Ejemplo aplicativo Una pecera de 80 cm de alto, con sección transversal de 2 m x 0.6 m que está inicialmente llena con agua se va a transportar sobre la parte posterior de un camión. El camión acelera desde 0 hasta 90 km/h en 10 s. Se quiere que el agua no se derrame durante la aceleración, determine la altura inicial admisible del agua en la pecera. ¿Recomendaría que la pecera se alineara con el lado largo, o el corto, paralelo a la dirección del movimiento?. Ejemplo aplicativo Una pecera de 80 cm de alto, con sección transversal de 2 m x 0.6 m que está inicialmente llena con agua se va a transportar sobre la parte posterior de un camión. El camión acelera desde 0 hasta 90 km/h en 10 s. Se quiere que el agua no se derrame durante la aceleración, determine la altura inicial admisible del agua en la pecera. ¿Recomendaría que la pecera se alineara con el lado largo, o el corto, paralelo a la dirección del movimiento?. Rotación en un recipiente cilíndrico Durante el movimiento de cuerpo rígido de un líquido en un cilindro giratorio, las superficies de presión constante son paraboloides de revolución. La ecuación para la superficie libre es: La variación de la presión en el líquido se expresa como: Ejercicio 01 Un camión remolca un tanque de agua sobre una carretera horizontal y se mide que el ángulo que la superficie libre forma con la horizontal es de 15°. Determine la aceleración del camión. Solución: Nos piden: Se tiene. Tanα = 𝐚 𝐠 a = g(Tanα) Gravedad efectiva: Por pitagoras: Gefec= 𝑔2 + 𝑎2 Gefec= 9.812 + 2.632 Gefec=10.16 m/s2 a = 9.81(Tan15°) a = 2.63 m/s2 Ejercicio 02 Un vaso cilíndrico recto tiene 10cm de profundidad y 6 cm de diámetro, el cual contiene agua que llega hasta los 3 cm del borde cuando esta en reposo. Si se le aplica un movimiento horizontal con una aceleración uniforme de 7m/s2. Se derrama o no el agua. Así mismo halle la presión en el punto de mayor profundidad con agua. Solución: El agua se derrama si y es mayor o igual a 3cm Se tiene. Tanα = 𝐚 𝐠 = 𝐲 𝟑 𝟕 𝐲 = 𝟗. 𝟖𝟏 𝟑 Y= 𝟐. 𝟏𝟒 𝒄𝒎 El agua no se derrama Ejercicio 02 Un vaso cilíndrico recto tiene 10cm de profundidad y 6 cm de diámetro, el cual contiene agua que llega hasta los 3 cm del borde cuando esta en reposo. Si se le aplica un movimiento horizontal con una aceleración uniforme de 7m/s2. Se derrama o no el agua. Así mismo halle la presión en el punto de mayor profundidad con agua. Hallando la presión: PA= ρ.gefec. h….(*) gefec = 9.812 + 72 Siendo: gefec= 𝑔2 + 𝑎2 gefec = 1𝟐. 𝟎𝟓 𝒎/𝒔𝟐 Así mismo: 𝐚 Tanα = 𝐠 Luego: 𝐡 Cosα = 𝟗.𝟏𝟒 𝟕 α = arc tan (𝟗.𝟖𝟏) α = 35.51° h = Cos35.51°.(9.14) En (*): h = 7.44cm = 0.074 m PA= ρ.gefec. h PA= 103.12.05.0.074 PA= 891.7 Pa Ejercicio 03 Se está remolcando un tanque de agua sobre una cuesta de una carretera que forma 20° con la horizontal, con una aceleración constante de 5 m/s2 en la dirección del movimiento. Determine el ángulo que la superficie libre del agua forma con la horizontal. ¿Cuál sería su respuesta si la dirección del movimiento fuera descendente sobre la misma carretera y con la misma aceleración?. Solución i) Asumiremos que factores externos como rozamiento no influyen en el desplazamiento, por lo tanto, asumiremos una aceleración constante Descomponiendo: Ejercicio 03 Se está remolcando un tanque de agua sobre una cuesta de una carretera que forma 20° con la horizontal, con una aceleración constante de 5 m/s2 en la dirección del movimiento. Determine el ángulo que la superficie libre del agua forma con la horizontal. ¿Cuál sería su respuesta si la dirección del movimiento fuera descendente sobre la misma carretera y con la misma aceleración?. Solución ii) La tangente del ángulo que forma la horizontal con la superficie libre es: Ejercicio 03 Se está remolcando un tanque de agua sobre una cuesta de una carretera que forma 20° con la horizontal, con una aceleración constante de 5 m/s2 en la dirección del movimiento. Determine el ángulo que la superficie libre del agua forma con la horizontal. ¿Cuál sería su respuesta si la dirección del movimiento fuera descendente sobre la misma carretera y con la misma aceleración?. Solución iii) Cuando cambia el sentido, se transforman en cantidades negativas: Descomponiendo: Ejercicio 03 Se está remolcando un tanque de agua sobre una cuesta de una carretera que forma 20° con la horizontal, con una aceleración constante de 5 m/s2 en la dirección del movimiento. Determine el ángulo que la superficie libre del agua forma con la horizontal. ¿Cuál sería su respuesta si la dirección del movimiento fuera descendente sobre la misma carretera y con la misma aceleración?. Solución iv) La tangente del ángulo que forma la horizontal con la superficie libre es: Ejercicio 04 Un recipiente cilíndrico vertical de 40 cm de diámetro, y 90 cm de alto esta semilleno con agua, a una altura abierto a la atmósfera contiene agua hasta una Altura de 60 cm. Ahora se hace girar el tanque a una razón constante de 120 rpm. Determine cuando descenderá el nivel del liquido en el centro del cilindro como resultado de este movimiento de rotación. Solución Coordenadas cilíndricas (r, ɵ, z) Encontramos w. w= 2π . 𝑛 𝑟𝑎𝑑 w= 2π . 120 = 753.98 𝑚𝑖𝑛 . w= 12.56 𝑟𝑎𝑑 𝑠 1𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 Ejercicio 04 Un recipiente cilíndrico vertical de 40 cm de diámetro, y 90 cm de alto esta semilleno con agua, a una altura abierto a la atmósfera contiene agua hasta una Altura de 60 cm. Ahora se hace girar el tanque a una velocidad angular constante de 120 rpm. Determine cuando descenderá el nivel del liquido en el centro del cilindro como resultado de este movimiento de rotación. Ecuación de la superficie libre: Zs(r)= 𝑤2 2 h0 - 4𝑔 (R -2r2) r = R: aumenta r = 0: disminuye Zs(0)= 𝑤2 2 h0 - 4𝑔 (R -2(0)2) Zs(0)= 0.6 12.562 - 4.9.81 (0.22) Zs(0)= 0.43m Δ h = h0 – 0.43 Δ h = 0.6 – 0.43 Δ h = 0.17m Ejercicio 05 Se transporta leche con una densidad de 1020 kg/m3 sobre una carretera horizontal en un carro-tanque cilíndrico de 7 m de largo y 3 m de diámetro. El carro-tanque está completamente lleno con leche (no existe espacio de aire) y se acelera a 2.5 m/s2. Si la presión mínima en el carro tanque es de 100 kPa, determine la presión máxima y su ubicación. Ejercicio 06 Un deposito rectangular de 6,10m de largo; 1.83m de profundidad y 2.14m de ancho contiene 0.92m de agua. Si está sometido a una aceleración horizontal en la dirección de su longitud de 2.45 m/s2 determine la presión máxima del fluido en el recipiente. Solución: Piden: Pmax: Pmax= ρ.gefec. h ….(*) Siendo: gefec= 𝑔2 + 𝑎 2 gefec = 9.812 + 2.452 gefec =10.11 𝑚/𝑠2 Se sabe: 𝐚 Tanα = 𝐠 además : Tanα = 𝟐.𝟒𝟓 𝟗.𝟖𝟏 = 𝐱 𝟑.𝟎𝟓 𝐱 𝟑.𝟎𝟓 x = 0.76m Ejercicio 06 Un deposito rectangular de 6,10m de largo; 1.83m de profundidad y 2.14m de ancho contiene 0.92m de agua. Si está sometido a una aceleración horizontal en la dirección de su longitud de 2.45 m/s2 determine la presión máxima del fluido en el recipiente. Solución: Del gráfico: además : Cosα = 𝐡 𝟏.𝟔𝟖 𝐚 α = Tanα ( ) 𝐠 y Tanα = 𝐚 𝐠 𝟐.𝟒𝟓 α = Tanα ( ) 𝟗.𝟖𝟏 α = 14° 𝐡 reemplazando : Cos14° = 𝟏.𝟔𝟖 h= 𝟏. 𝟔𝟑𝒎 En (*): Pmáx= ρ.gefec. h Pmáx= 1000.10.11. 1.63 Pmáx= 16.48 kPa Ejercicio 07 Un recipiente con agua se mueve con una aceleración horizontal de 4.90 m/s2 hacia la derecha. Determine la presion del agua en los punto A, B y C del recipiente. Considere que el agua no se derrama. Solución: Piden: PA, PB, PC: Siendo P= ρ.gefec. H ….(*) Siendo: gefec= 𝑔2 + 𝑎2 gefec = 9.812 + 4.92 gefec =10.97 𝑚/𝑠2 Calculando “y”: 𝐚 𝐲 Tanα = = 𝐠 𝟒𝟓 y = 22.5 cm hA = 0 PA = 0 Pa Ejercicio 07 Un recipiente con agua se mueve con una aceleración horizontal de 4.90 m/s2 hacia la derecha. Determine la presion del agua en los punto A, B y C del recipiente. Considere que el agua no se derrama. Para “B”: PB= 1000 x 10.97 x hb…(**) 𝐚 Tanα = 𝐠 α = 𝟐𝟔. 𝟓𝟒 𝒉𝒃 Donde: Cosα = 𝟏𝟏𝟐.𝟓𝐜𝐦 En…(**) hb = cos 𝟐𝟔. 𝟓𝟒° 𝒙 𝟏𝟏𝟐. 𝟓 hb = 100.64𝑐𝑚 = 1.006𝑚 PB= 1000 x 10.97 x 1.006 PB = 11.036 kPa Ejercicio 07 Un recipiente con agua se mueve con una aceleración horizontal de 4.90 m/s2 hacia la derecha. Determine la presion del agua en los punto A, B y C del recipiente. Considere que el agua no se derrama. Para “C”: PC= 1000 x 10.97 x hC…(***) hC = cos 𝟐𝟔. 𝟓𝟒° 𝒙 𝟔𝟕. 𝟓 hC = 0.60𝑚 Pc= 1000 x 10.97 x 0.6 Pc = 5.53 kPa Ejercicio 08 Un tanque cilindrico vertical, de 3m de diámetro, que contiene leche; gira a una razón constante de 12 rpm. Si la presión en el centro de la superficie del fondo es de 130 kPa, determinar la presion en el borde de la superficie del fondo del tanque. Tome la densidad de la leche como 1000 kg/m3 Presión en el fondo: Solución: Presión = P + ΔP Presión = 130 kPa + 1.81 kPa Presión = 131.18 kPa Pfondo= P+ΔP ΔP= P= ρ.gefec. Δ h Ejercicio 08 Un tanque cilindrico vertical, de 3m de diámetro, que contiene leche; gira a una razón constante de 12 rpm. Si la presión en el centro de la superficie del fondo es de 130 kPa, determinar la presion en el borde de la superficie del fondo del tanque. Tome la densidad de la leche como 1000 kg/m3 Encontramos w. w= 2π . 𝑛 𝑟𝑎𝑑 w= 2π . 12 𝑚𝑖𝑛 𝑟𝑎𝑑 w= 1.256 𝑠 Reemplazando: . 1𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 ΔP= P= ρ.gefec. Δ h Z(R)= h0 - 𝑤2 2 (R -2(R)2) 4𝑔 𝑤2 Z(R)= h0 + 4𝑔 (R2) 𝑤 2 2Z(0)= h0 - 4𝑔 (R 𝑤 2 2Z(0)= h0 - 4𝑔 (R ) Δh = Δh = Δh= Z(R)-Z(O) Pfondo= P+ΔP Δh = 𝑤2 2 (h0 + 4𝑔 (R ) 2(0)) – (h0 - 𝑤2 2 (R )) 4𝑔 𝑤2 2 (R ) 2𝑔 1.2562 (1.52) 2𝑥9.81 Δh = 0.18 𝑚 Volviendo a: ΔP= ρ.g. Δ h ΔP= 130x 9.81x 0.18 Δ h ΔP= 1.81 kPa Ejercicio 09 Un recipiente cilíndrico vertical de 20 cm de diámetro de 60 cm de alto está parcialmente lleno con un liquido cuya densidad es de 850 kg/m3 hasta una altura de 50 cm. Ahora se hace girar el cilindro a una velocidad constante. Determine la velocidad de rotación a la cual el liquido empezará a derramarse por los bordes del recipiente. Solución: Piden “w” Se tiene: Δh = 𝑤2 2 (R ).....(*) 2𝑔 Se cumple: Vo(superficie libre)= Vf(superficie) Ademas: Vparaboloide = ½(Vf(cilindro))= Vf Vo = ½(V cilindro) ABASE (h)= ½(ABASE (Δh)) 10 = ½(Δh) En (*) 0.2= 𝑤2 Δh =20 cm = 0.2 m 𝑤 = 19.809 rad/s (0.12) 2(9.81) Ejercicio 10 Considere dos tanques llenos con agua. El primero de ellos mide 8 m de altura y está en reposo, en tanto que el segundo mide 2 m de altura y se mueve hacia arriba con una aceleración de 5 m/s2. ¿Cuál de los dos tanques tendrá una presión más elevada en el fondo? Solución: Segundo caso: Primer caso: PB= ρ.gef.h….(*) PA= ρ.g.h PA= 1000 x 9.81 x 8 PA= 78.48 kPa PB= ρ.gef.h 𝑔ef= 𝑔 -𝑎 𝑔ef= (−9.81) – (+5) 𝑔ef= −14.81 𝑚/𝑠2 En (*) PB= 1000x14.81x2 PB= 29.62 kPa