circuitos-de-corriente-alterna-kerchner-corcoran compress

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Jesús Alberto
Pérez González
CIRCUITOS DE CORRIENTE
i
ALTERNA
A L T E R N A T IN G -C U R R E N T CIRCUITS
Cuarta Edición
Edición
Corregida
y
Aumentada
OTRAS TRADUCCIONES DE C.E.C.S.A.
M.I.T. (Instituto Tecnológico de Massachusetts)
CIRCUITOS ELECTRICOS
Frederick T. Morse
CENTRALES ELECTRICAS
H. H. Skilling
CIRCUITOS EN INGENIERIA ELECTRICA
William Taussig Scott
FISICA DE LA ELECTRICIDAD Y EL MAGNETISMO
Zimmermann 8c Masón
TEORIA DE CIRCUITOS ELECTRONICOS
CIRCUITOS Y SEÑALES ELECTRONICOS
Royce G. Kloeffler
PRINCIPIOS DE ELECTRONICA
ELECTRONICA INDUSTRIAL Y CONTROL
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A
POR
RUSSELL M. KERCHNER
Profesor de Ingeniería Eléctrica,
Colegio del Estado de Kansas
GEORGE F. CORCORAN
Profesor
de. la .Universidad de Maryland
y Director del Departamento de
Ingeniería Eléctrica de la misma.
Edición Corregida y Aumentad:*
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C O M PA Ñ IA E D ITO R IA L C O N T IN E N T A L . S. A., MEXICO
DISTRIBUIDORES:
E SPA Ñ A - A R G E N T IN A - C H ILE - VE N E ZU E LA
CO LO M BIA - PERU
Rolivia Bidsil
Costa Rica
- Dominicana — Ecuador — El Salvador
Estados Unidos — Guatemala —
Honduras — Nicaragua — Panamá
Paraguay
Portugal -- Puerto Rico — Uruguay
T ÍTU LO ORIGINAL EN INGLÉS:
A LTE R N A T IN G -C U R R E N T C IR C U ITS
EDICIÓN AUTORIZADA POR
Jo h n W
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& S o n s , I n c ., N
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Corregida y Aum entada
por el
Prof. GABRIEL AGUIRRF CARRASCO
Catedrático de la Facultad
de In gen iería Q uím ica
de la
Universidad Autónom a de Puebla
Decimasexta impresión:
septiembre de 1981
Derechos Reservados © en Lengua Española-1962, Primera Publicación
COMPAÑIA EDITORIAL CONTINENTAL, S. A.
C a l z . d e T l a l p a n N ú m . 4620, M é x i c o 22, D. F.
MIEMBRO DE LA CAMARA NACIONAL DE LA INDUSTRIA EDITORIAL
Registro Núm. 43
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C a v a n il l e s
A v. C a n n i n g
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. 52, M a d r i d 7, E s p a ñ a
96, 98 y
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M ir a f l o r e s N
V e n -L e e ,
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100, E s q . P a d i l l a ,
A ir e s , A r g e n t in a
. 354, S a n t i a g o
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C h il e , C h il e
C. A., A v . F u e r z a s A r m a d a s , E s q . S a n M i g u e l
E d i f i c i o R o d r i m e r , P i s o 6, C a r a c a s , V e n e z u e l a
Ca lle
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. 2-56, B o g o t á , C o l o m b i a
A v. R e p ú b l i c a
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Pa n a m á N
L a V ic t o r ia - L i m a
IMPRESO EN MEXICO
úm
. 2199,
13, P e r ú
PRINTED IN MEXICO
Qhylogo de la ^Edición en ^Español
La presente obra, sumamente difundida en su original in­
glés, es un texto que ha ganado el rango de clásico en la do­
cencia de la ingeniería eléctrica.
Muchas son sus excelencias, y espigando en ellas ál mó­
dulo de mis predilecciones personales, estimo el aspecto me­
todológico como el nervio de la obra, que incorpora a su sen­
tido y propósito todo el lúcido desarrollo de la materia; esta
primacía de lo didáctico en un libro de texto es, a mi juicio,
su mejor recomendación.
No obstante, es notable el hecho de que el espíritu pe­
dagógico no haya, en manera alguna, mermado la calidad
científica de la obra, que contiene, en profundidad y exten­
sión, todo lo que el ingeniero necesita saber sobre corrien­
tes alternas, y hasta un excelente contenido, en los últimos
seis capítulos, que discrecionalmente puede utilizar el pro­
fesor en todo o en parte.
Otro rasgo importante, por referirse al problema medular
de la enseñanza de la ingeniería eléctrica, es el de la prepa­
ración matemática del alumno. Los autores se mantienen fie­
les a su promesa de exigir del alumno únicamente "cierto co­
nocimiento de la derivación y de la integración", sin que esto
signifique que los temas que lo requieran no sean tratados en
el nivel matemático adecuado. Para el caso, la obra contiene
un capítulo de álgebra vectorial, modelo de lucidez, concisión
y económica aplicación a la materia.
Haciendo de paso referencia a mi modesta labor de tra­
ducción, dado el carácter de la obra, resulta imprescindible
dar primacía a las exigencias científicas sobre las lingüísti­
cas. No se puede, pues, hablar de "casticismo", pero sí se
trató honradamente de evitar, en lo posible, el cúmulo de barbarismos que usualmente contienen estas traducciones, y el
calco de los giros ingleses.
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6
PRÓLOGO DE LA EDICIÓN EN ESPAÑOL
Réstame dar las gracias por su ayuda, que hizo posible
llevar a feliz término mi labor, al Sr. Ing. Francisco J. Linares,
insigne maestro de la Facultad de Ciencias Fisicomatemáti­
cas de la Universidad Autónoma de Puebla, y uno de los
ilustres matemáticos mexicanos de la hora actual.
G. A. C.
Prefacio ele la Cuarta Adición
Se ha encontrado que el método de exposición de los cir­
cuitos de corriente alterna, utilizado en ediciones anteriores,
resulta satisfactorio para presentar por primera vez el tema
a los estudiantes de física e ingeniería eléctrica y, en conse­
cuencia, ha sido conservado en esta edición. En el transcurso
de la obra han sido hechas numerosas adiciones y modifi­
caciones, cada vez que la experiencia ha mostrado la nece­
sidad de la reforma. Se han efectuado los cambios con el
propósito de hacer la obra más inteligible para el estudiante.
Se ha agregado un capítulo inicial, que trata de conceptos
sobre redes eléctricas, a fin de dar al estudiante una visión
más profunda de los métodos generales de análisis de cir­
cuitos. Se tratan las variables de redes, topológicas y dualidad.
Los estudiantes que tengan algún conocimiento de las leyes
de Kirchhoff y cierta experiencia en la solución de circuitos
mediante el empleo de corrientes directas, podrán comenzar
en el Cap. II el estudio de esta edición. Sin embargo, es proba­
ble que muchos estudiantes encuentren que el Cap. I es un
buen repaso y otros hallarán en el mismo una considerable
cantidad de material nuevo y de valor para un estudio más
avanzado de la teoría de las redes eléctricas.
A causa de los grandes avances en electrónica y la con­
secuente necesidad de un mayor conocimiento de la teoría de
circuitos, casi todos los estudiantes complementan su primer
curso sobre teoría de los circuitos de corriente alterna con
un curso intensivo sobre teoría de redes y en muchos casos
con una síntesis de redes. Para cursos de esta naturaleza es
muy deseable cierto conocimiento de la frecuencia compleja
de polos y ceros. Estos temas han sido introducidos en esta
edición, primero en el Cap. V, donde se.trata el análisis esta­
cionario y de nuevo en el Cap. XIV, donde se trata el análisis
transitorio del circuito RLC en serie.
8
P R E F A C I O
DE
LA
C U A R T A
E D I C I O N
A fin de no discrepar la terminología vectorial utilizada
en la teoría electromagnética, se ha adoptado el término fasor,
para designar una cantidad variable en función del' tiempo
y a la cual se aplican métodos vectoriales. En el Cap. IV se
hace el cambio de diagramas vectorial a fasorial aunque, tal
como se usa en este libro, la distinción resulta innecesaria.
Para muchos ingenieros electricistas, un diagrama vectorial
será siempre un diagrama vectorial.
Aunque se ha agregado una considerable cantidad de
material, ha sido conservado el mismo tamaño del libro,
mediante ciertas reducciones y eliminaciones. Al fin de algunos
capítulos se han incluido también algunas nuevas clases de
problemas.
Russell M. Kerchner
George F. Corcoran
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íVrefacío de la Primera ^Edición
Este libro ha sido escrito en forma de texto, para los cur­
sos sobre circuitos de corriente alterna, tal como se imparten,
en la mayoría de las escuelas de ingeniería, a los alumnos
que comienzan el estudio de la ingeniería eléctrica. Se su­
pone que el alumno ha terminado los cursos regulares de
cálculo diferencial e integral o que, cuando menos, tiene cier­
to conocimiento de la derivación y la integración. Se ha he­
cho un intento por arreglar el material en un orden lógico, de
manera que conduzca al estudiante, en forma gradual, de
los más simples, a los más complejos análisis de circuitos de
corriente alterna.
El método de exposición es un resultado de la experien­
cia docente que los autores han tenido en diversas institu­
ciones educativas y, al mismo tiempo, se ha hecho un es­
fuerzo por hacer la edición de una obra de fácil transmisión
en la cátedra. En la ejecución de estos propósitos se ha he­
cho un amplio uso de ejemplos ilustrativos y dibujos lineales.
También se han incluido oscilogramas, que ilustran el tra­
bajo real de los circuitos. A fin de que estos oscilogramas
sirvan de base para estudios ulteriores, se han acompañado
de extensas explicaciones.
En muchos lugares del texto, situados inmediatamente
después de la presentación de ciertos principios, se han in­
cluido problemas con sus correspondientes respuestas. La
idea es que estos problemas sirvan como prueba de medi­
ción, para que el estudiante determine por sí mismo si tiene
un conocimiento operante de los principios involucrados. El
orden de sucesión de los problemas colocados al fin de los
capítulos, corresponde al orden en que han sido presentados
los temas. Estos problemas constituyen, en consecuencia,
una base adecuada para asignar tareas.
A fin de hacer el libro de mayor utilidad, tanto para el
estudiante como para el ingeniero, se consideró conveniente
incluir un mayor número de temas que los que generalmente
10
PREFACIO DE LA PRIMERA EDICIÓN
se incluyen en un curso escolar, tcd como se imparte actual­
mente, con la única restricción de que los temas excedentes
pudieran ser omitidos, sin pérdida de la continuidad y sin
afectar la preparación del estudiante para el estudio de los
capítulos subsecuentes.
Con excepción de los fundamentos de las componentes si­
métricas —Cap. XIV— , que son necesarios para comprender
el Cap. XV, puede omitirse en parte o íntegramente cual­
quier capítulo posterior al X, sin afectar la preparación del
estudiante para el estudio de los capítulos siguientes. Comen­
zando con el Cap. XI, el resto del texto está, en su mayor parte,
hecho de extensiones y aplicaciones de los principios estudia­
dos en los primeros diez capítulos. En consecuencia, pueden
estudiarse partes seleccionadas, de los últimos seis capítulos,
en cuanto lo permita el tiempo disponible. También se encon­
trará que el Cap. VIII contiene un desarrollo un tanto amplio
de temas que son de interés para el estudiante y deseables
para muchos maestros, pero que pueden ser omitidos, sin afec­
tar la preparación del lector para la comprensión de los ca­
pítulos subsecuentes.
Reconocemos la deuda en que estamos con los autores
que nos han precedido en este campo y con los numerosos
colegas que nos han ayudado y animado a escribir este li­
bro. En particular, deseamos expresar nuestros agradeci­
mientos al Sr. I. L. Potter, por su consejo y ayuda.
R. M. K.
G. F. C.
Manhattan, Kansas.
Iowa, Iowa.
CONTENIDO
Ca p ít u l o
I. Conceptos Sobre R edes...........................
Pá g .
13
II. Corriente, Voltaje y Potencia Instantánea . . . .
63
III. Comente y Voltaje Eficaces. Potencia Media .
111
IV. Algebra Vectorial. (Aplicada al Análisis de Cir­
cuitos de C - A ) ................. ............................
137
V. Análisis de Circuitos Sinusoidales Monofási­
cos ..................................................... ...........
179
VI. Ondas no Sinusoidales..................................
273
VII. Circuitos Acoplados......................................
331
VIII. Circuitos Polifásicos Balanceados.................
391
IX. Circuitos Polifásicos no Balanceados.............
447
X. Cálculo de Líneas de Transmisión...............
487
XI. Filtros de Ondas Eléctricas...........................
517
XII. Componentes Simétricas................................
581
XIII. Cálculos de Cortos Circuitos del Sistema de
Potencia.........................................................
619
XIV. Fenómenos Transitorios ..................... ..........
651
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Capítulo I
Conceptos Sobre íRedes
La mayor parte dé esta obra será dedicada al análisis de
redes energizadas con corrientes o voltajes sinusoidales. Sin
embargo, antes de tratar estas fuentes variables en función
del tiempo, será conveniente repasar algunos conceptos bási­
cos sobre redes eléctricas, conceptos que son igualmente apli­
cables a fuentes variables y no variables en función del tiempo.
—
—
—
O
1
'
n
? '•V
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+
___
e * — r—
—
<b)
o
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‘‘ÍQ r v
*
1
1
1
o
(a)
' >
--------- o
(c)
(d)
Fig. 1. Fuentes de voltaje y comente.
Fuentes. Las fuentes comunes de voltaje no variable en
función del tiempo son baterías y generadores de corriente
directa. Puesto que el lector tiene sin duda un conocimiento
intuitivo de la forma en que se utilizan estas fuentes para
energizar circuitos eléctricos, comenzaremos por las mismas.
En capítulos posteriores se emplearán casi exclusivamente
fuentes que desarrollan voltajes y corrientes variables en fun­
ción del tiempo. Por ahora, solamente se usarán las indicadas
en la Fig. 1 y el símbolo de batería indicará un voltaje no
variable en función del tiempo. A menos que se haga una in­
dicación en contrario, se supone que esta fuente de voltaje
tiene una resistencia interna igual a cero. En los casos en que
sea conveniente simbolizar la pérdida interna de una fuente
de voltaje, se colocará una resistencia en serie con la fuen­
te ideal de voltaje, como se indica en la Fig. Ib.
14
P R I N C I P I O S
DE
C O R R I E N T E
A L T E R N A
Cuando se da una fuente de voltaje mediante el símbolo e „
se entiende que se mantiene una diferencia de potencial de
e» voltios entre (o a través de) las terminales de la fuente ideal,
independientemente de la corriente que pueda pasar a través
de esta fuente. El voltaje terminal neto de una fuente de vol­
taje cuya resistencia interna es Rs# y que está entregando
corriente a una red, es
vt = e, — R,i
(1)
donde i es la corriente que fluye en el sentido de — a + .
Véase la Fig. 2a, donde i = i(.
Una fuente de voltaje funciona de vacío cuando el circuito
está abierto; en ese caso i = 0. En el caso contrario, está
entregando o absorbiendo potencia, con un valor de
Ps = e8i vatios,
(2)
de conformidad con el sentido de i, respecto de la polari­
dad de es. La potencia entregada por una fuente de voltaje
dotada de resistencia interna es
P* = v»i = (e, — R,i)i = e,i — R,i2
(3)
Rji2 es la potencia calórica desarrollada internamente y como
tal es aprovechable para su distribución al resto de la red.
Cuando en la teoría del circuito se da una fuente de co­
rriente mediante el símbolo i» se entiende que la fuente en­
trega esta corriente, cualquiera que sea la resistencia colocada
a través de las terminales de la misma. Carece, por supuesto,
de sentido, pedir que una fuente de corriente dé hacia un
circuito abierto (o de resistencia infinita), puesto que esta
situación da como resultado que se entregue al circuito abierto
una potencia infinita (Ri2). Este caso, sin embargo, ilustra un
importante aspecto de la cuestión: si se da una fuente de
comente de i, amperios, entonces, por definición, es entregado
a la red este número de amperios, cualquiera que sea la
resistencia colocada entre las terminales del generador. (Exis­
te, por supuesto, una contradicción, cuando se colocan en
serie generadores de corriente, con corrientes dadas dife­
rentes).
Una fuente de corriente funciona de vacío cuando está
en corto, como se indica en la. Fig. le. En este caso la poten­
cia entregada es igual a cero, debido a que la corriente
C O N C E P T O S
SOBRE
REDES
15
dada circula a través de una resistencia externa igual a
cero. Cuando aparece a través de las terminales una resis­
tencia finita R, la fuente ideal de corriente entrega
P, = Rij vertios
(4)
Puede simbolizarse una fuente práctica de corriente incorpo­
rando una resistencia interna R¡, a través de las terminales,
como se ilustra en la Fig. Id. En estas condiciones, la corriente
terminal es
donde v t es el voltaje terminal desarrollado cuando la fuente
de corriente está conectada a una carga. Este generador
desarrolla un voltaje terminal de Rgis cuando i( — 0, esto es,
cuando la fuente de corriente está funcionando con el circuito
abierto. Si a través de la fuente de corriente se coloca la resis­
tencia R¿, el voltaje terminal es
D
(6)
Vt = RlÍ* = R ii,---- V {
y la potencia entregada a R¿ es
Rtit = (R iit)i.---- Vtit
(7)
La potencia total generada es (Rtit)i, = v (i„ y de la cual.
- -L vtit = p* vatios de esa potencia son disipados en la
R*
Rs
resistencia interna Rs.
Aunque las fuentes han sido clasificadas como fuentes de
voltaje y fuentes de corriente es evidente que cualquiera
de ellas energiza la red tanto con corriente como con voltaje.
En realidad, ambas fuentes son enteramente intercambiables
cuando está presente una resistencia interna finita. La fuente
de voltaje descrita en la Fig. 2a, por ejemplo, suministra a la
red N,it amperios y v t voltios. La corriente i( puede expresarse
en la forma
e, — vt
R,
(8 )
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P R I N C I P I O S
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C O R R I E N T E
A L T E R N A
de donde
Así, una fem dada es, en serie con una resistencia dada,
se resuelve en una fuente dada de corriente
Las condiciones establecidas por la ecuación (8a) quedan
satisfechas por la configuración del circuito mostrada en la
(a )
Fig. 2. Fuentes equivalentes.
Fig. 2b, donde una fuente de corriente i» entrega i* amperios
a la red, a Vt voltios. Llevando i, a la ecuación (8a) y des­
pejando, se tiene
i» =
*1*
+ i»
(8b)
donde v t/R, es la corriente que se pierde para la red, como
consecuencia de la resistencia interna R, y del voltaje terminal
v«.
La inspección de las ecuaciones (8), (8a) y (8b) muestra
que una fuente de voltaje cuya resistencia interna es de R,
ohmios puede ser reemplazada por una fuente ideal de co­
rriente de es/Rs amperios, en paralelo con un trayecto resis­
tivo de R, ohmios, o que una fuente de corriente i» en paralelo
con Rs puede ser reemplazada por una fuente de voltaje
(e„ = Rsis), en serie con una resistencia de Rs ohmios. El res­
to de la red, esto es, la parte de Ja red situada a la derecha
de las terminales tt' en la Fig. 2 no puede indicar si está
energizada con e„ en -serie con R„ como en la Fig. 2a o con
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SOBRE
REDES
17
i* = e,/R„ en paralelo con R„ como se muestra en la Fig. 2b.
Cuando se da una fuente con resistencia interna se puede
escoger entre usar e* en serie con R» o is en paralelo con R,.
Son posibles otras combinaciones más complicadas de resis­
tencias en serie-paralelo.
®s
V
í—
i
I•
-
!
I----------- (v —es)----------- H
(b)
(a)
Fig. 3. Voltajes de rama, en presencia de fuentes.
Cuando se da una fuente ideal de voltaje e, (con Rs = 0)
esta fuente mantiene un potencial de es voltios entre sus ter­
minales, cualquiera que sea la corriente. Si se coloca e, en
serie con una rama resistiva, el voltaje terminal de la rama
que incluye el conocido es es (v — eg) y se considera como una
caída de voltaje, como se indica en la Fig. 3a. La inclusión de
e¿ no aumenta el número de incógnitas, puesto que se da el
valor de es. Cuando se coloca una fuente ideal de corriente
a través de una rama resistiva, como se ilustra en la Fig. 3b,
puede, o asociarse con R para formar una rama en serie
equivalente a la mostrada en 3a, o dejarse como una corriente
fija o dada entre las dos terminales.
Una fuente ideal de voltaje tiene una resistencia interna
en serie igual a cero. Una fuente ideal de corriente tiene una
resistencia en serie infinita. Esta conclusión puede deducirse
de la definición de fuente ideal de corriente, a saber, una
fuente que entrega is. cualquiera que sea la resistencia finita
de la carga, R¿, que se coloca a través de las terminales de
la fuente. Para satisfacer esta definición, es evidente que el
voltaje interno, digamos e5, así como la resistencia interna en
serie R¡llt deben tender al infinito. Puede establecerse que la
corriente dada es
i =
*
kieS
k 2R ¡n t +
_
kl
k2
al aproximarse al infinito es y R¡nt y quedar finita R¿.
(Q)
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C O R R I E N T E
A L T E R N A
Superposición. Un elemento lineal de circuito es aquél
en que la corriente que pasa por el elemento es directamente
proporcional al voltaje establecido a través de las terminales
del elemento. Las redes lineales constan de elementos lineales
y fuentes de corriente y voltaje fijas (o dadas).
Una razón de los rápidos progresos que se han hecho en
el análisis de redes lineales es que se les puede aplicar el
principio de superposición. Con la ayuda de este principio
puede determinarse la respuesta de voltaje o corriente en
cualquier parte del circuito, resultante de dos o más fuentes,
ya sea:
1) Encontrando la respuesta componente desarrollada por
cada fuente individual; o
2) Sumando (algebraicamente) las respuestas componen­
tes para obtener la respuesta actual.
La verdad del principio de superposición es casi evidente
por sí misma, puesto que los efectos son proporcionales a las
causas en los sistemas lineales, donde se aplica el principio. De
cualquier modo, se dejará al lector la prueba general, una
vez que hayan sido tratados los determinantes y las solucio­
nes generales de la red.
En la Fig. 4 se muestra una aplicación simple de la super­
posición; la corriente en la resistencia R = 2 ohmios se deter­
mina como la suma de la corriente en R debida a e£, a saber,
Iri, y la corriente debida a i„, a saber Iez. Para determinar
Iri (Fig. 4b), is es desenergizada, ya sea abriendo la ra­
ma1 i» (para fines de análisis), o haciendo i„ = 0 y recono­
ciendo que una fuente de corriente posee una resistencia
interna infinita. El valor de la corriente que pasa por la resis­
tencia R, debida a es= 23 voltios, es
e,
23
23
I*i = -----= ---------= ------ amperios
R
1+2
3
Para determinar IR2, la corriente que pasa por R, debida a i,
(Fig. 4c), e,, es reemplazada por un corto circuito, puesto
que una fuente ideal de voltaje tiene una resistencia interna
igual a cero. La aplicación de la Ley de Kirchhoff relativa
al voltaje, a las dos ramas paralelas de la Fig. 4c, muestra
1 Una rama es un trayecto conductor limitado en cada extremo por
un nudo de la red.
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C O N C E P T O S
SOBRE
REDES
19
que
21*2 = K4 - I*2)
o
T _ 4
Ir2 — — amperios
O
La corriente neta en la resistencia R es
23
4
1« = I*i + I«2 = — + —■= 9 amperios
u
O
Fig. 4.
Un ejemplo de superposición: I B =
I ín +
I g2
El principio de superposición se aplicará más tarde al
desarrollo de ciertos métodos generales de análisis, cuando
las respuestas componentes debidas a las variables indepen­
dientes, así como las debidas a las fuentes, se combinan para
establecer ecuaciones generales de equilibrio de la red.
20
P R I N C I P I O S
DE
C O R R I E N T E
A L H E N A
Variables de la Red. En una red que consiste de b ramas
hay, en general, 2b incógnitas: b corrientes de rama descono­
cidas, i&, y b voltajes de rama desconocidos, vj. Sin embargo,
existe una relación directa entre cada corriente de rama y
su correspondiente voltaje. Cuando las ramas son resistivas,
por ejemplo,
v j = R¡,i¡,
o
i6 = GftVj
(10)
donde Rj es la resistencia de la rama y G¡, la conductancia
de la misma.
Después de la aplicación de cualquiera de las relaciones
entre voltios y amperios [dadas en la ecuación (10)] a cada
una de las ramas, quedan solamente b incógnitas. La deter­
minación del valor numérico de estas incógnitas requiere
que se establezcan b ecuaciones independientes. Si la red
tiene un totcd de n« nudos, puede aplicarse independiente­
mente la ley Kirchhoff relativa a la corriente,
(n< -
1) =
n
(1 1 )
veces. Estas n ecuaciones, juntamente con las (b s - n) esta­
blecidas mediante la aplicación de la ley del voltaje, son su­
ficientes para despejar las b incógnitas.
Los métodos sistemáticos de análisis de redes emplean
generalmente combinaciones lineales de corrientes o de vol­
tajes de rama, más bien que las cantidades mismas, porque
así puede formularse el reducido número de ecuaciones, di­
rectamente a partir del mapa de la red. Las variables de la
red que están en una relación lineal con las corrientes y vol­
tajes de ramas se llaman, respectivamente, corrientes de espira2
2
La traducción y correspondiente acepción de términos ingleses bá­
sicos en la teoría del circuito, es como sigue:
loop: lazo o trayectoria cerrada; se define como "trayectoria cerrada
que contiene un solo nudo";
mesh: malla; se define como ''trayectoria cerrada que contiene más
de un nudo".
circuit: circuito, puede comprender varias mallas y lazos;
network: red, puede comprender varios circuitos.
Sin embargo, hemos traducido "loop" como espira, y hacemos la
aclaración de que los autores no le dan el sentido que queda consig­
nado en esta nota, sino que, como se desprende del texto, el "loop" a
que los autores se refieren puede contener más de un nudo.
Por lo demás, como se ve en el Cap. VII, estas imprecisiones de
vocabulario son comunes. (N. del T.).
C O N C E P T O S
SOBRE
21
REDES
y voltajes de un par de nudos, temas que serán apartados en
los dos apartados siguientes.
Comentes de Espira. Una corriente de espira, como su
nombre k) indica, recorre una trayectoria cerrada. General­
mente se escoge la trayectoria cerrada de modo que la co­
rriente de espira correspondiente sea una comente mensu­
rable de la red, esto es, una corriente que pueda ser mectyda
físicamente por medio de un amperímetro. No es, sin embargo,
esencial para el análisis que las comentes de espira sean
corrientes mensurables ni la trayectoria cerrada está necesa­
riamente restringida_a un solo pasaje a través de cual­
quier rama. Las trayectorias cerradas simples son general­
mente más fáciles de manejar y, deben, en consecuencia,
preferirse. El sentido de las comentes ficticias de espira es ar­
bitrario, siempre que se tome en cuenta algebraicamente en
la suma.
En la Fig. 5 se ilustran tres corrientes de éspira, i*, i2 e i3,
juntamente con las seis comentes de rama i&i, i&2, ijs, i»4, i&s
e ib«. La relación lineal puede ser muy fácilmente percibida
en la siguiente forma:
(12)
Cualquier corriente de rama en particular, ij, es la suma al­
gebraica de las corrientes de espira que recorren esta rama.
Así, en la Fig. 5
i&i — ii
lft2 — l l
lj5
I3
líe — I3
— 12
1&3 —
ll
I2
164 — Í2
is
En efecto, las seis corrientes de rama han sido reemplazadas
con tres corrientes de espira, para fines de análisis. Esta re­
ducción en el número de variables es llevada a efecto median­
te las ecuaciones de la ley de la corriente. La manera en que
las corrientes de espira satisfacen automáticamente la igual­
dad 2i = 0 en los nudos, se ilustra a continuación. Tal como
se aplica en la Fig. 5, notamos que
En el nudo 1:
in — i&2 — i&e = ii — (ii — is) — is = 0
En el nudo 2:
i&2 — i&3 ~ ib« = (U ~ Í3) ~ (ú — Í2) ~ (Í2 — is)
(14)
= 0
En el nudo 3: iu — i&s + Ue = (Í2 ~ is) — Í2 + Í3 = 0
(13)
(15)
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22
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DE
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Fig. S. Comentes de espira utilizadas para reemplazar las corrientes
de rama
En una red de cuatro nudos, n* = 4, la ley de la corriente pue­
de aplicarse independientemente sólo tres veces y se ve por
la Ec. (13), juntamente con la (15), que las corrientes de espira
establecen automáticamente tres relaciones independientes en­
tre las comentes de rama.
Después de exponer la topología de las redes resultará
evidente que las corrientes de espira pueden siempre esco­
gerse como corrientes "mensurables". En la Fig. 5, por ejem­
plo, los amperímetros colocados en las posiciones Si, S5 y S<¡
medirán, respectivamente, las corrientes de espira ii, i2 e i3.
Puesto que las ecuaciones relativas a la ley de la corriente
quedan satisfechas con las corrientes de espira, las ecuacio­
nes relativas a la ley del voltaje (2 v = 0), deben aplicarse
(b — n* + 1) veces. Obviamente, estas (b — n* + h) = (b — n)
ecuaciones de voltaje, deben expresar relaciones independien­
tes. Un método de establecer ecuaciones independientes de
voltaje es imaginar que se abren todas las espiras, menos
una, y establecer a continuación la ley del voltaje para esta
espira en particular, invocando el principio de superposición,
con las corrientes de espira consideradas como voriables in­
dependientes. En otras palabras, la suma de las caídas de
voltaje alrededor de cualquier espira se obtendrá empleando,
sucesivamente, sólo una corriente de espira y a continuación
se sumarán todas estas caídas de voltaje, igualando la suma
con cero, de conformidad con la ley de Kirchhoff relativa al
voltaje. Tal como se aplica a la espira recorrida por ii de la
C O N C E P T O S
SOBRE
REDES
23
Fig. 5, se supone que se abren los interruptores S5 y S6 y
que se suman las caídas de voltaje ocasionadas por ij (y e»
si se da una fuente). Así,
(1 + 2 + 3) ii — e, = 0, o
6ii = e,
(16)
La resistencia de la espira 1, a través de la cual fluye ii, es
de 6 ohmios. Esta resistencia es llamada la autorresistencia de
la espira 1, para distinguirla de las resistencias mutuas, o
de las resistencias de la espira 1 que son comunes a las es­
piras 2 y 3.
La ecuación de voltaje dada en la Ec. (16) no influye los
voltajes desarrollados en la espira 1, por las corrientes de
espira i2 e i8. Para explicamos el efecto de i2, suponemos que
se cierra el interruptor S5 y se observa que la corriente de
espira i2 circula por una parte de la espira 1, esto es, a través
de la resistencia de 3 ohmios. El sentido de i2 a través de la
resistencia de 3 ohmios es tal, que establece una elevación
de voltaje en la espira 1, como se ve del sentido del trazo
establecido para la espira 1. Tomando en cuenta la elevación
de voltaje establecida en la espira 1 por la corriente de espira
i2, se amplía la Ec. (16), que toma la forma
6ix — 3i2 = e,
(17)
A continuación, se cierra el interruptor S6 y se observa el efec­
to que tiene sobre el equilibrio del voltaje de la espira 1, la
comente de espira i3. La corriente i3 circula a través de la re­
sistencia de 2 ohmios de la espira 1, en un sentido tal, que
produce una elevación de voltaje en la dirección del trazo
de la espira 1. La ecuación final del voltaje, para la espira 1,
en función de las corrientes de espira il( i2 e i3 toma la forma
6h — 3i2 — 2i3 = e,
(18)
Un importante aspecto de la Ec. (18) es que puede estable­
cerse con ayuda de la superposición, aplicando conceptos
físicos elementales. Puede utilizarse exactamente el mismo
método para demostrar que la ecuación de voltaje de la es­
pira 2 es
—3ú + 12i2 - 4is = 0
(19)
y para la espira 3
—2ú - 4i2 + 16í3 = 0
(20)
Al usar la superposición para establecer las ecuaciones de
24
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voltaje, hemos tomado itl i2 e i3 como variables independien­
tes y considerado el efecto de cada una, sucesivamente. Aun­
que el establecimiento de ecuaciones de voltaje con corrientes
de espira se convierte pronto en un procedimiento rutinario,
debemos darnos cuenta de que este procedimiento está en
realidad basado en el principio de superposición.
Las Ecs. (18), (19) y (20) pueden resolverse como un sis­
tema de ecuaciones simultáneas para las incógnitas ii( i2 e i3.
A continuación puede determinarse cualquier corriente de
rama en particular mediante la suma algebraica de las co­
mentes de rama que fluye en la rama de que se trate. Esto es
ide rama
2 Í a e esp ira
O pueden emplearse las Ecs. (13), (14) y (15) para despejar
ide rama/ en función de ide espira» pero este procedimiento es in­
necesariamente laborioso.
Generalmente, las trayectorias cerradas que se utilizan
para establecer las ecuaciones de la ley del voltaje, coinciden
en contorno y sentido con las trayectorias escogidas para las
corrientes de espira. Esto es cuestión de comodidad, no de
necesidad, puesto que pueden emplearse tres trayectorias ce­
rradas cualesquiera, para obtener tres ecuaciones de voltaje
independientes. Incluyendo sucesivamente una rama no re­
corrida anteriormente, pueden siempre obtenerse trayectorias
cerradas. Supóngase, por ejemplo, que las trayectorias 1 y 2
de la Fig. 5 siguen a ii e i2, respectivamente. Puede obtenerse
una tercera ecuación de voltaje sumando las caídas de vol­
taje alrededor de la trayectoria abhefga.
Así,
3it + 9i2 — 6i3 = e,
(21)
que es la suma de las Ecs. (18) y (19) y, en consecuencia, no
es independiente de estas ecuaciones. Puede obtenerse una
tercera ecuación independiente de voltaje [en lugar de la Ec.
(20)] sumando a lo largo de una trayectoria cerrada que
incluye la trayectoria o rama cd. Si se escoge la trayectoria
abcdefga, se obtiene
lii + 5i2 + 10i3 = e„
(22)
Esta ecuación [que es la suma de las Ecs. (18), (19) y (20)],
puede usarse juntamente con las Ecs. (18) y (19), para de­
terminar los valores de ilt i2 e i3.
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SOBRE
REDES
25
Los coeficientes de las variables independientes de las
Ecs. (18), (19) y (20) . pueden ordenarse como se muestra a
continuación:
' 6
-3
-21
-3
12
-4
(23)
—2
-4
16
Con excepción de las fuentes, este arreglo de números ca­
racteriza completamente la red a que es aplicable. En este
tipo de caracterización, la primera columna representa los
coeficientes de U; la segunda columna representa los coefi­
cientes de i2, y así sucesivamente. Una ordenación de números
o símbolos recibe el nombre de matriz. En general, una ma­
triz consta de m líneas y n columnas, como por ejemplo:
A = A,
O lí
a¡¡i
Ctiü
a 22
a is
a 23
•• -•
..
a*»
d»»2 ’
0|»3
■■
a iB
a 2„
Ha sido desarrollada un álgebra de matrices bastante com­
pleta, pero aquí sólo nos interesa la ordenación de n X m
símbolos que caracterizan una red, también con la evaluación
del determinante de la matriz. Se emplearán corchetes para
indicar las matrices, mientras que se usarán segmentos de
líneas para indicar el determinante. (Se espera que el lector
comprenda el álgebra elemental de determinantes, incluyen­
do la regla de Cramer, que se usa para resolver ecuaciones
simultáneas).
La matriz que representa los coeficientes de las i en las
Ecs. (18), (19) y (20), se escribe como se indica anteriormente
en la matriz (23). El determinante de esta matriz se escribe
6
-3
-2
-3
12
—4 = 816 ohmios®
(23a)
-2
-4
16
En este caso la matriz es llamada la matriz del sistema de re­
sistencias y el determinante de la misma tiene un valor nu­
mérico de 816 ohmios3. Si se aplican las Ecs. (18), (19) y (22),
la matriz de la resistencia tomaría la forma
6
-3
1
-3
12
5
-2
-4
10
y
6
-3
1
-3
12
5
-2
-4
10
= 816 ohmios3
(24)
26
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Si como corrientes de espira se escogen corrientes mensura­
bles y las trayectorias recorridas al formular las ecuaciones
de voltaje coinciden con las trayectorias de la corriente, el
determinante de la matriz de la resistencia de una red tiene
el mismo valor numérico, sin importar las trayectorias recorri­
das por las corrientes de espira. Solamente escogiendo es­
piras múltiples complicadas puede el determinante de la red
diferir de su valor básico. (Como ejemplo de lo que aquí se
quiere decir, véase el Prob. 10 y la Fig. 26b, al fin del capítulo).
Si se pidiera el valor numérico de i2 por unidad de e, en
la Fig. 5, se podría obtener con ayuda de la regla de Cramer
y las Ecs. (18), (19) y (20), como
6
-3
-2
1
-2
0
0
-4
16
56
816
816
amperios
102
o, si se aplican las Ecs. (18), (19) y (22), como
6 1 -2
-4
1 1 10
-3 0
816
56
7
816
102
amperios
Si una red tiene 1 corrientes de espira independientes, la
matriz de la resistencia tendrá 1 columnas; una columna para
cada corriente de espira. Puesto que se necesitan 1 ecuacio­
nes para obtener una solución única, la matriz debe también
tener 1 líneas. Así, en las soluciones de la red resultan invo­
lucradas 1 X 1matrices, donde, (como se ha indicado anterior­
mente), 1 = b — n. La matriz puede formularse mediante una
inspección de la red, si a cada uno de los elementos de la
matriz general se le da la debida interpretación física.
R u
R l2
R
3
R xl
R 21
Ro¡>
R 23
R 21
RU
r i
RU
R II
2
j
(25)
El uso de corchetes en la matriz (25) implica que solamente
se está dando el ordenamiento de los coeficientes de las ecuadones generales de voltaje. El determinante de la matriz se
indica con líneas rectas laterales e implica que se toma en
cuenta el valor actual de este ordenamiento.
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S O B R E
27
R E D E S
Si para las corrientes de espira se escogen trayectorias
razonablemente sencillas, pueden darse a los elementos de
la matriz significados físicos tales, que los valores numéricos
de estos elementos puedan leerse directamente del diagra­
ma de la red. Ru es la autorresistencia de la espira No. 1, a
través de la cual fluye la corriente uno y, en general Rj¡ es la
autorresistencia de la espira j, a través de la cual fluye
la corriente j; R^ es la parte de la resistencia de la espira j,
a través de la cual fluye la corriente k. Si las trayectorias
cerradas escogidas para establecer las ecuaciones de vol­
taje coinciden con las trayectorias recorridas por las corrien­
tes de espira y si j y k son enteros de 1 a 1 inclusive,
Ri* = R*#
(para j ^ k)
(26)
En la Ec. (23a) se da una situación en que Rj* = Rw, y en la
Ec. (24) se da una situación en que R&
R»/. Generalmente
las trayectorias cerradas que se utilizan para establecer las
ecuaciones de voltaje coinciden con las trayectorias atrave­
sadas por corrientes de espira mensurables. En estas condi­
ciones la matriz del sistema es simétrica con respecto de la
diagonal principal. La diagonal principal está formada por
R u . R22» R33. ■ • •» R ll.
Ejemplo. Supóngase que se desea encontrar la forma de la matriz
de la resistencia de la red dada en la Fig. 6a, cuando se establecen
las ecuaciones de voltaje recorriendo las trayectorias cerradas des­
critas por las corrientes de espira diseñadas.
Fig. 6. Ejemplo de análisis de red, utilizando corrientes de espira
De la inspección de la resistencia de la red, y recordando que el
signo de una resistencia debe tomarse como negativo cuando las
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28
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corrientes de espira de la resistencia están en sentidos opuestos.
tramos directamente que
Ru = 6 ohmios
R l2 = R21 =
2 ohmios
R 22 — 5
Rl3 ~ R31 =
1
R33 — 6
R i * = R41 =
2
R44 = 8
R23 “
R32 m -
R*„ — R42 =
2
0
R34 = R43 = - 3
El determinante del sistema es
2
-2
0
-3
2
A =
1
5
6
= 506 ohmios4
El determinante del sistema, expresado en forma de matriz, es sim­
plemente un modo taquigráfico de expresar las ecuaciones de vol­
taje
6ii + 2i2 + l i 3 + 2i4 = 0 (espira 1)
2ii 4- 5i2 — 2i3 + 0i4 = 0 (espira 2)
l i x — 2i2 4- 6is — 3i4 = 0 (espira 3)
2ii 4- 0i2 — 3i3 + 8i4 = 0 (espira 4)
Los primeros miembros de estas ecuaciones son iguales a cero, no se
dieron fuentes de voltaje en la Fig 6a. Si se utilizan dos fuentes de
4 voltios para energizar la red, como se indica en la Fig. 6b,
e ,i = 4, e ,2 = 4 — 4 = 0, e 43 = 4, e M = 0 voltios
donde el ¿ubíndice s indica una fuente de voltaje y el subíndice nu­
mérico se refiere al número de la espira o que es aplicable el vol­
taje de mando. La corriente de espira i1# por ejemplo, puede deter­
minarse con ayuda de la regla de Cramer, como se indica a continuación:
4
0
4
0
2
5
-2
0
1
-2
6
-3
506
2
0
-3
8
244
= 0.482 am perios
506
Si el análisis requiere la potencia entregada por la red a la fuente
ea la corriente real de rama ia, que fluye a través de en, tendrá que
ser evaluada como
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SOBRE
REDES
2 Lde
6
2
1
2
4
0
4
0
lo —“
1
- 2
6
- 3
e sp ira
íl +
2
0
--3
8
506
244
40
506
506
—
Í2
40
506
------ +
29
amperios
284
~50éT
= 0.561 amperios
La potencia entregada q la red por la fuente ea es
Pa = eaia “ 4 X 0.561 = 2.244 vatios
Las ecuaciones de voltaje utilizadas para obtener una solución de
la red, no se limitan a las obtenidas recorriendo los pasos descritos
por las corrientes de espira. Si en la Fig. 6a, por ejemplo, escogiéramos
formular ecuaciones de voltaje alrededor de las cuatro mallas inte­
riores/ las ecuaciones de voltaje (en función de i1# i2, i3 e i4 de la
Fig. 6a), toman la forma
Üi — l i 2 + 0i3 — 3i4 == 0
2ii + 5i2 — 2i3 + 0i4 = 0
lii — 2i2 + 6i3 — 3í 4 = 0
2 ii +
O Í2 — 3 Í 3 4 - 8 Í 4 =
0
En estas condiciones, la matriz de la resistencia toma la forma asi­
métrica
R =
1
2
1
2
-1
5
-2
0
0
-2
6
-3
-3
0
-3
8
Sin embargo, el determinante de esta matriz tiene el mismo valor nu­
mérico (506 ohmios4) que el determinante del sistema anteriormente
empleado.
Voltajes de Pares de Nudos. La diferencia de potencial
entre dos nudos cualesquiera de una red es llam ada voltaje
de un par de nudos. Si se escogen apropiadamente, los vol­
tajes de pares de nudos pueden usarse como variables inde­
pendientes en el análisis de la red, en vez de las corrientes
de espira. E .te procedimiento es algunas veces llamado aná­
lisis nodal. En ciertas configuraciones de las redes el uso de
voltajes de pares de nudos tiene claras ventajas sobre el uso
30
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de corrientes de espira. El concepto de voltajes de pares de
nudos como variables de la red será ilustrado en un caso
particular, antes de intentar establecer principios generales.
Para esto, nos proponemos determinar los voltajes de rama
va de la Fig. 7a utilizando voltajes de pares de nudos como
variables independientes de la red.
En el análisis nodal es conveniente relacionar corrientes
y voltajes de rama por medio de la conductancia de rama;
esto es,
i& = GjVt
(27)
donde G& = 1/Rj. Antes de pasar adelante con el análisis,
es necesario combinar las combinaciones en serie simple y
en paralelo de las resistencias, para que formen una sola
conductancia de rama entre nudos. Por ejemplo, las dos re­
sistencias de 1 ohmio conectadas en serie entre los nudos 1
y 3 de la Fig. 7a, se combinan para formar una resistencia
de 2 ohmios, que en la Fig. 7b es transformada en una conduc­
tancia de 0.5 mhos. También es conveniente transformar las
fuentes de voltaje que llevan resistencias en serie a fuentes
equivalentes de corriente, puesto que la solución de la red ha
de basarse en ecuaciones de la ley de la corriente. Así, e,2 =
2 voltios en serie con 0.5 ohmios en la Fig. 7a es reemplazado
con un generador de corriente de 4 amperios, en paralelo con
una conductancia de 2 mhos, como se indica en la Fig 7b
(véase la Pág. (15) y (16).
El número correcto de voltajes de pares de nudos que de­
ben emplearse en el análisis nodal es igucd al número total
de nudos de la red menos uno, o sea
(nt — 1) = n
Este enunciado resultará evidente cuando se reconozca que
el análisis nodal implica únicamente el establecimiento de
ecuaciones relativas a la ley de la corriente, únicamente. Se
recordará que, en una red que tenga n? = (n + 1) nudos, sola­
mente pueden establecerse n ecuaciones de corriente inde­
pendiente. En consecuencia, deben emplearse en el análisis n
voltajes de pares de nudos independientes.
La red de la Fig. 7 tiene cuatro nudos. De aquí que se
escojan como variables independientes sobre las cuales basar
el análisis tres voltajes de pares de nudos, (ex, e2 y e3 de la
Fig. 8). Los voltaje? escogidos no deben formar por sí una
|Kf'' I
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SOBRE
REDES
31
Fig. 7. Redes equivalentes
trayectoria cerrada, pues en este caso (et + e2 + e3) sería
igual a cero, estableciéndose así una dependencia. En la
Fig. 8, ea, e2 y e3 son escogidos en tal forma que tienen un
solo nudo en común. Esta selección especial suministra volta­
jes de pares de nudos independientes y da como resultado
ciertas simplificaciones que en seguida se verán claramente.
Se observará, por las Figs. 7 y 8 que todos los voltajes
de rama pueden ser expresados como combinaciones linea­
les de e1( e2 y e3. Las ecuaciones se establecerán haciendo las
caídas de voltaje, representadas por las v, iguales a la suma
de las elevaciones de voltaje, designadas por las e, llevando
el trazo desde un'nudo, en el sentido de la caída de voltajes,
a través de las elevaciones, y de regreso al punto de partida.
32
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Así,
vm — ©i — e2, v64 = e3
V ft 2 ==: © 1
©3#
»
(28)
V fts = = ©2
v&a = e3 - e2
|
Por ejemplo, siguiendo una trayectoria cerrada, se tiene
v¡,i — v63 — v¡,2 = (ei — e2) — (e3 — e2) — (et — e3) = 0.
El resultado de usar las e como variables independientes de
la red es que las ecuaciones relativas a la ley del voltaje
de la misma han sido en efecto aplicadas y sólo quedan tres
®
©
Fig. 8.
Voltajes de pares de nudos, e 1, e2 y e3, utilizados en el análisis
de la red dada en la Fig. 7
ecuaciones de corriente por establecer. Estas últimas ecua­
ciones pueden establecerse aplicando la ley de Kirchhoff rela­
tiva a la corriente, a los nudos 1, 2 y 3 de la Fig. 7b. Ob­
servamos primeramente que las corrientes de rama están
relacionadas con las e como sigue:
i&, = 0.5v&i = 0.5ei — 0.5e¡¡
162 = 0.5v¡,3 = 0.5ei — 0.5e3
163 = lv „3 — les — le 2
164 = lvi4 = je*
i6s = 2v65 *= 2e3
(29)
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SOBRE
REDES
33
Las ecuaciones relativas a la ley de la corriente son:
En el nudo 1:
iji “t* i¿2
l©i
0.5e2
0.5es — i|i
(30)
En el nudo 2:
—iu
ift3 "I* it5
~ 0.5ei
3.5e2
les ~
i#2
En el nudo 3:
—i&2 + i¿a + ij4 = — 0.5ea — le2 + 2.5es = 0
(31)
(32)
Puesto que in e is2 son cantidades conocidas, pueden obte­
nerse directamente los valores numéricos de las e y de éstos
deducir inmediatamente los voltajes de rama. En el presente
ejemplo, nos proponemos determinar el valor numérico de
7.
2 -0.5 -0.5
-4
3.5 - 1
0 -1
2.5
—
1 —ú.5 2
-0.5
3.5 - 4
-0.5 - 1
0
1 -0.5 -0.5
-0.5
3.5 - 1
-0.5 - 1
2.5
v„ = v&2 = ei — e3 —■
— — -—:— = 1.566 voltios
O./o
El método diseñado anteriormente es elegante en su sim­
plicidad, pero con selecciones más generales de las e, los fe­
nómenos físicos involucrados pueden resultar obscurecidos.
Resultará instructivo resolver el problema diseñado arriba
haciendo uso del método de superposición. El método ha
sido ya aplicado al establecimiento de las ecuaciones de
voltaje, en el método de análisis de corrientes de espira. Allí
estaban abiertos los circuitos de todas las espiras, excepto
la de aquella a la cual tocaba el tumo y las caídas del
voltaje componente alrededor de cada espira, eran evalua­
das aplicando una sola corriente de espira, en tumos suce­
sivos. Un método similar de ataque puede ser aplicado aquí
para establecer el número necesario de ecuaciones de co­
rriente, pero en este caso, para determinar las corrientes que
se alejan de los nudos 1, 2 y 3, igualaremos a cero todas las
e, excepto la que esté en tumo. De este modo estaremos en
condiciones de interpretar los elementos de la matriz de con-
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34
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ductanda de una red, a la luz de las conductancias men­
surables.
Cuando se aplica la ley de la corriente de Kirchhoíf a cada
uno de los tres nudos marcados de la Fig. 7b, será conveniente
tener cuidado de colocar un amperímetro en el nudo corres­
pondiente, como se indica en la Fig. 9. En la Fig. 9a la
comente que se aleja del nudo 1, para una elevación de ej
de 1 voltio (y para e2 = e3 = 0) puede determinarse así:
In = 0.5ej + 0.5ei = leí
Por lo que respecta a ei e i«, la ecuación de la corriente
en el nudo 1 es
In = leí = i«i
(33)
( alejándose) (hacia el nudo 1)
Esta igualdad, por supuesto, no explica el efecto causado
sobre la corriente del nudo 1 por e2, e3 o i,*.
Para encontrar el efecto de e2 sobre la corriente existente
en el nudo 1, ponemos en corto circuito ei y e3, como se indica
en la Fig. 9b, y notamos que
1« = ~ 0.5e¡¡
(34)
Procede el signo menos, puesto que un aumento en e2
produce 0.5e2 amperios, orientados hacia el nudo 1 y se ha
tomado como positiva la corriente que se aleja de ese nudo
(véase la Fig. 9a y la ecuación 33). A continuación se observa
el efecto de é 3 sobre la corriente existente en el nudo 1. Para
hacer esta observación, ponemos en corto circuito a e i y e3,
como se indica en la Fig. 9c, y encontramos
lis = —0.5es
(35)
Las corrientes componentes de las ecuaciones (33), (34) y (35)
pueden combinarse de acuerdo con el principio de la super­
posición para obtener la ecuación de la ley de la corriente,
válida en el nudo 1.
leí — 0.5e2 — 0.5es = i,2
(36)
i,i es la corriente de la fuente, orientada hacia el nudo 1 con
ei = e2 = e3 = i«3 = 0. Con una selección más general de
las e, el efecto de is2 podría contribuir a la corriente del nu­
do 1. Puesto que i82 está conectada directamente a través de
los puntos terminales de e2 en este caso y puesto que e2 está
C O N C E P T O S
SOBRE
REDES
35
reemplazado por un corto circuito para esta valuación en
particular i,2 produce una corriente componente cero en el
nudo 1 o en la posición Il5 (Se tendrá en cuenta, por supuesto,
que el amperímetro conectado al nudo 1 es meramente un
artificio para ayudar a seguir el rastro de las diversas corrien­
tes componentes establecidas en este nudo por elt e2, e3, ifl,
e i42).
Para establecer la ecuación de la ley de la corriente válida
para el nudo 2 de la Fig. 7b, se hace uso de las Figs. 9d,
9e y 9f, a fin de obtener
—0.5ei + 3.5e2
les =
i*2
(37)
De modo semejante, encontramos que la ley de la corriente,
aplicada al nudo 3 da
—0.5ei — le2 + 2.5es = 0
\
(38)
Los coeficientes de las ecuaciones (36), (37) y (38) indican
que Gn = 1 mho, G22 — 3.5 mhos y G33 = 2.5 mhos. La inspec­
ción de la Fig. 7b mostrará que estas conductancias son pre­
cisamente las conductancias conectadas a los nudos 1, 2 y 3,
respectivamente. Un examen ulterior mostrará que las con­
ductancias mutuas Gi2, Gi3, G21, G23, etc., son iguales y de
signo opuesto a las conductancias conectadas. Este método
para determinar las G es ampliamente usado en casos en que
las e tienen una terminal común, como en las Figs. 7 y 8.
Las ecuaciones (36), (37) y (38) han resultado de la apli­
cación del principio de superposición y en este particular son
de forma idéntica a las ecuaciones (30), (31) y (32). (Para
una selección más general de las e, ambos juegos de ecua­
ciones podrían diferir en la forma numérica).
Una ventaja resultante del uso de la superposición es que
ios elementos de la matriz de la conductancia tienen valores
que pueden ser medidos con ayuda de un amperímetro ideal
y de una fuente de 1 voltio. En general, esta matriz toma la
forma.
Gn
G2i
G i2 G í3
g 22 g 23 . ..
G„i
gL
Gi„
g 2„
g «3 . • G»„
Si se sigue el esquema delineado en la Fig. 9, son claros
36
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DE
C O R R I E N T E
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(D
(b) I,/e2 = Glz= -o.5a
©
( e ) I 2/e2= GK=3.5U
Fig. 9. Corrientes componentes en los nudos 1. 2 y 3, producidas por
pasos o etapas unitarias de los voltajes de pares de nudos e t, e2 y e3.
Los números puestos en las resistencias s o r mhos.
los significados de las G. Para j igual a cualquier número, de
1 a n inclusive, G j} es la corriente que fluye del nudo j a la
red, por cada unidad de aumento en el voltaje e¡. (e¡ es el
voltaje del par de nudos, el extremo de cuvq flecha repre­
sentativa termina en el nudo j). En la Fig. 9a se utiliza el am­
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SOBRE
F ig . 9:
REDES
37
(Continuación)
perímetro Ia pora medir Gn, en la Fig. 9e se utiliza el ampe­
rímetro I2 para medir G22, y así sucesivamente. Todos los
voltajes de pares de nudos, excepto e¡, se hacen iguales a
cero durante esta medición, puesto que el esquema utilizado
aquí hace uso del principio de superposición. G,* es la co­
rriente que fluye a la red, desde el nudo j, por unidad de
aumento del voltaje e*; j ^ k. (e* es el voltaje del par de nu­
dos el extremo de cuya flecha representativa termina en el
nudo k). En la Fig. 9b, por ejemplo, se utiliza el amperímetro
Ij para medir G12, la corriente que fluye a la red por unidad
de aumento del voltaje e2, igualados a cero todos los otros
voltajes independientes de pares de nudos (et y e3).
Después que se ha establecido la matriz de la conduc­
tancia y se han tomado debidamente en cuenta las fuentes
de corriente, la solución nodal es completa, excepto por lo que
respecta a operaciones rutinarias.
Se obtendrá una visión más profunda del método nodal
38
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DE
C O R R I E N T E
A L T E R N A
si los voltajes independientes de pares de nudos que se selec­
cionen no tienen un nudo común. Este tema será nuevamente
tratado, cuando se haya dado la definición de árbol topològico.
b
Fig. 10.
b
(b) es una representación topològica de las ramas desconocidas
de (a).
Topologia de la Red.3 Ciertos aspectos del comportamien­
to de la red se ponen mejor de relieve si se considera la red
como una gráfica. Para construir esta gráfica, reemplazamos
cada rama de la red por una línea, sin tener en cuenta los
elementos del circuito que constituyen esta rama. También
pueden combinarse simples elementos paralelos. La gráfica de
la red dada en la Fig. 10a, por ejemplo, se ilustra en la Fig.
10b. Cuando una rama consiste solamente en una fuente de
corriente puede omitirse en la gráfica pues no representa un
voltaje o corrientes desconocidas. Para fines de análisis, los b
voltajes de rama desconocidos o las b corrientes de rama des­
conocidas, son de inmediata importancia. Las fuentes descono­
cidas pueden ser incorporadas a las ecuaciones de equilibrio
en cualquier etapa apropiada del análisis.
La gráfica de la red ilustrada en la Fig. 10b tiene cuatro
nudos, seis ramas, y tres espiras o mallas interiores, y es
susceptible de representación en un plano. Puede considerarse
que la gráfica separa toda el área del plano en cuatro áreas
3
La topología, generalmente, trata de la forma o estructura de un
ente geométrico, pero no con el tamaño o forma precisos de este ente.
La topología de la red trata de la gráfica formada por las ramas interconectadas de la red y no del tamaño, formá o características de
funcionamiento de los elementos de la red que forman las ramas. En
este sentido, la topología de la red es geometría de la red.
C O N C E P T O S
SOBRE
REDES
39
cerradas: las tres mallas interiores y el área exterior o malla
externa. En este sentido, cualquier área no dividida, cuya
frontera está compuesta de ramas lineales, se llama una malla.
Puesto que el área externa tiene una frontera de esa natura­
leza, puede considerarse como una malla. Cuando la gráfica
se dibuja sobre una esfera, cualquiera de las mallas interiores
de una gráfica plana como la de la Fig 10b puede convertirse
en la malla exterior. El proceso mediante el cual se tiene este
resultado, se llama alabeamiento topològico.
Una solución de la red basada en las corrientes de espira
requiere el empleo del número correcto de ecuaciones inde­
pendientes de voltaje. Si está basada en voltajes de pares
de nudos, la solución requiere que se formule el número
correcto de ecuaciones independientes de corriente. En las
redes simples, es posible obtener rápidamente ecuaciones
independientes, mediante simple inspección, o por métodos
tratados anteriormente. Ciertos aspectos generales del proble­
ma pueden ser aclarados mediante el uso de un árbol to­
pològico.
Un árbol es un conjunto de ramas, dispuesta de tal modo que a
cada nudo (o terminal) está conectada cuando menos una rama, el
conjunto no contiene trayectorias cerradas y puede encontrarse un
paso único que una dos nudos cualesquiera de la gráfica a la cual
es aplicable el árbol.
En la Fig. 11 se presentan cuatro gráficas de extremos
abiertos, basadas en la configuración de circuito de la Fig. 10.
Como cada una de estas gráficas de extremos abiertos
satisfacen todos los requisitos de un árbol, cada gráfica es
un árbol correspondiente a la Fig. 10.
Para formar un árbol, (correspondiente a una red deter­
minada) necesariamente deben abrirse ciertas ramas. Las
ramas así abiertas reciben el nombre de eslabones o ramas
de eslabonamiento. Los eslabones de la Fig. lia, por ejemplo,
son las ramas ab, be y ca y los de la Fig. 11b son ab, de y da.
Es obvio que los eslabones y las tres ramas se combinan
para formar la gráfica de toda la red.
La identificación de las corrientes de eslabón con las co­
rrientes de espira lleva directamente a las corrientes mensu­
rables de espira. En casos en que el interés se centra alrededor
de corrientes particulares, como, por ejemplo, las de entrada
y salida de la red, pueden escogerse como eslabones las
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40
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C O R R I E N T E
A L T E R N A
ramas de entrada y salida, siendo la razón que sólo una
corriente de espira recorre un eslabón. En consecuencia sólo
se necesita una corriente de espira para obtener la corriente
de esta rama. Así, el árbol puede en la práctica ser seleccio­
nado por ulteriores motivos de esta especie.
Una vez que se ha formado un árbol topològico para una
red en particular, la determinación de corrientes indepen­
dientes resulta un procedimiento automático. Simplemente
ciérrese un eslabón, como, por ejemplo, el ab de la Fig. lia ,
y utilícese la espira así formada como trayecto de la corriente
de espira número 1. En este caso.
Me esp ira
W eslabón
1abda
*1
Abrase a continuación este eslabón y ciérrese otro para es­
tablecer la trayectoria de una segunda corriente de espira,
y repítase el procedimiento, hasta que cada corriente de
eslabón haya sido identificada con una corriente de espira.
Así se obtienen espiras, para las cuales pueden formularse
ecuaciones independientes de voltaje. Las corrientes de espira
b
b
Fig. 11. Cuatro árboles topológicos, correspondientes a la red de la
Fig. 10.
C O N C E P T O S
SOBRE
REDES
41
son independientes, puesto que cada una puede medirse con
un amperímetro en un eslabón distinto. Se obtiene el número
correcto de corrientes independientes de espira, puesto que
se necesitan todas las corrientes de espira asi seleccionadas,
para obtener una solución de la red, y un número de corrien­
tes de espira superior a éste, conduciría a ecuaciones de
voltaje que no son independientes de las ya establecidas.
Los voltajes de pares de nudo independientes necesarios
para llevar a término una solución nodal pueden también
determinarse rápidamente mediante un árbol topològico. En
el análisis nodal elemental generalmente se escoge un nudo
de la red como nudo común a cada uno de los voltajes de
pares de nudos utilizados. En la Fig. lia , por ejemplo, podría­
mos escoger el nudo de como nudo común, y utilizar
ei = vad, e2 = vm, y e3 = ve<¡
como los tres voltajes de par de nudos independientes, nece­
sarios para llegar a una solución. O se' podía escoger como
común el nudo c, y utilizar
ea = Voc, e2 = v6c, y e ¡ = v*.
como los voltajes de par de nudos requeridos. Debe notarse
que este modo de seleccionar los voltajes de par de nudos
da automáticamente' (n* — 1) o n voltajes, que es el número
necesario para lograr una solución de la red. La independen­
cia de los voltajes de par de nudos así seleccionados, se
sigue de
1. Sólo existe una trayectoria entre el nudo común y cual­
quier otro nudo;
2. Los nudos están separados en potencial uno de otro,
cuando menos por la diferencia de potencial correspondiente
a una rama.
Una ventaja del método topològico de análisis de circuito
es que pone de manifiesto criterios de solución que de otra
manera habrían quedado inadvertidos. Por ejemplo, los volta­
jes de rama forman por sí un juego o conjunto independiente
de voltajes de par de nudos que puede utilizarse en el análi­
sis nodal para llegar a una solución de la red. Hay n* nudos
y, con excepción de la primera rama del árbol (que se inter­
pretará como que tiene dos nudos que inciden en ella) todas
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42
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las otras ramas utilizan un nudo adicional para quedar de­
terminadas o individualizadas. Así n ramas existen en un
árbol dado, y se pueden obtener n voltajes de pares de nudos
directamente del voltaje de las tres ramas. El requisito único
_ M+
MAAr- ©
—AA/V—
b3
1 amp.
»tó *»\>2U
i
3 amp.
íS2
tr
*»\>3U oí
's3
Fig. 12. Ejemplo.
para seleccionar un grupo de voltajes de par de nudos con
el cual efectuar un análisis de la red es que estos voltajes
de par de nudos se correspondan con los voltajes de par de
nudos de un árbol topològico.
A fin de ilustrar aún más el método nodal, se analizará
en tres formas diferentes la red dada en la Fig. 12, empleando
voltajes de pares de nudos. Primeramente se lomarán las
tres e del árbol mostrado en la Fig. 13a como voltajes de par
de nudo independientes. Cuando se utiliza un nudo común
pueden obtenerse directamente las autoconductancias y las
conductancias mutuas directamente, mediante la inspección
de la red. Así, en mhos
Gii —
3
G21 = - 1
G»i *
®
U
©
Q
0
G„ = - i
Gis
g 22 =
G¡¡3
4
G23 = - 1
Gss
0
4 mhos
®
i
(a)
(b)
Fig. 13. Dos árboles, correspondientes a la red de la Fig. 12.
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SOBRE
REDES
43
Supóngase que se desea determinar los voltajes de los
nudos 1 y 2 con respecto de la tierra.
Potencial del nudo 1 = e' =
Potencial del nudo 2 = e' =
1
0
3
-1
4
-1
0
-1
4
3 -1
-1
4
0 -1
0
-1
4
1
0
3
41
0
-1
4
3
-1
0
18
voltios
41
*3 voltios
,•
—
41
Si se usa en el análisis el árbol dado en la Fig. 13b, se en­
cuentra que
v»i =
v62 =
v»3 =
v¡,4 =
V55 ~
ea
e2
e3
ej + e2
e2 e3
En el nudo 1:
En el nudo 2:
i6l
ifti = leí
ij2 — 2e2
ijs = le 3
i64 = 2ex + 2e2
i&5 3e2 4" 3e3
+ i6< = 3e! + 2e2 + 0e3 = 1
(40)
(41)
—iM + i42 — ii3 = — lej + 2e2 - le3 = 0 (42)
En el nudo 3:
i¡,3 + i65 =
0ex + 3e2 + 4e3 = 3
Despejando a ej y e¡
1
0
3
3
-1
0
e2 =
3
-1
0
2
0
2 -1
3
4
2
0
2 -1
3
4
1
0
3
41
0
-1
4
= — voltios
41
13 , .
= — voltios
41
(43)
44
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El potencial del nudo 1 de la Fig. 12, con respecto de tierra, es
18
41
vj4 = ei + 62 = — voltios
Si los voltajes de par de nudos ei, e2 y e3 de la Fig. 13b
se aplican juntamente con el principio de superposición, las
autoconductancias y conductancias mutuas se determinan por
medio de las consideraciones de orden físico bosquejadas en
la Fig. 14. Si se admite que
Gji = G12, G31 — Gis,
G32 = G23 y
Ggs = 4 mhos
la matriz de la conductancia toma la forma
Gi
G*
Gs
Gi
G2
Gs
Gis
G23
G„
(44)
Puesto que se ha empleado la ley de superposición para es­
tablecer las ecuaciones de corriente en los nudos 1. 2 y 3,
es necesario incluir las corrientes que se dirigen hacia estos
nudos desde todas las fuentes de comente con e i= e 2= e 3= 0.
En la Fig. 14f se ve que un amperio se dirige hacia el nudo
1 desde las fuentes, 4 amperios hacia el nudo 2 y 3 amperios
hacia el nudo 3. Puesto que se han tomado como positivas
cuando se alejan de los nudos las corrientes resultantes de
ei, e2 y e3, las tres ecuaciones de corriente pueden ser formu­
ladas como sigue:
3ex + 2e2 + 0e3 = 1
(45)
2et + 7e2 + 3es = 4
(46)
0ex + 3e2 + 4e3 = 3
(47)
Despejando a ex y e2
ei =
1 2
4 7
3 3
3 2
2 7
0 3
0
3
4
0
3
4
3 1 0
2 4 3
0 3 4
e2 =.
41
•voltios
41
13
— voltios
41
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SOBRE
REDES
45
e3 = i volt
(e) 12/e3 = G2}= 3 U
(f) ¡q= 1, ¡0 = 4, ¡0 = 3amp.
Fig. 14. Valuación de la autoconductancia y la conductancia mutua de
la Fig. 12, empleando los voltajes de par de nudos e1, e2 y e3 de la
Fig. 13b
Por los tres ejemplos que se acaban de dar (y por otros
que pueden desarrollarse), resulta evidente que los voltajes
d ^ p a r de nudos pueden aplicarse en diversas formas a la
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solución de la red. Lo mismo puede decirse del uso de corrien­
tes de espira. Para obtener las soluciones deseadas, a menudo
se emplean ingeniosas combinaciones de voltajes de pares de
nudos y de corrientes de espira, así como ingeniosos teoremas
sobre la red. Uno de los aspectos fascinantes del análisis de
la red es la diversidad de criterios de solución que están
a la disposición del analista.
Dualidad. Cuando dos elementos del circuito están en
serie como en la Fig. 15a la selección natural de variable
independiente es la de la corriente, puesto que ésta es co­
mún a cada elemento. Para el caso en cuestión
Riij + R2H + R3Í6 = Vb
(48)
R6 = (Ri + R2 + Rs) = —
(48a)
o
ú
Cuando los elementos están en paralelo como en la Fig. 15b,
la selección natural de variable independiente es la del vol­
taje, que es común a los elementos. En la Fig. 15b
G^Vb + GjVb + GsVb = ib
(49)
Gb = (Gj + G2 + Gs) = —
(49a)
o
Vb
La semejanza de forma de las Ecs. (48) y (49) resulta evi-
Fig. 15. v6 = v, + v2 + v ,
e
ij = ij + i2 + i„
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SOBRE
REDES
47
dente. En una de ellas se aplica la ley del voltaje para esta­
blecer la relación básica entre i» y v»; en la otra, se aplica
la ley de la corriente. En una de ellas se usan las resistencias;
en la otra, las conductancias.
Este dualismo se extiende por todo el campo de aplicación
de los dos métodos fundamentales de análisis de la red.
Uno de los métodos utiliza corrientes de espira, resistencias,
ecuaciones de voltaje y fuentes de voltaje. El otro utiliza vol­
tajes de pares de nudos, conductancias, ecuaciones de corrien­
te y fuentes de corriente. Las corrientes de espira independien­
tes y mensurables pueden ser identificadas con la corriente
que fluye en los eslabones de la red, mientras que los vol­
tajes de pares de nudos independientes y mensurables pue­
den ser identificados con voltajes de rama del árbol topològico.
Las ecuaciones de equilibrio en un método de análisis se
basan en
^ V aired ed or de una e s p ira
0
Las ecuaciones de equilibrio del otro se basan en
Si o rien ta d a b a cia un
nudo
0
Siempre que los elementos de un sistema en corresponden­
cia unívoca con los elementos de otro sistema, esta corres­
pondencia se llama dualidad. La dualidad puede, en conse­
cuencia, existir entre los métodos de análisis de voltajes de
pares de nudos, y de corrientes de espira, siendo un método
el dual del otro. Desde un punto de vista algebraico dos redes
son duales si las ecuaciones nodales de una son de la misma
forma que las ecuaciones de espira de la otra. Las ecuacio­
nes de equilibrio de la red de la Fig. 16a, que tiene dos
corrientes de espira independientes, son
Rii ii "I- R12 12 ~ e41
R21 ii
(50)
R22 Í2 = e*2
Las ecuaciones de equilibrio de la red de la Fig. 16b, que tiene
dos voltajes de par de nudos independientes, son de la forma
G11 ej
G12 e2 — i»i
(51)
G21 ej "i- G22 62 — i#2
Con la excepción de les interpretaciones dadas a los sim-
S
48
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A L T E R N A
bolos en las Ecs. (50) y (51), estas ecuaciones son idénticas.
El hecho de que las formas de las ecuaciones sean idénü-
Fig. 16. Redes duales
cas, las convierte en duales. Obviamente, la dualidad es una
relación mutua. Las Ecs. (50) son les duales de las Ecs. (51),
tanto como éstas lo son de las (50).
Desde un punto de vista gráfico, dos redes son duales
cuando las mallas (alrededor de las cuales 2 v = 0) de una
red están en una correspondencia unívoca con los nudos
(en los cuales Si = 0) de la otra red. En éste respecto, una
malla se considera como una región o área limitada por
ramas o caídas de voltaje de la red. Con esta interpretación
del término malla, una rama cualquiera de una red divide o
separa exactamente dos mallas (o regiones), con tal que la
gráfica de la red pueda ser representada sobre un plano o
esfera (sin cruzamientos). Correspondientemente, una rama
de una red une exactamente dos nudos. Se recordará que
una red tiene (nt — 1) = n nudos, en que pueden estable­
cerse ecuaciones de corriente independientes. La dual de esta
red tendrá (mt — 1) = 1 mallas o espiras, alrededor de las cua­
les pueden establecerse ecuaciones independientes de voltaje
(m< simboliza el número total de mallas o regiones de una
gráfica en particular). La gráfica de la Fig. 16a, por ejemplo,
está compuesta de tres mallas, dos interiores, alrededor de
las cuales circulan it e i2, y una malla exterior, limitada
por las ramas eM — Rx y R2 —1 e,2. La región externa es, por
supuesto, una malla, tanto como lo es cualquiera de las in­
teriores, puesto que está limitada por ramas de red. Además,
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CONCEPTOS
S O B I I
BEDES
49
si la Fig. 16a fuera dibujada sobre una esfera y alabeada
topològicamente (restirándola), cualquiera de las mallas in­
teriores podía tomarse como malla “exterior''.
En la Tabla I se listan algunas de las principales corres­
pondencias existentes entre la solución de corrientes de espi­
ra y la de voltajes de pares de nudos. Otras resultarán eviTABLA
L
Solución
Elemento involucrado
Ecuaciones de equi­
librio
Número de ecuacio­
nes independientes
Componente básica
Elemento energizador
Variable de la red
Variables indepen­
dientes de la red
Parámetro de cir­
cuito
Los parámetros se
suman
Parámetro infinito
Parámetro cero
Entidad topològica
Cualquier rama topo­
lògica
Corriente de espira
voltaje de par de
nudos
voltaje 2 v = 0
corriente Si = 0
b —n= 1
(b — 1) = n
voltaje de rama
fuente de voltaje
corriente de espira
corriente de rama
fuente de corriente
voltaje de par de
nudos
voltajes de rama de
árbol topològico
conductancia
corrientes de
bón
resistencia
esla­
en serie
en paralelo
R = oo (circuito
abierto)
R = 0 (corto circuito)
6 = oo (corto cir­
cuito)
6 = 0 (circuito
abierto)
nudo
une exactamente dos
nudos
malla
divide exactamente
dos regiones (o
mallas), con tal que
la gráfica pueda di­
bujarse sobre un pla­
no (o esfera)
dentes al continuar la exposición. Debe notarse que, mientras
que 1 = n en las redes duales, no es necesariamente igual
a n en una red particular.
Construcción Gráfica de Redes Duales. Para construir
una red que deba ser la ducd de otrá red dada, todas las
caídas de voltaje que se encuentran en el contorno de una
50
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malla de una red, se transforman en trayectorias de corriente
que emanan del correspondiente nudo de la otra, o viceversa.
En la Fig. 17c se desarrolla un sencillo esquema gráfico para
■ * ''
M a lla
de
Nudo a
— vwv—
Malla
■AAAAr
Nudo de referencia
(b)
(a)
Fig. 17.
(a) y (b) son duales; (c) indica cómo se obtiene (b) de (a)
establecer la correspondencia entre 2 v = 0 de una red, con
2i = 0 de la otra. La red original en este caso es la Fig. 17a,
que consiste en una sola espira (o rama) y dos mallas, es
decir, la malla a (dentro de la espira de corriente) y la
L
C O N C E P T O S
SOBRE
REDES
51
media b (fuera de la espira de corriente). El nudo a de
la dual propuesta corresponde a la malla a del circuito
original, y de modo semejante por lo que respecta al nudo b
y a la malla b. En la Fig. 17c se muestran los detalles invo­
lucrados en la construcción gráfica de una dual. Del nudo
a de la Fig. 17c, por ejemplo, se traza una línea de modo
que conecte el nudo a y el nudo de referencia, al pasar por
un elemento (o caída de voltaje) de la espira original. Este
proceso se repite para cada caída de voltaje involucrada en
Sv = 0, teniendo debidamente en cuenta el sentido positivo.
Debe adoptarse alguna convención sistemática para corre­
lacionar los sentidos positivos de la dual con los que han
sido escogidos para el análisis de la original. El sencillo es­
quema ilustrado en la Fig. 17c consiste en dar vuelta al sen­
tido de la flecha de la corriente de espira (al cruzar la línea
que conecta el nudo a con el nudo de referencia) colocán­
dola en el sentido que se escoja como positivo para la corrien­
te en la rama de la dual que se está produciendo. Para el
caso de que se trata se escoge el sentido positivo de la corrien­
te del nudo a, al nudo de referencia. Así, al dar vuelta en
el sentido de las manecillas de un reloj al sentido de la
corriente de espira, para cada una de las tres caídas de
voltaje (vi, v2 y v3 de la Fig. 17a), se determina el sentido
positivo de la corriente en las tres trayectorias correspondien­
tes de la dual, el cual queda del nudo a, al nudo de referen­
cia. Al aplicar este esquema a la fuente de voltaje e, no­
tamos que el sentido de la corriente de espira coincide con
una elevación de voltaje, al pasar por e,. El sentido po­
sitivo de la fuente de corriente, i«, en la dual, que reemplaza
a e, de la red original, es, consecuentemente, obtenido dando
vuelta a la corriente de espira, en el sentido "contra reloj" . 4
Queda así determinado que el sentido positivo va del nudo
de referencia al nudo a, como se indica en la Fig. 17b o en
la Fig. 17c. (Cualquiera otra disposición es buena para de­
terminar los sentidos positivos del circuito, siempre y cuando
sea aplicada en forma consistente).
El valor numérico de los mhos de la red dual se relaciona
con los valores óhmicos de la red original mediante el factor
normalizador gl. Así,
4
En el Cap. IV se propone el uso de la expresión "contra reloj"
(N. del T.).
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52
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DE
C O R R I E N T E
A I I Z 1 N A
G , = gÜRj
(52)
donde se escoge arbitrariamente a g».
Por medio de un factor normalizador g„ se hace que una
fuente de corriente i, de la red dual corresponda a una fuente
de voltaje de la red original, si la potencia entregada por
i, ha de ser igual a la potencia entregada por e,. Así, para
que Pe, sea igual a P*.
2
P« = ^
.$ 2
= ^
= P**
(53)
de donde
i. _
e.
|G '_ g .
(54)
1 R
Si, por ejemplo, en la Fig. 17, Rt = 2, R2 = 1 y R, = 3 ohmios
y e, = 12 voltios, la ecuación de equilibrio es
2i + li + 3i = 12 voltios
(i = 2 amperios)
Si se escoge arbitrariamente un factor normalizado, g», de 4,
Gí = 8, G¿ = 4, y
Gá = 12 mhos
También i«' = (2 X 12) amperios y la ecuación de equilibrio
de la red dual es
8v„ + 4v„ -I- 12v 2 = 24 amperios
(v„ = 1 voltio)
En la Fig. 17a
Pe» = 12 X 2 = 24 vatios
En la Fig. 17b
Pi,' = 1 X 24 = 24 vatios
El proceso gráfico ilustrado en la Fig. 17 se extiende a
una red de cuatro mallas en la Fig. 18. Se observará que todos
los nudos comunes a la espira 1 de la Fig. 18a aparecen como
elementos comunes al nudo 1 de la red dual; de modo se­
mejante para todas las otras espiras y nudos correspondientes.
La red dual contiene el mismo número de ramas que la red ori­
ginal si las tres trayectorias paralelas que conectan al nudo
1 (y que se derivan de una sola rama en serie de la red
original), se cuentan como una sola rama. Es, por supuesto,
evidente que para la dualidad algebraica 1 (el número de
C O N C E P T O S
SOBRE
53
REDES
corrientes de espira independientes) de una red debe ser
igual a n (el número de nudos independientes) de la otra.
Para 1 = n
mt = l + l = n + l = n t
donde mt es el número total de mallas y nf es el número
total de nudos.
La manera en que puede ser invertido el proceso gráfico
que se acaba de describir, se ilustra en la Fig. 19. Aquí se
3u
(b)
Fig. 18.
(a) Red original, (b) Red dual a _i
'y » — *
54
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DE
C O R R I E N T E
A L T E R N A
construye la ducd de una dual, a fin de obtener la red origissd (véase la Fig. 18). Puesto que la dualidad es una fun­
ción mutua, la construcción de una dual va de los mallas
a los nudos (si la red original se considera como compuesta
de medias), o de los nudos a las mallas (si se interpreta la
red original a la luz de los nudos, como los entes topológicos).
En la Fig. 19a se da un ejemplo de esta última situación.
Cada corriente que sale del nudo 1 corresponde a una caida
de voltaje en la malla 1 de la Fig. 19b; de modo semejante,
para los otros nudos y mallas correspondientes.
Se ha establecido la condición de que, si se ha de cons­
truir la dual geométrica de una red, la gráfica de la red ori31/
(b)
Fig. 19. (a) Red original, (b) Red dual, g„ = 1
ginal debe ser susceptible de desarrollarse sobre un plano
o esfera. La razón de esta condición es que la construcción
requiere que las ramas de la red estén orientadas en forma
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SOBRE
REDES
55
tal una con respecto de la otra, que todas las ramas separen
mallas con exactitud, esto es, sin ambigüedad. La rama 5
de la gráfica no susceptible de desarrollo de la Fig. 20b, por
ejemplo, no separa con exactitud dos áreas o mallas. Debido
a esta ambigüedad, falla el dualismo geométrico, aun cuando
se haya establecido un sistema dual de ecuaciones de equi­
librio. Si, por ejemplo, los números de las gráficas de la Fig. 20
se refieren a resistencias en ohmios, las tres ecuaciones de
equilibrio para cada red son:
7ii — 2is — 3is = 0
- S i+ lli* -
5i, = 0
(55)
—3ii — 5is + 14is — 0
Un sistema dual de ecuaciones puede formularse como sigue:
7et — 2e* — 3e3 = 0
—2ei + lle 2 — 5es = 0
(56)
—3ei — 5e2 + 14e3 = 0
Fíg. 20. (a} Una gráfica desarrollable.
(b) Una gráfica no desarrollable.
En la Fig. 21 se da una red a la cucd son aplicables las ecua­
ciones (56); en esta figura los voltajes de par de nudos ei,
ez y e3 son los voltajes de los nudos 1, 2 y 3, con relación
al nudo de referencia.
56
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3U
Fig. 21. Dual de la Fig. 20a (Prob. 19)
PROBLEMAS
1.
En la Fig. 22 se da una red de tres ramas, en la cual los vol­
tajes de rama son
v#i = ( — 2 +
v»s = 2ib3
vj2 == ( —^ + 2ii2)
(a)
Formule el número necesario de ecuaciones de voltaje y de
corriente (para obtener una solución de la red), utilizando ijv i¿2 e i¿3
como variables independientes y despeje a W
(b)
Formule dos ecuaciones de voltaje utilizando las comentes de
espira it e i2 como variables independientes, comenzando con
3*n + 2ijs = 2
2ij2 + 2ij3 = 4
Valúese ib2 como (*i + **)•
En la Fig. 20a, de la página 55, se da una red de seis ramas,
donde los números colocados al lado de las ramas indican ohmios
de resistencia, así como las designaciones de las ramas. Así,
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S O B XI
BEDES
57
No se muestran en la Fig. 20 las fuentes energizadoras, haciéndose el
supuesto de que cualquiera o todas las ramas pueden tener fuentes
de voltaje en serie con las resistencias de las ramas.
Formule tres ecuaciones de voltaje, utilizando las corrientes de es­
pira i1( i2 e i3 como variables independientes. Supóngase que los
voltajes de fuente son, en la espira 1,
= esl + es2 + eJ3; en la 2,
E2 = ®j4 + ©j5
®»2; en
Es = ©je
©*s
©*3-
Con una poca de práctica solamente, es posible formular
ecuaciones de voltaje de este tipo, mediante la observación directa de
la red, aplicando mental y repetidamente el principio de superposición.
NOTA.
(a)
(b )
Fig. 23. Los valores numéricos colocados al lado de las ramas (o de
fracciones de rama), se refieren a resistencia en ohmios
3. Véase la Fig. 23a.
(a) Determínense mediante observación directa los valores de b y
n,, y dense los valores numéricos de n y 1.
(b) Formule las ecuaciones de equilibrio del voltaje, utilizando coe­
ficientes numéricos y las corrientes de espira indicadas en la Fig. 23a.
(c) Obtenga el valor de la corriente ix, por voltio de e4.
(d) Determínese la corriente en la resistencia de 3 ohmios, a saber,
(i2 — is), si et = 8 voltios.
4 Véase la Fig. 23b.
(a) Formúlense las ecuaciones de equilibrio, utilizando coeficien­
tes numéricos y las corrientes de espira allí indicadas.
(b) Determínense la potencia entregada a la red por e4 = 8 voltios.
(c) Determínese el valor de la corriente en la resistencia de 3 ohmios,
a saber, (i2 — i3).
5. (a) Determínense por observación directa los valores numéricos
de b y n, de la Fig. 24 y especifíquense los valores numéricos de
n y 1.
(b)
¿Qué restricciones físicas son impuestas por las corrientes de
espira mostradas en lavFig. 24, que las hacen insuficientes (en número)
para producir una solución de la red?
.
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58
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(c)
¿Cuál es el correcto valor numérico del determinante de la re­
sistencia de la red que utiliza corrientes mensurables como corrientes
de espira? Por determinante de la resistencia se da a entender el de­
terminante de la matriz de la resistencia que caracteriza a la red.
(a) Construyase un árbol topològico correspondiente a la red
mostrada en la Fig. 24, de manera que
1. La corriente de espira
se identifica con la corriente de eslabón
6.
2. La corriente de espira i2 se identifica con la corriente de eslabón ic/e.
3. La corriente de espira i3 se identifica con la corriente de eslabón i^j.
4. La corriente de espira i4 se identifica con la corriente de eslabón iic.
(b) Repítese la parte (a) que precede, para
*1 —
*2
^efe1
*3 — *&<!'
*4
*6c
7. (a) Constrúyanse cuatro árboles topológicos, correspondientes a
la Fig. 23a. Dibújense los árboles con* líneas llenas (orientadas con
respecto de los nudos a, b, c, d) y en líneas punteadas el resto del
circuito, los eslabones.
(b) En cada uno de los diagramas anteriores muestre las tres corrien­
tes de espira independientes que se obtienen identificando las corrientes
de espira con los eslabones.
8. Dada la red ilustrada en la Fig. 25.
(a) Calcule la corriente que recorre la rama ab, que contiene la
batería de 1 voltio, utilizando las corrientes de espira mostradas en
la Fig. 25a.
(b) Calcule de nuevo la corriente de la rama ab, utilizando las
corrientes de espira mostradas en la Fig. 25b. Todos los valores de
las resistencias quedan en un ohmio, como se indica en la Fig. 25a.
9. (a) Formule las ecuaciones de equilibrio del voltaje para la red
ilustrada en la Fig. 26a, para las corrientes de espira indicadas.
(b) ¿Cuál es el valor numérico del determinante de la resistencia
de la red, esto es, el determinante de la matriz de la resistencia que
caracteriza la red?
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SOBRE
REDES
59
FI9. 25. Prob. 8. (Valores de resistencias en ohmios)
10.
(a) Formule las ecuaciones de equilibrio del voltaje para la
red dada en la Fig. 26b, para las espiras de corriente indicadas.
FÍ9. 26. Probs. 9 y 10. (Valores de las resistencias en ohmios)
(b) ¿Cuál es el valor numérico del determinante de la matriz de
la resistencia que caracteriza la red?
11.
(a) En la Fig. 27 se forma una matriz de resistencia que corres­
ponde a las corrientes de espira allí mostradas. ¿Cuál es el valor nu­
mérico del determinante de esta matriz?
(b) ¿Cuál es el valor correcto del determinante de la resistencia
de la red?
60
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Fig. 27. Prob. 11. (Todas las resistencias son de 1 ohmio)
12. Véase la Fig. 28.
(a) Encuentre el potencial del nudo x relativo a tierra.
(b) Encuentre el potencial del nudo y relativo a tierra.
Fig. 28. Prob. 12
13.
(a) Determine mediante observación directa los valores numé­
ricos de b y n( de la red ilustrada en la Fig. 29, y especifique los
valores numéricos de n (el número de nudos independientes) y 1 (el
número de espiras independientes).
Fig. 29. Probs. 13 y 14
(b)
Transforme las tres fuentes de voltaje y correspondientes resis­
tencias en serie en fuentes equivalentes de corriente, teniendo debida-
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SOBRE
REDES
0.5 a
(7 )
—
61
( 2)
v w v -------
10 amp.
ii
¡ti
ó
0.5 a
10
ó
•*2
0.1U
5 amp.
F ig. 30.
Probs. 15 y 16
e 2 = 1 volt
e1 = o
>
(a)
G „ = ¡ „ / l = l . 6 £/
©
I» = o
I 22 = 5 amperes
<>-»
( e ) I u « 10 amperes; I 2| = 0
Fig. 31.
Prob. 17.
P a ra uso en la resolución d e un p roblem a por su­
perposición
62
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mente en cuenta los sentidos positivos y dibuje la red equivalente,
incorporando las tres fuentes de corriente.
14. Determine el voltaje del nudo x con relación a tierra, de la
red dada en la Fig. 29.
15. Determine los potenciales de ios nudos 1 y 2 de la Fig. 30,
con relación a tierra, utilizando Vj y v2 como voltajes independientes
de par de nudos.
1G. Repita el Prob. 15, utilizando vx y v3 como voltajes independien­
tes dé par de nudos.
17. Determínense los potenciales de los nudos 1 y 2 de la Fig. 30,
aplicando el principio de superposición, con
®i = V1
e2 ~ V3
*»1 *»2
En la Fig. 31 se dan esquemas que muestran a ®11> ®12* ®21' ®22
y las corrientes componentes, en los nudos 1 y 2. Este ejercicio de
superposición se ha ideado para mostrar cómo, en el análisis del cir­
cuito, pueden considerarse separadamente los efectos de Oj, e2, i81, e
i,2. Cuando se combinan los efectos, se encuentra que
1.66! — 0.6e2 = Itl + I12 == 5 amperios
—O.Bej + l.le2 = I22 + I21 = 5 amperios
18. Construyase la dual de la red dada en la Fig. 24, de la pá­
58, sin tener en cuenta las fuentes, yendo de las mallas a los
gina
nudos. Utilícese un factor normalizador (e„) de 4.
19. Constrúyase la dual de la red ilustrada en la Fig.
página
56. Hágase el factor normalizador
21, de la
igual a la unidad.
20. Constrúyase la dual de la red mostrada en la Fig. 32, con la
construcción yendo de las mallas a los nudos. gn = 2.
21. Determínese el valor de va en la Fig. 7, Pág. 31 empleando
una corriente de espira conocida y dos corrientes de espira descono­
cidas
Capítulo II
Corriente, voltaje y potencia instantánea
Grandes partes del análisis de circuitos están dedicadas
a las respuestas estacionarias de circuitos energizados con
corrientes o voltajes alternos, que varían en función del tiem­
po, en forma aproximadamente sinusoidal. Es preciso captar
varias definiciones o convenciones relativas a cantidades al­
ternas de esta especie y dominar diversos conceptos, antes
de poder manejar con facilidad las corrientes y los voltajes
altemos.
Primeros Tiempos. El primer sistema operante de fuerza
eléctrica, en los EE. UU., fue, probablemente, la instalación
de corriente continua que montó Edison en lá ciudad de
Nueva York. Esta estación estaba trabajando satisfactoria­
mente en 1885. Los sistemas de corriente alterna comenzaron
comercialmente con la instalación hecha en Great Barrington
(Massachusetts), en 1886.
Durante la década de 1907-17, que siguió a la invención
del bulbo de vacío de tres electrodos, se convirtieron en una
realidad las corrientes oscilatorias, sostenidas de alta frecuen­
cia. Estas corrientes oscilatorias o alternas de alta frecuencia
son imprescindibles para todas las formas modernas de co­
municación: radio, televisión y radar.
La ventaja preponderante de los sistemas de c-a (en con­
traste con los de c-c) es la relativa facilidad con que dife­
rencias de potencial alternas pueden ser generadas, ampli­
ficadas y transformada en general su magnitud. El resultado
es que, en la actualidad, aproximadamente 95 por ciento de
la energía eléctrica consumida en los EE. UU. es generada,
transmitida y utilizada en forma de corriente alterna. Por lo
que respecta a fuerza eléctrica, el consumo de energía se
eleva anualmente' a unos trescientos mil millones de kilovatios-hora. En el ámbito de la comunicación, varios miles de
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64
CIRCUITOS DE CORRIENTE A LTER N A
estaciones difusoras (de los tipos de AM, FM y televisión),
utilizan diferencias alternas de potencial para generar ondas
portadoras.
Generación de Diferencias de Potencial Alternas. Cuan­
do se mueve o dezplaza un imán con respecto de conduc­
tores eléctricos, como se muestra en la Fig. 1, se induce en
los conductores una diferencia de potencial o fem. De acuerd<£
do con la ley de Faraday, tenemos, e = — N — o su equidt
valente e = N'Blv y la fem varía en función del tiempo. Para
el instante ilustrado en la Fig. 1, la aplicación de una de las
reglas para la determinación de la magnitud y dirección de
una fem inducida mostrará que la fem inducida en los con­
ductores de la armadura es igual a cero, pues en ese instante
los conductores no cortan el flujo mognético. Efectuado, en
cambio, un octavo de revolución, la fem inducida es de mag­
nitud máxima y de un sentido tal, que establece una eleva­
ción de voltaje de la terminal a, a la terminal d. Efectuado
un cuarto de revolución, a partir de la posición mostrada en
la Fig. 1, la fem inducida será igual a cero nuevamente. A los
tres octavos de revolución, contados a partir de la posición
de referencia, la fem será de nuevo de valor máximo, pero
cambiará de sentido estableciendo una elevación de voltaje
de la terminal d, a la terminal a.
Así, pues, las terminales a y d del generador son alter­
nativamente positivas y negativas, una con respecto de otra,
y se establece una diferencia de potencial, variable en fun­
ción del tiempo, del tipo, en general, de la que muestra el
Oscilograma No. 1 (Pág. 70).
Fig. 1. (a) Generador de c-a, de cuatro polos y cuatro conductores, del
tipo de campo rotatorio, (b) Esquema desarrollado, que muestra el
modo de conectar los conductores A, B, C y D. Las caras de los polos
quedan de frente al lector.
C IR CU ITO S
PO LIFA SIC O S
485
N O B A LA N CE A D O S
Fig. 31.
Véase el Problema 29.
34. Véase el ejemplo 13, Págs. 479-"480 inclusive la Fig. 26. Despeje
a L* lo e I3 por el método de corriente de circuito, despreciando las com­
ponentes resistivas de todas las impedancias de las ramas, para una se­
cuencia de voltaje E ^ -E ^ -E ^ . (Los
a>
a
resultados pueden ser dejados en la
forma de la relación de dos matri­
ces).
35. En la Fig. 32, L ab = L cb ==
= 0.01 henrios, y el coeficiente de
acoplamiento es de 0.5. No se supon­
gan más resistencias o inductancias
Fig. 32. Véanse los Problemas
que las indicadas en la figura. La
35 y 36.
secuencia de los voltajes de man­
dó balanceados es n'a'-n'b'-n'c' y
1 000 radianes/segundo, calcule las
= 57.7 /90° voltios. Para
corrientes de fase y de línea de la carga. Use el método de Maxwell de
corriente cíclica.
36. Establezca el determinante para despejar a 1^, en el Problema
35, si en cada línea que va a la carga se insertan 3 ohmios de resis­
tencia pura y se utilizan la misma secuencia y eje de referencia da­
dos en el Problema 35. Para una comprobación uniforme de los resul­
= L
tados, use corrientes cíclicas como sigue: Corriente cíclica
Corriente cíclica I,
ccbb'
Corriente cíclica
a.'n'6'&a
37.
Despeje la.n, l h>b, e Ic,c, en la Fig. 33, si En,a, = 1 350 - f jO vol­
tios, En,ft, = — 675 — jl 170 voltios y En,c, = — 675 4“ jl 170 voltios.
Fig. 33.
Véase el problema 37.
138
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
contrario al de las manecillas de un reloj (2), sin cambiar la
magnitud del fasor .
Sea j un operador que hace girar 90° contra reloj a cual­
quier vector a que se aplica como factor, esto es, por el cual
se multiplica. El significado físico del operador j puede ser
apreciado mejor considerando primero que opera sobre un
fasor A, que coincide con el eje de las x. Entonces, por de­
finición, cuando el fasor A de la Fig. 2 es multiplicado por
j, se obtiene un nuevo fasor jA, a 90° contra reloj de A. Si
el operador j es aplicado al fasor jA, hará girar, por defini­
ción, 90° contra reloj a jA. El resultado es jjA = j2A, como se
muestra en la Fig. 2. También se sigue de la Fig. 2
i 2A = - A
De aquí que
¿2 = - l
y
j = V^l
(3)
Si se aplica el operador j al fasor j2A, el resultado es
j3A = —jA. El vector j3A está a 270° contra reloj del eje de
referencia, y directamente opuesto al fasor jA, en la Fig. 2.
Si, a su vez, el fasor j3A es operado por j, el resultado j4A
= j2j2A = A. Se ooservará que las aplicaciones sucesivas
del operador j al fasor A producen pasos sucesivos de 90°
de rotación del vector, en la dirección contra reloj, sin afectar
la magnitud del fasor.
Se ve claramente en la Fig. 2 que la multiplicación de A
por —j da —jA, un fasor de magnitud idéntica, hecho gi­
rar 90° a partir de A, en el mismo sentido de las manecillas
de un reloj (3). De aquí que —j sea un operador que produce
una rotación de 90° a reloj.
La Forma Cartesiana de Notación. Un fasor, en cual­
quier cuadrante, puede ser completamente determinado me­
diante la notación de coordenadas cartesianas, como se mues­
tra a continuación
A = ± a ± ja '
(4)
en la cual a es la proyección del fasor sobre el eje de las x
( 2) Proponemos la expresión "contra reloj", cuyas ventajas son ob­
vias. N. del T.
( 3 ) Proponemos la expresión "a reloj”. N. del T.
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139
ALGEBRA VECTORIAL
A
iA
-X
j2A =-A
fA=-jA
Fig. 1. Resolución del iasor A
en sus componentes axiales.
Fig. 2. Efectos producidos por
aplicaciones sucesivas del opera­
dor j al fasor A, cuya posición
original coincide con el eje de las
x positivas.
y a' es la proyección sobre el eje de las y. En cualquier caso,
la magnitud del fasor A es:
A = Va2+ a 2
(5)
La posición de fase de un vector en el primer cuadrante
está convenientemente descrita en función del ángulo posi­
tivo agudo, medido contra reloj (4), partiendo del eje de las
x hacia la posición del fasor En forma de ecuación
(« )
La posición de fase de un fasor, en el cuarto cuadrante,
queda convenientemente descrita en función del ángulo agu­
do negativo, medido en un sentido a reloj (5), partiendo del
eje de las x, hacia la posición del fasor
Un fasor del cuarto cuadrante puede, por supuesto, ser
determinado en función del ángulo positivo (360° — 04a.), don­
de 04a. es la magnitud del ángulo, medido en un sentido ne­
gativo o a.r., partiendo del eje de las x, hacia la posición del
fasor.
Las posiciones de fasores del segundo y tercer cuadran­
te pueden ser fácilmente situadas, en función de las compo­
( 4) Abreviado c. r. N< del T.
( 5 ) Abreviado a. r. N. del T.
140
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
nentes a y a', determinando primerc. el ángulo agudo, cuya
tangente es a'/a, sin tomar en cuenta el signo, >y en seguida
substrayendo este ángulo de 180° o sumándolo a 180°, según
que la componente a' sea positiva o negativa.
La Fig. 3 ilustra el modo cómo los íasores pueden ser
determinados en cualquier cuadrante, en magnitud y posi­
ción de fase, en función de componentes reales y de compo­
nentes j. Para determinar el ángulo de fase, es necesario co­
nocer los signos particulares de a y de a', a fin de situar co­
rrectamente el ángulo 0.
i
Fig. 3. Los iasores de cualquier cuadrante pueden ser determinados
en (unción de sus componentes reales (eje de las x) y de sus compo­
nentes j (eje de las y).
El Operador (eos 9 ± j sen 0). La inspección de la Fig. 3
mostrará que la proyección de un fasor sobre; el eje de las
x, en cualquier cuadrante, es A eos 9. El ángulo 9 puede ser
medido en sentido positivo o negativo, a partir del eje de
las x, para determinar la proyección sobre este eje, pues eos
9 = eos ( —0).
La proyección sobre el eje de las y, en cualquier cuadran­
te, es A sen 9, si 9 se mide en el sentido c. r., a partir del eje
de las x. La proyección sobre el eje de las y es —A sen 9,
si 9 se mide en el sentido a. r., yendo del eje de las x hacia
la posición del fasor . Por tanto
A = A (eos 0 ± j sen 9)
(8)
es equivalente a la forma mostrada en la ecuación (4). Se
usa el signo 4- si 9 se mide contra reloj, a partir del eje de
referencia y — si 9 se mide a reloj.
141
ALGEBRA VECTORIAL
La ecuación (8) muestra que (eos 9 + j sen 0), al operar
sobre una magnitud real A, esto es, un vector de A unidades
de magnitud, tomadas sobre el eje de las x, hace girar a
este fasor, a través de un ángulo + 9, desde su posición
inicial. De manera semejante, el operador (eos 9 — j sen 9)
hace girar al vector original, a través de un ángulo — 9.
Puede demostrarse que el operador (eos 9 ± j sen 9) hace
girar cualquier fasor con el que se asocia como multiplica­
dor, a través de + 9 o — 9 grados, lo que depende de que
se emplee el signo + o el signo —. Supóngase un fasor
en una posición tal, que a = A eos a y a' = A sen a.
A (inicialmente) = a + ja' = A (eos a + j sen a)
Sea A ' = A [operado por (eos 9 + j sen 0)]
A ' = A (eos a + j sen a) (eos 9 + j sen 9)
(9)
(10)
A ' = A (eos a eos 9 + j eos « sen 9 + j sen « eos 9 +
+ j2 sen a sen 9)
= A [(eos a eos 9 — sen a sen 9) + j (sen a eos 9 +
+ eos a sen 0)]
= A [eos (a + 9) + j sen (a + 0)]
(11)
La ecuación (11) muestra que A ' es un fasor igual en
magnitud al vector A, pero 9 grados adelante de la posi­
ción de A, pues ahora hace un ángulo de (n + 9) con el eje
de referencia.
De modo semejante, es posible demostrar que el opera­
dor (eos 9 — j sen 9) hace girar —9 grados a cualquier fa­
sor al cual se asocia.
Forma Exponencial del Operador (eos 9 ± j sen 9). La
siguiente ecuación contiene una relación importante
(eos 9 ± j sen 9) = e±,e
(12)
La ecuación (12), conocida como la ecuación de Euler,
se sigue inmediatamente del desarrollo en serie,11 según la
fórmula de Maclaurin, de eos 9, sen 9 y ei0.
8 Ciertas lunciones, entre las cuales se cuentan eos (0), sen ( 0)
y e—í®, pueden ser desarrolladas en serie, mediante la fórmula de
Maclaurin. La fórmula es
f(6)
/ ' " ( O)03
= /(O) + ------1------------1,------------f • • • etc.
f '( 0 ) 0
f"(0 )0 -
En esta fórmula í(0 ) es la función dada de 0 que ha de ser des-
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Capítulo V
(Jlnálisis de circuitos sinusoidales
monofásicos
Impedcmcias en Serie. En la Fig. 1 se muestra un circui­
to en serie, de tres impedancias. En un circuito de este tipo
es evidente que sólo puede existir una corriente única, en
Ri
Xi
-R s
.*.»
R,
-V W W - 'o o o o '- ' V V w —I f — W V W —
Vi^
v2)
v3>
.I
Fig. 1. Impedancias en serie.
un instante dado, y que la corriente que pasa por cada impedancia es la misma. 1 La ley de Kirchhoff estatuye que
0
y
V = Vi + V2 + V3
(1)
V = IZx + IZ2 + IZ3
(2)
V = I(Zi + Z2 + Z3) = IZ
(3)
La ecuación (3) muestra que las impedancias en serie se
suman en forma compleja para obtener la impedancia equi­
valente. Así,
Z = Zi + Z2 + Z3 = ( i ? j + j X 1 ) + ( i ? 2 + j X 2) + (Rz + jO)
° Z =(/?! + R 2 + R 3) + j ( X 1 + X 2) = R + j X
(4)
1 Se hace la suposición de que la corriente está confinada dentro
del circuito en serie. Se desprecian las corrientes maxwelianas de des­
plazamiento espacial.
180
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
La ecuación (4) muestra que la resistencia resultante R
de un simple circuito en serie, se obtiene sumando aritméti­
camente las resistencias separadas. Cuando se recuerda que
las reactancias inductivas se consideran positivas y las ca­
pacitivas negativas, la ecuación (4) muestra también que la
reactancia resultante X de un circuito en serie es la suma
algebraica de las reactancias separadas.
Si se toma la corriente como eje de referencia, el diagra­
ma vectorial de la Fig. 1 aparece como se muestra en la Fig.
2. Ese tipo de diagrama vectorial se llama diagrama funicu­
lar. En la Fig. 3 se muestra otro tipo de diagrama vectorial,
que representa el mismo circuito. Éste se llama diagrama
polar. La característica distintiva del diagrama vectorial fu­
nicular es que ciertos vectores componentes, se combinan (el
extremo de uno con el origen de otro) para formar un vector
resultante, como, por ejemplo, los voltajes componentes Di,
cular del circuito de la Fig. 1.
circuito de la Fig. 1.
i x 1( m 2, dc2 e m 3 se combinan para formar el vector del vol­
taje resultante V . En un diagrama vectorial polar todos los
vectores parten de un origen común, como se muestra en la
Fig. 3.
Cualquier tipo de diagrama puede ser usüdo, pues repre­
sentan lo mismo. Debe usarse el que resulte más sencillo
para el caso dado. En ciertos casos, el diagrama funicular
muestra las cantidades más ventajosamente, mientras que
en otros, el diagrama polar sugiere mejor las relaciones y es
de más cómodo uso.
En general, para un circuito en serie de n impedancias
V «■ I ( Z i + Z 2 + Z 3 + • * • 4- Z »)
y
(5)
Z = (Rt + R2 + J23 + • • • + Rn) + j ( X 1+ X 2 +
X 3 + • • • + X n)
(6)
ANALISIS DE C IR C U IT O S
^= ^
S IN U S O ID A L E S
M O N O F A S IC O S
181
+ R* + R i 4- • • • + R n)2 + (-Xi + X ¡ + X 8+ ■• • + X „)2
ten" 1
L
f 1+ f 2+ f 8+ ' “ + Z"
Ri ~t~R% ~l~ Rs + ••♦ + Rn
(7)
En el Cap. II se demostró que el ángulo de impedancia es
el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje. En el Cap. III
se demostró que el factor de potencia es el coseno de este án­
gulo. De aqui que, para un circuito en serie, la Fig. 2 mues­
tra que
.
IR
R
tactor de potencia = eos 0 — — = —
IZ
Z
[
R\ + R2 + R3 + • • * + Rn
y/ (fii + R2 + R& + ■• • + Rn)2 +
+ X2 + Xa + • • • + X n)3
(8)
Ejemplo 1. Calcúlense la corriente, las caídas de voltaje, V 1, V2 y
V3, la potencia consumida por cada impedancia y la potencia total to­
mada por el circuito, con las constantes mostradas en la Fig. 4. El vol­
taje impreso se hace coincidir con el eje de referencia.
“ t —^
4/1
W
100 voltio«
3/1
W
Vi
6/1
2/1
V
—|£—
Vt
Vj
J _____________________________
Fig. 4.
Circuito para el ejemplo 1.
,.Y .
«»+ *>
.
100 d 2 ±jg > ------ 7.1 + ¿2.96 amperio,
Z 4 +¿3 + 6 -¿ 8 + 2
(12 - ¿ 5 ) (12 + ¿5)
Vi = IZi = (7.1 + ¿2.96) (4 + ¿3) = 19.53 + ¿33.14 voltios
Vi *= IZj = (7.1 + ¿2,96) (6 - ¿8) = 66.27 - ¿39.06 voltios
V, - IZ, = (7.1 +¿2.96) (2 + ¿ 0 ) = 14.2 + ¿5.92 voltios
comprobación
V = 100 + ¿0
voltios
Nótese que las caídas se suman vectorialmente, para dar una suma
igual al voltaje impreso.
= R I* - 4(V7.1* + 2.96*)* - 4 X 7.69* = 237 vatios
P t - 6 X 7.69*
- 366 vatios
Pj = 2 X 7.69*
Potencia total
=■ 118 vatios
=» 710 vatios
La potencia totai es también (vi + v'i') = 100 X 7.1 = 710 vatios.
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182
C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E ALTERNA
Problema 1. (a) Encuentre la corriente que pasa por el circuito
dus la Fig. 5 y las caidas de voltaje V0j, V6c y Vc¿,
Respuesta: 1 = 1 0 /0^ amperios, V<* = 20 —j'40 = 44.7 / —63.45° voltios
Vi« = 30 +J110 - 114 /74.75o voltios
Vcd = 20 +y0 = 20 /0° voltios
(b) Dibuje un diagrama vectorial fenicular de Voí., Vbc, Y Vc((, in­
cluyendo a V y a I en el diagrama.
(c) Dibuje un diagrama polar de Vai). V¡,c, Vc(j, V e I.
-
2/1
(,
3/1
11/1 c 2/1
¿
1
V — 98.98 /45° voltios
1
Fig. 5 Véanse los Problemas 1 y 2.
Problema 2. Calcule la potencia total disipada en la Fig. 5, usando
(I2R), a partir de (VI eos $) y con (vi + v'i').
Respuesta: P = 700 vatios.
Resonancia en Serie. Un circuito en serie que contiene
R, L y C, está en resonancia cuando la reactancia resultante
es cero. Puesto qué la caída a través de la inductancia se
adelanta a la corriente en 90°, mientras que la caída a traIX
vés del condensador se retrasa en 90°, las
dos caídas son opuestas. Si se hacen iguaV
les, como en la Fig. 6, se neutralizan las
Ír
^
caídas de v o l t a j e reactivas y el voltq'e
impreso es igual únicamente a la caída reIXC
sistiva. Esta situación o estado se llama reFig. 6. Diagrama
sonancia en serie. La inspección del diavectorial de un cirgrama vectorial de la Fig. 6 muestra que el
cuito re s onante.
voltaje aplicado está en fase con la corrien©n serie.
te. El factor de potencia es igual a la uni­
dad y el circuito está en resonancia. Así pues, para la reso­
nancia en serie
IXL - IX c
O
X¿ = Xc
(9)
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
183
Puesto que 2?rfL = l/2wíC en el punto de resonancia, la
frecuencia resonante es
(10)
en la cual i«, está en ciclos/segundo, cuando L está expresa­
da en henrios y C en faradios. Es evidente que la resonan­
cia en serie puede ser producida en un circuito en serie
variando L, C o f. La corriente es siempre dada por
V
V
y/R 2 + (X L - X c )a
Pena cualquier valor de la corriente, la caida a través de
la resistencia es
VR
12)
(
De modo semejante, las caídas a través de la inductancia
y la capacitancia son, respectivamente
VXL
(13)
y
Ve — IX c =
VXC
(14)
Las características generales de un circuito en resonan­
cia son las mismas, sin importar qué parámetro sea variado
para producir la resonancia. Por ejemplo, en todos los casos,
para el estado o situación de resonancia, el factor de poten­
cia es 1. La potencia es simplemente igual al voltaje impre­
so, multiplicado por la corriente. La corriente es V/R, el
máximo valor posible, para la resistencia que existe en el
circuito. La forma general de la curva de corriente, antes, en
y después del punto de resonancia, se muestra en la Fig. 7.
La resonancia ocurre en el punto C. Limitada como está so­
184
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
lamente por la resistencia del circuito, la corriente, en el punto resonante C, será grande si la resistencia es pequeña.
Cuando la reactancia resultante es grande, como lo es en el
punto A, fluirá sólo una pequeña corriente. De aquí que haya
una rápida elevación de la corriente del punto A al punto C.
Inversamente, cuando la resistencia es grande, el cambio to-
Fig. 7. Variación de la corriente con
la frecuencia, en el intervalo de la
resonancia en serie.
J
1
]
j
j
Fig. 8. Efecto de la resistencia so­
bre la variación de la corriente, enel
intervalo de la resonancia en serie.
tal de la corriente, del punto A al C, será pequeño. En el pri­
mer caso la cresta será más aguda que en el segundo, como
se ilustra en la Fig. 8. De aquí que se diga que una resisten­
cia pequeña da una sintonización aguda (crítica) y una re­
sistencia grande, una sintonización ensanchada (imprecisa).
Más exacto, la razón de L a R regula la agudeza (precisión)
de la sintonización. Esto se demostrará después. Los anterio­
res enunciados son verdaderos para todos los métodos de
obtener la resonancia. Estudiaremos ahora más detallada­
mente los diversos modos de obtener la resonancia.
Inductancia Variable. Cuando se hace variar a L para
obtener resonancia, se obtienen una serie de curvas, mostra­
das en la Fig. 9. Las ecuaciones (11), (12, (13) y (14) son las
ecuaciones de las curves de corriente y ccdda de potencial.
Se notará que Vc llega al máximo en el punto de resonando,
mientras que el valor máximo de V¿, se da pasado el punto
de resonancia. Este resultado era de esperarse. Como Vc =
— IXC y Xc es constante, la caída máxima a través del con­
densador ocurrirá cuando la corriente sea máxima. En el caso
de V j = IX¿, tanto I como X¿ están aumentando antes del
punto de resonancia y el producto debe estar aumentado.
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ANALISIS
DE
C IR C U IT O S
S IN U S O ID A L E S
M O N O F A S IC O S
185
En el punto de resonancia, I no cambia, pero X¿, está aumen­
tando y de aquí que la caída aumente. La caída continúa en
aumento, hasta un punto en que la reducción de la corriente
compensa el aumento de X¿. Este punto puede ser determi­
nado, haciendo dVt/dX¿, = 0. Derivando la ecuación (13) y
haciendo el resultado igual a cero, tenemos
iVL [R?+ (X l - X
iXL
qW
V - V X l%[R2+ (X l - X c ) 2r> 2 (X L- X C)
R 2 + CXL - X c ?
1 ~ é f C' x < f° * )
°
riando L.
~ C (g a +
Xc,)
<I5)
L, en un circuito RLC en serie.
Ejemplo 2. Siendo variada L para producir resonancia en un cir­
cuito en serie que contiene R = 100 ohmios, Xc = 200 ohmios y f =
= 60 ciclos, encuentre la caída de voltaje a través de L en resonancia
y también cuando la caída de voltaje a través de L es máxima, si
se imprimen 1 000 voltios.
En la situación de resonancia, X L = X0 = 200. Z = 100 -f- j200 —
— j200 = 100 + jO ohmios.
1000
I s = ----- = 10 amperios.
100
C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E ALTERNA
186
VL (en resonancia) =. IXt = 10 X 200 = 2 000 voltios
R2 + X„2
1002 + 2002
Para V, máxima, 2rríL = ------------= --------------- = 250 ohmios
Xc
200
I (para V, máxima) =
VL máxima = 8.94
1000
■ .__
— ■ . — = 8.94 amperios
y 100* + (250 - 205)2
X 250 = 2 235 voltios.
La variación en el ángulo de fase entre V e I, al ser variada L, se
obtiene fácilmente del diagrama de impedancia de la Fig. 10. Puede
Xc
verse que el ángulo varía de tan —1---- (un ángulo negativo), para
R
L = 0, hasta -f- 90° para L = oo • De aquí que el factor de potencia
R
varíe de —
- (para L = 0), a 0 (para L —» oo).
V Rí + V
Problema 3. (a) Encuentre el valor de la reactancia inductiva y el
valor que hace igual a 0.866 al factor de potencia del anterior circuito
en serie, estando la corriente adelante.
Sugerencia. Los problemas de este tipo se resuelven más fácilmenXX
te cuando se tiene en cuenta que ---- = ± tan 0.
2R
Respuesta: X¿ = 142.3 ohmios, L = 0.377 henrios
(b)
Encuentre el valor de la reactancia inductiva que hace al fac­
tor de potencia igual a 0.866, estando la corriente retrasada.
Respuesta: Xt =.257.7 ohmios
Capacitancia Variable. Cuando se varía a C para pro­
ducir resonancia, se obtienen curvas como las que se mues­
tran en la Fig. 11. Como antes, las ecuaciones de estas cur­
vas son las ecuaciones (11), (12), (13) y (14). Aquí la caída
a través de la inductancia es máxima cuando la corriente es
máxima, pues Xt es constante. La ccdda máxima a través
del condensador ocurre antes del punto de resonancia. En
el punto de resonancia, Xc está disminuyendo, mientras que
la corriente no cambia (la pendiente es cero). La caída IXt
debe, en consecuencia, estar disminuyendo. Consecuente­
mente, la caída debe haber llegado a su máximo antes del
punto de resonancia. En el punto de resonancia, las caídas
a través de la inductancia y la capacitancia, respectivamen­
te, son iguales y opuestas. Las condiciones para que Vc sea
ANALISIS DE CIRCUITOS
SINUSOIDALES
MONOFASICOS
187
máximo pueden ser deter­
minadas analíticamente,
igualando a cero la deri­
vada primera con respecto
a C o X(? de la ecuación
(14), de modo semejante
a como se procedió cuan­
do se tomó a L como va­
riable. Esta derivación se
deja al estudiante.
El voltaje im preso es
igual a la caída IR, el fac­
tor de potencia es igual a
la unidad y la corriente
está al máximo en la si­
tuación de resonancia. Pa­
ra una capacitancia cero,
la reactancia cap a citiva
es infinita y la corriente es,
en consecuencia, cero. Pa­
ra una capacitancia infini­
Fig. 11. Resonanc a en serie, mediante
ta la reactancia capaciti­
variación de a capacitancia.
va es cero y la corriente
V
es
■ ———. El ángulo de fase entre la corriente y el voltaje
y/W 4- Xt*
aplicado varía entre los límites indicados en la Fig 12. El facp
tor de potencia varía de - = = = = = = , cuando C es infinita, a
VR
' Xjr,
cero, cuando C = 0.
La resonancia se obtiene generalmente variando la capa­
citancia, pues para obtener una capacitancia variable basta
con hacer movibles las placas alternas de un condensador.
Esto es fácil de hacer y la variación de la capacitancia pue­
de efectuarse en forma extremadamente uniforme y gradual.
Problema 4. Suponiendo que se hace variar a C para producir
resonancia, en un circuito que contiene 100 ohmios de resistencia y
200 ohmios de reactancia inductiva a 60 ciclos, encuentre la caída
máxima a través de la capacitancia, si el voltaje impreso en el cir­
cuito es de 100 voltios.
Respuesta: 223.5 voltios
Frecuencia Variable. Cuando se varía la frecuencia para
producir resonancia, se obtienen las curvas mostradas en la
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188
CIRCUITOS DE C O RRIENTE ALTERNA
muestra el alcance del ángulo 0 del factor de potencia, al ser variada C, en un
circuito en serie RLC.
Fig. 13. Resonancia en seríe, mediante variación de
la frecuencia.
Fig. 13. Aquí ni la inductancia ni la capacitancia tienen la
caída máxima de voltaje en el punto de resonancia. La inspección de las figuras 9,
Y Hacia XL
—OO
11 y 13 m o stra rá que
I
este método para obtener
la resonancia participa de
los dos métodos discuti­
dos anteriormente. £1 es-
1/1
L“ 0.1henrios/C=100„,
1.00 voltios
i _______________
Fig. 14. Triángulo de impedancia que muestra la varia­
ción del ángulo de fase, de
—90° a + 90°, al ser varia­
da la frecuencia en un circui­
to RLC.
Fig. 15.
Circuito para el
ejemplo 3.
tudiante puede explicar estas curvas, tomando en cuenta los
principioá presentados anteriormente. La corriente es cero,
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
189
tanto para la frecuencia cero como para la infinita. El ángu­
lo de fase entre la corriente y el voltaje varía entre — 90°
y +90°, como puede verse, estudiando los triángulos de impedancia ilustrados en la Fig. 14. Sé observará que, para to­
dos los métodos de producir resonancia, la corriente es un
máximo y depende sólo del voltaje impreso y la resistencia
del circuito; que el factor de potencia es 1, y que la potencia
es un máximo e igual a los voltamperios en el punto de re­
sonancia.
Ejemplo 3. Para el circuito y las condiciones mostradas en la Fig.
15, calcule la frecuencia, la potencia, el factor de potencia y la caída
de voltaje a través de cada parte del circuito, en el punto de resonancia.
/m =
I
= ¿ J á Í l T ¿ 0 0 0 Í Ó 5 = 50 4 ciclos
X L c* 2gr50.4 x o.l - 31.6 ohmios
X r — ------------------- = 31.6 ohmios
2ir 50.4 X 0.0001
/ — —....
,
___ =
— 100 amperios
V I 2 + (31.6 - 31.6)*
P =
100 X 100 =
10 000 vatios
vatios
10 000
F.p. = ------- = ------------ =
va
100 X 100
1
Vfl =
100 X 1 == i 00 voltios
VL =
100 X 31.6 = 3 160 voltios
Vc =
100 X 31.6 = 3 160 voltios
Problema 5. (a) ¿Cuál es la frecuencia resonante de un circuito
en serie que consta de 2 ohmios de resistencia, 150 microhenrios y
200 ¡ifil de capacitancia? (b) ¿Cuál es la frecuencia resonante, si
R = 3 ohmios, L = 300 microhenrios y C = 100 « r««l? (c). ¿Cuál es la impedancia de cada una de las combinaciones, a 1 000 kilociclos?
Respuesta: (a) 920 kilociclos, (hí 920 kilociclos, (c) 147 ohmios y 294
ohmios.
El Circuito en Serie RLC, como Selector. Aunque el cir­
cuito RLC deja pasar, hasta cierto punto, a todas las ondas
de frecuencia finita, se ha demostrado que para la frecuencia
resonante tiene su impedancia más baja. Como muestra la
190
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Fig. 7, el circuito RLC deja pasar frecuencias cercanas a la
resonante con más facilidad que otras. El circuito tiene así
propiedades selectivas. La banda de frecuencias que son
dejadas pasar prontamente, es llam ada la banda de paso.2
Fig. 16. La rama RLC en serie, como selector de banda. Gráfica para
R = 10 ohmios, L = 0.01 henrio y C = 4.0 ¡xi.
Se conviene en considerar a la banda de paso como la
escala de frecuencias, dentro de cuyo alcance la corriente
es igual o mayor que V / V 2 R , como se indica en la Fig. 16.
Dentro de este alcance, la potencia (I2R) es igual o mayor que
V-/2R. Determinaremos ahora el alcance en cuestión. Según
la ecuación (11)
I = ■■- =
=
V
=
=
VR2 + (oí - \/üC Y
(16)
2
Existen diversos nombres. Estimo el escogido como el más correc­
to, como podrá verse en el Cap. XIII, donde queda claramente estable*
cido el significado de la "banda de paso" como la que deja pasar
determinada escala de frecuencia y la "banda de eliminación" como
la que elimina determinada escala de frecuencias. N. del T.
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191
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
La comente máxima (V/R) y la potencia máxima, V2/R,
se dan en el punto de frecuencia resonante, o sea cuando
<Um = V L C
(17)
en donde <om es 2ir veces la frecuencia resonante ím. Sean <ax
las velocidades angulares, a las cuales
V2R
Puesto que en estos puntos la potencia es exactamente
la mitad de la potencia máxima que se da en la situación
de resonancia, se llaman los puntos de media potencia. Lle­
vando a la ecuación (16) el anterior valor de la corriente, se
tiene
V
V
.............. .....
V2R
V R a + (wxL
—
(18)
- 1K C ) a
De la cual se obtiene
R = ± (oiJL — l/«uBC)
Nótese que en estos puntos la resistencia del circuito es
igual a la reactancia resultante, el ángulo de fase entre el
voltaje aplicado y la corriente es de 45°, y el factor de poten­
cia es de 0.707.
Despejando a <■>* en la ecuación anterior, se tiene
-, = ± —
V “4L22L ± V
+~
7r
LC
(19)
En una rama selectiva RLC, (R/2L)2 es generalmente mu­
cho más pequeña que 1/LC. De aquí que, despreciando este
término, la ecuación (19) se transforma en
<ax ¡=* ± R/2L ± V 1/LC
(20)
Pero V 1/LC es la velocidad angular <am correspondiente
a la frecuencia resonante. Por tanto
»* ** SÉ
R
± ®m
y, si sólo se toman en cuenta valores positivos de <am,
(21)
192
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
R
w»
(22)
Sea
R
“ 1~
<»2
(23)
“ IT
= <a»n + ' 1
(24)
La anchura de la banda, como se muestra en la Fig. 16, es
Aa> = <i)2 — ©i = — radianes/seg.
(25)
La variación de la frecuencia para el cancd o banda, tal
como aquí se define, es Af = f2 — fi = R/27rL. La anchura
de banda/unidad se define como Af/fm. Si seleccionamos convencioncdmente una anchura de banda distinta de la mostrada
en la Fig. 16, como se tendrá ocasión de hacer posteriormente,
se harán cambios adecuados en la definición de Af.
Ejemplo 4. Supóngase que se quiere determinar la respuesta de
corriente en decibeles (db), en los puntos de media potencia de la Fig. 16
(relativamenje a la respuesta en <um), si por definición tomamos
db =
I
20 log —
V
donde I es la respuesta de corriente en cualquier punto de la ^gráfica
mostrada en la figura.
Puesto que en los puntos en cuestión I = V/\/2R
V
V2R
db = 20 log——
= -2 0 log 1.414 = - 3
R
El número anterior muestra por qué algunas veces los puntos de
media potencia son llamados los puntos — 3 db.
La Q de un Circuito en Serie. El grado de selectividad
de un circuito, esto es, la menor extensión de la amplitud de
banda, mostrada en la Fig. 16, generalmente se expresa
por medio del símbolo Q. Aunque se encuentran diversas
ANALISIS DE CIRCUITOS
SINUSOIDALES MONOFASICOS
193
definiciones de Q, todas tienen el propósito de significar lo
mismo. Utilizaremos la siguiente definición, pues se relaciona
intimamente con los procedimientos experimentales
Q =
0)2 — « i
Au
(26)
Aj
Véase la Fig. 16, para los significados de «u, <a2 y e>m.
En el caso del circuito en serie RLC
0 _
_ COm
~ Au ~ R,
-
UmL . __ 1___________1________ 1_ L
Rs
umCR, ~
1 TT
R ,y c
---- C lis
L
(
}
VLC
donde Rs es la resistencia en serie equivalente total del cir­
cuito. Puesto que la resistencia equivalente del condensador
en el circuito en serie es generalmente despreciable, en com­
paración con la resistencia de la bobina, se acostumbra ha­
blar solamente de la Q de la bobina, suponiendo que, en
alguna frecuencia determinada, la bobina estará en reso­
nancia con un condensador de tamaño adecuado.
De la ecuación (27) se sigue Q* == ———. Si tanto el numeraR*
dor como el denominador del segundo miembro de esta ecua­
ción se multiplican por la corriente de resonancia, Ifn« entonces
^ (OmLIres _
cctída de voltaje a través de L
voltaje aplicado
(28)
Asi pues, Q, es un múltiplo del voltaje aplicado de circuito
que existe entre cada uno de los elementos reactivos, en
resonancia.
Ejemplo 5. La amplitud de banda unitaria entre los puntos de me­
dia frecuencia (llamados también — 3 db), en la Fig. 16, es de 0.02.
Encuéntrese la Q de la bobina.
Amplitud de banda unitaria =
Q =
A<!>
—— =
iúm
1
----- =
1
—
Q
50
0.02
Si la bobina que se utiliza tiene una inductancia de 10 milihenrios
y la frecuencia resonante es de 20 kc, encuentre los valores de R„ y
de C.
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194
C IR C U IT O S D E C O R R IE N T E ALTERNA
•fts--- -— —
Q*
2ir X 20,000 X 0.01
—---------50
= Sx = 25.1 ohmios
47t-(20,000)2 X 0.01 = 0 00(i:w X 10-6 faradi0sEl uso de Q (o el recíproco3 de Q ) en el análisis de cir­
cuitos, tomará más importancia y significación en los circuitos
de radiofrecuencia, donde Q„ es esencialmente constante, que
en los circuitos de baja frecuencia, donde R, es esencialmente
constante. [Debe tenerse en cuenta que Rs ha sido tácitamen­
te supuesta constante en la ecuación (27) y en la Fig. 16]. Al
analizar circuitos de radiofrecuencia sintonizados, cercanos a
la frecuencia resonante
— 1/VLC, obtenemos mayor pre­
cisión escribiendo
z - fc
f
como
z = . . L r i + i ( —
L <l>jnL
\ <úm
)1
Ü) / J
O
z = ~ L ( ¿ + »F ) - V
i ( é
+ iF )
e»
puesto que Q es considerablemente más constante que R„
dentro de una escala de frecuencias centrada en <um. Está cla­
ro que F = (ü>/íúm — u>»i/«»).
Si L, C y Q de la ecuación (28) son esencialmente cons­
tantes, entonces F = (u/u»,,, — <am/a>) es la única variable in­
volucrada y está claro que la respuesta de corriente a <o tome
la misma forma que la de la Fig. 16, pues en un caso la res­
puesta está basada en
V
I = ------- Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
y, en el otro, sobre
______
"v / r -2 + ( "L — ——
'
VV CQ:
—— + V
(«L “ —
Y
o.C /
*
Hemos traducido recíprocos y no recíprocas, por dos razones: 1*
es una elipsis de número recíproco, y 2* existen tablas de recíprocos
y no de reciprocas.
ANALISIS DE CIRCUITOS
SINUSOIDALES
M ONOFASICOS
195
que se obtiene dando a R, el valor que le resulta de la
ecuación (27).
En caso de baja frecuencia, se supone que R» es constante,
lo cual es esencialmente verdadero, y en el caso de alta fre­
cuencia se supone que L/CQ2 es esencialmente constante. Se
dan casos en que ninguna de las dos suposiciones está jus­
tificada, pero estos casos se reservan para cursos más avan­
zados.
Diagrama Circular de un Circuito en Serie. A menudo se
emplean diagramas circulares, como auxiliares para el aná­
lisis de las características de operación de circuitos que, en
ciertas condiciones, se usan para representar líneas de trans­
misión y algunos tipos de maquinaria de c-a. Con apoyo en
la Fig. 17, se establecerá la base de representación de un
circuito en serie, por medio de un diagrama circular.
La resistencia R del circuito de la Fig. 17 puede ser con­
siderada como variable y, en cambio, se supondrá que son
constantes el voltaje aplicado y la reactancia.
El ángulo del factor de potencia es simbolizado por 0. Si R
es cero, I es obviamente igual a V/X, y este valor de I se
kV
I
X
-''ÓWíT1------ 1
Y
Fig. 17. Circuito en
serie con variable R.
_________ J
Fig. 18. Diagrama circular de la
Fig. 17, para V y X constantes, pero
con R variable.
retrasaría 90° con respecto de V, si X es inductiva (véase
la Fig. 18). Al aumentar R, a partir del valor cero, la magni­
tud de I se hace menor que V/X y 0 se hace menor de 90°
y, finalmente, si R=oo, I es igual a cero y 6 igual a cero. El
hecho de que el lugar geométrico del vector I sea una semi­
circunferencia, como se ve en la Fig. 18, se explica como
sigue
E n g e n e r a l:
y
I =
—
(29)
(30)
196
o
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Z = — sen 0
(31)
Sustituyendo este valor de Z en la ecuación (29)
V
I = — sen 0
(32)
¿A
Para V y X constantes, la ecuación (32) es la ecuación
polar de una circunferencia de diámetro V/X. La Fig. 18 mues­
tra una gráfica de la ecuación, tomando a V como eje de
referencia y medidos a reloj los ángulos positivos 0, que re­
presentan cargas inductivas. Se usan estas convenciones, por­
que son las más comúnmente utilizadas para los diagramas
circulares, en la maquinaria de c-a. Puesto que la de la Fig.
18 es OI eos 6, es evidente que la es proporcional a la poten­
cia consumida por el circuito. Si se dibuja el diagrama a una
cierta escala de corriente, como I amperios/centímetro, la es­
cala de los vatios debe serV I vatios/centímetro.
Un simple circuito de linea de transmisión en que la ca­
pacitancia y las fugas se suponen despreciables, puede ser
representado por la Fig. 19, donde R y X son respectiva­
mente, la resistencia en serie y la reactancia de la linea y
Rl la resistencia de la carga. Si R es constante y se hace
variar a R¿, la corriente obedece a la ecuación I = (V/X)
sen 0, como en el caso anterior. La distancia la de la Fig. 18
representa de nuevo la potencia total consumida por el cir­
cuito, pero la potencia total disipada es consumida en R y
en R¿. La potencia disipada por cada resistencia puede ser
fácilmente representada en el diagrama.
Fig. 19. Circuito' en serie, en
el cual se suponen constantes
R y X y Rt variable?.
Fig. 20. Diagrama circular de la
Fig. 19, para V, R y X constantes y
variable.
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ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
197
Si la resistencia R¿ se supone igual a cero, toda la poten­
cia debe ser disipada en la resistencia R. Para esta situa­
ción, la potencia es representada por be de la Fig. 20 y Ob
representa la comente correspondiente. Para algún valor fi­
nito de Rt distinto de cero, la corriente es Olí y la potencia
total consumida es proporcional a lia. De este total, "da" es
la cantidad consumida en R e Ixd es disipada por R¿. Para
comprobar que da representa la potencia disipada en R só­
lo se necesita demostrar que da y be son proporcionales a los
respectivos cuadrados de las corrientes Olí y Ob.
_ .
'
da
En los triángulos semejantes:
be
Puesto que
Oa
Oc
Oa = Olí eos ctOAi
OI»
OIx
Oe
(OIa)2
Oe
Ob
(Ob)2
Oc = Ob eos cOb = Ob — = ----Oe
Oe
da
(O lí)2
Oe
db~ (Ob)*
(OI*)2
(Ob)2
Oe
Por tanto, para cualquier corriente como Olí, Ixd repre­
senta la potencia consumida en R¿, da indica los vatios per­
didos en R y la entrada total de potencia al circuito está dada
por La. Si se considera I2R¿ como la salida del circuito (la po­
tencia transmitida por la línea), la eficiencia debe ser
salida
lid
entrada
Ija
Eficiencia = ----- — = ---
El factor de potencia en el extremo de entrada es eos 0.
También es Iia/OIi.
La potencia máxima que puede ser transmitida por un
circuito como el de la Fig. 19, con R y X constantes, se da
cuando el extremo de OL (Fig. 20) coincide con el punto de
tangencia al círculo, de una línea paralela a Ob. Es cues­
tión simplemente geométrica demostrar que V veces lid, en
estas condiciones, da el resultado de máxima potencia, en los
198
C IR C U IT O S DE C O R R IE N TE ALTERNA
términos de la ecuación (59), si Xr = 0 [lo que requiere que
k sea igual a cero en la ecuación (59)]. Como lid puede ser
utilizada como una medida cuantitativa de la potencia en­
tregada a la resistencia
de carga, se sigue claramente de
la Fig. 20 que esta potencia de la carga varía de cero (cuan­
do R¿, = 0) a un máximo, y de regreso a cero (cuando R¿ =
= eo).
Los detalles de construcción de diagramas circulares apli­
cables a circuitos como el de la Fig. 19, pueden ser fácilmen­
te comprendidos por medio de un problema numérico como
el siguiente.
Problema 6. Véase la Fig. 19. R y X son constantes, a los valo­
res R = 2 ohmios y X = 3.464 ohmios. V es constante a 346.4 voltios.
(a) Marque OV = V, en posición vertical, a cualquier escala con­
veniente, por ejemplo, 40 voltios por centímetro.
(b) Marque Oe (de la Fig. 20) igual a V/X, en posición horizontal,
a una escala no mayor de 8 amperios por centímetro (una escala de
4 amperios por centímetro dará resultados más precisos).
(c) Trace Ob (de la Fig. 20), igual a I, cuando R¿ — 0.
Respuesta: I = 346.4/4 = 86.6 amperios, 60° atrás de V.
(d) Trace una tangente al semicírculo, paralela a Ob, y construya
OIlt de O a este punto de tanqencia. ¿Cuál es la magnitud de la ce­
mente y cuál es el í. p. en este punto de operación?
Respuesta: I = 50 amperios p.f. = 0.86
(e) ¿Cuál es la potencia máxima que puede ser entregada a Rt?
10 000 vatios.
Respuesta: Pmax = V X Ijd
I
lumu
Ramas Paralelas. Cuando se conectan impedancias en
paralelo, como en la Fig. 21, se imprime el mismo voltaje V a
través de cada impedancia. La corriente en cada impedancia
es, por tanto
%
Por la ley de la corriente de Kirchhoff
I =
Ii +
I2 +
V
L\
I3
V
Z2
V _
Z3
1
* Zi
1 1
Z2
= V(Yt + Y2. + Y,) = VY,
Z3 )
(33)
donde el símbolo Y representa el recíproco de la impedan­
cia y se llama admitancia. La ecuación (33) muestra que la
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
199
corriente resultante que fluye a través de varias impedancias
en paralelo, es el producto del voltaje por la suma de los re-
Fig. 21.
Impedancias en paralelo.
dprocos de las diversas impedancias de las ramas. En otras
palabras, el voltaje es multiplicado por la suma de las ad­
mitancias de las diversas ramas. La ecuación (33) muestra
que para ramas paralelas se suman las admitancias. En el
caso de ramas en serie, se recordará que se suman las impe­
dancias. Puesto que tanto la admitancia como la impedancia
son cantidades complejas, toda suma de cualquiera de ellas
debe hacerse en iorma compleja. La adición aritmética no
debe intentarse. Sólo en un caso es correcta la suma aritmé­
tica y en este caso la adición en iorma compleja dará el mis­
mo resultado. Si en la ecuación (33) se despeja la impedanV
cia Z0, que es igual a — obtenemos
I
V
i
_1_
T
Yi + Yj + Y s
Y>
(34)
La ecuación (34) muestra que la impedancia resultante de
varias ramas en paralelo es el recíproco de la admitancia
resultante. Puesto que la unidad de impedancia es el ohm
y la admitancia es el recíproco de la impedancia, la unidad
de admitancia es el ohm recíproco, o mho (las mismas letras de
ohm, al revés).
El Equivalente en Paralelo de una Impedancia en Serie.
Se dan casos en que resulta conveniente sustituir una impe­
dancia de una rama en serie, como la de la Fig. 22a, por su
equivalente en paralelo, (mostrado en la Fig. 22b). Para que
se dé la equivalencia, Y de la Fig. 22a. debe ser igual a Y
de la Fig. 22b. Por tanto
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200
CIRCUITOS DE COHBIENTE ALTERNA
z=z
Circuitos.
.8
* equivalentes
XgS
Y=Y
I=Y
y •«8-jb
e i- = 4--jf.
Rp JXp 5
« Z = R , + iX ,
Fig. 22. E1 equivalente en paralelo de una irapedancia en serie R, + ¡X,
Y =
1
J_
1
R a + jX ,
Rp
jX p
o, racionalizando
X.
R.
Ä
«
2
*1
v
2
8
p
**8
2
T
i
1
Y" 2
-A j
p
x ijj
(35)
R«/(R«2 + X»2) es llamada la conductancia de la impedanáa
en serie Z, y se indica con el símbolo g. X,/(R,2 + X,2) se 11er
ma la suscepticia de la impedancia en serie Z» y se indica con
el símbolo b. Empleando los símbolos g y b, se tiene
V
Y
= g - , bK =
1
- ,•
1
(36)
La significación física de g y de b puede ser interpretada
como sigue. Si se multiplica por V la ecuación (36), para
obtener la comente I. se tiene
V
V
I = Vg - jVb = - - j fin
An
Se verá que el vector Vg mostrado en el diagrama vecto­
rial de la Fig. 22b es la componente de la corriente que está
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
201
en fase con el voltaje y es la comente V/R„ de la rama resis­
tiva del circuito en paralelo, equivalente de Zs. También Vb,
mostrado en el diagrama vectorial, es la componente de la coV
mente, en cuadratura con el voltaje, y es la componente — en
Xp
la rama inductiva del equivalente en paralelo de Z,. De aquí
que la conductancia 1/RP de la rama resistiva del circuito
equivalente en paralelo, es la conductancia g de la admitando Y = g — jb=l/Z», y la susceptancia 1/XP de la rama
inductiva es la susceptancia b de la admitancia Y == 1/Z».
Es de importancia observar que la conductancia g, en los cir­
cuitos de la Fig. 22 es el recíproco de Rp, pero no de R,. De
modo semejante, la susceptancia es el recíproco de X„, pero
no de X,.
Puesto que g y b son componentes de admitancia y g,
b o Y, multiplicados por voltaje, dan corriente, todos están
expresados en las mismas unidades, esto es, mhos.
Si las admitancias de la ecuación (33) se expresan en
función de sus conductancias y susceptancias, tenemos
I = V (í7i — fox + 02 — jb 2 + 93 — jb 3)
= V[(0i +
02 +
Ha) — jQ>i + í>2 + í>3)] = V
(<70 — jb 0)
(37)
La ecuación (37) muestra que las conductancias pueden
ser sumadas aritméticamente, mientras que la susceptancia
debe ser sumada algebraicamente, para obtener la susceptanria resultante. De la expresión X/(R2 + X2) de la susceptanda resulta evidente que es necesario sumar algebraicamente
las susceptancias, si se tiene en cuenta que X puede ser posi­
tiva o negativa, lo que depende de que sea, respectivamente,
inductiva o capacitiva.
Ejemplo 6. Se muestran en la Fig. 23a varios parámetros de un
circuito y se desea determinar los siguientes: (a) conductancia y sus­
ceptancia de cada rama; (b) la conductancia y susceptancia resul­
tantes; (c) el diagrama vectorial.
100 + yo
I i = ~~z ¡—~
6
+ j8
= 6 — j8 = 10/—53.2° amperios
------
1
100 + j0
“ ~4 _ '3
—
= 20/36.9° amperios
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
202
1
1
(fi - ¿8)
Y l = Z i = W + W ) ( 6 ^ 8 ) = 0 06 ~ j0 08mho
de donde
gi = 0.06 mho, 6i = 0.08 mho
o, como método alterno
/¿i
6
í/l _ V “ ioo ’
Y2=¿
,
_ *1 _
1~ z f
= c í^ íj
8
oo
= 01(5 + j012m h0
1
de donde
<72 — 0.16 mho,
fe*¿ = —0.12 mho
o, como método alterno
-
gi
2íi
i
Z->2
25 ’
iv
2
£*
z?
Z 22
25
El diagrama fasorial se muestra en la Fig. 23b.
Se muestra a continuación otra manera de obtener la corriente re­
sultante de
Flg. 23.
(a) Circuito para el ejemplo 6. (b) Diagrama fasorial de a.
.'/ = íli + 0í = 0.06 +
b = h\ + b2 = 0.08 Y = (/ - j b = 0.22 —
I = VY = 100 (0.22 +
0.16 = 0.22 mho
0.12 - -0.04 mlio
( —0.04) = 0.22 + ¿0.04 mho
¿0.04 j = 22 + ¿4 = 22.»J5 /I0.:r amperios
O pueden sumarse como sigue las admitancias
Y = Y i + Y 2 = 0.06 - jO.OX - f 0.16 + ¿0.12 = 0.22 + ¿0.04
y
/ = VY — 22 1 jA amperios
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ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
203
Generalmente, el procedimiento más directo es el de cal­
cular las admitancias usando los recíprocos de las impedanrias y sumándolos en forma compleja. La experiencia ha de­
mostrado que los estudiantes cometen menos errores en los
signos cuando siguen este procedimiento.
En vez de representar la admitancia en general como
g —jb y en seguida usar g = R/Z2 y b = X/Z2, muchos pre­
fieren llamarla g + jb y a continuación usar g = R/Z2 y b =
= —X/Z2. Ambos métodos dan el mismo resultado para la
admitancia En cualquiera de los dos casos, se da a X un
valor positivo para la inductancia y negativo para la capa­
citancia. En un circuito disipativo, la conductancia siempre es
positiva. Para evitar confusión en los signos, es mejor deter­
minar la admitancia por medio de 1/(R + jX), que mediante
_oálculos de conductancia y susceptancia. El conocimiento del
modo de calcular y de usar las conductancias y las susceptancias facilita la solución de algunos tipos de problemas,
aunque pueden ser resueltos mediante otros medios. El caso
especial de dos impedancias en paralelo Z, y Z2 ocurre a me­
nudo en ingeniería eléctrica. Para este caso, Y, = 1/Zx e Y¡ =
= 1/Z2. De aquí que
v =
_ —
1 1
1 y
Y
+ —
Z,
Z2
, _— —
1 =
_ ------Z¿ 2 i—
Z
Y
Z, + 2,
Esta expresión, que es análoga a la muy usada expre­
sión de la resultante de dos resistencias en paralelo en las
corrientes directas, es muy útil en las corrientes alternas.
Cuando todas las reactancias son cero, la expresión se redu­
ce al caso de c-d, RiR2/(Ri + R2).
Problema 7. Tres impedancias Zt. Z2 y Z3 están conectadas en
paralelo a través de un voltaje de 60 ciclos, de 40 voltios de magnitud.
Zx =
10 + j0> Z2 = 20 + ¡20. Z3 = 30 — j40 ohmios
(a) Encuentre g x> b t> g2. b2> g3 y b3.
(b) Encuentre la resultante g y la resultante b de las tres ramas
paralelas.
Respuesta: g = 0.137, b = 0.009 mhos.
(c) ¿Cuál es el componente en fase de la corriente resultante? ¿Y
la componente en cuadratura?
Respuesta: Vg = 5.48 amperios, Vb = 0.36 amperios.
Resonancia en Ramas Paralelas. Las ramas paralelas que
contienen inductancia y capacitancia están en resonancia
204
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
cuando la corriente reactiva en la rama inductiva es igual
a la corriente reactiva en la rama capacitiva. La corriente
reactiva resultante para el conjunto del circuito es, en conse­
cuencia, cero. Para la resonancia
VbL « Vbc
bL = bc
(38)
De aquí que la corriente resultante que fluye, esté en fase
con el voltaje aplicado y el factor de potencia de todo el cir­
cuito sea 1. Esto se llama, algunas veces, resonancia de factor
de potencia unidad. La Fig. 24 muestra un circuito y el co­
rrespondiente diagrama vectorial para esta situación. Median­
te la inspección del diagrama vectorial, se advierte que las
componentes reactivas de la corriente no contribuyen en na­
da a la corriente total. En la corriente resultante solamente
existen las componentes de la corriente que está en fase con
el voltaje. De esto podría deducirse que la corriente resul­
tante es mínima en resonancia. Esto es cierto si las conduc­
tancias son constantes. Es aproximadamente cierto, si las con­
ductancias son despreciables, como generalmente lo son, en
circuitos selectivos como los usados en radio. Un ejemplo será
puesto después, en el cual la corriente mínima no se da en
el punto de resonancia.
Fig. 24. Circuito y correspondiente diagrama vectorial para resonan­
cia en paralelo.
Los parámetros susceptibles de variación para verificar
la ecuación (38) pueden ser apreciados cuando se reempla­
zan las susceptandas por sus valores equivalentes, como se
muestra en la ecuación (39).
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
2-wfL
R l * + (2T j h f ~
1
2t/C
, , ( 1 Y
Rc t\Md)
205
m
Las cantidades que pueden ser variadas son L, C, f, R¿ o ReResonancia por Variación de L. En la siguiente discusión,
L será variado por un medio que no cambiará la resistencia
del circuito inductivo. Sea OV (Fig. 25) el voltaje impreso en
un circuito, como el mostrado en la Fig. 24. Una corriente Ie
fluirá entonces en la rama del condensador cuyos paráme­
tros se mantienen constantes. Cuando L es cero, la corriente
que pasa por la rama inductiva es V/R¿ y está en fase con
el voltaje aplicado. El voltaje aplicado es igual a I¿RL, en es­
tas condiciones. Cuando se hace crecer a L, a partir de cero,
la corriente que pasa por la rama inductiva se atrasa con
respecto de V por el ángulo tan-1 (Xl/R¿), como se ilustra
en la Fig. 25 mediante OI¿. Para cualquier valor de I/,, la calda
I¿R¿ y la I¿X¿ deben ser sumadas en ángulo recto, para dar
el voltaje aplicado. Estas caídas componentes son OA y AV,
respectivamente. Como siempre, están en ángulo recto y su
suma debe ser OV, el lugar geométrico de la caída ItR¿ de­
be ser un semicírculo, OAV. Desde el momento que I¿ es
proporcional a la caída I¿R¿, y está en fase con ella, el lugar
de h debe ser también un semicírculo.
Cuando la ccdda I¿R¿ coincide con el diámetro de su círcu­
lo, la corriente lL también debe coincidir con el diámetro de
II
Fig. 25. Lugar geométrico de I, ai variar L en el circuito mostrado en
la Fig. 24.
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206
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTEBNA
su propio círculo. El diámetro del último debe, en consecuen­
cia, ser V /Rl . De aquí que el círculo punteado, trazado con
V/Rl como diámetro, debe ser el lugar geométrico de I¿.
Puesto que la corriente resultante es Ic + h , esta suma se eje­
cuta trazando el semicírculo 01/3, con la extremidad izquier­
da de su diámetro partiendo de Ic , como se muestra en la
Fig. 26. Por ejemplo, OC representa una suma particular
de Ic e I¿. Al variar L, el lugar geométrico de la comente re­
sultante es, en consecuencia, el círculo IpCb. De aquí que,
al aumentar L de 0 a oo, la corriente resultante varía de Ob
a Oe, que es un punto de resonancia; de allí a Od, que es un
segundo punto resonante, y a continuación a OIc. Ninguno
de los puntos resonantes da corriente máxima o mínima pero
v
Fig. 26. Lugar geométrico de OC, corriente resultante del circuito de
la Fig. 24, al variar L.
I
dan factor de potencia unidad (igual a la unidad). La corrienI
te mínima es OIm valor donde la corriente resultante es ñor- j
mal al círculo IcCb. Para un problema determinado, los vedo- ]
res de lo- 6c e Icb, que es igual a V /R f pueden ser calculados f l
directamente de los parámetros. Cualquier valor de corriente
puede ser entonces calculado trigonométricamente, por las I
propiedades geométricas de la figura. Deben considerarse los
siguientes casos. Primero, si V/2R¿ (el radio del circulo IcCb)
es menor que I0 sen Be, no puede obtenerse la resonancia en
paralelo, cualquiera que sea el valor de L. Esto contrasta
con el circuito en serie, donde todo valor de L dará resonan­
ANALISIS DE CIRCUITOS
SINUSOIDALES
M ONOFASICOS
207
cia, enanque varíe el valor de R o C. Segundo, si V/2Rí, es
igual a Ic sen $c, habrá dos puntos resonantes. Tercero, si
V/2Rl es mayor que Ic sen 6C, habrá dos puntos resonantes, y
cuarto, si la resistencia de la inductancia fuera cero, la co­
rriente mínima se daría en el punto de resonancia. Nótese que
para esta situación, las conductancias serían constantes para
las dos ramas.
Resonancia Mediante Variación de C. A través de un
procedimiento similar al bosquejado anteriormente, el estu­
diante puede desarrollar la representación gráfica de los ca­
sos en que la resonancia es producida mediante la variación
de C, siendo R¿, L, R^ y f constantes. La representación gráfi­
ca se muestra en la Fig. 27. El lugar geométrico de la corrien­
te resultante es el círculo adee. Se advierte de nuevo que la
Fig. 27. El circulo adee es el lugar geométrico de la corriente resul­
tante del circuito de la Fig. 24, al ser variada C.
resonancia que se da en d y e no es la condición para la
corriente mínima. La corriente mínima se da en l m< cuando
la corriente resultante es normal al círculo adee. Si Rc es
cero, el radio del círculo adee se hace infinito, o, lo que es lo
mismo, la corriente Ic está en cuadratura con el voltaje V.
En estas condiciones, sólo hay un punto de resonancia y co­
rresponde a la corriente mínima. La conductancia del circuito
del condensador es cero, mientras que la de la rama inductiva
es constante. Esta conductancia constante hace mínima la
corriente en resonancia, de aquí que la impedancia sea máxi­
ma. Com o'la mayor parte de los circuitos selectivos emplean
20 8
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
inductancia constante y capacitancia variable, las resistencias
de las ramas capacitivas son muy paqueñas; en estos circui­
tos se tienen, prácticamente, impedancia máxima o corriente
mínima en el punto de resonancia. Como en el punto de reso­
nancia la corriente es, simplemente, la conductancia multipli­
cada por el voltaje impreso, es evidente que el {actor de po­
tencia es 1. Estudiando la Fig. 27 se comprenderá la forma
como varía el ángulo de fase 9 entre la corriente resultante y
el voltaje aplicado, a medida que la corriente resultante des­
cribe el círculo adce. Entre los puntos e y d se tiene factor de
potencia adelantado.
Resonancia Mediante Variación de la Frecuencia. Según
la ecuación (39), la frecuencia de la resonancia en paralelo es
(40)
Cuando R¿2C > L y R02C < L, la cantidad
imaginaria y, en consecuencia, ninguna frecuencia real pro­
ducirá resonancia. Surge la misma situación cuando se in­
vierten los signos de desigualdad. Si R¿, y R© son iguales, la
ecuación (40) de la resonancia toma la forma
que es la misma de la resonancia en serie. Esta ecuación
también es correcta cuando Rt = Rp = 0 y puede, por lo
tanto, ser usada como una aproximación muy cercana, cuan­
do R¿ y Rc son muy pequeños. Debe entenderse que hay va­
lores de Rt, C, Rc y L, en un circuito en paralelo, para los
cuales es imposible la resonancia en paralelo, cualquiera que
sea la frecuencia. Esto contrasta con el circuito en serie que
contiene R, L y C, en el cual siempre hay alguna frecuencia
resonante real, para cualquier valor de los tres parámetros.
En la Fig. 28 se muestran las tendencias de varias cantida­
des, a medida que la frecuencia es variada desde un valor
demasiado pequeño para producir resonancia, hasta un va­
lor mayor que el requerido para la misma, como se muestra
en la Fig. 28, para condiciones en que es posible obtener re­
sonancia.
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ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
209
Resonancia Mediante Variación de Rt o Rp. Cuando se
despeja Rl en la ecuación (40), se obtienen las siguientes ecua­
ciones
'LC¿* ( R c2C - L ) + L
Rl
(41)
R
l
R
l
-4
-4
- 4.
LCu2R c2 - L V + ^
X
*
l
2
R c¿ - X L¿ + -
(42)
(43)
Cuando los parámetros son tales, que hacen positiva la
anterior expresión subradicd, R¿ toma valores positivos de-
“
O
__
£5'
cd
en
CD
IS I
C='
co
<r>
03-
—i
CD
N
O
Fig. 28. Resonancia en paralelo, mediante variación de la frecuencia.
finidos. Se muestra asi que, dentro de ciertos límites, hay va­
lores definidos de R¿ que ponen cd circuito en resonancia para
ciertos valores particulares de frecuencia, L, C y R0. También,
en el punto de resonancia
-
4
M
r
á
*
+
1
(44)
La ecuación (44) muestra que, para los valores de los pa­
rámetros que hacen positiva la cantidad subradical, puede
producirse la resonancia, escogiendo el valor adecuado de ReEn contraste con el circuito en serie, donde las resistencias
no tienen parte en la determinación de la frecuencia de re­
sonancia, las resistencias de un circuito en paralelo son de
señalada importancia en la determinación de la frecuencia
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
210
de resonancia, hasta el grado de hacer posible o imposible
obtenerla. Puede darse a esto una interpretación física, cuan­
do se recuerda que con una cierta componente de la corrien­
te, en cuadratura, en la rama condensiva, un valor de Rt su­
ficientemente grande impedirá fluir a una corriente resultante
en la rama inductiva, que sea tanto como la corriente en
cuadratura del circuito condensivo, aun cuando la inductancia sea oero. En tales condiciones, está claro que la inserción
de la inductancia no hará más que hacer aún más pequeña
la corriente de la rama inductiva y de aquí que no contribuirá
en nada a la posibilidad de la resonancia. Ese caso fue dis­
cutido con referencia a la Fig. 26, cuando Ic sen Q0 era mayor
que V/2Rx,. La Fig. 26, que es simplemente un diagrama vec­
torial, muestra que
sen 0L nunca puede ser hecha tan gran­
de como Ic sen 0C, si V/2Rt es menor que Ic sen 6c- Se da
una situación semejante para la rama ccíndensiva.
Problema 8. Dibuje el diagrama vectorial y muestre el lugar geo­
métrico de It > al ser variado X¿, con R0 = 1 ohmio, Xc = 10 ohmios,
= 6 ohmios y un voltaje impreso de 100 voltios, para el circuito
mostrado en la Fig. 24. Repita el problema para R¿ = 4 ohmios. ¿Cuál
es el mayor componente en cuadratura posible de la corriente de la
rama inductiva, a medida que X¿ es variada en cada caso? ¿En cuál
caso puede ser producida la resonancia? ¿Por qué?
Respuesta: 8.33 amperios, 12.5 amperios, resonancia solamente para
un caso de 4 ohmios.
Dualidad. El principio de dualidad (Págs. 46—55), pue­
de extenderse a la resonancia en serie y en paralelo, como se
muestra a continuación:
Resonancia en serie
a. Las componentes reactivas del
voltaje se combinan para dar
cero.
b. Constante de la fuente de voltaje en magnitud máxima.
c. Máximo de corriente para re*
sistencia constante.
d. Impedancia a su valor mínimo,
e. Reactancias inductiva y capacitiva de igual magnitud.
Resonancia en pándelo
a. Las componentes reactivas de la
corriente se combinan para dar
cero.
b. Constante de la fuente de
corriente en magnitud máxima
c. Máximo de voltaje para con­
ductancia constante.
d. Admitancia a su valor mínimo.
e. Susceptancias inductiva y capacitiva de igual magnitud.
Por la tabulación anterior se notará que los elementos
duales son:
ANALISIS DE CIRCUITOS
SINUSOIDALES
MONOFASICOS
“ O
CD'
En w ri*
a. Voltaje reactivo
b. Voltaje
c. Corriente
d. Impedancia
e. Resistencia
f. Reactancia
En paralelo
a. Corriente reactiva
b. Corriente
c. Voltaje
d. Admitancia
e. Conductancia
i. Susceptancia
CD
N
CD
O
3
rsi
o>»
CD
N
c_
CD
C/3
£=-<
(/>
a r
CD
o "
El hecho de tomar en cuenta la dualidad suministrará
una comprensión del comportamiento del circuito más que
pmfunda que en el caso contrario. Puede también ayudar a
acortar el tiempo necesario para la comprensión del funcio­
namiento físico de los circuitos. Por ejemplo, si se comprende
totalmente la resonancia en serie, es cosa sencilla hacer ex­
tensivo este conocimiento a la resonancia en paralelo, por
medio del principio de la dualidad.
Una Forma Sencilla de Trampa de Onda. Los fenómenos
de resonancia, tal como se presentan en los
párrafos anteriores, forman la base de ope­
ración de muchos circuitos usados en comu­
nicación alámbrica e inalámbrica. Están es­
pecialmente adaptados a circuitos selectivos,
como los de los filtros y osciladores. Una
combinación en paralelo de capacitancia e
inductancia, juntamente con su resistencia
incidental, puede ser convertida en un efeco
tivo eliminador de banda, supresor o trampa
de onda. La impedancia de una tal rama (de
a hasta b en la Fig. 29), donde es despreFig. 29. Forma sen- ciable la resistencia de la capacitancia y R t
cilla de trampa de es mUy pequeña, comparada con <aL, se enonda
cuentra muy fácilmente, tomando el recípro­
co de la admitancia resultante. Como las ramas están sin­
tonizadas para resonancia en paralelo, la admitancia resul­
tante es únicamente conductancia. Así
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212
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Puesto que R¿2 <£ <o2L2,
„ „
=
(47)
t ÍL
En párrafos anteriores se demostró que, cuando R¿ = Rc =
= 0, la frecuencia resonante es prácticamente
O
w = wm = 2irfm -
—=
V lc
Dando a <■>en la ecuación (47) el valor de la ecuación (48),
se tiene en el punto de resonancia la impedancia
Zm ~ C R h
(49)
Cuando se usa como trampa de onda, la combinación en
paralelo de inductancia y capacitancia, se coloca en serie
con la bajada de la antena, como se muestra en la Fig. 29. A¡
la frecuencia resonante, la resistencia dinámica de la trampa
de onda es casi igual a L/CRx, [ecuación (49)]. La experien­
cia ha demostrado que, dentro de la banda normal (standard)
de radiotransmisión, la resistencia dinámica a la frecuencia
fm, puede ser hecha alrededor de 10 veces la impedancia,
a frecuencias situadas dentro de la escala ± 20 kilociclos, a
ambos lados de fm. Asi, la trampa de ondas actúa como un
supresor de banda o eliminador.
Problema 9. Una bobina típica, usada en la banda de transmisión
para una trampa de onda como la de la Fig. 29, tiene L = 250 X 10- 4
henrios, y una razón de reactancia a resistencia de 170, a 168 cielos.
Suponiendo que es cero la resistencia del condensador, calcule lo si­
guiente:
(a) C para producir resonancia a 1 000 kc, según la ecuación (39).
(b) C para producir resonancia a 1 000 kc, según la ecuación (48).
(c) Impedancia de la trampa de onda, desde a hasta b, cuando se
ajusta para resonancia en paralelo a 1 000 kc.
(d) Impedancia de la trampa de onda para 990 kc, cuando está
en resonancia para 1 000 kc.
(e) La razón de las impedancias para (c) a (d).
Respuesta: 101.3
101.3 fí/jjt, 267 000 ohmios, 75100 ohmios, 3.56.
Un Coso Singular de Resonancia en Paralelo. Para algu­
nos valores de los parámetros R¿, R0, L y C, conectados como
se muestra en la Fig. 24, el circuito está en .resonancia para
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
21 3
todas las frecuencias. Esto puede demostrarse como sigue.
Según la ecuación (39), la condición para resonancia en pa­
ralelo es
wL
R l 2 + « 2L2
uC
+
1
ü) O
1
uPC2
uC R c2o>2C2 + 1
aC
1 + o!2C2R c2
1
1
—— b u2L
— + u2C R c a
O
L
(50)
La inspección de la ecuación (50) mostrará que deben
imponerse las dos condiciones siguientes, para ser indepen­
diente de la frecuencia
IV
1
----- = — o
L
C
1’ condición:
/L
R¿ = \ / —
VC
=V i
2a condición:
CRP2 = L o
R<
De aquí que, para resonancia a cualquiera frecuencia, se
necesite
= J
*>
Puesto que el circuito está en resonancia (susceptancia
resultante = 0), su admitancia debe ser la conductancia re­
sultante. Por tanto
y
— q
“
9m
—
L _i_ —.c. . ______i
Z c2 ~ L
Zl2
^
— h- w L
ÍZl, J
4
+ L
r = \z
— I------C
« 2C2
(52)
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
21 4
La ecuación (52) muestra que la impedancia del circuito
es también independiente de la frecuencia. La exposición
precedente ha demostrado que, cuando
= R0 = y/L/C,
una configuración del circuito semejante a la de la Fig. 24
está en resonancia para todas las frecuencias y ofrece la
misma impedancia V L/C para todas las frecuencias.
(o)
(b)
Fig. 30. El circuito mostrado en (b) es el equivalente del mpstrado
en (a).
Se ha demostrado que, bajo ciertas condiciones, la red
de la Fig. 24 es equivalente a una sola resistencia en serie,
con un valor de VL/C, a todas las frecuencias. Por vía de in­
formación general, puede decirse que es posible encontrar
redes equivalentes a una red dada, a todas las frecuencias,
aunque, en contraste con la que se ha discutido, las impedancias de las distintas redes, si bien son iguales para cual­
quier frecuencia dada, no permanecerán constantes en las
diversas frecuencias. El estudio detallado de esos circuitos
se deja para los cursos que traten la teoría de las redes.
Lo Q de Circuitos en Paralelo. En el análisis de circuitos
con bulbos al vacío se encuentra frecuentemente una con­
figuración del circuito que en esencia se reduce al mostrado
en la Fig. 30a, a saber, una bobina y un condensador conec­
tados en paralelo y energizados con una fuente de corriente.
En los casos prácticos que se encontrarán, la resistencia de
la bobina Rs es muy pequeña, comparada con <»L; en conse­
cuencia
R ,* < <o2L 2
En estas condiciones, la transformación de R, y L en una
combinación en paralelo de g y de b¿, como se sugiere en
la Fig. 22, transforma la Fig. 30a en la mostrada en la Fig.
30b, donde
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ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
9
215
_ _L L _*!_
R p ' « 2L2
bjj « —7
uL
y
be = wC
Debe tenerse en cuenta que b¡, y b0 son magnitudes de
las susceptancias inductiva y capacitiva, respectivamente.
Cuando se colocan en paralelo ramas puramente reactivas,
como en la Fig. 30b, es conveniente escribir Y = g + j (bc —
- b¿) y obtener así una expresión que es directamente aná­
loga a Z = R + j (X¿ — Xc). En la Fig. 30b encontramos
'
7
Comparando la ecuación anterior con la (16) observamos
una correspondencia que nos permite interpretar la Fig. 16
como la respuesta de voltaje a <n. Esta respuesta tiene un
valor máximo de I/g, y un análisis de conformidad con la
ecuación (16) puede, con unos cuantos cambios en la nota­
ción, ser empleado para determinar la anchura de banda del
circuito selectivo mostrado en la Fig. 30.
Puesto que g, en la ecuación (53), corresponde a R en la
ecuación (16), C a L, y L a C, podemos escribir para el cir­
cuito en paralelo
por analogía con la ecuación (25) o por cálculo directo.
Utilizando la definición de Q dada en la Pág. 192 (a saber,
Q = <üm/A<a), y recordando que <■>„» «* 1/V LC, cuando las re­
sistencias de las ramas en paralelo son pequeñas en relación
con las reactancias, encontramos que, para el circuito en pa­
ralelo
«m
«mC
1
1 ÍC
Qp = — ------- = ----- j = - J A"
g
gum L
g \ L
(55)
En cálculos analíticos elementales, es muy acostumbrado
tratar como constantes tanto a R» de la ecuación (27) como
a g de la ecuación ,(55), esto es, como independientes de la
frecuencia. Ninguna de estas aproximaciones, sin embargo,
216
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
concuerda con los hechos físicos tan exactamente, como tra­
tar a Q como constante, dentro de una razonable escala de
frecuencias, centrada en la frecuencia fm, pues R, crece con
los incrementos de <■>. Dentro de ciertas escalas de la banda
de radiofrecuencia, R, varía casi linealmente con respecto
de a», y en estas condiciones podemos hacer a R, = k<a, con
los siguientes resultados:
wL
a>L
Rg
/eco
Q .
=
— = — = constante
Q p
=
1
co2L 2
— - = —— - m constante
guL
R ,uL
Ejemplo 7. En la Fig. 30a se supondrá que la bobina tiene una
resistencia en serie, R,, de 2S.1 ohmios y una autoinductancia de 10
milihenrios. Esta bobina debe resonarse a 20 kc con el condensador C.
Se pide que se encuentre la resistencia 1/g del circuito en paralelo
equivalente, la capacitancia de sintonización, la Q del circuito en pa­
ralelo, y la respuesta máxima de voltaje, por miliamperio de corrien­
te I.
R.
25.1
=
Rp
=
-
g
= 169 x lc rm h 0
«a 62,900 ohmios
C « ---- ; — ---------------------- t = 0.00633
W
0.01(2»-X 20,000)*
Q
X 10-6 faradios
= -----=
ñRlfi*bn
— 57“¿ = -=r= 60
g
R§
0.001
Respuesta máxima de voltaje = ----- = 62.9 voltios por miliamperio.
g
Cierto tipo de bulbo al vacío, a saber, el pentodo, puede,
en ciertas condiciones de operación, ser hecho funcionar co­
mo fuente de corriente, suministrando hasta varios miliamperios de corriente alterna, simplemente energizando uno de
sus electrodos, la rejilla de control, con un pequeño voltaje
de c-a. Como este pequeño voltaje de c-a tiene siempre una
magnitud considerablemente menor de un voltio, está claro
que de la configuración del circuito mostrado en la Fig. 30b
pueden obtenerse grandes amplificaciones de voltaje, si la
fuente de corriente toma la forma Ide un pentodo. Además,
este circuito tiene un grado razonable de selectividad, pues
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
217
la anchura de banda entre los puntos 0.707 Vmax de la curva
de respuesta es
g
1.591x10-®
nrin
Aw = — = -■- - - , ———ñ = 2 510 radianes/segundo
C
0.00633 X 10 6
Sobre esta base de cálculo, la anchura de banda por uni­
dad es
ojffi
2tt X 20,000
Circuitos en Serie-Paralelo. El circuito en serie-paralelo
ilustrado en la Fig. 31 es una combinación de los circuitos
en serie y en paralelo, que han sido
discutidos anteriormente. Los principios
discutidos con anterioridad se aplican
al análisis de circuitos en serie-parale­
lo.
Estos principios son: (1) las imp
dancias en serie se suman en forma
compleja y (2) las admitancias de las
ramas en paralelo deben ser sumadas
en forma compleja. Como ilustración,
véase la Fig. 31. Las admitancias de las
impedancias Z4 y Z5 se suman en for­
ma compleja, y el recíproco de la ad­
mitancia resultante es entonces la impedanria equivalente de la sección B.
Un método alterno para encontrar la
Fig. 31. Impedancias en impedancia de la sección B, como se
serie-paralelo.
mostró anteriormente, consiste en usar
ZB — Z4Z5/(Z4 4- Z5). Mediante un procedimiento similar, se
determina la impedancia de la sección A. Las impedancias
de las secciones A y B y Zi están en serie y son, en conse­
cuencia, sumadas en forma compleja. Este procedimiento da
la impedancia equivalente o resultante Ze del circuito en serie-paralelo. La corriente I puede encontrarse entonces me­
diante V/Ze.
Determinación de las Comentes y Voltajes de las Ramas.
Después de determinar la corriente resultante, se invierte el
procedimiento, para determinar los voltajes y corrientes de
las ramas. El procedimiento general consiste en sustraer del
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218
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
voltaje aplicado la caída de voltaje, calculada mediante la co­
rriente conocida y la impedancia a través de la cual pasa,
para obtener así la caída de voltaje a través del resto del cir­
cuito, o calcular las caídas a través de varias secciones, ope­
rando con los datos de la corriente resultante y la impedancia
equivalente de la rama a través de la cual fluye la corriente.
Por ejemplo, en la Fig. 31, la caída a través de la sección A
es el producto de la impedancia equivalente ZA de la sección,
por la corriente I. Se determina entonces la corriente que fluye
a través de cada una de las impedancias en paralelo, divi­
diendo esta caída por la impedancia de la rama de que se
trate, o, si han sido determinadas las admitancias, multiplican­
do la caída de voltaje a través de la rama por la admitancia
de la rama de que se trate. Un procedimiento similar puede
seguirse para la sección B, y así sucesivamente.
Ejemplo 8. Calcúlense la corriente, la potencia y el factor de po-'
tencia para cada impedancia mostrada en la Fig. 32, y la corriente to­
tal, la potencia y el factor de potencia de toda la combinación.
1
Yab = ------— = 0.06 + ¿0.08 mho
6
-
jS
Ycd — ~—;—— = 0.16 — ¿0.12 mho
4 + jJ
Y/„ = Yab + Y id = 0.22 — ¿0.04 mho
_
1
Z/B = fT . =
1
(0.22 + ¿0.04)
(0.22 +¿0.04) = 44 + * 8 ohmios
e
Fig. 32. Circuito para el ejemplo 8.
ANALISIS DE CIRCUITOS
SINUSOIDALES
MONOFASICOS
219
= 4.4 + ¿0.8 ohmios
l a — Z«/ + Zfu = 1.6 + ¿7.2 “b 4.4 + ¿0.8 = 6 + ¿8 ohmios
I
100/0°
-------— = 6 — ¿8 = 10/—53.2° amperios
---------6 + j8
P — ir¿ + v i ' = G X 100 + 0 X 8 = 600 vatios
(*>00
F.p. ---------- = 0.6 or
100 X 10
— = — = 0.6 retrasado
Z
10
% f - I e/Zef = (0 — ¿8) (1.6 +¿7.2) = 67.2 +¿30.4
= 73.8/24.4° voltios
Vjg, » V - I e/Zef = 100 - 67.2 - ¿30.4 = 32.8 - ¿30.4
= 44.7/ —42.8° voltios
0, más directamente:
Vf0 = lZf„ = (6 - ¿8) (4.4 + ¿0.8) = 32.8 - ¿30.4
= 44.7 / —42.8° voltios
U
= V/tfY„6 = (32.8 -¿30.4) (0.06 +¿0.08)
= 4.4 + ¿0.8 - 4.48/10.3° amperios
I cd = V/wY ,rf = (32.8 -¿30.4)(0.16 -¿0.12)
= 1.6 — ¿8.8 = 8.95/—79.7° amperios
o
Icd - i - U - 6 - ¿8 - 4.4 - ¿0.8 - 1.6 - ¿8.8
- 8.95/-70.7° amperios
Las potencias en las varias ramas pueden ahora ser determinadas
en función de principios estudiados anteriormente
Pab = vi + 1>'¿' = (32.8) (4.4) + (-3 0 .4 ) (0.8)
= 144.32 - 24.32 = 120 vatios
Pcd « (32.8X1.6) + (-3 0 .4 ) (-8 .8 )
= 52.48 + 267.52 = 320 vatios
P ef - (67.2)(6) + (3 0 .4 )(-8 ) - 403.2 - 243.2 - 160 vatios
o
p e/ = /2r = (02 + 82)(1.6) = 160 vatios
P eg = 100 X 6 = 600 vatios
Comprobación: P « P ^ + P cd + P,.f = 120 + 320 + 160 = 600 vatios
= 0.6 adelantado
220
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Problema 10. Estúdiense los detalles del ejemplo anterior y dibújese
un diagrama vectorial de V, I, Ve¡, Ia6, Ice¡ y V¡g. Empléese una escala
de voltaje de 10 voltios por centímetro y una corriente de 0.8 amperios
por centímetro.
Sintonización en Serie-Paralelo. Se ha demostrado que,
para ciertas condiciones, la resonancia en paralelo da impedancia máxima y que la re­
sonancia en serie da impedan­
a
cia mínima. Estos hechos su­
d
e
gieren que una combinación de
'- s m m p - 1
estos dos fenómenos puede ser
L,
b
usada para exagerar el efecto
<2>
Fig. 33. Circuito sintonizador en de derta frecuencia y reducir
al mínimo el de otra. Una conserie-paralelo.
figuración que hace esto es la mostrada en la Fig. 33. Este
procedimiento es conocido como sintonización en serie-para­
lelo. Como ilustración, supóngase que dos ondas, una de
10 000 ciclos y otra de 20 000, se imprimen en ab y que se de­
sea detectar4 en D la onda de 10 000 ciclos. Obviamente,
se desea obtener en D tanta corriente de 10 000 ¿icios como
sea posible y, por otra parte, ha de tolerarse, lo menos que sea
posible, la onda de 20 000 ciclos. De aquí que las ramas para­
lelas de capacitancia e inductancia se ajusten para dar re­
sonancia en paralelo a los 20 000 ciclos. Entonces la onda de
20 000 ciclos tropieza con una alta impedancia y, debido a
esto, fluirá a través de D sólo una pequeña corriente. Un po­
co de reflexión mostrará que el circuito en paralelo actúa
como una inductancia para la onda de 10 000 ciclos. Si se
coloca una capacitancia en serie con el circuito en paralelo
de y se hace igual su reactancia para la frecuencia de 10000
ciclos a la reactancia inductiva equivalente del circuito en
paralelo de, para esta misma frecuencia, el circuito, de a hasta
b, estará en resonancia en serie para la onda de 10 000 ciclos.
La corriente que pasa por D será, por tanto, grande para la
onda de 10 000 ciclos, mientras que la resonancia en paralelo
de d hasta e, para la frecuencia de 20 000 ciclos, permitirá,
para esta frecuencia, que sólo una pequeña corriente de 20000
ciclos fluya a través de D.
* El neologismo se impone y es de' uso común. Se llegan a usar
los términos localizar, descubrir, que, desde luego, son más correctos
desde el punto de vista lingüístico. N. del T.
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ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
221
Ejemplo 9. Supóngase que
tiene 0.005 henrios de inductancia
y 50 ohmios de resistencia. Se hace caso omiso de la resistencia de
los condensadores. Se da la resonancia en paralelo para 20 000 ciclos,
cuando
bL = be \
V-
«0.005
= o¡Ci
Stí2 + « 2(0.005 )2
£0 = 2*- 20,000 = 12.57 X 104 radianes por segundo
donde
Ci = —-- ——— — = 1.257 X 10-8 faradios
502 + 0.005V
v
_
d* " 9
50___________ 50__
502 + 0.005V
397,300
397,300
™ — 50— ~
°
. _
ohmios
Para 10 000 ciclos,
Yci - j2v 10,000 X 1.257 10“ 8 = ¿79 X 10” 6mho
Y li - z— —
i ----50 + jO.005 X
— = 49.3 X 10“ 6 - ¿310 X 10“ 5mho
10,000
Yde - Yci + Y l i « 49.3 X 1<T5 - ¿231 X 10“ 6mho
105
49.2 - ¿231
Zde = tt-t---- — - = 88.1 + ¿413 ohmios
Puesto que 413 ohmios es la reactancia equivalente del circuito di­
vidido, se necesita una reactancia condensiva de 413 ohmios para
producir la resonancia en serie. Entonces se tiene %áb ~ 98.1 ohmios
para 10000 ciclos.
Para 20000 ciclos
¿413
z
¿ad - ---- — = —j206.5 ohmios
Z>ab = 7940 —¿206.5 o 7 946 ohmios aproximadamente
Zab2o,ooo _ 7946
ZaM0,000
88.1
g
De aqui que, para voltajes iguales impresos a través de ab, el valor
de la corriente de 20 000 ciclos será alrededor de — del valor de la
90
corriente de 10 000 ciclos.
El estudiante debe desarrollar la explicación de por qué,
si ha de suprimirse la onda de 10 000 ciclos y detectarse la
de 20 000, en lugar del condensador hay que colocar una
inductancia entre a y d.
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
222
Ri
L tX
—vWV'-vJMMüLh
Ro0
Q Q O v■ W - T ?
H h
Cn
Fig. 34. Véase el Problema 11.
Problema 11. El circuito ab de la Fig. 34 debe dejar pasar una
corriente de 45 000 ciclos, con una impedancia mínima, y bloquear la co­
rriente de 15 000 ciclos, tan efectivamente como sea posible. Son cons­
tantes R0 ss 20 ohmios,
= 40 ohmios y C2 = 0.05 ^ f. Se supone
que es despreciable R2, resistencia de la rama C2. Lx es capaz de va­
riar dentro de la escala requerida, suponiéndose que la resistencia
de la rama 1 es de 40 ohmios, cuando se da a Lj el valor deseado.
Para lograr el efecto de sintonización indicado, se coloca en serie con
R0 una C0 fija o una L0 fija (de pequeña resistencia, que se supone
despreciable).
(a) Despeje a L j, que pondrá al circuito en paralelo b cen resona­
ncia en paralelo, a 15 000 ciclos.
(b) Calcule la impedancia equivalente de b a c, a 45 000 ciclos,
teniendo L2 el valor que le corresponde para resonancia a 15 000 ci­
clos. ¿Es be predominantemente capacitiva o predominantemente in­
ductiva a 45 000 ciclos?
(c) ¿Qué tipo de reactancia (inductiva o capacitiva) debe ser co­
locado en serie con R0, para poner en resonancia en serie a la rama
ab? Calcule el valor de L0 o de C0 necesario para poner la rama ab
en resonancia en serie, a 45 000 ciclos.
(d) Suponiendo que ha sido puesta en resonancia en serie la rama
ab, a 45 000 ciclos. ¿Cuál es la impedancia actual de a a b, a 4500(h
ciclos? ¿Y a 15 000 ciclos?
Formule el procedimiento anterior para el efecto sintonizador in­
verso, esto es, para que el circuito ab deje pasar 15 000 ciclos y blo­
quee 45 000.
Respuesta: (a) Lx = 2.17 o 0.0835 milihenrios. Use 2.17 para con­
ductancia más baja.
(b) Zbc = 0.69 — j79.9 ohmios, predominantemente capacitiva.
(c) L = 0.283 milihenrios.
(d) ^a&45 ooo = 20.69 ohmios. ^abisooQ = 1 ^ ohmios.
Frecuencia Compleja. Tal como se aplica a formas de
onda sinusoidal de corriente o de voltaje, i = Imsen (*>t + 0),
o
v = Vw, sen («ot + 0), podría definirse la frecuencia angular
como
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
di/dt
i
dv/dt
v
w eos (coi + 6)
sen ( c o l + e)
223
^
todas las cuales tienen la dimensión requerida, a saber, un
número/segundo. En este particular, reconocemos a j como
un operador que hace avanzar a la cantidad real [sen (<ot+0)]
90°, para hacerla tomar el valor eos (<ot + 6). Esto es
<d[j sen («t + 0) = u>eos («t + 9)]
Una extensión de la definición anterior a los voltajes y
corrientes exponenciales complejos, nos suministra el concepto
general de irecuencia compleja. Un exponente complejo puede
ser representado en varias formas diferentes; por ejemplo
i =
= Ie»í m It«<(cos wt + j sen ut)
(57)
donde I = Ie,# y s = a + jo». Según el modo como se aplique
I puede ser expresado como el valor máximo, o como el valor
rms (a raíz cuadrada media) de la componente sinusoidal del
complejo exponencial.
Se observará que el complejo exponencial es capaz de
representar cualquiera de las cuatro formas de onda mostra­
das en la Fig. 35 con la parte real, SR, o la parte imaginaria,
3, de i. En este particular
91 (i) = Ieat eos (ut + &)
(58)
3 ( i) = U at sen (wí + 6)
(59)
y
En cursos posteriores, a menudo se llevarán al cabo análisis,
aplicando los exponentes complejos. A continuación se usará
la parte real o imaginaria del resultado final. El aspecto in­
teresante de este método radica en que el análisis por medio
de exponentes complejos es generalmente más fácil de formu­
lar que el análisis de la sola componente imaginaria o de la
real. Considérese, por ejemplo, la rama en serie LRC mostra­
da en la Figura 19, de la Página 96. Si i, corriente esta­
cionaria de la rama, ha de representarse como un exponente
complejo será expresada como i = Iest. Puesto que en los
circuitos lineales la corirente es directamente proporcional al
voltaje, la caída’de voltaje a través de la rama será V ss(, como
www.elsolucionario.org
224
Fig. 35.
CIRCUITOS DE CORRIENTE'ALTERNA
Formas de onda que pueden ser representadas por medio de
exponéntes complejos
resulta evidente de un estudio detallado de la ecuación de
voltaje
,
f idt
L ¡ , + R ' + ~ c - - Vt
(t0>
La sustitución de i por su vcdor le** en el primer miembro de
esta ecuación mostrará que
( ls
+
R
+
I- V
(61)
La impedancia del circuito en serie LRC(V/I), en fundón de
la frecuencia s compleja, se escribe generalmente en la forma
Z(s), que significa Z expresada como función de s. Asi,
Z(s) = — = ^Ls + R + — \
(62)
Cuando los parámetros del circuito, L, R y C son constantes,
es evidente que los exponentes complejos satisfacen las leyes
de Kirchhoff, con cierta elegancia. La frecuencia compleja
correspondiente es
s = di/dt
—_— _ dv/át
-- _ a
, .
i
v 1
que puede comprobarse como sigue. De i = le**, se sigue
di/dt
di/dt = sle*‘ = si. En consecuencia, s = — :— Un procedí-
ANALISIS DE CIRCUITOS
SINUSOIDALES MONOFASICOS
225
miento similar, utilizando v = Ve*4, darán también s. La parte
real de s, a saber, a, da razón del aumento o disminución de
la corriente o el voltaje, mientras que la imaginaria, a> define
o especifica la frecuencia angular de la corriente o el voltaje.
Fig. 36.
Ilustración de los polos y ceros de Z(s) = L — i
(S — S i)
-- •
Puesto que s es un número complejo, es natural emplear
un plano s en el análisis de circuito, con a medida sobre el
eje de las cantidades reales, y <•> sobre el de las imaginarias.
En los términos de esta convención, la frecuencia angular
real «> se toma sobre el eje j del plano complejo s como se
indica en la Fig. 36.
Polos y Ceros. El comportamiento de la red queda en
ocasiones caracterizado por los polos y ceros de la función
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERN*
22 6
impedancia Z(s) de la red. 5 Un polo de Z(s) se define como
el valor de la frecuencia compleja para el cual Z(s) se hace
infinita, y un cero de Z(s) se define como el valor de s para
el cual Z(s) es igual a cero. Por ejemplo, la impedancia del
circuito en serie LRC, deducida en el apartado anterior, puede
ser expresada como
Z(s) = L s + R + ~
Cs
—
s
o
Z(s) —
H S - S!)(s - s2)
(s - §i)
(64)
§i = 0 es el polo único de Z(s)
son los ceros de Z(s).
Si se determinan sobre el plano s el polo y los ceros de
Z(s), como en la Fig. 36, resulta evidente cómo podría deter­
minarse la magnitud y el ángulo de fase de Z(s), para cual­
quier valor de s, con ayuda de una regla y de un transpor­
tador. Generalmente sólo tienen interés los valores s que que­
dan sobre el eje de las frecuencias reales, esto es, el eje jo del
plano s. Para cualquier valor de s = jo»*, por ejemplo,
JWx
o
— L — /d„ + Ob — Bc
c ---------------------
(65)
donde a = |jwx — §x |. b = |ju x — s2 [, y
c = *>„ todos los cuales pueden ser medidqs con ayuda de una
escala adecuada a regla graduada. 6a, 6¿ Y Oc son los ángulos
de los tres fasores (j<■>* — s j , (j»>, — s2) y ja»,, medidos, respec­
tivamente, desde la dirección del eje +a.
5 En una form a más generalizada las características de la
^de salida /^de entrada1 ^de salida
/^de entrada' ^de salida
de entrada ®
Ide salida /^de entrada' son caracterizadas por los polos y ceros de estas
funciones de transferencia, todas las cuales son razones de polinomios
en ».
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22 7
ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS
A fin de ilustrar el método de polos y ceros de análisis,
(así como para hacer notar algunas de sus desventajas), de­
terminaremos Z(b), para s = jw0 = j
_
VTC
dón de los ceros y polos de la Fig. 36.
Ens = ju0 — j
=
1
VLC
(* Y + LV iL C- -
/X T 7Z Y
\\2 Lj T
2
LC
b=
LC
>LC
j l
\ L 2C 2
4L3C
C2
R2
4L aC
+2
\2 l )
ir/2 radianes
V lc
?___
= tan-
mediante la situa-
V Ilrc.
/I
y LC
tf/2L
R2
i
n
C
4L2
06 — tan 1
R2
4L 2
R /2 L
_____
\ L 2C2
ah
:■) - l - ¿ t £ = £
= 72/0° ohmios
\ L 2C 2
1/V LC
M? C )
/0o
(66)
Al llegar a 20 = 0, hacemos uso de la bien conocida ecuación,
fácil de establecer:
X+ y
tan-1 x + tan-1 y = tan-1------- . Es obvio que en este sen1 — xy
cilio caso no resulta ninguna ventaja del uso de ios polos y
ceros.
En circuitos de filtros complicados, las características de
fase (<■>abscisa, 20 ordenada) son determinadas a menudo por
el método gráfico (o con ayuda de una computación elec­
trónica) pues pueden hacerse muy difíciles de manejar las
expresiones analíticas.
260
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
21.
Dos motores monofásicos están conectados en paralelo, a tra­
vés de una fuente de suministro de 110 voltios y 60 ciclos. El motor 1
es del tipo de inducción, de fase dividida, que toma una corriente
retrasada y el motor 2 es del tipo de condensador, que toma una co­
rriente adelantada. Utilizando los datos siguientes, determine la po­
tencia total, la corriente combinada de la línea y el factor de potencia
resultante de los dos motores, operando en paralelo.
Motor
Salida en
caballos
Eficiencia
por unidad
Factor de potencia por unidad
1
2
Vs
V2
0.60
0.75
0.70 (retrasado)
0.95 (adelantado)
22. Un circuito en serie, en el cual se imprimen 100 voltios, consta
de una resistencia de 10 ohmios, un condensador de 5 ohmios, una
resistencia R en que se pierden 50 vatios y una reactancia X que toma
100 vares inductivos. Calcule todos los valores de R y X que satisfa­
gan las condiciones indicadas, y las corrientes correspondientes, para
cada una de las combinaciones.
23. Un tostador trabaja a 115 voltios, 60 ciclos y 10 amperios, y
absorbe en sus terminales 1 150 vatios. Un reactor debe ser devanado,
con una razón X¿ a R de 5, de manera que, si se coloca en serie con
el tostador en una línea de 230 voltios y 60 ciclos, el tostador tenga
115 voltios entre sus terminales.
(a) ¿Cuál es la impedancia que debe tener el reactor? Exprese
Z en forma compleja rectangular y polar.
(b) Dibuje el diagrama vectorial, utilizando a Vt08tad0r como eje
de referencia.
(c) ¿Cuál es el factor de potencia de la combinación en serie de
tostador y reactor?
24. Encuentre la inductancia o capacitancia que debe ser insertada
en el circuito de la Fig. 65, para poner todo el circuito en resonancia.
Frecuencia: 60 ciclos.
25. (a) Si el voltaje impreso en un circuito en serie que contiene
5 ohmios de resistencia, 100 ohmios de reactancia inductiva a 60 ciclos
y una capacitancia variable, es de 100 voltios, encuentre la caída
máxima a través de la capacitancia, y el valor de la capacitancia,
para estas condiciones.
(b)
Repita los cálculos, si, en vez de la resistencia de 5 ohmios, se
usa una de 100 ohmios. Compare los resultados en ambos casos.
26. Un circuito en serie disipa 800 vatios y también requiere 1D00
voltamperios, cuando el voltaje impreso es de 100 voltios. Encuentre
la resistencia en serie equivalente y las posibles reactancias de este
circuito.
27. La escala de frecuencias de la banda de paso definida ante­
riormente en este capitulo para un circuito RLC es de 100 ciclos, cuando
se usa una bobina que tiene una Q de 50. Se supone que está en la
bobina toda la resistencia del circuito.
ANALISIS DE CIRCUITOS
SINUSOIDALES
MONOFASICOS
261
(a) Encuentre los límites de irecuencia superior e inferior de la
banda de paso.
(b) Si se usa una bobina con una Q de 200, a la misma frecuen­
cia resonante que en (a), ¿cuál será la escala de frecuencia de la
banda de paso?
28. Dado el circuito en serie RLC mostrado en la Fig. 66
(a) Determine la frecuencia resonante del circuito en serie.
(b) Encuentre la O del circuito en serie, a la frecuencia resonante.
(c) ¿A qué velocidades angulares se dan los puntos de media po­
tencia?
(d) Suponiendo que se varía a L para obtener resonancia, ¿a qué
valor de L sería máximo VL? Supóngase que en este caso la fre­
cuencia es constante a 159 kc.
t------ V\A/------- vJLfiib-------1(-----
T
1000/3
100 mh
10 ¿mí
V***100 voltios
i----------Fig. 66. Véase el Problema 28
29. Dado el circuito mostrado en la Fig. 67.
(a) ¿Cuáles son los valores de
que producen resonancia?
(b) Encuentre la magnitud de la impedancia máxima obtenible
con este circuito. Supóngase que se mantiene fija la frecuencia.
V*
100 voltios
40SI
Fig. 67. Véase el Problema 20
(c) Si R¿ se cambia a 30 ohmios (quedando igual Rc) y a L y C
se dan, respectivamente, los valores 9 milihenrios y 10 ¿¿í, ¿cuál es la
impedancia vista desde las terminales del circuito a 100 ciclos por
segundo y a 10 000 ciclos por segundo?
(d) ¿A qué frecuencia estará en resonancia el circuito, con los
datos del párrafo (c)?
30.
En los siguientes ejercicios se supone que una bobina que
tiene L henrios de inductancia y Rs ohmios de resistencia en serie, es
colocada en resonancia con un condensador en serie C, de manera
que
= 1/VLC.
(a) Demuestre que Qa = ^ L/Rs es
factor reactivo (de la bobina)
Q* = -------------------------------------------factor de potencia (de la bobina)
i
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Capítulo V I I
Circuitos acoplados
Terminología. En las exposiciones sobre ingeniería eléc­
trica se usa el término "circuito" con variedad de acepciones.
A veces se emplea para designar una sola rama de una
red eléctrica; otras veces se usa como sinónimo del término
"red", para significar una combinación de dos o más ramas
que están interrelacionadas eléctrica o magnéticamente, o
en ambas formas. En el presente capítulo se le da el signi­
ficado de "cualquier camino cerrado eléctrico alrededor del
cual pueda ser formulada la ley de Kirchhoff de la fem".
jt Dos circuitos se dice que están acoplados, cuando pueden
ocurrir entre ellos intercambios de energía. Más específica­
mente, esto quiere decir que aparece una diferencia de po­
tencial en cualquiera de los dos circuitos acoplados siempre
que el otro esté energizado y sólo cuando lo esté. Los cir­
cuitos involucrados pueden estar acoplados conductiva, elec­
tromagnética o electrostáticamente. Pueden existir entre los
drcuitos varias combinaciones de estas diversas clases de
Kcoplamiento. Sin embargo, en la práctica, la gran mayo­
ría de los circuitos están acoplados conductiva o electro­
magnéticamente.
\ Los circuitos acoplados actúan mutuamente el uno sobre
el otro y, en general, el movimiento de la electricidad en
¡cualquier circuito en particular está regido, no sólo por los pa­
rámetros de ese circuito, sino, hasta cierto punto, por los
parámetros de todos los circuitos a que el circuito en cuestión
está acoplado.
Circuitos Acoplados Conductivamente. En la Fig. 1 se
muestran dos circuitos acoplados conductivamente. En una
[configuración de circuito de este tipo, el circuito 1 puede ser
considerado como el de mando o primario y el circuito 2 co­
mo el receptor o secundario. Zx2, la impedancia de la rama
común a ambos circuitos, es llamada la impedancia mutua
C IR C U IT O S DE C O R R IE N TE ALTERNA
332
entre los circuitos 1 y 2. La impedancia mutuapuede consistir, teó­
ricamente, en una resistencia pu­
ra, una inductancia pura, una ca­
pacitancia pura o alguna combi­
nación de estos elementos de cirFig. 1. Circuitos a c o p la d o s
CUltO.
Si se dan el voltaje de excita­
ción y los parámetros del circuito
de la Fig. 1, es posible determinar, mediante el simple análisis
del circuito, los valores de las corrientes, voltajes componentes
y potencias componentes. En general, el método de solución
llamado “corriente de malla" 1 es particularmente apropiado
para la solución de circuitos acoplados. Si se emplea este mé­
todo, Ii e I2 se consideran como las corrientes que fluyen cir­
cularmente en cada uno de los caminos cerrados que consti­
tuyen el circuito 1 y el circuito 2, respectivamente. Los sentidos
positivos de circuito asignados a It e I2 son, por supuesto, arbi­
trarios. Si se asignan a Ii e I2 sentidos positivos de circuito, co­
mo se muestra en la Fig. 1, la corriente, de hecho, en la rama
Z12 en el sentido + Ii, es Ii — I». Se dan a continuación los de­
talles del método de solución llamado "corriente de malla", tal
como se aplica a la Fig. 1. Por definición
conductivamente.
Zu = Z,
4-
Z12
(Impedancía del circuito
1 a U)
Z22 = Z2 + Z21 (Impedancia del circuito 2 a I2)
Si los parámetros de circuito son constantes,
Zi2 = Z2i (Impedancia mutua entre los circuitos 1 y 2).
La aplicación de la ley de Kirchhoff a los circuitos 1 y 2 de
la Fig. 1 resulta en
Z n h ~ Z12I2 = Ei
(1)
—Z21I 1 -f- Z22I 2 = 0
(2)
Empleando determinantes elementales, las expresiones para
Ii e I2 toman la forma:
1
En el análisis gen eral de circuitos es posible evitar muchos de­
talles engorrosos m ediante el uso de este método. Algunas veces se
le llam a método de M axw ell "d e com ente cíclica". V éase " A Treatise
on Electricity and Magnetism", por M axwell, Vol. 1, 3* edición.
CIRCUITOS
ACOPLADOS
Ej
333
—Z 12
ElZ;
»1^22
(3)
EiZ.
Z11Z22 — Zi22
(4)
'22
Z11
—Z21
Zn
Ei
—Z 2i
0
*2 — ---- ™---------- -=
T
Zll
—Z21
—Zi2
Z22
El método anterior es generalmente aplicable y puede ser
empleado, hasta incluir cualquier número de circuitos aco­
plados.
Ejemplo 1. Supóngase que, en la Fig. 1: E. ' — 100/0° voltios, Z1
— 3 4- j4 ohmios, y Z12 = 10 + jO ohmios y Z2 = 4 — j8 ohmios. Se
considera que la impedancia del generador es despreciable o, si se
quiere, que está incluida en Zt.
Zn = (3 + jé) + (10
jQ) = 13 -f- jé = 13.6/17.1° ohmios
Z22 = (4 - jü) + (10 + j 0 ) = 14 - j8 = 16.1/-29.7° ohmios
Z11Z22 = 219/-12.6° = 214 - J47.8
Z11Z22 — Zis2 = 114 -j47.8 = 123.7/-22.7°
11
(100/0°)(16.1 / —20.7°)
12377-227°----- = 1 3 . 0 amperios
(100/0°) (10/0°)
12 --------- 7--------- = 8.08/22.7° amperios
123.7/-2 2 7 °
L-----La corriente en la rama Z12, en el sentido de I, es I12 = (Ij —
I 12 = 13.0 (0.992 - jO. 122) - 8.08 (0.922 + j0.386)
= (12,9 —jl.59) - (7.45 + j'3.12)
= 5.45 - j4.71 = 7.21/-40.8°amperios
La potencia total generada por el generador Et es:
-E,
Pgen = E 1I 1 eos 0
= 100 X 13.0eos (- 7 ° )
_Ii
= 1290 vatios (aproximadamente)
La potencia total absorbida por la red es:
h 2R i + h 2R i + h -?R u = 13.02 X 3 + 8.082 X 4 + 7.212 X 10
= 1288 vatios (aproximadamente)
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334
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Problema 1. Despeje a Ir I2 e I12 en el anterior ejemplo ilustra­
tivo, reduciendo primero los circuitos acoplados "a una impedancia en
serie equivalente. Dibuje el diagrama vectorial de Ej, Ix, I2, I12, V12,
mostrando vectorialmente que V12 = Ex —
Respuesta: Dada en el ejemplo anterior.
Impedancia Mutua. Antes de pasar a tipos especiales de
circuitos acoplados, enunciaremos algunas definiciones gene­
rales que serán útiles posteriormente en este mismo capítu­
lo y también en cursos de radio, donde el coeficiente de aco­
plamiento ju ega un papel más importante que en un primer
curso.
La impedancia mutua entre, digamos, los circuitos 1 y 2
de una red general, se define como la razón del voltaje des­
arrollado en el circuito 2, a la corriente del circuito 1, cuan­
do todos los circuitos, excepto el 1, están abiertos. Esta im­
pedancia mutua ha sido y a em pleada en la sección anterior,
como Z2i. Si se emplean en el acoplamiento de los dos cir­
cuitos, elementos de circuito lineales y bilaterales, está claro
que Z12’ razón del voltaje, desarrollado en el circuito 1 a la
corriente del circuito 2, con todos los circuitos abiertos, ex­
cepto el 2, es igual a Z2i.
La definición dada anteriormente para la impedancia mu­
tua entre dos circuitos puede ser generalizada para aplicar­
se a los dos pares de teFfflineries IT y 22', coma §é
i,
.ti
muestra
2«__
$
Circuito
1
V,
Circuito
2
1
í,
Fig. 2. Circuito 1 acoplado
al circuito 2 mediante una
red arbitraria que no se
muestra.
Fig. 3. Circuito 1 acoplado al circuito
2 mediante un conjunto ^ de resisten­
cias.
en la Fig. 2, donde la red de la caja puede ser cualquier
configuración de impedancias. Si, por ejemplo, las termina­
les IT y 22' son seleccionadas, encontraríamos al medir que
Z *i
Vo
Va
Vi.6
V
Ii
Ii
V"
/fi. -t- ílie
t.
V g(^a
&
11b
¡Ib + H e)
R u {R b + R e )
R Jtb
Ha + Hb + Re
CIRCUITOS
ACOPLADOS
335
donde V& es el voltaje desarrollado a través de R¡, (termina­
les 22') y Vtt es la caída de voltaje a través de R«. Se habría
obtenido el mismo resultado si el conjunto v de resistencias
(Re — R¡, — Rc) hubiera sido transformado en un conjunto equi­
valente Y de resistores.
En muchas redes, particularmente en el campo del radio,
las corrientes directas deben ser confinadas dentro de ca­
minos determinados y la energía de c-a es transferida de
I.
te
~ )
Fi*. 4. Circuitos acoplqdos me­
Circuito '
1
Fígr S. Circyit95 qcoplgd9s me­
diante la red C.-C.-C,
1 ü i
diante la red R.-C-Rv
un circuito a otro mediante la intervención de un campo
Ert leí Píg. 4, póf ejemplo, let energía de c-á puéde ser transferida del circuito 1 al circuito 2 por medio del
campo eléctrico existente entre las placas del condensador
de acoplamiento, C.
En lá Fig. 5 se muestra una forma particular de acopla­
miento capacitivo. Sí la reactancia de acoplamiento entre el
circuito 1 y el circuito 2 se define como el voltaje desarro­
llado en el circuito 2, a saber, el voltaje a través de C2/unidad de corriente en el circuito 1, esta reactancia de acopla­
miento es
X
Xo
acoplamiento
^ 1 (^ 1
x2
+ Xg
+
+ A 3)
Xi +
X 1X 2
X2
+ X3
X, (X 2 + X 3)
donde Vi es el voltaje a través de C x y las X son las reac­
tancias capacitivas de los respectivos condensadores. La ca­
pacitancia de acoplamiento entre el circuito 1 y el circuito
2 (o viceversa) es
1
1
^acoplamiento
jX acoplamiento
U / o A K i/ ü A )
(1 /toCj) -(- (1 ¡u>C2) +
= C l +
C2 +
C,C 2
c.
(X¡uCz)
336
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Problema 2. Demuestre que el voltaje desarrollado a través del
condensador Cj, pot unidad de corriente que fluye en el circuito 2 de
la Fig. 5, es
X A
v
;
7^
¡
A a c o p la m ie n to
77”
A i r ^ I T -A3
donde X i — 1/wCi, X 2 = l/«C2t Y A'3 = 1 juiC$.
Problema 3. Supóngase que Ra, R¡, y Xc de la Fig. 4 son un dis­
positivo de acoplamiento entre el circuito 1 y el 2. Demuestre que la
impedancia de acoplamiento entre los dos circuitos es
v
{Itn-Rb + RaRb2)
+
jRaRbXc
iR T + R tfT x ?
acopi ‘ D ,len to
N O TA:
Zacoplamiento _— Vb
“
II
donde
es el voltaje desarrollado por It a través de Rs, o
2
acoplam iento =
V„
—
Is
donde VB es el voltaje desarrollado por I¡¡ a través de Ra
Coeficientes de Acoplamiento. Se dan dos pares de ter­
minales, 11' y 22', como se muestra en la Fig. 2. El coeficiente
de acoplamiento entre el circuito 11' y el 22', se define como
_
Z 12
Z 21
y/ Z 1JÍZ22'
V z n /Z22/
donde Z12 es la impedancia mutua entre los circuitos 2 y 1.
Z21 — Zij.
Z11' es la impedancia vista mirando hacia las terminales
11', con el circuito de las terminales 22' abierto.
Z-22' es la impedancia vista mirando hacia las terminales
22', con el circuito de las terminales 11' abierto.
Ejemplo 2. Sean las terminales 11' y 22' de la Fig.* 3. Supóngase
que se desee determinar el coeficiente de acoplamiento entre los ciicuitos 1 y 2.
Se ha demostrado que
RaRb
R a + R b + Re
Z11' =
R-a{Rb
Ra
"I-
"r
Rb
Re)
"i"
Re
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_
(
R b (R a
Ra
+
337
+
Rb
R e)
+
Re
t ___________ R„Rh_________
V R a (R b
+
R c )R b (R a
+
R e)
Si, por ejemplo, Rc = 0, el coeficiente de acoplamiento es igual a la
unidad. Es de advertirse que, con la definición general de coeficien­
te de acoplamiento que ha sido dada, k puede ser compleja o mayor
que la unidad. En la mayor parte de los casos, sin embargo, el coe­
ficiente de acoplamiento es real y menor que la unidad, como en este
ejemplo.
Fig. 6. Ilustración de los cuatro flujos componentes <¿u , <£12, ^>:2, y
, j en que se descompone el campo resultante magnético para fines de
análisis.
Acoplamiento Magnético. Si una parte del flujo magné­
tico establecido por un circuito se concatena con un segun­
do circuito, los dos circuitos están acoplados magnéticamen­
te y la energía puede ser transferida del uno al otro, por me­
dio del campo magnético común a ambos circuitos. El fun­
cionamiento práctico de muchos dispositivos depende de es­
ta clase de acoplamiento.
Descomposición del Flujo Magnético en Componentes Con­
vencionales. En la Fig. 6 se muestra el acoplamiento magné­
tico entre dos circuitos individuales. Para fines de análisis, el
flujo total establecido por il( a saber, <¿>i, se divide en dos
componentes. Una componente de <£i es la parte que enlaza
con el circuito 1, pero no con el circuito 2, a saber £n. La se­
gunda componente de <¡>i es <¿>t2, la parte que enlaza con am­
bos circuitos, 2 y 1. De manera semejante, el flujo establecido
por i2 es descompuesto en dos componentes, para propósitos
de análisis detallado.
Por definición
01 = 011 + 012
(5)
338
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Y
<t>2 = $22 “t" 4>21
(6) I
Los cuatro flujos componentes se muestran en la Fig. 6 y a
continuación se da una recapitulación de sus definiciones:
<¡>X1 la fracción de <¡>i que enlaza solamente con las vueltas
del circuito 1. Este es el flujo de dispersión del circuito 1, con
respecto del circuito 2.
<l>i2 la fracción de </>i que enlaza con las vueltas del circuito
2. Este es el flujo mutuo producido por el circuito 1.
<¡>22 la fracción de <¡>2 que enlaza solamente con las vueltas
del circuito 2. Este es el flujo de dispersión del circuito 2, con
respecto del circuito 1.
<f>2i la fracción de <£2que enlaza con las vueltas del circuito
1. Éste es el flujo mutuo producido por el circuito 2.
Debe reconocerse que el flujo real establecido por i] o ia
no se conforma a las sencillas configuraciones mostradas en
la Fig. 6. Por ejemplo, parte de <¡>u enlaza solamente con una
fracción de las vueltas del circuito 1, y de modo semejante,
una parte de <¿>iZ, abraza sólo una fracción de las vueltas del
circuito 2. ¡fin es un flujo supuesto, que al abrazar todas las
vueltas Ni produce concatenaciones totales de flujo iguales
a las concatenaciones reales del flujo en cuestión. Conceptos
similares son válidos para los otros flujos componentes y,
cuando se usan cuantitativamente de esta manera, represen­
tan exactamente el verdadero estado de cosas, por lo que
respecta a los voltajes inducidos.
Inductancia Mutua. A fin de describir la interacción mag­
nética entre circuitos o entre partes del mismo circuito, se in­
troduce el parámetro M. Se llama el coeficiente de induc­
tancia mutua, o simplemente inductancia mutua y es dimen­
sionalmente equivalente al coeficiente de autoinductancia,
L. Esta semejanza entre el concepto de inductancia mutua
de (o entre) dos circuitos y el concepto de autoinductancia,
puede ser demostrada de la manera siguiente. Véase la Fig.
6. Para el fin que se persigue, se definirá la autoinductancia
del circuito 1, como
C I R C U I T O S
N\<t>i
ii
A C O P L A D O S
339
concatenaciones de flujo del circuito-]
1/unidad de corriente en el circuito 1J
(7)
Sobre la misma base de cómputo, la inductancia mutua del
circuito 1, con respecto del circuito 2, es
Mn =
H
concatenaciones de flujo del circuito!
1/unidad de corriente en el circuito 2 i
(8 )
También la inductancia mutua del circuito 2, con respecto
del circuito 1 es
^ 12 ~
jV2<í>i2 Tconcatenaciones de flujo del circuito-]
[_2/unidad de corriente en el circuito 1J
Si las características 0/i de las ecuaciones (7), (8) y (9)
no son líneas rectas, entonces Lr M 21 y M 12 son parámetros
variables de circuito y, para ciertos tipos de análisis, pueden
mejor formularse como sigue
di j
M n = iVi
M u = N%
di 2
d ii
(7a)
(8a)
O a)
Sin embargo, si el flujo es proporcional a la corriente (esto
es, permeabilidad constante), tanto la autoinductancia como
la inductancia mutua en las ecuaciones (7), (8) y (9) son cons­
tantes y, como tales, parámetros de circuito muy útiles en la
teoría clásica del circuito.
En condiciones de permeabilidad constante, la reluctan­
cia del camino de flujo mutuo (J^ 2i o
es una cantidad
fija, y (¿fin — ¿/?i2).
M 21 =
*2
(R2i
= ffafra =
¿1
(Ri 2
(10)
(11)
donde K es una constante, cuyo valor depende de las uni­
dades empleadas para determinar el valor de <f>= KNi/¿/?.
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C IR C U IT O S DE C O R R IE N TE ALTERNA
340
Por tanto, si la permeabilidad del paso o camino de flujo
mutuo es constante, M2i y M12 son constantes, y M2i = Mi 2=
= M. Este hecho puede también ser probado en función de
la energía almacenada en el campo magnético, cuando am­
bos circuitos están energizados.
Si no es constante la permeabilidad del camino de flujo
mutuo, ni M21 ni M12 serán constantes, y el método de repre­
sentar voltajes mutuamente inducidos en función de M pier­
de mucha de su eficacia. A menos que se indique otra cosa, se
supondrá la ausencia de material ferromagnético y, en ese ca­
so, M21 = M i 2 = M.
Las unidades en que se expresa la inductancia mutua
son idénticas a las unidades en que se expresa la autoinductancia, generalmente, el henrio o el milihenrio. Si las con­
catenaciones de flujo de las ecuaciones (8) y (9) se expre­
san en vueltas weber (108 vueltas Maxwell) y la corriente en
amperios, entonces M está dada en henrios.
Problema 4. Véase la Fig. 6, Pág. 337, y supóngase que la bobina L,
consiste de 50 vueltas y la L2 de 500.
(a) ¿Cuál es la inductancia mutua entre los dos circuitos (en milihenrios), si 5 amperios en el circuito 1 establecen un flujo total equi­
valente [(jtj) de 30 000 maxwells, 27 500 de los cuales enlazan con las
vueltas de la bobina L2?
(b) ¿Cuál es la autoinductancia de la bobina Lj?
Respuesta, (a) M12 = 27.5 milihenrios; (b) Lt = 3 milihenrios.
Reactancia Mutua, X¡¡. Es evidente que cualquier cam­
bio en i2 de la Fig. 6, causará un cambio correspondiente en
De acuerdo con la ley de Lenz, cualquier velocidad de
cambi? de
§? manifestará en @1
1 @n íerms de
sífsuüq
un voltaje generado o inducido, cuyo valor es
d<¡>21
dt
ei2 = —N i —r— o
'
d <¡>21
t>i2 — N i .
dt
.
(12)
donde e12 es considerado como una elevación de voltaje o
voltaje generado y v ]2 es considerado como una ccáda de vol­
taje.
De modo semejante, cualquier cambio en it se manifesta­
rá en el circuito 2 como
e21 — ~
AT
C^ * 12
—
dt
O
V21
=
\T
ÍV 2
C^ >12
—
dt
(13)
CIRCUITOS
341
ACOPLADOS
Por intermedio de estos dos voltajes mutuamente induci­
dos, el fenómeno conocido como inductancia mutua puede
ser computado en el análisis de circuitos.
Las ecuaciones básicas de voltaje para los dos circuitos
mostrados en la Fig. 6 son
¿Mr + N i ^
+ .N i
= «i
(14)
RtH + N ^ + N t í g - e ,
dt
dt
(15)
dt
y
dt
Si se supone constante la permeabilidad de los caminos o
pasos del flujo, las ecuaciones anteriores pueden formularse
en formas más cómodas, puesto que:
Ni<t>\ = L\i\
« ■ f
1i r
N 2<^2 ==
*•. N ; —
■N ,^
dt
ii
(16)
.. d<t>2\ - M
to
«-
N \(¡)2i — M 21¿2 •
'
di}
~ L lTt
(17)
Z M il dt
di2
(18)
= u H
XI
‘ dt -
(19)
Tt
Las ecuaciones (14) y (15) pueden, por tanto, ser escritas
en la siguiente forma
R\i\ + ¡j \
R 2 Í2
+
dt
L-2 ~ r
dt
-f M2¡ —2 = ei
dt
+
M 1 2 - jf - = e 2
dt
(14a)
(
15a
)
Se observará que los efectos de la inductancia mutua fi­
guran en las ecuaciones de voltaje como caídas de voltaje
(+M di/dt). Si, por ejemplo, ij = Imisen o>t, la caída de voltaje
en el circuito 2, debida a la inductancia mutua es
di%
-w 12
= u M iz I m ,
eo s
a)t
=
X M n Im x C O S U t
(
20)
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
342
En general, a>M == XM. Se llama la reactancia mutua y es
una función de la impedancia que expresa la razón del vol­
taje de la inductancia mutua a la corriente excitante. Se no­
tará que el voltaje de la inductancia mutua se adelanta en
90° a la corriente excitante. De aquí que la expresión vecto­
rial para la reactancia mutua sea
X A/ =
ju M
=
coM /90°
(21>
Serán estudiadas en breve, las configuraciones de circuito
en que M pueda poseer un signo positivo o negativo.
Problema 5. Una bobina inductiva tiene una resistencia de 10
ohmios, una autoinductancia de 1/37.7 henrios y una inductancia mu­
tua de 0.02 henrios con respecto a una bobina adjunta. (M12 = M21).
Un voltaje de 50 sen 377t voltios se imprime a través de las terminales
de la bobina primaria. Encuéntrese el valor òhmico de la reactancia
mutua y el valor eficaz del voltaje, a través de las terminales del cir­
cuito abierto de la bobina adyacente.
Respuesta:
= 7.54 ohmios, V2 = 18.85 voltios.
Problema 6. Supóngase que los valores rms del voltaje primario
y la corriente del Problema 5 se conocen Vx e IJf y dibújese un diagra­
ma vectorial que muestre a Vlt I1# R1I1,
jX^Ij y E21 (Considera­
do como un voltaje generado, E21 está 180° fuera de fase con jX^Ij,
puesto que esta última es una caída componente de voltaje del
circuito 2, en el mismo sentido que R^ y jXL1I1 son caídas componentes
de voltaje del circuito 1).
50
Respuesta:
=
~ /0o voltios, It = 2.5 / —45° amperios, E21 =
yz —
-------18.85 / — 135° voltios.
ftfffflfflt? de Acoplamiento Magnético,
p ? fnlQZQ (?gn Ns,
jf Ifl
fé fa,
¡¡W W fì & <fj,
fnlgzi? con
Ni, (^>21/^ 2) i son índices del grado de acoplamiento que exis­
te entre los dos devanados. Cuando los devanados están am­
pliamente separados o de tal manera situados en el espa­
cio que estas fracciones son pequeñas, el acomplamiento se
llama flojo. Mediante una proximidad más estrecha y una
adecuada colocación de los devanados, <¡>i2/< j> i y $ 2 1/< ¡> 2 tien­
den a la unidad, como un límite superior teórico.
El coeficiente de acoplamiento entre los dos devanados
que individualmente poseen Li y L2 unidades de autoinduc­
tancia, se definen como
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CIRCUITOS
K, -
I
ACOPLADOS
f
_
V U i A te /
343
¡(Mull /N2) (M21Í2 /N 1) _
V
(L \ i\ 0 i)
l / M 12Ñ / M2A
(L2i 2 /N2) ~ \ \ L y ) \ L 2 )
22
( )
Bajo condición de permeabilidad constante, M i2 — M 21
= M. Por tanto, si la perm eabilidad es constante,
(23)
Asi, kjr es el medio geométrico de las fracciones (^ 21/^ 1) y
i f nf f i ] ° ^ las fracciones (M/%) J (M/Lo)i ÍÍHfflélISMte,
el coeficiente de acoplamiento en instalaciones prácticas pue­
de variar de aproximadamente 0.01 entre ciertos tipos de cir­
cuitos de radio, hasta tanto como 0.98 o 0.99 entre devanados
de transformadores con núcleo de hierro.
Ejemplo 3. Supóngase que el número de vueltas de los dos de­
vanados mostrados en la Fig. 6 son Nj = 50 y N2 = 500. Se supondrá
que 6000 maxwells enlazan con las vueltas Na del circuito 1, por am­
perio de corriente excitante i1> de los cuales 5 500 también enlazan
con N2. En el supuesto de que se tengan devanados concentrados si­
milares y de permeabilidad constante, de los caminos del flujo, 60 000
maxwells enlazarán con las vueltas N2 del circuito 2, por amperio de
corriente excitante i2 y 55 000 de estas lineas de flujo enlazarán tam­
bién con Nr El propósito de este ejemplo numérico consiste en deter­
minar el coeficiente de acoplamiento en función de las fracciones (<¡>12/
fa) y (^ 21/^2) Y también en función de las fracciones (M12/L-) y
(M21/L2). Para 1 amperio de corriente excitante primaria y para un
amperio de corriente secundaria:
= 6 000 maxwells
<j)12 = 5 500 maxwells
^>2 = 60 000 maxwells
fh2i — 55 000 maxwells
= 0.917
Ari</>i
A i 12
#2012
At2</>2
50 X 6000
X 10 8 = 0.003 henrio
1
500 X 5500
X 10 8 = 0.0275 henrio
1
500 X 60,000
X 10“ 8 = 0.30 henrio
344
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
N if a l
ku =
5 0 X 55,000
X 10 8 = 0.0275 henrio
M
0.0275
V h iU
V 0.003 X 0.30
0.917
Problema 7. Las autoinductancias individuales de los devanados
son 0.094 henrios y 0.0108 henrios. El coeficiente de acoplamiento entre
los devanados es 0.805. Encuentre la inductancia mutua de los dos
devanados.
Respuesta: 0.0256 henrios.
Problema 8. Un devanado de 1 000 vueltas tiene una característica
(A j/ ij) de 9400 maxwells por amperio y está acoplado magnéticamen­
te a un segundo devanado de 338 vueltas. Suponiendo permeabilidad
constante de los caminos del flujo y devanados concentrados simi­
lares, determine Lr L 2 y M en henrios, si el coeficiente de acoplamiento
es de 0.805.
Respuesta:
= 0.094 henrios, L2 = 0.0108 henrios, M = 0.0256 henrios.
Sentidos de Circuito y el Signo de M. Si solamente un
circuito de una red de c-a incluye un dispositivo generador,
los sentidos positivos de las corrientes pueden ser fijados con­
vencionalmente, si se entiende que el sentido positivo de
circuito dado a la corriente a través del generador, define con­
vencionalmente el sentido positivo de circuito del voltaje ge­
nerado. Cuando en una red eléctrica existe más de un dis­
positivo generador, las polaridades relativas y las fases de
tiempo de los dispositivos generadores deben ser tomadas
en cuenta, al fijar los sentidos positivos de circuito de las co­
rrientes, en los circuitos acoplados.
En un sireuito dado 9 en parte dei mism?, el yeltaj? de
la M t t iü mu» Ili i/ iii p i sp&ff u epem al
vsllsii át su M u e im t ii/ t §i está involrato mfi
de un circuito,- primero se da a las corrientes sus sentidos pe-
sitivos de circuito. Cuando los sentidos positivos de circuito
de las corrientes han sido determinados mediante las pola­
ridades relativas de los diversos dispositivos generadores (si
existe más de un generador), o cuando los sentidos positivos
de circuito de las corrientes, para un solo generador, han sido
convencionalmente fijados, el signo de M se considera po­
sitivo si en un devanado el voltaje inducido de la inductancia
mutua actúa en el mismo sentido que el voltaje inducido de
autoinductancia. Si el voltaje inducido de inductancia mutua
CIRCUITOS
A C O P L A D O S
345
se opone al voltaje inducido de autoinductancia en un deva­
nado dado, M es considerada como una cantidad negativa.
Al determinar el signo de M, cada caso particular debe ser
analizado en cuanto a los sentidos relativos positivos de cir­
cuito de las corrientes, los modos de devanado de las bobinas
involucradas, y la colocación física de un devanado con res­
pecto de otro. Se demostrará más tarde que el signo de M
entre circuitos que no están eléctricamente conectados y que
están energizados con un generador único en uno de los cir­
cuitos, depende totalmente de los sentidos de circuito positi­
vos que convencionalmente se asignen a las corrientes en los
circuitos separados.
Fig. 7. Muestra un caso particular en que e l voltaje de inductancia
mutua actúa en oposición de circuito al voltaje de autoinductancia en
una bobina dada.
Ejemplo 4. Considere el arreglo supuesto de dos circuitos mostrados
en la Fig. 7. Si el sentido a reloj alrededor del circuito 1 se toma como
la dirección positiva del circuito de ij, la fem del generador posee un
sentido positivo de circuito de b a a, a través d el generador. Este úl­
timo sentido determina el sentido positivo del circuito de i2, como con­
tra reloj alrededor del circuito 2.
Por la ley de Lenz, el voltaje de autoinductancia en la bobina Lr
considerado como un voltaje inducido, actúa en un sentido contra re­
loj alrededor del circuito 1, cuando dij/d t es positiva. Si se toman
en cuenta el sentido positivo del circuito de i2 y los modos de devanado
de las bobinas, está claro que el voltaje que se induce en la bobina
L, por la variación de <£2l, es un sentido a reloj alrededor del circuito
1, cuando di2/dt o d^,21/dt es positiva.
Puesto que M di2/dt en oposición a Lx d ij/ d t en el circuito 1, M
debe ser considerada negativa, si L t se considera positiva. La ecu a­
ción general del equilibrio del voltaje en el circuito 1 es
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346
Riii + L i ^ +
di
di
= e ha
¡
Otro modo de determinar el signo de M es llam ar positiva a M, si las
fmm causadas por las dos corrientes se combinan para aumentar el
flujo total. Si las fmm se oponen, el signo de M es negativo.
Problema 9. Demuestre, por medio de un análisis detallado e in­
dependiente, que la ecuación general del equilibrio del voltaje en
el circuito 2 de la Fig. 7 es
ai
dt
En vez de mostrear los modos del devanado, a menudo se
usa, para obtener la misma información, un método conven­
cional que emplea una terminal mar­
cada con un punto. Esta práctica ha
sido seguida, por muchos años, en el
marcado de transformadores de ins­
trumentos, con núcleo de hierro, don­
de los puntos son conocidos como
marcas de polaridad. Los puntos se
colocan de manera que la corriente
Fig. 8. Marcas con puntos
usadas para definir las po­ que entre a una terminal marcada
laridades relativas de dos con un punto, produzca una fuerza
bobinas.
magnetomotriz y un flujo correspon­
diente en el mismo sentido alrededor del circuito magnético.
Así, en la Fig. 8, una corriente que entra a la terminal mar­
cada con un punto, causa un flujo contra reloj en el circuito
magnético, y una corriente que entra por la terminal marcada
1
1
2
Fig. 9. Las mar­
cas con puntos in­
dican — M.
Fig. 10. El modo de
devanar y la coloca­
ción f í s i c a indican
-M .
2
Fig. U . Las mar­
cas con puntos in­
dican + M.
con un punto de la bobina 2, también causa un flujo contra
reloj en el mismo circuito magnético. De aquí que los puntos
solos, sean suficientes para indicar los modos de devanado.
El uso de esta convención, se ilustra en la Fig. 9. Si se supone
que una corriente que entra por la terminal marcada con un
punto de la bobina 1, produce un flujo de izquierda a dere-
CIRCUITOS
347
ACOPLADOS
cha a través de las bobinas, esta misma corriente, al salir
por la terminal marcada con punto de la bobina 2, causarla
un flujo de derecha a izquierda a través de las bobinas. Por
tanto, para el propósito de establecer una ecuación de caídas
de voltaje, M debe ser considerada negativa. De aquí que
los modos relativos de devanado deban ser como se muestra
en la Fig. 10. Si las bobinas de la Fig. 9 se marcaran como
se muestra en la Fig. 11, una corriente que entre a la termi­
nal marcada con punto de la bobina 1, también entrará a la
terminal marcada con punto de la bobina 2, las ímm de las
dos bobinas serían aditivas y el signo de M sería positivo.
Inductancia Mutua Entre Partes del Mismo Circuito. La inductancia mutua puede ser un factor de importancia en el
régimen del flujo de electricidad en un circuito único en se­
rie, en el cual dos o más partes del circuito están magnética­
mente acopladas. Un ejemplo particular se muestra en la
Fig. 12. El arreglo consiste en dos bobinas inductivas acopla­
das magnéticamente y conectadas en serie eléctrica. Indivi­
dualmente, las bobinas tienen L„ y L¡> unidades de autoinductancia, juntamente con Ra y fi» unidades de resistencia, res­
pectivamente.
Si las bobinas están devanadas de la manera que se
muestra en la Fig. 12, está claro que, en la bobina a, el voltaje
.. di
(Í<¡)ba
~dT
di = ~
actúa en el mismo sentido de circuito que el voltaje —La di/dt.
De manera semejante, el voltaje
HJ — —
"" dt ~
m
l^ ub
6 di
actúa en el mismo sentido de circuito que —Lj di/dt. De aquí
que M sea positiva.
Considerados como caídas de voltaje, los voltajes compo­
nentes de que se hace mención, tienen sentidos de circuito que
concuerdan con el del voltaje aplicado v. Considerados como
elevaciones de voltaje, los voltajes inducidos están, por su­
puesto, en oposición de circuito al voltaje aplicado v.
Los hechos involucrados pueden ser enunciados en for­
ma de ecuación, como sigue
348
C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E ALTERNA
, di
,,
72«í + /-»„ —~ + -W
«/
di
w
<w
.d i
+ />)>— +
«/
v
rft
— == e
rf/
(24)
Fig. 12. Dos bobinas de inductaricia conectadas en serie aditiva.
Si el camino mutuo de flujo es de permeabilidad constan­
te, la anterior ecuación se reducé a
(Ra + Rb) i + (¿a 4~ l>b + 2M ) — — v
di
(25)
Si v varía sinusoidalmente cxrn el tiempo, y si todos los
parámetros de circuito son constantes, la ecuación (25) puede
ser formulada en función de valores rms, como sigue
+ Rb) I + ju{L u + £* + 2J/)I = V
(2fi)
Se advertirá que M entra en la ecuación de voltaje exac­
tamente en la misma manera que L. De aquí que
sea
una reactancia mutua. La impedancia equivalente del cir­
cuito en serie mostrado en la Fig. 12 se sigue directamente
de la ecuación (26).
Ze = — = ^ [ R a + Ri>\~ ■+• [«(Z'o + Lb + 2A/)]2
/
/ tan
u ( L a + Lb +. 2M )
------ —— -—— -----
¡ ___________ (Ra ~f~ Rb)
La ecuación (27) puede también escribirse
Z, = (R„ 4- Ri¡) + M U ,
Lb + 2M ) — Z„ + Z/j + 2Zji/ (27a)
donde
Z„ = Ra + joiL,,, Zi, = Rh + jwLb
Y
Z m = 0 + j<jiM
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CIRCUITOS
ACOPLADOS
349
Si las dos bobinas estuvieran conectadas una a otra en el
sentido opuesto, esto es, con una polaridad opuesta a la
mostrada en la Fig. 12, los signos de los términos con M de
las ecuaciones serían cambiados.
Ejemplo 5. La observación de las ecuaciones (25), (26) y (27) mos­
trará que la inductancia equivalente de las dos bobinas conectadas
en serie aditiva es
^e(aditiva)
-f- Lj -f” 2M
Si las dos bobinas están conectadas en serie substractiva
El valor de M puede, por tanto, ser determinado experimentalmente
mediante medición de Le(4dulra) y L ,(gub, tr«ctiv»)' utilizando las reíadones anteriores
M
4
Ejemplo 6. Supóngase que se desea determinar el coeficiente de
acoplamiento, la impedancia equivalente de circuito en serie y la
magnitud de la corriente en una disposición de circuito similar a la
mostrada en la Fig. 12, si
Ra = 1.0 ohmios
La = 4.0 milihenrios
M =
=
-f- 3 milihenrios
1 000 radianes por segundo
Rb = 6.0 ohmios
V =
40.5 voltios, el voltaje aplicado
L¿ = 9.0 milihenrios
(a) El coeficiente de acoplamiento es
LaU
V4 X 9
(b) La impedancia equivalente de circuito en serie es
Zc - (/?'«, + Hb) + M L a + U + 2.1/)
= (1 + 0) +./(1000)(0.004 + 0.009 -f 0.006)
= 7 +¿19 = 20.25/69.8° ohmios
(c) La corriente en serie es
20.25
= 2.0 amperios
Un diagrama vectorial de V,
I. Va y V6 sé muestra en la
Fig. 13, juntamente con los vol­
tajes componentes de Va y V6
Problema 10. Encuentre la
Fig. 13. Diagrama vectorial del ejem­
plo 6.
350
C IR C U IT O S
DE C O R R IE N T E ALTERNA
magnitud de la corriente del ejemplo anterior, si las dos bobinas están
conectadas en serie substractiva, esto es, M = — 3 milihenrios. Dibuje
un diagrama vectorial que muestre las posiciones vectoriales de
V, I, Va, Vb y los diversos voltajes componentes RI y XI.
Respuesta: I = 4.09 amperios.
Inductancia Mutua Entre Ramas Paralelas. La observa­
ción de la Fig. 14 mostrará que, en la bobina 1, M2i di2/dt
Fig. 14. Arreglo en paralelo de dos bobinas de inductancia que es­
tán acopladas magnéticamente. Para los procedimientos de devanado
que se muestran y los sentidos positivos que se suponen en las co­
rrientes, como se indica, M es negativa.
actúa en oposición de circuito a Lidii/dt. De modo semejan­
te, en la bobina 2, M 12 dii/dt actúa en oposición de circuito
a L2di2/dt. En forma de ecuación
_ .
_
di i
_ . . „
dio
R <
fl2
~ T.
R \ i\
+
—-— —
L\
+ ^2
di
__
di2
I
M
2i
=
v
(28)
M
12 ~~¡7 **
v
(29)
- j -
di\
at
Se notará que en las anteriores ecuaciones han sido utili­
zadas las corrientes individuales de rama.
Si los parámetros de circuito son constantes y se supone
una variación sinusoidal de v, las ecuaciones anteriores pue­
den ser formuladas en función de valores rms, como sigue
)I j — jcoAl lo = V
(30)
(R2 + jo>L2) I 2 - ja M I x = V
(31)
/on.
(32)
(R i
Sea
H"
(ff, +ju>Lt ) = Z,
(
7?2
0
“h
Jco /^
2)
==
Z 2
-j- jo>AÍ == Z\i
(
33)
(34)
C I R C U I T O S
A C O P L A D O S
351
Con las anteriores abreviaciones las ecuaciones (30) y
(31) se reducen a
Z,I, - Z v/Ij = V
(35)
Zjfli + Z2I2 = v
(36)
Las corrientes individuales de rama Ii e I2 pueden ser de­
terminadas mediante la solución simultánea de las ecuacio­
nes (35) y (36).
V
V
Zj
“ Zjf
Z.
-Z M
~Zm
Z-2
~Zm
V (Z 2 +
Z\Z-¿
ZM )
(37)
— ZjVf2
z2
V
V
V (Z¡ + Z jif)
Z¡Z2 — Z\j~
Zi
~ Zjif
—Z M
Z2
T- _1_ T.
V(Z, + Z2 + 2Z m
)
Z XZ 2 - Z M\
(38)
(39)
La impedancia equivalente de las dos ramas paralelas
mostradas en la Fig. 14, para el caso de M negativa, es
Z\Z<¿ — Z
z"~ J
Z] + Z2 -f- 2 Z m
(40)
Ejemplo 7. En la configuración de circuito mostrada en la Fig. 14
se supondrá que:
=
3.3 ohmios
L2 =
0.0108 henrios
L j ais 0.094 henrios
M =
— 0.0256 henrios
R„ =
w =
377 radianes por segundo
0.775 ohmios
50 /0° voltios
Supóngase que se d esea determinar I. It; I„ y la potencia total disi­
pada en las dos ramas paralelas.
Zt (individualmente) =
3.3 +
Z2 (individualmente) =
0.775 +
Zjf =
0 +
jmM =
0 +
j35.4 =
j9.65 =
35.5 /84.7° ohmios
j4.07 — 4.17 /79.25o ohmios
9.65 /90° ohmios
Nota: ZM es considerado aquí como esencialmente positivo, pues ya
en las ecuaciones (30) y (31) han sido introducidos los signos n ega­
tivos adecuados.
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352
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
ZiZ, - Z „ 2
63.6/140°
Zc = ~z— — —
" = —— —r — r = 1.078/54° ohmios
Z\ -f Z'2 2Zm
59»0 /86
V
50/0°
I = — = ------- ; = 46.4/ —54o amperios
Z e l.078 / 5 £
L
V (Z 2 + Z m )
1“
(50/0°) (13.73/86.8°)
Z,Zo - Z.\r “
63.fi/l4(r
Ii = 10.8/—53.2“ amperios
V (Z ! + Zjtf)
(50/0°) (45.1/85.8°)
2 _ Z 1Z 2 - Z.U2 “
B3.fi/140°
!•> = 35.4/—54.2° amperios
'I-
P = V / eos 0 I
= 50 X 46.4 X eos 54° = 1365 vatios
Comprobación:
I = l i + 12 = 10.8/ -5 3 .2 o + 35.4/ -5 4 .2 °
I = (6.46 - j8.65) + (20.8 - j'28.8) = 27.26 - fS 7.45
I = 46.4 / —54" amperios
l J = I { 2H i - f /o2/¿2 = 385 - f 973 = 1358 vatios
Problema 11. Supóngase que las bobinas inductivas del anterior
ejemplo ilustrativo están conectadas en paralelo, como se muestra en
la Fig. 14, con la excepción de que las terminales de una bobina es­
tán al revés de como se muestra en la figura. Demuestre que, en estas
condiciones
Zf = :s.0ti5 A)V4(V ghmios
I = 16.16/ —61.40° amperios (V como eje de referencia)
I I = 4.43 / —222.10 amperios
lo — 20.4/ —57.30° amperios
T
P — V I eos 0 I = 386 vatios
Dibuje el diagrama vectorial de V, I,
e I2, y represente la forma
en que los tres voltajes componentes de cada rama se combinan vec­
torialmente, para dar el voltaje aplicado, V.
El Transformador de Núcleo de Aire. En la disposición con­
vencional p a ra un transformador m ostrada en la Fig. 15, los
circuitos individuales no están conectados eléctricamente. El
CIRCUITOS
353
ACOPLADOS
circuito 1, energizado por medio de una diferencia de po­
tencial alterna, se llama el primario. El circuito 2, se llama el
secundario. Como resultado del acoplamiento magnético en­
tre los circuitos, el circuito 2 tiene un voltaje inducido que es
igual a
(41)
La magnitud del voltaje inducido en el circuito 2 es pro­
porcional al número de vueltas del secundario, N¡¡, y depen­
de del grado de acoplamiento entre los dos devanados.
<>
Fig. 15. Arreglo convencional para un transformador de núcleo de aire.
El signo de, M, en la disposición o arreglo convencional
para transformador, depende de la selección arbitraria del
sentido positivo del circuito de i2. La mayoría de los tratadistas
prefieren utilizar el sentido positivo del circuito de is, que les
permite emplear el signo positivo de M. Para los modos re­
lativos de devanado mostrados en la Fig. 15, el sentido po­
sitivo a reloj de i2 requiere el uso de + M, pues en estas con­
diciones M „ di2/dt actúa en el mismo sentido de circuito que
Lidii/dt en el devanado primario. Si el sentido contra reloj
en el circuito 2, se toma como el sentido positivo del circuito de
i2, entonces, por supuesto, M debe ser considerada negativa.
Las soluciones resultantes serán idénticas en ambos casos,
con excepción de que todos los voltajes y corrientes secun­
darios tendrán el signo cambiado. La práctica con soluciones
detalladas convencerá al lector de que los dos distintos mé­
todos darán idénticos resultados físicos.
Si se utilizan los sentidos positivos de circuito, como se in­
dica en la Fig. 15, el análisis matemático del transformador
común de núcleo de aire puede ser efectuado como sigue
r. • , x *1 , ir
*2
Rjii + ' L i —— + M 21 —
cu,
dt
= Vi
(42)
354
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
di-i
-37
dt
+
f io dt
C o—,
dii
Mis ~dt
+
= 0
(43)
Si se supone que Vi tiene forma de onda sinusoidal y que
todos los parámetros del circuito son constantes, las anterio­
res ecuaciones pueden ser formuladas en función de valores
eficaces, como sigue
(Jii
j
í
(/¿2 "f~ juTj2)12 "1“ ¡i -f-
= Vj
(44)
juM I]
I2
= 0
(45)
En obsequio de una formulación sencilla, se adoptan las
siguientes abreviaturas
Zi = {J¿i + j u L i ) (Impedancia del devanado primario)
(46)
Zo = (/¿2 + ju¡L-> ) (Impedancia del devanado secundario) (47)
= (0 + jw M )
Z =
[i
(Impedancia mutua, suponiendo que
no hay pérdida en el núcleo)
(Expresión general para la
impedancia de carga)
j í ü)I*
(48)
mqj
Las ecuaciones (44) y (45) toman la forma
Z d i + Z3/I2 = V,
(44M50)
+ (Z2 + Z )I2 = 0
(45)-(51)
La determinación de I, e I2 en las anteriores ecuaciones si­
multáneas da
Vx
0
Ii =
+
M
N
i:.j
z
(Z2 + Z)
(52)
>
0
1
.,/
v , (¿ 2 Z)
Z,(Z 2 + Z) — Z a/“
H
I
I9 =
Zi
Z ji/
Zi
z ,,
Z,
z
Z;Vf
(Z 2 + Z)
z
(Z2 + Z)
V!
Z,(Z 2
+
Z)
z* 2
(53)
Si se ha determinado el valor de Ii, puede, en ciertos ca­
sos, ser más conveniente despejar a I2 directamente en la
ecuación (51).
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CIRCUITOS
355
ACOPLADOS
=
i
(54)
(Za + Z)
El voltaje terminal del secundario, o sea, el voltaje que
aparece a través de la impedancia de la carga, es
V2 = Z I 2 = - Z j t f l j - Z2I 2
También
-V iZ MZ
I
Z i(Z 2
fl
I
i
|
(55)
(56)
Z) — Z aí *
Las anteriores relaciones se deducen directamente de las
ecuaciones (51) y (53). La ecuación (55) demuestra que
puede hacerse la interpretación de que el circuito secundario
experimenta un voltaje inducido igual — Z^I i, del cual debe
substraerse la caída de la impedancia interna del secundario,
a fin de obtener el voltaje terminal del secundario, V2.
Impedancia Equivalente. La impedancia equivalente de
la disposición del transformador mostrada en la Fig. 15, re­
ferida al lado primario, se define como la razón del voltaje
aplicado a la corriente primaria. Así,
„
V,
Z ,(Z 2 + Z ) - Z m 2
Ii
(Z2 + Z)
¿ci — r- —
■
r~=~
Una forma más conveniente de la ecuación anterior es
7 - 7
,;1
Z A/2
1
M*A/2
z2+ z
(Z2 + Z )
(58)
Las ecuaciones (57) y (58) demuestran que el transforma­
dor de núcleo de aire, con respeto a sus terminales primarias,
es reducible a un circuito en serie equivalente.
Ejemplo 8 (para Z =
0). Se supondrá que, en la Fig. 16a.:
R i = 3.3 ohmios
L\ = 0.094 henrio
M = 0.0256 henrio
Z = 0
R 2 = 0.775 ohmio
1j 2 = 0.OIOS henrio
w = 377 radianes/segundo
Vi — 5 0 /0° voltios
Z i — 3.3 + j'35.4 = 35.5/84.7 ^ ohmios
Z2 = 0.775 +./4.07 = 4.14/79.25° ohmios
Z.u = 0 + J9.65 = 9.65/90° ohmios
93.1/0°
Z,-i = Z i --- ¡j---- (3.3 + ,/35.4) + -----Z-i
4.14/79.25°
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R N A
356
Z e\ = (3.3 + ¿35.4:) + (4.20 -¿22.1) = 7.50 +¿13.3 = 15.27/60.55o ohmios
Vl
Z ei
50/0°
— = 3.28 / —60.55° amperios
15.27/60.55(
_ i xz M
(3.28/119.45°) (9.65/90°)
Z2
4.14/79.25(
I 2 = 7.66/130.2° amperios
o
La potencia total disipada en los dos circuitos es
“ Vi
P = F 1 / 1 eos 0
= 50 X 3.28 X eos ( —60.55°) = 80.8 vatios
- ii
P = I \ 2R\ +
— 3.282 X 3.3 + 7.662 X 0.775 = 81.0 vatios
El diagrama vectorial de V v l v I2 y —Z^ se muestra en la Fig. 16b
En el caso particular mostrado en la Fig. 16b, el voltaje inducido en el
circuito 2, o sea —ZMl v está balanceado enteramente por la caída
interna de la impedancia del secundario, a saber Z2I2. Si se hubiera
tomado como sentido positivo de circuito la dirección contra reloj del
circuito 2, I2 y ZMl x aparecerían en el diagrama vectorial a 180° de
las posiciones mostradas en la,Fig. 16b.
de aire, cuyo secundario está en corto circuito. Note la forma en que
XJrílI1, R1I1 y Zifr2 se combinan vectorialmente para balancear el voltaje
aplicado V 1
C I R C U I T O S
A C O P L A D O S
35 7
El oscilograma 1 ilustra las variaciones instantáneas de v x. i 1 e i2
para el caso numérico anterior. Se muestran claramente las caracterís­
ticas salientes de la solución numérica. La corriente primaria se re­
trasa con respecto del voltaje aplicado en aproximadamente 60° y la
corriente secundaria se retrasa con respecto de la corriente primaria
en aproximadamente 170°. Dentro de los límites de la precisión oscilográfica, las magnitudes máximas de ij e i2 concuerdan con los re­
sultados del anterior ejemplo numérico.
Ejemplo 9 (para Z =
la Fig. 17a.:
R i — 3.8 ohmios
14.5 +
j21.2 ohmios). Se supondrá que, en
M = 0.0256 henrio
L \ — 0.094 henrio
Z = 14.5 +¿21.2 ohmios
R 2 *■ 0.775 ohmio
a> = 377 radianes/segundo
L'¿ = 0.0108 henrio
V i = 50 /0° voltios
Z\ = 3.3 +¿35.4 = 35.5/84.7o ohmios
Z »2 = 0.775 +¿4.07 = 4.14/79.25° ohmios
Z m = 0 + ¿9.65 = 9.65 /90° ohmios
OSCILOGRAMA 1. Ilustra las relaciones de fase de tiempo de las co­
rrientes del primario y del secundario de un transformador de núcleo de
aire, con respecto de la onda del voltaje aplicado. (Para un secundario
en corto circuito. Véase la Fig. 16a.) v 1 M 70.7 sen 377t voltios.
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358
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R NA
L-------
Z2 + Z
15.28 + ¿25.3
Z„i = (3.3 +¿35.4) + (1.63 -¿ 2 .7 ) = 4.93 +¿32.7
Za = 33.0/81.4° ohmios
V,
1 1
50 /0°
= ZH =
=
-h Z tf
(1.515 /98.6°) (9.65 /90°)
2 = (Z2 + Z)
29.6/58.9°
12 = 0.494/129.7° amperios
V2 (voltaje terminal) = I 2Z
V2 = (0.494/129.7o) (25.7 /55.6°) = 12.7/185.3° voltios
La potencia de entrada a las terminales del primario es
Vi
^entrada
= 50 X 1.515 X eos 81.4'
^1^1
Ii
= 50 x 1.515 X 0.1495 = 11.3 vatios
La potencia entregada a la carga es:
7|* = 12.7 X 0.494 eos 55.0°
ros 0J
Pcarga = V‘•¿I*
¿/-2¿ <*os0
= 12.7 X 0.494 X 0.505 ~ 3.55 vatios
La eficiencia de este transformador de núcleo de aire, trabajando en
las condiciones indicadas arriba, es de 3.55/11.3 o 31.4 por ciento.
I 2= 0.494 /129.7o amperios
T
y
-7- » ^
T
R|< < R 2f < R= 14.5 ohmios
¡
1
Li
1
V2 \
__^ Mli
J=±Í2
1
L2 ¡2 § XL= 21.2 ohmios
r
© ^60^
(a)
--------------- > V ,
X1
Ii=
1*515
/-81.4° amperios
(b)
Fig. 17. Relaciones entre voltaje y corriente, en un transformador de
núcleo de aire, cuyo secundario está cargado como se muestra en (a).
La Fig. 17b es un diagrama de V1, Ilt — ZArI1, I2 y V 2. El oscilograma
2 muestra las variaciones de v r ix e i0, para el caso particular que
se discute. Las posiciones de fase de las corrientes del primario y
C IR C U IT O S
ACOPLADOS
359
OSCILOGRAMA 2. Representa las relaciones de fase de tiempo de las
corrientes del primario y del secundario de un transformador de núcleo
de hierro, con respecto de la onda del voltaje aplicado. (Para una car­
ga de tipo inductivo, colocada a través de las terminales del secunda­
rio del transformador. Véase la Fig. 17a.)
v v representa la onda de voltaje aplicado
(valor eficaz = 50 voltios)
i 1 representó la onda de corriente del primario (valor eficaz =
= 1.5 amperios).
i2 representa lq onda de corriente del secundario (valor eficaz =
= 0.5 amperios).
del secundario con respecto del voltaje aplicado se muestran mediante
coordenadas rectangulares y concuerdan con los valores calculados
de estas cantidades. Son igualmente perceptibles, la forma de la onda
y los valores máximos de las ondas de voltaje y corriente.
Problema 12. Supóngase que se reemplaza la impedancia de la
carga del ejemplo anterior por una impedancia cuyo valor es de
28.15/0° ohmios.
(a) Demuestre que, en estas condiciones de operación,
Z vX — .‘$5.5 /79.5° ohmios
Ij = 1.400/ —79.5° amperios (V1 como eje de referencia)
I 2 == 0.405/182.4° amperios
360
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R N A
OSCILOGRAMA 3. Representa las relaciones de fase de tiempo de las
corrientes del primario y del secundario de un transformador de núcleo
de aire, con respecto a la onda del voltaje aplicado. (Para una carga
resistiva colocada a través de las terminales del secundario del trans­
formador. Véase el Problema 12).
(b) Encuentre la entrada de potencia, la salida de potencia y la
eficiencia de operación.
Respuesta: Pent = 12.8 vatios, P8ft|ida = 6.08 vatios, Eficiencia =
47.5%.
(c) Dibuje un diagrama vectorial de Vj* l lt —
¡2* ^2^2* ¡2
(jü>L2) y V2.
(d) Compare los resultados obtenidos, con los mostrados en el os­
cilograma 3. El oscilograma 3 es una fotografía de las variaciones de
vr i x e i2 en la configuración del transformador de núcleo de aire con­
siderado en este problema.
=
Im pedancia Transferida. Una de las consideraciones prin­
cipales en los circuitos de comunicación es la de transferir la
m áxim a potencia de un dispositivo gen erador d e b a ja poten­
cia, a un receptor. Se ha demostrado en el Capítulo V qu e se
transfiere la potencia m áxim a (para un voltaje fijo de ge n e ­
rador) cuando la im pedancia del receptor (en forma com ple­
ja) es la conju gada de la im pedancia del gen erador y líneas
asociadas de transmisión. Esto es, si Zgen = R + jX, entonces
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CIRCUITOS
361
ACOPLADOS
Zreo debería ser igual a R — jX, para la transferencia máxi­
ma de potencia. Para equilibrios de impedancia que impi­
dan pérdidas por reflexión, Zgen = Zrec (véanse los Capítulos
X y XI).
En audiofrecuencias, los transformadores de núcleo de hie­
rro pueden ser usados con buen éxito para transformar mag­
nitudes de voltaje y para equilibrar impedancias, pero en
radiofrecuencias se usan generalmente transformadores de nú­
cleo de aire. En transformadores de núcleo de hierro, donde
el coeficiente de acoplamiento es relativamente alto y donde
(<oL2)2
R2'2' una resistencia R, colocada a través de un se­
cundario de N2 vueltas, puede aparecer en las terminales de
un primario de Nt vueltas, como (N í /N2)2R, aproximadamen­
te. Se usa la expresión "puede aparecer", porque varias con­
diciones deben ser satisfechas simultáneamente, antes de
que pueda usarse con buen éxito el factor (N i/ ^ )2, como se
demostrará en seguida.
Se usarán métodos clásicos para demostrar cómo una im­
pedancia colocada a través de las terminales del secunda­
rio de un transformador de núcleo de aire, aparece en forma
modificada en las terminales del primario.2
La observación de la ecuación (58) mostrará que la im­
pedancia equivalente de un transformador de núcleo de aire,
referida al lado primario, es
Z«i = Zj — ~
' ¿ fr — (ffi + j X i) +
"2
U¿2
r
JA 2 )
<59>
donde Z'2 = (Z2 + Z), la impedancia total del secundario.
Puesto que Zj,2 = — a>2M2- y Z2' = R2 + j<oL2' (para un cir­
cuito predominantemente inductivo), se sigue que
Zei = (/¿i + j u L i) + ( — /
\«2 + JOlL2 /
(60)
Transformando la ecuación (60), se tiene
Z.i = [
(¿ M R /
^
n
tí2
/2
2T
"r & *J2
'2
-
Li -
w 2M
2Lo'
R-i 2 + co2L o 2_
(61)
2 Debe tenerse presente que sólo son aplicables los métodos clási­
cos cuando M21 = Mx, = constante. Cuando intervienen transforma­
dores de núcleo de hierro, el factor (N j/N2)2 se usa a menudo como
una aproximación, pero como los análisis detallados de transformado-
362
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERN A
Se observará que R2' aparece en las terminales del pri­
mario en forma modificada, a saber, como
Si R2' es muy pequeño comparado con <o2L2'. si L2' = N2
</>2/i2' esto es, si todo L2' está concentrado en el devanado se­
cundario y si M = V L i L2,'. entonces R2' aparece en las termi­
nales del primario como
Tiz
aproximadamente
Así, si un alto valor de R2' ha de aparecer en las termina­
les del primario a un valor aparentemente reducido, debe dar­
se a N,/N2 un valor adecuado, menor que la unidad. El an­
terior factor de transferencia, (N j/Nü)2. puede ser teóricamente
aproximado sólo en el caso de un transformador ideal, cu­
yo coeficiente de acoplamiento sea la unidad. Aun con aco­
plamiento unidad, R2' no es efectivamente transferido en ra­
zón directa del cuadrado de la razón de las vueltas, N i /N2como se supone algunas veces. En el transformador de nú­
cleo de hierro, las condiciones requeridas para hacer de
(N i /N2)“ el factor correcto de transferencia se cumple hasta
un grado tal, que hace que, cuando este factor se aplica,
los cálculos queden dentro del límite de precisión demanda­
da por la ingeniería. Como resultado, es costumbre usar este
factor en el trabajo con transformadores de núcleo de hierro.
La ecuación (61) revela otro hecho interesante, a saber,
que la inductancia efectiva en las terminales del primario
de un trans'ormador cargado, se acerca a cero solamente
cuando R2'~ es despreciable comparado con
y cuando
L2' está enteramente concentrada en el devanado secunda­
rio. En estas condiciones, y si el coeficiente de acoplamien­
to es igual a la unidad,
res de núcleo de hierro se tratan generalmente en los cursos de ma­
quinaria de c-a, no se discutirán aquí.
C I R C U I T O S
363
A C O P L A D O S
Ejemplo 10. Se da un transformador de núcleo de aire (o de per­
meabilidad constante), en el cual N j = 500 y N2 = 5 000. Para la con­
figuración en particular de que se trata:
lt\ — 10 ohmio
/í« — 10 ohmios
L \ — 0.03 henrio
L * = 3.0 henrios
M — 0.275 henrio
Z = 90/0° ohmios
A 265.5 ciclos/segundo,
=
1 667 radianes/segundo y
X m = « A i = i(i()7 X 0.275 = 458.4 ohmios
A V 2 = 458.42
210,000
Z% = (10 + ¿5000) 4- (90 + ¿0) = 100 +¿5000 ohmios
210,000
z c l
=
Z ci =
(1
+
¿
50 )
+
(1 + ¿ 5 0 ) +
100 + j5 0 0 0
(0.S4 - ¿ 4 2 ) =
1.84 + ¿ 8 . 0 = 8 .2 / 7 T
ohmios
Se notará que Z.,' = (100 + j5 000) ohmios, aparece en las termina­
les del primario como (0.84 — j42) ohmios. Este resultado pone de mani­
fiesto la amplia discrepancia que puede existir entre el funcionamiento
ideal de un transformador y el obtenido de hecho en un transforma­
dor de núcleo de aire, cuyo coeficiente de acoplamiento es de 0.917.
En condiciones ideales, la impedancia de la carga/ Z =
recería en las terminales del primario como
90/0° apa­
- X 90 = 0.90 ohmios
Las condiciones ideales aludidas son: (1) acoplamiento perfecto y (2)
resistencia cero en los devanados del transformador.
El término reactivo en Z el puede, por supuesto, ser neutralizado
con un condensador en serie en el circuito primario, si se desea una
baja impedancia resistiva en las terminales de este circuito.
Problema 13. Un generador que desarrolla 10 voltios (eficaces) a
265.5 ciclos y que tiene una impedancia interna de 2¿0£ ohmios, se usa
para energizar la resistencia de 90 ohmios de la carga del ejemplo
anterior, en las dos formas siguientes:
(a ) Directamente. Esto es, con las terminales del generador direc­
tamente a través de las terminales de la carga de 90 ohmios.
(b) A través del transformador del ejemplo anterior y un conden­
sador en serie del primario, cuya reactancia capacitiva es de 8 ohmios.
Encuentre la potencia entregada a la carga de 90 ohmios en (a ) y
en (b).
Respuesta: (a ) 1.063 vatios; (b) 5.13 vatios.
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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
364
Resonancia de Factor de Potencia Unidad en el Primario.
La reactancia inductiva de ZeV causada por la 'introducción
de un transformador puede ser neutralizada de varias formas
diferentes. Si, después de haber sido determinado su valor
en un caso particular, Zel tiene una componente reactivo-in­
ductiva, en cualesquiera de los circuitos primario o secunda­
rio, pueden colocarse capacitores neutralizantes de valor ade­
cuado y estos capacitores pueden ser dispuestos en serie o en
paralelo con los devanados del transformador. Para fines de
análisis, se da a Zel la forma de la ecuación (61).
Zei — R i +
U2M 2IÍ2
R
o H r -iJ
'
2'2 + ü>2L 2' 2.
R
(61)
2 2 + a r L 2' J
R2' es la resistencia total del circuito secundario. L¡¡' es la
autoinductancia total del circuito secundario.
Zej = Reí
j X e1
(62)
donde
< J M
X e l
=
1
R 2 '2
2L
2'
1
X M
L
+ a r L 2 /2J
1
R
2X
22+
2'
X 2 ' 2.
(63)
Condensador en Serie con el Primario. Es posible obte­
ner un factor de potencia igual a la unidad en el primario,
introduciendo un condensador en serie con el primario, que
tenga una reactancia capacitiva de magnitud igual a la de
la reactancia inductiva representada en la ecuación (63).
X
»■C1 (en se rie )
2
m 2X
(64)
r2¿ + x
Condensador en Paralelo con el Primario. Para producir
un factor de potencia igual a la unidad en el primario, pue­
de utilizarse un condensador, colocado en paralelo con las
terminales del primario. Sólo es necesario igualar la magni­
tud de la susceptancia (bc) del condensador en paralelo con
la magnitud de la susceptancia (bt ) de Ycr donde
R e
Yel =
R eí
+
j X
el
R e i“
+
xel
I
X
e2
R
e2+
(65)
X e\
La susceptancia inductiva del transformador no compensa­
do, vista desde las terminales ‘del primario, es dada por la
C IRC UITOS
365
ACOPLADOS
componente j de la ecuación anterior. Por tanto, la susceptancia capacitiva del condensador en paralelo con el prima­
rio debe ser igual a
X el
Reí2 + X ei 2
3(71 (en p aralelo )
( 66 )
Condensadores del Secundario. Dentro de las suposicio­
nes que se han hecho con respecto de las ecuaciones (61),
(62) y (63), X2' es una reactancia inductiva. La introducción
de un condensador en serie con el circuito secundario o la
introducción de un condensador en parálelo con las termina­
les de la carga del secundario, tenderá a neutralizar la reac­
tancia inductiva original y hará menor en magnitud a la
reactancia neta inductiva X2'. Si R2'2 no es demasiado gran­
de, el menor valor de X2' aumenta la magnitud del término
substractivo de la ecuación (63), a saber
X m 2X 2'
_ R ¡T + X 2 2.
Con tal que R2'2 sea suficientemente pequeña en compara­
ción con X2'2 para permitir el aumento requerido en la expre­
sión anterior, X el puede recibir el valor cero, mediante un
ajuste adecuado de la capacitancia del secundario. No es di­
fícil de determinar el valor correcto que debe darse a la ca­
pacitancia del secundario, en un caso dado. Sin embargo,
la expresión general algebraica de los valores de los con­
densadores, tiene una forma algebraica un tanto incómoda.
En los circuitos en que se emplea este tipo de sintonización,
el efecto deseado se obtiene, a menudo, por medio de un con­
densador variable, que puede ajustarse experimentalmente
a la capacitancia adecuada.
Ajuste de M. Supóngase que Xi o X2' de la ecuación (63)
tienen una componente de reactancia capacitiva que es, cuan­
do menos, suficientemente grande para hacer
X m 2X 2'
R-2
=
0
(67)
+ JE*
cuando los dos devanados están en la posición de más es­
trecho acoplamiento. Si ahora se disminuye el coeficiente de
acoplamiento para hacer más pequeña a X3r XC1 tomará va­
lores positivos, indicando así una reactancia inductiva resul-
366
C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E
ALTERNA
tante. En general, el elemento inductivo utilizado debe ser
ajustado, hasta hacer a Xei ligeramente capacitiva para la
condición de
máxima. Podría hacerse así que la corriente
primaria se adelantara o se retrasara con respecto del vol­
taje primario, ajustando el grado de acoplamiento entre los
dos devanados de los transformadores.
Ejemplo 11. Supóngase que se desea encontrar el condensador de
valor adecuado que debe colocarse en paralelo con las terminales
del primario de la Fig. 17a, para producir factor de potencia igual a
la unidad en el devanado primario. Los parámetros de circuito, etc.,
se dan en la Pág. 356. Para el caso de que se trata: Z r = 3.3 -j- j35.4,
Zhí = 0 -f- j9.65, y Z2' = (Z2 + Z) = 15.28 + j25.27 ohmios a 60 ciclos
Sin el condensador:
Zel — 4.93 + J32.7 ohmios
4.93
;32.7
Yel = m i ~f
e
= (a,XM5 “
mh0
Despreciando la resistencia del condensador que ha de utilizarse
^ c l
(en paralelo)
“
“
—
27r / O
A ci
0 0299
(7 = —----- = 79.3 X 10~6 faradios = 79.3 ni
377
Problem a 14. Determine la capacitancia en serie con el primario que
ha de usarse en el ejemplo anterior para producir en el primario un
factor de potencia igual a la unidad.
Respuesta: 81.1j¿f.
Problem a
15. Despeje en la ecuación (63) el valor de X„' que hace
X„, = 0.
Respuesta: A'*/ *
2X,
áz
AÍ4X,2
R 2'2.
Problem a 16. ¿Puede emplearse en el ejemplo 11 una capacitancia
en serie con el secundario, para producir en el primario un factor de
potencia igual a la unidad?
Respuesta: No; R.,' es demasiado grande para los valores dados de
X, y X„.
Resonancia Parcial. Los dos principales problemas en los
circuitos acoplados del tipo mostrado en la Fig. 18 son gen e­
ralmente: (a) valor máximo de I2 (y de Vc 2) para un valor
dado de V,; (b) cresta de L claramente definida, para X2- X^
o o» variables.
A l considerar las características distintivas d e estos cir­
cuitos acop lad os sintonizados, se hace conveniente un liae-
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C IRC UITOS
367
ACOPLADOS
ro cambio en la notación. Hasta ahora, hemos distinguido en­
tre la impedancia (ZJ del devanado primario, la impedancia
(Z2) del devanado secundario y la impedancia (Z) de la car­
ga. Se ve claramente, en el precedente desarrollo de las ecua­
ciones (52) y (53), Pág. 354 que no se han impuesto restriccio­
nes a la naturaleza de Zt. Z, es simplemente la impedancia de
circuito en serie, equivalente a la del circuito primario. De
modo semejante, Z2 + Z es la impedancia de circuito en serie,
equivalente a la del circuito secundario. Las ecuaciones del
resto de este capítulo serán más fáciles de formular y de comvW\
\
\
\
\
\
\
/
Fig. 18.
Una disposición de circuito doblemente sintonizado.
prender, si se entiende que Z, se estima como la impedancia
total en serie del circuito primario y se comprende que Z-< es
la impedancia total en serie del circuito secundario. Así
Z, = R\ + j(X r A — X c i ) = R\ +|2f|
(68)
2*2 = R¿ 4" j ( X /42 — X c s ) = /?2 ~\~ j x 2
(69)
Z.¡v/ = ¿ K m — JéM
(70)
(como antes)
La ecuación para la corriente I2 del secundario [como se
da en la ecuación (53), Pág. 352], toma la forma
o
la —
- V , X . í/[(.\:,/f2 +
........... -
(A ’ , / í 2 +
X
3R
i
■
X o / íi)2 +
) + J|8A
(R iR o
-
-
M i X * + A'm2)]
■ — ib
X iX -,
+
X
M 2)2
Para simplificar la notación, sean
a
=
X tl{ ,
+ X .R i
y
b
= R iR - i
- X ,X 2 + Xm 2
v/4/
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
368
Entonces
12 ~
—Vi A m (a + jb)
a2 + b2
(73)
La magnitud de I2 es
/2 =
o
Para determinar el valor numérico de I2 es a menudo más
conveniente usar la ecuación (71) que la (75). Esto es par­
ticularmente cierto cuando Xt o X2 es igual a cero. La ecua­
ción (75), sin embargo, es útil para determinar los valores
máximos de I2 que pueden obtenerse variando cualquiera
de los parámetros. La resonancia parcial en los circuitos aco­
plados se obtiene cuando un parámetro es variado en tal
forma que causa una máxima corriente eficaz en el secun­
dario, I2- en condiciones de voltaje aplicado constante, Vi.
Según la ecuación (75), es evidente que puede obtener­
se resonancia parcial, ajustando cualquiera de los cinco pa­
rámetros: Ri> R2>Xi» X2, o Xjf. (Para valores fijos de Ri> Li. Cr
M. R2. L2, y C2 la resonancia parcial puede obtenerse median­
te ajuste de la frecuencia.) Obviamente, la resonancia par­
cial se producirá mediante el ajuste a cero de cualquier pa­
rámetro que aparezca solamente en los términos positivos del
denominador de la ecuación (75). De aquí que, teóricamen­
te se da la resonancia parcial cuando Rr o R2- es igual a
cero. En la práctica, ni Rt ni R2 pueden ser iguales a cero y,
como se demostrará en seguida, el valor de R,R= determina­
rá el valor óptimo de I2 que es posible obtener.
Los valores de Xi> X2 o XM que producen resonancia par­
cial pueden, en general, encontrarse diferenciando la expre­
sión de I2 [tal como se da en la ecuación (75)] con respecto
de la propia X y haciendo dI2/dX igual a cero. Por ejem­
plo, el valor de X! que producirá resonancia parcial puede
C IRC UITOS
36 9
ACOPLADOS
ser determinado estableciendo la ecuación dI2/dXi = 0, y
despejando a Xj en función de les otros parámetros. Así
dXi
+ X 22) - 2 X 2X m2]
0 =
(76)
La única relación útil que puede ser deducida de la ante­
rior ecuación es
X i (R 22 + x 22) = X a X t t2
(77)
El valor de X! que producirá resonancia parcial es, por
tanto:
X 2X M2
-Al(res) — „ 2
2—
lí2 T A 2
X 2X m2
¿2
2
(78)
La observación de la ecuación (63), Pág. 364 mostrará
que el anterior valor de Xt es también el valor de Xi corres­
pondiente a la resonancia de factor de potencia unidad. Al
hacerse esta comparación debe tenerse en cuenta que R2 y
X3 de la ecuación (78), simbolizan lo mismo que R2' y X2' de la
ecuación (63), a consecuencia del cambio en la notación, que
se hizo al comienzo de esta sección. De modo semejante pue­
de demostrarse que el valor de X2 para la resonancia par­
cial es
v
_
2(res)
X íX m 2
72]2 + Ári 2
X ,A V
Z
t2
(7 9 )
La ecuación anterior se interpreta en el sentido de que X2
debe tener el valor indicado, para producir I2 máxima. Si
Xi = 0, entonces X2 debe ser sintonizada a cero para pro­
ducir I2 máxima, para un valor fijo de X u. Si el circuito pri­
mario no está sintonizado a X L1 — X01 = 0, entonces el se­
cundario debe ser desintonizado al valor X1Xlf2/Z12. Cuando
la agudeza de sintonización del secundario es de mayor im­
portancia que un valor óptimo de I2- el primario es a me­
nudo desintonizado, para producir una cresta aguda, en la
gráfica en que I2 es la ordenada y Xp2 es la abscisa (véase
el Problema 17. Pág.373)Si
Xi y X2 son ambas iguales a cero (en virtud de que
Xti — Xai = 0 y Xí.2 — XC2 = 0), la ecuación (75) se reduce a
t
'• M
-
VlX m
R iR 2 + X m 2
( 80)
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370
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Si, ahora se hace variar a X*» cam biando el coeficiente de
acoplam iento entre las bobinas, el valor óptimo de I2 se ob ­
tiene cuando
d i 2 (max) _ ri(/f|/¿2 + ^A/2) ~ 2Y\X
”
( « i « 2 + Xjí/2) 2
o cuando
X M = coA/ = db \/R\R 2 (llam ado acoplam iento crítico) (82)
En estas condiciones
_ 7i VlUR, =
F,
R xI i 2 + RxR-2
2 V lh R ¡
2(opt)
m
Las relaciones establecidas en las ecuaciones (78), (79),
(82) y (83) son de considerable importancia en la am plifica­
ción de voltajes en los circuitos de radio. Algunas de las ca­
racterísticas esenciales involucradas, se ilustran numéricamen­
te en los siguientes ejem plos y, en forma gráfica, en las Figs.
19 y 20. Para valores fijos de los otros parámetros, h ay un
valor de XM o un coeficiente de -acoplamiento qu e producirá
una I2 máxima, com o se muestra en las gráficas de la Fig. 19.
Las respuestas de frecuencia de circuitos acoplados, para
valores fijos de Ri> Li> Ci> M, R2» L2 y C 2» se muestran en la
Fig. 20. Se dejan al estudiante las gráficas en qu e I2 y Vc2 son
la ordenada, con X C2 com o abscisa.
Ejemplo 12. (a) Sean los circuitos acoplados que se muestran en
la Fig. 19, en las siguientes condiciones:
Zj = 1 -f- jlO ohmios, Z2 = 4 -f- j (40 — 40) ohmios, X3/ varia­
ble. En este caso, el primario no está sintonizado y el secundario lo
está, esto es, XC2 sz X L2 = 40 ohmios, a la frecuencia del voltaje im­
preso, V1.
Las raíces de la ecuación (71), para V 1 = 10 voltios, y para va­
rios valores de X^, mostrarán la manera en que I2 varía con el grado
de acoplamiento entre las bobinas. En la curva inferior de la Fig. 19, se
muestran los resultados de una serie de esos cálculos. Se observará
que, para
= 1 -f- jlO ohmios, I2 alcanza un valor máximo a X^
igual a 6.5 ohmios y a un coeficiente de acoplamiento de 0.325. Un aco­
plamiento más estrecho o más flojo de 0.325, resulta en menores va­
lores de I2 y, en consecuencia, de VC2 = I2XC2.
Los cálculos demostrarán que, en este caso
V c 2 (max)
= 1.063 X 40 = 42.52 voltios
371
A C O P L A D O S
en amperios
C I R C U I T O S
0
0.05
0.10
Reactancia mutua en ohmios
0.15
0.20
0.25
0.30
Coeficiente de acoplamiento
0.35
0.40
0.45
Fig. 19. V ariación de corriente d el secundario, con coeficien te de aco­
plam iento p a ra diferentes valores de la im p ed an cia d el primario. V éase
e l ejem p lo 12.
4 ohmios
riiohmios
ohmios
Los valores óhmicos se dan cuando
o vale 1
La curva 1 es para X y — 1 ohmio,
cuando <*> vale 1
La curva 2 es para
— 2 ohmios,
cuando tú vale 1
La curva 3 es para
— 3 ohmios,
cuando ü> vale 1
%
Fig. 20.
Velocidad angular /unidad (co)
Respuestas de frecuencia de circuitos doblem ente sintonizados.
CIR CU ITO S DE COR R IE NTE A LT E R N A
372
(b ) En la parte media de la gráfica de la Fig. 19, se muestra la res­
puesta de I2 a la
variable, cuando el primario está parcialmente
sintonizado. En este caso, en el circuito primario se emplean 6 ohmios
de reactancia capacitiva, y
=
1 +
j4 ohmios Z2 =
4 +
jO ohmios
variable
I2 alcanza un valor máximo de 1.565 amperios, a X^ = 4.3 ohmios.
El valor máximo del voltaje del condensador del secundario es
V c,2(maX) =
1-565 X
40 =
62. 6 voltios
(c) La gráfica superior de la Fig. 19 muestra la respuesta de I2 a
una X^ variable, cuando tanto el primario como el secundario están
sintonizados.
Zt =
1 -f- jO ohmios Z2 =
4 +
jO ohmios, X M variable
De acuerdo con las ecuaciones (82) y (83), I„ alcanza su valor óp­
timo de V 1/ 2 V R 1R 2 en X m = V R\R<¿.
2(°Pt)
Vi
10
2 V ñ Jh
2 X 2
oc
’ amPen° S
Vcnopt) —■^2(opt)-^C2 = 2.5 X 40 = 100 voltios
La Q (o g>L/R) de las bobinas en este caso es igual a 10, y se obser­
vará que VC2(opt) es igual al voltaje de mando (10 voltios), por la Q
de las bobinas. Esto es VC2 (opt) = V jQ = 10 X 10 = 100 voltios.
Este hecho es generalmente cierto cuando XL2 = 4XL1, siempre que,
tanto el circuito primario como el secundario, estén sintonizados a re­
sonancia y con tal que la reactancia de acoplamiento esté ajustada
a su valor crítico, a saber, "W RiR2- En estas condiciones
X li
-
X l2
y
üCopt) -
V (7 2 (o p t)
R lE 2 ~
Yi
I<
=
q2
V iQ
ViQ
2
^ 2 (o p t)
X li X li
p p
V 4 Z
%C2
—
í ,i X l
^ 2 (o p t)
2
X l 2 = VlQ
Así, se verá que el voltaje desarrollado a través del condensador del
secundario de los circuitos acoplados, que se muestran en la Fig. 18,
puede ser igual a Q por el voltaje aplicado. Si. por ejemplo, la Q de
las bobinas es 50, puede obtenerse una amplificación de voltaje de
50, simplemente con la ayuda de los circuitos acoplados sintoniza­
dos. Como se indica en la Fig. 18, el voltaje desarrollado a través del
condensador del secundario puede ser aplicado entre la rejilla de
control y el cátodo de un bulbo al vacío, a fin de obtener mayor am­
plificación de voltaje.
Ejemplo 13. En la Fig. 20, se muestra la respuesta de un circuito
acoplado a un voltaje de mando constante, de frecuencia variable, pa­
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CIRCUITOS
ACOPLADOS
373
ra tres diferentes valores de X M. Puesto que el acoplamiento crítico,
a una velocidad angular igual a la unidad, es de dos ohmios, las grá­
ficas mostradas en la Fig. 20 representan acoplamientos que son me­
nores que, iguales a, y mayores que el acoplamiento crítico. En estas
gráficas, la velocidad angular igual a la unidad es llamada la velo­
cidad angular a la cual XLl — XC1 = 0 y a la cual XL2 — X C2 = 0.
A la velocidad angular igual a la unidad
Z i = 1 + ¿ (Í 0 — 10), Z2 = 4 + i(4 0 — 40)
X
m
= 1, 2, o 3 ohmios
A otros valores de <*>, las X L y las X^ varían en razón directa de
y
las X c en razón inversa de <0.
Para un acoplamiento menor que el crítico, el valor máximo de la
corriente del secundario es menor que para el acoplamiento crítico
y, para acoplamientos mayores que el crítico, la respuesta de corrien­
te es generalmente similar a la curva de doble cresta mostrada en la
Fig. 20.
Si
se desea una sola cresta pronunciada de I2, con
como abs­
cisa, el acoplamiento no debe ser mayor que el crítico y la Q de las
bobinas debe ser tan alta como sea posible en la práctica. Si la Q
de las bobinas se hace superior a la usada en la Fig. 20, las crestas de
las curvas serán más agudas y más claramente definidas. La preci­
sión de la sintonización es particularmente importante en circuitos de
radiorreceptores.
Problema 17. En los circuitos acoplados mostrados en la Fig. 18,
Pág. 367.
R i = 1.0 ohmio
R ¿ — 4.0 ohmios
X l i — 10 ohmios
X L 2 = 40 ohmios
X c 1 = 10 ohmios
X c 2 variable
X m — 2 ohmios
V\ = 10 voltios
Dibuje la curva de I2 y VC2, con X C2 como abscisa, entre los límites
X C2 = 20 ohmios y X C2 = 60 ohmios.
Respuesta:
I2(max) = 2.5 amperios a XC2 = 40 ohmios.
Ventar) = 102 voltios a XC2 = 41.7 ohmios,
aproximadamente.
Nota: El hecho de que circuitos de esta naturaleza sintonicen más
agudamente, pero a menores valores de cresta, cuando un miembro
está parcialmente desintonizado, puede demostrarse repitiendo el pro­
blema anterior, y usando Z1 = 1 -f- j4 ohmios, en vez de Zx = 1 + jO.
Análisis y Dibujo, en Función de f/f0 — f0/f. de Circuitos
Doblemente Sintonizados. El circuito doblemente sintoniza­
do que se muestra en la Fig. 21a, se usa extensamente en la
C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E A L T E R N A
374
práctica de la ingeniería de radio y en esta sección se tiene
el propósito de establecer ecuaciones para hacer gráficas
que determinen las Q de los circuitos y el coeficiente de aco­
plamiento, en función de la anchura de banda y el grado
de irregularidad que puede ser tolerado en la característica de
respuesta. El generador de corriente (g„,E5), en paralelo con
Rp, es la representación del circuito de placa de un bulbo
(I dib
j- = ai(>j
0,6dc¡
/
ali vacio.
— dea Hi-----
\
de„
Ultimo
deb
h .)
(Véase
Pág.251 y 252
Fig. 21.
El circuito real doblem ente sintonizado mostrado en
transforma rápidam ente en el mostrado en (b).
(a )
se
Dondequiera que \las reactancias inductiva y capacitiva
se combinan como se muestra en la Fig. 22, el análisis se
simplifica considerablemente haciendo
(0
«0
l_ u
C0()
Cú
fu
= F
(84)
f
donde <o0 = 1/ V L u C u = 1/ V L 22C 22 en el supuesto de que
los circuitos primario y secundario se sintonizaran a la mis­
ma frecuencia.
Se notará que F, como se define anteriormente, es la di­
ferencia entre dos canti­
dades sin dimensiones (f/
e2
fo y f0/f) que individual­
mente caracterizan las va­
riaciones de las reactan-
_Anchura de_.1
banda
^
Fig. 22.
Fig. 23. Curva de respuesta de un
circuito doblemente sintonizado. f0 =
— y / 1^2 es el centro de la frecuencia
CIRCUITOS
375
ACOPLADOS
cías inductiva y capacitiva referentes a variaciones en la fre­
cuencia.
Como se muestra en la Fig. 23, fx — f2 será llamada la an­
chura de banda y se supondrá que ii — f2 es pequeña, com­
parada con f0. Para respuestas de banda estrecha de esta
clase, E2 tiene un valor de Emin dentro de la banda de paso, a
/o =
'V ^/
1/2
donde ft y f2 son las frecuencias (distintas de f0), a las cuales
la respuesta E2 tiene valoíes de Emi„. Véase la Fig. 23. En
este particular, se notará que, si Fmin simboliza el valor de F
en que E2 = Emin’ digamos a f = fr entonces
F min
. = h _ k = í±
f
e
f
r
Jo
J1
(8 5 )
VOv);
t
Jo
Jo
puesto que f0 = V fif2. Si se da el ancho de banda, Fmln es
______
conocido.
Si hacemos a — 1/Qi- b = 1/Q2 y k = M/VLnL22:
Ztl (en la Fig. 21b) = R « + j (u>Lu — — - J =
= o>oiL], (a + jFu)
(86)
Z22 = «o,L„(b + jF22)
___
(87)
Z12 = Z2i — j<oM = jíok \/LijL22
(88)
Suponemos que Cu y C22 serán ajustados de tal modo que
1
C0()1 =
.
1
—
V L UC\ 1
=
W02 =
/,
V
L22C22
— “ o
donde
u02 =
V 1 j] ,I
\, 022
El problema es esencialmente el de expresar a, b y k en
función de Fmin Y (Em&x
Emin)*
Utilizando el método de análisis de corriente de malla
en la Fig. 21b y tratando a g^Ep como un valor conocido de
corriente, digamos It’ que circula en la malla que está a ma­
no izquierda, tenemos
<7 nt I i +i Z7 12TI2 - j * —
Z
22,1, + Z22l2 = 0
- j —^
(8g)
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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
37 6
El voltaje de salida es
(~¿
E 2 = ~ j —,—
(~j
falotVI^ )
Í0C22 *2* — too2LiiZ/22[(®fr —í 12) -f- j (a + 6)F] + to2fc2LjiL22
(90)
—j/<fc V' L 11L 22
(¿C11C 22__________________
E2 = -----------
(gj)
ab H---^ f3 ck2
2—
- FF 2)) + ¿(a + ó)/'’
«o í'iiJEa
«o
/
Puesto que estamos particularmente interesados en la re­
gión mostrada en la Fig. 23, donde cualquier <0 está cercana a
«>o si la anchura de banda/unidad es pequeña, podemos ha­
cer (i)2/<a02 5= 1 en la ecuación (91) y obtener
E2 = ________________ z ilA
w
________________
VcnC22[(k2 + a b -
V 2) + j {a + b )F ]
(92)
A o» = o>o la frecuencia angular F del centro es igual a 0 y
E2o = Eü = ---- .
coo y /C 11C 22 (k
;
(93)
ab)
Considérese ahora la razón de las magnitudes de E2 y E„
y de nuevo estímese como igual a la unidad, la razón «/ “ oEn estas condiciones
E2\2
EoJ
1
j
F 4 + (a2 + b2 -
2 k2)F 2
(94)
{k2 + ab)2
E.
/ + F* + (a2 + b2 - 2k2)F 2
(95)
(k2 + ab)2
Según la ecuación (95), está claro que la forma de la cur­
va E2 (medida en valores/unidad, siendo la unidad E0) es­
tará determinada por las magnitudes relativas de a2 + b= y
2k2. Si a2 + b2 > 2k2, entonces se obtiene una curva de una
sola cresta, puesto que, al tomar F valores mayores de 0 (f
diferente de f0), la curva E2/E0 disminuirá continuamente a
C IR C U IT O S
ACOPLADOS
377
partir de su valor máxim o de unidad, el valor de E2/E0’ cuan­
do F = 0, o cuando f = í0.
Si, en cambio, a 2 + b 2 < 2k2, el denominador de la ecua­
ción (95) tom a un valor mínimo, o E2/E0 tom a un valor m áxi­
mo, en el cual f(F 2) = F4 + (a 2 + b 2 — 2k2)F 2, es mínimo.
Este mínimo puede determinarse mediante
=
2 ( F 2)
-
(2
k2 - a 2 - b 2) =
0
o sea en la cual
„
F 2 = F max
Q
=
27c2 - a2 - b 2
-------------------------
(9 6 )
Cuando se hace una grá fica tomando com o abscisa la fre­
cuencia real, la respuesta toma la forma mostrada en la Fig. 23,
o, cuando se tom a a F com o abscisa, la forma mostrada en la
Fig. 24.
Utilizando las ecuaciones (95) y (96), se puede formular
una expresión p ara (E2/E0) max = Emax y, puesto qu e Emjn se
toma com o unidad, podem os escribir
E
x-/max 2
1
£ m i» 2
.
( 2 k2
i
g «»»i2 =
(9 7 )
- a 2 - b2) 2
4 (fe + ab)
S ea
2
_
£ max2
(2/v2 -
b2)2 =
F m in 4
ab)2
4 (k2 + ab)2
a2 -
4 (A;2 +
(g g )
en la cual Fmin2 = (2k2 — a 2 — b 2). [V é a s e la Fig. 24 y la
ecuación (9 5 )]. Se deduce que
a =
2
F ro tn 2
(le
(99)
+
ab)
Eo
Fo
(
4 a2F 2(F2
100)
- F min2)
F m¡n 4
3
Estos resultados se deben al Dr. T. C. G. Wagner, de la Universiaad de Maryland, quien ha -desarrollado fórmulas para gráficas de
circuitos doble, triple y cuádruplemente sintonizados.
378
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R N A
Finin — V 2 k 2 — a 2 — b2 «=* (fj —í2)/f0 es el valor de F
al borde de la banda, donde E2/E0 = 1 = Emin.
— Fmin* V2k - a 2-b
0
Fig. 24. Una curva de respuesta E2/E0 con la variable F como absci­
sa, para a2 -f- b2 < 2k2. (F = f/f0 — ftf/f)-
La ecuación (100) es una cóm oda ecuación de trabajo,
pues incluye a a, m edida de la irregularidad de la respuesta
que puede ser tolerada dentro de la ban da (ft — U y a Fmiu,
m edida de la anchura de ban da (ft — f2). Desde el punto de
vista de la gráfica, a y Fmin normalmente serían dadas (cuan­
do menos indirectamente) y k, a y b se escogerían de tal
modo, que en la grá fica final se obtuvieran los valores dados
de a y fí — í2. Para aplicaciones, véanse el Problem a 45, Pág.
370 y el eje m p lo 14.
Ejemplo 14. Supóngase que se desea hacer la gráfica de un cir­
cuito doblemente sintonizado que tendrá una anchura de banda/uni­
dad [ ( f t — f2)/f0] de 0.05 y una razón de Emax a Emin igual a 1.25.
Si hacemos a -- b (Qj ' — Q.2), podemos rápidamente demostrar
que
.»
r
^min 0
.«
=
b
=
a
)
yu*2 _ ^mln2(l 4~ <*)
y
---------- ;-----------
= 0.052 = 0.0025 [véase la ecuación (85)3
Pmin
16
or = 1
25
o
« = 0.6
Así,
a2 = ti
0
0.0025(0.4)
2.4
0.0025(1.6)
= 0.000417
fr = ------ 7 --- - = 0.00167
2.4
y
y
Q i = Q2 = 49
A* = 0.041
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CIRCUITOS
ACOPLADOS
379
Flujos y Voltajes Componentes en el Transformador de Nú­
cleo de Aire. La Fig. 25a muestra en forma de diagrama las
componentes del flujo en un transformador de núcleo de aire.
La corriente L. del secundario produce una fuerza magnetomotriz (fmm) que puede estimarse como dando origen a dos flu­
jos componentes: uno, el flujo de dispersión,
que sólo en­
laza las vueltas del devanado 2 y <¡>n , que enlaza los dos de­
vanados, 2 y 1. A la presente discusión se aplican las mismas
condiciones relativas a los acoplamientos inductivos, que se
explican en la Pág. 3 3 7 para la Fig. 6, a saber, que
es
un componente supuesto o convencional que, cuando enlaza
con todas las vueltas del devanado 2, produce las mismas con­
catenaciones totales de flujo que se obtiene de las concatena­
ciones reales de flujoencuestión.La corriente L da origen a dos
flujos componentes <¡h í , que enlaza con ambos devanados, y
f i, que enlaza únicamente con el devanado 1. La lectura del
ejemplo 9, en la Pág. 357, y la aplicación de la ley de Lenz, re­
velarán, de un modo general, la razón del ángulo de fase exis­
tente entre I, e L en el diagrama vectorial (Fig. 25b). También
se muestran los flujos componentes producidos por I, e L. En la
Fig. 25a se ve claramente que el flujo mutuo resultante es
<l>¡i ~ <¡>v¿ + 4>-n- El flujo total a través del devanado 2 es £oS *s
= <¡>M +
m (¡>-. +
También el flujo total a través del de­
vanado 1 es
= <¡>m + 0ii = </>]+
Todas estas combina­
ciones se muestran en el diagrama vectorial. Se supone un
número igual de vueltas en los devanados I y 2.
Puesto que e = — N(d<¿>/dt), el voltaje inducido producido
por un flujo, se retrasa con respecto del flujo en 90 grados. Así,
en el diagrama vectorial, E2Kes producido por
E:/.j por cp.v,
y E 2 por </>22. La fem resultante, inducida en el devanado 2,
es por tanto E3ff. Tal como se muestra, a causa de la resisten­
cia R.j del de venado 2, el voltaje terminal debe ser EJ/f menos
el valor de la caída Il.Rl>. De aquí que V : es el voltaje terminal
del secundario. Se ve que se adelanta a L por el ángulo del
factor de potencia de la carga del secundario.
La caída de voltaje impresa en el devanado 1, debe ser
igual a la suma de todas las caídas a través del devanado 1.
Así, una componente de la caída total debe ser la caída —E,;/,
que es igual y opuesta al voltaje inducido E,R (que no se mues­
tra) en el devanado 1, producido por todo el flujo que enlaza
con ese devanado. La caída componente restante es la I,Ri. De
380
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
aquí que
= IjRi + ( —Elñ). Las componentes de —Elñ son
las caídas de voltaje —En y —Ein , que superan a los voltajes
inducidos, debido a la dispersión del primario, y a los flujos
mutuos, respectivamente.
El flujo de dispersión <£22 es (aun para todos los propósitos
prácticos en transformadores de núcleo de hierro) proporcional
a la corriente I2. E22 es una elevación de voltaje inducida y es
directamente proporcional a I2. El voltaje —E22 es opuesto a
E22 y, por tanto, se adelanta a la corriente en 90 grados. Está,
pues, en el sentido de una caída de reactancia y, como es
proporcional a la corriente, una reactancia constante puede
ser multiplicada por la corriente I2 para representar correcta­
mente la caída —E22. Una reactancia que pueda utilizarse para
reemplazar el efecto del flujo de dispersión, puede ser llamada
reactancia de dispersión y la caída correspondiente, una caída
de reactancia de dispersión. En la Fig. 26, se muestra el dia­
grama vectorial que se usa comúnmente. En la Fig. 25, sola­
mente se muestra el flujo 4>m Y las caídas — E22 y —En se reem­
plazan por sus correspondientes caídas de reactancia de dis­
persión, I2X2 e 1,X;, respectivamente.
Reactancia de Dispersión. La reactancia de dispersión
puede ser definida como 2-rrl por la inductancia de disper-
CIRCUITOS
ACOPLADOS
381
Fig. 26. Diagrama vectorial comúnmente usado para el transformador
de núcleo de aire mostrado en la Fig. 25.
sión. Esto puede demostrarse como sigue. Según la Fig. 25a,
la inductancia de dispersión
T
N2022
L S 2 = — ;—
1o
—N i
622 =
o
,r
N2
d<t>22
(H 2
dcf>22
(101 )
102)
(
dt
Dividiendo la ecuación (102) entre la (101), se tiene
di 2
^22 =
~L*S2 "77
dt
Para ondas sinusoidales
^2 = -^m2senw¿
e 22 =
— í'S 2 *
(103)
r/i2 Weos Oít
De aquí que,
También
/j’Jl22
=
mw
T-
v 2
r
J S2 =
-j
T
' oO}J^S2
(104)
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382
CIRCU ITO S DE CORRIENTE ALTERNA
La magnitud de la caída de la reactancia de dispersión
ha sido definida como igual a E
— I2X2. En con­
secuencia
*:> - io l.si
(105)
Puesto que e22 de la ecuación (104), es una elevación de vol­
taje, la caída es —eM = Ls,üiI™, eos «t. Como esta caída de
voltaje está 90 grados ade­
lante de la corriente (ecua­
ción 103), la expresión com­
pleja para la reactancia de
dispersión debe ser
X2 = + joLs»
(106)
El Autoiransíormador de
Núcleo de Aire. Dos bobinas
inductivas, dispuestas como
se muestra en la Fig. 27, se
llaman un autotransformador. Si el voltaje de man­
Fig. 27. Autotransformador de nú­
do se aplica a las termina­
cleo de aire, conectado como dis­
les ab y se conecta la carga
positivo de elevación de voltaje.
a través de la3 terminales
ac, el autotransformador funciona como un dispositivo ele­
vador de voltaje, mientras que si se aplica el voltaje de man­
do a las terminales ac y se conecta la carga a las terminales ab
o be, funciona como un dispositivo reductor de voltaje.
El análisis matemático del autotransformador de núcleo de
aire se reserva para ejercicios del estudiante. (Véanse los
Problemas 37, 38 y 39, al fin de este capítulo).
R=5/l
R = 10/A
-AAAA/------ 1------ W W
J@
R—20íl
-'ITüfflP----1
---- 'Tftüü''X¡=Z0_</
Fig. 28.
X, = 4 Q j¿
Véase el Problema 18.
@|
C IR C U IT O S
ACOPLADOS
383
PROBLEMAS
18. En la Fig. 28, E, =
100 70° voltios, y Eo =
100 /4- 120° vol­
tios. El significado físico del anterior enunciado es que el generador
E2 desarrolla una fem generada máxima (\ / ^ X 100 voltios) en su
dirección positiva, V 3 de ciclo o 120° antes de que el generador Et
desarrolle su fem generada máxima, en su sentido positivo. Suponien­
do que las resistencias y reactancias dadas en la Fig. 28 incluyen las
impedancias del generador, encuentre I,. I,, e I12.
19. En la Fig. 2, Pág. 334, se encuentra experimentalmente que I, =
= 1/90° amperios y V 22, = 4/0° voltios (con las terminales 22' en cir­
cuito abierto), cuando Et (el voltaje aplicado a las terminales 11') es
6¿Qo voltios. Cuando un voltaje de 6/0° voltios se aplica a las terminales
22' (con las terminales 11' en circuito abierto), I., = 1.5/90° amperios y
V ji* = 6/0° voltios.
(a) Encuentre Z21 y Z12 para los datos anteriores.
(b) Encuentre el coeficiente de acoplamiento entre los dos circuitos.
(c) Dibuje una configuración de circuito dentro de la caja 11'2'2,
que pueda realmente existir y que sea consistente con los datos.
20. Encuentre el coeficiente de acoplamiento entre los circuitos 1
y 2 de la Fig. 29. Sugestión: Transforme la delta abe, a una Y equi­
valente y determine a continuación Z}., o Z21 del circuito equivalente.
21. Demuestre que el coeficiente de acoplamiento entre los cir­
cuitos 1 y 2 de la Fig. 30 es igual a cero, si 0> = 1/"\/R,R.,ClC... R(J =
= Rb. R2 = 2R, y C t = 2C,.
C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E A L T E R N A
384
22. Las Figs. 31a, 31b y 31c son los circuitos equivalentes aproxi­
mados que se usan algunas veces para hacer los cálculos de ampli­
ficación de voltaje en amplificadores de audiofrecuencia, acoplados
resistivamente. Demuestre que, para cada una de las tres configura­
ciones, son correctas las expresiones dadas de E2, en función de /¿E^.
23. Dos bobinas inductivas de núcleo de aire tienen, cada una, 60
y 30 milihenrios de autoinductancia, respectivamente. Las mediciones
muestran que, si las dos bobinas están conectadas en serie aditiva,
como se muestra en la Fig. 12, Pág. 348, la autoinductancia equivalente
de la combinación es de 120 milihenrios.
Rp
■\AAAA
Cb
• l(-
T
E2=
E0Ó +
-/IEgRbRc
R pR b+ R bR e+ R p R c- ¡ £ í ± 5 b .
¿
ü>Cb
(a)
Rp
vAAAA
Rc>
E2=
-«I
Rb+Rc
+1
(6)
Rp
---- s/WVA
+
/iCg
Cn e.
* «ü
—
j U) Cg Rp+ 1
(C)
Fig. 31. Circuitos equivalentes aproximados de amplificadores acopla­
dos resistiva y capacitivamente. Véase el Problema 22. (a ) es para
la gam a de baja frecuencia; (b) para la gam a de frecuencia interme­
dia; y (c) para la gam a de alta frecuencia; en este caso es despre­
ciable Ja impedancia del condensador de bloqueo, C h.
(a ) Si las bobinas están conectadas en serie substractiva, encuentre
la autoinductancia equivalente de la combinación.
(b) Encuentre el coeficiente de acoplamiento entre las bobinas.
24.
Dos bobinas inductivas están conectadas en serie aditiva. En
el caso de 100 voltios impresos en la combinación, la corriente es de
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C IR C U IT O S
385
ACOPLADOS
5 amperios y la potencia consumida es de 200 vatios. Cuando las bo­
binas se reconectan en serie substractiva y se imprimen 100 voltios,
fluyen 8 amperios. Calcule la inductancia mutua, si la frecuencia para
las mediciones anteriores es de 69.5 ciclos.
25. Si las dos bobinas del Problema 24 tienen resistencias iguales
y si la caída de voltaje a través de la bobina 1 es de 36.05 voltios para
la conexión en serie aditiva del Problema 24, (a) calcule Lj y L2 y la
caída para esta condición, a través de la bobina 2; (b) calcule tam­
bién el coeficiente de acoplamiento.
26. Las autoinductancias de cada uno de los dos devanados mos­
trados en la Fig. 6, Pág. 337, son 0.100 y 0.050 henrios, respectivamente. El
coeficiente de acoplamiento entre los devanados es de 0.56. Si la co­
rriente en el devanado de 0.100 henrios es una variación sinusoidal de
60 ciclos, cuya magnitud máxima es de 10 amperios, encuentre el valor
eficaz del voltaje inducido en el devanado de 0.050 henrios, como resul­
tado de la variación de corriente en el devanado de 0.100 henrios. Tam­
bién encuentre la magnitud del voltaje inducido rms, en el devanado de
0.1 henrios.
27. En la Fig. 32, e&a = 141.4 sen 1 131t voltios y ec¿ = 70.7 sen
(1 1311 — 90°) voltios.
(a) Encuentre I6a e \cd, suponiendo que la Fig. 32 representa correc­
tamente los modos de devanado, así como la colocación física de las
dos bobinas inductivas. Puede suponerse que son despreciables las impedancias internas de los generadores.
(b) Encuentre la potencia generada por cada generador.
(c) Dibuje el diagrama vectorial de E^, I6a, IjJRj, IteXL1> EC(i, Icd, IC(iR2,
^cd^L2> ^ c d ^ U
e ^ba^M '
28. La rama 1 de dos ramas paralelas consiste en una resistencia
de dos ohmios, en serie con una reactancia inductiva de 3 ohmios. La
rama 2 consiste en una resistencia de 5 ohmios, en serie con una reac­
tancia inductiva de 12 ohmios. El coeficiente de acoplamiento entre
las dos inductancias es de 0.8 y las inductancias están devanadas de
modo que sean aditivas las fmm debidas a Ix e I2, tomadas en el
mismo sentido, a partir del nudo. Si se imprimen 100 voltios en las dos
0.05G'
henrios
0.070
henrios
Fig. 32. Véase el Problema 37.
Fig. 33. Véase el Problema 29.
ramas paralelas, determínense Ir I2. la potencia suministrada con­
ductivamente a la rama 2, la potencia suministrada electromagnética­
mente a la rama 2 y la caída de voltaje a través de sólo la inductan-
CIRCUITOS DE CORRIENTE A LT E R N A
386
cia de la rama 2. ¿Cuál es el ángulo de fase entre esta última caída
y la corriente de la rama 2?
29.
El coeficiente de acoplamiento de las bobinas de la Fig. 33
es 0.5. Encuentre la corriente de la resistencia.
30. Calcúlese la fase y magnitud de la caída de voltaje V^e con respecto
de la caída total de a a c en la Fig. 34. X L1 = 5í2; X L2 = 5í2; X M = 412.
Fig. 34.
31.
Véase el Prob. 30
En los circuitos acoplados que se muestran en la Fig. 18, Pág. 367.
R i = 4.0 ohmios
It 2 = 10 ohmios
A" l i = 40 ohmios
X lo — 100 ohmios
X c i = 40 ohmios
X c*2 = 120 ohmios
X m = 50 ohmios
V i = 100 voltios
Determine I2 y V C2.
32. En los circuitos acoplados mostrados en la Fig. 18, Pág. 367.
R \ = 4 ohmios
l i 2 = 10 ohmios
X l i = 40 ohmios
X L 2 = 100 ohmios
X c i = 4 0 ohmios
X c 2 = 120 ohmios
X m = 50 ohmios
V \ = 100 voltios
Encuentre la impedancia primaria equivalente, ZeV de los circuitos
acoplados y el valor óhmico de la impedancia del circuito secundario,
referida a las terminales del primario. ¿Cuántos ohmios de reactancia
refleja el secundario en el primario? ¿Es inductiva o capacitiva?
33. Supóngase que una capacitancia de 83-uf es puesta en serie
con el primario de la Fig. 17a. Exceptuada la inserción de la capaci­
tancia de 83-^f, los parámetros son como aparecen en la Pág. 356. En­
cuentre el valor de M que producirá resonancia de factor de potencia
igual a la unidad.
34. Demuestre que la resonancia parcial X2, que puede obtenerse
mediante ajuste en la reactancia del secundario (en circuitos acoplados
del tipo mostrado en la Fig. 18, Pág. 367), se da cuando X2 = X 1XJf2/Z12.
(Véase la ecuación 79, Pág. 369).
C I R C U I T O S
387
A C O P L A D O S
^T'*C22 É2
Fig. 35.
Véanse los Problemas 35, 41, 42, 43, 44, y
45.
35. En la Fig. 35, Ru = 10, Ln = 0.01 henrios, L22 = 0.05 henrios,
M = 0.02 henrios, R22 = 4012, C 22 = 20.0/if, y « = 1 000 radianes/segundo,
(a ) Encuentre el valor de C n que hará de todo el circuito, mirando
hacia las líneas que conectan a la fuente, una pura resistencia, (b)
Encuentre el valor de la resistencia.
36. Los circuitos 1 y 2 están acoplados inductivamente. El circuito
1 consiste en una resistencia de 2 ohmios, en serie con una bobina de
16 ohmios de reactancia y de resistencia despreciable. El circuito 2
consiste en una resistencia de 10 ohmios, en serie con una bobina
inductiva de 100 ohmios de reactancia y un condensador de 100 ohmios.
(a ) Si el coeficiente de acoplamiento es de 0.05, ¿cuál es la caída
a través del condensador, cuando se aplican 10 voltios al circuito 1?
(b ) Si se coloca un condensador en serie con el circuito 1# de ma­
nera que se sintonice el circuito 1 a resonancia ( a ^ = l/ajCj), ¿cuál
será la caída de voltaje a través del condensador del circuito 2, para
el mismo coeficiente de acoplamiento anterior?
(c) Si en el párrafo (b) puede ajustarse el acoplamiento, ¿cuál será
la máxima caída de voltaje a través del condensador del secundario?
37. Formule las ecuaciones diferenciales generales del equilibrio
de voltaje, en los dos circuitos mostrados en la Fig. 27, Pág. 382, en fun­
ción de Ra6, La&, R6c, L6c, M, R y L y las corrientes i t> i 2 de las ramas.
Note que, en esencia, dos ramas paralelas están acopladas.
38. Suponiendo que v, varía sinusoidalmente, formule las ecua­
ciones generales de voltaje, para la Fig. 27, Pág. 382, en función de va ­
lores eficaces, Ix e I2 de las corrientes de las ramas. En las ecuaciones
así establecidas, despeje a ^ e I2. ¿Qué circuito visto anteriormente en
este capítulo tiene ecuaciones semejantes para Ia e I2?
39. Supóngase que, en la Fig. 27, Pág. 382,
Rab = 4.0 ohmios
M = 0.02 henrio
L (lb = 0.07 henrio
R = 10 ohmios
Rbc = 0.5 ohmios
L = 0.00 henrio
Lbc = 0.01 henrio
w = 3 7 7 radianes/segundo
Si V]^ =
100 70° voltios, encuentre Ix, I2 e Ix +
I2. También calcule
la potencia total suministrada y la disipada en cada uno de los cir­
cuitos 1 y 2. Etfbuje el diagram a vectorial completo de los voltajes y
corrientes.
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388
CIRCUITOS DE CORRIENTE A LTE R N A
1
2
W \ A -i
Rii
1*
2'
g
(a)
(fi)
Fig. 36. Véase el Problema 40.
40.
Dada la configuración de circuito mostrada en la Fig. 36a, don­
de el generador de corriente gmE g, en paralelo con Rp es el circuito
equivalente de c-a de un pentodo que tiene en su rejilla de control
Ain voltaje aplicado de
voltios.
(a) Si Rp = 750 000 ohmios, RL = 12 ohmios, LX1 = 382 microhenrios y C n está ajustado para poner en resonancia, a 500 kc, las
ramas paralelas L11C11> determine Ru del circuito equivalente mostra­
do en la Fig. 36b.
(b) ¿Cuál es la Q de la bobina, a saber <I)mL11/RL, a 500 kc?
(c) ¿Cuál es la Q de la combinación en paralelo C21 — RnLu» de
la Fig. 36b, a 500 kc?
(d) ¿Puede Ix de la Fig. 36b, ser evaluado, partiendo de la relación
í i A = — (I0)
* en la cual Zn
=
Rlx +
j (
ü)L1x
—
?
41.
En el Problema 40 se ha demostrado que los generadores de
corriente de las Figs. 36b y 35 pueden ser reemplazados por generadores equivalentes de voltaje que tienen voltajes de — (I0)
Demuestre que la impedancia equivalente del primario, que ve el
generador equivalente de voltaje de la Fig. 35, es
. lo
7
Cn - LZn +4- —--- * WmlZ'll (O +
Znea
= 3—w7-----Z22
+
1
(b + j F 22)
C IR C U IT O S
ACOPLADOS
389
M
k = — = =
V L 11L 22
42.
En los siguientes ejercicios, se emplean los resultados del
Problema 41.
(a) Demuestre que un voltímetro colocado a través de Ln de la
Fig. 35 leerá un valor máximo cuando Cn esté ajustado a 1/Llltó2, si
el circuito 2 está abierto, y que este voltaje será
Vi
*Lnmax —
donde K =
T
[ — (Io/wC^)] U L u ).
(b) Con Cn en el valor determinado anteriormente (1/Lna>mi 2)# de­
muestre que el voltímetro (que está a través de la bobina Lai) leerá
un valor mínimo de
K
V Lumln — “ “
K
)
cuando C22 es ajustado a 1/L22<«>mi2(c)
Demuestre que, si se sigue el procedimiento experimental de­
lineado en (a) y (b), el coeficiente de acoplamiento entre las dos
bobinas es
k = x lab |Iíü=“_ i
Lumin
43. En la Fig. 35: Lia> = L22 = 500 microhenrios; C1;t = C22 =
8.66 microhenrios; a =
= b = R22/
m. 2 000 fifxf; M =
/
=:
(a) Encuentre la magnitud del voltaje impreso a través del con­
densador C22/miliamperio de I0, a a> == a>TO = 1 / V ^ i A i radianes/se­
gundo.
(b) ¿Será el voltaje determinado en el párrafo (a) el valor máximo
de E2, si la frecuencia es variada ligeramente alrededor del valor
especificado anteriormente?
EC22
(a) Haga un bosquejo de -- ----------- como ordenada, con F
UC 22(cú=wm;
como abscisa, para el circuito mostrado en la Fig. 35, empleando los
parámetros de circuito dados en el Problema 43. Calcule puntos para
este diagrama en
44.
x
w = 1.0KW
o
F = 2 X 10~2
a, = 1.00707«™
o
F = V 2 X 10“ 2
« = 1.005wm
o
F = 10~2
03 —
a
°
F
—
0
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
390
usando la ecuación (95), a saber
Ecn
E C22((a=*um)
1
I
V 1+
F4 + (a2 + b2 — 2fc2)F2
(fc2 + a b f
(b)
Haga una gráfica de EC22/miliamperio de I0, usando ü>/<ow co­
mo abscisa, empleando para hacer la gráfica los resultados del párra­
fo (a). Puede suponerse que la curva de respuesta es simétrica con
respecto del centro de frecuencia
45.
Diseñe un circuito alimentado con corriente y doblemente sin­
tonizado, como el mostrado en la Fig. 35, que tiene una anchura de
banda/unidad de 0.02, centrada en o)m = 106 radianes/segundo. Use
LX1 = L22 = 500 microhenrios. La variación permisible en la curva
de respuesta a través de la pasabanda, es de 1.2516 decibeles, conta­
dos a partir de Em¡n como línea de referencia. (<* = 0.5)
Nota: Cuando Qx = Q2, un esquema de esta naturaleza se reduce
simplemente a determinar algunos valores adecuados para las Q de
las bobinas y calcular, en seguida, el coeficiente de acoplamiento que
debe usarse entre estas bobinas, para satisfacer las condiciones im­
puestas. En este caso Fmin2/tf = 0.0004/0.5 = 2(k2 -h ab) — 2(k2 +
+ a2). En un caso más general, una de las Q debe escogerse casi
arbitrariamente. Entonces k y la otra Q pueden ser despejadas simul­
táneamente en Fmin2/a = 2(k2 + ab) y Fmin2 = (2k2 — a2 — b2),
de modo que satisfagan los valores dados de Fmin y a ■
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Capítulo V I I I
Circuitos polifásicos balanceados
Generación de Voltajes Polifásicos. Los voltajes polifási­
cos son generados en la misma forma que los monofásicos.
Un sistema polifásico está formado simplemente por varios
sistemas monofásicos, desplazados en fase de tiempo uno
con respecto de otro. Los sistemas monofásicos que forman
los polifásicos están generalmente interconectados en algu­
na forma.
En la Fig. 1 se muestra una bobina única aa', en la ar­
madura de una máquina bipolar. Cuando los polos están en
la posición mostrada, es máxima la fem del conductor a de la
bobina aa', y su sentido es alejándose del lector. Si se co-
Fig. 1.
Generador trifásico elemental.
loca un conductor en la posición b, a 120° de a, se daría en
el mismo una fem máxima, en un sentido que se aleja del
lector, cuando el eje del polo norte estuviera en b, o sea 120°
después de que estuviera en a. De manera semejante, para
un conductor c, la fem máxima, en un sentido que se aleja
del lector, ocurriría 120° después que en b, y 240° después
que en a. En la Fig. 2 se muestra la colocación de esos con­
ductores y las bobinas de que forman parte. Así, los conduc­
tores aa', bb' y cc' tendrían fems que están 120° fuera de
392
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
fase de tiempo, como se ilustra en la Fig. 3. Este sistema es
llamado trifásico, porque hay tres ondas de diferente fase de
tiempo. En la práctica, el espacio sobre la armadura está
completamente cubierto con bobinas (excepto en el sistema
monofásico). Por ejemplo, el conductor de otra bobina podría
colocarse en la ranura que está a la derecha del conductor
a, en la Fig. 2, y otro a la izquierda. El de la derecha tendría
una fem que se retrasaría con respecto de la existente en a,
por el mismo ángulo que se adelantaría la de la izquierda.
La suma de las tres fems daría una fem resultante, de la mis­
ma fase que la de a. Los conductores para la fase a cubrirían
la periferia de d a e y de d' a e'. La distancia de d a e se
llama un cinturón de fase. La fem de todas las bobinas en
serie para la fase entera, tendrían la misma relación de fase
que la fem del conductor del centro del cinturón de fase. Por
esta razón, solamente se tendrán en cuenta los conductores
del centro de los cinturones de fase. Es evidente que podría
obtenerse un número cualquiera de fases, espaciando ade­
cuadamente las bobinas en el estator.
En general, el desplazamiento eléctrico entre fases, para
un sistema balanceado de n fases, es de 360/n grados eléc­
tricos. Los sistemas trifásicos son los más comunes, aunque
para ciertas aplicaciones especiales se usa un número mayor
de fases. Por ejemplo, prácticamente todos los rectificado­
res de arco de mercurio, para ñnes de potencia, son de seis o
doce fases. La mayor parte de los convertidores rotatorios son
de seis fases. Prácticamente todos los generadores modernos
son trifásicos. La triple fase (el sistema trifásico) se usa tam­
CIRCUITOS PO LIFASICO S BALANCEADOS
393
bién, invariablemente, para transmitir grandes valores de po­
tencia. En general, un aparato trifásico es más eficiente, usa
menos material para una capacidad dada y cuesta menos que
un aparato monofásico. Se demostrará posteriormente, que la
triple fase es más económica que cualquier otro número de
fases, en lo que respecta al cobre requerido, para transmitir
un valor fijo de potencia, a una distancia determinada, con
una pérdida conocida de línea.
En el desarrollo de los voltajes trifásicos de la Fig. 3, se
supuso una rotación a reloj de la estructura de campo del
alternador de la Fig. 2. Esta suposición hizo que la fem de
fase b se retrasara 120° con respecto a la de a. La fem de fa­
se c también se retrasó en 120° con respecto a la de b. En
otras palabras, abe fue el orden en que las fems a, b y c lle­
garon a sus correspondientes valores máximos. Esto se llamó
el orden de fase a la secuencia abe. Si en la Fig. 2 se invierte
la rotación de la estructura de campo, se invertiría el orden
en que las fases llegaran a sus correspondientes voltajes
máximos. La secuencia de las fases sería acb. Esto significa
que la fem de fase c se retrasaría con respecto a la de fase a
en 120°, en vez de 240°, como en el primer caso. En general,
la secuencia de fase de los voltajes aplicados a una carga
es determinada por el orden en que las líneas trifásicas están
conectadas. El intercambio de cualquier par de líneas, in­
vierte la secuencia de fase. Para motores trifásicos de induc­
ción, la inversión de la secuencia tiene como efecto invertir
la dirección de rotación. Para cargas trifásicas no balancea­
das, el efecto es, en general, causar un conjunto de valores
completamente diferente, de las corrientes de línea; de aquí
que, al calcular esos sistemas, es fundamental que se indique
la secuencia de fase, o de otro modo puede crearse confusión.
E
E
(a)
Fig. 4.
Bobinas con fems inducidas; estas fems se muestran en la
parte (b).
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394
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Diagramas Vectoriales y Notación Mediante Doble índice
(Subíndice). Al dibujar diagramas vectoriales de circuitos
polifásicos, es imprescindible que se tomen en cuenta y se
hagan constar los sentidos en que se traza el circuito. Por
ejemplo, supongamos que en las dos bobinas mostradas en
la Fig. 4a, hay voltajes inducidos o fems que están 60° fuera
de fase y que las bobinas han de ser conectadas en serie
aditiva, esto es, en tal forma que las fems se sumen a un
(a)
Fig. 5.
En (b) se muestra la fem resultante de la conexión de las bo­
binas mostradas en (a).
ángulo de 60°. Mediante los datos sería imposible saber si
la terminal a debe ser conectada a la terminal c o a la ter­
minal d. Pero si se indica que la fem de a a b está 60° fue­
ra de fase con la de c a d, como se muestra en la Fig. 4b, el
modo de conectar las bobinas queda determinado. En tales
condiciones, es muy conveniente una notación mediante do­
ble subíndice.
El orden en que se escriben los subíndices indica la di­
rección en que está siendo trazado el circuito. Así, la fem
de a a b (Fig. 4a), puede ser simbolizada como Ea¡,. y la de
c a d como E cd (véase la Fig. 4b). Si d se conecta a a, como
se muestra en la Fig. 5a, la fem de c a b se determina suman­
do todas las fems, en los sentidos encontrados a medida que
se traza el circuito de c a b. De aquí que Ec¡, = E c<¡ + Ea&> có­
mo se muestra en la Fig. 5b. Este principio será ulteriormente
ilustrado, en párrafos subsecuentes.
Problema 1. En la Fig. 4a, conecte la terminal b a la c y compare
el voltaje resultante Eoá con el voltaje Ec¡) de la Fig. 5b.
Respuesta: Ead =
Eci
Problema 2. (a) Conecte la terminal d a la terminal b en la Fig. 4a
y encuentre el voltaje Eca, si E = 120 voltios. Eab y Ecd tienen la mis­
ma relación vectorial que se muestra en la Fig. 4b.
Respuesta: Eca =
120 / — 60° voltios.
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
395
(b) Con la terminal d conectada a la terminal b, como antes, en­
cuentre Eac.
Respuesta: Eoc = 120 / 120° voltios.
Un diagrama vectorial es simplemente un medio de re­
presentar ciertas cantidades eléctricas que están relaciona­
das mediante un circuito. En consecuencia, un diagrama vec­
torial debe ser siempre dibujado en relación con un circuito.
A veces es posible representarse mentalmente los circuitos,
en vez de dibujarlos; en cambio, sin un concepto definido del
circuito representado, el diagrama vectorial no representa
nada y no puede ser inteligentemente dibujado. Debe, sin em­
bargo, tenerse claramente en cuenta que un diagrama vec­
torial de circuito, de voltajes y corrientes, representa relacio­
nes cronofásicas y no relaciones espaciales del circuito. Esto
significa que la configuración espacial de un diagrama de
circuito no indica, en manera alguna, las relaciones cronofási­
cas de los voltajes o corrientes.
a
c
Fig. 6.
Véase el Problema 3.
Problema 3. Determine la magnitud y posición vectorial del volta­
je Ew en la Fig. 6a, si Ea6 y ECI¡ están desplazadas una con respecto
de otra, en fase de tiempo, en 30°, como se muestra en la Fig. 6b.
Respuesta: Eca =
51.76 7105° voltios.
Sistemas Bifásicos y Tetrafásicos. Un sistema bifásico es
un sistema eléctrico en que los voltajes de las fases están 90°
fuera de fase de tiempo. Un sistema bifásico es ilustrado me­
diante los devanados de tambor y Gramme o anular, en las
Figs. 7 y 8. Por la posición de las bobinas en la armadura de
la Fig. 8, puede verse que las fems de las cuatro bobinas es­
tán relacionadas en fase de tiempo como se muestra en la
Fig. 9. Si se conectan las terminales cero de las bobinas aO
y cO, la fem a a c es Ea0 + E0c- Esta operación se muestra en
396
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Fig. 7. Generador bifásico ele­
mental del tipo de tambor.
Fig. 8. Generador bifásico ele­
mental del tipo de Gramme o
anular.
la Fig. 10. Asimismo, cuando se conectan los ceros de las bo­
binas bO y dO Ej,d — E&0 + E0d. Esto se muestra también en la
Fig. 10. Las fems E„c y E¡,<¡ están defasadas en 90° y el sistema
mostrado en la Fig. 8, constituye un sistema bifásico. Un sis­
tema bifásico es equivalente a dos sistemas monofásicos, que
están saparados 90° en fase de tiempo.
■t.
E„
Fig. 9.
Fems de bobinas del ge­
nerador de la Fig. 8.
Fig. 10. Fems resultantes de dos
bobinas, en serie, conectadas co­
mo se muestra en la Fig. 8.
Un sistema tetrafásico y uno bifásico difieren solamente
en las conexiones internas. Así, pues, si la conexión se hace
entre los dos devanados en n y n', el sistema sería llamado
tetrafásico. El diagrama vectorial de los voltajes de las fases
o bobinas se muestra en la Fig. 9. Puesto que existe ahora
una conexión eléctrica entre los dos grupos de bobinas que
constituían el sistema bifásico, existirán fems entre las ter­
minales d y a y también entre b y c, como puede verse es­
tudiando la representación diagramática de las bobinas mos­
tradas en la Fig. 11. Esta conexión es llamada una estrella
de cuatro fases. Los voltajes E^ Eaj. E&c y EC(j son llamados
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CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
397
los voltajes de línea, mientras que los voltajes Eoa. E0&> Eoc y
E0(i son llamados los voltajes de fase o voltajes a neutral.
Del circuito resulta evidente que Edo = E<i0 + E0o- En la Fig.
12 se muestra esta combinación y otras similares, para todos
los voltajes de línea. Otro método de mostrar lo mismo, se
Fig. 11. Representación diagramática de la Fig. 8, cuando n y
n' están conectadas para formar
el punto 0.
Fig. 12. Voltajes de la estrella de
cuatro fases mostrada en la
Fig. 11.
ilustra en la Fig. 13. Así, en la estrella de cuatro fases, el vol­
taje de línea es y/2 por el voltaje de fase y está 45° o 135°
fuera de fase con el voltaje de fase, lo que depende de cuá­
les sean los voltajes considerados.
Eod
-1/
-c'
Fig. 13. Otra representación de la
Fig. 12.
Fig. 14. Malla de cuatro
fases.
Puesto que Eoa + E0& 4- Eoc + E0<¡ = 0, sería posible
conectar las cuatro bobinas mostradas en las Figs. 8 y 11, de
manera que sus voltajes se sumaran de este modo y no flu­
yera corriente en el circuito en serie de las bobinas. Esta co­
nexión, mostrada en la Fig. 14, se llama una conexión de ma­
lla y, en este casoNsería conocida como una malla de cuatro
fases. Las conexiones de línea se hacen en los puntos a, b,
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
398
c y d. El diagram a vectorial de las fems de este sistema, se
muestra en la Fig. 15. Como se muestra en la Fíg. 16, para
cargas balanceadas, las corrientes de las fases adyacentes
están 90° fuera de fase. La corriente de la línea aa' es I aa' =
= I da + Iba’ como se muestra en la Fig. 16. Así, la corriente
de línea de una malla balanceada de cuatro fases es V 2 por
la corriente de fase, y está 45° o 135° fuera de fase con
las corrientes de fase, con relación a las cuales está siendo
considerada. Note que lo que fue cierto con respecto de los
voltajes de fase y de línea en la estrella, es cierto con res­
pecto de las corrientes de fase y de línea en la malla. La
observación del sistema en estrella muestra que las corrientes
de fase y de línea deben ser idénticas y que la misma cosa
es cierta respecto de los voltajes de fase y de línea de la
malla.
^od^^cd
*Eoa“ Eda
Eoc"~Ebc
E.ob“ Eab
Fig. 15. Diagrama vectorial de
las fems de la malla de cuatro fases mostrada en la Fig. 14.
Fig. 16. Diagrama vectorial de
las corrientes de la malla de cuatro fases mostrada en la Fig. 14,
en condiciones de carga balan­
ceada.
Algunas veces se usa un sistema bifásico con sólo
alambres. Cuando se hace esto, un alambre es común a
bas fases.
En la Fig. 17 se muestra el diagram a de circuito de la
8, cuando se conecta para un uso como el indicado, y el
Fig. 17. Sistema bifásico de tres
alambres.
tres
am­
Fig.
dia-
Fig. 18. Diagrama vectorial de
voltajes, para la Fig. 17
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
399
grama vectorial se muestra en la Fig. 18. Se observará que
éste es, esencialmente, la mitad del sistema de cuatro fases
mostrado en la Fig. 11, cuando los alambres de la línea es­
tán conectados a los puntos 0, d y c.
Sistemas Trifásicos Cuatrifilares de Fems Generadas. La
generación de tres fases fue explicada al principio de este ca­
pítulo. Si se conectaran seis alambres a las terminales a,
a', b, b', c y c' de la Fig. 2, el sistema podría ser llamado un
sistema trifásico, de seis hilos. Un generador como ése, po­
dría ser cargado con tres cargas monofásicas independien­
tes. Aunque un sistema así no está en uso, puede derivarse
del mismo uno que se usa ampliamente, haciendo una co­
nexión entre las terminales a', b' y c'. Entonces solamente se­
rían necesarios cuatro alambres, tres para las terminales a,
b y c y uno para la conexión común a'b'c'. Un sistema tal,
<
li
Fig. 19. Sistema tri­
fá s ic o de c u a tro
alambres.
Fig. 20. Voltajes de
línea a neutral de
la Fig. 19.
Fig. 21. El voltaje
de línea es igual al
voltaje de fase por
en la conexión
en Y.
llamado sistema trifásico cuatrifilar se muestra diagramáticamente en la Fig. 19. Este sistema se usa ahora extensa­
mente para redes de c-a y en el centro de las grandes ciu­
dades está rápidamente desplazando a las redes de c-c, muy
usadas anteriormente. El alambre común que conecta a n
es llamado el neutral. Las cargas de iluminación son colo­
cadas de la línea al neutral; las motrices y otras cargas de
potencia trifásica se conectan entre las tres líneas a, b y c.
En la Fig. 3 se muestran las ondas de voltaje generado de es­
te sistema, y el diagrama vectorial que representa lo mismo,
se muestra en la Fig. 20. Los tres voltajes mostrados se llaman
los voltajes' de fase o los voltajes de línea a neutral. Son al-
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40 0
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
gunas veces llamados los voltajes en Y 1 del sistema y la
conexión de la Fig. 19 es llamada una conexión en "Y". Los
voltajes entre las terminales, a, b y c se llaman los voltajes
terminales o de línea. En condiciones balanceadas, están definidamente relacionados con los voltajes de fase, como
muestra lo siguiente
E&a =
I En(t
Esta combinación se mues­
tra en la Fig. 21 donde se su-
Fig. 22. Vc'tajes de línea y de fa­
se de la conexión en estrella.
Fig. 23.
Otra representación de
la Fig. 22.
pone que E es la magnitud del voltaje de fase. De aquí que el
voltaje de línea, en la conexión trifásica en estrella o "Y", es
igual a V ”3"Por el voltaje de fase, y hace un ángulo de 30° o de
150° con los voltajes de fase componentes, lo que depende
de cuáles se consideren. En la Fig. 22 se da el diagrama vec­
torial completo, que muestra todos los voltajes de línea. La
Fig. 23 muestra el mismo sistema, en función de un diagrama
vectorial polar de los voltajes de fase, y un diagrama funicu­
lar de los voltajes de línea. El oscilograma 1 muestra estas
relaciones, tal como se obtienen de una carga real.
Cuando el sistema está balanceado, las corrientes en las
tres fases son todas de igual magnitud y difieren solamente
por 120° en fase de tiempo, como se muestra en la Fig. 24.
En cualquier caso particular, la fase de las corrientes, con
respecto de los voltajes en "Y", es definida por los parámetros
de circuito. La observación de la Fig. 19, pone de manifiesto
que las corrientes de línea y de fase son idénticas. La co­
rriente del alambre neutral se obtiene mediante la aplica1 La conexión en "Y " es una especie del género de conexión en estre­
lla. Ver adelante el apartado que lleva el subtítulo "La Conexión en Del­
ta". (N. del T.).
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
401
OSCILOGRAMA 1. Ilustra el desplazamiento angular de 30° entre los
voltajes de fase y los voltajes de línea a línea, sistemáticamente
marcados, en una carga trifásica, balanceada y conectada en "Y". El
valor eficaz de cada voltaje de linea a linea es de 100 voltios.
ción de la ley de Kirchhoff referente a la corriente.
Así,
Xnn
* n 'n = ^na "i" *n6 "I” Inc
Si el sistema está balanceado, I ^ l nb»
e Inc son de igual magnitud y están des­
plazadas una de otra en fase de tiempor, por 120°, como se muestra en la Fig.
24. En estas condiciones, es evidente que
la corriente del neutral es cero, puesto
q u e I„a + I * + I„c = 0.
Fi9- 24- Corrientes en
un sistema balanceado en “Y",
Problema 4. (a) Dibuje un diagrama vectorial
polar (o de origen único) que represente los
mismos voltajes de fase y de linea que los mostrados en el oscilograma
1, usando V6n como eje de referencia. Determine la magnitud eficaz de
los voltajes dte fase, la secuencia de los voltajes de fase y la secuencia
de los voltajes de línea.
402
CIRCU ITO S DE CORRIENTE ALTERNA
Respuesta:
V/íase =
5.7 voltios.
Secuencia de los voltajes de' fase: an-bn-cn.
Secuencia del voltaje de línea: ab-bc-ca.
(b)
presente
ma 1, a
Vba■ Vcb
cuencia
Dibuje un diagrama vectorial polar (o de origen único) que re­
los mismos voltajes de fase que se muestran en el oscilogra­
saber V on, V¡,n y V cn, juntamente con los voltajes de línea
Y Vac, usando a V CM como eje de referencia. Determine la se­
de estos voltajes.
Respuesta:
Secuencia del voltaje de línea: ba-cb-ac.
Sistemas Trifásicos de Tres Hilos (Trifilares). El sistema
usual trifásico consta sólo de tres hilos. En este caso, no se co­
locan cargas entre las líneas y el neutral y, en consecuencia,
no existe el alambre neutral. Las relaciones balanceadas que
se discutieron en el apartado anterior no se afectan, como está
claro, por la omisión del alambre neutral y, por lo tanto, se
aplican al sistema trifásico de tres hilos.
La Conexión en Delta. Si solamente se usan tres hilos,
el sistema trifásico puede ser conectado en malla, similar al sis­
tema tetrafásico estudiado anteriormente. Puesto que
Ena + E„i, + E nc = 0
para el sistema trifásico, las tres bobinas mostradas en la
Fig. 19 pueden ser conectadas como se muestra en la Fig. 25
y no fluirá ninguna corriente de frecuencia fundamental en
c'
Fig. 25. Conexión en delta de las
bobinas mostradas en la Fig. 19.
Fig. 26. Corrientes de fase para
la delta balanceada de la Fig. 25.
el circuito en serie de las tres bobinas. Esta conexión trifá­
sica de malla es llamada conexión en delta. Se notará que
estrella y malla son términos generales aplicables a cual­
quier número de fases, pero " Y " y delta son casos especiales
de la estrella y la malla, cuando se trata de tres fases. La ob-
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403
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
servación de la Fig. 25, muestra que los voltajes de fase y de
línea son idénticos, pero que las corrientes de línea y de fase
son diferentes. En la Fig. 26 se muestra el diagrama vectorial
de las corrientes de fase, para una carga balanceada. Las co­
rrientes de línea se determinan mediante la aplicación de la
ley de Kirchhoff referente a la corriente, así pues,
la a *
ha
!
le a
Esta operación es efectuada en la Fig. 27. Para un sistema
balanceado, la corriente de línea tiene una magnitud igual
a VU por la corriente de fase y está fuera de fase con las
corrientes componentes de fase por 30° o 150°, lo que deIce'
t
Fig. 27. La combinación de las
corrientes de fase da la corriente
de línea para la Fig. 25.
Fig. 28. En la Fig. 25 demuestra
un diagrama vectorial de corrien­
tes, para una delta balanceada.
pende de cuáles se tomen en cuenta. El diagrama vectorial
completo de las corrientes para la conexión en delta trifá­
sica balanceada, se muestra en la Fig. 28. El oscilograma 2,
muestra las relaciones discutidas anteriormente, tal como
se obtienen de una carga real, marcada, como se indica en el
diagrama de circuito adjunto.
Debe tenerse presente, que todos los vectores de un dia­
grama vectorial, como el mostrado en la Fig. 28, pueden ser
invertidos, es decir, hechos girar cada uno un ángulo de 180°
y, si este cambio se acompaña de una inversión en el orden
de los subíndices, el diagrama vectorial resultante represen­
tará lo mismo que el de la Fig. 28. En cuanto se aplica al
circuito mostrado en el oscilograma 2, por ejemplo, es indi-
404
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R NA
OSCILOGRAMA 2. Estudio oscilográfico de una carga de factor de po­
tencia igual a la unidad, conectada en delta y balanceada. Se represen­
tan los voltajes de línea a línea (o voltajes de fase), juntamente con las
corrientes de fase y de línea.
ferente suponer que Ia& fluye en el sentido de V<*&, o que
1^ fluye en el sentido de V ^ . Los qu e prefieran considerar
los voltajes de lín ea ab, ca y be, en v ez de los voltajes de
línea ba, a c y cb, m arcarán un d iagram a de circuito en la
forma m ostrada en el oscilogram a 2, mientras que los que
prefieran considerar los voltajes de lín ea ba, ac y cb, utili­
zarán a Iba, I ac e Ic&, com o las corrientes de fase delta.
Problema 5. Véase el oscilograma 2. Dibújese un diagrama vectorial completo de Vat, V bc, Vca, Iab, l bc, lca, Ia,a, l b.b e Ic,c. utilizando
a Vftc como eje de referencia. Mediante las ordenadas a escala dadas
en el oscilograma 2, determine los valores rms del voltaje de línea (o
de fase) de la corriente de fase y de la corriente de línea.
Respuesta: V == 100 voltios; lp =
3.5 amperios;
= 6 amperios.
La Malla y Estrella de n Fases. En las Figs. 29 y 30 se
muestran, respectivamente, el circuito y el diagram a vecto-
X ..
Fig. 29. Dos fases adyacentes de
una estrella de n fases.
Fig. 30. Voltajes de línea a neu­
tral de fases adyacentes de una
estrella de n fases (Fig. 29).
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
405
rictl de dos fases adyacentes de un sistema en estrella, de
n fases. El voltaje de línea Ea¡> es Ean + E„&. Recordando que
el ángulo de diferen­
cia de fase entre vol­
tajes de fa s e s adya­
cen te s es 360°/n, y
llamando E„ a la mag­
•—!L = F . s e n 2
P
nitud del voltaje de fa­
^nl)
se, el cálculo general
Fig. 31. Combinación de dos voltajes
del v o lt a je de línea
de línea a neutral para dar voltajes de
puede ser comprendi­
línea a linea, en una estrella de n fases.
do a la luz de las re­
laciones vectoriales mostradas en la Fig. 31.
" De aquí que el voltaje de línea sea
E l = 2Ep sen
180°
(1)
Según el circuito de la Fig. 29, es evidente que las corrien­
tes de línea y de fase son idénticas. De aquí que
II = h
La aplicación de principios previamente establecidos y la
observación del circuito y los diagramas vectoriales mostra­
dos en la Fig. 32 demuestran que
El —Ep
y
180°
(2)
I L = 2/pSen----n
I«b
^bb,==^ab "Hcb
Fig. 32. Diagrama de circuito de fases adyacentes y correspondientes
diagramas vectoriales, para una malla de n fases.
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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R N A
406
Ejemplo 1. Las corrientes de línea que parten de un generador
conectado en malla, de cuatro fases balanceadas (como el mostrado
en la Fig. 14, Pág. 350) tienen una magnitud conocida de 70.7 amperios.
Se desea determinar la magnitud de las corrientes de fase, empleando
la relación general establecida en la ecuación (2).
70.7
70.7
70.7
I n -------------- = ---------- = ------ = 50 amperios.
v
180°
2sen 45°
1.414
2 sen---4
Problema 6. Encuentre la magnitud de las corrientes de línea que
parten de un generador conectado en malla, de seis fases balancea­
das, si se sabe que las corrientes de fase tienen una magnitud de
100 amperios. Ilustre la solución por medio de un diagrama vectorial.
Respuesta:
=
Ip =
100 amperios.
Problema 7. Encuentre el voltaje entre líneas adyacentes de un
sistema conectado en estrella, de doce fases balanceadas, si los vol­
tajes de fase tienen una magnitud de 50 voltios. Ilustre la solución por
medio de un diagrama vectorial.
Respuesta: 25.88 voltios.
Problema 8. Encuentre el voltaje entre líneas alternas de un siste­
ma en estrella de seis fases balanceadas, si los voltajes de fase tienen
una magnitud de 132.8 voltios.
Respuesta: 230 voltios.
C argas en " Y " Balanceadas.
Cuando se conectan a un
punto común n tres im pedancias idénticas constituyen una
c a rga en "Y '', balanceada. Si en esa ca rga se imprimen volta­
jes trifásicos balanceados, parecería qu e a través de todas
las im pedancias deberían existir igu ales caídas de voltaje y
que la razón y la fase de los voltajes de lín ea y de fase d e­
berían ser igu ales a los discutidos para los gen eradores co­
nectados en " Y " . La aplicación de la le y de Kirchhoff, tal com o
se discute en el capítulo siguiente, demuestra que esto es
verdadero De aquí qu e la caíd a de voltaje V p a través de
cad a impedancia, en función del voltaje de línea, sea
L a corriente, potencia, etc., pueden determinarse entonces,
de acuerdo con el análisis d el circuito monofásico. Por regla
general, todos los circuitos trifásicos balanceados se calculan
sobre la base de por fase exactamente en la misma forma como
CIRCUITOS PO LIFASICOS BALANCEADOS
407
se hacen los cálculos co­
rrespondientes p a ra cual­
quier circuito monofásico.
Si se sigue este procedi­
miento, es importante que
los valores por fase de V y
de I no se confundan con
voltajes y corrientes de lí­
nea aun cuando las corrien­
tes de línea en una cone­
xión en "Y " sean iguales a
las corrientes de fase, y los
voltajes de línea, en una co­
Fig. 33. Carga en "Y " balan­
nexión en delta, sean igua­
ceada.
les a los voltajes de fase.
Por regla general, todos los circuitos trifásicos balanceados se
calculan por fase, exactamente como se hicieron los cálculos
para los circuitos monofásicos.
Ejemplo 2. Se dan los voltajes de línea VL de la Fig. 33 como tri­
fásicos balanceados de 220 voltios y R y X de cada fase como de
6 ohmios de resistencia y 8 ohmios de reactancia inductiva. Encuentre
la corriente de línea, potencia/fase y potencia total.
VL
220
V v = -—¡=- = —7= = 127 voltios
V 3
V 3
127
127
IL — Ip — —/
= ---- = 12.7 amperios
V 6 2 + 82
10
Potencia/fase = I P2R P = 12.72 X 6 = 968 vatios
Potencia total = 3 X 968 = 2904 vatios
El ejemplo dado pudo haber sido resuelto por medio de
números complejos. Como no eran necesarias las expresio­
nes vectoriales de voltajes y corrientes, fue más sencillo usar
sólo magnitudes. Cuando es necesario combinar la corriente
de línea debida a alguna carga en particular, con la de
otra carga, se necesitan las expresiones vectoriales o sus
equivalentes. Para ilustrar el método vectorial de tratar el
ejemplo anterior, supóngase la secuencia de fase "Via’ V c&Vac. Esto significa que Vc¡, se retrasa con respecto de V&a en
120°. Sería posible usar como eje de referencia, cualquier
voltaje de línea o de fase. En la Fig. 22 se muestra el diagra­
ma vectorial de un grupo de voltajes, similar a los que aquí
se requieren; en el diagrama se usa E en lugar de V. Se to­
408
C IRCU ITO S DE CORRIENTE ALTERNA
ma como eje de referencia el voltaje de fase na [llamada al­
gunas veces la fase normal (estándar)]. Así,
VBa =
127 + jO voltios
Vn6 = 127 / — 120o = 127 (eos 120° - j sen 120°) = — 63.5 - j l l O voltios
V„c =
127/120° =
-6 3 .5 +
jl 10 voltios
Si se desean las expresiones vectoriales de los voltajes de línea, pue­
den obtenerse mediante el siguiente procedimiento
Vfca =
+ Vno = 63.5 + j l 10 + 127 + jO = 190.5 + jfl 10 voltios, etc.
Vna
127 + j'O
_
I no = - ^ = 0 , I = 7.62 - ./10.16 = 12.7 / —53.13° amperios
Zna
6 “p
V „6
u mÚ
y
I n, —
Z „c
Jo
-6 3 .5 - ¿110
—
127 / -1 2 0 °
> + * - ' 153H F 127 /l20°
-------- = 12.7 /66.87° amperios
10 /53.13
1---------
P na = vi + v i ' = 127 X 7.62 = 968 vatios
o
P„6 = 127 X 12.7 eos (120° — 173.13°) = 968 vatios
En la Fig. 34 se muestra el diagram a vectorial de los voltajes y co­
rrientes para esta carga, dibujado conforme a la solución vectorial.
11
V*
Fig. 34.
Diagrama vectorial de la carga del ejemplo 2.
Cargas en Delta Balanceadas. Tres impedancias idénti­
cas, conectadas como se muestra en la Fig. 35, constituyen
una carga en delta balanceada. Cuando se da el voltaje de
línea, se conoce la caída de voltaje a través de cada impedancia. De aquí que las corrientes de fase puedan ser de­
terminadas directamente como Vp/Zp. Las magnitudes de las
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CIR CU ITO S
PO LIFA SIC O S
409
B A LA N CE A D O S
corrientes d e
línea s o n
plicadas por
V"3.
simplemente
corrientes d e
fase multi­
Ejemplo 3. Reconecte en delta las impedancias dadas en el ejem­
plo 2, y calcule la corriente de fase, la corriente de línea, la potencia
de fase y la potencia total. (R = 6 ohmios y X = 8 ohmios/fase).
= 220 voltios
VL =
220
V 62 + 82
= 22 amperios
I I — ^ 3 X 22 = 38.1 amperios
Potencia por fa se = 222 X 6 = 2904 vatios
Potencia total = 2904 X 3 = 8712 vatios
Solución vectorial alterna, usando la secuencia V 6a, V r6. V ac. Use V bn
como el voltaje de referencia.
V6o = 220 /_0_° voltios
V c6 = 220 / - 1 2 0 ° voltios
Voc = 220 /120° voltios
220 /0°
I ha = ---- 7~= = ~ = 22 / -5 3 .1 3 o = 13.2 — j 17.6 amperios
60
10 /53.13o
L-----------
220 / - 1 2 0 o
leb =
2 2 / — 173.13o = —21.85 — ¿2.63 amperios
10 /53.13o
2 2 0 /12 0 ;
I ac = ---= 22 /66.87o = 8.65 + ¿20.2 amperios
ac
10 /53.13o
1
P ba = 220 X 22 eos 53.13° = 2904 vatios
Fig. 35.
C arga en delta ba­
lanceada.
Fig. 36.
Diagrama vectorial para la
carga del ejemplo 3.
Potencia total = 3 X 2904 = 8712 vatios
Ic'c = 1*6 + lea = -3 0 .5 - ¿22.8 - 38.1 /-143.13o amperios
Ib'b = I&C + Ifea = +35.05 - j i s - 38.1 / -2 3 .1 3 o amperios
la 'a - lab + Iac = -4 .5 5 -f¿37.8 = 38.1 /96.87° amperios
410
C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E A L T E R N A
El diagrama vectorial de esta carga en delta, ha sido dibujado de
acuerdo con la solución vectorial que se muestra en la Fig. 36.
Diagrama Vectorial de Triple Origen, de un Sistema Tri­
fásico Balanceado. La Fig. 37 muestra un diagram a vecto­
rial polar, de una carga en " Y " , trifásica, balanceada, de fac-
Fig. 37. Diagrama vectorial polar de una carga conectada en "Y", ba­
lanceada, de factor de potencia igual a la unidad.
tor de potencia igual a la unidad. Una comparación de estos
diagramas mostrará que la relación de fase entre corrientes
de línea y voltajes de línea, son idénticas para ambas car-
Fig. 38. Diagrama polar vectorial, de una carga conectada en delta,
balanceada, de factor de potencia igual a la unidad.
gas. Por tanto, puede usarse un diagram a vectorial único pa­
ra representar las relaciones entre corrientes y voltajes de lí­
nea, para una carga trifásica balanceada, y a sea que ésta
esté conectada en delta o en " Y " . En otras palabras, no es ne­
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
411
cesario saber qué conexión se usa, a fin de representar ade­
cuadamente las relaciones de fase de las corrientes y volta­
jes de línea. Este hecho hace conveniente en muchos casos
el uso de un diagrama vectorial de triple origen, que se ex­
plica como sigue.
Si se recuerda que un vector puede ser trasladado sin
cambiar su valor, los voltajes de línea para las cargas ante­
riores pueden ser arreglados
Iaa'
de modo que formen un trián­
gulo cerrado, como se muestra
en la Fig. 39. También las co­
rrientes de línea pueden ser
trazadas de¡sde los vértices del
triángulo formado como se in­
dica. Los tres vértices compren­
den los tres orígenes; de aquí
el nombre del diagrama. Se
observará que, para un factor
de potencia igual a la unidad,
la corriente de línea Iatt, bisecta Fig. 39. Diagrama vectorial de
el ánqulo cuyo vértice está triple origen de voltajes (cb-acba) y comentes ( l bb„ lcc„ Iaa,).
en el origen a que hacen en
ese punto los voltajes de línea. Se da una situación se­
mejante para las otras corrientes de línea. Las bisectrices
de estos ángulos pueden, en consecuencia, ser llamadas las
posiciones de factor de potencia unidad de las corrientes de
línea, para una carga trifásica balanceada, sin importar que
se trate de una conexión en “ Y " o en delta. Si ha de ser re­
presentada una carga que tiene un ángulo 9 de factor de
potencia, solamente es necesario desplazar a las tres co­
rrientes de línea, en un ángulo 6, de sus posiciones de fac­
tor de potencia unidad. Que esto es cierto, se pone en evi­
dencia mediante un estudio de los cambios que ocurren en
las Figs. 37 y 38, cuando se representa una carga que tiene
un ángulo 0 de factor de potencia. Debe tenerse en cuenta
que el diagrama de triple origen es, en esencia, el diagrama
en Y equivalente cuando los voltajes de línea se trazan entre
los extremos de los voltajes en Y, a neutral, y estos últimos
voltajes, si se muestran, se trazarían de los vértices del triángu­
lo al neutral geométrico. La inspección de los diagramas,
— Figs. 40b y c— muestran que el ángulo del factor de potencia
es, de hecho, el ángulo entre la corriente de línea y el voltaje
en Y equivalente o voltaje a neutral. Estudie el siguiente ejem-
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412
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
pío, para advertir cómo puede usarse el diagram a vectorial
de triple origen para representar una carga trifásica.
Fig. 40. Diagrama vectorial de triple origen, para ambas secuencias y
voltajes de línea.
Ejemplo 4. Una carga trifásica balanceada, de factor de potencia
retrasado de 0.6, toma 10 kva a 200 voltios. Muestre el diagrama vec­
torial de los voltajes y corrientes de línea.
La carga está representada por el círculo y las líneas están mar­
cadas a, b y c, como se muestra en la Fig. 40. Tómese a V&c co­
mo eje de referencia y complétese el triángulo de voltajes de línea como
se muestra en (b) o (c), de acuerdo con la secuencia deseada. Las
bisectrices de los ángulos aparecen punteadas y son las posiciones
de factor de potencia unidad de las respectivas corrientes que parten de
los puntos a, b y c. El ángulo de factor de potencia para la carga
es eos—10.6 = 53.1° y, en consecuencia, las corrientes se dibujan
retrasadas por este ángulo, como se ve, con respecto de sus posicio­
nes de factor de potencia unidad. Si la carga hubiese funcionado a un
factor de potencia adelantado, las corrientes se hubieran desplazado
53.1° adelante de sus posiciones de factor de potencia unidad.
El tipo anterior de diagrama se presta a una sencilla interpreta­
ción visual de los voltajes y corrientes de línea, para una carga tri­
fásica balanceada y contribuye a una fácil comprensión de las con­
diciones de operación de los transformadores, para algunos tipos de
conexiones, cuando alimentan cargas balanceadas. También pueden
usarse para llevar a efecto la adecuada combinación de corriente de lí­
nea, de varias cargas trifásicas balanceadas, independientemente de
que las cargas estén conectadas en “Y" o en delta. Debe reconocerse,
mediante esta discusión, que, en cuanto atañe a las relaciones de fa­
se entre corrientes de línea y voltajes de línea, se está en libertad
de suponer una carga conectada en “Y” o en delta, aun cuando el tipo
jeal de conexión sea conocido o desconocido. También, si resulta con­
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
413
veniente, pueden invertirse los sentidos de las corrientes mostradas en
la Fig. 40 y marcarse en consecuencia.
Cálculos de Potencia en Sistemas Balanceados. La de­
terminación de la potencia en sistemas polifásicos balancea­
dos se basa en cálculos/fase. Si el voltaje/fase es V p,2 la
corriente de fase Ip y el ángulo entre los mismos 0 P9 la poten­
cia /fase es
(3 )
P p = VvI p cosflp
La potencia para todas las fases de un sistema de n fa­
ses es
P t = n P p - nVpI v c o s d p
(4)
La universalidad de las tres fases garantiza que el desarro­
llo de la ecuación (4) da potencia en función de la corriente
de línea \L y del voltaje de línea V¿. Considérese la cone­
xión en “ Y ". Entonces
Pt =
eos 0 P = 3
V3
/l eos 6 p
= V 3 Vjjl l eos 6 p
(5)
Para la conexión en delta
II
P t = ZVpIpUOsdp = SV l -^= eos dp
= ^ 3 ViJ i. cose,,
(6)
Las ecuaciones de potencia, en función de voltajes de línea
y corrientes de línea, para cargas trifásicas balanceadas, es­
tén conectadas en delta o en "Y '', son idénticas, e iguales a
\A3Vl Il eos 6 V. En esta expresión,
L eos 0P9 para poten­
cia trifásica balanceada, debe recordarse que 0 P es el ángulo
entre voltaje de fase y corriente de fase y no entre voltaje de
línea y corriente de línea.
Problema 9. Se imprimen voltajes de linea trifásicos de 2 300 vol­
tios de magnitud en una carga conectada en “Y", balanceada, que consta
de 100 ohmios de resistencia/fase, en serie con 173.2 ohmios de reac­
tancia inductiva/fase. Encuentre la corriente de línea y la p r >ncia
total tomada por la carga trifásica. Calcule Pt como 3L2Rj,
orno
3Vplp eos 0P Y como \/3VLIL eos 6P
Respuesta: \L — Ip = 6.64 amperios, Pf = 13.22 W .
2 Se ha considerado conveniente dejar la radical p (fase) por la razón
de que en el original en inglés aparece phase. (N. del T.).
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
414
Problema 10. Repita el problema 9, suponiendo que las tres impedancias están conectadas en delta (y no en "Y "), a través de los mismos
voltajes de línea.
Respuesta:
= 19.92 amperios, P¡ = 39.66 kw.
Voltamperios. Los voltamperios de un sistema trifásico
balanceado se definen como la suma de los voltamperios de
las fases separadas, o tres veces el número de voltamperios/fa­
se. De aquí que
va t = 3vctp = 3VpIp
En función de voltaje de línea y corriente de línea, los volt­
amperios son
Para delta
■¿y/ J - L _ V z V / I l
v3
Para "Y "
3 ^ 1 , = V zV J l
(8)
V3
Para un sistema de n fases, en condiciones balanceadas,
los voltamperios totales son n veces los voltamperios/fase.
Voltamperios Reactivos. Los voltamperios reactivos, para
un sistema trifásico balanceado, se definen como la suma de
los voltamperios reactivos para cada fase, o tres veces los vol­
tamperios reactivos/fase. En función de voltaje de línea y co­
rriente de línea los voltamperios reactivos o potencia reac­
tiva son
Para "Y "
Vi,
P* = 3VPIP sen 8P = 3 ^ — lL sen 0P
= V^V^Ií, sen 0P
Para delta
(9)
P* = 3VPIP sen 0V = 3VL —jw sen 0f
V«
= V TV ,I, sen 9„
(10)
Resumiendo para cada delta o "Y " balanceadas, los totales
para los sistemas son
P = V^V/Jz, eos 0V
(11)
va = V3VJ*.
(12)
Pj- = V3V LlL sen 6V
(13)
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CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
415
El seno del ángulo entre el voltaje de fase y la corriente
de fase (sen 0 P) es llam ado el factor reactivo de un sistema b a ­
lanceado.
Problema 11. Se imprimen voltajes trifásicos de línea de 440 vol­
tios, en una carga en delta, balanceada/ que consta de 8 ohmios de
resistencia en serie, con 6 ohmios de reactancia inductiva/fase.
(a)
Encuentre los voltamperios/fase, los voltamperios reactivos/fa­
se y el factor reactivo de cada fase.
Respuesta: vap = 19 360, varp = 11 616, f.r. == 0.6.
(b)
Encuentre los voltamperios totales del sistema, los voltamperios
reactivos totales y el factor reactivo del mismo.
Respuesta: v a t = 58 080, var¿ = 34 848, f.r. = 0.6.
Factor de Potencia. El factor de potencia de un sistema
trifásico balanceado, cuando son sinusoidales las formas de
las ondas de voltaje y de corriente, se define com o el coseno
d el ángu lo entre el voltaje de fase y la corriente de fase, in­
dependientem ente de qu e la conexión sea en delta o en "Y ".
D ebe advertirse qu e los voltam perios de la ecuación (12) son
iguales a V P 2 + P *2- Así
=
V eos2 0 P + sen2 0 P m
(14)
Según la ecuación (11),
(15)
Según la ecuación (13),
(16)
Según las ecuaciones (15) y (14),
(17)
\/P2 + P a:2
Según las ecuaciones (16) y (14),
(18)
VP2+ P?
Ejemplo 5. Un motor trifásico de 5 caballos y 220 voltios, tiene una
eficiencia de 85/100 y funciona a un factor de potencia de 86/100. En­
cuentre la corriente de línea.
416
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
_
Entrada de potencia =
V 3 V .I, f.p. =
0 X, /4D
----------- =
0.85
4 390 vatios
4 390
h
= V ^ 2 0 X 0.86 = 13 4 amPerÍ° S
Cargas Trifásicas Balanceadas en Paralelo. La combina­
ción de varias cargas balanceadas en paralelo puede ser efec­
tuada mediante la transformación de todas las cargas en car­
gas en delta equivalentes y combinando, a continuación, las
impedancias de las fases correspondientes, de acuerdo con la
ley que rige a los circuitos en paralelo. Todas las cargas pue­
den ser también cambiadas a cargas equivalentes en "Y " y
puestas en paralelo las impedancias de las fases correspon­
dientes. Además de estos métodos, la potencia de las diversas
cargas puede ser sumada aritméticamente, y algebraicamen­
te los voltamperios reactivos. Los voltamperios totales pue­
den obtenerse entonces mediante V P 2 + Px2Ejemplo 6. Un motor trifásico toma 10 kva a 0.6 de factor d e po­
tencia retrasado, de una fuente de 220 voltios. Está en p aralelo con
una c a rg a en d elta b a la n ce a d a qu e tiene 16 ohmios de resistencia y
12 ohmios de reactancia c ap acitiva en serie, en c ad a fase. Encuentre
el total de voltam perios, potencia, corriente de lín ea y factor d e po­
tencia de la com binación.
Solución a. Supóngase qu e el motor está conectado en “ Y "
10 000
Corriente de lín ea del motor as corriente de fase =
=
— = ----- =
-^/3 220
26.25 amperios.
220
Im pedancia equivalente/fase de motor =
— —-------- =
*^/3 26.25
R — 4.84 eos 0 — 4.84 X
0-6 =
2.904 ohmios
4.84 sen 0 — 4.84 X
0-8 =
3.872 ohmios
X =
16 — j 12
r
.
— ---- ------ = 5.33 — j4 ohmios
" Y " equ ivalente a la c a rga en delta
Z„ =
(5.33 — j4) (2.904 + ¡3.872)
--------------- ---------------------- =
5.33 — j4 + 2.904 + j3.872
220
In as — — ----- =
0
va =
f.p.0 =
P =
3.91 /17.17o ohmios
32.5 am perios
v 73-91
y/ T 220 X
32.5 fas 12 370 voltam perios
eos 17! 1 7 0 = 0.955
12 370
X
0.955 =
4.84 ohmios
11 810 vatios
C IR C U IT O S
P O L IF A S IC O S
417
B A LA N C E A D O S
Solución b. Puede suponerse que el motor está conectado en delta
y las impedancias de lase en delta, combinadas, mediante las cuales
pueden determinarse las corrientes de fase en delta y las corrientes
de línea. El procedimiento restante es semejante al de la solución a.
Solución c. Las corrientes de linea para cada carga se determinan
y muestran en un diagram a del tipo mostrado en la Fig. 39, donde
el voltaje equivalente al neutral
se traza sobre la horizontal, como
c
Fio. 41.
se muestra en la Fig. 41. A continuación se combinan las corrientes en
la forma indicada en la Fig. 41.
10 000
Corriente de la línea del motor = -------------- 26.25 amperios
V3220
Corriente de la línea de la carga en
220
—
delta = ---------------- y 3 = 19.05 amperios
V162 + 122
I <
*aa
Iaa'
motor
o
carga en d e lt a
T
= 26.25 / — 53.1° = 15.75 — j21
/
= 19.05 =
t ___
xaa
t
/36.9o =
/_______
/
i
aa motor
t
>
15.24 +1 j111.43
—
* l aa carga en d elta
30.99 — j9.57 = 32.5 y — 17.17° amperios
va = \/3 22Q X 32.5 = 12 370 volt-amperios
{ p0 = eos 17.17° = 0.955
P = 12 370 X 0.995 = 11 810 vatios
Solución d.
Para la carga delta, la corriente de fase es
220 \/162 4- 122 =
P =
P*^=
ll2 X
ll2 X
11 amperios.
16 X 3 =
12 X
3 =
5810 vatios para todas las fases
4 350 vares para todas las fases (capacitivos)
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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
418
Para el motor
P =
P^. =
10
10
x
X
0.6 =
6 Iw
0.8 =
8 kilovares (inductivos)
Suma de potencia =
5.81 +
Suma de kilovares =
kva0 =
L =
a/
11-812 +
12 370
— —----- =
0
v 5220
f.p.. =
11.81
-------- =
12.37
6 =
8 — 4.35 =
3652 =
11.81 kw
3.65 kilovares
1237
32.5 amperios
0.955
De las cuatro, soluciones, debe emplearse la que resulte más conve­
niente para las cantidades dadas.
Potencia Monofásica y Potencia Trifásica Balanceada. Una
comparación de la variación con respecto al tiempo de las
potencias instantáneas monofásica y trifásica, pone de ma­
nifiesto ciertas diferencias fundamentales. Como se demues­
tra en el Cap. II, la potencia monofásica sigue una ley sinu­
soidal con respecto al tiempo, de doble frecuencia más una
constante. La potencia instantánea para cada una de las tres
fases, cuando las corrientes y voltajes son ondas sinusoida­
les, de un sistema trifásico balanceado, es dada por las si­
guientes ecuaciones generales:
Va — F m/msen <at sen (ut — 6)
Pb = V mI msen (ut — 120°) sen (ait — 120° — 6)
Vc = V mI msen (ut - 240°) sen (oot — 240° — 0)
La potencia trifásica total es
p3 = Pa + P& +<■ = VmIm [sen <ot sen (<ot — 9)
+ sen (*>t — 120°) sen (a>t — 120° — 9)
+ sen (<at — 240°) sen (<ot — 240° — 9)]
p3 = 1.5VmIm eos 9
(19)
Para una sola fase, digamos la fase a,
P i = V mI m sen cd sen (coi — 9)
V mIm
.
V mIm
= —- — eos d ----- -— eos (2coí — 8)
2
2
(2 0 )
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
419
La ecuación (19) demuestra que el valor instantáneo de la
potencia trifásica es independiente del tiempo. En otras pa­
labras, la potencia trifásica balanceada, en condiciones es­
tacionarias, es constante de instante a instante. En contras­
te, la ecuación (20) de la potencia monofásica demuestra que
ésta sigue una vpriación de doble frecuencia con respecto
del tiempo. Esta comparación se ilustra gráficamente en la
Fig. 42.
Fig. 42. Com paración de variaciones de potencia m onofásica y trifá­
sica balan ceada.
Mediciones de Potencia en Sistemas Balanceados. Un va­
tímetro da una lectura proporcional al producto de la co­
rriente que fluye por su bobina de corriente, por el voltaje
a través de su bobina de potencial y por el coseno del ángu­
lo entre el voltaje Y la corriente. Puesto que la potencia to­
tal en un circuito trifásico es la suma de la potencia de las
fases separadas, la potencia puede medirse colocando un
Fig. 43. Puede usarse un vatím etro en c ad a fase para m edir la poten­
c ia trifásica.
420
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
vatímetro en cada fase, como se muestra en la Fig. 43. G e­
neralmente, no es posible llegar a las fases de una carga
conectada en delta. En consecuencia, no es aplicable el mé­
todo mostrado en la parte (a) de la Fig. 43. Para la carga
en " Y " que se muestra en la parte (b) es necesario conectar
al punto neutral.
\
Este punto no es siempre accesible. De aquí que, para ha­
cer mediciones de potencia trifásica, se emplee generalmente
otro método, que hace uso de dos vatímetros solamente. Esta
conexión se muestra en la Fig. 44. A fin de demostrar que
pueden usarse dos vatímetros para medir potencia, se esta-
Fig. 44.
Conexión de dos vatímetros, para medir potencia trifásica.
blecerán las lecturas de cada uno, y su suma se comparará
con la ecuación (11), que se ha demostrado que es correcta
para potencia trifásica balanceada. Es importante tomar un
sentido del voltaje a través del circuito igual al que se toma
para la corriente, al establecer las lecturas de los vatímetros.
Así, si se considera que la bobina de corriente de W„, (Fig. 44),
lleva la corriente Ian, el potencial a través de la bobina de vol­
taje debe tomarse desde a, a través del circuito, que en este
caso particular es Vfl(.. La Fig. 45 muestra el diagram a vecto­
rial de voltajes y corrientes, para un sistema balanceado como
el de la Fig. 44. Según esta figura, la potencia representada
por las corrientes y voltajes de cada vatímetro es
W a = Vacian COS (0 - 30°)
(21)
Wb = Vbchn eos (8 + 30°)
(22)
En las ecuaciones (21) y (22), los subíndices sirven solamen­
te como indicación de los voltajes y corrientes que se usa-
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CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
421
ron. Puesto que la carga está balanceada, V ae — V¡,c, l„n =
— hn y solamente hay magnitudes de por medio. La supresión
de los subíndices da
W „ = V I eos (e - 30°)
(23)
Wb = V I eos (e + 30°)
(24)
Wa + W b m V I eos (8 - 30°) + V I eos (8 + 30°)
= V I [eos 8 eos 30° + sen í?sen30° + eos 6 eos 30° —sen 6 sen30°]
= V S V I eos 6
(25)
De aquí que W„ + W¡, midan correctamente la potencia en
un sistema trifásico balanceado de cualquier factor de po­
tencia. Como se demostrará después, la suma algebraica de
las lecturas de los dos vatímetros dará el valor correcto de la
potencia, bajo cualesquiera condiciones de disbalance,3 for­
ma de onda o factor de potencia.
Para cada valor de 6, (esto es, para cada factor de po­
tencia), hay una razón definida de W „ / W S i se toma siem­
pre la razón de la lectura menor a la mayor y se representa
como la "Y " de una gráfica, en que la "X " es el correspon­
diente eos 6 (esto es, el factor de potencia), resulta una cur­
va llamada la curva de la razón de los vatios. Esta curva
se 'muestra en la Fig. 46. La observación del diagrama vec­
torial de la Fig. 45 y de la curva de la Fig. 46, muestra que
a un factor de potencia de 0.5, un vatímetro lee cero. Para
el caso que se discute, el factor de potencia retrasado de
0.5 hace que W& lea cero, mientras que un factor de poten­
cia adelantado de 0.5 hace que W„ lea cero. Cuando el
factor de potencia es cero, cada vatímetro tiene la misma
desviación, pero las lecturas son de signos opuestos. Los he­
chos anteriores son fácilmente deducibles del diagrama vec­
torial mostrado en la Fig. 45, y también se deducen de las
ecuaciones (23) y (24). En el método de dos vatímetros es
esencial que se dé el signo adecuado a las lecturaá y- tjue
la suma se tome algebraicamente.
Hay varios métodos para determinar si una lectura de
vatímetro debe tomarse positiva o negativamente. Sigue a
continuación uno de los mejores métodos. Véase la Fig. 44.
3 Hemos traducido la palabra inglesa "umbalance" como "disba­
lance" y no como “desequilibrio", porque el concepto de equilibrio se
aplica específicamente al caso de equilibrio de impedancias. Véase Cap.
V, apartado'que lleva el subtítulo “Equilibrio de Impedancia y Trans­
ferencia Máxima de Potencia". (N. del T.).
C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E A L T E R N A
422
be"
(b)
Fig. 45. Modos optativos de dibujar diagramas vectoriales, para un án­
gulo 0 de factor de potencia, del sistema mostrado en la Fig. 44.
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
423
razón de los vatios
Fig. 46. Curva de là razón de los vatios para el método de dos vatíme­
tros, de medición d e la potencia. (Aplicable sólo a cargas balanceadas).
Ábrase la línea a. Entonces, toda la potencia debe transfe­
rirse a la carga por las líneas b y c. Si se conecta el vatí­
metro b de modo que lea "ascendiendo en la escala", enton­
ces se sabrá que tiene esta desviación cuando la potencia
que lee va hacia la carga. Reconecte a continuación la lí­
nea a y abra la b. Conecte entonces Wtt de manera que lea
ascendiendo en la escala. Cierre ahora la línea b. Si en cual­
quier momento después de esto, el indicador del vatímetro
marcha de reversa, hacia la posición de parada de la esca­
la inferior, está siendo transferida potencia al generador a
través de este canal vatimétrico y esta potencia debe ser
de signo opuesto a la registrada por el otro. La bobina de
potencial o la de corriente debe ser invertida, para obtener
una lectura ascendente. La prueba anterior es aplicable ba­
jo cualesquiera condiciones de carga, aunque puede no ser
siempre factible, a causa de la necesidad de abrir las líneas.
Una segunda prueba, aplicable únicamente cuando la
carga está prácticamente balanceada, consiste en desconec­
tar del punto c de potencial común de la Fig. 44, la bobina de
potencial del vatímetro que dé la lectura menor y conectar­
la a la línea que contiene la bobina de corriente del otro va­
tímetro. Si la aguja marcha escala abajo hacia la posición
de parada, la lectura del vatímetro es negativa. Lo ante­
rior se explica mejor mediante el estudio dèi—diagrama de
circuito de la Fig. 44 y el correspondiente diagrama vecto­
rial de la Fig. 45. Como se mostró anteriormente, Wa lee la
potencia representada por Vac e Ia„, mientras que W 6 lee la de­
bida a V&c e Ib„. Puesto que el ángulo (6 + 30°) entre V¡,c e
Ijn es mayor que el ángulo (6 — 30°) entre Vuc e Ia», para la
carga representada por la Fig. 45, el vatímetro W& tendrá
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424
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
la desviación menor. Si la bobina de potencial de W& se re­
tira ahora d^-lc^ línea c de la Fig. 44 y se c o le c ta a la línea
a # el indicpdor se moverá, a causa del potencial Vba y de la
corriente I&TO
. Se ve que el ángulo entre V&a e I&n es (0 — 30°),
o igual al existente entre el voltaje y la corriente, para el v a ­
tímetro W a. Y ahora W a y W &darán entonces la misma lectura.
Además, como W& estaba conectado para leer escala arriba,
cuando el ángulo entre’ su voltaje y corriente era menor de
90°, continuará leyendo en ascenso cuando reciba el potencial
V&a. Si, en cambio, el factor de potencia estuviera debajo de
0.5, el ángulo (0 + 30°) de la Fig. 45 sería mayor de 90°. Si el
vatímetro W& fuera hecho leer en ascenso en esas condiciones,
invertiría su desviación cuando el potencial V&a se diera como
se indica anteriormente, pues, entonces, estaría sujeto a un
voltaje y corriente de (0 — 30°), que es menos de 90° fuera de
fase. Cuando se mueve de la línea c a la a la conexión de
la bobina de potencia de W&, (Fig. 44), este vatímetro recibe
un potencial de V&a, mientras que el potencial para W a (toma­
do igualmente de la línea que contiene la bobina de co­
rriente) es Vac. Estos potenciales están en el mismo orden o
sentido alrededor del diagrama. De aquí que se diga que las
bobinas de potencial están conectadas en el mismo orden cí­
clico alrededor del circuito y en estas condiciones es de es­
perarse que ambos vatímetros muestren la misma desvia­
ción. En el anterior análisis se encontró que esto es cierto.
Ejemplo 7. En un circuito como el mostrado en la Fig. 44 Wa da
una lectura de 800 y W6 da una lectura de 400 vatios. Cuando la
bobina de potencial de Wb se desconecta en c y se conecta en a, la agu­
ja marcha hacia la posición fh¿w¿l, en sentido descendente.
Solución. La prueba indica que W6 está leyendo —400 vatios.
De aquí que
p = w a + Wb = 800 + (-40 0) = 400 vatios
z , .
Wb -400
razón de los vatios = — = ------ = —0.5
Wa
800
Mediante una curva de la razón de los vatios, como la mostrada en la
Pág. 423 el factor de potencia puede ser determinado directamente co­
mo 0.19.
Mediante la solución del sistema de ecuaciones simultáneas (23)
y (24) podría también haberse calculado el factor de potencia eos 0,
Esta relación se hace evidente en el siguiente apartado.
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
425
Voltamperios Reactivos. En un circuito trifásico balan­
ceado, los voltamperios reactivos pueden ser expresados me­
diante
P x = V I (W„ - Wb)
(26)
Esto puede demostrarse como sigue
v/§ (Wa — Wb) = V s [ V I eos (6 — 30°) — V I eos (0 + 30°)]
= V 3 V I [cos0 eos 30° + sen0sen3O° — cos0 eos 30°
+ sen 0sen 30o]
= s/üV IsenO
Esta ecuación es igual a la ecuación (13) de la potencia
reactiva, dada en la Pág. 346. Puesto que la razón de los volt­
amperios reactivos, VUV¿I¿ sen 6, a la potencia, V"3"V,\L eos 9,
es tan 9, se sigue de las ecuaciones (25) y (26) que
V 3 (Wa ta n
6
=
Wb)
r Z u r ----------Wa
+ Wb
----------u
' 2 7 )
donde 9 es el ángulo de factor de potencia.
Ejemplo 8. El factor de potencia del ejemplo anterior podría haber
sido fácilmente calculado por medio de la relación establecida en la
ecuación (26). Así
P x = \/3 {\Va - Wh) = V Ü [800 - (-4 0 0 )] = 2078 vares
(P = Wa + Wb = 800 - 400 - 400 vatios)
va = y/P'¿ + P x 3 = y/4002 + 20782 = 2114 voltamperios
P
400
f p. = — = ---- = 0.19
F
va
2114
Sistemas Trifásicos de Cuatro Hilos (Cuatrifilares). Si está
balanceado un sistema ^trifásico de cuatro hilos, el cuarto hi­
lo o neutral no llevarájzorriente. El sistema es el mismo como
cuando se omite el neutral, caso en que es igual a un siste­
ma balanceado trifásico trifilar. Puede, en consecuencia, ser
medido en la forma que se mostró para el sistema trifásico.
En cualesquiera otras condiciones son necesarios tres medidores o sus equivalentes. Los sistemas no balanceados, se es­
tudian en el capítulo siguiente.
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
426
Sistemas en Delta. La medición de potencia en un sis­
tema trifásico, se discutió con referencia a un diagrama de
circuito en "Y " y su correspondiente diagrama vectorial. Re­
cordando que un sistema en delta puede ser siempre reem­
plazado por un sistema equivalente en "Y", se ve que la dis­
cusión anterior se aplica al sistema en delta. Además, en la
discusión del método de dos vatímetros para la medición de
la potencia, solamente estuvieron involucrados voltajes de lí­
nea y corriente de línea, y no hay diferencia entre estas can­
tidades para los sistemas en delta o en "Y ".
Pueden ser provechosamente estudiados los oscilogramas
3 y 4, que se obtuvieron de un sistema en delta, igual al que
se muestra y se marca en la Fig. 47.
Fig. 47. Configuración de circuito, para la cual fueron tomados los os­
cilogramas 3 y 4.
Problema 12. V éase el oscilogram a 3. (a ) Si los voltajes de linea
a línea tienen valores máximos instantáneos de 155.5 voltios, y las
corrientes de línea en delta tienen valores máximos instantáneos de
14.14 amperios, encuentre las lecturas de potencia m édia de los vatí­
metros W oft.a,a y W ej . c>c
(b )
Dibuje un diagram a vectorial que indique todas las corrien­
tes y voltajes mostrados en el oscilogram a 3. Use Vaj como eje de re­
ferencia, e incluya las corrientes de fase delta I0j, I&c e Ica que no
se muestran en el oscilograma, pero que se com binan. para formar las
com entes de línea delta I0,0 e Ic,c.
Respuesta:
(a ) W a6_a,a = W cj_c,c = 952.6 vatios
(b ) ab-bc-ca secuencia de los voltajes de
linea a línea; Ia¡, en fase de tiempo con
Vat; la.a se retrasa 30° con respecto de
V a&; I, 'c se adelanta 30° con respecto de
Vc6.
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C IR C U IT O S
P O L IF A S IC O S
B A LA N C E A D O S
427
OSCILOGRAMA 3. Representación oscilográfica de todos los voltajes
y corrientes involucrados en el método de dos vatímetros para medir
potencia trifásica balanceada de factor de potencia igual a la unidad.
En (a ) se muestra la secuencia de los voltajes de línea a línea. v ca es
el voltaje que no se usa. En (b )# wa6_yí/a es una gráfica del par motor ins­
tantáneo de marcha del elemento del vatímetro accionado por v aí> e ia,a.
En (c), w ci)-c'c e s -.Vina gráfica del par motor de marcha instantáneo del
elem.ento del vatímetro operado por v c1) e i c,c.
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R NA
llllllfe
428
OSCILOGRAMA 4. Representación oscilográfica de todos los voltajes y
corrientes involucrados en el método de dos vatímetros, para medir po­
tencia trifásica balanceada, a un f.p. de 0.5 retrasado, condición en que
uno de los vatímetros lee cero. En el oscilograma superior se muestra
la secuencia de los voltajes de linea a línea. El voltaje vca es el voltaje
que no se usa, en este caso, en el método de dos vatímetros. En el osci­
lograma del centro, wa6_a,<1 es una gráfica del par motor de marcha
instantáneo del elemento del vatímetro accionado por va6 e ia,a. En el osci­
lograma inferior, w c6_c,c es una gráfica del par motor de marcha instan­
táneo del elemento del vatímetro accionado por vc6 e ic c
CIRCU ITO S PO LIFA SICO S BALANCEADOS
429
Sistema General Balanceado de n Hilos. La potencia to­
tal tomada por un sistema balanceado de n fases es n veces
la potencia/fase. Para obtener la potencia de un sistema ba­
lanceado de n fases, puede usarse vatímetro único, conec­
tado para medir el producto de la corriente por el poten­
cial y por el coseno del ángulo entre la corriente y el
potencial. La lectura del vatímetro se multiplica por n. Si no es
posible llegar a una fase de una carga conectada en malla, u
obtener el neutral de una conectada en estrella, la potencia
puede aun ser medida con un vatímetro único. Para un sis­
tema de n fases, pueden ser conectadas en estrella n resis­
tencias iguales a continuación de las líneas. Se establece
así un neutral y la potencia se mide como si se tuviera a
mano el neutral de un sistema en estrella.
El método se muestra en la Fig. 48. Si el número de fa­
ses es par, como por ejemplo en la Fig. 48, sólo es necesaria
una resistencia única, con tal que la bobina de potencial del
vatímetro pueda ser conectada al punto medio de esta re-
Fig. 48.
Un método para medir potencia en una carga balanceada de
n fases (no se muestra la carga).
sistencia. La^fesistencia debe ser conectada entre dos líneas
que tengan/la máxima diferencia de potencial. La lectura del
vatímetro debe ser multiplicada por n, el número de fases,
para obtener la potencia total. Si el número de fases es
par, la bobina de potencial puede ser conectada de la línea
que contiene la bobina de corriente, a la línea que da la más
alta diferencia de potencial. La potencia total es entonces la
indicación del vatímetro, multiplicada por n/2. Estas conexio­
nes pueden usarse solamente para sistemas balanceados.
Cobre Requerido para Transmitir Potencia Bajo Condicio­
nes Fijas. Todos los sistemas serán comparados sobre la ba-
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430
C IR C U IT O S DE CO RRIEN TE A LTE RN A
se de una cantidad fija de potencia transmitida a una dis­
tancia fija, con la misma cantidad de pérdida y al mismo
voltaje máximo entre conductores. En todos los casos, el pe­
so total del cobre será igual al número de j hilos, pues la dis­
tancia es fija, e inversamente proporcional a la resistencia
de cada hilo. Primero, el sistema trifásico será comparado
con el monofásico. Puesto que se suponen el mismo voltaje
y factor de potencia, bastarán los mismos símbolos respecti­
vos de estas cantidades, para una y para tres fases.
P i = V I i eos 6
P 3 = V Ü V h eos B
Puesto que
Pl = P 3
V I\ eos 6 = V 3 F/3 COS0
I\ “ V/373
También
I i 2R i X 2 = Ia 2Ra X 3
/Zi = 3V
R3
21 i 2
=
3Z32
= 1
3/.,2 X 2
2
Cobre, tres fases
NQde hilos, tres fases
Rx
3
1
3
Cobre, una fase
N° de hilos, una fase
R-
2
2
4
Lo anterior demuestra que la misma cantidad de potencia
puede ser transmitida a una distancia fija, con una pérdida
de línea fija, con sólo las tres cuartas partes de la cantidad de
cobre que se requeriría para una fase o, dicho de otro modo,
para una fase se necesitaría un tercio más de cobre que el ne­
cesario para tres fases.
Comparación de Tres Fases con Cuatro Fases.
Pa — V 3 F /3 eos 6
P 4 = 4 — I 4 eos 6
431
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
(Nota: V es el voltaje más alto entre cualquier par de hilos).
Por tanto
JSmrT
„
V r
V 3 V Í 3 eos 6 = 4 — /4 eos 6
Át
V 3 I3 = p 4
k = JL
h
V3
3I32R3 = 4I42R4
R j _ 3/ 32 _ 3
4_
3
Cobre,1
tres fases —_
3 ys _
1 =3 _
______
_________
Cobre cuatro fases
4
1 4
4 .Z42
4
Es la misma relación que la demostrada para una fase. Si
se comparan de este modo otros sistemas con el trifásico, se
encontrará que el trifásico es más económico en el uso del
cobre que cualquier otro número de fases.
Cuando se transmite una cantidad fija de potencia a una
distancia fija, con una pérdida fija para el mismo voltaje a
neutral, no hay diferencia entre cualesquiera de los sistemas.
Considérense el sistema trifásico y el monofásico. El volta­
je a neutral monofásico es la mitad del voltaje entre líneas.
Este punto es llamado el neutral, pues el potencial para cual­
quier línea es el mismo.
P 3 = i\
3 V nIa eos d = 2 V nI\ eos 6
h _ 2
h ~ 3
3 Ia2R,i m 2 í l2R l
R i _ 3//
3
7Ü¡ “ 21 i2 ~ 2
4
2
9“ 3
Cobre, tres fases
3
2
__________________-s — X — — * (para el mismo voltaje a neutral)
Cobre, una fase
2
3
Comparación de tres fases con n fases, para el mismo vol­
taje a neutral.
P3
=
P»
C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E A L T E R N A
432
3 VJ% eos 6 =
n V uI n
I
eos 9
n
Tn= 3
S h 2R 3 = n i n2R n
Rn
_ 3
Rz
I-¿2
3
n In2
n
n2
n
32
3
Cobre, tres fases
3 n
---------------------- = ------- s= 1 (para el mismo voltaje a neutral)
Cobre, n fases
n 3
N o h a y diferencia entre la c a n t i d a d d e c o b r e r e q u e r i d a e n ­
tre c u a l e s q u i e r a d e l o s s i s t e m a s , si el v o l t a j e a n e u t r a l e s fijo,
y si l a m i s m a
t a n c i a fija y
La
cantidad de
a
u n a
pérdida
transmisión d e
dos
riores c o m p a r a c i o n e s .
lo
mismo
que
transmisión
m i s m a
doble
de
de
dos
de
cantidad
alambres,
la s e c c i ó n d e
de
de
se
consideró
se reconoce
monofásicos
cuatro
pero
que
dis­
que
uno
los n e c e s a r i o s p a r a
u n a
en
las a n t e ­
dos
fases es
independientes,
hilos, r e q u i e r e ,
cobre
cada
un a
l í n e a fija.
fases n o
C u a n d o
sistemas
bifásica,
te, l a
potencia es transmitida a
sola
fase.
tiene s o l a m e n t e
u n a
la
evidentemen­
H a y
el
la m i t a d
fa s e .
r2
P3
1y/2I2
iJ iJ l
1 - H|
I V" r 1
!
I2 R2 1V2: L
r '2
P3
12===13---- (a) Sistema bifásico
Fig. 49.
Véase el Problema 13.
Problema 13. Véase la Fig. 49. Encuentre la razón del cobre reque­
rido para transmisión bifásica trifilar al requerido para transmisión tri­
fásica trifilar, ;en las siguientes condiciones, todas impuestas simultá­
neamente.
(a ) Una cantidad fija de potencia transmitida.
(b ) La misma distancia.
(c) Con la misma pérdida de línea total.
(d) Con el mismo voltaje máximo de línea entre cualquier par de
líneas en los dos sistemas.
(e) Con la misma densidad de corriente en los tres conductores
bifásicos.
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CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
433
Sugestión:
Según condición (a):
P2t =
7
2F p2/ 2 cosfl =
P3t =
3Vp¡h COS6
V3
Según condición (d): 'z = ——13
Según condición (c): 2I-?R2 + ( V 2 /2) 2/?2' ~ 3 /32ñ 3
Según condición (e): Area del alambre R2, =
-y/2" X área de alambre R2,
Según condición (b ): 7£2< = — —
Respuesta: 1.94
Armónicas en el Sistema en "Y ". Una fem generada en un
conducto será sinusoidal únicamente cuando el flujo que cor­
ta al conductor varía de conformidad con una ley sinusoidal.
En generadores de c-a es un tanto difícil, si no que enteramen­
te imposible, obtener una exacta onda sinusoidal de distribu­
ción del flujo de campo. Las ranuras y dientes cambian la
reluctancia del camino del flujo y causan perturbaciones en la
onda de flujo. Aun cuando la distribución del flujo de campo
fuera sinusoidal de vacío, la distribución se alteraría al entrar
la carga, debido al efecto de la reacción de armadura, de la
corriente de la armadura. El resultado es inducir en cada fase
una onda de fem que sufre una distorsión que hace que su
forma difiera un tanto de la de una verdadera onda sinusoidal.
En las máquinas modernas, esta dis­
torsión es relativamente pequeña. Me­
diante ciertos arreglos de los inductores
de la armadura y mediante ciertos
modos de conectarlos, se reducen
algunas de las armónicas de la onda,
o se cancelan por completo. Cuando los
transformadores se conectan en "Y " o,
para el caso, en cualquiera otra forma,
la corriente de excitación no puede ser
sinusoidal, aun cuando el voltaje im­
preso sea una onda sinusoidal perfecta. Fig. SO. Esquema de un
Esto se debe a la reluctancia variable generador c o n e c t ado
en Y.
del circuito magnético, con la conse­
cuente exigencia de más amperio-vuel­
tas, para producir un cambio dado en el flujo, cuando el núcleo
funciona a las más altas densidades de flujo. Resulta, en conse­
cuencia, de >alguna importancia, considerar los efectos de
un sistema trifásico en cuanto afectan al voltaje de línea del
434
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
sistema. Supóngase que la fem inducida en la fase a de un
generador conectado en “Y", mostrada diagramáticamente en
la Fig. 50, es
ena = Emi sen wt + E m3 sen (3co£ + a3) + E m5 sen (5oo¿ + a5)
_2 gj
+ E m7 s e n (7 u t + a ? )
Será usada la secuencia eM, e„t, enc. De aquí que la funda­
mental de la fem de la fase nb, se retrasará en 120° con res­
pecto a la fundamental de la fase na, mientras que la de
la fase nc se retrasará en 240° con respecto a la de la fase na.
Como de costumbre, un cambio de un grado en la fundamen­
tal significará un cambio de n grados para la enésima armó­
nica. Entonces
e„b = Emisenfal — 120°) + Em:t sen (3a>l + a3 — 360°)
+ EmSsen (5wt + a5 — 600°) + E ml sen (Ju>t + a7 — 840°)
= E mi sen (hit — 120°) + E m-¿sen (3co¿ + a3)
+ E m5 sen(5wt + a5 — 240°) + E ml sen(7ojt + a7 — 120°) (29)
®nc = E mi sen (wí
240°) + E m3 sen (3cot -(-0:3)
+ E mb sin (5wt + a6 - 120°) + E ml sen(7ut + a7 - 240°) (30)
Las ecuaciones de los voltajes de fase muestran que todas
las terceras armónicas están en fase. También la secuencia de
fase de la quinta armónica está invertida con respecto a la
de la fundamental. La secuencia de la séptima es la misma
que la de la fundamental. Se encontrará, en general, que tieTABLA 1
Desplazamiento Entre Varías Armónicas de las Fases de la Fig. 49
Desplazamiento en grados eléctricos
Arm ónica
1
3
Fase A
0
0
Fase B
120
0
Fase C
240
0
5
11
7
9
13
0
0
0
0
0
240
120
0
240
120
120 240
0
120 240
nen la misma secuencia la fundamental y todas las armóni­
cas obtenidas mediante la adición de un múltiplo de 6 a la
misma. Éstas son la primera, séptima, décimatercera, déci-
C IR C U IT O S P O L IF A S IC O S BA LA N CE A D O S
435
monona, vigésimaprimera, y así sucesivamente. De modo se­
mejante, la quinta, undécima, décimaséptima, vigésimatercera, etc., tendrán secuencias semejantes, pero opuestas a la de
las fundamentales. T a m b ién
se encontrará que están en fa­
se la tercera, novena y todos
los múltiplos de la tercera. Es­
tos resultados se encuentran e
tabulados en la tabla 1. En la
Fig. 51, se muestra la relación
entre las fundamentales y ter­
ceras armónicas en cada fase,
para a 3 =0, en las ecuaciones
(28), (29) y (30).
Fig. 51. Voltajes de la fundamen­
tal y la tercera armónica.
El voltaje de línea de la "Y "
puede encontrarse sumando los potenciales encontrados, al
recorrer el circuito, entre las terminales de línea en cuestión.
Con referencia a la Fig. 50,
e&a
&na
Cada armónica debe ser tratada separadamente. Por me­
dio de diagramas vectoriales, se muestra en la Fig. 52 la com­
binación de e¡,„ y e na. Para la fundamental, e¡,0 está 30° ade­
lante de ena. Puesto que eMi * Emi sen <ot, e¡,al = \/3Eml sen
(<ot + 30°). Para la tercera armónica, e&as = 0. Para la quinta,
Fig. 52.
Los »voltajes d e lín ea de la Fig. 50 se encuentran separada­
mente para c ad a armónica.
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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
436
e &c5 se retrasa 30° con respecto de eM5. De aquí que e 6o5 =
= V3E m5 sen (5<ot + a5 — 30°). El diagrama vectorial de la
séptima armónica es semejante al de la fundamental. La ecua­
ción completa del voltaje de línea e&a es:
eba —
sen (ut + 30°) + \^?>Em5sen (5coi +
"I- y/3Em7 sen (7wt -f-
0:7
«5
— 30°)
-l- 30°)
(31)
De modo semejante,
eac = V 3 E mlsen(ut + 150°) + V 3 E m5 sen(5 a>t + a¡¡ — 150°)
+ V/3 £ lm7 sen (7ict + a7 + 150°)
(32)
ecb = V 3 E ml sen (coi - 90°) + V z E m5 sen(5coí + a 5 + 90°)
+ V/3J5m7 sen(7cúí + a7 — 90°)
(3 3 )
El diagrama vectorial de los voltajes de la tercera armó­
nica muestra que las terceras armónicas de las dos fases en­
tre cualquier par de terminales son opuestas y se cancelan
mutuamente. Las terceras armónicas no pueden contribuir
nada en el voltaje de línea, aunque contribuyen al voltaje to­
tal entre una terminal y el neutral. La magnitud rms del voltaje
a neutral, en el ejemplo que se acaba de considerar, es
E m .1
2 +
E m 32
+
E m
52 +
E mj
4
La magnitud rms del voltaje entre terminales es
E m
Eba
=
I2 +
E m
g2
E m 72
V 3 -
La relación entre voltaje de línea y de fase de una cone­
xión en ''Y", puede ser \/3 solamente cuando no hay una ter­
cera armónica o sus múltiplos en la onda de voltaje de fase.
Considérense a continuación las armónicas de las ondas
de corriente para la "Y". La ley de la corriente de Kirchhoff,
aplicada a la conexión en "Y", sin hilo neutral conectado, es­
tablece que
Í71 a
"1“
in b
"1“ í « c “
0
CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
437
En condiciones balanceadas, esta ecuación puede ser sa­
tisfecha solamente cuando las tres corrientes son iguales
en magnitud y están 120° aparte en tiempo de fase, o cuando
las magnitudes de cada corriente son iguales a cero. Puesto
que las terceras armónicas y sus múltiplos son las únicas que
no están 120° aparte, cada una de ellas debe ser igual a
cero, para satisfacer las condiciones impuestas por la ley de
la corriente de Kirchhoff. Los diagramas vectoriales para las
armónicas de corriente, son exactamente como los de los
voltajes de fase de la Fig. 52. Si, en cada fase, e es reempla­
zada por i, los diagramas representarán corrientes. Si existen
las terceras armónicas de corriente, debe haber una conexión
neutral. Este neutral o cuarto hilo, suministra el camino de re­
torno para las terceras armónicas de cada fase. Puesto que
todas las terceras armónicas, de acuerdo con el diagrama
de la Fig. 52 , deberían estar en fase, su suma aritmética fluiría
en el neutral. En cada fase puede existir una presión o voltaje
de tercera armónica, pero, a menos que se suministre un paso
por el neutral, las tres presiones no tienen un circuito cerrado
sobre el cual puedan actuar y, en consecuencia, no puede fluir
corriente de tercera armónica. En un circuito balanceado, co­
nectado en "Y ", sin conexión neutral, pueden, en conse­
cuencia, existir todas las armónicas, excepto la tercera y sus
múltiplos. En un circuito trifásico de cuatro hilos (alambre neu­
tral conectado), pueden existir todas las armónicas en la onda
de corriente.
Armónicas en el Sistema en Delta. _ r
Si se conectan en delta tres bobinas
que tienen voltajes inducidos, tal co­
mo los dan e««, e„¡, y en<; del apartado
anterior, los voltajes que no den una
suma de cero alrededor del circuito,
harán que fluya una corriente circu­
lante. En cualesquiera circunstan­
cias, en la delta de la Fig. 53, la su­
ma de los tres voltajes terminales, Fig. 53. Bobinas de la Rg
tomados en el mismo sentido aire.50 reconectadas en delta,
dedor de la delta, debe ser cero. Ex­
presado algebraicamente,
Vea +
Vab +
Vbc =
0
(3 4 )
A causa de que la suma de las fems generadas, e*, +
+ e „5 -1- eMC, es igual a cero para todos los voltajes, excepto
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
438
los de triple frecuencia y sus múltiplos, no puede existir nin­
guna corriente circulatoria que no sea de triple frecuencia y
sus múltiplos. De aquí que, de vacío, no habrá caídas de impedancia y los voltajes generados aparecerán a través de las
terminales, para todas, excepto la tercera armónica y sus
múltiplos. Para las terceras armónicas y sus múltiplos, la si­
tuación es diferente. Puesto que se demostró que eran igua­
les y estaban en fase los voltajes generados de tercera armó­
nica, de todas las fases de un sistema trifásico,
ena3 + e„6, + eBC3 = 3 j&’ m3 sen (3a>Z + £*3 )
harán que una corriente circule en la delta. Esta corriente,
multiplicada por la impedancia del circuito, será igual al
voltaje resultante de tercera armónica, 3Em3 sen (3<at + a3).
Puesto que la tensión en las terminales es igual al voltaje
generado menos la caída interna, no habrá voltaje de tercera
armónica entre las terminales de la delta si las impedancias
y fems de fase están balanceadas. En esta forma se satisface
la ecuación (34) para los voltajes de la tercera armónica.
No hay tercera armónica en el voltaje terminal de la "Y "
ni está sujeta la conexión en “Y " a una corriente circulante de
la tercera armónica. En la "Y ", no aparecen entre las termina­
les los voltajes de la tercera armónica, como resultado de estar
en oposición entre dos terminales, y neutralizándose. En la
delta, el voltaje de la tercera drmónica no aparece en el vol­
taje terminal, porque está puesto en corto circuito por la
conexión en malla y: es consumido en forma de caída de im­
pedancia interna. Lüs ecuaciones de los voltajes terminales
del generador o transformador en delta, de vacío, son los mis­
mos que los voltajes generados de cada fase, con el voltaje
de la tercera armónica y sus múltiplos omitidos. Así,
i> ca
=
E mX
sen coi +
vab
=
E m 1
sen(toí - 120°)
E m f¡
sen (5coí
+
+
E mñ
a 5)
+
sen (5wí
E
+
m7 sen (7<oí +
a
a 7)
(35)
5 - 240°)
+ E m7 sen (7ut + a7 — 120°)
(36)
Vbc = E m1 sen (toí — 240°) + E m5 sen (5coí + as — 120°)
+ E m7 sen(7coí + a7 — 240°)
(3 7 )
Compárense las ecuaciones (35), (36) y (37) con las ecua­
ciones (28), (29) y (30).
Todas las armónicas de corriente son posibles en las fa­
ses de la delta, puesto que simplemente es un circuito cerra-
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CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS
439
do en serie. Así, para la fase ca (Fig. 53), podemos tener
ica ^ Im\ sen o)t + / m3 sen (3cot + « 3 ) + /mssen(5w¿
« 5)
+ I m 7 sen (7cot + a 7)
(38)
Si la secuencia es tal que la fase ab se retrasa en 120°
con respecto de ca, las corrientes de las otras fases se en­
cuentran desplazando las fundamentales, en los 120 ° usuales
y la enésima armónica n veces ese ángulo. Así,
¿a& = /mi sen (o)t
120 °) + /m3 sen ( 3 a>¿ + 0:3 — 360°)
+ /m5 s en ( 5 a>¿ + a 5 — 600°) + I m 7sen(7co¿ + a 7 — 840°)
= Im i sen (wt
120 °) 4 " /m3 s en ( 3 w¿ -f- « 3 )
+ I m 5 sen (5cot + a 5 -
ibc = Im\ sen ( o)t
240°) + I m 7 sen (7a t + a 7 -
240°) -|- I m3 sen (3a)t
+ Im5 sen(5cot + a 5 -
120°) (39)
ocg)
120°) + I m7 sen (7cot + a 7 - 240°) (40)
Las corrientes de línea se obtienen en función de la co­
rriente de fase, como se indica a continuación
l'a'a = *oc.+
íb'b
íba “{“ ¿be
Ic'c = lea “1“ leb
Estas operaciones se ejecutan de modo semejante a las ilus­
tradas en los diagramas vectoriales de la Fig. 52, para los
voltajes. Los resultados son
ia'a = VÜ/tfii sen (cot — 150°) + V 3 / W5 sen(5co¿ + #5 4" 150°)
+ y/ZInfl sen (7c*>¿ + a 7 — 150°)
ih'b =
sen (coi -\- 90°)
(41)
y/SIm 5 sen(5cot -|- oca — 90°)
+ V 3 fm7s e n (7cot + a 7 + 90°)
(42)
irje = V 3 / Wl sen (cot — 30°) “f- V^3 / W5 sen (5co¿ -}- ^5 "í- 30°)
+ V 3 / m7 sen(7ü>¿ + a 7 - 30°)
(43)
Las ecuaciones (41), (42) y (43) demuestran que no pue­
den existir corrientes de la tercera armónica en las líneas
de una delta. La corriente de la tercera armónica, en una fase
que lle g a 'a una conexión de línea, es exactamente igual a
la corriente de la tercera armónica, en la otra fase que parte
440
CIRCU ITO S DE CORRIENTE ALTERNA
del nudo. Esto no permite que en la conexión de línea fluya
corriente de la tercera armónica.
La magnitud de la corriente de fase es
mi2 + Im32 + Imh
fp ~ yj~
+
Imi2
La magnitud de la corriente de línea es
L = y¡-(V3/ml) 2 +
hr
= v%
(V37m5) 2 + ( V 3 I m7)‘¿
Im i2 + I m 2 + Im72
La relación de la corriente de línea a la corriente de fase
puede ser la V T solamente cuando no existen corrientes de
la tercera armónica.
Ejemplo 9. Se supone que en los voltajes de una conexión en "Y ",
como la mostrada en la Fig. 50. existen solamente fundamentales y
terceras armónicas. Se obtienen lecturas de voltímetro como sigue:
= 150, V „ = 220. Calcule la magnitud del voltaje de la tercera
armónica.
Solución: Puesto que Vta contiene^ sólo voltaje fundamental, el fun­
damental a neutral es 220/ y 3 * = 127.
Vna = V v T T v ?
o
Fü = V 1 5 0 2 - 1272 = 79.9
La posibilidad de una corriente circulante de la tercera
armónica en una delta, hace que esta conexión para genera­
dores de c-a sea menos deseable que la "Y ", aunque hay mu­
chos otros factores más importantes que hacen que predo­
mine la conexión en "Y ". Aunque la corriente de la tercera ar­
mónica no es aconsejable en el generador en delta, sí lo es
en los transformadores, pues allí actúa como una compo­
nente de la corriente magnetizante del núcleo, que es esen­
cial, si ha de obtenerse una onda sinusoidal de flujo y de
voltqje inducido. Algunos transformadores de alto voltaje, que
están conectados en " Y " en el primario y en el secundario, tie­
nen un tercer devanado que está conectado en delta, para
permitir que fluya una corriente circulante de la tercera ar­
mónica, suministrando así a los transformadores la compo­
nente necesaria de triple frecuencia de corriente magnetizan­
te. Un devanado de esta clase, conectado en delta, se llama
devanado terciario.
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441
PROBLEMAS
14. ¿Cuál es el voltaje de fase y también el voltaje entre líneas
adyacentes de una conexión en estrella de seis fases, si el mayor
voltaje entre cualquier par de líneas es de 156 voltios?
15. El voltaje entre líneas adyacentes de una estrella de doce fases
es de 100 voltios. Encuentre el voltaje a neutral, el voltaje entre líneas
alternas y el mayor voltaje entre cualquier par de líneas.
16. Encuéntrese la corriente de fase en una malla de seis fases si
la corriente de línea es de diez amperios; también para una malla de
doce fases, para la misma corriente de línea.
17. Se dan seis bobinas, cada una de las cuales tiene un voltaje
inducido de 63.5 voltios. Los voltajes adyacentes de las bobinas están
60° aparte. ¿De cuántos modos puéden conectarse estas bobinas, para
formar un sistema balanceado de voltajes trifásicos en "Y ", si para cada
sistema deben ser usadas todas las bobinas, y si debe ser diferente
la magnitud de los voltajes de línea de cada sistema? ¿Cuáles son los
voltajes de línea para cada sistema en "Y "?
18. Un generador tiene seis bobinas, estando desplazadas en 30
grados eléctricos las bobinas adyacentes. Si el voltaje de cada bobina
es de 114 voltios, muéstrese cómo conectarlas y calcúlese el voltaje
de línea o terminal para una estrella de tres fases. Repítase para la
malla trifásica. Repita para la bifásica, cuando el voltaje de línea se
toma como voltaje ,de fase.
19. Un generador tiene seis bobinas, estando las bobinas adyacen­
tes desplazadas en 30 grados eléctricos. Si se usan todas las bobinas
para formar una malla trifásica, ¿cuál debe ser la fem de cada bobi­
na, para dar voltajes trifásicos balanceados, de 230 voltios cada uno? Si
todas las bobinas están conectadas en estrella trifásica, ¿cuál debe
ser la fem de cada bobina para dar una fem entre líneas de 230 voltios?
20. Dibuje diagramas vectoriales que representen las corrientes y
voltajes mostrados en los oscilogramas 3 y 4, Págs. 427 y 428 y márquelos de acuerdo con las marcas del oscilograma.
21. En una carga en "Y " balanceada, que tiene 16 ohmios de resis­
tencia y 12 ohmios de reactancia en serie en cada fase, hay impresos
voltajes de línea trifásicos de 230 voltios. Encuéntrese la corriente de
linea y la potencia total. Si se reconectan en delta las tres impedancias
y se colocan a través de los mismos voltajes de línea, ¿cuáles son las
corrientes de línea y de fase y la potencia total?
22. Una corriente de 10 amperios fluye en las líneas de una carga
conectada en malla, de doce fases, que tiene 5 ohmios de resistencia
y 8 ohmios de reactancia capacitiva en serie, en cada fase. ¿Cuál es
el voltaje entre líneas alternas en la carga? Dibuje el diagrama vec­
torial de las corrientes y voltajes de fase de dos fases adyacentes y
también muestre la corriente de línea que sale del nudo de estas dos
fases.
23. Una carga balanceada en “ Y " consiste en 3 ohmios de resistencia
y 4 ohmios de reactancia capacitiva en serie/fase. A través de las lí­
neas, en la carga, hay impresos voltajes trifásicos balanceados de 100
voltios cada uno. Si la carga está conectada a un generador, median­
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442
CIRCUITOS DE CORRIENTE A LTE R N A
te tres líneas de igual impedancia y cada línea contiene una resisten­
cia de un ohmio y una reactancia inductiva de 4 ohmios, encuentre el
voltaje impreso en las terminales del generador.
24. Una carga en "Y " balanceada, que tiene 8 ohmios de resistencia
y 6 ohmios de reactancia inductiva en serie, en cada fase, es alimen­
tada mediante líneas que tienen cada una 1 ohmio de resistencia y
2 ohmios de reactancia inductiva. Si el voltaje del extremo emisor
entre líneas es de 250 voltios, ¿cuál será el voltaje entre líneas en
la carga?
25. Una carga en delta balanceada, contiene una resistencia de
12 ohmios y una reactancia capacitiva de 16 ohmios en serie, en cada
fase. Si los voltajes de línea balanceados impresos en la carga son de
115 voltios cada uno, calcule las corrientes de línea y de fase.
26. Una carga balanceada en delta que tiene 18 ohmios de resis­
tencia y 24 ohmios de reactancia capacitiva en serie en cada fase, es
alimentada mediante líneas que tienen 1 ohmio de resistencia y 2 oh­
mios de reactancia inductiva. Si en el extremo emisor el voltaje de1
línea a línea es de 250 voltios, encuentre el voltaje de línea en las
terminales de la carga. También encuentre la potencia total consumida
por la carga.
27. Una carga inductiva en “Y " balanceada, toma 5.4 kw, a 0.6 de
factor de potencia, a un voltaje de línea de 200 voltios. Está en para­
lelo con una carga en “Y" balanceada, puramente resistiva, que toma
5 kw. Encuentre la corriente de línea resultante suministrada en la com­
binación.
28. La potencia total suministrada a dos cargas trifásicas balancea­
das en paralelo es de 12 kw, a un factor de potencia retrasado de 0.8.
Una de las cargas toma 10 kva a 0.8 de factor de potencia adelantado.
La segunda carga, es una carga balanceada conectada en delta. En­
cuentre la resistencia y la reactancia/fase de la carga en delta, si el
voltaje de línea es de 230 voltios. Si la carga desconocida estuviera
conectada en "Y ”, ¿cuál sería la resistencia y la reactancia/fase?
29. Cada fase de una carga en delta tiene 6 ohmios de resistencia
y 9 ohmios de reactancia capacitiva en serie. Cada fase de una carga
en "Y " tiene 8 ohmios de resistencia y 6 ohmios de reactancia inductiva
en serie. Las dos cargas están conectadas en paralelo, a través de
voltajes de línea trifásicos de 100 voltios. Calcule la corriente de línea
resultante, la potencia total consumida, y el factor de potencia de la
combinación.
30. Un motor trifásico de inducción, de 5 caballos de fuerza y 220
voltios (carga balanceada), tiene una eficiencia de 86/ciento y funciona
a 86.6/ciento de factor de potencia retrasado. Está en paralelo con un
horno de resistencia trifásica, consistente en tres resistencias de 36 oh­
mios, conectadas en delta. Encuentre los kilovoltamperios exigidos por
la combinación, el factor de potencia, y la corriente de línea.
31. Un generador trifásico suministra voltajes balanceados de 230
voltios cada uno en sus terminales, cuando lleva una carga que re­
quiere 10 amperios. Si el factor de potencia en las terminales del ge­
nerador es de 0.8, adelantado, calcule el voltaje en la carga, si ésta
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443
B A LA N C E A D O S
está conectada mediante líneas que tengan cada una 1 ohmio de re­
sistencia y 5 ohmios de reactancia inductiva.
32. Una carga trifásica balanceada requiere 10 kva a 0.5 de factor
de potencia retrasado. Encuentre la dimensión en kilovoltamperios de
un bloque de condensadores que pueden ser puestos en paralelo con
la carga, para traer el factor de potencia de la combinación a 0.866 re­
trasado y también a 0.866 adelantado.
33. Si el voltaje de línea del Problema 32 es de 230 voltios y la
frecuencia de 60 ciclos, encuentre la capacitancia en microfaradios de
los condensadores requeridos en cada fase del bloque de condensado­
res, si están conectados en delta. ¿Qué capacitancia se requiere si es­
tán conectados en "Y "?
34. Tres impedancias de carga, de 15 /60° ohmios, están conecta­
das en delta y alimentadas por líneas que contiénen cada una 1 ohmio
de resistencia y 1 ohmio de reactancia inductiva. Encuentre el voltaje
impreso a través de las impedancias de la carga, si los voltajes de
línea, del lado de suministro de las impedancias de la línea, son tri­
fásicos balanceados, de 115 voltios cada uno. También calcule la pér­
dida de potencia en las líneas de suministro y la potencia disipada
por la carga misma.
35. Si es de 20 amperios la corriente que fluye por cada una de
%
las impedancias de la carga del Problema 34, encuentre el voltaje re­
querido en el lado de suministro de las impedancias de la línea.
36. Una línea trifásica tiene tres codensadores: cada uno con una
reactancia de 300 ohmios, conectados en delta a través de las líneas,
en la fuente. Tres condensadores iguales están conectados en la misma
forma entre las líneas, en la carga. Entre estos dos juegos de con­
densadores cada línea tiene una reactancia inductiva en serie de 10
ohmios. Si una carga trifásica balanceada de 100 kva, con un retraso
de factor de potencia de 0.6, requiere 2 300 voltios entre líneas, ¿qué
voltaje entre líneas se requerirá en la fuente?
37. El piotor M de la Fig. 54, tiene impresos en sus terminales vol­
tajes trifásicos balanceados de 2 300 voltios y toma 120 kva, a 0.6 de
factor de potencia adelantado. Calcule los voltajes de línea, entrada
de potencia y el factor de potencia en a, b y c.
38. Si el motor de la Fig. 54 se retira del circuito y se imprimen en
a, b y c voltajes trifásicos balanceados de 2 300 voltios cada uno,
¿cuántos voltios aparecerán entre líneas en el extremo de la línea co­
rrespondiente al motor?
a o
íooo n
b o—
0.5+J 2/1
0.5+j 2/2
1000/ 2.
0.5+j 2 n 250 n
■VVVW íooo n
250 n
1000/2
0.5+¡2/2
250/2
C oFig. 54.
Véanse los Problemas 37 y 38.
444
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R N A
39. Una conexión trifásica resonante en paralelo está conectada a
líneas trifásicas de 2 300 voltios, para suministrar una impedancia baja,
para una frecuencia determinada, de manera que reduzca la interfe­
rencia inductiva con una línea telefónica. La conexión en paralelo con­
siste en tres condensadores conectados en delta, de 10 kva, 60 ciclos
y 2 300 voltios. Una inductancia de 2.5 milihenrios está en serie con
cada terminal de las líneas que parten de la delta. ¿A qué frecuencia
resuena, esto es, ofrece la impedancia mínima esta combinación tri­
fásica? Suponga que son despreciables las resistencias de condensado­
res y las inductancias.
40. ( a) Tres bobinas que tienen cada una 36 ohmios de resistencia
y 100 milihenrios de inductancia están conectadas en delta. Encuentre
la capacitancia en microfaradios de cada condensador, que pueda ser
colocado en cada una de las tres líneas que parten de la delta, para
producir resonancia (factor de potencia igual a la unidad) del sistema,
como un todo, para una frecuencia de 800 ciclos. Esto es, un tipo de
conexión resonante en paralelo que algunas veces se conecta a las
líneas de potencia para reducir la interferencia inductiva con los
circuitos de teléfonos.
(b) Supóngase que se retiran y conectan en delta los conden­
sadores calculados para cada línea en (a). Encuentre cuántos henrios
de inductancia se necesitarían en cada línea de esta delta, para hacer
que el factor de potencia de la combinación resulte igual a la unidad,
a una frecuencia de 800 ciclos.
41. Encuentre las lecturas de Wa y W 6 en la Fig. 55, para la secuen­
cia y ^ Vnc, Vn&. Encuentre la potencia disipada en cada fase.
42. Una carga trifásica balanceada toma 5 kw y 20 kva reactivos.
Encuentre la lectura de dos vatímetros, adecuadamente conectados para
medir la potencia total.
43. Encuentre la lectura de
en la Fig. 55. Calcule también los
voltamperios totales reactivos tomados por la carga. ¿Cuál es la razón
de los voltamperios reactivos totales tomados a la lectura de W^?
44. Pruebe que la razón
de la lectura de
de la
Fig. 55 a los voltamperios
reactivos totales obtenidos en
el Problema 43, valdrá para
todas las cargas balancea­
das, cuando los voltajes im­
presos son trifásicos, balan­
ceados y sinusoidales.
45.
(a) Calcule analítica­
mente el ángulo de factor de
potencia para un circuito tri­
fásico balanceado, en el cual
leen
1000 y + 800 va­
tios, respectivamente, dos
v a t í me tros, adecuadamente
conectados para medir po­
Fig. 55. Véanse los Problemas 41,43 y 44. tencia trifásica.
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C IR C U IT O S
P O L IF A S IC O S
445
B ALAN C E AD O S
(b) También c a lc u le el ángulo si los medidores miden
800 vatios, respectivamente.
1 000 y —
46. Dos vatímetros que miden la potencia en una carga trifásica
balanceada, leen 1 200 y — 400 vatios, respectivamente. ¿Cuántos vol­
tamperios toma la carga? ¿A qué factor de potencia?
47. La potencia entregada a una carga de factor de potencia ade­
lantado es medida por los vatímetros. El vatímetro que tiene la bobina
de la corriente en la línea A y la bobina de potencial de la línea
A a la línea C indica + 1 000 vatios. El otro vatímétro, con su bobina
de corriente en la línea B y su bobina de potencial de la línea B a
la línea C, indica + 400 vatios. ¿Cuál es la secuencia del voltaje?
¿Cuál es el factor de potencia de la carga?
48. Cada fase de una carga balanceada conectada en estrella, de
doce fases, consta de 3 ohmios de resistencia y 4 ohmios de reactancia
inductiva en serie. Se aplican a la carga voltajes balanceados entre
líneas adyacentes de 12 fases y de 51.76 voltios. Calcule la corriente
de línea, el factor de potencia y la potencia total consumida por la
carga.
49. El voltaje inducido en la fase na de un generador trifásico
conectado en "Y ", es
ena = 127 sen oot +
50 sen (3cot — 3 0 °) +
30 sen (5a>¿ +
4 0 °)
Si la secuencia es e ^ , en0, ewc, encuentre la
ecuación con respecto al tiempo de la línea de
voltaje ea&. Nota: Los voltajes de fase de los g e ­
neradores polifásicos difieren solamente en ángu­
lo de fase.
50. Si las fases del generador del Problema
49 se reconectan en delta, ¿cuál será la ecua­
ción respecto al tiempo del voltaje de línea im­
preso a través de la fase na?
51- Un generador conectado en " Y " tiene un Fig. 56. Véanse los
Problemas 52 y 53.
voltaje generado/fase que contiene sólo la fun­
damental, tercera, quinta y séptima armónicas.
El voltaje de línea, tal como lo mide un voltímetro, es de 230 voltios; el vol­
taje a neutral es de 160 voltios. Calcule la magnitud de la tercera armóni­
ca en el voltaje generado.
52. La fem inducida de un generador en delta, con un vértice de la
delta abierto, como se muestra en la Fig. 56, contiene sólo armónicas im­
pares, hasta la séptima. Un voltímetro colocado a través de ac da una
lectura de 2 500 voltios y, a través de bb', cuando fluye una corriente des­
preciable, de 1 800 voltios. Encuentre la lectura de un voltímetro colocado
de a a b'.
53. El voltaje .de fase inducido de un generador en deltg^coñ un
vértice abierto, como se muestra en la Fig. 56, contiene armónicas im­
pares, hasta la séptima. Un voltímetro, conectado de a a b', da
una lectu ra' de 2 500 voltios, y de a a c, de 2 200 voltios, cuando
fluye una corriente despreciable. ¿Qué lectura daría de- b a b'?
446
CIRCUITOS DE CO RRIENTE A LTE R N A
54. La Fig. 57 muestra un generador conectado a una ca rga balan­
ceada, puramente resistiva. Un amperímetro en el neutral d a una lec­
tura de 15 amperios y el vatímetro mostrado da una lectura de 600
vatios. Un voltímetro muestra un voltaje de lín ea balanceado de 230
voltios. Encuéntrense las corrientes de línea a la ca rga y el voltaje de lí­
n ea a neutral en la carga, suponiendo que el voltaje generado contiene
solamente las componentes fundamental y tercera armónica.
Capítulo I X
Circuitos polifásicos no balanceados
Cargas no Balanceadas. En el capítulo anterior se des­
arrolló el método para calcular las corrientes en las distintas
ramas de cargas polifásicas balanceadas, cuando se conocen
las impedancias y los voltajes impresos. En el presente capí­
tulo se desarrollarán métodos para calcular las;corrientes de
las diversas ramas, cuando se imprimen voltajes conocidos en
cargas no balanceadas. Cualquier carga polifásica en que la
impedancia de una o más fases difiere de las de otras fases,
se dice que es no balanceada. Aun cuando las impedancias
de las cargas de las diversas fases sean idénticas, si los volta­
jes impresos en la carga son desiguales y difieren en fase por
ángulos que no son iguales, debe emplearse uno de los méto­
dos de cálculo de cargas no balanceadas. Primeramente se es­
tudiarán algunos de los tipos más sencillos de cargas no ba­
lanceadas, que se pueden resolver por métodos directos, un
tanto simplificados.
Cargas en Delta no Balanceadas. Si son fijos los voltajes
de línea trifásicos a través de las terminales de una carga
en delta no balanceada, es conocida la caída de voltaje a tra­
vés de cada impedancia de fase. Pueden entonces ser deter­
minadas directamente las corrien­
tes de cada fase. Las corrientes de
línea pueden determinarse suman­
do vectorialmente las dos corrien­
tes componentes que llegan a la
terminal de la línea de que se tra­
te o que parten de la misma,
como se hizo en el análisis del
circuito en serie paralelo. El ejem­
plo siguiente ilustrará el procedí- Fig. 1. Carga en delta no bamiento.
lanceada. Véase el ejemplo 1.
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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
448
Ejemplo 1. Se da la carga en delta no balanceada que se muestra
en la Fig. 1. Calcúlense todas las corrientes para los voltajes trifásicos
balanceados que se muestran en la figura, si la secuencia del voltaje
es ab-ca-bc.
Puesto que se supone que los voltajes mostrados se mantienen en
las terminales a, b y c, pueden establecerse las expresiones complejas
para los voltajes de fase. Tómese como eje de referencia un voltaje de
fase, digamos Va6 para este ejemplo. Por tanto,
Va* m 100 + ¿0
Vbc - 100 /ISO0 = -5 0 + ¿86.6
a — 100 / —120° =
—50 —¿86.6 voltios
Entonces
_
t
_ 100 + j 0 _
—¿8 = 10 / —53.1° amperios
Zab ~6+¿8
Vbc
—50 -f ¿86.6
= -18.39 + ¿7.856 = 20 /l56.9° amperios
bc~ Z b c~
4 -¿ 3
06
j
Vco
c a = = z7a
—50 — ¿86.6
2 0
= —2.5 —¿4.33 = 5 / —120° amperios
+ ¿ 0
Las corrientes de línea son
Ja'a = lab + I«c = 6 - ¿8 + 2.5 +¿4.33 = 8.5 - ¿3.67
= 9.26 / —23.4° amperios
Ifc'6 = Iba + Ibe = - 6 + ¿ 8 - 18.39 +¿7.856
= —24.39 +¿15.856 = 29 /146.9o amperios
Ic'c *= lea + leb = -2.5 - ¿4.33 + 18.39 - ¿7.856
= 15.89 -¿12.186 = 20 /-37.3° amperios
Cargas en " Y " no Balanceadas. Si se puede suponer que
permanecen constantes en sus valores dados los voltajes de
la carga en las terminales a, b y c de una carga en "Y" no b a­
lanceada, como la mostrada en la Fig. 2, entonces pueden
ser encontrados directamente, como se muestra en el ejemplo
1, las corrientes de fase de una delta equivalente que reem­
place a la "Y ". Las corrientes de línea de esta delta equiva­
lente son, obviamente, las corrientes de las fases de la car­
g a en %
%
Y".
Ejemplo 2. Un grupo balanceado de voltajes trifásicos se conecta a
un grupo de impedancias no balanceadas, conectadas en “Y", como se
muestra en la Fig. 2. Se supone que son conocidos los siguientes valores:
Va6 = 212 /90° voltios
Zan = 10 + ¿0 ohmios
Vbc = 212 / —150° voltios
Zbn = 10 + ¿10 ohmios
Vea = 212 j —30° voltios
Z cn = 0 —¿20 ohmios
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
449
Fig. 2. Conversión de una carga conectada en "Y", en una carga equi­
valente conectada en delta.
Se han de determinar las corrientes de línea la,a>
e Ic,c por el
método de conversión de “Y" a delta. (Véase el Cap. V, Pág. 259, para la
teoría general que se aplica a las conversiones de "Y" a delta).
En la Fig. 2 las impedancias en delta equivalentes pueden ser ex­
presadas en función de las impedancias en "Y ” como sigue
Zab —
(Z anZ&n + Z bnZ cn + Z cnZ an)
S
Znc
Zn
S
Z&c ” 7
**an
Y
S
Z ca — „
«6 n
Numéricamente, las impedancias en delta equivalentes son
Zab = ~ — r !r “ = (15 -f ¿15) = 21.2 /45o ohmios
0 - ¿20
J
L--------__
10 - jO
Z ca = 300
10 + ¿10
— ( 3o _ j*30 ) = 42.4 / —45° ohmios
L-----= (0 - ?'30) = 30.0 / -9 0 o ohmios
v
4 9
' -------
Las corrientes de la carga en la delta equivalente son
Va!,
u = ^
212/90°
= ñ J / iP
= 10^
amperios
Vbe 212/-150°
*bc — „ — ------ ------- = 5.0 / —105° amperios
bc
424 / ~ 45
L-------t
=
V
212/ -3 0 o
, „
_____ ' : - = 7.07 /60° amperios
Zea
30 / —90°
-----
Las corrientes de linea y de la carga son
\
la'a ~ Iafc Ico
= 10 /45° - 7.07 /60° = 3.66 /l5° amperios
450
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
I b 'b
— I&c
Ia6
i
= 5 / -1 0 5 ° - 10 /45° = 14.56 /-125.1° amperios
I c'c — lea
I&e
= 7.07 /60° - 5 / -1 0 5 ° = 11.98 /66.2° amperios
Como comprobación de los valores anteriores, compárese el valor
calculado de [Ia,aZan —
con
valor dado de Va6, que fue de
212 /90° voltios.
B **. -
= (35.4 + ,'9.48) - (35.35 - ¿202.6)
= (0.05 + ¿212.1) voltios
(Comprobación)
La conversión de la "Y " a su delta equivalente, juntamente
con la solución de la delta, tal como se ilustra en el ejemplo
anterior, requiere una cantidad igual o mayor de trabajo que
la solución directa de la "Y", empleando dos ecuaciones simul­
táneas, obtenidas mediante la aplicación de la ley de Kirchhoff.
En la Fig. 3 se dan los diagramas vectoriales de los vol­
tajes y corrientes involucrados en el ejemplo anterior.
Fig. 3.
Diagramas vectoriales para el ejemplo 2.
Problema I. Determine los valores de Von, V6n y V cn en el ejemplo 2.
Respuesta: VaM = 36.6 /15°; Vbn = 205.6 / - 8 0 .1 ° ; V CB = 239.6
/ — 23.8° voltios.
Problema 2. Determine la potencia disipada en cada una de las
tres fases (an, bn y en) del ejemplo 2.
Respuesta: POB =
134; P6n = 2 120; Pcn = 0 vatios.
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451
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
Problema 3. Encuentre las magnitudes de la,a, lb,b e l c,c de la Fig.
2, si Va6 = 212 /90°; Vbc = 212 / - 3 0 ° y V co = 212 / -1 5 0 ° voltios.
Como en el ejemplo 2, Zan = (10 + j0); Zbn = (10 + jlO) y Zcn =
= (0 — j20) ohmios.
Respuesta: Ia,a = 13.65; I¡,,¡, = 620; lc,c = 7.54 amperios.
Cargas Combinadas en Delta y en *'Y". Algunas veces,
cargas conectadas en delta se hacen funcionar conjuntamente
con cargas conectadas en "Y", como se muestra en la Fig. 4.
Si los voltajes trifásicos de línea a línea Vja, V jc y V^, perma­
necen sensiblemente constantes, independientemente de las
condiciones de la carga, puede llevarse a efecto una solución
relativamente sencilla, convirtiendo primero la carga en "Y " en
una carga en delta equivalente. Las dos deltas en paralelo
pueden entonces combinarse para formar una carga única
equivalente, conectada en delta y ser calculadas directamen­
te las corrientes en delta equivalentes, como
Va&
Iab (eq ) — ñ
Z a 6(eq)
T
_
*&e(eq)
Vfec
y
be
(eq)
T
_
1 ca(eq)
Vea
7
^ c o (e q )
Las anteriores corrientes pueden ser combinadas en la
forma usual, para encontrar las corrientes de línea Ia’a, I»'» e
Ic-c. Los detalles se reservan para
que los analice el estudiante (véa­
se el Problema 15, Pág. 481).
Soluciones de la Red. Las so­
luciones de los circuitos polifásicos
no balanceados son simplemente
aplicaciones de las leyes de Kirchhoff. En el siguiente ejemplo, des­
arrollado gráficamente en la Fig.
c
-i
. _
i
1 1
1
Fig. 4. Cargas en delta y en
5, se ilustran algunos de los de- „ *
, .
.,
,
Y , e n el m i s m o sistema a e
talles.
voltajes.
Ejemplo 3. Los voltajes generados y las impedancias se dan como
sigue para la Fig. 5:
E„„ = 1000 + jO = 1000/0°
E „ 6 = - 5 0 0 - ¿866 = 1 0 0 0 / -120°
E„,; =
- 5 0 0 + ¿ 8 6 6 = 1 0 0 0 /-240°
Z„„ = 2 +¿8,
Z„a> = 1 + ¿2,
Zn’n‘ = 19 +¿18 = 26.2/43.45°,
Zhi/ = 1 +¿2,
Zb.„. = 49 - ¿2 = 49.04/-2 .34 °,
y Zr-„- = 2!) + ¿50 = 57.8 /59.9°.
Z„c = 2 +¿8,
Z nb = 2 + ¿8
Z cc. = 1 + ¿2
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
--------------------------- w w v ^ w --------------------------Fig. 5
En circuitos polifásicos no balanceados es importante la especifica­
ción de la secuencia utilizada, porque de dos posibles secuencias
de voltaje resultan soluciones diferentes. Para este ejemplo se supone
la secuencia abe. Esto significa que el voltaje de fase b se retrasa
en 120° con respecto del voltaje de fase a. Todas las inpedancias en
serie son aditivas. Por tanto, la impedancia de naa'n' es Za = 2 +
j8 + 1 + j2 + 19 + ji8 = 22 + j28 = 35.6 /51.8o ohmios. De modo se­
mejante, Zh = 52 + j8 = 52.6/8.8o y Zc = 32 + j60 = 68.0/61.90°. Pue­
de ilustrarse primeramente la solución de corriente de malla, y en la
Fig. 5 se muestra cómo se marcan las corrientes de malla. Las ecua­
ciones son:
H" Z b ) Ii
na +
1‘
2= E
E&n = Ena — En&
(1)
(Zb + Zc)I 2 — Zfeli = Evb + Ecn = Enb — Enc
(2)
(Z a
—
Z/,
La sustitución de los valores numéricos en las dos ecuaciones anterio­
res da
(74 +¿36)Ii - (52 + ¿8 )I 2 = 1500 + ¿866
~ (52 + ¿8 )Ii + (84 + ¿68)I 2 = -¿1732
Ii -
(1500 + ¿866)
-(5 2 + ¿ 8 )
-¿1732
(74 +¿36)
(84 + ¿ 68)
-(5 2 + ¿ 8 )
-(5 2 + ¿ 8 )
(84 +¿08)
16.0/ —34.9° amperios = laa'
(3)
(4)
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
(1500 + j‘866)
(74 + j3 6 )
I* =
453
—¿1732
(52 + ¿ 8 )
-(5 2 + j 8 )
(74 + ¿36)
= 20.7/ —109.2o amperios = I c c
(84 + j6 8 )
(52 + j S )
I» ' = - I i + I 2 = - 1 6 /-34.9° + 20.7/-109.2o = 22.5/-152.5o amperios
Las caídas de vahaje en la carga pueden ahora precisarse como
Va'n' = I aa'Za'n' « 16/-34.9°
Vw
26.2/43.45° m 419/8.55° voltios
= lbb'Zh'n' = 22.5/-152.5°
V*y! = W Z c v = 20.7/-109.2°
49.04/-2.34° = 1105/-154.84° voltios
57.8/59.9° = 1197/-49.3° voltios
Los voltajes de línea a línea en la carga se obtienen sumando
los voltajes que se van encontrando, al desarrollar un trazo, a través
del circuito de la carga, de una línea a otra, como sigue:
V„-6' =
Va'n' + Vn'v = V„<„< - W
- 419/8.55° - 1105/ —154.84°
= 1512/20.6° voltios
VVc, = V6,n, + \ H,C, = 1835/166.2° voltios
Vc'a' = Vc-„- + V„<„« = 1039/-69.3° voltios
Los voltajes de línea anteriores pudieron haber sido calculados me­
diante el voltaje generado y las caídas de la línea. Así, la aplicación
de la ley de Kirchhoff relava al voltaje da
+ £ na — I aaf
( Z na
+
Zaa
' ) + V a '6 ' + I&'fe ( Z b b ' +
Z nb
)
O
Va'6' = (J&bn -j- Eno)
laa' (Zna + Zaa')
Ife'6(^66' “1“ Z nb)
= 1500 + ¿?66 - 16.0/-34.9° (3 +¿10) + 22.5/-152.5° (3 +¿10)
= 1413.2 +¿531.6 = 1512/20i ?0 voltios
(Comprobación)
V
Este cálculo indica que las caídas \del generador y de la línea pueden
restarse de los voltajes generados,Apara obtener los voltajes de la
carga, pero el cálculo debe hacerse teniendo debidamente en cuenta
la fase correspondiente de cada cantidad. La potencia en cada rama
se obtiene en la forma usual, en función del voltaje y de la corriente
de cada rama en particular.
Pueden desarrollarse los diagram as fasoriales de todos los
voltajes y corrientes, trazando las cantidades com plejas calcu­
ladas para este ejemplo.
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454
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
I,
ao
da+Ib)
----------------------- yAAAAA-nn^T1
----------------------Fig. 6.
Otro método para resolver este problema consiste en mar­
car el circuito en la forma mostrada en la Fig. 6 y establecer
las ecuaciones siguientes:
(5)
(«)
o
(fi«)
Las corrientes pueden ser despejadas en las Ecs. (5) y (6a).
S§í§ método @g equivalente
al método d i
corriente d§ espira,
demostrado anteriormente. Por supuesto, si la corriente Iaa'
de la Fig. 6 estuviera marcada con It la corriente IC’C con I2
y la Ift-6 con (I, — I2), resultarían ecuaciones idénticas a las
(1) y (2), si se utilizaran las mismas espiras.
Sentidos Positivos del Circuito. Existe en las mentes de
muchos estudiantes una cantidad de confusión innecesaria
con respecto de los correctos sentidos positivos de circuito de
las cantidades involucradas en el análisis de circuitos polifá­
sicos. En anteriores capítulos ha sido presentado el principio
básico relativo al sentido del circuito (véanse págs- 123,-124,
344 345 Y 392). Estos principios son,por supuesto, enteramente
aplicables tanto a los circuitos polifásicos como a los mono­
fásicos.
En general, todas las fems generadas en los sistemas po­
lifásicos tienen polaridades relativas y posiciones angulares
CIRCUITOS PO LIFASICOS NO BALANCEADOS
455
conocidas, unas con respecto de otras. Estos datos deben ser
conocidos directa o indirectamente, si ha de llevarse a efec­
to la investigación. Por ejemplo, si un alternador trifásico está
conectado en "Y", puede suponerse que cada fase está co­
nectada substractivamente a un nudo común, como se mues­
tra en la Fig. 7. Sólo por medio de polaridades substractivas
Ia'a
Dirección del t r a z o N
para la ecuación (20) j
l c fc
<
---------------- -----------------------------Fig. 7.
Una red trifásica trifilar. (Véanse las Págs. 455 y 457).
puede dar voltajes de línea a línea balanceados una máqui­
na trifásica conectada en "Y". A menos que se indique otra
cosa, puede suponerse que cada fem generada de fase de
una máquina trifásica está 120° aparte en fase de tiempo.
Los hechos anteriores bastan para determinar los sentidos
positivos de circuito en la red mostrada en la Fig. 7.
A cualquier fem generada puede asignársele, convencio­
nalmente un sentido positivo de circuito. Por ejemplo, si se
considera la fem generada de fase a de la Fig. 7, E„-a- o Ea-npuede ser tomada como positiva. Habiendo sido elegida una
de éstas como positiva, los sentidos positivos del circuito de las
otras fems sistemáticamente marcadas, quedan fijados, a cau­
sa de las polaridades relativamente fijas que las fems ge­
neradas comportan una con respecto de otra. Si E„-a■ se toma
como positivo, entonces E„-6- y En-C- se toman también como
sentidos positivos del circuito, porque sólo cuando todos los
voltajes de fase se consideran como alejándose del neutral,
o cuando se consideran todos como orientados hacia el neu­
tral, existe el usual ángulo de fase de 120° entre voltajes de
fase adyacentes de un sistema trifásico. Así, al analizar la
red mostrada en la Fig. 7, puede usarse cualquiera de los
dos sistemas siguientes de voltajes generados
(1 )
E nrcr
456
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
O
Ecfnf
j
(2)
Con las ecuaciones del voltaje generado establecidas, la
solución se efectúa aplicando los mismos métodos usados
para resolver cualquier red, dos de los cuales fueron ilus­
trados en el Ej. 3.
El Sistema en "Y-Y", con Conexión a Neutral. Algunas ve­
ces se emplean en la transmisión y distribución de energía
eléctrica, sistemas trifásicos de cuatro hilos, semejantes al
mostrado en la Fig. 8. La conexión del punto n' del generador
conectado en "Y " (o banco de transformadores) al punto n de
la carga conectada en "Y", distingue a la Fig. 8 de los siste­
mas trifásicos trifilares mostrados en las Figs. 7 y 8.
c
b'
Z
b
-- cP.■■VNAr“/TftRfO>
--
Fig. 8 • Un sistema trifásico cuatrifilar.
En general, el proceso de despejar a Ia-a,
Ic-c e Inn- de la
Fig. 8, es semejante al que se hubiera seguido para el sis­
tema en “Y-Y" sin conexión a neutral. Si se hubiese resuelto
directamente por determinantes el sistema en ” Y-Y" de la Fig.
8 , se hubieran encontrado matrices de tres líneas y tres co­
lumnas, y, en un caso perfectamente general, habría sido pre­
ciso desarrollar una enorme cantidad de trabajo, para obtener
una solución completa. Sin embargo, debido a la simetría inhe­
rente a las ecuaciones básicas de voltaje, pueden hacerse
varias simplificaciones. Si, por ejemplo, se aplica la ley de
Kirchhof referente a la fem a los circuitos n'a'ann', n'b'bnn' y
n'c'cnn', está claro que
•c*c
(Zg + Z¡ -f- Z cn)
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CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
457
(7)
(8)
donde, para simplificar la expresión,
Zg+ + Zan = Za
Zg+ Zi + Zbn = Zfc
Zp+ Zi + Zcn = zc
(9)
(10)
(11)
Los detalles restantes se dejan al análisis del estudiante.
(Véase el Problema 4 que sigue y el Problema 16 al fin del
capítulo).
Problema 4. Despeje explícitamente a Inn> en la ecuación (8) y
exprese con palabras (no con símbolos), después de haber determina­
do el valor de Iwn,, cómo se determina el valor de Ia,a, lb,b e Ic,c.
Respuesta lnn.
E n/g/ZjZc + E n/b'ZcZ g + E nrcrZgZb
Z aZ b Z c
-f- Z
n (Z b Z c
-f- ZcZa -f- Z
aZ b )
NOTA: Si el numerador y el denominador del resultado anterior se
dividen entre ZaZbZc, se multiplican ambos miembros de la ecuación
por Zn, y se formulan en función de las admitancias todas las impedancias del segundo miembro/ se tiene como resultado una fórmula
sencilla del voltaje entre puntos neutrales. Si se despeja inicialmente
este voltaje y se lleva el valor obtenido a las tres ecuaciones sin
número de la Pág. 456, se obtendrán directamente las corrientes de
las corrientes de línea.
El Sistema en " Y " Delta. En la Fig. 9 se muestra un g e ­
nerador trifásico en “ Y ", conectado a una carga en delta.
La determinación de las corrientes en todas las ramas puede
efectuarse mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff,
lo que requeriría el establecimiento de tres ecuaciones de
fem y de tres ecuaciones de corriente. Otro método consistiría
c
Ibc
---------------------- ------------------------------Fig. 9 . Una configuración de circuito en Y-delta.
458
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
en convertir la delta en un sistema de carga conectada en
"Y " y resolver a continuación, utilizando dos ecuaciones.
Sin embargo, se encontraría la línea de menor esfuerzo si
se aplica directamente al circuito original el método de
corriente de malla, o el equivalente de la ley de Kirchhoff,
utilizando tres corrientes desconocidas.
Efectos de la Secuencia de Fase. El sentido de rotación
de los motores de inducción polifásicos depende de la secuen­
cia de fase de los voltajes aplicados. También los dos vatí­
metros, en el método de medición de la potencia trifásica
mediante dos vatímetros, intercambian sus lecturas cuando
son sometidos a una inversión de la secuencia de fase, aun
cuando el sistema esté balanceado. Pero las magnitudes de
las diversas corrientes y voltajes componentes de un sistema
balanceado, no se afectan por una inversión de la secuencia
de fase.
En un sistema polifásico no balanceado, una inversión de
la secuencia de fase del voltaje hará que cambie la magni­
tud, así como la posición de fase de tiempo de ciertas co­
rrientes de las ramas, aunque permanezcan iguales los va­
tios y los vares generados (véase el ejemplo siguiente).
A menos que se indique otra cosa, la expresión "secuen­
cia de fase" se refiere a secuencia de fase del voltaje. Debe
tenerse en cuenta que, en sistemas no balanceados, las co­
rrientes de línea y las corrientes de fase tienen su propia se­
cuencia de fase, que puede ser o no, igual a la secuencia del
voltaje.
Ejemplo 4. Los efectos que la inversión de la secuencia del voltaje
tiene sobre las magnitudes de las corrientes de la carga conectada en
“ Y " de la Fig. 2, se ilustran mediante los resultados del ejemplo 2 y
del Problema 3.
Para la secuencia del voltaje ab-ca-bc del ejemplo 2, Pág. 448
I0,a = 3.66.
=
14.56 e Ic,c =
11.98 amperios
Para la secuencia del voltaje ab-bc-ca del Problema 3, Pág. 451
I0,0 =
13.65, Ij,6 =
6.20 e Ic,c =
7.54 amperios
Métodos para Comprobar la Secuencia de Fase del Vol­
taje. Algunas veces resulta en la práctica conveniente y has­
ta necesario conocer la secuencia de fase de un determinado
sistema polifásico. Hay dos métodos generales para compro­
bar la secuencia de fase del voltaje: uno está basado en el
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
459
sentido de rotación de los motores de inducción; el otro, en
los fenómenos de los circuitos polifásicos no balanceados.
Primer Método. Para comprobar la secuencia de fase de
un sistema dado, pueden utilizarse pequeños motores polifá­
sicos de inducción, que hayan sido previamente confrontados
con una secuencia de fase conocida. En los sistemas bifásicos
y trifásicos, únicamente son posibles dos secuencias de fase
diferentes y, en consecuencia, el sentido en, que gira el mo­
tor puede ser usado como un indicador de la secuencia de
fase. El principio de operación se relaciona con la teoría del
campo magnético rotatorio que pertenece al dominio de la
maquinaria de c-a.
Segundo Método. En general, cualquier grupo de impedancias de carga no balanceadas puede usarse como indi­
cador de la secuencia de fase. Los diferentes efectos produ­
cidos por cambios en la secuencia de fase pueden ser deter­
minados teóricamente y, cuando al hacer la instalación se
note un efecto propio de una secuencia, ese efecto puede
usarse para fijar la secuencia de fase del sistema.
Uno de los procedimientos
más comunes para determinar
la secuencia de fase en los sis­
temas trifásicos, es la configu­
ración de circuito no balancea­
da mostrada en la Fig. 10. Los
tres hilos de la línea, cuya se­
cuencia de fase se va a deterparas para investigar la secuen- minar, están arbitrariamente
cia de fase en los sistemas tri,
* 1 1 /
1
fásicos. La lámpara 'a ' es más marcados. A la linea marcada
brillante para la secuencia ab-bca, se conecta el extremo libre
ca; la lámpara 'a' es más brillante
j
,,
T
,
,,
para la secuencia ab-ca-bc.
de una lampara. La otra lám­
para se conecta a la línea c y
la bobina inductiva se conecta a la línea b, como se muestra
en la Fig. 10. Si la lámpara 'a' es más brillante que la lám­
para 'c', la secuencia de fase de los voltajes de línea a línea
es ab-bc-ca. Si la lámpara ’c' es más brillante que la lám­
para 'a', la secuencia de fase es ab-ca-bc.
Los anteriores enunciados se basan en los resultados de
análisis teóricos, cuyos pormenores se desarrollan a conti­
nuación. Suponiendo que las lámparas sean iguales, su bri­
llantez dependerá de los voltajes/?,,„/„„y Z CI,/C„. Estos voltajes
www.elsolucionario.org
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
460
pueden ser determinados por el método de la ecuación de
Kirchhoff, como se muestra en seguida.
lan + I bn + Icn = 0
(12)
Zanlan
%bnXbn = Va&
(13)
ZbnXbn
Zcnlcn ~ V&c
(14)
Eliminando a Icw de la ecuación (14), resulta
+ (Zím + %cn)Ibn - y bc
(15)
Puede ahora despejarse a Ian en las ecuaciones (13) y (15)
y el resultado multiplicarse por Zan. El voltaje a través de la
lámpara a es
j
_ 7
■
"
f ^abi^bn + Z cn) + V 6cZ 6w"|
an l Zan(Zbn + Z(¡n) + ZcnZ bnJ
(16)
El voltaje a través de la lám para c es
Zcnlcn = V ca + Z onI on
(17)
Ejemplo 5. A fin de ilustrar el efecto que la inversión de la se­
cuencia de fase tiene sobre las magnitudes de ZanIan y de ZcnIcn se
considerará un caso numérico. Se supondrá que son resistencias pu­
ras, de 100 ohmios de magnitud cada una, las lámparas Zan y Zcn de
la Fig. 10. Se supondrá que Z6n es igual a 100 /90° ohmios, esto es,
una inductancia pura, por hipótesis. La magnitud de los voltajes
de linea a linea se tomará como de 100 voltios cada una y se le asig­
narán primero las siguientes posiciones vectoriales:
Va6 = 100 /0° voltios
V*c = 100 /-120o voltios
Vea = 100 7-240° voltios
En estas condiciones
Zonlan = 100 /0_
r(100 /0°) (141.4 /45°) + (100 / —120°) (100 /90o) ")
22,380 /63.45°
J
= 86.4 /-48.45o voltios
(18)
Zcnlcn = (100 7-240°) + (86.3 7-48.45°)
= 23.2 /71.55° voltios
(19)
La lámpara a es, por tanto, más brillante que la c para la secuen­
cia de fase ab-bc-ca.
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
461
Asígnense ahora a los voltajes de línea a línea posiciones que re­
presenten una inversión de las secuencias de fase, a saber,
Vat = 100/0° voltios
Vftc = 100 / —240° voltios
Vca = 100 /—120o voltios
Para la secuencia de fase ab-ca-bc
I” (100 /0o) (141.1 /45o) + (100 / -2 4 0 o) (100 /90°)1
Z o n lan = 1 0 0 / 0 °
—
L
-------- =
--------------- =
-------- . ‘
.......... — ------------ =
22,380 /63.45o
= 23.2 /ll.55° voltios
J
^20)
Zcnlcn = 100 / -1 2 0 o + 23.2 /11.55o
o
/-------------= 86.4 /-108.45o voltio?
(21)
La lámpara c es, por tanto, más brillante que la a para la secuen­
cia de fase ab-ca-bc. Los resultados numéricos anteriores serían un
tanto diferentes si se hubiera tomado en cuenta la resistencia de la
bobina inductiva. Sin embargo, si la razón (XL/R) de la bobina es re­
lativamente alta, la diferencia entre los voltajes de las lámparas es
claramente discernible.
Secuencia del voltaje
a b — be—ca
Fig. 11. Un método de voltímetro, para determinar la secuencia de
fase en sistemas trifásicos. Véanse el ejemplo 6 y los Problemas 5 y 6.
Ejemplo 6. Otra forma conveniente de determinar la secuencia del
voltaje se muestra en la Fig. 16a. Consiste en un condensador (X0),
un resistor (R) y un voltímetro (Vw). El voltímetro (cuyo consumo de
corriente es despreciable, comparada con la que pasa a través de Xc
y R), se conecta entre la línea marcada b y el nudo entre
y R.
Xc y R se conectan en serie a través del voltaje Vac (o Vca), con el con­
densador conectado a la línea a y el resistor a la línea c. Si Xc = 100
ohmios, R = 100 ohmios y Va6 = V6c = Vca = 141.4 voltios:
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R NA
462
°c
_ 141.4 / 60 ^
141.4 / —45o
V6c = Vm + I acR
.
í para la secuencia ab-bc-ca,
------ amperios| como se muesfra en la Fig. 11b
or Vm = V&c — l acR
Vm = (141.4 / —120°) - (1 / —15°) (100 /0°)
= -167.3 — ¿96.6 = 193 /-15 0° voltios
El resultado anterior demuestra que el voltímetro (Vm ) lee arriba del
voltaje de línea (en la razón de 193 a 141, en este caso), para la se­
cuencia de voltaje ab-bc-ca. El mismo resultado general se obtiene
con cualquier combinación de X c y R, con tal que X c sea aproxima­
damente igual en valor óhmico a R, o mayor que R en valor óhmico.
Problema 5 . Demuestre, por medio de un diagrama vectorial cua­
litativo, que el voltímetro (Vm ) de la Fig. l i a lee abajo del voltaje de lí­
nea, para la secuencia de voltaje ab-ca-bc.
Problema 6. ¿Cuál es la magnitud de la lectura del voltímetro en
la Fig. l i a si X c = 100 ohmios, R = 100 ohmios y Va6 = V6c =
= Vca = 141.4 voltios, si la secuencia del voltaje es ab-ca-bc?
Respuesta: 51.8 voltios.
El Método de Tres Vatímetros, Para Medición de la Poten-
da Trifásica. La potencie total entregaste s una sarga triíásica conectada en "Y ", con conexión a neutral, puede medirse.
Fig. 12.
El método de tres vatímetros para medición de la potencia tri­
fásica cuatrifilar.
com o es obvio, con tres vatímetros conectados com o se mues­
tra en la Fig. 12. W a m ide la potencia de la fase an, W& mide
la potencia de la fase bn y W c m ide la potencia de la fase en.
L a suma de las tres lecturas es, en c o n s e c u e n c ia , igu al a la
p o t e n c i a total consumida por la carga. Está claro qu e si
cad a fase individual de la ca rga conectada en delta es de ca­
rácter disipativo, todos:los vatímetros mostrados en la Fig.
12 indicarán potencia positiva.
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CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
463
La potencia total absorbida por una carga conectada en del­
ta, no balanceada, puede ser medida con ayuda de tres vatíme-
Fig. 13. El método de tres vatíme­
tros, para medir potencias indivi­
duales de fase, en una carga co­
nectada en delta.
tros, como se muestra en la Fig. 13. Las potencias individuales
de fase son medidas por los vatímetros. Generalmente, no de­
be usarse este método de medir potencia, a menos que se
desee conocer las potencias individuales de fase.
El Método de dos Vatímetros, Para la Medición de la Po­
tencia Trifásica Trifilar. Excepto por lo que hace a pérdidas
y errores intrínsecos, los tres vatímetros conectados en la for­
ma que muestra la Fig. 14 medirán con precisión la potencia
consumida por la carga trifásica abe. Se dará una prueba
general de este aserto y se basarán en el mismo ciertas im­
portantes deducciones.
Fig. 14. Un método de tres vatímetros, para medir la potencia trifásica,
que esxindependiente del potencial y, por tanto, de la posición física
del punto 0.
464
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
La potencia media total entregada a la carga trifásica
mostrada en la Fig. 14, durante un intervalo de tiempo T, es
1 r T ,
2? J
[Vanìa1a “I” Vbnib'b
^cn^c'c) dt
22
( )
La potencia media total medida por los tres vatímetros
mostrados en la Fig. 14, es
Pvatlmetros
1 rT
=
I
T «o
(Vatí^a'a "t- VbO¿b'b "f" ^cO^c'c) d t
(2 3 )
Bajo cualesquiera condiciones está claro que
^aO — Van
^0n
^60 = Vbn
Vqn
(2 4 )
(2 5 )
VcO ' ^en v0n
La ecuación (23) puede, en consecuencia, escribirse
rT
(v anÍ a'a
1 Jo
r
i rT
/
V()n (ia'a
1 «^o
(26)
1
“Vatímetros =
~
— I
+
VbJb'b +
+
Wb +
VcnÍ crc) dt
(2 7 )
ie’e ) dt
Puesto que (ia-a + i6-6 + ic-c) — 0, se sigue que
Pvatlm etro. =
I
(v ani a,a +
VbnÍ b' b +
Vcntc, e) dt
(2 8 )
Se demuestra así que los tres vatímetros de la Fig. 14 mi­
den la potencia de la carga, independientemente del equili­
brio de la corriente o el voltaje, de la forma de onda y del
potencial del punto o. Este último hecho es altamente signifi­
cativo. Indica que las bobinas de potencial del vatímetro no
necesitan tener resistencias iguales cuando se emplean como
se muestra en la Fig. 14. También indica que el punto o pue­
de ser colocado en cualquiera de las tres líneas, reduciendo
con ello a cero la lectura de uno de los vatímetros. Aunque la
prueba estuvo basada en una carga conectada en "Y", la prue­
ba total es igualmente válida para cargas conectadas en del­
ta. Una forma sencilla de extender la prueba, para que com­
prenda las cargas en delta, es tener en cuenta el hecho de
que cualquier carga en delta puede ser reducida a una car­
465
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
ga equivalente en "Y " (véase él Cap. V, Págs. 255 a 258).
La importancia práctica de colocar el punto o en cual­
quiera de las tres líneas estriba en que así solamente se ne­
cesitan dos vatímetros para medir la potencia trifásica total.
Este expediente se utiliza ampliamente para medir potencia
trifásica trifilar, porque no implica ninguna limitación en cuan­
to a equilibrio o forma de onda.
Los dos vatímetros utilizados para medir potencia trifásica
pueden ser colocados en el circuito como se muestra en la
Fig. 15a, b o c. Las tres combinaciones se obtienen colocando
el punto o de la Fig. 14 en las líneas a, b y c, respectivamente.
Para las polaridades relativas de las bobinas de los vatí­
metros mostrados en las Figs. 14 y 15, los instrumentos leerán
escala arriba, si se mide potencia positiva. Bajo la condición
de una forma de onda sinusoidal de corriente y de voltaje,
hay indicación de potencia positiva si la corriente que pasa
por la bobina de corriente en el sentido ± está menos de 90°
o*
ài+
nv&a
b
c'
W c«^
c
Wbindica VbaJb'beos 0JIb'b
I
Wc indica Vcalc'ccoa 0 I
^
(a)
a'
a
+
b,
b
c'
WC^
±
a'
+
W rwH-
c
Waindica Vabla'aCOS ,Jlo'á
7“
Wc indica Vcblc’ceos I
"IV,*
Jlc'í
" (& )
b-
a
»
c-
«fcEE*
c
Waindica Vacia'aCOS >E
] v“
Wbindica Vulb’beos , Jlrt
(e)
Fig. 15.
Diferentes posiciones de circuito que pueden tomar los dos
vatímetros utilizados para medir la potencia trifásica.
fuera de fase con el voltaje impreso a través del circuito de
potencial en el sentido ± . Si uno de los aparatos medidores
lee escala abajo cuando se conecta como se muestra en la
Fig. 15, se cambia la polaridad relativa de las bobinas, a fin
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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
466
de obtener una lectura escala arriba y esta lectura se consi­
dera com o potencia negativa, al hacer la suma a lg eb ra ica de
las lecturas d e los vatímetros.
Ejemplo 7. En la Fig. 16, abe representa un sistema de voltajes tri­
fásico balanceado. La magnitud de cada voltaje es de 200 voltios, y
»»i
,
la secuencia de fase es ab-ca-bc. A traWab -afa
a
ves de abe se conecta una carga ba­
lanceada consistente en un motor de
inducción de 6 kw y 0.8 de factor de po­
tencia y a través de ab, una carga de
4 kw y de factor de potencia igual a la
unidad.
Se quiere determinar las lecturas inWCb—c'c
c
dividuales de los vatímetros, Wab_a,a y
ie
TT carga trifásica
. . •
.h
que
están conectados rpara meFzg. 16.
Una
no W
, cb-c'c
^
v i
,
dir la potencia de la carga total. Los
balanceada.
¿
,
subíndices designan el voltaje y la co­
rriente que actúan en un medidor dado para producir desviación po­
sitiva en sentido ascendente (escala arriba). Es obvio que el medi­
dor leerá en sentido descendente (escala abajo), indicando así poten­
cia negativa, si el voltaje y la corriente actuantes están separados en
fase de tiempo por más de 90°.
Sea Va6 el eje de referencia escogido. Entonces
Va¡> = 200 [0% Vbc = 200 / -2 4 0 o,
y
Vca = 200/-120° voltios
La corriente en cada fase del motor de inducción es
r
2000
** = 200 X 0.8 = 12 5 amperÍ° S
y estas corrientes de fase se retrasan con respecto de las corrientes
de fase aplicadas, un ángulo igual a eos—1 0.8 o 36.9°. La corriente
de la carga de factor de potencia unidad está, por supuesto, en fase
con V„». Por tanto
I ab
=
200
/Oo
- —
12.5 /-36.9°
L ---------------------
= (20 + jO) + (10 - ¿7.5)
= (30 — j’7.5) amperios
I be = 12.5 /-240° - 36.9° = 12.5 /83.1o
= (1.5 + jl2 .4 ) amperios
^ca = 12.5 / —120° - 36.9° = 12.5/-156.9°
= ( —11.5 — ¿4.90) amperios
Las corrientes de linea son
Ia'a = (30 - ¿7.5) - (-11.5 -¿4.90)
= 41.5 — 7*2.60 = 41.6 / —3.58° amperios
467
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
h'b r d-5 + ¿12.4) - (30 - ¿ 7.5)
= —28.5 + ¿19.9 = 34.7 /145° amperios
Ic'c = (-11.5 -¿4.90) - (1.5 +¿12.4)
= —13.0 —¿17.3 = 21.7 / —127° amperios
En la Fig. 17 se muestra un diagrama vectorial de los voltajes y
corrientes. Puesto que son conocidas las magnitudes y posiciones re­
lativas de fase de tiempo de los voltajes de línea a linea, pueden ser
determinadas las lecturas de los vatímetros.
Is'a
Fig. 17. Diagrama vectorial de voltajes y corrientes en un circuito tri­
fásico determinado. (Véase la Fig. 16).
IVob
W a b - a 'a ~~
oib^oJa COS 0
_ I ara
= 200 X 41.6 eos 3.58° = 8300 vatios
“IVcb
W c b - c 'c =
V c b l c 'c COS 0
.Ic'c
= 200 x 21.7 eos 67° = 1700 vatios
Las otras combinaciones de los vatímetros que medirán correcta­
mente la potencia trifásica son
junto con W lc. b,h,
(1)
(2)
junto con Wco_c,c
En el presente ejemplo
ac—a'a — Vaciaba COS I
IV ac
J la 'a
= 200 x 41.6 x eos 63.58° = 3705 vatios
~\Vbc
1
Vftc
Wbc-b'b = Vbch'b COS
9Jlt'6
= 200 X 34.7 X eos 25° = 6295 vatios
Problema 7. Calcule las lecturas de W6a_6,6 y de Wca-c,c, en el
ejemplo anterior y compare las sumas de las lecturas así determinadas
de los vatímetros con la carga total conectada.
Respuesta: W
= 5 685, WM.C,C = 4 315 vatios.
468
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
El uso de n-1 Vatímetros. Para Medir Potencia de n Hilos.
En general, pueden utilizarse n-1 elementos vatimétricos, para
medir potencia de n-1 hilos. Los elementos vatimétricos pue­
den tomar la forma de vatímetros individuales y en ese caso
la potencia total es igual a la suma algebraica de las lec­
turas de los vatímetros; o todas las piezas movibles pueden
conectarse a una flecha común y en ese caso la potencia to­
tal es indicada directamente en una escala. Este último tipo
de instrumento se llama vatímetro polifásico.
Voltamperios Reactivos en Sistemas Trifásicos no Balan­
ceados de Cuatro Hilos. Los voltamperios reactivos de cada
fase individual de la carga mostrada en la Fig. 18 pueden me-
Medidor
de
V a r f Oftt)'—
hnnr-i
-'wN—
Fig. 18. Medición de voltamperios reactivos totales, en un sistema tri­
fásico de cuatro alambres, con tres medidores de voltamperios reactivos.
dirse con tres medidores de voltamperios reactivos.
Se suponen formas de onda sinusoidal de voltajes y corrientes,
pues el término "voltamperios reactivos", así como cualesquie­
ra mediciones de esa cantidad son ambiguos, cuando se trata
de formas de ondas distintas de la sinusoidal.
En la Fig. 18:
”IVan
El medidor a da la lectura VanIon sen 8 ” vares
y.
El medidor b da la lectura V¡,„Ijn sen 8
vares
El medidor c da la lectura VcnIcn sen 8
vares
La suma algebraica de las lecturas anteriores es de im­
portancia práctica. Supóngase que el ángulo de fase es po­
sitivo si la corriente se retrasa con respecto del voltaje y nega­
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469
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
tivo si la corriente se adelanta al voltaje. Estas convenciones
son meramente cuestión de definición (véase la Pág. 124). Un
medidor adecuadamente conectado para dar lecturas escala
arriba para voltamperips reactivos de corriente retrasada leerá
escala abajo cuando reciba voltamperios reactivos de corrien­
te adelantada. Si entonces, en un caso particular, un medidor
lee escala abajo, las polaridades relativas de los circuitos de
corrientes y de potencial están cambiadas. La lectura escala
arriba resultante es considera como de voltamperios reactivos
negativos, al determinar los voltamperios reactivos totales del
sistema. Definidos así los voltamperios recativos negativos, los
vares totales de un sistema pueden, por supuesto, ser n ega­
tivos.
Ejemplo 8. Sean, en la Fig. 18
Van = 100 /0_° Voltios
Zan = 25 /45° ohmios
V6n = 100 /-120° voltios
Zbn — 50 /0° ohmios
Ven = 100 7 - 240° voltios
Zcn = 20 / —60o ohmios
Se trata de detei minar las lecturas individuales de los tres medi­
dores de voltamperios reactivos y la suma algebraica de las lecturas.
100 /0°
Ian = — 7—r = 4.0 / —45° amperios
¿o
/ 4 o
-------------
100 / —120°
I bn = —
50
,nn—
/0°
=
2.0 /
— 120°
amperios
100 /-240°
Ir« =
20 / -6 0 o
En la Fig. 19 se muestran las
posiciones vectoriales relativas
de los voltajes y corrientes de
fase que accionan los medido­
res. El medidor a de voltam­
perios reactivos da una lec­
tura de
(100 X 4 X 0.707) = 283 vares
El medidor b de voltampe­
rios reactivos da una lectu­
ra de
(100 X 2 X 0*0) = Ovares
El medidor c de voltampe­
rios reactivos da una lectu­
ra de
(100 X 5 X -0.866) =
= —433 vares
= 5.0 /180° amperios
Fig. 19. Diagrama vectorial de los vol­
tajes y corrientes de fase de la carga
trifásica cuatrifilar mostrada en la Fig.
18, para un determinado grupo de impedancias de carga.
470
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
La suma algebraica de las lecturas de los medidores, o el número
"total" de vares es de — 150.
Si se usan vatímetros en lugar de los medidores de voltamperios
reactivos de la Fig. 18 sus lecturas serian las siguientes
» a = 100 X 4 X 0.707 = 283 vatios
Wb = 100 X 2 X 1.000 = 200 vatios
W c = 100 X 5 X 0.500 = 250 vatios
El número total de vatios es de 733.
Factor de Potencia en Sistemas Trifásicos no Balanceados.
El factor de potencia tiene una definida significación física
en un sistema monofásico o en un sistema polifásico balan­
ceado. Es la relación de los vatios de fase a los voltamperios
de fase. En condiciones de forma de onda sinusoidal, el factor
de potencia es equivalente al coseno del desplazamiento an­
gular de fase de tiempo entre el voltaje de fase y la corriente
de fase.
En un sistema polifásico no balanceado, cada fase tiene
su propio factor de potencia. El resultado es que la expresión
"factor de potencia", en cuanto se aplica al sistema polifásico
no balanceado, combinado, puede tener solamente el signi­
ficado que se le dio por definición. El promedio de los facto­
res de potencia de fase individuales es una buena indicación
general de la relación de los vatios totales a los voltamperios
totales, en ciertos casos en que las cargas de fase son todas
inductivas o todas capacitivas. Donde hay a la vez cargas
de fase inductivas y capacitivas, el efecto compensador de los
voltamperios reactivos capacitivos y de los voltamperios reac­
tivos inductivos no es tomado en cuenta. Otra seria limita­
ción del concepto de factor de potencia "medio" consiste en
que, en muchas instalaciones prácticas, no se determinan fá­
cilmente los factores individuales de potencia de fase. Cuan­
do se da el factor de potencia de un sistema polifásico no ba­
lanceado, generalmente no se trata del factor de potencia
"medio".
Una definición aceptada, llamada factor vectorial de po­
tencia de un sistema polifásico balanceado, es
_
. ,
T 1 V I eos 0
-= =
(29)
F. p. vectorial = —
— ;...........
V ( H F I sen 0)2 + & V I eos 0)
£ F I eos 0 = VaI a eos 6a + VbI b eos 0& + VC
I Ceos 0C + • • • (30)
22 V/ sen 0 = Val asenda + VbI bsen 06 + VC
I Cs en 0c - f ■• •
(31)
471
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
Los subíndices empleados en las ecuaciones anteriores se
refieren a los valores de fase individuales. Por ejemplo 0a es el
desplazamiento angular entre el voltaje de fase y la corrien­
te de fase en la fase a del sistema. 2VI eos 0 es la potencia
total consumida por la carga polifásica cuyo factor de po­
tencia se investiga. 2VI sen 6 es la suma algebraica de los
voltamperios reactivos de fase individuales. Al dar un va­
lor, en cualquier caso particular, a 2VI sen 0 debe tenerse
debidamente en cuenta el signo de cada componente.
Es evidente que al denominador de la ecuación (29) pue­
de dársele el valor correspondiente a la magnitud de un
vector resultante, cuyas componentes están en ángulo recto
y son (2VI eos 0) y (2VI sen 0). Este hecho se muestra grá­
ficamente en la Fig. 20, para el sistema trifásico que se discu-
-4 3 3
vares
Fig. 20. Representa el concepto de factor de potencia vectorial, para
un caso particular.
tió en las págs. 468-470. Considerando a los vatios y los vares
como los componentes en ángulo recto que forman los "volt­
amperios vectoriales", está claro que
£VI
= V ( 2 ¡F /
seno)2 + (T .V I eos 6)2 ¡ j )
(3 2 )
O
£ V I - V J a / ja + VJb/jt, + VCI C¿0c
(33)
El factor de potencia, tal como lo define la ecuación (29),
puede ahora formularse en varias formas diferentes.
F. p. vectorial = eos tan 1
(34)
o
F. p. vectorial =
eos 6
magnitud d e £ V I
(3 5 )
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472
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Ejemplo 9 . Se trata de comparar el factor de potencia "medio" de
la carga balanceada descrita en las Págs. 468*470 conv el factor de potencia definido por las ecuaciones (29), (34) o (35) La configuración del
circuito se muestra en la Fig. 18 y se indican a continuación los valo­
res previamente determinados.
Van = 100 /0° voltios
I an = 4.0 / —45° amperios
V&n = 100 / —120° voltios
I bn = 2.0 /-120° amperios
V cn = 100 / —240° voltios
Icn = 5.0 /l80° amperios
vares de la fase a =
283
vatios de la fase a =
283
vares de la fase b =
000
vatios de la fase b =
200
vares de la fase c =
2VI sen 9 =
vatios de la fase c = 250
2VI sen 0 =
733 vatios
—433
— 150 vares
Los factores de potencia de fase individuales son
P.f.o = 0.707 (resultado de corriente retrasada)
P.f.b = 1.000 (resultado de corriente en fase)
P.f.c = 0.500 (resultado de corriente adelantada)
El medio aritmético de los anteriores factores de potencia de fase es
2.207
3
= 0.736
El factor de potencia de la carga no balanceada, tal como lo define
la ecuación (29) es
F.p. vectorial =
733
733
V (-1 5 0 )2 + (733)2
748
Por cuanto la última determinación del factor de potencia toma en
cuenta el efecto compensador de los voltamperios reactivos "adelanta­
dos" y "retrasados", es algo más significativo que el factor de potencia
"medio".
Medición de 2VI sen 6 en un Circuito Trifásico Trifilar. Los
factores de potencia de los sistemas trifásicos trifilares se m i­
den a menudo en función de 2VI eos 9 y 2VI sen 9. 2VI eos
6 puede ser m edido con la ayu d a de dos o tres vatímetros,
como se mostró en párrafos anteriores. Puede también de­
mostrarse que 2VI sen 9 puede medirse también, en un sis­
tema trifásico trifilar, con dos o tres medidores de voltam pe­
rios reactivos. Sólo se estudiará el m étodo de medición de
2VI sen 9 con dos medidores.
473
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
Se supone que los dos aparatos de medición mostrados
en la Fig. 21 son medidores de voltamperios reactivos, capaces de leer a VI sen 0
Medidor a de Var
Fig. 21. Método de dos medidores
de voltamperios p ara medir 2 VI sen
en un sistema trifásico trifilar.
0,
Los medidores están conecta­
dos al circuito en una forma
que es exactamente igual a
la de los dos vatímetros en el
método de m ed ición de la
potencia trifásica con dos va­
tímetros. Se demostrará en seguida que, cuando se conectan
de este modo, la suma algebraica de las lecturas de los dos
medidores de voltamperios reactivos es igual a 2VI sen 0 del
circuito trifásico. En la ecuación (31) del presente capítulo ha
sido definido 2VI sen 0 de un sistema polifásico.
Conectados como se muestra en la Fig. 21
El medidor a de voltamperios reactivos lee \ y ,/ , sen g v - i
i j
El medidor c de voltamperios reactivos lee
Y cblc,'c sen 0 M
Li
Para fines de análisis, las lecturas anteriores se expresarán
temporalmente en función de los componentes complejos de
los voltajes y corrientes. En el Cap. IV se demostró que, en
condiciones de forma de onda sinusoidal
V I sen o
donde
V = v + jv r
Ic' c
(36)
y
I = /+ J f
La observación de la Fig. 21 mostrará que la-« —
y que
Ln■ También Va& Van V^n y VC6 Ven
V6n.
Fab/a'a sen 0
,Vab
V„6
— J ablan sen 6
la»
474
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
=
Vcblc'c sene
(P ab^an
Vabí a n )
(P an^an
V b n ìa n
(P a r ic a n
Vani an) -|-
IVcb
V ani an
“f”
(p b n í an
Vbní a n )
Vbn^an)
(37)
= V
cbIcn sen e |
Vcblcn
Se notará que (v6ni'an — venían) de la ecuación (37) y
(v6»i'c» — v'a„icn) de la ecuación (38) pueden ser sumados de
modo que den
Por tanto, la suma de las ecuaciones (37) y (38)se reduce a
que a su vez fácilmente se reconoce como los voltamperios
reactivos totales de la carga trifásica, o 2VI sen 6.
En la deducción anterior no se han impuesto restriccio­
nes en cuanto a balance de voltaje o corriente. En conse­
cuencia, dos medidores de voltamperios reactivos conecta­
dos a un circuito trifásico trifilar, como se muestra en la Fig.
21, miden a 2VI sen 0, sin importar la condición de balance.
Aunque es un tanto difícil incorporar el caso general a la
deducción, la suma algebraica de las lecturas será igual a
2VI sen 0, siempre que los voltamperios reactivos queden
restringidos a los casos en que sean sinusoidales las formas
de las ondas de voltaje y corriente, con tal que los medido­
res de voltamperios reactivos estén conectados a la línea tri­
fásica trifilar de manera semejante a los vatímetros mostra­
dos en la Fig. 15a, b o c.
14.14/45°-n
141.4 voltios I
Fig. 22. Una carga trifásica balanceada.
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CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
475
Ejemplo 10. En la Fig. 22, abe representa un sistema trifásico no
balanceado de voltajes, cuya secuencia de fase es ab-bc-ca. En mag­
nitud
Vab = 200, Vbc = 141.4
y
V ca = 141.4 voltios
Si se supone que V af, ocupa la posición de eje de referencia, enton-
Vab = 200 /0^, Vbc = 141.4/-13 5°, Vco = 141.4 /-225° voltios.
Se supondrá que las impedancias de la carga tienen los valores mos­
trados en el diagrama de circuito, a saber
Zdb = 10 / —60° ohmios
Zbc — 14.14 /45° ohmios
Z ca = 14.14 /45° ohmios
Suponiendo que los valores de línea a línea quedan fijos en los va­
lores dados anteriormente, las corrientes de fase de la delta son
< 200 / 0 °
lab = ---- 7—=—— = 20 /60° amperios
10 / —60
L----
141.4/-135°
**
=
14.14/45°'" = 10 ^
1 4 1 . 4 = l
amPeri° S
/9n. amper.os
14.14/45^
De donde
la'a = lab - ha = 10 +¿7.32 = 12.4 /36.2° amperios
I b'b = Ibc — lab = —20 — ¿17.32 = 26.45 / —139.1o amperios
Ic'c = lea - Ibc = 10 +¿10 = 14.14 /45° amperios
Los voltajes y corrientes se representan gráficamente en la Fig. 23.
Se supone que los medidores mostrados en la Fig. 22 son medidores de
voltamperios reactivos y el presente ejemplo se ocupa en la prede­
terminación de sus lecturas.
El medidor a de voltamperios reactivos lee
V acIa'aSenO
IVnr
I«'«
= 141.4 X 12.4 Xsen81.2° = 1732 vares
El medidor b de voltamperios reactivos lee
Vbch'bsend
= 141.4 X 26.45 sen
l¿>'t>
4.1 =
268 vares
476
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R N A
Fig. 23. Voltajes y corrientes vectoriales del circuito trifásico mostrado
en la Fig. 22
La suma algebraica de las lecturas de los medidores es
— 1782 + 2<>8 = —1404 vares.
El valor numérico de 2 VI sen Q determinado por las corrientes y vol­
tajes de fase individuales, es
— (200 X 20 X 0.866) + (141.4 X 10 X 0.707) +
4- (141.4 X 10 X 0.707) = — 1 464 vares
2 VI sen 0 =
Problema 8. Si los medidores de voltamperios reactivos mostra­
dos en la Fig. 22 se colocan de manera que las bobinas de corriente
llevan
e Ic,c ¿cuáles serán las lecturas de cada medidor en va­
res? Se supone que los circuitos de potencial de los medidores es­
tán conectados de modo que la suma algebraica de las lecturas sea
igual a 2VI sen Q.
Respuesta: El medidor a mide +
1464 vares; el medidor c lee cero.
Problema 9. ¿Cuál es el factor de potencia de la carga no ba­
lanceada mostrada en la Fig. 22 determinado mediante 2VI sen 0 Y
2VI eos 0?
Respuesta: 0.939.
Ecuaciones Fasoriales, Establecidas en Función de M a g ­
nitudes de Corriente y de Voltaje Experimentalmente Deter­
minadas. Los d iagra m as•fasoriales de los voltajes de cargas
polifásicas pueden construirse utilizando mediciones de los
voltajes, de m anera que formen un p olígon o cerrado los vo l­
tajes de línea que, de conform idad con la ley de Kirchhoff,
dan una suma igu al a cero, cuando, desde una línea, se
sigue un trazo en sentido constante, a cad a lín ea adyacente,
en secuencia, hasta alcanzar el punto de partida. Pueden en­
tonces, en una conexión en estrella, inscribirse en el polígono
los voltajes de línea a neutral, de m odo que se combinen de
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
477
acuerdo con las leyes de Kirchhoff, p ara formar los voltajes
de línea. El principio de dualidad indica qu e puede seguirse
un procedim iento similar para establecer diagram as fasoriales de las corrientes de lín ea y de fase en una conexión
en malla. Pueden entonces establecerse las ecuaciones de
fase resolviendo analítica o gráficam ente los diagram as, y
pueden adaptarse las soluciones a cualquier secuencia deseadaXVéanse los Probs. 31 y 3 2 )
a
t
a
Ejemplo 11. Supóngase que se desea determinar las corrientes de ra­
ma LÍ1-.
717 I»,«
071 e i. 71 de la Fiq 24, mediante el método de corriente de
circuito, si
E
= 57.7/ —30°, E/t/// = 57.7/ -150°,
y
E,lV' = 57.7/90° voltios
Como sólo se necesita que dos corrientes de
toda la rama, (96) se reduce a
circuito atraviesen
Z n li — Z 12I 2 = Ei = Eb'n' “1“ En/a' = 100 /0° voltios
- Z 21I 1 + Z22I 2 =
= E c'n' + E„/6' = 100 /-120° voltios
donde los signos menos se refieren a los sentidos opuestos de Ix e I2 a
través de Zn>^bn Si se desprecian las impedancias del generador de
la Fig. 24,
Z 11 = 1 0 0 /0^ 4- 100 /90° = 141.4 /45° ohmios
z22 =
100 /90° + 100/0° = 141.4 /45° ohmios
Sin tener en cuenta el signo, que ha sido eliminado en las anterio­
res ecuaciones de voltaje
Z 12 = Z21 = 100 /90° ohmios
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478
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Ij e I2 pueden despejarse directamente en las ecuaciones de voltaje,
como se muestra a continuación
100 /o°
-1 0 0 /90°
100 / —120°
141.4 /45°
19320 /15°
141.4 /45°
-1 0 0 /90°
22380 /63.45
-1 0 0 /90°
141.4 /45^
141.4 /45°
100 /0°
-1 0 0 / 9 0 °
100 / — 120°
I 2 “ J-nc —
I r.n ™
5185 / —45°
22380 /63.45°
"I*i/> ” 0.232 /71.55o,
22380 /63.45
= 0.864 / -4 8 .4 5 o
amperios
= 0.232 /-108.45o
amperios
I bn = I 2 - Ii
e
Ejemplo 12. En lp Fig. 25 se muestran tres impedancias de la carga
z an' z 6n Y Zcn que están energizadas por Vab, V 6c, (y, por supuesto, por
V ca ). Se supone que la bobina an está magnéticamente acoplada a la
en y, como se muestra en la Fig. 25 se supone que el coeficiente de
n
Fig. 25.
K= V3/6
Véase el ejemplo 12.
acoplamiento entre las bobinas es de \/3/6. Si se analiza la red por
el método de corriente de circuito, empleando
e I2 en los sentidos
mostrados
V i
ùìAfac — 0)1*1ca
6
-
Vi
\/'wLan X w/>cn = — - V i X 3 = 0.5 ohmios
Se usa el signe positivo de M porque las bobinas se magnetizan
a lo largo de ur. eje común, en el mismo sentido, si se devanan en la
forma que se muestra y si están presentes valores positivos de
e I2
(Véase Pág. 342). Suponga V a6 = 100 / 0 ° voltios y V ftc = 100 / — 12Q°
voltios.
Para la red mostrada en la Fig. 25, las ecuaciones básicas de vol­
taje toman la forma
Z n h + Z 12I 2 = V a6 = 100 /0_° voltios
Z sili + Z 22I 2 = V6c = 100 / —120° voltios
Zu = (2 + j l ) , Z22 = (2 + j 3 ) ,
y
Z u = Z 21 = ( - 2 +¿0.5) ohmios
Nota: El signo menos en Z12 se refiere al hecho de que I2 fluye a
través de Z bn en oposición a I t y - f jO.S en Zl2 se refiere al hecho de
que la caída de voltaje (ja)MI2) actúa en el circuito 1 en el mismo sen­
tido que la caída de voltaje (jü>LIi)-
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
(100+¿0)
II -
479
( - 2 +¿0.5)
(-5 0 '-¿ 8 6 .6 )
(2 + ¿ l)
(2 + ¿ 3 )
(- 2 + ¿ 0 . 5 )
(2 + ¿ 3 )
(- 2 + ¿ 0 . 5 )
56.7 + ¿152
-2.75 +¿10
12.68 — ¿9.15
= 15.6 / —35.8° amperios
(2 + ¿ l)
(100 + ¿ 0 )
(- 2 + ¿ 0 . 5 )
50 - ¿86.6)
(-2.75 +¿10)
186.6 - ¿273
= -2.75 +¿10 = “ 301S ~ J'10-36
= 31.8 / —161° amperios
Las corrientes de las ramas fluyen directamente de Ij a I2, como se
muestra en el ejemplo 11.
Ejemplo 13. La red mostrada en la Fig. 26 representa dos genera­
dores que funcionan en paralelo. Se supone que existe una tierra
accidental, que sale de la terminal c, como se muestra y el problema
consiste en determinar la comente del corto circuito lngc* o la corriente
de circuito I3 de la Fig. 26Un estudio de la Fig. 26 mostrará que las autoimpedancias de los
circuitos 1, 2 y 3 son, respectivamente
Zn = (7.28 +¿18) = 19.4 /68° ohmios
Z22 = (7.28 +¿18) = 19.4 /68° ohmios
Z33
= (4.04 +¿7.0) = 8.08 /60° ohmios
A continuación, se obtendrán las impedancias mutuas, mediante la ob­
servación de la Fig. 26 y se colocarán signos menos a las impedancias
mutuas que lleven corrientes de circuito de sentidos opuestos.
Z 12 = Z21 = —(3.64 +¿9.0) = —9.7 /68° ohmios
Z2$ = Z32 = —(0.50 +¿3.0) = —3.04 /80.5° ohmios
Z 13 = Z31 = 0 (Puesto que no tienen un trayecto común
los circuitos 1 y 3).
480
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R NA
Para el caso particular que se investiga, se supondrá que cada vol­
taje de fase de los generadores tienen los siguientes valores
En'a' = Ena = 4000 /0o voltios
En/*/ = En& = 4000 /— 120° voltios
En/C/ = Enc = 4000 / —240° voltios
Los voltajes resultantes impresos en los circuitos de la Fig. 26 son
El — Én/a/
E na -j- Enb — En/&/ — 0
E2 = Enrbf
En6 -f- Enc
En'c7 == 0
E3 = “ Ene
= -4000 /-24 0° = 4000 / -6 0 ° voltios
Las ecuaciones del equilibrio del voltaje en los tres circuitos de la
Fig. 26 son
(19.4 /68°)Ii - (9.7 /68°)I2
-(9 .7 /68°)Ii + (19.4 /68°)I 2
+0
=0
- (3.04 /80.5°) I 3 = 0
0 - (3.04 /80.5°) I 2 + (8.08 /60°)I3
= 4000 / -6 0 °
Se puede despejar a Ij. I2 e I3 en las anteriores ecuaciones simul­
táneas, con ayuda de la teoría de los determinantes. El denominador
común de cada solución es
(19.4 /68°)
D =
-(9.7/68°)
0
-(9.7/G5T)
0
(19.4/08°)
-(3 .0 4 /80.5")
- (3.04/80.5°)
(8.08/00°)
D = [-2920 - J837] - [( —117.8 - J135.4) + (-7 3 3 - j210)]
- (-2008 - Í492) = 2122/193.4° ohmios*
La corriente que se busca en el presente caso es l non
ngc o I
(19.4/68°)
-.(9.7/68°)
0
- (9.7/68°)
.
0
(19.4/68°)
0
-(3 .0 4 /80.5°)
(4000/ - 6 0 ° )
2122/193.4°
1,131,000/76°
I 3 = ---- — :---------= 533 / —117.4° amperios
2122/193.4°
L---------Problema 10. Encuentre las magnitudes de la,a, I6,6 e Ic,c de la Fig.
26, utilizando los cálculos del ejemplo 13, en cuanto puedan ser útiles.
Respuesta: Ia,a = 55.6, I6,6 =
55.6 e Ie,
11.2 amperios.
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CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
481
PROBLEMAS
11. Un sistema en delta no balanceado, marcado abe en los vér­
tices, consta de Zab = 10 / — 60°, Z6c = 5 /0° y Z ca = 10 /60° ohmios.
Si Vc& = 100 /0° y la secuencia de voltaje es de cb-ba-ac, encuentre
las expresiones vectoriales para las corrientes que entran en las ter­
minales a, b y c. Los voltajes trifásicos de suministro están balanceados.
También resuelva el caso de la secuencia opuesta.
12. Una carga no balanceada, marcada abe en los vértices, consiste de Za& = 5 /40°, Zbc = 10 / — 30°, y Zca = 8 /45° ohmios. Se
imprimen voltajes trifásicos balanceados de 115 voltios cada uno. Si
la secuencia es cb-ac-ba, calcule las expresiones complejas para las
corrientes que parten de las terminales a, b y c, para Vc6 = 115 / 0 o
voltios.
13.
Véase la Fig. 37. V AB y V CB representan un sistema bifásico
balanceado de caídas de voltaje, siendo de 115 voltios la magnitud de
cada una. La secuencia de fase del voltaje es AB-CB. Se toma a V AB
como eje de referencia. Determínense \AB, lCB e l BB, y dibújese un dia­
grama vectorial de los voltajes y corrientes.
A
Fig. 27. Véase el Problema 13,
14.
Un conjunto de impedancias conectadas en “Y" consiste en Zan =
= 5 /0°, Zbn = 5 /60° y Zcn = 5 / — 60° ohmios. Encuentre las im­
pedancias equivalentes conectadas en delta, Zab, Zbc y Zca que pueden
utilizarse para reemplazar el juego de impedancias conectadas en “Y".
15.
Véase la Fig. 28. Las terminales a'b'c' representan un sistema
trifásico balanceado de voltajes, cuya secuencia es b'c'-a'b'-c'a'. La
a
b'
a
b
C
AAAA
3ü
4n
c'
Fig. 28. Véase el Problema 15.
482
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
magnitud de cada voltaje de línea a linea es de 230 voltios. Encuentre
las lecturas de los amperímetros colocados en las líneas a'a, b'b y c'c.
16. En la Fig. 7, Pág. 455, se supondrá que los voltajes generados son
En'n' = 100/0^,
= 100/-120°, E„/r/ = 100/-240° voltios y que
Z,¡mo„ = (2 - j \ ) ohm ios.
= (i - f¿ ) ohm ios.
Zn'r'n, = (:* + M ) ohm ios.
Encuentre las corrientes de linea, la,a, lb,b e Ir,c Dibuje un diagrama
vectorial de los voltajes de línea a linea y de las corrientes de línea.
17. Véase la Fig. 8, Pág. 456. Supóngase que se conocen las si­
guientes cantidades
En'«' = 1000 + jO = 1000/0 ° voltios
£»'6' = -500 —jf*8()6 = 1000/-120° voltios
Mn’e* = -500 -f ./8()() = 1000/120° voltios
Z«n = 20 — ,/20 = 28.28/ —45° ohmios
Z6/* - 50 + jO = 50.0/0° ohmios
Z rn = 30 + ,/52 = 00,0/60° ohmios
Z a = 2 + ¿ 8 = 8.25 /7(>° ohmios
Z/ = 1 +./1 = 1.41 /45° ohmios
Zn = 2.5 + j l = 2.70 /21.8° ohmios
Formule las expresiones de I^,, Ibft, e l cc„ utilizando determinantes,
y los valores numéricos dados para las E y las Z. Use las corrientes de
circuito Ix = la,a, I2 = I6,$ e I3 = Ic,c# las cuales regresan todas a
través de la linea nn. (Los resultados pueden dejarse en la forma de la
relación de dos matrices).
18. Un juego de impedancias conectadas en delta, consiste en
Zab = 5 /O?, Z$c = 5 /60° y Zca = 5 / — 60° ohmios. Encuentre las
impedancias: equivalentes conectadas en "Y", Zan, Zbn y Zrn que pueden
ser utilizadas para reemplazar las anteriores impedancias conectadas
en delta.
19. Véase la Fig. 9, Pág. 457. Supóngase que el generador es ca­
paz de sostener un sistema trifásico balanceado de voltajes E a,b„ Ea,c„
cuya secuencia es b'a'-a'c'-c'b'. La magnitud de cada voltaje de línea es
de 100 voltios. Za,a = Zb>6 = Zc,c = 0.5 -f- j0.5 ohmios. Zab = 10 /0°,
Zbc = 10 760° y Z^ = 10 7 — 60° ohmios. Encuentre Ia,a,
1^, Iftc e 1^, con respecto de Va,$, como eje de referencia.
20* Explique, por medio de diagramas vectoriales cualitativos, el
funcionamiento de un indicador de secuencia trifásica, que emplea una
bobina inductiva, en lugar del condensador mostrado en la Fig. l i a ,
Pág. 461- Para la secuencia ab-ca-bc, ¿lee el voltímetro arriba o abajo
del voltaje de linea?
21.
Proyecte un procedimiento para compulsar la secuencia de fase
de voltajes bifásicos.
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
483
22. Encuentre la lectura de un vctimetro que tiene la bobina de
corriente en la linea A'A y la bobina de potencial a través del voltaje
VAC del Problema 13 y Fig. 27.
23. Véase la Fig. 13, Pág. 463. Vab = 200, V bc = 141.4 y V w = 141.4
voltios. La secuencia es ab-bc-ca. Zab = Z bc = Zca = (8 — j6) ohmios.
Encuentre la lectura de cada vatímetro. Encuentre la lectura de un va­
tímetro, con la bobina de corriente en la línea a y la de potencial de
a a b; también uno con la bobina de corriente en la linea c y la de po­
tencia de c a b.
24. (a) Si un vatímetro Wa tiene la bobina de corriente en la
linea a y la de potencial de la linea a a la c, Fig. 1, Pág. 447, ¿qué lec­
tura dará para una secuencia Va»-Vca-V6c? Si otro vatímetro W6 tiene
la bobina de corriente en la linea b, y la bobina de potencial conectada
de la linea b a la c, ¿qué lectura dará?
(b) ¿Si Wa y W j son vármetros, que lectura darán?
25. (a) Encuentre las lecturas de los vatímetros Wa y W b, con las bo­
binas de corriente en las lineas a y b, respectivamente, que alimentan
la carga del Problema 11, si las bobinas de potencial están adecuada­
mente conectadas, de modo que la suma de las lecturas dé la potencia
total consumida por la carga.
(b) Encuentre las lecturas si Wa y W j son vármetros.
26. Véase la Fig. 29. Va,6„ V6,c, y Vc,a„ representan un sistema tri­
fásico balanceado de caídas de voltaje, siendo la magnitud de cada
uno de 200 voltios. La secuencia del voltaje es a'b'-b'c'-c'a'. Dos cargas
trifásicas balanceadas, indicadas por los círculos, están conectadas a
las terminales abe, como se
muestra en la Fig. 29. Además
de las dos cargas balancea­
das, a través de las terminales
be, como se indica, ha sido co­
locada una carga monofásica,
de factor de potencia igual a
la unidad y de 4 kw.
(a) Encuentre la lectura de
y
wc,c_c5.
Fig. 29, Véase el Problema 26.
(b) Si en lugar de We,a_a6 y
de WC,C_C5 se colocan medido­
res de voltamperios reactivos, encuentre sus respectivas lecturas.
(c) Encuentre el factor de potencia vectorial combinado de la carga
compuesta.
27. En la Fig. 21, Pág. 473, se supone que Va,6„ V6,c, y Vc,a, represen­
tan un sistema trifásico balanceado de voltajes, cuya secuencia es
a'b'-ca-b'c. Zan = 10 /0f>, Zbn = 10 / - 6 0 ° y Zcn = 10 790° ohmios.
Supóngase un voltaje de linea a línea de 100 voltios.
(a)
Determínense las lecturas de los dos medidores de voltampe­
rios reactivos mostrados en la Fig. 21.
(b) Determínense las lecturas de los vatímetros colocados en posi­
ciones semejantes en el circuito, a saber, en las posiciones a'a-ab y
c'c-cb.
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484
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R N A
(c) Encuentre el factor vectorial de potencia reconocido por la
A.I.E.E. (Instituto Americano de Ingenieros Electricistas) para la carga
no balanceada.
28. En la Fig. 30, Va6, V6c, V^, son voltajes trifásicos balanceados,
que tienen cada uno una magnitud de 200 voltios y una secuencia de
fase de ab-bc-ca. Determine las lecturas de los dos vatímetros mos­
trados en la figura.
29. En la Fig. 31, En,a,, En,6>, Ew,c, son voltajes trifásicos balancea­
dos, con magnitudes de 115.4 voltios y una secuencia de fase de n'a'n'b'-n'c'. Determine los siguientes valores y exprese todas las canti­
dades complejas tomando a Va6 como eje de referencia.
(a) V a l, V lc , V M,
(b)
ljfC* 1 ^
(c)
Ic'C.
(d) La suma de las lecturas de los vatímetros Wa, W6 y Wc. cuando
se conectan como se muestra.
(e) Las lecturas individuales de los vatímetros Wa, W6 y Wtf. si el
punto común 1 está conectado a la linea b'b.
30. Los voltajes de linea a línea de un sistema trifásico son Va¿ =
= 200, V6c = 150 y Vca = 120 voltios. Formule las expresiones pola­
res de Va6, V bc y Vca, con respecto de Va6 como eje de referencia, para
ambas secuencias de fase.
31. Véase la Fig. 30a, Pág. 427. En cierto caso particular, se supone
que Va* = 140, V6c = 120, Vca = 150, Vfln = 200, V6n = 80 y Vcn =
= 104.2 voltios.
Dibuje el diagrama fasorial cualitativo de los voltajes, para la se­
cuencia abe, y determine analíticamente las expresiones complejas para
cada uno de los voltajes, con respecto de Vab como referencia.
32. Véase la Fig. 1 en un caso particular las mediciones dan \¿a
= 20, I6,6 = 14, lc,c = 15, Ifl6 = 12, Ilc = 2 e Iflc = 15 amperios. Re­
suelva analíticamente el diagrama fasorial cualitativo para la secuen­
cia a'a-c'c-b'b y determine las expresiones complejas para cad^x una
de las corrientes, con respecto de Iall como referencia.
33. Calcule las corrientes de línea del problema 16, por el método
de corriente de malla.
CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS
Fig. 31.
485
Véase el Problema 29.
34. Véase el ejemplo 13, Págs. 479-"480 inclusive la Fig. 26. Despeje
a L* lo e I3 por el método de corriente de circuito, despreciando las com­
ponentes resistivas de todas las impedancias de las ramas, para una se­
cuencia de voltaje E ^ -E ^ -E ^ . (Los
a>
a
resultados pueden ser dejados en la
forma de la relación de dos matri­
ces).
35. En la Fig. 32, L ab = L cb ==
= 0.01 henrios, y el coeficiente de
acoplamiento es de 0.5. No se supon­
gan más resistencias o inductancias
Fig. 32. Véanse los Problemas
que las indicadas en la figura. La
35 y 36.
secuencia de los voltajes de man­
dó balanceados es n'a'-n'b'-n'c' y
1 000 radianes/segundo, calcule las
= 57.7 /90° voltios. Para
corrientes de fase y de línea de la carga. Use el método de Maxwell de
corriente cíclica.
36. Establezca el determinante para despejar a 1^, en el Problema
35, si en cada línea que va a la carga se insertan 3 ohmios de resis­
tencia pura y se utilizan la misma secuencia y eje de referencia da­
dos en el Problema 35. Para una comprobación uniforme de los resul­
= L
tados, use corrientes cíclicas como sigue: Corriente cíclica
Corriente cíclica I,
ccbb'
Corriente cíclica
ain'b'ba
37.
Despeje la.n, l h>b, e Ic,c, en la Fig. 33, si En,a, = 1 350 - f jO vol­
tios, En,ft, = — 675 — jl 170 voltios y En,c, = — 675 4“ jl 170 voltios.
Fig. 33.
Véase el problema 37.
■»
y C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E A LT E R N A
Este libro ha sido escrito en forma de texto, para los cursos sobre
circuitos de comente alterna, tal como se imparten, en la mayoría de
las escuelas de ingeniería, a los alumnos que comienzan el ¿estudio
de la Ingeniería Eléctrica. Se supone que el alumno ha terminado los
cursos regulares de cálculo diferencial e integral o que, cuando me­
nos, tiene cierto conocimiento de la derivación y la integración. Se
ha hecho un intento por arreglar el material en un orden lógico, de
manera que conduzca al estudiante, en forma gradual, de los más
simples a los más complejos análisis de circuitos de corriente alterna.
El método de exposición es un resultado de la experiencia docen­
te que los autores han tenido en diversas instituciones educativas y,
ai mismo tiempo, se ha hecho un esfuerzo por hacer la edición de una
obra de fácil transmisión en la cátedra. En la ejecución de estos
propósitos se ha hecho un amplio uso de ejemplos ilustrativos y di­
bujos lineales. También se han incluido oscilogramas, que ilustran
el trabajo real de los circuitos. A fin de que estos oscilogramas sirvan
de base para estudios ulteriores, se han acompañado de extensas ex­
plicaciones.
En muchos lugares del texto, situados inmediatamente después
de la presentación de ciertos principios, se han incluido problemas
con sus correspondientes respuestas. La idea es que estos proble­
mas sirvan como prueba de medición, para que el estudiante deter­
mine por sí mismo si tiene un conocimiento operante de los principios
involucrados. El orden de sucesión de los problemas colocados al fin
de los capítulos, corresponde al orden en que han sido presentidos
los temas. Estos problemas constituyen, en consecuencia, una base
adecuada para asignar tareas.
Con excepción de los fundamentos de las componentes simétricas
— Cap. XIV— , que son necesarios para comprender el Cap. XV, pue­
de omitirse en parte o íntegramente cualquier capítulo posterior al X,
sin afectar la preparación del estudiante para el estudio de los capítu­
los siguientes. Comenzando con el Cap. XI, el resto del texto está, en
su mayor parte, hecho de extensiones y aplicaciones de los principios
estudiados en los primeros diez capítulos. En consecuencia, pueden
estudiarse partes seleccionadas de los últimos seis capítulos, en cuan­
to lo permita el tiempo disponible. También se encontrará que el
Cap. VlII contiene un desarrollo un tanto amplio de temas que son
de interés para el estudiante y deseables para muchos maestros, pero
que pueden ser omitidos, sin afectar la preparación del lector para la
comprensión de los capítulos subsecuentes.
Reconocemos la deuda en que estamos con los autores que nos
han precedido en este campo y con los numerosos colegas que nos han
ayudado y animado a escribir este libro. En particular, deseamos ex­
presar nuestros agradecimientos al Sr. J. L. Potter, por su consejo
y ayuda.
R. M. K. & G. F. C.