Algebra I “Tarea 1”
EQUIPO #2
De La Mora Rodríguez Monserrat
18/08/21
Conceptos para investigar.
o
Conjunto: es una colección de objetos que tienen una característica entre sí o
comparten propiedades, estos objetos reciben el nombre de elementos de dicho
conjunto. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un
elemento arbitrario está o no en él.
o
Proposición: tomado de la lógica es una expresión matemática o enunciado donde
se niega o afirma algo que puede definirse como verdadero o falso, pero nunca
las dos cosas simultáneamente.
La veracidad o falsedad de un enunciado se llama su "Valor de Verdad". Los
términos verdadero o falso se consideran como atributos de una proposición,
excluyéndose de ellos toda interpretación filosófica.
o
Tipos de proposiciones: se dividen en dos tipos dependiendo de cómo estén
formadas:
▪
Proposiciones Simples: aquellas que no poseen oraciones componentes
afectadas por operadores lógicos. Estos términos de enlace pueden
aparecer en el sujeto o en el predicado, pero nunca entre oraciones
componentes.
▪
Proposiciones Compuestas: son las que se encuentran afectadas por
operadores lógicos, estos permiten modificar proposiciones, o asociar dos
o más enunciados simples, convirtiéndolos en proposiciones compuestas.
Estos operadores lógicos o también conocidos como conectores lógicos
son los que nos permiten relacionar proposiciones para formar nuevas
proposiciones. Igualmente permiten definir operaciones en los conjuntos
para obtener nuevos conjuntos.
Tabla de conectores lógicos
Conjunción (Dos proposiciones
y
simples pueden combinarse
mediante la letra para formar una
proposición compuesta)
Disyunción (Inclusiva-integramos 2 o
enunciados, Exclusiva-cuyo valor
de verdad es verdadero solamente
cuando uno de los valores de
verdad de las proposiciones
asociadas es verdadero)
Condicional (Si p y q son dos
Si “p” entonces “q”
enunciados, la proposición
compuesta si p entonces q se
llama condicional de p y q)
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Negación (hace cambiar el valor de no
verdad de la proposición original)
Bicondicional o doble implicación “p” si y solo si “q”
(la proposición p es condición
para q y, al mismo tiempo, la
proposición q es condición para p)
o Determinación de un conjunto: existen dos formas de determinar un conjunto, por
extensión o por comprensión.
➢ Extensión: aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los
elementos del conjunto, cuando se nombra o se enumera cada uno de sus
elementos.
Ejemplo: El conjunto “Q” formado por los números pares menores que 10.
Q={2; 4; 6; 8}
➢ Comprensión o en forma constructiva: cuando solo se menciona una
característica común de un conjunto que define exactamente a todos los
elementos utilizando para ello el símbolo “x | x” que se lee “x tal que x”.
Ejemplo: B={x | x es una vocal}
Donde los valores de x pueden ser:
x=a; x=e; x=i; x=o; x=u
esto se lee: “equis tal que equis sea una vocal”
o
Representación de un conjunto: para representar los conjuntos se utilizan las letras
mayúsculas del alfabeto, mientras que para simbolizar sus elementos se usan
minúsculas.
A={a, b, c}
No escribiremos un mismo elemento repetidas veces, el orden en que aparecen
los elementos de un conjunto, cuando están enlistados, es irrelevante.
o
Unión de conjuntos: la unión de dos conjuntos A y B, representada por AUB, es el
conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos conjuntos.
En notación se escribe:
A ∪ B= {x | x ∈ A o x ∈ B}
Ejemplo:
A={a, e, i, o, u} y B={a, b, c, d, e,}
A ∪ B={a, b, c, d, e, i, o, u}
o
Intersección de conjuntos: la intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de
los elementos comunes a ambos; es decir, aquellos elementos que están o
pertenecen al conjunto A y que también pertenecen a B.
Se define por:
A ∩ B= {x | x ∈ A y x ∈ B}
Ejemplo:
M={4, 8, 12, 16, 20} y N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
M ∩ N={4, 8}
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o Subconjuntos: sean A y B dos conjuntos. Decimos que B es un subconjunto de A,
si cada elemento de B es también un elemento de A.
La notación B ⊂ A siempre que B sea un subconjunto de A, B ⊂ A si y solo si, x ∈ B
implica que x ∈ A.
Se lee “B está contenido en A” o también “B es subconjunto de A”
Ejemplo:
A={2, 4, 6} y B={1, 2, 3, 4, 5, 6} entonces A ⊂ B, ya que los elementos 2, 4 y 6 de A
pertenecen también al conjunto B.
o Producto Cartesiano: el producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto
de todos los pares ordenados (a, b), donde a ∈ A y b ∈ B. Se representa por A X B.
En notación de conjuntos tenemos que:
A X B= {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B}
Para distinguir un elemento de un producto cartesiano (un par ordenado) de otro
y no tener repetición se establece el criterio de identidad siguiente. Los pares
ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si y solo si a=c y b=d. De acuerdo con esto, los
pares ordenados (4, 7) y (7, 4) no son iguales.
o Números Reales: son cualquier número que corresponda a un punto en la recta
real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y
podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente
dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino
que tienen que buscarse expresamente.
-Dominio de los números reales:
-Números reales en la recta real: recibe este nombre dado que podemos
representar en ellas todos los números reales.
Esquema:
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-Clasificación de los números reales:
❖ Naturales(N): Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto
que se especifique lo contrario (cero neutral), tampoco toma en cuenta los
números negativos.
N={1, 2, 3, 4…}
❖ Enteros(Z): son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos
los números negativos.
Z={… ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
❖ Racionales(Q): son todos los números que pueden representarse como el
cociente de dos números enteros o, más exactamente, un entero y un
natural positivo; es decir, una fracción común a/b con numerador a y
denominador b distinto de cero.
Q={… ,8/2, -7/5, 2/3, 17/-1, …}
❖ Irracionales(I): son números decimales que no pueden expresarse ni de
manera exacta ni de manera periódica.
I={…, π, e, ...}