ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS (E.P.E)
EJERCICIOS RESUELTOS
SEMANA 2
TEMA: Coordenadas cilíndrica, esféricas y función vectorial
1.
Sea E la región del primer octante que se encuentra dentro de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9, fuera de la
esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 y detrás del plano 𝑦 = 𝑥 .
a. Bosquejar la región E.
b. Describa E en coordenadas esféricas.
Solución
a. De acuerdo a las ecuaciones se tiene la siguiente región:
b. De cada una de las ecuaciones se tiene las siguientes expresiones:
Recorrido para 𝜌:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9 ⇒ 𝜌 = 3 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 ⇒ 𝜌 = 2, por lo cual: 2 ≤ 𝜌 ≤ 3
Recorrido para 𝜃, inicia en la recta 𝑦 = 𝑥 y termina en el eje 𝑦(𝜃 = 𝜋/2)
𝑦=𝑥⇒𝜃=
𝜋
4
Recorrido para 𝜑: inicia en el eje 𝑧(𝜑 = 0) y termina en el plano 𝑥𝑦(𝜑 = 𝜋/2)
𝜋
4
𝜋
2
𝜋
2
Por lo tanto se tiene: 𝐸 = {(𝜌, 𝜃, 𝜑)/ ≤ 𝜃 ≤ ; 0 ≤ 𝜑 ≤ ; 2 ≤ 𝜌 ≤ 3}
1
2.
Dadas las superficies:𝑆1 : 𝑧 = 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑆2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 5 y 𝑆3 : 𝑧 = 0.
a. Grafique la región limitada por las superficies.
z
b. Use coordenadas cilíndricas para describir dicha región.
Solución
a.
𝑆1 : 𝑧 = 1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑧 = 1 + 𝑟 2
𝑆2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 5 → 𝑟 2 = 5 → 𝑟 = √5
z
r
y
x
b. 𝐸 = {(𝑟; 𝜃; 𝑧)/0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋; 0 ≤ 𝑟 ≤ √5; 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 + 𝑟 2 }
3.
Grafique la región 𝐸 limitada por las superficies 𝑆1 : 𝜌 = 3sec(∅); 𝑆2 : ∅ =
descríbala ordenadamente utilizando coordenadas esféricas.
𝜋
4
; 𝑆3 : 𝑧 = 1 y luego
Solución
𝑆1 : 𝜌 = 3 sec(∅) → 𝜌 =
𝑆2 : ∅ =
3
→ 𝑆1 : 𝑧 = 3
cos∅
𝜋
→ 𝑆2 : 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2
4
𝜋
1
3
𝐸 = {(𝜌; 𝜃; ∅); 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋; 0 ≤ ∅ ≤ ;
≤ ≤
}
4 cos∅
cos∅
2
4.
Sea E, el sólido en el primer octante, limitado por las superficies 𝑆1 : 𝑧 = 4 − 𝑦 2 , 𝑆2 : 𝑥 + 𝑦 =
2.
a. Grafique la curva C de intersección de 𝑆1 𝑦𝑆2 señalando las coordenadas de los puntos
extremos de la curva.
b. Determine una parametrización para la curva de intersección C indicando el intervalo del
parámetro. Además, exprésela como función vectorial.
c. Utilizando la parametrización propuesta en la parte (b), halle la derivada de la función
vectorial en el punto 𝑃(1; 1; 3).
Solución
𝑥 =2−𝑡
a.
b. 𝐶 = { 𝑦 = 𝑡 , 𝑡 ∈ [0; 2]
𝑧 = 4 − 𝑡2
𝒓(𝑡) = ⟨2 − 𝑡; 𝑡; 4 − 𝑡 2 ⟩, 𝑡 ∈ [0; 2]
(2;0;4)
c.
Hallando t para el punto P(1;1;3)
𝑥 =2−𝑡 =1⇒𝑡 =1
𝑦=𝑡=1⇒𝑡=1
𝑧 = 4 − 𝑡2 = 3 ⇒ 𝑡 = ±1
Luego, 𝑡 = 1
𝑟′(1) = ⟨−1; 1; −2⟩
(0;2;0)
5.
En cada caso, responda y justifique sus respuestas:
a. La longitud de la curva dada por 𝒓(𝑡) = ⟨𝑠𝑒𝑛(𝑡) ; 𝑐𝑜𝑠(𝑡) ; 2𝑡⟩ con𝑡 ∈ [0; 2𝜋], es 3𝑢.
b. Existe una única parametrización para una curva dada.
Solución
a. La longitud de curva es dado por:
2𝜋
2𝜋
𝐿 = ∫ ||𝒓′(𝑡)||𝑑𝑡 = ∫ ||⟨𝑐𝑜𝑠 𝑡 , − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 2⟩||𝑑𝑡
0
2𝜋
0
2𝜋
2𝜋
= ∫ √𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + (2)2 𝑑𝑡 = ∫ √1 + 4𝑑𝑡 = ∫ √5𝑑𝑡 = 2𝜋√5,
0
0
0
Luego el ítem “a” es falso.
b. Una curva se puede representar paramétricamente de varias maneras.
Luego el ítem “b” es falso.
3
6.
Determine el dominio de la siguiente función vectorial
𝑡𝑒 𝑡
𝒓(𝑡) = ⟨4−𝑡 2 ; √𝑡 − 1; 𝑙𝑛(5 − 𝑡)⟩.
Solución
Dominio analítico: 𝐷𝑜𝑚𝑟 = {𝑡 ∈ 𝑅/4 − 𝑡 2 ≠ 0, 𝑡 − 1 ≥ 0,5 − 𝑡 > 0}
Para la primera condición: 4 − 𝑡 2 ≠ 0 ⇒ 𝑡 ≠ ±2.
Para la segunda condición: 𝑡 − 1 ≥ 0 ⇒ 𝑡 ≥ 1.
Para la tercera tercera condición: 5 − 𝑡 > 0 ⇒ 𝑡 < 5.
Intersectando obtenemos el dominio buscado: 𝐷𝑜𝑚(𝒓) = [1; 5[−{2}.
7.
Responda los siguiente enunciados:
a. Determine los vectores velocidad 𝒗(𝑡) y posición 𝒓(𝑡) de una partícula si se conoce:
𝒂(𝑡) = 4𝒊 + 12𝑡𝒋 + 36𝑡 2 𝒌,
𝒗(0) = 𝒊,
𝒓(0) = 𝒋 − 𝒌.
b. Una partícula se mueve con función de posición 𝒂(𝑡) = 4𝒊 + 12𝑡𝒋 + 24𝑡 2 𝒌. Calcule la velocidad,
rapidez y aceleración de la partícula.
Solución
a. Para determinar el vector velocidad debemos utilizar la siguiente relación 𝒗(𝒕) = ∫ 𝒂(𝒕)𝒅𝒕.
Integrando 𝒗(𝒕) = ⟨𝟒𝒕 + 𝒄𝟏 ; 𝟔𝒕𝟐 + 𝒄𝟐 ; 𝟏𝟐𝒕𝟑 + 𝒄𝟑 ⟩, como 𝒗(0) = ⟨1,0,0⟩, igualando
componente tenemos:
𝑐1 = 1; 𝑐2 = 0; 𝑐3 = 0,
cada
Reemplazando 𝒗(𝒕) = ⟨𝟒𝒕 + 𝟏; 𝟔𝒕𝟐 ; 𝟏𝟐𝒕𝟑 ⟩
Ahora determinamos el vector posición mediante la siguiente ecuación:𝒓(𝒕) = ∫ 𝒗(𝒕) 𝒅𝒕
𝒓(𝒕) = ∫⟨𝟒𝒕 + 𝟏; 𝟔𝒕𝟐 ; 𝟏𝟐𝒕𝟑 ⟩ 𝒅𝒕
𝒓(𝒕) = ⟨𝟐𝒕𝟐 + 𝒕 + 𝒌𝟏 ; 𝟐𝒕𝟑 + 𝒌𝟐 ; 𝟑𝒕𝟒 + 𝒌𝟑 ⟩.
Del dato 𝒓(0) = ⟨0; 1; −1⟩, luego igualamos componente a componente obteniendo así el valor de
las constantes:
𝑘1 = 0, 𝑘2 = 1,𝑘3 = −1.
Ahora reemplazando obtenemos el vector posición:
𝒓(𝒕) = ⟨𝟐𝒕𝟐 + 𝒕; 𝟐𝒕𝟑 + 𝟏; 𝟑𝒕𝟒 − 𝟏⟩.
b. Para determinar el vector velocidad debemos utilizar la siguiente relación:
𝒗(𝒕) =
𝒅𝒓(𝒕)
𝒅𝒕
Dado que 𝒂(𝑡) = 4𝒊 + 12𝑡𝒋 + 24𝑡 2 𝒌
𝑑(𝑡 2 )
𝑑(𝑙𝑛 𝑡)
𝑑(𝑡𝑒 −𝑡 )
Entonces derivando el vector posición 𝒓′(𝑡) = 𝑑𝑡 𝒊 + 𝑑𝑡 𝒋 + 𝑑𝑡 𝒌, obtenemos el vector
velocidad que es dado por:
𝟏
𝒗(𝒕) = ⟨𝟐𝒕; 𝒕 ;𝒆−𝒕 − 𝒕𝒆−𝒕 ⟩,
Y la rapidez es:
𝟏 𝟐
‖𝒗(𝒕)‖ = √(𝟐𝒕)𝟐 + ( ) + (𝒆−𝒕 − 𝒕𝒆−𝒕 )𝟐.
𝒕
4
Ahora determinando el vector aceleración: 𝒂(𝒕) =
𝒅𝒗(𝒕)
𝒅𝒕
𝒅(𝟐𝒕) 𝒅(𝒕−𝟏 ) 𝒅(𝒆−𝒕 − 𝒕𝒆−𝒕 )
𝒗′(𝒕) = ⟨
;
;
⟩
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝒅𝒕
Por tanto
𝒂(𝒕) = ⟨𝟐;−𝒕−𝟐 ;−𝒆−𝒕 − 𝒆−𝒕 + 𝒕𝒆−𝒕 ⟩ = ⟨𝟐;−𝒕−𝟐 ;−𝟐𝒆−𝒕 + 𝒕𝒆−𝒕 ⟩.
5