Iteración matricial y Jacobi v5 (1)

Álgebra Lineal Numérica – Curso 2022
Iteración matricial y convergencia del método de
Jacobi
1. Convergencia de una iteración matricial
n
Consideramos la sucesión en R definida a partir de un punto inicial x ( 0 ) por la
iteración x ( k 1)  Qx ( k )  r .
Esta sucesión converge si x ( k )  x , lo que equivale a que la sucesión numérica
k 
x
(k )
 x  0.
k 
El límite x cumple x  Qx  r , y decimos que es un punto fijo de la iteración.
 
Definiendo el vector e ( k )  x ( k )  x , la convergencia de la sucesión x (k )

equivale a e ( k )  0 o también a e ( k )  0
k 
k 
El vector e ( k )  x ( k )  x cumple e( k 1)  Qe ( k ) y por lo tanto e( k )  Q k e( 0) .
Si trabajamos con normas de matriz de la forma A  max Ax , sabemos que
x 1
se cumple: Ax  A x
x,
AB  A B .
 
Una condición suficiente para que la sucesión x (k ) sea convergente es que la
matriz de la iteración tenga alguna norma menor que 1:
e( k )  Q k e(0)  Q e(0)  0 si
k
Q  1.
Más adelante definiremos el radio espectral  ( A) de una matriz A nxn (el mayor
módulo de sus valores propios), y se puede probar que la condición suficiente de
convergencia del método iterativo matricial es  (Q)  1
2. Método de Jacobi
Considero el sistema Ax=b con la matriz separada como suma A=D+F donde
D es la matriz diagonal con la diagonal de A, que suponemos sin elementos
nulos.
El sistema equivale a la ecuación x   D 1 Fx  D 1b , y la iteración queda
definida por
x ( k 1)  D 1 Fx ( k )  D 1b
Si
x (k )  x entonces
x   D 1 Fx  D 1b  Ax  b
k 
3. Convergencia Jacobi con A diagonal dominante
Supongamos que la matriz de coeficientes del sistema Ax=b es diagonal
dominante:
aij
aij  aii i  1,  , n  
1

j i
j i aii
Veamos que esta condición implica que la matriz Q   D 1F de la iteración
tiene norma infinito menor que 1:
Fii  0 i  Qii  0 i

aij

Fij  aij j  i  Qij   a
ii

Entonces
Q

ji
 máx  Qij  máx 
i
j
i
j i
aij
aii
1