Teoría del Consumidor - Dualidad, Elasticidades, Restricciones de la Demanda y Bienestar

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Consumer theory: duality, elasticities,
constraints of the demand and welfare.
Ávalos, Eloy
Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Instituto de Estudios
Sociales del Rímac
4 April 2011
Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/41895/
MPRA Paper No. 41895, posted 12 Oct 2012 13:27 UTC
CIEC
Centro de Investigaciones Económicas
Documento de Trabajo Nº 12
La Teoría del Consumidor: Dualidad, Elasticidades,
Restricciones de la Demanda y Bienestar
por
Eloy Ávalos
Abril 4, 2011
Instituto de Estudios Sociales del Rímac
Lima, Perú
LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR: DUALIDAD, ELASTICIDADES,
RESTRICCIONES DE LA DEMANDA Y BIENESTAR
Eloy ÁVALOS1
Universidad Nacional Mayor de San Marcos e IESR
Primera versión: Abril 2011
Resumen
En el presente documento exploraremos la minimización de gasto,
deduciendo de este planteamiento importantes teoremas, que deben de
cumplirse dadas las condiciones de las preferencias y del conjunto
presupuestario. Estudiaremos las condiciones de restricciones de la
demanda, relacionándolas con las diversas elasticidades de la demanda
marshalliana y hicksiana y finalmente abordaremos el análisis sobre el
bienestar del consumidor ante cambios en los precios.
Número de Clasificación JEL: D01, D11.
Palabras Claves: Función indirecta de utilidad, función de gasto mínimo,
lema de Shephard, identidad de Roy, elasticidades, variación compensatoria,
variación equivalente, excedente del consumidor.
Abstract
In this paper we explore the minimization of expenditure, less important
theorems of this approach, which must be met given the conditions of the
preferences and the budget set. We will study the conditions of constraints of
the demand, relating them to the different elasticities of Marshallian and
Hicksian demands. Finally we will discuss the analysis of consumer welfare
when prices change.
Classification Number JEL: D01, D11.
Key Words: Indirect utility function, minimum expenditure function,
Shephard’s lemma, Roy identity, elasticities, compensating variation,
equivalent variation, consumer surplus.
1
Contacto: Departamento de Economía, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima 01,
Teléfono 619-7000 Anexo 2207; y Centro de Investigaciones Económicas del Instituto de Estudios
Sociales del Rímac, Pueblo Libre. Email: [email protected].
[2]
1. INTRODUCCIÓN
La existencia de la función matemática, llamada función de utilidad, que representa
las preferencias, permite arribar del problema de la elección del consumidor a la teoría de
la demanda individual. Esta función matemática se representa como una función
continua y diferenciable. Esto permite establecer la noción de elasticidad y realizar un
análisis del bienestar del consumidor ante cualquier variación en los precios, sea uno o
todos los que varíen.
2. DUALIDAD DEL CONSUMIDOR
Sea un espacio de consumo dado por Xi = ℝ n+ , sobre el cual se define una relación de
preferencia débil ≿ i , que es completa, transitiva, continua, estrictamente convexa y
monótona; y que puede representarse por una función matemática ui ( x ) : ℝ n+ → ℝ
continua, estrictamente cuasi – cóncava y monótona. Además, se tiene que p ≫ 0 y
mi0 > 0 . Entonces, el problema de elección del consumidor se puede formular de las
siguientes formas, como una maximización y como una minimización,
max
ui ( x )
s. a.
mi0


− px′ ≥ 0   P 

x≥0

(
Solución: x m p , mi0
px′


− ui ( x ) ≤ 0   D 

x≥0

min
ui0
s. a.
(
)
Solución: x h p , ui0
)
2.1 Función indirecta de utilidad
Si x m es solución de [ P] donde la función objetivo es ui ( x ) ; entonces se puede tener
para la solución,
( )
(
)
(
)
u i x m = u i  x m p , m i0  = v i p , m i0 = v i


[3]
Donde v i = v i ( p , m i0 ) es la llamada función indirecta de utilidad. Esta función,
vi : ℝ n++1 → ℝ que asocia el vector par
(p, m )
0
i
a un nivel de utilidad y presenta las
siguientes propiedades,
i.
v i ( p , m i ) es continua en ( p , mi ) , ∀ ( p , m i ) >> 0 .
ii.
v i ( p , m i ) es homogénea de grado cero en ( p , m i ) . Así,
vi ( p , mi ) = vi ( λp , λmi )
, ∀λ ∈ ℝ ++
iii. v i ( p , m i ) es decreciente respecto a p y estrictamente creciente en mi .
iv. v i ( p , m i ) es una función estrictamente cuasi – convexa en p .
2.2 Función de gasto mínimo
Sea xh la solución del dual, luego podemos reemplazar esta solución en la función
objetivo,
(
)
(
)
px h = px h p , u i0 = G i p , u i0 = G i
(
)
Donde G i = G i ( p , u i0 ) es la función de gasto mínimo. Esta función G i p , u i0 : ℝ n+++1 → ℝ
que relaciona un vector de precios y un nivel de utilidad referencial con un gasto
mínimo. Sus propiedades son,
(
) es continua en ( p , u ) , ∀ ( p, u i0 ) >> 0 .
(
) es homogénea de grado uno en
i.
G i p , u i0
ii.
G i p , u i0
(
0
i
)
(
λ G i p , u i0 = G i λ p , u i0
)
,
p . Así, tenemos que,
∀λ ∈ ℝ + +
iii. G i ( p , u i0 ) es creciente en p y es estrictamente creciente en ui0 .
iv. G i ( p , u i0 ) es cóncava en precios p .
2.3 Implicancias de la dualidad
a.
Lema de Shephard
[4]
(
)
Por el teorema de la envolvente, dada la función de gasto mínimo, G i p, u i0 , se
tiene,
∂G
∂L
= λ i − λxkh = 0 , ∀k = 1,2,… , n.
∂pk
∂pk
De donde,
∂Gi
= xkh
∂pk
, ∀k = 1,2,… , n.
b. Identidad de Roy
Utilizando la v i ( p , m i ) y el teorema de la envolvente, se tiene,
∂L ∂vi
=
− λxkm = 0 , ∀k = 1,2,… , n.
∂pk ∂pk
Luego, respecto al ingreso,
∂L ∂vi
=
+λ =0
∂mi ∂mi
Despejando y dividiendo la primera ecuación entre la segunda, se tiene,
∂vi
∂
p
x km = − k
∂vi
∂mi
c.
, ∀k = 1,2,… , n.
Ecuación de Slutsky
De acuerdo al programa de optimización [ P] y al programa dual [ D] , es posible,
dado ui ( ⋅) para un valor determinado como ui0 , y dado un vector de precios, p 0 , tener,
xm = xh
(
x m ( p , mi ) = x h p , ui0
)
Luego, diferenciando respecto a un precio de un bien determinado, pk , se tiene,
∂x m ∂x m ∂G i ∂x h
+
=
∂p k ∂mi ∂p k ∂p k
[5]
A continuación deducimos,2
∂x m ∂x h ∂x m ∂G i
=
−
∂p k ∂p k ∂mi ∂p k
Y dado que el gasto mínimo variará en una magnitud equivalente a la cantidad ante
un cambio infinitesimal del precio, se tiene,
∂x m ∂x h
∂x m
=
− x km
∂p k ∂p k
∂mi
Donde,
∂x h
mide el efecto sustitución.
∂p k
x km
∂x m
mide el efecto ingreso.
∂mi
∂x m
es el efecto total.
∂p k
Entonces, de la dualidad del consumidor, se puede plantear un conjunto de
relaciones importantes, las cuáles serán útiles para resolver un conjunto de problemas.
Por ejemplo, podemos encontrar a partir de la función de gasto mínimo la función de
demanda marshalliana.
Así procederemos, primero invirtiendo la función de gasto mínimo y a continuación
despejamos la función indirecta de utilidad. Luego, aplicamos la identidad de Roy para
llegar finalmente a la demanda marshalliana.
Veamos en el siguiente esquema las relaciones posibles que se pueden obtener dada
la dualidad del programa de optimización en la que se presenta la elección del
consumidor,
2
Otra forma de deducir la ecuación de Slutsky es a partir de las condiciones de primer orden del
programa de optimización, tal como hicimos en ÁVALOS (2010: p. 14 – 24).
[6]
ui ( x )


mi0 − px′ ≥ 0   P 

x≥0

↓
max
s. a.
Identidad
ր
↓
de
Roy
(
p , mi0


− ui ( x ) ≤ 0   D 

x≥0

↓
ui0
s. a.
Demanda Marshalliana
x km
px′
min
Demanda Hicksiana
)
(
x kh p , ui0
( )
px
↓
↓
(
vi = vi p , mi0
տ
↓
ui = ui x m
տ
)
h
(
)
Gi = Gi p , ui0
)
ր
Lema
de
Shepard
Verificándose las siguientes propiedades,
(
)
i.
Gi  p, vi p, mi0  = mi0


ii.
vi p, Gi p, ui0  = ui0


(
(
)
)
(
)
iii. x m p, mi0 = x h  p, vi p, mi0 


(
)
(
)
iv. x h p, ui0 = x m p, Gi p, ui0 


3. ELASTICIDADES
La elasticidad mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante un cambio de una
de las variables que la afectan. Se mide como un ratio, de un cambio proporcional de la
cantidad demandada entre un cambio proporcional en alguna otra variable que provoca
el cambio. La elasticidad de la demanda se puede calcular sea ésta la demanda
marshalliana o la demanda hicksiana.3
3
Además, Becker señala que el concepto de elasticidad es principalmente importante porque
permite analizar los efectos de un cambio en los precios sobre el ingreso monetario total de las
empresas,

1
IM = p k  1 − 
ε1 

[7]
3.1 Elasticidad de la demanda - precio
a.
Demanda marshalliana
Sea la elasticidad de la demanda marshalliana - precio,
∂ ln x1m
∂x1m p1
o
también
ε
=
1
∂ ln p1
∂p1 x1m
ε1 =
De donde,
ε1 >1⇔ demanda inelástica .
ε1 <1⇔ demanda elástica .
ε1 = 0 ⇔ demanda perfectamente inelástica .
ε1 = ∞ ⇔ demanda perfectamente elástica .
b. Demanda hicksiana
Sea la elasticidad,
η1 =
∂ ln x1h
∂x1h p1
η
=
o también 1
∂ ln p1
∂p1 x1h
3.2 Elasticidad de la demanda - cruzada
a.
Demanda marshalliana
Sea la elasticidad de la demanda marshalliana - cruzada,
ε 12 =
∂x1m p 2
∂ ln x1m
o también ε 12 =
m
∂p 2 x1
∂ ln p 2
De donde,
ε 12 > 0 ⇔ B1 y B 2 son sustitutos brutos .
ε 12 < 0 ⇔ B1 y B 2 son complementarios brutos .
Véase, BECKER (1977: p. 25). De la misma forma, ver FRIEDMAN (1976: p. 31).
[8]
b. Demanda hicksiana
Sea la elasticidad de la demanda hicksiana - cruzada,
η12 =
∂x1h p2
∂ ln x1h
η
=
o
también
12
∂p2 x1h
∂ ln p2
De donde,
η12 > 0 ⇔ B1 y B 2 son sustitutos netos .
η 12 < 0 ⇔ B1 y B 2 son complementarios netos .
3.2 Elasticidad de la demanda - ingreso
Sea la elasticidad de la demanda – ingreso, medida como,
ι1 =
∂x1m mi
∂ ln x1m
o también ι1 =
m
∂m i x 1
∂ ln mi
De donde,
ι 1 > 0 ⇔ B1 es un bien normal o superior .
ι1 = 0 ⇔ B1 es un bien neutro .
ι1 < 0 ⇔ B1 es un bien inferior .
4. RESTRICCIONES DE LA DEMANDA
4.1 Condición de agregación de Engel
De la condición de equilibrio y de la restricción presupuestaria, se tiene,
n
∑ p k x km ( p, mi ) = mi
k =1
Diferenciando respecto a un cambio del ingreso monetario se obtiene,
n
∂x m
∑ p k ∂mk
k =1
dmi = dmi
i
Luego, multiplicamos y dividimos x km mi por el cambio del gasto en cada bien; y
reordenando se obtiene,
[9]
pk xkm ∂xkm mi
∑ m ∂m x m = 1
k =1
i
i
k
n
Reemplazando las notaciones de elasticidades de la demanda – precio y de los pesos
de gastos en cada uno de los bienes, se tiene,
n
∑ sk ι k = 1
k =1
Donde, s k es la proporción del gasto en el bien B k respecto al ingreso monetario del
consumidor. Para el caso donde X i = ℝ 2+ , se tiene:
s1ι1 + s 2 ι 2 = 1
De donde derivamos,
s2 ι 2 = 1 − s1ι1
Y dado que las proporciones de gasto en cada uno de los bienes, s 1 y s 2 , pertenecen
al intervalo ( 0,1 ) ; entonces tenemos la siguiente tabla de correspondencia entre ambos
bienes,
B1
B2
Inferior
ι1 < 0
Superior
ι2 >
1
s2
Neutro
ι1 = 0
Superior
ι2 =
1
s2
Normal
0 < ι1 < 1
Superior
1
> ι2 > 1
s2
Normal
ι1 = 1
Normal
ι2 = 1
Superior
1
> ι1 > 1
s1
Normal
1 > ι2 > 0
Superior
ι1 =
1
s1
Neutro
ι2 = 0
Superior
ι1 >
1
s1
Inferior
ι2 < 0
[10]
4.2 Condición de agregación de Cournot
De la condición de equilibrio y de la restricción presupuestaria, se obtiene,
n
∑ pk x km ( p, mi ) = mi
k =1
Diferenciando respecto al precio de un bien, dado el nivel del ingreso monetario y los
otros precios,
x mj dp j + p j
∂x mj
∂p j
n
∂x km
k =1
∂p j
dp j + ∑ p k
dp j = 0 ; ∀k ≠ j
Luego, multiplicando y dividiendo el segundo sumando por x mj ; asimismo cada
componente del tercer sumando, por xkm , se tiene,
x mj
+
p j x mj
m
n
∂x mj 1
1
m ∂x k
p
x
+
=0
∑
k k
m
∂p j x j k = 1
∂p j x km
pj
Así, multiplicamos cada sumando por
p j x mj
mi
+
p j x mj ∂x mj p j
mi
∂p j x mj
y reordenando,
mi
n
+∑
p k x km ∂x km p j
k =1
mi
∂p j x km
=0
Reemplazando por las notaciones de las elasticidades y de los pesos de gasto, se
tiene,
n
s j + s j ε j + ∑ sk ε kj = 0
k =1
De donde:
(
)
n
− s j 1 + ε j = ∑ sk ε kj
k =1
Para el caso donde X i = ℝ 2+ , se tiene:
− s1 ( 1 + ε 1 ) = s2ε 21
De donde derivamos, dado que se sabe que las proporciones de gasto, s 1 y s 2 ,
pertenecen al intervalo ( 0,1 ) ; la siguiente tabla de correspondencia entre ambos bienes,
[11]
B1
B2
Elástico
ε 1 < −1
Sustituto
bruto
ε 21 > 0
Elasticidad
unitaria
ε 1 = −1
Independiente
ε 21 = 0
Inelástico
−1 < ε 1 < 0
Complementario
bruto
0 > ε 21 > −
Perfectamente
inelástico
ε1 = 0
Complementario
bruto
ε 21 = −
s1
s2
Giffen
ε1 > 0
Complementario
bruto
ε 21 < −
s1
s2
s1
s2
4.3 Condición de simetría de Hicks
Del Lema de Shepard, obtenemos,
xkh =
∂Gi
∂pk
Diferenciando respecto al precio de otro bien, y considerando que el efecto
sustitución cruzado es simétrico, se obtiene,
∂x hj
∂x kh
∂ 2G i
∂ 2Gi
=
=
=
∂p j ∂p j ∂p k ∂p k ∂p j ∂p k
Así se enuncia que,
h
∂x kh ∂x j
=
∂p j ∂p k
h
p k x kh p j mi x j
y despejando
Luego, multiplicando un lado de la igualdad por
mi x kh p j x hj p k
adecuadamente,
h
h
p k x kh ∂x kh p j p j x j ∂x j p k
=
mi ∂p j x kh
mi ∂p k x hj
Reemplazando por la notación de las elasticidades, se tiene una relación simétrica
entre las elasticidades cruzadas de la demanda compensada como,
[12]
sk ηkj = s j η jk
Para el caso donde X i = ℝ 2+ , se tiene:
s 1η 12 = s 2 η 21
Dado que las proporciones de gasto, s 1 y s 2 , pertenecen al intervalo
( 0,1 ) ;
se
obtiene la siguiente tabla de correspondencia entre ambos bienes,
B1
B2
Sustitutos netos
η 12 , η 21 < 0
s1
>1
s2
η 12 < η 21
s1
=1
s2
η 12 = η 21
s1
<1
s2
η 12 > η 21
4.4 Condición de homogeneidad de la demanda marshalliana
Del teorema de Euler, dado que las funciones de demanda marshallianas son
homogéneas de grado cero respecto a precios e ingreso, se deriva,
∂x km
∂p k
n
∂x km
j =1
∂p j
pk + ∑
pj +
∂x km
∂m i
m i = 0 ; ∀j ≠ k
Realizando los ajustes debidos, dividiendo todos los sumando por xkm , se obtiene,
n ∂x m p
∂x km p k
∂x km m i
j
k
+
+
= 0 ; ∀j ≠ k
∑
∂p k x km j = 1 ∂p j x km ∂mi x km
Reemplazando la fórmula por las notaciones de las elasticidades,
n
ε k + ∑ ε kj + ι k = 0 ; ∀j ≠ k
j =1
De donde se obtiene:
n
−ι k = ε k + ∑ ε kj
j =1
[13]
; ∀j ≠ k
Para el caso donde el espacio de consumo está conformado solo por dos bienes, tal
que X i = ℝ 2+ , se tiene:
−ι 1 = ε 1 + ε 12
Dado que las proporciones de gasto, s 1 y s 2 , pertenecen al intervalo
( 0,1 ) ;
se
obtiene la siguiente tabla de correspondencia entre ambos bienes,
B2
Sustituto
bruto
Sustituto
bruto
Sustituto
bruto
Sustituto
bruto
Sustituto
bruto
Sustituto
bruto
Sustituto
bruto
Sustituto
bruto
Complementario
bruto
Complementario
bruto
B1
ε 12 > 0
Giffen
ε1 > 0
Inferior
ι1 < 0
ε 12 > 0
Perfectamente
inelástico
ε1 = 0
Inferior
ι1 < 0
ε 12 > 0
Inelástico
−1 < ε 1 < 0
ε 12 > ε 1
Inferior
ι1 < 0
ε 12 > 0
Inelástico
−1 < ε 1 < 0
ε 12 = ε 1
Neutro
ι1 = 0
ε 12 > 0
Inelástico
−1 < ε 1 < 0
ε 12 < ε 1
Normal
ι1 > 0
ε 12 > 0
Elástico
ε 1 < −1
ε 12 > ε 1
Inferior
ι1 < 0
ε 12 > 0
Elástico
ε 1 < −1
ε 12 = ε 1
Neutro
ι1 = 0
ε 12 > 0
Elástico
ε 1 < −1
ε 12 < ε 1
Normal
ι1 > 0
ε 12 < 0
Inelástico
−1 < ε 1 < 0
Normal
ι1 > 0
ε 12 < 0
Elástico
ε 1 < −1
Superior
ι1 > 1
4.5 Condición de homogeneidad de la demanda hicksiana
Del teorema de Euler, dado que las funciones de demanda hicksianas son
homogéneas de grado cero respecto a precios, se deriva,
∂xkh
∂pk
n
pk + ∑
j =1
∂xkh
∂p j
p j = 0 ; ∀j ≠ k
Dividiendo todos los sumandos por x kh , obteniéndose,
[14]
∂xkh pk
∂pk xkh
n
+∑
j =1
∂xkh p j
∂p j xkh
= 0 ; ∀j ≠ k
Reemplazando por la notación de elasticidades,
n
η k + ∑ η kj = 0 ; ∀j ≠ k
j =1
Para el caso donde X i = ℝ 2+ , se tiene:
η 1 + η 12 = 0
Se obtiene la siguiente tabla de correspondencia entre ambos bienes,
B1
η1 < 0
B2
Sustituto
η 12 < 0
neto
4.6 Condición de negatividad
Como η kl =
∂ 2G i pl
y Gi ( p , ui ) es una función cóncava; entonces la matriz [η kl ] ha
∂pl ∂p k x k
de ser una matriz semi definida negativa.
4.7 Descomposición de Slutsky
De la ecuación de Slutsky,
∂x km ∂x kh
∂x m
=
− xj k
∂p j ∂p j
∂mi
Derivamos,
∂x km p j ∂x kh p j p j x j ∂x km mi
=
−
∂p j x k ∂p j x k
mi ∂mi x k
Luego, reemplazando por la notación de elasticidades,
ε kj = ηkj − s j ι k
[15]
Para el caso donde el espacio de consumo está conformado solo por dos bienes, tal
que X i = ℝ 2+ , se tiene:
ε 12 = η 12 − s 2 ι 1
Dado que las proporciones de gasto, s 1 y s 2 , pertenecen al intervalo
( 0,1 ) ;
se
obtiene la siguiente tabla de correspondencia entre ambos bienes,
B1
B2
Normal
ι1 > 0
Neutro
ι1 = 0
Inferior
ι1 < 0
Inferior
ι1 < 0
Inferior
ι1 < 0
Sustituto
neto
Sustituto
neto
Sustituto
neto
Sustituto
neto
Sustituto
neto
η 12 < 0
η 12 < 0
Sustituto
bruto
Sustituto
bruto
Sustituto
bruto
ε 12 < 0
ε 12 < 0
ε 12 < 0
η 12 < 0
η 12 > s 2 ε 12
η 12 < 0
η 12 = s 2 ε 12
Independiente
ε 12 = 0
η 12 < 0
η 12 < s 2 ε 12
Complementario
bruto
ε 12 > 0
También se tiene, la ecuación de Slutsky, para efectos cruzados,
∂x km ∂x kh
∂x m
=
− xk k
∂p k ∂p k
∂mi
De donde obtenemos,
∂x km p k ∂x kh p k p k x k ∂x km mi
=
−
∂p k x k ∂p k x k
mi ∂mi x k
Así,
ε k = ηk − sk ι k
Para el caso donde el espacio de consumo está conformado solo por dos bienes, tal
que X i = ℝ 2+ , se tiene:
ε 1 = η 1 − s 1ι 1
[16]
Dado que las proporciones de gasto, s 1 y s 2 , pertenecen al intervalo
( 0,1 ) ;
se
obtiene la siguiente tabla,
B1
Norma
l
Neutro
ι1 > 0
ι1 = 0
Inferior
ι1 < 0
Inferior
ι1 < 0
Inferior
ι1 < 0
Efecto
sustitució
n
Efecto
sustitució
n
Efecto
sustitució
n
Efecto
sustitució
n
Efecto
sustitució
n
η1 < 0
Elástica
ε 1 < −1
η1 < 0
Elástica
Inelástica
ε 1 < −1
−1 < ε 1 < 0
Inelástica
−1 < ε 1 < 0
Perfectament
e
inelástica
ε1 = 0
Bien Giffen
ε1 > 0
η1 < 0
η1 > s1 ε 1
η1 < 0
η1 = s1 ε 1
η1 < 0
η1 < s1 ε 1
5. BIENESTAR DEL CONSUMIDOR
En el problema de optimización del consumidor, la función de utilidad,
ui ( x ) : ℝ n+ → ℝ es una función ordinal. Para tener una medida (cardinal) del bienestar del
consumidor,
expresado
en
términos
monetarios,
simplemente
realizamos
una
transformación monótona de la función de utilidad, ui ( x ) . En este caso,
G i = G i ( p , ui )
Entonces, utilizaremos la función de gasto mínimo como una buena aproximación de
la función de utilidad.4 El análisis clásico sobre el bienestar del consumidor, medido a
partir del excedente del consumidor, podemos encontrarlo en los desarrollos de John
Hicks.5
4
5
Recuérdese que G i ( p , ui0 ) es estrictamente creciente en ui0 .
Ver Hicks (1945: pp. 35 – 41; 1986: pp. 130 – 149).
[17]
5.1 Variación Compensatoria (VC)
La variación compensatoria mide lo máximo que el individuo estaría dispuesto a
pagar o a que se le reste de su ingreso monetario, de tal manera ante el cambio de precio
permanece en una situación de bienestar similar a como si no se hubiese dado el cambio
de precio.
Para facilitar la exposición, supondremos que el espacio de consumo es Xi = ℝ 2+ y
que p 20 = 1 . Luego, sea un descenso del precio de B1 . Se tiene,
B2
mi0
VC
x
x
xc
ui1
ui0
p10
p11 B1
p11
La variación compensatoria será,
(
)
(
)
VC = m − G ( p , p , u )
VC = G ( p , p , u ) − G ( p , p , u )
VC = G i p11 , p 20 , ui1 − G i p11 , p 20 , ui0
0
i
1
1
i
0
1
i
0
2
0
2
0
i
0
i
1
1
i
0
2
Luego,
p10
VC =
∂G i
dp
∂p1 1
1
∫
p1
Por el lema de Shephard,
p10
VC =
∫ x ( p , p , u ) dp
h
1
1
p11
[18]
2
0
i
1
0
i
Gráficamente:
p1
p10
VC
p11
(
x 1h p 1 , p 2 , u i0
)
B1
Para el caso en que el espacio de consumo sea Xi = ℝ n+ y varían todos los precios de
los bienes, siendo estos cambios pequeños, entonces la variación compensatoria viene
dado por,
(
) (
)
VC = G ( p ,… , p , u ) − G ( p , p ,… , p , u ) + G ( p , p ,… , p , u ) − G ( p , p
+ G ( p , p , p ,… , p , u ) − … + G ( p ,… , p , p , u ) − G ( p ,… , p , u )
VC = G i p10 ,… , pn0 , ui0 − Gi p11 ,… , pn1 , ui0
0
1
i
0
n
1
1
i
1
2
0
3
0
i
1
1
i
0
n
0
2
0
n
0
i
i
0
i
1
1
i
1
n−1
1
1
0
2
0
n
0
n
0
i
i
1
1
0
i
1
1
i
1
n
1
0
0
0
2 , p 3 ,… , p n , ui
)
0
i
De donde,
p10
∂Gi
VC =
dp1 +
∂
p
1
1
∫
p1
p20
∂G i
dp 2 + … +
∂
p
2
1
∫
p2
pn0
∂Gi
∫ ∂p
pn1
dp n
n
Luego, por el lema de Shephard,
p10
VC =
∫ (
x1h
p11
p20
p1 ,… , pn , ui0
) dp + ∫ (
x2h
1
p1 ,… , pn , ui0
p21
) dp
pn0
2
+… +
∫ x ( p ,… , p , u ) dp
h
n
1
n
0
i
n
pn1
Una variación compensatoria negativa implicaría que el bienestar del consumidor ha
empeorado, en tanto que una variación compensatoria positiva indicaría que el bienestar
del consumidor ha mejorado.
[19]
5.2 Variación Equivalente (VE)
La variación equivalente mide lo mínimo que el consumidor estaría dispuesto a
aceptar de ingreso monetario, de tal manera que permanecería en una situación bienestar
similar a la que se encontraría si es que se diese el cambio deprecio. Sería una cantidad de
riqueza adicional equivalente al efecto de los cambios en los precios, en términos de
bienestar (ingreso real a lo Hicks).
Supondremos, igual que en la variación compensatoria, un espacio de consumo dado
por Xi = ℝ 2+ , p 20 = 1 y un descenso del precio de B1 .
B2
VE
mi0
xc
x
x
ui1
ui0
p10
p10
p11 B1
La variación equivalente será,
(
VE = G ( p
VE = G ( p
) (
)−m
) − G (p
VE = G i p10 , p 20 , ui1 − G i p10 , p 20 , ui0
i
0
0
1
1 , p 2 , ui
i
0
0
1
1 , p 2 , ui
0
i
i
Luego,
p10
VE =
∂Gi
∫ ∂p
p11
Por el lema de Shephard,
[20]
)
1
dp1
1
0
1
1 , p 2 , ui
)
p10
VE =
∫ x ( p , p , u ) dp
h
1
1
1
i
2
1
p11
Gráficamente:
p1
p10
VE
(
p11
x1h p1 , p 2 , ui1
)
B1
Para el caso en que el espacio de consumo es Xi = ℝ n+ y donde ocurren variaciones
pequeñas de todos los precios de los bienes; la variación equivalente viene dado por,
(
) (
)
VE = G ( p ,… , p , u ) − G ( p , p ,… , p , u ) + G ( p , p ,… , p , u ) − G ( p , p
+ G ( p , p , p ,… , p , u ) − … + G ( p ,… , p , p , u ) − G ( p ,… , p , u )
VE = G i p10 ,… , pn0 , ui1 − Gi p11 ,… , p n1 , ui1
0
1
i
0
n
1
1
i
1
2
0
3
1
i
1
1
i
0
n
0
2
0
n
1
i
i
1
i
1
1
i
1
n −1
1
1
0
2
0
n
1
i
0
n
1
i
i
1
1
1
1
i
1
n
1
0
0
1
2 , p 3 ,… , p n , ui
)
1
i
De donde,
p10
∂Gi
VE =
dp +
∂p1 1
1
∫
p1
p 02
pn0
p2
p1n
∂Gi
dp + … +
∂p 2 2
1
∫
∂Gi
∫ ∂p
dpn
n
Luego, por el lema de Shephard,
p10
VE =
∫ (
x1h
p20
p1 ,… , pn , ui1
p11
) dp + ∫ (
x 2h
1
p1 ,… , pn , ui1
p21
) dp
pn0
2
+… +
∫ x ( p ,… , p , u ) dp
h
n
1
n
1
i
n
pn1
Una variación equivalente negativa implicaría que el bienestar del consumidor ha
empeorado, en tanto que una variación equivalente positiva indicaría que el bienestar del
consumidor ha mejorado.
[21]
5.3 Excedente Puro del Consumidor (EPC)
Es una medida del efecto sobre el bienestar ante un cambio del precio de un bien,
considerando un nivel referencial de consumo del mismo bien. El excedente puro del
consumidor se define como la diferencia entre el valor máximo que está dispuesto a
pagar el consumidor, DP max , y lo que efectivamente paga, p 10 x 10 , por la cantidad referida
del bien B1.
Asumiremos que el precio del bien B 2 es p 20 = 1 , el ingreso está dado y es igual a mi0 ,
y por último, el consumidor está comprando una cantidad de B1 igual a x10 al precio p 10 .
También asumiremos, para poder determinar la disposición máxima a pagar por parte
del consumidor, que existe una canasta x que contiene la cantidad en particular del bien
B1 y que le es indiferente a una canasta donde gasta todo su ingreso en B 2 y no compra
nada de B1 . Gráficamente,
B2
p10 > p1∗
mi0
( B1 es normal )
p10 x10
DP max
mi0−
x
EPC
ui0
x
m∗i
p1∗
x10
u∗i
p10 B1
Del gráfico se sabe que el excedente puro del consumidor es,
EPC = mi0− − mi∗
Además se sabe que,
(
)
mi0− = mi0 − p10 x10 = Gi p10 , p 20 , ui0 − p10 x10
[22]
(
)
mi∗ = Gi p1∗ , p 20 , ui∗ − p1∗ x10
Reemplazando en la ecuación del EPC, se tiene,
(
)
(
)
) (
)
EPC = Gi p10 , p20 , ui0 − p10 x10 − Gi p1∗ , p20 , ui∗ + p1∗x10
Reordenando,
(
EPC = G ( p
)
(
EPC = Gi p10 , p20 , ui0 − Gi , p20 , ui∗ − p10 − p1∗ x10
1
i
∞
EPC =
∂Gi
∫ ∂p
p1∗
1
)
(
) (
)
= ∞ , p20 , ui∗ − Gi p1∗ , p 20 , ui∗ − p10 − p1∗ x10
(
)
dp1 − p10 − p1∗ x10
Por el lema de Shephard,
∞
∫ x dp − ( p
EPC =
h
1
1
0
1
)
− p1∗ x10
p1∗
Gráficamente,
p1
EPC = z1 + z 2 − z 2 − z 3
EPC = z1 − z 3
( B1 es normal )
p10
p1∗
z1
z2
z3
(
x1h p1 , p 2 , ui∗
x10
)
B1
5.4 Excedente Marshalliano del Consumidor (EMC)
Mide el efecto sobre el bienestar del consumidor ante un cambio del precio de un
bien, evaluando sobre una cantidad determinada del mismo bien. Se evalúa sobre la
función de demanda marshalliana. Quedando,
[23]
∞
EMC =
∫ x dp
m
1
1
p10
El excedente marshalliano traduce el efecto sobre el bienestar considerando el efecto
sustitución y el efecto ingreso.
5.5 Evaluación de las Medidas del Bienestar para el caso de B 1 Normal
Consideraremos el caso en el que el bien B 1 es un bien normal, luego evaluaremos
una variación del precio de B1 de p1 = p10 a p 1 = ∞ . Gráficamente,
p1
z1
( B1 es normal )
p10
z2
z3
p11
z4
(
x1m p1 , p 2 , m i0
(
x1h p1 , p 2 , ui1
(
x 1h p 1 , p 2 , u i0
x10
B1
Las medidas de bienestar para este caso, serán,
-
Variación compensatoria:
VC = z 2
-
Variación equivalente:
VE = z1 + z 2 + z 3
-
Excedente puro del consumidor
EPC = z2 − z4
-
)
Excedente marshalliano del consumidor
EMC = z 2 + z3
[24]
)
)
Así, para el caso en el que el bien B1 es un bien normal, la relación entre estas
medidas del bienestar vendrían dadas por,
VE > EMC > VC > EPC
REFERENCIAS
[1] ÁVALOS, Eloy. (2010), La teoría del consumidor: la demanda individual. Documento de
Trabajo Nº 7. Lima: Centro de Investigaciones Económicas del Instituto de Estudios
Sociales del Rímac.
B
[ 2 ] ECKER, Gary. (1977), Teoría económica. México: Fondo de Cultura Económica.
[ 3 ] FRIEDMAN, Milton. (1976), Teoría de los precios. Madrid: Alianza Editorial.
[ 4 ] HICKS, John. (1986), Riqueza y bienestar. Ensayos sobre teoría económica. México: Fondo de
Cultura Económica.
[ 5] HICKS, John. (1945), Valor y capital. Investigación sobre algunos principios fundamentales de
teoría económica. México: fondo de Cultura Económica.
[25]