Menú Principal Vectores Definición Marcos de referencia y componentes Operaciones con vectores Vectores Definición Un vector es: Un ente matemático que representa una magnitud Física Se representa gráficamente por una flecha Contiene 3 datos de la información completa de la magnitud: El largo de la flecha indica su módulo o intensidad La recta que lo sustenta su dirección La orientación su sentido de aplicación Menú Principal Vectores Definición Marcos de referencia y componentes Operaciones con vectores Primero: Asignar un marco de referencia y un sistema de ejes coordenados Vectores Utilizar una forma de representación matemática del vector en ese sistema de referencia. Puntos cartesianos: P(x,y,z) Suma vectorial: P = xi + yj + zk Formalismo matricial: Componente x del vector Es la proyección del vector P sobre el eje x i es el versor o vector unitario en la dirección del eje x: 1 𝒊= 0 0 𝑥 𝑷= 𝑦 𝑧 Y de la misma forma: 0 𝒋= 1 0 0 𝒊= 0 1 Vectores Cálculo de Componentes de un vector Si se conoce los valores de su magnitud y dirección q 𝒚 asociamos a un sistema de referencia: 𝒑 Se dibujan las componentes proyectando el vector P sobre los ejes x,y y q x 𝒙 Se podría haber elegido otro sistema de referencia 𝒙 𝒚 cos(q) = x/P x=P.cos(q) seno(q) = y/P y=P.seno(q) q= 0 x = P.cos(0°) = P.1 = P y = P.seno(0°) = P.0 = 0 Vectores Cálculo de Componentes de un vector en 3 dimensiones Si se conoce los valores de su magnitud y cosenos directores Como cada componente es la proyección del vector sobre cada uno de los ejes coordenados Cada componente es: X = P. cos(q1) ; y = P. cos(q2); z = P. cos(q3) Si se conoce los valores de su magnitud y ángulos polares Cada componente es: z = r. cos(q) x = r. seno(q) . cos(f) y = r. seno(q) . seno(f) Menú Principal Vectores Definición Marcos de referencia y componentes Operaciones con vectores Vectores Operaciones con vectores: Suma (y resta) Si se debe sumar o restar 2 vectores en 3 dimensiones: 𝑎𝑥 𝑏𝑥 a = 𝑎𝑦 𝑦 𝒃 = 𝑏𝑦 𝑎𝑧 𝑏𝑧 𝑎𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 𝑏𝑥 c = a + b= 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 𝑎𝑧 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 𝑏𝑧 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 c = a - b= 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦 = 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦 𝑎𝑧 𝑏𝑧 𝑎𝑧 − 𝑏𝑧 Ejemplo: 2 3 5 c = a + b= −3 + 4 = 1 4 −2 2 −1 2 3 c = a - b= −3 − 4 = −7 6 4 −2 Vectores Operaciones con vectores: Multiplicación Existen 3 tipos de operaciones de multiplicación en que intervienen vectores Producto de un escalar a por un vector b: Resultado = un vector = ab. Producto escalar de 2 vectores a.b: Resultado = un escalar. Producto vectorial de 2 vectores axb: Resultado = un vector. Vectores Multiplicación : Producto de un escalar por un vector Si se desea multiplicar un vector v por un escalar a vector v 𝑣𝑥 v = 𝑣𝑦 𝑣𝑧 escalar a es < 1 => a.v Se contrae a veces 𝑣𝑥 a𝑣𝑥 a v = 𝑣𝑦 = a𝑣𝑦 𝑣𝑧 a𝑣𝑧 escalar a es > 1 => a.v Se expande a veces Se multiplica cada componente del vector por el escalar a ¿Qué ocurre si el valor del escalar es negativo? el signo negativo invierte el sentido del vector Vectores Multiplicación : Producto escalar entre 2 vectores multiplicar dos vectores escalarmente a.b = escalar a 𝑎𝑥 𝑏𝑥 a = 𝑎𝑦 𝑦 𝒃 = 𝑏𝑦 𝑎𝑧 𝑏𝑧 Si se conocen las magnitudes y el ángulo entre ellos q a.b = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 = a a.b = Si se conocen las componentes de a y b a.b = a.b = 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑏𝑥 𝑎𝑧 . 𝑏𝑦 = ax.bx + ay.by + az.bz = a 𝑏𝑧 Vectores Multiplicación : Producto escalar entre 2 vectores Ortogonalidad y perpendidularidad a.b = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 a = 𝑎𝑦 𝑦 𝒃 = 𝑏𝑦 𝑎𝑧 𝑏𝑧 q = 90° a.b = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 = a a.b = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐𝑜𝑠90° = 0 ayb son perpendiculares si a.b = 0 q = 0° a.b = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐𝑜𝑠0° = a.b ayb son paralelos si a.b = a.b q = 180° a.b = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐𝑜𝑠180° = -a.b ayb son anti paralelos si a.b = -ab Vectores Multiplicación : Producto escalar entre 2 vectores Cosenos directores: Si uno de los vectores es un vector unitario en la dirección de un eje coordenado a.b = 𝐹𝑥 1 F = 𝐹𝑦 𝑦 𝒊 = 0 0 𝐹𝑧 a.b = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 = a F.i = 𝐹 . 1 . 𝑐𝑜𝑠𝞱1 =𝐹𝑥 𝑐𝑜𝑠𝞱1=𝐹𝑥 / 𝐹 𝞱1= arcos(𝐹𝑥 / 𝐹 ) coseno director entre el vector a y el eje x 𝞱2 = arcos(𝐹𝑦 / 𝐹 ) 𝞱3= arcos(𝐹𝑧 / 𝐹 ) Vectores Multiplicación : Producto vectorial entre 2 vectores multiplicar dos vectores escalarmente axb = vector c axb = axb = 𝑎 . 𝑏 . 𝑠𝑒𝑛𝑜𝜃 = c Si a y b son perpendiculares q = 90° axb = 𝑎 . 𝑏 . 𝑠𝑒𝑛𝑜90° = a.b Si a y b son paralelos q = 0° a.b = 𝑎 . 𝑏 . 𝑠𝑒𝑛𝑜0° = 0 SI a y b son anti paralelos q = 180° a.b = 𝑎 . 𝑏 . 𝑠𝑒𝑛180° = 0 Vectores Multiplicación : Producto vectorial entre 2 vectores multiplicar dos vectores escalarmente uxv = vector c uxv = 𝒊 𝑢𝑥 𝑣𝑥 𝒋 𝑢𝑦 𝑣𝑦 𝒌 𝑢𝑧 = 𝒊 𝑢𝑦 . 𝑣𝑧 − 𝑢𝑧 . 𝑣𝑦 + 𝒋 𝑣𝑥 . 𝑢𝑧 − 𝑢𝑥 . 𝑣𝑧 + 𝒌(𝑢𝑥 . 𝑣𝑦 − 𝑢𝑦 . 𝑣𝑥 ) 𝑣𝑧 Importante : Propiedad Anticonmutativa uxv = -vxu Vectores Multiplicación : Producto vectorial entre 2 vectores Ejemplo: 𝟐 El vector posición de un cedro respecto de un observador es 𝒖 = −𝟑 m y un pino se encuentra en 𝟎, 𝟐 −𝟑 𝟏 m. El sistema de referencia de coordenadas cartesianas en 3 dimensiones se la posición 𝒗 = −𝟎, 𝟏 coloca con el origen coincidente con el observador. a). Encuentre el vector w resultado del producto vectorial u x v de los vectores posición. b). Pruebe que se cumple la propiedad anticonmutativa del producto vectorial. c). Compruebe que el vector w es perpendicular a u y a v. a). Por definición, se tiene que: 𝒊 𝒋 𝒌 𝒖𝒙𝒗 = 2 −3 0,2 −3 1 −0,1 = 𝒊 (−3). (−0,1) − 0,2.1 + 𝒋 (−3). 0,2 − 2. (−0,1) + 𝒌 2.1 − −3 . −3 = 0,1 m i – 0,4 m j – 6,99 m k. Vectores Multiplicación : Producto vectorial entre 2 vectores Ejemplo: 𝟐 El vector posición de un cedro respecto de un observador es 𝒖 = −𝟑 m y un pino se encuentra en 𝟎, 𝟐 −𝟑 𝟏 m. El sistema de referencia de coordenadas cartesianas en 3 dimensiones se la posición 𝒗 = −𝟎, 𝟏 coloca con el origen coincidente con el observador. a). Encuentre el vector w resultado del producto vectorial u x v de los vectores posición. b). Pruebe que se cumple la propiedad anticonmutativa del producto vectorial. c). Compruebe que el vector w es perpendicular a u y a v. b) Calculando: 𝒊 𝒋 𝒌 𝒗𝒙𝒖 = 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 = 𝒊 1.0,2 − (−3). (−0,1 + 𝒋 2. (−0,1) − 0,2. (.3) + 𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧 𝒌((−3). (−3) − 1.2) 𝒗𝒙𝒖 = - 0,1 m i + 0,4 m j + 6,99 m k. Si se compara este último resultado con el del punto a), claramente u x v = - v x u. Vectores Multiplicación : Producto vectorial entre 2 vectores Ejemplo: 𝟐 El vector posición de un cedro respecto de un observador es 𝒖 = −𝟑 m y un pino se encuentra en 𝟎, 𝟐 −𝟑 𝟏 m. El sistema de referencia de coordenadas cartesianas en 3 dimensiones se la posición 𝒗 = −𝟎, 𝟏 coloca con el origen coincidente con el observador. a). Encuentre el vector w resultado del producto vectorial u x v de los vectores posición. b). Pruebe que se cumple la propiedad anticonmutativa del producto vectorial. c). Compruebe que el vector w es perpendicular a u y a v. c) Para comprobar la ortogonalidad entre el vector w con u y v, una forma sencilla es utilizar el producto escalar, específicamente su propiedad que indica que su resultado es nulo si los vectores multiplicados escalarmente son perpendiculares. Así entonces si w.v y w.u dan como resultado cero, ya que sus magnitudes tienen valores diferentes a cero, la única posibilidad es que el ángulo entre ellos sea de p/2 radianes (90°). Se calcularán estos productos escalares para comprobar si su resultado es nulo: 2 w.u = 0,1 −0,4 −6,99 . −3 = 0,2 + 1,2 -1.4 = 0. Comprobado. 0,2 −3 w.v = 0,1 −0,4 −6,99 . 1 = -0,3 -0,4 + 0,7 = 0. Comprobado −0,1 … por su atención