Práctica (Andrade y Espitia) Tema 10 16

PRÁCTICA 16
Ecuaciones Diferenciales.
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden a Variables Separables
1. En las siguientes ecuaciones diferenciales, determinar el orden, el grado (si es posible),
si es lineal o no, la función incógnita y la variable independiente:
(a) (1 − x)y ′′ − 4xy ′ + 5y = cos(x)
(g) (1 − y 2 )dx + xdy = 0
(b) yy ′ + 2y = 1 + x2
(h) (y ′′ )2 − 3yy ′ + xy = 0
(c) x2 dy + (y − xy − xex )dx = 0
(i) y (4) + xy ′′′ + x2 y ′′ − xy ′ + sen(y) = 0
( 2 ) 23
dy
+y =x
(j)
dx2
(d) x3 y (4) − x2 y ′′ + 4xy ′ − 3y = 0
√
( 2 )2
dy
dy
(e)
= 1+
dx
dx2
(f) sen(x)y ′′′ − cos(x)y ′ = 2
d2 t
dt
+ st = 8
2
ds
ds
4 (4)
(l) x y + xy ′′′ = ex
(k) s2
2. Verifique que las siguientes funciones (explı́citas o implı́citas) son soluciones de las
correspondientes ecuaciones diferenciales:
(a) y ′ = 2x ;
y = x2 + c
(b) xy ′ = 2y ;
y = cx2
(c) yy ′ = e2x ; y 2 = e2x + c
(d) xy ′ = y + x2 + y 2 ; y = xtan(x)
√
(e) xy ′ + y = y ′ 1 − x2 y 2 ; y = arcsen(xy)
(f) (ycos(y) − sen(y) + x)y ′ = y ; y + sen(y) = x
3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando separación de variables:
dy
= sen(5x)
dx
dy
= (x + 1)2
(b)
dx
(c) dx + e3x dy = 0
(a)
(d) (x + 1)y ′ = x + 6
(e) xy ′ = 4y
dy
y3
= 2
(f)
dx
x
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
(g)
x2 y 2
dx
=
dy
1+x
(h)
dy
= e3x+2y
dx
(i) (4y + yx2 )dy − (2x + xy 2 )dx = 0
(j) (1 + x2 + y 2 + x2 y 2 )dy = y 2 dx
(k) 2y(x + 1)dy = xdx
36
dx
(l) y ln(x)
=
dy
(
y+1
x
)2
(m) sec2 (x)dy + csc(y)dx = 0
dy
(n) ex y
= e−y + e−2x−y
dx
dy
xy + 3x − y − 3
(o)
=
dx
xy − 2x + 4y − 8
dy
(p)
=
dx
(q) 2
(
2y + 3
4x + 5
)2
2x
dy 1
− =
dx y
y
dy
(1 + x2 )− 2
(r)
=
1
dx
(1 + y 2 ) 2
1
4. Resuelva la ecuación diferencial por separación de variables, sujeta a la condición inicial
respectiva:
(a) (e−y + 1)sen(x)dx = (1 + cos(x))dy ;
y(0) = 0
(b) (1 + x4 )dy + x(1 + 4y 2 )dx = 0 ; y(1) = 0
√
(c) ydy = 4x 1 + y 2 dx = 0 ; y(0) = 1
dy
(d)
+ ty = y ; y(1) = 3
dx
dx
(e)
= 4(x2 + 1) ; x( π4 ) = 1
dy
(f) x2 y ′ = y − xy ; y(−1) = −1
dy
y2 − 1
= 2
; y(2) = 2
dx
x −1
dy
5
(h)
+ 2y = 1 ; y(0) = −
dt
2
(g)
Elaborado por: Profa. Andrade / Prof. Espitia
37