Primer examen parcial
1. Un avión resulta con una velocidad de 604 km/h en la dirección O40N, esto
debido a la presencia de una corriente de aire de 25 km/h en la dirección O50N.
Determine la velocidad del avión (modulo y dirección).
N
⃗R
V
⃗C
V
O
E
N
⃗VA
α
⃗VR
10° ⃗VC
40°
O
E
170° = θʹ
⃗C
-V
⃗⃗VR = V
⃗⃗ A + V
⃗⃗ c
⃗⃗𝐕A = 𝐕
⃗⃗ R - 𝐕
⃗⃗ c
⃗⃗VA = ⃗⃗VR + (-V
⃗⃗ c)
S
𝑉𝐴 = √𝑉𝑅 2 + 𝑉𝑐 2 + 2𝑉𝑅 𝑉𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 ′
𝑉𝐴 = √(604)2 + (25)2 + 2(604)(25) 𝑐𝑜𝑠 1 70° = 579.40
𝑘𝑚
ℎ
𝑉𝐴
𝑉𝐶
=
𝑠𝑒𝑛10 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑉𝐶
25
𝑠𝑒𝑛10 =
𝑠𝑒𝑛10 = 0.0075
𝑉𝐴
579.40
α = 0.43°
Dirección: O (40-α) N
O 39.57° N
2. De un vector tridimensional se conoce la proyección Vʹʹ = 12, β = 53° y θ = 60°.
Determine todos los demás parámetros del vector tridimensional.
Z
⃗z
V
⃗ ʹʹ
V
⃗
V
⃗y
V
⃗x
V
X
2
a) ⃗Vʹʹ = ⃗Vy + ⃗Vz entonces su modulo es 𝑉 ′′ = 𝑉𝑦 2 + 𝑉𝑧 2
122 = (𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝛽)2 + (𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2
144 = 𝑉 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 )
144 = 𝑉 2 (𝑐𝑜𝑠 2 53 + 𝑐𝑜𝑠 2 60)
144 = 𝑉 2 (0.61)
V = 15.36
b) de 𝑉𝑦 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 15.36cos 53
𝑽𝒚 = 9.24
c) de 𝑉𝑧 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 15.36𝑐𝑜𝑠60
𝑽𝒛 = 7.68
d) de 𝑉 2 = 𝑉𝑥 2 + 𝑉𝑦 2 + 𝑉𝑧 2
Y
(15.36)2 = 𝑉𝑥 2 + (9.24)2 + (7.68)2
𝑽𝒙 = 9.57
e) de 𝑉𝑥 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos = 0.6230 = 51.46
f) de 𝑉′ = Vsenθ = (15.36)sen60
𝑽′ = 𝟏𝟑. 𝟑𝟎
g) de 𝑉𝑥 = 𝑉ʹ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 cos φ = 0.7195 φ = 43.98
⃗ = Vx 𝑖 + Vy 𝑗 + Vz 𝑘⃗
h) de V
⃗ = 9.57 𝒊 + 9.24 𝒋 + 7.68 ⃗𝒌
𝐕
⃗ 𝑢
⃗ = ⃗V / V = (9.57 𝑖 + 9.24 𝑗 + 7.68 𝑘⃗) / 15.36
i) de ⃗V = V 𝑢
𝒖
⃗⃗ = 0.62 𝒊 + 0.60 𝒋 + 0.5 ⃗𝒌
3. Del paralelepípedo que se muestra, se conocen los puntos P1(1,3,2); P2(3,2,1);
P3(-2,1,-2) y P4(-1,-2,-3).
Hallar: 1) la ecuación de las líneas ℓ, que pasa por los puntos P4 y P8
2) la ecuación de las líneas ℓʹ, que pasa por los puntos P2 y P8
3) el angulo entre ℓ y ℓʹ
4) la ecuación del plano donde se encuentran ℓ y ℓʹ
5) la distancia del punto P3 a la línea ℓ
6) la distancia del punto P3 a la línea ℓʹ
ℓʹ
α
ℓ
P7
A
P8(x,y,z)
(-2,-5,-8)
S⃗
P4 (-1,-2,-3)
⃗
C
P6
⃗
AR
⃗C
P3(-2,1,-2)
⃗B
A
P5
⃗B
P1(1,3,2)
⃗A
⃗A = 2𝒊 - 𝒋 - ⃗𝒌
𝐴 = √6 = 2.45
⃗
⃗ = -3𝒊 - 2𝒋 -4𝒌 𝐵 = √29 = 5.39
B
⃗
⃗C = -2𝒊 -5𝒋 -5𝒌
𝐶 = √54 = 7.35
P2(3,2,1)
⃗ = (x-3) 𝒊+(y-2) 𝒋+(z-1) 𝒌
⃗ 𝑃8 (−2, −5, −8)
⃗R = ⃗B + ⃗C = -5𝒊 -7𝒋 -9𝒌
⃗S = ⃗A + ⃗B = -𝒊 -3𝒋 -5⃗𝒌
ℓ'
1)
P8
⃗⃗
𝐑
P(x,y,z)
𝐫
P2(3,2,1)
Si r // ⃗R r = ⃗R
(x-1) 𝒊 + (y-3) 𝒋 + (z-2) ⃗𝒌 = λ (-5𝒊 - 7𝒋 -9 ⃗𝒌)
Igualando en 𝒊 , 𝒋 y ⃗𝒌, obtenemos: 𝜆 =
𝑥−3
−5
=
𝑦−2
−7
=
𝑧−1
−9
es la ecuación de ℓʹ
2)
ℓ
P8
𝐒
𝐬
P(x,y,z)
P4(-1,-2,-3)
Si s // ⃗S s = ⃗S
⃗ = λ (-𝒊 - 3𝒋 -5 𝒌
⃗)
(x+1) 𝒊 + (y+2) 𝒋 + (z+3) 𝒌
⃗ , obtenemos: 𝜆 =
Igualando en 𝒊 , 𝒋 y 𝒌
𝑥+1
−1
=
𝑦+2
−3
=
𝑧+3
−5
3) Para hallar el angulo 𝛼
⃗ = -5𝒊 -7𝒋 -9⃗𝒌 𝑅 = √155 = 12.45
R
⃗
⃗S = -𝒊 -3𝒋 -5𝒌
𝑆 = √35 = 5.92
⃗⃗ ⃗
⃗R. ⃗S = RS cosα 𝑐𝑜𝑠𝛼 = R.S = 𝑅𝑥𝑆𝑥+𝑅𝑦𝑆𝑦+𝑅𝑧𝑆𝑧 = 5+21+45
RS
𝑅𝑆
cosα = 0.9633
α = 15.57
73.704
es la ecuación de ℓ
4) Ecuación del plano, donde se encuentran ℓ y ℓʹ
⃗SxR
⃗ = ⃗⃗N
⃗R
P(x,y,z)
m
⃗⃗⃗
⃗S
P8(-2,-5,-8)
⃗
⃗S = -𝒊 -3𝒋 -5𝒌
𝑆 = √35 = 5.92
⃗R = -5𝒊 -7𝒋 -9⃗𝒌 𝑅 = √155 = 12.45
𝒊
⃗ = −1
S⃗xR
−5
𝒋
−3
−7
⃗𝒌
−5
−9
⃗ = 𝒊[(−3)(−9) − (−7)(−5)] − 𝒋 [(−1)(−9) − (−5)(−5)] + ⃗𝒌[(−1)(−7) − (−5)(−3)]
S⃗xR
⃗⃗ = -8𝒊 +16𝒋 -8⃗𝒌 = 𝐍
⃗⃗
𝐒x𝐑
⃗
⃗⃗ = -8𝒊 +16𝒋 -8𝒌
N
m
⃗⃗⃗ = (x+2)𝒊 +(y+5)𝒋+(z+8)⃗𝒌
Como ⃗N⃗ es m
⃗⃗⃗
⃗ .m
⃗⃗⃗
⃗N
= Nm cos90 = 0
⃗⃗ . m
N
⃗⃗⃗ = Nxmx +Nymy +Nzmz = 0
(-8) (x+2) + (16) (y+5) + (-8) (z+8) = 0
- 8x +16y -8z = 0
5) Distancia de P3 a ℓ
ℓ
⃗S
P4(-1,-2,-3)
γ
d = Dsenγ
⃗D
P3(-2,1,-2)
S⃗ = -𝒊 -3𝒋 -5⃗𝒌
𝑆 = √35 = 5.92
⃗ 𝐷 = √11 = 3.32
⃗D = -𝒊 +3𝒋 +𝒌
⃗ ⃗⃗
⃗S. ⃗⃗D = SD cosγ 𝑐𝑜𝑠𝛾 = S.D = 𝑆𝑥𝐷𝑥+𝑆𝑦𝐷𝑦+𝑆𝑧𝐷𝑧 = 1−9−5
SD
𝑆𝑇
19.65
cosγ = -0.6616
γ = 131.42
d = Dsenγ = 3.32sen131.42
d = 2.49
6)
ℓʹ
P3(-2,1,-2)
dʹ
⃗
R
⃗
E
β
P2(3,2,1)
⃗ = -5𝒊 -7𝒋 -9⃗𝒌
𝑅 = √155 = 12.45
R
⃗ 𝐸 = √35 = 5.92
⃗E = -5𝒊 - 𝒋 -3𝒌
⃗⃗ ⃗
⃗ .E
⃗ = RE cosβ 𝑐𝑜𝑠𝛽 = R.E = 𝑅𝑥𝐸𝑥+𝑅𝑦𝐸𝑦+𝑅𝑧𝐸𝑧 = 25+7+27
R
RE
𝑅𝐸
cosβ = 0.8005
β = 36.82
dʹ = Esenβ = 5.92sen36.82
dʹ = 3.55
73.704
