Departamento de Ciencias Exactas Matemática Funciones y procesos infinitos NIVEL: 4o medio. PROF: J. L. Pérez Z. Guı́a Semana 9: Principio de Inducción Matemática I. CONTENIDO: Principio ducción matemática. ALUMN@: de in- APRENDIZAJES ESPERADOS: Demostrar propiedades APRENDIZAJES y proposiciones lógicas a partir del Principio de Inducción mostrar el teorema de inducción y aplicarlo en la de- Matemática. mostración de diversas proposiciones lógicas. o CURSO: 4 ESPECÍFICOS: Definir y de- TIEMPO DE ESTUDIO Y DESARROLLO DE LA GUÍA: 22/06 a 26/06 Instrucciones generales: • En la siguiente guı́a se presentan ejercicios propuestos que trabajará durante esta semana. • De dicha guı́a, debe estudiar y desarrollarla en su cuaderno (NO enviar desarrollo al correo del profesor del electivo). Solo debe enviar consultas sobre el contenido expuesto en la guı́a , o bien, de los ejercicios planteados como parte de su trabajo personal. • Las dudas que surjan, puede consultarlas por medio del correo oficial del curso, al profesor José Luis Pérez ([email protected]). • El tiempo que debe destinar para el estudio y desarrollo de esta guı́a será desde el 22 de junio hasta el 26 de junio de 2020. • La retroalimentación de la guı́a se enviará al correo oficial de cada curso el 26 de junio de 2020 y será subida a la plataforma el mismo dı́a. • Cuando se retorne a clases presenciales, el profesor revisará su cuaderno, con todos los desarrollos, con el fin de evaluar proceso con una nota acumulativa. El método de Inducción. La Matemática usa el término inducción o recurrencia para referirse al método especı́fico de demostración de propiedades de los números naturales que describimos a continuación. Este método es, por supuesto, otra cosa que el método inductivo de las ciencias experimentales. Noción de recurrencia La idea tras la inducción es, en definitiva, bastante simple y se puede analizar a partir de una ejemplo. Probablemente haya visto en televisión un señor muy ocioso que dispuso una larga sucesión de fichas de dominó de distintos colores en un galpón, hasta el punto de ocupar varios niveles, y que, mirados desde arriba formaban una escena con diversas figuras. Un dı́a ese señor invitó a una empresa de televisión, empujó la primera ficha, y la televisión filmó algunos minutos mientras caı́an, una tras otra, todas las fichas. Es claro que la caı́da de todas las fichas depende de dos condiciones: 1. Una consiste en que las fichas estén bien dispuestas, en el sentido de que estén situadas de manera tal de que la caı́da de una arrastre a la siguiente - con solo un par de fichas de la sucesión que quedara muy separado, el proceso se detendrı́a. 2. La otra condición es precisamente es que caiga la primera dicha (lo que ese señor consiguió empujándola). Imagine ahora que se tiene una fila india de fichas de dominó en buena posición, es decir, tales que la caı́da de una arrastre a la siguiente. Suponga que la fila tiene 2.000 fichas, ó 300.000.000, o mejor, 22120 , y se empuja la primera... ¿se caerán todas? ¿No es verdad que si hay n fichas (con n absolutamente cualquiera), se caerán todas? “El trabajo tesonero todo lo vence” 1 Departamento de Ciencias Exactas Matemática Funciones y procesos infinitos NIVEL: 4o medio. PROF: J. L. Pérez Z. Ahora bien, la sorprendente conclusión es, en apariencia, que si la fila de fichas de dominó es infinita, ¡se caerán todas!. Note que no estamos hablando de si algún dı́a terminarán de caer, sino que, cualquiera que sea el número n, el dominó que está en ese lugar se va a caer. Puede que esa conclusión resulte un poco chocante. Pero fı́jese que la negación de esa conclusión es, en realidad, más difı́cil de digerir: si anotamos que se caen todos, de manera apropiada la situación es más clara: ∀n ∈ N(p(n)) donde, recuerde que esto se trata de una proposición cuantificada y que en este caso, ese para todo ∀, expresa que TODOS los naturales n verifican la proposición p(n) (que en este caso serı́a que se cae la ficha). Como sabe, su negación es ∀n ∈ N(p(n)) ⇐⇒ ∃n ∈ N(p(n)) En otras palabras, quien afirma que no es cierto que todas las fichas caerán, deberı́a encontrar una que no caiga. Podemos tomar la situación anterior y la vista en la guı́a pasada (esa que hablaba de transmitir un mensaje en una fila) y replicarlo matemáticamente como un proceso estándar de demostración de diversas proposiciones que involucran números naturales. A este proceso, se le denomina Principio de Inducción Matemática. Principio de Inducción Matemática Vamos a formalizar mediante un teorema, el principio que nos permitirá demostrar un sinnúnmero de propiedades y proposiciones lógicas. Teorema: Sea p(n) una función proposicional en la letra n, y supongamos que se cumple: 1. p(1), que llamaremos caso base. 2. ∀n ∈ N(p(n) ⇒ p(n + 1)), que llamaremos paso inductivo. Entonces se tiene ∀n ∈ N(p(n)). Demostración: Para demostrar el teorema anterior vamos a utilizar una propiedad vista el año pasado en la asignatura. Recordemos que si tenemos dos conjuntos A y B, entonces tenemos (A = B) ⇐⇒ ((A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)) Por lo tanto, para demostrar el teorema vamos a definir el siguiente conjunto: M = {n ∈ N : p(n)} que corresponderá al conjunto de números naturales para los cuales se cumple p(n). Nuestro objetivo es probar que este conjunto es igual a N, lo que quiere decir que todos los naturales verifican p(n). “El trabajo tesonero todo lo vence” Departamento de Ciencias Exactas Matemática Funciones y procesos infinitos NIVEL: 4o medio. PROF: J. L. Pérez Z. Primero, es claro que M ⊆ N, puesto que M lo definimos como un conjunto que números naturales que verifican algo. Por otro lado, como tenemos en la hipótesis del teorema, que se verifican tanto el caso base como el paso inductivo, entonces: 1. Como se cumple p(1) (el caso base), entonces 1 ∈ M . 2. Como se cumple ∀n ∈ N(p(n) ⇒ p(n + 1)) (el paso inductivo), entonces la proposición cuantificada es verdadera para todo n ∈ N, y esto quiere decir que si se tiene p(n), entonces también se verifica p(n + 1). Esto lo podemos traducir como sigue. Dado n ∈ N arbitrario, cada vez que n ∈ M , entonces (n + 1) ∈ M . De acuerdo a los dos puntos anteriores, podemos decir que M es un conjunto inductivo, según la definición vista en la guı́a de la semana anterior. Esto es M ∈ I. Y según vimos, cualquier conjunto inductivo debe contener a los números naturales dentro, esto es, N ⊆ M . Con todo lo anterior podemos decir ((N ⊆ M ) ∧ (M ⊆ N)) ⇐⇒ (M = N) Lo anterior lo podemos traducir como sigue: el conjunto de todos los números que verifican p(n) es N, por lo tanto, es verdadero que ∀n ∈ N(p(n)) Lo que concluye la demostración. Observaciones generales: 1. Según el teorema, si queremos establecer que una propiedad es verdadera para todos los números naturales, basta: • primero, demostrarla para el número 1. • y luego, suponer que vale para un número natural n arbitrario y demostrarla para el (n + 1). 2. Por supuesto, si n ∈ N y p(n) es falsa, entonces (p(n) ⇒ p(n + 1)) es siempre verdadera (por la tabla de valores de una implicancia lógica), pues el antecedente es falso. Ası́, cuando se prueba ∀n ∈ N(p(n) ⇒ p(n + 1)), se asume que p(n) es verdadera y se procede a probar que p(n + 1) es verdadera; en tal contexto, se dice que p(n) es la hipótesis de inducción (H.I.) y que p(n + 1) es la tesis de inducción (T.I.). Ejemplos de aplicación Vamos a establecer “una receta” con los pasos para que una demostración esté fundamentada en base al teorema de inducción. Para ello ilustraremos el proceso en un par de ejemplos sumamente básicos. Ej 1. Un ejemplo tradicional consiste en probar que la suma de los primeros n números naturales . Que es algo que ya se ha estudiado, sin embargo no lo hemos demostrado, para es n(n+1) 2 garantizar la validez de la propiedad, ahora desde un punto de vista lógico. En este caso, nuestra función proposicional p(n) es 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n X i=1 i= n(n + 1) 2 Utilizaremos la notación de sumatoria para compactar la propiedad, claramente. Ası́, “El trabajo tesonero todo lo vence” Departamento de Ciencias Exactas Matemática Funciones y procesos infinitos p(n) : n X i= i=1 NIVEL: 4o medio. PROF: J. L. Pérez Z. n(n + 1) 2 Debemos separar la demostración en dos pasos: el primero es relativamente rápido (el caso base), mientras que el segundo paso (el paso inductivo) es mucho más extenso. Paso 1. Caso base: Verificar la propiedad para n = 1. Esto corresponde a valorizar n = 1 en la proposición que debemos probar y verificar que es una proposición verdadera. Ası́, 1 X 1(1 + 1) p(1) : i= 2 i=1 Como en este caso, se obtiene la valorización p(1) : 1 X i=1 i=1 que es verdadera, finalizamos el paso 1. Paso 2. Paso inductivo: En este paso inductivo debemos hacer cosas; una es definir la hipótesis inductiva (escribir la propiedad en n); luego definir la tesis inductiva (escribir la propiedad en n + 1), esto es, reemplazar n de la hipótesis por n + 1; y finalmente, suponer que la hipótesis es verdadera y, a partir de esto, probar que la tesis también lo es. (H.I.) En este paso escribimos la propiedad tal como viene expresa, en términos de n, y asumiremos que lo que contenga esa propiedad es verdadero. (H.I.) p(n) : n X i= i=1 n(n + 1) ⇐⇒ V 2 (T.I.) En este paso reemplazamos todas las n que contiene la hipótesis anterior por (n+1). Nuestro objetivo es probar la tesis, en este caso, nuestra misión será probar la igualdad (T.I.) p(n + 1) : n+1 X i= i=1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)((n + 1) + 1) = 2 2 (T.I.⇒ H.I.) En este paso, lo que debemos hacer es intentar probar la veracidad de p(n + 1) (de la tesis) usando que la hipótesis es cierta. Para ello tomaremos un lado de la igualdad dada en la tesis, y llegaremos al otro lado, para demostrar la igualdad planteada en (T.I.). Tomemos el lado izquierdo de la tesis, e intentemos llegar al lado derecho. Partimos de n+1 X i i=1 Ahora, podemos emplear la definición de sumatoria para descomponer como sigue n+1 X i=1 i= n X i + (n + 1) i=1 Note que el último término es la valorización por i = n+1 dentro del argumento de la sumatoria. Al descomponer la primera sumatoria es reemplazable, por hipótesis, de esta manera tenemos: n+1 X i=1 i= n X i=1 i + (n + 1) = n(n + 1) + (n + 1) 2 “El trabajo tesonero todo lo vence” Departamento de Ciencias Exactas Matemática Funciones y procesos infinitos NIVEL: 4o medio. PROF: J. L. Pérez Z. Desarrollamos la suma de fracciones para obtener n+1 X i=1 hn i (n + 1)(n + 2) n(n + 1) i= + (n + 1) = (n + 1) +1 = 2 2 2 Y ahora, note que hemos llegado al lado derecho de la tesis, por lo tanto, el paso inductivo habrá finalizado. Paso 3. Conclusión: Siempre debemos concluir en virtud del principio de inducción, aquı́ solo establecemos que la propiedad demostrada es efectivamente verdadera para todos los naturales, una vez que hemos aplicado el teorema (y todos sus pasos intermedios). Ası́, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n X i= i=1 n(n + 1) , 2 para todo n ∈ N Ej 2. Un ejemplo similar. Probemos, por inducción, que la suma de los primeros n naturales impares siempre es n2 . Esto es, 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 Utilizaremos la notación de sumatoria para compactar la propiedad, claramente. Ası́, n X (2i − 1) = n2 p(n) : i=1 Debemos separar la demostración en dos pasos: el primero es relativamente rápido (el caso base), mientras que el segundo paso (el paso inductivo) es mucho más extenso. Paso 1. Caso base: Verificar la propiedad para n = 1. Esto corresponde a valorizar n = 1 en la proposición que debemos probar y verificar que es una proposición verdadera. Ası́, 1 X p(1) : (2i − 1) = 12 i=1 Como en este caso, se obtiene la valorización p(1) : 1 = 1 que es verdadera, pues ambos lados son iguales, finalizamos el paso 1. Paso 2. Paso inductivo: En este paso inductivo debemos hacer cosas; una es definir la hipótesis inductiva (escribir la propiedad en n); luego definir la tesis inductiva (escribir la propiedad en n + 1), esto es, reemplazar n de la hipótesis por n + 1; y finalmente, suponer que la hipótesis es verdadera y, a partir de esto, probar que la tesis también lo es. (H.I.) En este paso escribimos la propiedad tal como viene expresa, en términos de n, y asumiremos que lo que contenga esa propiedad es verdadero. (H.I.) n X p(n) : (2i − 1) = n2 ⇐⇒ V i=1 (T.I.) En este paso reemplazamos todas las n que contiene la hipótesis anterior por (n+1). Nuestro objetivo es probar la tesis, en este caso, nuestra misión será probar la igualdad n+1 X (T.I.) p(n + 1) : (2i − 1) = (n + 1)2 i=1 “El trabajo tesonero todo lo vence” Departamento de Ciencias Exactas Matemática Funciones y procesos infinitos NIVEL: 4o medio. PROF: J. L. Pérez Z. (T.I.⇒ H.I.) En este paso, lo que debemos hacer es intentar probar la veracidad de p(n + 1) (de la tesis) usando que la hipótesis es cierta. Para ello tomaremos un lado de la igualdad dada en la tesis, y llegaremos al otro lado, para demostrar la igualdad planteada en (T.I.). Tomemos el lado izquierdo de la tesis, e intentemos llegar al lado derecho. Partimos de n+1 X (2i − 1) i=1 Ahora, podemos emplear la definición de sumatoria para descomponer como sigue n+1 X n n X X (2i − 1) = (2i − 1) + (2(n + 1) − 1) = (2i − 1) + (2n + 1) i=1 i=1 i=1 Note que el último término es la valorización por i = n+1 dentro del argumento de la sumatoria. Al descomponer la primera sumatoria es reemplazable, por hipótesis, de esta manera tenemos: n+1 n X X (2i − 1) = (2i − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) i=1 i=1 A diferencia del ejercicio anterior, basta con factorizar el lado derecho de la igualdad, para obtener n+1 X (2i − 1) = (n + 1)2 i=1 Y ahora, note que hemos llegado al lado derecho de la tesis, por lo tanto, el paso inductivo habrá finalizado. Paso 3. Conclusión: Siempre debemos concluir en virtud del principio de inducción, aquı́ solo establecemos que la propiedad demostrada es efectivamente verdadera para todos los naturales, una vez que hemos aplicado el teorema (y todos sus pasos intermedios). Ası́, 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n X (2i − 1) = n2 , para todo n ∈ N i=1 Ej 3. Otro ejemplo similar. Probemos, por inducción, que la suma de los cuadrados de los primeros n naturales impares siempre es n2 . Esto es, n(2n − 1)(2n + 1) 3 Utilizaremos la notación de sumatoria para compactar la propiedad, claramente. Ası́, 12 + 32 + 52 + ... + (2n − 1)2 = n X n(2n − 1)(2n + 1) p(n) : (2i − 1)2 = 3 i=1 Debemos separar la demostración en dos pasos: el primero es relativamente rápido (el caso base), mientras que el segundo paso (el paso inductivo) es mucho más extenso. Paso 1. Caso base: Verificar la propiedad para n = 1. Esto corresponde a valorizar n = 1 en la proposición que debemos probar y verificar que es una proposición verdadera. Ası́, 1 X 1 · (2 · 1 − 1)(2 · 1 + 1) p(1) : (2i − 1)2 = 3 i=1 Como en este caso, se obtiene la valorización p(1) : 1 = 1 que es verdadera, pues ambos lados son iguales, finalizamos el paso 1. “El trabajo tesonero todo lo vence” Departamento de Ciencias Exactas Matemática Funciones y procesos infinitos NIVEL: 4o medio. PROF: J. L. Pérez Z. Paso 2. Paso inductivo: En este paso inductivo debemos hacer cosas; una es definir la hipótesis inductiva (escribir la propiedad en n); luego definir la tesis inductiva (escribir la propiedad en n + 1), esto es, reemplazar n de la hipótesis por n + 1; y finalmente, suponer que la hipótesis es verdadera y, a partir de esto, probar que la tesis también lo es. (H.I.) En este paso escribimos la propiedad tal como viene expresa, en términos de n, y asumiremos que lo que contenga esa propiedad es verdadero. (H.I.) p(n) : n X (2i − 1)2 = i=1 n(2n − 1)(2n + 1) ⇐⇒ V 3 (T.I.) En este paso reemplazamos todas las n que contiene la hipótesis anterior por (n+1). Nuestro objetivo es probar la tesis, en este caso, nuestra misión será probar la igualdad (T.I.) n+1 X (n + 1)(2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1) p(n + 1) : (2i − 1)2 = 3 i=1 (n + 1)(2n + 1)(2n + 3) 3 (T.I.⇒ H.I.) En este paso, lo que debemos hacer es intentar probar la veracidad de p(n + 1) (de la tesis) usando que la hipótesis es cierta. Para ello tomaremos un lado de la igualdad dada en la tesis, y llegaremos al otro lado, para demostrar la igualdad planteada en (T.I.). Tomemos el lado izquierdo de la tesis, e intentemos llegar al lado derecho. Partimos de n+1 X (2i − 1)2 = i=1 Ahora, podemos emplear la definición de sumatoria para descomponer como sigue n+1 X (2i − 1)2 = i=1 n X (2i − 1)2 + (2(n + 1) − 1)2 = i=1 n X (2i − 1)2 + (2n + 1)2 i=1 Note que el último término es la valorización por i = n+1 dentro del argumento de la sumatoria. Al descomponer la primera sumatoria es reemplazable, por hipótesis, de esta manera tenemos: n+1 X (2i − 1)2 = i=1 n X (2i − 1)2 + (2n + 1)2 = i=1 n(2n − 1)(2n + 1) + (2n + 1)2 3 Ahora, debemos tomar la última expresión y desarrollarla. Para ello, factorizaremos por (2n + 1) como término común. Ası́, n+1 X n(2n − 1)(2n + 1) n(2n − 1) 2 + (2n + 1) = (2n + 1) + (2n + 1) (2i − 1) = 3 3 i=1 2 Seguimos desarrollando la expresión final, ahora sumando fracciones algebraicas: n+1 X n(2n − 1) n(2n − 1) + 3(2n + 1) + (2n + 1) = (2n + 1) (2i − 1) = (2n + 1) 3 3 i=1 2 2 2n2 − n + 6n + 3 2n + 5n + 3 = (2n + 1) = (2n + 1) 3 3 “El trabajo tesonero todo lo vence” Departamento de Ciencias Exactas Matemática Funciones y procesos infinitos NIVEL: 4o medio. PROF: J. L. Pérez Z. Finalmente, note que 2n2 + 5n + 3 = (2n + 3)(n + 1), de esta forma, al reemplazar esta factorización tenemos n+1 X (n + 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n + 3)(n + 1) 2 = (2i − 1) = (2n + 1) 3 3 i=1 Y ahora, note que hemos llegado al lado derecho de la tesis, por lo tanto, el paso inductivo habrá finalizado. Paso 3. Conclusión: Siempre debemos concluir en virtud del principio de inducción, aquı́ solo establecemos que la propiedad demostrada es efectivamente verdadera para todos los naturales, una vez que hemos aplicado el teorema (y todos sus pasos intermedios). Ası́, 12 + 32 + 52 + ... + (2n − 1)2 = n X i=1 (2i − 1)2 = n(2n − 1)(2n + 1) , 3 para todo n ∈ N A continuación, dejamos un resumen sobre los pasos para demostrar correcta y completamente una proposición lógica, mediante el Principio de Inducción Matemática. “El trabajo tesonero todo lo vence” Departamento de Ciencias Exactas Matemática Funciones y procesos infinitos NIVEL: 4o medio. PROF: J. L. Pérez Z. Ejercicios propuestos Demostrar las siguientes propiedades de los números naturales, empleando el principio de inducción en su primera forma (el trabajado en esta guı́a, pues pronto veremos un principio de inducción en segunda forma). 1. ∀n ∈ N, 3 + 7 + 11 + ... + (4n − 1) = n X (4i − 1) = n(2n + 1). i=1 2. ∀n ∈ N, 3 + 9 + 15 + ... + (6n − 3) = n X (6i − 3) = 3n2 . i=1 3. ∀n ∈ N, 2 + 7 + 12 + ... + (5n − 3) = n X i=1 4. ∀n ∈ N, n−1 2 + 6 + 18 + ... + 2 · 3 = n X (5i − 3) = n(5n − 1) . 2 2 · 3i−1 = 3n − 1. i=1 Referencias 1. “Elementos de matemáticas 2”, Arturo Mena Lorca, Facultad de ciencias básicas y Matemáticas, PUCV. 2. “Lógica, conjuntos y números”, Carlos Uzcátequi, apunte digital disponible en la web. “El trabajo tesonero todo lo vence”