CLASE 1 INTRODUCCION

LÍMITES DE FUNCIONES
CLASE 1: INTRODUCCIÓN
Comenzaremos desarrollando la noción de límite de manera intuitiva, utilizando un lenguaje sencillo. Ilustramos la
idea con algunos ejemplos simples.
Formalizaremos la definición mas adelante.
Una pregunta de velocidad
Supongamos una pelota que rueda hacia abajo en una plataforma. La gráfica muestra la
distancia 𝒔 recorrida por la pelota como una función del tiempo t.
¿Cuál es la velocidad de la pelota una vez que transcurren 3 segundos?
𝒔 𝒕 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
𝑠 𝑡 = 𝑡2
Velocidad promedio
3
𝒕 (𝒔𝒆𝒈)
En el intervalo [3, 4]
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚
Δs (4)2 −(3)2
=
=
= 7 𝑚/𝑠𝑒𝑔
Δ𝑡
4−3
En la tabla se muestra el valor de la 𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 para intervalos de tiempo cada vez mas pequeños
Intervalo de
tiempo
Velocidad
promedio (m/s)
7
6,1
6,05
6,01
6,001
Cuando 𝐭 se aproxima 𝐚 𝟑, sin ser 3
𝚫𝐬
𝚫𝐭
se aproxima a 𝟔 𝐦/𝐬𝐞𝐠
Una pregunta de velocidad
𝑠 𝑡 = 𝑡2
En el intervalo [3, 𝑡],
𝛥𝑠
𝑠(𝑡) − 𝑠(3)
lim
= lim
𝑡⇢3 𝛥𝑡
𝑡⇢3
t−3
t2 − 9
= lim
𝑡⇢3 t − 3
t−3 t+3
= lim
𝑡⇢3
t−3
= lim(𝑡 + 3)
𝑡⇢3
=6
Como 𝑡 ≠ 3 ,
t−3
(t−3)
=1
Cuando t se aproxima a 3,
(𝑡 + 3) se aproximan a 6.
Velocidad instantánea
LA NOCIÓN DE LÍMITE
La noción de límite tal como la describimos aquí tiene la intención de
comunicar el comportamiento de una función cerca de algún punto
de interés, pero en realidad no en ese punto.
Finalmente observamos que en el caso de la función 𝑓(𝑥) también
podemos determinar este límite algebraicamente.
𝑥2 − 4
𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥2 − 5
𝑔 𝑥 =
𝑥−2
𝐷𝑓 = ℝ − {2}
𝐷𝑔 = ℝ − {2}
𝑥2 − 4
𝑓 𝑥 =
𝑥−2
x <2
1,9
1,99
1,999
1,9999
x >2
2,1
2,01
2,001
2,0001
f(x)
3,9
3,99
3,999
3,9999
f(x)
4,1
4,01
4,001
4,0001
lim 𝑓 𝑥 = 4
𝑥⇢2−
𝑥2 − 4
lim 𝑓 𝑥 = lim
𝑥⇢2
𝑥⇢2 𝑥 − 2
lim 𝑓 𝑥 = lim
𝑥⇢2
𝑥⇢2
𝑥 − 2 . (𝑥 + 2 )
𝑥−2
lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑥 + 2
𝑥⇢2
lim+ 𝑓 𝑥 = 4
𝑥⇢2
x≠2,
𝑥⇢2
lim 𝑓 𝑥 = 4
𝑥⇢2
𝑥−2
=1
x−2
Cuando x se aproxima a 2, (𝑥 + 2) se aproximan a 4.
𝑥⇢2
lim 𝑓 𝑥 = 4
x ≠ 2 , (𝑥 − 2) ≠ 0
𝒙𝟐 − 𝟒
𝒇 𝒙 =
𝒙−𝟐
x <2
1,9
1,99
1,999
1,9999
f(x)
3,9
3,99
3,999
3,9999
x >2
2,1
2,01
2,001
2,0001
f(x)
4,1
4,01
4,001
4,0001
lim 𝑓 𝑥 = 4
𝑥⇢2
Para todo 𝑥 𝜖 𝐷𝑓, 𝑥 ≠ 2
Si 𝑥 − 2 < 𝛿
entonces
𝑓(𝑥) − 4 < 𝜖
𝒙𝟐 − 𝟒
𝒇 𝒙 =
𝒙−𝟐
lim 𝑓 𝑥 = 4
𝑥⇢2
𝑥2 − 5
𝑔 𝑥 =
𝑥−2
x <2
1,9
1,99
1,999
1,9999
x >2
2,1
2,01
2,001
2,0001
g (x)
13,9
103,99
1003,999
10003,9999
g (x)
-5,9
-95,99
-995,999
-9995,9999
𝑦=𝑀
𝑥 𝜖 𝐷𝑔, 𝑥 ≠ 2
si 𝑥 − 2 < 𝛿,
𝑔 𝑥 >𝑀
lim 𝑔 𝑥 ∄
𝑥⇢2−
𝑦=𝑁
𝑥 𝜖 𝐷𝑔, 𝑥 ≠ 2
𝑔 𝑥 <𝑁
lim+ 𝑔 𝑥 ∄
𝑥⇢2
lim 𝑔 𝑥 ∄
𝑥⇢ 2
Teorema
Una función 𝑓 𝑥 tiene límite finito 𝐿, conforme 𝑥 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑎 𝑐 si, y sólo si,
los límites laterales existen en 𝑐, y son iguales.
Esto es
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 ⟺ lim− 𝑓 𝑥 = lim+ 𝑓 𝑥
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
ALGUNOS EJEMPLOS
𝑥2 − 4
𝑓 𝑥 = 𝑥−2
1
𝑓 2 =1
lim 𝑓 𝑥 = 4
𝑥→2
lim 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(2)
𝑥→2
𝑥≠2
𝑥=2
ALGUNOS EJEMPLOS
𝑥2 − 5
𝑓 𝑥 = 𝑥−2
3
𝑥≠2
𝑦=𝑀
𝑥=2
𝑓(2) = 3
lim 𝑓 𝑥 ∄
𝑥→2
𝑦=𝑁
Análisis gráfico
A PRACTICAR
𝑓 0 = 1
lim 𝑓 𝑥 = ∄
𝑥→0
𝑓 1
=0
lim 𝑓 𝑥 = ∄
𝑥→1
lim− 𝑓 𝑥
𝑥→1
lim+ 𝑓 𝑥
𝑥→1
=1
= −1
𝑓 3 no definida
lim 𝑓 𝑥 = 3
𝑥→3
lim 𝑓 𝑥 = 3
𝑥→3−
lim+ 𝑓 𝑥 = 3
𝑥→3
Función Valor Absoluto
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝐷𝑓 = ℝ
𝐼𝑚𝑓 = ℝ+
𝑜
𝑥
𝑥 =ቊ
−𝑥
𝑥≥0
𝑥<0
ALGUNOS EJEMPLOS
Como |𝑥| = −𝑥 para 𝑥 < 0
lim 𝑥 = lim−(−𝑥) = 0
𝑥→0−
𝑥→0
x<0
-0,1
-0,01
-0,001
-0,0001
|x|
0,1
0,01
0,001
0,0001
Como |𝑥| = 𝑥 para 𝑥 > 0
lim+ 𝑥 = lim+ (+𝑥) = 0
𝑥→0
𝑥→0
x >0
0,1
0,01
0,001
0,0001
|x|
0,1
0,01
0,001
0,0001
lim 𝑥 = 0
𝑥→0
ALGUNOS EJEMPLOS
Función Signo
𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑥
𝐷𝑓 = ℝ − 0
Im 𝑓 = −1,1
↑
𝒇 𝒙
Como |𝑥| = −𝑥 para 𝑥 < 0
𝒙⟶ ⟵𝒙
𝒇 𝒙
↓
𝑥
(−𝑥)
lim
= lim−
= −1
𝑥→0− 𝑥
𝑥→0
𝑥
Como |𝑥| = 𝑥 para 𝑥 > 0
𝑥
𝑥
lim+
= lim+ = 1
𝑥→0 𝑥
𝑥→0 𝑥
lim 𝑓 𝑥 ∄
𝑥→0
lim 𝑓(𝑥) = −1
𝑥→0−
lim+ 𝑓(𝑥) = 1
𝑥→0
ALGUNOS EJEMPLOS
Aproximando el valor de un límite
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑥
x<0
-0,1
-0,01
-0,001
-0,0001
-0,00001
𝑔(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛𝑥
-0,099833416647
-0,009999833334
-0,000999999833
-0,000100000000
-0,000010000000
𝐷𝑓 = ℝ − 0
𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑡(𝑥) = 𝑥
-0,100000000000
-0,010000000000
-0,001000000000
-0,000100000000
-0,000010000000
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥/𝑥
0,998334166468
0,999983333417
0,999999833333
0,999999998333
0,999999999983
𝑡(𝑥) = 𝑥
0,1000000000000
0,0100000000000
0,0010000000000
0,0001000000000
0,0000100000000
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥/𝑥
0,998334166468
0,999983333417
0,999999833333
0,999999998333
0,999999999983
𝑡 𝑥 =𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
lim
=1
𝑥→0− 𝑥
x> 0
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
𝑔(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛𝑥
0,0998334166468
0,0099998333342
0,0009999998333
0,0000999999998
0,0000100000000
lim+
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
=1
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
lim
=1
𝑥→0 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑥
Recordar: Distancia sobre
la recta real
𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎