NUMEROS COMPLEJOS

Escuela profesional: Ingeniería de Telecomunicaciones
Curso: Matemática Básica
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
Mayo del 2023
NÚMEROS COMPLEJOS
UNIDAD I
ciencia; en ese momento, un grupo de personas
buscaba fórmulas para obtener las raíces exactas de
Representa geométricamente los números complejos
los polinomios de grados 2 y 3.
y aplica las propiedades al realizar operaciones con
En primer lugar, su interés era dar con las raíces
números complejos.
reales de las ecuaciones antes mencionadas; sin
embargo, también debieron enfrentarse a las raíces
Semana 01
de
números
negativos.
El
famoso
filósofo,
matemático y físico de origen francés Descartes fue
Sistema de los números complejos, propiedades de la
adición y la multiplicación. Plano complejo. Forma
binomial,
propiedades
de
la
adición
y
la
multiplicación.
quien creó el término de números imaginarios en el
siglo XVII, y recién más de 100 años más tarde sería
aceptado el concepto de los complejos. Sin embargo,
fue necesario que Gauss, científico alemán, lo
redescubriera un tiempo después para que éste
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
recibiera la atención que merecía.
COMPLEJOS
¿Para qué sirven?
Un recorrido histórico
La utilidad de los números complejos va más allá de
Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos
la resolución de la ecuación de segundo grado
matemáticos griegos, como ser Herón de Alejandría,
mostrada al comienzo, ya que son imprescindibles en
comenzaron a esbozar el concepto de números
el campo de la ingeniería y de la física, sobre todo
complejos, ante dificultades para construir una
en:
pirámide. Sin embargo, recién en el siglo XVI
-El estudio de las ondas electromagnéticas
empezaron a ocupar un lugar importante para la
-Análisis de la corriente y el voltaje alternos
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Semestre 2023 - I
-La modelización de toda clase de señales
SUMA Y PRODUCTO
-Teoría de la relatividad, donde el tiempo se asume
como una magnitud imaginaria.
Dados los números complejos 𝑧1 = (𝑎, 𝑏) y
𝑧1 = (𝑐, 𝑑), se definen:
Suma:
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = (𝒂, 𝒃) + (𝒄, 𝒅) = (𝒂 + 𝒄, 𝒃 + 𝒅)
DEFINICIÓN
Se define un número complejo como un par
Producto:
ordenado de números reales.
𝒛𝟏 𝒛𝟐 = (𝒂, 𝒃)(𝒄, 𝒅) = (𝒂𝒄 − 𝒃𝒅, 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)
𝐶 = {𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 / 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅, 𝑖 = √−1 }.
La relación de igualdad en este conjunto es tal que
Con estas operaciones el conjunto 𝐶 tiene la
estructura de cuerpo conmutativo.
𝑧1 = (𝑎1 ; 𝑏1 ) coincidiría con 𝑧2 = (𝑎2 ; 𝑏2 ) si y
solo si 𝑎1 = 𝑎2 𝑦 𝑏1 = 𝑏2 .
PARTES REAL E IMAGINARIA
Al número especial 𝒊 se le llama la unidad
imaginaria.
Entre el conjunto de los números reales R y el
subconjunto 𝐶 ∗ de
los
números
complejos,
constituido por los elementos de la forma (𝑎, 0), se
Operaciones con números complejos
Con los números complejos podemos realizar todas
las operaciones que se hacen con los reales. Algunas
son más fáciles de hacer si los números vienen en
forma binómica, como por ejemplo la suma y la resta.
En cambio, la multiplicación y la división son más
simples si se llevan a cabo con la forma polar.
puede establecer un isomorfismo, de manera que al
complejo (𝑎, 0) le hacemos corresponder el número
real 𝒂.
Por otro lado, los complejos de la forma (0, 𝑏) ,
reciben el nombre de imaginarios puros.
Así, en 𝑧 = (𝑎, 𝑏), a la componente “a” se le llama
parte real y a “b” parte imaginaria.
En particular, al número (0,1) se le llama unidad
imaginaria y lo representamos por 𝑖.
FORMA BINÓMICA
Con lo anterior,
𝑧 = (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (0, 𝑏). Pero,
(0, 𝑏) = (𝑏, 0)(0, 1)
Entonces,
𝑧 = (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (𝑏, 0)(0,1) = 𝑎 + 𝑏𝑖
Esta expresión 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , recibe el nombre de
forma binómica del número complejo.
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Semestre 2023 - I
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
COCIENTE EN FORMA BINÓMICA
Con las operaciones anteriores,
Para dividir complejos en forma binómica se
𝑖 2 = (0, 1)(0, 1) = (−1,0) = −1
multiplican, respectivamente, el numerador y el
𝑖 3 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 = −𝑖
denominador por el conjugado del denominador.
𝑖4 = 𝑖3 ∙ 𝑖 = 1
𝑧1 ÷ 𝑧2 =
En general, quedará 𝑖 𝑛 = 𝑘, siendo,
𝑘=1
para
𝑛 = 4̇
𝑘=𝑖
para
𝑛 = 4̇ + 1
𝑘 = −1 para
𝑛 = 4̇ + 2
𝑘 = −𝑖
𝑛 = 4̇ + 3
para
𝑧1𝑧̅2 (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)
=
𝑧1𝑧̅2 (𝑐 + 𝑑𝑖 )(𝑐 − 𝑑𝑖 )
=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
+
𝑖
𝑐 2 + 𝑑2 𝑐 2 + 𝑑2
Semana 02
SUMA Y PRODUCTO EN FORMA BINÓMICA
Módulo de un número complejo, Conjugado. Forma polar o
trigonométrica, operaciones y propiedades.
La utilización de la forma binómica nos permite
operar con los complejos como si fueran polinomios.
Suma
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖 ) + (𝑐 + 𝑑𝑖 )
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dado 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se define el módulo como:
= (𝑎 + 𝑐 ) + (𝑏 + 𝑑 )𝑖
|𝑧| = √𝑧𝑧̅ = √𝑎2 + 𝑏2 .
Propiedades
Producto
i. ∀ 𝑧 𝜖 𝐶 ⇒ |𝑧| ≥ 0.
𝑧1 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖 )(𝑐 + 𝑑𝑖 )
|𝑧| = 0, 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑧 = (0,0).
= (𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖 2 )
ii. ∀ 𝑧1 , 𝑧2 𝜖 𝐶 ⇒ |𝑧1 𝑧2| = |𝑧1 ||𝑧2|
= (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
𝑧
|𝑧 |
iii. ∀ 𝑧1 , 𝑧2 𝜖 𝐶, 𝑆𝑖 𝑧2 ≠ (0, 0), |𝑧1 | = |𝑧1 |
2
COMPLEJOS CONJUGADOS
2
iv. ∀ 𝑧1, 𝑧2 𝜖 𝐶 ⇒ |𝑧1 +𝑧2| ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 |
Dado el complejo
Dado el complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, llamaremos complejo
ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
conjugado a 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖.
Dado el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se define el
Propiedades
argumento como aquel ángulo 𝜃, que tomaremos en
∀ 𝑧1 , 𝑧2 𝜖 𝐶
el intervalo [0, 2𝜋⟩, tal que,
a. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧̅1 + 𝑧̅2
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
b. ̅̅̅̅̅̅
𝑧1 𝑧2 = 𝑧̅1 𝑧̅2
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𝑎
,
|𝑧 |
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑏
|𝑧 |
Semestre 2023 - I
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
FORMAS TRIGONOMÉTRICA Y POLAR
Podemos establecer una correspondencia entre el
Sustituyendo
conjunto C de números complejos y el conjunto de
anteriores queda, 𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)
puntos del plano 𝑅2 , de tal forma que representando
trigonométrica).
en el eje horizontal (eje real) la parte real y en el eje
Escribiendo en forma simbólica el complejo 𝑧 como
vertical (eje imaginario), la parte imaginaria, a cada
𝑧 = |𝑧|𝜃, se obtiene la llamada forma polar ó
elemento 𝑧 𝜖 𝐶 le corresponde uno y sólo un punto
módulo-argumental.
en
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖,
las
expresiones
(forma
de 𝑅2 . Este punto recibe el nombre de afijo del
número complejo.
FORMA EXPONENCIAL
Desarrollando en serie las funciones 𝑒 𝑖𝜃 , 𝑐𝑜𝑠𝜃 y
𝑠𝑒𝑛𝜃 se puede comprobar, 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃.
Sustituyendo en la forma trigonométrica se puede
escribir
𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 ) = |𝑧|𝑒 𝑖𝜃
(forma
exponencial)
Asimismo, a cada número complejo le corresponde
PRODUCTO Y COCIENTE EN FUNCIÓN DE
uno y solo un vector de 𝑅2 . Vector que tendrá como
LOS MÓDULOS Y ARGUMENTOS
origen el origen de coordenadas y como extremo el
afijo del complejo.
Sean, 𝑧1 = |𝑧1 |𝑒 𝑖𝜃1 y 𝑧2 = |𝑧2 |𝑒 𝑖𝜃2 .
Con las operaciones suma, ya definida, y la
Producto
operación externa ∗, producto por un escalar
𝑧1 𝑧2 = |𝑧1 ||𝑧2 |𝑒 𝑖(𝜃1 +𝜃2 )
perteneciente a un cuerpo K, el conjunto C adopta la
Los módulos se multiplican y los argumentos se
estructura de espacio vectorial y podemos establecer
suman.
un isomorfismo entre C y el espacio vectorial V de
Cociente:
los vectores libres de 𝑅2 . lo cual nos va a permitir
𝑧1÷ 𝑧2 =
trabajar indistintamente con números complejos ó
con
vectores,
según
convenga
a
nuestras
|𝑧1| 𝑖(𝜃 −𝜃 )
𝑒 1 2
|𝑧2 |
Los módulos se dividen y los argumentos se restan.
aplicaciones. Se observa que
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 (módulo del vector)
𝑡𝑔𝜃 =
𝑏
; 𝑎 = |𝑧|𝑐𝑜𝑠𝜃,
𝑎
𝑏 = |𝑧|𝑠𝑒𝑛𝜃
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Semestre 2023 - I
𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 = cos(𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥) cumple el
Semana 03
teorema.
Potencias y Raíces de números complejos.
P-2: Hipótesis inductivo: En esta ocasión es posible
considerar tres casos:
POTENCIA DE UN NÚMERO COMPLEJO.
Para 𝒏 > 𝟎 , 𝑛 𝜖 𝑍 + debemos de proceder por
DE MOIVRE
medio de la inducción matemática. En dónde 𝑛 = 1,
¿Qué es el teorema de Moivre?
El teorema de Moivre aplica procesos fundamentales
el resultado es cierto. En la hipótesis se asume que el
de álgebra, como las potencias y la extracción de
Por lo que se asume:
raíces
en
números
complejos.
El
resultado verdadero para algún entero positivo 𝐾 .
teorema
[𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 ]𝑘 = cos(𝑘𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
fue enunciado por el reconocido matemático francés
A continuación, consideramos el caso 𝑛 = 𝑘 + 1:
Abraham de Moivre (1730), quien asoció los
[𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 ]𝑘+1
números complejos con la trigonometría.
= [𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 ]𝑘 (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥)
Abraham Moivre realizó esta asociación por medio
de las expresiones del seno y coseno. Este
matemático generó una especie de fórmula a través
de la cual es posible elevar un número complejo z a
la potencia n, que se trata de un número entero
positivo mayor o igual 1.
= (𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥)
FÓRMULA DE MOIVRE.
trigonométricas.
por
la
hipótesis de inducción
= 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 )𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 )
+ 𝑖 [𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 )𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 )𝑐𝑜𝑠𝑥 ]
= 𝑐𝑜𝑠[(𝑘 + 1)𝑥 ] + 𝑖𝑠𝑒𝑛[(𝑘 + 1)𝑥 ] por identidades
De esta forma conseguimos deducir que le resultado
Sea 𝑧 = |𝑧|𝑒 𝑖𝜃
será verdadero para 𝑛 = 𝑘 + 1 cuando es verdadero
𝑛
𝑧 𝑛 = (|𝑧|𝑒 𝑖𝜃 ) = |𝑧|𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜃
para 𝑛 = 𝑘. Así, gracias al principio de la inducción
En forma trigonométrica quedaría
𝑧 𝑛 = |𝑧|𝑛 (cos𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑛𝜃 ) (Fórmula de moivre)
matemática se desprende el resultado verdadero para
todos los enteros 𝑛 > 1.
Para 𝑛 = 0 , la fórmula es verdadera, en dónde
Teoerma de Moivre: si n es cualquier entero,
entonces
[𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 ]𝑛 = cos(𝑛𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
Demostración
𝑐𝑜𝑠(0𝑥) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(0𝑥) = 1 + 𝑖0 = 1, 𝑦 𝑧 0 = 1.
Para 𝑛 < 0 se considera un entero positivo m tal 𝑛 =
−𝑚.
De esta forma:
Por inducción:
[𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 ]𝑛 = [𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 ]−𝑚
P-1: Base inductiva, se comprueba para 𝑛 = 1
1
𝑧 = [𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 ]1 = cos(1 ∙ 𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(1 ∙ 𝑥)
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=
1
(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 )𝑚
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=
1
(𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 )
Semana 04
forma exponencial y logaritmo de un numero Complejo.
= cos(𝑚𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥)
= cos(−𝑚𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛(−𝑚𝑥 )
LOGARITMO NEPERIANO DE UN NÚMERO
COMPLEJO.
= cos(𝑛𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥).
Generalmente el teorema suele ser cierto para todos
Sea
los valores enteros de 𝑛.
𝑧 = |𝑧|𝑒 𝑖𝜃
Con esto terminamos con nuestra información sobre
el teorema de Moivre, esperamos que la información
Notemos que figurando 𝜃 en el exponente,
podríamos pensar, para generalizar, sustituir 𝜃 por
te haya sido de utilidad.
𝜃 + 2𝑘𝜋, ya que 𝑐𝑜𝑠𝜃 = cos (𝜃 + 2𝑘𝜋) y 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 2𝑘𝜋), 𝑝𝑒𝑟𝑜,
RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS.
𝑒 𝑖(𝜃+2𝑘𝜋) = 𝑒 𝑖𝜃 𝑒 𝑖2𝑘𝜋
Sea 𝑧 = |𝑧|𝜃. Su raíz n-ésima será otro número
Es decir, que mientras figure en el exponente no se
complejo r, 𝑟 = |𝑟|𝛼 , tal que,
están restringiendo soluciones por escribir 𝜃 en lugar
𝑛
√𝑧 = 𝑟 ⇒ 𝑟 𝑛 = 𝑧
𝜃 + 2𝑘𝜋. Pero, al aplicar logaritmos el exponente
De esta igualdad,
| 𝑟 |𝑛 = |𝑧 |,
= 𝑒 𝑖𝜃 (𝑐𝑜𝑠2𝑘𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛2𝑘𝜋) = 𝑒 𝑖𝜃
pasaría como factor y pondríamos:
𝑛𝛼 = 𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑧 = |𝑧|𝑒 𝑖(𝜃+2𝑘𝜋) .
Es decir,
𝑙𝑛𝑧 = 𝑙𝑛|𝑧| + 𝑙𝑛𝑒 𝑖(𝜃+2𝑘𝜋)
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝛼=
𝑛
𝑛
|𝑟 | = √ |𝑧 |,
𝑙𝑛𝑧 = 𝑙𝑛|𝑧| + 𝑖(𝜃 + 2𝑘𝜋)
En principio, 𝑘 puede adoptar los valores 𝑘 = 0, ±1,
Para 𝐾 = 0, ±1, ±2, ±3 …
±2 , ±3 ,..., pero solo se obtienen argumentos α
Existirían infinitas soluciones para el logaritmo,
Tomaremos 𝑘 =
todas con la misma parte real. Aquel complejo que se
0, 1, 2, 3 … n-1. Para otros valores de 𝑘 se repetirían
obtiene para el valor de 𝑘 ⁄|𝜃 + 2𝑘𝜋| ≤ 𝜋, recibe el
valores de raíces ya obtenidos.
nombre de valor principal del logaritmo. Los afijos
Los afijos de las n-raíces estarían sobre una
de los correspondientes logaritmos estarían sobre una
distintos
para “𝑛” valores.
circunferencia
de
comprendido
entre
radio
cada
𝑛
√ |𝑧 | y
par
el
de
ángulo
vectores
recta vertical.
Propiedades de logaritmos:
correspondientes a sendas raíces consecutivas, todos
𝜃
iguales, valdrá (𝑛).
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log 𝑎 (𝑚𝑛) = log 𝑎 𝑚 + log 𝑎 𝑛
𝑚
log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑚 − log 𝑎 𝑛
𝑛
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log 𝑎 𝑚𝑟 = 𝑟 log 𝑎 𝑚
1
𝑛
log 𝑎 √𝑚 = log 𝑎 𝑚𝑛 =
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1
log 𝑎 𝑚
𝑛
Restando:
log 𝑎 𝑎 = 1
log 𝑏 𝑎 =
𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃
2
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
log 𝑐 𝑎
log 𝑐 𝑏
𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃
2𝑖
Dividiendo ambas:
log 𝑏 𝑎 ∙ log 𝑐 𝑏 ∙ log 𝑑 𝑐 = log 𝑑 𝑎
𝑡𝑔𝜃 =
(𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃 )
𝑒 2𝑖𝜃 − 1
=
𝑖 (𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃 ) 𝑖 (𝑒 2𝑖𝜃 + 1)
Ejemplo:
Ejercicios
Determinar: 𝑖 𝑖
1.- Expresar en las formas trigonométrica y
exponencial los complejos:
Solución
Sabrmos que 𝑖 𝑖
= 𝑒 𝑖𝑙𝑛𝑖 = 𝑒
=
𝜋
2
𝑖[𝑖( +2𝑘𝜋)]
𝜋
−𝑖( 2 +2𝑘𝜋)
𝑒
a. 𝑧1 = √2 − √2𝑖
b. 𝑧2 = √2 + √2𝑖
c. 𝑧3 = −√2 − √2𝑖
d. 𝑧4 = −2𝑖
2. Expresar en forma binómica
𝑧 = 52𝜋
Donde el valor principal esta dado por:
3
= 𝑒 −𝜋/2
.
3. Hallar el conjugado de
POTENCIAS DE
COMPLEJO.
BASE
Y
EXPONENTE
Supongamos que siendo 𝑧1 , 𝑧2 números complejos,
𝑧=
4. Efectuar:
𝑧 = (1 − 𝑖)8 .
queramos efectuar la operación 𝑧1 𝑧2 .
Sea 𝑧 = 𝑧1 𝑧2 , aplicando logaritmos neperianos
1+𝑖
.
1 − 2𝑖
5. Hallar las raíces cúbicas de
𝑍 = (−√3 + 𝑖).
𝑙𝑛𝑧 = 𝑧2 𝑙𝑛𝑧1
= 𝑧2 [𝑙𝑛|𝑧1 | + 𝑖(𝜃1 + 2𝑘𝜋)]
6. Hallar:
𝑧 = 𝑒 𝑧2 [𝑙𝑛|𝑧1|+𝑖(𝜃1 +2𝑘𝜋)]
ln(√3 + √3𝑖).
FÓRMULAS DE EULER
7. Hallar los valores de la potencia
(1 + 𝑖 )𝑖 .
Aprovechando las igualdades que se obtienen de los
correspondientes desarrollos en serie:
8. Calcular los valores de:
(1−√3𝑖)
𝑖𝜃
{ 𝑒−𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑒
= 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
√2 − 2𝑖 .
Sumando:
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9. Hallar el argumento de un complejo de la forma
9𝜋
𝑖 )( 4 +𝑖𝑙𝑛√2)
(1 +
que tenga módulo 1.
01. Si z es un número complejo que verifica la
ecuación
6 + 4𝑖
2
+ 3𝑖 =
,
−5 + 𝑖
𝑧−1
Calcule |𝑧|
10. Resolver la ecuación:
𝑒
𝑧+𝑖
𝑧
Ejercicios y más ejercicios
= 1 − 𝑖.
11. La suma de dos números complejos es 3 + 2𝑖, el
cociente es un número imaginario puro y la parte real
de uno de ellos es 2. Hallar dichos números
complejos.
02. Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, tal que 𝑧 39 = 1, 𝑧 ≠ 1
Hallar
𝑅𝑒(𝑧 + 𝑧 2 + 𝑧 3 + 𝑧 4 + ⋯ + 𝑧 37 )
03. Si 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 𝑛 = 1, 𝑧 ≠ 1 y
𝑆 = 1 + 2𝑧 + 3𝑧 2 + 4𝑧 3 + ⋯ + 𝑛𝑧 𝑛−1 .
Hallar 𝑅𝑒(𝑆) + 𝐼𝑚(𝑆)
12. Hallar el valor principal de:
2 1+𝑖
𝑧 = 𝑙𝑛
.
𝑖 1−𝑖
04. Calcular los valores de 𝑧 en la ecuación
𝑠𝑒𝑛𝑧 = 𝑖
13. Calcular los valores de 𝑧 en la ecuación
4𝑠𝑒𝑛𝑧 = 3𝑖.
05. Calcular el valor de la expresión:
14. Obtener las raíces de la ecuación:
𝑥 5 − 2𝑥 4 + 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 2 = 0.
𝜋
𝜋
(𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 ( ))
2
2
𝜋
15. Expresar en forma binómica:
𝑛
77
06. Si |𝑧 ∙ 𝑖 | = 4, 𝐴𝑟𝑔[𝑧 ∙ (1 + 𝑖)] = 2 , entonces el
𝑛
(1 + √3𝑖) + (1 − √3𝑖) .
calcule el número complejo z en su forma polar.
16. Hallar el lugar geométrico del afijo de
𝑎+𝑖
𝑧=
,
1 + 2𝑎 + 𝑖
sabiendo que 𝑎 𝜖 𝑅.
07. Calcule el numero complejo
(1 + 𝑖𝑡𝑎𝑔)𝜃 7
𝑧=
𝑐𝑜𝑠7𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛7𝜃
08. El número
17. Demostrar que si los vértices de un triángulo
equilátero son los afijos de los números 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 se
verifica
𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧32 = 𝑧1 𝑧2 + 𝑧1𝑧3 + 𝑧2 𝑧3 .
18. Reducir:
1 + (1 + 𝑖 ) + (1 + 𝑖)2 + (1 + 𝑖)2 + ⋯ + (𝑥 + 𝑖)11
19. Resolverla ecuación:
𝑧
= 3 + 4𝑖
1+𝑧
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(1 + 𝑖 )
halle
para
𝑛, 𝑚 𝜖 𝑁
trigonométrica.
𝑛+𝑚
2 ,
su
representación
09. Si 𝑛 = 8𝑘 𝑦 𝑘 𝜖 𝑍 +, calcule el valor de R.
𝑅=(
1
√2
10. Resolver:
(1 + 𝑖 )𝑥 =
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+
1
√2
𝑛
𝑖) + (−
1
√2
+
1
√2
𝑛
𝑖)
−𝑖
Semestre 2023 - I
11. Los números complejos 𝑧1 , 𝑧2 se representan en
el plano Gaussiano, estos dos numeros complejos
satisfacen las condiciones:
18. Resolver:
4
𝑡𝑔𝑧 = − 𝑖
5
19. Resolver:
𝑖𝑥 = 2
20. Resolver:
𝑥2 = 𝑖
21. Resolver:
1
𝐼. |𝑖 ∙ 𝑧2 | = |𝑧1 |
2
𝐼𝐼. el conjugado del opuesto de 𝑧1 es 2 + 2𝑖. Entoces
𝑧2 expresado en su forma exponencial dar como
resultado una de sus raices.
𝑒 √𝑖
22. Resolver:
𝑠𝑒𝑛𝑧 = 4
23. Pruebe:
11. Sea el numero complejo:
|𝑤 + 𝑧| ≤ |𝑤| + |𝑧|
11
[𝑐𝑜𝑠12° + 𝑖𝑠𝑒𝑛12°]4 [√2(𝑐𝑜𝑠8° + 𝑖𝑠𝑒𝑛8°)]
𝑤=
[𝑐𝑜𝑠6° + 𝑖𝑠𝑒𝑛6°]11[𝑠𝑒𝑛80° + 𝑖𝑐𝑜𝑠80°]
Calcular la forma exponencial de w.
12. Si 𝑤 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 y 𝑤 ≠ −1, 0° < 𝜃 <
𝜋
2
determine la forma exponencial del número
complejo 𝑧 = 𝑤 2 + 𝑤.
13. Si 𝑧 es un número complejo, halle la parte
imaginaria de una de las soluciones de:
𝑧 2 − 2𝑧 + 𝑖 = 0,
24. Dados los complejos
𝜋
𝜋
𝑧 = 6 (𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 ( ))
3
3
𝜋
𝜋
𝑤 = 2 (𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 ( ))
6
6
Halle 𝑧 ∙ 𝑤 y 𝑧 ÷ 𝑤.
Bibliografías:
• FERNÁNDEZ VIÑA, J. A. (1986). Análisis
Matemático I. Madrid. Tecnos S.A.
14. Resuelva la ecuación:
𝑧3 = 𝑖
• Trejo, César A. Funciones de variable compleja
(1974)
p.186
𝑧 4 = −𝑖
• Moisés Lázaro. Números complejos. Ediciones
Moshera, Lima (2011)
𝑧𝑧 = 𝑖
• Análisis matemático. Volumen I de Haaser,
LaSalle y Sullivan (1977) Trillas, p.483
15. Calcular
16. Resolver:
17. Resolver:
𝑐𝑜𝑠𝑧 = 2
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