Andrade y Espitia,

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA II
GUÍA PRÁCTICA
Maricarmen Andrade.
Robert Espitia.
Caracas, Venezeula
Septiembre, 2018.
Introducción
Las diversas prácticas que se presentan en este material, están dirigidas a los estudiantes
del curso de Matemática II de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela.
En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biologı́a, Geoquı́mica, Quı́mica,
Computación, Fı́sica y Matemática.
La presente guı́a práctica es el resultado de una recolección de ejercicios, tomados de varios textos de cálculo, como también de guı́as elaboradas por profesores que han dictado esta
asignatura anteriormente y su objetivo es proporcionar al estudiante una serie de ejercicios
variados que deberán resolver para reforzar la teorı́a vista durante el curso de Matemática II.
Este material fue elaborado con caracter experimental en al año 2009. En septiembre
del año 2018 se agregaron algunas prácticas de contenidos faltantes, por lo tanto, durante el
transcurso del semestre U-2018 será evaluado por los profesores, preparadores y estudiantes
de la asignatura para una posterior modificación en busca del mejoramiento del material.
Queremos agradecer a todos los profesores que han dictado el curso de Matemática II,
que han aportaron ideas y algunas recomendaciones para la realización de esta guı́a práctica.
Maricarmen Andrade.
Robert Espitia.
Septiembre 2018.
PRÁCTICA 1
Repaso de Lı́mites
Encuentre el lı́mite (si existe) de cada una de las siguientes expresiones:
z2 − 9
1. lim
z→−3 z + 3
√
2
3 4x + 4x − 3
2. lim1
4x2 − 1
x→ 2
√
9−t−3
3. lim
t→0
t
3x2 + 2x − 5
4. lim
x→∞
x2 − 4
√
√
5. lim ( x + 1 − x)
x→∞
x
6. lim
x→0 sen(3x)
1 − cos (x)
x→0
x
(
2
12. lim x sen
x→0
1
√
3
x
)
3x2
( )
13. lim
x→0 1 − cos2 x
2
(
( π ))
14. lim n sen
n→∞
n
15. limπ
x→ 4
sen(x) − cos(x)
1 − tan(x)
16. lim √
3
x→∞
17. lim √
x→−∞
x
+ 10
x3
3x
x2 + 1 + x
2
7. lim
csc(3x)
x→0 cot(x)
8. lim
x2 − 1
9. lim
x→1 |x − 1|
x + sen(x)
x→∞ x + cos(x)
10. lim
11. limπ
x→ 2
1 − sen(x)
1
π−x
2
tan(3x)
x→0
2x
18. lim
x−2
√
19. lim−
x→2 2 −
4x − x2
[[x]] − x
x→3
3−x
x
21. lim √
x→0
1 − cos(x)
20. lim−
tan(x) − sen(x)
x→0
x3
22. lim
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
√
23. lim x( x2 + 1 − x)
x→∞
cos(x)
x→∞
x2
24. lim
25. lim 5x(cos(x) − 2)
x→−∞
26. lim (sen(x) + x2 )
x→∞
[
( )]
1
1
27. lim
sen(x) + cos
x→∞ x + 1
x
x+5
+ x − 12
(
)x+2
1
29. lim 1 +
x→∞
x
28. lim
x→3 x2
e3x − 1
x→0
x
30. lim
√
31. lim
x→0
32. limπ
x→ 4
1 + tan(x) −
x3
√
1 − cot(x)
1 − tan(x)
sec(x) − sec(a)
x→a
x−a
33. lim
1
1 + sen(x)
PRÁCTICA 2
Repaso de Derivadas
1. Usando la definición de derivada calcule la derivada de las siguientes funciones:
(a) f (x) = 13x − 6
1
x
(e) f (x) = cos(x)
x+1
(f) f (x) =
x−1
(g) f (x) =
(d) f (x) =
(b) f (x) = sen(x)
1
(c) f (x) = √
x
√
x, x > 0
(h) f (x) = x3 + 7x
(i) f (x) =
x2
4 − x2
2. Recordando las reglas de derivación de la adición, sustracción, producto y cociente.
Halle la derivada de las siguientes funciones:
(a) f (x) =
sen(x) + cos(x) − e(x)
tan(x)
x2 ln(x)cos(x)
(b) f (x) =
7x2 − x1
(c) f (x) =
arctan(x)(1 + x2 )
arcsen(x)
(d) f (x) = x2 sen(x)cos(x)
(e) f (x) =
x 3 − x2 + 1
5
(f) f (x) =
√
x+
√
3
x+
(
(2x3 + 1)
(g) f (x) =
1
x
1
+2
x
)
1
x2
√
(h) f (x) = [ x + cos(x)]sec(x)
(i) f (x) =
sen(x)
1 + cos(x)
√
√
√
(j) f (x) = [ln(x)( 5 x3 + x + x−1 )] − ln(2 5)
3. Usando la regla de la cadena, halle la derivada de las siguientes funciones:
√
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1+x
f (x) =
1−x
(√
)
1 + sen(x)
f (x) = ln
1 − sen(x)
(
)
1 + x2
f (x) = ln
1 − x2
f (x) = e(x) ln(sen(x))
( 3
)
2x − 5x
f (x) = arcsen
4
(f) f (x) = 2x2 e(x
2 +3)
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
√ ]2
[
(g) f (x) = sen2 (2x) − 2x
(h) f (x) = e(2
√
2+x2 )
tan(2x−1)
(i) f (x) = e
(j) f (a) =
( )
1
+ sen
x
4
sen(sec(a))
√
sec3 ( a3 + 1)
√
(k) f (x) = ln(2 51 − sen(16) + 4x) − e(75) +
(7x3 + 50)100
(l) f (x) = tan2 [ln(sen(x) + cos(x))] − sen(2x)
2
4. Usando la regla de una función elevada a otra función o bien el procedimiento usado
para la deducción de la misma, halle la derivada de las siguientes funciones:
(a) f (x) = 7(3x+1)
(e) f (x) = [cos(x)]sen(x)
(b) f (x) = xln(x)
(f) f (x) = [tan(x)]sec(x)
(c) f (x) = xx
(g) f (x)
(d) f (x) = [cos(x)]x
[tan(x) + arctan(x) −
=
arcsen(x)]tan(x)
5. En las siguientes funciones calcule la derivada indicada:
(a) y = ln
( 1+x )
1−x
; y ′′
(b) y = cos2 (x) + tan(x); y ′′
(
)
√
(c) y = arcsen x+1
; y ′′
2
(k) f (x) =
(l) f (x) =
(m) y =
√1 ;
x
√
f (4) (x)
2 − 3x2 ; f ′′ (x)
√x ;
x−1
y ′′
f ′′ (x)
(n) y =
3x
;
1−x
y ′′′
(e) f (x) = 3(x2 + 4x)2 (x − 3); f ′′ (x)
√
(
)
(f) f (x) = ln x + x2 + 4 ; f ′′ (x)
(o) y =
1
;
x−1
y ′′′
(p) f (x) =
2+3x
;
2−3x
(g) y = ln(cos(x)); y ′′′
(q) f (x) =
(1−x)2
;
x
(d) f (x) =
(h) y =
4
;
x2
(x+1)2
;
x
y ′′′
f ′′′ (x)
f ′′′ (x)
(r) f (x) = x(x − 1)3 ; f ′′′ (x)
(i) y = arctan(2x4 ); y ′′′
(s) y =
(j) f (x) = 3x4 − 2x2 + x − 5; f ′′′ (x)
√
(t) y = a2 ax; y (4)
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
x2
;
x+1
y (4)
3
PRÁCTICA 3
Lı́mite por Definición
1. En cada uno de los siguientes casos demuestre la igualdad usando la definición de
lı́mite. Justifique su respuesta.
√
√
(a) lim (4x − 1) = 11
(n) lim
(b) lim x2 = 4
|x|
(o) lim−
= −1
x→0
x
√
(p) lim ( 3 x − 1 + 1) = 0
x→3
x→2
8
=2
x→7 x − 3
√
(d) lim+ 5t = 0
(c) lim
t→0
1
1
=
3x
6
2
x − 25
lim
= −10
x→−5 x + 5
x2 − 7x + 12
1
lim
=−
x→3
2x − 6
2
2
lim (5 − x − x ) = −1
x→−3
√
lim x + 5 = 3
(e) lim
x→2
(f)
(g)
(h)
(i)
x→a
x+2
5
=
x→3 x − 1
2
3
2
2x + 3x − 2x − 3
=5
(k) lim
x→1
x2 − 1
8x5 + 12x4
(l) lim
= 12
x→0
x4
√
(m) lim ( 2x − 4) = −2
a, siempre que a > 0
x→0
1
1
=
x→1
2
5−x
(r) lim− f (x) = −1 si
x→0
{
2x − 1 si x < 0
f (x) =
2x + 1 si x > 0
(q) lim √
5x − 1
5
=
x→∞ 2x + 1
2
10x
lim
= 10
x→−∞ x − 3
x2
lim 2
=1
x→∞ x + 3
x2
lim 2
=1
x→−∞ x + 1
1
lim −
= −∞
x→2
(x − 2)2
x−1
lim+ 2
=∞
x→2 x − 4
(s) lim
(t)
x→4
(j) lim
x=
(u)
(v)
(w)
(x)
x→2
2. Sean f y g funciones reales dadas tales que lim f (x) = L y lim g(x) = M . Usando la
x→a
x→a
definición de lı́mite, demuestre las propiedades siguientes:
(a) lim (f (x) + g(x)) = L + M
x→a
(b) lim (f (x) − g(x)) = L − M
x→a
(c) lim (f (x) · g(x)) = L · M
x→a
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
4
PRÁCTICA 4
Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy
1. Verificar si las siguientes funciones cumplen con las hipótesis del Teorema de Rolle. En
caso de cumplirlas obtener los valores c que satisfagan la conclusión del teorema.
2
(a) f (x) = x − x3 en
[−1, 0].
(f) f (x) = x − x 3 en
[−1, 1].
(b) f (x) = |x| − 1 en
[−1, 1].
(g) f (x) = sen(x) en
[0, 2π].
(c) f (x) = x3 + 5x2 − 6x en
[0, 1].
(d) f (x) = cos2 (x) en [− π4 , π4 ].
{
x + 3 si x ≤ 2
(e) f (x) =
7 − x si x > 2 en [−3, 7].
(h) f (x) = (x−1)(x−2)(x−3) en [1, 3].
(i) f (x) = 3x2 − 12x + 11 en [0, 4].
{ 2
x −5x+4
si x ̸= 1
x−1
(j) f (x) =
0
si x = 1 en [1, 4].
2
2. Sea f (x) = 5 + 3(x − 1) 3 .
(a) Calcule f (0) y f (2).
(b) Calcule f ′ (x).
(c) ¿Hay algún valor x en (0, 2) tal que f ′ (x) = 0?.
(d) ¿Cuál es la hipótesis del teorema de Rolle que falla?.
3. Demuestre que la ecuación −1 − 2x − x3 − 4x5 = 0 tiene exactamente una raı́z real.
4. Demuestre que la ecuación 2x − 1 − senx = 0 tiene exactamente una raı́z real.
5. Escribir la fórmula de Lagrange para la función f (x) = sen(x) en el intervalo [a, b] con
a < b.
6. Verificar si las siguientes funciones cumplen con las hipótesis del teorema de Lagrange.
En caso de cumplirlas obtener los valores c que satisfagan la conclusión del teorema.
(a) f (x) = x3 + 1 en [−2, 4].
4
en [1, 4].
(b) f (x) = x +
[2 ]
√ x
(c) f (x) = 3x − 2 en
,1 .
3
1
(d) f (x) =
en [0, 2].
(x − 1)2
2
(e) f (x) =
en [3.1, 3.2].
x−3
(f) f (x) = 2x − x2 en [0, 1].
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
2
(g) f (x) = x 3
en
[−8, 8].
(h) f (x) = x3 − 2x2 + x + 3
1
(i) f (x) = 1 − 3x 3
{
(j) f (x) =
2x + 3
en
[−1, 1].
[−8, −1].
en
si x < 3
15 − 2x si x ≥ 3 en [−1, 5].
5
7. Aplicando el teorema de Lagrange, demostrar las siguientes desigualdades. Haga un
dibujo para visualizar lo que está demostrando.
(a) ep (q − p) < eq − ep < eq (q − p)
si p < q.
(b) arctan(x2 ) − arctan(x1 ) < x2 − x1
x
(c)
≤ ln(1 + x) ≤ x si x ≥ 0.
1+x
1
(d) −1 < ln( 21 ) < − .
2
1 √
1
(e) < 66 − 8 < .
9
8
√
1
1
5
(f)
< 37 − 2 < .
18
16
x
(g) e ≥ 1 + x.
si x1 < x2 .
(h) |sen(x) − sen(y)| ≤ |x − y| si x, y ∈ R.
√
1
1
5
(i) √
(b − a5 ) < b − a < 4 (b − a5 ) si 0 < a5 < b.
5 4
5a
5 b
(j) ex > ex si x > 1.
(k) |sen(x)| ≤ x
si x ≥ 0.
(l) ny n−1 (x − y) ≤ xn − y n ≤ nxn−1 (x − y)
(m) x2 − x1 < arcsen(x2 ) − arcsen(x1 )
si 0 < y < x.
si −1 ≤ x1 < x2 ≤ 1.
8. Demuestre que las raı́ces cuadradas de dos números naturales consecutivos difieren en
menos de 0.5.
9. Calcule el valor de c para el cuál se tiene que (ln(c))′ es igual a la pendiente de la recta
que pasa por (1, 0) y (e, 1).
a+b
si f (x) = Ax2 + Bx + C en [a, b] con a < b.
2
10. Demuestre que c =
11. Verificar el teorema de Cauchy para las siguientes funciones. Obtener los valores de c
que satisfagan la conclusión del teorema.
(a) f (x) = x2 ,
g(x) = x3
(b) f (x) = ln(x),
g(x) = x
(c) f (x) = x3 + 5x2 + 6x,
(d) f (x) = e3x ,
en
g(x) = ex
(e) f (x) = 3x2 + 3x − 1,
(f) f (x) = sen(x),
[1, 2].
en
[1, 3].
g(x) = x
en
en
[0, 1].
[−1, 1].
g(x) = x3 − 4x + 2
g(x) = cos(x)
en
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
en
[0, 1].
[0, π].
6
PRÁCTICA 5
Regla de L’Hopital
Encuentre el lı́mite (si existe) de cada una de las siguientes expresiones. Asegúrese de
que es aplicable la regla de L’Hopital antes de utilizarla.
sen(x) − 2x
x→0
x
16. lim+
x − 2sen(x)
x→0
tan(x)
( ) x1
1
17. lim
x→∞
x
1. lim
2. lim
ln(x)
x2 − 1
√
x−x
4. lim
x→1 ln(x)
3. lim
x→1
x→0
ln(sen(x))
ln(tan(x))
x→0
8 x−1
√
3 x−1
2sen(x)
6. lim+ √
x→0
x
7. lim
x→0
tan(x) − sen(x)
x2 tan(x)
tan(x)
8. limπ
x→ 2 cot(x)
ln(x − 1)
9. lim+
x→2
(x − 2)2
2 − ex − e−x
x→0 1 − cos2 (x)
10. lim
−x
e − e − 2sen(x)
x→0
xsen(x)
x
11. lim
xln(x)
x→∞ x + ln(x)
12. lim
ln(x)
13. lim √
x→∞
x
ln(x)
x→∞ 2x
14. lim
2x3
x→0 ln(3x + ex )
15. lim
x→0
ln(ln(x))
x→∞
ln(x)
32. lim
1
18. lim (1x + 2x ) x
x→∞
1
33. lim x x
x→∞
2
19. lim+ (ex + x) x
34. lim+ (2x)x
20. lim (cos(x))cot(x)
35. lim
(cos(x))cot(x)
π−
2
x→0
x→0
√
5. lim+
ln(sen(x))
ln(sen(2x))
31. lim+
x→0
21. lim+ (sen(x))x
2
x→0
x→ 2
36. lim+ (xx )x
x→0
(
2
22. lim (cos(x)) x
x→0
37. lim
38. lim
π−
cos2 (3x)
cos2 (x)
x→∞
23. lim (x + e2x )
1
x
x→0
arcsen(x)
24. lim
x→0 3arctan(x)
ln(cos(3x))
25. lim
x→0
2x2
tan(x) − x
26. lim
x→0 sen(x) − x
ex − ln(1 + x) − 1
27. lim
x→0
x2
sen(x)
28. lim
x→0 x − tan(x)
2 + sec(x)
29. lim
π−
3tan(x)
x→ 2
)x
1
1+
x
x→ 2
(
39. lim+
x→0
(
40. lim+
x→2
1
1
− 2
2
x
x sec(x)
)
5
1
−
2
x +x−6 x−2
41. lim+ (tan(x)ln(x))
x→0
42. lim
π−
x→ 2
sec2 (x)
sec2 (3x)
(
43. lim+
x→0
1
1
−
sen(x) x
)
44. lim+ (2x − 1)(tan(πx))
x→ 12
3
2
x + 5x − 4
x→∞
xln(x)
30. lim
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
45. lim+ (arcsen(x)csc(x))
x→0
7
)
PRÁCTICA 6
Gráficas de Funciones
Realice el estudio completo de cada función y determine: dominio, rango, puntos de cortes
con los ejes, simetrı́a, puntos crı́ticos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximo(s) y mı́nimo(s), tipo de concavidad, ası́ntotas: vertical, horizontal y
oblicua (en caso de tenerla). Con la información que obtuvo trace la gráfica de la función:
1
4
11. f (x) = 6x4 − 8x3 + 1
1. f (x) = 4x 3 + x 3
21. f (x) = x + sen(x)
12. f (x) =
2 + x − x2
(x − 1)2
22. f (x) = e x
3. f (x) = 2 − (x − 3) 3
13. f (x) =
x2 + x + 4
x+1
23. f (x) = x2 e−x
√
4. f (x) = (4 − x) 3 x
14. f (x) = −
√
5. f (x) = (x + 3) x
15. f (x) =
x+1
x−1
25. f (x) = x2 e−x
16. f (x) =
2x
x2 + 1
e x−1
26. f (x) =
x−1
8
5
2
2. f (x) = x 3 − 2x 3 − 6x 3
1
1
2
6. f (x) = x 3 (6 − x) 3
4
(3 − x)2
24. f (x) =
2
ln |x|
x
1
7. f (x) =
2
x−3
17. f (x) = 2x +
8. f (x) =
1
2
x +x−6
18. f (x) =
2x3 − 5x2 + 4x
x2 − 2x + 1
28. f (x) = (1 + x2 )e−x
√
9. f (x) = x x − 3
19. f (x) =
1
(x + 1)2 (x − 1)
29. f (x) =
√
10. f (x) = x 3 4 − x
20. f (x) =
1
1
+ 2
x x
30. f (x) = x −
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
1
x2
1
27. f (x) = x ln |x|
1
1
2 + 3x
8
ln |x|
x
2
PRÁCTICA 7
Optimización: Problemas de Máximos y Mı́nimos
Consideremos la siguiente información:
1) Perı́metro de una figura geométrica: suma de las longitudes de todos los lados.
2) Áreas de figuras planas:
a) Cuadrado: A = x2
b) Rectángulo: A = xy
xy
c) Triángulo: A =
2
2
d) Cı́rculo: A = πr
(x + y)h
e) Trapecio: A =
2
3) Para triángulos rectángulos: h2 = x2 + y 2 (Teorema de Pitágoras)
4) Longitud de una circunsferencia: l = 2πr
5) Volumen de figuras tridimensionales:
a) Cubo: V = x3
b) Paralelepı́pedo: V = xyz
c) Cilindro: V = πr2 h
πr2 h
d) Cono: V =
3
4πr3
e) Esfera: V =
3
6) Área total de la superficie de figuras tridimensionales:
a) Cubo: A = 6x2
b) Paralelepipedo: A = 2xy + 2xz + 2yz
c) Cilindro: A = 2πr2 + 2πrh
√
d) Cono: A = πr2 + πr r2 + h2
e) Esfera: A = 4πr2
Resolver los siguientes problemas:
1. Hallar dos números reales cuya suma sea 18 y que el producto de uno por el cuadrado
del otro sea máximo.
R: x = 6; y = 12
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
9
2. Hallar dos números reales cuya diferencia sea 40 y el producto sea mı́nimo.
R: x = 20;
y = −20
3. Hallar dos números reales cuya suma sea 44 y cinco veces el cuadrado de uno más siete
77
55
veces el cuadrado del otro sea mı́nimo. R: x = ; y =
3
3
4. Un campesino tiene que hacer un corral de forma rectangular y cuenta para ello con
900 m de malla. Además, el corral va a estar pegado a un rı́o. Por lo tanto, él debe
cercar sólo tres lados del corral. Hallar la longitud que deben tener los lados del corral
para que su superficie sea lo más grande posible (con la malla que cuenta).
R: x = 225 m ; y = 450 m
5. Hallar las longitudes de una forma rectangular de área 36 cm2 para que sea cercado
por una valla de longitud mı́nima.
R: x = 6 cm; y = 6 cm
6. Se quiere construir un marco para una ventana que debe tener un área de 1 m2 . Cada
metro de altura vale 125 Bs. y cada metro de anchura 80 Bs. Hallar las dimensiones
4
5
del marco para minimizar su costo. R: x = m; y = m
5
4
7. Un granjero desea construir un potrero rectangular de 230.000 m2 de superficie. Uno
de los lados da a un precipicio. La cerca que irá del lado del precipicio cuesta 950 Bs.
por metro. El precio para los otros tres lados es de 1450 Bs. por metro.
√ Hallar las
5520000
dimensiones del potrero que minimizan el costo de la cerca. R: x =
m;
29
√
3335 5520000
y=
m
2760
29
8. Se dispone de una hoja de papel que mide 2 m2 para un cartel. Los márgenes superior
e inferior miden 0, 2 m cada uno y los márgenes laterales 0, 12 m cada uno. Hallar las
dimensiones de la hoja, para que el área de la parte impresa del cartel sea máxima.
√
√
R: x = 1, 66 1, 2 m; y = 1, 2 m
9. Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm2 de área, con márgenes de 2 cm
abajo y a los lados y 3 cm arriba. Encuentre las dimensiones de la página que permitan
√
√
la mayor área impresa. R: x = 5 30 cm; y = 4 30 cm
10. De todos los triángulos isósceles de 12 cm de perı́metro, hallar el que tiene área máxima.
R: x = 4 cm; y = 4 cm
11. En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 20 cm cada uno. Hallar la longitud
√
de la base para que el área sea máxima. R: x = 20 2 cm
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
10
12. Hallar entre todos los triángulos√rectángulos
√ con una hipotenusa de longitud h, el que
h 2
h 2
tiene área máxima. R: x =
;y=
2
2
13. Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con
uno de ellos un cı́rculo y con el otro un cuadrado. Hallar las longitudes de cada uno de
los trozos para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mı́nimo. R: Longitud del
π
4
alambre para el cuadrado=
m; Longitud del alambre para el cı́rculo=
m
π+4
π+4
14. Un alambre de 90 cm de largo se va a partir en dos pedazos. Uno de los pedazos se
doblará para formar un triángulo equilátero y el otro para formar un cı́rculo. Hallar
la longitud de cada uno de los pedazos para que la suma de las áreas de las dos figuras
sea máxima.
R: Longitud del alambre para el triángulo= 0 cm
15. Se va a partir un alambre de 36 cm de largo en dos pedazos. Uno de los pedazos se
doblará para formar un triángulo equilátero y el otro para formar un rectángulo dos
veces más largo que ancho. Hallar la longitud del alambre para que la suma de las
áreas de las dos figuras sea mı́nima y máxima.
R: Longitud del alambre para el
√
triángulo = 144 − 72 3 cm para que alcance un mı́nimo; Longitud del alambre para
el triángulo = 0 cm para que alcance un máximo.
16. Una ventana tiene forma de rectángulo coronado con un triángulo equilátero. El
perı́metro de la ventana es de 6m. Encuentre las dimensiones
√ del rectángulo que
√ per36 + 6 3
15 − 3 3
miten el mayor paso de luz (área máxima). R: x =
m; y =
m
33
11
17. Una ventana tiene forma de rectángulo coronado en la parte superior e inferior por
triángulos equiláteros. Si el perı́metro total de la figura√es p, hallar las√
dimensiones de
8+2 3
5−2 3
la figura para que su área sea máxima. R: x =
p; y =
p
52
26
18. Se quiere construir una caja (con tapa) de base cuadrada que tenga un volumen de 3m2 .
Encuentre las dimensiones de la caja que hacen que la cantidad de material utilizado
√
3
sea mı́nimo. R: x = 3 3 m; y = √
m
3
9
19. Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 12 cm de lado. Cortando cuadrados
iguales en las esquinas se construye una caja doblando los lados del cartón. Hallar las
dimensiones de los cuadrados cortados para que el volumen de la caja sea máximo.
R: x = 2 cm
20. Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una pieza
rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
11
en cada esquina y doblando los lados. Encuentre el lado del cuadrado para el cual se
obtiene una caja de volumen máximo.
R: x = 3 cm
21. Se quiere construir una lata de refresco, sin tapa, de base circular que tenga un volumen
de 4π m3 . Encuentre la altura de la lata para que el material utilizado sea mı́nimo.
√
R: h = 3 4 m
22. Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho
papel mide 9 cm, calcular la altura del cono que se forma para que su volumen sea
√
máximo. R: h = 3 3 cm
23. Un triángulo isósceles de perı́metro 30 cm gira alrededor de su altura obteniéndose un
cono. Hallar el valor de la longitud de la base del triángulo para que el volumen del
cono sea máximo.
R: b = 12 cm
24. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima con dos de sus vértices sobre el
eje x y los otros dos por encima del eje x sobre la gráfica de la parábola y = 6 − x2 .
√
R: x = 2 2 unidades; y = 4 unidades
25. Hallar el trapecio de mayor área que puede inscribirse en un semicı́rculo de radio 10 cm
√
teniendo como base inferior el diámetro. R: B = 20 cm; b = 10 cm; h = 5 3 cm
26. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en la elipse
√
√
x2 y 2
2
unidades;
y
=
4
2 unidades
+
=
4.
R:
x
=
6
32 22
27. Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo
√
inscrito en ella. R: h = 4 3 cm
28. Encuentre las dimensiones del cilindro circular de volumen máximo que puede inscribirse en un cono de 12 cm de altura y base de 4 cm de radio, suponiendo que los ejes
8
del cilindro y del cono coinciden. R: r = cm; h = 4 cm
3
29. Hallar
( el punto
) de la recta y = −x + 1 que está más cerca del punto (1,3).
1 3
R: − ,
2 2
30. Un hombre que está en el mar, puede remar a una velocidad de 3 Km/h y caminar al
doble de la velocidad. La costa es rectilı́nea. El punto más cercano de la costa es P y
se encuentra a una distancia de 10 Km del hombre. El hombre se dirige a un punto Q
de la playa que está a una distancia de 6 Km de P. Hallar el punto en que le conviene
desembarcar, para que llegue lo antes posible al punto Q. Calcular el tiempo que puede
tardar en llegar.
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
12
Sugerencia: La relación entre distancia recorrida (d ), velocidad
(v ) y tiempo (t) está
√
10 3
dada por: d=vt.
R: Le conviene desembarcar a
Km del punto P ; t =
3
√
5 3+3
h
3
31. Un barco B se encuentra situado a 90 Km al sur de un barco A. Si el barco A navega
hacia el este a 15 Km/h y el B lo hace hacia el norte a 20 Km/h. ¿En qué momento se
encuentran a la menor distancia?. ¿Cuál es la distancia?. Represente a Ai y Bi como
la posición del barco A y B, respectivamente, después de i horas. Utilizar la relación
√
72
d=vt. R: t =
h; d = 15 13 Km
25
32. Una tienda vende 100 neveras por semana a 4500 Bs. cada una. Una investigación de
mercadeo indica que por cada 100 Bs. de descuento que ofrezca la tienda, el número
de neveras se incrementará en 1000 por semana:
(a) Encuentre la función de demanda.
(b) ¿Cuán grande debe ser el descuento que ofrezca la tienda para maximizar su
ingreso?
(c) Si la función de costo semanal es C(x)=680000+1500x, ¿cuál tiene que ser la
magnitud del descuento para maximizar la utilidad?.
R: a) P (x) = 4510 −
x
;
10
b) d = 2245 Bs.;
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
c) d = 1495 Bs.
13
PRÁCTICA 8
Sucesiones
1. Para cada una de las siguientes sucesiones, halle la fórmula del término n-ésimo an , e
indique para que valor de n inicia dicha fórmula.
(a) 1, 3, 5, 7, ...
1 1 1
(b) 1, , , , ...
2 3 4
1 2 3 4
(c) , , , , ...
2 3 4 5
1 1 1
(d) 1, √ , √ , , ...
2 3 2
(e) 7, 9, 11, 13, ...
(f) −1, 0, 3, 7, ...
(k)
(g) 2, 6, 18, 54, ...
1 1 1 1
(h) , , , , ...
2 4 8 16
1 4 9 16
(i) , − , , − , ...
3 5 7
9
(j) 2, 4, 2, 4, ...
2
4
6
,
,
, ...
1·3 2·5 3·7
4 9 16
(l) 1, , , , ...
3 7 15
(m) −5, 10, −17, 26, ...
2 3 4
(n) −1, , − , , ...
3 5 7
2. Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre una losa de concreto.
Cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a
2
3
de la altura anterior. Determine
la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-ésimo rebote.
3. Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies durante
el primer segundo, 48 pies durante el segundo instante de tiempo, 80 pies durante el
tercero y ası́ sucesivamente. ¿Cuánto recorre el objeto durante el sexto segundo?
4. Determine la convergencia o divergencia de las sucesiones siguientes:
3n2
7n2 + 1
n2
(b) an =
n+1
(
)n
2
(c) an = 1 +
n
(a) an =
(d) an
(e) an
(f) an
(g) an
(h) an
(i) an
3 + (−1)n
=
n2
√
√
= n2 + n − n2 + 1
(
)
= n2 1 − cos( n1 )
√
3n2 + 2
=
2n + 1
2n
= n
3 +1
n
= (−1)n
n+2
2
(j) an = n n+1
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
e2n
n2 + 3n − 1
(
)n·m
√
3mn
(l) an = √
m
2m (n + 1)
(k) an =
n2
n+1
( 1 )n
n
(n) an = 4 + 3 2
(m) an =
1
(o) an = (2n) 2n
ln(2n)
(p) an =
ln(3n)
n
(q) an =
(n + 1) −
1
n+1
2
n 3 sen(n!)
(r) an =
n+1
−n
(s) an = e sen(n)
√
(t) an = n n2 + n
14
5. Sucesión de Fibonacci:
(a) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea
una nueva pareja, que es fértil al mes. Si comenzamos con una pareja de recién
nacidos. Demuestre que si F1 = 1 y F2 = 1, entonces la sucesión de Fibonacci
{Fn } = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...}, está dada por la fórmula recurrente:
Fn+1 = Fn + Fn−1 ,
n ≥ 3.
(b) Verifique que el término general de la sucesión es:
1
Fn = √
5
(
(
√ )n
√ )n
1+ 5
1
1− 5
−√
,
2
2
5
demostrando que esta expresión satisface la fórmula recurrente.
Fn+1
. Demuestre que:
(c) Sea fn =
Fn
fn−1 = 1 +
1
fn−2
.
(d) Sea {Fn } la sucesión de Fibonacci, dada en 5(b). Demuestre que:
√
Fn+1
1+ 5
lim
=
.
n→∞ Fn
2
6. Señale si las siguientes sucesiones son monótonas:
(a) an
(b) an
(c) an
(d) an
2n − 1
n
n−2
(f) an =
n+2
1
(g) an = 3
n
√
n+1
(h) an =
5n + 3
n2
= n , para cada n ≥ 3
2
1
=
3n + 5
2n
=
n!
(−1)n
=3+
n
(e) an =
7. Sean {an }, {bn } y {cn } sucesiones tales que lim an = lim cn = 1 y an ≤ bn ≤ cn , para
n→∞
n→∞
todo n. Demostrar que lim bn = 1.
n→∞
8. Calcule el lı́mite de las siguientes sucesiones:
{
}
√ √
√ √ √
√
(a)
2, 2 2, 2 2 2, ...
(b) an =
n2
n
n
n
+ 2
+ ... + 2
+1 n +2
n +n
)
(
1
2
, para n ≥ 1 y además, lim xn existe, entonces
9. Demuestre que si xn+1 =
xn +
n→∞
2 √
xn
√
la sucesión {xn } converge a 2 o bien a − 2.
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
15
10. Si a1 = 3 y an+1 =
1
, para todo n ≥ 1. Calcular lim an .
n→∞
an
11. Si {an } y {bn } divergen, ¿es cierto que {an + bn } diverge?.
12. Demostrar que si {an } es una sucesión convergente y {bn } es una sucesión tal que
an
bn ̸= 0, para todo n y lim bn = ∞, entonces lim
= 0.
n→∞
n→∞ bn
{ }∞
n!
13. Demostrar que la sucesión
converge a cero.
nn n=1
14. Utilice el teorema de sucesiones monótonas y acotadas para hacer un estudio de la
convergencia de las siguientes sucesiones:
{
(a)
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2n n!
}∞
{
(b)
n=1
n!
1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)
}∞
n=1
15. Demostrar las siguientes igualdades, aplicando la definición de lı́mite:
n+1
=1
n→∞ n − 2
2n2 − 1
=2
(b) lim
n→∞ (n + 1)(n + 2)
(a) lim
(2n + 1)3 − (2n − 1)3
=8
n→∞
3n2 + 1
(c) lim
16. Dada la sucesión {an } definida por an = arn−1 , donde a y r son constantes. Se define
la sucesión {Sn } por Sn = a1 + a2 + ... + an .
a − arn
.
1−r
(b) Demostrar que {Sn } converge si y sólo si |r| < 1.
(a) Deducir que Sn =
17. Demuestre que la sucesión, cuyo término general está dado por: bn =
∏n
k=1
√
2k
2,
converge a 2.
18. Consideremos la sucesión {an }, cuyo término general está dado por an =
1
2n−1
, con
n ≥ 1. Definamos la sucesión {Sn }, de la forma Sn = a1 + a2 + ... + an . Deduzca que:
1 − 21n
Sn =
.
1 − 21
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
16
PRÁCTICA 9
Fórmula de Taylor
1. Calcule en cada caso el polinomio de Taylor Pn (x) centrado en a = 0 (Polinomio de
Maclaurin), del grado indicado n y calcule el residuo Rn (x) :
(a) f (x) = e−x ; n = 5
(g) f (x) = e2x ; n = 4
(b) f (x) = sen(x); n = 3
1
(c) f (x) =
; n=5
1−x
(d) f (x) = tan(x); n = 4
(h) f (x) = (1 − x)− 2 ; n = 5
(e) f (x) = arctan(x); n = 2
√
(f) f (x) = 1 + x; n = 4
(k) f (x) = ln(1 + x); n = 4
1
(i) f (x) = sen(2x); n = 4
(j) f (x) = cos(x); n = 5
(l) f (x) = x3 − 3x2 + 5x − 7; n = 3
2. Encuentre la fórmula de Taylor y su respectivo error para cada una de las siguientes
funciones con los valores dados de a y n:
1
; a = −2 ; n = 5
x
(b) f (x) = cos(x); a = π4 ; n = 6
(a) f (x) =
(g) f (x) = xsen(x); a =
π
6
;n=5
(h) f (x) = ex ; a = 1 ; n = 3
(i) f (x) = ln(sen(x)); a =
π
6
;n=4
(c) f (x) = sec(x); a = π4 ; n = 3
√
(d) f (x) = 3 x; a = −8 ; n = 4
(j) f (x) = sen(x); a =
(e) f (x) = tan(x); a = π4 ; n = 3
√
(f) f (x) = x x; a = 4 ; n = 4
(k) f (x) = arctan(x); a = 1 ; n = 2
√
(l) f (x) = x; a = 2 ; n = 3
π
4
;n=3
3. Utilice un polinomio de Taylor (orden 2 para la primera columna y orden 3 para la
segunda columna) para calcular el valor aproximado de las siguientes expresiones y
estime el error de la aproximación:
(a)
√
65
√
e
√
(c) 3 9
(b)
(d) sen(89o )
(e) cos(47o )
(f) ln(1.25)
(g) sen(1o )
(h) tan(44o )
(i) cos(59o )
√
(j) 4 17
4. Determine el polinomio de Taylor de orden 3 alrededor del punto a = 1 para f (x) =
x3 − 2x2 + 3x + 5 y muestre que es una representación exacta de f (x).
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
17
PRÁCTICA 10
Método de la Tangente de Newton
1. Utilice el método de Newton para aproximar las raı́ces de las ecuaciones dadas, con
una precisión de cinco decimales. Comience por bosquejar una gráfica.
(a) x3 = −2 + sen(x)
(f) x3 − x2 + 1 = 0
(b) x4 + x2 − 2x + 3 = 0
(g) x4 + x2 − 3 = 0
(c) x3 − 3x = x2 − 1
(h) x2 = sen(x)
(d) ex = x + 2
(i) x4 = 2x + 1
(e) x3 + x − 1 = 0
(j) x + cos(x) = 0
2. Utilice el método de Newton para aproximar la raı́z de la ecuación que se da, con una
precisión de cinco decimales. Comience por bosquejar una gráfica.
(a) La mayor raı́z de x3 + 6x2 + 9x + 1 = 0
(b) La raı́z real de 7x3 + x − 5 = 0
(c) La raı́z más grande de x − 2 + 2cos(x) = 0
(d) Dos raices positivas y dos raices negativas más próximas a cero de cot(x) = x
(e) Una raı́z positiva y una raı́z negativa más próximas a cero de e−x − 2cos(x) = 0
(f) La raı́z positiva más pequeña de 2cos(x) − sen(x) = 0
(g) Todas las raı́ces reales de x4 + 6x3 + 2x2 + 24x − 8 = 0
(h) La raı́z positiva más pequeña de 2cot(x) = x
3. Use el método de Newton para encontrar una aproximación para el número dado, con
una precisión de cinco decimales.
(a)
√
10
√
(b) 1 + 5
√
(c) 4 47
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
(d)
(e)
√
3
√
5
4
2
18
PRÁCTICA 11
Integrales Indefinidas
1. Resuelva las siguientes integrales haciendo manipulaciones algebraicas y usando integración inmediata:
∫
(3x3 − 5x2 + 3x + 4)dx
(a)
∫
(l)
∫
(sen(x) + 7cos(x) − 1)dx
(b)
∫
(c)
∫
(d)
∫
2
√ dx
x
x3 − 2x2 − 4x
dx
x
(4x + 3)2 dx
(e)
∫
2x − 1
dx
2x
∫
√
√
(g) (2 x − 3 x − x4 )dx
)
∫ (
3 x
−
dx
(h)
x 3
∫
2ex + e2x
(i)
dx
ex
∫
2
(j)
dx
1 + x2
∫
(k) (4x + 2)(x − 1)dx
(f)
∫
ex (x − 1) − ex
dx
(x − 1)2
5x dx
)
∫ (
√
1
3
x+ √
dx
(n)
3
x
∫
√
√
(o) (x x + x 3 x)dx
∫
(xm − xn )2
√
dx
(p)
p
x
∫ 3
x − 3x2 + 1
√
(q)
dx
x
∫
(x2 + 1)(x2 − 2)
√
(r)
dx
3
x2
∫
ln(x) + ln(5)
dx
(s)
5xln(5x)
∫
(ax − bx )2
(t)
dx
(ab)x
∫
(u) (2x + sec(x)tan(x))dx
∫
dx
(v)
1 − sen(x)
(m)
2. Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:
∫
(a)
tan(x)dx
∫
(b)
∫
(c)
∫
(d)
∫
(e)
∫
x−1
√
dx
√
2x − x + 1
(f)
x+2
√
dx
2 x+2
(g)
e
x+1
dx
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
cos(ax + b)dx
sen(x)cos(x)dx
∫
∫
(h)
sen(2x)
√
dx
cos(2x)
√
tan(x) sec(x)dx
19
∫
∫
2
(i)
xtan(x + 1)dx
∫
(j)
∫
dx
xln(x)ln(ln(x))
∫
(r)
∫
sec(x)dx
x(2x + 5)10 dx
(s)
sen(e2x )e2x dx
(l)
∫
x 2
(1 + e )
dx
1 + e2x
∫
dx
√
(n)
√
(1 + x2 )ln(x + 1 + x2 )
∫
(o)
6tan(x3 )sec2 (x3 )x2 dx
∫
24x2 − 4
(p)
dx
8x3 − 4x + 16
x+8
dx
3x2 + 48x + 1
∫
esen(x)cos(x) cos(2x)dx
(k)
√
(q)
∫
(t)
(m)
∫
(u)
∫
(v)
1+x
√ dx
1+ x
arcsen2 (x)
√
dx
1 − x2
√
dx
ex − 1
√
e2x
dx
ex + 1
∫
(w)
3. Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
∫
∫
2t
(l)
e sen(3t)dt
(a)
∫
∫
2
(b)
(m)
x cos(x)dx
∫
∫
(c)
(2x + 4)e
2x+4
dx
(n)
2
x arctan(x)dx
∫
(e)
x
dx
ex
x2−x dx
∫
∫
(d)
xsen(x)dx
√
x2 e3x dx
(o)
∫
2
x ln (x)dx
(
)
∫
1+x
(f)
xln
dx
1−x
∫
(g)
ln(x)dx
∫
(h)
ex cos(x)dx
∫
(i)
xln(x)dx
∫
(j)
arctan(x)dx
∫
arcsen(x)dx
(k)
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
(p)
xsen(x)cos(x)dx
∫
(x2 + 5x + 6)cos(2x)dx
(q)
∫
ln(x)
dx
x3
∫
√
(s)
ln(x + 1 + x2 )dx
∫
x
dx
(t)
sen2 (x)
∫
xcos(x)
(u)
dx
sen2 (x)
∫
(v)
sen(ln(x))dx
(r)
20
4. Resuelva las siguientes integrales de funciones trigonométricas:
∫
∫
3
(a)
tan (x)dx
(n)
∫
∫
csc3 (x)dx
(b)
∫
(c)
(o)
sen3 (x)cos−4 (x)dx
∫
∫
∫
∫
sen(8x)sen(5x)dx
(e)
∫
(f)
∫
∫
∫
∫
csc (2x)dx
(i)
∫
tan−3 (x)sec4 (x)dx
∫
cot2 (3x)csc4 (3x)dx
(j)
sen
(u)
∫
(v)
∫
∫
2
(k)
sen2 (x)cos3 (x)dx
(t)
4
∫
tan2 (x)sec3 (x)dx
(s)
tan3 (3x)sec(3x)dx
(h)
cos3 (x)dx
(r)
sen(8x)cos(4x)dx
(g)
cot5 (2x)dx
(q)
∫
sen3 (x)
dx
2 + cos(x)
sen7 (x)dx
(p)
sen5 (4x)cos2 (4x)dx
(d)
cos3 (x)
dx
1 − sen(x)
tan (5x)dx
(x)
2
cos
5
(x)
2
dx
cos5 (x)
dx
sen3 (x)
sen4 (x)dx
(w)
∫
∫
cos3 (x)
(l)
dx
sen4 (x)
∫
sen(x)
(m)
dx
1 + sen(x)
3
sen2 (x)cos2 (x)dx
(x)
∫
cot2 (x)csc(x)dx
(y)
5. Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de sustitución trigonométrica:
∫
(a)
∫
(b)
∫
(c)
∫ √
dx
√
3x2 − 2
(f)
∫
x2
(a2
−
3
x2 ) 2
y
5
2
dx
dy
(y 2 + 4)
∫
√
(d)
y 3 4 − 9y 2 dy
∫
(e)
x3
√
dx
2 − x2
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
(g)
∫
x2 + 1
dx
x2
(x +
1)2
dx
√
x2 + 2x + 2
dx
x2 − 2x + 3
∫ √
(i)
3 − 2x − x2 dx
(h)
∫
(j)
√
4dx
4 − (x − 1)2
21
∫
(k)
∫
(l)
∫
(m)
∫
(n)
∫
(o)
∫
(p)
2x − 1
√
dx
1 − 4x2
x2
√
dx
1 − x2
√
x 2 − a2
dx
x
dx
√
x x2 − 1
dx
√
2
x 4 − x2
√
x2 + 1
dx
x
(q)
∫ √
1 − x2 dx
∫
(r)
x2
dx
+ 2x + 5
x2
dx
+ 2x
∫
(s)
∫
(t)
3x2
∫
√
(u)
dx
−x+1
2x − 8
dx
1 − x − x2
6. Resuelva las siguientes integrales de funciones racionales:
∫
(a)
∫
dx
(x + a)(x + b)
x2 − 5x + 9
(b)
dx
x2 − 5x + 6
∫
dx
(c)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
∫
2x2 + 41x − 91
(d)
dx
(x + 1)(x + 3)(x − 4)
∫
dx
(e)
x(x + 1)2
∫
5x2 + 6x + 9
(f)
dx
(x − 3)2 (x + 1)2
∫
x2 − 8x + 7
(g)
dx
(x2 − 3x − 10)2
∫
2x − 3
dx
(h)
2
(x − 3x + 2)3
∫ 3
x +x+1
(i)
dx
x(x2 + 1)
∫
x
(j)
dx
(x − 1)(x + 2)2
∫
3x2 + 1
dx
(k)
(x − 1)(x2 + x + 1)
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
∫
(l)
∫
x4
dx
(x2 − 1)(x + 2)
et
dt
e2t + 3et + 2
∫
5x − 2
(n)
dx
x2 − x
∫
3x3 − 3x + 4
(o)
dx
4x2 − 4
∫
14x3 + 24x
(p)
dx
(x2 + 1)(x2 + 2)
∫
4x3 + x
(q)
dx
(x2 + 1)2
∫
−2x − 4
(r)
dx
3
x + x2 + x
∫
6x2 + 13x + 6
dx
(s)
(x + 2)(x + 1)2
∫
x+1
(t)
dx
3
x + x2 − 6x
∫
2x4 − 3x3 − 4x2 − 17x − 6
(u)
dx
x3 − 2x2 − 3x
∫
x+1
(v)
dx
(x2 + 4x + 5)2
(m)
22
7. Utilice una sustitución adecuada, para hallar las siguientes integrales de funciones
irracionales:
∫ √
(a)
∫
(b)
∫
(c)
∫
(d)
∫
(e)
∫
(f)
∫
(g)
∫
(h)
∫
(i)
∫
(j)
∫
(k)
x−1
dx
x+1
x+3
√
dx
2
x 2x + 3
√
3
x
√ dx
√
x+ 3x
√
x− x
√ dx
x+ 3x
√
x
√
dx
4
x+1
√
1+36x−2
√
dx
√
3
(x − 2)2 − x − 2
1
√ √
√
dx
3
x x(1 + 3 x)2
√
√
3
x2 + 6 x
√ dx
4x(1 + 3 x)
√
√
3
x + 2x 4 + 6 x + 4 x2
√
dx
4x(1 + 3 x)
√
√
6
x+24x
√ dx
5x(1 + 6 x)
√
x
√
dx
3
x+2
∫
x
√ dx
x+ x
√
x
dx
2
x +x
dx
√ √
2x( 2x + 9)
dx
√
x x2 + x + 1
dx
√
x2 3x2 + 2x + 1
dx
√
1+ x
√
4
(l)
∫
(m)
∫
(n)
∫
(o)
∫
(p)
∫
(q)
∫
(r)
∫
(s)
∫
(t)
∫
(u)
∫
(v)
√
4
3
x2
dx
x+1
dx
√√
x+1
xdx
√
3+ x
√
x+1
dx
1−x
dx
√
1+ 3x−2
8. Resuelva las siguientes integrales de funciones racionales en términos de las funciones
sen(x) y cos(x) (Cambio Universal):
∫
(a)
∫
(b)
∫
(c)
∫
(d)
∫
(e)
dx
3 + 5cos(x)
dx
sen(x) + cos(x)
cos(x)
dx
1 + cos(x)
∫
(f)
∫
(g)
∫
(h)
∫
sen(x)
dx
1 − sen(x)
(i)
1 + tan(x)
dx
1 − tan(x)
(j)
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
∫
sen(x)
dx
(1 − cos(x))3
dx
2sen(x) + cos(x) + 3
dx
1 + cos(x)
dx
5 − 3cos(x)
dx
(2 + cos(x))sen(x)
23
∫
(k)
∫
(l)
∫
(m)
∫
(n)
∫
(o)
∫
dx
4 − 5sen(x)
5
dx
6 + 4sec(x)
dx
1 − sen(x) + cos(x)
dx
−7cos(x) + sen(x) − 9
dx
8 − 4sen(x) + cos(x)
√
(p)
sen(x)
dx
2 + sen(x) + cos(x)
∫
dx
(1 + cos(x))2
∫
dx
(r)
(1 − sen(x))2
∫
dx
(x)
( )
(s)
sen 2 cos3 x2
∫
cos5 (x)
(t)
dx
sen3 (x)
∫
dx
(u)
sen4 (x)
∫
dx
(v)
sen2 (x)cos4 (x)
(q)
9. Utilice cualquier método expuesto anteriormente, para hallar las siguientes integrales:
∫
e2x − ex sen(x)
(a)
dx
ex
√
∫
x − arctan(2x)
(b)
dx
1 + 4x2
∫
3x xdx
(c)
∫
(d)
cot3 (x)dx
∫
dx
√
(e)
(x − 1) x2 − 2
∫
x
(f)
dx
2
x − 2x − 3
∫ 3
x − 3x2 + 3x − 1
(g)
dx
x−1
∫
dx
√
√
(h)
3
x− x
∫
dx
(i)
sen4 (x)cos2 (x)
∫
sen(x)
√
(j)
dx
2
cos (x) + 4cos(x) + 1
∫
ln(3x)dx
(k)
∫
x2
(l)
dx
5 − x6
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
∫
ea
dx
1 + x2
∫
sen(2x)
√
(n)
dx
2 − cos2 (x)
∫
csc3 (x)dx
(o)
∫
√
(p)
x5 x2 + 4dx
∫
sen(x) − cos(x)
(q)
dx
sen(x) + 2cos(x)
∫
ex dx
√
(r)
1 + ex + e2x
∫
√
(s)
x3 x2 − 4dx
∫
(t)
xarcsen(x)dx
∫
dx
(u)
5 + 4cos(x)
∫
(v)
tan3 (x)sec2 (x)dx
∫
2
x(1 + x) 3 dx
(w)
∫
x−1
(x)
dx
3
x − x2 − 2x
(m)
24
PRÁCTICA 12
Integrales Definidas
1. Use el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar cada una de las siguientes integrales:
∫
∫
2
3
1)
x dx
−4
0
∫
∫
1
(2x − 3x + 5)dx
4
2)
2
√
3
2
3)
−4
∫
√
4)
1
5)
1
∫
1
dx
2x + 2
∫
(x − 2|x|)dx
2
(x2 − |x − 1|)dx
0
∫
(x2 + 2x)2 dx
7)
−3
3
∫
1
∫
π
2
12)
π
2
x2 sen(x)
dx
1 + x6
22)
− π2
∫
1
(√
4
23)
2
cos(3x)sen (3x)dx
0
∫
e4
∫
1
25)
t2 2−t dt
3
0
∫
1
2
arcsen(x)
√
dx
1 − x2
26)
∫
π
2
13)
2sen(t)dt
π
6
4
)
√
5
x4 dx
dx
√
x ln(x)
24)
0
∫
x5 +
0
e
x2 + 1
√
dx
x3 + 3x
11)
sen5 (θ)dθ
− π3
3
1
8)
dt
2
−1 (t + 2)
)
∫ −2 (
1
2
9)
y + 3 dy
y
−4
∫ 3 √
10)
8t 7 + 2t2 dt
π
3
21)
0
14)
2
20)
1
∫
|x2 − 1|dx
−2
0
∫
1
3
18)
−1
(4x + 3 + cos(x))dx
6)
∫
19)
π
2
∫
1
(a 3 − x 3 )dx
∫
s4 − 8
ds
s2
4
∫
2
dy
y3
a
7
∫
1 − s4
ds
2s2
8a
17)
w dw
1
∫
−2
16)
0
∫
−1
15)
4
|x − 2|dx
27)
0
√
√
( x − 2x + 1)dx
0
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
∫
18
28)
16
√
dx
√
4
x − x3
25
∫
∫
5
| − x + 4x − 1|dx
2
29)
1
2
30)
− 12
∫
3
31)
2
∫
π
2
32)
0
∫
π
3
33)
π
6
∫
4
34)
0
√
1
2
0
∫
2
35)
∫
1
dx
1 − x2
1
36)
−1
∫
1
√
dx
2
4x − 12x − 5
37)
1
dx
5sen(x) + 3
38)
x3 + x
dx
(x4 + 2x2 + 1)5
1
√
0
∫
4
∫
3
39)
1
3
∫
1
√ dx
1+ x
√
40)
0
x+
1
√
x+1
dx
1
√ √
dt
t( t + 1)3
√
3
x − x3
dx
x4
1
3
dx
2sen(2x) + 1
1
√
dx
2x( 2x + 9)
2
x
dx
4 + x4
2. Calcular las siguientes derivadas:
d
(a)
dx
(b)
d
dx
d
(c)
dx
(d)
d
dx
d
(e)
dx
(f)
(g)
d
dx
d
dx
d
(h)
dx
[∫
x
]
(t + t)dt
d
(i)
dx
2
0
]
x
(2t + t)dt
[∫
−6
[∫
]
x
sen4 (u)tan(u)du
0
]
x√
1 + t4 dt
[∫
1
[∫
]
π
4
u tan(u)du
x
[∫
1
x
√
2
]
u2 + 1du
x
[∫
]
cos(x)
u2 du
x3
√
d
(k)
dx
d
(l)
dx
d
(m)
du
d
(n)
dt
d
(o)
dx
sen(x)
[∫
d
(j)
dx
]
t3
+ 1dt
x
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
d
(p)
dx
[∫
]
sen(x)
(t2 + cos(t))dt
0
[∫
1
x
]
sen4 (t)dt
0
[∫
√
x
]
1+
s4 ds
−1
[∫
x
]
(t − 1) dt
2
20
0
[∫
u
π
[∫
t
]
1
dt
1 + t4
]
sen(x )dx
2
0
[∫
4
(2 +
√
]
t) dt
8
x
[∫
2
]
cos(t )dt
2
x
26
d
(q)
dx
d
(r)
dx
d
(s)
dx
d
(t)
dx
[∫
√
x
0
[∫
s2
ds
s2 + 1
]
]
sen(t )dt
17
4
tan(x)
[∫
π
x2
[∫
0
]
sen(t)
dt
t
5x+1
]
1
du
u2 − 5
d
(u)
dx
d
(v)
dx
d
(w)
dx
d
(x)
dx
[∫
]
sen(x)
3
t cos(t )dt
−5
[∫
2x
3x
[∫
]
u−1
du
u+1
x2
tan(x)
[∫
x3
√
√
]
1
√
dt
2 + t4
]
t sen(t)dt
x
3. Encuentre todos los valores de x que satisfacen el teorema del valor medio para integrales en el intervalo dado:
(a) f (x) = x2 , en [−1, 1]
(b) f (x) = x(1 − x), en [0, 1]
(d) g(z) = cos(2z), en [0, π]
√
(e) h(y) = y + 1, en [0, 3]
(c) f (x) = |x|, en [−2, 2]
(f) q(z) = az 2 , en [0, b]
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
27
PRÁCTICA 13
Cálculo de Áreas y Volumen
1. Dibuje la región limitada por las curvas dadas y calcule su área:
1) y = x2 ; y = x4
22) x+y 2 = 0 ; x = y 2 +1 ; y = 0 ; y = 3
2) y = x ; y = x3
23) x = 3y ; y + x = 0 ; 7x + 3y = 24
3) y = x2 − 4x ; y = 2x
24) y 2 = x ; y = x + 5 ; y = −1 ; y = 2
4) y = x ; y = x2
25) y = x4 + 3 ; y = x ; x = −1 ; x = 1
π
26) y = cosx; y = sen(2x); x = 0; x =
2
2
27) y = x +2 ; y = 2x+5 ; x = 0 ; x = 6
5) y = x2 ; y 2 = x
√
x
6) y = x ; y =
2
2
7) y = 4x ; y = x2 + 3
8) y = x4 − x2 ; y = 1 − x2
2
9) x + y = 2 ; y + x = 0
10) y 2 = x ; x − 2y = 3
11) x = 1 − y 2 ; x = y 2 − 1
12) y = 2x − x2 ; y = x3
13) x = 1 − y 4 ; x = y 3 − y
14) y = x3 ; x = y 3
√
15) y = x 1 − x2 ; y = x − x3
28) y = 4−x2 ; y = x+2 ; x = −3 ; x = 0
29) y = (x + 1)2 ; y = x + 4; x = −3; x = 2
30) y = x2 +1; y = −3−x2 ; x = −2; x = 2
31) y = |x| ; y = (x + 1)2 − 7 ; x = −4
π
32) y = x ; y = sen(x) ; x = − ; x =
4
π
33) y = cosx; y = tan2 x; x = − ; x =
4
34)
π
2
π
4
π
y = senx; y = sen(2x); x = 0; x =
2
π
y = senx; y = cos(2x); x = 0; x =
4
2
y = |x − 1| ; y = x − 3 ; x = 0
π
y = cos(x) ; y = sen(2x); x =
2
2
x + 2x + y = 0 ; x + y + 2 = 0
16) y = x2 − 4x + 3 ; y = 0
35)
17) y = 4 + 3x − x2 ; y = 0
√
18) y = x − 4 ; y = 0 ; x = 8
36)
19) x = y 4 ; x = 2 − y 4
38)
20) x = 6y − y 2 ; x = 0
39) y = x3 − 4x2 + 3x ; y = x2 − x
√
40) y = x − 1 ; x − 2 = 0;
21) y = x4 ; y = −x − 1 ; x = −2 ; x = 0
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
37)
28
2. Dibuje la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas, mostrando un
rectángulo vertical caracterı́stico. Encuentre después el volumen del sólido generado
por la rotación de R alrededor del eje x:
x2
; x = 4; y = 0
4
2
(b) y = x 3 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 8
(a) y =
(c) y = x3 ; x = 2 ; y = 0
3
(d) y = x 2 ; x = 1 ; x = 3 ; y = 0
1
; x = 1; x = 4; y = 0
x
√
(f) y = 4 − x2 ; y = 0 ; x = −1 ; x = 2
(e) y =
3. Dibuje la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas, mostrando un
rectángulo horizontal caracterı́stico. Encuentre después el volumen del sólido generado
por la rotación de R alrededor del eje y:
(a) x = y 2 ; x = 0 ; y = 2
2
(b) x = ; y = 1 ; y = 6 ; x = 0
y
√
(c) x = y ; y = 4 ; x = 0
(d) x =
√
9 − y2 ; x = 0
2
(e) x = y 3 ; y = 8 ; x = 0
3
(f) x = y 2 ; y = 4 ; x = 0
4. Dibuje la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas, mostrando un
rectángulo caracterı́stico correspondiente. Encuentre después el volumen del sólido
generado por la rotación de R alrededor del eje indicado:
Región
En Torno
(a) x = y 2 ; x = 1
x=1
(b) x + y = 3 ; y = 2x ; x = 0
eje y
(c) x = −y 2 + 2y ; x = 0
x=2
(d) x + y = 2 ; x = 0 ; y = 0 ; y = 1
eje x
1
(e) y = x 3 ; x = 0 ; y = 1 ; x = 2
√
(f) y = x − 1 ; x = 5 ; y = 0
y=2
x=5
5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x de la
región limitada por la:
x2 y 2
(a) Mitad superior de la elipse: 2 + 2 = 1 y el eje x, encuentre después el volumen
a
b
del esferoide alargado. Aqui a y b son constantes positivas, siendo a > b.
(b) Recta y = 4x y la parábola y = 4x2 .
(c) Recta x = −2y y la parábola y 2 − 2x = 0.
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
29
(d) De la región del primer cuadrante limitada por la recta x = r − h, el cı́rculo
x2 + y 2 = r2 y el eje x. Siendo 0 < h < r y encuentre después el volumen de un
segmento esférico de altura h, si el radio de la esfera es r.
6. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las
curvas:
(a) Recta y = 4x y la parábola y = 4x2 , girando en torno a x = 0
(b) La región del primer cuadrante limitada por las parábolas 3x2 − 16y + 48 = 0 ;
x2 − 16y + 80 y el eje y, girando en torno a la recta y = 2
7. Calcule los volúmenes de los sólidos que se obtienen al hacer girar la región limitada
por las curvas y = x y y = x2 en torno a los siguientes ejes:
(a) El eje x.
(b) El eje y.
(c) y = 2.
8. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región del primer cuadrante limitada por la curva y 2 = x2 , la recta x = 4 y el eje x.
(a) Alrededor de x = 4.
(b) Alrededor de y = 8.
(c) Alrededor de y = 2.
9. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región en el primer
cuadrante aislado por la curva y 2 = x3 , la recta y = 8 y el eje y.
(a) Alrededor de x = 4.
(b) Alrededor de y = 8.
(c) Alrededor de y = 2.
10. Sea R la región del primer cuadrante limitada por las curvas y 2 = x3 y y = 2x − x2 .
Calcule las siguientes cantidades:
(a) El área de R.
(b) El volumen que se obtiene al hacer girar R en torno al eje x.
(c) El volumen que se obtiene al hacer girar R en torno al eje y.
11. Dibuje la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas, mostrando un
rectángulo horizontal caracterı́stico. Encuentre después el volumen del sólido generado
por la rotación de R alrededor del eje x:
(a) y = x2 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 4
(c) y = x2 ; y = 4 ; x = 0
(b) y 2 = x ; x = 2y
(d) y = x2 − x3 ; y = 0
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
30
(e) y = −4x3 − 3 ; y = 0
1
(f) y = ; y = 0 ; x = 1 ; x = 10
x
√
(g) y = sen2 (x) ; y = 0 ; x = 0 ; x = π
√
(h) y =
4 + x2 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 4
(i) y = −x2 − 6x + 10 ; y = −x2 − 6x − 6
√
(j) y = x−2 ; y = 0 ; x = 0 ; y = x − 2
12. Aplique el método de las envolventes cilı́ndricas para calcular el volumen del sólido
que se obtiene al hacer girar en torno al eje indicado la región limitada por las curvas
dadas. Dibuje la región y una corteza representativa:
Región
(a) y =
√
x; y = 0; x = 1; x = 4
En Torno
eje y
(b) y = x2 ; y = 0 ; x = −2 ; x = −1
eje y
(c) y = x2 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2
x=1
(d) y = x2 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2
√
(e) y = x − 1 ; y = 0 ; x = 5
x=4
y=3
(f) y = 4x − x2 ; y = 8x − 2x2
x = −2
13. Establezca pero no evalúe, una integral para el volumen del sólido que se genera al
hacer girar la región limitada por las curvas dadas en torno al eje indicado:
Región
(a) y = sen(x) ; y = 0 ; x = 2π ; x = 3π
1
(b) y =
; y = 0; x = 0; x = 3
1 + x2
π
(c) x = cos(y) ; y = 0 ; x = 0 ; y =
4
2
(d) y = −x + 7x − 10 ; y = x − 2
πx
(e) y = x4 ; y =
;x=5
2
(f) x = 4 − y 2 ; x = 8 − 2y 2
En Torno
eje y
eje y
eje x
eje x
x = −1
y=5
(g) y = ln(x) ; y = 0 ; x = e
eje y
(h) y = ex ; y = e−x ; x = 1
eje y
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
31
PRÁCTICA 14
Longitud de Arco
1. Utilice una integración en x para determinar la longitud del segmento de la recta
y = 2x + 3, entre x = 1 y x = 3. Verifique usando la fórmula de distancia entre dos
puntos.
2. Utilice una integración en y para encontrar la longitud del segmento de la recta
2y − 2x + 3 = 0, entre y = 1 y y = 3. Verifique usando la fórmula de distancia entre
dos puntos.
3. Encontar en cada caso, la longitud de la curva que se indica:
3
(a) y = 4x 2 entre x =
1
y x=5
3
x4 + 3
entre x = 1 y x = 3
6x
(c) 30xy 3 − y 8 = 15 entre y = 1 e y = 3
3
2
(d) y = (x2 + 1) 2 entre x = 1 y x = 8
3
y4
1
+ 2 entre y = −3 e y = −2
(e) x =
16 2y
(b) y =
4. Dibuje la gráfica de la ecuación paramétrica dada y encuentre su longitud de arco en
cada caso:
t3
t2
; y= ; 0≤ t≤1
3
2
1
(b) x = 3t2 + 2 ; y = 2t3 − ; 0 ≤ t ≤ 4
2
(c) x = 4sen(t) ; y = 4cos(t) − 5 ; 0 ≤ t ≤ π
√
√
√
(d) x = 5 sen(2t) − 2 ; y = 5 cos(2t) − 3 ; 0 ≤ t ≤
(a) x =
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
π
4
32
PRÁCTICA 15
Integrales Impropias
1. Estudie la Convergencia o Divergencia de las siguientes integrales:
∫
∞
1)
∫
x
−∞
1
∫
∞
2)
3
∫
∞
3)
−∞
∫
−2
4)
−∞
∫
∞
5)
−∞
∫
∞
6)
2
∫
x
√
dx
9 − x2
dx
2
x + 2x + 5
∫
∫
0
2
∫
x
dx
1 + x2
dx
xln(x)
2
∫
0
12)
−∞
∫
∞
13)
−∞
∫
14)
∞
dx
1 − x2
∞
0
∞
∫
∞
22)
2
dx
x
dx
e|x|
−x
xe dx
0
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
dx
x(ln(x))2
dx
2
∞
24)
3
∫
dx
(2x − 1)3
ln(x)
dx
x
(3 − x) 3
2
∫
x
dx
(1 + x2 )2
dx
√
3x
4
23)
0
11)
√
20)
∫
−x2
π
4
∞
dx
x−3
21)
tan(2x)dx
∫
√
0
∫
4
10)
ln(x)
dx
x
0
xe
∫
1
19)
∫
∞
9)
7
∫
−∞
8)
1
17)
3
e dx
∞
dx
2
18)
x
√
dx
2
x +4
x
dx
+ 4)2
(1 − x) 3
2
0
7)
(x2
∞
16)
∫
dx
x5
3x
∫
∞
15)
e dx
∞
25)
1
2
∫
x
dx
9 − x2
x+1
dx
x3
2
26)
dx
1
(x − 1) 3
1
∫
π
2
27)
csc(x)dx
0
∫
28)
0
2
x2
3 dx
+x−2
33
∫
1
29)
−1
∫
3
0
π
2
0
∫
∞
e−|x| dx
32)
ln(x)dx
1
dt
1 − sen(t)
31)
∞
40)
dx
√
1 − x2
30)
∫
∫
dx
1−x
−∞
∫
3
√
3
41)
0
∫
∞
42)
dx
(x − 1)2
e−x cos(x)dx
0
∫
1
43)
xln(x)dx
0
∫
π
4
33)
∫
sec(x)dx
π
2
∫
44)
∫
sen(x)dx
0
35)
0
∫
∫
1
csc(x)dx
∞
37)
−∞
∞
38)
0
∫
x
dx
xcos(x2 )dx
∞
x3 e−x dx
2
0
∫
0
∫
x
−∞
dx
− 2
x +1
46)
36)
∫
∞
45)
∞
√
e−
√
1
∞
34)
∫
∞
0
47)
2
(1 − x2 )dx
dx
(x + 1)2
x5−x dx
2
39)
∞
∫
∞
48)
dx
x x2 − 4
√
xe−x dx
−∞
∫
∞
49)
a2
0
dx
;a>0
+ x2
−∞
2. Encuentre el área de la región bajo la curva y =
3. Encuentre el área de la región bajo la curva y =
∫
2
4. Evalúe
−2
2
a la derecha de x = 1.
−1
4x2
x2
1
a la derecha de x = 1.
+x
dx
o demuestre si diverge.
4 − x2
∫
5. Demuestre
1
∞
dx
converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1.
xp
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
34
6. Encuentre el área de la región comprendida entre las curvas y = (x − 8)− 3 y y = 0
2
para 0 ≤ x < 8.
7. Demuestre que:
∫
∞
(a)
−∞
x
dx converge.
(1 + x2 )2
∫
∞
(b)
−∞
x
dx diverge.
1 + x2
8. Calcular:
 ∫



 ∫



∞
sen(x)dx
−∞
∫
(a)
r
 lim

sen(x)dx
 r→∞
(b)
−r
1
−1



1
dx
x[∫
−r
lim
r→0+
−1
1
dx +
x
∫
r
1
1
dx
x
]
9. Hallar los valores de n, para los cuales, las siguientes integrales son convergentes:
∫
∞
(a)
1
∫
1
dx
xn
0
∫
x dx
0
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
1
xn ln(x)dx
(c)
1
n
(b)
∫
(d)
0
∞
1
dx
(1 + x)n
35
PRÁCTICA 16
Ecuaciones Diferenciales.
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden a Variables Separables
1. En las siguientes ecuaciones diferenciales, determinar el orden, el grado (si es posible),
si es lineal o no, la función incógnita y la variable independiente:
(a) (1 − x)y ′′ − 4xy ′ + 5y = cos(x)
(g) (1 − y 2 )dx + xdy = 0
(b) yy ′ + 2y = 1 + x2
(h) (y ′′ )2 − 3yy ′ + xy = 0
(c) x2 dy + (y − xy − xex )dx = 0
(i) y (4) + xy ′′′ + x2 y ′′ − xy ′ + sen(y) = 0
( 2 ) 23
dy
+y =x
(j)
dx2
(d) x3 y (4) − x2 y ′′ + 4xy ′ − 3y = 0
√
( 2 )2
dy
dy
(e)
= 1+
dx
dx2
(f) sen(x)y ′′′ − cos(x)y ′ = 2
d2 t
dt
+ st = 8
2
ds
ds
4 (4)
(l) x y + xy ′′′ = ex
(k) s2
2. Verifique que las siguientes funciones (explı́citas o implı́citas) son soluciones de las
correspondientes ecuaciones diferenciales:
(a) y ′ = 2x ;
y = x2 + c
(b) xy ′ = 2y ;
y = cx2
(c) yy ′ = e2x ; y 2 = e2x + c
(d) xy ′ = y + x2 + y 2 ; y = xtan(x)
√
(e) xy ′ + y = y ′ 1 − x2 y 2 ; y = arcsen(xy)
(f) (ycos(y) − sen(y) + x)y ′ = y ; y + sen(y) = x
3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando separación de variables:
dy
= sen(5x)
dx
dy
= (x + 1)2
(b)
dx
(c) dx + e3x dy = 0
(a)
(d) (x + 1)y ′ = x + 6
(e) xy ′ = 4y
dy
y3
= 2
(f)
dx
x
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
(g)
x2 y 2
dx
=
dy
1+x
(h)
dy
= e3x+2y
dx
(i) (4y + yx2 )dy − (2x + xy 2 )dx = 0
(j) (1 + x2 + y 2 + x2 y 2 )dy = y 2 dx
(k) 2y(x + 1)dy = xdx
36
dx
(l) y ln(x)
=
dy
(
y+1
x
)2
(m) sec2 (x)dy + csc(y)dx = 0
dy
(n) ex y
= e−y + e−2x−y
dx
dy
xy + 3x − y − 3
(o)
=
dx
xy − 2x + 4y − 8
dy
(p)
=
dx
(q) 2
(
2y + 3
4x + 5
)2
2x
dy 1
− =
dx y
y
dy
(1 + x2 )− 2
(r)
=
1
dx
(1 + y 2 ) 2
1
4. Resuelva la ecuación diferencial por separación de variables, sujeta a la condición inicial
respectiva:
(a) (e−y + 1)sen(x)dx = (1 + cos(x))dy ;
y(0) = 0
(b) (1 + x4 )dy + x(1 + 4y 2 )dx = 0 ; y(1) = 0
√
(c) ydy = 4x 1 + y 2 dx = 0 ; y(0) = 1
dy
(d)
+ ty = y ; y(1) = 3
dx
dx
(e)
= 4(x2 + 1) ; x( π4 ) = 1
dy
(f) x2 y ′ = y − xy ; y(−1) = −1
dy
y2 − 1
= 2
; y(2) = 2
dx
x −1
dy
5
(h)
+ 2y = 1 ; y(0) = −
dt
2
(g)
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
37
PRÁCTICA 17
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
1. Cierta ciudad tuvo una población de 25000 en el año 2000 y una población de 30000 en
2010. Suponga que su población continuará creciendo a una tasa constante. ¿Cuánta
población puede esperar esta ciudad para el año 2040?
2. Un cultivo tiene una cantidad de 200 bacterias inicialmente. Después de 7 horas
la cantidad de bacterias creció haciendo
5
2
de la población inicial. Si el crecimiento
bacteriano responde a un modelo de crecimiento proporcional. ¿Cuánto tiempo tardará
la población en triplicarse?
3. El Einstenio 253 decae con una rápidez proporcional a la cantidad que se tenga. Determine la vida media si este material pierde un tercio de su masa en 11.7 dı́as.
4. El quı́mico Willard Libby creador de la prueba del Carbono 14, determinó que la
semivida del isótopo del C14 es de aproximadamente 5600 años. Se encontró un árbol
petrificado y se tomó una muestra de éste, en la cual se observó que el 65.5% del C14
contenido en la muestra se habı́a desintegrado. Determine la edad aproximada del
árbol petrificado.
5. El carbono extraı́do de una supuesta reliquia caracterı́stica de los tiempos de Cristo
contenı́a 4.6 × 1010 átomos de C14 por gramo. El carbono extraı́do de un espécimen
actual de la misma sustancia contiene 5.0 × 1010 átomos de C14 por gramo. Calcule
la edad aproximada de la reliquia. ¿Cuál es su opinión sobre la autenticidad de la
reliquia?
6. Encuentre el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en que se descubre
un cadáver, si la temperatura del cadáver es de 85◦ F cuando es encontrado y dos horas
más tarde ha bajado a 74◦ F , además la temperatura del ambiente permanece constante
a 32◦ F . Tenga en cuenta que la temperatura de la persona en vida es de 98.6◦ F .
7. Un termómetro que esta en el interior de una habitación se lleva al exterior donde la
temperatura es de 5◦ F . Después de un minuto el termómetro marca 55◦ F y después
de 5 minutos marca 30◦ F . ¿Cuál era la temperatura del termómetro en la habitación?.
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
38
8. Una epidemia se desarrolla en una población de 10000 habitantes, y se sabe que el
número de personas infectadas inicialmente era de 50 junto con que al cabo de 3 dı́as
habı́a 250 enfermos. Averiguar el número de enfermos que habrá al cabo de doce dı́as.
9. Cuando nació su primer hijo, una pareja depositó $5000 en una cuenta de ahorros
que paga el 8% de interés compuesto continuamente. Se dejó que se acumularan los
intereses devengados. ¿A cuánto ascenderá la cuenta en el decimoctavo cumpleaños
del niño?
10. Una niña cae en un lago donde la temperatura del agua es −1◦ C. Se tiene el conocimiento
que la rapidez de descenso de la temperatura de su cuerpo después de t minutos en
el agua es proporcional a la temperatura de su cuerpo; y que su temperatura inicial
era 36◦ C, que al minuto después de caer es 30◦ C. Además, se sabe que ella perderá la
conciencia cuando la temperatura de su cuerpo alcance 24◦ C. ¿Cuál es su temperatura
después de estar 2 minutos en el agua? ¿Cuánto tiempo tienen los socorristas para
salvarla?.
11. Suponga que se deposita una suma S0 en un banco que paga intereses a una tasa anual
r, compuesto continuamente:
(a) Halle el tiempo necesario para duplicar el valor de la suma original, como una
función de la tasa de interés r.
(b) Determine el tiempo si r = 7%.
(c) Encuentre la tasa de interés que debe pagarse si la inversión inicial tiene que
triplicarse en 8 años.
12. En 1389, Pierre d´Arcis, Obispo de Troyes, escribió al Papa para acusar a un colega
de hacer pasar “cierta tela, hábilmente pintada” por el manto de Jesucristo. A pesar de éste primer testimonio de falsificación, la imagen que aparecı́a en la tela era
tan vı́vida que muchos la tenı́an por una reliquia sagrada. Conocida como manto de
Turı́n, la tela fue expuesta a la datación de C14 en 1988. Si era auténtica, la tela
deberı́a tener apróximadamente 1960 años. ¿Qué porcentaje de C14 deberı́a quedar
apróximadamente?. Los cientı́ficos determinaron que quedaba 92, 3% de C14 del manto
original. ¿Cuántos años tiene el manto?.
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
39
13. En un frı́o de invierno, una taza de chocolate caliente se saca al exterior, donde la
temperatura es de -5◦ C. Pasados 10 minutos, su temperatura es de 70◦ C y 10 minutos
después, su temperatura es de 50◦ C. ¿Cuál es la temperatura original de la bebida?.
14. Suponga que se usa un pentobarbitol sódico para anestesiar a un perro. El perro queda
anestesiado cuando la concentración en su corriente sanguı́nea es por lo menos de 45 mg
de pentobarbitol sódico por Kg de peso del perro. Suponga también que el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguı́nea del perro en forma exponencial, con
una vida media de 5 h. ¿Que dosis simple debe ser administrada para tener anestesiado
durante una hora a un perro de 50 kg.?
15. Suponga que la población de la Tierra cambia con una rapidez proporcional a la
población actual. Además, se estima que en el instante t = 0 (1650 de nuestra era), la
población de la Tierra era de 600 millones (6.0×108 ); en el instante t = 300 (1950 D.C),
la población era de 2.8 miles de millones (2.8 × 109 ). Si se supone que la población
máxima que la Tierra puede sostener es de 25 miles de millones (2.5 × 1010 ), ¿Cuándo
se alcanzará este lı́mite?
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
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PRÁCTICA 18
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden.
Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homogéneas
1. Resuelva las ecuaciones diferenciales homogéneas dadas, utilizando la sustitución adecuada:
(a) (x − y)dx + xdy = 0
(j) y ′ =
x+y
x
(k) y ′ =
x2 + xy + y 2
x2
(b) (x + y)dx + xdy = 0
(c) xdx + (y − 2x)dy = 0
(l) 2ydx − xdy = 0
(d) ydx = 2(x + y)dy
(e) (y 2 + yx)dx − x2 dy = 0
(f)
dy
y−x
=
dx
y+x
dy
x + 3y
=
dx
3x + y
(n) 2x2 ydx = (3x3 + y 3 )dy
√
(g) −ydx + (x + xy)dy = 0
√
(h) xy ′ − y = x2 + y 2
(i) y ′ =
(m)
y 2 + 2xy
x2
(o) (x2 + xy − y 2 )dx + xydy = 0
(p) y
2x
dx
= x + 4ye− y
dy
2. Resuelva las ecuaciones diferenciales homogéneas dadas, sujetas a la condición inicial
respectiva:
(a) xy 2 y ′ = y 3 − x3 ; y(1) = 2
y
y
(b) (x + ye x )dx − xe x dy = 0 ; y(1) = 0
(c) (x2 + 2y 2 )x′ = xy ; y(−1) = 1
(d) ydx + x(ln(x) − ln(y) − 1)dy = 0 ; y(1) = e
dy
y (y)
(e)
= ln
; y(1) = 3
dx
x
x
y x2
dy
= + 2 + 1 ; y(2) = 1
(f)
dx
x y
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
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3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas (recta sobre
recta ó coeficientes lineales):
(a)
−x − y + 1
dy
=
dx
x+y−3
dy
6x − y − 5
(b)
=
dx
4x − y − 3
(c) (2x + y + 1)dx − (2x + 4y + 3)dy = 0
(d) (3x + y − 2)dx + (2x + y − 1)dy = 0
(e) (10x−9y+2)dx+(9y−10x+3)dy = 0
(i) x′ =
x+y−1
x−y−3
(j) (y − x − 4)y ′ − (x + y − 2) = 0
(k) (2 + 2x − y)y ′ = 1 + 6x − 3y
(l) y ′ (4x + 5y + 2) = (2x + 3y + 1)
(m) y ′ =
x+y−1
x − 2y
(f) 3x + y − 2 + y ′ (x − 1) = 0
(n)
dy
2x + 9y − 20
=
dx
6x + 2y − 10
(g) (2x − 4y)dx + (x + y − 3)dy = 0
(o)
dy
3y − 2x − 3
=
dx
4x − 6y
(h) 2x + 2y − 1 + y ′ (x + y − 2) = 0
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
(p) (3y − 7x + 7)dx − (3x − 7y − 3)dy = 0
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PRÁCTICA 19
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.
Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
1. Determine la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden dada:
dy
= 5y
dx
dy
(b) 3 + 12y = 4
dx
dy
(c)
+ y = e3x
dx
(d) y ′ + 3x2 y = x2
(a)
(e) x2 y ′ + xy = 1
(f) (x + 4y 2 )dy + 2ydx = 0
(g) xdy = (xsen(x) − y)dx
(h) (1 + x2 )dy + (xy + x3 + x)dx = 0
(i) (1 + ex )y ′ + ex y = 0
(j) cos(x)y ′ + ysen(x) = 1
(k) cos2 (x)sen(x)dy + (ycos3 (x) − 1)dx = 0
(l) x2 y ′ + x(x + 2)y = ex
(m) xy ′ + 4y = x3 − x
(n) ydx + (xy + 2x − yey )dy = 0
(o) xy ′ + (3x + 1)y = e−3x
(p) ydx − 4(x + y 6 )dy = 0
1 − e−2x
ex + e−x
(r) ydx + (x + 2xy 2 − 2y)dy = 0
(q) y ′ + y =
2. Resuelva la ecuación diferencial lineal dada, sujeta a la condición inicial que se indica:
(a) y ′ + ytan(x) = cos2 (x) ; y(0) = −1
( )
dy
(b) sen(x) + ycos(x) = 0 ; y − π2 = 1
dx
2
(c) cos (x)y ′ + y = 1 ; y(0) = −3
y
dy
=
; y(5) = 2
(d)
dx
y−x
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
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dy
+ ytan(x) = sec(x) ; y(0) = −1
dx
(f) xdy + (xy + 2y − 2e−x )dx = 0 ; y(1) = 0
(e)
(g) y ′ + 2y + x(e3x − e2x ) = 0 ; y(0) = 2
dy
2y
(h)
−
= (x + 1)3 ; y(0) = 1
dx x + 1
3. Resuelva la ecuación diferencial de Bernoulli dada:
1
y2
(b) y ′ − y = ex y 2
(g) y − xy ′ = ky 2
(a) xy ′ + y =
(h) xdy + ydx = x3 y 6 dx
(i) x2 y ′ + 2xy − y 3 = 0
(c) y ′ = y(xy 3 − 1)
dy
(d) x − (1 + x)y = xy 2
dx
dy
(e) x2
+ y 2 = xy
dx
(f) 3(1 + x2 )y ′ = 2xy(y 3 − 1)
(j) 4y ′ + 8xy − 4xy 2 = 0
2xdt
(k) (2xt2 ln(x) + 1) =
tdx
dy
(l) x2 y − x3
= y 4 cos(x)
dx
4. Resuelva la ecuación diferencial de Bernoulli dada, sujeta a la condición que se indica:
(a) x2 y ′ − 2xy = 3y 4 ; y(1) =
1
2
(b) y 2 y ′ + y 2 = 1 ; y(0) = 4
1
3
(c) (12e2x y 2 − y)dx = dy ; y(0) = 1
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
(d) y ′ + xy = xe−x y −3 ; y(2) = 1
2
(e) y ′ + 3x2 y = x2 y 3 ; y(0) = 1
dy
y
x
(f) 2
= − 2 ; y(1) = 1
dx
x y
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