Manual de la Materia Introductoria a Licenciatura en Economía Empresarial 2023

Curso de Ingreso
Ciclo lectivo 2023
Curso Introductorio Licenciatura en Economía Empresarial
Departamento de Desarrollo Productivo y Tecnológico
Área Tecnológica
1
INDICE
Capítulo I: Introductoria a la Carrera ............................................................................... 4
Fundamentación ........................................................................................................... 4
Objetivos: ..................................................................................................................... 6
Contenidos: .................................................................................................................. 7
Metodología: ................................................................................................................ 8
Evaluación/ Requisitos para la acreditación del área................................................... 9
Capítulo II: Contenidos curriculares .............................................................................. 10
MODULO 1: Introducción a la Matemática .................................................................. 10
Conjuntos Numéricos: ............................................................................................... 10
Resolución De Ejercicios Combinados....................................................................... 17
Razones y proporciones ............................................................................................. 18
Porcentaje.................................................................................................................... 19
Ecuaciones ................................................................................................................. 20
Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas ............................. 21
Operaciones Con Polinomios...................................................................................... 29
Factorizacion ............................................................................................................... 34
Suma de potencias de igual grado ............................................................................... 37
MÓDULO 2: Economía Empresarial ............................................................................. 38
Fundamentación ......................................................................................................... 39
Organización del Plan de Estudios ............................................................................ 40
Campo de la Formación Disciplinar Básica .............................................................. 40
Campo de las Intervenciones Profesionalizantes ....................................................... 40
Campo de la Formación Profesional Especializada. .................................................. 40
Perfil profesional del/la egresado/a............................................................................ 41
Alcance de la Tecnicatura Universitaria en Economía Empresarial .......................... 41
Formación .................................................................................................................. 42
Alcance de la Licenciatura en Economía Empresarial .............................................. 44
Formación .................................................................................................................. 45
Contenidos mínimos de las asignaturas ..................................................................... 45
Organización de las materias: .................................................................................... 80
2
Teoría de Conjuntos: .................................................................................................. 81
Potenciación y Radicación: ........................................................................................ 84
Tipos de proporcionalidad ......................................................................................... 86
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias ............................................ 91
Bibliografía .............................................................................................................. 111
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CAPÍTULO I: INTRODUCTORIA A LA CARRERA
Fundamentación
En la Universidad Nacional de Lanús, entendemos que la “Universidad” tiene
responsabilidad social con la comunidad a la cual pertenece, potenciando los recursos
que ésta ya posee, vinculándose tecnológica y científicamente con los sectores, Público,
Privado y ONG´s, para compartir el esfuerzo de elevar la calidad de vida y lograr una
sociedad más justa, contribuyendo así al desarrollo social, regional y local.
De esta manera, la Licenciatura en Economía Empresarial forma, no tan sólo
profesionales que tengan capacidad de gestión con valores éticos, sino también
ciudadano/as comprometidos con el bien común.
La Carrera de Licenciatura en Economía Empresarial contribuye a formar gestores
empresariales a través de la conducción empresaria de unidades productivas individual,
pequeña, mediana y grandes, o a través de servicios de consultoría sobre temas
específicos.
Para ello, entendemos que el programa del curso de Ingreso a la Licenciatura en
Economía Empresarial, el aspirante debe familiarizarse con la interpretación de los datos
dados para esta disciplina, para ello deberán incorporar los saberes del área tecnológica
para una mayor interpretación en la resolución de problemas.
Un eje de análisis y resolución de problemas que propone remozar y revalorizar los
conocimientos y habilidades matemáticas de los aspirantes.
Analizar y resolver un problema congrega un conjunto de actividades que implican la
adquisición, interpretación y codificación de la información, así como la comunicación
de los resultados obtenidos.
Resolver un problema significa hallar una respuesta a una situación para la que no
tenemos mecanismos automatizados de solución. Esta primera y amplia definición
permite establecer una distinción entre ejercicio y problema.
Si bien la ejercitación es una tarea ineludible en la construcción del saber matemático,
ella se centra en el aprendizaje de respuestas automatizadas a situaciones
estereotípicas. La ejercitación se despliega en el campo de lo sintáctico, es decir, del
reconocimiento de ciertas relaciones entre signos, de la incorporación de reglas y
procedimientos estandarizados.
El análisis y solución de problemas necesita como uno de sus insumos el dominio de
ciertas relaciones sintácticas, de capacidades y habilidades matemáticas incorporadas al
capital cognitivo del resolutor, pero no basta sólo con ello. Se trata de una actividad
cercana al descubrimiento que requiere hallar caminos novedosos.
4
Para transitar este camino es necesario el análisis minucioso de los datos de forma tal
que sea posible reconocer la estructura de la situación, es decir, reconocer entre ellos
algún tipo de relación -que puede ser de índole matemática, lógica o fáctica-, la
consiguiente codificación o decodificación en un registro semiótico operatorio (fórmula,
gráfico, esquema, tabla, etc.) y la realización de inferencias que conecten
armoniosamente datos con incógnita.
En este sentido, el punto de partida para resolver un problema es una lectura atenta.
Herramienta indispensable, condición de posibilidad que permita la sistematización de
los datos, la búsqueda de analogías y regularidades, la reescritura de la situación
modificando condiciones o utilizando otros códigos, es decir, de la puesta en marcha de
mecanismos heurísticos que permitan pasar de la situación inicial a la situación buscada,
deseada o requerida.
Sintetizando, la resolución de problemas se refiere a una actividad cognitiva compleja
conformada tanto por las relaciones entre signos como la significación de esos signos y
su consiguiente interpretación a luz de las particulares condiciones impuestas por la
situación analizada.
Los contenidos estrictamente matemáticos que pensamos abordar en la cursada son
básicos o elementales. Donde “básicos o elementales” no significan de ninguna manera
una especie de “escolarización” o de vuelta a la secundaria, sino más bien, en el sentido
de fundamento o cimiento necesario sobre el que se pueda desplegar el cuerpo
conceptual de la disciplina de acuerdo a las exigencias de la formación requerida por la
carrera.
Los contenidos de este espacio curricular brindarán los conceptos y herramientas
indispensables para encarar el estudio en la carrera.
El Módulo 1 constituye un repaso y profundización de toda la operatoria con números
reales, soporte imprescindible para la actividad matemática.
El Módulo 2 aporta el fortalecimiento de conocimientos básicos para el desarrollo de
conceptos del área económica – administrativa – contable
“El desarrollo individual de las funciones psicológicas superiores y el dominio de los
instrumentos es posible gracias a que otras personas que ya dominan esas funciones e
instrumentos regulan la utilización de los mismos y lo asisten al estudiante en su
apropiación”.
5
En este sentido, el docente enfocará principalmente dos aspectos fundamentales:
⮚ La adquisición de un considerable nivel de pericia algebraica.
⮚ El desarrollo de las capacidades que le permitan enfrentar situaciones
problemáticas demostrando razonamiento crítico y sentido común.
Por lo tanto, el presente espacio curricular debe constituirse en una sólida base que les
permita a los/as aspirantes continuar su carrera con confianza y seguridad.
Objetivos:
En cuanto al conocimiento, se espera que los/as aspirantes logren:
1) Entender y utilizar básicamente las herramientas de la teoría de conjuntos.
2) Trabajar con números reales, conociendo y aplicando las propiedades
fundamentales de sus operaciones.
3) Resolver inecuaciones analítica y gráficamente.
4) Adquirir el concepto de función.
5) Graficar y analizar distintos tipos de funciones.
6) Incorporar nociones básicas de trigonometría.
7) Reconocer el trayecto curricular del Plan de Estudios de la Licenciatura en
Economía Empresarial
En cuanto al saber hacer, se espera que los y las aspirantes desarrollen la capacidad de:
1) Identificar, formular y resolver problemas.
2) Identificar y diferenciar datos e incógnitas.
3) Control y verificación de los resultados y condición de posibilidad
4) Selección de herramientas matemáticas a utilizar.
5) Comprender diversos tipos de mensajes en contextos susceptibles de
tratamiento matemático.
6) Expresión en los contextos relativos a los temas de la asignatura.
6
7) Análisis y síntesis.
8) Investigar dentro de la Matemática y comunicar el trabajo realizado.
9) Evaluar los propios procesos de pensamiento.
10) Reconocer la currícula en su trayecto junto con las correlatividades
11) Identificar el perfil del egresado y su campo laboral
En cuanto a la aplicación de los saberes según los valores, se espera promover en los/as
aspirantes:
1) Incorporar los valores UNLa
2) Una actitud investigadora que potencie el aprendizaje autónomo y la
creatividad.
3) El desarrollo de una actitud abierta y crítica.
4) Actitudes de cooperación y solidaridad.
Contenidos:
Módulo 1:
Conjuntos numéricos: Reconocimiento, diferenciación, designación, interpretación y
uso de los conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales, reales). Comparación,
orden, encuadramiento y representación de los distintos conjuntos numéricos.
Reconocimiento, análisis y uso de las operaciones en los distintos conjuntos numéricos
y sus propiedades. Supresión de paréntesis, corchetes y llaves. Resolución de cálculos
combinados. Planteo y resolución de problemas en general.
Razones y proporciones: Concepto, determinación de la constante, medios y extremos,
utilización como base para la determinación de un porcentaje. Operaciones
combinadas.
Ecuaciones: concepto, diferencia entre ecuación e identidad. Caracterización de las
soluciones. Pasos.
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Sistemas de ecuaciones: concepto, caracterización básica. Desarrollo de métodos de
resolución analíticos. Clasificación
Polinomios: definición, caracterización (grado, coeficiente, coeficiente principal),
especialización. Operaciones básicas: Suma – resta – división. Binomios especiales.
Aplicación Regla de Ruffini y Teorema del Resto.
Factorización: concepto, casos de factoreo. Combinación de casos de factorización.
Módulo 2:
Introducción a la Carrera: Licenciatura en Economía Empresarial. Estructura de la
carrera: Ciclo de Formación Básica. Ciclo de Formación Especializada. Menciones.
Alcance de la carrera. Análisis del Plan de Estudios. Perfil profesional del egresado.
Teoría de los conjuntos: Concepto intuitivo de conjunto: definición por extensión y
comprensión. Nociones de pertenencia e inclusión. Algebra de conjuntos. Diagramas de
Venn. Situaciones problemáticas. Aplicaciones al ámbito económico – administrativo –
contable
Potenciación y radicación: Propiedades, usos en operatorias combinadas. Base de
aplicación en la resolución de operaciones básicas dentro del conjunto de los números
irracionales
Proporcionalidad: Tipo de proporcionalidad y sus aplicaciones. Generación y
comprensión de análisis y uso de tasas, coeficientes e índices simples.
Expresiones algebraicas: Concepto, análisis de expresiones con una o más variables.
Operaciones.
Metodología:
La cursada se desarrollará en forma presencial, dos veces por semana, se abordarán los
temas a través de clases teórico prácticas con actividades orientados a la problemática
que aplican a la carrera de la Licenciatura en Economía Empresarial.
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Evaluación/ Requisitos para la acreditación del área
Asistencia obligatoria al setenta y cinco por ciento (75%) de las clases presenciales
pautadas.
Entregar en tiempo y forma los trabajos prácticos obligatorios y/o instancias
evaluativas, las cuales para ser aprobados deberán tener una calificación igual o mayor
a 4 (cuatro) puntos.
Aprobar el examen final obligatorio con una calificación igual o mayor a 4 (cuatro)
puntos.
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CAPÍTULO II: CONTENIDOS CURRICULARES
MODULO 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA
CONJUNTOS NUMÉRICOS:
Los hindúes fueron los primeros en desarrollar un sistema práctico de notación numeral, tras
haber descubierto el cero y el valor posicional de las cifras. Y fue, a través de los árabes, que
en Europa se dio a conocer este sistema en el siglo VII d.C. Por esa razón las cifras que se
utilizan en la actualidad se llaman indoarábigas.
La palabra cero proviene de la voz árabe ziffero, que significa lugar vacío.
En el siguiente esquema vemos a los conjuntos numéricos en su totalidad, cada conjunto tiene
determinadas propiedades, y, a su vez, cada nuevo conjunto que se fue creando incluye al
anterior, y esto implica que ese nuevo conjunto posee propiedades que permiten resolver
nuevas situaciones. En definitiva, cada nuevo conjunto numérico se formó para que con sus
características se puedan resolver nuevas situaciones que fueron apareciendo.
Esquema resumen:
Nota: algunos autores, consideran un conjunto intermedio llamado N0, que indica al
conjunto de los números naturales incluyendo al cero.
Brevemente los caracterizamos:
NUMEROS NATURALES:
Este conjunto de números surge por la necesidad de representar de alguna manera
operaciones básicas relacionadas con el conteo. Están representados por una sucesión
ascendente: 1,2,3,hasta el infinito.
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NUMEROS ENTEROS:
Uno de los varios problemas que se presentaron en el conjunto de los números naturales fue
el hecho de restar cuando el sustraendo era mayor que el minuendo ( por ejemplo 5 -6), en el
que el resultado era menos que la nada. Para resolver estas situaciones se crearon los
números negativos que sumados al conjunto de los números naturales y al cero, generaron el
conjunto de los números enteros
Se lo denomina Z porque hace referencia al vocablo alemán zahlen que significa “números”
Hasta aquí podemos hablar de siguiente!!!!! Y esto es muy importante que lo tengas en cuenta
para cuando estudies estadística.
NUMEROS RACIONALES:
Los números racionales aparecen para poder resolver las situaciones relacionadas con las
partes de un entero, por ejemplo como podían representar el resultado de dividir un entero
entre 2.
Por lo tanto el conjunto de los números racionales está formado por los números enteros y
sus partes posibles, positivas y negativas. Dicho de otra manera, son todos aquellos que se
pueden expresar de la forma a/b donde a y b son enteros y b≠0. Estos pueden ser enteros (en
el caso en que b= 1 o divisor de a), decimales finitos o decimales infinitos periódicos. (Mas
adelante vamos a darle el nombre correcto que es que provienen de una razón!, de allí su
nombre, y también su denominación Q (Quotient que en inglés quiere decir cociente, que
hace referencia a la razón de la que estamos hablando)
Algunas consideraciones:
¿Cómo describimos una fracción?, una fracción está formada por un numerador que indica las
partes que están tomadas y un denominador que indica las partes iguales en que se dividió
el denominador.
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Este entero se dividió en cuatro partes iguales (por eso el denominador, la parte inferior de la
fracción es 4) , y se tomaron de ese entero 3 partes (por eso el numerador, la parte superior
es 3)
Clasificación de fracciones:
Fracciones propias: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador: 5/7;
8/13;2/9
Fracciones aparentes: son aquellas que representan, en realidad, a un número entero: 6/6 es
1, 12/6 es 2
Fracciones impropias: son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador,
implica que es mayor que un entero: 8/3.
Las fracciones impropias se pueden representar como número mixto, es decir la parte entera
8
2
más la parte decimal: ≅ 2
3
3
NUMEROS IRRACIONALES:
Los números irracionales son aquellos números decimales cuya cifra decimal está compuesta
por infinitas cifras no periódicas, por lo tanto, no son números racionales.
Existen algunos ejemplos de n° Irracionales “famosos”, como:
π = 3.141592653589...(relaciona la longitud de la circunferencia y su radio)
e = 2.718281828459... (n° de Euler o neper: usado en logaritmos)
1+ 5
φ= 2
(“N° de Oro”: usado por grandes artistas en las proporciones de sus obras. Se
relaciona con la idea de estética y belleza, relaciona desde las proporciones en el rostro, hasta
la distancia entre cada rama y cada hoja en un árbol).
NUMEROS REALES:
Los números reales surgen de la unión de los números racionales con los números irracionales,
de esta manera, los números reales forman la recta numérica en forma completa.
Para esta guía llegamos hasta aquí, durante el desarrollo de la carrera analizaremos a los
números imaginarios y a los números complejos.
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Entonces logramos así que la recta numérica se complete!!, por ello se dice que es densa.
Veamos ahora los conjuntos con ejemplos:
(https://lasmatesfaciles.com/2021/02/20/conjuntos-numericos/)
En la recta numérica:
Orden, la recta “crece” desde el menos infinito hasta el más infinito, por lo tanto el número
posicionado a la derecha es el mayor!
Por lo tanto:
1
3 > 2 ; 4 > 3 ; > −1; −1 > −3
2
PROPIEDADES Y ALGO MÁS!!!
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Para seguir recordando saberes que han aprendido vamos a retomar algunos conceptos:
Número primo: es aquel número que solo tiene dos divisores, por esa razón seguramente
recuerdan esta frase: “ un número es primo si solo es divisible por sí mismo y por la unidad”.
“Estos números son importantes porque según una ley denominada “Ley fundamental de la
aritmética” cualquier número entero positivo mayor que 1, puede escribirse como un
producto de números primos”
Para ver si es o no verdad lo que les decimos, los invitamos a ver este extracto del programa
Alterados por 𝜋: https://youtu.be/ZxNXoPANlc0
Número compuesto: Es aquel número entero positivo que admite divisores distintos de la
unidad y de sí mismo. Ejemplo el número 18: es divisible por 18, 9, 6, 3 , 2 , 1
Múltiplo: un número es múltiplo de otro si lo contiene una cantidad entera de veces. Por
ejemplo 20 contiene a 5 cuatro veces.
Divisor: un número es divisor de otro si está contenido una cantidad entera de veces en él.
Por ejemplo 20 contiene a 5 cuatro veces. Recordá que hablar de divisor implica que la
operación matemática División es exacta lo que implica que el resto es 0
Operaciones básicas:
SUMA (o adición): consiste en reunir las unidades de dos o más números cada una de ellas por
separado, el resultado será otro número formado por tantas unidades como tengan sus
componentes. A cada uno de los elementos o términos que la forman se los llama SUMANDOS.
El signo que la representa es +
RESTA (o sustracción): consiste en quitar un conjunto de elementos de una colección. Solo se
pueden restar dos números. El primer número se denomina Minuendo: que representa al
número al que se le va a restar o sustraerá una cantidad indicada en el sustraendo.
Sustraendo: es el número que se resta y Diferencia: El resultado de la operación al restar un
número del otro. Se simboliza con -.
MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO: consiste en sumar reiteradamente un número de acuerdo a
la cantidad de veces indicada por otro. Cada uno de los números que se multiplican se
denomina Factores. El símbolo es . o x (por).
DIVISIÓN O COCIENTE: consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido
en otro número (dividendo). Podemos identificar entonces, al Dividendo, que es la cantidad
que queremos repartir o aplicar la división; Divisor: que es la cifra por la que vamos a efectuar
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la división; Cociente: que es el resultado de la división y Resto: que es el sobrante. El símbolo
es : o /.
PROPIEDADES Y LEYES QUE CUMPLEN LOS NÚMEROS REALES
Nombraremos algunas propiedades muy importantes para tener en cuenta y poder
desarrollar operaciones:
1.- Propiedad transitiva: esta propiedad dice que si un elemento se relaciona con otro y éste
otro con un tercero, entonces, el primero se relaciona con el tercero. Veamos:
En la igualdad. Si a= b y b = c, entonces a = c.
Idem para las desigualdades! (probalo!!!)
2.- Ley de cierre: Dados dos números reales a y b, su suma y multiplicación generará un
resultado que será un número real.
3.- Ley de elemento neutro: El elemento neutro es aquel que no modifica el resultado
En la suma es el cero y en la multiplicación es el 1.
4.- Ley del elemento absorbente: El elemento absorbente en la multiplicación es el 0.
5.- Ley o propiedad conmutativa: “ el orden de los factores no afecta el resultado”.
Esta propiedad es válida para la suma y para la multiplicación:
a+ b= b +a
y
a.b= b.a
6.- Ley o propiedad asociativa: Esta propiedad permite agrupar de manera diferente sin que
se afecte el resultado
Para la suma: a+ (b+ c) = (a +b) +c y Para la multiplicación a.(b.c) = (a.b).c
7.- Ley o propiedad distributiva: esta propiedad nos indica que el producto de una suma o
diferencia, es igual a la suma o diferencia de los productos.
a. (b+c) = a.b +a.c ; (a+b) . c = a.c +b.c
Para la división solo se permite distribuir el dividendo si está compuesto por una suma o
diferencia respecto de un divisor.
𝑎±𝑏 𝑎 𝑏
= ±
𝑐
𝑐 𝑐
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8.- Propiedad cancelativa: En la suma: dados dos números opuestos aditivos entre sí en un
mismo miembro sabemos que su resultado es 0, por lo tanto, podemos aplicar la propiedad
cancelativa, esto quiere decir que no los consideramos al realizar la misma.
3+𝟓+4−𝟓 =7
En la multiplicación este proceso se denomina: Simplificación!
9.- Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cada número real a, existe un único número real
denotado por -a tal que a+ (-a) = 0. Esto quiere decir que dos números son opuestos entre sí
cuando su suma da el elemento neutro (que es cero), entonces, el inverso aditivo es el número
con igual valor absoluto pero diferente signo.
10.- Elemento inverso en la multiplicación o recíproco: Para cada número real a, excepto 0,
1
existe un único número real denotado por 𝑎−1 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎 ∗ 𝑎 = 1
Si a = 0 el inverso sería 1/0!!!!!, pero sabemos que no se puede dividir por cero!! Por esa razón
es que el único número real que no tiene recíproco es el cero
(Recuerden que dividir se asemeja a repartir!!!, si quieren pueden ver este video donde de
manera sencilla Adrián Paenza explica por qué no se puede dividir por cero:
https://youtu.be/zpLr0u0yKPI)
A) Redondeo – Cifras significativas
Toda medición, en especial en física y en química, tiene una cierta incertidumbre que es propia
del instrumento de medición sobre el que se realiza. Dentro de nuestro ámbito, el económico,
también tenemos que enfrentarnos a resultados experimentales a los que les asignaremos un
grado de confiabilidad.
A estas cifras que me permiten tener un resultado con confiabilidad las denominaremos cifras
significativas, y al determinar el número de cifras significativas puede que acotemos la
cantidad de cifras que tiene ese resultado, y allí es donde utilizamos el llamado redondeo.
Por ejemplo si el desvio estándar es 3,8729833462 ……….. (en realidad esto corresponde a la
√15 que es un número irracional),y quiero que tenga dos cifras decimales significativas, tengo
que redondear, entonces:
¿3,87 o 3,88? para determinar que número pongo en la segunda cifra (en el centésimal), me
fijo en el número siguiente, en este caso 2, por lo que el número queda igual.
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Esto es porque si el número siguiente es menor que 5, la cifra de corte queda igual (en nuestro
caso se cortaba en el centesimal, así que quedaría 7); y si el número es mayor o igual a 5 a la
cifra de corte se le agrega una unidad
Así por ejemplo: si decidimos que sean dos cifras significativas
4,56897, se redondea a 4,57 (pues el número que le sigue a 6 que es la cifra de corte es 8)
B) Notación Científica:
Se dice que un número está expresado en notación científica cuando se expresa como
producto de un número comprendido entre 1 y 10, por una potencia de 10.
Ejemplos:
9400 expresado en notación científica sería 9,4 .10 3
Veamos, la parte entera tiene que ser un número entre 1 y 10, por lo que 9,4 cumple con esa
regla.
Si 9 está ubicado en la unidad de mil, por lo que al realizar el corte para lograr una expresión
equivalente a 9,4 lo tendría que multiplicar por 1000, y mil es 10 elevado a la tercera.
Por eso 9400 = 9,4 .10 3
Si tenemos 0,0037, en este caso tendríamos que dividir para llegar a una expresión
equivalente y dividir expresado en forma fraccionaria es lo mismo que escribir con exponente
negativo
Entonces
0,0037 = 3,7. 10 -3
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS COMBINADOS
Cuando tenemos que resolver ejercicios combinados,
1.- Separamos en términos (los signos más y menos son los que separan, y los signos de
multiplicación y división agrupan)
2.- Si hay ( ), [ ]; { }, el orden de resolución es primero ( ), luego [ ], y por último { }
Veamos un ejemplo muy sencillo:
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𝟓 − (𝟐𝟒 − 𝟑𝟒): 𝟐 − 7(4 − 9 − 5): 10 =
El primer término contiene al 5
El segundo término al cociente (24 -34) :2 , y dentro del ( ), tenemos dos términos : 24 y 34
El tercer término tiene un producto y cociente: 7(4-9-5):10, y a su vez dentro del ( ) hay tres
términos que contienen al 4, 9 y 5
Comenzamos por resolver los términos dentro de cada ( )
𝟓 − (−𝟏𝟎): 𝟐 − 𝟕(−𝟏𝟎): 𝟏𝟎 =
Ahora resolvemos cada término:
5 + 5 + 7 = 17
Veamos:
- (-10):2= - (-5) = +5
-7 (-10):10 = +70:10 = +7 ó -7 (-1) = +7
Razones y proporciones
Razón: Se denomina razón entre dos números a y b (b≠ 0), al cociente de la división de a por
b.
El primer número se denomina antecedente y el segundo número se llama consecuente de la
razón.
𝑎 →𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
En símbolos quedaría expresado así: a es a b se expresa a:b o 𝑏 →𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
Proporciones:
La igualdad de dos razones es una proporción.
𝑎
𝑐
= 𝑑 o a:b :: c:d, que leemos así : a es a b como c es a d
𝑏
a y d, se llaman extremos y b y c se llaman medios
Entonces: dadas dos razones decimos que forman una proporción, si y solo si se cumple la
propiedad fundamental
Propiedad fundamental:
El producto de los medios es igual al producto de los extremos
𝒂 𝒄
= ∴ 𝒂. 𝒅 = 𝒃. 𝒄
𝒃 𝒅
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Por lo tanto cualquier medio o extremo desconocido lo podemos hallar calculando el
producto de la diagonal conocida por el extremo o medio conocido de la diagonal
incompleta.
Veamos: si desconocemos a:
𝒂 𝒄
𝒃. 𝒄(𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂)
= ;𝒂 =
𝒃
𝒅
𝒅 (𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒂)
Propiedades de las proporciones:
Para que sea más sencillo escribiremos directamente las fórmulas!
1.-
2.-
3.-
4.-
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑐
=𝑑 ∴
𝑐
=𝑑 ∴
𝑐
=𝑑 ∴
𝑐
𝑎±𝑏
𝑏
𝑎±𝑏
𝑎
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
𝑒
=𝑑=𝑓 ∴
=
=
𝑐±𝑑
𝑑
𝑐±𝑑
𝑐
.
.
𝑐+𝑑
= 𝑎−𝑑.
𝑎+𝑐+𝑒
𝑏+𝑑+𝑓
.
Porcentaje
Definimos porcentaje como: el Número o cantidad que representa la proporcionalidad de una
parte respecto a un total que se considera dividido en cien unidades. Es decir, que los
porcentajes expresan la relación entre dos magnitudes directamente proporcionales
indicando la cantidad que corresponde a una de ellas cuando la cantidad de la otra es
exactamente 100. El símbolo que se utiliza para expresar esta relación es % (que significa
tanto por ciento)
El porcentaje hace referencia a las partes tomadas de un entero (total) dividido en 100 partes
iguales
20% 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛
20
, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟á = 0,2
100
Si quiero hallar el 20% de 500, armo la proporción,
20
𝑥
=
100 500
Luego aplico la propiedad de las proporciones:
500 .𝟐𝟎
𝑥 = 𝟏𝟎𝟎 = 100 ;
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si observan 20/100 = 0,2, por lo que podemos decir que 𝑥 = 500.0,2= 100
Podemos aplicar directamente el coeficiente que indica ese porcentaje al total para hallar esa
parte proporcional equivalente.
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen una o más incógnitas.
En general, para resolver ecuaciones debemos operar matemáticamente tratando de generar
una expresión equivalente más sencilla, es decir, vamos a primero separar en términos y tratar
de resolver la mayor cantidad de términos posibles.
Luego debemos elegir uno de los miembros donde agruparemos los términos que contienen
la incógnita y en el otro aquellos términos que no poseen incógnitas.
Ejemplo: Resolver la ecuación 5(2x + 3) – 4x = - 4 + 3(x – 4)
Primero resuelvo, aplicando propiedad distributiva los (), y nos quedaría
10x + 15 – 4x = - 4 + 3x – 12
Decidimos que vamos a agrupar a los términos con la incógnita en el primer miembro (a la
izquierda del igual) y el resto al segundo miembro. Por lo tanto 3x que está sumando en el
segundo miembro “pasará” restando al primer miembro; y 15 que está sumando en el primer
miembro “pasará” restando al segundo miembro
(NOTA: CUANDO DECIMOS, COMO USUALMENTE LO HACIAN EN LA ESCUELA SECUNDARIA
“PASA”, ESTAMOS HACIENDO REFERENCIA A PROPIEDADES QUE ESTAMOS UTILIZANDO, ASI
SI DECIMOS QUE 3X PASA RESTANDO LO QUE EN REALIDAD ESTAMOS HACIENDO ES APLICAR
UN METODO PARA GENERAR UNA EXPRESIÓN EQUIVALENTE QUE PERMITA QUE 3X QUEDE
CANCELADO EN EL MIEMBRO EN EL QUE ESTÁ: EJEMPLO 10x + 15 – 4x = - 4 + 3x – 12;
AHORA GENERO UNA EXPRESIÓN EQUIVALENTE: 10x + 15 – 4x -3X = - 4 + 3x -3X– 12
SI OPERAMOS MATEMÁTICAMENTE: 3x Y -3x DEL SEGUNDO MIEMBRO SE CANCELAN, Y
QUEDA EN EL PRIMER MIEMBRO -3X, DE AHÍ QUE SURGE QUE SI ESTÁ SUMANDO “PASA “
RESTANDO)
10x – 4x – 3x = - 15 – 4 – 12
Operamos matemáticamente:
3x = - 31
20
Ahora tenemos un solo término en cada miembro, por lo tanto 3 está multiplicando a la
incógnita x, pasará dividiendo al otro miembro
𝑥=−
31
3
Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su
solución común. Cuando dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, las
expresamos de la siguiente forma:
ax + by = c

a ' x + b ' y = c '
Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común de ambas.
Número de soluciones de un sistema de ecuaciones
a) Sistemas sin solución.
Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen cosas contradictorias. Por ejemplo:
2 x + 3 y = 15
En este caso, nos dice por una parte que 2x+3y=15 y por otra que

2 x + 3 y = 9
2x+3y=9 y eso es absolutamente imposible porque para eso tendrían que adoptar las
incógnitas valores distintos en cada ecuación y entonces no sería un sistema de ecuaciones.
Así sacamos la conclusión de que el sistema no tiene soluciones comunes y entonces
se dice que el sistema es incompatible.
En general, cuando resolvemos un sistema y llegamos a esta expresión, 0x = N°, es un sistema
incompatible. Recordá que ya vimos que sucedía si queríamos dividir por cero!
b)Sistemas con solución .
b1) Una única solución:
En este caso decimos que el sistema es compatible determinado
21
En general, cuando resolvemos llegamos a esta expresión: a.x = b (donde a es distinto de cero)
b2)Hay sistemas cuyas ecuaciones expresan “lo mismo” o que una ecuación es proporcional a
la otra, es decir, tenemos n veces la misma ecuación. Veamos un ejemplo:
2 x + 3 y = 15
(1)

2 x + 3 y = 15
2 x + 3 y = 15
(2)

4 x + 6 y = 30
En el ejemplo (1) tenemos que las dos ecuaciones son idénticas y en el ejemplo (2)
tenemos que la segunda ecuación es la misma, pero multiplicada por 2, entonces si dividimos
toda la ecuación por 2, obtendremos nuevamente dos ecuaciones idénticas. Serían rectas
paralelas o coincidentes
En este caso el sistema se llamará compatible indeterminado, porque tiene soluciones, pero
éstas son infinitas.
En general la expresión final nos quedaría 0x = 0, de allí la indeterminación.
Métodos analíticos para resolver sistemas de ecuaciones
Algunos de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones son los siguientes:
Método de sustitución.
Este método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejar una
incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.
Pasos que conviene dar para aplicar este método:
1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2º. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una
ecuación con una sola incógnita.
3º. Se resuelve esta ecuación.
4º. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita
despejada.
5º. Se ha obtenido, así, la solución.
Veamos:
Pasos que conviene dar para aplicar este método:
22
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖
{
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑
1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
Elegimos despejar x de la primera ecuación, y nos queda así:
𝒙 = 𝟖 − 𝟐𝒚
2º. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una
ecuación con una sola incógnita.
𝟐. (𝟖 − 𝟐𝒚) + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑
3º. Se resuelve esta ecuación.
𝟏𝟔 − 𝟒𝒚 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑
−𝒚 = 𝟏𝟑 − 𝟏𝟔
−𝒚 = −𝟑
𝒚=𝟑
4º. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita
despejada.
𝒙 = 𝟖 − 𝟐. 𝟑
X= 2
5º. Se ha obtenido, así, la solución. : x = 2; y = 3
S=
(2;3)
Método de igualación.
Éste método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar
las expresiones resultantes.
Pasos que conviene dar para aplicar este método:
1º. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
23
2º. Se igualan las expresiones, de esta manera logramos una ecuación con una
incógnita.
3º. Se resuelve esta ecuación.
4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que
aparecía despejara la otra incógnita.
5º. Se ha obtenido así la solución.
Veamos:
Pasos que conviene dar para aplicar este método:
1º. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
;
2º. Se igualan las expresiones, de esta manera logramos una ecuación con una
incógnita.
3º. Se resuelve esta ecuación.
y= 60/20
y= 3
24
4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que
aparecía despejara la otra incógnita.
x= 6/3 = 2
5º. Se ha obtenido así la solución. x = 2; y = 3
Método de reducción o eliminación por sumas y restas
Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas
tenga el mismo coeficiente en ambas. Restando las ecuaciones resultantes, miembro a
miembro, se obtiene una ecuación con sólo una incógnita (se ha reducido el número de
incógnitas).
Una primera condición es que el sistema tiene que estar ordenado
ax + by = c

a ' x + b ' y = c '
Vamos a buscar una manera de generar una expresión equivalente de manera que una
de las incógnitas logremos que tengan en las dos ecuaciones el mismo coeficiente
Al restarlas desaparece una de las incógnitas.
Se resuelve la ecuación resultante.
El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.
Se obtiene, así, la solución.
Veamos con el siguiente ejemplo:
𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟑
{
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑
25
Vamos a buscar una manera de generar una expresión equivalente de manera que una
de las incógnitas logremos que tengan en las dos ecuaciones el mismo coeficiente
Al restarlas desaparece una de las incógnitas.
En este caso si queremos eliminar y porque están con signos diferentes, si a la primera
ecuación la multiplicamos por 3 y a la segunda por 4 vamos a lograr que en ambas con distinto
signo tengamos el mismo valor de y
{
(𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟑). 𝟑
(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑). 𝟒
{
𝟗𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 = 𝟑𝟗
𝟖𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 = 𝟏𝟐
Se resuelve la ecuación resultante.
Sumando en forma vertical
9x -12y= 39
+
8x+12y= 12
17x = 51
x = 51/17
x= 3
El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.
𝟑𝟑 − 𝟒. 𝒚 = 𝟏𝟑
𝟗 − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟑
−𝟒𝒚 = 𝟏𝟑 − 𝟗
26
Y = 4/(-4)
Y= -1
Se obtiene, así, la solución. X= 3 ; Y = -1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras, es decir que está formada
por un componente numérico, al que llamaremos coeficiente y un componente literal.
Dependiendo de cómo esté formulado puede tener una o varias variables. El componente
literal tiene que tener un exponente perteneciente a los N0.
Ejemplo:
3x2
El componente numérico: coeficiente es 3
El componente literal: variable es x, que tiene un exponente 2 y 2ε No
A la expresión anterior se la denomina MONOMIO
Grado de un monomio:
El grado de un monomio lo da el exponente de la variable o componente literal o la suma de
los exponentes si el componente literal está compuesto por varias variables
Ejemplo
P (X) = 3 x2
como está planteado la variable es x, y como el exponente es 2, entonces es
un monomio de grado 2
POLINOMIOS
Una agrupación de monomios se denomina polinomio
Si lo componen dos términos se lo denomina BINOMIO
Si lo componen tres términos se lo denomina TRINOMIO
Si lo componen cuatro términos se lo denomina CUATRINOMIO
27
Y si está formado por más de cuatro términos se lo denomina polinomio de n- términos.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio lo da el monomio de mayor grado
Veamos los siguientes ejemplos:
P(x) = 3x2 – 5 x + 7
grado 2
; este es un trinomio cuyo exponente mayor es dos, por lo tanto es de
Q(x) = - 4 + 7x5 – 2x3 + 6x; este es un cuatrinomio, cuyo exponente mayor es 5, por lo tango el
grado es 5
Coeficiente principal:
El coeficiente principal corresponde al coeficiente (componente numérica) del monomio que
da el grado
Siguiendo con el ejemplo:
P(x) = 3x2 – 5 x + 7 el coeficiente principal es 3 y el grado es 2
Q(x) = - 4 + 7x5 – 2x3 + 6x el coeficiente principal es 7 y el grado del polinomio es 5
Seguimos un poco más:
Polinomio ordenado:
Un polinomio está ordenado en forma creciente o decreciente, cuando hay un orden de los
grados de cada monomio que forma el polinomio.
El primero P (x) está ordenado en forma decreciente
P (x) = 3x2 – 5 x + 7: 3x2 es de grado 2; - 5 x es de grado 1 ; +7 es de grado 0 (porque sería 7
x0, y como todo número elevado a la cero da 1, salvo 00 que no está definido, 7*1 es 7, por
esa razón el componente literal no aparece)
El polinomio Q(x) no está ordenado, si lo ordenamos en forma creciente quedaría así:
Q (x) = 4 + 6x – 2 x3 + 7 x5
28
Polinomio completo:
Un polinomio está completo si se encuentran todos los grados correlativos , P(x) está
completo y Q (x) no , para completarlo, vamos a reescribir el polinomio con una expresión
que sea equivalente.
Para que esto se produzca lo que hacemos es escribir el monomio que falta con el grado y el
coeficiente 0
Entonces:
Polinomio incompleto
P (x) = 3x2 – 5 x + 7
Q (x) = 4 + 6x – 2 x3 + 7 x5
Polinomio Completo
P(x) = 3x2 – 5 x + 7
Q (x) = 4 + 6x +0x2 – 2 x3 + 0x4+ 7 x5
Los polinomios completos y ordenados son muy importantes para cuando realizamos algunas
operaciones.
Polinomio normalizado
Un polinomio normalizado es aquel que tiene coeficiente principal 1. Si es de variable única
también se lo llama mónico
En los ejemplos ni P (x) ni Q(x) están normalizados
El polinomio 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2, es un cuatrinomio (cuatro términos), completo y ordenado
en forma descendente, de grado 3 con coeficiente principal 1, está normalizado
Polinomio primo: es aquel polinomio que no se puede factorizar
OPERACIONES CON POLINOMIOS
SUMA :
Para sumar polinomios lo que hacemos es sumar aquellos términos que están formados por
monomios semejantes
Monomios semejantes son aquellos que tienen el mismo grado
Por ejemplo:
29
2 x4 y – 5 x4 son monomios semejantes porque ambos tienen grado 4
Para sumar lo que hacemos es reescribir un polinomio debajo del otro de manera que
coincidan los términos semejantes
Ejemplo:
Dados los polinomios
P (x) = 3x4 + 5x3 − 2x2 + x – 7
Q (x) = 8x3 − 6x2 – 3
Reescribimos los polinomios: Un consejo el primer polinomio tratemos de escribirlo completo
y para luego si es en orden decreciente es mejor.
P (X)
Q(x)
3x4 + 5x3 − 2x2 + x – 7
8x3 − 6x2
–3
P (x) + Q (x)
3x4 + 13x3 − 8x2 + x – 10
Resta:
Para restar lo que hacemos es sumar el opuesto aditivo del sustraendo
P ( x ) – Q (x)
Si Q (x) es 8x3 − 6x2 – 3
Y luego sumamos:
; - Q(x) = - 8x3 + 6x2 + 3
P (X)
-Q(x)
3x4 + 5x3 − 2x2 + x – 7
-8x3 + 6x2
+3
P (x) + Q (x)
3x4 - 3x3 +4 x2 + x – 4
Producto:
Para multiplicar aplicamos la propiedad distributiva y recordamos las propiedades de la
potenciación:
am . an = a m+n
Ejemplo: 3 x4 . (-2) x 3 = -6 x7 (multiplicamos los coeficientes 3 . 2 = 6 y por regla de los signos
+. - = -; y aplicando las propiedades de las potencias de igual base 4 + 3 es 7)
30
Ejemplo:
R (x) = 3x4 + 5x3 − 2x2 +4 x +3
Producto de un número por un polinomio:
3 R(x) = 3. (3x4 + 5x3 − 2x2 +4 x +3) = 3. 3x4 +3. 5x3 +3 . (− 2x2 ) +3. 4 x + 3. 3
= 9 x4 + 15 x3 – 6 x2 +12x +9
Producto de dos polinomios:
R (x) = 3x4 + 5x3 − 2x2 +4 x +3
S (x) = 2 x -1
3x4 + 5x3 − 2x2 +4 x +3
. 2x -1 ________
-3x4 -5x3 + 2x2 - 4x - 3
+6x5 +10x4 - 4x3 + 8x2 + 6x________
+ 6 x5+7x4 – 9x3 + 10x2 +2x - 3
División:
Para dividir dos polinomios tenemos que tener en consideración que el dividendo y el divisor
tienen que estar completos y ordenados en forma decreciente.
El grado del dividendo tiene que ser mayor o igual al grado del polinomio divisor, y voy a poder
seguir realizando los pasos de la división siempre que el grado del polinomio que vaya
quedando sea mayor o igual al grado del polinomio divisor.
Para comenzar a obtener los monomios del polinomio cociente vamos a dividir a cada primer
término del dividendo con el primer término del polinomio divisor, y así sucesivamente como
lo hacíamos en la escuela primaria
Recordamos la propiedad de la división de potencias de igual grado!!
am : an = a m- n
Vamos a recordar como dividíamos en la escuela primaria!!!
31
Lo que hacíamos era buscar qué número multiplicado por 4 da 7 o
menos de 7; en este caso es 1. Entonces, hacíamos 1 . 4 y el resultado
lo escribimos restando entonces, 7 – 4 es 3.
Baja el 2 y queda formado el número 32 y seguimos con el mismo
procedimiento.
Esto mismo vamos a realizar al dividir polinomios, y como restamos es lo mismo que sumar
el opuesto aditivo
S(x) = 2x3 + 9x2 + 16x + 26
T(x) = 2x2 + 3x + 7
Vamos a realizar S (x) : T(x) , y lo primero que teníamos que hacer era ordenarlos en forma
decreciente y completarlos. En este caso, están completos y ordenados.
Empezamos :
2x3 + 9x2 + 16x + 26
-2x3 – 3x2 -7x
⃓2x2 + 3x + 7
Cálculo Auxiliar
+2x3 : (+2x2) = 1 x1 = x
X
------ +6x2 + 9x
( x . 2x2 = 2 x3 y el opuesto aditivo es -2x2; x.3x = 3x2 y el opuesto aditivo
es -3x2 ; x.7 = 7x y el opuesto aditivo es -7x)
En un segundo paso baja el otro término, en este caso +26
2x3 + 9x2 + 16x + 26
-2x3 – 3x2 -7x
32
⃓2x2 + 3x + 7
X
+3
Cálculo Auxiliar
x2 : 2x2 = 3; y aplicamos el procedimiento
------ +6x2 + 9x +26
Representan al polinomio cociente
-6x2 - 9x - 21
------+ 0x +5 (como 5 es de grado 0 y el divisor es de grado 2, no se puede dividir; por
lo tanto +5 es el resto de la división)
Una forma especial de división: Regla de Ruffini
La regla de Ruffini sólo es aplicable si el divisor es un polinomio normalizado de grado 1 ( o sea
tiene la forma x+a con a≠0)
Como siempre el dividendo tiene que estar completo y ordenado en forma decreciente
Lo que hacemos es escribir los coeficientes del dividendo y por otro lado el opuesto aditivo
del término independiente (a) del polinomio divisor y armar una tabla
Ejemplo:
P (x) = x4 − 2x2 + 4
Q(x) = x – 3
Primero vemos que P(x) no está completo, por lo tanto hay que completarlo
P (x) = x4 + 0x 3− 2x2 + 0x + 4 ;
Los coeficientes de cada término de P(x) son 1; 0; -2;0 y 4
Lo ubicamos en el siguiente esquema:
Coeficientes del dividendo
-a_____________________________________________
Coeficientes del polinomio cociente
___Resto_
1
33
0
-2
0
4
El primer coeficiente baja a la línea de resultado
directamente y luego se multiplica por el opuesto aditivo
de a y se pone en ese renglón
+3 _________________________________
1
1
0
-2
0
4
El resultado pasa a la columna
siguiente suma y sigue el procedimiento
+3 ________ 3______9___ 21____63____________
1
3
7
21
67
es el resto
1; 3 ; 7 y 21 forman parte de los coeficientes del polinomio cociente, que va a tener un grado
menor que el grado del dividendo
Por lo tanto el polinomio cociente quedaría así: 1 x 3 + 3x2 +7x +21
FACTORIZACION
Factorizar implica transformar una expresión formada por una serie de sumas en una
expresión equivalente formada por un producto
Existen varios casos factoreo, vamos a analizarlos, a algunos de una manera especial.
Primer caso: Factor común
Vamos a empezar con un ejemplo sencillo:
Miren los nombres de las siguientes personas:
Julián Gomez, Andrea Gomez, Felipe Gomez, Agustín Gomez
¿Qué tienen en común? Sencilla la respuesta: El apellido, pues ese es el factor común
Si a cada uno le quito ese factor común y reescribo quedaría así
(Julián, Andrea, Felipe, Agustin) Gomez
De alguna manera los agrupamos.
Matemáticamente al aplicar factor común lo que vamos a obtener es una expresión
equivalente en forma de producto
34
¿Cómo obtengo el factor común?
Primero debe encontrarse en TODOS los términos del polinomio
Entre los coeficientes: busco el divisor común máximo
Entre los componentes literales, de cada uno que sea factor común elijo el de menor
exponente.
Dado el polinomio: P(x) = 5a2 - 15ab - 10 ac
Veamos: el divisor común a todos los coeficientes es 5; y a, entonces el factor común es
5ª
Lo que hacemos es reescribir al polinomio como un producto entre el factor común y el
cociente de la división del polinomio por el factor común.
Nos quedaría así: P(x) = 5a(a - 3b - 2c )
Segundo Caso: Factor común por grupos
En este caso lo que hacemos es reordenar a los monomios que forman el polinomio de
manera de formar grupos que tengan entre sí factor común.
En general podemos decir que para aplicar este caso tenemos que tener una cantidad de
términos par, al extraer factor común a cada uno de los grupos, logramos que quede una
expresión a la que le podemos volver a extraer factor común.
Veamos con un ejemplo sencillo: Dado el polinomio: P (x) = ap + bp + aq + bq
Podemos agruparlos así: P (x) = ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
p(a + b ) + q( a + b )
Ahora nos queda un polinomio expresado de manera que hay dos términos y entre ellos
el factor común (a+b)
Se saca factor común nuevamente al polinomio y nos quedaría: ( a + b ) ( p + q )
Por lo tanto : P(x) = ap + bp + aq + bq = ( a + b ) ( p + q )
35
Tercer caso: Trinomio Cuadrado
Para resolver un trinomio de la forma:P(x) = aX2+ bX + c, usamos la fórmula resolvente y
reescribimos en forma de producto.
Fórmula
resolvente:
Con la fórmula resolvente obtenemos las raíces del polinomio, y reescribimos de esta
manera
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎( 𝑥 − 𝑥1 ). (𝑥 − 𝑥2 )
Donde 𝑥1 𝑦 𝑥2 son las raíces
Cuarto caso: Diferencia de cuadrados:
La diferencia de cuadrados proviene de aplicar la propiedad distributiva en el producto de
binomios conjugados
Un binomio conjugado es aquel cuyo segundo término tiene signo opuesto
Ejemplo del binomio a+b, su binomio conjugado es a-b
Por lo tanto: para resolver este caso lo que hacemos es conocer el valor de la raíz cuadrada
de cada término de esa diferencia y reescribir la expresión como producto de binomios
conjugados
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) = 9𝑥2 − 16𝑦2
La raíz cuadrada de 9x2 es 3x; y la raíz cuadrada de 16y2 es 4y, por lo tanto
𝑃(𝑥) = 9𝑥 2 − 16𝑦 2 = (𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 )( 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 )
36
Mirá este link con un pequeño resumen de trinomio de grado 2 y Diferencia de cuadrados:
https://docs.google.com/presentation/d/1KbE5lySNmC0ajAX6wtKCUAv2YrWnTxeTdIfOk
6vPtHw/edit?usp=sharing
Quinto caso: Suma o diferencia de potencias de igual grado
Suma de potencias de igual grado
Son binomios del tipo: an + bn
1.- Con "n" impar.
Este binomio es divisible únicamente por la suma de sus bases: a + b
Así, por ejemplo para n = 3:
(a³ + b³)/(a + b) = (a² - a.b + b²) ; Simplemente se aplica división de polinomios.
Expresando el resultado como: (a³ + b³) = (a + b).(a² - a.b + b²)
2.- Con "n" par
No se puede aplicar .
2- Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar
Son binomios del tipo: an - bn
Con "n" impar.
Este binomio es divisible únicamente por la diferencia de sus bases: a - b
Así, por ejemplo para n = 3:
(a³ - b³)/(a - b) = a² + a.b + b² ; Simplemente se aplica división de polinomios.
Expresando el resultado como: (a³ - b³) = (a - b).(a² + a.b + b²)
37
Con "n" par.
Este binomio es divisible por la suma y por la diferencia de sus bases: a + b y a - b
Así, por ejemplo para n = 4:
(a4 - b4)/(a + b) = a³ - a².b + a.b² - b³
Y
(a4 - b4)/(a - b) = a³ + a².b + a.b² + b³
Nos quedarían, entonces:
(a4 - b4) = (a + b).(a³ - a².b + a.b² - b³)
(a4 - b4) = (a - b).(a³ + a².b + a.b² + b³)
MÓDULO 2: ECONOMÍA EMPRESARIAL
38
Y
Fundamentación
Plan de Estudios 2015
La Universidad Nacional de Lanús plantea en su Estatuto como misión primaria “contribuir, a
través de la producción y distribución de conocimientos y de innovaciones científicotecnológicas, al desarrollo económico, social y cultural de la región, a fin de mejorar la calidad
de vida y fortalecer los valores democráticos en el conjunto de la sociedad, articulando el
conocimiento universal con los saberes producidos por la comunidad.
En el marco de esta misión institucional, la UNLa se propuso abrir los campos epistemológicos
de su oferta académica por problemas más que por disciplinas, entendiendo que no es a través
de ninguna disciplina per se como se resuelven los problemas sociales”.1
En la Universidad Nacional de Lanús entendemos que la “Universidad” tiene responsabilidad
social con la comunidad a la cual pertenece, potenciando los recursos que ésta ya posee,
vinculándose tecnológica y científicamente con los sectores público, privado y ONGs, para
compartir el esfuerzo de elevar la calidad de vida y lograr una sociedad más justa,
contribuyendo así al desarrollo social, regional y local.
De esta manera, la Licenciatura en Economía Empresarial no tan sólo forma profesionales que
tengan capacidad de gestión con valores éticos, sino también ciudadanos comprometidos con
el bien común, y contribuye a formar gestores empresarios a través de la conducción
empresaria de unidades productivas individuales, pequeñas o medianas, o mediante servicios
de consultoría sobre temas específicos.
La originalidad de la propuesta reside en la combinación de la enseñanza de la economía y de
la administración de empresas, ya que pensamos que los fenómenos económicos, que
imprimen su marca al desarrollo social, y la conducción de organizaciones productoras de
riqueza no pueden seguir en compartimentos estancos.
Es decir, esta formación superior busca combinar sólidos conocimientos teóricos en el área de
la economía, con un fuerte componente de aplicación en gestión de empresas. De este modo,
los contenidos curriculares integran diferentes dimensiones del conocimiento, con el objetivo
de asegurar la excelencia académica y la acción concreta en la realidad productiva y social en
el ámbito de la administración de empresas, las cuales contribuyen al bienestar de la
comunidad en la cual están insertas.
Jaramillo, Ana (2000): La universidad frente a los problemas sociales. EDUNLA. Bs. As.
Argentina
1
39
Organización del Plan de Estudios
La organización de los Planes de Estudios, tanto de la Licenciatura en Economía Empresarial
como de la Tecnicatura Universitaria en Economía Empresarial, se sustentan en la articulación
de tres grandes áreas o campos que agrupan -desde distintas perspectivas de abordajematerias y problemas vinculados con las prácticas requeridas a los economistas
empresariales.
Campo de la Formación Disciplinar Básica
El campo de la formación disciplinar básica hace referencia al conjunto de unidades
curriculares que conforman el entramado del objeto abordado por la economía empresarial.
Una formación profesional sólida se construye a partir de los aportes, no sólo de las ciencias
económico-administrativas, sino también de aquellas que confluyen brindando herramientas
complementarias para el análisis, la interpretación y la contextualización de los fenómenos
que emergen de la realidad productiva local y regional.
En este contexto, “básico” no debe interpretarse como simple o de baja complejidad, sino
como basal, como aquello que está en los fundamentos de la formación profesional.
Campo de las Intervenciones Profesionalizantes
El campo de las intervenciones profesionalizantes se constituye a partir de espacios en los
cuales prevalece la discusión y el análisis, orientados a la resolución de problemas referidos a
aspectos específicos relacionados con la actividad del economista empresarial. En estas
instancias, se desarrollan, articulan y ponen a prueba habilidades, saberes, modos de
interpretación y opciones metodológicas que se suponen propias de las prácticas
profesionales.
Campo de la Formación Profesional Especializada.
La formación profesional especializada propone la participación en espacios de estudio en los
que prevalece el análisis de aspectos particulares o específicos de fenómenos económicos,
financieros o de gestión. El análisis de estas cuestiones requiere para su abordaje de la
combinación de habilidades y saberes provenientes de diferentes experiencias de aprendizaje.
En este contexto, la especialización exige de la articulación de conocimientos, que pueden
40
provenir de ámbitos disciplinares diversos, con las perspectivas que sustentan
posicionamientos ético-políticos.
Perfil profesional del/la egresado/a
Perfil del Título
El diseño y contenido de la carrera forman a los alumnos en el dominio de herramientas
básicas de la Economía y la Administración para desempeñarse a escala profesional y gerencial
en pequeñas, medianas y grandes empresas.
Los ejes centrales en torno a los que aspira formar a los alumnos se estructuran siguiendo los
lineamientos disciplinares de la economía y la administración, y el análisis socio histórico de
los hechos y teorías trabajadas.
Esta combinación entre teoría económica y administrativa, por un lado, y el manejo operatorio
concreto de empresa y sistemas tecnológicos, por el otro, significa que estos profesionales
estarán en condiciones de desempeñarse eficientemente en los diversos campos de gestión
administrativa y productiva, tanto en entidades públicas como privadas, desarrollando
actividades a nivel de consultoría, promoción, asistencia técnica, gerenciamiento o
capacitación.
Alcance de la Tecnicatura Universitaria en Economía Empresarial
El/la estudiante que egresa con el diploma de Técnico Universitario en Economía Empresarial
dispone de los conocimientos fundamentales para desempeñarse a nivel medio en el marco
de unidades productivas medianas o grandes. El saber adquirido en el área empresarial le
brindará la posibilidad de tener una gestión diferente en la resolución de problemas de su
organización, así como los estudios del área económica le permitirán distinguirse en la
apreciación contextualizada de cada tema cotidiano.
La Tecnicatura Universitaria en Economía Empresarial formará graduados con conocimientos,
aptitudes y habilidades para:
41
•
Participar en procesos de formulación y evaluación de proyectos de inversión
•
Colaborar en el diseño de emprendimientos empresarios en el ámbito de unidades
económicas individuales, pequeñas, medianas y grandes empresas.
•
Participar en el diseño de proyectos, planes de negocios y programas relativos a
diferentes tipos de unidades económicas.
•
Integrar equipos de gestión en unidades económicas, pequeñas o grandes.
Formación
Las asignaturas que conforman el Plan de Estudios del Técnico Universitario en Economía
Empresarial son:
Primer Año
➢ Historia Económica Contemporánea
➢ Contabilidad
➢ Introducción a la Matemática
➢ Taller de Producción de Textos de Economía y Administración
➢ Economía y Sociedad
➢ Organización y Gestión
➢ Elementos de Matemática
Segundo Año
➢ Microeconomía
➢ Derecho Comercial
➢ Cálculo Financiero y Desarrollo Estadístico Aplicado
➢ Macroeconomía
➢ Costos Empresariales
➢ Derecho Tributario
Tercer Año
➢ Organización de la Producción y la Tecnología
42
➢ Control de Gestión
➢ Macroeconomía y Política Económica
➢ Comercialización
➢ Derecho del Trabajo y de la Seguridad Social
➢ Comercio Exterior y Economía Internacional
➢ Financiamiento
➢ Plan de Negocios
➢ Taller de Integración I
Cuarto Año
➢ Formulación y Evaluación de Proyectos
➢ Gestión Ambiental y Empresa
➢ Sistemas de Organización
➢ Economía Bancaria y Financiera
➢ Administración de los Recursos Humanos
➢ Economía Industrial
➢ Taller de Integración II
Otros Requisitos:
➢ Inglés I
➢ Dos Módulos de Informática: Gestión de Proyectos y Programa Estadístico para las
Ciencias Sociales I
➢ Seminario de Justicia y Derechos Humanos
➢ Seminario de Pensamiento Nacional y Latinoamericano
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Alcance de la Licenciatura en Economía Empresarial
El egresado de la Licenciatura en Economía Empresarial contará con una avanzada y múltiple
formación en las disciplinas que explican los diversos aspectos de la identificación, diseño,
organización, gestión y crecimiento de unidades productivas y de servicios de economía
privada, como así también podrá desempeñarse en organismos públicos.
Además de los conocimientos y destrezas que forman la Tecnicatura en Economía
Empresarial, el Licenciado en Economía Empresarial estará formado para:
44
•
Gestionar las diferentes variables de la empresa en su relación con la sociedad.
•
Intervenir en proyectos de investigación relacionados con el desarrollo del saber
científico en el área de administración, economía y ámbitos empresariales
•
Intervenir en la evaluación del impacto social y ambiental de las decisiones económicas
/ administrativas de las empresas e informar a sus directivos sobre las medidas
posibles para preservar la calidad de vida y el medio ambiente
•
Actuar como asesor, gestor y directivo en todo tipo de organizaciones
•
Intervenir en la definición de los objetivos y las políticas de las organizaciones
•
Intervenir en la evaluación del impacto económico, social y ambiental de las decisiones
administrativas de las empresas y formar parte de las decisiones correctoras al
respecto.
•
Evaluar la calidad de vida en las organizaciones y la ética de las decisiones
administrativas
•
Intervenir en equipo con enfoque interdisciplinario en proyectos que requieran la
integración profesional de la administración relacionadas con el desarrollo del saber
científico en el área de economía y de administración.
•
Formular y ejecutar políticas y proyectos en los ámbitos públicos y privados, tales como
ONGs con o sin fines de lucro, cámaras, sindicatos, empresas, organismos públicos,
entre otros.
•
Ejercer la docencia universitaria
Formación
Los/as estudiantes que deseen obtener el Título de Licenciado en Economía Empresarial
deberán cumplimentar su formación a través de las siguientes asignaturas:
Quinto Año
➢ Problemas Actuales de la Economía Argentina
➢ Ética de la Empresa
➢ Mediación y Negociación
➢ Políticas y Estrategias para el Desarrollo Regional y Local
➢ Taller de Trabajo Final
➢ Seminario sobre Responsabilidad Social Empresaria
➢ Planeamiento Estratégico y Toma de Decisiones
➢ Seminario sobre Economía Social
➢ Práctica Pre-Profesional
Otros Requisitos
➢ Inglés II
➢ Dos Módulos de Informática a elección del estudiante
Contenidos mínimos de las asignaturas
01 - HISTORIA ECONÓMICA CONTEMPORÁNEA
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
En el marco de una introducción sistemática al análisis de la historia y su metodología,
identificar el comportamiento histórico contemporáneo, determinar las características e
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interrelaciones de las dimensiones económicas, culturales, tecnológicas, políticas y
demográficas, y analizar sus efectos sobre la actual configuración internacional. Analizar cada
etapa desde la perspectiva Argentina.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
El contexto ideológico. La revolución industrial, la independencia de Estados Unidos y
la Revolución Francesa. Influencia de las tres revoluciones burguesas en el proceso de
evolución de las ideas. El pensamiento económico latinoamericano desde la posguerra
hasta nuestros días.
•
Los modos de producción. Advenimiento del capitalismo. La aparición de la industria.
Fordismo, taylorismo y toyotismo. Los cambios en el proceso productivo y la
disminución del tiempo muerto de trabajo como optimización de la ganancia
empresaria. La cuestión laboral I: del siervo de la gleba al trabajador sindicalizado. La
cuestión laboral II: de la organización sindical a la flexibilización laboral.
•
Las políticas macroeconómicas. La economía del imperio británico. Relación entre
economía y política militar. El new deal. El peronismo. La inserción de la Argentina en
el mercado mundial. Profundización de la industrialización sustitutiva de importación.
El gaullismo. Tacherismo y reaganismo. Las privatizaciones y la teoría del lado de la
oferta. La seguridad social en el neoliberalismo.
•
Bretton Woods y el nuevo orden de la guerra fría. El FMI y el BM. La aparición de
nuevos actores: el mundo árabe, la descolonización, los países latinoamericanos.
Procesos de integración regional: Unión Europea y el concepto de solidaridad, NAFTA
y el concepto de competitividad, y MERCOSUR. La reformulación del GATT y la creación
de la OMC.
02. CONTABILIDAD
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Conocimiento y aplicación de los principios teóricos y operativos para el registro contable de
los hechos económicos de la empresa, como herramienta para la obtención de información
confiable para la toma de decisiones, el control y análisis de la gestión, y el cumplimiento de
requisitos legales.
CONTENIDOS BÁSICOS
46
•
Los principios básicos de la contabilidad.
•
El Patrimonio y sus variaciones.
•
Los sistemas de registro de los hechos económicos según los requerimientos legales y
las necesidades funcionales.
•
El Proceso Contable.
•
Los Estados Contables.
•
La utilidad de la información contable.
•
El análisis de la información contable.
03. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Brindar una preparación matemática contextualizada por las necesidades que implica la
formación profesional; en tal sentido, queremos dotar a nuestros alumnos de:
•
Los conocimientos básicos de matemática que les permitan elaborar razonamientos
cuantitativos de los fenómenos de la economía y de la empresa.
•
Los instrumentos de análisis cuantitativo para interpretar problemas de solución
matemática, que contemplen el planteo de los problemas, la cuantificación de datos y
su interpretación.
CONTENIDOS BÁSICOS
47
•
Conjuntos numéricos y operaciones. Propiedades.
•
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Sistemas de ecuaciones
lineales. Ecuaciones de segundo grado. Discusión de las raíces. Sistemas de ecuaciones
cuadráticas. Sistemas mixtos.
•
Monomios y polinomios: operaciones. Regla de Ruffini, Teoremas del Resto, de Gauss,
Bolzano. Teorema Fundamental del Álgebra. Clasificación de las raíces. Raíces
múltiples: pares, impares.
•
Uso de la calculadora y software específico.
•
Funciones. Definición y características. Clasificación.
•
Las funciones como modelos.
•
Modelos lineales, cuadráticos, racionales y polinómicos.
•
Diseño de gráficos.
04. TALLER DE PRODUCCIÓN DE TEXTOS DE ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Desarrollar habilidades y estrategias que faciliten ser parte de la cultura académica, así como
capacidades que habiliten la participación activa -como productores- de discursos propios de
la disciplina.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Características de los textos académicos propios del nivel superior en general y de la
disciplina en particular.
•
Textos académicos, científicos y de investigación.
•
Análisis del contexto y el paratexto como forma de abordaje de un texto.
•
Elaboración de resúmenes, esquemas de contenidos, mapas conceptuales, líneas de
tiempo y gráficos a partir de textos discursivos.
•
Confección de informes, reseñas de textos, ensayos.
•
Sistemas para citar y referencias bibliográficas en los textos académicos.
•
Búsqueda de información académica. Servicios que presta la biblioteca.
•
Internet.
•
Bibliotecas virtuales y redes científicas.
05. ECONOMÍA Y SOCIEDAD
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 64 hs
48
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
El objetivo de la materia es la introducción a los principales conceptos del análisis económico
a través de la historia del pensamiento económico. La reflexión sobre los paradigmas del
liberalismo clásico, la corriente socialista y la renovación keynesiana permiten articular una
reflexión aplicada a la realidad económica actual, en particular a través de los movimientos y
escuelas económicas contemporáneas, desde la regulación hasta el neoliberalismo.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Metodología de análisis.
•
La economía como ciencia.
•
El nacimiento de la reflexión económica. Antigüedad y medioevo.
•
Adam Smith, el liberalismo optimista.
•
Robert Malthus, entre el pesimismo y la demanda efectiva.
•
David Ricardo y la teoría de los costos comparados.
•
John Stuart Mill y las leyes de producción y de distribución.
•
De los socialistas utópicos al pensamiento marxista.
•
El pensamiento económico de Karl Marx.
•
Los marginalistas.
•
La renovación keynesiana.
•
Principales corrientes económicas contemporáneas.
•
El aporte latinoamericano.
•
El análisis liberal clásico, el análisis marxista y el análisis keynesiano frente a la realidad.
06 – ORGANIZACIÓN Y GESTIÓN
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 64 hs
Modalidad:
OBJETIVO
49
Presencial
Desarrollar los aspectos fundamentales para la concepción, organización y gestión de la
empresa, tomando en consideración las características sectoriales y regionales y sus
posibilidades de competitividad, dentro de la dinámica cambiante que impone el mundo
actual.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Formas alternativas de organizar la empresa
•
Diseño
•
Paradigmas productivos y organización empresaria.
•
La organización que aprende y reconoce las competencias.
•
El rol del administrador hoy.
•
Gestión de crisis y sucesión en empresas de familia. Etapas.
de
organizaciones
eficientes.
07. ELEMENTOS DE MATEMÁTICA
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Dotar a los estudiantes de los instrumentos de análisis cuantitativo para interpretar problemas
de solución matemática, que contemplen el planteo de los problemas, la cuantificación de
datos y su interpretación.
CONTENIDOS BÁSICOS
50
•
Funciones logarítmica, potencial y exponencial.
•
Logaritmos decimales y naturales.
•
Cambio de base.
•
Representaciones gráficas.
•
Desigualdades.
•
Inecuaciones.
•
Campo de existencia de funciones.
•
Intersección de rectas.
•
Límites.
•
Derivadas.
•
Integrales.
•
Ecuaciones diferenciales.
•
Series.
•
Metodología de análisis.
•
Metodología de interpretación.
08 - MICROECONOMÍA
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 128 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Definir, identificar y analizar los factores que afectan el desempeño económico de las
unidades productivas y caracterizar la estructura y funcionamiento de los mercados como
asignadores de recursos, como marco para el diseño, operación y crecimiento de las
empresas.
CONTENIDOS BÁSICOS
51
•
Los agentes económicos: definiciones.
•
La visión económica de los comportamientos.
•
Tabla y curva de demanda. Demandas elásticas e inelásticas.
•
La curva de oferta.
•
Las elasticidades en competencia perfecta e imperfecta.
•
Determinación del precio.
•
El equilibrio de la empresa: costos e ingresos.
•
Precio, cantidad e ingreso total.
•
Costos totales, medios y marginales.
•
El funcionamiento de los mercados.
•
Financiamiento de los proyectos de inversión.
•
Racionalidad y anticipaciones.
•
Competencia y comportamiento del vendedor.
•
Competencia y comportamiento del producto.
•
La empresa, la tecnología y la demanda del mercado.
•
Una visión sistemática de la economía de la empresa.
•
Aspectos económicos en cada fase de la vida de la empresa.
•
Índice de Gini.
09 – DERECHO COMERCIAL
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Profundizar el conocimiento que necesita el alumno en todo tipo de organizaciones para su
mejor desempeño en el campo societario, con sus desarrollos prácticos.
CONTENIDOS BÁSICOS
52
•
Marco jurídico constitucional de la legislación argentina.
•
Decr.ley19550/72. Desarrollo completo del mismo.
•
Cuadro comparativo de Sociedades Comerciales.
•
Diferencias entre distintos tipos societarios.
•
Estatuto y contrato tipo. Modelos de la Inspección General de Justicia.
•
Principales modelos a tomar en cuenta para formular un proyecto de empresa.
Conveniencia de cada uno. Ejercitación práctica.
•
Estructura societaria de nuestro país.
•
SA., BOLSA y Mercado de Valores. Normativas vigentes.
•
Agrupamientos sociales - Distintas variantes: cooperativas, mutuales, agrupamientos
productivos locales, sociedades irregulares y de hecho, Ongs.
•
Empresas recuperadas.
•
El fideicomiso. Qué es. Principales figuras. Características. Vigencia.
Casos en que se aplica. Cómo se constituye. Distintos tipos y su aplicación práctica.
10-CÁLCULO FINANCIERO Y DESARROLLO ESTADÍSTICO APLICADO
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 192 hs
Modalidad: Presencial: 128 hs; Virtual: 64 hs
OBJETIVO
Dotar a los estudiantes de la capacidad para identificar y aplicar desarrollos de cálculo
financiero y estadístico a situaciones que hacen a la gestión empresarial.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Módulo. Cálculo Financiero
Operaciones financieras simples
- Interés simple/Interés compuesto. Descuento simple/Descuento compuesto.
- Tasas de interés, tasa de descuento.
- Tasa real, tasa aparente e inflación. Construcción de índices de precios y financieros.
- Corrección monetaria de las operaciones financieras simples.
Operaciones financieras complejas
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- Rentas valor final y valor actual.
- Rentas perpetuas.
- Reembolsos de préstamos, sistemas de amortización francés, alemán y directo.
Interpretación gráfica.
•
Módulo. Estadística Aplicada
Estadística Descriptiva
- Diseño de tablas y gráficos. Medidas de Resumen.
Probabilidades.
- Cálculo de probabilidades. Probabilidad teórica y frecuencial. Teorema de Bayes.
- Distribuciones de probabilidades: discretas y continuas.
Estadística inferencial
- Toma de muestras. Tipos de muestreo.
- Estimadores y estimaciones.
- Pruebas de Hipótesis.
- Regresiones y correlaciones. Estimaciones mediante la recta de regresión.
- Series de tiempo y pronósticos.
- Números índices. Construcción e interpretación.
11- MACROECONOMÍA
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Desarrollar conceptos esenciales de los grandes agregados de la economía y las teorías
explicativas que fundamentan relaciones causales básicas de la macroeconomía, tanto desde
la perspectiva de la macroeconomía clásica como de la Keynesiana.
CONTENIDOS BÁSICOS
54
•
El Producto e Ingreso Nacional. Métodos de medición y alternativas de valuación.
•
La determinación del nivel de Producto de Equilibrio según la macroeconomía clásica.
Su asignación entre componentes del gasto. El rol de la tasa de interés y del tipo de
cambio.
•
La determinación de la tasa de variación del Producto. El concepto de crecimiento
económico, sus fuentes e indicadores.
•
Mercado de trabajo. Conceptos e indicadores.
•
Mercado de Dinero. Oferta y demanda de dinero. El Banco Central. Instrumentos de
política monetaria.
•
Macroeconomía Keynesiana. Política fiscal y monetaria en economías cerradas y
abiertas - Modelo IS/LM.
12- COSTOS EMPRESARIALES
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Desarrollar y analizar los elementos y factores que integran los costos de las organizaciones,
la determinación de los mismos y su incidencia en la actividad empresarial.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Concepto y clasificación de los costos.
•
Sistemas y metodologías de costeo.
•
Análisis y comportamiento de los costos.
•
Gestión empresarial de costos.
•
Gerenciamiento de las variables de costos.
•
Análisis estratégico de los costos.
13– DERECHO TRIBUTARIO
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
55
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Lograr incorporar en el alumno los conocimientos y desarrollos prácticos necesarios que
hacen a su incumbencia profesional en el campo impositivo.
CONTENIDOS BÁSICOS
56
•
Régimen Tributario argentino, su origen y procedencia. Juridicidad y encuadramiento
dentro de la Constitución Argentina. Impuestos nacionales y provinciales. Distintas
clasificaciones.
•
Impuesto a la Renta y al Patrimonio, a saber: Ganancias Personas Jurídicas, Ganancia
Mínima Presunta, Bienes Personales, Ganancias a las personas físicas con y sin relación
de dependencia. Obligaciones. Retención en la fuente y percepción. Su aplicación
práctica. Trabajos en PC. Normativas vigentes. Cómo incide en la formulación del
proyecto empresa.
•
Impuesto a los consumos, a saber: Impuesto al Valor Agregado.
•
Impuestos Internos. Características que adopta la legislación argentina al respecto.
Formas de liquidación. Casos prácticos. Trabajos en PC. Incidencia en el cálculo del
costo del producto y en la formulación del proyecto empresa.
•
Impuesto a los créditos y débitos en cuentas bancarias (impuesto al cheque). Su
liquidación y aplicación práctica. Cómo se toma a cuenta en el Impuesto a las
Ganancias. Su incidencia en el cálculo del costo del producto y en la formulación del
proyecto empresa.
•
Impuesto a los Ingresos Brutos. Formas de liquidación. Convenio multilateral. Casos
prácticos. Cómo incide el costo del producto en la formulación del proyecto empresa.
Porqué es un “impuesto en cascada”.
•
Tasas Municipales. Trabajos en PC. Normativas vigentes. Su incidencia en el cálculo
del costo del producto y en la formulación del proyecto empresa.
•
Resolución práctica de casos. Trabajos en PC. Normativas vigentes.
•
Procedimiento tributario - Ley 11683 -. Casos prácticos. Normativas vigentes.
Consideración sobre la conveniencia de la inclusión o no de ciertas normas de
procedimiento en los manuales de tesorería en las organizaciones.
•
Régimen de retención y de percepción. ¿Cómo se liquida?, ¿qué es? Casos prácticos
en PC. Normativas vigentes.
•
Regímenes de información. Su obligatoriedad. Casos prácticos. Sanciones en caso de
incumplimiento.
•
Monotributo. Definición. Qué impuestos absorbe. Escalas. Particularidades.
Obligaciones del contribuyente. Inclusión y exclusión del régimen. Facultades de la
AFIP.
•
Monotributo social. A quiénes abarca. Quiénes están comprendidos. Cómo se
inscriben. Casos prácticos.
•
Ley “alas” de exención en el Impuesto a los Ingresos Brutos para contribuyentes
comprendidos en el monotributo social. Trámite. Dónde se hace, forma y plazos.
Documentación a presentar. Beneficios y obligaciones a cumplir.
•
Teoría y Práctica Impositiva.
14- ORGANIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y LA TECNOLOGÍA
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Desarrollar los conceptos centrales de la organización de la producción y su relación con la
tecnología y preservación del medio ambiente en entornos de empresas PyMES.
CONTENIDOS BÁSICOS
57
•
Producción de bienes y servicios. Ubicación del área de producción en el organigrama
de la PyME industrial. Organización de la producción orientada al producto o al
proceso. El toyotismo. Procesos. Programación de la producción, la producción,
mantenimiento. Relación con Logística: ventas, compras, recursos humanos,
almacenes-stocks, expedición y administración. Mapa de procesos. Calidad de
producto y de procesos. Sistema de gestión de la calidad según ISO 9000.
•
Ciencia, técnica y tecnología: Diferencias e interrelaciones. Descubrimiento, invención
e innovación. Las tecnologías de la información y la comunicación (TIC). Transferencias
de tecnologías. Tecnologías apropiadas. Impactos de la implementación de
tecnologías: práctico, simbólico, tecnológico, ético, epistemológico. Medio ambiente
y tecnologías.
•
Medioambiente, empresas y sociedad. Contaminación del aire, de las aguas y de los
suelos. Gestión de los residuos. Requisitos legales. Ecoeficiencia y consumo de
recursos. Sistemas de Gestión: la norma IRAM-ISO 14001. Evaluación del desempeño
ambiental. Mejora continua.
15 - CONTROL DE GESTIÓN
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Identificar los instrumentos para el análisis de la gestión de instituciones y organismos
privados. Determinación de la vinculación con la toma de decisiones en cuanto al contenido
de las políticas instrumentadas, los instrumentos específicos o los resultados alcanzados.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Superación del concepto de control por el de análisis participativo de los actores
involucrados.
•
Sistemas de definición de objetivos, metas y resultados, y desagregación por
actividades.
•
Sistemas de determinación de costos y ejercicio de recursos.
•
Sistemas de establecimiento de prioridades, procesos y organización de las funciones
y tareas específicas.
•
Parámetros de evaluación de eficiencia y eficacia.
•
Identificación de factores de riesgo y cuellos de botella.
•
Adopción de decisiones para la superación de rezagos y desvíos.
16 - MACROECONOMÍA Y POLÍTICA ECONÓMICA
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
58
La evolución económica de fin de siglo plantea nuevos problemas económicos, que suelen ser
tratados con conceptos inadecuados. Este segundo curso de macroeconomía, con eje en la
teoría de la regulación, tiene por objetivo acercar una nueva metodología de análisis de una
realidad económica compleja, así como las estrategias innovadoras para la resolución de
problemas. Se prestará particular atención a los instrumentos de los que dispone el Estado
para cumplir su acción económica. En cada área de estudio se verán las interacciones entre el
Estado y el Mercado.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
El mercado de trabajo: oferta, demanda, equilibrios y políticas.
•
El mercado de la moneda: creación y necesidades monetarias, mercado y políticas
monetarias.
•
El mercado de capitales: demanda, equilibrio y políticas de intervención.
•
La acción económica del Estado.
•
Ingresos, gastos y política fiscal.
•
Las políticas globales y sectoriales.
•
Factores que determinan la acción gubernamental.
•
El Estado y el Mercado.
17 - COMERCIALIZACIÓN
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Presentar los aspectos esenciales para realizar la comercialización efectiva en un mercado
mundial cada vez más competitivo, adquiriendo herramientas para explorar la demanda,
conocer sus gustos y deseos, identificar y analizar la importante singularidad cultural y
ambiental de cualquier nación, a partir de los beneficios corporativos generados por las
ventajas competitivas desarrolladas a través de los productos y/o servicios de las
organizaciones.
Todo esto dará lugar a la planificación y organización de planes de comercialización a los fines
de la expansión de ventas, contribuyendo a la toma de decisiones.
59
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Nuevas formas de comercialización en la Integración.
•
Estrategias de comercialización en los nuevos mercados.
•
Planificación de una estrategia innovadora hacia la penetración, permanencia,
consolidación y crecimiento en un mercado competitivo.
•
Sistemas de Investigación. Planificación. Diseño. Implementación.
•
Enfoques de la investigación.
•
Métodos de recolección de datos. Método de encuesta y diseño de cuestionario.
Medición de actitudes.
•
Segmentación de mercados. Previsión del mercado.
•
Producto: valor agregado, factores de diferenciación, ejes de competitividad.
•
Precio: políticas de precio, determinación de los precios en función de los mercados y
segmentos definidos.
•
Ventas: planificación de ventas, construcción de equipo de ventas, incentivo de ventas
y control de ventas.
•
Distribución. Tipos de distribución, canales, funciones de la distribución, plan logístico
y de stock.
•
Publicidad y promoción: plan de comunicación, medios tradicionales y medios digitales
para realizar la comunicación.
•
Postventa: atención al cliente, servicio de postventa, planes de fidelización y lealtad de
los clientes.
•
El lanzamiento de nuevos productos y servicios.
18 – DERECHO DEL TRABAJO Y DE LA SEGURIDAD SOCIAL
Campo: Formación Disciplinar Básica
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
60
Ubicar al alumno en la necesidad de su estudio y, sobre todo, darle las herramientas
necesarias de conocimiento de los principios jurídicos y sectoriales, como también generales,
para garantizar una interpretación propia, comprometida con la realidad y con una pretensión
de modificación de justicia social.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
La Constitución Argentina y el derecho al trabajo.
•
Ley 20744 y sus modificatorias y agregados. Normativas vigentes.
•
Ley 25013 y sus modificatorias y agregados. Normativas vigentes.
•
Derechos y obligaciones de los trabajadores.
•
Ley 26476. Su contenido. Inclusión social de los trabajadores no registrados. Su
régimen y vigencia. Beneficios.
•
Contribución y aportes. Cargas tributarias de los asalariados y del empleador.
Liquidación de las mismas. Su aplicación práctica y su incorporación en el costo de
mano de obra del producto en un proyecto de inversión. Práctica basada en
powerpoint.
•
Distintas formas de contratación y sus distintas alternativas de liquidación.
Modalidades. Normativas legales. Aplicación práctica.
•
Convenciones Colectivas de Trabajo ¿Qué son?, ¿para qué sirven?
•
Actuación laboral práctica y teórica. Trabajos en clase con ejercicios concretos.
•
Régimen previsional, obras sociales, el seguro de desempleo, sistema de riesgos del
trabajo. Régimen de asignaciones familiares que otorgan subsidios múltiples.
•
Sistema integrado de seguridad social.
•
ANSES, qué es y qué función cumple en la vida del trabajador.
19 – COMERCIO EXTERIOR Y ECONOMÍA INTERNACIONAL
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
61
Comprender los conceptos fundamentales, la terminología propia y su impacto sobre la
economía, tanto en el análisis de los actores intervinientes como de sus respectivos roles.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Principios generales de Comercio Exterior. Teorías económicas y su evolución histórica.
Nuevas teorías.
•
Nuevos principios de Comercio Internacional.
•
Concepto de la balanza comercial y de pagos. Cuentas externas y relaciones con otros
indicadores macroeconómicos.
•
Apertura, globalización e integración regional. Estrategias nacionales y actores
internacionales públicos y privados. Descripción del proceso argentino,
latinoamericano y demás países emergentes.
•
Organismos internacionales y su rol en el comercio exterior; OMC, UNCITRAL,
UNIDROIT, OCDE. Compras internacionales y adquisiciones públicas.
•
Procesos de integración: Unión Europea, Mercosur, Alca, Alcsa. Tipología y
características.
•
Operaciones de exportación e importación. Actores intervinientes, modalidades,
características. Conceptos básicos en materia tributaria, operativa aduanera,
transporte, seguros, logística y servicios conexos al comercio exterior.
•
Política comercial externa. Aperturismo y proteccionismo. Instrumentos de promoción
de exportaciones e intervención publica en el comercio exterior. Análisis comparativos
con otros países.
•
Análisis cualicuantitativo del comercio exterior argentino.
20- FINANCIAMIENTO
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Definir, identificar y analizar los factores fundamentales que deben tener en cuenta las
unidades económicas a los efectos de obtener el capital necesario para sus operaciones y el
62
funcionamiento de los mercados de capitales como asignadores de recursos monetarios.
Conocer los mecanismos fundamentales de la función financiera en las organizaciones
permite evaluar la salud, el potencial y la viabilidad de la empresa. Este curso tiene por
objetivo conocer y construir los principales indicadores financieros, así como interpretar los
resultados obtenidos desde una perspectiva de gestión dinámica de las finanzas.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Fundamentos y principios de las finanzas.
•
La función financiera en la empresa.
•
Planificación financiera de corto plazo.
•
Planificación financiera de largo plazo.
•
Cuadro de flujo de fondos (cash flow).
•
Análisis financiero.
•
Políticas de financiamiento.
•
Valuación de acciones y obligaciones.
•
Riesgo y rentabilidad.
•
Modelos de valuación de activos de capital. Introducción.
•
Estado de origen y aplicación de fondos.
21- PLAN DE NEGOCIOS
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Identificar los elementos de información y formular un plan de negocios como instrumento
metodológico para el diseño y la puesta en marcha de las empresas, y aplicar un modelo de
simulación y corroboración empírica.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
63
Justificación de un plan de negocios.
•
Desarrollo y contenido.
•
Formulación y sus etapas.
•
Elementos determinantes.
•
Concreción del plan de negocios.
•
Elección de la empresa.
•
Información específica sobre la empresa seleccionada.
•
Elaboración y desarrollo del Plan.
•
Modelo de simulación.
•
Presentación, observaciones, crítica y conclusiones del modelo elaborado.
•
Convalidación empírica.
22 – TALLER DE INTEGRACIÓN I
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 96 hs
Modalidad: Taller (Implica el seguimiento de las tareas asignadas a los alumnos: trabajo de
campo, trabajos prácticos, estado del arte, entre otros. El seguimiento se realizará a partir de
reuniones grupales e individuales según corresponda).
OBJETIVO
Consolidar los saberes adquiridos a partir de reconocerlos como herramientas válidas para la
descripción, análisis e interpretación de distintos fenómenos vinculados a problemas sociales,
económicos, políticos y su posible impacto en el desarrollo de las organizaciones productivas.
Generar espacios de estudio, análisis e investigación de problemas que resulten relevantes
para la formación profesional de los participantes, abarcando las dimensiones académica,
científica, ética y política.
Desarrollar estrategias para analizar situaciones vinculadas a problemas de administración y
gestión de unidades de producción desde una perspectiva que considere el contexto micro y
macroeconómico.
CONTENIDOS BÁSICOS
Las cuestiones que serán objeto de análisis y estudio en el taller, así como los responsables de
su desarrollo, serán definidos cada año por la Dirección de la Carrera.
64
Los criterios para seleccionar los ejes de las actividades a desarrollar toman en consideración
el análisis, discusión y proyecciones tanto de fenómenos emergentes de la coyuntura política,
económica, social o científica, como cuestiones problemáticas observadas en el entorno
económico y productivo local y regional.
El taller se define por el tipo de problemas que propone para la investigación, más que por
ciertos contenidos predefinidos.
Las propuestas para la realización del taller deben abarcar problemas vinculados a la
administración y gestión de unidades de producción -tanto de bienes como de servicios- que
requieran de ciertos conocimientos para el análisis y la toma de decisiones, tales como:
•
Producción y análisis de indicadores económicos y de gestión.
•
Herramientas de análisis estadístico.
•
Análisis de condiciones macro y microeconómicas.
•
Consideraciones de aspectos legales.
23. FORMULACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 128 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Determinar los factores a ser utilizados para la identificación de una idea de proyecto y su
formulación y evaluación técnica, que permitan analizar su viabilidad y los factores de riesgo
para su efectivo desarrollo.
CONTENIDOS BÁSICOS
65
•
Inversión y planificación.
•
Evaluación ex ante.
•
Formulación y ejecución.
•
Evaluación ex post.
•
Clasificación de las inversiones.
•
Proyecto de inversión.
•
Etapas de la formulación de proyectos.
•
Identificación de la idea.
•
Prefactibilidad.
•
Formulación primaria.
•
Viabilidad técnica, económica, organizativa, financiera y legal.
•
Factibilidad.
•
Formulación definitiva.
24- GESTIÓN AMBIENTAL Y EMPRESA
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Conocer reflexiva y críticamente el significado y sentido de la materia en el Plan de
Estudios de la carrera.
Conocer los distintos aspectos que caracterizan en la actualidad la tarea del gestor
ambiental en la empresa.
Incorporar instrumentos de gestión ambiental tales como la Evaluación de Impacto
Ambiental, la Auditoria Ambiental y la Evaluación de Riesgos en la gestión ambiental de una
empresa.
Valorar la importancia de la reflexión teórica y metodológica con relación a la
interpretación de un aspecto del entorno que potencialmente ocasione impacto ambiental
significativo.
Ejercitarse en la práctica de aplicación de técnicas específicas para la mitigación de los
efectos ambientales derivados de la actividad empresarial.
Reconocer la importancia de la incorporación de técnicas aplicables en ecoeficiencia y
en innovación y desarrollo en la gestión ambiental de la empresa.
CONTENIDOS BÁSICOS
66
•
Empresa y Ambiente.
•
Incorporación de la variable ambiental en el cálculo de costo/beneficio y en la
estrategia empresaria.
•
Industria y ambiente.
•
Riesgos ambientales.
•
Externalidades ambientales.
•
Generación de microempresas y desarrollo sustentable.
•
Promoción industrial y comercial para la sustentabilidad: elección técnico-económica
de estrategias, implementación y/o adaptación tecnológica y normativa.
•
La empresa del desarrollo sustentable.
•
Desarrollo sustentable y el desafío del cambio empresarial. “Eco-eficiencia”: noción y
estudio de casos.
•
Los mercados de capital. Financiamiento del desarrollo sustentable.
•
Comercio y desarrollo sustentable.
•
I + D (Innovación y Desarrollo).
•
Administración y desarrollo.
25. SISTEMAS DE ORGANIZACIÓN
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Analizar los conceptos fundamentales del proceso informático aplicado a los sistemas de
información, los elementos materiales y los sistemas de programación, como respuesta a las
necesidades de captar, procesar, conservar y difundir información. Enfatizar en los aspectos
que se vinculan con la gestión de las empresas.
CONTENIDOS BÁSICOS
67
•
Aplicación operativa de diferentes sistemas y programas, mediante modelos de
simulación.
•
Identificación de las funciones de la empresa susceptibles de informatización.
Determinación de los sistemas y programas pertinentes para cada caso.
•
Análisis del procesamiento de información. Evolución de los instrumentos.
•
Identificación de las necesidades.
•
Identificación de los ámbitos de aplicación.
•
Caracterización de los principales programas y utilitarios.
•
Principios de equifinalidad, entropía, holismo, contingencia.
•
Gestión. Concepto. Indicadores operativos y estratégicos más usuales.
•
El proceso de programación. Algoritmos de árbol de expansión mínima, ruta más corta,
flujo máximo, técnicas PERT y CPM. Holguras. Diagramas calendarios. Asignación y
cálculos de tiempo. Camino crítico.
•
Modelos de transporte y de asignación. Métodos de la esquina NO, costo mínimo y
Vogel. Algoritmo húngaro.
•
Sistemas de filas de espera. Notación de Kendall. Modelo de cola simple. Estimación
de longitudes y tiempos.
26- ECONOMÍA BANCARIA Y FINANCIERA
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Se busca que el alumno estudie, comprenda e indague sobre la estructura y funcionamiento
del sistema bancario y financiero, en especial del caso argentino.
Además, se estudiará el mercado de capitales, visto desde el análisis de los diferentes activos
financieros y el sistema crediticio nacional.
CONTENIDOS BÁSICOS
68
•
Funciones de la moneda y de la demanda de moneda.
•
La oferta de moneda. El papel de los bancos. La emisión de moneda. Nuevas formas
de moneda.
•
Las misiones y funciones actuales de los bancos centrales.
•
La política monetaria. Las estructuras bancarias. Los modos de intervención de los
bancos centrales. El prestamista en última instancia.
•
Evaluación de las intervenciones estatales.
•
La política crediticia y su influencia sobre la producción.
•
La especulación financiera.
•
Definición del sistema financiero.
•
El actual sistema financiero argentino.
•
Las crisis de los sistemas financieros.
•
El mercado de capitales. Sistema bursátil e instrumentos financieros.
•
Las nuevas modalidades de financiamiento de la Economía.
27- ADMINISTRACIÓN DE LOS RECURSOS HUMANOS
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Analizar las funciones básicas de los recursos humanos en el ámbito de las empresas y los
factores que influyen en su selección, incorporación, calificación, comportamiento,
productividad y retribución, y definir los sistemas operativos más apropiados para el
seguimiento y evaluación de los factores mencionados.
CONTENIDOS BÁSICOS
69
•
La función de personal en las organizaciones.
•
Esquema relacional interno y externo.
•
Objetivos y políticas referidas al factor humano.
•
La función personal como función general y como función especializada.
•
Las etapas históricas del área de personal.
•
Diseño de la estructura organizativa de la empresa.
•
La aplicación de normas y procedimientos técnicos de personal.
•
Funciones de servicio. Manejo de la unidad operativa de personal.
•
Estructura y posicionamiento del área.
•
Evaluación y respuesta a los cambios organizacionales.
•
Comunicaciones. Concepto. Diagnóstico comunicacional.
•
Integración. Procesos básicos. Medios y canales.
•
Clasificación. Comunicación eficiente en las organizaciones.
•
Motivación.
•
Modelos propuestos.
•
Motivaciones para la modificación de comportamientos.
•
Reclutamiento y selección de personal.
•
Planes de capacitación: determinación de necesidades, elaboración y diseño de
programas. Ejecución y evaluación de resultados.
•
La evaluación de desempeño.
•
Sistemas de incentivos a las personas y a los grupos. Complejidades y problemas.
•
Las relaciones laborales.
28- ECONOMÍA INDUSTRIAL
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Desarrollar el análisis sobre el comportamiento de los agentes económicos dentro de la
economía industrial, tanto en el ámbito teórico como empírico, y poder analizar las distintas
medidas de política industrial, teniendo en cuenta sus causas y efectos y su propagación hacia
el resto de los sectores económicos.
CONTENIDOS BÁSICOS
70
•
Concepto y nacimiento de la Economía Industrial.
•
Modelos de Competencia y Estructura de Mercados.
•
Cuotas de Mercado y Concentración.
•
Barreras de Entrada.
•
Diferenciación de Producto y Publicidad.
•
Integración vertical y costos de Transacción.
•
Diversificación de productos y estrategias cooperativas de competencia.
•
El cambio técnico.
•
Política Industrial y normas de regulación de la competencia.
29 – TALLER DE INTEGRACIÓN II
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 96 hs
Modalidad: Taller (Implica el seguimiento de las tareas asignadas a los alumnos: trabajo de
campo, trabajos prácticos, estado del arte, entre otros. El seguimiento se realizará a partir de
reuniones grupales e individuales según corresponda).
OBJETIVO
Profundizar los saberes adquiridos a partir de reconocerlos como herramientas válidas para la
descripción, análisis e interpretación de distintos fenómenos vinculados a problemas sociales,
económicos, políticos o ambientales y su posible impacto en el desarrollo de las
organizaciones productivas.
Generar espacios de estudio, análisis e investigación de problemas que resulten relevantes
para la formación profesional de los participantes abarcando las dimensiones académica,
científica, ética y política.
Implementar estrategias a fin de analizar condiciones para el desarrollo de unidades
productivas desde una perspectiva que abarque aspectos micro y macroeconómicos,
financieros, legales e impositivos y aquellos vinculados a la formación de recursos humanos.
CONTENIDOS BÁSICOS
Las cuestiones que serán objeto de análisis y estudio en los talleres, así como los responsables
de su desarrollo, serán definidos cada año por la Dirección de la Carrera.
Los criterios para seleccionar los ejes de las actividades a desarrollar toman en consideración
el análisis, discusión y proyecciones tanto de fenómenos emergentes de la coyuntura política,
71
económica, social o científica, como cuestiones problemáticas observadas en el entorno
económico y productivo local y regional.
El taller se define por el tipo de problemas que propone para la investigación, más que por
ciertos contenidos predefinidos. Las propuestas para la realización del taller deben abarcar
problemas vinculados a la administración y gestión de unidades de producción -tanto de
bienes como de servicios- que requieran de ciertos conocimientos para el análisis y la toma
de decisiones, tales como:
•
Producción y análisis de indicadores económicos, financieros y de recursos humanos.
•
Análisis de costos.
•
Cuestiones vinculadas al financiamiento y viabilidad de proyectos productivos.
•
Consideraciones
ambientales
asociadas
al
desarrollo
de
un
proyecto.
30-PROBLEMAS ACTUALES DE LA ECONOMÍA ARGENTINA
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Facultar la comprensión de la coyuntura económica argentina a partir de la integración de
la teoría económica con las realidades argentina y mundial y desarrollar capacidades para
construir informes de coyuntura económica.
CONTENIDOS BÁSICOS
72
•
Formulación y análisis de informes de coyuntura. Instrumentos matemáticos para
formular tendencias en las economías y para ordenar la información empírica.
•
Secuencia histórica de las políticas económicas aplicadas en la Argentina desde la
segunda posguerra.
•
Morfología de los planes económicos. Planes de crecimiento vs. planes de ajuste.
•
Modelos teóricos e instrumentos que referencian a las políticas económicas aplicadas
en la Argentina y que permiten interpretar la economía argentina del presente.
•
Temáticas macroeconómicas referenciadas a los vínculos económicos de Argentina
con el mundo y los derrames provenientes del exterior. Restricciones externas.
31- ÉTICA Y EMPRESA
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Comprender el conocimiento y estudio de los principales conceptos éticos y morales de la vida
en sociedad, con particular atención al problema de ética y economía. Esta dimensión es
esencial a la hora de orientar las decisiones económicas empresarias, especialmente con
respecto al medio ambiente y al respeto del marco legal vigente.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
El nacimiento de la reflexión sobre la ética.
•
Articulación entre ética, moral, política y economía.
•
Ética en la empresa y ética en los negocios.
•
La empresa y la sociedad.
•
La empresa y el medioambiente.
•
Los valores de la Libertad y de la Responsabilidad Social. Debates en torno a los
Derechos Humanos y su aplicación al mundo de la Empresa.
•
Principales rasgos de los modelos de racionalidad en el terreno de la ética para
justificar las tomas de decisiones de tenor moral en el mundo empresarial.
•
Normativas de los Códigos de Ética que afectan a la actividad empresarial.
32- NEGOCIACIÓN Y MEDIACIÓN
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 32 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Desarrollar las competencias básicas necesarias para actuar en situaciones de conflicto,
aplicando la contención y soporte a las partes enfrentadas.
73
Diseñar estrategias y tácticas técnicas para contribuir a la resolución de conflictos, incluyendo
el seguimiento adecuado para evitar su reaparición.
Conocer los aspectos básicos psicológicos, comunicacionales y de gestión en los procesos de
negociación y mediación.
Reconocer y aprehender las competencias y responsabilidades del Profesional en Gestión
Ambiental Urbana como un profesional multidisciplinar, en función de su formación
interdisciplinaria técnico-social-administrativa.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Herramientas para preparar una negociación.
•
Herramientas para diagnosticar una negociación.
•
Herramientas para evaluar el resultado de una negociación.
•
Dilemas del negociador.
•
Introducción a la mediación.
•
Herramientas para conducir un proceso como tercero neutral. Negociación y
mediación en la comunidad.
33- POLÍTICAS Y ESTRATEGIAS PARA EL DESARROLLO REGIONAL Y LOCAL
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Identificar y analizar políticas y estrategias que permitan impulsar el desarrollo
autosustentable regional y local, a partir de la participación activa de los actores
socioeconómicos locales.
CONTENIDOS BÁSICOS
74
•
Evolución de los conceptos “crecimiento” y “desarrollo” desde la perspectiva temporal
y espacial.
•
La modificación de los paradigmas tecnológicos y productivos.
•
Capital humano, capital físico y capital social.
•
Teorías del crecimiento y el desarrollo económico.
•
El desarrollo endógeno y el contexto.
•
Planificación participativa.
•
Instrumental para el desarrollo regional y local.
•
Análisis de inversiones: evaluación social.
•
Indicadores de desarrollo.
•
Formas organizativas funcionales al desarrollo regional y local.
34 – TALLER DE TRABAJO FINAL
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 128 hs
Modalidad: Taller (Implica el seguimiento de las tareas asignadas a los alumnos: trabajo de
campo, trabajos prácticos, estado del arte, entre otros. El seguimiento se realizará a partir de
reuniones grupales e individuales según corresponda).
OBJETIVO
Generar un espacio de trabajo para que el alumno logre:
•
Presentar un proyecto que requiera aplicar e integrar los conocimientos y habilidades
adquiridos durante la carrera.
•
Sostener la viabilidad del proyecto mediante fundamentos de tipo teórico y técnico.
•
Justificar la sustentabilidad desde perspectivas de carácter ético-políticas.
CONTENIDOS BÁSICOS
75
•
Estudio de proyectos como procesos. Etapas.
•
El estudio del mercado. Estructura, tipos de mercado. Agentes.
•
Cuestiones referidas a la factibilidad técnica. Procesos productivos, requerimientos
técnicos, espaciales, insumos.
•
Estructura organizativa y cuestiones legales. Definiciones acerca de la estructura,
tamaño, disposición y ubicación. Impacto socio-económico. El régimen legal de la
organización.
•
Estrategias comerciales. Determinación del precio, promociones. Ciclo de vida del
producto.
•
Impacto ambiental. Tipos de impactos y costos asociados a la prevención y/o
mitigación de los mismos.
•
Estudio financiero. Inversiones, ingresos y costos.
•
Evaluación del proyecto. Herramientas y criterios de análisis para evaluar la viabilidad.
35 – SEMINARIO SOBRE RESPONSABILIDAD SOCIAL EMPRESARIA
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 32 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Concientizar sobre la importancia de gestionar una empresa socialmente responsable en un
mundo globalizado.
Incorporar a las empresas los códigos de valor, normativa, estándares, certificaciones
internacionales y su importancia en la implementación.
CONTENIDOS BÁSICOS
76
•
Ética y Responsabilidad Social Empresaria.
•
RSE en el ámbito interno y externo.
•
Medición, Evaluación y Comunicación de la RS.
•
Gobierno corporativo. Introducción y conceptos. Gobernanza de la Organización según
la Norma ISO 26.000. Misión y fines de la Empresa. Perspectivas y modelos de
Gobierno Corporativo.
•
Pacto Global.
•
Análisis de la Norma SA8000.
•
SGE21.
•
Los stakeholders, comunidad y empresa.
•
Proceso de toma de decisiones, planificación estratégica, alcance y factibilidad.
•
Buenas prácticas en casos argentinos.
36 – PLANEAMIENTO ESTRATÉGICO Y TOMA DE DECISIONES
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
Identificar las condiciones conflictivas en la gestión de la empresa y analizar los criterios e
instrumentos para la toma de decisiones competentes a fin de darles respuesta o solución.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Estrategia: concepto. Clasificación. Estrategia corporativa, de negocios y funcional.
Objetivos y resultados. Misión y Visión. Análisis FODA. Decisiones estratégicas.
•
Planeamiento: concepto. Evolución. Planes estratégicos y operativos.
•
Análisis de Situaciones: priorización e identificación de situaciones.
•
Análisis de Problemas: determinación de causas más probables. Técnicas de análisis.
•
Análisis de Toma de decisiones: condiciones de Incertidumbre. Criterios de Optimismo,
Pesimismo, Wald, Savage, Laplace.
•
Condiciones de Riesgo. Valor monetario esperado, utilidad subjetiva. Árboles de
decisión. Decisiones bayesianas.
•
Condiciones de Certeza: objetivos necesarios y deseados. Ponderación y comparación
de alternativas. Programación lineal. Solución gráfica. Método Simplex directo y dual.
Análisis de sensibilidad.
•
Gestión de stocks: modelos de inventario. Tamaño de lote óptimo. Modelos de Wilson,
con protección y con agotamiento. Modelos con adquisición a precio variable. Modelo
de producción. Modelos con demanda aleatoria. Aplicaciones.
37 – SEMINARIO SOBRE ECONOMIA SOCIAL
Campo: Formación Profesional Especializada
Carga horaria: 32 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
77
Analizar paradigmas y subsistemas económicos centrados en la maximización sustentable del
producto total, en la racionalidad concreta, reproductiva y ajustada a valores, en la
democratización del tejido productivo y en la reproducción de la vida y la naturaleza.
Analizar las diferentes versiones de la economía social. Sus límites y potencialidades como
alternativa a la economía mercantil y la planificación centralizada.
Conocer experiencias concretas de economía social, históricas y actuales. Contribuir al
desarrollo del sector social-solidario de la economía.
CONTENIDOS BÁSICOS
•
Orígenes y desarrollo de la economía social.
•
El cooperativismo y otras tradiciones afines.
•
La economía “sustantiva”. El aporte de Karl Polanki.
•
La globalización neoliberal y el proceso de descolectivización de la sociedad.
•
Definiciones de la economía social. Las diferentes “escuelas”. Conceptos vinculados:
economía popular, economía para la vida, economía del trabajo, economía
comunitaria, economía ambiental, economía espacial, desarrollo endógeno, desarrollo
local, trabajo vital, consumo responsable, solidario y crítico, etc.
•
Economía social y teoría del “capital humano”.
•
La economía social como complemento o como alternativa a la economía basada en la
maximización del producto total y la distribución desigual de la producción y el
consumo.
•
Los diversos actores de la economía social: cooperativas, asociaciones de productores,
mutuales, fábricas recuperadas, emprendimientos autogestionados, etc.
•
La economía social en la Argentina. Estudios de caso. Instituciones de la economía
social. Legislación vigente. El papel del Estado.
•
La racionalidad reproductiva de la economía social.
38- PRÁCTICA PRE- PROFESIONAL
Campo: Intervenciones Profesionalizantes
Carga horaria: 64 hs
Modalidad: Presencial
OBJETIVO
78
Participar, por períodos breves a determinar, en empresas privadas y/o en instituciones
vinculadas con el desarrollo productivo y económico local, a fin de confrontar en la práctica
cotidiana, la pertinencia de los conocimientos teóricos e instrumentales adquiridos,
particularmente en los aspectos vinculados con la gestión de la empresa y/o la aplicación de
nuevas tecnologías.
CONTENIDOS BÁSICOS
79
•
Procesos de información, organización y decisión en la empresa.
•
La autoevaluación como actividad implicada en la tarea.
•
Análisis de factibilidad de proyectos de compras, producción y comercialización de la
empresa.
•
Propuesta de programas y/o proyectos de mejoramiento de la actividad
empresaria/institucional.
•
Valoración de la propia experiencia como elemento de reflexión teórica.
•
Valoración del trabajo en equipo como forma de agregar valor a la tarea.
•
Actitud ética, responsable y crítica respecto de la tarea.
Organización de las materias:
80
Teoría de Conjuntos:
Conjuntos:
Definirlos es un problema pues : Conjunto, elemento y pertenencia son conceptos primitivos,
es decir que no se los pueden definir, pero sí conocerlos a través de sus propiedades.
Podríamos decir que un conjunto está formado por una serie de elementos que cumplen con
ciertas propiedades; así podemos formular un conjunto A que esté formado por todas las
provincias de Argentina, entonces, para ese conjuntos los elementos serían cada una de las
23 provincias que conforman el territorio nacional.
El determinar si un elemento posee o no la propiedad de ese conjunto que se está
referenciando lo conocemos como PERTENENCIA
Entonces, podríamos decir que Buenos Aires, pertenece al conjunto A, mientras que
Montevideo no pertenece.
Proseguimos:
Formas de expresar un conjunto:
+ Por extensión o enumeración: consiste en enumerar los elementos que forman el conjunto
+ Por comprensión o propiedad: consiste en dar un criterio que permite decidir con certeza si
un elemento pertenece o no a un conjunto.
Lo anterior lo podemos expresar
a) en lenguaje coloquial
Provincias de la República Argentina
b) en lenguaje simbólico
A = {x/x es provincia de la República Argentina} (se lee el conjunto A está formado por todos
los elementos x tales que cada elemento x es una provincia de la República Argentina)
c) en lenguaje gráfico
A través de un diagrama (diagrama de Venn) se expresa gráficamente un conjunto, para ello
se representa al conjunto a través de una curva cerrada, a los elementos por puntos, y ningún
punto se posiciona sobre esa curva que determina el límite del conjunto.
81
A
. Entre Rios
. Bs As
. Córdoba
(NOTA: obviamente tendríamos que poner a todas las provincias)
A1) Relaciones de pertenencia e inclusión
Relación de pertenencia:
La relación de pertenencia se da entre un elemento y el conjunto, esto determina si ese
elemento cumple con las propiedades o no del conjunto. El símbolo que representa la relación
de pertenencia es 𝜖 y no pertenece es el símbolo tachado
Buenos Aires ∈ A
Relación de inclusión:
Es una relación entre conjuntos, asi se dice que un conjunto B está incluido en el conjunto A,
si todo elemento de B pertenece al conjunto A. El símbolo de inclusión es: ⊂
Por ejemplo dados los conjuntos:
A = {x/x es provincia de la República Argentina}
B = {x/x es provincia de la región patagónica de la República Argentina}
Evidentemente todas las provincias que pertenecen a la región patagónica también
pertenecen a la república argentina por lo que todos los elementos del conjunto B pertenecen
al conjunto A, entonces, B está incluido en A
82
A2) El conjunto universal
También llamado conjunto referencial, está formado por todos los elementos del tema de
referencia
Se denomina con la letra U , ℛ, Ω (según la bibliografía que analices)
Para entender un poco mejor sobre qué queremos establecer con este conjunto si buscamos
la definición de universo en el diccionario podría decir algo así: “conjunto o totalidad de todas
las cosas creadas”, por lo tanto hace referencia a la totalidad de los elementos que estamos
referenciando ( al 100%, y esto es importante para relacionar cuando veamos estadística y
probabilidad). Para decirlo de otra manera es el conjunto que tiene a todos los elementos que
pertenecen al conjunto que vamos a analizar
A3) Operaciones con conjuntos:
a) Intersección (∩)
El conjunto intersección de dos conjuntos A y B, está formado por todos los elementos que
pertenecen a A y también a B.
Gráficamente la zona sombreada de azul representa al conjunto A ∩ 𝐵, lo cual indica que
todos los elementos de ese conjunto pertenecen a A y a B respectivamente
b) Unión: (U)
El conjunto unión de dos conjuntos A y B está formado por todos los elementos que
pertenecen a A, o a B, o a ambos.
83
Gráficamente:
c) Diferencia: (- )
Se llama diferencia entre un conjunto A y otro conjunto B, al conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A, y no pertenecen a B
A-B
B – A={𝑥⁄𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 𝑥 ∉ 𝐴
}
POTENCIACION Y RADICACION:
La potenciación:
La potenciación es una multiplicación de factores iguales, veamos el siguiente ejemplo:
Por lo que generalizando podríamos decir que:
n
Si n  N y a  R , entonces a , es igual al producto de n veces el número real a tomado como
factor, es decir :
an = a
  a a a...a
n veces
84
La potenciación posee propiedades que a continuación te enumeramos en forma sintética:
25 = 32
(Se lee 2 elevado a la 5 (cinco o quinta) es igual a 32)
Donde:
✓ 2 representa a la BASE, que indica el factor que se va a multiplicar por sí mismo;
✓ 5 representa al EXPONENTE, es decir la cantidad de veces que va a multiplicarse por sí mismo
ese factor;
✓ 32 representa a la POTENCIA, que es el resultado de esa operación
Propiedades:
Producto de
potencias de
igual base
Cociente de
potencias de
igual base
Potencia de
una potencia
En el
producto y
cociente
En la suma y
resta
Propiedades de las potencias de igual base
El producto de potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y de exponente
igual a la suma de los exponentes de los términos factores.
m
n
m+ n
Simbólicamente: a • a = a
El cociente de dos potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y cuyo
exponente es igual a la resta de los exponentes del término dividendo menos el del divisor.
am
= am − n
n
Simbólicamente: a
con a ≠ 0 y m>n
La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base y de exponente igual al
producto de los exponentes que haya en la expresión
( )
n
Simbólicamente: a
m
= am• n
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta, esto quiere decir que primero debo
resolver el paréntesis y a ese resultado es al que elevo al exponente indicado.
Casos a tener en cuenta:
Exponente
negativo
85
si n es cualquier real negativo y a un número real diferente de cero se cumple que:
a− n =
1
an
 a
b
y si la base es un número racional:  
−n
b
= 
 a
n
Todo número elevado a la cero, da como resultado 1
Exponente
cero
Exponente
par
Exponente
impar
Simbólicamente:
definida
a0 = 1
a ≠ 0 y a tener en cuenta que :La expresión
00
no está
Todo número elevado a un exponente par da como resultado un número positivo
Todo número elevado a un exponente impar conserva el signo de la base
TIPOS DE PROPORCIONALIDAD
Proporcional directa: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando se puede
definir entre ellas una función biyectiva tal que la razón de las cantidades correspondientes
en la biyección es un valor constante y la imagen de cero es cero.
Su fórmula sería: y = K. x (donde x e y son las variables, y k la constante de proporcionalidad)
(Es decir que a medida que aumenta una variable la otra variable también aumenta y
viceversa).
Proporcionalidad inversa: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando se
puede definir entre ellas una función biyectiva tal que el producto de las cantidades
correspondientes en la biyección es constante
Su fórmula sería: Y = K/ x con x≠0 (donde x e y son las variables y k es la constante de
proporcionalidad)
(Es decir que a medida que una de las variables aumenta la otra disminuye)
La proporcionalidad obviamente es una consecuencia de las proporciones, dentro del ámbito
de la carrera estarán presentes en muchos de los contenidos que deberán implementar en la
práctica, desde el análisis básico de las funciones de oferta y demanda, desde el análisis de
elasticidades, costos, cálculo financiero, etc.
Algo importante relacionado con nuestro ámbito está relacionado con las variaciones
proporcionales.
86
Veamos:
Todos ya sabemos calcular porcentajes!!!! (espero!!!),
Vamos a partir de tres ejemplos:
Ejemplo 1: La empresa A aumentará su producto X un 11,5% desde los 20,50$ que es su valor actual
Ejemplo 2: La empresa B aumentó el precio de su producto Y un 9% siendo su nuevo precio $25,30
Ejemplo 3: La empresa C tuvo un incremento de precios en sus materias primas por lo que aumentó
el precio de su producto Z de $20,30 a $23,40
Obviamente todos los ejemplos, Uds ya los saben resolver utilizando proporciones o la llamada regla
de tres simple (proporcionalidad directa)!!!
Ahora vamos a tratar de ver cómo todos estos ejemplos son resueltos utilizando una única fórmula
que es la que los profesores de las materias específicas van a denominar como variaciones …… ( y el
nombre dependiendo del tema que estén analizando) Antes de seguir vamos a ver qué datos tengo y
qué tendría que averiguar en cada ejemplo:
(Elaborado por Pan, V)
Ahora vamos a deducir “la fórmula”, teniendo en cuenta nuestros saberes anteriores:
Si trabajamos con regla de tres simple:
El precio inicial representa el 100%;
La diferencia entre el precio inicial y final representará la variación de precios en forma
nominal,
Pero queremos conocer esa variación en forma porcentual:
Entonces: si trabajamos con porcentajes
Si Precio inicial __________________100%
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛
La variación __________________x = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ∗ 100%
Si trabajamos con coeficientes
Si Precio inicial _______________1
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛
La variación ________________𝑥 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ∗ 1
Ahora reemplazamos variación por Valor final (Vf) – Valor inicial (Vi) (en alguna bibliografía, al
valor actual lo llaman Vt y al valor inicial Vt-1 donde t es tiempo actual y t-1 es tiempo o
periodo anterior).
87
88
PRECIO DE VENTA:
Calcular precios es algo importante en nuestra carrera, en forma sencilla vamos a clasificar
algunos precios para ir incorporando conocimientos.
Recuerden que el Precio: es el valor de cambio de un bien expresado en dinero
89
(Elaborado por Pan, V)
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Anabella compró mercaderías por $20000, tuvo gastos por $15000, y quiere vender
toda la mercadería y obtener una ganancia de $10000
Entonces:
Precio de compra = $20000
Precio de costo = Precio de compra + gastos = $20000 + $15000 = $35000
Precio de venta = Precio de costo + ganancia = $35000 + $10000 = $ 45000
Ejemplo 2:
Supongamos que Juan sabe que su precio de costo unitario es de $250, y quiere determinar
el precio de venta del bien. Si supone una ganancia del 30% , ¿cuál sería el precio de venta del
bien, si la ganancia la calcula sobre el precio de costo y cuál si la calcula sobre el precio de
venta?
Sabemos que 30% equivale a 0,30 , y que como el precio de costo es unitario, el precio de
venta que vamos a obtener también es unitario
Precio de venta con ganancia calculada Precio de venta con ganancia calculada
sobre el precio de costo
sobre el precio de venta
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑃𝑣 = 𝑃𝐶𝑡 + 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑃𝑣 =
𝑃𝑣 = 250 + 0.30 ∗ 250
1 − 𝑐𝑜𝑒𝑓 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑃𝑣 = 250 + 75
90
𝑃𝑣 = 325
𝑃𝑣 =
También podíamos calcularlo utilizando
coeficientes:
𝑃𝑣 = (1 + 0.30)250
𝑃𝑣 = 1.30 ∗ 250 = 325
250
1 − 0.3
𝑃𝑣 =
250
0.7
𝑃𝑣 = 357.14
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Antes de comenzar vamos a aclarar que cuando trabajamos con expresiones algebraicas
fraccionarias, tenemos que tener en consideración que el denominador puede tomar valores
de x tal que esos valores de x den como resultado un valor distinto de cero. Para todo valor
de x que de por resultado que el denominador sea cero, esos valores no pertenecerán al
conjunto solución y formarán parte de las restricciones
Simplificar:
Para simplificar procedemos asi:
1.- Factorizamos al numerador y al denominador
2.- Buscamos las restricciones del denominador
3.- Simplificamos!
Factorizamos al numerados y al denominador:
91
Buscamos las restricciones y reescribimos la expresión :
RESTRICCIONES: X-1=0 ; X=1 ; X+2 = 0; X= -2
El resultado es:
Resumiendo:
Factorizamos, luego los factores comunes que estén en numerador y denominador, (como lo
hacíamos antes en las fracciones) los simplificamos.
Buscamos para qué valores de x , los factores en el denominador cada uno se hace cero, de
esa manera obtenemos las restricciones
Y al fin!!!!!, terminamos el ejercicio!!
Producto:
Recordá que vamos a multiplicar numerador con numerador y denominador con
denominador, y para simplificar siempre es un numerador con un denominador:
Vamos a ver con un ejemplo:
92
Debemos generar expresiones equivalentes a través de la factorización:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 2 + 2𝑥 − 3
Trabajamos con la fórmula resolvente:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 2 + 8𝑥 + 16, podemos trabajarlo como
A) Un trinomio cuadrado perfecto :
a) Hallamos las bases:
𝐵𝑎𝑠𝑒1 = √𝑥 2 = 𝑥 ; 𝐵𝑎𝑠𝑒 2 = √16 = 4
b) Verificamos con el tercer término:
2. 𝐵𝑎𝑠𝑒1. 𝐵𝑎𝑠𝑒2 = 2. 𝑥. 4 = 8𝑥
c) Como verifica, es TCP, por lo tanto lo podemos
escribir como: (𝑥 + 4)2
B) Averiguar las raíces con la fórmula resolvente y
luego escribir en forma factorizada:
Por lo tanto quedaría: (𝑥 + 4)(𝑥 + 4) = (𝑥 + 4)2
Por lo tanto quedaría: (𝑥 − 1). (𝑥 + 3)
En este caso tenemos que sacar factor 𝑥 − 1 no se puede factorizar, es un polinomio
común:
primo
3𝑥 + 12 = 3(𝑥 + 4)
Reescribimos la expresión, y simplificamos:
𝑥 2 +2𝑥−3
𝑥 2 +8𝑥+16
93
.
3𝑥+12
𝑥−1
=
(𝒙−𝟏).(𝑥+3) 3(𝒙+𝟒) 3.(𝑥+3)
(𝑥+4)𝟐
.
𝒙−𝟏
=
𝑥+4
DIVISIÓN:
Como en la división de fracciones sabemos que podemos invertir la segunda fracción (el
divisor) y multiplicar ( o sea multiplicar por el recíproco), luego procedemos como en la
multiplicación.
Veamos con un ejemplo:
𝑥 − 4 𝑥 2 − 3𝑥 − 4
𝑥 − 4 𝑥 2 + 5𝑥 + 6
:
=
.
𝑥 2 − 4 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑥 2 − 4 𝑥 2 − 3𝑥 − 4
Vamos a factorizar :
Aquí tenemos un trinomio de grado 2:
𝑥 2 + 5𝑥 + 6
Aplicamos la fórmula resolvente y nos
quedaría:
94
Aquí también tenemos un trinomio de
grado 2: Procedemos de la misma
manera:
𝑥 2 − 3𝑥 − 4
Entonces, factorizado quedaría:
𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2). (𝑥 + 3)
En este caso tenemos una diferencia de
cuadrados: 𝑥 2 − 4
Calculamos las bases:
𝐵𝑎𝑠𝑒 1 = √𝑥 2 = 𝑥 ; 𝐵𝑎𝑠𝑒 2 = √4 = 2
Entonces, quedaría:
𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = (𝑥 + 1). (𝑥 − 4)
𝑥 − 4 no se puede factorizar por lo tanto
es un polinomio primo.
Por lo tanto esta diferencia de cuadrados
proviene del producto de binomios
conjugados:
(𝑥 + 2). (𝑥 − 2)
Ahora reescribimos las expresiones factorizadas y simplificamos todo lo que sea posible:
(𝐱 + 𝟐). (𝑥 + 3) 𝒙 + 𝟑
𝑥 − 4 𝑥 2 − 3𝑥 − 4
𝑥 − 4 𝑥 2 + 5𝑥 + 6
𝒙−𝟒
:
=
.
=
.
=
𝑥 2 − 4 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑥 2 − 4 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 (𝒙 + 𝟐). (𝑥 − 2) (𝑥 + 1). (𝒙 − 𝟒) 𝒙 + 𝟏
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Para sumar y /o restar expresiones algebraicas, éstas deben tener el mismo denominador, si
no lo tienen debemos generar expresiones equivalentes que tengan un mismo denominador
(para ello vamos a buscar entre todos los denominadores, un denominador común)
Veamos estos ejemplos:
a) Tienen el mismo denominador:
En este caso sumamos directamente los numeradores, y vemos al finalizar si podemos
factorizar y si se puede simplificar
𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟑 𝟑𝒙 + 𝟔 𝟑(𝒙 + 𝟐)
+
=
=
=
𝒙+𝟒 𝒙+𝟒
𝒙+𝟒
𝒙+𝟒
𝒙+𝟒
95
b) Tienen distinto denominador:
𝑥2
4
𝑥+2
+ 2
=
− 25 𝑥 − 2𝑥 − 15
Factorizamos los denominadores:
𝑥 2 − 25 = (𝒙 − 𝟓). (𝑥 + 5)
𝑥 2 − 2𝑥 − 15 = (𝒙 − 𝟓)(𝑥 + 3)
El mínimo común múltiplo será: (𝒙 − 𝟓). (𝒙 + 𝟓). (𝒙 + 𝟑)
𝑥2
4
𝑥+2
4
𝑥+2
+ 2
=
.
=
− 25 𝑥 − 2𝑥 − 15 (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) (𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
4(𝑥 + 3) + (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) 4𝑥 + 12 + 𝑥 2 + 5𝑥 + 2𝑥 + 10
=
=
=
(𝑥 − 5). (𝑥 + 5). (𝑥 + 3)
(𝑥 − 5). (𝑥 + 5). (𝑥 + 3)
=
96
𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐𝟐
(𝒙 − 𝟓). (𝒙 + 𝟓). (𝒙 + 𝟑)
Parte Práctica:
MODULO 1
A) CONJUNTOS NUMÉRICOS :Ejercicios varios
1. A.-Ordenar de menor a mayor y representar en la recta numérica los siguientes números
enteros.
8, -3, -9, -2, 0, 6, 2, 5, -12, -15.
b.- Indicà V o F y justificá tu respuesta
2. Colocar <, > o = según el caso.
(2 + 3) ___ − 6
(4 + 5) ___ − 8
(− 10) ___ − 10
(3 + 1) ___ − 4
− 3 ___ 3
2 ___1
(− 4) ___ 5
(− 5) ___(− 6)
3. Completar el cuadro según corresponda.
Numero Opuesto Módulo Anterior Siguiente
+7
-5
-10
-30
47
8
-13
4. Resolver suprimiendo paréntesis, corchetes y llaves.
a) (− 9 + 3) : (− 3) + 8 − 9.(− 2)+ 4.(− 3) =
b) 4 + − 6 : 2 − (9 + 15) : (1 + 5) + 6 + (− 2)(
. − 5): (− 2) =
97
c) − 3 + (− 3).2 − 1 + (− 7 + 4) : 3 − (− 4) : 5− 2 =
d) (− 9 + 12) − 3 − 16 : (− 2 − 2) + 12 : 4 =
e) 5 − 15.(− 2) : (− 4) − 3 =
5.- Reexpresà y Resolvé utilizando propiedades de la potenciación y radicación
D) Notación Científica
1. Escribir en notación decimal los números que se expresan a continuación.
𝑎) 1,25. 106 =
𝑏) 2,54. 1012 =
𝑐) − 7,01. 108 =
𝑑) 4,33. 10−8 =
𝑒) 6,5. 10−5 =
𝑓) − 7,5. 10−3 =
2. Pasar a notación científica los números que se expresan a continuación.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7.450.000.000=
158.000.000.000.000=
-120.000.000=
0,00000001=
0,00000000045=
-0,00025=
3. Tachar las expresiones que no corresponden a números escritos en notación científica.
98
𝑎) 10,5. 104
𝑏) 0,5. 103
𝑐) 1,08. 106
𝑑) − 1,2. 10−8
𝑒) 1. 10−3
𝑓) 15. 10−3
E) PROPORCIONES
1. Unir cada expresión con el valor de “a” correspondiente para que se verifique la
proporción.
a ) 7 = 14
4 a
a = 40
b ) a = 16
a = 20
5 38
a = 15
3 21
c) = 2
a 7
a =8
16 a
a=9
=
d)
3
15
a=7
0,3 a
e) 2,7 = 81
2. Hallar el valor que verifica la proporción.
3 0,2
1,4 2
=
a) =
b)
5
n
6 n
6,4 8
25 2
=
=
d)
e)
8
n
2 n
8 n
6,4 n
=
g) =
h)
n 2
n
0,1
6 0,6
=
n 13
81 4,5
=
f)
4,5
n
0,49
n
=
i)
n
100
c)
F) Porcentaje
1. Expresar como fracción irreducible los siguientes porcentajesa)
b)
c)
d)
10%=
25%=
40%=
75%=
2. Expresar como porcentaje las siguientes fracciones.
𝑎)
3
5
=
𝑏)
1
2
3. Calcula.
a) El 10% de 1209.
b) El 30% de 8080.
99
=
𝑐)
4
5
=
𝑑)
11
25
=
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
El 45% de 18045.
El 70% de 180.
El 50% de 1576.
El 120% de 1850.
El 75% de 896.
El 20% de 1170.
El 8% de 550.
El 25% de 2449.
El 32% de 1750.
El 40% de 965.
4. Calcular el porcentaje que representa cada cantidad
a)
b)
c)
d)
16 cartas de un mazo de 40.
75 fósforos de una caja de 200.
48 litros de un tanque de 180.
140 palabras de un poema de 300.
5. Resolver los siguientes problemas.
a) Un televisor cuesta $6200 y se lo vende en 6 cuotas fijas, con un recargo del 10%.
¿Cuál es el valor de cada cuota?
b) Se vende una camisa con el 20% de descuento y cuesta $1640. ¿Cuál es su precio
sin descuento?
c) Se paga $1380 por una factura que tiene un 15% de recargo, ¿cuál es su valor sin el
recargo?
d) Se vende un televisor en oferta con un descuento del 25% y se abonan $370 menos.
¿Cuál es el valor del televisor?
e) El 45% de los alumnos de un curso son varones y 22 son mujeres. ¿Cuántos alumnos
hay en el curso?
f) El 70% de los alumnos de una escuela no se llevaron ninguna materia a examen. Si
los alumnos que sí se llevan materias son 435, ¿cuántos alumnos hay en la escuela?
g) En la terminal de un micro sube el 60% de los pasajeros, en la primera parada el
20% y en la última suben 9 pasajeros y el micro se completa. ¿Cuántos pasajeros
lleva el micro?
h) Se compra una heladera de $4000 en 12 cuotas fijas con un recargo de 14%. ¿Cuál
es valor de cada cuota?
i) Un reproductor de mp19 cuyo valor es de $450 se compra en 9 cuotas fijas de $59
cada una. ¿Cuál es el recargo que se aplicó?¿ Què porcentaje de recargo
representa?
j) Si a un documento que cuesta $200 se le aplica un descuento del 40% y al nuevo
precio un descuento del 50%, ¿cuánto se terminará pagando?
100
k) Un determinado producto tiene un valor de $520, si a ese precio se le aplica el
Impuesto al Valor Agregado (IVA) que es del 21% ¿ Cuál es el valor de venta al
consumidor final?
l) Un producto con IVA incluido tiene un precio de $225.32 ¿ Cuál es el precio de venta
sin iva?
6. Completa el siguiente cuadro.
Precio
$240
$150
$360
Descuento en %
15%
Descuento en $
Total a pagar
$60
$270
20%
30%
$90
$420
$246
$54
7. Completar el siguiente cuadro.
Artículo
Remera
Precio de venta $1200
Precio con un
8% de recargo
Precio con un
5%
de
descuento
Pantalón
$ 2250
Camisa
$830
Zapatos
$1470
8. Una tablet tiene un precio de $23000. Si se paga en efectivo se descuenta un 15% y si
se compra en cuotas se recarga un 20%. Calcular y responder:
a) ¿Cuánto dinero es el descuento?
b) ¿Cuál es el precio en efectivo?
c) ¿Cuánto dinero es el recargo?
d) ¿Cuánto es el precio con recargo?
9. Un juego de mesa tiene 60 fichas de colores y el 40% son blancas. Del resto de las
fichas, la mitad son verdes y la otra mitad, azules. Calcular y responder:
a) ¿Qué porcentaje de las fichas son verdes?
b) ¿Cuántas fichas de cada color hay?
10. De una compra de $783 se recarga el 12% y se paga en 9 cuotas iguales. ¿Cuál es el
valor de cada cuota?
ECUACIONES:
101
Resolver las siguientes ecuaciones: ( Cuidado!!! No todas pueden tener solución)
SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Resolver analíticamente los siguientes sistemas de ecuaciones
102
EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
1) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no.
a) 2x + 3x² -1/2
b) 2x + 3x² -1/x
c) 3x - 2(x + 4)²
d) (3x - 4).x(-2/3) + 4
2) Dados los polinomios:
P(x) = 4.x² - x + 2
Q(x) = x³ + x - 1
R(x) = 2.x - 1
Hallar:
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) + R(x)
c) Q(x).R(x)
103
d) P(x).Q(x)
e) P(x):R(x)
f) Q(x):R(x)
g) El resto de la división de P(x) por x - 1
h) P(-1)
i) P(-2) + [Q(-2)]²
j) El grado de [P(x)]4
3) Determinar grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios, ordenarlos según
las potencias decrecientes.
a) 4x³ - 1 + 3x²
b) x5/2 + x6
c) -2x + 3x³ - 2x²/3
d) -(x - 4)/3 + (4 - x + x³)/2
4) Hallar C(x) y R dividiendo P(x) y Q(x).
a) P(x) = x³ - x² + 4 y Q(x) = - x³ - x + 1
b) P(x) = x4 + a4 y Q(x) = x² + a²
c) P(x) = 2y4/3 y Q(x) = y² - y
d) P(x) = z³ - 2z² - 1 + z y Q(x) = - z + 1
5) Hallar C(x) y R dividiendo P(x) y Q(x) por Ruffini.
a) P(x) = x4/2 + x² - 1 y Q(x) = x - 2
b) P(x) = - x5 + x³ y Q(x) = x + 1/2
c) P(x) = - x + 3 - x³ - x5 y Q(x) = x + 2
d) P(x) = a.(x³ - a³) y Q(x) = x - a
104
e) P(x) = (x - 2)³ - 3(x - 2) y Q(x) = 3x - 1 + 2x)
f) P(x) = x4 - x y Q(x) = (3x - 1)/4
g) P(x) = 2x³ y Q(x) = - 3x + 2
6) Decir si P(x) es divisible por Q(x).
a) P(z) = 2z² - z - 1 y Q(z) = z - 1
b) P(t) = t4 - a²t² + t + a y Q(t) = t + a
7) FACTORIZAR
a) Extraer factor común
1.
6x - 12 =
3.
24a - 12ab =
5.
14m2n + 7mn =
7.
8a3 - 6a2 =
9.
b4-b3 =
2.
4.
6.
8.
10.
b) Factor común por grupos
1.
a2 + ab + ax + bx =
3.
ab - 2a - 5b + 10 =
5.
am - bm + an - bn =
7.
3x2 - 3bx + xy - by =
9.
3a - b2 + 2b2x - 6ax =
11.
ac - a - bc + b + c2 - c =
4x - 8y =
10x - 15x2 =
4m2 -20 am =
ax + bx + cx =
4a3bx - 4bx =
2.
4.
6.
8.
10.
12.
ab + 3a + 2b + 6 =
2ab + 2a - b - 1 =
3x3 - 9ax2 - x + 3a =
6ab + 4a - 15b - 10 =
a3 + a2 + a + 1 =
6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
c) Factoriza los siguientes trinomios de grado 2
1.
x2 + 4x + 3 =
2.
a2 + 7a + 10 =
3.
b2 + 8b + 15 =
4.
x2 - x - 2 =
5.
r2 - 12r + 27 =
6.
s2 - 14s + 33 =
2
7.
h - 27h + 50 =
8.
y2 - 3y - 4 =
9.
x2 + 14xy + 24y2 =
10.
m2 + 19m + 48 =
11.
x2 + 5x + 4 =
12.
x2 - 12x + 35 =
d) Mas trinomios de grado 2
1.
3.
5.
7.
9.
11.
105
5x2 + 11x + 2 =
4x2 + 7x + 3 =
5 + 7b + 2b2 =
5c2 + 11cd + 2d2 =
6x2 + 7x - 5 =
3m2 - 7m - 20 =
2.
4.
6.
8.
10.
12.
3a2 + 10ab + 7b2 =
4h2 + 5h + 1 =
7x2 - 15x + 2 =
2x2 + 5x - 12 =
6a2 + 23ab - 4b2 =
8x2 - 14x + 3 =
e) Un trinomio especial:
1.
b2 - 12b + 36 =
3.
m2 - 2m + 1 =
5.
16m2 - 40mn + 25n2 =
7.
36x2 - 84xy + 49y2 =
2.
4.
6.
8.
25x2 + 70xy + 49y2 =
x2 + 10x + 25 =
49x2 - 14x + 1 =
4a2 + 4a + 1 =
f) Diferencia de cuadrados
1.
9a2 - 25b2 =
3.
4x2 - 1 =
5.
36m2n2 - 25 =
7.
169m2 - 196 n2 =
2.
4.
6.
8.
16x2 - 100 =
9p2 - 40q2 =
49x2 - 64t2 =
121 x2 - 144 k2 =
MODULO 2
A.- Conjuntos
1.- Sean los conjuntos : A = { 1, 2, 3, 4, 5 }; B = { 1, 2 }; C = { 1, 5 } ; D = { 1, 4 } ; E = { 1 }
a) ¿cómo están definidos?; definilos de otra forma
b) Realizá el diagrama de Venn correspondiente
c) Resolvé AUB; AUC; AUD; AUBUCUDUE; A-B; A-E; B-D; C- A; A∩ 𝐵;
d) Indicá qué conjunto podría ser el conjunto Universal
2.- Dados los conjuntos:
H = { x/x ∈ N ^ x < 50 } I = { x /x ∈ N ,x es número par, x <41 } J = { x/x ∈ N , x es mútliplo de
3, x<45 }
a) Definirlos por extensión
b) Realizar el diagrama de Venn
c) Hallar 𝐻 ∩ 𝐼 ∩ 𝐽 ; 𝐻 ∩ 𝐽 ; HUI; H-I
3.- En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Alemán ; 11 estudian inglés y 11
francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés ; 5 estudian alemán y francés
y 2 estudian los tres idiomas.
a) Defini el universal y los conjuntos necesarios
b) Realizá el diagrama de Venn
c) Indicá cada relación que se establece en el enunciado por propiedad como operaciones
entre conjuntos
d) ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés?, sólo francés y sólo alemán?
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4.- U= { x/x ∈ Z ^-5≤ x < 15 } A = { x /x ∈ N ,x es número impar, x <12 } B = { x/x ∈ N , x es
mútliplo de 3, x<14 }
a) Definirlos por extensión
b) Realizar el diagrama de Venn
c)Resolvé:
i) -3 ____ A; -3 __ U; -3___B; -5___A; -5 ____B; -5 ___U; A___B; A___ U; B___U; B___A
ii) Hallar A∩ 𝐵; 𝐵 ∩ 𝐴 ; AUB; A-B; B-A
2-POTENCIA Y RAÍZ: Reexpresà y Resolvé utilizando propiedades de la potenciación y radicación
D) PROPORCIONALIDAD
a) En una agencia de automóviles, de cada 17 automóviles vendidos, 2 son de lujo y 15
son económicos. En el último año se vendieron 153 automóviles. ¿Cuántos
automóviles fueron de lujo y cuántos económicos?
b) En un comedor escolar, de cada 4 helados vendidos, 3 son de la marca “Frío”. La
última semana fueron vendidos 100 helados, ¿cuántos de la marca “Frío” se
vendieron?
c) Un automóvil que se desplaza a una misma velocidad recorre 240 km en 3 horas.
1) Calcular la constante de proporcionalidad k.
2) Escribir la fórmula de la función de proporcionalidad directa.
3) ¿Qué distancia recorre en 7 horas?
4) ¿Cuánto tarda en recorrer 400 km?
d) Una docena de CD cuestan $18. ¿Cuánto se debe pagar por 5 de esos mismos CD?
e) Para cubrir una pared de 12 m² se necesitan 150 azulejos. ¿Cuántos azulejos se necesitarán
para cubrir otra pared de 20 m²?
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f) Se necesitan 18 g de levadura para preparar 540 g de masa para pizza. ¿Cuánta levadura se
necesita para hacer 3 kg de masa?
g) Para pintar 320 baldosas de un patio se necesitan 24 litros de pintura. ¿Cuántas baldosas se
podrán pintar con 6 litros más de esa pintura?
h) Para realizar 1900 unidades de un producto se requieren 1200 kg de la materia prima Z;
¿cuántas unidades se podrán realizar si teniendo disponibilidad del resto de las materias
primas, se tienen 1850 kg de la materia prima Z? ¿ Por qué aclara sobre la disponibilidad del
resto de las materias primas)
11. Resolver los siguientes problemas.
m) Un televisor cuesta $6200 y se lo vende en 6 cuotas fijas, con un recargo del 10%.
¿Cuál es el valor de cada cuota?
n) Se vende una camisa con el 20% de descuento y cuesta $1640. ¿Cuál es su precio
sin descuento?
o) Se paga $1380 por una factura que tiene un 15% de recargo, ¿cuál es su valor sin el
recargo?
p) Se vende un televisor en oferta con un descuento del 25% y se abonan $370 menos.
¿Cuál es el valor del televisor?
q) El 45% de los alumnos de un curso son varones y 22 son mujeres. ¿Cuántos alumnos
hay en el curso?
r) El 70% de los alumnos de una escuela no se llevaron ninguna materia a examen. Si
los alumnos que sí se llevan materias son 435, ¿cuántos alumnos hay en la escuela?
s) En la terminal de un micro sube el 60% de los pasajeros, en la primera parada el
20% y en la última suben 9 pasajeros y el micro se completa. ¿Cuántos pasajeros
lleva el micro?
t) Se compra una heladera de $4000 en 12 cuotas fijas con un recargo de 14%. ¿Cuál
es valor de cada cuota?
u) Un reproductor de mp19 cuyo valor es de $450 se compra en 9 cuotas fijas de $59
cada una. ¿Cuál es el recargo que se aplicó?¿ Què porcentaje de recargo
representa?
v) Si a un documento que cuesta $200 se le aplica un descuento del 40% y al nuevo
precio un descuento del 50%, ¿cuánto se terminará pagando?
w) Un determinado producto tiene un valor de $520, si a ese precio se le aplica el
Impuesto al Valor Agregado (IVA) que es del 21% ¿ Cuál es el valor de venta al
consumidor final?
x) Un producto con IVA incluido tiene un precio de $225.32 ¿ Cuál es el precio de venta
sin iva?
SIMPLIFICAMOS
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h) Seguimos simplificando
i) Operaciones combinadas
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110
Bibliografía
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Cesare, M., Pan, V., y Rosende, S. (2022). Material de estudio. Materia Introductoria a la
Licenciatura en Economía Empresarial. Buenos Aires: UNLa.
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Guías de ejercitación práctica realizadas por docentes dl área de matemáticas
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Haeussler, E. F., Paul, R. S., y Wood, R. J. (2008). Matemática para administración y
Economía (12a ed). México: Prentice Hall.
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Plan de Estudios de la Licenciatura en Economía Empresarial, RCS Nº 043/15
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Salazar Guerrero, L., y Bahena Román, H. (2018). Algebra. México: Patria.
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