes
en las estructuras de las operaciones. Carpintero y cols. (2003) piden a los estudiantes que evalúen
oraciones numéricas como verdaderas o falsas para llamar su atención sobre la estructura. En la
base de DavydovValorarEn el plan de estudios (Dougherty 2008), los estudiantes comparan
cantidades continuas (área, longitud, volumen o masa) sin hacer referencia a números. En la escena
anterior, los estudiantes buscan patrones en ecuaciones relacionadas. En cada uno de estos
entornos, los estudiantes aprenden a notar la regularidad, a articular generalizaciones y a explicar o
probar sus conjeturas.
Entre los objetivos de estas lecciones está que los estudiantes aprendan el lenguaje de la
generalización. Sin embargo, en el aula presentada anteriormente, el objetivo no es proporcionar a
los estudiantes el enunciado más preciso de la propiedad distributiva. Más bien, los estudiantes usan
su propio lenguaje y trabajan juntos para crear una declaración que sea lo suficientemente clara
como para que alguien fuera de la clase la entienda. Esta es una fase de lo que el
2.3 Llevando el álgebra temprana a las aulas de primaria
19
Los investigadores italianos Malara y Navarra (2003) lo denominan “balbuceo algebraico”. De manera
análoga a la forma en que los niños aprenden el lenguaje natural, los estudiantes aprenden a
comunicarse en lenguaje algebraico partiendo de su significado y, a través de la discusión colectiva,
la verbalización y la argumentación, gradualmente se vuelven competentes en la sintaxis. Estos
estudiantes de cuarto grado continuarán representando el fenómeno que están articulando con
contextos de historias, diagramas e imágenes de grupos para defender sus conjeturas.
El estudio del comportamiento de las operaciones ayuda a los estudiantes a llegar a ver
una operación no exclusivamente como un proceso o algoritmo, sino también como un objeto
matemático en sí mismo (Sfard 1991; Slavit 1999). Sin embargo, Russell y sus colegas
descubrieron que, una vez que los estudiantes notaron la regularidad en los cálculos y
formularon conjeturas, muchos asumieron que la misma regularidad se aplicaba a todas las
operaciones (Russell et al. 2011). Por ejemplo, los estudiantes pueden ser explícitos acerca de
una regla para crear expresiones de suma equivalentes (si sumas una cantidad a un sumando
y restas esa misma cantidad del otro, la suma sigue siendo la misma) y creen que el mismo
patrón se aplica a la resta o la multiplicación. . Al final de una secuencia de lecciones que
exploraron expresiones de suma equivalentes y expresiones de resta equivalentes, mientras la
clase reflexionaba sobre su trabajo, un niño de tercer grado dijo: “Cuando se nos ocurrió la
idea de ver si nuestra regla de suma funciona para la resta, pensé, por supuesto que funciona.
Y luego fue como, oh oh, no funciona, y perdí toda esperanza. Estoy feliz de haber encontrado
una regla muy similar pero diferente” (Russell et al. en prensa). Por esta razón, es importante
que los estudiantes contrasten el comportamiento de diferentes operaciones.
Aunque las dos escenas presentadas anteriormente ilustran diferentes aspectos del
álgebra, hay mucho en común. Lo más destacado es que los estudiantes piensan
analíticamente sobre números indeterminados (Radford 2014). Buscan estructura, ya
sea en una función o en el comportamiento de una operación, la clave del razonamiento
algebraico.
En ambos casos, los estudiantes vinculan representaciones espaciales y numéricas de la
estructura. En lenguaje de Radford (2011a), “la conciencia de estas estructuras y su
coordinación implica una relación compleja entre el habla, las formas de visualización e
imaginación, el gesto y la actividad sobre signos (por ejemplo, notaciones numéricas y
protoalgebraicas)” (p. .23). Warren y Cooper (2009) plantean la hipótesis de que “la abstracción
se facilita al comparar diferentes representaciones del mismo modelo mental para identificar
puntos en común que abarcan el núcleo del modelo mental” (p. 90). Moss y London McNab
(2011) teorizan que “la fusión de lo numérico y lo visual proporciona a los estudiantes un
nuevo conjunto de conocimientos poderosos que pueden apuntalar no sólo el aprendizaje
temprano de un nuevo dominio matemático sino también el aprendizaje posterior” (p. 280).
En ninguna de estas lecciones los estudiantes participan en notación algebraica. Aunque
diferentes investigadores enfatizan la notación convencional en diferentes grados, convergen
en la noción de que la notación algebraica no necesariamente indica pensamiento algebraico,
y el pensamiento algebraico no implica necesariamente el uso convencional de letras (Britt e
Irwin 2011; Radford 2011a, 2014). Los estudiantes pueden usar imágenes, gestos o lenguaje
natural para comunicar una generalización. Podrían señalar
20
2 Estudio del Estado del Arte
una pila de cubos y diga: "Este puede ser cualquier número". En ocasiones, podrían
comunicar su generalización mediante el uso de números específicos: “Estos son grupos
iguales y cada uno podría ser un millón; si sumas 1 a un factor, agregas otro grupo y el
producto aumenta en un millón”, lo que Mason (1996) llama “ver lo general a través de
lo particular”.
2.3.2 Funciones de estudiantes y profesores en las aulas
El objetivo del álgebra temprana es promover una forma de pensar: el hábito de buscar
regularidad y articular, probar y demostrar reglas o conjeturas para una clase infinita de
números. Esto se logra a través de la interacción en el aula en torno a ideas, a veces en parejas
y en grupos pequeños, pero en gran medida a través de discusiones en clase en las que los
estudiantes elaboran su propio pensamiento y se involucran con las ideas de sus compañeros.
Juntos consideran, evalúan, cuestionan y justifican hipótesis. Los estudiantes aportan
diferentes piezas de información y se basan en las explicaciones de otros para crear
conjuntamente una idea o solución completa. Durante las últimas dos décadas, ha habido un
creciente conjunto de trabajos para estudiar el impacto de dicha discusión en los resultados
del aprendizaje. Los hallazgos empíricos respaldan los supuestos beneficios de la participación
activa de los estudiantes en la discusión (Webb et al. 2014).
Para establecer un entorno en el que los estudiantes participen de esta manera, un maestro
primero debe establecer la expectativa de que los estudiantes apoyen sus ideas con explicaciones y
exploren y desafíen las ideas de los demás para asegurarse de que sigan el razonamiento de sus
compañeros (Blanton y Kaput 2008). Los profesores hacen preguntas de sondeo y aclaración para
ayudar a los estudiantes a hacer explícitos los detalles de su pensamiento. Reconocen y validan las
propuestas de los estudiantes para fomentar una discusión sostenida y ayudarlos a confrontar las
discrepancias en su pensamiento. En ocasiones, el maestro puede ofrecer sugerencias para ayudar a
los estudiantes a considerar y desarrollar nuevas opciones. El docente dirige la discusión, filtrando
las ideas de los estudiantes para llamar su atención sobre lo que el docente determina que es
pertinente y significativo (ver, por ejemplo, Cusi et al. 2011; Kazemi y Stipek 2001).
Los profesores atienden tanto a ideas correctas y bien formuladas como a ideas que están
en desarrollo o incluso incorrectas. Por ejemplo, en la primera escena anterior, la idea
incorrecta de Krysta (duplicar la cantidad de dinero después de 5 semanas para encontrar la
cantidad de dinero después de 10 semanas) es digna de atención. El maestro puede ayudar a
Krysta, y quizás a toda la clase, a examinar el resultado de duplicar los componentes del
problema para comprenderpor quésu estrategia no sirve para esta función. En la segunda
escena, hubiera sido útil discutir el error en la primera declaración de Anita si ella no la
hubiera cambiado.
Aunque muchos de estos aspectos de la interacción en el aula pueden ser relevantes para
cualquier tema de discusión, especialmente aplicable al álgebra temprana es involucrar a los
estudiantes en actos metacognitivos (Cusi et al. 2011), reflexionar sobre sus propias observaciones
para pasar a un nivel de generalización. y argumento. En lenguaje de Malara y Navarra (2003), los
estudiantes “sustituyen el acto de calcular por mirarse a sí mismos mientras
2.3 Llevando el álgebra temprana a las aulas de primaria
21
calcular” (p. 9). Franke y col. (2008) señalan que en lugar de preguntar: "¿Cómo resolviste el
problema?" (que los profesores suelen preguntar cuando la clase está trabajando en cálculos o
resolviendo problemas de cuentos), en una lección temprana de álgebra los profesores preguntan:
"¿Cómo supiste eso?" “¿Funcionará eso para todos los números?” o incluso, "¿Qué es lo que
funcionará para todos los números?"
Los profesores del proyecto de Russell et al. (en prensa) informaron que, cuando
trabajaban en temas algebraicos tempranos, notaron una característica de su enseñanza que
llamaron persistente productivo (Russell 2015). Cuando el tema de discusión es complejo y
abstracto con la oportunidad de hacer muchas conexiones, incluso después de que una idea
se haya expresado claramente y la clase parezca estar de acuerdo, si el maestro hace otra
pregunta, la clase continúa participando, ofreciendo nuevas ideas. , profundizando la
discusión. En la escena 2 se ofrece un vistazo a una permanencia productiva. Anita ha ofrecido
una afirmación correcta, que Kevin declara que podría ser la conjetura de la clase, pero el
profesor proporciona espacio para una mayor discusión. Megan ofrece una formulación
diferente, tomando una de las afirmaciones de sus compañeros del comienzo de la lección,
pero cambiando el lenguaje lo suficiente para extenderlo de sumar 2 a un factor a sumar
cualquier númeroa un factor. Sin embargo, la formulación de Megan no está completa.
Todavía hay más cosas que la clase debe considerar.
2.3.3 ¿Qué puede pasar en las aulas en general?
Varios estudios longitudinales han demostrado resultados positivos en el aprendizaje de la
enseñanza temprana de álgebra (Blanton et al. 2015b; Radford 2014; Warren y Cooper 2009). Sin
embargo, en la mayoría de estos estudios (el Proyecto de Aritmética de Nueva Zelanda (Britt y Irwin
2011) y el proyecto italiano ArAl (Malara y Navarra 2003; Cusi y Malara 2013) se encuentran entre las
pocas excepciones—las lecciones fueron impartidas o impartidas conjuntamente por
investigadores. . La siguiente pregunta es: ¿qué apoyos se necesitan para incorporar el álgebra
temprana a las clases impartidas por maestros de primaria?
Los profesores necesitan materiales curriculares. Durante los últimos quince años, una
serie de programas curriculares han infundido intencionalmente el álgebra temprana en
todos los grados (Britt y Irwin 2011; Dougherty 2008; Goldenberg y Shteingold 2008; Schifter
et al. 2008b). Algunos investigadores han descrito cuán temprano aparece el álgebra en los
planes de estudio japoneses (Watanabe 2011), Singapur y China (Cai et al. 2011). Otros
proyectos han publicado materiales para profesores para complementar sus programas
habituales (Carpenter et al. 2003; Russell et al. en prensa).
Sin embargo, la investigación sobre la enseñanza y el currículo ha revelado que existe una
diferencia sustancial entre el currículo escrito y el currículo implementado en el aula. Entre los
factores que transforman el currículo escrito en currículo implementado se encuentran las
creencias y conocimientos de los docentes, su orientación hacia el currículo, sus propias
identidades profesionales y la cultura de la escuela y el aula (Stein et al. 2007). Teniendo en
cuenta estos factores, los planes de estudio preparados pueden tener un impacto limitado en
lo que sucede en el aula. El traslado del álgebra temprana a las aulas de primaria requiere
desarrollo profesional (Blanton y Kaput 2008; Dougherty 2008).
22
2 Estudio del Estado del Arte
Los programas de desarrollo profesional en álgebra temprana comparten una serie de
características. En primer lugar, los profesores deben aprender el contenido que pretenden enseñar.
Si los profesores entienden las matemáticas como procedimientos para calcular y resolver
problemas, deben ampliar su visión para incluir la búsqueda y el examen de estructuras. Deben
comprender que no se trata de un conjunto de contenidos que “deben dominar”, sino que ellos y sus
alumnos seguirán descubriendo nuevas conexiones a través del acto de enseñar (Blanton y Kaput
2008; Dougherty 2008; Franke et al. 2008; Schifter et al. 2008). otros 2008a).
En segundo lugar, especialmente si los profesores no han tenido experiencia en examinar
sistemáticamente el pensamiento de los estudiantes, deben reorientar su práctica para desarrollar la
disposición de escuchar las ideas matemáticas de los estudiantes y aprender a situar esas ideas en relación
con el contenido en el que está trabajando la clase.
En tercer lugar, los profesores deben aprender a dirigir debates. Deben aprender a
analizar las ideas de sus alumnos en el momento y a emitir juicios sobre qué ideas
retomar. Deben aprender tipos de preguntas y respuestas que llamarán la atención de
los estudiantes sobre el contenido que se explorará y les ayudarán a establecer nuevas
conexiones.
Varios programas tempranos de desarrollo profesional de álgebra reportan evidencia
anecdótica de éxito (Blanton 2008; Cusi et al. 2011; Dougherty 2008; Franke et al. 2008;
Schifter et al. 2008a). Britt e Irwin (2011) y Russell et al. (enviados) ofrecen resultados
cuantitativos del aprendizaje de los estudiantes.
2.3.4 Conclusión
Como lo ilustra la investigación descrita en esta tercera sección del capítulo de estudio
temático, el álgebra temprana ofrece la promesa no solo de preparar a los estudiantes para
sus próximos cursos de álgebra, sino también de profundizar su comprensión de las
propiedades de los sistemas numéricos en los que están aprendiendo. calcular e inculcar
hábitos de prácticas matemáticas como buscar estructura y expresar regularidad. Las
investigaciones han demostrado que, con docentes preparados en términos de contenido y
práctica pedagógica, los estudiantes jóvenes interactúan con este contenido en el contexto de
sus aulas, lo que genera resultados de rendimiento positivos. Sin embargo, para implementar
programas de álgebra temprana a gran escala se requiere inversión tanto en materiales
curriculares como en desarrollo profesional a largo plazo.
2.4 Una perspectiva neurocognitiva sobre el álgebra temprana
En esta cuarta sección del capítulo, destacamos investigaciones recientes en neurociencia educativa
matemática que están directamente relacionadas con el pensamiento algebraico, investigaciones que
ofrecen nuevos conocimientos sobre las representaciones y los métodos de resolución asociados con la
actividad algebraica y que, por lo tanto, pueden servir para informar el campo de la educación temprana.
investigación de álgebra.
2.4 Una perspectiva neurocognitiva sobre el álgebra temprana
23
Las investigaciones muestran que muchos estudiantes de secundaria de Singapur, en lugar de utilizar álgebra de letras simbólicas para resolver los
problemas escritos de álgebra que se encuentran en los textos de secundaria, continúan utilizando el método de resolución de problemas de dibujar un
diagrama, conocido localmente como método modelo (Khng y Lee 2009). . Una posible razón de este comportamiento es que se percibe que el álgebra es el
más abstracto de los dos métodos. Los hallazgos de dos estudios de neuroimagen que utilizaron imágenes de resonancia magnética funcional (fMRI)
proporcionaron evidencia que respalda esta percepción. Se utiliza un marco teórico para formular hipótesis sobre por qué esto es así. A partir del trabajo
transversal y de desarrollo en aritmética, Advertimos contra el uso de datos con participantes adultos para generalizar sobre cómo pueden responder los
cerebros de los alumnos de primaria y sobre cómo aprenden a usar el método del modelo para (a) representar información cuantitativa y (b) resolver
problemas escritos aritméticos y problemas algebraicos encontrados en primaria. textos. Los investigadores deben ser conscientes de las cuestiones de
desarrollo relacionadas con cómo el conocimiento del método del modelo puede ayudar a los principiantes en álgebra a aprender a utilizar el álgebra formal
para resolver los problemas planteados de álgebra que se encuentran en los textos secundarios. El trabajo de neuroimagen con aritmética podría servir
como señal para guiar futuras investigaciones en razonamiento algebraico. Los investigadores deben ser conscientes de las cuestiones de desarrollo
relacionadas con cómo el conocimiento del método del modelo puede ayudar a los principiantes en álgebra a aprender a utilizar el álgebra formal para
resolver los problemas planteados de álgebra que se encuentran en los textos secundarios. El trabajo de neuroimagen con aritmética podría servir como
señal para guiar futuras investigaciones en razonamiento algebraico. Los investigadores deben ser conscientes de las cuestiones de desarrollo relacionadas
con cómo el conocimiento del método del modelo puede ayudar a los principiantes en álgebra a aprender a utilizar el álgebra formal para resolver los
problemas planteados de álgebra que se encuentran en los textos secundarios. El trabajo de neuroimagen con aritmética podría servir como señal para
guiar futuras investigaciones en razonamiento algebraico.
2.4.1 Método modelo de Singapur para resolver problemas de
aritmética y álgebra
Aunque muchas heurísticas de resolución de problemas se enseñan en el nivel primario
(División de Planificación y Desarrollo Curricular, 2006), el método modelo (Ng y Lee, 2009)
tiene mayor vigencia. Las posibilidades del método del modelo significa que puede usarse
para resolver problemas aritméticos (tercio superior de la Fig.2.5) y problemas escritos de
álgebra (tercio medio de la figura.2.5) que normalmente requieren la construcción de
ecuaciones lineales de hasta dos incógnitas (el método algebraico se muestra en el tercio
inferior de la Fig.2.5). El problema verbal de aritmética que se ilustra en la figura es:María tiene
12 fichas rojas y 4 veces más fichas azules. ¿Cuántas fichas tiene María en total?El problema
planteado de álgebra que se ilustra en la misma figura es:Una escuela compró algunos libros
de matemáticas y cuatro veces más libros de ciencias. El costo de un libro de matemáticas era
$12 mientras que un libro de ciencias costaba $8. En total, la escuela gastó $528. ¿Cuántos
libros de ciencias compró la escuela?
2.4.2 Diferentes métodos utilizados para resolver problemas planteados de
álgebra secundaria
Aunque es aceptable utilizar métodos alternativos para resolver problemas planteados de álgebra, el uso
continuo de estas estrategias alternativas de resolución de problemas por parte de los estudiantes puede no
serles de utilidad a largo plazo. Es vital que los estudiantes adquieran un sonido
24
2 Estudio del Estado del Arte
Dejar
Sea el número de libros de texto de matemáticas y el número de libros de ciencias.
Figura 2.5Un problema verbal de aritmética y un problema verbal de álgebra, ambos resueltos mediante el
método del modelo, seguido del método algebraico para el problema de álgebra.
conocimiento de álgebra y los procedimientos y habilidades relacionados si desean participar
en matemáticas superiores y otras disciplinas como las ciencias y la economía. En Singapur,
muchos estudiantes de secundaria continúan utilizando heurísticas de resolución de
problemas, en particular el método modelo para resolver problemas escritos de álgebra, lo
que puede crearles dificultades cuando intentan coordinar su antiguo método con el nuevo
que se les enseña (Khng y Lee 2009). ). En un estudio (Ng 2012), participaron 124 estudiantes
de Secundaria 2 (mayores de 14 años) de cinco escuelas; se les dio una hora para responder a
10 problemas planteados de álgebra. Aquí se analizan las soluciones a dos problemas
(consulte la Tabla2.1y la figura.2.6).
Cifra2.6muestra cómo (a) el método algebraico, (b) un método semialgebraico y
(c) se utilizaron las heurísticas de resolución de problemas que se enseñan en la escuela primaria de Singapur
25
2.4 Una perspectiva neurocognitiva sobre el álgebra temprana
Tabla 2.1Problemas planteados presentados a estudiantes de secundaria 2 y las tasas de éxito relacionadas
en función del álgebra (A) versus el método modelo (MM)
Los problemas verbales de álgebra
Un (C)
Un (CI)
MM (C)
MM (CI)
1
Problema del desfile: hay 900
personas en un desfile. Hay 40
hombres más que mujeres. Hay el
doble de niños que de hombres.
¿Cuántos niños hay?
39
52a
36
48
11
26
32
74
4
Problema de gastos: Ahmad tiene cuatro veces
59
81
14
19
13
30
30
70
más dinero que Betty. Después de que Ahmad
gastó $160 y Betty gastó $40, cada uno tenía
cantidades iguales de dinero. ¿Cuánto dinero
tenía Ahmad al principio?
NotaC e IC representan respuestas correctas e incorrectas respectivamente.
aRepresenta
el porcentaje de quienes utilizaron el método. El total no es 100 % porque no se registran todos los
métodos. Los problemas se nombran para facilitar la discusión.
para resolver estos problemas. Cualquiera de las incógnitas o generadores se puede utilizar
para resolver un problema planteado de álgebra. La solución de álgebra al problema del
desfile se encontró usando el número de niños como generador y representando esta
incógnita con la letraX.El método semialgebraico implicó una combinación del método del
modelo y álgebra. La cartaXen cada rectángulo sugiere que el estudiante sabía que el
rectángulo representaba la incógnitaX,pero se utilizó el “hacer-deshacer” para encontrar su
valor. Quizás el estudiante pensó que la solución era algebraica porque la letraXse utilizó para
anunciar la respuesta. La solución ilustrada en el panel del extremo derecho muestra cómo se
utilizó el método del modelo. En los dos últimos métodos, el número desconocido de mujeres
fue el generador.
El dibujo modelo del problema del gasto representaba correctamente la cantidad que
tenían Ahmad y Betty. En lugar de construir un sistema de ecuaciones equivalentes para
encontrar el valor deX,la cantidad de dinero en poder de Ahmad fue encontrada mediante una
serie de procesos de hacer y deshacer. A la izquierda del dibujo del modelo, la letraXse utilizó
para representar la cantidad de dinero que tenía cada amigo; sin embargo, nunca volvió a
aparecer en el proceso de resolución.
2.4.3 Neuroimagen, método modelo y álgebra
Dos estudios investigaron la naturaleza de las respuestas cerebrales cuando se pidió a
participantes adultos jóvenes que usaran el método de modelo o álgebra para representar y
luego resolver problemas planteados de álgebra. Lee y cols. (2007) se centraron en las etapas
iniciales de la resolución de problemas: la de traducir información textual en una
representación modelo o en una ecuación algebraica. A dieciocho adultos que eran usuarios
competentes de los métodos algebraico y modelo se les presentaron problemas planteados
de álgebra. Luego se les pidió que representaran la información textual ya sea como
ecuaciones algebraicas o representaciones de modelos y luego validaron si la
Figura 2.6Métodos de resolución de problemas adoptados por estudiantes de 2º de secundaria para los problemas de desfile y gasto.
por ejemplo, método modelo.
Heurística de resolución de problemas,
26
2 Estudio del Estado del Arte
2.4 Una perspectiva neurocognitiva sobre el álgebra temprana
27
Las soluciones presentadas coincidían con sus representaciones. En un estudio
posterior, Lee et al. (2010) se centraron en la fase de solución de la cadena de resolución
de problemas. Aquí se pidió a 17 participantes adultos jóvenes que encontraran el valor
de la incógnita cuando la información se presentaba como una representación modelo o
como una ecuación algebraica. Aunque ambos estudios demostraron que las dos
representaciones eran comparables en términos de área de activación cerebral en el
sentido de que ambas activaban áreas vinculadas a la memoria de trabajo y al
procesamiento cuantitativo, el álgebra imponía mayores demandas de atención. Evaluar
lo desconocido utilizando ecuaciones algebraicas requirió “mayores recursos de
procesamiento numérico y cognitivo general” (Lee et al. 2010, p. 591). Por razones éticas,
no se realizaron estudios con niños de escuelas primarias de Singapur.
2.4.4 Por qué el álgebra puede ser el método que requiere más recursos
de los dos métodos
El siguiente marco teórico (Ng 2012) constituye una base para comprender por qué el
álgebra podría consumir más recursos que el método del modelo. Con el método del
modelo, el valor representado por el rectángulo que representa la incógnita se puede
encontrar aplicando el proceso de hacer y deshacer. Con álgebra, la información del
texto se traduce en una ecuación algebraica. El valor de la incógnita se evalúa mediante
la construcción de una serie de ecuaciones equivalentes. Así, la transición del método
del modelo al álgebra requiere que los estudiantes sepan que el papel del rectángulo lo
asume la letra.
2.4.4.1 La transición a las letras como incógnitas requiere una ampliación del
conocimiento relacionado con el uso de las letras
Las letras tienen diferentes significados en diferentes situaciones (por ejemplo, Booth 1984; Kieran
1989; Küchemann 1981; Usiskin 1988). Resolviendo lo desconocidoXen cualquier ecuación puede
requerir primero simplificar las expresiones algebraicas a cada lado del signo igual y luego
transformar las ecuaciones que contienen estas expresiones simplificadas en ecuaciones
equivalentes más simples. Esta construcción de conocimiento no es una tarea fácil, ya que requiere
desarrollar nuevas estructuras cognitivas y conexiones asociadas con el funcionamiento de las letras.
2.4.4.2 Las expresiones algebraicas son formas legítimas de respuesta
Cuando se utiliza el método del modelo para resolver problemas escritos algebraicos, la
información capturada por el modelo se traduce en expresiones aritméticas, que pueden
evaluarse y se obtiene una única respuesta numérica al operar sobre la aritmética.
28
2 Estudio del Estado del Arte
expresión. Por ejemplo, el número de niños que participaron en el desfile se encontró
escribiendo primero esta expresión aritmética:d195 - 2Þ þ40þ40 cuya suma resultante es 470.
Sin embargo, con el álgebra, los estudiantes deben poder aceptar expresiones algebraicas
como respuestas legítimas (Collis 1975; Davis 1975). La expresión algebraicaXþx=2þ ðx=2-40Þ
En realidad representa el número de niños en el desfile. Como los operadores todavía son
visibles, muchos estudiantes novatos de álgebra experimentan un dilema producto-proceso
(Davis 1975); no tratan esta expresión algebraica como una respuesta legítima. Los
estudiantes tienen que aprender a aceptar que la expresión algebraicaXþx=2þ ðx=2-40Þ
representa el número de niños en el desfile, y que esta expresión es una entidad única. Los
primeros trabajos en álgebra comienzan cuando los estudiantes son capaces de aceptar que
hay una falta de cierre en las formas algebraicas (Collis 1975).
2.4.4.3 Las representaciones algebraicas ya no se adhieren al mismo conjunto de
convenciones que sustentan el uso de números
En aritmética, operar con números enteros se puede expresar como una sola entidad,
como lo ilustra esta ecuación aritmética:d195 - 2Þ þ40þ40¼470. Para complicar aún más
las cosas, la suma de dos fracciones se puede expresar como la concatenación de
dos números. Por ejemplo, la suma de 2þ1
3se
puede escribir uno al lado del otro: 213.
Allá
No existe una correspondencia uno a uno entre cómo se pueden expresar los números y cómo
Las expresiones algebraicas se pueden simplificar. Por ejemplo, con álgebra,XþX
2no
puede ser
simplificado aXX 2. Así, el paso del método del modelo al álgebra como problema
La herramienta de resolución requiere la construcción de nuevos conocimientos, es decir, que las
representaciones algebraicas ya no se adhieran al mismo conjunto de convenciones que sustentan el
uso de números (Kieran 1989).
2.4.4.4 El conocimiento de la igualdad-equivalencia de
expresiones algebraicas es crucial
El cambio del enfoque de modelos al uso del álgebra como herramienta de resolución de
problemas requiere la construcción del conocimiento de que una ecuación algebraica es (a)
una estructura que vincula dos expresiones algebraicas diferentes y (b) que se pueden
construir dos o más expresiones algebraicas diferentes. para representar la misma situación.
Este aspecto de igualdad-equivalencia del álgebra (ver Kieran 1989, 1997) requiere un
conocimiento sólido de las propiedades de la igualdad: lo reflexivo (lo mismo es igual a lo
mismo), lo simétrico (igualdad de los lados izquierdo y derecho de cada ecuación), y la
transitiva (sia = bysegundo = c,entoncesa=c).
En aritmética, el signo igual tiende a ser tratado como un símbolo de procedimiento que
anuncia la respuesta después de que se ha realizado una serie de operaciones (Kieran 1981;
MacGregor y Stacey 1999; Stacey y MacGregor 1997). Por ejemplo, cuando se utilizó el método
del modelo para resolver la cantidad de dinero que tenía Ahmad, el
29
2.4 Una perspectiva neurocognitiva sobre el álgebra temprana
Se utilizó el signo igual al final de la expresión aritmética $160–$40 para anunciar la respuesta
(es decir, la diferencia de $160 y $40 es $120). Compare ese significado del signo igual con el
que se requiere cuando se utiliza álgebra para resolver el mismo problema. La investigación
(Kieran 1997; Sfard y Linchevski 1994) muestra que hay dos conjuntos principales de
demandas conceptuales asociadas con la resolución de ecuaciones: simplificar expresiones y
trabajar con igualdad-equivalencia. Las exigencias cognitivas necesarias para simplificar
expresiones ya se han discutido en relación con la aceptación de expresiones algebraicas
como respuestas legítimas; por lo tanto, el enfoque aquí es el requisito de que la resolución de
ecuaciones algebraicas implica dos conceptualizaciones significativamente diferentes de
igualdad-equivalencia (Kieran 1997).
Equivalencia reflexiva (igualdad de los lados izquierdo y derecho de cada ecuación):
En una ecuación condicional, para un valor específico deX,los valores resultantes de las
expresiones a ambos lados del signo igual son los mismos. Por ejemplo, en el problema
del gasto, la ecuación 4X -160¼X -40, la expresión 4x – 160 es igual a la expresiónX -40
cuandoXtiene el valor de 40.
Equivalencia de ecuaciones sucesivas en el sistema de ecuaciones construido para
resolver el problema:Para resolver una ecuación dada, el procedimiento convencional es
construir la cadena vertical de ecuaciones equivalentes que dará como resultado la
resolución del valor desconocido. La equivalencia se logra de dos maneras. Primero, la
equivalencia se mantiene reemplazando una expresión con una expresión equivalente.
En el problema del desfile, la expresiónXþX 2þX 2-40 en la ecuación
-XþX 2þX 2-40¼900 se transformó en la expresiónd4X-80Þ=2 y era
reemplazado por este último para producir la siguiente ecuación4X-80 2
¼900 en la ecuación
cadena de resolución. En segundo lugar, la equivalencia se logra reemplazando una ecuación con
una ecuación equivalente (es decir, una que tenga la misma solución que la ecuación anterior en la
cadena) sin tener que reemplazar la expresión anterior con otra ecuación equivalente.
expresión tranquila. La ecuacion4X-802 ¼900 es equivalente a la ecuación4X-8022¼900 - 2: En este caso la equivalencia de la ecuación anterior se mantiene
multiplicando ambos lados de la ecuación por la misma cantidad. La expresion4X-802no se
reemplaza por ninguna otra expresión.
Comparar y contrastar la solución del problema de Parade utilizando álgebra con el
método del modelo sugiere que se necesitan ajustes cognitivos importantes ('adaptaciones'
en lugar de asimilaciones) para resolver ecuaciones algebraicas. Estas importantes
adaptaciones pueden ayudar a explicar por qué los estudios de neuroimagen han descubierto
que, de los dos métodos, el álgebra tendía a activar la parte procedimental del cerebro y
requería más recursos de atención. Para mantener la igualdad-equivalencia de la serie de
ecuaciones en la cadena de resolución de ecuaciones, se pusieron en práctica reglas y
procedimientos apropiados específicos para operar con letras. Estas reglas y procedimientos
ya no eran idénticos a los utilizados para operar con números. Con el método del modelo,
resolver los valores desconocidos implicaba trabajar sólo con números; por lo tanto, no hubo
conflicto en las convenciones utilizadas y, por lo tanto, es posible que hayan estado menos
impulsadas por los procedimientos. En el método del modelo, resolver la incógnita.
30
2 Estudio del Estado del Arte
Implica los procesos de hacer y deshacer. Con álgebra, resolver lo desconocido
requiere el uso de operaciones directas y exige el mantenimiento de la
equivalencia de cada ecuación algebraica.
2.4.5 Los adultos y los niños competentes procesan la información
aritmética de manera diferente
La competencia en aritmética es fundamental para el trabajo relacionado con el razonamiento
algebraico (English y Warren 1998; Lannin et al. 2006). El desarrollo de habilidades aritméticas se
basa en procesos cognitivos como la memoria de trabajo, la codificación y recuperación de la
memoria, la toma de decisiones y la recuperación. El desarrollo de tales procesos es complejo y se
producen cambios significativos en el cerebro de los niños en desarrollo (p. ej., Kwon et al. 2002), lo
que pone a disposición recursos de procesamiento adicionales que permiten un procesamiento más
eficiente de operaciones cognitivas complejas (Kail y Park 1994).
Los estudios de neuroimagen realizados con adultos y los estudios transversales con
adultos y niños en Estados Unidos a quienes se les pidió que resolvieran tareas
aritméticas simples, sugieren que es mejor no asumir que los cerebros de adultos y
niños exhiben activaciones similares cuando se les pide que realicen tareas similares.
tareas. Los estudios con adultos encontraron que la recuperación versus el conteo
procedimental activaba diferentes partes del cerebro (p. ej., Grabner et al. 2009). Otros
estudios que exploraron las respuestas cerebrales de adultos que aprendieron a
resolver problemas aritméticos de varios dígitos mostraron que una mayor competencia
con operaciones aritméticas aprendidas recientemente mostraba una actividad reducida
en ciertas partes del cerebro y una mayor actividad en otras partes del cerebro (p. ej.,
Ischebeck et al. otros 2007). aþb¼?,dóndeaybson de un solo dígito. Aunque ambos
grupos pueden optar por utilizar las mismas estrategias para resolver los mismos
problemas, las estrategias pueden requerir más esfuerzo para los niños que para los
adultos (Rivera et al. 2005).
Las investigaciones muestran que los niños pequeños usan una de cuatro estrategias para sumar
oraciones numéricas canónicas como 8þ5¼?,pasar de la estrategia más esforzada de procedimientos
de conteo, como contar con los dedos, al conteo verbal y a la recuperación más eficiente basada en
la memoria de operaciones numéricas o descomposición (p. ej., 8 + 2 + 3). No se puede suponer que
el aprendizaje en adultos o los contrastes entre niños y adultos sean comparables al aprendizaje en
el cerebro en desarrollo (Karmiloff-Smith 2010).
Debido a que no se sabe casi nada sobre los cambios cerebrales que acompañan la transición del
uso del conteo procedimental a la recuperación directa, que es un aspecto crítico del desarrollo
aritmético temprano de los niños, Cho et al. (2011) examinaron cómo 103 niños del norte de
California (con edades comprendidas entre 7,0 y 9,9 años, 54 niñas) utilizaron estrategias para
resolver problemas de suma canónica. Esta elección de participantes fue estratégica porque los
niños dentro de este grupo de edad reducido comienzan adesarrollarestrategias eficientes de
resolución de problemas, en este caso el uso de estrategias de recuperación para resolver
2.4 Una perspectiva neurocognitiva sobre el álgebra temprana
31
Oraciones aritméticas canónicas. Sus estudios de neuroimagen demostraron que las estrategias de
recuperación y conteo durante la fase de desarrollo del aprendizaje se caracterizan por distintos
patrones de actividad en una red distribuida de regiones cerebrales involucradas en la resolución de
problemas aritméticos y la recuperación controlada de hechos aritméticos. Los hallazgos sugieren
que la reorganización y el refinamiento de los patrones de actividad neuronal en múltiples regiones
del cerebro desempeñan un papel dominante en la transición a la resolución de problemas
aritméticos basados en la memoria. El trabajo de Cho et al. enfatiza que los cambios en el desarrollo
no pueden inferirse ni caracterizarse mediante una comparación general entre adultos y niños o
examinando los efectos del entrenamiento sobre problemas nuevos en adultos.
La naturaleza plástica del cerebro ofrece oportunidades pedagógicas mediante las cuales los
profesores pueden enseñar para el desarrollo del conocimiento basado en la memoria. Enseñar a los
niños a utilizar estrategias eficientes para realizar operaciones mentales aumenta el rendimiento
tanto de los niños con rendimiento normal como de aquellos que pueden tener dificultades para
recordar operaciones numéricas. Cuando los niños pueden realizar operaciones aritméticas con
precisión y automaticidad, tienen mayores oportunidades de realizar tareas matemáticas más
complejas (Menon 2010), como explorar relaciones entre números e identificar patrones que
sustentan secuencias numéricas. Este trabajo de desarrollo con aritmética advierte contra la
extrapolación del trabajo de Lee et al. (2007, 2010) con adultos competentes a niños. Sin embargo,
estos estudios sugieren algunas preguntas muy interesantes e importantes. ¿Cómo responden los
cerebros de los niños (de 9 a 10 años) cuando aprenden por primera vez a utilizar el método del
modelo para representar información cuantitativa de expresiones aritméticas canónicas? ¿Sus
cerebros responderán de manera diferente a los mismos conjuntos de problemas cuando puedan
utilizar el método del modelo de manera competente? ¿Cómo responderán los cerebros de estos dos
grupos de niños (los principiantes y los usuarios competentes) cuando aprendan por primera vez a
utilizar el método del modelo para resolver problemas escritos algebraicos y nuevamente cuando
utilicen álgebra formal para resolver los mismos conjuntos de problemas?
2.5 Comentarios finales
Hemos proporcionado en este capítulo de estudio temático algunos ejemplos de la investigación
existente en el aprendizaje y la enseñanza del álgebra temprana, así como un bosquejo de la historia
y evolución de este campo. Hemos descrito el estado actual de la investigación con respecto a la
naturaleza del pensamiento algebraico temprano, sus procesos y sus áreas de contenido
matemático. Esta investigación ha arrojado ideas sobre enfoques para desarrollar el pensamiento
algebraico temprano de los estudiantes, pero también ha señalado la necesidad de apoyo de los
profesores en esta área. Ha producido marcos teóricos para caracterizar el pensamiento algebraico,
la generalización de patrones y el pensamiento funcional, pero aún queda mucho por hacer,
especialmente con respecto a teorizar los aspectos algebraicos del trabajo de los estudiantes con
números, operaciones y propiedades. El desarrollo y uso de entornos de herramientas digitales que
puedan fomentar el crecimiento del pensamiento algebraico temprano en el joven estudiante es otra
área subdesarrollada en este campo. Actual
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2 Estudio del Estado del Arte
La investigación también nos ha alertado, a través de sus estudios neurocognitivos, sobre las
diferentes demandas atencionales que plantea el método del modelo esquemático versus el método
algebraico alfanumérico de representación y solución de problemas. Cerramos con el comentario de
que el campo de la investigación en álgebra temprana es relativamente joven, un campo en el que
actualmente se están llevando a cabo trabajos nuevos y apasionantes y que ofrece la promesa de
resultados igualmente interesantes e informativos en los años venideros.
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Capítulo 3
Resumen y mirada hacia el futuro
Este estudio temático, con su esbozo de la historia y evolución del campo del álgebra
temprana, ha destacado la investigación relacionada con la naturaleza del álgebra temprana,
su aprendizaje y su enseñanza. Hemos observado, en particular, que el pensamiento
algebraico temprano no se desarrolla por sí solo sin un apoyo educativo adecuado. Por eso,
de cara al futuro, recomendamos que se lleven a cabo más investigaciones en las siguientes
áreas:
•
•
•
•
•
•
•
La naturaleza de la cultura del aula y el papel del profesor en el fomento del razonamiento
algebraico temprano.
Las formas de actividad curricular que apoyan el pensamiento algebraico temprano.
La naturaleza del desarrollo profesional que apoya la capacidad de los docentes para fomentar el
pensamiento algebraico temprano en el aula.
Teorizar sobre el estudio de números, operaciones y propiedades en el contexto del
álgebra temprana.
El uso de técnicas de neuroimagen para informar el aprendizaje y la enseñanza del álgebra
temprana.
El desarrollo y uso de herramientas digitales para facilitar la enseñanza y el aprendizaje del
álgebra temprana.
El impacto del pensamiento algebraico temprano en el estudio posterior de álgebra de los estudiantes.
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©El autor(es) 2016
C. Kieran et al.,álgebra temprana,ICME-13 Encuestas Tópicas,
DOI 10.1007/978-3-319-32258-2_3
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presentación en el Grupo de Estudio del Tema 10 del 13º Congreso Internacional de Educación
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