probabilidad

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD
Dra. Ana M. CRAVERI
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Algunas definiciones importantes
Experimento aleatorio (E): es un experimento que cumple con las
siguientes condiciones:
• Puede repetirse muchas veces en condiciones similares
• Aunque no se puede predecir el resultado de una prueba,
podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles
del experimento.
• A medida que el experimento se repite, al principio, los
resultados pueden ocurrir en forma caprichosa (sin ninguna ley).
Sin embargo si el experimento se repite un gran número de
veces aparece cierta regularidad en los resultados (Regularidad
Estadística).
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Espacio muestra o espacio muestral (S): es el conjunto de todos
los resultados posibles de un experimento aleatorio. Cada uno de
los elementos de S se denomina punto muestra
Ejemplos:
1) Sea el experimento aleatorio E1: tirada de un dado
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2) Sea el experimento aleatorio E2: tirar una moneda
S2 = {c, x}
3) Sea E3: observar el estado prendido (P) o apagado (A) de tres
interruptores de luz
S3 = {PPP, PPA, PAP, APP, PAA, APA, AAP, AAA}
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Suceso: se denomina así a cualquier
subconjunto del espacio muestra. Es decir que
un suceso asociado a un determinado
experimento aleatorio es simplemente un
subconjunto de resultados posibles. Por lo
tanto:
un punto muestra es un suceso
el espacio muestral S es un suceso
el conjunto vacío es un suceso
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
En el ejemplo 1 E: tirada de un dado
se pueden definir los siguientes sucesos
A: que aparezca el número 2
;
A= {2}
B: que aparezca número par
;
B= {2;4;6}
C: que aparezca un número impar
;
C= {1;3;5}
D: que aparezca un número 4 o mayor
;
D= {4;5;6}
E: que aparezca un número del 1 al 6
;
E=S1
F: que aparezca el número 7
;
F= φ
Eventos mutuamente excluyentes: son dos sucesos que no
pueden ocurrir al mismo tiempo. En el ejemplo sería el caso de
los sucesos Ay C donde se verifica que A ∩ C = φ . En tanto no
serían sucesos mutuamente excluyentes B y D porque
B ∩ D = {4;6}.
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Si fueses un jugador en el juego definido en el Ejemplo 1, E1: tirada de un dado.
Intuitivamente, cuáles serían tus probabilidades de ganar si:
Por ejemplo, apostaras al suceso A. Dirías que la probabilidad de que salga un 2 en el dado es 1
sobre 6 resultados que pueden aparecer, esto es correcto y se puede simbolizar:
P(A)=
De la misma manera:
P(B) = P(C) = P(D) =
3
6
;
P(E) =
6
=1
6
;
P(F) =
0
=0
6
Generalizando: en todos los casos vemos que la probabilidad es una división entre el número de
resultados favorables al suceso y el número de resultados posibles del experimento. Esto hace
que la probabilidad de cualquier suceso definido en el espacio muestral, generado por un
experimento aleatorio, sea un número fraccionario cuyo valor mínimo es cero (no es posible
observar ese suceso) y su máximo es uno (el suceso se observa siempre).
Formalizando conceptos:
Primera definición de la probabilidad: La Definición Clásica
P(A)= número de resultados favorables al suceso A
nºde resultados posibles igualmente probables
Además:
0 ≤ p ( Ai ) ≤ 1 ;
P(suceso cierto)= P(S)=1
; P(suceso imposible)=0
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¿Que pasa si sabes que el dado está viciado (dado cargado)?
No podrías afirmar que P(A)=
Porque no todas las caras del dado tienen, en este caso, la misma probabilidad de salir
Para estos casos debemos tener en cuenta una de las características del experimento
aleatorio que es la presencia de regularidad en los resultados a largo plazo.
Tendríamos que tirar el dado un gran número de veces (n) y hacer la división entre el
número de veces que apareció el número 2 o sea la frecuencia del suceso A (f(A)) y n
Segunda definición de la probabilidad: La Definición Frecuencial
Si n es muy grande entonces:
P ( A) =
f ( A)
n
En el ejemplo si el dado se tira 300 veces (n=300) y el número 2 aparece 10 veces, entonces
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Tercera definición:
Definición axiomática:
Sea S el espacio muestral asociado al experimento aleatorio E, sean A1, A2, ….Ak los eventos
simples de S entonces p(Ai) (probabilidad del suceso Ai) verifica los siguientes axiomas:
1) Todas las probabilidades de los eventos simples son números reales entre 0 y 1
0 ≤ p( Ai ) ≤ 1
2) La probabilidad del espacio muestral es igual a 1
P(S) = 1
3) Si Ai y Ah son sucesos mutuamente excluyentes (no pueden presentarse juntos en una
prueba del experimento aleatorio) resulta:
P (Ai ∪ Ah) = P (Ai) + P (Ah)
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Regla de la suma para sucesos no excluyentes
Sean A y B sucesos cualesquiera ⇒ P (A ∪ B) = P(A) + P (B) – P (A ∩ B)
Por el axioma 3 si estos sucesos son mutuamente excluyentes, entonces:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Si A y B no son mutuamente excluyentes entonces A∩B ≠ φ
Podemos pensar en definir un suceso Ā (complemento
A
A
∩B
de A) tal que:
B
S
Ā∩B
A ∪ B = A ∪ ( Ā ∩ B) ⇒ B=(A∩B) ∪ ( Ā ∩ B)
Luego
P(A ∪ B)=P(A)+P(Ā∩B)
P(B)=P(A∩B) + P( Ā ∩ B)
Restando miembro a miembro resulta:
P(A ∪ B) - P(B)=P(A) - P(A∩B) ⇒
⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P(A∩B)
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Siguiendo con el juego de la tirada de un dado no viciado
Pensemos ahora en la ocurrencia de al menos uno de dos sucesos
Por ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que en una tirada del dado salga el suceso
A: que salga el número 2 ó el suceso C: que salga un número impar ?
A
P(A ó B) = 1/6 + 3/6 = 4/6
B
2
1
3
5
A y B se dicen sucesos disjuntos porque no tienen elementos comunes o iguales
por eso se unen los elementos de A con los de B para formar el numerador 4
Generalizando:
Si A y B son dos sucesos disjuntos:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Con el mismo criterio se puede generalizar para el caso de más de dos sucesos
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Sigamos pensando en la ocurrencia de al menos uno de dos sucesos
Por ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que en una tirada del dado salga el suceso
B: que salga un número par ; ó el suceso D: que salga 4 o mayor
B
P(B ó D) = 4/6
D
2
4
6
5
Notamos que los sucesos B y D no son excluyentes por lo que debemos descontar
los números que están en la intersección que son favorables a ambos sucesos y que
estarían contados dos veces
Si aplicamos la regla anterior el cálculo sería:
P (B ∪ D) = P(B) + P (D) – P (B ∩ D)=3/6 + 3/6 - 2/6=4/6
Con el mismo criterio se puede generalizar para el caso de más de dos sucesos
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
En síntesis:
Regla de la suma o Probabilidad Total
Dados dos sucesos A y B, cualesquiera, la probabilidad de
observar al menos uno de ellos P(A ó B) es:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) si A y B son excluyentes
P (A∪ B) = P(A) + P (B) – P (A ∩ B) si A y B no son
excluyentes
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Veamos una aplicación en el siguiente problema
La tabla muestra los resultados a los 30 días de aplicado un tratamiento
para determinada enfermedad
Casos según tratamiento y estado a los 30 días de la aplicación
Tratamiento
Curados
(C)
Mejorados
(M)
Empeorados
(E)
Total
T1
182
68
35
285
T2
123
29
13
165
Total
305
97
48
450
Se elige un paciente al azar
1) Cuál es la probabilidad de que esté curado o haya mejorado
P (C ∪ M) = P (C) + P (M)= 305/450 + 97/450= 402/450
2) Cuál es la probabilidad de que tenga el tratamiento T1 o se cure
P (T1 ∪ C) = P(T1) + P (C) – P (T1 ∩ C)=285/450 + 305/450 – 182/450=408/450
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Continuando con la tabla anterior
Que responderías si la pregunta es ¿cuál es el porcentaje de pacientes
que habiendo recibido el T1 se curan?
Convengamos lo siguiente: La probabilidad es un número entre cero y uno, el porcentaje es
ese mismo número multiplicado por 100 y expresado en %.
Entonces para responder vamos a calcular primero la “probabilidad de que un paciente se
cure dentro del grupo de pacientes tratado con T1” El numerador será el número de
pacientes curados y tratados con T1 que son 182, el denominador es el total de pacientes
con el T1 que son 285.
La respuesta a la pregunta inicial es 63,86%
Ahora simbolicemos todo esto matemáticamente
n = 100 es el total de pacientes
P(C / T1) se lee probabilidad de que se cure dado que recibió el T1
P (C ∩ T1) es la probabilidad de que se cure y reciba el T1
P(T1) es la probabilidad de recibir el T1
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Continuando con la tabla anterior
Que responderías si la pregunta ahora es ¿cuál es el porcentaje de
pacientes que recibieron el T1 en el grupo de pacientes curados?
Nuevamente vamos a calcular primero la “probabilidad de que un paciente haya recibido el
T1 sabiendo que es un paciente curado” El numerador será el número de pacientes con T1 y
curados que son 182, el denominador es el total de pacientes curados que es 305.
La respuesta a la pregunta inicial es 59,67%
Ahora simbolicemos todo esto matemáticamente
n = 100 es el total de pacientes
P(T1 / C) se lee probabilidad de que haya recibido el T1 dado que se curó
P (T1 ∩ C) es la probabilidad de que reciba el T1 y se cure
P(C) es la probabilidad de que se cure
Observación importante:
P (T1 ∩ C) = P (C ∩ T1) porque el numerador de ambas probabilidades es el
mismo y el denominador siempre es n (total de pacientes)
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Retomemos nuestra tabla
Casos según tratamiento y estado a los 30 días de la aplicación
Tratamiento
Curados
(C)
Mejorados
(M)
Empeorados
(E)
Total
T1
T2
Total
182
123
305
68
29
97
35
13
48
285
165
450
Surge la pregunta ¿la proporción de curados es independiente del tratamiento aplicado al paciente?
Para responder habrá que esperar a contar con las herramientas de inferencia estadística pero podemos ir
adelantando un concepto matemático importante
Si P(C / T1) = P(C / T2) = P(C) podríamos decir que la curación es independiente del tratamiento (*)
Matemáticamente resultaría entonces
despejando P (C ∩ T1)= P(T1). P(C / T1)=P(T1). P(C)
Análogamente
despejando P (C ∩ T2)= P(T2). P(C / T2)=P(T2). P(C)
CONCLUSIÓN: DOS SUCESOS A Y B SON INDEPENDIENTES SI LA OCURRENCIA PREVIA DE UNO DE
ELLOS NO MODIFICA LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DEL OTRO
P (A ∩ B)= P(A). P(B)
(*) Notar que P(C/T1)=0,6386 ; P(C/T2)=0,7455 ; P(C)=0,6778
Tomar la decision de que estos tres números son significativamente distintos o no es tema de la Inferencia Estadística
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
En síntesis:
Regla de la Probabilidad Condicionada
Dados dos sucesos A y B cualesquiera
la probabilidad de observar el suceso A condicionada a la ocurrencia
previa del suceso B es:
la probabilidad de observar el suceso B condicionada a la ocurrencia
previa del suceso A es:
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
En síntesis:
Regla de la Probabilidad Conjunta o Compuesta
Dados dos sucesos A y B, cualesquiera, la probabilidad de
observar ambos simultáneamente es la P(A y B)
se simboliza:
Si los sucesos no son independiente
Si los sucesos son independientes
TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Teorema de Bayes
Sea un Espacio Muestral S compuesto por Ai eventos mutuamente
excluyentes y un evento B asociado a S tal que todos los eventos Ai
tienen intersecciones con el evento B.
Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de
Bayes nos indica cómo modifica esta información las probabilidades de
los sucesos Ai.
n
Donde:
∑ P ( A ) P( B / A )
i
i =1
i
= P(B )
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Teorema de Bayes
EJEMPLO:
Suponga que el 60% de los circuitos integrados de una computadora provienen de la fábrica
A y el resto de la fábrica B. Las tasas de defectuosos para A es del 35% y para B del 25%.
Al encontrar un circuito defectuoso cualquiera ¿cuál es la probabilidad de que provenga de
la fábrica A?
Sean:
A: el circuito proviene de la fábrica A
D: circuito defectuoso
;
B: el circuito proviene de la fábrica B
P(A∩D)=P(A).P(D/A)
P(D)= P [(A∩D) U (B∩D)] = P ( A ) . P ( D / A ) + P ( B ) . P ( D / B )
P (A /D) =
P ( A) P ( D / A)
P ( A) P ( D / A) + P ( B ) P ( D / B )
P (A /D) =
0,6.0,35
0,21
= 0,68
=
0,6.0,35 + 0,4.0,25 0,31
Conocida la probabilidad de defectuoso de cada fábrica, la expresión anterior permite
calcular la probabilidad de que siendo defectuoso el circuito provenga de una determinada
fábrica. La relevancia de este teorema es su vinculación con la comprensión de la
probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.