17/05/2022 Cálculo de una variable Métricas y espacios métricos 2 Métricas y espacios métricos Objetivos • Demostrar que una función dada cumple con las propiedades para ser una métrica. • Definir matemáticamente lo que representa un espacio métrico. 1 17/05/2022 3 Métricas y espacios métricos Introducción ¿Qué deportes te agradan? • Fútbol, basket, volley, tenis, natación pueden ser deportes muy interesantes, pero si deseas participar en uno, necesitas conocer las reglas del juego. • En las matemáticas esto aplica de igual forma, además de que son ¡más interesantes! 4 Métricas y espacios métricos Conceptos • Un concepto muy familiar y ampliamente utilizado es el de distancia. • Pero, ¿qué hay detrás de este concepto? 2 17/05/2022 5 Métricas y espacios métricos Conceptos ¿Cómo se definen los espacios reglamentarios dentro de una cancha de tenis? • Supongamos que la cancha se conforma por una serie de puntos dispuestos en un espacio rectangular, ¡tenenos un conjunto! • Supongamos que disponemos de 2 puntos representados tal vez por x, y, dentro del conjunto de puntos en la cancha, ¡tenemos elementos! y x 6 Métricas y espacios métricos Conceptos • Si trazamos un segmento de recta que conecte a ambos elementos, ¿qué podríamos estar calculando? • ¿Qué obtenemos si aplicamos la diferencia entre x e y? y x 3 17/05/2022 7 Métricas y espacios métricos Conceptos • Hasta ahora hemos definido un conjunto, elementos que los conforman y una manera de relacionarlos (la diferencia, en el ejemplo). • Entonces, ¿cómo se definen los espacios reglamentarios dentro de una cancha de tenis? 8 Métricas y espacios métricos Definición Sea 𝑋 un conjunto no vacío. Una métrica o función distancia en 𝑋 es una función 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ que satisface las siguientes condiciones: a) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0 b) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 si 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 entonces 𝑥 = 𝑦 c) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥) (simetría) d) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 𝑑 𝑥, 𝑧 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑦 + 𝑑(𝑦, 𝑧) (desigualdad triangular) 4 17/05/2022 9 Métricas y espacios métricos Definición • Al par (𝑋, 𝑑) compuesto por el conjunto no vacío 𝑿 y la métrica 𝒅 se denomina espacio métrico. • A cada elemento del espacio métrico (𝑋, 𝑑) le denominaremos punto. 10 Métricas y espacios métricos Definición ¿Todos los caminos llevan a Roma? La métrica o función distancia puede definirse de múltiples maneras para un mismo conjunto. 5 17/05/2022 11 Métricas y espacios métricos Ejemplo 1 Un ejemplo de métrica en ℝ es la función 𝑑1 𝑥, 𝑦 = |𝑥 − 𝑦| 7 2 𝑑1 2, 7 = 2 − 7 = 5 El par (ℝ, 𝑑1 ) es un espacio métrico. A esta métrica la denominaremos métrica euclídea en ℝ. 12 Métricas y espacios métricos Demostración del ejemplo 1 La función 𝑑1 𝑥, 𝑦 = |𝑥 − 𝑦| es una métrica en ℝ. Observe: Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ 𝑑1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 ≥ 0 por definición de la función valor absoluto. Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ 𝑑1 𝑥, 𝑦 = 0 ⇒ Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ 𝑑1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = 𝑥−𝑦 =0 ⇒ −1 𝑦 − 𝑥 𝑥−𝑦 = 0 ⇒ 𝑥=𝑦 = −1 𝑦 − 𝑥 = 𝑦 − 𝑥 = 𝑑1 (𝑦, 𝑥) Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ 𝑑1 𝑥, 𝑧 = 𝑥 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 ≤ 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑑1 𝑥, 𝑦 + 𝑑1 (𝑦, 𝑧) 6 17/05/2022 13 Métricas y espacios métricos Ejemplo 2 La función en ℝ: 𝑑2 𝑥, 𝑦 = ቊ 0 ; 𝑥=𝑦 1 ; 𝑥≠𝑦 7 2 es una métrica. 𝑑 2, 7 = 1 El par (ℝ, 𝑑2 ) es un espacio métrico. A esta métrica la denominaremos métrica discreta. 14 Métricas y espacios métricos Comparación de ejemplos 1 y 2 Un mismo conjunto puede ser dotado de dos métricas distintas: ℝ, 𝑑1 7 2 𝑑1 2, 7 = 2 − 7 = 5 ℝ, 𝑑2 7 2 𝑑2 2, 7 =1 7 17/05/2022 15 Métricas y espacios métricos Ejemplos 3 y 4 Ejemplo 3. En el conjunto 𝑋 = ℝ2 una métrica es la función: 𝑑3 𝑥1 , 𝑦1 , (𝑥2 , 𝑦2 ) = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 El par (ℝ2, 𝑑3 ) es un espacio métrico. A esta métrica la denominaremos métrica euclídea en ℝ2. Ejemplo 4. En el conjunto 𝑋 = ℝ2 una métrica es la función: 𝑑 𝑇 𝑥1 , 𝑦1 , (𝑥2 , 𝑦2 ) = 𝑥1 − 𝑥2 + |𝑦1 − 𝑦2| El par (ℝ2, 𝑑 𝑇 ) es un espacio métrico. A esta métrica la denominaremos métrica del taxista en ℝ2. 16 Métricas y espacios métricos Ejemplos 3 y 4 La distancia entre P(1, 1) y Q(7, 9) es: y 7 Q(9, 7) 6 En (ℝ2 , 𝑑3 ): 5 4 𝑑3 1,1 , (9, 7) = 8 2 + 6 2 = 10 3 2 En (ℝ2 , 𝑑 𝑇 ): 1 P(1, 1) -3 -2 -1 0 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 𝑑 𝑇 1,1 , (9, 7) = 1 − 9 + 1 − 7 = 14 8 17/05/2022 Cálculo de una variable Métricas y espacios métricos 9