Álgebra Lineal para estudiantes de ingeniería-Villase or Aguilar-1

Álgebra Lineal
Para estudiantes de ingeniería
Gabriel Villaseñor Aguilar
EDICIÓN 2015
Solo con fines educativos
Villaseñor A. Gabriel, Gutiérrez G. Enif,
Escudero G. Carlos, Vega C. Rubén,
Espinosa R. Salomón, Espinosa R. Josúe
Álgebra
Lineal
Para estudiantes de ingeniería
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Morelia. Departamento de Ciencias Básicas.
Acerca de los autores
Gabriel Villaseñor Aguilar.Doctor en Matemáticas por la Universidad
Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH) y Doctor en Ciencias
Matemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).
Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente
labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrito al Departamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por participar como asesor del equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos
organizados el Tecnológico Nacional de México (TNM), ha participado
como jurado en los concursos organizados por la Asociación Nacional
de Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI), colabora también como
docente de sistema abierto en la maestría de la Universidad Politécnica
de Aguascalientes (UPA), actualmente ocupa el cargo de coordinador de
educación continua y a distancia del Tecnológico de Morelia.
Enif Guadalupe Gutiérrez Guerrero. Doctora en Ciencias en el área
de Física por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH). Es miembro del Registro de Investigadores Michoacanos
(RIM) y del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrita al Departamento de Ciencias Básicas y se ha destacado por participar como asesora del
equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos organizados por la Asociación Nacional de Facultades y Escuelas de Ingeniería
(ANFEI) y el Tecnológico Nacional de México (TNM). Cuenta con experiencia docente hasta nivel Posgrado.
Carlos Fabián Escudero García. Maestro en Ingeniería Mecánica por el
Instituto Tecnológico de Morelia (ITM). Laboró para las empresas Cannon Mills S.A. de C.V., Textil Alma S.A. de C.V., Meratex S.A. de C.V., Canofil S.A. de C.V. y Ponan Mills S.A. de C.V. desde 1993 a 2009. Docente colaborador en el Departamento de Ingeniería Industrial de la Universidad
Marista de Guadalajara (UMG) en varios semestres durante el periodo de
1998 a 2005. Actualmente labora en el ITM como Jefe del Departamento
de Ingeniería Eléctrica, desempeñandose antes también, como Jefe del
Departamento de Ciencias Básicas en la misma institución.
III
Salomón Espinosa Romero. Ingeniero Electrónico por el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM) y candidato a obtener el grado de M.C. en
Ingeniería Eléctrica. Ha participado en la producción de distintos programas locales y nacionales de radio y TV. Actualmente labora en el ITM
adscrito al Departamento de Ciencias Básicas, donde se ha destacado
por participar como asesor del equipo de estudiantes representativo de
la Institución en los concursos organizados por la Asociación Nacional
de Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI) y el Tecnológico Nacional de México (TNM), además de ser el responsable del Laboratorio de
Dibujo y Cómputo del mismo Departamento de Ciencias Básicas.
Rubén Vega Cano. Maestro en Ciencias por el Centro de Investigación
y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAVIPN). Actualmente labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM),
adscrito al Departamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por participar como asesor del equipo de estudiantes representativo del ITM
en los concursos organizados por el Tecnológico Nacional de México
(TNM). Cuenta con experiencia docente hasta nivel Posgrado.
Josué Espinosa Romero. Ingeniero en Sistemas Computacionales por la
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH). Actualmente labora como docente interino en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM).
prefacio
El álgebra lineal aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento
lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas.
Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniería, se pueden aproximar
a través de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenómenos y convertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar, graficar y resolver que uno no
lineal, de allí la importancia de estudiar álgebra lineal.
Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una herramienta para resolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y de aplicaciones de la ingeniería.
Está diseñada para el logro de siete competencias específicas dirigidas a la aprehensión de
los dominios: números complejos, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales,
espacios vectoriales, base y dimensión de un espacio vectorial y transformaciones lineales.
Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que se aplicarán en ecuaciones diferenciales y en otras materias de especialidad.
El propósito de estas notas de Álgebra lineal, es complementar al estudiante en el aprendizaje
y manejo de los conceptos básicos u operaciones entre números complejos, así como generar
herramientas técnicas para encontrar la solución de distintos problemas que involucran a los
números complejos.
Este trabajo representa un esfuerzo de síntesis en la selección del conjunto de ejemplos y problemas, cada uno de ellos con un especial interés en que su contenido sea lo mas representativo
posible de el tema correspondiente.
El objetivo de este trabajo es presentar los principales conceptos básicos de la materia de Álgebra lineal así como de sus aplicaciones, orientando de esta forma la metodología para que el
estudiante pueda identificar y construir un modelo matemático, además ser capaz de resolverlo.
La asignatura pretende proporcionar al alumno los conceptos esenciales del álgebra lineal. Se
organiza el temario en cinco unidades. Primeramente se estudian los números complejos como una extensión de los números reales, tema ya abordado en otros cursos de matemáticas. Se
propone iniciar con esta unidad para así utilizar los números complejos en el álgebra de matrices y el cálculo de determinantes. Además, el concepto de número complejo será retomado en
el curso de ecuaciones diferenciales.
El estudio de Matrices y determinantes se propone como segunda unidad y previo a los sistemas de ecuaciones lineales con la finalidad de darle la suficiente importancia a las aplicaciones
de las matrices, ya que prácticamente todos los problemas del álgebra lineal pueden enunciarse en términos de matrices. Por la necesidad de que el alumno comprenda si una matriz tiene
V
inversa, además del cálculo para obtenerla, se ha añadido antes del subtema cálculo de la inversa de una matriz, los conceptos: Transformaciones elementales por renglón, escalonamiento
de una matriz y rango de una matriz.
Es importante, para el estudiante, aprender el concepto de transformaciones elementales por
renglón para desarrollar el escalonamiento de una matriz como método para obtener la inversa. Para determinar si una matriz tiene inversa o no, evitando el concepto de determinante en
este momento, se aborda el concepto de rango como el número de renglones con al menos un
elemento diferente de cero de cualquiera de sus matrices escalonadas. Asimismo, se propone
que al final de la unidad dos se estudien aplicaciones tales como análisis de redes, modelos
económicos y gráficos. Es importante resaltar que lo analizado aquí se utilizará en unidades
posteriores de esta asignatura como en la dependencia lineal de vectores y la representación
de transformaciones lineales, y en otras asignaturas como en el cálculo del wronskiano para la
dependencia lineal de funciones.
En la siguiente unidad se estudian los espacios vectoriales que se presentan en el temario de
manera concisa, pero comprenden lo esencial de ellos. El temario de transformaciones lineales se presenta condensado haciendo énfasis en las aplicaciones y en la transformación lineal
como una matriz.
Los contenidos presentados constituyen los elementos básicos indispensables. Se proponen
actividades de aprendizaje que permitan al alumno conocer el ambiente histórico que da origen a los conceptos del álgebra lineal, y a partir de ello extender el conocimiento.
Las actividades de aprendizaje recomendadas pretenden servir de ejemplo para el desarrollo
de las competencias, mencionadas más adelante en este documento, y se propone adecuarlas
a la especialidad y al contexto institucional.
Prólogo
Prólogo a la primera edición
Este texto está orientado de acuerdo a los planes de estudio requeridos para el curso de Álgebra Lineal
que se imparte en el Tecnológico Nacional de México, y es el logro de un trabajo colegiado y soportado
por la Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia, motivado por establecer un
material de apoyo a las tradicionales notas para la clase de cada docente, con características propias e
inherentes a las capacidades actuales de nuestros estudiantes.
Una de las fortalezas en este material, es su posibilidad de mejorar continuamente los contenidos, pues
se enriquece al tomar las experiencias diaria de los docentes y su interacción con los estudiantes, garantizando una constante inclusión de métodos y herramientas disponibles para tales efectos.
El desarrollo del material, hace énfasis en el entendimiento de los principales conceptos del Álgebra
Lineal, buscando presentarlos de manera intuitiva, por lo que se sugiere al docente y estudiante realizar
un repaso de razonamientos previos a esta materia que se suponen conocidos.
Los temas a desarrollar se resumen en el nombre de sus cuatro unidades temáticas, abordados de manera gradual y en gran medida de forma intuitiva:
1. Números complejos.
2. Matrices y determinantes.
3. Espacios vectoriales.
4. Transformaciones lineales.
Es necesario enfatizar, que en el esfuerzo de este texto, se adicionan otros materiales de apoyo como lo
son formularios, gráficos, ejercicios resueltos, autoevaluaciones, pero sobre todo, un importante curso
masivo, abierto y ofrecido en línea (MOOC) sobre Álgebra Lineal, de manera gratuita a todos los interesados en la modalidad de aprendizaje autodidacta, acondicionado para tomarlo a la par de esta asignatura
en un periodo semestral, herramienta que sin duda, es un punto y aparte en el esfuerzo por reducir
los índices de reprobación que se presentan en las asignaturas del área de ciencias básicas de nuestro
sistema.
Por último, es importante mencionar que estos trabajos, no sustituyen la aportación que desempeñan
libros clásicos del tema, pero sobre todo, la presencia del maestro y su interacción con el estudiante en
el aula.
Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia.
Competencias a desarrollar
Competencias específicas
Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería.
Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas.
Competencias genéricas
Procesar e interpretar datos
Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascendente y verbal.
Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.
Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.
Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.
Resolución de problemas.
Analizar la factibilidad de las soluciones.
Toma de decisiones.
Reconocimiento de conceptos o principios integradores.
Establecer generalizaciones.
Argumentar con contundencia y precisión.
Objetivo general del curso (competencia específica a desarrollar
en el curso)
Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas
de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades de
los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y
vincularlos con otras ramas de las matemáticas.
Competencias previas
Manejar el concepto de los números reales y su representación gráfica.
Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.
Resolver ecuaciones cuadráticas.
Emplear las funciones trigonométricas.
Graficar rectas y planos.
Obtener un modelo matemático de un enunciado.
Utilizar software matemático.
Sugerencias didácticas (desarrollo de competencias genéricas)
Despertar la curiosidad de la investigación con biografías de personas que hicieron aportaciones a las matemáticas o problemas hipotéticos con el fin de acrecentar el sentido y
la actitud crítica del estudiante.
Utilizar software de matemáticas (Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab) y calculadoras
graficadoras para facilitar la comprensión de conceptos, la resolución de problemas, la
construcción de gráficas y la interpretación de resultados.
Desarrollar prácticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos y los relacionen con su carrera.
Proponer problemas que:
• Permitan al estudiante la integración de los contenidos, para su análisis y solución.
• Refuercen la comprensión de conceptos que serán utilizados en materias posteriores.
• Modelen y resuelvan situaciones reales de ingeniería mediante conceptos propios
del álgebra lineal.
Discutir en grupos para intercambiar ideas argumentadas así como analizar conceptos y
definiciones.
Desarrollar la inducción, deducción, síntesis y análisis para fomentar las cualidades de
investigación.
Sugerencias de evaluación
La evaluación de la asignatura debe de ser continua y se debe considerar el desempeño en
cada una de las actividades de aprendizaje, haciendo especial énfasis en obtener evidencias de
aprendizaje como:
Reportes escritos.
Solución de ejercicios.
Actividades de investigación.
Elaboración de modelos o prototipos.
Análisis y discusión grupal.
Resolución de problemas con apoyo de software.
Exámenes escritos para comprobar el manejo de aspectos teóricos y declarativos.
Í NDICE GENERAL
ENERAL
P RÓLOGO
1
N ÚMEROS C OMPLEJOS
1
1.1
Números imaginarios.
2
1.2
Definición de números complejos
3
1.3
Operaciones con números complejos.
Suma de números complejos.
Multiplicación de números complejos.
Módulo o valor absoluto de un número complejo.
Números complejos conjugados.
División de números complejos
5
5
6
7
8
9
1.4
Formas polar y exponencial de un número complejo.
10
1.5
Potencias y raíces de un número complejo.
Potencia de un número complejo.
Raíces de un número complejo
Potencias fraccionarias
12
12
13
15
1.6
Logaritmo de un número complejo.
16
1.7
Ecuaciones polinomiales complejas
18
18
19
20
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de segundo grado
Polinomios de grado superior
1.8
Evaluaciones sumativas
Ejercicios
2
VII
M ATRICES Y D ETERMINANTES
2.1
Definición de matriz, notación y orden
2.2
Operaciones con matrices
Clasificación de una matriz de acuerdo a los elementos que contiene
Suma de matrices.
Multiplicación de matrices
Clasificación de matrices de acuerdo a sus operaciones
2.3
Matrices escalonadas y escalonadas reducidas
Método de Gauss
Método de Gauss-Jordan
2.4
Determinante de una matriz
21
21
23
24
25
27
27
28
30
34
35
37
38
XI
2.5
2.6
Inversa de una matriz
44
45
Sistemas de ecuaciones lineales
48
Interpretación geométrica
Solución de sistemas de ecuaciones.
2.7
Evaluaciones sumativas
Ejercicios
3
E SPACIOS V ECTORIALES
57
57
59
Definición de un espacio vectorial
60
3.2
Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades
64
66
67
3.3
Dependencia e independencia lineal
69
3.4
Base y dimensión de un espacio vectorial
73
3.5
Ortonormalización
76
Cambio de la base canónica a otra base
Cambio de bases en general
Bases ortonormales
3.6
Evaluaciones sumativas
Ejercicios
T RANSFORMACIONES L INEALES
76
78
79
82
82
85
4.1
Definición y propiedades de una transformación lineal
85
4.2
Núcleo e imagen de una transformación lineal
89
4.3
Representación matricial de una transformación lineal
95
4.4
Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales
98
4.5
Evaluaciones sumativas
Ejercicios
A
50
52
3.1
Intersección de subespacios vectoriales
Suma de subespacios vectoriales
4
43
Método de la adjunta
Método de Gauss-Jordan
F ÓRMULAS DE GEOMETRÍA
108
108
111
A.1
Figuras geométricas 2D
111
A.2
Figuras geométricas 3D
112
A.3
Geometría plana
113
B
F ÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA
115
C
F ÓRMULAS DE DERIVADAS
117
D
F ÓRMULAS DE INTEGRALES
119
E
F ÓRMULAS DE CÁLCULO VECTORIAL
123
F
R ESPUESTA A EJERCICIOS PROPUESTOS
125
B IBLIOGRAFÍA
132
1
1
Números Complejos
Introducción
Los números complejos son una extensión de los números reales y se denotan con la letra
mayúscula C. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y
uno imaginario, conservando todas las propiedades de los números reales.
Los números complejos son importantes en el álgebra, variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras. Son utilizados con especial énfasis en la
matemática pura, mecánica cuántica y la ingeniería, especialmente en la electrónica y sistemas
computacionales.
Competencia específica a desarrollar
Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y
en diferentes aplicaciones de ingeniería.
Actividades de Aprendizaje
Investigar el origen del término número imaginario.
Discutir el proceso de solución de una ecuación cuadrática que cumpla la condición b 2 −
p
4ac < 0 para introducir la definición de i = −1 .
Comprobar las soluciones de una ecuación cuadrática que cumpla la condición b 2 −
4ac < 0 para introducir las operaciones de suma y multiplicación de números complejos.
Reconocer que cualquier potencia del número imaginario i se puede representar como
±i o ±1.
Graficar un mismo número complejo en la forma rectangular y su forma polar en el plano
complejo para deducir las fórmulas de transformación entre diferentes formas de escribir números complejos.
Analizar la fórmula de Euler para convertir un número complejo a su forma polar o rectangular.
Ejercitar las operaciones de suma, multiplicación y división con complejos representados en sus diferentes formas.
1.1 Números imaginarios. Álgebra lineal.
Analizar el teorema de De Moivre y aplicarlo para extraer potencias y raíces de números
complejos.
Resolver ecuaciones polinómicas con raíces complejas.
Utilizar software matemático para resolver operaciones con números complejos.
Resolver problemas de aplicación en ingeniería que involucren el uso de los números
complejos.
1.1
2
Números imaginarios.
x2 + a = 0
donde
a ∈ R+
p
llegamos a que x = ± −a, pero esto no es un número real, así que dentro de los números
reales ésta ecuación no tiene solución. ¿Qué podemos hacer?, lo primero que se puede intentar
es agregar ese número al conjunto de los de los números reales y listo. El problema es que
deberíamos agregar muchos valores (todos los que pueda tomar a), lo cual no es práctico; sin
embargo, podemos hacer lo siguiente: cada vez que tengamos una raíz de un número negativo
lo separamos de la siguiente manera
p
p p
p
−a = (−1)(a) = a −1
Como este procedimiento siempre es válido y la
p
con la −1, esto nos conduce a
Definición 1.1
p
a es un número real, el único problema sería
Número imaginario
La raíz cuadrada del número negativo −1 se define como
i=
p
−1,
donde a i se le denomina unidad imaginaria.
Con esto resolvemos completamente nuestro problema. Observemos que acabamos de definir
un conjunto de números muy grande; el de los imaginarios, que se representa con la letra I
y cuyos elementos son de la forma a i donde a es cualquier número real e i es el de nuestra
definición anterior.
Una de las características importantes de los números imaginarios se observa cuando los elevamos a potencias enteras. Veamos como se comportan
p
−1,
p
i 2 = ( −1)2 = −1,
p
i 3 = i 2 i = − −1 = −i ,
i=
i 4 = i 3 i = (−i )(i ) = −(i )2 = 1,
Números Complejos
Los números imaginarios surgen de la necesidad de resolver problemas que con números reales
son difíciles o imposibles de solucionar, uno de estos casos ocurre cuando es necesario obtener
las raíces cuadradas de un número negativo; por ejemplo, al resolver la ecuación
1.2 Definición de números complejos Álgebra lineal.
i 5 = i 4 i = (1)(i ) = i ,
i 6 = i 5 i = (i )(i ) = −1.
Como podemos observar, después de la potencia 4 el resultado es cíclico, por lo que podríamos expresar cualquier potencia de i en términos de las primeras 4 (más específicamente, en
términos de i o 1), usando el teorema de la división euclidiana en la siguiente forma
i n = i 4(m)+q
donde
0≤q <4
y
m, q ∈ Z
El hecho de descomponer a n en una expresión que contiene una multiplicación de 4 por un
factor, es porque sabemos que i 4 = 1 y podemos aprovechar esta situación para simplificar
nuestra expresión.
Ejemplo 1.1
Potencias del número imaginario i
Considerando las características exponenciales del número imaginario, expresa i 39 en
términos de i o 1.
Solución .
Primero descomponemos 39 = 4(9) + 3 luego escribimos
i 39 = i 4(9)+3 = (i 4 )9 (i 3 ) = (1)9 (i 3 ) = i 3 = −i .
Ejemplo 1.2
Potencias del número imaginario i
Considerando las características exponenciales del número imaginario, expresa i −23 en
términos de i o 1.
Solución .
Primero descomponemos −23 = 4(−6) + 1 luego escribimos
i −23 = i 4(−6)+1 = (i 4 )−6 (i ) = (1)−6 (i ) = i .
Ejemplo 1.3
Número imaginario elevado a la potencia cero
Expresar i 0 en términos de i o 1.
Solución .
Al igual que en los ejemplos anteriores, descomponemos 0 = 4(0) + 0 = 4(0), para luego
escribir
i 0 = i 4(0) = (i 4 )0 = (1)0 = 1.
1.2
Definición de números complejos
Observemos que se pueden identificar los números reales dentro del plano cartesiano como el
par (x, 0), x ∈ R. También podemos representar al conjunto de números imaginarios como el
3
1.2 Definición de números complejos Álgebra lineal.
Eje Imaginario
Eje Real
4
Figura 1.1. Plano complejo
Definición 1.2
Números complejos
El conjunto de números complejos C se define como el conjunto de todos los pares ordenados z = (x, y), con x, y ∈ R.
A los elementos de este conjunto, los podemos ubicar dentro del plano complejo en forma similar a como lo hacemos con el par ordenado (x, y) ∈ R2 dentro del plano cartesiano. Lo anterior
se lleva a cabo realizando dos recorridos partiendo del origen del plano: el primero avanzando
x unidades sobre el eje real, seguido de un avance de y unidades en dirección paralela al eje
imaginario; el segundo con un desplazamiento de y unidades sobre el eje imaginario, seguido
de un desplazamiento de x unidades en dirección paralela al eje real. El punto donde se cruzan
estos dos recorridos, corresponde a el número complejo z = x + yi , como lo muestra la figura
1.2.
Eje Imaginario
=
+ 𝑖
Eje Real
Figura 1.2. Números complejos en el plano
La figura anterior sugiere que se puede proponer que un número complejo z se obtiene sumando un elemento real con uno imaginario en la forma
z = (x, 0) + (0, y) = (x, y).
Números Complejos
par ordenado (0, y), con y ∈ R. De esta forma obtenemos gráficamente el plano complejo, en la
siguiente forma
Cualquier elemento de este plano está representado por un número complejo z que consta de
una parte real y una imaginaria. En general podemos definir al conjunto de números complejos
en la siguiente forma
1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
Observación
Un número complejo que solo contiene la parte real, se identifica con los números reales;
si únicamente tiene la parte imaginaria, se conoce como número imaginario puro.
Por otro lado si denotamos la unidad de los números reales como 1 = (1, 0) y la unidad de los
números imaginarios puros como i = (0, 1), podemos escribir
z = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi ,
que es una notación algebraica para los números complejos. Esta representación ha mostrado
ser de mayor utilidad al realizar operaciones dentro del campo complejo.
Ejemplo 1.4
Puntos en el plano complejo
Graficar los puntos z 1 = 2 + 2i , z 2 = −3 + i y z 3 = 0 − 2i en el plano complejo.
Solución .
Los puntos quedan ubicados de acuerdo a la siguiente gráfica.
Eje Imaginario
z1
2
z2
-3
1
-2
Eje Real
-1
1
2
-1
-2
z3
Observación
De acuerdo a su posición en el plano complejo, claramente se puede ver que dos números complejos son iguales si y solo si tienen partes reales iguales y partes imaginarias
iguales; es decir
z1 = z2
1.3
si y solo si
Re z 1 = Re z 2
e
I m z1 = I m z2
Operaciones con números complejos.
Para realizar operaciones con números complejos es más práctico usar la notación z = x + yi ,
con la cual estaremos trabajando de aquí en adelante, sin embargo, es importante recalcar que
siempre es bueno asociar una operación compleja en su forma geométrica, que siempre es
posible hacerlo, representado los números complejos como vectores en el plano y haciendo
uso de sus operaciones ya definidas.
1.3.1 Suma de números complejos.
Sean z 1 = x 1 + y 1 i y z 2 = x 2 + y 2 i dos números complejos. Para hacer la operación de suma,
basta con sumar por separado la parte real y la parte imaginaria en la siguiente forma:
5
1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
z 1 + z 2 = (x 1 + y 1 i ) + (x 2 + y 2 i ) = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i .
(1.1)
Es importante señalar que el resultado sigue siendo un número complejo en la forma z = x +yi .
Ejemplo 1.5
Suma de números complejos
6
Dados z 1 = 3 − 4i , z 2 = 1 + 2i y z 3 = − 41 i realizar la suma z 1 + z 2 + z 3 .
Solución .
z 1 + z 2 + z 3 = (3 − 4i ) + (1 + 2i ) + (−1/4i ) = 4 − 49 i .
Los números complejos bajo la operación de suma forman un grupo conmutativo1 algebraico;
es decir cumple con las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa: Sean z 1 ,z 2 y z 3 ∈ C, se cumple (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ).
Propiedad conmutativa: Sean z 1 y z 2 ∈ C se cumple que z 1 + z 2 = z 2 + z 1
Existencia del elemento neutro: Existe un elemento 0 ∈ C tal que z + 0 = 0 + z = z; este
elemento es 0 + 0i .
Existencia del inverso aditivo: Todo número complejo z ∈ C, tiene un inverso aditivo
−z ∈ C tal que z + (−z) = 0.
1.3.2 Multiplicación de números complejos.
Para realizar la operación de multiplicación dentro de los números complejos procedemos en
la siguiente forma: primero consideramos como si fueran polinomios y los multiplicamos siguiendo el procedimiento para el producto algebraico polinomial, es decir;
Dados dos números complejos z 1 = x 1 + yi 1 y z 2 = x 2 + y 2 i , su producto es
z 1 z 2 = (x 1 + y 1 i )(x 2 + y 2 i ) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i + y 1 x 2 i + y 1 y 2 i 2
luego simplificamos las potencias de i y agrupamos parte real e imaginaria para obtener
z 1 z 2 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + y 1 x 2 )i
Ejemplo 1.6
(1.2)
Producto de números complejos
Dados z 1 = 2 − 5i y z 2 = 1 − 2i , realizar el producto z 1 z 2 y obtener (z 1 )2 .
Solución .
De acuerdo con el procedimiento descrito tenemos que
z 1 z 2 = (2 − 5i )(1 − 2i ) = 2 − 4i − 5i + 10i 2 = −8 − 9i ,
(z 1 )2 = (2 − 5i )2 = 4 − 20i + 25i 2 = 4 − 20i − 25 = −21 − 20i .
Los números complejos bajo la operación de producto cumplen con las siguientes propiedades:
1 Este término se usa en teoría de grupos y se estudia en álgebra moderna
Números Complejos
Propiedad de cerradura: Para todo z 1 , z 2 ∈ C se cumple que z 1 + z 2 ∈ C.
1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
Propiedad de cerradura: Para todo z 1 , z 2 ∈ C se cumple que z 1 z 2 ∈ C.
Propiedad asociativa: Sean z 1 ,z 2 y z 3 ∈ C, se cumple (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ).
Propiedad conmutativa: Sean z 1 y z 2 ∈ C se cumple que z 1 z 2 = z 2 z 1
Elemento neutro: Existe un elemento 1 ∈ C tal que z · 1 = 1 · z = z este elemento es 1 + 0i .
Inverso multiplicativo: Todo número complejo z 6= 0, tiene un inverso multiplicativo
1
1
z ∈ C tal que z( z ) = 1.
1.3.3 Módulo o valor absoluto de un número complejo.
Debido a que a los números complejos los identificamos como puntos en el plano complejo, no
es posible la comparación, sin embargo, es útil tener algún orden, por lo que podemos definir
el módulo o valor absoluto de un número complejo, el cual nos definirá la distancia de este
punto al origen en el plano complejo. Así, con la ayuda del teorema de Pitágoras, obtenemos:
Definición 1.3
Valor absoluto
El módulo o valor absoluto de un número complejo z = (x + yi ) está dado por |z| =
p
x 2 + y 2.
Observación
Decimos que un número complejo z 1 es más grande que z 2 si z 1 está más alejado del
origen; es decir, si |z 1 | > |z 2 |.
Ejemplo 1.7
Valor absoluto
Si tenemos los números z 1 = −3 + 2i y z 2 = 1 + 4i , ¿cuál de los dos es más grande?
Solución .
Al calcular el valor absoluto de ambos números, tenemos
p
p
|z 1 | = | − 3 + 2i | = (−3)2 + 22 = 13 y
p
p
|z 1 | = |1 + 4i | = 12 + 42 = 17.
Por lo que z 2 es el más alejado del origen y podemos decir que es más grande que z 1 .
Como ya se mencionó en la definición de valor absoluto, en realidad estamos midiendo la distancia del punto z = (x, y) al origen; sin embargo, esta definición se puede generalizar para
medir la distancia entre cualesquiera dos números complejos en la siguiente forma
q
d (z 1 , z 2 ) = |z 2 − z 1 | = (x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2
Ejemplo 1.8
Distancia entre números complejos
Encontrar la distancia entre los números complejos z 1 = 3 − 2i , z 2 = −1 + 3i .
Solución .
7
1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
d (z 1 , z 2 ) = |(−1 + 3i ) − (3 − 2i )| =
p
(−1 − 3)2 + (3 + 2)2 =
p
p
16 + 25 = 41.
Dados dos números complejos z y w se pueden comprobar fácilmente las siguientes propiedades del valor absoluto
8
1. |z| = 0 ⇔ z = 0,
2. |z + w| ≤ |z| + |w|,
3. |zw| = |z||w|,
4. |z − w| ≥ |z| − |w|.
1.3.4 Números complejos conjugados.
Definición 1.4
Conjugado de un número complejo
El conjugado de un número complejo z = x + yi , se obtiene cambiando de signo la parte
imaginaria y se representa por z = x − yi .
Sean z, w dos números complejos. El conjugado de estos números, tiene las siguientes propiedades bajo las operaciones de suma y multiplicación.
1. zz = |z|2 ,
2. z + z = 2 Re(z),
3. z − z = 2 I m(z),
4. z + w = z + w,
5. z w = z w,
6.
1
z
=
z
,
|z|2
7. z ∈ R ⇔ z = z.
Observemos que la propiedad 6 define con mayor claridad el inverso multiplicativo de un número complejo.
Ejemplo 1.9
Propiedades de los números complejos
Mostrar que se cumple la propiedad 4 de los complejos conjugados.
Solución .
Sean z = a + bi y w = c + d i . Entonces
z + w = (a + bi ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d )i .
Ahora, como quitar la barra de número conjugado equivale a cambiar de signo la parte
Números Complejos
Dos binomios que tienen los mismos términos son conjugados si solo difieren en el signo de
un término, por ejemplo, los binomios a + b y a − b son conjugados entre sí. Al igual que esta
definición de polinomios reales, podemos definir el conjugado de un número complejo z como
un nuevo número complejo, en la siguiente forma
1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
imaginaria, escribimos la ecuación anterior como
(a + c) − (b + d )i = (a − bi ) + (c − d i ) = z + w.
El conjugado de un número complejo sigue las mismas reglas que se usan para los signos de
agrupación dentro de los números reales.
Ejemplo 1.10
Simplificación de un número complejo
Simplificar la expresión (3 − 2i ) + 5 + 5i − 6i .
Solución .
Comenzamos por quitar el conjugado de las expresiones más pequeñas y seguimos hasta
las más grandes en la siguiente forma
(3 + 2i ) + 5 + 5i − (−6i ) = 8 + 13i = 8 − 13i .
Actividad complementaria 1.1
Simplificar la expresión (2 − i )2 + 5 + 5i − (−1 − 2i )(−1 − 2i ).
1.3.5 División de números complejos
Para realizar la división usaremos la conocida idea de multiplicar tanto numerador como denominador por un mismo número. Además, considerando la propiedad 1 del conjugado de un
número complejo, obtenemos la división en la siguiente forma:
z1 z1 z2 z1 z2
=
=
.
z 2 z 2 z 2 |z 2 |2
(1.3)
Observación
Para recordar más fácilmente el proceso de hacer una división entre números complejos,
notemos que en realidad lo que se hace es multiplicar y dividir por el conjugado del
denominador (ésto se conoce en álgebra elemental como racionalizar el denominador).
Estas operaciones lo que hacen en realidad es eliminar la parte imaginaria del denominador,
de tal manera que esta división de números complejos se convierta en una división de números
reales y nos facilite efectuar la operación.
Ejemplo 1.11
División de números complejos
¡ 3 ¢¡ 1 ¢
Simplificar la siguiente expresión 2−3i
1+i .
Solución .
Primero multiplicamos los números
¶µ
¶
µ
3
3
1
3
=
=
,
2
2 − 3i 1 + i
2 + 2i − 3i − 3i
5−i
9
1.4 Formas polar y exponencial de un número complejo. Álgebra lineal.
luego multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador,
3 5 + i 15 + 3i 15 + 3i
=
=
,
5 − i 5 + i 25 − i 2
25 + 1
al simplificar ésta última expresión obtenemos el complejo z =
15
26
3
+ 26
i.
10
Actividad complementaria 1.2
Simplificar la expresión
Formas polar y exponencial de un número complejo.
Recordemos que para ubicar un punto en el plano polar (usando coordenadas polares), se escribe el par ordenado (r, θ), donde:
q
r = x2 + y 2
es la distancia del punto al origen,
³y´
θ = arctan
es el ángulo medido a partir del eje X positivo,
x
tomando en cuenta que un ángulo positivo se mide con un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj.
De igual manera podemos representar un numero dentro del plano polar complejo (conociendo el ángulo que forma con el eje real y la distancia a la que se encuentra del origen ), como se
muestra en la figura 1.3.
Eje Imaginario
𝑧
𝑟
𝜃
Eje Real
Figura 1.3. Representación gráfica del plano polar complejo
De esta gráfica, usando funciones trigonométricas, podemos deducir las siguientes ecuaciones
para x y y en términos de r y θ.
x = r cos θ
y = r sen θ,
lo cual nos permite escribir un numero complejo z = x + yi en su forma polar como:
z = r (cos θ + i sen θ) con r ≥ 0 ,
0 ≤ θ ≤ 2π
(1.4)
Números Complejos
1.4
3−i
2i
+
.
4 + 2i 1 − i
1.4 Formas polar y exponencial de un número complejo. Álgebra lineal.
Observación
A r se le conoce como módulo de z y mide la distancia del número complejo al
origen; por lo tanto, debe ser positivo.
El ángulo θ se conoce como Ar g z . Se pide que tenga su valor entre cero y 2π porque las funciones trigonométricas son cíclicas con periodo igual a 2π, y se cumple
que
z = r (cos(θ) + i sen(θ)) = r (cos(θ + 2nπ) + i sen(θ + 2nπ)) para todo n ∈ Z,
Para escribir un número complejo en forma exponencial, usaremos la fórmula de Euler (presentada por Leonhard Euler), la cual establece que:
e i θ = cos θ + i sen θ
(1.5)
y nos permite escribir un número complejo no nulo en forma exponencial de la siguiente manera:
z = r eiθ,
(1.6)
que es una forma práctica y compacta para trabajar dentro del campo complejo.
Observación
Para calcular el ángulo, la calculadora da resultados normalmente entre −π y π, por lo
que se debe siempre ubicar el número complejo en el plano para saber en que cuadrante
está, y en base a esto sumarle π2 ,π, 3π
2 o 2π radianes, según sea el caso.
Ejemplo 1.12
Forma exponencial de números complejos
Convertir a su forma exponencial z = 1 − i .
Solución .
p
El valor de la magnitud r = 2, además θ = − π4 , sin embargo como el número complejo
está en el cuarto cuadrante y debemos expresarlo dentro del rango (0, 2π) le sumamos
7
2π, es decir, θ = π. Finalmente usando la ecuación 1.6
4
p 7π
z = 2e 4 i .
Ejemplo 1.13
Forma polar y cartesiana de números complejos
Convertir a su forma polar y luego a su forma cartesiana, el número z = 3.5e (π/3)i .
Solución .
Usando la fórmula 1.5 de Euler tenemos que
z = 3.5 e (π/3)i = 3.5[cos(π/3) + i sen(π/3)],
que es la fórmula polar. Ahora, para la forma cartesiana, si evaluamos las funciones trigonométricas obtenemos:
p
7 3
i.
z = 1.75 +
4
11
1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.
Finalmente, aprovechando las propiedades de la función exponencial, podemos escribir el producto de números complejos descrito en la ecuación (1.2) en la forma:
z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (θ1 +θ2 )
(1.7)
de manera semejante la ecuación (1.3) que define la división de complejos en forma cartesiana,
se puede escribir como:
z 1 r 1 i (θ1 −θ2 )
= e
(1.8)
z2 r 2
Ejemplo 1.14
Operaciones con números complejos
Solución .
π
Dado que r 1 = 3 y θ1 = , tenemos que z 1 = 3 e (π/2)i en forma exponencial. Luego em2
pleando la ecuación 1.7 llegamos a que
³
´
z 1 z 2 = (3)(2) e (π/2+3π/2)i = 6e 2πi = 6e 0i = 6
z 1 3 (π/2−3π/2)i 3 −πi 3 πi
= e
= e
= e .
z2 2
2
2
Actividad complementaria 1.3
Dados los números complejos z 1 = 5e (π/3)i y z 2 = 2e (π/4)i encontrar el producto z 1 z 2 y
escribirlo en su forma cartesiana.
1.5
Potencias y raíces de un número complejo
Expresar un número en su forma exponencial es bastante útil, sobre todo cuando es necesario
realizar operaciones que involucran potencias o raíces de un número complejo.
1.5.1 Potencia de un número complejo.
Para elevar un número complejo a una potencia entera, podemos usar la forma binomial de
Newton o el triángulo de Pascal como se hace con los números reales y así obtener el resultado.
Sin embargo, esto no es práctico si se quiere elevar a alguna potencia grande. En estos casos es
mejor expresar el número complejo en su forma exponencial, es decir:
z = r eiθ,
luego, elevando ambos términos a una potencia n
z n = (r e i θ )n = r n (e i θ )n = r n e i nθ ,
nos proporciona una forma de obtener las potencias de un número complejo. A partir de ésto
podemos definir
Números Complejos
Sean z 1 = 3i y z 2 = 2e (3π/2)i . Convertir z 1 a su forma exponencial y luego encontrar z 1 z 2
y zz12 .
además
12
1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.
Definición 1.5
Potencias enteras de números complejos
Las potencias enteras de un número complejo, z = r e i θ están dadas por:
z n = r n e i nθ
d ond e
n∈Z
13
Observación
θi
No se debe confundir la forma exponencial de un número complejo (z = r e ), con elevar
a un exponente un número complejo (z n ).
Ejemplo 1.15
Una potencia grande de un número complejo
Dado z = 4 − 7i , encontrar z 15 .
Solución .
p
Al convertir z a su forma exponencial, obtenemos z = 65 e 5.233i , luego usamos la definición 1.5 para obtener
p
z 15 = ( 65)15 e 15(5.233i ) = (3.9523 × 1013 ) e 78.495i = (3.9523 × 1013 ) e 3.0966i .
Cuando las potencias son pequeñas se puede seguir usando la definición de producto para
números complejos en forma rectangular,o incluso combinar ambas definiciones.
Ejemplo 1.16
Operaciones con números complejos
¡
¢6
Simplificar la expresión (2 + 3i )2 (5 − i ) .
Solución .
p
Al convertir a su forma exponencial, tenemos que (2 + 3i ) = 13 e 0.983i , mientras que
p
5−i = 26 e 6.08i ; así, elevando al cuadrado el primero, multiplicando y después elevando
a la potencia 6, obtenemos 84835994984 e 4.326i , que al regresarlo a su forma cartesiana
resulta −31 972 782 816 − 78 580 450 520i .
Actividad complementaria 1.4
Simplificar la expresión (1 + 2i )7 .
1.5.2 Raíces de un número complejo
Si z es un número complejo, el número complejo w es raíz n−ésima de z, si w n = z y se escribe
como w = z 1/n . Por lo que si queremos obtener la raíz n−ésima de un número complejo, podemos proceder de forma similar a como se hizo en las potencias; es decir, primero expresamos
el número en su forma exponencial
z = r eiθ,
luego extraemos la raíz n−ésima en ambos lados de la igualdad,
iθ
z 1/n = (r e i θ )1/n = r 1/n (e i θ )1/n = r 1/n e n ,
1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.
ésto nos daría una raíz n−ésima del número complejo. Sin embargo, este resultado no es completo, pues por álgebra sabemos que existen n resultados para la raíz n−ésima de un número.
Es fácil comprobar que si sumamos 2kπ
n con k = 0, 1, 2 . . . n − 1 al exponente de la función exponencial, obtenemos las demás raíces.
Definición 1.6
Raíces de números complejos
Las n−raíces diferentes de un número complejo están dadas por la fórmula
z 1/n = r 1/n e
Ejemplo 1.17
(θ+2kπ)
i
n
14
para k = 0, 1 . . . n − 1
Raíces cúbicas de números complejos
Encontrar todos los valores de (−8i )1/3 ; es decir, las 3 raíces cúbicas.
π
π
para k = 0 tenemos, 81/3 e 2 i = 2e 2 i
para k = 1 tenemos, 81/3 e
para k = 2 tenemos, 81/3 e
( 3π
2 +2π)
3
i
= 2e
( 3π
2 +4π)
i
= 2e
3
7π
i
6
11π
i
6
p
p
que al convertir a su forma cartesiana nos da como resultado 2i , − 3 − i , 3 − i .
Ejemplo 1.18
Raíces cuadradas
Encontrar las dos raíces cuadradas de z = −5 + 2i .
Solución .
p
En primer lugar calculamos el valor de r = 29 y θ = 158.2o , así podemos expresar
p
o
z = 29e 158.2 i enseguida con la ayuda de la fórmula de la definición 1.6 obtenemos la
expresión para calcular las dos raíces, éstas son
para k = 0 tenemos,
p
p
158.2o
o
4
4
29e 2 i = 29e 79.1 i
o
o
( 158.2
p
p
o
2 +360 )
4
4
i
2
= 29e 259.1 i
para k = 1 tenemos, 29e
que al convertir a su forma cartesiana nos da como resultado 0.438 + 2.278i , −0.438 −
2.278i .
Observación
Cuando se calculan raíces cuadradas de un número complejo es suficiente con calcular
la raíz principal y la otra será el negativo de la primera raíz.
Esta observación se puede verificar si realizamos las gráficas correspondientes a las n−raíces
de un número complejo.
Números Complejos
Solución .
Para convertir −8i a su forma exponencial, calculamos θ = 3π
2 y r = 8 con lo que obte3/2πi
nemos 8e
, enseguida con la ayuda de la fórmula de la definición 1.6 obtenemos la
expresión para calcular las tres raíces, éstas son
1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.
Im
Im
Im
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
Real
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Real
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Real
-1.0
-0.5
0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0
-1.0
(a) Raíces cuadradas
(b) Raíces cúbicas
1.0
(c) Raíces cuartas
Figura 1.4. Raíces de la unidad, los puntos rojos indican la posición de las raíces n−ésimas del número
1 para n =, 2, 3, 4.
Actividad complementaria 1.5
Encontrar todas las raíces de (1 − 2i )2 .
1.5.3 Potencias fraccionarias
Sii reunimos estas dos operaciones (potencia y raíz de un número complejo), obtendríamos
una fórmula para elevar un número complejo a cualquier potencia racional de la manera siguiente:
´n
¡
¢n ³
(θ+2kπ)
(θ+2kπ)
z n/m = z 1/m = r 1/m e m i = r n/m e m ni ,
por lo que podemos definir la potencia racional de un número complejo como sigue.
Definición 1.7
Potencias racionales
La potencia racional de un número complejo está dada por la fórmula
z n/m = r n/m e
Ejemplo 1.19
(θ+2kπ)
ni
m
para k = 0, 1 . . . m − 1
Potencias fraccionarias
Encontrar todas las potencias fraccionarias de (2 − 4i )5/2
Solución .
p
Convertimos el número 2 − 4i a su forma exponencial, para esto tenemos que r = 20 y
p
o
θ = 63.43o es decir, 20e 63.43 i , luego Usando la fórmula 1.7 y recordando que 2π = 360o ,
las raíces son:
p 5/2
para k = 0 tenemos, 20 e
para k = 1 tenemos,
³
63.43o +360o
2
´
5i
=
p 5/2 1058.58o i
20 e
p 5/2 ( 3π2 +2π) i
7π
20 e 3
= 2e 6 i
z 1 = 39.3754 + 15.4411i y z 2 = −39.3754 − 15.4411i .
15
1.6 Logaritmo de un número complejo. Álgebra lineal.
1.6
Logaritmo de un número complejo.
La función logaritmo complejo es la función inversa de la función exponencial compleja, de la
misma manera que el logaritmo natural ln x es la función inversa de la función exponencial e x .
Entonces, siguiendo esta idea, podemos definir el logaritmo complejo como
Definición 1.8
Logaritmos
El logaritmo de un número complejo z, diferente de cero, es otro número complejo w,
de forma que se cumple la igualdad e w = z, y se denota como Log z.
16
El siguiente resultado nos proporciona información sobre la existencia de tales números complejos.
Dado un número complejo z 6= 0, existe otro número complejo w tal que e w = z. Un valor
para w se obtiene con la fórmula
Log z = ln |z| + i θ = ln r + i θ,
sin embargo, existen muchos otros valores que se obtienes mediante la ecuación
Log z = ln r + i θ + 2nπi ,
donde n es un número entero distinto de cero.
Demostración .
Dado que e ln r +i θ = e ln r e i θ = r e i θ = z, se observa que w = ln r + i θ es una solución de la
ecuación e w = z. Por otro lado, si w 1 es otra solución de la ecuación, entonces e w = e w 1 ,
pero esta ecuación es cierta sólo si w − w 1 = 2nπi .
Como consecuencia del teorema 1.1, debemos estructurar la definición 1.8, en la siguiente forma.
Definición 1.9
Logaritmo principal
Sea z 6= 0 un número complejo dado, entonces el logaritmo principal de z está dado por
la fórmula
Log z = ln r + i θ,
(1.9)
mientras que una rama secundaria del logaritmo se obtiene con
Log z = ln r + i θ + 2nπi ,
(1.10)
Observación
La expresión Log 0 no está bien definida, pues no existe ningún número complejo
w que satisfaga e w = 0.
Para cada número complejo z 6= 0, la parte imaginaria del logaritmo principal, se
considera está contenida en el intervalo (−π, π].
Números Complejos
Teorema 1.1
1.6 Logaritmo de un número complejo. Álgebra lineal.
Ejemplo 1.20
Logaritmo de un número
Dado el número z = 5, calcular el logaritmo principal y dos ramas de este logaritmo.
Solución .
Como r = 5 y θ = 0 El logaritmo principal de acuerdo a la ecuación (1.9) es
Log 5 = ln 5 = 1.6094,
mientras que para encontrar dos ramas secundarias usamos la fórmula (1.10) y consideramos n = 1, 2 para obtener
w 1 = ln 5 + 2πi = 1.6094 + 6.2831i
Ejemplo 1.21
y también w 2 = ln 5 + 4πi = 1.6094 + 12.57i .
Logaritmo principal
Dado el número z = −3i , calcular el logaritmo principal.
Solución .
o quEl valor absoluto |z| = 3, mientras que el argumento θ = − π2 , por lo que el logaritmo
principal es Log (−3i ) = ln 3 − π2 i .
En lo sucesivo, si no se especifica de que logaritmo se trata, se entenderá que se refiere al logaritmo principal.
Ejemplo 1.22
Logaritmo de un producto de números complejos
Calcular el logaritmo de z = (1 + 4i )2 (1 − i ).
Solución .
Primero realizamos las operaciones algebraicas, con lo que obtenemos z = −7 + 23i enp
seguida calculamos el valor de r = 578 y del argumento θ = −1.2753 + π = 1.8662, por
p
lo tanto Log (z) = ln 578 + 1.8662i = 3.17979 + 1.86624i
Las propiedades de los logaritmos reales no se cumplen en los logaritmos complejos, por ejemplo
πi
Log (−i ) = − .
2
Por otro lado
πi
+ πi ,
Log (i ) + Log (−1) =
2
es decir,
Log (z 1 z 2 ) 6= Log z 1 + Log z 2
Observación
3
Nótese que en la parte derecha de la segunda ecuación πi
2 +πi = 2 πi no se le debe sumar
un múltiplo entero de 2π pues se trata de la parte imaginaria de un número complejo y
no del argumento de dicho número.
17
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas Álgebra lineal.
1.7
Ecuaciones polinomiales complejas
Las ecuaciones polinomiales con números complejos, se clasifican de la misma manera que
con los números reales, es decir el grado de la ecuación esta determinado por el exponente de
mayor valor numérico presente en la ecuación. Al igual que en el caso de los números reales, es
posible resolver ecuaciones con una o más incógnitas. De hecho, las técnicas para resolverlas
son las mismas.
18
1.7.1 Ecuaciones de primer grado
Considerando que un número complejo z = x + y i , la ecuación general de primer grado con
números complejos tiene la forma:
ax + b y + c = 0,
(1.11)
Método de resolución de ecuaciones complejas de primer grado
1) Llevando la ecuación (1.11) a la forma d z + ex + f y + g = 0.
a) Desarrollar la ecuación completamente mediante operaciones algebraicas.
b) Factorizar un término d x + d yi de la ecuación y sustituirlo por d z para que la
ecuación quede en la forma d z + ex + f y + g = 0.
c) Despejar z completamente y realizar las operaciones de simplificación del numero complejo que resulta.
2) Formando un sistema de ecuaciones.
a) Escribir las ecuaciones que se forman al igualar todos los términos reales de
la parte derecha con los términos reales de la parte izquierda, y haciendo lo
mismo con los términos imaginarios.
b) Resolver el sistema de ecuaciones que se forma para las variables x, y .
Ejemplo 1.23
Ecuación de primer grado
Resolver para z la ecuación (1 + 3i ) − z − (4 + 3i ) = (1 − 2i ) − (5 + 3i )
Solución .
Notemos que la ecuación ya tiene la forma d z + ex + f y + g = 0 por lo que basta con
despejar z, pasando al lado derecho todos los términos que no la contengan
−z = (1 − 2i ) − (5 + 3i ) − (1 + 3i ) + (4 + 3i )
luego, simplificando
−z = 1 − 2i − 5 − 3i − 1 − 3i + 4 + 3i = −1 − 5i
finalmente, multiplicando por −1, tenemos la solución z = 1 + 5i .
Números Complejos
donde a, b, c ∈ C, y al menos una de las dos a o b distinta de cero.
Para resolver este tipo de ecuaciones podemos proceder como cualquiera de los dos siguientes
métodos:
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas Álgebra lineal.
Ejemplo 1.24
Ecuación de primer grado
Resolver la ecuación 2(x + y i ) − 4(x + y i ) = 2 + 3i
Solución .
Desarrollando la ecuación y después igualando las partes real e imaginaria, obtenemos
el sistema
(
−4x − 2y = 2,
2x − 4y = 3.
−4
La solución de este sistema es x = −1
10 y y = 5 , que son la parte real e imaginaria respec1
− 45 i .
tivamente, por lo que la solución es z = − 10
Actividad complementaria 1.6
Resolver la ecuación 3(x + y i ) − 4xi = 2y − 6 + (x + y i )i por los dos métodos propuestos
anteriormente.
1.7.2 Ecuaciones de segundo grado
Una de las ventajas que posee usar números complejos y no reales, es el hecho de que las ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo siempre tienen solución. De esta manera, si tenemos la ecuación cuadrática az 2 + bz + c = 0, donde a, b, c son constantes complejas, a 6= 0 y
z ∈ C, ésta posee dos raíces que pueden ser reales o imaginarias y que se obtiene al igual que
en los reales por la bien conocida fórmula general:
p
−b ± b 2 − 4ac
z=
2a
(1.12)
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadrática complejas.
Ejemplo 1.25
Ecuación de segundo grado
Resolver la ecuación z 2 − 4z + 8i = 0
Solución .
Usando la fórmula general con a = 1, b = −4, c = 8i tenemos
z=
4±
p
p
p
p
(−4)2 − 4(1)(8i ) 4 ± 16 − 32i 4 ± 4 1 − 2i
=
=
= 2 ± 2 1 − 2i
2(1)
2
2
enseguida con ayuda de la ecuación para raíces complejas de la definición 1.6 encontrap
mos que la raíz 1 − 2i = −1.272 + 0.786i por lo que las soluciones son z = −0.544 + 1.57i
y z = 4.54 − 1.57.
19
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas Álgebra lineal.
Ejemplo 1.26
Ecuación de segundo grado
Resolver la ecuación 2z 2 + (2 − i )z + 5 = 0
Solución .
Usando la fórmula general con a = 2, b = 2 − i , c = 5 tenemos
p
p
p
(2 − i ) ± (2 − i )2 − 4(2)(5) (2 − i ) ± 3 − 4i − 40 (2 − i ) ± 4 −37 − 4i
=
=
z=
2(2)
4
4
20
enseguida con ayuda de la ecuación para raíces complejas de la definición 1.6 encontrap
mos que la raíz 37 − 4i = 0.328 − 6.091i por lo que las soluciones son
(2 − i ) + 4(0.328 − 6.091i ) (2 − i ) + 1.312 − 24.364i 3.312 − 25.364i
=
=
= 0.83 −6.34i
4
4
4
y también
z2 =
(2 − i ) − 4(0.328 − 6.091i ) (2 − i ) − 1.312 + 24.364i 0.688 + 23.364i
=
=
= 0.17 +5.84i
4
4
4
1.7.3 Polinomios de grado superior
Para el caso de polinomios de grado superior, no existe una fórmula predeterminada a fin de
resolver las ecuaciones correspondientes, por lo que debemos recurrir a nuestro ingenio y la
herramienta matemática que conocemos para encontrar sus soluciones.
Ejemplo 1.27
Una ecuación de cuarto grado
Resolver la ecuación z 4 + 1 = 0.
Solución .
p
4
Al despejar z de la ecuación, obtenemos z = −1; es decir, debemos extraer las raíces
cuartas del número w = −1. Expresando este número en forma exponencial, tenemos
que w = e πi y usando la fórmula de la definición 1.6 para raíces complejas, obtenemos
π
1. para k = 0 tenemos, e 4 i
2. para k = 1 tenemos, e
3. para k = 2 tenemos, e
4. para k = 3 tenemos, e
¡ π+2π ¢
4
¡ π+4π ¢
4
¡ π+6π ¢
4
i
=e
i
=e
i
=e
3π
i
4
5π
i
4
7π
i
4
al convertir a su forma cartesiana nos da las raíces:
p
p
2
2
2 + 2 i
p
p
w 2 = − 22 + 22 i
p
p
2
2
2 − 2 i
p
p
w 4 = 22 − 22 i
1. w 1 =
3. w 3 −
2.
4.
Números Complejos
z1 =
1.8 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
Ejemplo 1.28
Ecuación cúbica con coeficientes enteros
Resolver la ecuación z 3 + 2z 2 + z + 2 = 0.
Solución .
Factorizamos la parte izquierda de la ecuación
3
2
21
2
2
z + 2z + z + 2 = z (z + 2) + (z + 2) = (z + 2)(z + 1)
por lo que la ecuación queda (z + 2)(z 2 + 1) = 0 e igualando cada factor a cero
(
z 1 = −2,
p
z 2,3 = −1.
al calcular la raíz de −1 tenemos la solución z 1 = −2, z 2 = i , z 3 = −i .
1.8
Evaluaciones sumativas
1.8.1 Ejercicios
1.• Realiza las operaciones indicadas en las siguientes expresiones.
a.• 2(1 + 3i ) − 32 (−2 + i ).
b.• (3 − 2i )3i + (4 + i )(−2 − i ).
c.• (2 + 2i )2 − 4(−5i ).
3+i
1
d.• 2−i
+ 1+i
.
2+3i
•
e. (−2) 1+i + (2 − i )2 .
−2i
2i
f.• 3+i
− 3−i
.
2.• Comprobar que los números complejos z = 1 ± i satisfacen la ecuación z 2 − 2z + 2 = 0.
3.• Efectuar las operaciones indicadas en cada caso y expresar el resultado en forma rectangular.
p p
a.• i (1 − i 3)( 3 + i ).
5i
.
b.• 2+i
c.• (−1 + i )7 .
p
d.• (1 + i 3)−10 .
4.• Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma rectangular.
a.•
¡ 2+i
1−i
¢2
+ 2−i
1+i + i .
b.•
¡
2+i
3+4i
2i
− 3−4i
¢2
.
5.• Dados los números complejos z 1 = 2 − 3i , z 2 = −4i , z 3 = −2 y z 4 = −1 + i , calcular:
a.• z 1 + z 2 + Re(z 4 ).I m(z 1 ).
b.• zz3 − (z 3 )3 + (z 2 )2 .
c.• z 1 z 4 z 2
4
p
6.• Dados los números complejos z 1 = 2 − 2i ; z 2 = −3i ; z 3 = −2; z 4 = − 3 − i , efectuar las
operaciones indicadas y escribir el resultado en forma polar.
1.8 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
a.• (z 1 )16 (z 4 )2 .
b.• (zz2)3 .
c.• z 1 z 2 z 3 .
d.• zz14 .
1
7.• Encontrar todas las raíces de la expresión indicada en cada inciso, expresar el resultado
en forma cartesiana.
p
5
c.•
−1 + i .
p
• 4
256.
d.
p
3
4 − 4i .
a.•
p
• 4
64i .
b.
22
7
8.• Encuentra todas las raíces de (1 + i ) 2 en la forma rectangular.
9.• Resuelve los siguientes problemas que incluyen números complejos.
10.• Resolver la ecuación planteada en cada inciso.
a.• (2 + 3i )z + 2i = 3 − 4i .
2i
b.• 2i z + 1−i
= 4i .
Números Complejos
a.• Hallar dos números tales que su suma
b.• Encontrar una ecuación polinomial
sea 6 y su producto 18.
que tenga por raíces −3, 2 + i y 2 − i .
2
23
Matrices y Determinantes
Competencia específica a desarrollar
Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemas
mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de las matemáticas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente. Utilizar
el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el cálculo de la inversa de una
matriz.
Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en
el área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matriz
inversa y regla de Cramer.
Actividades de Aprendizaje
Consensar en una lluvia de ideas el concepto de matriz y compararlo con una definición
matemática.
Identificar cuándo dos matrices son conformables para la adición de matrices.
Calcular la de suma de matrices.
Identificar cuándo dos matrices son conformables para la multiplicación de matrices.
Calcular el producto una matriz por un escalar y entre matrices.
Enunciar y ejemplificar las propiedades de las operaciones en matrices.
Investigar la definición de tipos de matrices cuadradas. Por ejemplo triangular superior
e inferior, diagonal, escalar, identidad, potencia, periódica, nilpotente, idempotente, involutiva, simétrica, antisimétrica, compleja, conjugada, hermitiana, antihermitiana, ortogonal.
Utilizar operaciones elementales por renglón para reducir una matriz a su forma de escalonada.
Determinar el rango de matrices cuadradas.
Identificar matrices con inversa utilizando el concepto de rango.
2.1 Definición de matriz, notación y orden Álgebra lineal.
Calcular la inversa de matrices utilizando el método forma escalonada reducida por renglones.
Definir el determinante de una matriz de 2 × 2.
Definir el concepto de menor y cofactor de una matriz.
Calcular menores y cofactores de una matriz..
24
Calcular determinantes de matrices de n × n.
Graficar las ecuaciones de un sistema de de dos ecuaciones con dos incógnitas en un
mismo plano e identificar el tipo de solución según la gráfica.
Utilizar un graficador para visualizar geométricamente y así interpretar las soluciones de
sistemas de ecuaciones lineales.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales por los métodos propuestos.
2.1
Definición de matriz, notación y orden
El análisis de muchas situaciones en matemáticas, economía e ingeniería conduce al estudio
de disposiciones o arreglos rectangulares de números, por lo que es importante conocer sus
conceptos básicos.
Definición 2.1
Forma de una matriz
Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m renglones y n columnas.


a 11
a 12 . . .
a 1n


a 22 . . .
a 2n 
 a 21
A=
.. 
..

 ..
 .
. 
.
a m1 a m2 . . . a mn
donde cada elemento a i j se conoce como entrada o componente de la matriz A.
Observación
En cuanto a la notación matricial, debemos tomar en cuenta lo siguiente:
En matrices siempre se indica primero el renglón y luego la columna; así, la notación
para una matriz A de 2 renglones por cuatro columnas es A 2×4 o matriz A de orden
2 × 4.
Para describir el elemento que está en la posición de cruce del segundo renglón con
la tercer columna escribimos a 2 3 .
El orden de una matriz se refiere a la cantidad de renglones y columnas que contiene, con lo
cual podemos establecer la siguiente relación de comparación entre matrices.
Matrices y Determinantes
Clasificar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos.
2.1 Definición de matriz, notación y orden Álgebra lineal.
Definición 2.2
Orden de una matriz
Dos matrices A y B son iguales si son del mismo tamaño (mismo orden) y sus entradas
correspondientes son iguales.
Ejemplo 2.1
Clasificación de matrices




Ã
!
6 5
1 2 3
1 2 3




Sean las matrices A =
,B = 4 5 6 ,C = 4 3 
4 5 6
2 1
7 8 9
Con base en la notación matricial, podemos deducir lo siguiente;
El orden de la matriz A es 2×3, El orden de la matriz B es 3×3, El orden de la matriz
C es 3 × 2.
Las matrices A, B y C no son semejantes entre si, pues tienen distinto orden.
Algunos elementos específicos son: a 2 1 = 4, b 1 3 = 3 y c 2 2 = 3.
2.1.1 Clasificación de una matriz de acuerdo a los elementos que contiene
Como podemos apreciar una matriz o arreglo de números puede contener cualquier cantidad
de renglones y/o columnas, de donde podríamos destacar las siguientes:
En el caso que la matriz contenga un solo renglón y una sola columna, esta matriz se
identifica con un número real.
Si la matriz tiene un (una) solo (sola) renglón (columna) y 2 o más columnas (renglones),
se le conoce como matriz renglón (columna) y se identifica con los vectores.
A las matrices que contienen la misma cantidad de renglones que columnas se les conoce
como matrices cuadradas, y su notación es A n×n siendo A una matriz cuadrada de orden
n.
Dentro de las matrices cuadradas, tenemos distintos tipos ellas de acuerdo la cantidad de ceros
que contengan y a la forma en que estén situados. Comenzaremos por la definición más básica
dentro de las matrices. Para ello consideremos que la diagonal principal de una matriz dada,
son los elementos donde el renglón es igual a la columna; es decir, se trata de los elementos
a i j , en el caso de que la matriz sea A.
Definición 2.3
Matriz escalar
Es la matriz que tiene solo una entrada; es decir, tiene un renglón y una columna.
Observación
Esta matriz puede ser la que consta únicamente del cero, pues en realidad la matriz escalar representa a los números reales.
25
2.1 Definición de matriz, notación y orden Álgebra lineal.
Definición 2.4
Matriz identidad
Una matriz cuadrada se conoce como Matriz Identidad si los elementos de la diagonal
principal son unos y cualquier otra entrada es cero.
Ésta es una de las matrices más importantes, debido a su sencillez y porque aparece en todas
las operaciones matriciales, generalmente la denotamos con la letra mayúscula I .
La matriz Identidad recibe este nombre debido a que cuando se multiplica con cualquier otra
matriz dada, el resultado es esa misma matriz dada (lo mismo que pasa con el 1 de los números
reales).
26
Una generalización de la matriz Identidad es la siguiente
Definición 2.5
Matriz diagonal
Las matrices de este tipo son muy interesantes, pues existe un grupo importante de matrices
que son semejantes a una matriz diagonal (es decir se pueden transformar mediante operaciones elementales1 en una matriz diagonal).
Una matriz que se puede transformar en una matriz diagonal mediante operaciones elementales, se conoce como matriz diagonalizable.
Definición 2.6
Matriz triangular
Una matriz cuadrada se llama matriz triangular superior (inferior) si todas sus componentes abajo (arriba) de la diagonal principal son cero.
Algunas de las características principales de este tipo de matrices son:
1.- Toda matriz cuadrada se puede factorizar como producto de dos matrices triangulares, una
superior y la otra inferior.
2.- Para calcular su determinante 2 , basta con multiplicar los elementos de la diagonal principal.
3.- Toda matriz se puede transformar en una matriz triangular triangular superior o inferior
mediante operaciones elementales.
A continuación se muestran las matrices descritas para el caso 3 × 3.
(a)
(a) M. Escalar


(b) M. Identidad
(c) M. Diagonal

1 0 0


 0 1 0 
0 0 1
a

 0
0
0
b
0

0

0 
c

a

 b
d
0
c
e
(d) M. T. Inferior
Figura 2.1. Clasificación de matrices.
1 En la sección 2.3 se estudiarán estas operaciones
2 Se aborda en la sección 2.4

0

0 
f

a

 0
0
b
d
0

c

e 
f
(e) M. T. Superior
Matrices y Determinantes
Una matriz cuadrada se conoce como Matriz Diagonal si los elementos de la diagonal
principal son los únicos que pueden ser distintos de cero.
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
2.2
Operaciones con matrices
Las matrices, al igual que los números reales, pueden sumarse, multiplicarse y también descomponerse de varias formas; ésto las convierte en un concepto clave en el álgebra lineal. Sin
embargo, para realizar estas operaciones, debemos tomar en cuenta el orden de las matrices a
operar, pues no siempre es posible realizar estas operaciones.
2.2.1 Suma de matrices.
Para sumar dos matrices es necesario que ambas sean del mismo orden; así, definimos la suma
de matrices como a continuación se describe.
Definición 2.7
Suma de matrices
Sean A, B dos matrices de orden m × n. Definimos la suma de A con B como la matriz C de orden m × n que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de las
matrices A y B .
Observación
La resta de matrices no está definida como tal; sin embargo, se realiza cuando aparecen números reales negativos en las entradas de las matrices (la operación se
lleva a cabo de acuerdo a las propiedades de los números reales).
La suma entre matrices no está definida si no son del mismo orden; es decir, si no
tienen el mismo número de renglones y el mismo número de columnas.
Ejemplo 2.2
Suma de matrices



0
1 6 −2
2
4 −6 7



Sean A =  4
3 4
3
3 2 1 , B =  2
−2 1 4
4
−4 3 −5 5
Observemos que
 

2+0
4 + 1 −6 + 6 7 − 2
 

1. A + B =  4 + 2
3+3 2+4 1+3  = 
−4 − 2 3 + 1 −5 + 4 5 + 4


0
8



−2 .
yC = 4
−2 −1


2
5 0 5

6
6 6 4 
−6 4 −1 9
2. La suma A +C y B +C no está definida, pues las matrices no son del mismo orden.
Observación
Del ejemplo anterior se puede ver claramente que A + B = B + A.
En general, dadas las matrices A, B y C , se cumplen las siguientes propiedades en la suma
matricial:
Conmutatividad: en este caso tenemos A + B = B + A.
Asociatividad: es decir, se cumple A + (B +C ) = (A + B ) +C .
Existencia del elemento neutro aditivo: existe una matriz neutra denotada con 0, tal que A +
0 = A para cualquier matriz A, donde los elementos de la matriz 0 son todos igual a cero.
27
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Existencia del elemento inverso aditivo: dada una matriz A existe una matriz D tal que A +
D = 0; esta matriz es D = −A.
2.2.2 Multiplicación de matrices
Dentro de las multiplicaciones matriciales tenemos definidos dos tipos: el producto de un escalar (número) por una matriz y el producto de dos matrices.
Definición 2.8
28
Multiplicación de una matriz por un escalar
Si A es una matriz de m × n y si r es un escalar, entonces la matriz r A está dada por:

r a 12 . . . r a 1n
r a 22 . . . r a 2n
..
..
.
.
r a m2 . . . r a mn






Es decir, se multiplican todos los elementos de la matriz por el escalar. Sin importar el orden y
forma de la matriz, siempre es posible realizar esta operación.
Por el contrario, para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la
primera matriz sea igual al número de renglones de la segunda.
Definición 2.9
Producto de dos matrices
Sea A una matriz de orden m ×n y sea B una matriz de orden n ×p. Entonces el producto
de A por B es una matriz C de orden m × p en donde, para obtener el elemento c i j ,
debemos multiplicar en la forma
ci j =
n
X
r =1
ai r br j
Es decir, la entrada i j de AB es la suma de productos donde un factor es una entrada del
renglón i de la matriz A y otro factor es una entrada de la columna j de la matriz B, lo que
se denomina producto punto del renglón i de A con la columna j de B .
Observación
La multiplicación de A m×n por B p×q solo es posible si n = p.
Si se multiplica una matriz de orden n × m con otra de orden m × q el resultado
será una matriz de orden n × q.
Para obtener las entradas de la matriz que resulta en el producto matricial A B , se
multiplica un renglón de la primera matriz por una columna de la segunda. De este modo, si queremos obtener la entrada (AB )1 1 , se multiplica el primer renglón
de A por la primera columna de B y si se quiere obtener la entrada (AB )2 3 se multiplicará el segundo renglón de A por la tercera columna de B .
Matrices y Determinantes


rA=


r a 11
r a 21
..
.
r a m1
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Ejemplo 2.3
Producto de dos matrices


!
Ã
2
5 0
2 0 3


yB = 3
Sean A =
6 6  dos matrices. Entonces,
4 1 5
−6 4 −1
Ã
! Ã
!
4 + 0 − 18 10 + 0 + 12 0 + 0 − 3
−14 22 −3
AB =
=
8 + 3 − 30 20 + 6 + 20 0 + 6 − 5
−19 46 1
29
Obsérvese que no es posible efectuar el producto B A ya que B tiene 3 columnas y
A solo dos renglones.
Observación
En el ejemplo se puede apreciar que no es lo mismo multiplicar A B que B A, por
lo que en la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad de conmutatividad.
Cuando se multiplican dos matrices A y B normalmente A B 6= B A, aunque en
ocasiones si se cumple la igualdad.
En general dadas las matrices A, B y C , se cumplen las siguientes propiedades bajo la operación
de multiplicación:
Asociatividad: es decir se cumple A(BC ) = (AB )C .
Existencia del elemento neutro mutiplicativo: es decir A I = A donde I es la matriz identidad.
Distributividad: como no es conmutativa debemos considerar
1. Distributividad por la derecha: es decir (A + B )C = A C + B C
2. Distributividad por la izquierda: es decir C (A + B ) = C A +C B
Observación
Elevar una matriz al cuadrado A 2 es multiplicar A A y no elevar cada elemento de A al
cuadrado.
Ejemplo 2.4
Operaciones con matrices


2 0 −1


Sea A =  1 1
2 , encontrar A 2 + 2A y verificar que es lo mismo que A(A + 2I ).
5 −2 3
Solución .
A 2 + 2A
=



−1 2 −5
2 0 −1




2 
 13 −3 7  + 2  1 1
23 −8 0
5 −2 3

=


3
2
−7


 15 −1 11 ,
33 −12 6
por
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
otro
lado
A(A + 2I )
=


2 0 −1
4 0 −1


2
2  1 3
 1 1
5 −2 3
5 −2 5



 
1 0 0
2 0 −1
2 0 −1




 
2  + 2  0 1 0 
2   1 1
 1 1
0 0 1
5 −2 3
5 −2 3
 

3
2
−7
 

 =  15 −1 11 .
33 −12 6

=
30
Observación
En el ejemplo anterior, al factorizar A 2 + 2A = A(A + 2I ) se agregó la matriz identidad
I 3×3 ; esto no afecta a la igualdad y es necesario hacerlo para que esté bien definida la
operación, pues la expresión A + 2 no tiene sentido.
Cuando hacemos operaciones con matrices pueden suceder cosas raras; por ejemplo, que al
multiplicar dos matrices distintas de cero, el resultado sea la matriz cero. Todavía más complicado es que, al elevar una matriz distinta de cero a una potencia entera, tengamos como
resultado la matriz cero. Este tipo de matrices reciben un nombre especial.
Definición 2.10
Matriz nilpotente
Una matriz A es nilpotente si existe un entero k tal que A k = 0. Si A n 6= 0 para 1 < n < k,
decimos entonces que A es una matriz nilpotente de grado k.

0 1 −1


Por ejemplo para la matriz A =  0 0 2  se puede verificar, después de hacer los cálculos,
0 0 0
3
que A = 0; decimos entonces que A es una matriz nilpotente de grado 3.

Definición 2.11
Transpuesta de una matriz
La transpuesta de una matriz A m×n , que se escribe como A t , es la matriz de n × m obtenida al intercambiar los renglones por las columnas en la matriz A. Tomando ésto en
consideración, tenemos lo que a continuación describimos.
1. Una matriz A se dice que es simétrica si A t = A,
2. Una matriz A se dice que es antisimétrica si A t = −A.
Definición 2.12
Simetría de matrices
Sea A m×n , una matriz de n ×m. Una clasificación de las matrices usando la matriz transpuesta, es la siguiente.
1. Una matriz A se dice que es simétrica si A t = A,
2. Una matriz A se dice que es antisimétrica si A t = −A.
Matrices y Determinantes
2.2.3 Clasificación de matrices de acuerdo a sus operaciones
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Observación
Una matriz puede ser simétrica, antisimétrica o ninguna de las dos.
Ejemplo 2.5
Simetría de matrices






2
0 −1 2
−1
1
5
0
4 −3






Sean A =  −4
1
2 1 . Escribir la
1 −2  C =  1
0
2 , B =  1
5 −2
3 2
5 −2
3
3 −2
0
transpuesta de cada matriz dada e identificar si dichas matrices dadas son simétricas,
antisimétricas o ninguna de ellas.
Solución


 .

−1
1
5
0 −4
3




At =  4
0 −2 , es antisimétrica; B t =  1
1 −2 , es simétrica; C t =
5 −2
3
−3
2
0


2 1
5
 0 1 −2 


, no es ninguna de las dos.

 −1 2
3 
2 1
2
Otro tipo de matrices muy importante, por las operaciones que se pueden efectuar con ellas,
son las matrices elementales; éstas se obtienen a partir de una única operación elemental de
matrices sobre la matriz identidad. Las matrices que se obtienen de esta forma se clasifican en:
matriz elemental por escalamiento, matriz elemental por eliminación y matriz elemental por
permutación, de acuerdo a lo siguiente,
Definición 2.13
Matriz elemental por escalamiento
Dada la matriz identidad I de tamaño n ×n, la matriz elemental por escalamiento E e ,es
una matriz que se obtiene al multiplicar un renglón de la matriz I por un escalar.
Las matrices obtenidas por escalamiento tienen la siguiente forma (en el caso de tamaño 3×3):

r

 0
0

1

 0
0

1

 0
0

0 0

1 0 , que se obtiene al multiplicar un real r por el primer renglón.
0 1

0 0

r 0 , que se obtiene al multiplicar un real r por el segundo renglón.
0 1

0 0

1 0 , que se obtiene al multiplicar un real r por el tercer renglón.
0 r
Definición 2.14
Matriz elemental por permutación
Dada la matriz identidad I de tamaño n ×n, la matriz elemental por permutación E p ,es
una matriz que se obtiene al intercambiar dos renglones de la matriz I .
31
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Las matrices obtenidas por permutación, son las siguientes

0 1 0


 1 0 0 , que se obtiene al intercambiar el primer renglón con el segundo.
0 0 1

32


0 0 1


 0 1 0 , que se obtiene al intercambiar el primer renglón con tercero.
1 0 0

1 0 0


 0 0 1 , que se obtiene al intercambiar el segundo renglón con el tercero.
0 1 0
Definición 2.15
Matriz elemental por eliminación
Dada la matriz identidad I de tamaño n ×n, la matriz elemental por eliminación E el , se
obtiene al sumarle a un renglón, un múltiplo de uno o varios renglones.
Algunas de las matrices obtenidas por eliminación, se muestran enseguida


1 0 0


 a 1 0 , que se obtiene al multiplicar el primer renglón por el escalar a y el resulta0 0 1
do sumarlo en el segundo renglón.


1 0 0


 0 1 0 , que se obtiene al multiplicar el primer renglón por el escalar a y el resultaa 0 1
do sumarlo en el tercer renglón.

1 0 0


 0 1 0 , que se obtiene al multiplicar el primer renglón por a, el segundo renglón
a b 1
por el escalar b y los resultados sumarlos en el tercer renglón.

La multiplicación de una matriz arbitraria por una matriz elemental se conoce como operación
elemental y produce como resultado en la matriz A cualquiera de los siguientes efectos:
Matrices y Determinantes

2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Efectos de la multiplicación por matrices elementales
Consideremos una matriz arbitraria A de tamaño n × n y matrices elementales del mismo
orden.
1) Intercambio de filas. Cuando se multiplica alguna matriz elemental de permutación
E p por la matriz A .
2) Intercambio de columnas. Cuando se multiplica A por alguna matriz elemental de
permutación E p .
3) Multiplicación de una línea por una constante distinta de cero. Cuando se multiplica alguna matriz elemental de escalamiento E e por A .
4) Multiplicación de una columna por una constante distinta de cero. Cuando se
multiplica la matriz A por alguna matriz elemental de escalamiento.
5) Sustitución de un renglón por él mismo, más un múltiplo de otro(s) renglón(es).
Cuando se multiplica alguna matriz elemental de eliminación E el por A .
6) Sustitución de una o varias columnas por ellas mismas más un múltiplo de
otra. Cuando se multiplica A por alguna matriz elemental de eliminación E el .
Veamos el comportamiento de las matrices al operar con matrices elementales.
Ejemplo 2.6
Efecto número 6 de multiplicación por matrices elementales


2 1
1


Multiplicar la matriz A =  −1 5 −2  con la matriz elemental por eliminación E el =
4 0
3


1
0 0


1 0  y comentar los cambios que sufre la matriz A.
 0
2 −3 1
Solución .
AE el


 
4 −2
1
2 1
1
1
0 0



 
=  −1 5 −2   0
1 0  =  −5 11 −2 
10 −9
3
4 0
3
2 −3 1

Observemos que la primera columna de la matriz AE el es igual a 2 veces la tercera columna mas la primera de la matriz A, mientras que la segunda columna se obtiene multiplicando por −3 la tercera columna y sumándola con la segunda de A. Estas multiplicaciones tienen que ver con los valores de las entradas E el 3,1 = 2 y E el 3,2 = −3 que nos
proporcionan.
33
2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.
Ejemplo 2.7
Efecto número 3 de multiplicación por matrices elementales


1
0 0


Multiplicar la matriz elemental por escalamiento E e =  0 −3 0  con la matriz A =
0
0 1


1 −2
3


1 −4  y comentar los cambios que sufre la matriz A.
 1
5 −3
3
34
Solución .

 

1 −2
3
1 −2
3
1
0 0

 


E e A =  0 −3 0   1
1 −4  =  −3 −3 12 
5 −3
3
5 −3
3
0
0 1

Observación
Decimos que una matriz B es equivalente a una matriz A, es decir, B ∼ A si se puede
obtener B a partir de A, usando una secuencia finita de operaciones elementales.
2.3
Matrices escalonadas y escalonadas reducidas
Una matriz equivalente que resulta muy útil en la solución de problemas asociados a matrices,
es la llamada matriz escalonada.
Definición 2.16
Matriz escalonada
Se dice que una matriz es escalonada, cuando satisface:
El primer elemento no nulo de cada fila es un 1.
Si hay filas cuyos elementos son todos cero, están situados en la parte inferior de
la matriz.
El primer 1 de cada fila está a la derecha de los primeros 1’s correspondientes a
filas superiores.
Definición 2.17
Matriz escalonada reducida
Si además de los requisitos anteriores, se satisface que el primer elemento no nulo de
un renglón es el único elemento distinto de cero de la columna donde se encuentra,
entonces decimos que la matriz es escalonada reducida.
Observación
La forma escalonada de una matriz, no tiene porque ser única, pero si lo es su forma
escalonada reducida.
Matrices y Determinantes
En este caso unicamente el segundo renglón sufre cambio y consiste en multiplicarlo por
−3. Esto porque la matriz de escalamiento E e el −3 en el segundo renglón en su diagonal
principal.
2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.
Algunos ejemplos de matrices escalonadas, son las siguientes:


1 0 2


A= 0 1 1 
0 0 1

1 4 3


B = 0 1 2 
0 0 0


1 3 5


C = 0 0 1 
0 0 0

Por otro lado, ejemplos de matrices escalonadas reducidas son los siguientes:

Observación

1 0 0


D = 0 1 0 
0 0 1


1 0 3


E = 0 1 0 
0 0 0


1 0 0


F = 0 0 1 
0 0 0
La propiedad más importante que posee una matriz escalonada reducida es que, si ésta
representa una matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, las soluciones
se pueden encontrar por simple inspección visual.
2.3.1 Método de Gauss
El método de Gauss consiste en encontrar una matriz escalonada equivalente a una matriz dada, mediante la aplicación de operaciones elementales (multiplicación por matrices elementales).
Ejemplificaremos el método de Gauss con la matriz


2 1 −4 2


A= 1 2 2 1 
2 2 −1 1
Paso 1 Consiste en hacer que el primer elemento del primer renglón sea 1 (a este elemento se
le conoce como pivote).


1 2 2 1
Para esto podríamos multiplicar por 1/2 este renglón, sin em

 2 1 −4 2 
bargo será más fácil intercambiar los renglones 1 y 2 para obte2 2 −1 1
ner
Paso 2 Debemos hacer cero los elementos que están por debajo del pivote; esto lo hacemos
cambiando el renglón por una combinación lineal del propio renglón con el primero.


En este caso el nuevo renglón dos será igual a el propio renglón
1 2
2
1


dos, menos dos veces el renglón uno, denotado por R 2′ = R 2 −2R 1 ,
 0 −3 −8 0 
para el nuevo renglón tres hacemos R 3′ = R 3 − 2R 1 .
0 −2 −5 −1
Paso 3 Ahora se hace que el segundo elemento del segundo renglón (a 22 ) sea igual a 1, (este
será nuestro nuevo pivote).


1
2
2
1


Para esto el nuevo renglón 2 será R 2′ = −R 2 + R 3 , es decir tene3 −1 
 0 1
mos
0 −2 −5 −1
Paso 4 Se hacen cero los elementos que están por debajo del pivote.
En este caso debemos hacer cero el último elemento de la segunda columna y ésto lo logramos con la operación R 3′ = R 3 +
2R 2

1 2 2 1


 0 1 3 −1 
0 0 1 −3

35
2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.
Paso 5 Repetir el proceso hasta lograr que la diagonal principal sea de 1’s, y los elementos por
debajo de esta diagonal sean igual a 0.


1 2 2 1
En este ejemplo ya hemos acabado pues ya se cumple este pa

 0 1 3 −1 
so.
0 0 1 −3
Observación
36
1. Las operaciones para hacer cero un elemento deben ser entre el renglón que se
quiere modificar y el que contiene al pivote, y deben tener este orden: R n′ = R n +
cR p , donde R p es el renglón pivote; si no se sigue este formato, se corre el riesgo de
alterar los elementos ya modificados.
Ejemplo 2.8
Método de Gauss


2 8 −2


Considerar la matriz A =  4 6
6 , reducirla a una matriz triangular superior por el
8 3 −1
método de Gauss, con unos en la diagonal principal.
Solución .
1
Realizando la operación R 1′ = R 1 para tener un 1 como primer elemento de la diagonal
2


1 4 −1


A≈ 4 6
6 
8 3 −1
enseguida para hacer ceros bajo el primer elemento de la diagonal realizamos las operaciones R 2′ = −4R 1 + R 2 y R 3′ = −8R 1 + R 2


1
4
−1


A ≈  0 −10 10 
0 −29
7
Ahora hacemos R 2′ = −
1
R 2 para tener un 1 como segundo elemento de la diagonal
10


1
4
−1


A≈ 0
1
−1 
0 −29
7
debemos hacer cero el elemento por debajo del 1 que acabamos de obtener, para esto
hacemos R 3′ = 29R 2 + R 3


1 4
−1


A≈ 0 1
−1 
0 0 −22
Matrices y Determinantes
2. Si la matriz es cuadrada, este método nos lleva a obtener una matriz triangular
superior.
2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.
finalmente con R 3′ = −
1
R 3 se tiene el último 1 de la diagonal principal
22


1 4 −1


A ≈  0 1 −1 
0 0
1
2.3.2 Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss-Jordan es una generalización del proceso de Gauss, y consiste en encontrar
la matriz escalonada reducida de una matriz dada.
Veamos los pasos a seguir de acuerdo con este método. Consideremos la misma matriz


2 1 −4 2


A= 1 2 2 1 
2 2 −1 1
Paso 1 Consiste en hacer que el primer elemento del primer renglón sea 1 (a este elemento se
le conoce como pivote).


1 2 2 1
Para esto podríamos multiplicar por 1/2 este renglón; sin em

 2 1 −4 2 
bargo, será más fácil intercambiar los renglones 1 y 2 para ob2 2 −1 1
tener
Paso 2 Debemos hacer cero los elementos que están por debajo del pivote, esto lo hacemos
cambiando el renglón por una combinación lineal del propio renglón con el primero.


En este caso el nuevo renglón dos será igual a el propio renglón
1 2
2
1


dos, menos dos veces el renglón uno, denotado por R 2′ = R 2 −2R 1 ;
 0 −3 −8 0 
para el nuevo renglón tres hacemos R 3′ = R 3 − 2R 1 .
0 −2 −5 −1
Paso 3 Ahora se hace que el segundo elemento del segundo renglón (a 22 ) sea igual a 1, (este
será nuestro nuevo pivote).


1
2
2
1


Para ésto, el nuevo renglón 2 será R 2′ = −R 2 + R 3 ; es decir, tene3 −1 
 0 1
mos
0 −2 −5 −1
Paso 4 Se hacen cero los elementos que están por debajo y por arriba del pivote.


1 0 −4 3
Para hacer cero el elemento del primer renglón usamos la regla


 0 1 3 −1 
R 1′ = R 1 − 2R 2 y para el de la fila 3 R 3′ = R 3 + 2R 2 .
0 0 1 −3
Paso 5 Repetir el proceso hasta lograr que la diagonal principal sea de 1’s, y los elementos por
debajo de esta diagonal sea cero.
Observemos que ya hay un 1 en la tercer posición de la diagonal, por lo que solo resta hacer ceros los elementos superiores de éste. Para esto hagamos R 1′ = R 1 + 4R 3 y también R 2′ =
R 2 − 3R 3 .
Observación


1 0 0 −9


 0 1 0 8 
0 0 1 −3
Si la matriz es cuadrada, este método nos lleva a obtener la matriz identidad.
37
2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.
Ejemplo 2.9
Método de Gauss-Jordan

3 −6 −2 4


Sea B =  1 −4
2 2 , reducirla a su forma escalonada reducida.
9
5 −1 1

Solución .
Intercambiamos renglones 1 y 2, para obtener un 1 como primer elemento de la diagonal
38


1 −4
2 2


B ≈  3 −6 −2 4 
9
5 −1 1


1 −4
2
2


B ≈ 0
6
−8
−2 
0 41 −19 −17
Ahora hacemos R 2′ = 7R 2 − R 3 para tener un 1 como segundo elemento de la diagonal

1 −4
2
2


B ≈ 0
1 −37
−3 
0 41 −19 −17

debemos hacer cero el elemento por debajo del 1 que acabamos de obtener, para esto
hacemos R 3′ = −41R 2 + R 3


1 −4
2
2


B ≈ 0
1 −37 −3 
0
0 1498 106
finalmente con R 3′ = −
2.4
1
R 3 se tiene el último 1 de la diagonal principal
1498


1 −4
2
2


B ≈ 0
1 −37 −3 
0
0
1 749
53
Determinante de una matriz
En sus inicios, el determinante fue propuesto para mostrar la unicidad de solución para un
sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 como una regla para la
resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. La forma de resolver este tipo de
determinante es la siguiente:
d et
Ã
a 11
a 21
a 12
a 22
!
¯
¯ a
¯ 11
=¯
¯ a 21
a 12
a 22
¯
¯
¯
¯ = a 11 a 22 − a 12 a 21
¯
Matrices y Determinantes
enseguida para hacer ceros bajo el primer elemento de la diagonal realizamos las operaciones R 2′ = −3R 1 + R 2 y R 3′ = −9R 1 + R 2
2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.
Para calcular el determinante que corresponde a una matriz cuadrada A de orden n > 2, introduciremos primero lo que se conoce como menor complementario relativo al elemento a i j de
el determinante.
Definición 2.18
Menor complementario
Sea A una matriz cuadrada de orden n y D su determinante correspondiente. Sea M i j el
determinante de orden n − 1 obtenido de D, eliminando el renglón i y la columna j . A
M i j se le conoce como el menor complementario i j de D.
Por ejemplo, dado un determinante D de orden 5, si queremos obtener el menor M 23 , debemos
eliminar el renglón 2 y la columna 3 de D para formar el nuevo determinante
¯
¯
¯ a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 ¯
¯
¯
¯ a
¯
¯ 21 a 22 a 23 a 24 a 25 ¯
¯
¯
D = ¯ a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 ¯
¯
¯
¯ a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 ¯
¯
¯
¯
¯ a
51 a 52 a 53 a 54 a 55
así obtenemos el menor complementario
¯
¯ a 11
¯
¯ a
¯ 31
M 23 = ¯
¯ a 41
¯
¯ a 51
a 12
a 32
a 42
a 52
a 14
a 34
a 44
a 54
a 15
a 35
a 45
a 55
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
mientras que para el menor M 14 se elimina el renglón 1, columna 4 para que quede,
¯
¯
¯ a 21 a 22 a 23 a 25 ¯
¯
¯
¯
¯ a
¯ 31 a 32 a 33 a 35 ¯
M 14 = ¯
¯
¯ a 41 a 42 a 43 a 45 ¯
¯
¯
¯ a 51 a 52 a 53 a 55 ¯
Observación
El objetivo de calcular los menores, es ir reduciendo el determinante de forma recursiva
hasta llegar a obtener determinantes de orden 2.
Necesitamos también de la siguiente definición que nos proporciona el signo que debemos
poner a cada menor complementario.
Definición 2.19
Cofactores
Sea A una matriz cuadrada de orden n, el cofactor i j de A, denotado por A i j , está dado
por
A i j = (−1)i + j (M i j ).
Observación
La primera parte de la fórmula del cofactor sólo nos proporciona el signo. Si la suma i + j
es un número par, entonces el cofactor es A i j = M i j ; si la suma es un número impar,
entonces A i j = −M i j .
39
2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.
Ejemplo 2.10
Cálculo de cofactores

3
5 8


Calcular los cofactores de la matriz A =  2 −1 0 .
1
3 4

Estamos ahora ante la posibilidad de enunciar el teorema de Laplace, que nos servirá para resolver cualquier determinante de orden n > 2 (su demostración se realiza haciendo inducción
matemática sobre la dimensión de los determinantes).
Teorema 2.1
Laplace
Sea A una matriz cuadrada de orden n ×n. Entonces el determinante de A, denotado por
d et A o |A|, está dado por
d et A =
n
X
k=1
a 1k A 1k = a 1 1 A 1 1 + a 1 2 A 1 2 + · · · + a 1 n A 1 n
Observación
En el teorema se define el determinante mediante cofactores calculados sobre el primer
renglón de la matriz A; sin embargo, se puede elegir cualquier renglón o columna.
Observación
Para resolver un determinante, se elige un renglón (o columna), se calculan los cofactores correspondientes para cada elemento de este renglón (o columna) y se multiplica
el determinante de cada menor por el elemento de la matriz al que está asociado; finalmente, el resultado será la suma de estos resultados.
Ejemplo 2.11
Cálculo de determinantes

3 5 2


Sea A =  4 0 3 . Calcular su determinante usando el teorema de Laplace (desa−1 2 4
rrollo por menores).

Solución .
Si trabajamos con el segundo renglón, el determinante esta definido por d et A = −4A 2 1 +
40
Matrices y Determinantes
Solución .
Aplicando
la fórmula
de la definición
Ã
!
Ã
! 2.19, tenemos:
Ã
!
−1 0
2 0
2 −1
A1 1 =
, A1 2 = −
, A1 3 =
,
3 4
1 4
1
3
Ã
!
Ã
!
Ã
!
5 8
3 8
3 5
A2 1 = −
, A2 2 =
, A2 3 = −
,
3 4
1 4
1 3
Ã
!
Ã
!
Ã
!
5 8
3 8
3
5
A3 1 =
, A3 2 = −
, A3 3 =
.
−1 0
2 0
2 −1
2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.
0A 2 2 − 3A 2 3 es decir
Ã
!
Ã
!
Ã
!
5 2
3 2
3 5
−4
+0
−3
= −4(20 − 4) − 3(6 + 5) = −64 − 33 = −97
2 4
−1 4
−1 2
.
41
Observación
Es aconsejable escoger el renglón o columna de la matriz que tenga más ceros, así se
reducirá el trabajo.
Tomando como base la observación anterior, podemos afirmar que el determinante de una
matriz triangular (superior o inferior) es igual a la multiplicación de los elementos de su diagonal.
Ejemplo 2.12
[

3
5 8


Cálculo de determinantes]Calcular el determinante de A =  0 −1 0 .
0
0 4

Solución .
Si trabajamos con el tercer renglón, el determinante esta definido por d et A = 0A 3 1 +
0A 3 2 − 3A 3 3 es decir
Ã
!
Ã
!
Ã
!
5 8
3 8
3
5
0
+0
−3
= 4(−3 − 0) = −12
−1 0
0 0
0 −1
resultado que se puede obtener multiplicando los números de la diagonal principal.
Dados las matrices A y B de orden n ×n, se cumplen las siguientes propiedades para sus determinantes:
D1 d et AB = (d et A)(d et B ); es decir, el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de dichas matrices.
D2 Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante.
D3 Si cualquier renglón o columna de una matriz A está compuesto de ceros, entonces d et A =
0.
D4 Si A tiene dos renglones o columnas iguales, entonces d et A = 0.
D5 Si un renglón (columna) de A es combinación lineal de otros renglones (columnas) entonces d et A = 0.
D6 Si el renglón i o la columna j de A se multiplica por un escalar c, entonces el determinante
de esta nueva matriz es igual a c(d et A).
D7 El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efecto
de multiplicar el d et A por −1.
2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.
D8 Si se suma un múltiplo escalar de un renglón (columna) a otro renglón (columna) el determinante no cambia.
Observación
El determinante de una suma de matrices, no siempre es igual a la suma de sus determinantes.
Ejemplo 2.13
42
Propiedades de los determinantes
Hacer uso de las propiedades anteriores para calcular el determinante de


B =

.
1
−2
0
3
3
0
1
0
0
3
0
4
2
0
6
0





Solución .
Comenzamos realizando el método de Gauss-Jordan para hacer ceros debajo del primer
uno, por lo que hacemos R 2′ = 2R 1 + R 2 y R 4′ = −3R 1 + R 4 , esto no cambia el valor del
determinante según la propiedad D8, así



B ≈

1
3
0
6
0
1
0 −9
0
2
3
4
0
6
4 −6





luego, consideramos la primer columna para trabajar por menores así


Ã
! Ã
!
6 3
4
3
4
6 3


−6
= −(−18−16)−6(24+27) = −272
d et B = 1  1 0
6  = −1
4 −6
−9 4
−9 4 −6
Ejemplo 2.14
Propiedades de los determinantes



Calcular el determinante de B = 


1
3 −2
2
0 −1
1 −3 

.
2
1
1
2 
3
2
1
4
Solución .
Como la primer columna es la suma de la segunda y tercer columna, entonces por la
propiedad D5 tenemos que d et B = 0.
Una forma de simplificar el cálculo de un determinante es usar los métodos de reducción de
Gauss o Gauss-Jordan ya que por las propiedades D7 y D8, el resultado se ve afectado a lo más
por un signo.
Matrices y Determinantes

2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.
Ejemplo 2.15
Propiedades de los determinantes



Dada la matriz B = 

1
3 5 2
0 −1 3 4
2
1 9 6
3
2 4 8



, calcular d et (3B ).

Solución .
Recordemos que d et (3B ) 6= 3 d et B . De hecho, considerando la propiedad D6, por cada
renglón que tenga la matriz B debe multiplicarse por 3 a d et B , en este caso el orden de
B es 4; en consecuencia d et (3B ) = 34 d et B . Por otro lado d et B = 160; así, tenemos que
d et (3B ) = 34 (160) = 12, 960.
2.5
Inversa de una matriz
Dado que no puede definirse la división entre matrices, nos interesa averiguar si existe una
alternativa; puesto que necesitaremos despejar éstas al resolver ecuaciones matriciales. Para
matrices que reúnen ciertas características, tal alternativa existe y consiste en hallar la matriz
inversa de la matriz dada.
Definición 2.20
Matriz inversa
Sean A y B dos matrices de n × n. Suponga que
AB = B A = I
entonces a B se le llama matriz inversa de A y se denota como A −1 . Si una matriz tiene
inversa, se dice que es una matriz invertible.
Una clasificación que surge a consecuencia de que unas matrices tienen inversa y otras no, es
la siguiente:
Si una matriz tiene inversa, se dice que es una matriz no singular.
Las matrices cuadradas que no poseen inversa se llaman matrices singulares.
Para saber si una matriz tiene inversa, tenemos el siguiente resultado
Proposición 2.1
Una matriz A es invertible si y solo si d et A 6= 0.
Ejemplo 2.16
Matriz inversa



Determinar si la matriz B = 

Solución .
2
1
−1
2

2
5
1
1
6 −3 

 es invertible.
2 −3
3 
4
2
6
43
2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.
Para calcular el determinante de B observemos que C 3 = 2C 1 + C 2 − C 4 ; por lo tanto
d et B = 0, y en consecuencia la matriz no es invertible.
2.5.1 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta
También en la definición (2.11) se vio que la transpuesta de una matriz consiste en intercambiar
renglones por columnas; con ayuda de este concepto definimos lo siguiente
Definición 2.21
Matriz adjunta
Sea A una matriz de n × n y sea B la matriz de cofactores de A, entonces la adjunta de A
es la transpuesta de la matriz B de n × n; es decir:



ad j A = B t = 


A 11
A 12
..
.
A 1n
A 21 · · ·
A 22 · · ·
..
.
A 2n · · ·
A n1
A n2
..
.
A nn



.


Así, la matriz inversa se puede calcular utilizando el teorema mostrado a continuación.
Teorema 2.2
Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si d et A 6= 0 y además
A −1 =
1
ad j A.
d et A
Otro resultado útil para el calculo de un determinante es el siguiente.
Teorema 2.3 teo-determinanteDeMatrizInversa
Si A es invertible, entonces det A 6= 0 y
d et A −1 =
1
.
d et A
En el siguiente ejemplo veremos el método para calcular la inversa de una matriz usando el
teorema 2.2.
44
Matrices y Determinantes
Recordemos que en la definición (2.19) se introdujo la forma de calcular el cofactor relativo a
un elemento a i j llamado A i j para una matriz A de orden n. Si calculamos el cofactor para cada
uno de los elementos de la matriz A obtenemos lo que se conoce como matriz de cofactores
de A y es de la forma


A 11 A 12 · · · A 1n


 A 21 A 22 · · · A 2n 
B =
(2.1)
..
..
.. 

.

.
.
. 
A n1 A n2 · · · A nn
2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.
Ejemplo 2.17
Inversa de una matriz


2 5
0


Verificar si la matriz A =  3 6
6  tiene inversa, en caso afirmativo calcular su
−6 4 −1
inversa.
Solución .
Primero calculamos el determinante de la matriz A
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2 5
0 ¯¯
¯
¯ 6
¯ 3
6 ¯¯
6
¯
¯
¯
¯
6 ¯ = 2¯
¯−5¯
¯ 3 6
¯ 4 −1 ¯
¯
¯
¯ −6 −1
¯ −6 4 −1 ¯
¯
¯
¯
¯ = 2(−30) − 5(33) = −225
¯
luego la matriz de cofactores dada en la ecuación (2.1) y su transpuesta que es la adjunta
de A.




−30
5
30
−30 −33
48




ad j A = B t =  −33
B =
−2 −12 
5
−2 −38 
48 −38
−3
30 −12
−3
finalmente la inversa


2/15 −1/45 −2/15
1
1


A −1 =
ad j A =
ad j A =  11/75
2/225
4/75 
d et A
−225
−16/75 38/225
1/75
2.5.2 Inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan
Se puede calcular la inversa de una matriz por medio de operaciones elementales; es decir,
intercambiando renglones, multiplicando un renglón por un escalar y mediante la suma de
múltiplos de renglones.
A este método se le conoce como método de Gauss-Jordan y consiste en lo siguiente.
45
2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.
Método de Gauss-Jordan para encontrar la inversa de una matriz



Consideremos una matriz invertible, de orden n A = 


a 11
a 12
..
.
a 1n
a 21 · · ·
a 22 · · ·
..
.
a 2n · · ·
a n1
a n2
..
.
a nn






P.2) Se lleva la matriz A hasta una matriz diagonal mediante el algoritmo de Gauss-Jordan
(ver sección 2.3.2), afectando todo el renglón.






1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
.. ..
..
. .
.
0 0 ··· 1
b 11 b 21 · · · b n1
b 12 b 22 · · · b n2
..
..
..
.
.
.
b 1n b 2n · · · b nn






P.3) La matriz que queda en la parte derecha de la matriz aumentada que resulta después
del proceso, será la inversa de la matriz A .
A
−1



=


b 11 b 21 · · · b n1
b 12 b 22 · · · b n2
..
..
..
.
.
.
b 1n b 2n · · · b nn






Veamos la forma de calcular la inversa usando el método de Gauss-Jordan
Ejemplo 2.18
Inversa de una matriz
Ã
Calcular la inversa de la matriz. B =
!
−2 1
.
9 7
Solución .
De acuerdo al proceso anterior
Paso 1 Escribimos la matriz aumentada,
Ã
−2 1
9 7
1 0
0 1
!
Paso 2 Realizamos el método de Gauss-Jordan, haciendo R 1′ = − 12 R 1
Ã
1 − 12
9
7
− 21 0
0 1
!
Matrices y Determinantes
P.1) Se le agrega la matriz identidad de orden n para formar una matriz de orden n × 2n ,
a ésta matriz se le conoce como matriz aumentada


a 11 a 21 · · · a n1 1 0 · · · 0


 a 12 a 22 · · · a n2 0 1 · · · 0 

.. .. ..
..
.. 
..



. . .
.
. 
.
a 1n a 2n · · · a nn 0 0 · · · 1
46
2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.
luego para tener cero, bajo el 1 de la diagonal hacemos R 2′ = −9R 1 + R 2
1 − 12
0 23
2
Ã
multiplicamos el segundo renglón por
Ã
1
0
− 21
9
2
0
1
!
0
!
2
23
47
− 12
9
23
− 21
1
2
23
para tener cero arriba del segundo elemento de la diagonal hacemos R 1′ = 21 R 2 +R 1
Ã
1 0
0 1
Paso 3 Finalmente, la inversa es B −1 =
Ejemplo 2.19
Ã
1
23
2
23
7
− 23
7
− 23
9
23
9
23
1
23
2
23
!
!
.
Inversa de una matriz


2 4
3


Calcular la inversa de la matriz. B =  0 1 −1 
3 5
7
Solución .
Siguiendo los pasos del método descrito
Paso 1 Escribimos la matriz aumentada,

2 4
3

0
1
−1

3 5
7

1 0 0

0 1 0 
0 0 1
Paso 2 Realizamos el método de Gauss-Jordan para obtener la matriz identidad


1 0 0
4 −13/3 −7/3


5/3
2/3 
 0 1 0 −1
2/3
2/3
0 0 1 −1
Paso 3 Finalmente, la inversa es:


4 −13/3 −7/3


B −1 =  −1
5/3
2/3 
−1
2/3
2/3
2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.
2.6
Sistemas de ecuaciones lineales
Consideremos el siguiente sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas x i , i = 1, . . . n tales
que:

 a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . a 1n x n = b 1 ,



 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . a 2n x n = b 2 ,
(2.2)
..


.



a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . a nn x n = b n ,



A=


a 11
a 12
..
.
a 1n
a 21 · · ·
a 22 · · ·
..
.
a 2n · · ·
a n1
a n2
..
.
a nn



,


que denominaremos matriz de coeficientes del sistema, y con las incógnitas x i y los términos
independientes b i formamos las matrices de orden n × 1:


x1


 x2 

x =
 ..  ,
 . 
xn



b=


b1
b2
..
.
bn



;


denominados vector de incógnitas y vector de términos independientes , respectivamente, podemos escribir entonces el sistema de ecuaciones lineales como Ax=b, es decir:


 

a 11 a 21 · · · a n1
x1
b1


 

 a 12 a 22 · · · a n2   x 2   b 2 





=
..
..
..   ..   .. 

.

.
.
.  .   . 
a 1n a 2n · · · a nn
xn
bn
Una solución del sistema consiste en un conjunto de valores para las variables x i tal que dichos
valores satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Dependiendo de los valores de las
constantes a i j el sistema puede no tener solución, tener solución única o tener una cantidad
infinita de soluciones; para identificar el tipo de soluciones nos ayudaremos de los determinantes.
Definición 2.22
Determinante de un sistema de ecuaciones
El determinante principal de un sistema de ecuaciones lineales, está formado por los
coeficientes de las variables en ese mismo orden, es decir el determinante principal del
Matrices y Determinantes
donde a i j , b i son números reales.
Es posible escribir el sistema de ecuaciones lineales anterior usando matrices. Para ello debemos construir las matrices que se requieren de manera adecuada, pues debemos garantizar
que se pueda realizar la multiplicación matricial.
Si con los coeficientes a i j formamos la matriz de orden n × n:
48
2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.
sistema (2.2) es
¯
¯ a 11
¯
¯
¯ a 21
∆ = ¯¯
..
¯
.
¯
¯ a n1
a 12 . . .
a 22 . . .
..
.
a n2 . . .
a 1n
a 2n
..
.
a nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
49
Teorema 2.4
Un sistema de ecuaciones con coeficientes en los números reales, cumple una de las
siguientes afirmaciones
Tiene solución única si y solo si ∆ 6= 0,
No tiene solución o tiene una cantidad infinita de soluciones si y solo si ∆ = 0.
Si se cumple la condición ∆ = 0, ésto indica que hay un renglón que es combinación lineal de
otro u otros; es decir, hay más incógnitas que ecuaciones. Si esta misma relación la cumple el
vector de términos independientes, entonces el sistema tendrá una cantidad infinita de soluciones; si el vector de términos independientes no la cumple, el sistema no tiene solución.
Ejemplo 2.20
Un sistema sin solución
Indique que tipo de solución tiene el sistema
Solución .



3x + 2y − z
−x + 10y − 7z


2x − 4y + 3z
= 4
= 2
= 5.
¯
¯
¯ 3
2 −1 ¯¯
¯
¯
¯
El determinante principal es ¯ −1 10 −7 ¯, observemos que el segundo renglón es
¯
¯
¯ 2 −4
3 ¯
igual a el primero menos dos veces el segundo (R 2 = R 1 − 2R 3 ), por lo que el determinante es igual a cero. También notemos que en el vector de términos independientes del
sistema no se cumple esta relación, es decir, 2 6= 4−2(5). Podemos concluir que el sistema
no tiene solución.
2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.
Ejemplo 2.21
Un sistema con solución única


 x + 2y − 3z
Indique qué tipo de solución tiene el sistema
2x + y + z


3x − 4y + z
= −4
= 7
= −2.
Solución
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
2 −3 ¯¯
¯ 2
¯ 2 1 ¯
¯ 1 1 ¯
¯
1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∆=¯ 2
1
1 ¯ = 1¯
¯ −3 ¯
¯ = (1+4)−2(2−3)−3(−8−3) =
¯ −2 ¯
¯ 3 −4 ¯
¯ 3 1 ¯
¯ −4 1 ¯
¯
¯
¯ 3 −4
1 ¯
5 − 2(−1) − 3(−11) = 5 + 2 + 33 = 40. Como el determinante es distinto de cero, entonces,
el sistema tiene solución única.
Para analizar lo que representa geométricamente un sistema de ecuaciones, debemos separar
dicho análisis en casos, considerando la dimensión del mismo. Mostraremos los casos de 2 y 3
dimensiones.
Dos dimensiones. En los sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, cada una de las ecuaciones representa una línea recta. De acuerdo al tipo de solución que tenga el sistema,
podemos distinguir los siguientes casos:
a) Si el sistema tiene solución única, entonces las rectas no son paralelas y se interceptan
en un solo punto.
b) Si el sistema no tiene solución, entonces las rectas son paralelas.
c) Si el sistema tiene soluciones infinitas, decimos que las rectas coinciden o que está
una encima de la otra.
6
6
E1
4
2
-3
-2
-1
2
-2
-4
Solución
-6
(a) Solución única
3
-3
-2
-1
E1
4
E2
2
E2
1
6
E1
4
1
2
3
-3
-2
-1
1
-2
-2
-4
-4
-6
-6
(b) Sin solución
E2
2
2
3
(c) Infinidad de soluciones
Figura 2.2. Tipos de soluciones representadas en el plano
Tres dimensiones. Para el caso de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, cada una de las
ecuaciones representa un plano en el espacio. Nuevamente, de acuerdo al tipo de solución que se tenga, podemos distinguir los siguientes casos:
a) Los tres planos se interceptan en un solo punto, entonces el sistema tiene solución
única.
b) Los tres planos se interceptan en una misma recta, entonces cada punto sobre la recta
es solución y el sistema tiene infinidad de soluciones.
Matrices y Determinantes
2.6.1 Interpretación geométrica
50
2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.
c) Los tres planos coinciden, el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.
d ) Dos de los planos coinciden y se interceptan con el tercero en una recta, entonces la
recta es solución del sistema y tiene infinidad de soluciones.
e) Al menos dos de los planos son paralelos, entonces el sistema no tiene solución.
f ) Dos de los planos coinciden en una recta L, el tercer plano es paralelo a L y no la
contiene, entonces el sistema no tiene solución.
(a) Solución única
(b) Infinidad de soluciones
(c) Infinidad de soluciones
(d) Infinidad de soluciones
(e) Sin solución
(f) Sin solución
Figura 2.3. Tipos de solución gráficos en el espacio
Dentro del contexto de sistemas de ecuaciones se maneja la siguiente nomenclatura.
Definición 2.23
Clasificación de sistemas de ecuaciones
Dado un sistema de ecuaciones lineales n−dimensional;
Se dice que el sistema es inconsistente si no tiene solución.
Se dice que un sistema que tiene al menos una solución es consistente.
Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero.
Observación
Es imposible que un sistema de ecuaciones homogéneo no tenga solución, pues x i = 0
siempre es solución; por lo que, si su determinante principal es distinto de cero, el sistema tendrá solución única y será x i = 0; en caso contrario tendrá infinidad de soluciones.
51
2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.
2.6.2 Solución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices y determinantes
Existen diferentes formas de encontrar la solución a sistemas de ecuaciones lineales. Aquí abordaremos únicamente tres, que son las más comunes: eliminación Gaussiana, de Gauss-Jordan
y regla de Cramer. Para esto definiremos antes otro tipo de matriz relacionada con el sistema.
Definición 2.24
Matriz correspondiente a un sistema de ecuaciones
Eliminación Gaussiana
Como ya se vió en la sección 2.3.1, el método de Gauss permite transformar la matriz de coeficientes en una matriz reducida equivalente; es decir, que conserva las propiedades matriciales.
Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación Gaussiana, se realizan los siguientes
pasos:
Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones
1) Se escribe la matriz aumentada correspondiente del sistema que se quiere resolver.
2) Se transforma la matriz aumentada hasta obtener una matriz triangular superior (considerando la matriz de coeficientes); donde cada operación que se efectúe a un renglón, se hace incluyendo el correspondiente elemento de la columna aumentada.
3) Una vez que se obtiene la matriz triangular superior, se reescribe el sistema con sus
nuevos coeficientes.
4) Se resuelve el nuevo sistema por métodos algebraicos (los valores obtenidos al resolver este nuevo sistema, serán los valores solución del sistema original).
Ejemplo 2.22
Método de Gauss


 2x + 4y + 6z
Resolver el sistema
4x + 5y − 6z


3x + y − 2z
= 18
= 24 , mediante eliminación Gaussiana.
= 4.
Solución .
Escribimos la matriz aumentada

2 4 6

 4 5 −6
3 1 −2

18

24 
4
52
Matrices y Determinantes
Dado el sistema de ecuaciones (2.2), se conoce como matriz aumentada a la matriz que
se obtiene al agregar a la matriz de coeficientes el vector de términos independientes del
sistema, en la forma:


a 11 a 12 . . . a 1n b 1


 a 21 a 22 . . . a 2n b 2 
 .
..
..
.. 

 .
 .
.
.
. 
a n1 a n2 . . . a nn b n
2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.
luego haciendo R 1′ = 12 R 1

1 2
3

 4 5 −6
3 1 −2

9

24 
4
luego para tener cero, bajo el 1 de la diagonal hacemos R 2′ = −4R 1 + R 2 y R 3′ = −3R 1 + R 3

1
2
3

 0 −3 −18
0 −5 −11

9

−12 
−23


9

4 
−23
multiplicamos el segundo renglón por − 13
1
2
3

1
6
 0
0 −5 −11
para tener cero abajo del segundo elemento de la diagonal hacemos R 3′ = 5R 2 + R 3

1 2
3

6
 0 1
0 0 19

9

4 
−3
ahora reescribimos el sistema de ecuaciones nuevamente


 x + 2y + 3z = 9
y + 6z = 4


19z = −3.
8
,y =
y resolvemos de abajo hacia arriba, para obtener x = − 19
94
19 , z
=
−3
19 .
Eliminación de Gauss-Jordan
Este método es similar al anterior, solo que ahora se reduce la matriz de coeficientes, hasta
llevarla a una matriz identidad, la solución se obtiene directamente.
Si en algún paso del método detectamos dos renglones iguales, entonces el sistema o no tiene solución o tiene una cantidad infinita de soluciones, para identificar que tipo de solución
observamos que:
El sistema no tiene solución si los renglones son iguales unicamente en la parte de la
matriz no aumentada.
El sistema tendrá cantidad infinita de soluciones si los renglones son iguales tanto en la
matriz de coeficientes como en la parte aumentada.
Ejemplo 2.23
Solución de un sistema por el método de Gauss-Jordan


 2x + 4y + 6z = 18
Resolver el sistema
4x + 5y − 6z = 24 , mediante el método de Gauss-Jordan.


2x + y − 12z = 6.
53
2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.
Solución .
Escribimos la matriz aumentada
2 4
6

 4 5 −6
2 1 −12

18

24 
6


9

24 
6

luego haciendo R 1′ = 12 R 1
1 2
3

−6
 4 5
2 1 −12
54
luego para tener cero, bajo el 1 de la diagonal hacemos R 2′ = −4R 1 + R 2 y R 3′ = −2R 1 + R 3
1
2
3

 0 −3 −18
0 −3 −18

9

−12 
−12
Notemos que los renglones 2 y 3 son iguales, tanto en los coeficientes como en los resultados por lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.
Ejemplo 2.24
Solución de un sistema por el método de Gauss-Jordan


 2x + 4y + 6z = 18
Resolver el sistema
4x + 5y − 6z = 24 , mediante el método de Gauss-Jordan.


2x + y − 12z = 2.
Solución .
Escribimos la matriz aumentada
luego haciendo R 1′ = 12 R 1

2 4
6

 4 5 −6
2 1 −12

18

24 
2


9

24 
2
1 2
3

−6
 4 5
2 1 −12
luego para tener cero, bajo el 1 de la diagonal hacemos R 2′ = −4R 1 + R 2 y R 3′ = −2R 1 + R 3

1
2
3

 0 −3 −18
0 −3 −18

9

−12 
−16
Notemos que los renglones 2 y 3 son iguales, pero únicamente en la parte de la matriz no
aumentada por lo que el sistema no tiene solución.
Matrices y Determinantes

2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.
Regla de Cramer
Para resolver un sistema de ecuaciones mediante regla de Cramer se realizan los siguientes
pasos;
Método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
1) Escribimos el determinante principal, es decir el formado por los coeficientes y se
resuelve , si éste es cero el sistema no tiene solución o tiene una cantidad infinita de
soluciones, si es distinta de cero continuamos.
2) Se construyen los determinantes ∆xi que consisten en sustituir la columna de coeficientes de la incógnita x i por la columna de soluciones, sin modificar la posición
donde se encuentra.
3) Se usa la siguiente fórmula para encontrar los valores de las incógnitas x i =
∆x i
∆
.
Ejemplo 2.25
Solución de un sistema por el método de Cramer


 2x + 4y + 2z = 8
Resolver el sistema
x
− 3z = 4 , mediante regla de Cramer.


2x + 3y + z = 2
Solución .
Se escribe y resuelve el determinante principal
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2 4
2 ¯¯
¯ 2 4
¯ 4 2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∆ = ¯ 1 0 −3 ¯ = − ¯
¯+3¯
¯ 2 3
¯ 3 1 ¯
¯
¯
¯ 2 3
1 ¯
¯
¯
¯
¯ = −(4 − 6) + 3(6 − 8) = 2 − 6 = −4
¯
Luego de acuerdo a el paso 2, escribimos y resolvemos ∆x , ∆ y , ∆ y ,
¯
¯
¯ 8 4
2 ¯¯
¯
¯
¯
∆x = ¯ 4 0 −3 ¯ = 56,
¯
¯
¯ 2 3
1 ¯
Finalmente x =
∆
=
∆x
56
−4
= −14,
¯
¯
¯ 2 8
2 ¯¯
¯
¯
¯
∆ y = ¯ 1 4 −3 ¯ = −48,
¯
¯
¯ 2 2
1 ¯
y=
∆
=
∆y
−48
−4
= 12,
z=
¯
¯ 2 4 8
¯
¯
∆z = ¯ 1 0 4
¯
¯ 2 3 2
∆
=
∆z
24
−4
= −6
¯
¯
¯
¯
¯ = 24
¯
¯
Si el determinante principal es igual a cero, entonces el sistema o no tiene solución o tiene
una cantidad infinita de soluciones, para saber en que situación estamos, debemos analizar el
determinante principal y detectar cual renglón es combinación lineal de los otros y verificar si
las soluciones cumplen esa misma regla de la combinación lineal, en caso de que no la cumpla
el sistema no tiene solución.
Ejemplo 2.26
Método de Cramer para un sistema sin solución


 x + 3y + 2z = 2
Resolver el sistema
x + y − 3z = 1 , mediante regla de Cramer.


−2y − 5z = 2
55
2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.
Solución .
Se escribe y resuelve el determinante principal
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
3
2 ¯¯
¯ 1 3
¯ 1
¯
2 ¯¯
¯
¯
¯
¯
∆=¯ 1
1 −3 ¯ = 2 ¯
¯−5¯
¯ 1 1
¯ 1 −3 ¯
¯
¯
¯ 0 −2 −5 ¯
¯
¯
¯
¯ = 2(−3 − 2) − 5(1 − 3) = −10 + 10 = 0
¯
56
Por lo que debemos analizar el determinante, y podremos observar que el tercer renglón
es combinación lineal de los dos primeros, es decir R 3 = −R 1 + R 2 , sin embargo en la
columna de soluciones del sistema no se cumple esta relación, por lo que el sistema no
tiene solución.
Cuando un sistema tiene infinidad de soluciones, para encontrar una debemos quitar el
renglón que es combinación lineal de los otros y resolver el sistema por métodos algebraicos.
Ejemplo 2.27
Método de Cramer para un sistema con infinidad de soluciones


=2
 x + 3y + 2z
Resolver el sistema
x + y − 3z
= 1 , mediante regla de Cramer.


−2y − 5z = −1
Solución .
Se escribe y resuelve el determinante principal
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
3
2 ¯¯
¯ 1 3
¯ 1
¯
2 ¯¯
¯
¯
¯
¯
∆=¯ 1
1 −3 ¯ = 2 ¯
¯−5¯
¯ 1 1
¯ 1 −3 ¯
¯
¯
¯ 0 −2 −5 ¯
¯
¯
¯
¯ = 2(−3 − 2) − 5(1 − 3) = −10 + 10 = 0
¯
Al analizar el determinante, podremos observar que el tercer renglón es combinación
lineal de los dos primeros, es decir R 3 = −R 1 + R 2 , esta relación se cumple también en la
columna de soluciones, por lo que concluimos que el sistema tiene una cantidad infinita
de soluciones.
Para encontrar una solución escribimos el sistema
(
x + 3y + 2z = 2
x + y − 3z = 1
8
2x
1
cuya solución general es y = 11
− 5x
11 y z = 11 − 11 , al darle el valor a x = 0 obtenemos
8
1
y = 11 y z = − 11 , que es una solución del sistema original.
Matrices y Determinantes
Observación
2.7 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
2.7
Evaluaciones sumativas
2.7.1 Ejercicios
1.• Dadas las matrices


1 −1 2


A= 3
1 4 ,
0 −2 5


5 4
4


B =  −2 2
4 ,
3 2 −1


6
3


C =  2 −5  ,
1
3
D=
Ã
1 −1
3
4
3 −2
!
realizar las siguientes operaciones, o en su caso indicar porque no se pueden llevar a cabo.
a.•
b.•
c.•
d.•
e.• C A − B .
A + B.
3A − 2C .
AC + BC .
A 2 − AB
f.• 3A + 21 B +C D
g.• D A + D
2.• Calcular la inversa de la matriz dada en cada inciso usando método de Gauss-Jordan, o
en su caso indicar si no es invertible.
a.•
b.•
Ã

5 −1 2


A= 3
1 3 .
0 −2 5


2
4
4


B =  −2 −1
4 .
3
2 −1

!
6
3
c.• C =
.
2 −5
Ã
!
1 −1
d.• D =
.
4
3


1
0
1


e.• F =  −2 −1 −3 
3
4
7
3.• Clasifica las siguientes matrices, como singular o no singular, en caso de que la matriz
dada sea no singular, calcular su inversa por el método de la adjunta.
a.•
b.•


1 −1 2


A= 3
1 4 .
0 −2 5


4 −1
4


B =  −2
2
4 .
1 −2 −1


2 −1 2


c.• C =  1
0 3 
3 −1 5


3
3
2


d.• D =  4 −1 −1 
0
2
2
4.• Calcular el valor de los siguientes determinantes.
a.•
b.•
¯
¯
¯ 3 −1 2
1 ¯¯
¯
¯ 4
3 1 −2 ¯¯
¯
A=¯
¯.
¯ −1
0 2
3 ¯
¯
¯
¯ 6
2 5
2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
B =¯
¯
¯
¯
2
0 0
0
0 3
0 −1 0
0
0 0
0
0
0
4
¯
¯
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
¯
¯
¯ 1 −1 2
0
¯
¯ 3
1 4
0
¯
¯
c.• C = ¯ 2 −1 5
0
¯
¯ 0
0
0
2
¯
¯ 0
0 0 −1
¯
¯ 2
5 −6 8
¯
¯
1 −7 6
¯ 0
¯
¯
0
0
0 4
d.• D = ¯¯
2
1 5
¯ 0
¯
¯ 4 −1
5 3
¯
¯
0
0
0
3
4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
¯
¯
¯
0 ¯¯
¯
0 ¯
¯
0 ¯¯
1 ¯¯
¯
0 ¯
¯
¯
57
2.7 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

1
− sen(x)
1


Encontrar el determinante de la matriz B =  cos(x)
1
− cos(x) .
1
sen(x)
1

5.•
6.• Sean A y B matrices de orden 7, tales que d et (A) = 3 y d et (B ) = 2. Calcular d et [(2A −1 )(3B −1 )].
7.• En los siguientes sistemas, encontrar: todas sus soluciones, su única solución o indicar que
no tiene solución.
(
•
(
c.•
(
d.•



a.
b.
x − 3y
−4x + 2y
2x − 8y
−3x + 12y
−4x − y
−2x + y
x
2x


x
−3y
−3y
=4
.
=6
e.•
=5
.
=8
=2
.
= −3
+2z
+4z
−2z
•
f.
=5
=4 .
=1
g.•



x
11x


5x


 4x


−4x


 2x


−4x
+y
−13y
−y
+2z
+3z
−2z
+2y
3y
−5y
−2z
+3z
−z
+3y
3y
−5y
−2z
+3z
=4
=1 .
=2
=4
=2 .
=7
=4
=2
=4
Matrices y Determinantes
•
58
3
59
Espacios Vectoriales
Competencia específica a desarrollar
Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que generaliza y
hace abstracción de operaciones que aparecen en diferentes áreas de la matemática mediante
las propiedades de adición y multiplicación por un escalar.
Construir, utilizando el álgebra de vectores, bases de un espacio vectorial y determinar la dimensión del espacio correspondiente.
Actividades de Aprendizaje
Comprender el concepto de espacio vectorial.
Ejemplificar conjuntos de vectores que cumplan con los diez axiomas de espacio vectorial.
Establecer analogías entre los espacios y subespacios vectoriales con la notación de conjuntos y subconjuntos.
Identificar si un conjunto de vectores son o no subespacios vectoriales de un espacio
vectorial.
Escribir vectores como combinación lineal de otros.
Determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente.
Utilizar los conceptos de matrices y determinantes para determinar la independencia
lineal de un conjunto de vectores.
Identificar cuándo es que un conjunto genera un espacio vectorial.
Determinar si un conjunto de vectores forma una base para un espacio vectorial.
Graficar el espacio de solución de un sistema de ecuaciones lineales y establecer la relación entre la gráfica y la dimensión del espacio de solución.
Encontrar la matriz de cambio de la base canónica a otra base y la matriz de cambio de
una base no canónica a otra cualquiera.
Comprobar la ortonormalidad de una base.
Utilizar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
3.1 Definición de un espacio vectorial Álgebra lineal.
3.1
Definición de espacio vectorial y sus propiedades
Supongamos que tenemos un conjunto de elementosV con ciertas características específicas, y
definimos una operación entre estos elementos a la que le llamamos suma (+), y otra operación
entre los elementos del conjunto y un campo que en nuestro curso será el de los números reales
a la que se le denominará producto escalar (·).
60
Observación
Tomemos en cuenta que estas operaciones dependen de los objetos con los cuales estemos trabajando y que no necesariamente son las operaciones de suma y producto que
conocemos de los números reales.
1. Cerradura bajo la suma. Si v 1 , v 2 ∈ V entonces v 1 + v 2 ∈ V .
2. Conmutatividad de la suma. Si dos elementos v 1 , v 2 ∈ V entonces v 1 + v 2 = v 2 + v 1 .
3. Asociatividad de la suma. Para todo elemento v 1 , v 2 , v 3 ∈ V se cumple que (v 1 +v 2 )+v 3 =
v 1 + (v 2 + v 3 )
4. Existencia del elemento neutro. Existe un elemento 0V ∈ V tal que para todo v ∈ V, v +
0V = 0V + v = v
5. Existencia del elemento inverso aditivo. Si un elemento v ∈ V , entonces existe otro elemento denominado −v ∈ V tal que v + (−v) = 0V .
6. Cerradura bajo el producto. Si tenemos v ∈ V y k es un número real, entonces kv ∈ V
7. Distributividad sobre los elementos de V . Si v 1 , v 2 ∈ V y k es un número real, entonces
k(v 1 + v 2 ) = kv 1 + kv 2
8. Distributividad sobre los elementos reales. Si v ∈ V además k 1 , k 2 son números reales,
entonces (k 1 + k 2 )v = k 1 v + k 2 v
9. Asociatividad del producto. Si v ∈ V y k 1 , k 2 son escalares entonces k 1 (k 2 v) = (k 1 k 2 )v
10. Existencia del neutro de los reales. Para cada vector v ∈ V existe un elemento 1 ∈ R tal
que 1 v = v.
Observación
Para evitar confusiones, siempre que nos refiramos al vector cero de un espacio vectorial
V lo denotaremos como 0V .
Tomando en cuenta las propiedades anteriores asi como las operaciones con que se verifican,
estamos en condiciones de enunciar la siguiente definición.
Espacios Vectoriales
Nos interesan aquellos conjuntos en los cuales una vez definidas sus operaciones, cumplen
con las siguientes propiedades o axiomas:
3.1 Definición de un espacio vectorial Álgebra lineal.
Definición 3.1
Espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en este caso, el de los números reales) es un
conjunto V no vacío, dotado de las operaciones de suma y producto por un escalar, que
cumple las diez propiedades anteriores.
61
Observación
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los números reales se les
conoce como escalares, las operaciones de suma y multiplicación dependen del espacio
vectorial, no siempre son las operaciones aditivas y de producto que conocemos de los
números reales.
Para nuestro caso la propiedad 10 se cumple directamente, pues estamos trabajando dentro
de los números reales y con operaciones previamente establecidas, en donde se define al 1 ∈ R
como el neutro multiplicativo; en caso de cambiar las operaciones, debemos revisar que se
cumpla ésta propiedad.
Pasos necesarios para verificar las 10 propiedades de un espacio vectorial
1) realizar una simulación geométrica de la forma que tiene el espacio vectorial.
2) Identificar claramente los elementos que componen al espacio vectorial, y determinar
la forma que tiene un elemento en su forma general.
3) tener muy claro como es la operación de suma entre sus elementos y el producto
por un escalar, cuando no se menciona nada en el ejercicio se supone que son las
operaciones que se realizan normalmente entre esos elementos, aunque también se
pueden definir al momento de plantear el problema.
Ejemplo 3.1
El espacio vectorial trivial
Verificar que el conjunto formado por el número cero V = {0}, con la suma y producto
definidas en los números reales, es un espacio vectorial.
Solución .
El único elemento de este conjunto es el cero real (0V = 0), veamos que cumple las nueve
propiedades:
1. El único elemento es cero y éste cumple que 0V + 0V = 0V ∈ V . X
2. Es claro que 0V + 0V = 0V + 0V . X
3. Para el elemento 0V ∈ V se cumple que (0V + 0V ) + 0V = 0V + (0V + 0V ). X
4. El elemento neutro o cero de este conjunto es el propio 0V ∈ V . X
5. El inverso aditivo del 0V es el propio 0V . X
6. Para cualquier real k, es claro que k · 0V = 0V . X
7. Claramente se cumple que k(0V + 0V ) = k · 0V + k · 0V . X
8. Nuevamente tenemos la igualdad obvia (k 1 + k 2 )0V = k 1 · 0V + k 2 · 0V .X
3.1 Definición de un espacio vectorial Álgebra lineal.
9. De igual forma k 1 (k 2 · 0V ) = (k 1 k 2 )0V . X
Por lo tanto, se trata de un espacio vectorial.
El vector cero de cada conjunto forma por si solo un espacio vectorial, conocido como espacio
vectorial trivial por su sencillez, y es el único con una cantidad finita de elementos que manejaremos en este curso.
Ejemplo 3.2
62
Espacio vectorial, constituido por una recta en R2
Mostrar que el conjunto de puntos en R 2 que están en una recta L que pasa por el origen,
constituyen un espacio vectorial, con las operaciones de suma y producto definidas para
coordenadas cartesianas.
1. Tomemos dos elementos (x 1 , c x 1 ) y (x 2 , c x 2 ). Al realizar la suma tenemos ((x 1 +
x 2 ), c(x 1 + x 2 )) ∈ V . X
2. Dados dos vectores (x 1 , c x 1 ) y (x 2 , c x 2 ) tenemos que (x 1 , c x 1 ) + (x 2 , c x 2 ) = ((x 1 +
x 2 ), c(x 1 + x 2 )) = ((x 2 + x 1 ), c(x 2 + x 1 )) = (x 2 , c x 2 ) + (x 1 , c x 1 ) X
3. Sean (x 1 , c x 1 ), (x 2 , c x 2 ) y (x 3 , c x 3 ) ∈ L, entonces [(x 1 , c x 1 ) + (x 2 , c x 2 )] + (x 3 , c x 3 ) =
((x 2 + x 1 + x 3 ), c(x 2 + x 1 + x 3 )) = (x 1 , c x 1 ) + [(x 2 , c x 2 ) + (x 3 , c x 3 )]. X
4. El elemento neutro es 0V = (0, 0) ∈ V . X
5. El inverso aditivo de un elemento (x, c x) es (−x, −c x) ∈ L. X
6. Notemos que k(x, c x) = (kx, c(kx)) ∈ L. X
7. Claramente se cumple que k((x 1 , c x 1 ) + (x 2 , c x 2 )) = k(x 1 , c x 1 ) + k(x 2 , c x 2 ). X
8. Nuevamente tenemos la igualdad (k + k 2 )(x, c x) = k · (x, c x) + k 2 · (x, c x).X
9. De igual forma k 1 (k 2 (v, c v)) = (k 1 k 2 )(v, c v). X
Por lo tanto, es un espacio vectorial.
Observación
El conjunto de puntos en R 2 que están en una recta que no pasa por el origen, no constituyen un espacio vectorial, pues no contiene al vector cero.
Para nuestro siguiente ejemplo, recordemos que cualquier polinomio tiene la forma
P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a 1 x + a 0
y el grado del polinomio es igual a m, siempre y cuando m sea el mayor exponente de todos los
términos del polinomio y además a m 6= 0.
Espacios Vectoriales
Solución .
La ecuación de una recta que pasa por el origen es y = c x donde c es una constante
arbitraria pero que queda fija una vez elegida. Entonces los elementos de este conjunto
tienen la forma (x, c x); además veamos que cumple las 9 propiedades
3.1 Definición de un espacio vectorial Álgebra lineal.
Ejemplo 3.3
Un conjunto que no es espacio vectorial
Mostrar que el conjunto de P 3 = {ax 3 + bx 2 + c x + d }, compuesto por los polinomios de
grado exactamente igual a 3 con coeficientes reales, no es un espacio vectorial con las
operaciones definidas para funciones.
Solución .
No contiene al vector cero, pues no es de grado tres, con esto es suficiente, aunque también se puede ver que si se toman dos polinomios de grado tres, la suma no necesariamente es de grado tres.
Se puede comprobar que si a éste conjunto, P 3 , se le permite que contenga a los polinomios de
grado menor o igual a 3, entonces si es un espacio vectorial.
Ejemplo 3.4
Espacio vectorial, constituido por funciones continuas
Determinar si el conjunto de funciones f : R → R continuas, con las operaciones definidas para funciones, es un espacio vectorial.
Solución .
Recordemos que una función continua es aquella que no contiene ningún punto de discontinuidad, es decir que no tiene divisiones entre cero ou operaciones que no se pueden definir, dentro del intervalo de definición.
1. Si f (x), g (x) son funciones continuas, entonces f (x) + g (x) sigue siendo una función continua pues al sumar no se agrega ningún punto de discontinuidad. X
2. Si f (x), g (x) son funciones continuas, entonces por la definición de suma de funciones, es claro que f (x) + g (x) = g (x) + f (x). X
3. Sean f (x), g (x), h(x) funciones continuas, entonces podemos asociar [ f (x) +
(g (x)] + h(x) = ( f + g )(x) + h(x) = ( f + g + h)(x) = f (x) + (g + h)(x) = f (x) + [g (x) +
h(x)]. X
4. El elemento neutro o cero de este conjunto es la función constante f (x) = 0. X
5. El inverso aditivo de una función f (x) es − f (x). X
6. Si k es un real y f (x) es una función continua, entonces k f (x) sigue siendo una
función continua pues al multiplicar no se agrega ningún punto de discontinuidad. X
7. Sean k 1 , k 2 elementos reales y f (x) es una función continua, entonces (k 1 +
k 2 ) f (x) = k 1 f (x) + k 2 f (x). X
8. Sean k un número real y f (x), g (x) funciones continuas, entonces por linealidad
de las funciones k( f (x) + g (x)) = k f (x) + kg (x). X
9. Sean k 1 , k 2 elementos reales y f(x) es una función continua, entonces por propiedades de los reales (k 1 k 2 ) f (x) = k 1 (k 2 f (x)). X
Por lo tanto, es un espacio vectorial.
63
3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.
El conjunto de matrices de orden n × M constituyen un espacio vectorial, sin embargo cuando
se imponen algunas condiciones en la forma de los elementos que la componen, éstas pueden
dejar de ser espacios vectoriales.
Ejemplo 3.5
Otro conjunto que no es espacio vectorial
Determinar si el conjunto formado por todas las matrices de orden 3 × 2, donde el elemento cuya posición se encuentra en el renglón 2 columna 2 es un número racional, y
con las operaciones definidas para matrices, forman un espacio vectorial.
64
Solución .
Llamemos M r al conjunto de matrices que cumplen esta característica:
2. Se sabe que la suma de matrices es conmutativa, por lo que se cumple directamente. X
3. Sean M 1 , M 2 , M 3 tres matrices de 3 × 2 que pertenecen a M r , nuevamente las propiedades de matrices nos dicen que podemos asociar la suma de distintas formas
y el resultado es el mismo. X
4. El elemento neutro o cero es la matriz de orden 3 × 2 formada por puros ceros, es
parte del conjunto de matrices M r , pues el cero es número racional. X
5. El inverso aditivo de una matriz M es ?M , notemos que si r es racional, entonces
?r también es racional. X
6. Esta propiedad falla pues si tenemos una matriz M de 3 × 2 con número racional
en la posición renglón 2 columna 2 y k es un irracional, entonces kM puede no
contener un racional en la posición indicada.
Por lo tanto no es espacio vectorial
3.2
Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades
Definición 3.2
Subespacios
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es, en si, un
espacio vectorial bajo las operaciones de suma y producto por un escalar definidas para
V ; entonces se dice que H es un subespacio de V .
La ventaja de trabajar con subespacios vectoriales es que no es necesario verificar las diez propiedades de espacios vectoriales, como lo muestra el siguiente teorema.
Espacios Vectoriales
1. Se cumple, pues al sumar dos matrices de 3×2, el resultado sigue siendo una matriz
de 3 × 2, además la suma de racionales sigue siendo racional. X
3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.
Teorema 3.1
Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V, si se cumplen las tres reglas de cerradura:
1. Si h 1 , h 2 ∈ H entonces h 1 + h 2 ∈ H .
2. Si h ∈ H entonces kh ∈ H para todo escalar k.
Demostración .
Por hipótesis (1), para cualquier dos vectores h 1 , h 2 ∈ H , se tiene que h 1 + h 2 ∈ H . Como
H es un subconjunto de V entonces hereda las propiedades 2 y 3, la propiedad cuatro
se verifica si tomamos k = −1 y usamos la hipótesis (2) en la siguiente forma, si tenemos
h ∈ H entonces kh = −h ∈ H es decir el inverso de h pertenece a H , para la propiedad
4 se obtiene el elemento neutro al tomar k = 0 y usando nuevamente la hipótesis (2),
finalmente las propiedades 7, 8, 9, 10 se heredan del espacio vectorial V .
Ejemplo 3.6
El subespacio formado por una recta
Mostrar que los puntos sobre la recta x = y forman un subespacio vectorial de R 2 .
Solución .
Los elementos de este conjunto son todos los puntos de R2 de la forma (x, x), ahora
1. Sean (x 1 , x 1 ) y (x 2 , x 2 ) elementos de la recta, entonces (x 1 , x 1 ) + (x 2 , x 2 ) = (x 1 +
x 2 , x 1 + x 2 ) que claramente pertenece a la recta.
2. Por otro lado si k es un real, entonces k(x, x) = (kx, kx) que también pertenece a la
recta.
En consecuencia la recta x = y es un subespacio vectorial y espacio por si mismo.
Ejemplo 3.7
Una recta en el espacio que no es subespacio vectorial
Sea H = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2 + 4t , y = 1 − 2t , z = t } ⊂ R3 . Determinar si H es subespacio
vectorial de R3 .
Solución .
Observemos que los elementos de H son de la forma (2+4t , 1−2t , t ), con t ∈ R, sin embargo en este caso H no es un subespacio vectorial pues no se cumple la segunda condición,
por ejemplo si tenemos k = 0 y (6, −1, 1) ∈ H , entonces k(6, −1, 1) = (0, 0, 0) ∉ H .
Actividad complementaria 3.1
Verificar si P = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 4y + 2z = 0} ∈ R3 es un subespacio vectorial de R3 .
Observación
Al igual que en para las lineas rectas, todo plano que contenga al origen, constituye un
espacio vectorial.
65
3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.
Llamamos subespacios impropios de un espacio vectorial V , al mismo V y al subespacio formado únicamente por el vector cero H = {0}.
3.2.1 Intersección de subespacios vectoriales
Recordemos de la teoría de conjuntos que la intersección de dos conjuntos A y B esta compuesta por todos los elementos que están en ambos conjuntos, es decir que pertenece al el conjunto
A y también al conjunto B , el símbolo usado para identificar una intersección de conjuntos es
∩, matemáticamente tenemos:
x ∈ A ∩B
Definición 3.3
⇔
x ∈ A y x ∈B
Subespacios
Observación
Cualesquiera 2 subespacios tienen al menos un vector común, éste elemento es el vector
cero.
Proposición 3.1
La intersección de 2 subespacios de V , siempre es otro subespacio de V .
Demostración .
Sean H1 y H2 dos subespacios de V , si la intersección es el espacio formado unicamente
por el elemento cero, es claro que será un subespacio vectorial, si no es el caso, probaremos que H1 ∩ H2 es un subespacio de V en la siguiente forma:
1. sean h, n ∈ h 1 ∩H2 , es decir están en H1 y H2 ésto significa que h +n ∈ H1 y también
h + n ∈ H2 por lo tanto h + n ∈ H1 ∩ H2 .
2. Sea k ∈ R, como h ∈ H1 ∩ H2 , entonces h ∈ H1 y h ∈ H2 por lo tanto kh ∈ H1 y
kh ∈ H2 pero esto implica que kh ∈ H1 ∩ H2 .
Observación
Una forma para encontrar el subespacio formado por la intersección es escribir el elemento general de cada subespacio e igualar coordenadas correspondientes par formar
un sistema de ecuaciones que al resolverlo nos dará información sobre la intersección.
intersección de subespacios
Sean H = {(x, y, z) : x = −1 + t , y = 2 − 2t , z = 1 − t } y P = {(x, y, z) : 2x − 3y + 8z = 0} dos
subespacios de R3 , encontrar el subespacio formado por su intersección.
Solución .
H es una recta en el espacio y sus elementos tienen la forma (−1 + t , 2 − 2t , 1 − t ), mien-
Espacios Vectoriales
Sean H1 y H2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V , definimos la intersección de subespacios vectoriales H1 ∩ H2 como el conjunto {v ∈ V : v ∈ H1 , v ∈ H2 }; es
decir, los elementos que pertenecen a ambos subespacios.
Ejemplo 3.8
66
3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.
µ
¶
−2x + 3y
tras P representa un plano, y su elemento general se escribe como x, y,
.
8
Al igualar coordenada a coordenada
tenemos el sistema

−1 + t = x



2 − 2t = y


 1 − t = −2x + 3y
8
Que reescribiendo queda


x − t = −1

y
+ 2t =
2


3y − 2x + 8t =
8
El cual tiene una cantidad infinita de soluciones, por lo tanto H ⊂ P tal y como lo muestra
la gráfica y en consecuencia la intersección es H .
Definición 3.4
Subespacios distintos
Decimos que dos subespacios H1 , H2 son disjuntos, si el único elemento que pertenece
a su intersección es el vector cero.
Ejemplo 3.9
Dos subespacios con intersección trivial
Sean H = {(x, y) : x = 2y} y P = {(x, y) : 2x − 3y = 0} dos subespacios de R2 , encontrar el
subespacio formado por su intersección.
Solución .
H y P son rectas en el plano cuyos elementos generales son (x 1 , 21 x 1 ) y (x 2 , 23 x 2 ) respectivamente. Al igualar coordenada a coordenada tenemos el sistema
(
x1 = x2
1
2
2 x1 = 3 x2
cuya única solución es x 1 = 0 y x 2 = 0 por lo que la intersección es el vector (0, 0).
3.2.2 Suma de subespacios vectoriales
Aun cuando en teoría de conjuntos la unión e intersección de conjuntos van de la mano, en
espacios vectoriales no sucede lo mismo, de hecho la unión de dos subespacios vectoriales
no tiene por qué ser un subespacio vectorial, para obtener subespacios vectoriales a partir de
pegar subespacios necesitamos una operación alternativa, que nos permita reunir subespacios
de manera que se mantenga la estructura de subespacio vectorial. Esta operación la definimos
de la siguiente forma.
67
3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.
Definición 3.5
Suma de subespacios
Dados H1 , H2 dos subespacios de un espacio vectorial V . La suma de subespacios vectoriales se define como
H1 + H2 = {v ∈ V : v = h 1 + h 2
donde h 1 ∈ H1 , h 2 ∈ H2 }
donde la operación de suma es la definida para V .
68
Podemos generalizar esta idea de suma a cualquier cantidad de subespacios vectoriales en la
siguiente forma:
Definición 3.6
Suma general de subespacios
n
X
i =1
Hi = H1 + H2 + . . . + Hn = {v ∈ V : v =
n
X
hi
i =1
donde h i ∈ Hi
donde h i ∈ Hi y la operación de suma es la definida para V .
El vector suma, esta compuesto por la suma de vectores, cada uno de los cuales pertenece a
uno de los subespacios de V , para encontrar este subespacio debemos describir el elemento
general de cada subespacio y realizar la suma parra enseguida determinar el dominio de la
nueva expresión, éste formara al subespacio suma.
Ejemplo 3.10
Suma de dos rectas en el plano
Considera los subespacios H1 = {(x, y) ∈ R2 : x −2y = 0} y H2 = {(x, y) ∈ R2 : 2x +3y = 0} de
R2 , encontrar el subespacio formado por su suma.
Solución .
Notemos que H1 es una recta que pasa por el origen con elementos de la forma (x 1 , 12 x 1 ),
mientras que el elemento general de H2 se escribe como (x 2 , − 23 x 2 ), así al realizar la suma
tenemos (x 1 +x 2 , 21 x 1 − 23 x 2 ) que representa a todos los puntos de R2 , por lo que el espacio
vectorial H1 + H2 = R2 .
Observación
Es importante que al momento de sumar los elementos generales de cada subespacio los
denotemos con variables distintas, pues en caso contrario no estaríamos encontrando
todos los elementos que corresponden a la suma.
Actividad complementaria 3.2
Considera los subespacios H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = t , y = 2t , z = 3t } y H2 = {(x, y, z) ∈ R3 :
4x − 5y + 2z = 0} de R3 , encontrar:
1. El subespacio formado por su intersección.
2. El subespacio formado por su suma.
Espacios Vectoriales
Dados H1 , H2 , . . . Hn subespacios de un espacio vectorial V . La suma de subespacios vectoriales se define como
3.3 Dependencia e independencia lineal Álgebra lineal.
Existe un nombre especial para la suma de subespacios , cuando tenemos dos subespacios
vectoriales cuya intersección es el elemento neutro del espacio vectorial, como a continuación
se describe.
Definición 3.7
Suma directa de subespacios
Sea V un espacio vectorial y sean H1 y H2 dos subespacios vectoriales de V . Se define la
suma directa de subespacios como V = H1 ⊕ H2 si se cumple que V = H1 + H2 y además
H1 ∩ H2 = 0
En caso de que la suma directa H1 + H2 sea todo el espacio V , decimos que H1 y H2 son suplementarios.
Ejemplo 3.11
Suma directa de un plano y una recta en el espacio
Considerando los subespacios H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2 − 2t , y = 3 − 3t , z = 1 − t } y
H2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 2y = 0} de R3 , encontrar el subespacio formado por su suma y
comprobar que es una suma directa.
Solución .
H1 es una recta en el espacio y sus elementos tienen la forma (2−2t , 3−3t , 1−t ), mientras
P representa un plano, y su elemento general se escribe como (x, 12 x, z). Al sumar estos
elementos tenemos (t + x, 1 − 3t + 12 x, 1 + t + z) que nos genera todo R3 pues tenemos
3 grados de libertad es decir se puede escoger libremente tres variables. Por otro lado
cuando igualamos coordenada a coordenada tenemos el sistema


 2 − 2t = x
3 − 3t = 12 x


1−t = z
Que reescribiendo queda





x + 2t
z
1
2 x + 3t
+t
=2
=3
=1
El cual tiene como solución x = 0, z = 0 y t = 1 pero recordemos que t es un parámetro
para la ecuación de la linea recta por lo que al sustituirlo obtenemos y = 0 es decir la
intersección es el vector (0, 0, 0) y en consecuencia se trata de una suma directa.
3.3
Dependencia e independencia lineal
Definición 3.8
Combinación lineal
Dado un conjunto de vectores v 1 , v 2 . . . v n , se conoce como combinación lineal de ellos
a cualquier vector v obtenido mediante la fórmula
v = k1 v 1 + k2 v 2 + · · · + kn v n ,
donde k 1 , k 2 . . . k n son escalares reales, llamados coeficientes de la combinación lineal.
69
3.3 Dependencia e independencia lineal Álgebra lineal.
Los coeficientes de la combinación lineal son únicos, y para encontrarlos, basta con resolver el
sistema de ecuaciones lineales, que se forma a partir de la igualdad que aparece en la definición
de combinación lineal.
Ejemplo 3.12
Un vector como combinación lineal de otros
Mostrar que en R3 el vector (−7, 7, 7) es una combinación lineal de (−1, 2, 4), (5, −3, 1) y
(2, 1, 0).
La solución de este sistema es k 1 = 2, k 2 = −1. Finalmente escribimos (−7, 7, 7) =
2(−1, 2, 4) − 1(5, −3, 1) + 0(2, 1, 0).
El hecho de escribir un vector como combinación lineal de otros es muy importante pues nos
permite simplificar muchos cálculos, en particular podemos definir lo siguiente
Definición 3.9
Conjunto generador
Dado un espacio vectorial V , se dice que los vectores v 1 , v 2 , . . . v n ∈ V forman un conjunto generador de V , si cualquier vector en V se puede escribir como una combinación
lineal de ellos. Es decir, para todo v ∈ V existen escalares a 1 , a 2 , . . . a n tales que
v = a1 v 1 + . . . + an v n .
Es claro que los conjuntos de vectores {(1, 0), (0, 1)} y {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} generan a R2 y
R3 respectivamente. Sin embargo hay muchos más conjuntos de vectores que pueden generar
estos espacios.
Para saber si un conjunto de vectores es generador de un espacio vectorial V , basta con escribir
un elemento general del espacio como combinación lineal de los vectores y verificar que esté
bien definido para todos sus valores.
Observación
Decir que una operación esta bien definida, significa que podemos realizar tal operación
para todos los valores de la variable, por ejemplo la función x1 no esta bien definida para
los reales, pues no podemos evaluar en x = 0.
Ejemplo 3.13
Un conjunto generador de R3
Mostrar que el conjunto de vectores {(2, 3, 1), (−1, 2, 0), (4, 3, 1)} genera a R3 .
Solución .
Expresamos un vector general de R3 como combinación lineal de estos vectores; es decir,
(x, y, z) = k 1 (2, 3, 1) + k 2 (−1, 2, 0) + k 3 (4, 3, 1). Luego formamos el sistema de ecuaciones
11z−2x−y
y−3z
2x+y−7z
lineales y lo resolvemos, para obtener los valores k 1 =
, k2 = 2 y k3 =
.
4
4
Finalmente, como k 1 , k 2 , k 3 están definidas para todo x, y, z, decimos que el conjunto de
Espacios Vectoriales
Solución .
Escribimos (−7, 7, 7) = k 1 (−1, 2, 4) + k 2 (5, −3, 1) + k 3 (2, 1, 0), desarrollando esta igualdad
obtenemos el sistema


 −k 1 + 5k 2 + 2k 3 = −7
2k 1 − 3k 2 + k 3 =
7


4k 1 + k 2 =
7
70
3.3 Dependencia e independencia lineal Álgebra lineal.
vectores genera todo R3 .
Ejemplo 3.14
Conjunto generador del espacio de polinomios de grado 3
Mostrar que los monomios 1, x, x 2 , x 3 generan el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a 3.
Solución .
Sea P = ax 3 + bx 2 + c x + d un polinomio general de grado menor o igual a 3, para escribirlo como combinación lineal de los vectores simplemente hay que multiplicar por la
constante correspondiente cada término.
Algo muy importante dentro de las operaciones vectoriales es que, cuando trabajamos con
vectores, estos deben ser independientes unos de otros; en caso contrario, solo estaríamos trabajando mucho sin obtener resultados nuevos.
Para saber cuando dos vectores o más son independientes unos de otros, tenemos la siguiente
definición.
Definición 3.10
Dependencia lineal
Un conjunto finito de vectores v 1 , v 2 , . . . v n es linealmente dependiente si cumple cualquiera de las siguientes afirmaciones:
1. Al menos uno de ellos es combinación lineal de los otros.
2. El vector cero se puede expresar como combinación lineal de todos ellos con coeficientes no todos iguales a cero.
Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente, se dice que es linealmente
independiente.
En otras palabras, decimos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si la
ecuación
0V = k 1 v 1 + k 2 v 2 + . . . k n v n
implica que todos los k i sean igual a cero.
Ejemplo 3.15
Dos vectores linealmente independientes
Mostrar que los vectores u = (1, 2, 4), v = (2, 5, −3) son linealmente independientes en R3 .
Solución .
Escribimos (0, 0, 0) = a(1, 2, 4) + b(2, 5, −3), al igualar cada coordenada obtenemos el sistema
0 = a + 2b
0 = 2a + 5b cuya única solución es a = b = 0, y por la definición de dependencia
0 = 4a − 3b
lineal parte 2, los vectores son linealmente independientes
71
3.3 Dependencia e independencia lineal Álgebra lineal.
Observación
Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n > m; es decir,
el conjunto será dependiente si existen más vectores que la dimensión del espacio.
Ejemplo 3.16
Cuatro vectores en R3
72
Determinar si los vectores u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1), z = (1, 1, 0) son linealmente
independientes o dependientes en R3 .
Solución .
Como la dimensión del espacio es 3 y tenemos 4 vectores entonces por la observación ??
los vectores son linealmente dependientes.
1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo
también lo es.
3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que
lo contenga.
4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos.
5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si algún vector es múltiplo de otro.
6. Geométricamente, dos vectores son linealmente independientes si no tienen la misma
dirección.
Actividad complementaria 3.3
Determine si los vectores u = (1, −2, 3, 4, 2), v = (2, −2, 0, 1, 3), w = (0, 1, 7, −1, −3) y z =
(3, −6, 9, 12, 6) son linealmente independientes.
Proposición 3.2
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si el determinante formado por
ellos es diferente de cero.
Observación
La proposición 3.2 es muy útil, pues simplifica mucho la tarea a la hora de saber si el
conjunto de vectores es linealmente independiente; sin embargo, sólo funciona cuando
el determinante que se forma es cuadrado.
Espacios Vectoriales
Algunas propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes son las siguientes:
3.4 Base y dimensión de un espacio vectorial Álgebra lineal.
Ejemplo 3.17
Dependencia lineal con vectores matriciales
Ã
!
Ã
!
Ã
1 3
−2 3
2
Determinar si los vectores u =
,v =
,w =
1 4
5 1
−1
linealmente independientes.
!
Ã
!
−3
3 −1
,z=
son
−2
2 −1
Solución .
Debemos formar el determinante considerando cada matriz como una columna o renglón del determinante, realizándolo en un orden específico.

1
3
1
4
−2 3
5
1




 2 −3 −1 −2
3 −1 2 −1

Como este determinante es igual a −47, por la proposición ?? sabemos que los vectores
son linealmente independientes.
3.4
Base y dimensión de un espacio vectorial
La dimensión de un espacio vectorial, proporciona una idea de cuántos parámetros se necesitan para localizar con toda precisión un punto en ese espacio; por ejemplo, para localizar un
punto en el plano se necesitan 2 coordenadas, mientras que en R3 se deben indicar 3 coordenadas. Esa cantidad coincide con el número máximo de vectores linealmente independientes
que puede tener un espacio vectorial.
Definición 3.11
Dimensión de un espacio
La dimensión de un espacio vectorial V es igual al máximo número de vectores linealmente independientes de dicho espacio y se denota como d i mV .
La dimensión de un espacio vectorial, también coincide con el mínimo número de vectores
que forman un conjunto generador para todo el espacio.
Ejemplo 3.18
Dimensión del conjunto de polinomios de grado menor o igual a 3
Mostrar que la dimensión de P 3 , que es igual al conjunto de polinomios de grado menor
o igual a 3, es 4.
Solución .
En el ejmplo ?? se mostró que los vectores 1, x, x 2 y x 3 generan a P 3 por lo que la dimensión de P 3 es igual a cuatro.
Algunas dimensiones de espacios vectoriales conocidos son las siguientes:
La dimensión de cualquier espacio vectorial trivial es 0.
La dimensión del espacio vectorial formado con los puntos de una línea recta que pasa
por el origen es 1, no importa si está definida en el plano o en el espacio.
73
3.4 Base y dimensión de un espacio vectorial Álgebra lineal.
La dimensión de Rn = n para n ≥ 0.
La dimensión de los espacios vectoriales P n que contienen a los polinomios de grado
menor o igual a n, es n + 1.
La dimensión de los espacios vectoriales conformados por matrices de orden n × n es
igual a n 2 .
74
Un resultado útil para saber cuando estamos generando un espacio, está expresado en la siguiente
Proposición 3.3 propo:espaciogenerado
Un conjunto de vectores genera un espacio vectorial, si contiene la misma cantidad de
vectores linealmente independientes que la dimensión del espacio.
Cuatro vectores generadores de R3
Determinar si el conjunto de vectores {(1, 2, 4), (3, 2, −1), (1, 1, 1), (0, 1, 3)} generan a R3
Solución .
Es claro que los cuatro vectores son linealmente dependientes pues la dimensión del
espacio es 3, sin embargo si tomamos los vectores {(1, 2, 4), (3, 2, −1), (1, 1, 1)} estos son linealmente independientes pues su determinante es distinto de cero, como son tres vectores en un espacio de dimensión 3, concluimos que el conjunto si genera a R3 .
Veamos ahora la relación entre conjunto de vectores linealmente independientes y las bases de
un espacio vectorial.
Definición 3.12
Base de un espacio vectorial
Un conjunto finito de vectores {v 1 , v 2 , . . . v n } es una base para un espacio vectorial V , si
el conjunto {v 1 , v 2 , . . . v n } es linealmente independiente y genera a todo V .
Observación
Si se conoce la dimensión del espacio vectorial, entonces para probar que un conjunto de
vectores es una base, basta con verificar que dicho conjunto tiene la misma cantidad de
vectores que la dimensión del espacio y que es un conjunto linealmente independiente.
Cada espacio vectorial puede contener una cantidad infinita de bases, pero hay una en particular que se conoce como base canónica o estándar, esto debido a la sencillez con que se puede
representar un elemento del espacio en términos de esta base.
Algunas de las bases estándar mas conocidas son:
El conjunto de vectores {(1, 0), (0, 1)}, que forman la base canónica de R2 .
El conjunto de vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, que forman la base canónica de R3 .
El conjunto de vectores {1, x, x 2 , . . . x n }, que forman la base canónica de P n .
Espacios Vectoriales
Ejemplo 3.19
3.4 Base y dimensión de un espacio vectorial Álgebra lineal.
Ejemplo 3.20
Algunas bases de R3
Determinar cual o cuales de los siguientes vectores
U = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},V = {(2, −1, 0), (2, 3, 1), (0, −1, 4)},W = {(2, −1, 0), (2, 3, 1), (0, 4, 1)}
forman una base para el espacio vectorial R3 .
Solución .
El conjunto de vectores U es una base, de hecho es la base canónica, al formar el determinante con los elementos de V y W respectivamente tenemos
¯
¯
¯
¯
¯ 2 −1 0 ¯
¯ 2 −1 0 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
d et W = ¯ 2 3 1 ¯ = 0
d et V = ¯ 2 3 1 ¯ = 34
¯
¯
¯
¯
¯ 0 −1 4 ¯
¯ 0 −1 4 ¯
por lo que los vectores de V son linealmente independientes y generan una base, mientras que W no forma una base.
.
Ejemplo 3.21
Una base para un plano en el espacio
Probar que el conjunto P = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y +3z = 0} es un espacio vectorial y encontrar una base para este espacio.
Solución .
El conjunto P representa un plano en el espacio que pasa por el origen por lo que es espacio vectorial y además tiene dimensión 2, por lo que necesitamos dos vectores linealmente independientes que pertenezcan al plano, estos pueden ser {(1, 2, 0), (−1, 1, 1)}.
Ejemplo 3.22
Un espacio vectorial de dimensión 3
Determinar si el conjunto U = {(x, y, z, w) ∈ R4 : z = 2x + 3y} es un espacio vectorial; en
caso serlo, encontrar una base para este espacio.
Solución .
Los elementos de U son de la forma (x, y, 2x + 3y, w) como es un subespacio de R4 basta
con probar las dos condiciones de subespacios:
1. Sean (x 1 , y 1 , 2x 1 + 3y 1 , w 1 ) y (x 2 , y 2 , 2x 2 + 3y 2 , w 2 ), entonces la suma (x 1 + x 2 , y 1 +
y 2 , 2(x 1 + x 2 ) + 3(y 1 + y 2 ), w 1 + w 2 ) tiene la misma forma por lo que pertenece a U .
2. Dado k y (x, y, 2x+3y, w), tenemos que k(x, y, 2x+3y, w) = (kx, k y, 2kx+3k y, kw) ∈
U.
por lo tanto es un espacio vectorial, como la dimensión de U es tres, necesitamos tres
vectores linealmente independientes, estos pueden ser (1, 1, 5, 0), (0, 1, 3, −1), (0, 0, 0, 1) ya
que ninguno se puede escribir como combinación lineal de los otros.
75
3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.
3.5
Cambio de base
Las coordenadas o componentes de cualquier vector, es decir, los coeficientes de la combinación lineal que genera dicho vector, están referidas a una base (la base estándar). En ocasiones,
para simplificar nuestro trabajo, nos interesa escribir los vectores en términos de una base distinta; es importante entonces conocer como se expresa un vector en términos de una base
arbitraria.
76
3.5.1 Cambio de la base canónica a otra base
Comenzaremos por estudiar la forma de escribir cualquier vector en términos de una base
arbitraria, partiendo de la base canónica.
Definición 3.13
Vector de coordenadas
v = k1 v 1 + k2 v 2 + . . . + kn v n .
(3.1)
El vector cuyas componentes son los coeficientes de v, denotado por [v]B , se llama vector de coordenadas (vector coordenado) de V con respecto a B; es decir,



[v]B = 


k1
k2
..
.
kn






La ecuación 3.1 nos permite encontrar las componentes de un vector, expresado en términos
de una base arbitraria, a partir de su expresión en la base canónica.
Ejemplo 3.23
Un vector escrito en términos de una base dada
Dada la base B = {(1, 0, −1), (−1, 1, 0), (1, 1, 1)} de R3 y el vector v = (2, 3, 1)
1. Escribir el vector v en términos de la base B; es decir, obtener [v]B .
2. Calcular el vector w, si [w]B = (−2, 1, 4).
Solución .
De acuerdo a la definición
1. Debemos escribir v como combinación lineal de la base B, es decir, (2, 3, 1) =
k 1 (1, 0, −1) + k 2 (−1, 1, 0) + k 3 (1, 1, 1) y resolver el sistema formado


 2 = k1 − k2 + k3
3 =
k2 + k3


1 = −k 1
+ k3
cuya solución es k 1 = 1, k 2 = 1, k 3 = 2, por lo tanto [v]B = (1, 1, 2).
2. Escribimos el vector w = (x, y, z) como combinación lineal de la base B, es decir,
(x, y, z) = k 1 (1, 0, −1) + k 2 (−1, 1, 0) + k 3 (1, 1, 1) donde k i corresponden a las coordenadas del vector [w]B , es decir
(x, y, z) = −2(1, 0, −1) + (−1, 1, 0) + 4(1, 1, 1)
Espacios Vectoriales
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v 1 , v 2 . . . v n }. Para cada
vector v ∈ V , existen escalares k 1 , k 2 , . . . k n tales que
3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.
igualando las coordenadas obtenemos X = −2−1+4 = 1, y = 1+4 = 5 y z = 2+4 = 6
por lo que w = (1, 5, 6).
Observación
Todo vector se representa en términos de una base; si no se indica la base utilizada, se considera que se está usando la base canónica y escribimos entonces el vector
v = (x, y, z) ∈ R3 en vez de [v]B = (x, y, z), donde B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es la base
canónica.
Observación
En Rn cualquier base esta representada por lo que conocemos como ejes coordenados
para saber como ubicarlos simplemente debemos graficar cada vector de la base tomando en cuenta la base canónica.
Para ubicar un vector de coordenadas en el plano o el espacio, procedemos de igual forma que
como lo hacemos para la base canónica, es decir, se ubica las componentes del vector en cada
eje (vector de la base) y luego se trazan paralelas al otro eje.
Por ejemplo, supongamos que tenemos el vector v = (5, 5) ∈ R2 y queremos expresarlo en términos de la base B = {(2, 3), (1, −1)}; después de realizar los cálculos correspondientes, encontramos que [v]B = (2, 1). Si realizamos la gráfica de cada uno, obtenemos
6
H5, 5L
4
-3
2
-4
2
-2
4
6
-6
-4
-2
-6
(a) Vector expresado en términos de la base canónica
-2
-1
v1
1
-1
2
-2
4
6
1
2
-4
-4
(2, 1)
2
-2
-6
2
6
4
3
-6
v2
(b) Vector expresado en términos de la base B = {(2, 3), (1, −1)}
Figura 3.1. Representación de un vector en términos de bases distintas.
Notemos que las unidades de medición en la base B son de distinta longitud; ésto se debe a
que la magnitud de los vectores de esta base es distinta de 1.
Ejemplo 3.24
Un vector escrito en términos de una base dada
Escribir el vector v = (−1, 1) en términos de la base B = {(1, −1), (−1, 2)} de R2 y graficar
este vector en las dos bases.
Solución .
Debemos escribir v como combinación lineal de la base B, es decir, (−1, 1) = k 1 (1, −1) +
k 2 (−1, 2) y resolver el sistema formado
(
−1 = k 1 − k 2
1 = −k 1 + 2k 2
77
3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.
cuya solución es k 1 = −1 y k 2 = 0, por lo tanto [v]B = (1, 0). Las gráficas correspondientes
son:
2
(-1, 1)
-2
2
1
(1, 0)
1
-1
1
1
1
2
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
2
-1
-1
78
v1
v2
3.5.2 Cambio de bases en general
Definición 3.14
Matriz de transición
Sea V un espacio vectorial, B1 = {u 1 , u 2 , . . . u n } y B2 = {v 1 , v 2 , . . . v n } dos bases de V . Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B1 a la base B2 ,
la matriz de dimensiones n × n, que por columnas es
³
´
P = [u 1 ]B2 [u 2 ]B2 · · · [u n ]B2 ,
donde cada vector [u i ]B2 se calcula con la ecuación 3.1.
La columna i −ésima está constituida por las coordenadas en la base B2 , del vector u i de la
base B1 .
Para calcular las componentes de un vector en términos de la base B2 a partir de la base B1 ,
tenemos la siguiente
Proposición 3.4 pro.cambiodebase
Sea P la matriz de transición de una base B1 a otra base B2 de un espacio vectorial V .
Entonces:
∀ v ∈ V se tiene que [v]B2 = P · [v]B1 .
P es invertible y su inversa, P −1 , es la matriz de transición de la base B2 a la base
B1 .
Ejemplo 3.25
Un vector escrito en términos de dos bases
Tomemos la base B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y sea B2 = {(1, 0, 2), (3, −1, 0), (0, 1, −2)},
verificar que B2 es una base para R3 y escribir [v]B1 = (1, −2, 4) en términos de B2 .
Solución .
Si calculamos el determinante formado por los vectores de B2 , observamos que
¯
¯
¯ 1
3
0 ¯¯
¯
¯
¯
1 ¯=8
¯ 0 −1
¯
¯
¯ 2
0 −2 ¯
Espacios Vectoriales
Para realizar un cambio de bases en general, es necesario calcular una matriz que nos permita
realizar este cambio, esto lo hacemos de la manera que a continuación describimos.
3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.
como es distinto de cero, entonces B2 es una base. Ahora, para obtener la matriz de
transición de B1 a B2 , calculamos primero sus vectores; esto es
(1, 0, 0) = a 1 (1, 0, 2) + a 2 (3, −1, 0) + a 3 (0, 1, −2)
de aquí a 1 = 1/4, a 2 = 1/4, a 3 = 1/4, para el segundo vector de B1
(0, 1, 0) = b 1 (1, 0, 2) + b 2 (3, −1, 0) + b 3 (0, 1, −2)
de aquí b 1 = 3/4, b 2 = −1/4, b 3 = 3/4 y para el tercero
(0, 0, 1) = c 1 (1, 0, 2) + c 2 (3, −1, 0) + c 3 (0, 1, −2)
de aquí c 1 = 3/8, c 2 = −1/8, c 3 = −1/8, entonces la matriz de transición es

 



a1 b1 c1
1/4
3/4
3/8
2
6
3

 
 1

P =  a 2 b 2 c 2  =  1/4 −1/4 −1/8  =  2 −2 −1 
8
a3 b3 c3
1/4
3/4 −1/8
2
6 −1
y por la proposición ?? el vector pedido es





2
6
3
1
2
1

 1

[v]B2 = P · [v]B1 =  2 −2 −1   −2  =  2  .
8
8
2
6 −1
4
−14
Como la base B1 es la base canónica, podríamos calcular [v]B2 con la ecuación 3.1; es decir,
escribimos
(1, −2, 4) = d 1 (1, 0, 2) + d 2 (3, −1, 0) + d 3 (0, 1, −2),
y resolviendo este sistema tenemos que d 1 = 1/4, d 2 = 1/4, d 3 = −7/4, con estos valores podemos escribir finalmente




1/4
2
 1


[v]B2 =  1/4  =  2  .
8
−7/4
−14
3.5.3 Bases ortonormales
En esta sección veremos que dada cualquier base, siempre es posible transformarla de manera
que sus vectores sean perpendiculares entre si y de longitud unitaria. Comencemos por definir
este tipo de conjuntos vectoriales.
Definición 3.15
Vectores ortonormales
Se dice que un conjunto de vectores S = {u 1 , u 2 , . . . u k } es un conjunto ortonormal si
cumple las siguientes dos condiciones;
1. u i · u j = 0
para todo
i 6= j
2. u i · u i = 1.
con i , j = 1, . . . k. Si sólo se satisface la primera condición, se dice que el conjunto es
ortogonal.
79
3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.
Para hacer que los vectores sean ortogonales, recordemos de cálculo vectorial que un vector u
se proyecta sobre otro vector v mediante la siguiente fórmula:
pr oy v (u) =
v ·u
v
|v|2
v·u
Ahora, si escogemos el vector w = u − |v|
2 v, entonces v y w son ortogonales, como lo ilustra la
gráfica
w=u-proyv HuL
u
v
Figura 3.2. Vector de proyección.
Bajo esta idea se construye el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt; éste es un
algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de
un espacio vectorial, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio
vectorial.
El método para ortonormalizar un conjunto de vectores lo describimos a continuación
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Consideremos un conjunto de vectores S = {v 1 , v 2 . . . v n } linealmente independientes de un
espacio vectorial V .
P.1) Elección del primer vector unitario. Tomamos el vector v 1 y lo dividimos entre su
v
magnitud para hacerlo unitario; al resultado lo llamaremos u 1 , es decir, u 1 = |v 1 | .
1
P.2) Elección del segundo vector unitario. Proyectamos el vector v 2 sobre u 1 , para
obtener
v 2 · u1
u 1 = v 2 − (v 2 · u 1 )u 1
|u 1 |2
ésto último se debe a que
|u 1 | = 1.
Tomamos el vector v 2′ y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario, al resultado lo llamaremos u 2 , es decir u 2 =
v 2′
.
|v 2′ |
P.3) Elección del k +1 vector unitario. Supongamos que se han construido los vectores
{u 1 , u 2 . . . u k } y que forman un conjunto ortonormal. Para construir u k+1 tenemos
′
v k+1
= v k+1 − (v k+1 · u 1 )u 1 − (v k+1 · u 2 )u 2 − . . . − (v k+1 · u k )u k
Finalmente u k+1 =
′
v k+1
.
′
|v k+1
|
Espacios Vectoriales
proyv HuL
v 2′ = v 2 −
80
3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.
Ejemplo 3.26
Construir

 

 1
 

 1 ,


0
Construcción de una base ortonormal
una
ortonormal para R3 , comenzando con la base {v 1 , v 2 , v 3 } =
 base
1 
0


 
1 , 0  .


1
1
Solución .
Podemos comenzar con cualquier vector, pero procederemos en el orden dado.
P.1) Tomamos el vector v 1 y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario
¶
1 1
= p , p ,0 .
u1 = p
2 2
12 + 12 + o 2
(1, 1, 0)
µ
P.2) Proyectamos el vector v 2 sobre u 1 , para obtener
 1   1
     1   1   
p
p
p
0
−
0
0
2
2
1  12   12 
     p1   p1   
′
p
v 2 = 1 − 1 ·     = 1 − p   =  2 
2
2
2
2
1
1
1
1
0
0
0
y luego dividiendo entre su magnitud
¶
µ
(− 1 , 1 , 1)
1 1 2
u2 = q 2 2
= −p , p , p
1
1
6 6 6
4 + 4 +1
P.3) Para construir el tercer vector tenemos
     1   1     1   1 
p
p
−p
−p
1
1
1
 1 6   1 6 

     p12   p12  

′
 p   p 
v 3 = 0 − 0 ·     − 
0 ·  6   6  =
2
2
p2
p2
1
1
1
0
0
6
6

        
 
 1 
1
2
1
p1
p
−
1
−6
1
6
2
3
1 
1  12 
 








1
1
1
p  = 0 −   − 
= 0 − p  p  − p 
= − 32 



2
6
6
2
6
2
1
2
p2
1
0
1
0
3
3
6
y dividiendo entre su magnitud
2 2
3,−3, 3
¡2
u3 = q
4
9
¢
+ 49 + 49
¶
µ
1 1
1
= p ,−p , p .
3
3 3
Por lo que la base ortonormal correspondiente es
 p  

p   p


−1/ 6
1/ 3
 1/p2

p
p
 

 

 1/ 2  ,  1/ 6  ,  −1/ 3 
p
p




0
2/ 6
1/ 3
81
3.6 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
3.6
Evaluaciones sumativas
3.6.1 Ejercicios
2.• Determina si el subconjunto H del espacio vectorial V , es un subespacio vectorial.
a.• H = {(x, y) : −1 ≤ y ≤ 1 , −1 ≤ x ≤ 1};V = R2 .
b.• H = {(x, −x) : x ∈ R}; V = R2 .
c.• H = {(x, y) : x 2 + y 2 ≤ 1}, V = R2 .


a a +b a +c


d.• H es el conjunto de matrices de la forma  b
d
e ; V es el espacio vectorial
c
f
g
formado por las matrices de 3 × 3.
3.• Determine si el conjunto de vectores genera al espacio dado.
a.• H = (1, 2), (3, 4) el espacio es R2 .
b.• H = (1, 1), (2, 2), (3, 5) el espacio es R2 .
c.• H = (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) el espacio es R3 .
d.• H = 1 − x, 3 − x 2 el espacio es el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2.
4.• Escribe el vector (1, −1, 2) en términos de la base dada.
a.•


 
 

1 
0

 1


 
 
 0 , 0 , 1  .




1
1
0
! Ã
!)
(Ã
! Ã
!)
2
−1
−1
3
5. Dadas las bases B1 =
,
y B2 =
,
:
1
2
1
2
a.• Encontrar la matriz de transición de B1 a B2 .
b.• Dado el vector [v]B1 = (3, 3), encontrar [v]B2 .



 
 
 
 



0 
−1
1
1
3 

 0



 
 


 
 

6.• Dadas las bases B1 =  1  ,  4  ,  0  y B2 =  1  ,  1  ,  0  :








3
2
−4
−4
−1
−1
a.• Encontrar la matriz de transición de B1 a B2 .
•
(Ã
b.•


 
 

3 
−1

 2

 
 

 1  ,  4  ,  −2  .




−4
5
3
82
Espacios Vectoriales
1.• Indicar cuales de las propiedades 1, 3, 4, 5, 6, 7 de espacios vectoriales fallan en los siguientes conjuntos.
a.• El conjunto de los números enteros.
b.• El conjunto de los números racionales.
c.• El conjunto de los números reales.
d.• El conjunto de matrices diagonales de 3 × 3.
e.• El conjunto de todas las lineas rectas horizontales en el plano.
f.• El conjunto de todos los círculos centrados en el origen, de radio r ≥ 0, con la suma y
producto de funciones.
g.• El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 3 de la forma ax 3 +bx 2 +c x +d , con
a < 0.
h.• El conjunto V = {2}.
i.• V = {x ∈ R : x ∈ (−2, 2)}.
Ã
!
0
a
j.• El conjunto de matrices de 2 × 2 que tienen la forma
.
b 1
k.• El conjunto de matrices simétricas de 3 × 3.
3.6 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
b.• Dado el vector [v]B1 = (2, 3, −1), encontrar [v]B2 .
c.• Dado el vector [u]B2 = (0, 2, 0), encontrar [u]B1 .
7.• Determine
conjuntos
son
(Ã si los!siguientes
Ã
! Ã
! linealmente
Ã
!) dependientes o independientes.
1 2
−1 3
2 −1
1 4
a.• A =
,
,
,
3 6
−1 1
0
1
4 9

 
 


−1
2 

 1

 
 

b.• B =  3  ,  −1  ,  0 




4
2
2


 
 

2 
−1

 0


 
 
c.• C =  1  ,  −4  ,  4 




−2
−3
2
8.• En los siguientes incisos, encontrar una base ortonormal para el espacio dado.
a.•


 
 


3
−1

 3


 
 
 1  ,  6  ,  −2  .




4
2
7
b.• H = {(x, y, z) : 2x − y − z = 0}
83
4
85
Transformaciones Lineales
Competencia específica a desarrollar
Aplicar las transformaciones lineales y sus propiedades para representarlas mediante una matriz de reflexión, dilatación, contracción y rotación.
Actividades de Aprendizaje
Establecer una analogía entre la relación de convertir un vector de materias primas multiplicadas por una matriz de transformación a un vector de productos con la definición
de transformación lineal.
Identificar cuándo una transformación es una transformación lineal.
Definir y obtener el núcleo y la imagen de una transformación lineal, así como la dimensión del núcleo y de la imagen.
Representar una transformación lineal como una matriz.
Encontrar matrices de transformación.
Resolver aplicaciones de transformaciones lineales de reflexión, dilatación, contracción
y rotación.
4.1
Definición y propiedades de una transformación
lineal
En esta sección introduciremos, recordando el concepto de función, la definición de una transformación lineal, abordaremos también las nociones básicas de estas funciones vectoriales.
Definición 4.1
Transformación lineal
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T : V → W , es una
función que asigna a cada vector v ∈ V un vector único T (v) ∈ W y que satisface para
cada u, v ∈ V y cada escalar k ∈ R:
1. T (u + v) = Tu + T v.
2. T (kv) = kT (v).
4.1 Definición y propiedades de una transformación lineal Álgebra lineal.
Observación
La diferencia entre transformaciones lineales y funciones reales radica en que, en las
funciones la regla de asociación está definida entre conjuntos normalmente de números
reales, mientras que las transformaciones lineales relacionan cualquier espacio vectorial.
86
Transformación lineal de T : R2 → R3
Ejemplo 4.1
Determinar si la transformación T : R2 → R3 , donde T
Ã
x
y

x+y


=  x − y  es lineal.
3y

1. Sean U = (x 1 , y 1 ) y V = (x 2 , y 2 ) dos vectores de R2 , entonces
T
"Ã
x1
y1
! Ã
+
x2
y2
!#
=T
"Ã
x1 + x2
y1 + y2
!#


(x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )


=  (x 1 + x 2 ) − (y 1 + y 2 ) 
3(y 1 + y 2 )
si reagrupamos algebraicamente y regresamos la transformación tenemos

 
 
!
!
Ã
Ã
(x 2 + y 2 )
(x 1 + y 1 )
(x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 )
x2
x1

 

 
+T
 (x 1 − y 1 ) + (x 2 − y 2 )  =  (x 1 − y 1 )  +  (x 2 − y 2 )  = T
y2
y1
3(y 2 )
3(y 1 )
3(y 1 ) + 3(y 2 )

por lo que se cumple la primera condición.
2. Consideremos k un número real y u = (x, y) un vector arbitrario de R2
" Ã
T k
x
y
!#
=T
Ã
kx
ky
!


kx + k y


=  kx − k y 
3k y
Nuevamente realizando álgebra y regresando la transformación



Ã
!
x+y
kx + k y
x




 kx − k y  = k  x − y  = kT
y
3y
3k y

por lo que se cumple la segunda condición.
Por lo tanto es transformación lineal.
Observación
Para probar que una transformación es lineal es indispensable realizar la prueba con elementos generales, para probar que no es basta con exhibir un caso particular en donde
falle alguna propiedad.
Transformaciones Lineales
Solución .
Debemos comprobar las dos propiedades de la definición:
!
4.1 Definición y propiedades de una transformación lineal Álgebra lineal.
Ejemplo 4.2
Una transformación que no es lineal
Determinar si la transformación T : R2 → R3 , donde T
Ã
x
y
!

x+y


=  x − y − 2  es lineal.
3y 2

Solución .
Veamos que la propiedad 2 falla, para esto consideremos el vector v = (2, 1) y k = 2
" Ã
T 2
2
1
!#
=T
Ã
!
4
2
por otro lado
" Ã
2 T
2
1
!#

 

6
4+2


 
=  4−2−2  =  0 
3(2)2
12

 

6
3

 

= 2  −1  =  −2 
3
6
como no son iguales, entonces podemos concluir que no se cumple la segunda condición y por lo tanto no es transformación lineal.
Actividad complementaria 4.1
2
2
Determinar si la transformación T : R → R , donde T
Ã
x
y
!
=
Ã
y
2
!
es lineal.
A continuación mostramos algunas de las transformaciones lineales más relevantes.
La transformación cero: T : V → W , donde para todo v ∈ V , T (v) = 0W .
La transformación identidad: T : V → V tal que para cada v ∈ V se tiene T (v) = v.
à ! à !
x
−x
La transformación de reflexión: T : R2 → R2 con T
=
.
y
y
à ! Ã
!
x
x cos θ − y sen θ
La transformación de rotación: T : R → R tal que T
=
.
y
x sen θ + y cos θ
2
2
La transformación diferencial: tal que para cada f ∈ C 1 (R, R), es decir para cada función
f continua y derivable T ( f ) = f ′ .
Ejemplo 4.3
Linealidad de la trasformación de rotación
Mostrar que la matriz de rotación es lineal.
Solución .
à ! Ã
!
x
x cos θ − y sen θ
la matriz de transformación está dada por T
=
.
y
x sen θ + y cos θ
87
4.1 Definición y propiedades de una transformación lineal Álgebra lineal.
1. Sean U = (x 1 , y 1 ) y V = (x 2 , y 2 ) dos vectores de R2 , entonces
"Ã
! Ã
!#
"Ã
!# Ã
!
x1
x2
x1 + x2
(x 1 + x 2 ) cos θ − (y 1 + y 2 ) sen θ
T
+
=T
=
y1
y2
y1 + y2
(x 1 + x 2 ) sen θ + (y 1 + y 2 ) cos θ
si reagrupamos algebraicamente y regresamos la transformación tenemos
Ã
! Ã
!
Ã
!
Ã
!
x 1 cos θ − y 1 sen θ
x 2 cos θ − y 2 sen θ
x1
x2
+
=T
+T
x 1 sen θ + y 1 cos θ
x 2 sen θ + y 2 cos θ
y1
y2
88
por lo que se cumple la primera condición.
Nuevamente realizando álgebra y regresando la transformación
Ã
!
Ã
!
x cos θ − y sen θ
x
k
= kT
x sen θ + y cos θ
y
por lo que se cumple la segunda condición.
Por lo tanto es transformación lineal.
Como su nombre lo indica, esta trasformación nos permite rotar vectores un cierto ángulo
(determinado por el valor de θ).
Actividad complementaria 4.2
Mostrar que la transformación diferencial es lineal.
Proposición 4.1
En una transformación lineal T : V → W , el vector cero del espacio V siempre esta asociado con el vector cero de W , esto es: T (0V ) = 0W .
Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son similares a las funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de las funciones: inyectividad, suprayectividad y biyectividad. Para esto recordemos del cálculo diferencial que
Una función es inyectiva o función 1 a 1, si cada elemento distinto del dominio esta
relacionado con uno diferente del codominio.
Una función es suprayectiva si todos los elementos del codominio están relacionados.
Una función es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben nombres particulares, como se puede observar en la siguiente definición.
Transformaciones Lineales
2. Ahora consideremos k un número real y u = (x, y) un vector arbitrario de R2
" Ã
!#
Ã
! Ã
!
x
kx
kx cos θ − k y sen θ
T k
=T
=
y
ky
kx sen θ + k y cos θ
4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.
Definición 4.2
Clasificación de transformaciones lineales
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal. Se dice
que:
1. T es un monomorfismo si T es inyectiva.
89
2. T es un epimorfismo si T es suprayectiva.
3. T es un isomorfismo si T es biyectiva.
En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo.
Definición 4.3
Transformaciones de un espacio sobre si mismo
Sea V un espacio vectorial. Una transformación lineal T : V → V se llama un endomorfismo de V . Si T es un endomorfismo que es, además, un isomorfismo, entonces se dice
que es un automorfismo.
4.2
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Dada una transformación lineal T : V → W , podemos encontrar un subespacio de V determinado por la transformación lineal al cual se le conoce como el núcleo de la transformación y
nos proporciona información sobre la cantidad de vectores presentes en V que, mediante la
transformación lineal, se relacionan con un solo elemento de W . En particular, conocer este
subespacio nos permitirá determinar si T es un monomorfismo.
Definición 4.4
Núcleo de una transformación
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal, entonces
el núcleo de T , denotado por nu T , esta dado por nu T = {v ∈ V : T (v) = 0W }.
Geométricamente el núcleo de una transformación lo podemos representar como:
T
V
W
v8
w1
v5
v7
W7
v1
v4
0w
0v
v6
w3
v2
v3
Núcleo de T
Figura 4.1. Núcleo de una transformación
4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.
Ejemplo 4.4
Algunos elementos del núcleo
3
2
Verificar si
 los
 vectores (2, 3, −2), (1, −1, 1) y (−2, 2, −2) pertenecen al núcleo de T : R → R
Ã
!
x
x −z
 
tal que T  y  =
.
y +z
z


à !
−2
0
 
T  2 =
0
−2
por lo que los vectores (1, −1, 1) y (−2, 2, −2) pertenecen al núcleo de T .
Para hallar el núcleo de una transformación lineal, se toma un vector arbitrario en el dominio
y se le aplica la transformación lineal, enseguida se iguala a cero el resultado y se resuelve el
sistema formado. La solución de este sistema nos dará un conjunto de vectores linealmente
independientes {v 1 , v 2 , . . . v n } que, se puede probar, generan al núcleo de la transformación;
por lo que podemos escribir
nuT = g en{v 1 , v 2 , . . . v n }
Proposición 4.2
La dimensión del núcleo está determinada por la cantidad de vectores linealmente independientes que contiene el conjunto generador del núcleo.
Ejemplo 4.5
Una transformación con núcleo trivial


à !
x+y
x


=  x .
Hallar el núcleo de la transformación lineal T : R2 → R3 tal que T
y
y
Solución .
Al igualar cada componente del vector resultado a cero obtenemos el sistema


 x+y = 0
x
= 0


y= 0
cuya solución es x = 0, y = 0, es decir nuT = (0, 0).
Ejemplo 4.6
Transformación con infinidad de elementos en su núcleo
Encontrar el núcleo de la transformación lineal diferencial tal que f ∈ C 1 (R, R), T ( f ) = f ′
Solución .
Transformaciones Lineales
Solución .
Aplicando la transformación a cada vector tenemos
 
 
à !
à !
1
2
0
4
 
 
,
,
T −1 =
T  3 =
0
1
1
−2
90
4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.
Dado que la derivada de una función es igual a cero si y sólo si la función es constante,
entonces el núcleo de la transformación consiste en el conjunto de todas las funciones
constantes.
Proposición 4.3
Sea T : V → W una transformación lineal, entonces T es un monomorfismo si y sólo si
nuT = {0v }.
Demostración .
⇒) Supongamos que existe un elemento v 6= 0v tal que v ∈ nuT , entonces T (v) = 0w ;
pero sabemos que T (v 0) = 0w , es decir, tenemos dos elementos del dominio asociados
con uno del codominio, esto significa que no es monomorfismo, lo cual contradice la
hipótesis.
⇐) Para ver que T es monomorfismo sabiendo que nuT = {0v }, tomemos dos elementos
w 1 = T (v 1 ) y w 2 = T (v 2 ) en W , y probemos que si w 1 = w 2 , entonces v 1 = v 2 . Así, si
tenemos w 1 = w 2 , significa que T (v 1 ) = T (v 2 ); es decir, T (v 1 ) − T (v 2 ) = 0w . Por tratarse
de una transformación lineal, ésto último lo podemos escribir como T (v 1 − v 2 ) = 0w .
Además, como por hipótesis el único elemento de V que tiene asignado al 0w es el 0v , se
debe cumplir que v 1 − v 2 = 0v , es decir, v 1 = v 2 .
Ejemplo 4.7
Una transformación que no es isomorfismo
3
2
Usar
 la proposición 4.3 para determinar si la transformación T : R → R tal que
Ã
!
x
x +y −z
 
T y  =
es o no, un isomorfismo.
z −x
z
Solución .
(
x +y −z =0
, que al resolz −x =0
ver indica que x = z y y = 0, por lo que el nuT 6= {0}. Por la proposición ??, la transformación no es monomorfismo y por lo tanto tampoco un isomorfismo.
Si igualamos a cero la transformación, obtenemos el sistema
La imagen de una transformación lineal se define de la misma forma en como definimos la
imagen de una función.
Definición 4.5
Imagen de una transformación
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal, entonces
la imagen de T , denotada por i m T , se define como i m T = {w ∈ W : w = T (v) para
alguna v ∈ V }
La imagen de una transformación lineal T : V → W , está formada por todos los elementos del
espacio vectorial W que están relacionados con algún vector de V mediante dicha transformación.
Para saber si un vector pertenece a la imagen necesitamos encontrar un vector (x, y, z) tal que
al aplicarle la transformación nos de como resultado el vector que queremos verificar, ésto lo
hacemos igualando la transformación a nuestro vector y resolviendo el sistema que se forma.
91
4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.
En caso de que el sistema no tenga solución significa que el vector no pertenece a la imagen de
la transformación.
Ejemplo 4.8
Determinar si un elemento pertenece a la imagen
Verificar
si los vectores (2, −2), (−2, 5) y (−3, 0) pertenecen a la imagen de T : R3 → R2 tal
 
Ã
!
x
x −z
 
que T  y  =
.
y +z
z
cuya solución esta dada por las ecuaciones x = 2+ z, y = −2− z, es decir al escoger un valor para z tenemos una terna (x, y, z) que mediante la transformación va al vector (2, −2),
por lo que este vector pertenece a la imagen de T .
Para los vectores (−2, 5) y (−3, 0) realizamos el mismo procedimiento
(
(
x − z = −2
x − z = −3
y
y +z = 5
y +z = 0
cuyas soluciones sonx = −2 + z, y = 5 − z y cuya solución esta dada por las ecuaciones
x = −3 + z, y = −z respectivamente, por lo que ambos pertenecen a la imagen de T .
Para encontrar una base de la imagen de una transformación T : Rm → Rn , aplicamos la transformación y enseguida igualamos el vector que resulta a un vector arbitrario (x 1 , x 2 , . . . x n ) dentro del codominio; luego, al tratar de resolver el sistema asociado, debemos encontrar la relación que existe entre las coordenadas de este vector, con la finalidad de que tenga solución,
con esto sabremos a cuántas x i le podemos asignar valores arbitrarios y cuáles dependerán de
los valores asignados.
Una vez hecho lo anterior, expresamos el vector (x 1 , x 2 , . . . x n ) como combinación lineal de tantos vectores como valores arbitrarios se pueden asignar. Por ejemplo, si al resolver el sistema
llegamos a que se pueden asignar valores para las coordenadas x 1 , x 2 , x n , entonces expresaríamos el vector como
 
 
 
 
h1
i1
k1
x1
 
 
 
 
 x2 
 h2 
 k2 
i2 
 .  = x1  .  + x2  .  + xn  . 
 . 
 . 
 . 
.
 . 
 . 
 . 
.
kn
xn
hn
in
donde los k i , h i , i i son valores numéricos que deben cumplir con la igualdad. Finalmente, la
imagen de T será el espacio vectorial generado por estos vectores, que escribimos en la forma
      
k1
h1
i1 





    


 k 2   h 2   i 2 





i mT = g en 
,
,
.   .   .  .


 ..   ..   .. 






kn
hn
in
Transformaciones Lineales
Solución .
Igualando la transformación a el vector (2, −2), tenemos
(
x −z = 2
y + z = −2
92
4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.
Ejemplo 4.9
Dimensión de la imagen de una transformación
Determinar
la imagen
  
 de la transformación lineal T
x
2x + 5y + z
  

T  y  =  8x + 12y + 6z .
z
−4x − 2y − 4z
: R3 → R3 tal que
Solución .
Igualando el vector generado por la transformación T a un vector arbitrario, digamos
(a, b, c) ∈ R3 , tenemos

  
a
2x + 5y + z
  

 8x + 12y + 6z  = b 
c
−4x − 2y − 4z
Al tratar de resolver este sistema, se observa que tiene solución si y solo si −2a +b +c = 0,
es decir, si y solo si a = b+c
2 . Finalmente, escribiendo el vector (a, b, c) como combinación
lineal de dos vectores con coeficientes b, c obtenemos




 
1/2
1/2
a




 
b  = b  1  + c  0 
1
0
c
por lo tanto la imagen es


 

1/2 

 1/2

 

i m T = g en  1  ,  0 




1
0
y la dimensión de la imagen es igual a 2.
Ejemplo 4.10
Dimensión de la imagen de una transformación

  
x +y −z
x

  
Encontrar la imagen de la transformación T : R3 → R3 tal que T  y  = 
z
.
0
z
Solución .
Al resolver el sistema asociado observamos que tiene solución si y solo si c = 0, por lo
que para a, b tenemos libertad de escoger sus valores y entonces expresamos el vector
(a, b, c) como
 
 
 
1
a
0
 
 
 
b  = a 0 + b 1 ,
c
0
0
por lo tanto la imagen de la transformación T es
   

0 

 1
   
i m T = g en 0 , 1




0
0
y la dimensión de la imagen es igual a 2.
93
4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.
Proposición 4.4
La imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio.
Demostración .
Sea T : V → W una transformación lineal, veamos que el conjunto T (V ) ⊂ W cumple las
tres propiedades para ser subespacio vectorial
94
1. Como T es una transformación lineal, se tiene que T (0v ) = 0w , esto significa que
0w ∈ T (V ).
2. Sean T (v 1 ) y T (v 2 ) elementos de la imagen de T . Como T es transformación lineal
se tiene que T (v 1 ) + T (v 2 ) = T (v 1 + v 2 ) ∈ T (V ).
por lo tanto, la imagen es subespacio vectorial del codominio.
Una relación importante que tienen los espacios vectoriales del dominio, el núcleo y la imagen
de una transformación con respecto a sus dimensiones, se establece en la siguiente proposición.
Proposición 4.5
El núcleo y la imagen de una transformación lineal T : V → W son subespacios vectoriales de V y W respectivamente; además, la dimensión de V es igual a la suma de la
dimensión del núcleo y la dimensión de la imagen, es decir:
d i mV = d i m(nuT ) + d i m(i mT )
Ejemplo 4.11
(4.1)
Aplicación de la proposición sobre la dimensión
Sea ÃT : M 22 →
! M 22 tal que para cualquier matriz A de 2 × 2 tenemos T (A) = AB con
1
2
B=
. Hallar el núcleo y la imagen usando la proposición 4.5
−5 1
Solución .
Si aplicamos la transformación lineal para una matriz A general, tenemos
"Ã
!# Ã
!Ã
! Ã
!
a b
a b
1
2
a − 5b 2a + b
T (A) = T
=
=
c d
c d
−5 1
c − 5d 2c + d
al igualar a cero,nos da el sistema

a − 5b



 2a + b
 c − 5d



2c + d
=0
=0
=0
=0
que al resolverlo obtenemos a = b = c = d = 0 por lo que el nuT = {0} es decir, tiene dimensión cero y haciendo uso de la ecuación 4.1, tenemos que la dimensión de la imagen
es 4 o sea todo M 2 2 .
Transformaciones Lineales
3. Dado que T es transformación para cualquier r ∈ R y t (v) ∈ T (V ) se tiene que
r T (v) = T (r v) ∈ T (V ).
4.3 Representación matricial de una transformación lineal Álgebra lineal.
4.3
Representación matricial de una transformación
lineal
En esta sección vamos a ver que para toda transformación lineal T : V → W , existe una matriz
A T asociada a la transformación lineal de tal manera que T (v) = Av para toda v ∈ V .
Definición 4.6
Matriz de transformación
Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensiones n y m, respectivamente, y sea T :
V → W una transformación lineal, entonces existe una matriz A T de orden m×n llamada
matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T (v) = (A T )v
para toda v ∈ V .
La matriz A T se obtiene evaluando la transformación lineal T sobre la base canónica y colocando el resultado de cada vector como columna de la matriz A T .
Ejemplo 4.12
Matriz de transformación para una proyección
Encontrar la matriz de transformación correspondiente a la proyección
 de
 un vector en
à !
x
x
 
3
3
2
.
R sobre el plano X Y , es decir, la transformación T : R → R tal que T  y  =
y
z
Solución .
Al aplicar la transformación a cada uno de los elementos de la base canónica R3 se tiene
 
 
 
à !
à !
à !
0
0
1
0
0
1
 
 
 
,
T 0 =
,
T 1 =
T 0  =
0
1
0
1
0
0
por lo que al escribir como columna cada resultado obtenemos la matriz de transformación
Ã
!
1 0 0
AT =
.
0 1 0
La representación matricial de una transformación lineal, nos permite obtener una base de
la imagen, pues ésta estará formada por todos los vectores linealmente independientes que
generan dicha imagen.
Ejemplo 4.13
Relación de la matriz de transformación con el núcleo e imagen
Hallar la representación matricial de la transformación lineal T : R3 → R4 tal que


 
x−y
x


   y +z 
T y  = 
;
 2x − y − z 
z
−x + y + 2z
además, encontrar su núcleo e imagen.
Solución .
95
4.3 Representación matricial de una transformación lineal Álgebra lineal.
Al aplicar la transformación a cada uno de los elementos de la base canónica R3 se tiene
 
 
1
1
 
  0
T 0  =   ,
2
0
−1
La matriz de transformación es
 
 
0
0
 
  1
T 0 =   .
−1
1
2
 
 
−1
0
 
  1
T 1  =   ,
−1
0
1



AT = 

1 −1
0
0
1
1
2 −1 −1
−1
1
2



.

1
0
2
−1
 
 
 
,
 
−1
1
−1
1
 
 
 
,
 
0
1
−1
2






 .




Además, considerando que el dominio de esta transformación tiene dimensión 3, por la
proposición 4.5 el núcleo tiene dimensión cero y por lo tanto solo contiene al elemento
cero.
Una forma fácil de saber cuantos vectores linealmente independientes contiene una matriz,
es reducirla a su forma escalonada mediante el proceso de Gauss; ésto nos dará una forma
cuadrada de la matriz (eliminando columnas o filas de ceros) y mediante su determinante es
posible saber si son dependientes o independientes. Por ejemplo, al reducir la matriz anterior
obtenemos


1 −1 0
 0
1 1 


AT = 
,
 0
0 1 
0
0 0
cuyo determinante de la parte cuadrada es igual a 1 y en consecuencia los 3 vectores contenidos
en la matriz son linealmente independientes.
Ejemplo 4.14
Matriz asociada a transformaciones polinomiales
Sea T : P 2 → P 3 definida como T (P (x)) = xP (x), donde P (x) es un polinomio de grado 2,
encontrar A T y determinar el núcleo y la imagen de T .
Solución .
Recordemos que la base canónica de P 2 es {1, x, x 2 } = {0x 2 +0x +1, 0x 2 + x +0, x 2 +0x +0}.
Aplicando la transformación lineal sobre esta base, se tiene que
T (1 + 0x + 0x 2 ) = x(1 + 0x + 0x 2 ) = 0 + x + 0x 2 + 0x 3 ,
T (0 + x + 0x 2 ) = x(0 + x + 0x 2 ) = 0 + 0x + x 2 + 0x 3 ,
T (0 + 0x + x 2 ) = x(0 + 0x + x 2 ) = 0 + 0x + 0x 2 + x 3 .
Transformaciones Lineales
Claramente se observa que los tres vectores columna son linealmente independientes,
por lo que la dimensión de la imagen es 3; tomando estos vectores de A T , tenemos que






i mT = g en 





96
4.3 Representación matricial de una transformación lineal Álgebra lineal.
Poniendo los coeficientes de cada resultado como vector columna, formamos la matriz
asociada


0 0 0
 1 0 0 


AT = 
,
 0 1 0 
0 0 1
que ya está escalonada y tiene dimensión 3; por lo tanto, i mT = g en{x, x 2 , x 3 }. Finalmente, por la proposición 4.5, la dimensión del núcleo es igual a cero.
Actividad complementaria 4.3

 

2x − y + 3z
x


 
Sea T : R3 → R3 tal que T =  y  =  4x − 2y + 6z . Encontrar núcleo e imagen de T .
z
−6x + 3y − 9z
Ayuda:
1. Construir la matriz de transformación y escalonarla por método de Gauss-Jordan.
2. Encontrar
elúnico
vector linealmente independiente para concluir que i mT =



2 




g en  4  .




−6
3. Igualar a cero el vector generado por la transformación lineal y resolver el sistema
asociado para encontrar los dos vectores linealmente
que generan


  independientes


0 
 1


 
al núcleo, por ejemplo pueden ser nuT =  5  ,  3  .




1
1
Hasta este momento, hemos construimos matrices de transformaciones lineales usando la base canónica para los espacios vectoriales. Sin embargo, podríamos preguntarnos: ¿qué pasará
si tomamos una base diferente?, ¿la matriz seguirá siendo la misma? El siguiente resultado nos
proporciona la respuesta; sin embargo, su demostración y aplicación no forman parte de este
curso, de manera que únicamente mostraremos el siguiente teorema.
Teorema 4.1
Sea V un espacio vectorial de dimensión n y W un espacio de dimensión m, sea T :
V → W una transformación lineal. Sea B 1 = {v 1 , v 2 , . . . v n } una base para V y sea B 2 =
{w 1 , w 2 , . . . w m } una base para W . Entonces existe una matriz única A T de mxn tal que
[T (x)]B 2 = A T ([x]B 1 ).
Este teorema nos indica que cada vez que tomemos bases diferentes, para los espacios vectoriales de una transformación lineal tendremos una representación matricial diferente, sin
embargo cualquiera de estas matrices será similar a las otras.
Observación
Recuerda que dos matrices A, B son similares si existe otra matriz no singular P tal que
A = P −1 B P .
97
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
4.4
Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales
Considérese un sistema coordenado sobre un plano. Un objeto Γ en el plano puede considerarse como un conjunto de puntos. Cada punto P tiene coordenadas (x, y), de manera que el
objeto es la suma total de todos sus puntos coordenados. Si el objeto se traslada a una nueva
posición, puede considerarse como un nuevo objeto Γ′ , cuyos puntos coordenados P ′ pueden
obtenerse a partir de los puntos originales P mediante la aplicación de una transformación
geométrica.
98
Proposición 4.6
Recordemos que al multiplicar un vector por un escalar c > 1, el resultado será un vector c
veces más grande que el vector original, si solo multiplicamos una componente entonces el
vector crecerá solamente en la dirección correspondiente a esa componente, con esta idea en
mente podemos definir
Definición 4.7
Expansión sobre el eje X
Una expansión a lo largo del eje X es una transformación lineal T : R2 → R2 que multiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante |c| > 1 y se representa
como:
à ! à !
x
cx
T
=
y
y
Si aplicamos la transformación para expandir sobre el eje X en la base canónica de R2 , tenemos
que
à ! à !
à ! à !
0
c
0
1
=
T
=
y
T
1
1
0
0
por lo que la matriz de transformación para realizar una expansión en el eje X es
Ã
!
c 0
AT =
.
0 1
Observación
Por expansión sobre el eje X debemos entender que el efecto no es estirar la figura horizontalmente hacia los dos lados, sino multiplicar por c cada una de las coordenadas en
x.
Ejemplo 4.15
Expandir tres veces una figura sobre el eje X
Encontrar la matriz de transformación para expandir 3 veces el eje X y aplicarlo al cuadrado definido por los puntos (1, 1), (3, 1), (3, 3) y (1, 3).
Solución .
Transformaciones Lineales
Sea T : R2 → R2 una trasformación lineal con representación matricial A T , entonces si
A T es invertible, T se puede escribir como una sucesión de una o más trasformaciones
especiales llamadas expansiones, compresiones, reflexiones, cortes y rotaciones.
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
La matriz correspondiente es
Ã
3 0
AT =
0 1
Al aplicarla a cada vector tenemos
!Ã ! Ã !
Ã
!Ã ! Ã ! Ã
9
3
3 0 1
3 0 3
,
=
=
0 1 1
0 1 1
1
1
!
Ã
!Ã ! Ã !
9
3 0 3
,
=
0 1 3
3
Ã
3 0
0 1
!Ã ! Ã !
1
3
=
.
3
3
Geométricamente la transformación es:
4
4
3
3
2
2
1
1
2
4
6
8
10
2
-1
4
6
8
10
-1
Al igual que con el eje X podemos expandir el eje Y en la siguiente forma.
Definición 4.8
Expansión sobre el eje Y
Una expansión a lo largo del eje Y es una transformación lineal T : R2 → R2 que multiplica a la coordenada y de un vector en R2 por una constante |c| > 1 y se representa
como:
à ! à !
x
x
T
=
.
y
cy
Si aplicamos la transformación para expandir sobre el eje Y en la base canónica de R2 , tenemos
que
à ! à !
à ! à !
1
1
0
0
T
=
y
T
=
0
0
1
c
por lo que la matriz de transformación para realizar una expansión en el eje Y es
Ã
!
1 0
AT =
.
0 c
Observación
Por expansión sobre el eje X debemos entender que el efecto no es estirar la figura horizontalmente hacia los dos lados, sino multiplicar por c cada una de las coordenadas en
x.
Ejemplo 4.16
Expandir una figura sobre el eje Y
Hallar la matriz de transformación para expandir -1.5 veces el eje Y y aplicarlo al círculo
de radio 2 centrado en el origen.
Solución .
99
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
La matriz correspondiente es
Ã
1
0
AT =
0 −1.5
!
Consideremos los puntos (−2, 0), (0, −2), (2, 0) y (0, 2) que corresponden al círculo pedido
y apliquemos la transformación
Ã
!Ã ! Ã !
−2
−2
1
0
,
=
0 −1.5 0
0
Ã
1
0
0 −1.5
!Ã ! Ã !
2
2
,
=
0
0
Ã
!Ã ! Ã !
0
0
1
0
=
,
0 −1.5 −2
3
Ã
1
0
0 −1.5
!Ã ! Ã !
0
0
=
.
2
−3
100
Geométricamente la transformación es:
-2
3
2
2
1
1
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
2
3
Ahora al multiplicar un vector por un escalar |c| < 1, el resultado será un vector c veces más
pequeño que el vector original,
Definición 4.9
Contracción sobre el eje X
Una contracción a lo largo del eje X es una transformación lineal T : R2 → R2 que multiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante |c| < 1 y se representa
como:
à ! à !
cx
x
=
T
y
y
Si aplicamos la transformación para contraer sobre el eje X en la base canónica de R2 , tenemos
que
à ! à !
à ! à !
1
c
0
0
T
=
y
T
=
0
0
1
1
por lo que la matriz de transformación para realizar una contracción en el eje X es
Ã
!
c 0
AT =
.
0 1
Para contraer un objeto sobre el eje Y definimos.
Definición 4.10
Contracción sobre el eje Y
Una contracción a lo largo del eje Y es una transformación lineal T : R2 → R2 que multiplica a la coordenada y de un vector en R2 por una constante |c| < 1 y se representa
Transformaciones Lineales
-3
3
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
como:
à ! à !
x
x
.
T
=
cy
y
101
La matriz de transformación para realizar una contracción en el eje Y es
AT =
Ejemplo 4.17
Ã
!
1 0
.
0 c
Recortar a la mitad una figura sobre el eje X
Hallar la matriz de transformación para contraer 0.5 veces el eje X y aplicarlo al triángulo
rectángulo con vértices (0, 0), (−2, 0) y (−2, 2).
Solución .
La matriz correspondiente es
Ã
0.5 0
AT =
0 1
!
Aplicando la matriz de transformación
Ã
!Ã ! Ã !
Ã
!Ã ! Ã !
0
−1
0.5 0 0
0.5 0 −2
=
,
=
,
0 1 0
0 1 0
0
0
Ã
0.5 0
0 1
!Ã
! Ã !
−2
−1
=
,
2
2
Geométricamente la transformación es:
-3
-2
3
3
2
2
1
1
-1
1
-1
-3
-2
-1
1
-1
Cuando se multiplica el vector por un escalar negativo en particular por −1, éste cambia de
dirección, si solo se multiplica una componente, entonces se produce un efecto de reflexión
sobre el eje que corresponde a la componente que se está multiplicando.
Definición 4.11
Reflexión sobre rectas
Una reflexión es una transformación lineal T : R2 → R2 que desplaza de forma simétrica
los puntos del plano respecto a un eje fijo. Existen 3 tipos de reflexiones de transformaciones lineales
à ! à !
x
x
, refleja a un vector respecto al eje X .
=
T
−y
y
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
à ! à !
x
−x
T
=
, refleja a un vector respecto al eje Y .
y
y
à ! à !
x
y
T
=
, refleja a un vector respecto a la recta x = y.
y
x
102
Al aplicar la transformación sobre la base canónica de R2 obtenemos las siguientes matrices:
!
1 0
, que es la matriz de transformación correspondiente a la reflexión respecto al
0 −1
eje X .
Ã
!
−1 0
, que es la matriz de transformación correspondiente a la reflexión respecto al
0 1
eje Y .
Ã
!
0 1
, que es la matriz de transformación correspondiente a la reflexión respecto a la
1 0
recta x = y.
Ejemplo 4.18
Reflexión sobre la recta x = y
Reflejar respecto a la recta x = y la figura descrita por los siguientes puntos, (−4, −1),
(−4, −3), (−6, −3), (−3, −6), (0, −3), (−2, −3), (−2, −1) y (−4, −1).
Solución .
Aplicando la matriz de transformación para reflejar sobre la recta x = y
1.
Ã
0 1
1 0
!Ã
! Ã !
−4
−1
=
−1
−4
2.
Ã
0 1
1 0
!Ã
! Ã !
−4
−3
=
−3
−4
3.
Ã
0 1
1 0
!Ã
! Ã !
−6
−3
=
−3
−6
4.
Ã
0 1
1 0
!Ã
! Ã !
−6
−3
=
−3
−6
Geométricamente la transformación es:
5.
Ã
0 1
1 0
!Ã
! Ã !
0
−3
=
−3
0
6.
Ã
0 1
1 0
!Ã
! Ã !
−2
−3
=
−3
−2
7.
Ã
0 1
1 0
!Ã
! Ã !
−2
−1
=
−1
−2
8.
Ã
0 1
1 0
!Ã
! Ã !
−1
−4
=
−4
−1
Transformaciones Lineales
Ã
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
2
-6
-4
2
-2
2
-6
-4
-2
2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
103
Si ahora, en vez de multiplicar las componentes de un vector le sumamos una cantidad escalar
variable, obtenemos algunas deformaciones interesantes, en particular tenemos los siguientes.
Definición 4.12
Corte sobre el eje X
Un corte a lo largo del eje X es una transformación lineal T : R2 → R2 tal que
!
à ! Ã
x +cy
x
=
T
y
y
donde c es una constante que puede ser positiva o negativa.
La matriz de transformación que se obtiene al aplicar la trasformación lineal sobre la base canónica es:
Ã
!
1 c
AT =
0 1
Ejemplo 4.19
Corte sobre el eje X
Encontrar la matriz de transformación para realizar un corte sobre el eje X con la constante c = 2 y aplicarlo al cuadrado definido por los puntos (1, 1), (3, 1), (3, 3) y (1, 3).
Solución .
Aplicando la matriz de transformación para reflejar sobre la recta x = y
Ã
!Ã ! Ã !
Ã
!Ã ! Ã !
3
9
1 2 1
1 2 3
1.
=
3.
=
0 1 1
0
1
1
3
3
2.
Ã
1 2
0 1
!Ã ! Ã !
5
3
=
1
1
4.
Ã
1 2
0 1
!Ã ! Ã !
7
1
=
3
3
Geométricamente la transformación es:
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
2
-1
4
6
8
2
-1
4
6
8
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
Definición 4.13
Corte sobre el eje Y
Un corte a lo largo del eje Y es una transformación lineal T : R2 → R2 tal que
à ! Ã
!
x
x
T
=
y
y + cx
104
donde c es una constante que puede ser positiva o negativa.
La matriz de transformación que se obtiene al aplicar la trasformación lineal sobre la base canónica es:
Ã
!
1 0
AT =
c 1
(
x = r cos φ
y = r sen φ
(4.2)
y queremos girarlo un ángulo de θ grados con respecto al origen, las nuevas coordenadas (x ′ , y ′ )
serían
(
x ′ = r cos(φ + θ)
(4.3)
y ′ = r sen(φ + θ)
pero, mediante identidades trigonométricas tenemos
(
r cos(φ + θ) = r (cos θ cos φ − sen θ sen φ) =
r sen(φ + θ) = r (sen θ cos φ + cos θ sen φ) =
x cos θ − y sen θ
x sen θ + y cos θ
)
.
(4.4)
Escribiendo la ecuación 4.3 en forma matricial y con la ayuda de la identidad 4.4, tenemos:
à ! Ã
x′
cos θ
′ =
y
sen θ
− sen θ
cos θ
!Ã !
x
y
lo cual nos conduce a la siguiente definición.
Definición 4.14
Rotación de objetos
Una rotación respecto al origen es una transformación lineal T : R2 → R2 tal que
!
à ! Ã
x cos θ − y sen θ
x
=
T
x sen θ + y cos θ
y
donde θ es el ángulo que se pretende girar.
La matriz de transformación asociada a una rotación es la siguiente
Ã
cos θ
AT =
sen θ
− sen θ
cos θ
!
Transformaciones Lineales
Es posible también hallar una transformación lineal que gira θ grados a un punto P con respecto al origen. Esto lo hacemos haciendo uso de coordenadas polares; es decir, si tenemos el
punto (x, y) expresado en términos de coordenadas polares como
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
Ejemplo 4.20
Giro de un rectángulo
Girar 70 grados el rectángulo con vértices (1, 2), (2, 2), (1, −3), (2, −3) y representarlo gráficamente.
Solución .
105
Solución .
Aplicando la matriz de transformación a cada vector
− sen 70o
cos 70o
!Ã ! Ã
! Ã
!
1
cos 70o − 2 sen 70o
−1.537
=
=
2
sen 70o + 2 cos 70o
1.623
1.
Ã
2.
Ã
cos 70o
sen 70o
− sen 70o
cos 70o
!Ã ! Ã
!
! Ã
2 cos 70o − 2 sen 70o
2
−1.195
=
=
2 sen 70o + 2 cos 70o
2
2.563
3.
Ã
cos 70o
sen 70o
− sen 70o
cos 70o
!Ã
! Ã
!
! Ã
3.161
1
cos 70o + 3 sen 70o
=
=
sen 70o − 3 cos 70o
−0.086
−3
4.
Ã
− sen 70o
cos 70o
!Ã
! Ã
! Ã
!
2
2 cos 70o + 3 sen 70o
3.503
=
=
−3
2 sen 70o − 3 cos 70o
0.853
cos 70o
sen 70o
cos 70o
sen 70o
Geométricamente la transformación es:
-3
-2
3
3
2
2
1
1
-1
1
2
3
4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
2
3
4
Actividad complementaria 4.4
Determinar cuáles serán las nuevas coordenadas del punto (3, 2) al girarlo 35o .
La transformación de traslación no puede expresarse mediante una matriz de 2 × 2. Sin embargo, cierto artificio permite introducir una matriz de 3 × 3 que efectúa la transformación de
traslación. Si se representa el par ordenado (x, y) de un punto P por medio de la tríada (x, y, 1),
la matriz de traslación sería


1 0 c


A T = 0 1 d  ,
0 0 1
donde las constantes c y d son los valores que se traslada el objeto en el eje X y Y respectivamente.
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
Toda matriz de transformación de 2 × 2 la podemos escribir como una matriz de 3 × 3 agregándole una columna y renglón de ceros excepto en la posición donde se cruzan que lleva un 1,
por ejemplo.


Ã
!
c 0 0
c 0


La matriz de expansión
se puede escribir como 0 1 0.
0 1
0 0 1
106


1 0 0
1 0


La matriz de reflexión
se puede escribir como 0 −1 0.
0 −1
0 0 1
Ã
!
Con estos pequeños cambios, podemos trabajar todas las transformaciones geométricas sin
problemas, entendiendo que si esta incluida una traslación, trabajaremos solamente con matrices de 3 × 3; si no hay traslaciones podemos trabajar en el plano, es decir, simplemente con
matrices de 2 × 2 .
Ejemplo 4.21
Trasladar un círculo
Trasladar el círculo de radio 1 centrado en el origen, 5 unidades en el eje X y −3 unidades
sobre el eje Y .
Solución .


1 0 5


La matriz de transformación es 0 1 −3. La aplicamos a algunos puntos específicos
0 0 1
del círculo; por ejemplo, a los puntos (1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 0, 1), (0, −1, 1), para obtener las
nuevas coordenadas de dichos puntos.
-6
-4
4
4
2
2
-2
2
4
6
-6
-4
-2
2
-2
-2
-4
-4
4
6
Es posible construir otras transformaciones geométricas de coordenadas más complejas a partir de las transformaciones básicas descritas anteriormente. Transformaciones tales como la
rotación con respecto a un punto distinto del origen o la reflexión con relación a líneas que no
sean los ejes pueden construirse a partir de las transformaciones básicas.
Por ejemplo si tenemos las siguientes transformaciones:
Ã
!
1 2
1. Un corte a lo largo del eje X representado por la matriz
.
0 1
Ã
!
1 0
2. Una expansión a lo largo del eje Y representado por
.
0 2
Transformaciones Lineales
 
à !
x
x
 
También el vector columna
se puede escribir como  y .
y
1
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.
Ã
!
1 0
3. Una reflexión a lo largo del eje X representado por la matriz
.
0 −1
!
Ã
1 0
.
4. Un corte respecto del eje Y representado por
3 1
La matriz que representa todas estas transformaciones aplicadas una seguida de otra, se obtiene multiplicando las matrices dadas, pero acomodándolas de izquierda a derecha, comenzando por la última transformación y terminado con la primera; es decir,
Ã
!Ã
!Ã
!Ã
! Ã
!
1 0 1 0 1 0 1 2
1 2
=
3 1 0 −1 0 2 0 1
3 4
A este proceso se le conoce como concatenación de matrices y nos permite simplificar nuestro
trabajo al juntar dos operaciones o más en una sola. Por ejemplo para ampliar una imagen
c veces debemos expandir sobre el eje X y también sobre el eje Y ésta cantidad de veces, si
concatenamos estas dos matrices, obtenemos
Ã
!Ã
! Ã
!
1 0 c 0
c 0
=
0 c 0 1
0 c
que representa la matriz de transformación para ampliar (si c > 1)o reducir (si c < 1) un objeto.
Ejemplo 4.22
Encontrar una matriz de rotación fuera del origen
Describa la transformación que gira θ grados con respecto a un centro fijo de rotación
(h, k) un punto (x, y) y úsela para rotar 20o el punto (3, 4) respecto al punto (1, 1).
Solución .
Se determina la transformación en tres pasos:
Trasladar de manera que el centro de rotación (h, k) se encuentre en el origen.
Efectuar una rotación de θ grados con respecto al origen.
Trasladar de nuevo el origen a (h, k).
Observación
Cuando se quiere que un punto del objeto a mover se quede fijo es necesario trasladarlo
para que que esté ubicado en el origen.
Ejemplo 4.23
Ampliar una figura con un punto fijo
Amplifíquese el triángulo con vértices A(0, 0), B (1, 1) y C (5, 2) al doble de su tamaño manteniendo fijo el vértice C (5, 2).
Solución .
Se determina la transformación en tres pasos:
Trasladar de manera que el punto C (5, 2) se encuentre en el origen.
Efectuar una expansión tanto en el eje X como en el eje Y de 2 unidades.
107
4.5 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
Trasladar de nuevo el origen a (5, 2).


1 0 5


La matriz de transformación es 0 1 −3 que al aplicarla sobre los vértices del trián0 0 1
gulo nos da las nuevas coordenadas, gráficamente tenemos:
-4
4
2
2
-2
2
4
-4
-2
2
-2
-2
-4
-4
4
Evaluaciones sumativas
4.5.1 Ejercicios
1.• En los siguientes ejercicios determine si la transformación dada es lineal, en caso negativo
indique que
falla.
à ! propiedad
à !
x
x
a.• T
=
.
y
0
à !
x
•
= x y.
b. T
y
à ! à !
1
x
=
.
c.• T
y
y
!
à ! Ã
x
x+y
•
.
d. T
=
y
x−y
Ã
!
−2
3
e.• T (A) = AB donde B =
y A una matriz cualquiera de 3 × 2.
1 −1
R
f.• T (f (x))
 = f (x)dx donde f (x) es una función integrable.
x
3x − 5y
  

•
g. T  y  = 2x − 2z .
z
x + y2
 
       
1
1
1
2
0
 
       
•
3
3
2. Sea T : R → R una transformación lineal tal que T 0 = −1, T 1 = 2 y T −1 =
1
3
0
1
1
 
 
−1
3
 
 
−1, encontrar T −2.
3
2
 
 
2
1
 
 
3.• Sea T : R3 → P 2 una transformación lineal tal que T 1 = 1 − 2x + x 2 , T 0 = 3 + x − x 2 y
0
1
Transformaciones Lineales
4.5
4
108
4.5 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
 
 
2
0
 
 
T 4 = 2 + 3x + 3x 2 , encontrar T −3.
1
5
4.• Sea T : C → C tal que T (z) = (2 + 4i )z + a, determine el valor de a para que T sea transformación lineal.
5.• Encuentra
à ! Ãel!núcleo y la imagen de las siguientes transformaciones.
x
x
a.• T
=
.
0
y
à !
x
•
b. T
= x + y.
y
à ! Ã
!
3x
+
2y
x
c.• T
=
.
y
−x − 32 y
à ! Ã
!
x
x+y
d.• T
=
.
y
x−y
Ã
!
−2 3
•
e. T (A) = AB donde B =
y A una matriz cualquiera de 3 × 2.
1 −1
R
f.• T ( f (x)) = f (x)d x donde f (x) es una función integrable.
6.• Una transformación lineal T : R2 → R3 aplica los vectores base de la siguiente manera,
T (i ) = (1, 0, 1) y T ( j ) = (−1, 0, 1). Calcular T (2i − 3 j ) y determinar la dimensión del núcleo e
imagen de T .
7.• Considérese T : C → C. Definir T (z) = z̄, donde z̄ es el complejo conjugado del número
complejo z. Demuestre que T es una transformación lineal, hállense una base para el núcleo
de T y una base para la imagen de T .
8.• Encuentra la representación
à ! matricial
Ã
! de las siguientes transformaciones.
x
x − 2y
=
.
−x + y
y
 
!
Ã
x
x −y +z
 
3
2
.
T : R → R tal que T  y  =
−2x + 2y − 2z
z

  
x − y + 2z
x

  
T : R3 → R3 tal que T  y  =  3x + y + 4z .
−3x + 6y + 3z
z
T : P 2 → P 3 tal que T (p(x)) = p(x)(x + 1).
a.• T : R2 → R2 tal que T
b.•
c.•
d.•
9.• Realiza las siguientes transformaciones geométricas y bosqueja la región obtenida al aplicar dicha transformación.
a.• Una expansión de dos unidades a lo largo del eje Y , sobre el rectángulo definido por
(0, 0), (5, 0), (5, 2), (0, 2).
b.• Corte a lo largo del eje Y con c = −1/2 en el rectángulo (−6, −1), (2, −1), (2, 2), (−6, 2).
c.• Reflexión a lo largo de la recta x = y en el rectángulo (−2, −1), (2, −1), (2, 2), (−2, 2).
10.• Escribe la matriz de transformación que se necesita para cambiar el círculo de radio 2
centrado en el origen por una elipse de eje mayor igual a 8 unidades sobre X y eje menor de 2
unidades en Y y que además este centrada en (2, 3).
109
4.5 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
11.• Escribir la matriz de reflexión para cualquier punto P (x, y) con respecto a la recta y =
2x + 1 y usarla para hacer la reflexión del punto (2, 1).
12.• Realice la reflexión del polígono en forma de diamante cuyos vértices están en A(−1, 0),
B (0, −2), C (1, 0) y D(0, 2) con respecto a; a) la recta horizontal y = 1; b) la recta vertical x = 2.
110
Transformaciones Lineales
A
A.1
111
Fórmulas de geometría
Figuras geométricas 2D
Nombre
Figura
r
Circunferencia
Rectángulo
b
Perímetro
Área
2πr
πr 2 .
2a + 2b
a b.
a +b +c
ah
.
2
2a + b + B
(B + b)h
.
2
a
Triángulo
c
h
b
a
b
Trapecio
a
h
B
A.2 Figuras geométricas 3D Álgebra lineal.
Pentágono
5L
a
5L a
.
2
L
112
Perímetro = nL
Área = nLa
2
Polígono regular de n lados
nL
a
nLa
.
2
L
A.2
h= altura
r=radio
Figuras geométricas 3D
Nombre
Figura
Superficie
Volumen
Esfera
4πr 2
4 3
πr .
3
Cubo
6 L2
L3.
Paralelepípedo
2(AB + BC + AC )
ABC .
Cilindro cerrado
2π r (h + r )
A B h.
Fórmulas de geometría
a=apotema
A.3 Geometría plana Álgebra lineal.
Cono circular recto cerrado
g=generatriz
A.3
h= altura
πr (g + h)
1
A B h.
3
A B = Área de la base
r=radio
Geometría plana
La pendiente de una línea recta que pasa por los puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) es:
m=
y2 − y1
.
x2 − x1
La ecuación de una línea recta:
y2 − y1
(x − x 1 ).
x2 − x1
• Que pasa por el punto (x 1 , y 1 ) y tiene pendiente m es y − y 1 = m(x − x 1 ).
• Que pasa por los puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) es y − y 1 =
• Que intersecta al eje Y en el punto (0, b) y tiene pendiente m es y = mx + b.
La ecuación de una parábola:
• Con vértice en el punto (h, k) y foco en (h + p, k) es (y − k)2 = 4p(x − h).
• Con vértice en el punto (h, k) y foco en (h, k + p) es (x − h)2 = 4p(y − k).
• En forma general es ax 2 + bx y + c y 2 + d x + e y + f = 0, donde se debe cumplir que
b 2 − 4ac = 0 y además los coeficientes a, c no se anulen simultáneamente.
La ecuación de una circunferencia:
• Con vértice en el punto (h, k) y radio r es (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 .
• En forma general es x 2 + bx y + y 2 + d x + e y + f = 0.
El ángulo entre dos rectas en el plano es tan θ =
m 2 −m 1
1+m 1 m 2 .
La distancia entre dos puntos P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) y P 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) está dada por:
d=
q
(x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2 + (z 2 − z 1 )2 .
113
B
115
Fórmulas de trigonometría
Identidades trigonométricas fundamentales
1. 1 + tan2 (x) = sec2 (x)
5. sec(x) =
1
cos(x)
2. 1 + cot2 (x) = csc2 (x)
6. cot(x) =
1
tan(x)
3. 1 − cos2 (x) = sen2 (x)
7. tan(x) =
sen(x)
cos(x)
8. cot(x) =
cos(x)
sen(x)
4. csc(x) =
1
sen(x)
Identidades de sumas y restas de ángulos
1. sen(x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)
2. sen(x − y) = sen(x) cos(y) − cos(x) sen(y)
3. cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen(x) sen(y)
4. sen(x − y) = cos(x) cos(y) + sen(x) sen(y)
5. tan(x + y) =
tan(x)+tan(y)
1−tan(x) tan(y)
6. tan(x − y) =
tan(x)−tan(y)
1+tan(x) tan(y)
Identidades del doble y mitad de un ángulo
1. sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)
2. cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x) = 2 cos2 (x) − 1
3. tan(2x) =
2 tan(x)
1−tan2 (x)
q
x
4. sen x2 = ± 1−cos
2
q
x
5. cos x2 = ± 1+cos
2
Identidades de productos de funciones
1. sen2 (x) = 12 (1 − cos(2x))
Álgebra lineal.
2. cos2 (x) = 21 (1 + cos(2x))
3. sen(x) cos(x) = 12 sen(2x)
4. sen(x) sen(y) = 21 (cos(x − y) − cos(x + y))
5. sen(x) cos(y) = 12 (sen(x − y) + sen(x + y))
116
6. cos(x) cos(y) = 21 (cos(x − y) + cos(x + y))
Propiedades de las funciones trigonométricas
1. La función sen x es impar, se cumple que sen(−x) = − sen(x).
2. La función cos x es par, se cumple que cos(−x) = cos(x).
4. La función cot x es impar, se cumple que tan(−x) = − tan(x).
5. El cos x es el complemento del sen x, es decir sen( π2 − x) = cos(x).
6. El sen x es el complemento del cos x, es decir cos( π2 − x) = sen(x).
7. La tan x es el complemento de la cot x, es decir tan( π2 − x) = cot(x).
8. La cot x es el complemento de la tan x, es decir cot( π2 − x) = tan(x).
Funciones trigonométricas para triángulos rectángulos
1. sen A =
c.o. a
=
h
c
4. cot A =
c.a. b
=
c.o. a
2. cos A =
c.a. b
=
h
c
5. sec A =
c
h
=
c.a. b
3. tan A =
c.o. a
=
c.a. b
6. csc A =
h
c
=
c.o. a
A
c
b
B
a
donde h es la hipotenusa, c.o. es el cateto opuesto y c.a. el cateto adyacente.
Además el teorema de pitágoras establece que:
c 2 = a2 + b2
Funciones trigonométricas para triángulos oblicuángulos
1. Ley de senos:
b
c
a
=
=
sen A senB senC
C
2. Ley de cosenos:
2
b
2
a
2
c = a + b − 2a b cosC
3. Ley de tangentes:
¡ A+B ¢
a + b t an 2
=
¡
¢
a − b t an A−B
2
A
B
c
Fórmulas de trigonometría
3. La función tan x es impar, se cumple que tan(−x) = − tan(x).
C
117
Fórmulas de derivadas
Consideremos que c es una constante y u, v, w son funciones de la variable x.
1.
d
d x (c) = 0
22.
d
d
d x (sec v) = sec v tan v d x (v)
2.
d
d x (x) = 1
23.
d
d
d x (csc v) = − csc v cot v d x (v)
3.
d
d
d
d
d x (u + v − w) = d x (u) + d x (v) − d x (w)
24.
4.
d
d
d x (c v) = c d x (v)
(v)
d
pd x
d x (arcsin v) = 1−v 2
5.
d
d
d
d x (uv) = u d x (v) + v d x (u)
25.
d
(v)
d
pd x
d x (arc cos v) = − 1−v 2
6.
d
n
n−1 d
d x (v ) = nv
d x (v)
26.
d
(v)
d
dx
d x (arctan v) = 1+v 2
7.
d
n
n−1
d x (x ) = nx
27.
d
(v)
d
dx
(arccotv)
=
−
dx
1+v 2
8.
d p
n
pd x
d x ( v) = n n v n−1
28.
d
(v)
d
dx
p
d x (arcsecv) = v v 2 −1
9.
v ddx (u)−u ddx (v)
d u
(
)
=
dx v
v2
29.
d
(v)
d
dx
p
d x (arccscv) = − v v 2 −1
30.
d
dx
senh x = coth x =
31.
d
dx
cosh x = senh x =
32.
d
dx
tanh x = sec h 2 x
33.
d
d x sechx
= − tanh x(sechx)
34.
d
d x c schx
= − coth x(c schx)
35.
d
dx
cot hx = − csc h 2 x
36.
d
dx
arg senh x =
p 1
x 2 +1
37.
d
dx
arg cosh x =
p 1
x 2 −1
38.
d
dx
arg tanh x =
1
1−x 2
39.
d
dx
arg sechx =
p−1
|x| 1−x 2
p−1
|x| 1+x 2
dv
d
(u)
dx
d
e x +e −x
2
10.
d u
dx ( c ) =
11.
d
x
d x |x| = |x|
12.
d
1 d
d x (ln v) = v d x (v)
13.
log e d
d
d x (log v) = v d x (v)
14.
d
v
v
d x (a ) = a
15.
d
v
v d
d x (e ) = e d x (v)
16.
d
v
v
d x (u ) = u
17.
d
x
x
d x (x ) = x (1 + ln x)
18.
d
d
d x (sen v) = cos v d x (v)
19.
d
d
d x (cos v) = − sen v d x (v)
20.
d
2 d
d x (tan v) = sec v d x (v)
40.
d
dx
arg c schx =
21.
d
2 d
d x (cot v) = − csc v d x (v)
41.
d
dx
arg coth x = − x 21−1
c
= sg n(x), (x 6= 0)
ln a ddx (v)
³
dv
dx
ln |u| + v ddx ln u
´
e x −e −x
2
Álgebra lineal.
Además si z(u) depende de u y a su vez u(x) depende de x, entonces la regla de la cadena nos
dice que
dz dz du
=
.
dx du dx
118
Fórmulas de derivadas
D
119
Fórmulas de integrales
Considerar que k es una constante y que v(x), u(x) son funciones que dependen de la variable
x.
Integrales básicas.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
R
d x = x + c.
R
R
k d x = k d x = kx + c.
R
R
R
R
(u + v − w)d x = u d x + v d x − w d x + c.
R n
n+1
n 6= −1.
x d x = xn+1 + c,
R1
x d x = ln x + c.
R x
e d x = e x + c.
R x
x
a d x = lna a + c.
Integrales que contienen a + bx
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
R
(a + bx)n d x =
dx
a+bx
R
xd x
(a+bx)2
R
x2d x
(a+bx)2
=
1
b3
R
xd x
(a+bx)3
=
1
b2
R
dx
x(a+bx)
R
dx
x 2 (a+bx)
R
xd x
a+bx
x2d x
a+bx
+ c,
n 6= −1.
= b1 ln |a + bx| + c.
R
R
(a+bx)n+1
b(n+1)
=
=
1
[a + bx − a ln(a + bx)] + c.
b2
=
1
[ a
b 2 a+bx
+ ln(a + bx)] + c.
1 1
[ (a + bx)2 − 2a(a + bx) + a 2 ln(a + bx)] + c.
b3 2
h
i
a2
a + bx − a+bx
− 2a ln(a + bx) + c.
h
i
1
a
− a+bx
+ 2(a+bx)
2 + c.
= − a1 ln( a+bx
x ) + c.
1
= − ax
+
b
ln( a+bx
x ) + c.
a2
Álgebra lineal.
17.
18.
19.
20.
21.
R
dx
x(a+bx)2
1
− 12 ln( a+bx
x ) + c.
a(a + bx) a
=
R p
x a + bx d x =
R
R
R
3
2(3bx−2a)(a+bx) 2
15b 2
+ c.
p
x 2 a + bx d x =
3
p x
dx
a+bx
=
2(8a 2 −12abx+15b 2 x 2 )(a+bx) 2
105b 3
p
2(bx−2a) a+bx
+ c.
3b 2
2
px
dx
a+bx
=
p
2(8a 2 −4abx+3b 2 x 2 ) a+bx
3
15b
+ c.
120
+ c.
³p
p ´
1
a+bx− a
p
= p ln p
+ c, para a > 0.
a+bx+ a
a
q
R dx
2
p
arctan a+bx
23.
dx = p
−a + c, para a < 0.
x a+bx
−a
22.
pd x
dx
x a+bx
R pa+bx
x
p
R
d x = 2 a + bx + a
pd x
x a+bx
+ c.
Integrales que contienen ±a 2 ± x 2
25.
26.
27.
Rp
a2 − x 2d x =
x
2
p
R 2
(a − x 2 )n/2 d x =
2
2 n/2
R
x(a − x )
R
1
dx
a 2 −x 2
x(a 2 −x 2 )n/2
n+1
n
R
1
dx
b 2 x 2 −a 2
R
p 1
x 2 ±a
R
x(a 2 − x 2 )n/2 d x = − (a
38.
R
p
39.
R
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Rp
n 6= −2
= arc sen ax + c
p 1
dx
a 2 −x 2
29.
R 2
n
na 2
(a − x 2 ) 2 −1 d x
+ n+1
(a 2 − x 2 ) 2 +1
dx = −
+c
n +2
R
28.
2
a 2 − x 2 + a2 arcsin ax + c
=
1
2a
=
ln | a+x
x−a | + c
1
2ab
bx−a
ln( bx+a
)+c
p
2
x 2 ± a 2 ± a2 ln(x + x 2 ± a 2 ) + c
p
d x = ln(x + x 2 ± a 2 ) + c
2
x 2 ± a2d x =
x
2
p
1
1
d x = ab
arctan bx
a +c
a 2 +b 2 x 2
p
p
R pa 2 −x 2
2 − x 2 − a ln( a+ a 2 −x 2 ) + c
a
d
x
=
x
x
p
p
R px 2 +a 2
2
2
d x = x 2 + a 2 − a ln( a+ xx +a ) + c
x
R
R
2
n
−x 2 ) 2 +1
n+2
x 2 (a 2 − x 2 )n/2 d x = − x(a
1
a2 − x2
p
d x = arc sen
1
x a2 − x2
d x = − a1 ln
2
−x 2 ) 2 +1
n+3
¡x¢
a
³
n
+c
+c
R 2
a2
(a − x 2 )n/2 d x
+ n+3
´
p
a+ a 2 −x 2
+c
x
n 6= −1
Fórmulas de integrales
24.
R
Álgebra lineal.
40.
R
p
41.
R
p
x
a2 − x2
x2
a2 − x2
p
d x = − a2 − x2 + c
d x = − x2
p
2
a 2 − x 2 + a2 ar c sen
¡x¢
a
+c
Integrales trigonométricas
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
R
R
sen xd x = − cos x + c
cos xd x = sen x + c
R
tan xd x = ln | sec x| + c
R
sec xd x = ln | sec x + tan x| + c
R
cot xd x = ln | sen x| + c
R
csc xd x = ln | csc x − cot x| + c
R
cos2 mx d x = 12 x + 14 sen 2x + c
R
cot2 x d x = cot x − x + c
R
R
R
R
sen2 x d x = 21 x − 41 sen 2x + c
tan2 x d x = tan x − x + c
sec2 x d x = tan x + c
csc2 x d x = − cot x + c
n−1
R
senn x d x = − sen
cosn xd x =
cosn−1 x sen x
n
R
tann xd x =
tann−1 x
n−1
cotn x d x =
cotn−1 x
n−1
R
secn x d x =
tan x secn−2 x
n−1
R
cscn x d x =
cot x cscn−2 x
n−2
R
cosn x sen x d x = − cosn+1 x + c
R
R
R
senn x cos x d x =
x cos x
n
R
senn−2 x d x
+ n−1
n
R
cosn−2 x d x
+ n−1
n
R
− tann−2 x d x
R
− cotn−2 x d x
R
n−2
secn−2 x d x
+ n−1
R
n−2
x dx
+ n−2
n−1 csc
senn+1 x
n+1
+c
n+1
R
sen x cos x d x = − 12 cos2 x + c
R
csc x cot x d x = − csc x + c
R
sec x tan x d x = sec x + c
Integrales trigonométricas inversas
121
Álgebra lineal.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
p
arc sen x d x = x arc sen x + 1 − x 2 + c
p
R
arc cos x d x = x arc cos x − 1 − x 2 + c
p
R
arctan x d x = x arctan x − ln( 1 + x 2 ) + c
p
R
arc cotx d x = x arc cotx + ln( 1 + x 2 ) + c
p
R
arc secx d x = x arc secx − ln(x + x 2 − 1) + c
p
R
arc cscx d x = x arc cscx + ln(x + x 2 − 1) + c
R
122
Integrales trigonométricas hiperbólicas
72.
73.
74.
75.
76.
R
R
senh x d x = cosh x + c
cosh x d x = senh x + c
R
tanh x d x = ln(cosh x) + c
R
sechx d x = arctan(senh x) + c
R
R
coth x d x = ln(senh x) + c
cschx d x = ln(tanh x2 ) + c
Fórmulas de integrales
71.
E
123
Fórmulas de cálculo vectorial
El vector ~
a que une los puntos P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) y P 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ), está definido por:
~
a =< (x 2 − x 1 ), (y 2 − y 1 ), (z 2 − z 1 ) >= (x 2 − x 1 )ı̂ + (y 2 − y 1 ) ̂ + (z 2 − z 1 )k̂.
La magnitud de un vector ~
a = a 1 iˆ + a 2 jˆ + a 3 k̂ es |~
a| =
q
a 12 + a 22 + a 32 .
Dados dos vectores ~
a = a 1 iˆ + a 2 jˆ + a 3 k̂ y ~
b = b 1 iˆ + b 2 jˆ + b 3 k̂:
1. El producto punto ~
a ·~
b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .


iˆ
jˆ k̂


2. El producto cruz ~
a ×~
b = a 1 a 2 a 3  = (a 2 b 3 − a 3 b 2 )iˆ − (a 1 b 3 − a 3 b 1 ) jˆ + (a 1 b 2 −
b1 b2 b3
a 2 b 1 )k̂.
Ecuación de la recta que pasa por el punto P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) y tiene vector de dirección
~
v = a ı̂ + b ̂ + c k̂.


 x = x 0 + at
1. Forma paramétrica
y = y 0 + bt .


z = z0 + c t
2. Forma simétrica
x−x 0
a
=
y−y 0
b
=
z−z 0
c
Los cosenos directores para el punto P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) cuyo vector de posición es P~0 = x 0 ı̂ +
y 0 ̂ + z 0 k̂ son:
cos k =
x0
|P 0 |
cos β =
y0
|P 0 |
cos γ =
z0
.
|P 0 |
donde α, β, γ denotan los ángulosqque forma el vector P~0 con la parte positiva de los ejes
X , Y , Z respectivamente y |P 0 | =
x 02 + y 02 + z 02
La ecuación del plano que pasa por un punto P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) y tiene vector normal ~
n=
a ı̂ + b ̂ + c k̂ es:
ax + b y + c z + d = 0
donde d = −(ax 0 + b y 0 + c z 0 ).
Álgebra lineal.
La distancia de un punto P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) al plano ax + b y + c z + d = 0 es:
D=
|ax 0 + b y 0 + c z 0 + d |
p
a2 + b2 + c 2
El ángulo θ entre dos vectores ~
a y~
b es:
124
~
a ·~
b
1. Usando producto punto; cos θ =
.
|~
a ||~
b|
2. Usando producto cruz; sen θ =
|~
a ×~
b|
.
|~
a ||~
b|
Cambio de coordenadas
x = r cos θ
o
y = r sen θ
(
r=
p
x 2 +y 2 +z 2
∂
∂
∂
El operador nabl a se define como ∇ = iˆ ∂x
+ jˆ ∂y
+ k̂ ∂z
.
~ (t ) = F 1 iˆ + F 2 jˆ + F 3 k̂ y f (x, y, z) funciones con derivadas parciales, entonces:
Sean F
1. El gradiente de f (x, y, z) es g r ad ( f ) = ∇ f =
∂f ˆ ∂f
∂x i + ∂y
∂f
jˆ + ∂z k̂.
~ (t ) es d i v F
~ = ∇·F
~ = ∂F1 + ∂F2 + ∂F3 .
2. La divergencia de F
∂x
∂y
∂z


ˆ
ˆ
i
j
k̂
∂
∂
∂ 
~ (t ) es r ot F
~ = ∇×F
~ =
3. El rotacional de F
 ∂x ∂y ∂z 
F1 F2 F3
4. El laplaciano de f (x, y, z) es = ∆ f = ∇2 f = ∇ · (∇ f ) =
∂2 f
∂x 2
∂2 f
2
∂ z
+ ∂y 2 + ∂z
2.
Fórmulas de cálculo vectorial
x2 + y 2
³y´ .
1. Coordenadas polares
θ = arctan
x

p

2

r = x + y2


 x = r cos θ

³y´
θ = arctan
2. Coordenadas cilíndricas
.
y = r sen θ o


x



z=z
z=z
p


2
2
2


 r = x + y ³ + ´z
 x = r sen θ cos φ

y
φ = arctan
.
3. Coordenadas esféricas
y = r sen θ sen φ o
x ´
³





z
z = r cos θ
θ = cos−1
(
F
125
Respuesta a ejercicios propuestos
Respuestas
Sección 1.8
1. a. 5 + 92 i .
b. −1 + 3i .
c. 28i .
d.
3
2
+ 2i .
e. −2 − 5i .
f.
−6
5 i.
−6
5 i.
2. Al sustituir z = 1+i en la ecuación, obtenemos (1+i )2 −2(1+i )+2 = 1+2i +i 2 −2−2i +2 = 0,
lo que comprueba que es ese número complejo es una solución de dicha ecuación. Hacer lo
mismo para el otro valor de z.
p p
p
p
p
p
p
3. a. i (1 − i 3)( 3 + i ) = i ( 3 + i − 3i + 3) = 3 i − 1 + 3 + 3 i = 2 + 2 3 i .
b. Multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador, tenemos el resultado
= 1 + 2i .
³p 3π ´7
2 e 4 i ; elevando a la
c. Expresando en su forma exponencial, obtenemos (−1 + i )7 =
10i +5
4+1
21π
potencia indicada resulta 27/2 e 4 i . Luego, regresando a la forma rectangular obtenemos el resultado −8 − 8i .
³ π ´−10
p
. Luego, elevando a la
d. Expresando (1 + 3 i )−10 en su forma exponencial nos da 2e 3 i
p
3
1
+ 2048
i.
potencia y regresando a su forma rectangular logramos obtener el resultado − 2048
4. a. Resolviendo la parte interior de la expresión se obtiene [1 + i ]2 y el resultado final queda
2i .
£ 18 11i ¤2
b. Resolviendo la parte interior de la expresión tenemos que 25
− 25 y el resultado final
396i
queda 203
−
.
625
625
5. a. 2 + 2i .
b. −7 − i .
Respuestas de la sección 2.7 Álgebra lineal.
c. −20 − 4i .
6. a. 226 (cos 1 π + i sen 31 π).
b.
p
3 2
1
1
32 (cos 4 π + i sen 4 π).
p
c. 12 2(cos 41 π + i sen 14 π).
d.
126
p
8
7
7
2 (cos 12 π + i sen 12 π).
7. a. w 1 = 1.72 − 10.46i ;
w 2 = −0.46 + 1.72i ;
w 3 = −1.26 − 1.26i .
w 2 = −1.08 + 2.61i ;
w 3 = −2.61 − 1.08i ;
w 4 = 1.08 − 2.61i .
c. w 1 = 0.95 + 0.48i ;
0.76 − 0.76i .
w 2 = −0.17 + 1.06i ;
w 3 = −1.06 + 0.17i ;
w 4 = −0.49 − 0.95i ;
d. w 1 = 4;
w 2 = 4i ;
w 3 = −4;
w5 =
w 4 = −4i .
³p i π ´7/2
. Aplicando la fórmula para elevar a
2e 4
8. La forma exponencial de esta expresión es
una potencia fraccionaria, obtenemos las raíces −3.1075 + 1.2872i y 3.1075 − 1.2872i .
(
p +q =6
9. a. Consideremos el sistema
que, resolviéndolo, genera los números pedidos,
p q = 18
3 − 3i , 3 + 3i .
b. Como −3, 2+i y 2−i son raíces de la ecuación, escribimos (z −(−3))(z −(2+i ))(z −(2−i ))
y multiplicando, obtenemos una de las ecuaciones que es z 3 − z 2 − 7x + 15 = 0.
21
12
− 13
i.
10. a. − 13
b.
3
2
− 12 i .
Sección 2.7


6 3 6


1. a. A + B =  1 3 8 .
3 0 4
b. No se puede resolver pues las matrices A y C no son del mismo tamaño.


48 21


c. AC + BC =  20 12 .
22 21


−15 −12 10


d. A 2 − AB =  −19 −32 18 .
−25 −18 30
e. No se puede realizar el producto C A.

 47
2 20
2


f. 3A + 12 B +C D =  −10 −13 30 .
29
3 23
2
2
Ã
!
−1 −9 16
g. D A + D =
.
17
6
8
Respuestas de la sección 1.8
b. w 1 = 2.61 + 1.08i ;
Respuestas de la sección 2.7 Álgebra lineal.


2. a. A −1 = 



b. B −1 = 

c. C −1 =
d. D
−1
11
58
15
− 58
3
− 29
1
58
25
58
5
29
7
− 22
6
11
7
− 11
4
11
5
11
1
− 22
Ã
5
36
1
18
Ã
3
7
− 74
=
5
− 58


9 
− 58
.
4
29
1
12
− 61
!
1
7
1
7
!
10
11
8
− 11
3
11

127

.

.
.
e. F No tiene inversa.

13
16
15
− 16
− 83

1
5
1
15
1
15

3. a. Matriz no singular, A −1 = 


b. Matriz no singular, B −1 = 

1
16
5
16
1
8
− 38

3
− 10
− 52

7
30
1
5
4
− 15
c. Matriz singular.


d. Matriz no singular, D −1 = 

4. a. |A| = 0.
0
1
−1
1
4
− 43
3
4
1
8
1
4

.


− 54 
.
1
8
− 11
8
15
8


.

b. |B | = 24.
c. |C | = 66.
d. |D| = −480.
5. El determinante |B | = 4 sen(x) cos(x).
6. Por la propiedad D1 de los determinantes d et [(2A −1 )(3B −1 )] = d et (2A −1 )d et (3B −1 ) luego por la propiedad D6 y como son matrices de orden 7, obtenemos 27 d et (A −1 ) 37 d et (B −1 )
finalmente usando el teorema ?? tenemos que el determinante es igual a 66 .
11
7. a. x = − 13
5 , y =− 5 .
b. No tiene solución.
c. x = 16 , y = 38 .
d. Cantidad de soluciones infinita, que se pueden obtener con y = −2, z = − x2 − 21 .
e. x = 1, y = 1, z = 1.
f. No tiene solución.
g. x = − 14
3 ,y=
44
15 ,
z = − 34
15 .
Respuestas de la sección 3.6 Álgebra lineal.
Sección 3.6
1. a. Falla la propiedad 6, no puede ser espacio vectorial.
b. Falla la propiedad 6, no puede ser espacio vectorial.
c. No falla ninguna propiedad, de hecho se puede comprobar que es un espacio vectorial.
128
d. No falla ninguna propiedad, de hecho se puede comprobar que es un espacio vectorial.
e. No falla ninguna propiedad, de hecho se puede comprobar que es un espacio vectorial.
f. Fallan las propiedades 1, 4 y 6, no puede ser espacio vectorial.
h. Falla propiedad de cerradura bajo la suma y la multiplicación, no hay elemento neutro,
no es espacio vectorial.
i. Este conjunto esta formado por los puntos del intervalo que va desde −2 hasta 2. Falla la
propiedad de cerradura bajo la suma y la multiplicación, no es espacio vectorial.
j. Falla propiedad de cerradura bajo la suma y la multiplicación, no hay elemento neutro,
no es espacio vectorial.
k. No falla ninguna propiedad, de hecho se puede comprobar que es un espacio vectorial,
ver definición (2.11), para recordar una matriz simétrica.
2. a. Este conjunto representa los puntos que se encuentran en el cuadrado centrado en el
origen de longitud 2, no es cerrado bajo la suma y multiplicación no es subespacio vectorial.
b. Si es subespacio vectorial, H representa a los puntos sobre la recta que pasa por el origen
y tiene un ángulo de −45o .
c. Este conjunto representa los puntos dentro del disco centrado en el origen de radio 1. No
es subespacio pues no es cerrado bajo la suma.
d. Es subespacio vectorial.
3. a. Si genera a R2 . Probar que son linealmente independientes y ayudarse con la proposición
??.
b. Si genera a R2 , pues tenemos dos vectores linealmente independientes entre ellos.
c. Tenemos 3 vectores que son linealmente independientes (probarlo) por lo tanto generan
a R3 .
d. No genera a P2 , pues los vectores son linealmente dependientes (probarlo) y además la
dimensión del espacio es 3.
4. a. (2, 3, −1). Escribir el vector (1, −1, 2) como combinación lineal de la base y resolver el
sistema.
¢
¡
29
24
b. 37
31 , − 31 , − 31 .
Ã
!
−1/5 8/5
5. a. La matriz de transición es P =
.
3/5 1/5
12
b. [v]B2 = ( 21
5 , 5 ).
Respuestas de la sección 3.6
g. Falla la propiedad inverso, no tiene elemento neutro, no es espacio vectorial.
Respuestas de la sección 4.5 Álgebra lineal.

1/2 5/2
3/2


6. a. La matriz de transición es P =  1/2 3/2 −3/2 .
−1 −3/2
1

b. [v]B2 = (7, 7, −15/2).


c. La matriz inversa es P −1 = 

3
− 13
4
13
3
13
19
− 13
8
13
7
− 13
24
13
6
− 13
2
13
7. a. Son linealmente dependientes.


¡
¢
 luego [v]B = − 38 , 16 , − 14 .
1

13 13
13
b. Son linealmente independientes.
c. Son linealmente dependientes.
q

  q
 
5
5
p3

−13


14
2562
  − 183

 
 
 p1   p 67
8. a.  14  ,  12810
 ,  − p23
915

 
 q  
q


19
2

2
p
32 6405
7
915











b. Primero observemos que el conjunto H está formado por los puntos que forman el plano
dado por la ecuación 2x − y − z = 0, luego encontrar 2 vectores linealmente independientes y
finalmente realizar el proceso de ortonormalización.
Sección 4.5
1. a. Si es transformación.
b. No es transformación, fallan ambas propiedades.
c. No es transformación, falla la suma en la primera coordenada.
d. Si es transformación.
e. Si es transformación.
f. Si es transformación.
g. No es transformación, falla la suma de transformaciones en la tercera coordenada.
     
 
   
1
−1
3
−1
2
1
     
 
   
2. T −2 = −7. Escribir −2 como combinación lineal de 0, 1 y −1 y aplicar la
1
3
7
3
0
1
transformación lineal.
 
 
     
2
2
1
2
0
35 2
  41 121
 
     
3. T −3 =
+
x − x . Escribir −3 como combinación lineal de 1, 0 y 4 y
2
2
2
1
1
0
5
1
aplicar la transformación lineal.
4. a = 0. Si aplicamos la transformación al vector cero se debe cumplir que T (0 + 0i ) = 0.
5. a. El núcleo está generado por el vector (0, y), la imagen se representa por vectores de la
forma (x, 0).
b. El núcleo está generado por el vector (x, −x), la imagen es todo R.
129
Respuestas de la sección 4.5 Álgebra lineal.
c. El núcleo está generado por el vector (x, − 23 x), la imagen es todo R.
d. El núcleo contiene únicamente a el vector (0, 0), la imagen es R6 .
Ã
!
0 0
e. El núcleo es la matriz
, la imagen es R2 .
0 0
f. El núcleo es la función f (x) = 0, la imagen consta de todas las funciones que tienen antiderivada.
7. NuT = {0 + 0i } y por lo tanto d i m(NuT ) = 0, i mT = {(1, 0), (0, i )}. Ver que cumple las
dos condiciones de transformación lineal, luego recordemos que el núcleo está definido como {(x, y) ∈ C : x − yi = 0 + 0i } y esto solo es posible si x = 0, y = 0, por la proposición 4.5
d i m(i mT ) = 2 es decir todo C.
Ã
!
1 −2
8. a. A T =
.
−1 1
Ã
!
1 −1 1
b. A T =
.
−2 2 −2


1 −1 2


c. A T =  3
1 4 .
−3 6 3


1 0 0
1 1 0


d. A T = 

0 1 1
0 0 1
9. a.
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-1
1
2
3
4
5
6
-1
b.
-6
-4
-2
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
2
-1
-2
-6
-4
-2
2
-1
-2
Respuestas de la sección 4.5
6. T (2i − 3 j ) = (5, 0, −1), d i m(NuT ) = 0 y d i m(i mT ) = 2. Para obtener la dimensión del núcleo se toma un vector arbitrario (a, b) y se escribe como combinación lineal de la base, luego
se aplica la transformación lineal y se iguala a cero, para la dimensión de la imagen usamos la
proposición 4.5.
130
Respuestas de la sección 4.5 Álgebra lineal.
c.
-2
2
2
1
1
-1
1
-2
2
-1
1
-1
-1
-2
-2
2
10. Se debe realizar los siguientes pasos:
1. Una expansión de 2 unidades sobre el eje X .
2. Una compresión a la mitad sobre el eje Y ,
3. Trasladar la elipse hacia el punto (2, 3).
11. Primero se busca el punto de intersección de la recta con el eje Y que es (0, 1) y el ángulo
de inclinación de la recta θ = 63.430 , luego se debe realizar los siguientes pasos:
1. Trasladar (0, 1) al origen.
2. Rotar −63.43 grados de manera que la recta se alinee con el eje X .
3. Efectuar una reflexión de espejo con respecto al eje X .
4. Girar de nuevo 63.43 grados.
5. Trasladar el origen de nuevo al punto (0, 1).


−0.599862 0.800104 −0.800104


Finalmente la matriz de reflexión quedará como  0.800104 0.599862 0.400138  y apli0.
0.
1.
cándola al vector (2, 1) se obtiene el punto (−1.199, 2.60).
12. Realizando los pasos del ejercicio anterior tenemos;
a) Las coordenadas nuevas son A ′ (−1, 4), B ′ (0, 6), C ′ (1, 4), D ′ (0, 2).
b) A ′ (5, 0), B ′ (4, −2), C ′ (3, 0), D ′ (4, 2). En este caso no es necesario rotar pues se puede hacer
una reflexión sobre el eje Y .
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Bibliografía
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