Historia de las cónicas. Apolonio de Perga (262 ac.- 190 ac)El trabajo elaborado para la construcción de las cónicas tuvo la intervención de muchos matemáticos en la historia, sin embargo, se puede hacer mención del matemático Apolonio de Perga, quien realizo Tratado de las cónicas. Descubrió que las cónicas se podían clasificar de tres tipos: elipses, hipérbolas y parábolas; también demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes como la de reflexión. En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrollo un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada geometría analítica. El resultado más sorprendente de la geometría analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado de dos variables representan secciones cónicas, esto fue gracias a Jan Kilt. Sin lugar a dudas las cónicas son de las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. El astrónomo alemán Johannes Kepler descubrió que las orbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos. Más tarde el célebre matemático y físico ingles Isaac Newton (16421727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica. DEFINICION DE LA SECCION CONICA Y SUS GRAFICAS Círculo Elipse (h) Parábola (h) Hipérbola (h) Definición: Una sección cónica es la Elipse (v) intersección de un plano y un Parábola (v) Hipérbola (v) cono. Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear un círculo, un elipse, una parábola o una hipérbola; o en el caso especial cuando el plano se pone en contacto con el vértice: un punto, una línea o 2 líneas intersectadas. Punto Línea Línea doble La ecuación general de una sección cónica: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos, F y F' , llamados focos, es constante. Elipse Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma. Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que: d(P,F)+d(P,F')=2⋅a Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente. Elementos de la elipse Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse: 1. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría. 2. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría. 3. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos. 4. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes. 5. Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c. 6. Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c. 7. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a. 8. Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b=a2−c2−−−−−−√ 9. Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x Ecuación de la elipse Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0) La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por: (x−x0)2a2+(y−y0)2b2=1 Donde: x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse a : Semieje de abcisas b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b
