ECUACIONES DIFERENCIALES
Capítulo # …
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Introducción:
La teoría de las transformadas o transformaciones de Laplace, conocida también
con el nombre de cálculo operacional tiene gran importancia en el estudio de las
ecuaciones diferenciales porque facilita de gran manera la resolución de las mismas
debido a que prácticamente elimina el proceso de integración.
Definición:
Sea 𝑭(𝒕) una función de 𝒕 definida para 𝒕 > 𝟎. La transformada de Laplace de
𝑭(𝒕), denotada por: 𝓛{𝑭(𝒕)}, donde “𝓛 “ frecuentemente se denomina operador de la
transformada de Laplace el mismo es un operador lineal se define como una integral
impropia tipo uno, primera especie, es decir:
∞
𝓛{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) = ∫ 𝒆−𝒔𝒕 𝑭(𝒕)𝒅𝒕
𝟎
Donde se supone, que el parámetro s es real. Se dice que la transformada de Laplace
de 𝑭(𝒕) existe cuando la integral impropia es convergente para algún valor de s, caso
contrario se dirá que la transformada de Laplace no existe.
Notación:
Cuando se indique con mayúscula una función de 𝒕, como 𝑭(𝒕), 𝑮(𝒕), 𝒀(𝒕), 𝑒𝑡𝑐. La
transformada de Laplace de dicha función se denotará por la correspondiente letra
minúscula, es decir: 𝒇(𝒔), 𝒈(𝒔), 𝒚(𝒔), 𝑒𝑡𝑐. Cabe hacer notar que la variable 𝒕 representa
al tiempo y s a la frecuencia, en ese sentido podemos decir que al aplicar la transformada
de Laplace a una ecuación vamos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
Ejem. 1 Hallar la trasformada de Laplace de las siguientes funciones por definición:
Continuidad Seccional o a Trazos:
Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un
intervalo 𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒃 si es posible partir el intervalo en un número finito de sub-intervalos
de tal manera que la función sea continua en cada uno de ellos y tenga límites laterales.
Funciones de Orden Exponencial:
Si existen constantes reales 𝑴 > 𝟎 y 𝜸 tales que para todo 𝒕 > 𝑵
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|𝒆−𝜸𝒕 𝑭(𝒕)| < 𝑴 𝒐 |𝑭(𝒕)| < 𝑴𝒆𝜸𝒕
Se dice que 𝑭(𝒕) es una función de orden exponencial 𝜸 cuando 𝒕 → ∞, o simplemente
que es una función exponencial.
Condiciones Suficientes para la Existencia de la Transformada de Laplace:
Si 𝑭(𝒕) es seccionalmente continua en cada intervalo finito 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝑵 de orden
exponencial 𝜸 para 𝒕 > 𝑵, entonces existe la transformada de Laplace 𝒇(𝒔) para todo
𝒔 > 𝜸.
Las condiciones establecidas son suficientes, pero no necesarias para garantizar
la existencia de la transformada de Laplace, por lo cual, si estas condiciones no son
satisfechas, la transformada de Laplace puede o no existir.
Propiedades de la Transformada de Laplace:
1. Linealidad:
Si 𝑪𝟏 𝒚 𝑪𝟐 son constantes con 𝑭𝟏 (𝒕) 𝑦 𝑭𝟐 (𝒕) funciones cuyas transformadas de
Laplace son 𝒇𝟏 (𝒔) 𝑦 𝒇𝟐 (𝒔) entonces:
ℒ{𝑪𝟏 𝑭𝟏 (𝒕) ± 𝑪𝟐 𝑭𝟐 (𝒕)} = 𝑪𝟏 𝓛{𝑭𝟏 (𝒕)} ± 𝑪𝟐 𝓛{𝑭𝟐 (𝒕)} = 𝑪𝟏 𝒇𝟏 (𝒔) ± 𝑪𝟐 𝒇𝟐 (𝒔)
2. Primera Propiedad de Traslación:
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces: ℒ{𝒆𝒂𝒕 𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔 − 𝒂)
3. Segunda Propiedad de Traslación:
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) y 𝑮(𝒕) = {
𝑭(𝒕 − 𝒂), 𝒕 > 𝒂
entonces: ℒ{𝑮(𝒕)} = 𝒆𝒂𝒕 𝒇(𝒔)
𝟎, 𝒕 < 𝒂
4. Propiedad de Cambio de Escala:
𝟏
𝒂
𝒔
𝒂
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces: ℒ{𝑭(𝒂𝒕)} = 𝒇 ( )
5. Multiplicación por 𝒕𝒏 :
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces: ℒ{𝒕𝒏 𝑭(𝒕)} = (−𝟏)𝒏
𝒅𝒏
𝒇(𝒔)
𝒅𝒏 𝒔
6. División por t:
𝑭(𝒕)
}
𝒕
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces: ℒ{
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∞
= ∫𝒔 𝒇(𝒖)𝒅𝒖
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7. Funciones Periódicas:
Sea 𝑭(𝒕) una función con periodo 𝑻 > 𝟎 tal que: 𝑭(𝒕 + 𝑻) = 𝑭(𝒕) entonces:
𝑻
ℒ{𝑭(𝒕)} =
∫𝟎 𝒆−𝒔𝒕𝑭(𝒕)𝒅𝒕
𝟏−𝒆−𝒔𝑻
8. Transformada de Laplace de las Derivadas:
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces: ℒ{𝑭′(𝒕)} = 𝒔𝒇(𝒔) − 𝑭(𝟎)
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces: ℒ{𝑭′′(𝒕)} = 𝒔𝟐 𝒇(𝒔) − 𝒔𝑭(𝟎) − 𝑭′(𝟎)
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces:
ℒ{𝑭′′′(𝒕)} = 𝒔𝟑 𝒇(𝒔) − 𝒔𝟐 𝑭(𝟎) − 𝒔𝑭′ (𝟎) − 𝑭′′(𝟎)
⋮
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces:
ℒ{𝑭(𝒏) (𝒕)} = 𝒔𝒏 𝒇(𝒔) − 𝒔𝒏−𝟏 𝑭(𝟎) − 𝒔𝒏−𝟐 𝑭′ (𝟎) − ⋯ − 𝒔𝑭𝒏−𝟐 (𝟎) − 𝑭𝒏−𝟏 (𝟎)
9. Transformada de Laplace de Integrales:
𝒕
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces: ℒ{∫𝟎 𝑭(𝒖)𝒅𝒖} =
𝒇(𝒔)
𝒔
Comportamiento de f(s) cuando 𝒔 → ∞:
Si ℒ{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces:
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒔) = 𝟎
𝒔→∞
1. Teorema del Valor Inicial:
Si existen los límites indicados, entonces:
𝐥𝐢𝐦 𝑭(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒇(𝒔)
𝒕→𝟎
𝒔→∞
2. Teorema del Valor Final:
Si existen los límites indicados, entonces:
𝐥𝐢𝐦 𝑭(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒇(𝒔)
𝒕→∞
𝒔→𝟎
Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:
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Nro.
1
F(t)
1
F(s)
𝟏
𝒔
2
𝒕
𝟏
𝒔𝟐
3
𝒕𝒏 , 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, …
4
𝒕𝒏 , 𝒏 > 𝟎
𝒕𝒏−𝟏
𝜞(𝒏)
5
𝒂𝒕
𝟏
𝒔 − 𝐥𝐧 𝒂
6
𝒆𝒂𝒕
𝟏
𝒔−𝒂
7
𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕
8
𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒕
9
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕
10
𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒂𝒕
𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
𝒔𝟐
𝒂
+ 𝒂𝟐
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
𝒔𝟐
𝒂
− 𝒂𝟐
𝒔𝟐
𝒔
− 𝒂𝟐
Métodos para calcular la Transformada de Laplace:
Existen varios métodos para calcular transformadas, entre estos tenemos:
1. Método Directo: Haciendo uso directo de la definición.
2. Mediante el uso de Tablas: Haciendo uso de las propiedades y tablas.
3. Método de las Ecuaciones Diferenciales: Consiste en hallar una ecuación
diferencial que sea satisfecha por 𝑭(𝒕) y aplicar luego las propiedades de las
transformadas.
4. Método de las Series: Si 𝑭(𝒕) se puede desarrollar mediante series de la forma:
∞
𝑭(𝒕) = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 𝒕 + 𝒂𝟐
𝒕𝟐
+ 𝒂𝟑
𝒕𝟑
+ ⋯ = ∑ 𝒂𝒏 𝒕𝒏
𝒏=𝟎
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Su transformada puede calcularse tomando la suma de la transformada de
Laplace de cada una de los sumandos de la serie.
∞
𝒂𝒐 𝒂𝟏 𝟐! ∙ 𝒂𝟐 𝟑! ∙ 𝒂𝟑
𝒂𝒏
𝓛{𝑭(𝒕)} =
+ 𝟐+
+
+ ⋯ = ∑ 𝒏+𝟏
𝟑
𝟒
𝒔
𝒔
𝒔
𝒔
𝒔
𝒏=𝟎
Una condición baja la cual este resultado es válido es que la serie sea
convergente para 𝒔 > 𝜸.
Ejem. 2 Mediante el uso de tablas y propiedades hallar la transformada de Laplace de
las siguientes funciones:
Transformada Inversa de Laplace:
Si la transformada de Laplace de una función 𝑭(𝒕) es 𝒇(𝒔), es decir: 𝓛{𝑭(𝒕)} =
𝒇(𝒔), entonces 𝑭(𝒕) se llama una transformada inversa de Laplace de 𝒇(𝒔) y se expresa
por 𝑭(𝒕) = 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)}, donde 𝓛−𝟏 se denomina el operador transformada inversa de
Laplace o anti-transformada.
Unicidad de la Transformada Inversa de Laplace:
Como la transformada de Laplace de una función no nula Ŋ(𝒕) es cero, por lo cual
es claro decir que 𝓛{𝑭(𝒕)} = 𝒇(𝒔) entonces 𝓛{𝑭(𝒕) + Ŋ(𝒕)} = 𝒇(𝒔). De esto se deduce que
puede haber dos funciones diferentes con la misma transformada de Laplace.
Si consideramos las funciones nulas, que la anti-transformada de Laplace no es
única. Sin embargo, es única cuando trabajamos con funciones no nulas, este resultado
se establece en el teorema de Lerch.
Teorema de Lerch: Si consideramos solamente las funciones 𝑭(𝒕) que son
seccionalmente continuas en cada intervalo 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝑵 y de orden exponencial para 𝒕 >
𝑵, entonces la transformada inversa de Laplace de 𝒇(𝒔) 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕) es única. Se
aceptará siempre esa unicidad menos que se establesca claramente lo contrario.
Propiedades de la Anti-transformada:
1. Linealidad:
Si 𝑪𝟏 𝒚 𝑪𝟐 son constantes con 𝑭𝟏 (𝒕) 𝑦 𝑭𝟐 (𝒕) funciones cuyas transformadas de
Laplace son 𝒇𝟏 (𝒔) 𝑦 𝒇𝟐 (𝒔) entonces:
𝓛−𝟏 {𝑪𝟏 𝒇𝟏 (𝒔) ± 𝑪𝟐 𝒇𝟐 (𝒔)} = 𝑪𝟏 𝓛−𝟏 {𝒇𝟏 (𝒔)} ± 𝑪𝟐 𝓛−𝟏 {𝒇𝟐 (𝒔)} = 𝑪𝟏 𝑭𝟏 (𝒕) ± 𝑪𝟐 𝑭𝟐 (𝒕)
2. Primera Propiedad de Traslación:
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Si 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕) entonces: 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔 − 𝒂)} = 𝒆𝒂𝒕 𝑭(𝒕)
3. Segunda Propiedad de Traslación:
𝑭(𝒕 − 𝒂), 𝒕 > 𝒂
Si 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)} = 𝒆−𝒂𝒔 𝒇(𝒔) y = {
𝟎, 𝒕 < 𝒂
4. Propiedad de Cambio de Escala:
𝟏
𝒂
𝒕
𝒂
Si 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕) entonces: 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒂𝒔)} = 𝑭 ( )
5. Multiplicación por 𝒔𝒏 :
Si 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕) y 𝑭(𝟎) = 𝟎 entonces: 𝓛−𝟏 {𝒔𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕)
𝓛−𝟏 {𝒔𝒇(𝒔) − 𝑭(𝟎)} = 𝑭′(𝒕)
−𝟏 𝟐
𝓛 {𝒔 𝒇(𝒔) − 𝒔𝑭(𝟎) − 𝑭′(𝟎)} = 𝑭′′(𝒕)
−𝟏
𝓛 {𝒔𝟑 𝒇(𝒔) − 𝒔𝟐 𝑭(𝟎) − 𝒔𝑭′ (𝟎) − 𝑭′′ (𝟎)} = 𝑭′′′(𝒕)
⋮
6. División por s:
𝒇(𝒔)
}
𝒔
Si 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕) entonces: 𝓛−𝟏 {
𝒕
= ∫𝟎 𝑭(𝒖)𝒅𝒖
7. Transformada Inversa de Laplace de las Derivadas:
Si 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕), entonces: 𝓛−𝟏 {
𝒅𝒏
𝒅𝒔𝒏
𝒇(𝒔)} = (−𝟏)𝒏 𝒕𝒏 𝑭(𝒕)
8. Transformada Inversa de Laplace de Integrales:
∞
Si 𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕) entonces: ℒ{∫𝒔 𝒇(𝒖)𝒅𝒖} =
𝑭(𝒕)
𝒕
9. Propiedad de Convolución:
𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)} = 𝑭(𝒕) y 𝓛−𝟏 {𝒈(𝒔)} = 𝑮(𝒕), entonces:
𝒕
𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔) ∙ 𝒈(𝒔)} = ∫ 𝑭(𝒖) ∙ 𝑮(𝒕 − 𝒖)𝒅𝒖 = 𝑭 ∗ 𝑮
𝟎
Métodos para Hallar la Transformada Inversa de Laplace:
Existen varios métodos para determinar la transformada inversa de Laplace,
algunos de los cuales son los siguientes:
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1. Método de la Fracciones Parciales: Consiste en expandir en fracciones
parciales la fracción a anti-transformar para luego mediante propiedades y
tablas determinar la transformada inversa de Laplace, no se debe olvidar
verificar las condiciones de la expansión en fracciones parciales antes de
proceder con el método.
2. Desarrollo de Heaviside: Sean P(s) y Q(s) polinomios en los cuales P es de
grado menor que Q y Q(s) con n ceros diferentes 𝒂𝒌 , con k = 1, 2, 3,…, n.
Entonces:
𝒏
𝓛−𝟏
𝑷(𝒔)
𝑷(𝒂𝒌 ) 𝒂 𝒕
{
}=∑
𝒆 𝒌
𝑸(𝒔)
𝑸′(𝒂𝒌 )
𝒌=𝟏
Para raíces repetidas (múltiples) tendremos las siguientes fórmulas:
𝑷(𝒔)
𝑨𝟏
𝑨𝟐
𝑨𝟑
𝑨𝒏−𝟏
𝑨𝒏
𝒇(𝒔) =
=
+
+
+ ⋯+
+
𝒎
𝒎−𝟏
𝒎−𝟐
𝟐
(𝒔 − 𝒂)
𝑸(𝒔) (𝒔 − 𝒂)
(𝒔 − 𝒂)
(𝒔 − 𝒂)
𝒔−𝒂
Donde:
𝟏
𝒅𝒌
{(𝒔 − 𝒂)𝒎 ∙ 𝒇(𝒔)} 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒎
𝑨𝒌 = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝒂 (𝒌 − 𝟏)! 𝒅𝒔𝒌
𝓛−𝟏 {𝒇(𝒔)}
=
𝒆𝒂𝒕
𝑨𝟏 𝒕𝒎−𝟏
𝑨𝟐 𝒕𝒎−𝟐
{
+
+ ⋯ + 𝑨𝒎 }
(𝒎 − 𝟏)! (𝒎 − 𝟐)!
3. Método de las Series: Si 𝒇(𝒔) tiene un desarrollo en serie de potencias de los
recíprocos de s dados por:
∞
𝒂𝒐 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑
𝒂𝒏
𝒇(𝒔) =
+ 𝟐 + 𝟑 + 𝟒 + ⋯ = ∑ 𝒏+𝟏
𝒔
𝒔
𝒔
𝒔
𝒔
𝒏=𝟎
Entonces, dentro de algunas condiciones, podemos invertir término a término
para llegar a:
∞
𝒂𝟐 𝒕𝟐 𝒂𝟑 𝒕𝟑
𝒂𝒏 𝒕𝒏
𝑭(𝒕) = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 𝒕 +
+
+⋯= ∑
𝟐!
𝟑!
𝒏!
𝒏=𝟎
Ejem. 3 Hallar la anti-transformada de las siguientes funciones:
Ecuaciones Diferenciales Mediante Transformada de Laplace:
La transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones
diferenciales de orden n, así como para sistemas de ecuaciones diferenciales de orden
n, esto debido a que casi elimina por completo el proceso de integración. El proceso
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para resolver ecuaciones diferenciales de orden n mediante transformada de Laplace
es el siguiente:
•
•
•
•
•
•
•
Verificar que la ecuación diferencial tenga tantas condiciones para la función
desconocida y sus derivadas (de preferencia en cero) como orden tiene la
ecuación.
Aplicar la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación.
Reemplazar las condiciones, en caso de que estas no sean en cero reemplazar las
mismas por constantes desconocidas que se evaluarán al final.
Si la ecuación es de coeficientes constantes la misma se transformará en una
ecuación algebraica de primer grado por lo cual solo se despejará la variable que
estará en el dominio de Laplace.
Si la ecuación es de coeficientes variables se convertirá en una ecuación de
primer grado primer orden.
Una vez hallada la solución en el dominio de Laplace se procederá a encontrar la
anti-transformada, con lo cual se obtendrá la solución de la ecuación diferencial.
Finalmente se evaluarán las constantes en caso de que las condiciones no estén
dadas en cero.
La transformada de Laplace puede usarse también para resolver ecuaciones
diferenciales simultáneas; el proceso es esencialmente el mismo descrito
anteriormente, pero se trabajará con cada una de las ecuaciones del sistema.
Ejem. 4 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de
Laplace.
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales:
Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales se aplican los métodos conocidos
de solución de sistemas de ecuaciones algebraicas, si dichos sistemas presentan
condiciones iniciales para la variable de dependiente y sus derivadas se recomienda
aplicar la transformada de Laplace, en otro caso se lleva al operador diferencial D y se
trabaja en forma similar a la de algebra, pero teniendo el cuidado de que los coeficientes
de las variables son ahora funciones u operadores diferenciales. De todos los métodos
algebraicos conocidos (sustitución, igualación, reducción, etc.) se recomiendan los
métodos matriciales especialmente Cramer.
Ejem. 5 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales por un método
adecuado
Ejercicios:
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