Subido por Thomas Lombeida

1.1a Métricas y espacios métricos (1)

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17/05/2022
Cálculo de una variable
Métricas y espacios métricos
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Métricas y espacios métricos
Objetivos
• Demostrar que una función dada cumple con las
propiedades para ser una métrica.
• Definir matemáticamente lo que representa un espacio
métrico.
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Métricas y espacios métricos
Introducción
¿Qué deportes te agradan?
• Fútbol, basket, volley, tenis, natación pueden ser deportes
muy interesantes, pero si deseas participar en uno,
necesitas conocer las reglas del juego.
• En las matemáticas esto aplica de igual forma, además de
que son ¡más interesantes!
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Métricas y espacios métricos
Conceptos
• Un concepto muy familiar y
ampliamente utilizado es el de
distancia.
• Pero, ¿qué hay detrás de este
concepto?
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Métricas y espacios métricos
Conceptos
¿Cómo se definen los espacios reglamentarios
dentro de una cancha de tenis?
• Supongamos que la cancha se conforma por una
serie de puntos dispuestos en un espacio
rectangular, ¡tenenos un conjunto!
• Supongamos que disponemos de 2 puntos
representados tal vez por x, y, dentro del
conjunto de puntos en la cancha, ¡tenemos
elementos!
y
x
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Métricas y espacios métricos
Conceptos
• Si trazamos un segmento de recta que
conecte a ambos elementos, ¿qué
podríamos estar calculando?
• ¿Qué obtenemos si aplicamos la
diferencia entre x e y?
y
x
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Métricas y espacios métricos
Conceptos
• Hasta ahora hemos definido un conjunto, elementos que
los conforman y una manera de relacionarlos (la diferencia,
en el ejemplo).
• Entonces, ¿cómo se definen los espacios reglamentarios
dentro de una cancha de tenis?
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Métricas y espacios métricos
Definición
Sea 𝑋 un conjunto no vacío. Una métrica o función distancia
en 𝑋 es una función 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ que satisface las siguientes
condiciones:
a) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0
b) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
si 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 entonces 𝑥 = 𝑦
c) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥) (simetría)
d) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 𝑑 𝑥, 𝑧 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑦 + 𝑑(𝑦, 𝑧)
(desigualdad triangular)
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Métricas y espacios métricos
Definición
• Al par (𝑋, 𝑑) compuesto por el conjunto no vacío 𝑿 y la
métrica 𝒅 se denomina espacio métrico.
• A cada elemento del espacio métrico (𝑋, 𝑑) le
denominaremos punto.
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Métricas y espacios métricos
Definición
¿Todos los caminos llevan a
Roma?
La métrica o función distancia
puede definirse de múltiples
maneras para un mismo
conjunto.
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Métricas y espacios métricos
Ejemplo 1
Un ejemplo de métrica en ℝ es la función 𝑑1 𝑥, 𝑦 = |𝑥 − 𝑦|
7
2
𝑑1 2, 7 = 2 − 7 = 5
El par (ℝ, 𝑑1 ) es un espacio métrico.
A esta métrica la denominaremos métrica euclídea en ℝ.
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Métricas y espacios métricos
Demostración del ejemplo 1
La función 𝑑1 𝑥, 𝑦 = |𝑥 − 𝑦| es una métrica en ℝ. Observe:
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
𝑑1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 ≥ 0 por definición de la función valor absoluto.
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
𝑑1 𝑥, 𝑦 = 0 ⇒
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
𝑑1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 =
𝑥−𝑦 =0 ⇒
−1 𝑦 − 𝑥
𝑥−𝑦 = 0
⇒
𝑥=𝑦
= −1 𝑦 − 𝑥 = 𝑦 − 𝑥 = 𝑑1 (𝑦, 𝑥)
Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
𝑑1 𝑥, 𝑧 = 𝑥 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 ≤ 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑑1 𝑥, 𝑦 + 𝑑1 (𝑦, 𝑧)
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Métricas y espacios métricos
Ejemplo 2
La función en ℝ:
𝑑2 𝑥, 𝑦 = ቊ
0 ; 𝑥=𝑦
1 ; 𝑥≠𝑦
7
2
es una métrica.
𝑑 2, 7 = 1
El par (ℝ, 𝑑2 ) es un espacio métrico.
A esta métrica la denominaremos métrica discreta.
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Métricas y espacios métricos
Comparación de ejemplos 1 y 2
Un mismo conjunto puede ser dotado de dos métricas distintas:
ℝ, 𝑑1
7
2
𝑑1 2, 7 = 2 − 7 = 5
ℝ, 𝑑2
7
2
𝑑2 2, 7 =1
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Métricas y espacios métricos
Ejemplos 3 y 4
Ejemplo 3. En el conjunto 𝑋 = ℝ2 una métrica es la función:
𝑑3 𝑥1 , 𝑦1 , (𝑥2 , 𝑦2 ) = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
El par (ℝ2, 𝑑3 ) es un espacio métrico. A esta métrica la denominaremos métrica
euclídea en ℝ2.
Ejemplo 4. En el conjunto 𝑋 = ℝ2 una métrica es la función:
𝑑 𝑇 𝑥1 , 𝑦1 , (𝑥2 , 𝑦2 ) = 𝑥1 − 𝑥2 + |𝑦1 − 𝑦2|
El par (ℝ2, 𝑑 𝑇 ) es un espacio métrico. A esta métrica la denominaremos métrica
del taxista en ℝ2.
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Métricas y espacios métricos
Ejemplos 3 y 4
La distancia entre P(1, 1) y Q(7, 9) es:
y
7
Q(9, 7)
6
En (ℝ2 , 𝑑3 ):
5
4
𝑑3 1,1 , (9, 7) =
8
2
+ 6
2
= 10
3
2
En (ℝ2 , 𝑑
𝑇 ):
1
P(1, 1)
-3
-2
-1
0
1
2
x
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
𝑑 𝑇 1,1 , (9, 7) = 1 − 9 + 1 − 7 = 14
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