Triángulos: Geometría 8° Básico - Guía y Actividades

MATEMÁTICA
8º Básico
GEOMETRÍA
Triángulos
¿Qué es un triángulo?
Desde pequeños hemos observado y entendido el mundo a partir de sus formas. El
estudio de la geometría ha permitido que no nos quedemos sólo en la observación, sino
también en la replicación de este mundo, es decir, en su imitación por construcción. En
esta oportunidad, centraremos nuestra atención en los triángulos, polígonos que se han
utilizado a lo largo de la historia para crear y construir algunas de las maravillas presentes
hasta nuestros días.
De esta manera, el objetivo de estas páginas es que amplíes tus conocimientos en
relación a esta figura y también puedas identificar cuál es su importancia y utilidad en la
vida diaria.
Actividad: Instrucciones: Observa con atención las imágenes que aparecen a
continuación y responde las preguntas que se plantean por cada una de ellas
Imagen 1:
Imagen 1: ¿Cuál es la utilidad de
los triángulos que aparecen en la
imagen?
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Triángulos
Imagen 2
Imagen 2: ¿Qué conocimientos sobre triángulos son necesarios para la
construcción de este puente de tallarines?
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Imagen 3:
Imagen 3: ¿Qué conclusión podrías
señalar de la imagen?
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Triángulos
Red conceptual
A continuación encontrarás una red conceptual que pretende explicar de manera
sintética a los triángulos
TRIANGULOS
DESIGUALDAD
TRIANGULAR
CLASIFICACION
ELEMENTOS
Medida de lados
Medida de ángulos
Teorema de Pitágoras
Instrucciones: A partir de la red conceptual, responde las siguientes preguntas:
1. ¿Qué aprenderás en esta unidad?
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2. ¿Por qué el teorema de Pitágoras se relaciona con la clasificación de los triángulos según la
medida de sus ángulos?
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Triángulos
¿Qué es un triangulo?
Como ya lo señalamos en un inicio, los triángulos son los polígonos más sencillos y
simples de construir. Las principales características que ya debes conocer de ellos están
ser el polígono con el menor número de lados, contar con 3 vértices y tres ángulos que le
dan su nombre geométrico, no poseer diagonales, que sus ángulos interiores sumen 180
grados, y que los exteriores sumen 360 grados (esto ultimo como característica de todos
los polígonos) y que solo los hay convexos.
Dentro de sus variadas utilizaciones, los encontramos presentes en la construcción de
la pirámides de Egipto, en la torre de pisa, en los soportes de las montañas rusas, etc. Su
inclusión en tan variadas actividades se debe, entre otras cosas, a que a partir de los
triángulos se puede construir cualquier otro polígono convexo, facilitando el cálculo de
área y de ángulos de estos.
Teniendo presente las características mas elementales de los triángulos, es que
podemos fijar como objetivo que conozcas a fondo sus particularidades y algunos de los
teoremas asociados a el. De esta manera se abordara:
a)
La desigualdad triangular (condición necesaria para la construcción de
Triángulos)
b) Clasificación de triángulos
c)
Elementos secundarios de los triángulos
d) Teorema de Pitágoras y su reciproco
a) Desigualdad triangular
Cuando hablamos de desigualdad triangular nos referimos a dos magnitudes que no son
iguales (no tienen la misma medida), sino que siempre una es > o < (mayor o menor) que la
otra. Este concepto es aplicable a los triángulos pues existe una condición o cláusula que
se debe cumplir para poder trazar o construir triángulos que señala lo siguiente: En todo
triangulo la suma de las medidas de dos de sus lados es siempre mayor que la medida del
tercer lado. Es decir, si a, b y c son las medidas de un triangulo, entonces:
Triángulos
b
A
a+b>c
a+c>b
c+b>a
c
B
C
a
Si la suma de los lados de un triangulo es un igual o menor que el tercer lado este
triangulo no se puede construir.
Por ejemplo, un triangulo de lado 3cm, 5 cm. y 2 cm. no podría construirse porque
no se cumpla la desigualdad triangular.
3cm + 5 cm > 2 cm
3 cm + 2 cm = 5cm
5 cm + 2 cm > 3 cm
b) Clasificación de triángulos
Como ya sabrás, los triángulos pueden clasificarse según la medida de sus lados y de
sus ángulos
b.1) Clasificación según la medida de sus lados: los triángulos pueden clasificarse en
equilátero, isósceles y escaleno.
b.1.1) Equilátero: sus tres lados tienen igual medida
b.1.2) Isósceles: dos de sus lados tienen igual medida
b.1.3) Escaleno: sus tres lados tienen distintas medidas
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Triángulos
b.2) Clasificación según la medida de sus ángulos: los triángulos pueden clasificarse en
acutángulo, obtusángulo y rectángulo
b.2.1) Acutángulo: sus tres ángulos son agudos (menor de 90 grados)
b.2.2) Obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90 grados y menor de 180
grados)
b.2.3) Rectángulo: uno de sus ángulos es recto (mide 90 grados). Este tipo de triangulo
tiene nombres particulares para sus lados. Aquellos que son adyacentes al ángulo recto se
llaman catetos y aquel lado que se encuentra opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa
(siempre es el lado de mayor medida). De esta manera, un triangulo rectángulo tiene dos
catetos y una hipotenusa.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Conocer estas características nos permite obviar ciertas explicaciones para su
construcción y análisis.
c) Elementos secundarios de los triángulos
En un triangulo podemos distinguir entre elementos primarios y secundarios
c.1) Elementos primarios: son los que poseen todos los polígonos, como vértices, lados,
ángulos interiores, ángulos exteriores y diagonales (recordemos que los triángulos no
tienen diagonales)
c.2) Elementos secundarios: son aquellos elementos que son característicos de los
triángulos como alturas, bisectrices, simetrales y transversales de gravedad.
Triángulos
c.2.1) Alturas: son los segmentos determinados por las rectas trazadas desde cada vértice
del triangulo cortando al lado opuesto, o a una prolongación de este, en ángulo recto.
Las tres alturas, o prolongaciones de estas, coinciden en un punto llamado ortocentro (H).
c.2.2) Bisectrices: corresponden a cada una de las rectas que dividen a los ángulos
interiores del triangulo en dos ángulos de igual medida. Las tres bisectrices se cortan en
un punto llamado incentro (I), punto que además es el centro de una circunferencia
inscrita en el triangulo.
c.2.3) Simetrales: corresponden a rectas perpendiculares a cada lado del triangulo que
pasan por el punto medio de estos. El punto de intersección de las simetrales se
denomina circuncentro (C), y se encuentra a igual distancia de cada uno de los vértices
del triángulo, dando origen a una circunferencia circunscrita al triangulo.
Triángulos
c.2.4) Transversales de gravedad: corresponden a las rectas que unen cada vértice con
el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las transversales de
gravedad se denomina baricentro o centro de gravedad (G).
Es importante destacar que dependiendo de las características del triángulo (si es
isósceles, acutángulo, etc.) dependerá a su vez la construcción de cada elemento
secundario y de la ubicación del punto de intersección de estos.
d) Teorema de Pitágoras y su reciproco
El teorema de Pitágoras ha sido utilizado a lo largo de la historia para la
construcción de monumentos y templos, como es el caso de los egipcios y sus pirámides,
extendiendo su uso a otros campos como la astronomía.
Este teorema se aplica en un triangulo rectángulo, relacionando las medidas de
sus catetos con el de su hipotenusa. Señala lo siguiente:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos”
Hipotenusa
c
Es decir, c2 = a2 + b2
Cateto 2 b
a
Cateto 1
Triángulos
Por ejemplo, en el triangulo ABC, rectángulo en C, tenemos que:
a = 3cm
b = 4cm
A
c = 5cm
b
C
c
a
B
Aplicando el teorema, podemos verificar que:
a2 + b2 = c2
32 + 4 2 = 5 2
9 + 16 = 5 2
25 = 5 2
Lo cual es cierto, pues 52 es 25, verificándose el teorema para este triangulo.
A su vez, existe el teorema recíproco de Pitágoras que establece que si los lados
de un triangulo cumplen con la relación c2 = a2 + b2, entonces dicho triangulo es
rectángulo. De modo que solo sabiendo las medidas de un triangulo, podemos determinar
si es o no rectángulo, para ello debes considerar siempre, antes de aplicar el reciproco de
Pitágoras, que la hipotenusa corresponde al lado de mayor medida y los lados restantes
corresponden a los catetos.
Ya abordados los saberes necesarios para utilizar este nuevo contenido, se
presentara un esquema con todo lo abordado hasta ahora, para luego aplicar los
conocimientos adquiridos.
Triángulos
Red conceptual de síntesis
TRIANGULOS
DESIGUALDAD
TRIANGULAR
ELEMENTOS
CLASIFICACION
MEDIDA DE LOS
LADOS
PRIMARIOS
EQUILATERO
VERTICES
ISOSCLES
LADOS
ESCALENO
ANGULOS
INTERIORES
MEDIDA DE LOS
ANGULOS
SUMAN 180 GRADOS
ANGULOS
EXTERIORES
ACUTANGULO
OBTUSANGULO
RECTANGULO
SUMAN 360 GRADOS
SECUNDARIOS
TEOREMA DE
PITAGORAS Y SU
RECIPROCO
ALTURA
ORTOCENTRO
BISECTRIZ
INCENTRO
SIMETRALES
CIRCUNCENTRO
TRANSVERSALES DE
GRAVEDAD
BARICENTRO
Triángulos
Actividades
A continuación encontrarás una serie de actividades que te permitirán aplicar los
conceptos aprendidos en la guía frente a distintos tipos de ejercicios.
Actividad 1. Completa la tabla, determinando si es posible construir un triangulo dadas las
siguientes medidas (aplica la definición de desigualdad triangular) y en el caso de ser
posible, señala el nombre del triangulo de acuerdo a su clasificación a partir de la medida
de sus lados.
medidas
a) 7 cm., 7 cm. y 5 cm.
Es o no es posible
Nombre del triangulo
b) 8 cm., 3 cm. y 4 cm.
c) 5 cm., 5 cm. y 5 cm.
d) 6 cm., 3 cm. y 3 cm.
Actividad 2. Responde las siguientes preguntas, considerando las características de los
triángulos señalados.
a) ¿Por qué un triangulo equilátero es siempre acutángulo?
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b) ¿Por qué un triangulo obtusángulo no puede ser equilátero?
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Triángulos
c) En un libro se afirma que un triangulo de lados 6cm, 8 cm. y 10 cm. es rectángulo,
Explica por que esa afirmación es correcta y compruébalo.
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Actividad 3. Relaciona los conceptos que aparecen en el recuadro con las definiciones que
aparecen a continuación.
ALTURA – CATETO – BISECTRIZ – BARICENTRO – SIMETRAL – ANGULOS INTERIORES
DE UN TRIANGULO – ORTOCENTRO – HIPOTENUSA – CIRCUNCENTRO – TRANSVERSAL
DE GRAVEDAD – INCENTRO – ANGULOS EXTERIORES DE UN TRIANGULO
a) segmento que va desde el vértice de un triangulo cortando al lado opuesto en 90 grados.
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b) lado opuesto al ángulo recto en un triangulo rectángulo. ……………………………..
c) punto en que se intersecan las transversales de un triangulo. ………………………….
d) ángulos que juntos suman 180 grados. ………………………………………………...
e) es el elemento secundario del triangulo que origina una circulo inscrito en el.
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f) rectas perpendiculares y que pasan por el punto medio de los lados de un triangulo.
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Triángulos
Actividad 4: Considerando lo aprendido en la guía, vuelve a observar con atención
algunas de las imágenes que se presentaron al inicio y responde las preguntas.
Imagen 2
Imagen 2: ¿Qué tipo de triángulos y que
características tendrán para ser incluidos en
esta contracción?
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Imagen 2:
Imagen 2: Explica el teorema de
Pitágoras a partir de la imagen.
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