Apuntes de Errores en Mediciones - Física

Apuntes de errores- Liliana Ledesma
1. Errores
1. ¿Cómo se expresa el resultado de una medición?
En el apunte teórico de la cátedra vimos que, el resultado de cualquier medición de una
cantidad 𝑥 se escribe de la siguiente manera:
𝒙 = 𝒙𝒎𝒆𝒋𝒐𝒓 ± 𝜹𝒙
En donde 𝑥𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟 representa la mejor estimación de la medición y, también suele escribirse como
𝑥̅ .
Mientras que el valor 𝛿𝑥 se denomina incerteza, error absoluto o margen de error de la medición.
Entonces:
𝑥 = 𝑥̅ ± 𝛿𝑥
Esto quiere decir, primero, que la mejor estimación según la persona que lleva a cabo el
experimento (experimentador) para la cantidad que quiere medir, es 𝑥𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟 o 𝑥̅ y, segundo,
que él está razonablemente confiado en que el valor real de 𝑥 está en alguna parte entre:
𝑥̅ − 𝛿𝑥 y 𝑥̅ + 𝛿𝑥
Es decir que el intervalo o rango probable en donde se encuentra la medida 𝑥 es:
(
𝑥̅ − 𝛿𝑥
𝑥̅
)
𝑥̅ + 𝛿𝑥
Por conveniencia, 𝛿𝑥 se define siempre positiva, de manera que 𝑥̅ + 𝛿𝑥
es siempre el valor probable más alto de la cantidad medida y 𝑥̅ − 𝛿𝑥 representa el valor
probable más bajo de la cantidad medida.
Por ejemplo:
Si el valor mejor estimado de una medición del tiempo es: 𝑡̅ = 10,7 𝑠 y, el error absoluto es
𝛿𝑥 = 0,5 𝑠
Entonces, el resultado de la medición del tiempo la expresamos de la siguiente manera:
𝑡 = (10,7 ± 0,5)𝑠
Esto quiere decir, que el valor real de 𝑡 (tiempo) se encuentra probablemente en alguna
parte del siguiente intervalo:
)
(
10,2 𝑠
11,2 𝑠
10,7 s
13
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Como la cantidad 𝛿𝑥 es una estimación de una incerteza, no debe ser establecida con
demasiada precisión. Para el propósito de este curso de Física I se va a establecer la siguiente
regla:
Las incertezas experimentales deben ser redondeadas a una sola cifra significativa.
Cifras significativas: Número de cifras asociados a una medición.
Por ejemplo:
3,05 m
tiene tres cifras significativas
3,050 m tiene cuatro cifras significativas
3,0500 m tiene cinco cifras significativas
0,00305 m tiene tres cifras significativas (los tres primeros ceros no son cifras significativas
ya que simplemente sitúan la cifra decimal)
Por la misma razón:
0,0305 m tiene tres cifras significativas
0,305 m
tiene tres cifras significativas
Como señalamos anteriormente, al error absoluto o incerteza, 𝛿𝑥, lo expresamos con una
sola cifra significativa.
A continuación, vamos a mostrar cómo se redondea el valor de la incerteza o error absoluto
𝛿𝑥, a una sola cifra significativa. Para ello, se van a presentar distintos ejemplos:
Ejemplo 1:
Un estudiante, en el laboratorio, realiza los cálculos correspondientes y, llega a la conclusión
de que el error absoluto de la medición que está realizando es:
𝛿𝑥 = 0,23 𝑚
a) Expresa el valor del error absoluto o incerteza con una sola cifra significativa.
Como podemos observar, este valor tiene dos cifras significativas (los dígitos 2 y 3), es decir
que, según el criterio establecido por la cátedra, debemos redondearlo a una sola cifra
significativa. Para ello, nos fijamos en el dígito que sigue a la posición correspondiente a la
primera cifra significativa. En este caso, dado que este número es menor que cuatro, el dígito
correspondiente a la cifra significativa queda como está.
14
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Entonces:
𝛿𝑥 = 0, 2|3 𝑚
Primera cifra significativa
Nos fijamos si este número es menor, igual
o mayor que cuatro. En este caso, 3 es menor
que
cuatro,
entonces,
el
dígito
correspondiente a la cifra significativa
queda como está.
Entonces, el valor de la incerteza o error absoluto redondeado a una sola cifra significativa
es:
𝛿𝑥 = 0,2 𝑚
Ejemplo 2:
Se llevan a cabo mediciones y, se determina que el valor de la incerteza asociado a la
medición es:
𝛿𝑥 = 0,00652 𝑚
Como podemos observar, este valor tiene tres significativas (los dígitos 6, 5 y 2), es decir que
debemos redondearlo a una sola cifra significativa, según el criterio establecido por la
cátedra. Para ello, nos fijamos en el dígito que sigue a la posición correspondiente a la primera
cifra significativa. Cómo este número es mayor que cuatro, al dígito correspondiente a la
cifra significativa hay que sumarle una unidad.
Entonces:
𝛿𝑥 = 0,006|52 𝑚
Primera cifra significativa
Nos fijamos si este número es mayor, menor
o igual que cuatro. En este caso, 5 es mayor
que
cuatro,
entonces,
al
dígito
correspondiente a la cifra significativa hay
que sumarle una unidad.
Entonces, el valor de la incerteza o error absoluto redondeado a una sola cifra significativa
es:
𝛿𝑥 = 0,007 𝑚
15
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
También, podemos trabajar expresando el valor de la incerteza con notación científica de la
siguiente manera:
𝛿𝑥 = 0,00652 𝑚 = 6,52 . 10−3𝑚
𝛿𝑥 = 6, 5|2 . 10−3𝑚
Nos fijamos si este número es mayor, menor
Primera cifra significativa
o igual que cuatro. En este caso, 5 es mayor
que
cuatro,
entonces,
al
dígito
correspondiente a la cifra significativa hay
que sumarle una unidad.
𝛿𝑥 = 0,00652 𝑚 = 7 . 10−3𝑚
Ejemplo 3:
Se llevan a cabo mediciones y, se determina que el valor de la incerteza asociado a la
medición es:
𝛿𝑥 = 0,0963 𝑚
Como podemos observar, este valor tiene tres significativas (los dígitos 9, 6 y 3), es decir que
debemos redondearlo a una sola cifra significativa, según el criterio establecido por la
cátedra. Para ello, nos fijamos en el dígito que sigue a la posición correspondiente a la primera
cifra significativa. Cómo este número es mayor que cuatro, al dígito correspondiente a la
cifra significativa hay que sumarle una unidad.
Entonces:
𝛿𝑥 = 0,09|63 𝑚
Primera cifra significativa
Nos fijamos si este número es mayor, menor
o igual que cuatro. En este caso, 6 es mayor
que
cuatro,
entonces,
al
dígito
correspondiente a la cifra significativa hay
que sumarle una unidad.
𝛿𝑥 = 0,09 𝑚
0,01𝑚
𝛿𝑥 = 0,10 𝑚
16
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Entonces, el valor de la incerteza o error absoluto redondeado a una sola cifra significativa
es:
𝛿𝑥 = 0,1 𝑚
También, podemos trabajar expresando el valor de la incerteza con notación científica de la
siguiente manera:
𝛿𝑥 = 0,0963 𝑚 = 9,63 . 10−2𝑚
𝛿𝑥 = 9, 6|3 . 10−2𝑚
Nos fijamos si este número es mayor, menor
Primera cifra significativa
o igual que cuatro. En este caso, 6 es mayor
que
cuatro,
entonces,
al
dígito
correspondiente a la cifra significativa hay
que sumarle una unidad.
𝛿𝑥 = 10. 10−2 𝑚 = 1 . 10−1𝑚
𝛿𝑥 = 0,1 𝑚 = 1 . 10−1𝑚
Ejemplo 4:
Se llevan a cabo mediciones y, se determina que el valor de la incerteza asociado a la
medición es:
𝛿𝑥 = 728,6 𝑘𝑔
Como podemos observar, este valor tiene cuatro cifras significativas (los dígitos 7, 2, 8 y 6),
es decir que debemos redondearlo a una sola cifra significativa, según el criterio establecido
por la cátedra.
Para valores que sean mayores o iguales que la unidad, lo primero que vamos a hacer es
expresarlo utilizando notación científica:
𝛿𝑥 = 728,6 𝑘𝑔 = 7,286. 102 𝑘𝑔
17
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
y, procedemos de la misma manera que antes. Nos fijamos en el dígito que sigue a la posición
correspondiente a la primera cifra significativa. Si este número es menor o igual a cuatro, el
digito correspondiente a la cifra significativa queda como está.
𝛿𝑥 = 7,286. 102 𝑘𝑔
Nos fijamos si este número es mayor, menor
Primera cifra significativa
o igual que cuatro. En este caso, 2 es menor
que
cuatro,
entonces,
el
dígito
correspondiente a la cifra significativa
queda como está.
Entonces, el valor de la incerteza o error absoluto redondeado a una sola cifra significativa
es:
𝛿𝑥 = 7. 102 𝑘𝑔
Ejercicio 1:
En la siguiente tabla se muestra los resultados obtenidos del error absoluto, 𝛿𝑥 de diferentes
mediciones. Determina la cantidad de cifras significativas de cada medición y expresa la
incerteza o error absoluto con una sola cifra significativa.
incerteza
Cifras
significativas
0,79 𝑙
0,0388 𝑚𝑚
0,290 𝑚
0,08632 ℃
0,0371 𝑚3
0,9641 𝑐𝑚
0,00997 𝑔
0,0939 𝑘𝑔
16,276 ° 𝐶
4287,12 𝑠
𝑚
285,963
𝑠
6957,2 N
5,64. 105 𝑃𝑎
3,928. 10−4 𝑐𝑚
9,680. 104 𝑚2
1,674. 109 𝑚𝑖𝑛
2
𝛿𝑥 (expresada con 1 sola c.s)
0,8 𝑙
o
8. 10−1 𝑙
4
1 𝑐𝑚
5
2. 101 °C
3
6. 105 𝑃𝑎
18
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Como señalamos inicialmente, el resultado de una medición de una cantidad 𝑥 se expresa
de la siguiente manera:
𝑥 = 𝑥̅ ± 𝛿𝑥
Al valor mejor estimado, 𝑥̅ , debemos redondearlo también, para que sea coherente con la
incerteza.
Consideremos la siguiente situación:
Ejemplo 5:
En una experiencia de laboratorio, Juan debe calcular el área de la mesada, realiza las
mediciones y cálculos correspondientes obteniendo los siguientes valores:
𝐴̅ = 2,542132 𝑚2
𝛿𝐴 = 0,0972 𝑚2
a) Escribir el resultado de la medición del área de la mesada utilizando el criterio de redondeo
establecido por la cátedra.
Comenzamos expresando el error absoluto de la medición con una sola cifra significativa:
𝛿𝐴 = 0,09|72 𝑚2
Nos fijamos si este número es menor,
mayor o igual a cuatro. En este caso, 7 es
mayor que cuatro, entonces, al dígito
correspondiente
a
la
primera
cifra
significativa (9) le sumamos una unidad.
Entonces, el valor de la incerteza o error absoluto redondeado a una sola cifra significativa
es:
𝛿𝐴 = 0,1 𝑚2
A continuación, al valor mejor estimado lo redondeamos para ser coherentes con la incerteza:
Para ello, nos fijamos en el dígito que sigue a la posición en donde está la cifra significativa
del error o incerteza.
19
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝐴̅ = 2,542132 𝑚2
Esta es la posición en donde está la cifra
Este es el digito que sigue a la posición en donde
significativa del error, 𝛿𝐴
está la cifra significativa del error.
𝐴̅ = 2, 5|42132 𝑚2
Nos fijamos si este número es menor, o igual a
cuatro. En este caso, es igual a 4, entonces, el
dígito correspondiente a la cifra significativa
queda como está.
Entonces, el valor del mejor estimado, en concordancia con el valor de la incerteza o error
absoluto es:
𝐴̅ = 2,5 𝑚2
y, el resultado de la medición del área de la mesada es:
𝐴 = (2,5 ± 0,1)𝑚2
También, podemos trabajar utilizando notación científica:
𝛿𝐴 = 0,0972 𝑚2 = 9,72. 10−2 𝑚2
Nos fijamos si este número es menor,
mayor o igual a cuatro. En este caso, 7 es
mayor que cuatro, entonces, al dígito
correspondiente
a
la
primera
cifra
significativa (9) le sumamos una unidad.
𝛿𝐴 = 1. 10−1 𝑚2
A continuación, al valor mejor estimado lo expresamos con la misma potencia de diez con
que expresamos al error absoluto o incerteza y luego redondeamos para ser coherentes con
la incerteza:
𝐴̅ = 2,542132 𝑚2 = 25,42132. 10−1 𝑚2
Nos fijamos en el dígito que sigue a la posición en donde está la cifra significativa del error.
𝐴̅ = 25,42132. 10−1 𝑚2
Nos fijamos si este número es menor,
mayor o igual a cuatro. En este caso, es
igual que cuatro, entonces, el dígito
correspondiente
a
la
primera
significativa queda como está.
cifra
20
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Entonces, el valor mejor estimado es:
𝐴̅ = 25. 10−1 𝑚2
El resultado de la medición, expresado en notación científica es:
𝐴 = (25 ± 1). 10−1 𝑚2
Ejemplo 6:
En una experiencia de laboratorio, María debe calcular la masa de una pieza cilíndrica, realiza
las mediciones y cálculos correspondientes obteniendo los siguientes valores:
𝑚
̅ = 387,95 𝑔
𝛿𝑚 = 65,72 𝑔
a) Escribir el resultado de la medición de la masa de la pieza cilíndrica utilizando el criterio
de redondeo establecido en la cátedra.
Nuevamente, comenzamos expresando el error absoluto de la medición con una sola cifra
significativa:
𝛿𝑚 = 65,72 𝑔
Expresamos el valor del error absoluto utilizando notación científica:
𝛿𝑚 = 65,72 𝑔 = 6,572. 101 𝑔
Nos fijamos si este número es menor,
mayor o igual a cuatro. En este caso, 5 es
mayor que cuatro, entonces, al dígito
correspondiente a la cifra significativa (6)
le sumamos una unidad.
Entonces, el valor de la incerteza o error absoluto redondeado a una sola cifra significativa
es:
𝛿𝑚 = 7. 101 𝑔
A continuación, al valor mejor estimado lo expresamos con la misma potencia de diez (101 ,
en este ejemplo) que expresamos al error absoluto:
21
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝑚
̅ = 387,95 𝑔 = 38,795. 101 𝑔
y, al valor mejor estimado lo redondeamos para ser coherentes con la incerteza:
Para ello, nos fijamos en el dígito que sigue a la posición en donde está la cifra significativa
del error.
38,795. 101 𝑔
Esta es la posición en donde está la cifra
significativa del error
Este es el dígito que sigue a la posición en donde
está la cifra significativa del error.
1
38,795. 10 𝑔
Nos fijamos si este número es menor, mayor o
igual a cuatro. En este caso, es igual a 7,
entonces, al dígito correspondiente a la cifra
significativa le sumamos una unidad.
Entonces, el valor del mejor estimado, en concordancia con el valor de la incerteza o error
absoluto es:
𝑚
̅ = 39. 101 𝑔
y, el resultado de la medición de la masa de la pieza cilíndrica es:
𝑚 = (39 ± 7). 101 𝑔
Ejemplo Nº 7:
En una experiencia de laboratorio, Alejandro debe determinar la temperatura de fusión del
etilenglicol (anticongelante), realiza las mediciones y cálculos correspondientes obteniendo
los siguientes valores:
𝑇𝑓 = −13,628 ℃
𝛿𝑇𝑓 = 0,084 ℃
a) Escribir el resultado de la medición de la temperatura de fusión del etilenglicol utilizando
el criterio de redondeo establecido en la cátedra.
Comenzamos expresando el error absoluto de la medición con una sola cifra significativa:
𝛿𝑇𝑓 = 0,084 ℃
22
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝛿𝑇𝑓 = 0,084 ℃
Nos fijamos si este número es menor,
mayor o igual a cuatro. En este caso, cómo
es igual a 4, entonces, el dígito
correspondiente
a
la
primera
cifra
significativa (8) queda como está.
Entonces, el valor de la incerteza o error absoluto redondeado a una sola cifra significativa
es:
𝛿𝑇𝑓 = 0,08 ℃
A continuación, al valor mejor estimado lo redondeamos para ser coherentes con la incerteza:
Para ello, nos fijamos en el dígito que sigue a la posición en donde está la cifra significativa
del error o incerteza.
𝑇𝑓 = −13,628 ℃
Esta es la posición en donde está la cifra
Este es el digito que sigue a la posición en donde
significativa del error
está la cifra significativa del error.
𝑇𝑓 = −13,628 ℃
Nos fijamos si este número es menor, o igual a
cuatro. En este caso, es igual a 8, entonces, el
digito correspondiente a la cifra significativa
le sumamos una unidad.
Entonces, el valor del mejor estimado, en concordancia con el valor de la incerteza o error
absoluto es:
𝑇𝑓 = −13,63 ℃
El resultado de la medición del área de la mesada es:
𝑇𝑓 = (−13,63 ± 0,08) ℃
23
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Ejercicio 2:
La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos de diferentes mediciones. Expresar el
resultado de cada una de las mediciones utilizando el criterio establecido por la cátedra.
𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑥̅
52,756 𝑠
0,628 𝑚𝑚
21,1268 𝑚𝑖𝑛
12,96 𝑐𝑚
528, 987 𝑔
𝑚
5,478
𝑠
7625,42 𝑙
13,59960 cm
15897,47 𝑃𝑎
9785,66 𝑘𝑔
321,65 𝑚2
6,54. 105 𝑚3
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝛿𝑥
0,068 𝑠
0,047 𝑚𝑚
0,57 𝑚𝑖𝑛
0,49 𝑐𝑚
0,67 𝑔
𝑚
0,061
𝑠
32,79 𝑙
0,000739 cm
725,7 𝑃𝑎
495,7 𝑘𝑔
9,98. 𝑚2
325,7 𝑚3
𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛
(52,76 ± 0,07)𝑠
(13,0 ± 0,5)𝑐𝑚
(763 ± 3). 101 𝑙
Mediciones Directas:
En el apunte teórico de la cátedra vimos que las mediciones directas son aquellas en las que,
para obtener el valor de la medida de una cantidad, sólo se debe leer una escala o display
digital. No se necesitan medir otras magnitudes o aplicar alguna fórmula para determinar el
resultado de la medición.
En general, la incerteza, de una medición única y directa es:
𝛿𝑥 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝑒𝑑𝑒𝑓 + 𝑒𝑖𝑛𝑡 = 𝑒𝑚𝑖𝑛
A lo que también se denomina error mínimo, 𝑒𝑚𝑖𝑛 .
A la menor división del instrumento de medida se lo denomina apreciación y al error asociado
a la apreciación del instrumento se lo denomina error de apreciación, 𝑒𝑎𝑝 .
En el caso que utilicemos regla, tornillo micrométrico y balanza analógica, el error de
apreciación será considerado como la mitad de la apreciación. O sea, consideraremos que la
incerteza en la medición es la mitad de la menor división de la escala. Mientras que, en el
24
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
caso que usemos calibre, cronómetros digitales o analógicos y balanza digital, que van de a
“saltitos” entre marcas sucesivas, consideraremos que la incerteza es igual a la menor
división de la escala.
Resumiendo:
Tipo de instrumento:
Tipo de instrumento:
-
Regla
-
calibre
-
Tornillo micrométrico
-
cronómetros digitales y
-
Balanza analógica
𝑒𝑎𝑝 =
analógicos
𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛
2
-
Balanza digital
𝑒𝑎𝑝 = 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Cuando medimos un intervalo de tiempo utilizando un cronómetro, la mayor fuente de
incerteza no es la dificultad de realizar la lectura sino nuestro propio tiempo de reacción en
comenzar y detener el reloj que es de alrededor de 0,2 s. A este error se lo denomina error
de interacción, 𝑒𝑖𝑛𝑡 .
𝑒𝑖𝑛𝑡 = 0,2 𝑠
Existen otras fuentes de incerteza que debemos considerar. Por ejemplo, al medir la distancia
entre dos puntos, el mayor problema será adónde realmente están los puntos. A esto se lo
denomina problema de definición y se lo asocia con el error de definición, 𝑒𝑑𝑒𝑓 .
Ejemplo 8:
Para la siguiente ilustración, exprese el resultado de la medición correspondiente. Considere
que el error de definición es despreciable.
Medición de la temperatura, 𝑇, en ° C:
𝑇̅ = 20 °𝐶
𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: 5°𝐶
𝑒𝑎𝑝 =
𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 °𝐶
=
= 2,5 ° 𝐶
2
2
25
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Teniendo en cuenta de que los errores de definición e interacción son despreciables, entonces
el error mínimo en esta medición será igual a:
𝛿𝑇 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝑒𝑑𝑒𝑓 + 𝑒𝑖𝑛𝑡 = 2,5 °𝐶
Redondeamos el error absoluto o incerteza a una sola cifra significativa:
𝛿𝑇 = 3 °𝐶
El resultado de la medición de la temperatura utilizando la escala Celsius (°C) es:
𝑇 = (20 ± 3)°𝐶
Ejercicio 3:
a) Expresa el resultado de la medición de la temperatura (de la ilustración anterior) utilizando
la escala Fahrenheit, °𝐹.
b) Para la siguiente ilustración, exprese el resultado de la medición correspondiente
Considere que el error de definición es despreciable.
Medidas repetidas:
La mejor forma de evaluar la confiabilidad de un experimento es repetirlo varias veces y
examinar los distintos valores obtenidos.
No todos los tipos de incerteza experimental pueden evaluarse mediante un análisis
estadístico basado en mediciones repetidas. Por esta razón, las incertezas se clasifican en dos
grupos: incertezas o errores casuales que puede ser tratados estadísticamente y las incertezas
sistemáticas que no pueden ser tratados estadísticamente. A continuación, se presentarán una
serie de definiciones importantes que nos permitirán tratar los errores de este tipo.
En el caso de que se realicen N medidas repetidas, 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑁 , el valor mejor estimado lo
calculamos como el promedio de las medidas:
26
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖
𝑁
La desviación Standard de las medidas 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑁 es una estimación de la incerteza promedio
de las medidas 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑁 y se determina como sigue:
𝜎𝑥 = √
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑁−1
La desviación Standard, 𝜎𝑥 , nos da una idea de la dispersión de los datos alrededor del
promedio. El valor de 𝜎𝑥 puede considerarse constante durante el proceso de medición y no
varía con el número de mediciones, N. Por lo tanto, podemos estimar su valor con unas pocas
mediciones.
En el caso de que se lleven a cabo medidas repetidas, se puede demostrar que el error
estadístico, 𝐸, que afecta al promedio es:
𝐸=
𝜎𝑥
√𝑁
De esta forma, diremos que en el caso que se lleven a cabo medidas repetidas, al resultado
de cualquier medición de una cantidad 𝑥 se escribe:
𝑥 = 𝑥̅ ± 𝛿𝑥
Dónde:
𝑥̅ representa el valor promedio de las mediciones.
y, el error absoluto está dado por:
𝛿𝑥 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝑒𝑑𝑒𝑓 + 𝑒𝑖𝑛𝑡 + 𝐸 = 𝑒𝑚𝑖𝑛 + 𝐸
Ejemplo 9:
En una experiencia de laboratorio se mide la masa de una esfera de alumnio. Los valores
obtenidos se muestran en la siguiente tabla:
𝑚(𝑔) 122,32 124,71 122,24 122,66 123,12 122,64 124,56 122,06 123,01
a) Expresar el resultado de la medición de la masa de la esfera de aluminio. Considera que el
error mínimo es de 0,01 𝑔.
27
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
b) Exprese el resultado de la medición en 𝑘𝑔.
Vimos anteriormente que, al resultado de una medición lo expresamos de la siguiente
manera:
𝑥 = 𝑥̅ ± 𝛿𝑥
En esta experiencia de laboratorio, para determinar el valor de la masa de la pieza de
aluminio, se realizan medidas repetidas. El número de mediciones realizadas es 9, es decir,
𝑁 = 9.
En el caso de medidas repetidas, al valor mejor estimado, 𝑥̅ , lo calculamos como el promedio
de las mediciones. Realizamos los cálculos en la calculadora y obtenemos el siguiente valor:
𝑚
̅ = 123,0355556 𝑔
También vimos que, en el caso de medidas repetidas, el error absoluto lo calculamos de la
siguiente manera:
𝛿𝑥 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝑒𝑑𝑒𝑓 + 𝑒𝑖𝑛𝑡 + 𝐸 = 𝑒𝑚𝑖𝑛 + 𝐸
En este ejercicio en particular, nos dan como dato el valor del error mínimo:
𝑒𝑚𝑖𝑛 = 0,01 𝑔
Calculamos el error estadístico, 𝐸:
𝐸=
𝜎𝑥
√𝑁
Con la calculadora determinamos el valor de la desviación Standar:
𝜎𝑚 = 0,9701560 𝑔
Entonces:
𝐸=
𝜎𝑥
√𝑁
=
0,9701560 𝑔
√9
= 0,3233853 𝑔
Calculamos a continuación, el valor del error absoluto:
𝛿𝑥 = 𝑒𝑚𝑖𝑛 + 𝐸 = 0,01 𝑔 + 0,3233853 𝑔 = 0,3333853 𝑔
Redondeando el error absoluto a una sola cifra significativa, nos queda:
𝛿𝑥 = 0,3 𝑔
A continuación, redondeamos el valor del mejor estimado, para que sea coherente con el
error absoluto:
28
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝑚
̅ = 123, 0|355556 𝑔
El resultado de la medición de la masa de Aluminio es:
𝑚 = (123,0 ± 0,3)𝑔
También podemos trabajar utilizando notación científica:
𝑚 = (1230 ± 3). 10−1 𝑔
b)
𝑚 = (123,0 ± 0,3)𝑔.
1 𝑘𝑔
= (123,0 ± 0,3)10−3 𝑘𝑔
1000𝑔
En donde el valor mejor estimado es:
𝑚
̅ = 123,0. 10−3 𝑘𝑔
y el error absoluto es:
𝛿𝑚 = 0,3 . 10−3 𝑘𝑔
Ejercicio 4:
José, en el laboratorio de Física, mide el tiempo que tarda un móvil en realizar un determinado
recorrido. Para estar más seguro de los resultados obtenidos, realiza varias mediciones.
Utiliza un cronómetro digital (𝑒𝑖𝑛𝑡 = 0,2 𝑠). Considera que el error de apreciación es de
0,01 𝑠 y el error de definición es despreciable. Los datos obtenidos se muestran en la
siguiente tabla:
𝑡(𝑠)
4,36
5,14
4,21
4,82
5,06
4,22
3,97
4,47
5,23
3,18
4,16
a) Expresa el resultado de la medición
Respuesta: 𝑡 = (4,4 ± 0,4)𝑠
Ejercicio 5:
Se mide el diámetro 𝐷 de un trozo de alambre con un tornillo micrométrico de apreciación
0,001 𝑚𝑚. (las otras fuentes de errores mínimos: interacción, definición, etc, son
despreciables) obteniéndose las siguientes medidas [𝐷(𝑚𝑚. )]
1,455
1,440
1,480
1,450
1,465
1,460
1,466
1,470
1,475
1,465
1,460
1,450
1,460
1,425
1,480
1,435
1,455
1,445
1,435
1,470
29
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
a) Expresar el resultado de la medición
Respuesta 𝐷 = (1,457 ± 0,004)𝑚𝑚
Ejercicio 6:
Un mecánico mide 10 veces la longitud de un trozo de alambre utilizando un instrumento
de excelente calidad cuyo error de apreciación es de 0,01 cm. La pieza en cuestión tiene
asociado un error de definición de 0,005 cm. Las medidas (en cm) que obtiene son:
2,84
2,86
2,80
2,80
2,80
2,78
2,84
2,86
2,88
2,90
a) Expresar el resultado de la medición.
Respuesta: 𝑙 = (2,84 ± 0,03)𝑐𝑚
Error Relativo:
Anteriormente vimos que, al resultado de una medición lo expresábamos como:
𝑥 = 𝑥̅ ± 𝛿𝑥
en donde la incerteza, 𝛿𝑥, indica la confiabilidad de la medición. Sin embargo, la incerteza
𝛿𝑥 por sí misma no cuenta toda la historia. Una incerteza de 1 𝑐𝑚 en una distancia de 1 𝐾𝑚
puede considerarse como una medida precisa. En cambio, una incerteza de 1 𝑐𝑚 en una
medición de 3 𝑐𝑚 indicaría una medida bastante burda.
Obviamente, la calidad de la medición está indicada no sólo por la incerteza o error absoluto,
𝛿𝑥 , sino también por el cociente entre 𝛿𝑥 y 𝑥̅ que da por resultado el error relativo:
𝑒𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑥
𝑥̅
Entonces, el error relativo, 𝑒𝑟𝑒𝑙 , indica cual es el tamaño relativo del error absoluto respecto
de la medida que estoy realizando.
Se dice que el error relativo está relacionado con la calidad de la medición. Si es menor el
error relativo, entonces mayor es la calidad de la medición.
A veces, este error se expresa en forma porcentual y entonces se habla de error porcentual:
30
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝑒% = 100. 𝑒𝑟𝑒𝑙
Ejemplo 10:
Pedro está realizando una experiencia de laboratorio para determinar la densidad de un
cuerpo. Por una parte, calcula el volumen del cuerpo, para ello mide ocho veces el volumen
del cuerpo, realiza los cálculos con su calculadora y en el display obtiene el siguiente valor
̅𝑐 = 351,199726 ml, la desviación standard 𝜎𝑉 = 0,1314111 𝑚𝑙. Además,
mejor estimado: 𝑉
𝑐
con los instrumentos utilizados, el error mínimo es 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 0,02 𝑚𝑙. Por otra parte, realiza la
medición de la masa del cuerpo, para ello mide nueve veces la masa del cuerpo en una balanza
digital de apreciación 0,01 𝑔 (las otras fuentes de errores mínimos: interacción y definición
son despreciables) obteniéndose las siguientes medidas [𝑚(𝑔)]
𝑚(𝑔)
221,62 220,91 222,08 221,54 220,68 220,32 221,13 222,01 220,78
a) Expresa el resultado de la medición del volumen del cuerpo.
b) Determina el error relativo de la medición del volumen
c) Expresa el resultado de la medición de la masa del cuerpo
d) Determina el error relativo de la medición de la masa del cuerpo.
e) ¿Cuál de las dos mediciones es de mejor calidad?
a) Medición del volumen:
Según el enunciado del problema, el valor mejor estimado del volumen del cuerpo es:
̅𝑐 = 351,199726 ml
𝑉
la desviación standard 𝜎𝑉𝑐 = 0,1314111 𝑚𝑙.
Además, el error mínimo es 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 0,02 𝑚𝑙.
Recordemos que, en el caso de medidas repetidas el error absoluto se calcula de la siguiente
manera:
𝛿𝑉𝑐 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝑒𝑑𝑒𝑓 + 𝑒𝑖𝑛𝑡 + 𝐸 = 𝑒𝑚𝑖𝑛 + 𝐸
Con los datos del problema calculamos el error estadístico:
𝐸=
𝜎𝑥
√𝑁
=
0,1314111 𝑚𝑙
√8
= 0,04646083997 𝑚𝑙
Entonces el error absoluto es:
31
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝛿𝑉𝑐 = 𝑒𝑚𝑖𝑛 + 𝐸 = 0,02 𝑚𝑙 + 0,04646083997 𝑚𝑙 = 0,06646083997 𝑚𝑙
redondeamos el error absoluto a una sola cifra significativa:
𝛿𝑉𝑐 = 0,07 𝑚𝑙
A continuación, redondeamos el valor del mejor estimado, para que sea coherente con el
error absoluto:
̅𝑐 = 351,19|9726 ml
𝑉
̅𝑐 = 351,20 ml
𝑉
Entonces, el resultado de la medición efectuada por Pedro es:
𝑉𝑐 = (351,20 ± 0,07) 𝑚𝑙
b) Cálculo del error relativo:
𝛿𝑉
0,07 𝑚𝑙
𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑉𝑐 = ̅𝑐 =
= 1,993. 10−4
351,20 𝑚𝑙
𝑉𝑐
c) Medición de la masa:
Realizando los cálculos correspondientes se obtiene el siguiente valor del mejor estimado de
la masa:
𝑚
̅ = 221,23 𝑔
y, también se obtiene el valor de la desviación Standard
𝜎𝑚 = 0,614878036 𝑔
A partir de estos resultados se determina el valor del error absoluto:
𝛿𝑚 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝑒𝑑𝑒𝑓 + 𝑒𝑖𝑛𝑡 + 𝐸
𝛿𝑚 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝐸 = 0,01 𝑔 +
0,614878036 𝑔
√9
= 0,21495345 𝑔
redondeamos el error absoluto a una sola cifra significativa:
𝛿𝑚 = 0,2 𝑔
A continuación, redondeamos el valor del mejor estimado, para que sea coherente con el
error absoluto:
𝑚
̅ = 221, 2|3 𝑔
𝑚
̅ = 221,2 𝑔
32
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Entonces, el resultado de la medición de la masa es:
𝑚 = (221,2 ± 0,2) 𝑔
Utilizando notación científica:
𝑚 = (2212 ± 2) 10−1 𝑔
d) Cálculo del error relativo:
𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑚 =
𝛿𝑚
0,2 𝑔
=
= 9,041. 10−4
𝑚
̅
221,2 𝑔
Como podemos observar el error relativo es adimensional, lo cual nos permite comparar los
errores relativos de mediciones de distintas cantidades e indicar cuál de ellas es de mejor
calidad.
El error relativo de la medición del volumen es:
𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑉𝑐 = 1,993. 10−4
El error relativo de la medición de la masa es:
𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑚 = 9,041. 10−4
Entonces, la medición de mejor calidad es la del volumen, ya que:
𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑉𝑐 < 𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑚
Ejercicio 7:
Se realizaron las mediciones del diámetro y la longitud de un cilindro con un tornillo
micrométrico y con un calibre respectivamente. Los valores obtenidos se presentan en la
tabla siguiente. La apreciación de los instrumentos usados es 0,001 mm y 0,02 mm
respectivamente (las otras fuentes de errores mínimos: interacción y definición son
despreciables).
Diámetro (mm) 2,520 2,525 2,510 2,510 2,530 2,515 2,520 2,515
33
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Longitud (mm)
62,42 62,38 62,40 62,42 62,40 62,38 62,40 62,40
a) Expresar el resultado de las mediciones y calcular el error relativo.
b) Determina cuál de las dos mediciones es de mejor calidad.
Discrepancia:
En el apunte teórico de la cátedra vimos que, si los mejores estimados de dos mediciones de la
misma cantidad difieren, decimos que hay una discrepancia. Numéricamente, definimos la
discrepancia como:
Discrepancia = diferencia entre dos valores medidos de la misma cantidad.
Entonces, se define Discrepancia, 𝐷, como la diferencia entre dos valores mejores estimados de
una misma cantidad:
𝑥𝐴 = 𝑥̅𝐴 ± 𝛿𝐴
𝑥𝐵 = 𝑥̅ 𝐵 ± 𝛿𝐷
𝐷 = |𝑥̅𝐴 − 𝑥̅ 𝐵 |
Ejemplo 11:
Por ejemplo, dos estudiantes A y B miden la misma distancia:
Estudiante 𝐴: (15 ± 2) 𝑐𝑚
Estudiante 𝐵: (12 ± 2) 𝑐𝑚
Podemos observar que existe discrepancia porque los mejores estimados de las mediciones
difieren y, es igual a:
𝐷 = |15 𝑐𝑚 − 12 𝑐𝑚| = 3 𝑐𝑚
La discrepancia puede o no ser significativa. La discrepancia es significativa si los intervalos de
las dos medidas no se superponen y, es No significativa si los intervalos de las dos medidas se
superponen.
Dibujamos los intervalos de las dos mediciones:
(
10 𝑐𝑚
(
13 𝑐𝑚
)
14 𝑐𝑚
)
17 𝑐𝑚
34
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Como los intervalos de las mediciones se superponen, la discrepancia entre las dos
mediciones es No significativa, esto significa que las dos mediciones pueden ser correctas.
En cambio, si la discrepancia es significativa, las dos mediciones no pueden ser correctas, es
decir las mediciones son incompatibles y se deben realizar nuevamente.
Ejercicio 8:
a) Dos estudiantes 𝐴 y 𝐵 miden la longitud de la misma varilla y muestran los siguientes
resultados:
𝐴: (135 ± 3) 𝑚𝑚 y 𝐵: (137 ± 3) 𝑚𝑚. Realizar un esquema de los intervalos
correspondientes a estas mediciones. ¿Existe discrepancia? ¿Es significativa?
Ejercicio 9:
Dos grupos de investigación 1 y 2, miden la masa de una muestra. Los valores reportados
son:
𝑚1 = (7,8 ± 0,1)𝑘𝑔
𝑚2 = (7,0 ± 0,2) 𝑘𝑔.
Realizar un esquema que represente los intervalos correspondientes a estas mediciones.
¿Existe discrepancia? ¿Es significativa?
Ejercicio 10:
Dos estudiantes 𝐴 y 𝐵 miden la longitud y el ancho de una puerta respectivamente:
𝑙𝐴 = (1,75 ± 0,04) 𝑚
𝐴𝐵 = (1,62 ± 0,04)𝑚
a) Cual de las dos mediciones es de mejor calidad. b) Representa los intervalos de las
mediciones. c) Se puede calcular la discrepancia entre las dos mediciones. Justifica
claramente tu respuesta.
3. Errores
Propagación de Errores:
Mediciones indirectas:
Las mediciones indirectas son aquellas en las que el resultado de la medición de una magnitud
se calcula a partir de la lectura directa de otras magnitudes y de una expresión matemática
que las relaciona.
35
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Supongamos que se han
medido diferentes magnitudes 𝑥, 𝑦, 𝑧. . .. con sus incertezas
correspondientes 𝛿𝑥, 𝛿𝑦, 𝛿𝑧… y, ahora deseamos usar esos valores que medimos, para
calcular otra magnitud.
A continuación, se mostrarán los casos más comunes:
i) Magnitud que es la suma de otras que se miden directamente:
Si 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧, entonces el valor mejor estimado es: 𝑞̅ = 𝑥̅ + 𝑦̅ + 𝑧̅
La incerteza para q será:
𝛿𝑞 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 + 𝛿𝑧
Entonces, al valor de la magnitud 𝑞 lo expresamos: 𝑞 = 𝑞̅ ± 𝛿𝑞
ii) Magnitud que es la diferencia de otras dos que se miden directamente:
Si 𝑞 = 𝑥 − 𝑦 , entonces el valor mejor estimado es: 𝑞̅ = 𝑥̅ − 𝑦̅
La incerteza para q será:
𝛿𝑞 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦
Entonces, al valor de la magnitud 𝑞 lo expresamos: 𝑞 = 𝑞̅ ± 𝛿𝑞
Ejemplo:
Se desea determinar el volumen de un cuerpo utilizando una probeta (vaso con una escala
de volúmenes) cuya menor división de la escala es de 2 ml. Para eso, se mide un volumen de
agua en la probeta (𝑉1 ) y luego se sumerge el cuerpo y se vuelve a medir el volumen que se
indica en la probeta (𝑉2 ). De esta manera, se determina el volumen del cuerpo como:
𝑉 = 𝑉 2 – 𝑉1
Se realizan 9 veces la medida de 𝑉1 y se determina con la calculadora el valor promedio,
𝑉̅1 = 54,776 𝑚𝑙 y la desviación standard 𝜎𝑉1 = 0,142418 𝑚𝑙.
También se realizan 9 veces la medida de 𝑉2 y con la calculadora se determina el valor
promedio 𝑉̅2 = 254,678 𝑚𝑙 y la desviación standard 𝜎𝑉2 = 0,132417 𝑚𝑙.
a) Expresa el resultado de la medición del 𝑉1
b) Expresa el resultado de la medición del 𝑉2
36
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
c) ¿Cuál de las dos mediciones es de mejor calidad?
d) ¿Cuál es el resultado de la medición de V?
a) Resultado de la medición de 𝑉1
Vimos anteriormente que, en el caso de medidas repetidas al resultado de una medición lo
expresábamos de la siguiente manera:
𝑥 = 𝑥̅ ± 𝛿𝑥
Donde:
𝑥̅ : el valor promedio de las mediciones
𝛿𝑥 : el error absoluto: 𝛿𝑥 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝑒𝑑𝑒𝑓 + 𝑒𝑖𝑛𝑡 + 𝐸 = 𝑒𝑚𝑖𝑛 + 𝐸
El valor promedio es dato del problema:
𝑉̅1 = 54,776 𝑚𝑙
A continuación, calculamos la incerteza o error absoluto:
El valor de la desviación Standar es:
𝜎𝑉1 = 0,142418 𝑚𝑙.
Entonces:
𝐸=
𝜎𝑉1
√𝑁
=
0,142418 𝑚𝑙
√9
= 0,047472666 𝑚𝑙
Calculamos el error de apreciación:
𝑒𝑎𝑝 =
𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 𝑚𝑙
=
= 1 𝑚𝑙
2
2
Entonces, el error absoluto es:
𝛿𝑥 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝑒𝑑𝑒𝑓 + 𝑒𝑖𝑛𝑡 + 𝐸 = 𝑒𝑚𝑖𝑛 + 𝐸 = 1 𝑚𝑙 + 0,047472666 𝑚𝑙 = 1,047472666 𝑚𝑙
Redondeando el error absoluto a una sola cifra significativa, nos queda:
𝛿𝑥 = 1 𝑚𝑙
37
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
A continuación, redondeamos el valor del mejor estimado, para que sea coherente con el
error absoluto:
𝑉̅1 = 54,776 𝑚𝑙
𝑉̅1 = 55 𝑚𝑙
El resultado de la medición del volumen, 𝑉1 es:
𝑉1 = (55 ± 1) 𝑚𝑙
b) Resultado de la medición de 𝑉2
El valor promedio es dato del problema:
𝑉̅2 = 254,678 𝑚𝑙
A continuación, calculamos la incerteza o error absoluto:
El valor de la desviación Standar es:
𝜎𝑉2 = 0,132417 𝑚𝑙.
Entonces:
𝐸=
𝜎𝑉1
√𝑁
=
0,132417 𝑚𝑙
√9
= 0,044139 𝑚𝑙
Calculamos el error de apreciación:
𝑒𝑎𝑝 =
𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 𝑚𝑙
=
= 1 𝑚𝑙
2
2
Entonces, el error absoluto es:
𝛿𝑥 = 𝑒𝑎𝑝 + 𝑒𝑑𝑒𝑓 + 𝑒𝑖𝑛𝑡 + 𝐸 = 𝑒𝑚𝑖𝑛 + 𝐸 = 1 𝑚𝑙 + 0,044139 𝑚𝑙 = 1,044139 𝑚𝑙
Redondeando el error absoluto a una sola cifra significativa, nos queda:
𝛿𝑥 = 1 𝑚𝑙
38
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
A continuación, redondeamos el valor del mejor estimado, para que sea coherente con el
error absoluto:
𝑉̅2 = 254,678 𝑚𝑙
𝑉̅1 = 255 𝑚𝑙
El resultado de la medición del volumen, 𝑉2 es:
𝑉2 = (255 ± 1) 𝑚𝑙
c) Para determinar cuál de las dos mediciones es la de mejor calidad debemos determinar los
errores absolutos de cada una de las mediciones y luego comparar los resultados:
𝑒𝑟𝑒𝑙 =
𝑉1 = (55 ± 1) 𝑚𝑙
𝑉2 = (255 ± 1) 𝑚𝑙
𝑒𝑟𝑒𝑙 1 =
𝑒𝑟𝑒𝑙 2 =
𝛿𝑥
𝑥̅
1 𝑚𝑙
55 𝑚𝑙
= 0,0181818
1 𝑚𝑙
255 𝑚𝑙
= 3,92156810−3
Como el error relativo de la medición de 𝑉1 es menor que el error relativo de la medición de
𝑉2 , entonces, la medición de mejor calidad es la de 𝑉2 .
d) Cálculo de 𝑉
Al volumen del cuerpo lo calculamos de la siguiente manera:
𝑉 = 𝑉 2 – 𝑉1
39
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Recordemos que en el caso de mediciones indirectas (como lo es la del volumen del cuerpo)
si la magnitud que deseamos calcular se calcula como la diferencia de otras dos que se miden
directamente,
𝑞 = 𝑥−𝑦
Entonces, el valor mejor estimado es: 𝑞̅ = 𝑥̅ − 𝑦̅
La incerteza para q será:
𝛿𝑞 = 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦
Entonces el resultado de la medición queda expresado de la siguiente manera:
𝑞 = 𝑞̅ ± 𝛿𝑞
𝑉 = 𝑉 2 – 𝑉1
𝑉̅ = 𝑉̅2 − 𝑉̅1
𝛿𝑉 = 𝛿𝑉1 + 𝛿𝑉2
Entonces:
𝑉̅ = 𝑉̅2 − 𝑉̅1 = 255 𝑚𝑙 − 55 𝑚𝑙 = 200 𝑚𝑙
𝛿𝑉 = 𝛿𝑉1 + 𝛿𝑉2 = 1 𝑚𝑙 + 1 𝑚𝑙 = 2 𝑚𝑙
Entonces, el resultado de la medición del volumen del cuerpo es:
𝑉 = (200 ± 2)𝑚𝑙
3) Magnitud que es el producto de otras que se miden directamente:
Si 𝑞 = 𝑥. 𝑦. 𝑧
Al valor mejor estimado lo calculamos como: 𝑞̅ = 𝑥̅ . 𝑦̅. 𝑧̅
y al error absoluto lo calculamos a partir de la siguiente expresión:
𝛿𝑞 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧
=
+
+
𝑞̅
𝑥̅
𝑦̅
𝑧̅
40
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
Entonces, el resultado de la medición de la magnitud 𝑞 es:
𝑞 = 𝑞̅ ± 𝛿𝑞
Ejemplo:
En una experiencia de laboratorio, un estudiante debe determinar el valor del área de una
superficie rectangular. Para ello mide la longitud de la base y la longitud de la altura de la
superficie. Los valores obtenidos son:
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑏 = (12,05 ± 0,01)𝑐𝑚
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = ℎ = (16,04 ± 0,03)𝑐𝑚
De acuerdo a lo señalado anteriormente, el resultado del cálculo del área es:
𝐴 = 𝐴̅ ± 𝛿𝐴
𝐴̅ = 𝑏̅. ℎ̅ = 12,05 𝑐𝑚. 16,04 𝑐𝑚 = 193,282 𝑐𝑚2
𝛿𝐴 𝛿𝑏 𝛿ℎ
= ̅ + ̅
𝐴̅
𝑏
ℎ
De la expresión anterior calculamos el error absoluto de la medición del área:
𝛿𝑏 𝛿ℎ
0,01 𝑐𝑚
0,03 𝑐𝑚
𝛿𝐴 = ( ̅ + ̅ ) 𝐴̅ = (
+
) . 193,282 𝑐𝑚2 = 0,5219𝑐𝑚2
12,05
𝑐𝑚
16,04
𝑐𝑚
𝑏
ℎ
Redondeamos el valor del error absoluto a una sola cifra significativa:
𝛿𝐴 = 0,5219𝑐𝑚2
𝛿𝐴 = 0,5 𝑐𝑚2
41
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
A continuación, redondeamos el valor del mejor estimado, para que sea coherente con el
error absoluto:
𝐴̅ = 193,282 𝑐𝑚2
𝐴̅ = 193,3 𝑐𝑚2
Entonces, el resultado de la medición del área es:
𝐴 = (193,3 ± 0,5)𝑐𝑚2
4) Magnitud que es el producto de potencias de otras magnitudes que se miden directamente:
Si 𝑞 = 𝑥 𝑎 . 𝑦 𝑏 . 𝑧 𝑐
Al valor mejor estimado lo calculamos como:
𝑞̅ = 𝑥̅ 𝑎 . 𝑦̅ 𝑏 . 𝑧̅ 𝑐
y al error absoluto lo calculamos a partir de la siguiente expresión:
𝛿𝑞
𝛿𝑥
𝛿𝑦
𝛿𝑧
= |𝑎 | + |𝑏 |
+ |𝑐 |
𝑞̅
𝑥̅
𝑦̅
𝑧̅
Entonces, el resultado de la medición de la magnitud 𝑞 es:
𝑞 = 𝑞̅ ± 𝛿𝑞
Ejemplo:
En una experiencia de laboratorio, un estudiante debe determinar el valor de la aceleración
de la gravedad, 𝑔, para ello mide el tiempo 𝑡 que tarda una piedra en caer desde una altura ℎ
por encima del piso. Concluye que 𝑡 = (1,6 ± 0,1) 𝑠 y que ℎ = (12,58 ± 0,09) 𝑚. La
42
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
relación entre ℎ y 𝑔 es: ℎ = (1/2) 𝑔𝑡 2 .
Expresa el resultado de la medición de la
aceleración de la gravedad.
ℎ = (1/2) 𝑔𝑡 2
𝑔=
2ℎ
= 2ℎ. 𝑡 −2
𝑡2
Vimos anteriormente que, al resultado de la medición de la aceleración de la gravedad se
debe expresar de la siguiente manera:
𝑔 = (𝑔̅ ± 𝛿𝑔)
En donde 𝑔̅ :
𝑔̅ =
2ℎ̅
𝑚
̅ . 𝑡̅ −2 = 2.12,58 𝑚. (1,6 𝑠)−2 = 9,828125
=
2ℎ
𝑡̅ 2
𝑠2
y, al error absoluto,𝛿𝑔 , lo calculamos a partir de la siguiente expresión:
𝛿𝑔
𝛿2
𝛿ℎ
𝛿𝑡
= |1| ̅ + |1| ̅ + |−2|
𝑔̅
𝑡̅
2
ℎ
𝛿2 = 0, ya que es una entidad matemática cuyo valor exacto conocemos.
Entonces, el error absoluto de la aceleración de la gravedad es:
𝛿𝑔 𝛿ℎ
𝛿𝑡
= ̅ +2
𝑔̅
𝑡̅
ℎ
43
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝛿ℎ
𝛿𝑡
0,09 𝑚
0,1 𝑠
𝑚
𝑚
𝛿𝑔 = ( ̅ + 2 ) 𝑔̅ = (
+ 2.
) . 9,828125 2 = 1,298828125 2
𝑡̅
12,58 𝑚
1,6 𝑠
𝑠
𝑠
ℎ
Redondeamos el valor del error absoluto a una sola cifra significativa:
𝛿𝑔 = 1,298828125
𝛿𝑔 = 1
𝑚
𝑠2
𝑚
𝑠2
A continuación, redondeamos el valor del mejor estimado, para que sea coherente con el
error absoluto:
𝑔̅ = 9,828125
𝑔̅ = 10
𝑚
𝑠2
𝑚
𝑠2
Entonces, el resultado de la medición de la aceleración de la gravedad es:
𝑔 = (10 ± 1)
𝑚
𝑠2
Ejemplo:
En la figura se muestra un corte de un cascarón esférico de plomo relleno de aire. Se mide el
radio externo del mismo.
El resultado de la medición del radio exterior es: 𝑅𝑒 = (109  1)10−3 𝑚 y el resultado de
la medición del radio interior 𝑅𝑖 = (98 ± 1) 10−3 𝑚. ¿Cuál es el resultado de la medición
del volumen de plomo?
e
Cascarón esférico de
plomo
44
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
El volumen de un cascarón esférico lo podemos calcular de la siguiente manera:
𝑉𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎𝑟𝑜𝑛 = 𝑉𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 − 𝑉𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
𝑉𝑐 = 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
Al resultado de la medición del volumen del cascarón se debe expresar de la siguiente
manera:
𝑉𝑐 = (𝑉̅𝑐 ± 𝛿𝑉𝑐 )
𝑉̅𝑐 es igual a:
𝑉̅𝑐 = 𝑉̅𝑒 − 𝑉̅𝑖
y el error absoluto: 𝛿𝑉𝑐 = 𝛿𝑉𝑒 + 𝛿𝑉𝑖
Primero, vamos a determinar el resultado de la medición del volumen externo:
𝑉𝑒 = 𝑉̅𝑒 ± 𝛿𝑉𝑒
4
𝑉𝑒 = 𝜋𝑅𝑒3
3
En donde 𝑉̅𝑒 :
4
4
𝑉̅𝑒 = 𝜋𝑅̅𝑒3 = 𝜋(109. 10−3 𝑚)3 = 5,4260479. 10−3 𝑚3
3
3
y el error absoluto del volumen externo lo calculamos a partir de la siguiente expresión:
𝛿𝑉𝑒 𝛿(4⁄3) 𝛿𝜋
𝛿𝑅𝑒
=
+
+ |3 | ̅
̅
4⁄3
𝜋̅
𝑉𝑒
𝑅𝑒
45
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝛿(4⁄3)
4⁄3
𝛿𝜋
𝜋
̅
= 0 ya que es una entidad matemática cuyo valor exacto conocemos.
≅ 0 ya que su valor es despreciable frente a los demás errores.
𝛿𝑅𝑒
1𝑚
𝛿𝑉𝑒 = (3. ̅ ) 𝑉̅𝑒 = 3
0,0054260479. 10−3 𝑚3 = 1,493010493. 10−4 𝑚3
109 𝑚
𝑅𝑒
Redondeamos el valor del error absoluto a una sola cifra significativa:
𝛿𝑉𝑒 = 1,493010493. 10−4 𝑚3
𝛿𝑉𝑒 = 1. 10−4 𝑚3
A continuación, redondeamos el valor del mejor estimado, para que sea coherente con el
error absoluto:
𝑉̅𝑒 = 5,4260479. 10−3 𝑚3
Al resultado de la mejor estimado del volumen lo expresamos con la misma potencia de diez
que el error absoluto:
𝑉̅𝑒 = 54,260479. 10−4 𝑚3
𝑉̅𝑒 = 54. 10−4 𝑚3
Entonces, el resultado de la medición del volumen externo es:
𝑉𝑒 = (54 ± 1). 10−4 𝑚3
46
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
A continuación, vamos a determinar el resultado de la medición del volumen interno:
𝑉𝑖 = 𝑉̅𝑖 ± 𝛿𝑉𝑖
4
𝑉𝑖 = 𝜋𝑅𝑖3
3
En donde 𝑉̅𝑖 :
4
4
𝑉̅𝑖 = 𝜋𝑅̅𝑖3 = 𝜋(98. 10−3 𝑚)3 = 3,94245583. 10−3 𝑚3
3
3
y el error absoluto del volumen externo lo calculamos a partir de la siguiente expresión:
𝛿𝑉𝑖 𝛿(4⁄3) 𝛿𝜋
𝛿𝑅
|3 | 𝑖
=
+
+
4⁄3
𝜋̅
𝑉̅𝑖
𝑅̅𝑖
𝛿(4⁄3)
4⁄3
𝛿𝜋
𝜋
̅
= 0 ya que es una entidad matemática cuyo valor exacto conocemos.
≅ 0 ya que su valor es despreciable frente a los demás errores.
𝛿𝑅𝑖
1𝑚
𝛿𝑉𝑖 = (3. ̅ ) 𝑉̅𝑖 = 3
. 3,94245583. 10−3 𝑚3 = 1,206874234. 10−4 𝑚3
98 𝑚
𝑅𝑖
Redondeamos el valor del error absoluto a una sola cifra significativa:
𝛿𝑉𝑖 = 1,206874234. 10−4 𝑚3
47
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝛿𝑉𝑖 = 1. 10−4 𝑚3
A continuación, redondeamos el valor del mejor estimado, para que sea coherente con el
error absoluto:
𝑉̅𝑖 = 3,94245583. 10−3 𝑚3
Al resultado de la mejor estimado del volumen lo expresamos con la misma potencia de diez
que el error absoluto:
𝑉̅𝑖 = 39,4245583. 10−4 𝑚3
𝑉̅𝑖 = 39. 10−4 𝑚3
Entonces, el resultado de la medición del volumen interno es:
𝑉𝑖 = (39 ± 1). 10−4 𝑚3
Finalmente, expresamos el resultado de la medición del volumen del cascaron, 𝑉𝑐 :
𝑉𝑐 = 𝑉̅𝑐 ± 𝛿𝑉𝑐
Teniendo en cuenta que:
𝑉𝑒 = (54 ± 1). 10−4 𝑚3
𝑉𝑖 = (39 ± 1). 10−4 𝑚3
𝑉̅𝑐 es igual a:
48
Apuntes de errores- Liliana Ledesma
𝑉̅𝑐 = 𝑉̅𝑒 − 𝑉̅𝑖 = 54. 10−4 𝑚3 − 39. 10−4 𝑚3 = 15. 10−4 𝑚3
y el error absoluto: 𝛿𝑉𝑐 = 𝛿𝑉𝑒 + 𝛿𝑉𝑖 = 1. 10−4 𝑚3 + 1. 10−4 𝑚3 = 2. 10−4 𝑚3
Entonces, el resultado de la medición del cascarón esférico es:
𝑉𝑐 = (15 ± 2). 10−4 𝑚3
49