Cálculo en Varias Variables - Escuela de Matemáticas
Universidad Nacional, sede Medellín
Clase 24. El teorema de Stokes
El rotacional de un campo vectorial
Definición
Sea F( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z)j + R( x, y, z)k un campo vectorial en R3 de clase
C 1 . Definimos el rotacional de F, denotado por rot F, como el campo vectorial en R3 :
∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
rot F =
−
i+
−
j+
−
k.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Usando el operador ∇ =
∇×F =
D
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P
Q
R
∂ ∂ ∂
∂x , ∂y , ∂z
=
E
, podemos ver que
∂R ∂Q
−
∂y
∂z
i+
∂P ∂R
−
∂z
∂x
j+
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
k = rot F.
Esto es, rot F = ∇ × F.
Ejemplos
1. Sea F( x, y, z) = x2 y, xz, ey . Entonces
rot F = ∇ × F =
i
j
k
∂
∂x
x2 y
∂
∂y
∂
∂z
ey
xz
= (ey − x )i + (0)j + (z − x2 )k.
2. Sea F = ∇ f un campo vectorial conservativo, donde f es una función escalar de clase
C 2 . Calculemos
i
∂
∂x
∂f
∂x
j
∂
∂y
∂f
∂y
k
∂
rot F = ∇ × F =
∂z
∂f
∂z
2
2
2
2
∂ f
∂ f
∂ f
∂2 f
∂ f
∂2 f
=
−
i+
−
j+
−
k
∂y∂z ∂z∂y
∂z∂x ∂x∂z
∂x∂y ∂y∂z
= ~0.
Del ejemplo 2 se deduce el siguiente resultado
Proposición 1
Si F es un campo vectorial conservativo, entonces rot F = ~0.
1
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La anterior proposición es muy útil para saber cuando un campo vectorial no es conservativo,
ya que es equivalente a la proposición
Si rot F 6= ~0, entonces el campo vectorial F no es un campo conservativo.
Sin embargo, quisiéramos que el recíproco también fuese cierto y no siempre lo es. El siguiente
resultado establece condiciones en que el recíproco también será cierto.
Proposición 2
Sea F es un campo vectorial definido en todo R3 (o con dominio simplemente conexo), cuyas
funciones componentes tienen derivadas parciales continuas. Si rot F = 0, entonces F es un
campo vectorial conservativo.
Por ejemplo, el campo vectorial F( x, y, z) = x2 y, xz, ey del ejemplo 1 está definido en todo
R3 y sus funciones componentes tienen derivadas continuas. Pero como rot F 6= ~0, podemos
asegurar que F no es un campo vectorial conservativo.
Interpretación del rotacional ∇ × F :
Si F es el campo de velocidades de un fluido, entonces rot F( x, y, z) determina un eje alrededor
del cual los puntos del fluido cercanos a ( x, y, z) tienden a rotar alrededor de él con velocidad
igual a krot F( x, y, z)k. Si rot F = 0 en un punto P, entonces el fluido es libre de rotaciones en
P (es decir, no hay remolinos en P) y decimos que F es irrotacional en P.
Figura 1: Interpretación del rotacional
2
Ver Figura 1.
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El teorema de Stokes
Teorema de Stokes (1854)
Sea S una superficie suave y orientada que está acotada por una curva C = ∂S suave, simple y
cerrada con orientación positiva. Si F es un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas
parciales continuas en una región abierta en R3 que contiene a S, entonces
Z
ZZ
ZZ
F · dr =
rot F · dS =
(∇ × F) · dS.
C
S
S
Observaciones
(a) El teorema de Stokes nos dice que la circulación de F a lo largo de la curva C = ∂S, es
igual, al flujo de ∇ × F a través de la superficie S.
(b) El teorema de Stokes se aplica a superficies abiertas. La curva C corresponde a la curva
que define la “apertura” de S.
(c) Las orientaciones de S y C están relacionadas: una induce la otra. En la Figura 2 se ilustra
esta situación: La superficie del cascarón esférico está orientado con el vector normal
exterior, esto induce una orientación antihoraria para la curva C cuando se observa
desde arriba, de acuerdo con la regla de la mano derecha. La curva C se dice orientada
positivamente ya que si caminamos sobre dicha curva con la cabeza en dirección del
vector normal, la superficie siempre estará a nuestra izquierda.
Figura 2: Superficie abierta orientada y orientación de su frontera
Ejemplos
Z
1. Evaluemos
F · dr, si F( x, y, z) = −y2 , x, z2 y C es la curva de intersección del plano
C
y + z = 2 con el cilindro x2 + y2 = 1. La orientación de C es negativa (antihoraria)
cuando se le ve desde arriba, como se observa en la Figura 3.
3
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Figura 3: Intersección del plano y + z = 2 con el cilindro x2 + y2 = 1
De acuerdo con la Figura 3, vemos que la curva C puede ser la frontera de, al menos,
dos superficies: el cilindro x2 + y2 = 1 y el plano y + z = 2. De éstas dos, la más simple
es el plano. Si tomamos la superficie suave S = ( x, y, z) | z = 2 − y, con x2 + y2 ≤ 1 ,
entonces es claro que C = ∂S. Para que las orientaciones sean compatibles S debe tener vector normal n apuntando hacia arriba, como se ilustra en la Figura 4. En estas
condiciones podemos usar el teorema de Stokes.
Z
ZZ
ZZ
F · dr =
rot F · dS =
(∇ × F) · dS
C
S
S
Figura 4: Plano z = 2 − y con x2 + y2 ≤ 1
4
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Empecemos calculando el rotacional de F,
rot F = ∇ × F =
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
− y2
x
∂
∂z
z2
= (1 + 2y) k.
Para calcular la integral de superficie, debemos parametrizar S. Notemos que S es la
gráfica de la función z = g( x, y) = 2 − y, definida en la región del plano xy dada por
D = ( x, y) | x2 + y2 ≤ 1 . Por tanto, podemos parametrizar a S como
x = x
( x, y) ∈ D.
con
y = y
z = 2−y
Luego, r( x, y) = h x, y, 2 − yi y rx × ry =
− gx , − gy , 1 = h0, 1, 1i (que apunta hacia
arriba, en la dirección correcta). Entonces
Z
ZZ
ZZ
F · dr =
(∇ × F) · dS
=
h0, 0, 1 + 2yi · h0, 1, 1i dx dy
C
D
S
ZZ
=
Z
(1 + 2y) dx dy
D
2π
Z
=
1
(1 + 2r sen θ ) r dr dθ
0
=
π.
0
Z
2. Utilicemos el teorema de Stokes para evaluar
C
F · dr, donde F( x, y, z) = x2 y, 31 x3 , xy
y C es la curva de intersección del paraboloide hiperbólico z = y2 − x2 y el cilindro
x2 + y2 = 1, con orientación negativa vista desde arriba, como se observa en la Figura 5.
Figura 5: Intersección de z = y2 − x2 y x2 + y2 = 1
5
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Sea S la superficie dada por la gráfica de la función z = g( x, y) = y2 − x2 definida sobre
la región del plano xy dada por D = {( x, y) | x2 + y2 ≤ 1}, como se muestra en la
Figura 6. Esto es, S = {( x, y, z) | z = y2 − x2 con x2 + y2 ≤ 1} está parametrizada por
x = x
( x, y) ∈ D.
con
y = y
z = y2 − x 2
Figura 6: Parte de z = y2 − x2 con x2 + y2 ≤ 1 y F( x, y, z) = ( x2 y, 31 x3 , xy)
La función vectorial que determina a S es entonces: r( x, y) = x, y, y2 − x2 , de donde r x × ry = − gx , − gy , 1 = h2x, −2y, 1i , que apunta hacia arriba de acuerdo con la
orientación inducida por C. El rotacional de F es
rot F = ∇ × F =
i
j
k
∂
∂x
x2 y
∂
∂y
1 3
3x
∂
∂z
xy
Por el teorema de Stokes, tenemos que
Z
ZZ
F · dr
=
rot F · dS
C
= ( x, −y, 0).
ZZ
=
D
S
ZZ
=
h x, −y, 0i · h2x, −2y, 1i dx dy
ZZ
=
D
polares
=
(rot F(r( x, y))) · (r x × ry ) dx dy
(2x2 + 2y2 ) dx dy
D
Z
2π
Z
2
0
1
r4
2 (2π )
4
2
r · r dr dθ
0
6
=
1
=
0
π.
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3. Sean S = {( x, y, z) | x2 + y2 + z2 = 4, z ≤ 0}, con vector normal apuntando hacia
D
E
2
abajo, y F( x, y, z) = x2 e x z, yz + 1, e− x , como se ilustra en la Figura 7. Calculemos
ZZ
ZZ
rot F · dS =
(∇ × F) · dS.
S
S
Figura 7: S = {( x, y, z) | x2 + y2 + z2 = 4, z ≤ 0}
En este caso vamos a usar el teorema de Stokes de una manera diferente. Observemos
que la curva frontera de S es C = {( x, y, z)
|
x2 + y2 = 4, z = 0}, orientada en
sentido horario. Sin embargo, C también es la curva frontera de la superficie más simple
S1 = {( x, y, z) | z = 0 con x2 + y2 ≤ 4} orientada con el vector normal hacia abajo (ver
Figura 8), la cual podemos parametrizarla como
x = x
y = y
con
( x, y) ∈ D.
z = 0
D
E
2
Figura 8: S1 = {( x, y, z) | z = 0 con x2 + y2 ≤ 4} y F( x, y, z) = x2 e x z, yz + 1, e− x
7
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Es decir, la función vectorial que determina a S1 es r( x, y) = h x, y, 0i , de donde ry × r x =
h0, 0, −1i (de acuerdo con la orientación inducida por C).
El rotacional de F es
rot F = ∇ × F =
Nota:
i
j
k
∂
∂x
x2 e x z
∂
∂y
∂
∂z
2
e− x
yz + 1
D
E
2
= −y, x2 e x + 2xe x , 0 .
Sean S1 y S2 dos superficies orientadas en R3 que comparten la misma curva
frontera C, es decir, ∂S1 = C = ∂S2 , con la misma orientación. Entonces el teorema de
Stokes nos dice que
ZZ
rot F · dS =
S1
Z
F · dr =
C
ZZ
rot F · dS.
S2
Por la nota anterior, tenemos que
ZZ
ZZ
rot F · dS =
rot F · dS
S
S
=
Z 1Z D
E
2
−y, x2 e x + 2xe x , 0 · h0, 0, −1i dx dy
D
= 0.
Observación:
Note que este ejercicio sería muy complicado, si se realiza sobre la re-
gión original o si se calcula la integral de línea asociada. Queda como ejercicio para el
lector comprobar que esto es cierto.
8