Estabilidad-y-Funciones-de-Liapunov (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL
SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO
Una Nueva Universidad para el Desarrollo
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemática
Trabajo
ESTABILIDAD Y FUNCIONES DE LIAPUNOV
Docente
MINAYA SALINAS, Oscar Segundo
Autores
MOLINA MORALES, Marck Anthony
PINEDA MONSALVE, Carlos Fernando
Semestre Académico
2021-2
Huaraz, mayo de 2022
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ...........................................................................................................3
1. Estabilidad de Liapunov .............................................................................................4
1.1. Introducción............................................................................................................4
1.2. Nota histórica..........................................................................................................4
1.3. Puntos de equilibrio ................................................................................................4
1.4. Tipos de estabilidad ................................................................................................5
1.5. Primer método de Liapunov ...................................................................................7
1.5.1 Sistemas lineales...............................................................................................7
1.5.2. Sistemas no lineales .......................................................................................12
2. Funciones de Liapunov .............................................................................................14
2.1. Introducción..........................................................................................................14
3. Métodos de búsqueda de Funciones de
Liapunov...............................................20
3.1. Método de Krasovskii...........................................................................................20
3.2. Método del Gradiente Variable ............................................................................23
3.3. Función de Liapunov de Forma Cuadrática .........................................................27
4. Conclusiones...............................................................................................................29
5. Recomendaciones.......................................................................................................29
6. Apéndice. Código realizado en MATLAB...............................................................30
7. Referencias Bibliográficas ........................................................................................33
INTRODUCCIÓN
La teoría de la estabilidad juega un rol muy importante en el estudio cualitativo de los
sistemas de ecuaciones diferenciales tanto lineales como no lineales, del cual nuestra
principal labor es estudiar de cómo se comporta un punto de equilibrio hiperbólico para
un sistema de ecuaciones diferenciales, por el cual en el presente trabajo desarrollamos
un estudio general de la teoría de la estabilidad y las funciones de Liapunov, el cual resulta
ser un método muy práctico para estudiar de cómo se comportan los puntos de equilibrio.
Por lo que el presente trabajo está dividido en tres secciones principales que nos ayudaran
a comprender que este tema es necesario para adentrarnos más a fondo cuando uno
deseara estudiar los sistemas dinámicos, en el que debemos tener una base teórica sólida
y con las ideas claras, que serán necesarias cuando se desee realizar un estudio más
profundizado de un sistema de ecuaciones diferenciales.
En la primera sección se da a conocer la teoría preliminar, que ya se estudió en los
sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para poder
determinar de cuando un punto de equilibrio se debe considerar cuando sea un foco, nodo
o un punto silla, conociendo los valores propios de la matriz asociada.
En la segunda sección damos una introducción de cómo se aplica la teoría de funciones
Liapunov para un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, con el que hay que
recalcar que esta sección se da una aclaración fuerte de que no existe un método general
para poder asignar de cuando una función podría ser candidata para una función de
Liapunov y también damos un teorema en el que nos especifica de cuando una funci ón
V pasaría a ser una función de Liapunov, y nuestro análisis en esta sección también
consta de identificar cuando un punto equilibrio se puede considerar estable,
asintóticamente estable o inestable, conociendo los valores propios de la matriz jacobiana,
evaluada en el punto de equilibrio encontrado.
Por ultimo en la sección tres enunciamos tres métodos posibles para poder encontrar una
función de Liapunov y estas son: Método de Krasovskii, Método de gradiente Variable y
la Forma Cuadrática de una función de Liapunov, donde en cada subsección mencionada
especificamos la teoría de manera concreta y resumida, para poder comprender de cómo
se puede aplicar dicho método en la parte práctica y a la vez acompañamos con una serie
de ejemplos para comprender mejor el tema, y también para finalizar se realizó un script
en MATLAB para poder graficar el flujo o el campo de las soluciones del sistema de
ecuaciones diferenciales con el que se esté trabajando.
Sistemas no lineales: Estabilidad y Funciones de Liapunov
1. Estabilidad de Liapunov
1.1. Introducción
El presente trabajo tiene por objetivo dar alcances teóricos sobre la estabilidad de un
sistema de EDOs en el sentido que le dio el matemático ruso Aleksandr Liapunov (18571918). Asimismo, se presentará una especie de funciones escalares (de Liapunov) que se
emplean para clasificar los puntos de equilibrio no hiperbólicos, además de métodos para
encontrarlas.
En este capítulo se presentan algunas definiciones y resultados para estudiar la estabilidad
local de sistemas lineales y no lineales, teniendo en cuenta lo estudiado sobre sistemas
lineales en ℝ2 , la linealización de sistemas no lineales y el Teorema de HartmanGrobman.
1.2. Nota histórica
Aleksandr Liapunov fue un matemático ruso que desarrolló una
metodología para determinar la estabilidad de sistemas
dinámicos no lineales en 1892, siendo un pionero en este tipo de
análisis. Como sucede con muchos de los descubrimientos
matemáticos, su teoría precedió décadas a su aplicación en la
Ciencia e Ingeniería.
Fue el matemático soviético Nikolay Gur’yevich Chetaev quien
descubrió la inmensa magnitud de la teoría de Liapunov en 1930
y se considera su sucesor. El interés en la teoría de Liapunov
explota durante la Guerra Fría, donde se descubre que puede
emplearse en sistemas de navegación aeroespaciales.
En la actualidad, la teoría de estabilidad de Liapunov tiene
importancia capital en el área de Sistemas de Control, puesto que
contribuye a cumplir su objetivo principal, es decir, permite
diseñar sistemas estables y robustos a lo largo del tiempo frente a
perturbaciones y errores en los modelos.
Figura 1.1. Aleksandr Liapunov (18571918). Fuente: https://en.wikipedia.org.
1.3. Puntos de equilibrio
En el presente trabajo se va a discutir la estabilidad de los puntos de equilibrio del sistema
no lineal
x = f (x)
…(1)
Definición 1.1.
Un punto x * es un punto de equilibrio o punto crítico de (1), si una vez que x(t )
es igual a x * , lo sigue siendo para todo el tiempo futuro.
La definición anterior afirma que si el vector constante x * es un punto de equilibrio,
entonces satisface
f ( x *) = 0
Así, los puntos de equilibrio pueden encontrarse resolviendo esta última ecuación
algebraica.
Definición 1.2.
Un punto de equilibrio x * es llamado punto de equilibrio hiperbólico de (1) si
ninguno de los autovalores de la matriz Df ( x *) tiene parte real cero.
1.4. Tipos de estabilidad
Una propiedad fundamental inherente de los sistemas de EDOs es la estabilidad. Esta
propiedad puede ser estudiada de forma local o global, el primer caso se estudia a partir
de los puntos de equilibrio. A continuación, clasificamos los puntos de equilibrio de un
sistema en el sentido que le dio Aleksandr Liapunov.
Sea  t el flujo de la ecuación diferencial (1) definida para todo t 
.
Definición 1.3.
Un punto de equilibrio x * de (1) es estable si para todo   0 existe   0 tal que para
todo x 0  N  ( x* ) y t ≥ 0 se tiene
t ( x 0 )  N  ( x *) .
Figura 2: Punto de equilibrio estable. Elaboración propia.
En otras palabras, dado   0 , existe   0 tal que si
x 0 − x *    t ( x 0 ) − x *   ,
para todo t  0 .
Definición 1.4.
Un punto de equilibrio x * es inestable si no es estable.
Figura 3: Punto de equilibrio inestable. Elaboración propia.
Definición 1.5.
Un punto de equilibrio x * es asintóticamente estable si es estable y existe   0 tal
que para todo x 0  N  ( x *) se tiene
lim t ( x0 ) = x * .
t→
Figura 4: Punto de equilibrio asintóticamente estable. Elaboración propia.
En otras palabras, las trayectorias que inician suficientemente cerca de x * no solo deben
permanecer cerca, al final deben aproximarse a x * cuando t →  .
1.5. Primer método de Liapunov
Este método también es llamado el método indirecto de Liapunov. No se requiere
encontrar funciones de Liapunov.
1.5.1 Sistemas lineales
Primero vamos a estudiar los puntos de equilibrio en sistemas lineales
x = Ax
en
2
…(2)
.
Recordemos en sistemas de 2 el plano donde se encuentran las soluciones se llama
plano fase y que al conjunto de trayectorias solución se le conoce como retrato fase.
En cada uno de los siguientes casos se tiene al origen como punto de equilibrio.
Caso 1. Autovalores reales y del mismo signo. Se tienen a su vez dos casos:
i. Fuente o nodo inestable (autovalores positivos). Las trayectorias del sistema inician
cerca del origen y se alejan de él en diferentes direcciones.
Figura 5: Fuente o repulsor. Elaboración propia.
ii. Sumidero o nodo estable (autovalores negativos). Las trayectorias del sistema con
condición inicial fuera del origen se acercan a él en diferentes direcciones.
Figura 6: Sumidero o atractor. Elaboración propia.
Caso 2. Autovalores reales y de signo contrario. En este caso, el origen es llamado un
Punto silla, en el cual las trayectorias del sistema con condición inicial fuera del origen
se acercan un poco a él y después de alejan.
Figura 7: Punto silla. Elaboración propia.
Caso 3. Autovalores complejos ( 1,2 =   i ). Se presentan a su vez varios casos:
i. Focos (autovalores con parte real diferente de cero).
a) Parte real negativa e imaginaria positiva: las trayectorias con condición inicial fuera
del origen se dirigen a él girando en sentido horario.
Figura 8: Foco Estable. Las trayectorias se dirigen al origen en sentido horario.
Elaboración propia.
b) Parte real e imaginaria positivas: Las trayectorias surgen en un punto cercano al
origen y se alejan de él girando en sentido horario.
Figura 9: Foco inestable. Las trayectorias se alejan del origen en sentido horario.
Elaboración propia.
c) Parte real e imaginaria negativas: Las trayectorias con condición inicial fuera del
origen se dirigen a él girando en sentido antihorario.
Figura 10: Foco estable. Las trayectorias se dirigen al origen en sentido antihorario.
d) Parte real positiva e imaginaria negativas: Las trayectorias surgen en un punto
cercano al origen y se alejan del él girando en sentido antihorario.
Figura 11: Foco inestable. las trayectorias se alejan del origen en sentido antihorario.
Elaboración propia.
ii. Centro (autovalores con parte real igual a cero). Las trayectorias tienen forma elíptica
o circular, se distinguen por el sentido de giro:
a) Centro con giro en sentido antihorario. Si la parte imaginaria es negativa.
Figura 12: Centro con giro en sentido antihorario. Elaboración propia.
b) Centro con giro en sentido horario. Si la parte imaginaria es positiva.
Figura 13: Centro con giro en sentido horario. Elaboración propia.
Observación 1. Si uno o ambos de los autovalores es cero (es decir det A = 0 ), el origen
es llamado un punto de equilibrio degenerado de (2).
Observación 2. De acuerdo a los retratos de fase presentados concluimos que un nodo
estable o foco estable es un punto de equilibrio asintóticamente estable; un nodo inestable,
un foco inestable o un punto silla es un punto de equilibrio inestable; y un centro de un
sistema lineal en 2 es un punto de equilibrio estable, pero no asintóticamente estable.
Observación 3. Cuando t →  :
i. Si los autovalores tienen parte real negativa, las trayectorias se aproximan a
x* = 0 .
ii. Si la parte real es cero, las trayectorias permanecen acotadas, pero no se
aproximan a x* = 0 .
iii. Si los autovalores tienen parte real positiva, las trayectorias tienden al infinito.
Con las definiciones presentadas y las observaciones, podemos resumir lo estudiado en
la siguiente tabla:
Autovalores
Tipo de punto de equilibrio
Estabilidad
1  2  0
Fuente
Inestable
1  2  0
Sumidero
Asintóticamente estable
1  0  2
Nodo silla
Inestable
1,2 =   i ;   0
Foco inestable
Inestable
1,2 =   i ;   0
Foco estable
Asintóticamente estable
1,2 = i
Centro
Estable
det A = 0
Degenerado
Degenerada
Tabla 1: Estabilidad en sistemas de ℝ2 . Elaboración propia.
Podemos afirmar la estabilidad de un sistema n-dimensional mediante el siguiente
teorema.
Teorema 1.1.
Cada solución x = x(t ) es
i.
estable si todos los autovalores de A tienen parte real negativa.
ii.
inestable si al menos un autovalor de A tiene parte real positiva.
1.5.2. Sistemas no lineales
El primer método de Liapunov hace uso de lo que ya se ha estudiado sobre la
Linealización de un sistema no lineal y en particular se basa el en Teorema de HartmanGrobman. Recordemos lo que nos dice este último teorema.
Teorema 1.2. (Hartman-Grobman)
Sea E un conjunto abierto de n que contiene al origen, sea f  C1 ( E ) , y sea  t el
flujo del sistema no lineal (1). Suponga que f (0) = 0 y que la matriz A = Df (0) no
tiene autovalores con parte real cero. Entonces existe un homeomorfismo H de un
conjunto abierto U que contiene el origen sobre un conjunto abierto V que contine el
origen tal que para cada x0 U , existe un intervalo abierto I 0  que contiene el
cero tal que para cada x0 U y t  I 0
H t ( x 0 ) = e At H ( x 0 ) ;
es decir, H mapea trayectorias de (1) cerca al origen sobre (2) cerca al origen y preserva
la parametrización por el tiempo.
En otras palabras, este Teorema nos dice que el comportamiento local de un sistema no
lineal alrededor de un punto de equilibrio hiperbólico, es cualitativamente el mismo que
el de su linealización alrededor de dicho punto de equilibrio. Este hecho nos conduce al
siguiente teorema el cual se aplica para un sistema no lineal en n :
Teorema 1.3. (Primer método de Liapunov).
Sea x* = 0 un punto de equilibrio del sistema autónomo no
f : E → n es una función continuamente diferenciable y E 
origen.
Sea entonces
 f1 f1
 x x
2
 1
 f 2 f 2
A( x) = Df ( x* = 0 ) =  x1 x2


 f n f n
 x1 x2
lineal x = f (x) donde
n
es una vecindad del
f1 
xn 

f 2 
xn 
,



f n 
xn  x*=0
luego:
i. El origen es asintóticamente estable, si todos los autovalores de A tienen parte real
negativa.
ii. El origen es inestable, si al menos un autovalor de A tiene parte real positiva.
2. Funciones de Liapunov
2.1. Introducción
Como ya se ha visto anteriormente, se ha analizado la estabilidad tanto de los sistemas
lineales como de los sistemas no lineales, por lo cual se vio que el tema de linealización
nos ayuda a estudiar de cómo es el comportamiento de los puntos de equilibrio, sin
embargo, cuando el punto de equilibrio es un centro no se puede asegurar de qué tipo de
estabilidad tiene, para estos casos se procede a estudiar la estabilidad de los sistemas no
lineales de una región alrededor de este punto. Una de las técnicas para estudiar la
estabilidad, es el uso de las funciones de Liapunov, pero estás tienen una cierta
particularidad, ya que no existe un método general de que una función es de Liapunov,
por ello en este tema se requiere habilidad para realizar dicha búsqueda. Por ello en esta
sección se hablará sobre estas funciones, así como sus características para garantizar el
tipo de estabilidad que tienen los sistemas, donde también veremos algunos métodos que
nos dirán de que funciones pasan a ser candidatas para una función de Liapunov.
Una función V : n →
función de Liapunov.
que satisface las hipótesis del teorema siguiente se llama
Teorema 2.1.
Sea E un subconjunto abierto de n que contiene a x * . Supongamos que f  C1 ( E )
y que f (x*) = 0 . Supongamos además que existe una función de variable real
V  C1 ( E) que satisface V (x*) = 0 y V ( x)  0 sí x  x * .
Entonces:
(a) Si V ( x)  0 para todo x  E , x * es un punto de equilibrio estable.
(b) Si V ( x)  0 para todo x  E − {x*} , x * es un punto de equilibrio
asintóticamente estable.
(c) Si V ( x)  0 para todo x  E − {x*} , x * es un punto de equilibrio inestable.
Observación:
Para determinar si la función V es definida positiva, definida negativa, semidefinida
positiva o semidefinida negativa, podemos ayudarnos de la siguiente definición.
Definición 2.1
Sea V : D → un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio
D  n que contiene a x * , entonces:
▪ V ( x) es una función definida positiva si V (x*) = 0 y V ( x)  0 en D − x * .
▪ V ( x) es una función semidefinida positiva si V (x*) = 0 y V ( x)  0 en D .
▪ V ( x) es una función definida negativa si −V ( x) es definida positiva.
▪ V ( x) es una función semidefinida negativa si −V ( x) es semidefinida positiva.
Dicho todas estas definiciones, surge la siguiente definición de cuando una función de
Liapunov puede ser estricta.
Definición 2.2.
Una función V ( x) definida positiva con V ( x) semidefinida negativa se llama Función
de Liapunov para x * ; si además se cumple que V ( x) es definida negativa, se le llama
Liapunov estricta con relación a x * .
Como se vio que V ( x) es una función escalar continuamente diferenciable, es decir,
posee la derivada del cual podemos dar la siguiente definición de cómo aplicar la derivada
a una función de Liapunov.
Definición 2.3.
Si f  C1 ( E ) , V  C1 ( E) y  t es el flujo de la ecuación diferencial (1), entonces para
x  E la derivada de la función V ( x) a lo largo de la solución t ( x) es
V ( x) =
d
V (t ( x) ) = DV ( x)f ( x)
dt
t =0
siguiendo la regla de la cadena.
De esta última definición debemos de percatarnos que cuando siempre hacemos uso de la
derivada a una función debemos tener presente que en algún momento esta derivada nos
puede dar un valor nulo, y en el caso de que sea una función de Liapunov, daremos la
siguiente observación que es un resultado muy importante cuando se presenta este tipo de
casos.
Observación 2.1.
Si V ( x) = 0 para todo x  E entonces las trayectorias del sistema x = f (x) están sobre
las superficies en
n
(o curvas en
2
) definidas por
V ( x) = c
Entonces, para poder sustentar mejor todas las definiciones dadas y esta última
observación procedemos a realizar los siguientes ejemplos.
Ejemplo 2.1.
Considere el siguiente sistema no lineal
 x  = − x 3
1
2

 x2 = x13
y sea la función de Liapunov V ( x) = x14 + x2 4 para el sistema no lineal. Probar que el
origen es un punto de equilibrio estable.
Solución
Primera forma: Utilizando el primer método de Liapunov.
0
− x 3 
Se tiene como punto de equilibrio a x* =   y f (x) =  32  , entonces calcularemos la
0
 x1 
matriz Jacobiana de la función f ( x) , teniendo entonces que:
 f1
 x
A( x) =  1
 f 2
 x
 1
f1 
x2   0
=
f 2  3 x12
x2 
−3x2 2 

0 
por lo cual evaluando la matriz jacobiana en el punto x * , se tiene lo siguiente,
0 0 
A(x*) = 
,
0 0 
calculando sus valores propios de esta matriz llegamos a conclusión de que 1 = 2 = 0 ,
por lo que se dice entonces que el origen es un centro.
Segunda Forma: Utilizando la función de Liapunov dada por el problema.
Tenemos que V ( x) = x14 + x2 4 , entonces calculando la deriva de la función obtenemos
que,
V ( x) =
V  V 
 x1 +
 x2 → V ( x) = (4 x13 )  x1 + (4 x23 )  x2
x1
x2
y como x1 = − x23 , x2 = x13 reemplazando en la derivada, tenemos
V ( x) = (4 x13 )( − x23 ) + (4 x23 )( x13 ) = 0
entonces por la observación 2.1. se tiene que la solución del sistema no lineal está dada
por
x14 + x2 4 = c, c  0
donde geométricamente también se llega a la conclusión de que el origen es un centro.
Por ultimo para poder verificar que los cálculos realizados en este problema, son correctos
de manera geométrica podemos observar, que en efecto el origen es un punto de equilibrio
estable y actúa como centro y su familia de soluciones está dado por la función de
Liapunov dada, tal como se muestra en las figuras 2.1. y 2.2.
Figura 2.1. Flujo del sistema no lineal. Elaboración propia.
Figura 2.2. Familia de soluciones del sistema no lineal
mediante la función de Liapunov. Elaboración propia.
Ejemplo 2.2.
Determine la estabilidad de los puntos de equilibrio del siguiente sistema.
 x  = x 2 − x 2 − 1
1
1
2

 x2 = 2 x2
Solución
Calculamos los puntos de equilibrio del sistema no lineal dado y analizar los puntos de
equilibrio mediante el primer método de Liapunov.
 x 2 − x2 2 − 1
Se tiene que f (x) =  1
 , entonces para encontrar los puntos de equilibrio de
2
x

2

sistema no lineal, debe tener qué f (x) =  , es decir,
 x12 − x2 2 − 1 0

 =  ,
2 x2

 0
Entonces
x12 − x2 2 − 1 = 0  2 x2 = 0 → x12 − x2 2 = 1  x2 = 0
del cual encontramos las curvas isóclinas x12 − x2 2 = 1  x2 = 0 y los puntos de equilibrio
son P0 (−1,0), P1 (1,0) .
Seguidamente calcularemos la matriz jacobiana de la función f (x) ,
 f1
 x
A( x) =  1
 f 2
 x
 1
f1 
x2   2 x1 −2 x2 
=
f 2   0
2 
x2 
por lo cual determinaremos como son los autovalores de la matriz jacobiana para cada
punto de equilibrio.
▪
 −1
Para el punto x* =   , se tiene que
0
 −2 0 
A(x*) = 
,
 0 2
entonces sea su polinomio característico P ( ) = A(x*) −  I tal que
−2 − 
0
= (−2 −  )(2 −  ) = 0 → 1 = −2, 2 = 2,
0
2−
 −1
se obtuvo que 2  1 por lo tanto decimos que punto de equilibrio x* =   , es
0
un punto silla.
▪
1 
Para el punto x* =   , se tiene que
0
2 0
A(x*) = 
,
0 2
entonces sea su polinomio característico P ( ) = A(x*) −  I tal que
2−
0
= (2 −  ) 2 = 0 → 1 = 2 = 2,
0
2−
1 
se obtuvo que 2 = 1  0 por lo tanto decimos que punto de equilibrio x* =   ,
0
es un nodo inestable o una fuente.
En la siguiente figura 2.3. nos muestra que en efecto los puntos de equilibrio encontrados
verifican las condiciones dadas en la resolución.
Figura 2.3. Flujo del sistema no lineal, indicando sus puntos de equilibrio.
Elaboración propia.
Nota: Como se vio en los ejemplos anteriores, la función ya nos la daban de manera
determinada, pero en este caso podemos cuestionarnos la pregunta de cómo podemos
obtener una función de Liapunov y en la siguiente sección veremos los métodos que nos
ayuden a determinar una función de Liapunov, tal como se había mencionado en la parte
introductoria.
3. Métodos de búsqueda de Funciones de Liapunov
3.1. Método de Krasovskii
Teorema 3.1. (Método de Krasovskii)
Considere el sistema autónomo definido como x = f ( x) con punto de equilibrio en el
origen. Sea A( x) la matriz jacobiana del sistema, es decir,
f
A( x) = .
x
T
Si la matriz F = A + A es definida negativa en una vecindad  , entonces el punto
de equilibrio en el origen es asintóticamente estable.
Por cual una función de Liapunov del sistema es:
V ( x) = f T ( x)f ( x)
Demostración:
▪
Primero demostraremos que si f ( x) es definida negativa entonces la matriz
jacobiana A( x) es invertible.
Se probará que si F es definida negativa, entonces f ( x)  0 para x  0 .
Supongamos que A( x) no es invertible, es decir, A( x) es una matriz singular,
entonces existe un vector y0  n tal que
A( x) y0 =  .
Como F = A + A , multiplicamos por y0 el extremo derecho y y0T por el extremo
izquierdo, tenemos que
y0T F y0 = y0T ( A + AT ) y0 → y0T F y0 = 2 y0T A y0
...(*)
Por la ecuación (*), entonces tenemos que
y0T F y0 = 0
lo que contradice que F es una matriz definida negativa.
Como la matriz A( x) es invertible siendo esta la matriz jacobiana de f ( x) , se puede
garantizar que f ( x) es únicamente invertible, lo cual implica que el sistema tiene
solo un punto de equilibrio en  , es decir, que f ( x)  0 para x  0 .
T
▪
Para demostrar que el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable, se
debe llegar a que
V ( x)  0.
Entonces tomando que la función de Liapunov es: V ( x) = f T ( x)f ( x) , que por simple
producto de ambas matrices se tiene que V ( x) está conformado por una suma de
cuadrados entonces se dice que V ( x) es definida positiva.
Se sabe que f  = Af , entonces la derivada de V es escrita de la siguiente forma:
d
V ( x) = ( f T ( x)f ( x) ) = f T f + f T f  = f T AT f + f T Af
dt
V ( x) = f T ( A + AT ) f = f T F f
Como F es definida negativa entonces se tiene que
V ( x) = f T F f  0
Por lo tanto, queda demostrado que el origen es un punto de equilibrio
asintóticamente estable.
Ejemplo 3.1.
Considere el sistema no lineal
 x  = −6 x + 2 x
1
1
2

 x2 = 2 x1 − 6 x2 − 2 x23
Determine la función de Liapunov para este sistema no lineal, considerando el teorema
3.1.
Solución
Por simple observación tenemos que el origen es un punto de equilibrio, es decir,
0
x* =   .
0
Del sistema no lineal dado se tiene que,
 −6 x1 + 2 x2 
f ( x) = 
3
 2 x1 − 6 x2 − 2 x2 
Calculando la matriz jacobiana de f tenemos:
 f1
 x
A( x) =  1
 f 2
 x
 1
f1 
x2   −6
2

=
2
f 2   2 −6 − 6 x2 
x2 
y su transpuesta de esta matriz es la misma ya que es simétrica.
Por el teorema de Krasovskii, debemos encontrar la matriz F lo cual viene hacer lo
siguiente:
2
2
 −6
  −6

F = A + AT = 
+
2
2
 2 −6 − 6 x2   2 −6 − 6 x2 
4
 −12

F =
2
 4 −12 − 12 x2 
Entonces para determinar que la matriz F es definida negativa, por conceptos de
Álgebra Lineal, la matriz F será definida negativa si y solo si y  2 , se tiene que
yT F y  0
Sea,
a 
y =  
b 
2
Por lo que se tiene lo siguiente:
4
 −12
 a 
a 
yT F y =  a b  
=  −12a + 4b 4a − 12b − 12bx2 2   
2 
b 
 4 −12 − 12 x2  b 
y T F y = −12(a 2 + b 2 + b 2 x2 2 ) + 8ab
Solo falta comprobar que este resultado se menor que cero, por teoría de desigualdades
se sabe que (a − b) 2  0 , teniendo entonces que a2 + b2  2ab y a partir de este resultado
se tiene:
a 2 + b 2 + b 2 x2 2  2ab + b 2 x2 2  2ab  a 2 + b 2 + b 2 x2 2  2ab
3(a 2 + b 2 + b 2 x2 2 )  6ab  2ab  3(a 2 + b 2 + b 2 x2 2 )  2ab
12(a 2 + b 2 + b 2 x2 2 )  8ab  2ab  −12(a 2 + b 2 + b 2 x2 2 )  −8ab
−12(a 2 + b 2 + b 2 x2 2 ) + 8ab  0
y así, F es definida negativa, entonces el origen es un punto de equilibrio asintóticamente
estable y la función de Liapunov para el sistema es:
V ( x) = f T ( x)f ( x) =  −6 x1 + 2 x2
 −6 x1 + 2 x2 
2 x1 − 6 x2 − 2 x23  
3
 2 x1 − 6 x2 − 2 x2 
V ( x) = ( −6 x1 + 2 x2 ) 2 + (2 x1 − 6 x2 − 2 x23 )
Verificando gráficamente en la siguiente figura 3.1., se tiene que en efecto el origen es u
punto asintóticamente estable.
Figura 3.1. Flujo del sistema no lineal. Elaboración propia.
3.2. Método del Gradiente Variable
El método del gradiente variable, es un camino formal para construir funciones de
Liapunov, este método consiste en asumir una cierta forma para el gradiente de una
función de Liapunov, y así encontrar la función de Liapunov por la integración del
gradiente. En sistemas de bajo orden, este método conduce a encontrar una función de
Liapunov, pero en sistemas de orden superior los cálculos se vuelven muy complicados.
La función escalar V ( x) está relacionada con su gradiente V por la integración
x
V ( x) =  Vdx
0
 V V
donde V = 
,
,
 x1 x2
,
V 
.
xn 
Con el fin de obtener una función única V ( x) del gradiente V , procedemos a obtener
la matriz jacobiana de este último resultado, realizando el siguiente producto de matrices,
  
 x 
 1
  
 V V
 V =  x2  
,
,
x1 x2





  
 xn 
,
V 
2
= V
xn 
que es lo mismo decir que:
  2V
 x 2
 1
  2V

 x2 x1
2
 V =   2V

 x3x1


  2V

 xn x1
 2V
x1x2
 2V
x1x3
 2V
x2 2
 2V
x2 x3
 2V
x3x2
 2V
x32
 2V
xn x2
 2V
xn x3
 2V 
x1xn 
 2V 

x2 xn 
 2V  .

x3xn 


2
V 

xn 2 
Donde se puede ver que la matriz jacobiana es una matriz simétrica, es decir,
Vi V j
=
x j
xi
...(3)
con i, j = 1, n , donde la i-ésima componente de Vi es solamente la derivada direccional
V
. Entonces para obtener una función de gradiente única, esta tiene que satisfacer la
xi
condición (3).
Lo principal de este método es asumir una forma específica para V , en lugar de hacerlo
para V ( x) . Una manera simple es asumir que la función gradiente es de la siguiente forma:
n
Vi =  aij x j
...(4)
j =1
donde los aij son coeficientes reales.
Esto nos conduce al siguiente procedimiento para la búsqueda de una función de
Liapunov V ( x) .
▪
▪
▪
▪
▪
Asumir que V está dado por la ecuación (4).
Resolver los coeficientes aij que satisfacen la ecuación (3).
Restringir los coeficientes en la ecuación (4) para que V ( x) sea definida negativa
(al menos localmente).
Calcular V ( x) de la integral de V .
Verificar que V ( x) es definida positiva.
Ejemplo 3.2.
Considere el siguiente sistema no lineal
 x  = −2 x
1
1

 x2 = −2 x2 + 2 x1x2 2
Probar que el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable al menos
localmente y encuentre una función de Liapunov para el sistema dado.
Solución
Como el problema ya nos especifica que el origen es un punto de equilibrio, entonces
seguiremos los pasos mencionados recientemente para encontrar una función de
Liapunov.
Asumimos que el gradiente de la función de Liapunov por la ecuación (4) está dado por:
V1 = a11 x1 + a12 x2
V2 = a21 x1 + a22 x2
donde para encontrar los coeficientes a11, a12 , a21, a22 se debe tener en cuenta la ecuación
(3), es decir, se debe verificar que
Vi V j
=
, i, j = 1, 2
x j
xi
para ello tomamos los siguientes valores:
a11 = a22 = 1; a12 = a21 = 0
quedando,
V1 = x1
V2 = x2
lo cual verifica la ecuación (3), es decir,
V1 V2
x x
=
 1= 2
x2
x1
x2 x1
Ahora debemos verificar que V ( x) sea definida negativa, como se tenía que
x
V ( x) =  Vdx
0
utilizando el teorema fundamental del cálculo tenemos lo siguiente:
V ( x) = V  x = (V1 , V2 )  ( x1 , x2 ) = ( x1 , x2 )  (−2 x1 , −2 x2 + 2 x1 x2 2 )
V ( x) = −2 x12 − 2 x2 2 + 2 x1 x23 = −2 x12 − 2 x2 2 (1 − x1 x2 )
entonces para que V ( x) sea definida negativa se debe tener la siguiente restricción
(1 − x1x2 )  0 , es decir, x1 x2  1 .
Así, la función de Liapunov es:
x12 x2 2 x12 + x2 2
V ( x) =  x1dx1 +  x2dx2 =
+
=
2
2
2
0
0
x1
x2
del cual verificamos como último paso que V ( x) es definida positiva.
Por lo que entonces se tiene que el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable
donde una región está comprendida por x1 x2  1 .
Lo cual se puede verificar gráficamente en la siguiente figura 3.2., el cual nos muestra,
que en efecto el origen será un punto de equilibrio asintóticamente estable en la región
mencionada recientemente.
Figura 3.2. Flujo del sistema no línea indicando la región el que el origen
es un punto de equilibrio asintóticamente estable. Elaboración propia.
3.3. Función de Liapunov de Forma Cuadrática
Teorema 3.2.
La función de Liapunov
V ( x, y) = ax2 + bxy + cy 2
es definida positiva si y solo si a  0  4ac − b2  0 y es definida negativa si y solo
si a  0  4ac − b2  0 .
Ejemplo 3.3.
Considere el siguiente sistema no lineal
 x = − x3 + xy 2

 y = −2 x 2 y − y 3
Probar que el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable y encuentre una
función de Liapunov para el sistema dado.
Solución
Entonces por el teorema 3.2., suponemos que la función de Liapunov es:
V ( x, y) = ax2 + bxy + cy 2
cuya derivada es el siguiente:
V ( x, y ) =
V
V
x +
y = (2ax + by ) x + (2cy + bx) y
x
y
Donde x, y , tiene por equivalencia a la forma de nuestro sistema no lineal, es decir,
x = − x3 + xy 2 ; y = −2 x 2 y − y 3
entonces reemplazando en nuestra ecuación anterior, se tiene que la derivada de la función
V ( x, y) sería lo siguiente:
V ( x, y) = (2ax + by)(− x3 + xy 2 ) + (2cy + bx)(−2 x2 y − y3 )
V ( x, y) = −2ax4 + 2ax2 y 2 − bx3 y + bxy3 − 2bx3 y − bxy3 − 4cx2 y 2 − 2cy 4
V ( x, y) = −2ax4 − 3bx3 y + (2a − 4c) x2 y 2 − 2cy 4
Entonces para que V ( x, y) sea definida positiva, se tiene que a  0 y 4ac − b2  0 . Si
tomamos que b = 0 , se tiene que c  0 y
V ( x, y) = −2ax4 + (2a − 4c) x2 y 2 − 2cy 4
y como queremos probar que el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable,
se debe llegar a qué V ( x)  0 , entonces de la ecuación visto recientemente se puede
concluir lo siguiente:
2a − 4c  0  a  2c
entonces podemos tomar los valores de que a = 1 y c = 1 .
Teniendo entonces que la función de Liapunov para nuestro sistema no lineal es:
V ( x, y ) = x 2 + y 2
y así el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable.
Gráficamente se puede observar en la siguiente figura 3.3., que en efecto el origen es un
punto de equilibrio asintóticamente estable.
Figura 3.3. Flujo del sistema no lineal. Elaboración propia.
4. Conclusiones
▪
▪
▪
▪
▪
La teoría de estabilidad de Liapunov tiene aplicaciones importantes en el área de
Sistemas de Control, puesto que contribuye a cumplir su objetivo principal, es decir,
permite diseñar sistemas estables y robustos a lo largo del tiempo frente a
perturbaciones y errores en los modelos.
Para aplicar el primer método de Liapunov no es necesario encontrar funciones de
Liapunov, el análisis pasa por estudiar los puntos de equilibrio de forma local por
medio de la linealización del sistema.
Hay tres tipos de puntos de equilibrio: estables, inestables y asintóticamente
estables. En los sistemas lineales solo encontraremos puntos puramente estables
cuando se traten de centros (cuando la parte real de los autovalores de la matriz
asociada al sistema sean cero).
El Teorema de Hartman-Grobman nos asegura que el comportamiento local de un
sistema no lineal alrededor de un punto de equilibrio hiperbólico, es
cualitativamente el mismo que el de su linealización alrededor de dicho punto de
equilibrio.
Los gráficos realizados en MATLAB nos ayudaron a corroborar de como actúa el
flujo de un sistema no lineal, frente a un punto de equilibrio encontrado en el que
se puede ver que los cálculos realizados eran los correctos.
5. Recomendaciones
▪
▪
▪
Para tener un mejor entendimiento de la estabilidad de un sistema no lineal es
factible estudiar de manera local el comportamiento del sistema lineal asociado
alrededor de los puntos de equilibrio.
Además de realizar un estudio analítico, es recomendable usar algún software
matemático para visualizar el comportamiento de sistemas lineales y no lineales en
torno a sus puntos de equilibrio.
Conocer la teoría básica de como son los retratos de fase cuando se tiene un sistema
de ecuaciones diferenciales homogéneos con coeficientes constantes, el cual
constituye una pieza clave para realizar el análisis de sistemas de ecuaciones
diferenciales no lineales.
6. Apéndice. Código realizado en MATLAB
Incluimos en este apéndice un extracto del código realizado en MATLAB el cual fue
utilizado para generar los gráficos más relevantes del presente trabajo.
Código correspondiente a la figura 2.1 y 2.2
%% LIMPIEZA DE VETANA Y ELEMINACIÓN DE VARIABLES
clc; clear all; close all;
%% Tamaño de la ventana "MODIFICABLE"
ax = -8; bx =8;
ay = -8; by =8;
[X,Y] = meshgrid(ax:0.5:bx,ay:0.5:by);
%% INSERTAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL SISTEMA NO LINEAL
dXdt = -Y.^3;
dYdt = X.^3;
%% SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE E.D. NO LINEALES (FLUJO)
Grafi = streamslice(X,Y,dXdt,dYdt);
set(Grafi,'Color',[120/250,120/250,120/250])
grid on
%% PUNTOS DE EQUILIBRIO
hold on
plot(0,0,'or','Linewidth',4) %Punto de Equilibrio
%% CURVAS MEDIANTE LA FUNCIÓN DE LIAPUNOV
m = ax:0.01:bx;
n = ay:0.01:by;
[M,N] = meshgrid(m,n);
Z = M.^4 + N.^4;
hold on
contour(M,N,Z,8,'Linewidth',1.5)
%% DETALLLES PARA EL GRÁFICO
title('RETRATO DE FASE')
xlabel('\bf x1(t)')
ylabel('\bf x2(t)')
axis([ax,bx,ay,by]) %EJES LIMITADOS
Código correspondiente a la figura 2.3
%% LIMPIEZA DE VETANA Y ELEMINACIÓN DE VARIABLES
clc; clear all; close all;
%% Tamaño de la ventana "MODIFICABLE"
ax = -8; bx =8;
ay = -8; by =8;
[X,Y] = meshgrid(ax:0.5:bx,ay:0.5:by);
%% INSERTAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL SISTEMA NO LINEAL
dXdt = X.^2 - Y.^2 - 1;
dYdt = 2*Y;
%% SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE E.D. NO LINEALES (FLUJO)
Grafi = streamslice(X,Y,dXdt,dYdt);
set(Grafi,'Color',[120/250,120/250,120/250])
grid on
%% PUNTOS DE EQUILIBRIO
hold on
plot(-1,0,'ob','Linewidth',4) %Punto de Equilibrio
plot(1,0,'or','Linewidth',4) %Punto de Equilibrio
%% DETALLLES PARA EL GRÁFICO
title('RETRATO DE FASE')
xlabel('\bf x1(t)')
ylabel('\bf x2(t)')
axis([ax,bx,ay,by]) %EJES LIMITADOS
Código correspondiente a la figura 3.1
%% LIMPIEZA DE VETANA Y ELEMINACIÓN DE VARIABLES
clc; clear all; close all;
%% Tamaño de la ventana "MODIFICABLE"
ax = -8; bx =8;
ay = -8; by =8;
[X,Y] = meshgrid(ax:0.5:bx,ay:0.5:by);
%% INSERTAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL SISTEMA NO LINEAL
dXdt = -6*X + 2*Y;
dYdt = 2*X - 6*Y -2*Y.^3;
%% SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE E.D. NO LINEALES (FLUJO)
Grafi = streamslice(X,Y,dXdt,dYdt);
set(Grafi,'Color',[120/250,120/250,120/250])
grid on
%% PUNTOS DE EQUILIBRIO
hold on
plot(0,0,'or','Linewidth',4) %Punto de Equilibrio
%% DETALLLES PARA EL GRÁFICO
title('RETRATO DE FASE')
xlabel('\bf x1(t)')
ylabel('\bf x2(t)')
axis([ax,bx,ay,by]) %EJES LIMITADOS
Código correspondiente a la figura 3.2
%% LIMPIEZA DE VETANA Y ELEMINACIÓN DE VARIABLES
clc; clear all; close all;
%% Tamaño de la ventana "MODIFICABLE"
ax = -8; bx =8;
ay = -8; by =8;
[X,Y] = meshgrid(ax:0.5:bx,ay:0.5:by);
%% INSERTAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL SISTEMA NO LINEAL
dXdt = -2*X;
dYdt = -2*Y + 2*X.*Y.^2;
%% SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE E.D. NO LINEALES (FLUJO)
Grafi = streamslice(X,Y,dXdt,dYdt);
set(Grafi,'Color',[120/250,120/250,120/250])
grid on
%% PUNTOS DE EQUILIBRIO
hold on
plot(0,0,'or','Linewidth',4) %Punto de Equilibrio
%% REGIÓN RESTRINGIDA
x = ax:0.01:bx;
y = x.^(-1);
hold on
plot(x,y,'-r','Linewidth',1)
%% DETALLLES PARA EL GRÁFICO
title('RETRATO DE FASE')
xlabel('\bf x1(t)')
ylabel('\bf x2(t)')
axis([ax,bx,ay,by]) %EJES LIMITADOS
Código correspondiente a la figura 3.3
%% LIMPIEZA DE VETANA Y ELEMINACIÓN DE VARIABLES
clc; clear all; close all;
%% Tamaño de la ventana "MODIFICABLE"
ax = -8; bx =8;
ay = -8; by =8;
[X,Y] = meshgrid(ax:0.5:bx,ay:0.5:by);
%% INSERTAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL SISTEMA NO LINEAL
dXdt = -X.^3 + X.*Y.^2;
dYdt = -2*X.^2.*Y - Y.^3;
%% SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE E.D. NO LINEALES (FLUJO)
Grafi = streamslice(X,Y,dXdt,dYdt);
set(Grafi,'Color',[120/250,120/250,120/250])
grid on
%% PUNTOS DE EQUILIBRIO
hold on
plot(0,0,'ob','Linewidth',4) %Punto de Equilibrio
%% DETALLLES PARA EL GRÁFICO
title('RETRATO DE FASE')
xlabel('\bf x(t)')
ylabel('\bf y(t)')
axis([ax,bx,ay,by]) %EJES LIMITADOS
7. Referencias Bibliográficas
Libros
[1] Perko, L., (2000). Differential Equations and Dynamical Systems. Estados Unidos:
Springer-Verlag, Nueva York.
[2] Muñoz, F., G., A,. (2017). Fundamentos y Problemas Resueltos de teoría cualitativa
de ecuaciones diferenciales. Madrid: Ediciones Paraninfo.
Sitios web
[1] Catsigeras, E. (1998). TEORIA CUALITATIVA DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES. ARCHIVOS PDF.
https://www.fing.edu.uy/~eleonora/cualitativo/cual4.pdf
[2] Yepez Rivera, M. A. (2013, mayo). Funciones de Lyapunov y Algunas Aplicaciones.
Universidad Veracruzana. https://documen.site/download/funciones-de-lyapunov-yalgunas-aplicaciones_pdf