PTJE. TOTAL OBTENIDO: ________ pts. NOTA OBTENIDA: ______________ Facultad de Ciencias de la Educación Departamento de Matemática y Estadística PAUTA PRUEBA SOLEMNE N°3 FORMA B CÁLCULO C001 Nombre(s) y Apellidos Docente Puntaje Total Fecha 60 Nivel de Exigencia 60% Ptje. Mín. Aprobación 36 Tiempo Desarrollo 80 min Instrucciones Generales de Evaluación • • • • • • • • Usted dispone de 80 minutos para desarrollar esta Prueba Solemne. Para el puntaje de Aprobación se considera un nivel de exigencia de 60 %. Lea atentamente cada pregunta. Si tiene dudas respecto a algún enunciado, resuélvalas con el profesor antes de comenzar la evaluación. Responda con letra clara y legible en la hoja de respuesta proporcionada; utilice lápiz pasta. Utilice sólo el cuadernillo u hojas proporcionadas por el docente. No se permite el intercambio de ningún tipo de material de escritorio con sus compañeros. Mantenga su celular apagado y guardado. No se permite el uso de aparatos portátiles de audio y/o video durante la evaluación. Cumpla con las normas y obligaciones definidas en el reglamento de disciplina de pregrado que rigen los procesos evaluativos, respetando los protocolos sanitarios. Revisión de la evaluación por parte del estudiante (las pruebas deben ser devueltas al docente una vez revisadas). Fecha de revisión de la evaluación Firma del estudiante Prueba Solemne Cálculo Solemne 3B– Cálculo BIOQ-QYFA - DMAE C001 Hoja de Respuesta NOMBRE: RUT: Para cada uno de los ítems presentados en esta evaluación, marque la alternativa que usted considere correcta, teniendo cuidado en el correcto traspaso de la información. Ítem ALTERNATIVA 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D Departamento de Matemática y Estadística – USS / 2022-10 Prueba Solemne Cálculo PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE. A continuación, se presentan diez preguntas de selección múltiple, para cada una de ellas existe una única alternativa correcta. (3 puntos c/u). 4 1) Al calcular ∫ 𝑥 3 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 se obtiene: a) 1 12 4 𝑒 3𝑥 + 𝐶 1 4 b) − 12 𝑒 3𝑥 + 𝐶 c) 1 3 𝑒 −5𝑥 + 𝐶 15 1 3 d) − 15 𝑒 −5𝑥 + 𝐶 2) Al calcular la integral ∫ 𝑥+6 (𝑥+2)2 𝑑𝑥 se obtiene: 4 a) ln(𝑥 + 2) − 𝑥+3 + 𝐶 4 b) ln(𝑥 + 2) + 𝑥+3 + 𝐶 4 c) ln|𝑥 + 2| − 𝑥+2 + 𝐶 4 d) ln|𝑥 + 2| + 𝑥+2 + 𝐶 3) Al calcular la integral ∫ 𝑥ln(𝑥) 𝑑𝑥 se obtiene: a) b) c) d) 1 3 1 3 𝑥 𝑥 ln|𝑥| + 9 + 𝐶 𝑥 𝑥 ln(𝑥) − 9 + 𝐶 1 𝑥 2 ln|𝑥| + 2 1 𝑥 2 ln(𝑥) − 2 𝑥2 4 𝑥2 4 +𝐶 +𝐶 Departamento de Matemática y Estadística – USS / 2022-10 Prueba Solemne Cálculo 4) Una enfermedad se propaga en el tiempo a razón de 𝑑𝑁 = 3𝑡 2 + cos 𝑡; personas por día. 𝑑𝑡 Si cuando comienza la enfermedad hay 5 enfermos, ¿Cuál es la función 𝑁(𝑡) que describe el problema? a) 𝑁(𝑡) = 𝑡 3 + sin 𝑡 + 5 b) 𝑁(𝑡) = 𝑡 3 − sin 𝑡 + 5 c) 𝑁(𝑡) = 3𝑡 2 − cos 𝑡 + 6 d) 𝑁(𝑡) = 3𝑡 2 + cos 𝑡 + 4 5) La función 𝑦 = 𝑒 3𝑥 + 10𝑒 2𝑥 es una solución de la ecuación diferencial: a) 2𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑒 3𝑥 b) 𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑒 3𝑥 c) 𝑦 ′ − 3𝑦 = 𝑒 2𝑥 d) 3𝑦 − 𝑦′ = 𝑒 2𝑥 3𝑥 2 6) ¿Cuál es la solución general de forma implícita de la ecuación diferencial 𝑦 ′ = 4𝑦−sen 𝑦? a) 𝑦 2 + sen 𝑦 = 2𝑥 3 + 𝐶 b) 𝑦 2 − sen 𝑦 = 2𝑥 3 + 𝐶 c) 2𝑦 2 + cos 𝑦 = 𝑥 3 + 𝐶 d) 2𝑦 2 − cos 𝑦 = 𝑥 3 + 𝐶 Departamento de Matemática y Estadística – USS / 2022-10 Prueba Solemne Cálculo 7) La gráfica que se muestra a continuación corresponde a la función 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 𝑥2 2 ¿Cuál es el área de la región sombreada? a) b) c) d) 18 66 48 250/3 8) ¿Cuál es el valor del área encerrada por las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 1 dadas en la siguiente imagen a) 22/3 b) 11/2 c) 8/3 d) 9/2 Departamento de Matemática y Estadística – USS / 2022-10 Prueba Solemne Cálculo 9) Se sabe que la función 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3)2 es no negativa, ¿cuál es el valor del área comprendida entre la gráfica de la función y el eje X, en el intervalo [0, 3] a) 9 b) 10 c) 39 d) 21 10) Indique cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) −1 𝐈. ∫ 0 0 𝜋 𝑒9 𝑒6 1 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝐈𝐈. ∫ 𝑒 𝑑𝑥 = − 𝐈𝐈𝐈. ∫ cos(5𝑥)𝑑𝑥 = sen(5𝑥) 3 3 5 −1 2 0 2 3 2 3𝑥 a) Sólo I. b) I y II. c) I y III. d) I, II y III. Departamento de Matemática y Estadística – USS / 2022-10 Prueba Solemne Cálculo PREGUNTAS DE DESARROLLO. A continuación, se presentan tres preguntas, para las cuales usted debe escribir claramente su desarrollo para indicar su respuesta. No se asignará puntaje a resultados sin desarrollo previo. (10 puntos c/u) 1) La siguiente imagen muestra un área sombreada la cual se encuentra delimitada por el gráfico de las funciones 𝑓(𝑥) = 5 + 4𝑥 − 𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 5 y por la recta 𝑥 = 4.Determine el área de dicha región sombreada. Igualamos las funciones: 5 + 4𝑥 − 𝑥 2 = 𝑥 + 5(𝟏𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨) 0 = 𝑥 2 − 3𝑥 0 = 𝑥(𝑥 − 3) 𝑥 = 0, 𝑥 = 3(𝟏𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨) El área sombreada está dada por: 3 4 ∫ (5 + 4𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 − 5)𝑑𝑥 + ∫ (𝑥 + 5 − 5 − 4𝑥 + 𝑥 2 )𝑑𝑥(𝟐𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬) 0 3 3 4 2 = ∫ (3𝑥 − 𝑥 )𝑑𝑥 + ∫ (−3𝑥 + 𝑥2 )𝑑𝑥(𝟏𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨) 0 3 3 4 3𝑥 2 𝑥 3 3𝑥 2 𝑥 3 =( − )| + (− + )| (𝟐𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬) 2 3 0 2 3 3 = 9 11 + (𝟐𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬) 2 6 = 19 (𝟏𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨) 3 Departamento de Matemática y Estadística – USS / 2022-10 Prueba Solemne Cálculo 2) El número de habitantes 𝑃 de cierta comunidad de aves protegidas está 𝑑𝑃 creciendo a razón de 𝑑𝑡 = 4𝑡(2𝑡 2 − 3)2 , donde 𝑡 representa el tiempo medido en años. Si se sabe que inicialmente la población era de 3 mil individuos, determine la población que habrá después de 10 años, aproximadamente. 𝑃(𝑡) = ∫ 4𝑡(2𝑡 2 − 3)2 𝑑𝑡 Hacemos sustitución 𝑢 = 2𝑡 2 − 3, 𝑑𝑢 = 4𝑡𝑑𝑡(𝟏𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨) 2 2 2 𝑃(𝑡) = ∫ 4𝑡(2𝑡 − 3) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑃(0) = − 27 3 𝑢3 3 (2𝑡 2 −3) + 𝐶 = 3 3 + 𝐶(𝟐𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬) + 𝐶 = 3000 ⇒ 𝐶 = 3009(𝟐𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬) 𝑃(𝑡) = (2𝑡 2 − 3)3 + 3009(𝟐𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬) 3 (2 ⋅ 102 − 3)3 𝑃(10) = + 3009 = 2551466,667(𝟐𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬) 3 Después de 10 años habrá 2.551.447 individuos aproximadamente(1 punto). Departamento de Matemática y Estadística – USS / 2022-10 Prueba Solemne Cálculo 3) La velocidad de propagación de una determinada colonia de bacterias viene dada por la ecuación diferencial: 𝑑𝑃 = 𝑡𝑃 𝑑𝑡 donde𝑃(𝑡)eselnúmerodebacteriasenelminito𝑡. Si inicialmente la población de bacterias es 100. ¿Cuál es el tamaño de la población de bacterias al minuto 1 y al minuto 2, aproximadamente? • Resolvamos la EDO por el método de variables separables: 1 1 𝑑𝑃 = 𝑡𝑑𝑡 → ∫ 𝑃 𝑑𝑃 = ∫ 𝑡𝑑𝑡 → ln|𝑃| = 𝑃 • 𝑡2 2 + 𝐶 (2 puntos) Encontremos la función 𝑃(𝑡) aplicando la función exponencial: 𝑒 ln|𝑃| = 𝑒 𝑡 2 /2+𝐶 → |𝑃| = 𝑒 𝑡 2 /2 𝑒 𝐶 → 𝑃 = ±𝑒 𝐶 𝑒 𝑡 2 /2 (2 puntos) Así, se puede escribir la solución general en la forma: 𝑃(𝑡) = 𝐾𝑒 𝑡 2 /2 , donde 𝐾 es una constante arbitraria Sabemos que 𝑃(0) = 100, con este dato podemos encontrar el valor de la constante 𝐾: 2 100 = 𝑃(0) = 𝐾𝑒 0 /2 = 𝐾 (2 puntos) Por lo tanto, la solución al problema de valor inicial queda dada por: 2 𝑃(𝑡) = 100𝑒 𝑡 /2 (1 punto) • Conociendo ya el modelo tenemos: 12 2 𝑃(1) = 100𝑒 = 100𝑒 0,5 = 164,87 ≈ 165bacterias (1,5 puntos) 22 𝑃(2) = 100𝑒 2 = 100𝑒 2 = 738,91 ≈ 739 bacterias (1,5 puntos) Departamento de Matemática y Estadística – USS / 2022-10