Introducción:
Actualmente nos encontramos en el auge de la tecnología y de la
automatización y para ello hacemos uso de máquinas usando circuitos
electrónicos los cuales nos han permitido crecer como especie; estos circuitos
en su estado más básico contienen dentro de sí diferentes elementos como
fuentes de tensión, resistencias, inductores y los capacitores; asimismo cada uno
de estos elementos posee una fórmula basada en ecuaciones diferenciales o
integrales.
Como sabemos el uso tanto de integrales o derivadas es de gran
importancia en la matemática, pueden llegar a ser muy trabajosas,
especialmente cuando contamos con muchos elementos electrónicos en un
circuito. Si bien podríamos utilizar distintos métodos para hallar estas
ecuaciones, hay una herramienta muy poderosa creada por el astrónomo, físico
y matemático Pierre Simon Laplace.
Es a partir de esto que llegamos al tema del que hablaremos, las
transformadas de Laplace, herramienta la cual nos ayudaran en el análisis de
ecuaciones que contengan integrales o derivadas como pueden ser los circuitos
eléctricos que se mencionaron anteriormente. Charles y Matthew (2013)
mencionan que “la aplicación de la transformada de Laplace nos da la posibilidad
de convertir las ecuaciones diferenciales en algebraicas y al mismo tiempo dar
la respuesta total del circuito” (p.582)
Es por ello que como grupo nos hemos planteado como objetivo
demostrar que la transformada de Laplace es una herramienta eficaz para dar
solución a las ecuaciones diferenciales de un circuito que contengan elementos
diferenciales.
Objetivo:
Utilizar la transformada de Laplace para dar solución a un circuito RC con
ecuaciones diferenciales, comparando los resultados con un software con el fin
de analizar los resultados y mostrar la eficacia de la aplicación de la transformada
en casos prácticos.
Formulas
1. Transformada de Laplace: La transformada de Laplace es una
herramienta que permite transformar los problemas de circuito LRC, donde
en estos se encuentran circuitos constantes y ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes constantes, a problemas algebraicos para mayor
“facilidad” o a priori de resolver, ya que este permite calcular a partir de la
solución del problema algebraico la solución del problema de ecuaciones
diferenciales.
La primera forma de la derivada de Laplace fue de:
+∞
F(z)=∫−∞ 𝒆−𝒔𝒕 f(t)
En 1782 fue utilizada por Pierre-Simón Laplace y lo formalizo gracias a
Thomas Bromwich utilizando las funciones de variable compleja y la
transformada de Laplace en cálculos operacionales inventado por Oliver
Heavisde para la resolución de circuitos electrónicos.
Teniendo una Inductancia L, una resistencia R y un condensador C, se
tiene que la carga q(t) que circula por el circuito está dada por:
Lq”(t)+Rq´(t)+q(t)/C=V(t)
2. Circuitos RC: Un circuito RC es un circuito electrónico compuesto por
resistencia y condensador. Los circuitos RC suelen usarse para filtrar una
señal alterna, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras, las
características de los circuitos RC está la de ser sistemas lineales e
invariantes en el tiempo. Durante la carga de un condensador, tenemos que
usar la regla de Kirchhoff, el resultado de la ecuación seria de E-Vr-Vc=0.
La capacitancia se define como C=q/V, por lo que el voltaje a través del
condensador es Vc=q/c. Con la ley Ohm se muestra una caída de potencia
a través del resistor es Vr=IR y la corriente se define como I=dq/dt. La
ecuación diferencial se puede integrar para hallar una ecuación para la
carga del condensador en función al tiempo es de:
𝜀−𝑅
𝑑𝑞 𝑞
− = 0,
𝑑𝑡 𝐶
𝑑𝑞 𝑒𝐶 − 𝑞
=
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑞
𝑑𝑞
1 𝑡
∫
=
∫ 𝑑𝑡
𝑅𝐶 0
0 𝜀𝐶 − 𝑞
Proteus
Proteus Design Suite es un programa de diseño y ejecución de circuitos y
equipos electrónicos en todas sus etapas, como simulación de señales, diseño
de PCB’s con diversas herramientas que posee, asimismo podremos simular
circuitos ya sean en corriente alterna o continua a nuestra necesidad, de este
mismo modo nos permite fallar y arreglar errores sin necesidades de costos
mayores, también podemos hacer uso de gran parte de la familia de
microprocesadores y sus procesos de programación sin tener una alta inversión
en software.
Capacitadores
Los capacitadores permiten el almacenamiento de energía a través del campo
magnético que este mismo genera, los capacitadores electrolíticos no
polarizados, se utilizan en corriente directa donde siempre se tiene un polo
negativo y uno positivo. Estos capacitores tienen una vida útil predefinida y aun
que no se utilicen se deterioran con el tiempo. Sus principales usos son para
fuentes de alimentación o filtros. De este mismo modo tenemos los capacitores
cerámicos los cuales no cuentan con una polarización, su principal desventaja
son los cambios de temperatura brusca y de voltaje.
Generador de corriente Alterna
La principal característica es la oscilación sinusoidal que esta genera en la cual
se transmite de manera más eficiente la energía, su aplicación esta en todo los
lugares al llegar a hogares y empresas, asimismo las señales de radio y audio
son ligeras variaciones de corriente alterna.
Osciloscopio
Un osciloscopio nos permite la visualización grafica de señales sinusoidales,
triangulares entre otras, este seria su principal uso.
Octave online
Octave es un lenguaje de interpretado principalmente usado en cálculos
números. Este programa tiene un uso muy similar al Matlab, ya que nos permite
hallar soluciones numéricas de problemas lineales y no lineales, asimismo
podremos graficar la ecuación correspondiente al problema, es un programa con
diversas funciones entre las que destacan su intérprete de su propio lenguaje de
programación el cual permite una ejecución correcta, del mismo modo el
lenguaje se manejara como una consola Shell, esto permite un uso ordenado de
las acciones enviadas, debido a esto aplicaremos este programa en nuestros
cálculos del circuito para la interpretación de los valores.
Ecuaciones a utilizar:
Vr + Vc = Vt
Vr = R i(t)
Vc = 𝐶 ∫0 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
1
𝑡
Donde:
Vt: Voltaje de entrada (V)
Vr: Voltaje de la resistencia (V)
Vc: Voltaje del capacitor (V)
i(t): Corriente en el tiempo (A)
R: Valor de la resistencia (kΩ)
C: Valor de la capacitancia (µF)
Resolución:
Aplicando Kirchhoff:
Vr + Vc = Vt … (1)
Ecuaciones de voltaje:
i(t) +
Aplicando Laplace:
L{ R i(t) +
𝑡
1
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 = Vt
𝐶 0
1 𝑡
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡}
𝐶 0
1 𝐼(𝑠)
R I(s) + 𝐶
𝑆
=
𝑉𝑡
𝑆
1 𝐼(𝑠)
CS x (R I(s) + 𝐶
𝑆
I(s) (RCS + 1) = CVt
1/𝑅𝐶
I(s) = 𝑅𝐶𝑆+1 x 1/𝑅𝐶
𝑉𝑡/𝑅
I(s) = 𝑆+1/𝑅𝐶
Transformada inversa:
i(t) =
Reemplazando datos:
i(t)=
𝑉𝑡
𝑅
12
𝑅
1
𝑒 −𝑅𝐶𝑡
1
𝑒 −0.2𝑡
Ri(t) = 12 𝑒 −5𝑡
Voltaje de la resistencia
Vr = 12 𝑒 −5𝑡 … (2)
Reemplazando (2) en (1): 12 𝑒 −5𝑡 + Vc = 12
Vc = 12 - 12 𝑒 −5𝑡
𝑉
= 𝑆)
RCS I(s) + I(s) = CVt
𝐶𝑉𝑡
= L{Vt }
Vc = 12 (1 - 𝑒 −5𝑡 )
Respuesta:
Luego de la resolución, podemos afirmar que el voltaje del capacitor (V o) está
dado por la respuesta que obtuvimos para Vc.
Tabla de Resultados:
Vo = 12 (1 - 𝑒 −5𝑡 )
Tiempo (s)
Voltaje (v)
0.2
7.58
0.4
10.37
0.6
11.40
0.8
11.78
1.0
11.91
1.2
11.97
1.4
11.99
Tabla 1: Fuente, elaboración propia
Grafica:
Grafico 1: Fuente, elaboración propia
Grafica 2.
Valores teoricos
Grafica 3. resultados
Grafica 4. Simulación del circuito en proteus
Grafica 5. Señales observadas en el osciloscopio
Grafica 6. Resultados simulados en tinkercad
Grafica 7. Simulación senoidal en tinkercad
Grafica 8. Simulación en proteus, voltaje en la resistencia
Grafica 8. Simulación en proteus, voltaje en el capacitor
Grafica 10. Simulación en Matlab online
Bibliografía:
Charles A. y Matthew S. (2013). Fundamento de circuitos eléctricos. 5ta edición.
MCGRAW-HILL
/
INTERAMERICANA
DE
MEXICO,
https://tubiblioteca.utp.edu.pe/cgi-bin/koha/opacdetail.pl?biblionumber=21259&shelfbrowse_itemnumber=68529#holdings
Cánovas J. (2008) Transformadas de Laplace y sus aplicaciones a las
ecuaciones diferenciales
MATLAB Login. (s/f). Mathworks.com. Recuperado el 10 de julio de 2023, de
https://matlab.mathworks.com/