Algebra I – MAT 100
1.
CONJUNTOS:
1.1
Conjunto:
La noción de conjunto está presente en todas las ramas de las matemáticas que
utilizan con libertad sus principios elementales y su terminología.
Definir formalmente el concepto de conjunto es bastante más complejo de lo que
parece a primera vista y es un problema propio de los fundamentos de la matemática,
así que para el presente curso este concepto se usará como un sinónimo de
colección, lo que dará suficiencia para trabajar los aspectos elementales del Algebra
de conjuntos que se requieren para el mismo. A todos los integrantes de un conjunto
se les llama "Elementos" y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o
imaginarias. Para que un conjunto este bien definido no deben existir ambigüedades,
es decir debe distinguirse claramente a todos los elementos del conjunto y sin
repetirse.
Un conjunto es una colección de objetos, símbolos o entidades bien definidas,
que reciben el nombre de miembros o elementos del conjunto.
En matemáticas se utilizan diferentes lenguajes para comunicarse; existen tres
grandes categorías:
El lenguaje coloquial se utiliza para expresar ideas y conceptos en forma escrita u
oral usando el lenguaje ordinario.
El lenguaje simbólico se utiliza para expresar con símbolos en forma precisa los
conceptos dados en el lenguaje coloquial.
El lenguaje grafico se utiliza para aclarar conceptos y situaciones.
Al usar el lenguaje simbólico, usualmente utilizamos letras mayúsculas (A, B, C, ……)
para designar los conjuntos y letras minúsculas (a, b, c, …..) para designar los
elementos.
Se considera un símbolo que relaciona un elemento con un conjunto (∈). Se escribe:
a ∈ A. Y se lee, el elemento “a” pertenece al conjunto A. Para indicar que un elemento
no pertenece a un conjunto se escribe: a ∉ A. Y se lee, a no pertenece al conjunto A.
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1.2
Formas de enunciar a los conjuntos:
a)
Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y
separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus
elementos entre llaves.
Ejemplo:
Sea A = {0, 1}; representa al conjunto A cuyos elementos son el 0 y el 1.
b)
Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición
que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo " / " que
significa “tal que" y se acostumbra utilizar la estructura {* / **}, donde en lugar
del primer asterisco se expresa la variable que simboliza a los elementos del
conjunto, x, a, n, etc. y en lugar de los dos asteriscos se utiliza la propiedad
o condición que satisfacen los elementos simbolizados por la variable para
ser elementos del conjunto.
En forma simbólica es: A = {x / P(x)} = {x1, x2, …… xn}, que significa que el conjunto
A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera,
como x1, x2, x3, ….
Ejemplo: El conjunto B que se describe como:
B = {x / x2 - x = 0}.
En este caso el conjunto B tiene de elementos las soluciones de la ecuación:
X2 - X = 0.
0
X (X – 1) = 0 ⇒
X = 𝑋−1 ; X1 = 0
0
X - 1 = 𝑋 ; X2 = 1
c)
Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el
contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.
d)
Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que
es común para los elementos.
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Ejemplo. Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo
por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.
Solución.
Por extensión:
V = {a, e, i, o, u}
Por comprensión:
V = {x/x es una letra vocal}.
Por diagrama de Venn:
𝕌
V
.a
.e
.i
.o
.u
Ejemplo: Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.
Solución.
Por diagrama de Venn:
𝕌
Por extensión:
P = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón}
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Por comprensión:
P = {x / x es un planeta del sistema solar}
1.3
Relaciones entre conjuntos:
a)
Inclusión o Subconjunto:
Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, o está incluido en B, si
todos los elementos de A están en B. Se denota como "A ⊂ B" que se lee "A
está incluido en B".
Es decir:
A ⊂ B ⇔ (∀x): x ∈ A ⇒ x ∈ B
Se acostumbra a leerse como que "A está contenido en B", "A es subconjunto de B".
La negación de la relación A ⊂ B se denota por A ⊄ B, que significa que "A no está
incluido o contenido en B" y significa que por lo menos un elemento de "x ∈ A" tal
que "x ∉ B".
Ejemplo:
A = {x / x es una letra del alfabeto}
V = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}
∴V⊂A
Observaciones:
1. La relación de pertenencia relaciona un elemento a un conjunto, mientras que la
relación de inclusión relaciona dos conjuntos.
2. El conjunto vacío está incluido en cualquier otro conjunto.
3. Todo conjunto está incluido en sí mismo.
b)
Igualdad de Conjuntos:
Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos
elementos.
Es decir:
A=B⇔A⊂B^B⊂A
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Ejemplo:
Sea: A = {−3, 1} y B = {x ∈ Z / x2 + 2x - 3 = 0}.
¿A y B son iguales?
Propiedades:
1.
Reflexiva: ∀A: A = A
2.
Simétrica: A = B ⇔ B = A
3.
c)
Transitiva: A = B Λ B = C ⇒ A = C
Conjuntos Diferentes:
Intuitivamente A no es igual a B (A es diferente de B) cuando existe por lo
menos un elemento x ∈ A tal que x ∉ B o en todo caso existe por lo menos
un elemento x ∈ B tal que x ∉ A.
Es decir:
A ≠ B ⇔ (∃ x; x ∈ A / x ∉ B) v (∃ x; x ∈ B / x ∉ A)
Ejemplo: Sean los conjuntos
C
D
B
A
A≠B
d)
CC
CC
C≠D
F
E
E≠F
Conjuntos Comparables:
Un conjunto A es comparable con otro conjunto B si entre dichos conjuntos
existe una relación de inclusión.
A es comparable con B ⬄ A ⊂ B v B ⊂ A.
Es decir, cuando por lo menos uno de los conjuntos está incluido en el otro
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Ejemplo: Sean A y B dos conjuntos.
Se observa que A esta incluido en B,
por lo tanto, A y B son COMPARABLES
B
A
Observaciones:
En el caso de que A ⊄ B Λ B ⊄ A, entonces estos dos conjuntos son no comparables
y son llamados conjuntos disyuntos, los conjuntos A y B son disyuntos cuando no
tienen elementos comunes.
Ejemplo:
Sea: A = {s/s es un animal} y B = {t/t es una flor}.
A y B son disyuntos, pues es imposible que un animal sea flor o viceversa.
e)
Conjuntos Coordinables o Equivalentes:
Dos conjuntos A y B son coordinables o equivalentes cuando entre sus
elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca (La
coordinabilidad de un conjunto es una relación de equivalencia). Ahora
cuando dos conjuntos son coordinables se dice que tienen el mismo número
de elementos.
Ejemplo:
Sea: A = { 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 }
B = {2, 4, 6, 8}
Los conjuntos A y B son coordinables, pues colocados de esta manera queda
establecida la correspondencia biunívoca.
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Cardinal de un conjunto:
Se define como el número de elementos del conjunto y se denota por: n(A) cardinal
de A.
Propiedades
n (A - B) = n(A) - n (A ∩ B)
n (A ∆ B) = n (A ∪ B) - n (A ∩ B)
n (A ∪ B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B)
n (A ∪ B ∪ C)
=
n(A) + n(B) + n(C) - n (A ∩ B) - n (A ∩ C) - n (B ∩ C) + n
(A ∩ B ∩ C)
1.4
Clases de conjuntos:
Conjunto Finito:
Intuitivamente hablando un conjunto es finito si se tiene determinado número de
elementos diferentes y en el proceso de contar los elementos de este conjunto tiene
límite.
Ejemplo:
Sea T = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
Observaciones:
1. Todo conjunto finito tiene primer y último elemento.
2.
Todo conjunto parcial de un conjunto finito también es finito.
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Conjunto Infinito:
Cuando un conjunto no es finito se dice que es infinito. Es decir, el proceso de contar
los diferentes elementos no tiene límite en el espacio y el tiempo. Diremos que un
conjunto infinito "I" tiene una ordenación simple cuando quedan satisfechas las
siguientes condiciones.
1. Todo conjunto parcial de "I" tiene primer elemento.
2.
Todo elemento de "I" excepto el primero tiene su inmediato anterior.
3.
A diferencia de los conjuntos finitos, los conjuntos infinitos carecen de último
elemento.
Ejemplo:
ℕ = {x / x es un número natural}
1. 5
Conjunto notables finitos:
Conjunto Vacío:
Llamado también conjunto nulo, es aquel conjunto que carece de elementos; se
denota por: ∅, o bien { }. Convenientemente se considera incluido en cualquier otro
conjunto.
Ejemplo:
Considere el conjunto " S " de todos los elementos que son de {𝑎, 𝑏, 𝑐 } como de
{𝑑, 𝑒, 𝑓 }. Luego el conjunto "S" no tiene elementos.
Ejemplo:
Q = {x ∈ ℕ / 3 < x < 4}
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Conjunto Unitario:
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Es decir:
V = {𝑥 |𝑥 = 𝑎}
Ejemplo:
En diagrama de VENN
a
1.6
V
Conjunto universal:
En el diagrama de Venn se puede observar que el conjunto U contiene los conjuntos
M y N. U es el conjunto Universal porque es un conjunto que contiene a todos los
conjuntos.
Ejemplo: Sean los conjuntos:
E = {Enero, Abril, Agosto, Octubre}.
F = {Febrero, Marzo, Mayo, Junio, Julio, Septiembre, Noviembre,
Diciembre}
∴ U = {x / x es un mes del año}
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1. 7
Familia de conjuntos:
Los elementos son también conjuntos.
Ejemplo: Sea:
T= {{𝑎}, {𝑎, 𝑏}, {1, 2,3}, {𝑥, 𝑦, 𝑧}}
1. 8
El Conjunto de los números:
Conjunto de los números naturales
N = {1,2,3,4, 5, ………………………………….……..………..………………… ∞ }
Conjunto de los números enteros:
Z = {- ∞ ………, -1, 0, 1, 2, ………………………………………………….…..+ ∞}
Conjunto de los números racionales:
𝑎
Q = {…………𝑏 , donde a y b ∈ ℤ ………………………………………………………}
Conjunto de los números irracionales:
I = {……………... √2, e, 𝜋, …………………………………………………...……..….}
Conjunto de los números reales:
R = {………∈ R, 0.00001, 0.000001, ……………………............................……....}
Conjunto de los números complejos.
C = {…………. R ∈ C, a+bi, ……donde a y b ∈ ℝ…………….........................…….}
∴N⊂Z ⊂ Q⊂I⊂ R⊂C
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1.9
Operaciones entre conjuntos:
Toda operación se caracteriza por tener un resultado. Las operaciones entre
conjuntos dan como resultado otros conjuntos.
a. Complemento de un conjunto:
Sea el conjunto A. Se llama complemento del conjunto A, al conjunto formado
por todos los elementos del universal que no son de A.
Por comprensión se tiene:
Ac = {x ∈ 𝕌 / x ∉ A} = 𝕌 - A
O también:
x ∈ Ac ⇔ 𝑥 ∈ 𝑈 ^ x ∉ A
Ejemplo:
Graficamente
El área coloreada corresponde al conjunto Ac
AC
Propiedades:
El complemento del complemento de un conjunto, es igual al mismo conjunto.
Ejemplo: Sea A el conjunto
(Ac)c = A
b. Intersección de Conjuntos:
Sean los conjuntos A y B, se llama intersección entre A y B al conjunto "A∩B"
formado por los elementos comunes. Lógicamente hablar de elementos
comunes, es hablar de elementos que pertenecen a uno y otro conjunto.
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O sea que:
A ∩ B = {x ∈ U / x ∈ A ^ 𝑥 ∈ 𝐵}
O también:
x∈A∩B⇔x∈A^x∈B
Gráficamente se tiene:
El área coloreada representa “A ∩ B”
Propiedades:
o Idempotencia: La intersección de un conjunto, es igual al mismo conjunto:
A∩A=A
o Asociativa: La intersección es asociativa, Sean los conjuntos A, B y C.
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
o Conmutativa: La Intersección es conmutativa, sean los conjuntos A y B.
(A ∩ B) = B ∩ A
o Elemento Neutro: El elemento neutro de la intersección es el conjunto
universal. (A ∩ U) = (U ∩ A) = A
o Elemento Absorbente: El elemento absorbente es el conjunto vacío. Sea el
conjunto A: A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅
c. Unión de Conjuntos:
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto "A ∪ B" formado por todos los
elementos de A o de B.
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Por comprensión:
A ∪ B = {x ∈ U / x ∈ A v x ∈ B}
O también:
x∈A∪B⇔x∈Avx∈B
Gráficamente:
El área coloreada representa “A ∪ B”
Propiedades:
Idempotencia:
La Unión de un Conjunto A, es igual al mismo conjunto.
A∪A=A
Asociativa:
La unión es asociativa. Sean los conjuntos A, B, y C.
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Conmutatividad:
La unión es conmutativa. Sean los conjuntos A y B.
(A ∪ B) = (B ∪ A)
Otras propiedades:
1)
Leyes distributivas.
- De la unión con respecto a la intersección:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
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2)
De la intersección con respecto a la unión:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Leyes de Morgan. - Dados dos conjuntos A y B.
- (A ∪ B) c = Ac ∩ Bc
-
(A ∩ B) c = Ac ∪ Bc
3)
Elemento neutro. - El elemento neutro de la unión es el conjunto vacío:
Sea A el conjunto. A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A
4)
Elemento Absorbente. - El elemento neutro de la unión es el conjunto universal.
Sea A el conjunto: A ∪ 𝕌 = 𝕌 ∪ A = 𝕌
d.
Diferencia entre conjuntos:
La diferencia entre los conjuntos A y B, donde A se llama minuendo y B
sustrayendo, es el conjunto "A - B" formado por todos los elementos de A
que no son de B.
Simbólicamente:
A - B = {𝑥 ∈ 𝕌|𝑥 ∈ 𝐴 ^ 𝑥 ∉ 𝐵}
O bien:
x∈A-B⬄𝑥 ∈𝐴^𝑥 ∉ 𝐵
y gráficamente:
El área coloreada representa “A – B”
e.
Diferencia Simétrica:
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es "A ∆ B”, formado por los
elementos de la unión de "A - B" y "B - A".
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Es decir:
A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A)
Y gráficamente:
A
B
A
El área coloreada representa: A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A)
Teniendo en cuenta que:
"A - B" = A ∩ Bc
se tiene:
A ∆ B = (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac)
Propiedades. –
- Conmutativa. – Sean los conjuntos A y B.
A∆B=B∆A
- Asociativa: Sean los conjuntos A, B y C.
(A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)
1.10
Conjunto de Partes
Sea el conjunto A, se llama conjunto de partes de A al conjunto P(A) formado
por todos los conjuntos que se pueden armar con los elementos de A.
Simbólicamente.
P(A) = {𝑋|𝑋 ⊂ 𝐴}
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Dicho de otra forma:
X ∈ P(A) ⬄ X ⊂ A
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3}.
Luego el conjunto de partes de A será:
P(A) = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2,3}, { }}
1.11
Producto cartesiano
Un par ordenado es un objeto formado por dos elementos con un orden determinado
que notaremos por (a, b). A los elementos “a” y “b” se les denomina primera y
segunda componente del par (a, b). Dos pares ordenados son iguales si y solo si las
componentes correspondientes son iguales. De forma análoga podemos definir una
terna, cuaterna, quíntupla y en general, n-upla como un objeto formado por n
elementos a1, a2, …. an en un orden dado y lo notaremos por (a1, a2, ..., an).
Dados dos conjuntos A y B, llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto
formado con todos los pares ordenados que pueden formarse con elementos de A y
B. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A ^ b ∈ B}
Se tiene que:
card(A x B) = card(A).card(B).
El producto cartesiano se puede representar mediante diagramas cartesianos,
diagramas sagitales y tablas de doble entrada.
De igual forma se puede definir el producto cartesiano de tres o más conjuntos: Dados
A1, A2, ..., An conjuntos, definimos su producto cartesiano como el conjunto formado
por todas las n-uplas posibles (a1, a2, an) de forma que a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, ..., an ∈ An:
A1 x A2 x ... x An = { (a1, a2,...,an) / ai ∈ Ai, "i = 1, 2, … n”}
Sean X e Y conjuntos, A, B ∈ P(X) y C, D ∈ P(Y), se tiene:
i)
XxY≠YxX
.
ii)
A x C ⊆ X x Y.
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iii)
Distributiva respecto de la unión
X x (C ∪ D) = (X x C) ∪ (X x D)
(A ∪ B) x Y = (A x Y) ∪ (B x Y)
iv)
Distributiva respecto de la intersección
X x (C ∩ D) = (X x C) ∩ (X x D)
(A ∩ B) x Y = (A x Y) ∩ (B x Y)
v)
(X x C)’ = X x C’ (A x Y)’ = A’ x Y
vi)
(A x C) ∩ (B x D) = (A ∩ B) x (C ∩ D).
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1. 12 LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS:
1) Leyes de Idempotencia:
A∪A=A
A∩A=A
2)
Leyes Asociativas
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3)
Leyes Conmutativas
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
4)
Leyes Distributivas
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
5)
Leyes de Identidad
A∪𝜙=A
A∩𝕌=A
6)
Leyes de Complemento
a) A ∪ Ac = 𝕌
b) A ∩ Ac = 𝜙
c) 𝕌c = 𝜙
d) 𝜙c = 𝕌
e) A ∩ Bc = A – B
f) 𝕌 ∩ Ac = Ac
g) (Ac)c = A
7)
Leyes de Absorción
a. A ∪ (A ∩ B) = A
b. A ∩ (A ∪ B) = A
c. A ∪ 𝕌 = 𝕌
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d. A ∩ 𝜙 = 𝜙
8)
Leyes de Morgan
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
9)
Diferencia
a) A – B = A ∩ Bc
b) A – (A ∩ B) = A – B
c) A ∩ (A – B) = A – B
d) (A ∪ B) – B = A - B
e) (A – B) ∪ B = A ∪ B
f) (A ∩ B) – B = 𝜙
g) (A – B) ∩ B = 𝜙
10) Diferencia Simétrica “ ∨ ”
A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) = (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac)
A ∆ B = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c = (A ∪ B) ∩ (Ac ∪ Bc)
A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
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