ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA Ecuación de la circunferencia: Al igual que la línea recta tiene una canónica y una general. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Ecuación de la circunferencia: Dada una circunferencia con centro 𝐶(ℎ, 𝑘) y radio r y cuyos puntos equidistan del punto 𝑃(𝑥, 𝑦)tal como se muestra en la gráfica. Su ecuación canónica viene dada por la expresión (𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐 Y su ecuación general viene dada por la expresión 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 Ella cumple las siguientes condiciones: Las dos variables (𝑥, 𝑦) deben estar elevadas al cuadrado y poseen el mismo coeficiente numérico y el mismo signo. El radio siempre es positivo. Todas las circunferencias son siempre relaciones cuadráticas, nunca funciones. La expresión 𝐷2 + 𝐸 2 − 4𝐹 > 0 En este tema solo se trabajan dos tipos de situaciones: Dado el centro 𝑪(𝒉, 𝒌) y el radio 𝒓 se debe encontrar la ecuación canónica y la ecuación general. Dada la ecuación general, se debe hallar la canónica, el centro y el radio. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar la ecuación canónica y la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es 𝐶(2,6) y con radio 𝑟 = 4. Solución: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 ; 𝐶 (2,6) → ℎ = 2 𝑦 𝑘 = 6 . 𝑟 = 4 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 6)2 = 42 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 − 12𝑦 + 36 = 16 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 12𝑦 + 4 + 36 − 16 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 12𝑦 + 24 = 0 2. Hallar la ecuación canónica y la ecuación general de la circunferencia cuyo centro y radio se muestran en la figura Solución: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 ; 𝐶 (−1,3) → ℎ = −1 𝑦 𝑘 = 3 . 𝑟 = 3 (𝑥 − (−1))2 + (𝑦 − 3)2 = 32 (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 32 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 9 = 9 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 1 + 9 − 9 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0 3. Dada la ecuación general de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 12𝑦 + 24 = 0, hallar la ecuación canónica y luego encuentre el centro y el radio. Solución: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 12𝑦 + 24 = 0 4 12 (𝑥 2 − 4𝑥) + (𝑦 2 − 12𝑦) + 24 = 0 (Completando cuadrado (2)2 = 4 𝑦 ( 2 )2 = 36) (𝑥 2 − 4𝑥 + 4) + (𝑦 2 − 12𝑦 + 36) + 24 − 4 − 36 = 0 (Factorizando T.C.P y red.) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 6)2 − 16 = 0 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 6)2 = 16 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 6)2 = 42 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 𝑪(𝟐, 𝟔) 𝒚 𝒓 = 𝟒 4. Dada la ecuación general de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0 hallar la ecuación canónica y luego encuentre el centro y el radio. Solución: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0 2 6 (𝑥 2 + 2𝑥) + (𝑦 2 − 6𝑦) + 1 = 0 (Completando cuadrado (2)2 = 1 𝑦 (2)2 = 9) (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + (𝑦 2 − 6𝑦 + 9) + 1 − 1 − 9 = 0 (Factorizando T.C.P y red.) (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 − 9 = 0 (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 9 (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 32 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 𝑪(−𝟏, 𝟑) 𝒚 𝒓 = 𝟑 5. Dada la ecuación general de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 hallar la ecuación canónica y luego encuentre el centro y el radio. Solución: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 2 4 (𝑥 2 + 2𝑥 ) + (𝑦 2 + 4𝑦) + 1 = 0 (Completando cuadrado ( )2 = 1 𝑦 ( )2 = 4) 2 2 (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + (𝑦 2 + 4𝑦 + 4) + 1 − 1 − 4 = 0 (Factorizando T.C.P y red.) (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 2)2 − 4 = 0 (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 4 (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 22 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 𝑪(−𝟏, −𝟐) 𝒚 𝒓 = 𝟐