Inversa de una matriz Métodos para hallar la inversa de una matriz Si el valor del determinante es igual a cero, es una matriz singular, si es diferente de cero, es una matriz no singular. Existen varios métodos que nos permiten determinar la inversa de una matriz, sin embargo, no todas las matrices poseen inversa, por lo tanto, antes de calcular ésta, primero debemos calcular el determinante, el cual nos va a indicar si la matriz es invertible o no. En caso de que , la matriz no tiene inversa, y si , la matriz posee inversa y procederemos a calcularla mediante las técnicas que veremos posteriormente. Para hallar el determinante se presentan varios métodos: 1. 2. 3. Regla de sarrus. Menores y Cofactores. Gauss – Jordan para matrices de o superiores. Menor de una matriz cuadrada: Sea un elemento de El menor del componente de A, es el determinante de la matriz cuadrada de segundo orden que queda después de que la fila (o renglón) “ ” y la columna “ ” de A son borradas. El menor de , se denota por .Como ilustración, el menor de es , el menor de es , y están dados por: 1 Para matrices de 2x2 tenemos que: y respectivamente. Entonces, por definición de determinante de matriz cuadrada de segundo orden podemos escribir: 2 Para matrices de 3x3 emplearemos el metodo de Sarrus: y 3 El cofactor de un componente “ “ es denotado por , y está definido por: es decir, el cofactor del componente “ ” es el menor con el signo de prefijado. Como ejemplo, es el cofactor de , y está dado por: Tambien pueden copiarse las dos primeras filas a continuación de la tercera y efectuar la misma operación: Diagonales principales Diagonales Secundarias El determinante de una matriz A es denotado ya sea por |A| o por: y está definido por: O copiar las dos primeras columas despues de la tercera: Diagonales principales es decir: Diagonales Secundarias o también: Y en ambos casos obtenemos el mismo resultado: , Inversa de una matriz Para obtener el signo de cada menor, se aplica la siguiente regla: Ejemplo 1: Si , entonces: Ejemplo 2: Quedando de la siguiente forma: Para una matriz de 3x3: Ejemplo 3: Para una matriz de 4x4: Es decir, mediante los elementos de una fila o renglón podemos calcular el determinante: Generalizando para los cofactores por fila: Para una matriz de 5x5: De igual forma podemos emplear los elementos de una columna: Generalizando para los cofactores por columna: Para una matriz de 6x6: Es decir, que los signos siguen un patrón de alternancia tanto vertical como horizontalmente. Estos resultados pueden ser resumidos de la forma siguiente: Sea A una matriz cuadrada de tercer orden sobre ; el determinante de puede obtenerse tomando los componentes de cualquier renglón (o columna) de , multiplicando cada uno de estos componentes por su cofactor y sumando los resultados. Si en la aplicación de esta regla, seleccionamos los componentes del renglón “ ”, decimos que el determinante fue desarrollado por el renglón “ ”. Si seleccionamos la columna “ ”, decimos que el determinante fue desarrollado por la columna “ ”. Inversa de una matriz 4 Adjunta de una matriz cuadrada: Supóngase que es una matriz en ; si sustituimos cada componente de por su cofactor, obtenemos una matriz que denotamos por . Obteniddo como Resultando la matriz de cofactores o adjunta: Quedando de la siguiente forma: Inversa de una matriz Transpuesta o Traspuesta de una matriz: Sea la matriz: Su transpuesta es: Es decir, a cada elemento se le han intercambiado los sub índices “ ” por “ ”, en el caso de al permutar , nos queda y el elemento correspondiente se coloca ahora en esa nueva posición y viceversa, el elemento que se encontraba en la posición ahora se colocará en la . Ejemplo 4: Y seguidamente podemos calcular otros menores de esta matriz de utilizando la segunda fila o la primera columna, ya que contienen un cero en cada una respectivamente, emplearemos en el ejemplo la fila 2 , continuando con el ejercicio: 5 El método de sarrus se cumple sólo para matrices de 3x3, por lo que para matrices de 4x4 emplearemos los elementos de una fila o una columa para calcular el determinante, como vimos en los ejemplos 1 al 3. ¿Como calcular el determinante de una matriz cuadrada de cuarto orden? Ejemplo 5: Calcular el determinante de la siguiente matriz: Entonces, por ser , la matriz es no singular y posee una inversa, la cuál se puede calcular mediante varios métodos, entre los que tenemos: Matriz adjunta - Matriz transpuesta, y Gauss – Jordan, los cuales veremos a continuación: Inversa de una matriz de orden 2: Caso particular Sea la matriz Su inversa es: Observamos que la segunda fila contiene dos ceros, pero la tercera columna contiene tres ceros, por lo que es una buena candidata para calcular el determinante de la matriz A, ya que podemos obtenerla más rápidamente, entonces utilizaremos la tercera columna para hallar dicho valor. Con Es decir el producto del inverso del determinante 0 , por la diagonal principal intercambiada, y los otros elementos cambiados de signo, mas no de posición. Inversa de una matriz Metodo 1: Matriz adjunta y matriz transpuesta. Método 2: Eliminación de Gauss – Jordan: a. Calcular su determinante: Si continuar con el sigiente paso, si no, la matriz no tiene inversa. Si la matriz es de o superior, hallar la inversa mediante el método anterior tomaría una cantidad considerable de calculos y de tiempo, por lo que no es recomendable, ya que serían 16 matrices de que deben calcularse, por lo que el método de Gauss – Jordan nos permite ahorrarnos algunos cálculos. b. Calcular la matriz adjunta de A: Tomando la matriz del Ejemplo 1: Sea la matriz c. A esta adjunta, calcular su transpuesta: Su determinante es 2, es decir, que tiene inversa. d. Multiplicar la transpuesta por el inverso del determinante , el resultado es la inversa de A. Ejemplo 6: Ahora emplearemos una matriz identidad para conseguir la inversa: Tenemos que , por lo que la matriz tiene inversa, entoonces, hallemos primero la matriz de cofactores: Escribéndola del siguiente modo: Con esto se busca mediante las operaciones por filas, que en el lado izquierdo de la expresión quede la matriz identidad, y en el lado derecho quede la matriz inversa: 1 1 Obteniendo de esta manera la matriz adjunta: 2 2 Ahora determinamos la transpuesta: 3 3 Finalmente multiplicamos la inversa del determinante por la matriz transpuesta: 4 5 Entonces: 6 Inversa de una matriz Ecuaciones Matriciales 7 Tenemos la siguiente expresión: Despejando “x” 8 que es igual a: Aplicando las propiedades de las matrices, tenemos que podemos encontrar (en las que exista), y así resolver la ecuación. 9 Ejemplo: Sea el siguiente sistema 10 La matriz de coeficientes es: Es decir que: El determinante es: 10 , la inversa es: B x Entonces: Ejercicios: En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la inversa en caso de tenerla: 1. 2. 3. 4. Ahora para cualquier par de valores no nulos de por ejemplo: y Entonces y , y Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando matriz inversa: 5. 6. 12. 7. 8. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la inversa en caso de tenerla, mediante la eliminación de Gauss – Jordan: 13. 14. 15. 9. 10. 16. 11. 17.