17/6/2020 Regla de L'Hôpital Regla de L'Hôpital Regla de L'Hôpital Una de las indeterminaciones con las que nos encontramos cuando queremos calcular límites son las del tipo " ". Hasta ahora vimos algunas técnicas para salvarlas, pero hay un resultado que nos permite calcular muchos más límites de este tipo: Este resultado puede demostrarse, pero no lo haremos en este curso. Veamos cómo funciona en un ejemplo: Ejemplo 1. Calcular . Si llamamos dos funciones en y , tenemos que , resulta que y y son funciones derivables en todo . Si evaluamos las . Es decir, estamos en una indeterminación del tipo " ". Hasta ahora tenemos que las primeras hipótesis de la regla de L'Hôpital se cumplen: dos funciones derivables en un intervalo que contiene al y ambas valen en . Calculemos entonces y . Esta última derivada nunca vale . Entonces, si podemos calcular , éste será el valor del límite que nos piden calcular: y por lo tanto Algunas observaciones: Las funciones con las que trabajamos en este curso son derivables salvo en finitos puntos de su dominio y sus derivadas tienen finitos valores donde valen cero. Esto hace que, para estas funciones, no sea necesario chequear si las funciones que aparecen son derivables ni la condición en la regla que pide que en . En general, para escribir menos, podemos resolver el ejemplo anterior de la siguiente manera: Primero evaluamos numerador y denominador en para ver si podemos calcular el límite directamente o estamos en presencia de una indeterminación: Como es una indeterminación del tipo , podemos intentar aplicar la regla de L'Hôpital por lo que derivamos numerador y denominador: www.recorridos.mate.cbc.uba.ar/mod/wiki/prettyview.php?pageid=103 1/5 17/6/2020 Regla de L'Hôpital Ahora, vemos si podemos calcular este nuevo límite: Hay que verificar siempre si estamos en presencia de una indeterminación antes de aplicar la regla de L'Hôpital; si no hay indeterminación, la regla de L'Hôpital no puede aplicarse. Por ejemplo, Sin embargo, si derivamos numerador y denominador, el límite da . La diferencia en los resultados se da porque no podemos aplicar la regla de L'Hôpital, ya que no estamos en presencia de una indeterminación. Ejemplo 2. Calcular . Siguiendo los pasos anteriores, tenemos que Luego, En el siguiente ejemplo, vemos cómo podemos resolver el límite planteado aplicando la regla de L'Hôpital más de una vez: Ejemplo 3. Calcular . Como antes, verificamos si hay indeterminación y, en caso afirmativo, intentamos aplicar la regla: Al llegar a esta instancia, volvemos a tener una indeterminación del tipo " ". Podemos intentar aplicar la regla nuevamente: www.recorridos.mate.cbc.uba.ar/mod/wiki/prettyview.php?pageid=103 2/5 17/6/2020 Regla de L'Hôpital Por lo tanto, Variantes: La regla de L'Hôpital también puede aplicarse para calcular límites cuando indeterminaciones del tipo " y también permite salvar ". Ejemplo 4. Calcular . Siguiendo los pasos anteriores, tenemos que: Luego, A veces, operando, podemos "forzar" una división en una indeterminación para poder usar la regla de L'Hôpital: Ejemplo 5. Calcular . Primero notemos que es una indeterminación del tipo " ". Veamos si reescribiendo la función como un cociente podemos usar la regla de L'Hôpital: Luego, Ejemplo 6. Calcular En este caso, . es una indeterminación del tipo " ". Si aplicamos logaritmo y usamos la propiedad que nos deja sacar el exponente multiplicando afuera del logaritmo, tenemos que . Calculamos el límite de esta función: www.recorridos.mate.cbc.uba.ar/mod/wiki/prettyview.php?pageid=103 3/5 17/6/2020 Regla de L'Hôpital Por lo tanto, podemos calcular el límite pedido de la siguiente manera: con lo que resulta que Observación: Como la regla de L'Hôpital nos permite calcular límites, puede ser aplicada para calcular asíntotas, decidir si una función es continua en un punto o calcular (si existe) la derivada de una función partida en un punto. Ejemplo 7. Hallar todas las asíntotas verticales y horizontales de la función Recordemos que, para calcular las asíntotas horizontales, hay que calcular los límites en . y en . (notar que, como no hay indeterminación, el límite sale sin usar la regla de L'Hôpital). Por lo anterior, tenemos que horizontal por derecha (o sea, en es una asíntota horizontal por izquierda (o sea, en ). ) y que no tiene asíntota Las asíntotas verticales pueden hallarse en los puntos donde la función no está definida o donde no es continua. En este caso, , ya que en y en se anula el denominador, y en todos los valores del dominio resulta continua. Para decidir si hay asíntotas verticales, hay que calcular los límites en estos puntos: y por lo tanto, y por lo tanto, no es asíntota vertical; por otro lado, es asíntota vertical. En resumen, www.recorridos.mate.cbc.uba.ar/mod/wiki/prettyview.php?pageid=103 4/5 17/6/2020 Regla de L'Hôpital Ejemplo 8. Hallar para que la función Recordemos que para que La función Debe existir sea continua en sea continua en . deben cumplirse tres condiciones: debe estar definida en : en este caso esto sucede, ya que . : El límite y el valor de la función en deben coincidir: Por lo tanto www.recorridos.mate.cbc.uba.ar/mod/wiki/prettyview.php?pageid=103 5/5