Primer examen parcial 1. Un avión resulta con una velocidad de 604 km/h en la dirección O40N, esto debido a la presencia de una corriente de aire de 25 km/h en la dirección O50N. Determine la velocidad del avión (modulo y dirección). N ⃗R V ⃗C V O E N ⃗VA α ⃗VR 10° ⃗VC 40° O E 170° = θʹ ⃗C -V ⃗⃗VR = V ⃗⃗ A + V ⃗⃗ c ⃗⃗𝐕A = 𝐕 ⃗⃗ R - 𝐕 ⃗⃗ c ⃗⃗VA = ⃗⃗VR + (-V ⃗⃗ c) S 𝑉𝐴 = √𝑉𝑅 2 + 𝑉𝑐 2 + 2𝑉𝑅 𝑉𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 ′ 𝑉𝐴 = √(604)2 + (25)2 + 2(604)(25) 𝑐𝑜𝑠 1 70° = 579.40 𝑘𝑚 ℎ 𝑉𝐴 𝑉𝐶 = 𝑠𝑒𝑛10 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑉𝐶 25 𝑠𝑒𝑛10 = 𝑠𝑒𝑛10 = 0.0075 𝑉𝐴 579.40 α = 0.43° Dirección: O (40-α) N O 39.57° N 2. De un vector tridimensional se conoce la proyección Vʹʹ = 12, β = 53° y θ = 60°. Determine todos los demás parámetros del vector tridimensional. Z ⃗z V ⃗ ʹʹ V ⃗ V ⃗y V ⃗x V X 2 a) ⃗Vʹʹ = ⃗Vy + ⃗Vz entonces su modulo es 𝑉 ′′ = 𝑉𝑦 2 + 𝑉𝑧 2 122 = (𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝛽)2 + (𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2 144 = 𝑉 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 ) 144 = 𝑉 2 (𝑐𝑜𝑠 2 53 + 𝑐𝑜𝑠 2 60) 144 = 𝑉 2 (0.61) V = 15.36 b) de 𝑉𝑦 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 15.36cos 53 𝑽𝒚 = 9.24 c) de 𝑉𝑧 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 15.36𝑐𝑜𝑠60 𝑽𝒛 = 7.68 d) de 𝑉 2 = 𝑉𝑥 2 + 𝑉𝑦 2 + 𝑉𝑧 2 Y (15.36)2 = 𝑉𝑥 2 + (9.24)2 + (7.68)2 𝑽𝒙 = 9.57 e) de 𝑉𝑥 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos = 0.6230 = 51.46 f) de 𝑉′ = Vsenθ = (15.36)sen60 𝑽′ = 𝟏𝟑. 𝟑𝟎 g) de 𝑉𝑥 = 𝑉ʹ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 cos φ = 0.7195 φ = 43.98 ⃗ = Vx 𝑖 + Vy 𝑗 + Vz 𝑘⃗ h) de V ⃗ = 9.57 𝒊 + 9.24 𝒋 + 7.68 ⃗𝒌 𝐕 ⃗ 𝑢 ⃗ = ⃗V / V = (9.57 𝑖 + 9.24 𝑗 + 7.68 𝑘⃗) / 15.36 i) de ⃗V = V 𝑢 𝒖 ⃗⃗ = 0.62 𝒊 + 0.60 𝒋 + 0.5 ⃗𝒌 3. Del paralelepípedo que se muestra, se conocen los puntos P1(1,3,2); P2(3,2,1); P3(-2,1,-2) y P4(-1,-2,-3). Hallar: 1) la ecuación de las líneas ℓ, que pasa por los puntos P4 y P8 2) la ecuación de las líneas ℓʹ, que pasa por los puntos P2 y P8 3) el angulo entre ℓ y ℓʹ 4) la ecuación del plano donde se encuentran ℓ y ℓʹ 5) la distancia del punto P3 a la línea ℓ 6) la distancia del punto P3 a la línea ℓʹ ℓʹ α ℓ P7 A P8(x,y,z) (-2,-5,-8) S⃗ P4 (-1,-2,-3) ⃗ C P6 ⃗ AR ⃗C P3(-2,1,-2) ⃗B A P5 ⃗B P1(1,3,2) ⃗A ⃗A = 2𝒊 - 𝒋 - ⃗𝒌 𝐴 = √6 = 2.45 ⃗ ⃗ = -3𝒊 - 2𝒋 -4𝒌 𝐵 = √29 = 5.39 B ⃗ ⃗C = -2𝒊 -5𝒋 -5𝒌 𝐶 = √54 = 7.35 P2(3,2,1) ⃗ = (x-3) 𝒊+(y-2) 𝒋+(z-1) 𝒌 ⃗ 𝑃8 (−2, −5, −8) ⃗R = ⃗B + ⃗C = -5𝒊 -7𝒋 -9𝒌 ⃗S = ⃗A + ⃗B = -𝒊 -3𝒋 -5⃗𝒌 ℓ' 1) P8 ⃗⃗ 𝐑 P(x,y,z) 𝐫 P2(3,2,1) Si r // ⃗R r = ⃗R (x-1) 𝒊 + (y-3) 𝒋 + (z-2) ⃗𝒌 = λ (-5𝒊 - 7𝒋 -9 ⃗𝒌) Igualando en 𝒊 , 𝒋 y ⃗𝒌, obtenemos: 𝜆 = 𝑥−3 −5 = 𝑦−2 −7 = 𝑧−1 −9 es la ecuación de ℓʹ 2) ℓ P8 𝐒 𝐬 P(x,y,z) P4(-1,-2,-3) Si s // ⃗S s = ⃗S ⃗ = λ (-𝒊 - 3𝒋 -5 𝒌 ⃗) (x+1) 𝒊 + (y+2) 𝒋 + (z+3) 𝒌 ⃗ , obtenemos: 𝜆 = Igualando en 𝒊 , 𝒋 y 𝒌 𝑥+1 −1 = 𝑦+2 −3 = 𝑧+3 −5 3) Para hallar el angulo 𝛼 ⃗ = -5𝒊 -7𝒋 -9⃗𝒌 𝑅 = √155 = 12.45 R ⃗ ⃗S = -𝒊 -3𝒋 -5𝒌 𝑆 = √35 = 5.92 ⃗⃗ ⃗ ⃗R. ⃗S = RS cosα 𝑐𝑜𝑠𝛼 = R.S = 𝑅𝑥𝑆𝑥+𝑅𝑦𝑆𝑦+𝑅𝑧𝑆𝑧 = 5+21+45 RS 𝑅𝑆 cosα = 0.9633 α = 15.57 73.704 es la ecuación de ℓ 4) Ecuación del plano, donde se encuentran ℓ y ℓʹ ⃗SxR ⃗ = ⃗⃗N ⃗R P(x,y,z) m ⃗⃗⃗ ⃗S P8(-2,-5,-8) ⃗ ⃗S = -𝒊 -3𝒋 -5𝒌 𝑆 = √35 = 5.92 ⃗R = -5𝒊 -7𝒋 -9⃗𝒌 𝑅 = √155 = 12.45 𝒊 ⃗ = −1 S⃗xR −5 𝒋 −3 −7 ⃗𝒌 −5 −9 ⃗ = 𝒊[(−3)(−9) − (−7)(−5)] − 𝒋 [(−1)(−9) − (−5)(−5)] + ⃗𝒌[(−1)(−7) − (−5)(−3)] S⃗xR ⃗⃗ = -8𝒊 +16𝒋 -8⃗𝒌 = 𝐍 ⃗⃗ 𝐒x𝐑 ⃗ ⃗⃗ = -8𝒊 +16𝒋 -8𝒌 N m ⃗⃗⃗ = (x+2)𝒊 +(y+5)𝒋+(z+8)⃗𝒌 Como ⃗N⃗ es m ⃗⃗⃗ ⃗ .m ⃗⃗⃗ ⃗N = Nm cos90 = 0 ⃗⃗ . m N ⃗⃗⃗ = Nxmx +Nymy +Nzmz = 0 (-8) (x+2) + (16) (y+5) + (-8) (z+8) = 0 - 8x +16y -8z = 0 5) Distancia de P3 a ℓ ℓ ⃗S P4(-1,-2,-3) γ d = Dsenγ ⃗D P3(-2,1,-2) S⃗ = -𝒊 -3𝒋 -5⃗𝒌 𝑆 = √35 = 5.92 ⃗ 𝐷 = √11 = 3.32 ⃗D = -𝒊 +3𝒋 +𝒌 ⃗ ⃗⃗ ⃗S. ⃗⃗D = SD cosγ 𝑐𝑜𝑠𝛾 = S.D = 𝑆𝑥𝐷𝑥+𝑆𝑦𝐷𝑦+𝑆𝑧𝐷𝑧 = 1−9−5 SD 𝑆𝑇 19.65 cosγ = -0.6616 γ = 131.42 d = Dsenγ = 3.32sen131.42 d = 2.49 6) ℓʹ P3(-2,1,-2) dʹ ⃗ R ⃗ E β P2(3,2,1) ⃗ = -5𝒊 -7𝒋 -9⃗𝒌 𝑅 = √155 = 12.45 R ⃗ 𝐸 = √35 = 5.92 ⃗E = -5𝒊 - 𝒋 -3𝒌 ⃗⃗ ⃗ ⃗ .E ⃗ = RE cosβ 𝑐𝑜𝑠𝛽 = R.E = 𝑅𝑥𝐸𝑥+𝑅𝑦𝐸𝑦+𝑅𝑧𝐸𝑧 = 25+7+27 R RE 𝑅𝐸 cosβ = 0.8005 β = 36.82 dʹ = Esenβ = 5.92sen36.82 dʹ = 3.55 73.704