Matemática PDV 2015

ÍNDICE
I. – Guías teóricas y de ejercitación
1. Números enteros
2A. Números racionales – Fracciones
2B. Números racionales – Decimales
3. Números Reales
4. Números Complejos
6. Álgebra I – Algebra
7. Álgebra II – Funciones
8. Álgebra III – Ecuaciones
9. Álgebra IV – Planteamientos
10. Guía Acumulativa 1
11. Guía Adicional 1 – Razones, Proporciones y Porcentaje
12. Estadística I – Definiciones y MTC
13. Combinatoria
14. Probabilidades I
15. Ángulos y Triángulos
16. Congruencia de triángulos y elementos secundarios
18. Polígonos y Cuadriláteros
19. Ángulos en la circunferencia y teoremas
20. Perímetros y áreas
21. Isometrías
22. Guía Acumulativa 2
24. Ecuación de la recta
25. Sistemas de ecuaciones
26. Vectores y ecuación vectorial de la recta
27. Geometría Proporcional I
28. Geometría Proporcional II
30A. Funciones I
30B. Funciones II
31. Estadística II - MP y MD
32. Probabilidades II
33. Datos y Azar
36. Potencias, ecuación exponencial, función exponencial
37. Raíces, Función raíz cuadrada
38. Logaritmos y Función logarítmica
39. Ecuación de segundo grado y función cuadrática
41. Inecuaciones de primer grado
42. Rectas y planos en el espacio, área y volumen de cuerpos geométricos
II – Guías de repaso
1. Sistemas numéricos
2. Álgebra, Ecuaciones de primer grado y planteamiento
3. Estadística y Probabilidad
4. Triángulos, Congruencia, Polígonos y Circunferencia
5. Ecuación de la recta, Sist. de ecua. y Ecuación vectorial de la recta
6. Geometría proporcional
7. Funciones
8. Potencias, Raíces y Logaritmos
9. Inecuaciones, Ecuac. de segundo grado, Área y volumen de cuerpos
III – Otros
1. Mini ensayos
1 - 2 2. Talleres de ejercitación
1
3. Talleres de Reforzamiento
4. Tips
1 - 2 - 3 - 4
5. Desafíos
1 - 2 - 3 6. Ensayos
1 - 2 - 3 -
3
1
4
4
2
5
-
4
2
5
5
3
6
-
5
3
6
6
4
7
-
6
4
7
7
5
8
-
7 - 8
- 6 - 7 - 8
5 - 6 - 7 - 8
8
8 - 9 - 10 - 11 - 12
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 1
UNIDAD: NÚMEROS
NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES (lN)
Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} se denominan “números
naturales”
NÚMEROS ENTEROS ()
Los elementos del conjunto  = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números
enteros”.
OPERATORIA EN 
ADICIÓN
Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el
signo común.
 Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de
menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto.

El valor absoluto de un número es el mismo número si el número es mayor
o igual a cero, y el opuesto si el número es menor que cero. El valor absoluto de +5 ó de -5
es 5.
OBSERVACIÓN:
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN


Si se multiplican o dividen dos números de igual signo el resultado es positivo.
Si se multiplican o dividen dos números de distinto signo el resultado es negativo.
EJEMPLOS
1.
-2 + (-107) =
A) -109
B) -105
C) 105
D) 109
E) 214
2.
-600 : 30 =
A) -200
B) -20
-2
C)
20
D)
E) 200
3.
90.606 – 19.878 =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
60.728
60.738
70.728
70.736
71.628
Si al número entero (-4) le restamos el número entero (-12), resulta
A) -16
B) -8
C)
8
D) 16
E) 48
5.
(-3) · 3 · (-3) · (-3) · 3 =
A) -243
B) -81
-3
C)
D)
81
E) 243
6.
Dados los números a = -3 + 3, b = 1 – 3 y c = -4 : -2. Entonces, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a y b son números enteros.
a no es número natural.
(c – b) es un número natural.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2
DEFINICIONES:
Sea n un número entero, entonces:

El sucesor de n es (n + 1).

El antecesor de n es (n – 1).

El entero 2n es siempre par.

El entero (2n – 1) es siempre impar.

El entero (2n + 1) es siempre impar.

Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.

El cuadrado perfecto de n es n2, con n  0.
OBSERVACIÓN:

Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,
196, 225, 256, …

El cero es un entero par.
EJEMPLOS
1.
Si al antecesor de 0 se le resta el sucesor de -5, se obtiene
A) 4
B) 3
C) -1
D) -3
E) -5
2.
¿Cuántos números pares hay entre -6 y 6?
A)
B)
C)
D)
E)
7
6
5
4
2
3
3.
La suma de todos lo números impares mayores que -9 y menores que 7, es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
4.
0
-2
-7
-8
-9
En la serie de los cuadrados perfectos la diferencia positiva entre el primer término y el
undécimo término es
A) 143
B) 120
C) 117
D) 99
96
E)
5.
La diferencia negativa de dos números pares consecutivos, menos la unidad es igual a
A) -3
B) -2
C) -1
D) 2
E) 3
6.
Si a y b son números enteros tales que (a + b) es impar, entonces ¿cuál de las
siguientes expresiones representa un número impar?
A)
B)
C)
D)
E)
3a · b
a+b+1
a–b+3
b–a+5
a·b+7
4
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al efectuar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

Resolver las operaciones entre paréntesis.

Realizar las potencias.

Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

Realizar adiciones y/o sustracciones.
EJEMPLOS
1.
-1 · 1 + 1 – 1 : 1 + 1 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
4
3
2
1
0
-8 + 4 · 3 + 12 : -6 =
A)
2
B)
0
C) -12
D) -14
E) -18
3.
2 – 2 · (6 – 3 · 2) =
A) -14
B) -10
0
C)
2
D)
E) 10
5
4.
42 – 25 : 2 · 5 =
A) -38
B) -1
1
C)
D) 25
E) 38
5.
3 – {2 – 1 – (12 : 4 · 3) – 32} =
A) -16
B)
2
C)
4
D) 10
E) 18
6.
Si x = 2 – 2(3 – 5), y = -6[-5 – (-3)] y z = -3{5 – 2[2 – (-6)]}, entonces los valores
de y, z y x, respectivamente, son
A)
B)
C)
D)
E)
6
12
12
48
12
-12
33
-72
-72
33
72
6
0
2
0
6
MÚLTIPLO Y DIVISOR
En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y
de c o bien b y c son divisores o factores de a.
ALGUNAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número entero es divisible:
Por
2
3
4
5
6
8
9
OBSERVACIÓN:
Cuando
Termina en cifra par.
La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
Las dos últimas cifras sean ceros o múltiplo de 4.
Termina en cero o cinco.
Es divisible por dos y por tres a la vez.
Las tres últimas cifras sean ceros o múltiplo de 8.
La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
El cero no es divisor de ningún número.
El cero es múltiplo de todos los números enteros.
EJEMPLOS
1.
Si D(n) representa el conjunto formado por todos los números enteros no negativos
divisores de n, entonces D(36) corresponde al conjunto
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1,
2,
2,
2,
2,
2,
3,
3,
3,
3,
3,
4,
4,
4,
4,
4,
6,
6,
6,
6,
6, 9, 12, 18, 36}
12, 18, 36}
9, 12, 36}
8, 9, 12, 18, 36}
9, 12, 18, 36}
Si M(n) representa el conjunto formado por todos los números enteros múltiplos de n,
entonces {…, -12, -6, 0, 6, 12, …} corresponde al conjunto
A)
B)
C)
D)
E)
3.
{0,
{1,
{1,
{1,
{1,
M(1)
M(2)
M(3)
M(6)
M(12)
El número 2.856 está expresado como el producto de tres factores. Si dos de los
factores son 12 y 14, ¿cuál es el otro factor?
A)
B)
C)
D)
E)
17
16
15
13
Ninguna de las anteriores.
7
4.
¿De cuáles de los siguientes números, 105 es múltiplo?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
De
De
De
De
De
15
21
35
I y II solamente
I y III solamente
II y III solamente
I, II y III
ninguno de ellos.
La suma de dos números múltiplos consecutivos de 6 es siempre
I)
II)
III)
divisible por 2.
divisible por 6.
divisible por 12.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
¿Cuál de los siguientes pares de dígitos deben ponerse en los rectángulos vacíos, para
que el número de 6 cifras, 6  4  12 sea divisible por 3?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
0
1
2
3
3
y
y
y
y
y
0
2
2
4
8
Si x es divisor de 8 y no es divisor de 4, entonces x es
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
2
4
8
8
NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …

Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno, que no son
primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,
21, 22,…
OBSERVACIÓN:
El número 1 es la unidad y no es primo ni compuesto.
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de números
primos.
EJEMPLOS
1.
¿Cuántos números primos hay entre 30 y 40?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
¿Cuántos números primos pares existen?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
Infinitos.
¿Cuántos números compuestos hay entre 40 y 52?
A) 3
B) 6
C) 7
D) 8
E) 11
9
4.
¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) primo(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Solo I
Solo II
Solo III
I, II y III
Ninguno de ellos.
Al expresar los números 60 y 90 en factores primos se obtiene, respectivamente,
A)
B)
C)
D)
E)
6.
51
91
141
22
22
22
23
23
∙
∙
∙
∙
∙
3∙5
3∙5
32 ∙ 5
3∙5
3∙5
y
y
y
y
y
2 ∙ 33
2 ∙ 32
2 ∙ 32
22 ∙ 3
2 ∙ 32
∙
∙
∙
∙
∙
5
5
5
5
5
Si a y b son dos números primos distintos no pares, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a + b es par.
a · b es impar.
a : b no es un número entero.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
10

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)
Es el menor entero positivo que es múltiplo común de dos o más enteros.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
Es el mayor entero positivo que es divisor común de dos o más enteros.

CÁLCULO DEL m.c.m y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Se descomponen los números dados en factores primos:
1. El m.c.m se obtiene como producto de todos los factores primos, en el caso de existir
factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
2. El M.C.D se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel
que posea el exponente menor.
EJEMPLO
1.
El m.c.m de 3 y 5 es
A) 1
B) 3
C) 5
D) 15
E) 30
2.
El M.C.D de 4 y 7 es
A) 28
B) 7
C) 4
D) 2
1
E)
11
3.
El M.C.D y el m.c.m de
A)
B)
C)
D)
E)
4.
222, 333 y 444 son, respectivamente
22 · 32 · 37 y 3 · 37
y 22 · 32 · 37
32 · 37
3 · 37
y 2 · 3 · 37
22 · 32 · 37 y 32 · 37
3 · 37
y 22 · 32 · 37
Hay cuatro terrenos de 70, 56, 42 y 84 hectáreas, los cuales serán subdivididos en
parcelas de igual superficie. Entonces, cada una de estas tendrá una superficie máxima
de
A) 2 HÁ
B) 7 HÁ
C) 14 HÁ
D) 28 HÁ
E) 42 HÁ
5.
Tres ciclistas parten juntos en una carrera donde la pista es circular. Si el primero tarda
120 segundos en dar vuelta a la pista, el segundo tarda 140 y el tercero 180, ¿en
cuántos segundos pasarán nuevamente, los tres juntos, por la línea de partida?
A) 2.520
B) 1.260
840
C)
630
D)
360
E)
12
VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0.
-3
-2
-1
-3 = 3
0
1
2
3
, 3 = 3
n, si n  0
DEFINICIÓN:
n=
-n, si n  0
EJEMPLOS
1.
El valor de -7 – -7 es
A) -14
B)
0
C)
7
D) 14
E) 49
2.
4 – 6 – 4 – -6 =
A) -8
B) 0
C) 8
D) 12
E) 20
3.
Dados los números enteros a = -8,
creciente de ellos es
A)
B)
C)
D)
E)
a
a
b
d
b
,
,
,
,
,
b = --3, c = 0 y d = -(--2), el orden
b,d,c
d,c,b
c,d,a
c,b,a
c,a,d
13
4.
En la recta numérica, se puede asegurar que la distancia entre los números enteros
a y b corresponde a la expresión
A)
B)
C)
D)
E)
5.
a–b
b–a
a+b
a + b
a – b
Si a  b, entonces b – a =
A) 0
B) b – a
C) a – b
D) -a – b
E) a + b
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
A
B
C
C
A
E
3y4
B
C
C
B
A
E
5y6
E
A
D
A
B
B
7y8
E
D
A
D
D
E
9 y 10
C
B
D
E
B
E
11 y 12
D
E
E
C
A
13 y 14
B
C
C
E
C
Págs.
14
7
E
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 1
NÚMEROS ENTEROS
1.
[-5 + (-3) · 7] : (-2) =
A) 28
B) 13
C) -13
D) -24
E) -28
2.
Con respecto a -5, ¿cuál es la relación correcta?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
-5
-5
-5
-5
-5
= --5
<5
> 5
< -5
= -(-5)
-2 1 – 2 – -3 =
A) -9
B) -5
C) -1
D) 1
E) 5
4.
-2[3 – {5 – 2 (7 – 15)}] =
A) -54
B) -36
C) -20
D) 36
E) 54
5.
En la siguiente secuencia numérica 1 · 2, 2 + 3, 3 · 4, 4 + 5, … , el octavo término es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Si al cuadrado de -3 se le resta el cuádruplo de -2 y al resultado se le agrega el triple
de 3, se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
7.
15
17
56
72
90
26
20
11
10
8
Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a < b, entonces b – a es
A) -1
B) 0
C) 1
D) a2 + a
E) 2a + 1
8.
Si t + 3 es el sucesor del número 10, entonces el sucesor de t es
A) 7
B) 8
C) 9
D) 11
E) 12
9.
La descomposición del número 1.080 en sus factores primos es
A)
B)
C)
D)
E)
23
22
23
22
23
·
·
·
·
·
32
32
33
32
33
·
·
·
·
·
5
52
5
5
52
2
10. Si a es primo, entonces a2 es siempre un número
A)
B)
C)
D)
E)
par.
impar.
primo.
compuesto.
par y compuesto.
11. La suma de tres pares consecutivos es siempre divisible por:
I)
II)
III)
4
6
12
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
12. Si A = 23 · 32
respectivamente
A)
B)
C)
D)
E)
22 · 3 2
23 · 3 3 · 5
2·3·5
23 · 3 3 · 5
22 · 3 3
y
y
y
y
y
y
B = 22 · 33 · 5, entonces el m.c.m y M.C.D de A y B son,
23 · 3 3 · 5
2 2 · 32
2 3 · 33 · 5
2 2 · 33
23 · 3 3 · 5
13. Si x < y, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
x<y
y<x
La distancia de x al cero es menor que la distancia de y al cero.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
Ninguna de ellas
3
n(n + 1)
nos permite calcular la suma de los n primeros números
2
naturales, ¿cuánto es la suma de todos los números primos y compuestos desde 1
hasta 100?
14. Si la fórmula
A) 5.049
B) 5.050
C) 5.051
D) 10.099
E) 10.100
15. 9{5 – [6 – (-1)]} : 3[1 – (-3 + 7)] =
A) -18
B) -2
0
C)
2
D)
E) 18
16. Si a y b son números enteros y el antecesor de a es b y el sucesor de a es -9,
entonces a + b =
A)
B)
C)
D)
E)
-21
-20
-19
-17
-15
17. Si a es un número par y b es un número impar, entonces ¿cuál de las siguientes
expresiones representa un número par?
A)
B)
C)
D)
E)
a+b
2a – b
3a + 3b
5a + 4b
a+b–2
4
18. Un balde saca totalmente el agua de los depósitos de la figura 1 y en cada extracción
ocupa el máximo de su volumen. ¿Cuál es la máxima capacidad de dicho balde para
efectuar el menor número de extracciones?
A) 2 litros
B) 3 litros
C) 6 litros
D) 12 litros
E) 24 litros
12 lt
24 lt
18 lt
fig. 1
19. Dos letreros luminosos se enciende con intermitencias de 42 y 54 segundos,
respectivamente. Si a las 20:00 horas y 15 minutos se encuentran ambos encendidos,
¿a qué hora estarán nuevamente ambos encendidos simultáneamente?
A)
B)
C)
D)
E)
20
20
20
20
20
hr
hr
hr
hr
hr
21
21
21
15
16
min
min
min
min
min
18
36
42
54
54
seg
seg
seg
seg
seg
20. Si se ubican los números 4, 6 y 8 en el cuadrado de la figura 2, de modo que las
sumas de cada fila, cada columna y cada diagonal sea 18, con y < z, entonces el
valor de la expresión 3(x + y) – 2z es
A)
B)
C)
D)
E)
12
14
30
34
46
x
y
z
z
x
y
y
z
x
fig. 2
21. Si p es un número entero, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(p2 – 1) es el entero antecesor del cuadrado de p.
-(p – 1) es el entero antecesor de p.
(p + 1)2 es el cuadrado del entero sucesor de p.
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
5
22. Si n es un número natural par, entonces el sucesor par del sucesor de n + 1 está
representado por
A)
B)
C)
D)
E)
n+4
n+3
n+2
2n + 2
2n + 4
23. Si p es un número entero par y q es un número entero impar, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes aseveraciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
p2 un número positivo.
-q2 es un número positivo.
(p – q)2 es un número impar positivo.
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas
24. La siguiente secuencia de diagramas muestra el número de celdas grises (n) y
blancas (b). ¿Cuál es la fórmula que relaciona n con b?
…
A)
B)
C)
D)
E)
b
b
b
b
b
=
=
=
=
=
5n
2n + 3
n+4
n–4
2n + 1
25. Los cuadrados de la figura 3, están formados por palos de fósforos tal como se indica
en los diagramas. ¿Cuántos palos de fósforos se necesitan para formar el diagrama
número 100?
A)
B)
C)
D)
E)
296
297
299
300
301
fig. 3
2
1
6
3
26. Si x e y son números enteros con x < 0 e y > 0, ¿cuál(es) de las siguientes
expresiones resulta(n) siempre un número negativo?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
x + y2
-xy
y2 – x2
Solo I
Solo II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas
27. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número 120?
A)
B)
C)
D)
E)
8
12
14
16
32
28. Los números p, q y r son números enteros y se ubican en la recta numérica de la
siguiente manera:
r
pq
0
p
. ¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades
es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(p + q + r) < 0
p·q·r >0
p · (q + r) > 0
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
29. En la sucesión 1,
A)
B)
C)
D)
E)
3
5
, 2, , 3, …, el término 55 es
2
2
27
27,5
28
28,5
29
7
30. Si a es un número múltiplo de 6, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(a + a2) es múltiplo de 6.
2(a + 3) es múltiplo de 6.
(a + 1 )(a + 2) es múltiplo de 6.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
31. Sean a y b números enteros. Se puede determinar que a < b, si:
(1) a < b
(2) a > 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. z es un número entero comprendido entre 70 y 80. Se puede determinar el valor
exacto de z, si:
(1) z es múltiplo de 6.
(2) z es múltiplo de 9.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. Sea n un número entero. Se puede determinar que n + 1 es un número impar, si:
(1) 2n es un número par.
(2) 3n es un número par.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
34. Sea n un número entero. La expresión 3(1 + n) representa un múltiplo de 6, si:
(1) n es un número impar.
(2) n + 1 es un número par.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Sean s y t números enteros positivos. Se puede determinar el valor numérico de
(s + t) · (s – t), si:
(1) s = t
(2) s = 10
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
RESPUESTAS
1. B
8.
C
15. E
22. A
29. C
2. E
9.
C
16. A
23. B
30. D
3. B
10. D
17. D
24. C
31. C
4. D
11. B
18. C
25. E
32. B
5. B
12. B
19. A
26. E
33. B
6. A
13. C
20. B
27. D
34. D
7. C
14. A
21. D
28. C
35. A
9
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2A
UNIDAD: NÚMEROS
NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS RACIONALES
a
con a y b números
b
enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la
letra .
a

y b0
 =  / a, b 
b

Los números racionales son todos aquellos números de la forma
IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES
Sean
OBSERVACIÓN:
a c
a
c
,
 . Entonces:
=
b d
b
d
 a·d=b·c
a
, con a y b números enteros positivos, si a es menor que
b
b la fracción es propia y si a es mayor que b la fracción es impropia siendo
estas últimas un número mixto.
Dada la fracción
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3
-4
0
1
8
0
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Si a y b son números enteros, ¿para qué valor de b la expresión
un número racional?
A)
B)
C)
D)
E)
b
b
b
b
b
=0
5
=6
=5
=4
a
no representa
b  5
3.
¿Cuál(es) de los siguientes pares de fracciones es (son) equivalente(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
12
8
y
30
10
16
8
y
6
3
9
15
y
12
20
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
¿Cuál de las siguientes fracciones es impropia?
5
6
6
B)
7
7
C)
8
8
D)
9
11
E)
10
A)
5.
¿Para qué valor de a, la expresión
A)
B)
C)
D)
E)
6.
1
2
3
4
5
Con respecto a la igualdad
A)
B)
C)
D)
E)
8  a
representa una fracción propia?
4
a
2
= , es siempre verdadero que
b
3
a=3 y b=2
a=2 y b=3
a=4 y b=6
3a = 2b
2a = 3b
2
OPERATORIA EN 
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a c
,
 , entonces:
b d
a c ad  bc
 =
b d
bd
OBSERVACIÓN
 El inverso aditivo (u opuesto) de
 El número mixto A
-a
a
a
a
es - , el cual se puede escribir también como
o
.
b
b
b
-b
b
se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
c
A
b A · c +b
, con A, b, c  lN
=
c
c
EJEMPLOS
1.
2+
5
+3=
6
5
6
10
B)
6
30
C)
6
1
D) 1
6
25
E)
6
A) 5
2.
1
5
El valor de la expresión 3 –  +  es
3
5
67
15
17
B)
15
7
C)
15
3
D) 15
25
E)
15
A)
3
3.
 1

El inverso aditivo de 2  1 es
2


A)
B)
C)
D)
E)
4.
3
2
2
3
2
2
3
-2
1
1 
3
2 +      =
4 
2
2
A)
B)
0
2
5
C)
4
3
D) 4
1
E) 4
5.
Si T = -2
1
2
y
S = -4
3
, entonces S – T =
4
1
4
1
-2
4
1
-1
4
1
2
4
1
7
4
A) -7
B)
C)
D)
E)
4
1
6.
1 2
 1
Se define la operación (x  y) = z(y – x) , entonces el valor de 1  2  es
2
 2
Z
A)
B)
C)
D)
E)
7.
1
1
2
1
2
-1
2
Un tambor contiene 20 litros de agua equivalentes a
litros de agua falta para llenarlo?
A)
B)
C)
D)
E)
50
45
40
35
30
5
2
de su capacidad. ¿Cuántos
5
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a c
,
 , entonces:
b d
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
c
ac
a
·
=
d
bd
b
c
d
ad
a
a
:
=
·
=
d
c
bc
b
b
OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) de
-1
a
b
a
es  
=
, con a y b  0
b
a
b 
EJEMPLOS
1.
12 3
·
=
15 4
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3
5
48
45
45
48
2
3
Otro valor.
 3  9 
 - 8  :  64  =
  

A)
B)
C)
D)
E)
8
3
3
8
8
3
3
8
1
6
3.
La quinta parte del doble de
25
5
:
· 4 es igual a la mitad de
6
24
A) 32
B) 2
C) 8
D) 64
4
E)
4.
1
1
1
1 4
2  3  :  4 · 3  2  =




A)
B)
C)
D)
E)
5.
-1
4
5
1
36
4
5
1
3 5
1
:
es
El inverso multiplicativo de  
2
4 6 

10
3
5
2
3
10
3
10
2
5
A) B)
C)
D)
E)
6.
A Eduardo le ofrecen dar un pie de $ 15.000 por la compra de un artículo, y los otros
5
del precio original cancelarlos en 5 cuotas iguales. Entonces, el valor de cada cuota
6
es
A)
B)
C)
D)
E)
9.000
15.000
18.000
20.000
30.000
7
RELACIÓN DE ORDEN EN 
Sean
c
a
,

d
b
y b , d  + . Entonces :
c
a

d
b
 ad  bc
OBSERVACIONES

Para comparar
procedimientos:




números
racionales,
también
se
pueden
utilizar
Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales (Densidad).
El orden creciente de los números: a =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
12
12
12
, b=
, c=
7
5
9
12
,
3
x=
5
,
3
z=
7
3
es
w, x, z
x, z, w
w, z, x
x, w, z
z, w, x
El orden creciente de los números a =
A)
B)
C)
D)
E)
es
a, b, c
b, c, a
c, b, a
a, c, b
c, a, b
El orden decreciente de los números w =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
siguientes
igualar numeradores.
igualar denominadores.
convertir a número decimal.
EJEMPLOS
1.
los
7
,
8
a, b, c
b, a, c
c, a, b
a, c, b
b, c, a
8
b=
11
,
12
c=
9
10
es
4.
Si x es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación de orden correcta entre las
5
5
5
fracciones a =
, b=
y c=
?
x
x +1
x  1
A)
B)
C)
D)
E)
5.
¿Cuál de las siguientes opciones no está entre los racionales
A)
B)
C)
D)
E)
6.
a,
a,
b,
c,
c,
b,
c,
a,
a,
b,
2
5
, b=5
3
6
y c=5
B)
C)
D)
E)
5
y
5
4
?
7
, de menor a mayor es
8
c
b
c
b
a
¿Cuál de los siguientes números racionales es el mayor?
A)
4
4+5
5+4
5
4
5 + 4


2
4
5
 + 
4
5
4
+ 
5
2






2
4+5+4
5+4+5
4
4
+
5
5
El orden de las fracciones a = 5
A)
B)
C)
D)
E)
7.
a<b<c
c<b<a
c<a<b
a<c<b
b<a<c
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
C
D
D
E
E
D
3, 4 y 5
A
B
C
C
B
B
6y7
A
C
D
A
B
B
8y9
B
C
D
C
E
A
Págs.
10
7
E
E
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2B
UNIDAD: NÚMEROS
NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene su
desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN

DECIMAL FINITO: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número
decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales
tenga dicho número.

DECIMAL INFINITO PERIÓDICO: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las
cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el
período.

DECIMAL INFINITO SEMIPERIÓDICO: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que
anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueve como cifras tenga el
período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el ante período.
EJEMPLOS
1.
El desarrollo decimal de la fracción
A)
B)
C)
D)
E)
2.
6,25
1,6
0,625
0,0625
0,06
El desarrollo decimal de la fracción
A)
B)
C)
D)
5
es
80
0, 803
0,833
0,83
0, 83
E) 0, 83
75
es
90
3.
La fracción equivalente al número 0,225 es
1
4
9
B)
40
11
C)
50
19
D)
80
3
E)
13
A)
4.
Las fracciones equivalentes a los números 1,4 y 0,25 son, respectivamente
14
9
13
B)
9
14
C)
9
13
D)
9
14
E)
10
A)
5.
y
y
y
y
y
25
90
25
90
23
90
23
90
25
100
( 1,3 )2 =
A) 1, 4
B) 1, 6
C) 1, 7
D) 1, 9
E) 2, 1
6.
Al ordenar en forma creciente los números x = 0, 035 , y = 0, 035 , z = 0, 035 y
w = 0,035 se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
x, w, y, z
x, y, z, w
w, z, x, y
w, z, y, x
w, x, y, z
2
OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES

Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números
decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas,
la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.

Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales,
se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final,
de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en
conjunto.

División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede
transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia
en base 10.
EJEMPLOS
1.
0,75 · 5 + 0,25 · 2 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
0,06 · 0,5 · 0,1 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
4,25
4,15
4,05
3,95
3,80
0,0030
0,0003
0,00003
0,0000003
0,00012
El valor de 3 ·
0,3
es
0,03
A) 0,003
B) 0,03
C) 0,3
D) 3
E) 30
3
4.
De un saco que contiene 12,3 kilogramos de arroz se consumen 7.540 gramos.
¿Cuántos kilogramos quedan en el saco?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
5,86
5,76
4,86
4,76
4,49
kilogramos
kilogramos
kilogramos
kilogramos
kilogramos
Si al triple de 3,6 se le resta el cuádruplo de 5,4 resulta
A) -18,0
B) -10,8
C)
5,4
D) 10,8
E) 32,4
6.
2,4 : 4  1,6
=
1,2 · 4  2,4
A)
B)
C)
D)
E)
7.
10
3
25
48
5
12
5
12
12
5
0,6  0,45 =
A) 0, 15
B) 0, 15
C) 0, 16
D) 0, 21
E) 0, 21
4
APROXIMACIONES
Las aproximaciones son de tres tipos: redondeos, truncamientos y estimaciones. Sólo
consideramos las dos primeras.
Para aproximar por redondeo se debe hacer lo siguiente:




Identificar la posición a la que se quiere redondear.
Considerar la cifra decimal inmediatamente siguiente a la que determine la
aproximación.
Si dicha cifra es menor que 5, no hay modificaciones en las cifras que se conservan.
Si dicha cifra es mayor que 5, la cifra por aproximar se debe aumentar en una unidad.
Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los números
8,346 y 1,3125 se obtiene 8,35 y 1,31, respectivamente.
Para aproximar por truncamiento se debe realizar lo siguiente:

Identificar la posición a la que se quiere truncar. Considerar las cifras decimales hasta la
posición que se determinó en el paso anterior.
De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 5,7398 resulta
5,73.
EJEMPLOS
1.
Al redondear a la décima el número 2,7453, resulta
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3
2,8
2,7
2,75
2,745
Al redondear a la milésima el número 4,5387, resulta
A)
B)
C)
D)
E)
4,5
4,54
4,538
4,539
5
5
3.
Al truncar a la centésima el número 3,6765, resulta
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Al truncar a la milésima el número 21,46 , resulta
A)
B)
C)
D)
E)
5.
3,6
3,67
3,68
3,676
3,677
21,464
21,465
21,466
21,46
21,4
Respecto del número
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
62
, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
7
Redondeado a la unidad es 8.
Truncado a la décima es 8,8.
Redondeado a la centésima es 8,86.
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
6
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Las cifras significativas sirven para expresar cantidades correspondientes a unidades de
medidas. Para determinar las cifras significativas de una medida, se deben considerar los
siguientes criterios:

Cualquier dígito diferente de cero es significativo.
253
3,415

3 cifras significativas.
5 cifras significativas.


3 cifras significativas.
2 cifras significativas.
Si el número es mayor que uno (1), todos los ceros finales a la derecha del punto
decimal son significativos.
3,80
20,000



Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.
0,00845
0,0097

3 cifras significativas
4 cifras significativas.
Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos.
304
4,0803





3 cifras significativas.
5 cifras significativas.
Si el número es menor que uno (1), entonces únicamente los ceros que están al final del
número y entre los dígitos distintos de cero son significativos.
0,0904500 
6 cifras significativas.
Para escribir cantidades con cifras significativas, se debe redondear la última cifra
significativa.
ERRORES
Cuando se redondea o se trunca un número, se comete un error, el cual corresponde al
valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y su aproximación.
Por ejemplo: Al truncar el número 3,1415 a la centésima se comete el siguiente error
3,1415 – 3,14 = 0,0015 = 0,0015
EXCESO Y DEFECTO
Cuando se aproxima un número racional por redondeo o por truncamiento, el número
resultante puede ser mayor o menor que el original. Si resulta mayor se dice que la
aproximación es por exceso mientras que si es menor se dice que la aproximación es por
defecto.
7
EJEMPLOS
1.
El número 30,0083 tiene
A)
B)
C)
D)
E)
2.
cifras
cifras
cifras
cifras
cifras
significativas.
significativas.
significativas.
significativas.
significativas.
Al escribir el número 6,1803 con 2 cifras significativas resulta
A)
B)
C)
D)
E)
3.
2
3
4
5
6
6,18
6,1
6,2
6,17
6,19
Al redondear el número -4,53679 a la milésima el error que se comete es
A) -0,00179
B) -0,00079
C) -0,00021
D) 0,00021
E) 0,00079
4.
Al redondear el número 4,53 a la milésima resulta
A)
B)
C)
D)
E)
4,536 y la aproximación es por exceso.
4,535 y la aproximación es por defecto.
4,535 y la aproximación es por exceso.
4,535
Ninguna de las anteriores.
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
D
D
B
D
C
D
3y4
A
A
E
D
B
D
5y6
C
D
B
A
D
8
E
C
D
B
Págs.
8
7
D
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 2AB
NÚMEROS RACIONALES
1.
1
1
1
=
+

16
8
4
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1
8
1
16
1
20
1
16
1
8
-
2
5 3
-1 
=

·  
3
6 5
5 
2
15
1
15
1
30
0
1
3
A) B)
C)
D)
E)
3.
7 
5
3 
A)
B)
C)
6
5
2
4
D)
5
11
E) 2
1
2
=
4.
¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) por resultado la unidad?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
0,3 · 3
1
0,7 +
3
0,1  0,9
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
El inverso aditivo de -4, menos el inverso multiplicativo de
1
es
6
-10
25
B) 6
23
C) 6
D) -2
23
E)
6
A)
6.

1 
1
El resultado de 1      redondeado a la milésima es
2
3 


A)
B)
C)
D)
E)
7.
0,8333
0,8334
0,834
0,833
0,8303
Si al doble de 2,4 se le resta el triple de 3,2, entonces resulta
A) -5,2
B) -4,8
C)
4,8
D)
5,2
E) 14,4
2
8.
2
1

3
5
=
3
2
- +
5
10
14
3
9
6
7
6
4
15
7
12
A) B)
C)
D)
E)
1
9.
=
1
1 
1 
1
1
5
A) -4
3
B)
4
4
C)
5
5
D)
4
4
E)
3
10. ¿Cuánto es la cuarta parte de los
4
de 0,5?
5
A) 10
B) 1
C) 0,25
D) 0,1
0,01
E)
11. 800 menos los
A)
B)
C)
D)
E)
15
de la mitad de 800 es
100
740
680
340
120
60
3
12. Mario debe recorrer 15,4 kilómetros y ha caminado 8.750 metros. ¿Cuánto le falta por
recorrer?
A)
B)
C)
D)
E)
13.
6,29
6,65
6,75
7,65
7,75
kilómetros
kilómetros
kilómetros
kilómetros
kilómetros
0,6  0,16 =
10
9
-1
4
9
22
45
1
2
A) B)
C)
D)
E)
14. Si el precio de un artículo que es $ 800.000 se aumenta en su cuarta parte, y el nuevo
precio se disminuye en su cuarta parte, el precio final es
A)
B)
C)
D)
E)
$ 450.000
$ 600.000
$ 750.000
$ 800.000
$ 1.000.000
15. Dados los racionales a =
A)
B)
C)
D)
E)
7
39
, b=
2
11
y c=
a<c<b
a<b<c
b<a<c
c<a<b
b<c<a
4
79
, entonces se cumple que
22
16. Tres amigos compraron pescado; Alicia compró los
kilo y Mario los
9
de un kilo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
11
FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Alicia compró más pescado que Carlos.
Mario compró más pescado que Carlos.
Alicia compró menos pescado que Mario.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
17. Al redondear a la decena el número -436 resulta
A)
B)
C)
D)
E)
-430 y la aproximación es por defecto.
-440 y la aproximación es por exceso.
-430 y la aproximación es por exceso.
-440 y la aproximación es por defecto.
-436
18. 0,1 · [0,1 – 0,1 · (0,1 + 0,1)] =
A)
B)
C)
D)
E)
19.
7
4
de un kilo, Carlos los
de un
9
5
0
0,008
0,012
0,080
0,1
0,02 + 0,1 + 0,001
=
0,1 + 0,01
A) 0,002
B) 0,02
C) 0,11
D) 1,1
E) 11
5
20. En una carrera, Andrea, Karina y Lorena demoraron 10,4 segundos; 10,03 segundos y
10,3 segundos en llegar a la meta, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Andrea llegó después de Lorena.
Lorena llegó 27 centésimas después de Karina.
Karina llegó primera.
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
21. ¿Cuánto se obtiene si el producto 0,5 · 0,05 se divide por el producto 2,5 · 0,025?
A) 0,04
B) 0,4
C) 2,5
D) 4
E) 25
22. Con respecto al número 5,768765 es verdadero que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
al escribir el número con 5 cifras significativas, la aproximación resultante
es por defecto.
al redondear a la milésima la aproximación resultante es por exceso.
al truncar el número a la quinta cifra decimal queda en 5,7687
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
23. Un tambor contiene 40 litros que equivalen a
a los
3
de su capacidad hay que agregar
10
6 litros
A)
8 litros
B)
C) 48 litros
D) 120 litros
E) 160 litros
6
1
de su capacidad. Entonces, para llegar
4
24. Se dispone de un terreno, el cual se cubrirá completamente con pasto, primero se
1
3
siembra
del terreno y luego los
del resto, ¿cuánto del terreno original queda aún
3
4
por sembrar?
5
6
2
B)
3
1
C)
2
1
D)
6
1
E)
12
A)
3
1
y
del capital inicial,
4
5
respectivamente, y José el resto, ¿cuál es el decimal que representa la fracción que
aportó José?
25. Si en la formación de un negocio, Alejandra y María aportan
A)
B)
C)
D)
E)
0,05
0,20
0,75
0,85
0,95
3
son médicos, los
5
auxiliares son 15 y éstos representan a un tercio de las enfermeras, ¿cuántos
trabajadores hay en total en la clínica?
26. En una clínica trabajan médicos, enfermeras y auxiliares. Si los
A) 160
B) 150
C) 130
D) 90
60
E)
7
27. Si x = 0,125, entonces
A) B)
C)
D)
E)
1
1
=

0,75  x
0,25  x
32
5
4
5
8
5
5
8
28. Si a + 2b = 6 y ab = 4, entonces
2
1
=
+
a
b
1
2
B) 1
3
C)
2
D) 2
5
E)
2
A)
29. ¿Qué expresión hay que sumarle a la fracción
4xy
x+y
4xy
B)
x  y
4xy
C) x+y
4xy
D) x  y
4xy
E)
2
x  y2
A)
8
x+y
para obtener su recíproco?
y  x
30. El lunes gasté la mitad de lo que tenía más $ 200, el martes gasté la mitad de lo que
me quedaba más $ 200 y el miércoles la mitad de lo que me quedaba más $ 200 y me
quedé sin nada, ¿cuánto dinero tenía el lunes, antes de gastar?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
2.600
2.800
3.200
3.600
4.000
1
de la población de un pueblo, estaba afectado por una epidemia.
10
1
1
Actualmente
de las personas enfermas se mejoraron y
de las personas sanas
10
10
se enfermaron, ¿qué parte de la población tiene buena salud en este instante?
31. Hace un mes
81
100
41
B)
50
88
C)
100
41
D)
100
82
E)
50
A)
32. Se puede determinar que la expresión
p·q
, con p, q y r números enteros, r  0, es
r
negativa, si:
(1)
p
<0 y q>0
r
(2) q · r < 0 y p > 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
33. Se puede determinar el numerador de cierta fracción, si:
(1) El valor de la fracción es 0,25.
(2) El denominador de la fracción es 8.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. Los alumnos de un curso debieron elegir entre las asignaturas de Educación Musical y
9
Artes Visuales. Si
del curso eligió Educación Musical, se puede determinar el
20
número de alumnos que eligieron Artes Visuales, si se sabe que:
(1) El curso tiene 40 alumnos.
(2)
11
del curso eligió Artes Visuales.
20
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Se puede determinar el valor de
x
, con x e y enteros positivos, si:
y
(1) y es la cuarta parte de x.
(2) y = 0,25
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
RESPUESTAS
1. B
8.
C
15. C
22. B
29. E
2. D
9.
C
16. A
23. B
30. B
3. B
10. D
17. D
24. D
31. B
4. A
11. A
18. B
25. A
32. D
5. D
12. B
19. D
26. B
33. C
6. D
13. E
20. E
27. A
34. A
7. B
14. C
21. B
28. C
35. A
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 3
UNIDAD: NÚMEROS
NÚMEROS REALES
POTENCIAS EN 
Si a es un número racional y n un número entero positivo
DEFINICIONES
a · a · a · a · a · a · a … · a = an
n factores
a0 = 1 , a  0
a-n =
1
an
, a es un número racional positivo
OBSERVACIONES



0n = 0, si n > 0
1n = 1
00 no está definido.
SIGNOS DE UNA POTENCIA:
an =
Positivo,
si a  0 y n es par.
Negativo, si a < 0 y n es impar.
EJEMPLOS
1.
-20 – 32 =
A) 10
8
B)
C) -8
D) -9
E) -10
2.
(-3)(-2)2 + (-3)3 : 9 =
A) -15
B) -9
1
C)
9
D)
E) 33
3.
2-4 =
A)
-8
1
B) 24
1
C)
24
1
D)
8
E)
24
4.
-2
3
5
 
A)
B)
C)
D)
E)
5.
=
25
3
25
9
9
25
9
25
9
5
(32)3 : 34 – (32 – 1)0 =
A) 1
B) 5
C) 8
D) 9
E) 10
6.
Si n es un número entero, entonces el valor de la expresión (-1)n + (-1)n + 1 es
A)
B)
C)
D)
E)
-2
-1
0
1
2
2
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean
a y b números racionales distinto de cero,
Multiplicación de potencias de igual base
División de potencias de igual base
m y n números enteros
an · am = an + m
an : am = an - m
Multiplicación de potencias de distinta
base e igual exponente
an · bn = (ab)n
División de potencias de distinta base e
igual exponente
an : bn = (a : b)n
Potencia de una potencia
(an)m = an · m
EJEMPLOS
1.
23 · 2 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
-38 · 32 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
44
43
24
22  3
23
-316
-310
-36
310
(-9)16
58 : (-5)2 =
A) -510
B) -56
C) 54
D) 56
E) 510
3
4.
2
A)
B)
C)
D)
E)
5.
245
247
2410
2420
2450
(0,4)6 : (0,2)6 =
A)
B)
C)
D)
E)
7.
64
81
1
81
64
4
16
(35 · 85)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
6.
2
4
2
3 : 3 =
 
 
(0,02)6
(0,2)6
20
26
212
[(0,2)5 : (0,2)3]3 =
A)
B)
C)
D)
E)
(0,2)45
(0,2)24
(0,4)3
(0,2)6
(0,02)6
4
NOTACIÓN CIENTÍFICA, ABREVIADA Y AMPLIADA.
Si n es un número entero, entonces:



Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k  10n,
en que 1  k  10.
Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p  10n, en que
p es el menor entero.
Un número está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la
suma de los productos de los dígitos que componen el número, con sus respectivas
potencias de 10 de acuerdo a su posición, esto es:
abc,de = a · 102 + b · 101 + c · 100 + d · 10-1 + e · 10-2
Ejemplo: El desarrollo de 427,68 en notación decimal posicional es
4 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 6 · 10-1 + 8 · 10-2
EJEMPLOS
1.
150.000.000 expresado en notación científica es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1,5 · 10-8
15 · 107
1,5 · 107
0,15 · 109
1,5 · 108
La notación científica de 0,00627 es
A) 627 · 10-5
B) 62,7 · 10-4
C)
6,27 · 10-3
D)
0,627 · 10-2
E)
6,27 · 103
3.
El número 0,000180 escrito en forma abreviada es
A) 180 · 10-6
B) 18 · 10-5
C)
1,8 · 10-4
D)
0,18 · 10-3
18 · 105
E)
5
4.
El número 342,25 escrito en notación ampliada es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
3
3
3
3
3
·
·
·
·
·
104 +
103 +
103 +
102 +
102 +
4
4
4
4
4
·
·
·
·
·
103
102
102
101
101
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
· 102 + 2·101 + 5·100
· 101 + 2·10-1 + 5·10-2
· 101 + 2·100 + 5·10-1
· 100 + 2·10-1 + 5·10-2
+ 2·100 + 5·10-1
Si 0,0000034 = 3,4 · 10p, entonces p =
A) -7
B) -6
C) -5
D) 5
E) 6
-3
6.
 0,00035 
 0,0007 


A)
B)
C)
D)
E)
7.
=
5-3·103
23·10-3
5 · 103
53 · 10-3
5 · 10-3
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 620.000?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
62 · 105
0,62 · 106
6,2 · 105
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
6
NÚMEROS IRRACIONALES (I, ')
Son aquellos números decimales infinitos no periódicos.
Los números
 = 3,141592 …,
2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales.
OBSERVACIÓN:
La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para
números racionales no negativos, son:
DEFINICIÓN:
1)
a = b  b2 = a
2)
a y b
a2 = a
PROPIEDADES

a ·
b =
ab

a
b
=
a
b

a b =
a2 b

a
b
=
a b
b
NÚMEROS REALES (lR)
La unión del conjunto de los números racionales () y los números irracionales (’) genera
el conjunto de los números reales el cual se expresa como lR
Es decir,
lR =   ’
OPERATORIA EN lR



El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional
(excluyendo la división por cero).
La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.
Por otra parte, la operación entre un número racional () y un irracional (’) da como
resultado un número irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero.
OBSERVACIÓN
No son números reales las expresiones de la forma n a , con a < 0 y n par.
EJEMPLOS
1.
2.
¿Cuál de los siguientes números es irracional?
A)
4
B)
9
C)
16
D)
E)
27
0,25
Al ordenar en forma creciente los números a = 4 2 , b = 3 3 y c = 2 7 , se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
a, b, c
a, c, b
b, a, c
c, a, b
b, c, a
7
3.
d = 0,9 y e =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
3
1
, b=
2
2
Al ordenar de menor a mayor los siguientes números; a =
2
3
1
,
2
c =
7
,
8
, el número que ocupa la posición central es
a
b
c
d
e
Con respecto a la expresión
5  x , ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Es real si -5< x < 5
Es real si x = 5
Es real si x < -5
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
1
y q’ =
2
irracional(es)?
2 , ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) número(s)
Si q =
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
q2 · q’
q’ : q
q’2 · q
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
RESPUESTAS
Págs.
1
3
5
7
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
7
y
y
y
y
E
C
E
D
A
B
C
E
C
D
B
A
B
D
D
E
C
C
B
C
C
D
A
D
D
2
4
6
8
8
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 3
NÚMEROS REALES
1.
(-1)0 + (-2)1 + (-1)2 + (-2)3 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
¿Cuál es la tercera parte de 36?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
16
32
35
37
312
39  33
33
A)
B)
C)
D)
E)
4.
8
-5
-8
-9
-10
=
0
33
39 – 1
39
36 – 1
5 5 + 5 5 + 5 5 + 55 + 55 =
A) 55
B) 56
C) 525
D) 255
E) 2525
1
5.
34 · 92 · 274 =
A) 39
B) 315
C) 320
D) 336
E) 2710
6.
56 · 86 · 2-7 · 20-7 =
A)
B)
C)
D)
E)
7.
79 · 11-18
7-3 · 11-6
A)
B)
C)
D)
E)
8.
40-1
40-2
40-42
401
4013
=
1
9
76 · 11-12
712 · 11-24
712 · 11-12
¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
114 · 115 = 119
411 + 45 = 416
411 · 511 = 2011
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
2
9.


1

1 – 
 1  2-1 
A)
B)
C)
D)
E)
-1
=
3
4
3
1
2
-1
-2
10. 5 – {-22 – [16 : (52 – 33)]} =
A)
B)
C)
D)
E)
-7
-3
-1
1
17
11. 4-2 + 2-3 – 2-4 =
A)
B)
C)
D)
E)
1
8
1
6
1
4
-6
-8
12. (0,4)-2 : (0,2)-2 =
A) 25
B) 4
C) 1
1
D)
4
1
E)
25
3
13. (0,2-1 – 0,1-1)-1 =
A)
B)
C)
D)
E)
1
10
1
5
5
1
5
-5
14. La masa de un electrón, que es aproximadamente 0,000091083 · 10 -23 gramos,
expresada en notación científica corresponde a
A)
B)
C)
D)
E)
9,1083 · 10-29 gramos
0,91083 · 10-27 gramos
9,1083 · 10-27 gramos
91083 · 10-32 gramos
9,1083 · 10-28 gramos
15. ¿Cuál de las siguientes relaciones es (son) verdaderas?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
11 < 2 3 < 3,5
-2 2 > - 7
3 +
2 < 10
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
16. En la recta numérica de la figura 1, AB = BC = CD = DE = EF, ¿en cuál de los
siguientes segmentos está ubicado el número 12 ?
A
B
C
D
3
F
4
fig. 1
A)
B)
C)
D)
E)
E
AB
BC
CD
DE
EF
4
17. El valor de (103)-3 · (10-3 · 0,5)-2 =
A)
B)
C)
D)
E)
2·
4-1
4·
4·
4·
10-3
· 10-3
10-3
10-12
10-15
18. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a una aproximación por exceso de
A)
B)
C)
D)
E)
3,01
3,1
3,12
3,16
3,2
19. La expresión
A)
B)
C)
D)
E)
0,08 · 16.000.000
escrita en notación científica es
0,0004 · 0,064
5 · 1010
5 · 1012
5 · 1011
0,5 · 1011
2 · 1011
20. En la serie:
3-2
4-2
;
-3-1
4-1
;
30
40
;
-31
41
; ... , el valor del sexto término es
27
16
27
64
9
16
9
12
27
64
A) B)
C)
D)
E)
5
10 ?
21.
9
5
10
A)
B)
C)
D)
E)
22. Si
A)
B)
C)
D)
E)
+
3
3
10
+
2
101
=
0,02309
0,0239
0,023009
0,20309
0,203009
7 es aproximadamente 2,6457, entonces
0,28 redondeado a la milésima es
2,645
0,2646
0,53
0,529
5,291
23. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) números irracionales?
I)
3 · 12
II)
2 +2 2
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
5
125
I
II
III
I y III
II y III
24. Al ordenar en forma decreciente los números a = 3 5 , b = 4 3
obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
c, b, a
a, b, c
b, a, c
c, a, b
b, c, a
6
y
c = 5 2 , se
25. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
Al dividir dos números irracionales el cuociente es irracional.
Al multiplicar un número real con un número racional, el producto es
racional.
Al sumar dos números irracionales, la suma es un número real.
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
 3,14 
26. 

 0,00314 
A)
B)
C)
D)
E)
-3
 2,04 
: 

 204 
-1
=
10-5
10-7
10-9
10-11
109
27. Si m = 3 2 , ¿cuál(es) de los siguientes números es (son) irracional(es)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
m 2
2m – m2 ·
2
3
6
m 3
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Ninguna de ellas.
7
28. Sean a, b, c y d números reales tales que abcd < 0 y abc < 0, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si a y c tienen igual signo, entonces b < 0.
Si abd > 0, entonces c < 0.
Sólo si cd < 0, entonces b < 0.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
29. Si p < 0 y q > 0, entonces ¿cuál de las siguientes expresiones siempre representa un
número real?
A)
2p  q
B)
p2  q2
C)
2p
q
D)
2pq
E)
-2pq
30. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?
A)
2 3  3 2
B)
5 3  9
C)
11 
D)
6 5  5 7
E)
3 5  5 3
122
31. Se puede determinar el valor de (-1)n, si:
(1) n es par.
(2) n + 1 es impar.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
32. a2 = (2a)0, si:
(1) a2 = 1
(2) a = -1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. Se puede determinar que A es un número irracional, si se sabe que:
(1) [(1 + A) – (1 – A)]2 es un número irracional.
(2) 3(A + 1) es un número irracional.
A)
B)
C)
D)
E)
34.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
a es irracional, si:
(1) a es primo.
(2) a es múltiplo de 3.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Sean r = x 2 y s = x +
2 . Los números r y s son racionales, si:
(1) x es un número irracional negativo.
(2) x es el inverso aditivo de
A)
B)
C)
D)
E)
2.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
RESPUESTAS
1. C
8. D
15. D
22. D
29. E
2. C
9. C
16. C
23. B
30. D
3. E
10. D
17. C
24. A
31. D
4. B
11. A
18. E
25. B
32. D
5. C
12. D
19. A
26. D
33. D
6. A
13. D
20. B
27. E
34. A
7. E
14. E
21. D
28. C
35. B
10
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 4
UNIDAD: NÚMEROS
NÚMEROS COMPLEJOS 
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA
El cuadrado de un número real siempre es no negativo. Por ejemplo, no existe ningún
número real x para el cual x2 = -1.
Para remediar esta situación, introducimos un número llamado unidad imaginaria, que
denotamos con i y cuyo cuadrado es -1.
i2 = -1 /
i=
-1
POTENCIAS DE i
Si calculamos los valores de las potencias de i, encontramos que:
i1
i
2
i
3
i
4
Se tiene que i
=
=
-1
=
2
=
4n
i5
i
i  i = -1  i = -i
2
2
i  i = -1  -1 = 1
= 1, con n 

0
, entonces i
i4n + p = ip
i
6
i
7
i
8
4n+p
=
=
=
=i
i9
=
i
-1
i
10
=
-1
i
11
=
-i
i
12
=
1
-i
=
4n
i
1
p
p
p
 i = 1  i = i , por tanto
con n 

0
y
0p<4
OBSERVACIÓN:



i0 = 1
La suma de cuatro potencias consecutivas de i es 0.
El producto de cuatro potencias consecutivas de i es -1.
RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS
Para todo S  lR+ se tiene:
-S = (-1)  S = (-1) 
S =i S
Ejemplos:
a)
-9 =
b)
-28 =
9  -1 =
9 
28  -1 =
-1 = 3i
28 
-1 =
47 i=
4 
7  i=2 7i
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones no tiene solución en los números reales?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
x2 + 9 = 0
x4 + 16 = 0
x2 – 25 = 0
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
El número
3
-8 +
-25 se puede representar como
A) 2  5i
B) -2 + 5i
C) -2  5i
D) 2 + 5i
E) -7
3.
El número
-81 + 2 -36  3 -1  8i es equivalente a
A)
0
B) 10 i
C) -10 i
D) 21 i
E)
1+i
4.
La expresión i235 + i29 equivale a
A)
B)
C)
D)
E)
5.
i+1
-1 + i
1  i
i
0
La expresión i + i2 + i3 + … + i99 + i100 + i101 equivale a
A) -1
B) -i
C) 1
D) i
E) 0
2
DEFINICIÓN NÚMERO COMPLEJO ()
Un número de la forma z = a + bi, se llama número complejo, en donde a y b son números
reales. Esta forma de representar al número complejo se le denomina forma binomial o
algebraica.
Además a : se llama parte real del complejo z y se denota como Re(z).
b : se llama parte imaginaria del complejo z y se denota como Im(z).
Ejemplo:
En el número complejo z = 3 + 5i se tiene:
Re(z) = 3 (parte real de z)
Im(z) = 5 (parte imaginaria de z)
OBSERVACIÓN:
En el complejo z = a + bi
 Si b = 0, entonces z = a (Complejo Real Puro)
 Si sólo a = 0, entonces z = bi (Complejo Imaginario Puro)
A la expresión binomial, también se le denomina “forma canónica” del número complejo.
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y también sus partes
imaginarias, respectivamente.
Si z1= a + bi y z2 = c + di, con z1 = z2, entonces se cumple que a = c y b = d.
a + bi = c + di  a = c y b = d
EJEMPLOS
1.
La parte imaginaria del complejo z = 1 - 2i es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
-2i
-1
-i
1
-2
Si z = 5i, entonces Re(z) es
A) 5
B) 5i
C) 0
D) -5
E) otro valor.
3.
El valor de x en la igualdad 7 + 8i = y + (x + 2)i es
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
6
3
EXPRESIÓN BINOMIAL Y CARTESIANA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Cualquier número complejo a + bi también se puede considerar como un par ordenado
(a, b) de números reales, donde la segunda componente del par ordenado corresponde al
coeficiente de la unidad imaginaria i, entonces:
Expresión cartesiana: (a, b)
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
El complejo z = (a, b) puede ser representado en un gráfico
vector, de origen O (0, 0) y punto final P de coordenadas (a, b).
de Argand, mediante un
y EJE IMAGINARIO
z
b
EJE REAL
x
a
EJEMPLOS
1.
La expresión binomial del complejo (5, -2), está dada por
A)
B)
C)
D)
E)
2.
5 + 2i
-5 – 2i
-2 + 5i
2 + 5i
5 – 2i
El complejo u = 1 – 2i está representado por
A)
B)
y
C)
y
2
u
1
-2 -1
-1
1
-2
u
2
x
-2 -1
-1
y
2
2
1
1
1
2
x
-2 -1
-1
-2
D)
u
E)
y
2
2
1
1
1
2
x
-2 -1
-1
-2
-2
4
1
-2
y
-2 -1
-1
u
u
1
2
x
2
x
ADICIÓN DE COMPLEJOS
Sean z1= a + bi y z2 = c + di.
Entonces,
z1+ z2 = (a + c) + (b + d)i
SUSTRACCIÓN DE COMPLEJOS
Sean z1 = a + bi y z2 = c + di.
Entonces,
z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i
REPRESENTACIÓN DE LA ADICIÓN O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dados dos números complejos z1 y z2:
a)
La adición z1 + z2 queda representada en un plano de Argand por la diagonal del
paralelogramo cuyos lados son los vectores z1 y z2.
y
OP = z1
OQ = z2
P
z1
OR = z1 + z2
z1 + z2
R
x
O

z2
Q
b)
La sustracción (resta) z1 – z2, queda representada por la suma de z1 con el opuesto del
vector z2, z1 + (-z2)
T
y
OP = z1
OS = -z2
z1 – z2
S
OT = z1 – z2
z1
-z2
x
O
z2
Q
OBSERVACIÓN:


P
El neutro aditivo es el complejo (0, 0) = 0 + 0i.
El inverso aditivo de z es -z. Si z = a + bi, entonces –z = -a – bi.
5
EJEMPLOS
1.
Si u = 2 + 3i
A)
2
B) -5
C)
3
D) -3
E) -10
2.
+
+
+
+
+
y
v = -5 + 4i, entonces u + v =
4i
9i
7i
7i
12i
Si z1 = 2 + i, z2 = -4 + 5i
y
z3 = 3 – 4i, entonces z1 + z2 + z3 =
A) 1 + 2i
B) 3 + 10i
C) -5 + 10i
D) -1 – 10i
E) 3 – 2i
3.
Sean a y b números complejos, con a = (5, -4)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
y
b = (-6, -5), entonces a – b =
11 – 9i
-1 – 9i
11 + i
-1 + i
11 – i
La suma de los complejos u = 2 + 3i
representada en
A)
y
B)
9
y
w = -5 + 6i, respectivamente, está
C)
y
y
2
6
6
3
4
6
x
3
-3
-5
-3
2
x
-8
x
-5
-5
-2
D)
E)
y
y
3
7
2
5
-6
-3
5
7
x
2
-3
3
6
x
9
-6
MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Si z = a + bi, entonces el módulo de z es z, tal que z =
a2 + b2 .
El módulo o valor absoluto de un complejo equivale a la longitud o magnitud del vector que
representa al número complejo en el plano de Argand.
OBSERVACIÓN:
El módulo de todo complejo distinto de cero es positivo.
EJEMPLOS
1.
Si z = 5 + 12i, entonces  z  es
A) 169
B) 13
C) 13
D) -13
E) 17
2.
Si z1 = -3 + 3i y z2 = 3 - 3i, entonces  z1 +  z2 es igual a
A) 9
B) 81
C) 3 2
D)
E)
3.
6 2
0
Si z = 2 – 5i, entonces  z 2 es
A) 21
B)
21
29
C)
D) 29
E)
9
7
CONJUGADO DE UN COMPLEJO
Dos números complejos se dicen conjugados, sí solo tienen distinto el signo de la parte
imaginaria. Si z = a + bi, entonces el conjugado de z es z , tal que z = a – bi.
Gráficamente, todo número
complejo z y su conjugado z
son simétricos respecto del
eje real.
y
z2 = (c, d)
EJE IMAGINARIO
d
z1 = (a, b)
b
EJE REAL
c
x
-b
z1 = (a, -b)
-d
z2 = (c, -d)
OBSERVACIÓN:

El conjugado del conjugado de un complejo, es el mismo complejo ( z = z).

Los módulos o valores absolutos de z, z , -z y - z son iguales.
EJEMPLOS
1.
El conjugado del complejo 7 + 3i es
A) -7 + 3i
B) 7 – 3i
C) -7 – 3i
D) 7 + 3i
E) 3 – 7i
2.
El conjugado del conjugado del complejo, z = -4 – 9i es
A) -4 – 9i
B) 4 + 9i
C) -4 + 9i
D) 4 – 9i
E) 6 + 9i
3.
El conjugado del complejo z representado en la figura 1 es
A) -2 + i
B) -2 – i
C) 2 + i
D) 2 – i
E) 1 + 2i
y
2
8
fig. 1
z
1
x
MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS
Si
z1
z1
z1
z1= a + bi y z2= c + di, entonces
· z2 = (a + bi)(c + di)
multiplicando los binomios.
· z2 = ac + adi + bci + bdi2
reordenando y reemplazando i2 por (-1).
· z2 = ac + bd(-1) + adi + bci
factorizando por i.
z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Notación binomial para la multiplicación de dos números
complejos.
z1 · z2 = (ac – bd, ad + bc)
Notación cartesiana para
números complejos.
la
multiplicación
de
OBSERVACIÓN
El neutro multiplicativo es el complejo (1, 0) ó 1 + 0i = 1
EJEMPLOS
1.
Si u = 3 – 2i y v = 2 + i, entonces u · v =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3.
4.
8
6
8
4
6
+i
+i
–i
+i
– 2i
z y w son números complejos con z = (7, 4) y w = (1, -2), entonces z · w =
A)
B)
C)
D)
E)
(1, -10)
(-1, -10)
(15, -18)
(15, -10)
(7, -8)
Si
a = 2 – 3i y b = 5 – i, entonces el valor de a · b es
A)
B)
C)
D)
E)
14
13
7
13
10
+ 5i
– 13i
– 17i
– 17i
– 3i
Si p = 1 – i, q = 5 + i y r = 3 – i, entonces p(q – r) =
A) 2 + i
B) 2 – 2i
C) -6 – 2i
D) 4
E) 0
9
dos
RECÍPROCO DE UN COMPLEJO
Sea z = a + bi, entonces el recíproco de z es z-1 =
1
z
o
z-1 =
1
.
a + bi
Para racionalizar el denominador de un complejo, debe amplificarse por su conjugado:
z-1 =
1
a  bi
a  bi
a  bi
a  bi

=
=
=
2
2
2
22
a + bi a  bi
a  (bi)
a  bi
a2 + b2
Por tanto, z-1 =
z-1
a
bi
(Notación binomial)
a +b
a + b2

a
-b 
= 
,
 (Notación cartesiana)
 a2 + b2 a2 + b2 
2
2

2
OBSERVACIÓN:
El elemento (0, 0) no tiene inverso multiplicativo.
EJEMPLOS
1.
Si z = 1 + i, entonces z
-1
=
A) -1 – i
B) 1 – i
1
1
+ i
C)
2
2
1 1
 i
D)
2 2
E) ninguna de las anteriores.
2.
El recíproco o inverso multiplicativo de z = 3 + 4i es
A)
B)
3 4
 5, 5 


4 
 3
 25 , - 25 


4
 3
C)  , - 
25
5


 3 4 
D)  ,

 25 25 
E) (-3, -4)
10
DIVISIÓN DE COMPLEJOS
Si z1 = a + bi y z2 = c + di, con z2 distinto de cero, entonces el resultado de la división
se obtiene amplificando por el conjugado de z2:
z1
z2
=
z1  z2
z2  z2
=
z1  z 2
z2
2
z1
(a + bi)(c  di)
(a + bi)(c  di)
=
=
z2
(c + di)(c  di)
c2 + d2
EJEMPLOS
1.
El valor de
4  5i
es
i
A) 5 + 4i
B) -5 + 4i
C) 5 – 4i
D) 4 + 5i
E) -4 – 5i
2.
Sean u = 3 + i y v = 1 – i, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
3.
2
1
4
2
1
Sean
u
=
v
+ 2i
–i
+ 4i
– 2i
+ 2i
a = 4 + 3i
y
b = 3 + i, entonces
4
+ 3i
3
9
5
+
B)
i
10
10
15
13

C)
i
10
10
9
7
+
D)
i
10
10
3
1
+ i
E)
2
2
A)
11
a

b
z1
z2
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1
2
3
4
5
2
D
B
B
E
D
3
E
C
E
4
E
A
6
D
A
C
7
C
D
D
8
B
A
D
9
C
D
B
10
D
B
11
C
E
12
E
A
D
C u r s o : Matemática
Material N° 04-E
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 4
NÚMEROS COMPLEJOS
1.
2 -9 + 3 -16 
-4 =
A) 16
B) -16
C) 16i
D) 20i
E) -5i
2.
¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a un número complejo imaginario puro?
A) -3 + 2i
B) 5
C)
3
-8
D)
8
E) -3i
3.
Sean a = 3  5i y b = 12 + 3i, entonces Im (a) + Im(b) =
A) -2
B) 15
C) 9
D) 7
E) -2i
4.
La diferencia de los cuadrados entre la parte real y la parte imaginaria del complejo
z = 4 – 3i es igual a
A) 25
B) 7
C) 1
D) -1
E) -7
1
5.
La expresión cartesiana del complejo z = a + b, donde a = 1 – 2i
A)
B)
C)
D)
E)
6.
y b = -2 + 3i es
( 1,-1)
(-1,-1)
( 1, 1)
(-1, 1)
(4, -4)
Si z1 = 5  3i, z2 = 2 + 4i y z3 = 8  i, entonces Re(z1) + 3 · Im(z3) – Im(z2) =
A) -2
B) -1
C) 0
D) 4
E) 12
7.
Dados los números complejos u = 2(3 + i) – i + 5a y w = 5(5 + i) + bi  3. Si u = w,
entonces los valores de a y b son respectivamente
A)
B)
C)
D)
E)
8.
16
y 6
5
3 y 6
1
3
y 4
5
16
y -4
5
2
3
y -4
5
Si w = -3 + 5i, entonces w es igual a
A) 2
B) 4
34
C)
D) 8
E) 34
2
9.
La gráfica del complejo 3 – 4i, está representada en la opción
y
A)
y
B)
4
3
-4
y
C)
4
x
4
-3
-3
4
x
-3
-3
y
E)
4
4
4
-4
x
-4
y
D)
3
-4
4
x
x
-3
-3
10. El conjugado del complejo representado en la figura 1 es
y
5
4
A) 5 – 4i
B) -4 + 5i
C) -4 – 5i
D) 5 + 4i
E) -5 – 4i
-4
11. Si z = 8 – 15i, entonces z – z es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
25 + 15i
3(3 – 5i)
-3(1 + 3i)
-5(3 – 5i)
25 – 15i
12. El valor de la expresión (i17 + i5)3 es igual a
A) 0
B) -1
C) 8
D) -8i
E) -8
3
fig. 1
3
x
13. ¿Cuál(es) de los siguientes números complejos tienen módulo igual a 17?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
17 – 8i
8 + 15i
15 – 17i
I
II
III
I y II
II y III
14. Si z1 = 5 + 18i
y z2 = 12 – 7i, entonces z1 – z2 es igual a
A) 17 + 11i
B) 25i – 7
C)
7 – 25i
D) 25i + 17
E) -12 + 30i
15. 3 (7 +
A)
B)
C)
D)
E)
16 ) – 9 + 5i – 3 64 =
-12 + i
-12 – i
12 – 7i
12 – 13i
-4 – 16i
16. Si z pertenece a los números complejos, con z = (-5, 12), entonces z – z es igual
A)
B)
C)
D)
E)
(0 , 7)
(-10, 0)
(-10, 24)
(0, 24)
(0, -7)
17. La expresión (2i –
A)
B)
C)
D)
E)
3 ) (2i +
3 ) es igual a
1
4i
4i – 3
9 – 4i
-7
4
18. Si w-9 = -i, entonces un posible valor para w2 es
A)
i
B) -1
C) - i
D) 1
0
E)
19.
2  i
=
3+i
A)
B)
5  2i
6
7
9  i2
6 + i2
6
5  5i
D)
9
1  i
E)
2
C)
20. El número z =
3
3
+
es igual a
i
2  i
6  12i
5
6  9i
B)
4
6
C)
-15i
6 + 18i
D)
5
6 + 15i
E)
4
A)
21. La suma de un número complejo y su conjugado es -8, y la diferencia entre su
conjugado y él, es igual a 6 i. Luego, el conjugado es
A) 4 + 8i
B) -4 + 8i
C) 4 – 12i
D) 3i + 4
E) 3i – 4
5
22. Si z= a + bi es un número complejo tal que (3 – i) z – 3 = 0, entonces a + b =
A) 6
B) 12
6
C)
10
6
D)
5
E) otro valor.
23. Para que el número complejo (3k + 2i) (3 – i) sea imaginario puro k debe ser
A)
B)
C)
D)
E)
0
9
2
2
9
9
2
2
9
24. Si z = (m – 5, 1)
correctamente que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
y
v = m + 6i, con m un número real, se puede afirmar
Si m = 6, entonces z · v es un número imaginario puro.
30
, entonces z · v es un número real.
Si m =
7
Si m = -1, entonces z · v es un número imaginario puro.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
25. Si z un número complejo y z su conjugado, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdaderas(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
z – z = 2i · Im(z)
z : z = z2 : z2
z :  z  = 1
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
6
26. Si u = 2a – 8i y v = 8 + 24bi, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
1
, entonces u = v.
3
1
Si a = 4 y b = - , entonces v es el conjugado de u.
3
2
v
Si a = 2 y b = - , entonces u = .
3
2
Si a = 4 y b =
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Ninguna de ellas
27. Si z = 1 + i
y w = 1 – i, entonces z208 · w-207 es igual a
A) w
B) z
C) -w
D) -z
E) z · w
28. Una raíz cuadrada del complejo -8 + 6i es
A) 64 + 36i
B) -64 + 36i
C) 1 + 3i
D) 1 – 3i
E) - 8 + i 6
29. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si z1 y z2 complejos de módulo 1, tales que z1 = z2, entonces z1 + z2 = 2.
Si z1 y z2 son complejos no nulos tales que z1 + z2 = z1 – z2, entonces
z1
es un imaginario puro.
z2
Si z1 y z2 son complejos entonces z1 + z2 = z1 + z2 .
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
7
 u v
 = uz – wv, con u, v, w y z
w z 
30. Se define en los números complejos, la operación 
t + i 1 
números complejos. Si 
 i5
i2

puede afirmar que
A)
B)
C)
D)
E)
t
t
t
t
t
i
 = i20 – ki, con t y k números reales, entonces se


>k
=k
+k=0
– k = -1
·k =1
31. (-1 + i)20 =
A) 1 + i 20
B)
20i
-20i
C)
D) 1024
E) -1024
32. Sean u = 4 + 7i y v = a + bi, se puede determinar que u = v, si:
(1) El conjugado de v es (4, -7).
(2) El módulo de v es
A)
B)
C)
D)
E)
65 .
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. Siendo z un número complejo. Se puede determinar el valor de z + z , si:
(1) Se conoce la parte imaginaria de z.
(2) Se conoce la parte real de z.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
34. El producto de (in + 1)2 · im + 1 es igual a -1, si:
(1) 2n + m = 0
(2) n =
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
y m=2
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Sea v = a + bi un número complejo. Se puede determinar el módulo de v, si:
(1) Se conoce v + v .
(2) Se conoce v · v .
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
RESPUESTAS
1. C
8. C
15. C
22. D
29. E
2. E
9. C
16. D
23.E
30. C
3. A
10. C
17. E
24. E
31. E
4. B
11. B
18. B
25. E
32. A
5. D
12. D
19. E
26. C
33. B
6. A
13. B
20. A
27. A
34. B
7. D
14. B
21. E
28. C
35. B
10
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 6
UNIDAD: ÁLGEBRA
ÁLGEBRA I
EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos
dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre
paréntesis.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los
mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y
mantener su factor literal.
USO DE PARÉNTESIS
En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los
paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los
signos de los términos que están dentro del paréntesis.

Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los
signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.
Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se
encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a
los paréntesis desde adentro hacia fuera.
EJEMPLOS
1.
Si p = 3, q = -2 y r = 2, entonces -q2 + pr2 : q =
A) -14
B) -10
C) -3
D) -2
E)
2
2.
x – 4y – 2z + 4 – 2x + 3y – z – 3 =
A) -x + y – 3z – 1
B) -x – y + 3z – 1
C) -x – y – 3z + 1
D) x – y + 3z + 1
E) x – y – 3z + 1
3.
a2b –
A)
B)
C)
D)
E)
4.
3
1
ab2 + a2b – 1
4
3
3 4 2
1
a b + a4b – 1
4
3
3
1 2
2
ab – a b – 1
4
3
3 2
1
a b + ab2 – 1
4
3
3
1 2
2
- ab + a b – 1
4
3
3x – 2y – {x – [2x + (y – 3x) + 2x] – y} =
A)
B)
C)
D)
E)
5.
1
1
2
ab2 – a2b + ab2 – 1 =
3
4
3
5x – 2y
5x
3x + 4y
3x – 4y
3x
-0,3a – (1,4b + 2,25a) + b + a =
A) 0,95a – 0,4b
B) 2,95a + 0,4b
C) -1,28a + 0,4b
D) -1,55a – 0,4b
E) -2,55a – 0,4b
2
OPERATORIA ALGEBRAICA
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos
semejantes y uso de paréntesis.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando
propiedades de potencias. Al multiplicar tres o más monomios, se agrupan todos los
coeficientes numéricos y se multiplican entre sí; y los factores literales también se
agrupan y se multiplican entre sí.

MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Es decir: a(b + c + d) = ab + ac + ad

POLINOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio
y se reducen los términos semejantes, si los hay.
EJEMPLOS
1.
Si A = 3m2 – m + 4 y B = -m2 + 3m – 5, entonces -2(A – B) =
A) 2m2 + 2m –
B) -4m2 – 4m +
C) 4m2 – 4m +
D) -8m2 + 8m –
E) 8m2 – 8m +
2.
1
2
9
18
18
Al aumentar el número -(1 – a) en -(-a) + 2 unidades, se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
2a + 1
2a – 1
2a – 3
3
1
3
3.
José tiene 5a – b estampillas, le regala a su hermano Miguel 3a – b y a su hermana
Cristina a + b. ¿Con cuántas estampillas quedó José?
A) 9a – b
B) 7a – 3b
C) a – 3b
D) a – b
E) 3a – 3b
4.
 2 2   25 2 
-3
 5 xy z   4 x y  (-2yz ) =


 
A) -5x-3y4z-2
B) -5x3y-4z-2
C) 5x-3y4z-2
D) -5x3y4z-2
E) 5x3y4z-2
5.
(a + 1) (an – an + 1 + an + 2) =
A) an
B) an
C) an
D) an
E) -an
6.
+ a3n
– 2a2n
+ an + 3
– an + 3
+ an + 3
(m – n) (m2 + mn + n2)
A)
B)
C)
D)
E)
m3
m3
m3
m3
m3
+ 2m2n – 2mn2 – n3
+ 2m2n + 2mn2 – n3
– 2mn2 – n3
+ 2m2n – n3
– n3
4
PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE BINOMIO
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el
doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del
término.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
EJEMPLOS
1.
(1 + 3x)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1 + 9x2
6x + 1 +
6x + 1 +
1 + 3x +
1 + 3x +
3x2
9x2
9x2
3x2
2
1 

 2  2w  =


1
2
+
w
4w2
1
4
+
B) 4 –
w
4w2
A) 4 –
1
4
+
w
4w2
1
2
+
D) 4 +
w
4w2
C) 4 +
E) 4 –
3.
1
4w2
(3 – 2i)2 =
A) 13 – 12i
B)
5 – 12i
C)
9 – 8i
D) 9 – 4i
E)
5 – 6i
5
segundo
4.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) con (2 – 5x)2?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
(5x – 2)2
(5x + 2)2 – 40x
4 – 25x2
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
(a2n – a-2n)2 =
A) 2a4n
B) a4n + a-4n
2
2
C) a4n + a-4n  2
D) a4n + a-4n – 2
E) a4n – a-4n – 2
6.
Para obtener un trinomio cuadrado perfecto a partir de la expresión sumar
A)
B)
C)
D)
E)
2
5
2
25
4
25
4
5
16
25
6
4
x + x2 se debe
5
SUMA POR DIFERENCIA
El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado del
primer término menos el cuadrado del segundo término.
(x + y)(x – y) = x2 – y2
BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término
común, más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dos
términos, más el producto de los términos no comunes.
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
EJEMPLOS
1.
(m –
3 ) (m +
3)=
A) m2 + 2 3 – 3
B) m2 – 2 3 – 3
C) m2 – 2 3
D) 3 – m2
E) m2 – 3
2.
(x – 6)(x + 3) =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
x2
x2
x2
x2
x2
+ 3x – 18
– 3x + 18
– 3x – 18
– 18
– 3x
(5a2 – b)(5a2 + b) =
A)
B)
C)
D)
E)
25a4 – b
25a4 – b2
25a2 – b2
5a4 – b2
25a4 – 10a2b – b2
7
4.
1

(2z + 1)  2z   =
2

1
2
1
+z–
2
1
1
+ z–
2
2
1
–z–
2
1
–
2
A) 4z2 + z –
B) 2z2
C) 4z2
D) 4z2
E) 4z2
5.
(5m – 2n)(5m + 2n) =
A) 52m – 42n
B) 252m – 42n
C) 52m – 2n
D) 252m – 22n
E) 25m – 22n
6.
2
3

Si P =  x + 1
2


2
 3

y Q =  - x + 1 , entonces P – Q =
2


9 2
x
2
-6x
6x
0
2
A) B)
C)
D)
E)
8
CUADRADO DE TRINOMIO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
CUBO DE BINOMIO
(a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3
EJEMPLOS
1.
(x + y – 2)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
+
+
+
+
+
y2
y2
y2
y2
y2
–4
+4
+ 4 + 2xy + 4x + 4y
+ 4 + 2xy + 4x – 4y
+ 4 + 2xy – 4x – 4y
(2a – b + 3)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
x2
x2
x2
x2
x2
4a2
4a2
4a2
4a2
4a2
+ b2 + 9
– 4ab + 9
+ b2 + 9 – 4ab + 12a – 6b
+ b2 + 9 – 4ab – 12a – 6b
+ b2 – 9 – 4ab + 12a – 6b
(x + 1)3 =
A)
B)
C)
D)
E)
x3
x3
x3
x3
x3
+
+
+
+
+
1
x2 + 1
x2 + x + 1
3x2 + 3x + 1
3x2 + x + 1
9
4.
(a – 3)3 =
A)
B)
C)
D)
E)
5.
+ 27
– 6a + 9
+ 9a2 – 9a – 27
– 9a2 + 27a – 27
– 9a2 – 27a – 27
(x2 – y2)3 =
A)
B)
C)
D)
E)
6.
a3
a3
a3
a3
a3
x6
x6
x6
x5
x6
–
–
–
–
–
y6
x4y2 + x2y4 – y6
3x4y2 + 3x2y4 – y6
3x4y2 + 3x2y4 – y5
3x2y + 3xy2 – y6
3
1

 a  1 =


A)
B)
C)
D)
E)
1
3
a
1
3
a
1
a3
1
a3
1
a3



3
2
a
3
2
a
1
+
3
 1
a

3
+1
a
+
1
 1
a
a2
3
3
+

 1
a
a2
–1
10
FACTORIZACIÓN
FACTORIZAR
Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores.

FACTOR COMÚN
MONOMIO:
ac + ad = a(c + d)
BINOMIO:
(a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d)
EJEMPLOS
1.
72 – 18x =
A) 18(4x – 1)
B) 6(12x – 4)
C) 3(24 + 6x)
D) 9(8 – 9x)
E) 18(4 – x)
2.
Al factorizar -5x4y2 + 15x2y2 – 10xy4 se obtiene
A)
x(5x3y2 + 15xy2 – 10xy3)
B) 5x(x3y2 + 3xy2 – 2xy3)
C) -5xy2(x3 – 3x + 2y2)
D) -5xy(x2y – 3xy + 2y2)
E) 5xy2(-x3 – 3x + 2y2)
3.
m(a + 2) + n(a + 2) =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
mn(a + 2)
2mn(a + 2)
2a(m + n)
(m + a)(n + 2)
(m + n)(a + 2)
Si en la expresión x2n + xn uno de sus factores es xn, entonces el otro factor es
A)
B)
C)
D)
E)
x2 + x
x-n + 1
1 – xn
xn + 1
x
11
5.
a – 2 – x(a – 2) =
A)
B)
C)
D)
E)
6.
c(1 – x) + c2x(1 – x) =
A)
B)
C)
D)
E)
7.
-x
-x(a – 2)
-2x(a – 2)
(1 – x)(a – 2)
(1 + x)(a – 2)
c(c + x)(1 – x)
c(1 – x)(1 + cx)
2c3x(1 – x)
c3x(1 – x)
c2x(1 – x)
Al factorizar la expresión 4a – ab – 8a2 + 2a2b se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
2a(2 – b – 2a + ab)
a(4 – b)(8a + 2b)
a(4 – b – 8a – 2ab)
a(4 – b)(1 – 2a)
a(4 – b)(1 + 2a)
12
DIFERENCIA DE CUADRADOS:
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
DIFERENCIA DE CUBOS:
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
SUMA DE CUBOS:
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
EJEMPLOS
1.
a2 – 289 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Al factorizar 16x2 – 9y2 su resultado es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(17 – a)(17 – a)
(a – 17)(17 – a)
(a + 17)(a + 17)
(a + 17)(a – 17)
(a – 17)2
(4x – 3y)(4x – 3y)
(8x + 3y)(8x – 3y)
xy(16x – 9y)
(3y + 4x)(3y – 4x)
(4x + 3y)(4x – 3y)
a3 + 1 =
A)
B)
C)
D)
E)
(1
(1
(1
(1
(a
– a)(1 – a + a2)
+ a)(1 + a + a2)
+ a)(a2 – a + 1)
– a)(1 + a + a2)
+1)(a2 – 2a + 1)
13
4.
Uno de los factores de 8z3 – 27 es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
x2 –
2z + 3
2z – 3
4z2 + 2z – 3
4z2 + 12z + 9
4z2 – 12z + 9
1
w2

x


B)  x


C)  x


D)  x


E)  x

A)
6.
2
1
w 
1  1

 x
w 
w


1 
1
+  x + 
w 
w
1  1


 x
w 
 w

1 
1

x+ 
w 
w

+
a6 – y12 =
A)
B)
C)
D)
E)
7.

=
(a3 – y6)2
(a4 – y10)(a2 – y2)
(a – y2)6
(a3 – y6)(a3 + y6)
(a2 – y4)(a2 + y4)(a2 + y4)
Si a  b = 2a – b y a  b = 2a + b, entonces (p  q)2 – (p  q) · (p  q) =
A) 2q2 – 2pq
B) 2q2 – 4pq
C) -4pq
D) -2pq
E) 0
14
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
a2  2ab + b2 = (a  b)2
TRINOMIO DE LA FORMA:
x2 + px + q = (x + a) (x + b) con p = a + b,
TRINOMIO DE LA FORMA:
ax2 + bx + c =
(ax + p)(ax + q)
con b = p + q, ac = pq
a
EJEMPLOS
1.
a2 + 2a + 1 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
(x
(x
(x
(x
(x
+ 6) (x – 2)
– 4) (x – 3)
– 6) (x + 2)
+ 4) (x – 3)
+ 3) (x – 4)
2x2 + 5x + 2 =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
+ 1)(a – 1)
+ 1)(a + 1)
+ 1)(1 – a)
– a)(1 – a)
– a)(a – 1)
Al factorizar x2 – x – 12 se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(a
(a
(a
(1
(1
(2x + 1)(2x + 4)
(2x + 1)(x + 4)
(x + 1)(2x + 4)
(2x + 1)(x + 2)
(x + 1)(2x + 2)
Si a = x2 – xy y b = y2 – xy, entonces a + b es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
q = ab
(x + y)2
(x – y)2
(x + y)(x – y)
(x – y)(y – x)
2x + 2y
15
5.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de la expresión algebraica
x2 – 7x + 12?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
II y III
I y III
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a 6x2 – 5x – 6?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
x–4
x–1
x–3
(3 – 2x)(-2 + 3x)
(2x – 3)(3x + 2)
(3 – 2x)(-3x – 2)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
9 + 4x2 – 12x =
A)
B)
C)
D)
E)
(3 – 2x)(3 + 2x)
(2x – 3)(2x + 3)
(3 – 2x)(2x – 3)
(3 – x)(3 – 4x)
(3 – 2x)(3 – 2x)
16
FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Para factorizar polinomios de cuatro o más términos, éstos se deben agrupar
convenientemente de manera de hacer factorizaciones parciales y llegar a una factorización
final.
OBSERVACIÓN:
Los casos anteriores de factorización nos conducen a la siguiente estrategia
general para factorizar un polinomio.
1.
2.
2.1.
2.2.
Intente factor común.
Cuente los términos del polinomio.
Si tiene 2 términos, intente: suma por diferencia, suma de cubos o restas de cubos.
Si tiene 3 términos, intente cuadrado de binomio inicialmente, si no, aplique trinomios
que no son cuadrados.
2.3. Si tiene más de 3 términos agrupe convenientemente.
EJEMPLOS
1.
ax + ay + bx + by =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
pr + qr – ps – qs =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
ab(x + y)
xy(a + b)
(2a + 2b)(x + y)
(2x + 2y)(a + b)
(a + b)(x + y)
(p
(p
(p
(p
(p
+ q)(r + s)
+ q)(r – s)
– q)(r + s)
– q)(r – s)
– r)(q – s)
a2 + 3a + ac + 3c =
A)
B)
C)
D)
E)
(3 + a)(c + a)
(a – 3)(a – c)
(a + 3)(a – c)
(c – a)(c – 3)
(c – 3)(c + a)
17
4.
mx – 4 + m – 4x =
A)
B)
C)
D)
E)
5.
ax – bx + by + cy – cx – ay =
A)
B)
C)
D)
E)
6.
x(m – 4)
(x – 1)(m + 4)
(x – 1)(m – 4)
(x + 1)(m – 4)
(x + 1)(m – 1)
(a
(a
(a
(a
(a
– b)(c – x)(x – y)
– b – c)(x + y)
– b + c)(x – y)
– b – c)(x – y)
+ b + c)(x + y)
a2 – b2 – c2 + 2bc =
A)
B)
C)
D)
E)
b(a + 1) + a(b + c)
a(b + c) – b(a – c)
(a + b – c)(a – b + c)
(a + b + c)(a – b – c)
(a – b – c)(a – b + c)
18
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
1y2
B
C
D
E
D
3y4
D
A
D
D
C
E
5y6
C
A
B
C
D
C
7y8
E
C
B
A
E
C
9 y 10
E
C
D
D
C
A
11 y 12
E
C
E
D
D
B
D
13 y 14
D
E
C
B
E
D
B
15 y 16
B
E
D
B
E
D
E
17 y 18
E
B
A
D
D
C
Págs.
19
6
7
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 6
ÁLGEBRA I
1.
Si a = 1, b = -1 y c = -2, entonces -a4 + b3 – 3c2 =
A) -14
B) -12
C) 10
D) 12
E) 14
2.
Si a = -3, b = -2 y c = -1, entonces ab2 – b · a : c =
6
A)
5
B)
C) -5
D) -6
E) -18
3.
a – [2a – (b – a)] – 3(a + b) =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
-3a
-3a
-5a
-5a
-5a
+ 2b
– 2b
+ 2b
– 2b
+ 4b
Si en la sucesión: a – 2, 3(2a + 4), 5(3a – 6), 7(4a + 8), ... , se suman el quinto y
sexto término, resulta
A)
B)
C)
D)
E)
133a
111a
111a
111a
111a
+ 46
+ 222
– 222
– 42
+ 42
5.
Si el área de un rectángulo es a2 + ab y su ancho es a, entonces el largo es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Al factorizar 3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2 se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
7.
8.
a2 + b
2a + b
a+b
b
a–b
(x2
(x2
(x2
(x2
(x2
– y2)(3ab – 2)
+ y2)(2 – 3ab)
+ y2)(2 + 3ab)
– y2)(3ab + 2)
+ y2)(3ab – 2)
(2 –
3 )2 =
A)
B)
C)
D)
E)
–2 3
7
1
4
7
1
–2 3
–4 3
–4 3
(3 + 5i)2 =
9+
A)
9+
B)
C) 16 +
D) -16 +
E) -16 +
9.
25i
30i
15i
15i
30i
2
2
 1

1

Si u = -  a + 2  y v =  - a + 2  , entonces u + v =
 2

2

1
2
-2a
-4a
8
0
A) B)
C)
D)
E)
2
10. La figura 1 está formada por dos rectángulos. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones
representa(n) el perímetro de la región achurada?
I)
II)
III)
w
2x + 2(x +z)
2x + 2z + 2w
x + y + 2(z + w)
z
y
x
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
11. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones no es (son) equivalente(s) a x3 – 125?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(x – 5)(x2 + 5x + 25)
(x – 5)3
(x2 – 5)(x + 25)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
Ninguna de ellas.
12. p2q2 – 64a4=
A)
B)
C)
D)
E)
(pq
(pq
(pq
(pq
(pq
– 8a2)2
– 2a2)2
+ 8a2)(pq – 8a2)
+ 8a)2
+ 8a2)(pq + 8a2)
13. Una factorización para el polinomio a2 – a – 6 es
A)
B)
C)
D)
E)
(a
(a
(a
(a
(a
+ 1)(a – 6)
– 1)(a + 6)
+ 2)(a – 3)
– 2)(a – 3)
– 2)(a + 3)
3
fig. 1
14. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) divisor(es) de la expresión algebraica
3x2 – 9x – 12?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3
(x + 1)
(x – 4)
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
15. Si 15x2 + 14x – 8 = (5x + a)(3x + b), entonces los valores de a y b son,
respectivamente
A) -1
B) 8
C) 2
D) -2
E) 2
8
-1
4
4
-4
16. b3 + 8c3 =
A)
B)
C)
D)
E)
(b
(b
(b
(b
(b
+ 2c)(b2 – 2bc + 4c2)
– 2c)(b2 – 2bc + 4c2)
+ 2c)(b – 2bc + 2c)
+ 2c)(b2 – 2bc + 2c2)
+ 2c)2(b + 2c)
17. x4 – 20x2 + 64 =
A)
B)
C)
D)
E)
(x
(x
(x
(x
(x
+ 4)(x + 4)(x + 2)(x + 2)
– 4)(x – 4)(x – 2)(x – 2)
– 4)(x + 4)(x – 2)(x – 2)
– 4)(x + 4)(x + 2)(x + 2)
– 4)(x + 4)(x – 2)(x + 2)
4
18. Si m y n son reales positivos, ¿cuál es el orden creciente de m2 + n2,
(m – n)2?
A) m2 + n2, (m – n)2 y
B)
m3  n3
m  n
m3  n3
, m2 + n2, (m – n)2
m  n
C) m2 + n2,
m3  n3
m  n
y (m – n)2
D) (m – n)2, m2 + n2 y
E)
m3  n3
y
m  n
m3  n3
m  n
m3  n3
, (m – n)2 y m2 + n2
m  n
19. El asta de una bandera de x centímetros de largo se pintó de tres colores: blanco, rojo
y azul. El primer segmento de (x – p) centímetros se pintó de rojo, el segundo
segmento de (2x – q) centímetros se pintó blanco y el resto del asta se pintó de azul.
¿Cuántos centímetros mide el segmento pintado de azul?
A) 3x – p – q
B) 2x + p + q
C) 2x – p – q
D) -2x – p – q
E) -2x + p + q
20. Un kilogramo de mantequilla cuesta (2m – c) pesos. Se hace una rebaja de (c – m)
pesos en cada kilogramo, ¿cuántos pesos valen 3,5 kilogramos de mantequilla con
rebaja?
3m – 2c
A)
7m – 10,5c
B)
7m – 3,5c
C)
D) 10,5m – 3,5c
E) 10,5m – 7c
5
21. Para obtener un trinomio cuadrado perfecto a partir de la expresión
3
x + x2 se debe
2
sumar
A)
B)
C)
D)
E)
3
4
9
16
3
16
3
4
9
4
22. Al factorizar m2 – n2 – m – n se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
(m
(m
(m
(m
(m
– n) (m2 + n2)
+ n) (m – n – 1)
– n) (m – n – 1)
+ n) (m – n + 1)
– n) (m – n + 1)
23. Para que la expresión 9x2 –
4
x sea un trinomio de cuadrado perfecto, se debe sumar
3
2
9
2
3
4
81
4
9
8
3
A) B)
C)
D)
E)
24. En la expresión x = b2 – c, si b se incrementa en c, entonces la variación que
experimenta x es
A)
B)
C)
D)
E)
c2
bc + c2
c2 + 2bc
b2 + c2 – c
b2 + 2bc + c2 – c
6
25. En el rectángulo ABCD de ancho 3y y de largo z + x (fig. 2), se ha recortado en cada
esquina un cuadrado de lado y. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n)
el área de la región achurada?
D
A
I) (z + x)3y – y2
II) 3zy + 3xy – 4y2
3y
III) (z + x – 2y)3y + 2y2
fig. 2
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
B
z+x
C
26. El largo de un rectángulo es 12 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo
es x – 4 metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es
A)
B)
C)
D)
E)
(2x
(2x
(4x
(4x
(4x
+
+
+
+
+
8) metros
16) metros
8) metros
16) metros
24) metros
27. 1012 + 1002 – 992=
A)
B)
C)
D)
E)
1022
1042
10.004
10.400
30.600
28. Si x =
A)
B)
C)
D)
E)
2 , entonces el valor de la expresión (x – 2)2(x – 1)2(x + 1)2(x + 2)2 es
6
5
4
3
2
29. Si x = 2, entonces la suma de los ciento un términos de la forma (-1)n + 1 · nx es
A) 202
B) 102
0
C)
D) -102
E) -202
7
30. Definida las operaciones p  q = p2 + q y p  q = q2 – p, entonces a  b – a  b es
igual a
A)
B)
C)
D)
E)
2b
0
(a – b)(a – b + 1)
(a + b)(a + b + 1)
(a + b)(a – b + 1)
2
1

31. Si  n +  = 3, entonces n3 + n-3 es igual a
n

A)
B)
C)
D)
E)
6
3
2
1
0
32. Se puede determinar el valor numérico de a2 – b2, si se sabe que:
(1)
1
de (a + b) es 40.
2
(2)
1
de (a – b) es 5.
4
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. (x – a)(x – b) = x2 – 13x + 36, si:
(1) ab = 36
(2) -a – b = -13
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
34. Se puede determinar el valor numérico de 3a – 5b – 3, si:
(1) a = -3
(2) 3a = 5b
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. (x + y)2 = x2 + y2, si:
(1) x · y = 0
(2) x + y = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
RESPUESTAS
1.
A
8.
E
15. D
22. B
29. B
2.
D
9.
C
16. A
23. C
30. E
3.
D
10. B
17. E
24. C
31. E
4.
E
11. D
18. D
25. D
32. C
5.
C
12. C
19. E
26. C
33. C
6.
E
13. C
20. E
27. D
34. B
7.
D
14. E
21. B
28. C
35. A
10
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 7
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ÁLGEBRA II
FRACCIÓN ALGEBRAICA
Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma
P (x)
, donde P(x)
Q(x)
y Q(x) son
polinomios. La variable x puede tomar cualquier valor real, siempre que no anule al
denominador.
SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA
Para ello se debe considerar lo siguiente:


Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes.
Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o el
denominador y se cancelan los factores comunes.
EJEMPLOS
1.
2a3 b2
6ab5
=
A) 3a2b3
3a2
B) 3
b
C)
a2
3b3
a2 b3
3
E) 3a2b7
D)
2.
x2 + x
=
x+1
A)
B)
C)
D)
E)
x2
x
2x
x+1
2x + 1
3.
4a  4b
=
2b  2a
A) -2
B) 2
C) 2a
D) 2a + 2b
E) 2b – 2a
4.
x2  9
x2  7x + 12
=
-9
-7x + 12
x  3
B)
x  4
x  9
C)
x  5
x+3
D)
x  4
x  3
E)
x+4
A)
5.
3x2  x  2
x2 + 2x  3
=
3x  2
x+3
3x  2
B)
x  3
x  3
C)
x+3
3x + 2
D)
x  3
3x + 2
E)
x+3
A)
2
6.
ax  bx + ay  by
=
x+y
A)
B)
C)
D)
E)
7.
2a – bx – by
2a + 2b
b–a
a+b
a–b
x3  y3
5x2 + 5xy + 5y2
A)
B)
C)
D)
E)
=
x  y
5
x–y
x+y
5
x+y
5xy + 10
x2 + y2
3
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Si


A
C
y
son fracciones algebraicas, donde B  0 y D  0, entonces:
B
D
A·C
A
C
La multiplicación
.
=
B·D
B
D
A
C
A·D
La división
:
=
(C  0)
B
D
B·C
EJEMPLOS
1.
y2  y y + 1
=
.
1  y
y
A) y + 1
B) -y + 1
C) -(y + 1)
D) y2
E) 0
2.
a  b b2  a2
=
:
a
ab
A) -
a
B) -
a
C)
a
D)
a
E)
3.
a
a
+
b
+
1
+
a
+
b
+
b
b
b
b
b
x2 + y2 + 2xy
2
x
2
 y
:
x+y
=
x  y
2
A)
x + y


x  y
x+y
x  y
C) 1
2xy
D) x  y
2xy
E)
(x  y)2
B)
4
4.
x2 + x  2
x2  2x  8
A)
B)
C)
D)
E)
5.
x2 + 5x + 6
=
x+1
x  2
x+2
x  4
x  1
x+2
x  4
x+2
x  1
x+3
6x2  5x  6 3x + 2
=
:
x  1
1  x2
A)
B)
C)
D)
E)
6.
x2  x  12
.
(2x – 3)(x + 1)
(3 – 2x)(x + 1)
(2x – 3)(-1+ x)
(–2x– 3)(x + 1)
(2x + 3)(x + 1)
La expresión
A)
B)
C)
a3  b3
: (a2 + ab + b2) es equivalente a
a+b
a  b
a+b
a2 + b2
a2  ab + b2
a2  b2
a2  ab + b2
a+b
D)
a  b
E) a2 – b2
5
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
En la adición o sustracción de fracciones algebraicas, tal como en las fracciones numéricas,
pueden ocurrir dos casos:

Si
Fracciones de igual denominador
A
A
AC
C
C
y
son fracciones algebraicas, donde B  0, entonces
=

B
B
B
B
B
Fracciones de distinto denominador
A
C
A
AD  BC
C
y
son fracciones algebraicas, donde B  0 y D  0, entonces
=
Si

BD
D
B
D
B

EJEMPLOS
1.
2.
3x2
4x2
=

5
15
A)
x2
3
B)
x2
10
C) -
x2
15
D) -
x2
3
E) -
x2
10
x  1
x+1

=
2x
x
3
2
1
B) x
1  x
C)
2x
x+3
D)
 2x
x
3
E) - 
2
2
A) -
6
3.
3a
2b
+
=
bc
ac
A)
3a + 2b
c
B)
3a2 + 2b2
abc
2a2 + 3b2
abc
5
D)
2c
5
E)
abc
C)
4.
2x2 + 5
6x  5
=
+
x+3
x+3
A)
B)
C)
D)
E)
5.
2x2  6x  10
3  x
x–6
x–3
2x
-2x
Para p  0,
p3

1 + p2
p5
=
2p2  1
A)
p5
1
B)
p5
1
C)
D)
E) 6.
1
p3
0
1
p5
El mínimo común múltiplo entre y (x2 – 3x + 2) y (x2 – 1) es
A)
B)
C)
D)
x–1
(x – 1)(x – 2)
(x + 1)(x – 1)
(x – 2)(x + 1)
E) (x –2)(x – 1)(x + 1)
7
7.
Al sumar
A)
2n2 + 2n + 1
n(n + 1)
B)
n2 + 2n + 1
n+1
C)
n2 + 2n + 1
n(n + 1)
D)
E)
8.
n
n+1
y
, con n entero positivo, se obtiene
n+1
n
2n2 + 1
n(n + 1)
2n + 1
n+1
Para x  5,
A)
B)
C)
x+3
8x + 40

=
x  5
x2  25
x2  8x  25
x2  25
7x  37
 x2 + x + 20
x2 + 55
x2  25
x+5
D)
x  5
E) 1
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
7
1, 2 y 3
C
B
A
D
E
E
A
4y5
C
B
C
C
B
A
6, 7 y 8
A
D
B
D
E
E
Págs.
8
A
8
E
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 7
ÁLGEBRA II
1.
La expresión
A) 6
B) 4
C) 2
D) 0
E) -4
2.
5x3y2
-125x-4y
A)
x-1y
-25
B)
x-1y-1
-25
=
x7 y
-25
xy
D)
-25
C)
E)
3.
x7 y
-5
6a + 36a2
=
6a
A) 36a2
B) 36a2 + 1
C) 6a2 + 1
D) 6a + 1
6a
E)
x2
es un entero negativo para x =
x  3
4.
2p  2q
=
4q  4p
A) B)
C)
D)
E)
5.
1
2
0
1
2
p+q
q+p
q  p
2q  2p
x2  3x + 2
=
x  1
A) x + 2
B) x – 2
C) -3x – 2
D) 3x – 2
E) -2
6.
x2  6x + 9
x2  2x  3
=
A) 3
B) -3
C)
D)
E)
7.
x
x
x
x
x
1
+1
 3
+1
+3
+1
Al dividir (8a2 – 2) por (4a + 2) se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
2a – 1
2a + 1
2–a
a+1
a–2
2
8.
¿Entre cuántos niños pueden comprar (x2 – 4) bolitas, si cada uno compra (x – 2)
bolitas?
A)
B)
C)
D)
E)
9.
4  x
2
x+2
x–2
x2 – x – 2
x3 – 2x2 – 4x + 8
La fracción
x2  6x + 8
4  x2
, con x  2, es igual a
A) -2x + 8
-x  4
B)
x+2
x+2
C)
x  4
x  4
D)
x+2
4  x
E)
x+2
10. Al simplificar
x2  2x + 4
x3 + 8
resulta
A)
B)
C)
D)
x+2
2x + 4
x2 + 6
(x + 2)3
1
E)
x+2
11.
2  x  3x2
6x2  x  2
A)
B)
C)
D)
E)
=
x+1
2x + 1
x+1
2x + 1
x+1
2x  1
x+1
2x  1
1
2
3
12. La expresión
A)
B)
C)
D)
E)
13.
2ab + 2b + 6a + 6
es equivalente a
2ab + 6a
a+b
a
a+1
2a
a+1
a
a+1
b+3
2b + 6
ab  2a 2c  cb
:
=
b
b2
ab
c
ac
B) b
c
C) ab
ab
D)
c
A) -
E) -
14.
ac (b  2)2
b3
1
2
(x  1)
A)
B)
:
1
(1  x)2
=
1
2
(x
 1)2
1
1  x2
C) -1
D) 1
E) no se puede determinar.
4
15. Si x es un entero positivo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
5
+
=
x
x
x
x
x
2x
+
=
2
3
5
x+1
1
=1+
x
x
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
16. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) siempre igual(es) a
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
k+y
x
2k + y
y
k

+ k + 
x
x

k+
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
17. Al efectuar la suma
A)
B)
C)
D)
E)
c
b
a
+
+
, con abc  0, se obtiene
ab
ac
bc
a+b+c
ab + ac + bc
a+b+c
abc
a+b+c
a2 b2 c2
a2 + b2 + c2
abc
a2 + b2 + c2
a2 b2 c2
5
kx + k + y
?
x
(son)
18. x – [(2x)-1 + (3x)-1 + (5x)-1] =
A)
B)
C)
30x2  31
30x
30x  31
30x
10x2  1
10x
x2  10
x
E) 10x
D)
19.

1  
1
1 
 : 1   =
x
x2  

A)
B)
C)
D)
E)
1
x
1
1+
x
1
1
x
1
x
1–
20. La superficie de un cuadrado está dada por la expresión 4x2 - 20x + 25, con x >
el lado aumenta en 3 unidades, ¿en cuántas unidades aumenta la superficie?
A)
B)
C)
D)
E)
3(7 – 4x)
3(4x – 7)
3(4x + 7)
3(13 – 4x)
3(4x – 13)
1
21. Si x  0 y x  -1, entonces
1 
1+
A)
B)
C)
D)
E)
=
1
1
x
1
1+x
1–x
x–1
2x – 1
6
5
. Si
2
22. El mínimo común múltiplo entre a + 2b, 2ab + a2 y a es
A)
B)
C)
D)
E)
(a + 2b)ab
a(a + 2b)
b(a + 2b)
a2 + 2b
2ab – a2
23. Si (x – y)2 = 3xy (con xy  0), entonces
(y  x)2
x2 + y2
=
A) 3
B) -3
C) -2xy
3
D)
5
3
E) 5
24.
Si i es la unidad imaginaria entonces la expresión
a2 + b2
es equivalente con
a  bi
A) a – bi
B) a + bi
C) -a + bi
D) -a – bi
E) a + b
25. Si x, y, z son reales distintos, la expresión
A)
B)
1
z  x
3
x  z
3
(x  y)(y  x)(x  z)
1
1

D)
z
x
3x  4z + y
E)
(x  y)(x  z)
C)
7
2
2
1
es equivalente a
+

x  y
y  x
x  z
26. Si el área de una figura plana está representada por la expresión
x2 + 4x + 4, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado (x + 2).
x2 – 9, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado (x – 3)
x2 + 7x + 12, entonces la figura puede ser un rectángulo donde uno de sus
lados es (x + 4).
I)
II)
III)
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
27. Si T  2, T  0, entonces
T  4+
T 
4
T
4
T es igual a
A) -5
B) -1
C) 4
T+2
D)
T  2
E) 1 –
4
T+2
28. La fracción
5x  11
2
se obtuvo sumando las fracciones
2x + x  6
valores de A y B son, respectivamente
A)
5x
B)
3
C) -11
D) -1
E)
5
y
y
y
y
y
-11
-1
5x
3
11
8
A
x+2
y
B
. Los
2x  3
29. Si
xy
1
1
xz
es igual

= b , entonces
=a y
x+y
a
b
x+z
z+y
yz
z  y
yz
yz
y  z
A)
B)
C)
D) E)
1
yz
y–z
30. Dado los números reales positivos x e y, tales que x2 + 9y2 = 10xy con x > 3y, ¿cuál
x + 3y
es el valor de la expresión
?
x  3y
A) -4
B) -2
C) 2
D) 4
E) No se puede determinar un valor numérico.
31. ¿Cuál de las siguientes opciones es un divisor exacto de a4 + 2a2 + 9?
A)
B)
C)
D)
E)
a2 + 3
a+1
a2 – 3
a2 – 2a + 3
a2 + 2a – 3
32. Sean a y b números reales, se puede determinar que las expresiones (a + b)2 y
(a – b)2 representan números reales iguales, si se sabe que:
(1) a = 0
(2) ab = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
33. Si p es un número entero, la expresión (p + 1)2 representa un número par positivo, si:
(1) p ≠ -1
(2) p es impar.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. Si a y b son números enteros positivos, la expresión
a2 + b
representa a un número
a
entero, si:
(1) a2 + b es número entero.
(2)
b
es un número entero.
a
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Se puede calcular el valor numérico de,
a2  2ab + b2
(a2  b2 )2
de:
(1) a + b
(2) a – b
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
, con a  b, si se conoce el valor
RESPUESTA
1 .C
8. B
15. C
22. B
29. B
2. C
9. E
16. D
23. D
30. C
3. D
10. E
17. D
24. B
31. D
4. A
11. B
18. A
25. A
32. D
5. B
12. C
19. B
26. D
33. C
6. D
13. A
20. B
27. E
34. B
7. A
14. D
21. B
28. B
35. A
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 8
UNIDAD: ÁLGEBRA
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Una ecuación de primer grado o lineal, es aquella que es susceptible de llevar a la forma
ax + b = 0, donde a y b son números reales y x es la incógnita.
OBSERVACIÓN

Las ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo conjunto solución.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de primer grado?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1
=5
x
-
1
2
=4
x
x + x-2 = 0
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
Encuentre el valor de x en la ecuación 4x – 12 = 0
A)
0
B)
3
C)
4
D) 6
E) 12
3.
Encuentre el valor de x en la ecuación x2 + 2x = (x + 2)2
A) -2
0
B)
C) 2
D) 4
E) 16
4.
La raíz o solución de la ecuación 2x + 4 = 24 es
A) 14
B) 10
C)
4
D) 0
E) -4
5.
Si 6 – 2x = 14, entonces x2 es igual a
A) -16
B) -4
4
C)
D) 10
E) 16
6.
En la ecuación 3x + 6k – 9 = 0, ¿cuál debe ser el valor de k para que la solución sea
x = -1?
A) -4
B) -2
C) -1
D) 2
E) 4
7.
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) equivalente(s) a 2x = 6?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
8.
x–2=4
2 – x = -4
3x = 9
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
El conjunto solución de la ecuación 4x – 4 = 12 es
A) {16}
B) {12}
C) {8}
D) {4}
E) {2}
2
ECUACIÓN CON COEFICIENTES LITERALES
Es una ecuación que además de la incógnita tiene otras letras que representan valores
constantes.
EJEMPLOS
1.
Si ax + b = 3, con a  0 y b  0, entonces
3  b
a
b  3
a
a  3
b
3  a
b
3  b
a
A) x = B) x =
C) x =
D) x =
E) x =
2.
Si bx – 5 = -bx, con b  0, entonces x es igual a
A) -5
B) 0
C) 5
5
D) 2b
5
E)
2b
3.
Si ax – 2 = bx – 4, con a  b , entonces x es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
2
a  b
-2
a  b
6
a  b
-6
a  b
a  b
2
3
4.
Si a(x – b) = x + b, con a  1 , entonces x es igual a
A) b
b(a  1)
B)
a
b  a
f
C)
a
b(a + 1)
D)
a  1
b(a  1)
E)
a+1
5.
El valor de p en la ecuación 2x – p = px – 2, con x > 0 es
A) -1
B) 2
C) x – 1
D) x + 1
x
E)
2
6.
Si 6(x – 6) = m(x – m) y m = -1, entonces x es igual a
5
1
5
C)
7
D) -1
E) -5
A)
B)
7.
En la ecuación mx + 9 = m2 – 3x, con m > 0, entonces x =
A)
B)
C)
D)
E)
m–3
m+3
-3
3
-3 y 3
4
ECUACIONES FRACCIONARIAS
Una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus términos o todos tienen denominadores
no nulos y distintos de uno.
Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente método:






Multiplicar los miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los
denominadores que aparecen.
Efectuar las operaciones indicadas en los paréntesis.
Agregar y reducir términos en los miembros de la igualdad.
Colocar los términos en x en un miembro y los numéricos en otro.
Resolver la ecuación equivalente de primer grado obtenida.
Comprobar el resultado con la ecuación dada.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál es el valor de x en la ecuación
3x  5
= x?
2
A) 5
B) 1
C) -1
D) -2
E) -5
2.
¿Cuál es el valor de x en la ecuación
2
= 1?
x+3
A) -3
B) -2
C) -1
D) 1
E) 5
3.
Si
x
– 2x = 5, entonces x – 1 es igual a
3
A) -16
B)
-4
C)
-3
D) -2
2
E)
5
4.
En la ecuación
6
x
4
, el valor de x es
+
=
x  2
2  x
x  2
A) -2
B) -1
C) 0
D) 2
E) La ecuación no tiene solución
5.
¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
6.
-4  x
– 1 = 0?
x+4
{-4}
{-2}
{0}
{4}

1
1
1
+
= , con a  b  c  0, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
a
b
c
ecuaciones es (son) siempre verdadera(s)?
Dada la ecuación
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
bc
b  c
ac
b=
a  c
ab
c=
a  b
a=
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
6
ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Se
pueden dar tres casos:
Caso 1: Si a  0 la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA.
Caso 2: Si a = 0 y b = 0 la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES.
Caso 3: Si a = 0 y b  0 la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
¿Qué condición debe cumplir el parámetro
mx + m = 2x + 2, tenga infinitas soluciones?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
La ecuación, 2x + 1 = 3x + 2, tiene solución única.
La ecuación, 4x + 5 = (x + 2) + (3x + 2) no tiene solución.
La ecuación, 2x + 2 = 2(x + 1) tiene infinitas soluciones.
m
m
m
m
m
m
para
que
la
ecuación
en
x,
= -2
=2
 -2
2
= 2 ó m = -2
¿Qué condición debe cumplir el parámetro p para que la ecuación px  1  4x  p , no
tenga solución?
A)
B)
C)
D)
E)
p
p
p
p
p
= -4
= -1
 -1
=4
4
7
4.
¿Qué valor(es) debe tener p para
que la ecuación en x,
7
x
x – px = 3 –
tenga
2
2
solución única?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
p = -4
p=4
p≠4
p≠0
Cualquier valor real
Dada la ecuación (a - 1) · x + b = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Si a = 1, la ecuación tiene infinitas soluciones.
Si a  1, la ecuación tiene solución única.
Si b = 0, la ecuación no tiene solución.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Para que valor de p, la ecuación
2  x
= p , no tiene solución
x+4
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
7.
En la ecuación qx + 3 = 2a, ¿qué condición debe cumplir q para que la ecuación en x,
tenga solución única?
A)
B)
C)
D)
E)
q
q
q
q
q





3
-2a
2a
0
1
8
ECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO
ax + b = c
Con a, b, c coeficientes reales, a  0.
Si c  0, se resuelve por medio de la definición de valor absoluto.
Es decir: ax + b = c  ax + b = -c
OBSERVACIONES:

Si c < 0, la ecuación no tiene solución.
x2 = x

EJEMPLOS
1.
La ecuación 2x + 5 = 1 tiene
A)
B)
C)
D)
E)
2.
=
=
=
y
y
-6
-3
-2
x = -2
x = -2
La ecuación 2x – 4 = 6
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Como única solución, x
Como única solución, x
Como única solución, x
Dos soluciones, x = -6
Dos soluciones, x = -3
Tiene
Tiene
Tiene
Tiene
Tiene
dos soluciones racionales positivas.
dos soluciones racionales negativas.
dos soluciones racionales de distinto signo.
solo una solución racional positiva.
solo una solución racional no positiva.
Las raíces o soluciones de la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
-18
-22
-18
-22
22
y
y
y
y
y
2  x
4
22
-18
18
18
18
9
= 5 son
4.
Si x > 0, la raíz de la ecuación x – 3 – 5 = 0 es
A) -2
B) 8
C) -2 y 8
D) 2 y 8
E) no tiene solución real.
5.
|5x – 1| + 4 = 0, entonces el conjunto solución de la ecuación es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
El conjunto solución de la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
7.
 3
- 
 5
3 
 
5 
{1}
 3 
- , 1
 5 

2
5 
 
2 
 1 11 
- ,

 2 2
 5 5
- , 
 2 2
 5
- 
 2

La ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
2x  5 + 6
(x  2)2 = 5 tiene
como única solución x = 5
como única solución x = 7
dos soluciones, x = -3 y x = 7
dos soluciones, x = -3 y x = -7
una solución x = 27
10
= 3 es
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
7
8
1y2
A
B
A
B
E
D
C
D
3y4
E
E
B
D
B
A
A
5y6
A
C
B
E
E
C
7y8
E
B
D
C
B
A
D
9 y 10
E
C
A
E
A
C
Págs.
11
B
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 8
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
1.
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de primer grado?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
¿Cuál es el valor de x en la ecuación 8x – 1 = 3?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
x2 + 6x + 5 = x2 – 1
2x–x=3 5
3
=0
x+
5
1
4
1
2
3
8
1
4
1
2
Si q – 1 = 3, entonces q2 – 12 es
A) 6
B) 9
C) 10
D) 15
E) 16
4.
El valor de x en la ecuación -{-2 – 3 – (x – 2x) + 4} = 4 – 5x es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
5
4
3
4
1
2
3
8
3
4
La solución de la ecuación 0,5 + 0,7x = 3,5(0,2 + 0,2x) + 1,6 es
A) -1,8
B) 0
C) 1,8
D) cualquier valor real.
E) no tiene solución.
6.
¿Cuál es la solución de la ecuación
4x + 3
1
= 2x + 1 ?
2
2
A) -0,25
B)
0
C) 0,25
D) Cualquier valor real
E) No tiene solución
7.
Dado el número complejo z = 1 – i, el valor de x en la ecuación
A) i
B) -i
C) 1
D) -1
E) 1 – i
2
2x
= z es
z
8.
En la ecuación y +
y
y
7
=
+ , el recíproco de y es igual a
2
3
3
A) -2
B) 0,2
C) 0,5
D) 2
E) 5
9.
¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación x – 4 = 5?
A)
B)
C)
D)
E)
{-1}
{9}
{1, 9}
{-1, -9}
{-1, 9}
10. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación
1  x
1
= ?
16
2
A) -8
B) -7
C) 7
D) 8
E) 9
11. Si x – 2a =
a
, entonces x es
2
A) 5a
B) 2a
5
a
C)
2
D) a
2
E)
a
5
3
12. Si A + BT + CT2 = V, entonces C =
A)
B)
C)
D)
E)
V  (A  BT)
T2
V  BT + A
T2
V  A  BT
T2
V  A  B
T
V  B+A
T
13. Si 1 +
A) B)
C)
D)
E)
14. Si
4
= 12 , entonces la cuarta parte de x es
x
4
11
1
11
5
12
4
11
16
11
a
= a2, con a  0, entonces x =
x
A) a
B) a3
C) a2 – a
1
D)
a
1
E)
a2  a
4
15. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) reductible(s) a una ecuación de primer
grado?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(x – 1)2 – 3x = x2
(x – 5)(x + 5) = x(x – 5)
x3 + (x + 1)(x2 – x + 1) = x3 + 1 + x
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
16. La soluciones de la ecuación 7 –  5x + 4  = -9 son
A) 7 y 9
B) 2,4 y -4
C) -2,4 y 4
D) 2,4 y 4
E) -2,4 y -4
17. La solución de la ecuación 2y –
5
4
1
+y+
=
4
3
12
es
A)
0
1
B)
18
4
C)
9
10
D)
11
8
E)
3
18. En la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
5
2
7
3
–
=
–
+ 1, el inverso multiplicativo de x es
x
3x
10
2x
5
3
5
51
71
170
3
5
5
3
5
19. Si r (1 – s) = 1, entonces s – 1 es
A) -r
B) 1 – r
C) r – 1
1
D)
r
1
E) r
20. Si
3  x
5  x
= 6, entonces
es igual a
x  5
x  3
A) - 6
1
B) 6
1
C)
6
D) 6
33
E)
7
21. Si q = -1 –
A) -
2
, entonces t =
5t
3
5q
2
5(q  1)
5(q + 1)
C)
-2
5(q + 1)
D)
2
2
E) 5q + 5
B)
6
tx
4x

= 0 , de incógnita x tiene solución única, entonces
3t + 2
3t + 2
¿cuál(es) de las siguientes igualdad(es) es (son) siempre FALSA(S)?
22. Si la ecuación
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
23. Si
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
2
=0
3
t–4 0
1
3
=t
2
t+
I
II
III
I y II
I y III
1
1
1
+
= , entonces P =
M
N
P
A) N · M
B) M + N
1
C)
M+N
M+N
D)
N·M
M·N
E)
M+N
24. Si x =
ay + b
, entonces y =
cy + d
xc  a
b  xd
xd  b
B)
a  xc
b + xd
C)
xc + a
xd  b
D)
xc  a
b  xd
E)
a  xc
A)
7
5
(ºF – 32º) relaciona grados Celsius (ºC) y grados Fahrenheit (ºF). Al
9
despejar ºF se tiene
25. La fórmula °C =
A) ºF =
B) ºF =
C) ºF =
D) ºF =
E) ºF =
8
ºC
5
8
ºC
5
9
ºC
5
9
ºC
5
1
ºC
5
+ 32º
– 32º
+ 32º
– 32º
+ 32º
26. Respecto de la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
2x  3
, se puede afirmar que
+
=
2
x+2
x  5
x  3x  10
no tiene solución.
la solución es cualquier número real.
la solución es única.
tiene solución para todo valor real, excepto x = -2 y x = 5.
no es reductible a una ecuación de primer grado.
27. ¿Cuál es el conjunto solución ecuación
A)
3x + 2 = x + 4 ?
1
 3
1, 
 2
3

C) 1,  
2

3 
D)  
2 
E) 
B)
8
28. Si
p+q
p
p+r
entonces
en términos de q y r es
=
p
p+r
p
r
q
r
B) q
A)
qr
r+q
q
D)
q+1
1
E) 1+r
C) -
29. En el cuadrado mágico de la figura 1, la suma de cada fila, columna y diagonales
principales es constante, entonces el recíproco de a es
A) 0
B) 1
C) 3
1
D)
3
2
E)
3
7(x – 3)
x–4
x+1
x+2
a
3(2 – x)
1–x
x
2x – 4
fig. 1
30. El conjunto solución de la ecuación 7i5 – 12xi7 = 2(i9 – xi11), con i la unidad imaginaria, es
A)
 1  
 , 0  
 2  
 1  
 - , 0  
 2  
C) {(0, 1)}
 1  
D)  - , 1 
 2  
B)
E) {(0, -1)}
31. En la ecuación x + 2n = 6, se puede afirmar que x = n, si:
(1) n – 2 = 0
(2) x – 2 = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
32. Se puede determinar x, si:
(1) 3(x + 2) = 5x – (2x – 6)
(2) 50x + 20(x – 2) = 82
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. 2p + q es igual a 3q, si:
(1) p – q = 0
(2) p – 3 = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. En la ecuación
x  3
= 2, el valor de x es 9, si:
4  p
(1) p + n = 3 con n > 0.
(2) p – 1 = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. En la igualdad 2a + x = 3b, el valor de x es positivo, si:
(1) b > 0
(2) a < 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
RESPUESTAS
1. E
8. C
15. C
22. E
29. B
2. B
9. E
16. B
23. E
30. B
3. D
10. B
17. A
24. B
31. D
4. C
11. C
18. D
25. C
32. B
5. E
12. C
19. E
26. D
33. A
6. D
13. B
20. C
27. C
34. B
7. C
14. D
21. E
28. B
35. C
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 9
UNIDAD: ÁLGEBRA
PLANTEAMIENTOS
En los problemas de planteamientos aparecen expresiones o vocablos que debemos traducir
a lenguaje matemático.
EJEMPLOS
1.
2.
Traducir las siguientes expresiones a lenguaje matemático:
a) El doble de x
...........................
b) El cuadrado de x
...........................
c)
El triple de x
...........................
d) El cubo de x
...........................
e) El cuádruplo de x
...........................
f)
...........................
La cuarta potencia de x
g) El quíntuplo de x
...........................
h) La quinta potencia de x
...........................
i)
La diferencia entre a y b respectivamente
...........................
j)
La diferencia entre b y a respectivamente
...........................
k) El exceso de a sobre b
...........................
l)
...........................
La semisuma de a y b
m) x aumentado en a unidades
...........................
n) x disminuido en a unidades
...........................
o) x es a unidades mayor que y
...........................
p) x es a unidades menor que y
...........................
q) El producto de a y b
...........................
r)
x veces a
...........................
s)
El cuociente entre a y b
...........................
El sucesor del sucesor de n es
A)
B)
C)
D)
E)
n+1
n–1
n
n+2
n(n + 1)
3.
El enunciado: “el producto de 10 y la décima potencia de 2”, se expresa por
A)
B)
C)
D)
E)
4.
El cuociente entre la suma de a y b y su producto es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
a+b
ab
1
(a + b)ab
a+b
a
a+b
b
El enunciado: “x veces y, elevado a x”, se expresa por
A)
B)
C)
D)
E)
6.
(10 · 210)10
10 · 210
1010 · 210
1010 · 2
10 · 2
(xy)x
xyx
xxy
x · xy
(xy)2x
El enunciado: “El exceso de x sobre y, aumentado en 10 veces x”, se expresa por
A) y – x + 10x
B) -y – x – 10x
C) -y – x + 10x
D) x – y + 10x
E) x – y – 10x
7.
El enunciado: “la semisuma del cubo de a y el cuadrado de b es igual al exceso de c
sobre d” se expresa por
A) 3a + b2 = c – d
B) a3 + b2 = c – d
C)
D)
E)
a3 + b2
=c  d
2
a3 + b2
c  d
=
2
2
3a + 2b
c  d
=
2
2
2
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO
Existen diversos tipos de problemas de planteamientos, sin embargo en todos ellos es
conveniente:

Leer total y cuidadosamente el problema, antes de empezar a resolver.

Hacer un listado de incógnitas y datos.

Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere.

Plantear y resolver la(s) ecuación(es) si el caso lo requiere.

Leer la pregunta del problema

Comprobar la(s) solución(es).
EJEMPLOS
1.
El exceso del cuádruplo de tres sobre dos es igual a
A) -1
B) 6
C) 7
D) 10
E) 79
2.
Si al triple del sucesor de n se le resta el antecesor del antecesor de n y al resultado se
le agrega el cuádruplo de n, resulta
A)
B)
C)
D)
E)
3.
6n
6n
6n
6n
5n
+
+
+
+
+
5
3
2
1
5
El número cuyo quíntuplo excede a 21 en lo mismo que 42 excede al doble del número,
es
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 21
3
4.
A Mariana en su cumpleaños le regalaron x peluches, coleccionando un total de 36. Si
el quíntuplo de los que le regalaron equivale a los que tenía, ¿cuántos peluches tenía
Mariana antes de su cumpleaños?
A) 5
B) 6
C) 24
D) 30
E) 36
5.
Una tabla se divide en dos partes, de tal forma que el trozo mayor corresponde a dos
veces la parte menor, más cinco unidades. Si la tabla mide 50 cm, ¿a cuánto es igual la
diferencia entre el trozo mayor y el menor, respectivamente?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
cm
cm
cm
cm
cm
Juan invita al cine a cuatro amigos aprovechando la promoción “tres entradas por el
precio de dos”. Si la entrada tiene un costo de dos mil pesos por persona y uno de sus
amigos aporta dos mil pesos, entonces el ahorro que obtiene Juan en esta promoción
es
A)
B)
C)
D)
E)
7.
15
20
25
30
35
$
$
$
$
$
2.000
3.000
4.000
6.000
8.000
La distancia del colegio a la casa de Mario es de 7.000 metros y parte de este trayecto
lo recorre en transporte público y el resto caminando. El recorrido en transporte público
excede en 2.000 metros al cuádruplo de lo que recorre a pie. Entonces, ¿cuantos
metros recorre a pie?
A)
B)
C)
D)
E)
1.000
2.000
3.500
5.000
7.000
4
PROBLEMAS CON FRACCIONES
Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un
a
a
número. La fracción
de un número x se calcula multiplicando
por x.
b
b
EJEMPLOS
1.
En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. ¿Cuántos
alumnos leen?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
2.
Si Emilio gana $ B y gasta las dos quintas partes, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa lo que le queda a Emilio, en pesos?
A) B –
B)
2
5
2B
5
C) B :
2
B
5
D) 2B
E) B –
3.
2
B
5
Julio compra un televisor a crédito en $ 3A, pagando un cuarto al contado y el resto en
nueve cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
A) $
B) $
C) $
D) $
E) $
9A
4
A
4
A
9
A
12
A
36
5
4.
En un curso de 30 alumnos, el número de niñas es el doble del número de niños,
más 3. Entonces, ¿qué fracción del total es el número de niños?
1
3
2
B)
7
7
C)
10
3
D)
10
4
E)
7
A)
5.
Los nueve décimos de x disminuyen en su tercera parte resultando 6, entonces x es
igual a
A) 20,0
B) 10,0
C) 6,0
D) 4,0
1,8
E)
6.
Antes de navidad el valor de un artículo era de $ 6.000, luego fue aumentado en su
décima parte y después de esta fiesta, es disminuido en su cuarta parte. Entonces, el
valor final del artículo es
A)
B)
C)
D)
E)
7.
$
$
$
$
$
1.650
2.100
3.900
4.950
6.600
Los cinco tercios de un número exceden en dieciocho unidades a la sexta parte del
mismo número, entonces los dos tercios del número corresponden a
A) 27
B) 18
C) 12
D) 8
E) 3
6
PROBLEMAS DE DÍGITOS
Un número está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma
de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de
diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima, centésima...)
abc,de = a · 102 + b · 101 + c · 100 + d · 10-1 + e · 10-2
Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada, donde en el sistema
decimal un número de la forma xyz queda representado por x  102 + y · 101 + z  100
EJEMPLOS
1.
El número 345 escrito en notación ampliada
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3 · 103 + 4 · 102 + 5 · 101
31 · 102 + 22 · 101 + 51
3 · 102 + 4 · 101 + 5 · 100
3 · 100 + 4 · 10 + 5
3 · 101 + 22 · 100 + 5
2 · 103 + 5 · 102 + 4 · 100 =
A) 2.504
B) 2.540
254
C)
452
D)
E) ninguna de las anteriores.
3.
La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 8. Si el dígito de las
unidades es a, entonces el sucesor del número es
A)
B)
C)
D)
E)
10(8 – a) + a
80 – 9a
79 – 9a
81 – 9a
9 + 9a
7
4.
El desarrollo de 324,65 en notación decimal posicional es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
102
102
102
102
102
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
·
·
·
·
·
101
101
101
101
101
+
+
+
+
+
4
4
4
4
4
·
·
·
·
·
100
100
100
100
100
+
+
+
+
+
6
6
6
6
6
·
·
·
·
·
10-1
10-2
10-1
10-1
10-1
+
+
+
+
+
5
5
5
5
5
· 10-1
· 10-1
· 10-2
· 0,02
200p + 20r + 2q
200p + 20q + 2r
200r + 20q + 2p
200q + 20p + 2r
200r + 20p + 2q
La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 12. Si las cifras se
invierten resulta un número que excede en 18 al número original, entonces el número
es
A)
B)
C)
D)
E)
7.
·
·
·
·
·
Si M es un número de tres cifras distintas en el cual el dígito de las decenas es p, el
dígito de las unidades es q y el de las centenas es r, entonces el doble de M es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
3
3
3
3
3
57
84
48
93
39
Un número de dos cifras excede en cuatro unidades al triple de la suma de sus dígitos.
Si la suma de sus cifras es siete, entonces el producto de sus cifras es
A) 12,0
B) 10,0
C) 7,0
D) 6,0
E)
2,5
8
PROBLEMAS DE EDADES
En estos problemas conviene representar las edades de las personas con letras diferentes
indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,
según corresponda:
Edad pasada
(hace b años)
Edad actual
Edad futura
(dentro de c años)
x–b
y–b
x
y
x+c
y+c
EJEMPLOS
1.
Si la edad de una persona es 36 años, ¿cuántos años tenía hace y años?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
La edad de una persona es x años. ¿Qué edad tendrá en y años más?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
y
36 + y
36 – y
36
y – 36
x
y
x+y
x–y
y–x
La edad que tendré en 15 años más será el doble de la que tenía hace 10 años. ¿Qué
edad tengo actualmente?
A)
B)
C)
D)
E)
25
30
35
40
45
años
años
años
años
años
9
4.
El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de
6 años. ¿Qué edad tendré en dos años más?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
(M
(M
M2
M2
M2
+
+
+
+
+
M – 3)2 = 100
M + 3)2 = 100
(M – 3)2 = 100
(M + 3)2 = 100
(3 – M)2 = 100
Juan tenía hace 7 años el doble de la edad que tendrá Anita en 7 años más. Si la edad
de Juan es el triple de la edad de Anita, ¿qué edad tiene Juan?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
años
años
años
años
años
Rodrigo tiene tantos años como los de Mario menos tres años. Si el cuadrado de la
suma de sus edades es 100, entonces la ecuación para determinar la edad de Mario
(M) es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
12
14
16
18
20
67
63
60
28
21
años
años
años
años
años
Carla tiene quince años más que Pedro. Hace cinco años la edad de Carla era dos veces
la edad que tenía Pedro. ¿Qué edad tendrá Carla en cinco años más?
A)
B)
C)
D)
E)
20
25
30
35
40
años
años
años
años
años
10
PROBLEMAS DE TRABAJOS
Si un trabajador (o máquina) puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo
b, la ecuación que permite calcular el tiempo x que demoran en hacer el trabajo en conjunto
es
1 1 1
= +
x a b
OBSERVACIÓN:
La ecuación se puede generalizar para n trabajadores (o máquinas).
EJEMPLOS
1.
Una máquina realiza un trabajo en 2 horas y otra máquina realiza el mismo trabajo en
3 horas. ¿Cuánto se demoran las dos máquinas trabajando simultáneamente en realizar
dicho trabajo?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
5
3
2
2
2
horas
horas
horas 24 minutos
horas 4 minutos
horas
Una llave A llena un estanque vacío en 2 horas, en cambio una llave B lo llena en
6 horas y un desagüe C lo deja vacío en 3 horas. ¿En qué tiempo se llenará el
estanque, si estando vacío se abren ambas llaves y el desagüe simultáneamente?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
horas 24 minutos
horas
hora 36 minutos
hora 30 minutos
hora 12 minutos
Una llave puede llenar una piscina vacía en seis horas y otra llave la llena en dos horas
menos que la primera. Si se abren las dos llaves simultáneamente, ¿cuánto se demoran
en llenar la piscina vacía?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
2
2
1
1
1
6
4
3
2
1
horas
horas
horas
horas
hora
Rodrigo puede realizar una tarea en 15 días, mientras que Nelson la puede hacer en el
triple de los días que emplearían si trabajaran los dos juntos. ¿En cuántos días
realizaría la tarea Nelson si trabajara solo?
A)
B)
C)
D)
E)
5 días
10 días
15 días
30 días
32 días
11
PROBLEMAS DE MÓVILES
Para este tipo de problemas, debemos tener presente la fórmula:
Donde
s = vt
s = recorrido
v = rapidez
t = tiempo
EJEMPLOS
1.
Un ciclista sale de Santiago y otro de Temuco, distantes 720 km, uno hacia el otro. El
km
km
primero viaja a 40
y el segundo a 30
. Si ambos parten a las 7 am, ¿qué
h
h
distancia los separa a las 10:00 am, de ese mismo día?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
510
530
580
610
650
km
km
km
km
km
Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto, y en la misma dirección y
sentido. Uno viaja con una rapidez de 60
km
km
, y el otro viaja a 100
. Transcurridas
h
h
4 horas, ¿cuál será la distancia que los separa?
A) 40 km
B) 80 km
C) 120 km
D) 160 km
E) 200 km
3.
Dos automóviles parten desde la Plaza de Armas a la misma hora en sentidos opuestos.
km
La rapidez de uno de ellos es 10
menor que la del otro. Al cabo de 3 horas se
h
encuentran a 510 km de distancia, ¿cuál es la rapidez del automóvil más lento?
A) 60
B) 70
C) 80
D) 90
E) 95
km
h
km
h
km
h
km
h
km
h
12
PROBLEMAS DE MEZCLAS
Para este tipo de problemas podemos considerar el siguiente planteamiento general:
Si n objetos, que valen c, se componen de x objetos que valen a cada uno, y n – x objetos
que valen b cada uno, la ecuación que permite encontrar x es: ax + b(n – x) = c.
EJEMPLOS
1.
De 1.200 personas que asistieron al circo, la mitad eran niños, un cuarto eran de la
tercera edad y el resto eran adultos menores de 65 años. Si las entradas de niños
costaban $ 1.000, las de la tercera edad $ 500, ¿cuánto pagó cada adulto menor de
65 años, si lo recaudado fue de $ 1.350.000?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
500
1.000
1.500
2.000
2.500
En una alcancía hay un total de 400 monedas de $ 100 y $ 500. Si en total hay
$ 160.000, entre ambas monedas, ¿cuál es el número de monedas de $ 100?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
$
$
$
$
$
100
150
200
250
300
Un pastelero mezcla dos tipos de chocolates, uno con 30% de cacao y otro con 70%.
¿Cuántos gramos de chocolate al 70% de cacao se necesitan para obtener una mezcla
total de 1.000 gramos con 60% de cacao?
A)
B)
C)
D)
E)
750
700
500
300
250
13
RESPUESTAS
Ejemplos
1
Págs.
1y2
a.
b.
c.
d.
2x
x2
3x
x3
h.
i.
j.
k.
e. 4x
l.
f. x4
g. 5x
m.
n.
x5
a–b
b–a
a–b
a+b
2
o.
p.
q.
r.
s.
x
x
a
x
–a=y o x=y+a
+a=y o x=y–a
·b
·a
a
b
2
3
4
5
6
7
D
B
A
A
D
C
x+a
x–a
3y4
D
A
C
D
B
A
A
5y6
D
E
B
D
B
D
D
7y8
C
A
D
C
E
A
B
9 y 10
C
C
C
E
A
B
E
11
E
C
C
D
12
A
D
C
13
D
A
A
14
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 9
PLANTEAMIENTOS
1.
“El triple del cuadrado de k es cinco unidades mayor que P”, se expresa como
A)
B)
C)
D)
E)
2.
En los números reales se define la operación [abc] = a · 100 + b · 101 + c · 102,
entonces el sucesor de [213]
A)
B)
C)
D)
E)
3.
213
214
311
312
313
El exceso de la edad de un Padre sobre la edad de su hijo es de m años. Entonces, en
p años más la diferencia de sus edades será
A)
B)
C)
D)
E)
4.
3k2 – 5 = P
3k2 + 5 = P
(3k)2 + 5 = P
3(2k) – 5 = P
(3k)2 – 5 = P
(m + p) años
(p – m) años
(m – p) años
p años
m años
Dos amigos deciden regalar a su Profesora una flor que tiene un valor de $ 750. Si uno
de ellos aporta el doble que el otro y sabiendo que el menor aporte fue $ x, entonces la
ecuación que representa tal situación es
A)
B)
C)
D)
E)
x
= 750 – x
2
-x = 750 + 2x
2x = x – 750
2x = 750 + x
2x = 750 – x
5.
Entre Carlos y Angélica recorrieron 1.700 metros. Si Carlos recorrió 150 metros más
que Angélica, ¿cuántos metros recorrió Carlos?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Sandra al ir de su casa al lugar de trabajo gasta diariamente $ 3.000 en movilización y
de vuelta gasta $ 2.500. Entonces, ¿cuánto gasta de lunes a viernes en movilización?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
$
$
$
$
$
12.500
15.000
20.000
25.000
27.500
Una persona gana $ a anuales y gasta $ b trimestrales, ¿cuánto logra ahorrar en un
año?
A)
B)
C)
D)
E)
8.
925
850
800
775
750
$
$
$
$
$
(a
(a
(a
(a
(a
–
–
–
–
–
b)
2b)
3b)
4b)
5b)
3
de una torta y reparte en partes iguales el resto entre sus ocho
5
hijos. ¿Qué parte de la torta le tocó a cada hijo?
Un pastelero vende
1
5
1
B)
10
1
C)
20
1
D)
24
1
E)
30
A)
2
9.
El enunciado: “El doble de un número disminuido en la unidad es igual a la mitad del
mismo número, aumentado en 5 unidades” se expresa por
2x + 5
2
x
2x  1 =
+5
2
x
2(x – 1) =
+5
2
x+5
2(x – 1) =
2
2x + 5
2(x – 1) =
2
A) 2x  1 =
B)
C)
D)
E)
10. El enunciado: “A un número c se le resta su triple y este resultado se multiplica por el
cuadrado del doble de c”, se escribe
A)
B)
C)
D)
E)
c – 3c · 2c2
c – 3c · (2c)2
(c – 3c) · (2c)2
(c – 3c) · 2c2
(c – 3) · (2c)2
11. Mario limpia una piscina en 40 minutos y Luis demora 20 minutos más que Mario. Si el
trabajo lo hacen juntos, ¿cuánto tiempo demoran en limpiar la piscina?
A) 24
B) 30
C) 40
D) 60
E) 100
minutos
minutos
minutos
minutos
minutos
12. La señora Carmen compró 4 kilogramos de pan y 3 kilogramos de carne y pagó $ a. Si
el kilogramo de pan vale $ b, ¿cuánto cuesta el kilogramo de carne?
A) $ (a – 4b)
a  4b
B) $
3
a + 4b
C) $
3
a  b
D) $
3
E) $ (a – b)
3
13. En un local de flores se vende claveles por unidades. Pedro y Jorge compran un ramo
de claveles cada uno; el ramo de Pedro tiene 9 claveles y le costó $ a. ¿Cuánto pagó
Jorge por su ramo si tiene 3 claveles más que el de Pedro?
A) $ 3a
B) $ 12a
a
C) $
3
3a
D) $
4
4a
E) $
3
14. Dos números pares consecutivos son tales que el triple del mayor excede en 8 al doble
del menor. ¿Cuál es la suma de los números?
A)
B)
C)
D)
E)
0
2
4
6
8
15. De una población de quelonios perece
2
4
del total más 9, sobreviviendo sólo
del
7
7
total. ¿Cuántos quelonios murieron?
A)
B)
C)
D)
E)
18
27
36
45
63
16. Antonio pide un vaso de leche y le sirven sólo dos tercios de la capacidad del vaso. Si él
bebe sólo tres cuartos del contenido y quedan 40 cc, ¿cuál es la capacidad del vaso?
A)
B)
C)
D)
E)
80
120
160
180
240
cc
cc
cc
cc
cc
4
17. De los x dulces que tiene Pedro, le regala la sexta parte a Carlos, y a Mario le regala
cuatro más que a Carlos, quedándose con ocho. ¿Cuál es la ecuación que permite
determinar el número x?
2x
6
2x
B)
6
2x
C)
6
x
D)
6
x
E)
6
A)
+4=8
+4=x
+ 12 = x
+ 12 = x
+4=8
18. Se mezclan dos tipos de leche, una descremada y otra entera. Si la leche descremada
tiene 1 gramo de materia grasa por litro, y la otra tiene 26 gramos de materia grasa
por litro, entonces para obtener 50 litros de leche semi-descremada con 15 gramos de
materia grasa por litro, ¿cuántos litros de leche entera se necesitan?
A)
B)
C)
D)
E)
13,5
22
25
27
28
19. En una prueba de 70 preguntas, Darío omite diez de ellas. Si la cuarta parte de las
preguntas que respondió correctamente es igual al número de las que respondió
incorrectamente, ¿cuántas preguntas respondió correctamente?
A)
B)
C)
D)
E)
12
14
45
48
56
20. Las edades de Pedro, Juan y Diego suman 90 años. Pedro tiene 4 años más que Juan y
éste tiene 7 años más que Diego. ¿Cuántos años tiene Juan?
A)
B)
C)
D)
E)
24
29
30
31
35
5
21. La suma de tres números es 100. El exceso del primero sobre el tercero es 9 y el
segundo es siete unidades mayor que el tercero. Entonces, la suma del mayor con el
menor es
A)
B)
C)
D)
E)
63
65
66
71
72
22. El dígito de las unidades de un número de dos cifras es igual al antecesor del dígito de
las decenas. Si el dígito de las decenas es n, entonces el valor del antecesor del triple
del número es
A)
B)
C)
D)
E)
33n
33n
33n
33n
33n
–
–
–
–
–
31
6
4
3
2
23. Un número de dos cifras disminuido en 35 resulta igual al doble del dígito x de las
decenas. Si la suma de los dígitos del número es igual a 7, ¿qué ecuación permite
hallar este número?
A)
B)
C)
D)
E)
[x + (7 – x)] – 35 = 2x
[10x + (7 – x)] – 35 = 20x
[10x + (x – 7)] – 35 = 2x
[10x + (7 – x)] – 35 = 2x
[10x + (7 – x)] – 35 = 2(7 – x)
24. Todos los alumnos de un curso se reparten los gastos de un paseo en partes iguales. Si
cada uno paga $ 2.500 faltan $ 24.000 para cancelar los gastos y si cada uno paga
$ 4.000 sobran $ 12.000. Si todos los alumnos pagan su cuota, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes expresión(es) es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El total de alumnos del curso es 24.
El costo total del paseo es $ 84.000.
La cuota por alumno es de $ 3.500.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
6
25. Dos vehículos con similares características parten desde el mismo lugar, al mismo
tiempo y dirección, pero en sentidos opuestos. Uno de ellos con una velocidad de 100
kilómetros por hora y el otro a 120 kilómetros por hora. Entonces, ¿qué distancia los
separa a las tres horas después de iniciada la marcha?
A)
B)
C)
D)
E)
60
100
120
220
660
km
km
km
km
km
26. En la comida de final de año una gran familia decide repartirse las tareas requeridas de
la siguiente manera: un décimo de ellos preparará el asado, dos quintos las ensaladas y
un cuarto el postre. Cuando las tareas estaban listas por los encargados, llegaron los
30 que faltaban, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Son 120 las personas que asisten a la comida.
Son 30 personas las encargadas del postre.
Son 10 personas que se encargan del asado.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
27. Se tienen tres números positivos consecutivos, de modo que la suma de la quinta parte
del menor con el quíntuplo del mayor es igual al séxtuplo del promedio de los números.
Entonces, la suma de los números es
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
28. En la construcción de una pandereta, Juan, Iván y Sebastián se demoran 12 días; Iván,
Sebastián y Rolando se demoran 15 días; Sebastián, Rolando y Juan se demoran 10
días y Rolando, Juan e Iván se demoran 20 días, entonces ¿cuánto tiempo tardarán los
cuatro juntos en realizar dicho trabajo?
A) 3 días 8 horas
B) 6 días
C) 10 días
D) 14 días 6 horas
E) 19 días
7
29. Un número de dos cifras se multiplica por la suma de sus cifras resultando 405. Si se
multiplica el número formado por las mismas cifras del número original, pero
invertidas, por la suma de sus cifras, resulta 486. Con respecto al número original,
¿cuál es la diferencia entre el dígito de las decenas y el dígito de las unidades
respectivamente?
A) -7
B) -1
C) 1
D) 3
E) 7
30. Un camión en el plano horizontal tiene en promedio una rapidez de 90
km
y en cuesta
h
km
. Si en recorrer 310 km, entre plano y cuesta, demora
h
4 horas, ¿cuántos kilómetros recorrió en cuesta?
su rapidez media es de 40
A)
40
B)
90
C) 120
D) 130
E) 270
31. Se puede determinar la diferencia de edad que tiene Pedro con su hijo, si:
(1) Pedro tiene el triple de la edad de su hijo.
(2) Hace 30 años Pedro tenía la edad actual de su hijo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. En un avión viajan 140 pasajeros, de los cuales 80 son extranjeros y el resto son
chilenos. Se puede determinar el número de mujeres chilenas que viajan en el avión,
si:
(1) El número de hombres chilenos duplica el número de las mujeres chilenas.
(2) Del total de pasajeros, 105 son hombres.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
33. En cada día, de lunes a jueves, gané $ 600 más de lo que gané el día anterior. Se
puede determinar cuánto gané el miércoles, si:
(1) El jueves gané el quíntuplo de lo que gané el lunes.
(2) El lunes gané $ 450.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. En un curso faltaron a clases
2
de los alumnos. Se puede determinar el número de
5
alumnos del curso, si:
(1) Asistieron 24 alumnos.
(2) Faltaron 16 alumnos.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Se puede determinar el valor numérico de
1  3a
6a

 a =
a  2
4b

b
(2) b =
a
(1)
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
a
(con a y b ≠ 0), si se sabe que:
b
RESPUESTAS
1. A
8.
C
15. B
22. C
29. B
2. E
9.
B
16. E
23. D
30. A
3. E
10. C
17. C
24. E
31. B
4. E
11. A
18. E
25. E
32. A
5. A
12. B
19. D
26. C
33. D
6. E
13. E
20. D
27. E
34. D
7. D
14. D
21. B
28. C
35. A
10
GUÍA ACUMULATIVA Nº 1
1.
2
-2  2
=

3
2+3
1
2
2
B)
3
2
C)
10
22
D)
15
9
E)
5
A)
2.
1  2
5
: - +  =
2  3
6
A)
B)
C)
D)
E)
3.
¿Cuál es el producto entre 180 y 90?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
1
4
1
3
1
3
1
3
2
23
22
24
23
23
·
·
·
·
·
34
33
33
35
36
·
·
·
·
·
52
5
52
5
52
34 · 54 · 153 =
A)
B)
C)
D)
E)
1512
1511
1536
157
154
5.
37 · 5-10
3-2 · 5-3
3-5 · 5-13
3-9 · 5-13
39 · 5-7
3-9 · 513
3-14 · 530
A)
B)
C)
D)
E)
6.
-1
1
3
 
A)
B)
C)
D)
E)
7.
=
-1
1
:  
6
=
9
2
0,9
0,5
0,2
Con respecto del número -
22
, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
7
siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
8.
Truncado a la centésima obtenemos una aproximación por exceso.
Redondeado a la décima obtenemos una aproximación por defecto.
Al redondear y truncar a la centésima se obtiene la misma aproximación.
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas
El conjugado del número complejo 2 + 3i es
A) -2 – 3i
B) 2 – 3i
C) -2 + 3i
D) 2 + 3i
E) 3 + 2i
2
9.
¿Cuántos divisores positivos tiene el número 36?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
10. ¿Cuál es el inverso aditivo de (a – b)?
A)
B)
C)
D)
E)
1
a  b
1
b  a
b–a
a–b
-a – b
11. ¿A cuántos novenos equivale
2
?
3
A) 29
B) 18
C) 6
D) 5
3
E)
12. Dado el número irracional e = 2,71828128…, al truncarlo en la milésima obtenemos el
número a, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones respecto del número a
es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Al estimar el número con tres cifras significativas obtenemos 2,72.
El número a escrito en notación abreviada es 2.718 · 10-3.
El número amplificado por 100 escrito en notación científica es 2,718 · 102.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
13. El doble de p es 32 y p – 2 = q + 4, luego el valor de q es
A) 18
B) 10
2
C)
D) -2
E) -10
3
14. Si x = 3 e y = -2, entonces xy – x2y3 =
A) -78
B) -7
C) 12
D) 31
E) 66
1
1
1
1
, b =

·
2
20
2 20
representado por
15. Si a =
A)
B)
C)
D)
E)
y
c =
1
1
, entonces un orden decreciente está
:
2 20
a>b>c
b>a>c
c>a>b
a>c>b
c>b>a
16. ¿Qué parte es
2
3
de ?
5
25
125
6
3
B)
10
6
C)
125
1
D) 1
3
100
E)
3
A)
17. Si a = 2
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
, b=3
3
2
y c=4
3
9
, entonces b · c – a +
es igual a
4
4
1
4
7
5
12
1
10
4
15
7
15
12
5
4
18. Si a =
A)
B)
C)
D)
E)
19.
1
1
1
, b=
y c=
, entonces el orden decreciente es
0,25
0,125
0,2
c, b, a
b, c, a
c, a, b
b, a, c
a, b, c
1
2+
1 
1 
A)
B)
C)
D)
E)
=
1
1
3
0
1
3
2
1
5
3
2
5
2
3
3
20. 72n – 5 – 72n – 3 + 49n – 3 =
A)
B)
C)
D)
E)
72n – 5
72n – 11
72n – 4
-335 · 72n – 6
0
21. Sean a y b dos enteros
(a – b)5 – (a – b)4 – (a – b)3 =
consecutivos
A) -12
B) -3
C) -1
1
D)
2
E)
5
tales
que
a
<
b,
entonces
22. La expresión i7 + i8 + i9 + i10 equivale a
A) -1
B) -i
C) 0
D) 1
E) i
23. Una bodega puede almacenar 3.350 kg en total. Si en ella hay guardados 1.232 kg de
trigo, 1.143 kg de avena y 125 kg de cebada, ¿cuántos kg faltan para llenar la bodega?
A)
B)
C)
D)
E)
950
850
750
650
550
24. Dado que el número a es múltiplo de 4, que el número b es múltiplo de 8, que el
número c es un divisor de 4 y el número d es un divisor de 8, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a
es un racional positivo.
d
c
puede ser un entero.
d
b
es un entero.
a
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
25. Si a # b =
b  a2
, c  d = cd y 2  h = 64, entonces el valor de h # 3 es
3
A) -11
B) -39
C) 11
D) 37
E) 39
6
26. Si m = 1
1
1
m
m+1
m+2
– , entonces
=
+
+
2
2
m+1
m+2
m+3
2
3
3
B)
4
1
C)
2
23
D)
12
9
E)
4
A)
27. Si a y b son números enteros, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones
representa(n) números pares?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a2 + a + 2b
a2 – a + 53
(2a + 1)(2b + 3)
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
28. Respecto de los números x = 7,9 e y = 0,2 , ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3
x =2
x
= 36
y
x–y=
70
9
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
7
29. Si p es el mayor de tres enteros consecutivos, entonces el promedio de los tres enteros
es
A)
B)
C)
D)
E)
p+1
p–1
p–3
3p
3p – 1
30. El lunes perdí $ 4.000, el martes gané $ 12.500, el miércoles gané el doble de lo que
tenía el martes y el jueves, después de perder la mitad de lo que tenía, me quedaron
$ 46.500. ¿Cuánto tenía antes de empezar a jugar?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
12.500
20.500
22.500
24.500
32.500
31. Un niño dice a otro “pensé en un número, lo multipliqué por 6, sumé 15 al producto,
resté 40 de esta suma y la diferencia la dividí por 25, obteniendo 71 como cuociente y
resto cero”. ¿En cuál número pensó el niño?
A)
B)
C)
D)
E)
280
300
320
340
360
32. Un trazo se divide en 2 mitades y en seguida se efectúan las operaciones siguientes:
1ero Una mitad se divide en tercios y la segunda en medios.
2do Cada una de las fracciones de la primera mitad se divide en tercios y la segunda
en medios, y así sucesivamente.
¿Cuál es el número de segmentos de trazos que se han obtenido después de la 3 era
operación?
A)
B)
C)
D)
E)
13
20
30
35
53
8
33. Sea a = 1 + i y b = 1 - i, entonces
a
es igual
b
A) i
B) 0,5i
C) -i
1
D)
i
E) 2i
34. Un número entero positivo está formado por tres cifras, la cifra de las decenas es a, la
de la centenas es b y la cifra de las unidades equivale a la suma de las cifras de las
centenas y decenas, entonces el sucesor del número es
A)
B)
C)
D)
E)
101b
101a
100b
100a
101b
+
+
+
+
+
11a
11b
10a
10b
11a
+
+
+
+
1
1
1
1
35. La suma de un número complejo y su conjugado es igual a 8, y la diferencia entre el
conjugado y el número complejo original respectivamente es 8i. Entonces, el número
complejo es
A) 4 + 4i
B) -4 + 4i
C) 4 – 4i
D) -4 + 4i
E) 0
36. Dada la expresión algebraica 8x3 + 64y3, entonces ¿cuál(es) de los siguientes
planteamientos es (son) siempre verdadero(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El número 8 es un factor entero de la expresión dada.
La expresión algebraica 2x + 4y es un factor algebraico de la expresión
dada.
La expresión algebraica x2 – 2xy + 4y2 es un factor algebraico de la
expresión dada.
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas
9
37. 2(2a – 3b) + (3b – 2a)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
4(2a – 3b)
2(2a – 3b)3
4a – 6b + 9b2 – 4a2
3(3b – 2a)2
(2a – 3b)(2a – 3b + 2)
38. Roberto y dos amigos deciden llevar agua a su excursión. Roberto lleva una botella de
1
1
litros y sus amigos una de 1
litros cada uno. En el primer descanso deciden
2
2
2
1
tomar dos vasos de
litro, cada uno. ¿Cuánta agua les queda para el resto del
4
camino?
1
litros
2
4 litros
3
4 litros
4
5 litros
1
5 litros
4
A) 1
B)
C)
D)
E)
39. Cada unidad en la recta numérica ha sido dividida en 5 partes iguales (fig. 1). Luego, la
suma a + b es igual a
21
5
14
B)
5
7
C)
5
2
D)
5
1
E)
5
A)
-2
a -1
0
1
fig. 1
40. En el diagrama de la figura 2, el valor que resulta al ingresar el número 1
2
3
B)
2
C) 2
9
D)
4
7
E)
2
b3
2
1
es
3
A)
Entrada
Restar
1
2
Dividir por -
2
3
¿Es mayor que 1?
Si
Sumar
3
4
No
Sumar
1
4
fig. 2
Salida
10
Salida
41. Si 0 < a < 1, ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a2 > a
-a2 > -a
1
>a
a
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
42. Si a = 2 3 , b =
A)
B)
C)
D)
E)
b, a, c
b, c, a
c, a, b
c, b, a
a, b, c
43. Si a =
A)
B)
C)
D)
E)
11 y c = 3 2 , ¿cuál es el orden creciente de estos números?
12 y b =
3 , ¿cuál de los siguientes números reales no es racional?
a
b
b
a
ab
a+b
a2 + b2
44. ¿Cuál(es) de estos números no es (son) real(es)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
3  2 3
II)
3 2  5
III)
11  3
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Ninguno de ellos
11
45. Si m es un número racional y n es un número irracional, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
m + n es irracional.
m · n es irracional.
m : n puede ser racional.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
46. En la ecuación ax + 4 = a2 – 2x, el opuesto de x es
A)
B)
C)
D)
E)
a
2
2
a
2
– 2 con a  -2 y a  2
– a con a  -2 y a  2
+ a con a  -2
– 2 con a  2
– a con a  -2
47. Dada la ecuación x – 7 = 5, la diferencia no negativa de sus raíces es
A) 14
B) 12
C) 10
D) 2
E) 0
48. Un hermano le dice a otro hermano: “tú tienes 18 años, pero cuando tengas el doble de
lo que yo tengo, entonces mi edad será el triple de la que tú actualmente tienes, ¿en
cuatro años más tendré?
A)
B)
C)
D)
E)
34
30
28
24
Ninguna de las anteriores
12
49. Una secretaria puede digitar un texto en 60 horas, pero si trabajara con una
practicante lo harían en 40 horas. Si la secretaria avanzó sola durante 20 horas,
¿cuántas horas empleará la practicante en terminar el texto sola?
A) 120
B) 100
C) 80
D) 60
40
E)
50. Tenemos 720 triángulos de dos tipos, para armar un mosaico, si deseamos utilizar un
cuarto del primer tipo y un octavo del segundo tipo de modo que el mosaico tenga un
sexto del total. ¿Cuántos triángulos del primer tipo se necesitan?
A) 480
B) 240
C) 80
D) 60
40
E)
51. Considerando que para todo número entero positivo k, se tiene que
1
1
1
1
igual a
, con k un número entero positivo, es decir,
=
k(k + 1)
k
k+1
k(k + 1)
1
1
1
1
1
1
, es
+
+
+
+
+
+
1 2
2 3
3 4
4 5
98 99
99 100
A)
B)
C)
D)
E)
100
101
99
100
101
100
99 100
1
99 101
ninguno de los valores anteriores.
52. Sea a, b y p números reales, tales que a > b y p =
siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
p = 1.
Si b < 0, entonces p < 1.
p>1
Si b > 0, entonces p < 1.
p=0
13
a2  b2
a2  2ab + b2
. ¿Cuál de las
53. Sean z1 y z2 números complejos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
z1
z2 = z1
z2
z1
z
= 1
z2
z2
z1 + z2
z1 + z2
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas
54. a2 = (2a)0, si:
(1) a2 = 1
(2) a = -1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
55. Se puede determinar el valor de un kilo de manzanas, si:
(1) Dos kilos de peras más uno de manzanas vale $ 1.600.
(2) El kilo de manzana vale la mitad de lo que vale el kilo de peras.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
56. La expresión (-x)x es un número real, si:
(1) x2 = 0,25
(2) x = -0,5
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
14
57. Sea z un número complejo. Se puede conocer el valor de z + z , si:
(1) Se conoce la parte real del número complejo.
(2) Se conoce la parte imaginaria del número complejo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
58. Se puede determinar que n es un número natural, si:
(1) n0 = 1
(2) n = 1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
59. La expresión
x(x + 1) es un número real, si:
(1) x + 1 = 0
(2) x es negativo.
A)
B)
C)
D)
E)
60.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
a es siempre irracional, si:
(1) a es un número primo.
(2) a es un número impar.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
15
RESPUESTAS
1.
D
11. C
21. C
31. B
41. D
51. B
2.
D
12. E
22. C
32. D
42. A
52. B
3.
A
13. B
23. B
33. A
43. D
53. D
4.
D
14. E
24. B
34. A
44. B
54. D
5.
C
15. C
25. A
35. C
45. C
55. C
6.
D
16. B
26. D
36. D
46. E
56. B
7.
B
17. E
27. A
37. E
47. C
57. A
8.
B
18. E
28. E
38. B
48. C
58. B
9.
D
19. A
29. B
39. C
49. C
59. A
10. C
20. D
30. C
40. C
50. D
60. A
16
GUÍA ADICIONAL N° 1
RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE
RAZÓN
Es una comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el cuociente
a
entre ellas. Se escribe a : b o
, se lee “a es a b”; donde a se denomina antecedente y b
b
consecuente.
a
El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades:
= c  Valor de la razón
b
EJEMPLOS
1.
15
se aumenta en 6 unidades y su consecuente se
18
disminuye en 4 unidades, se obtiene la razón
Si el antecedente de la razón
11
2
11
B)
24
9
C)
22
6
D)
4
21
E)
7
A)
2.
Para un terreno de 0,6 km de largo y 200 m de ancho, la razón entre largo y ancho es,
respectivamente
A)
B)
C)
D)
E)
3 : 1.000
3 : 100
3:1
1:3
0,6 : 2
1
PROPORCIÓN
a
c
=
o a : b = c : d y se lee
b
d
“a es a b como c es a d”, donde a y d son los extremos; b y c son los medios.
Es una igualdad formada por dos razones:
TEOREMA FUNDAMENTAL: “En toda proporción el producto de los extremos es igual al
producto de los medios”.
a
c
=
 a  d=b  c
b
d
OBSERVACIÓN:
Dada la proporción
a
c
= , existe una constante k, tal que
b
d
a = c · k, b = d · k, k ≠ 0
EJEMPLOS
1
¿Cuál(es) de las siguientes parejas de razones forman una proporción?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
12
4
y
27
9
15
10
y
18
14
20
6
y
30
18
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
El valor de x en la proporción
A)
B)
C)
D)
E)
12
20
=
es
27
x
9
15
35
45
60
2
SERIE DE RAZONES
Es la igualdad de más de dos razones. La serie de razones
x
y
z
=
= , también se escribe
a
b
c
como x : y : z = a : b : c
PROPIEDAD BÁSICA
Para la serie de razones:
a
c
e
a+c+e
=
=
=
b
d
f
b+d+f
EJEMPLOS
1.
Si a : b = 2 : 3
A)
B)
C)
D)
E)
2.
2
3
8
8
8
:
:
:
:
:
y
b : c = 4 : 7, entonces a : b : c =
3:7
4:7
9 : 21
12 : 25
12 : 21
Las edades de tres hermanos: Francisca, Carmen y Lucía, son entre sí como 2 : 5 : 3,
respectivamente. Si sus edades suman 30 años, entonces la edad de Lucía es
A) 15 años
B) 9 años
C) 6 años
D) 3 años
1 año
E)
3.
En la figura 1,  :  :  = 5 : 9 : 4, entonces 2 –  + 3 =
A)
B)
C)
D)
E)
D
130º
180º
234º
300º
310º
C
fig. 1
A
3
  
O
B
TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los
términos de la proporción es 100:
Q
P
=
C
100

P
·C
100
Q = P% · C
Q=
EJEMPLOS
1.
El 40 % de 450 es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
185
180
150
100
45
54 es el 60% de
A)
32,4
B)
54
C)
90
D) 100
E) 324
3.
En la figura 1, todos los sectores circulares son iguales. ¿Qué tanto por ciento es la
parte achurada de la parte no achurada?
A)
B)
C)
D)
E)
12,5%
30%
33,3%
37,5%
60%
fig. 1
4
TANTOS POR CIENTOS NOTABLES EXPRESADOS EN FRACCIÓN Y EN NÚMERO
DECIMAL
TANTO POR CIENTO
1% de C
5% de C
10% de C
12,5% de C
20% de C
25% de C
33
1
% de C
3
50% de C
66
2
% de C
3
75% de C
120% de C
300% de C
FRACCIÓN
1
·C
100
1
·C
20
1
·C
10
1
·C
8
1
·C
5
1
·C
4
1
·C
3
1
· C
2
2
·C
3
3
·C
4
6
·C
5
3
·C
1
DECIMAL
0,01 · C
0,05 · C
0,1 · C
0, 125 · C
0,2 · C
0,25 · C
0, 3 · C
0,5 · C
0, 6 · C
0,75 · C
1,2 · C
3,0 · C
EJEMPLO
1.
El 66
2
% de un número es igual a 72. ¿Cuál es la sexta parte del número?
3
A) 144
B) 108
C) 72
D) 48
18
E)
5
INTERÉS SIMPLE
Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un período de n unidades,
en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo.
La cantidad final CF después de cumplido el período n está dada por:
i


 n
CF = CI 1 +
100


Ganancia =
Ganancia = CF – Ci
ni C
100
EJEMPLOS
1.
Un capital de $ 500.000 se deposita en un banco que ofrece un 3% de interés mensual.
Al cabo de 9 meses, en un régimen de interés simple, ¿cuánto es el nuevo capital?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
535.000
545.000
590.000
630.000
635.000
Aldo realiza un depósito de $ 3.500.000 en un banco a un interés simple mensual de un
2,5%. ¿Qué ganancia obtendrá en un período de medio año?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
402.000
515.000
525.000
625.000
635.000
¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 15% de interés simple anual,
para obtener $ 2.400.000 de utilidad en 4 años?
A)
B)
C)
D)
E)
$ 400.000
$ 460.000
$ 4.000.000
$ 4.500.000
$ 6.000.000
6
EJERCICIOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes parejas de razones no forman una proporción?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Si A : B = 5 : 2 y
A)
B)
C)
D)
E)
3.
24 : 18 y 20 : 15
14 : 24 y 16 : 26
10 : 6 y 15 : 9
A – B = 6, entonces A · B es igual a
10
14
22
28
40
¿Cuál es el valor de x si
5x + 5
5
= ?
6x + 4
7
A) -3
1
B) 3
1
C)
3
D) 3
E) 11
4.
La razón de los kilos de comida y la cantidad de perros que se puede alimentar en un
día es 3 : 7. Si hay que alimentar a 147 perros, ¿cuántos kilos de comida se
necesitarán?
A) 21
B) 49
C) 63
D) 189
E) 343
7
5.
3
x
=
e
4
12
verdadera(s)?
Si
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Sean M y N enteros positivos. Si M : N = 2 : 3, entonces es (son) siempre
verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
8.
x = 2y – 3
y – x = -3
x
2
=
y
3
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
I)
II)
III)
7.
y
12
=
, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son)
5
10
M+N=5
6M = 4N
N–M=1
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
Si x : y : z = 4 : 3 : 2
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
6
8
Si
a
b
c
=
=
3
5
2
A)
B)
C)
D)
E)
0
16
22
32
40
y
2x + 4y – 3z = 28, entonces el valor de y es
y a + b + c = 40, entonces 3a – b + 2c =
8
9
En un fundo donde hay 80 animales, 16 son caballos, 24 son vacas y el resto son
terneros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Por cada 2 caballos hay 3 vacas.
La razón entre terneros y el total de animales del fundo es 1 : 2.
La razón entre vacas y terneros es 3 : 5.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
10. Si x : y = 3 : 5 y x : z = 6 : 4, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA,
sabiendo que y = 15?
A)
B)
C)
D)
E)
2x = 18
x + y = 24
z : 2 = 12
2y = 30
x–z=3
11. Los ángulos interiores de un trapezoide, cuya suma es 360º, son entre sí como
3 : 4 : 5 : 6. Entonces, el ángulo menor mide
A) 40º
B) 60º
C) 80º
D) 100º
E) 120º
12. En un taller para pulir la pintura de 25 autos han trabajando 3 maestros que pulieron
7, 5 y 13 autos, respectivamente y por este trabajo les pagaron en total $ 37.500. El
maestro que más pulió propuso repartir el dinero equitativamente y no en proporción al
número de autos que cada uno pulió. ¿Cuál(es) de las siguiente afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
En el reparto equitativo cada uno hubiese recibido $ 12.500.
El que más autos pulió perdería $ 7.000 con respecto al reparto
proporcional.
El que menos autos pulió ganaría $ 3.000 con respecto al reparto
proporcional.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
9
13. Paula compró cuatro paquetes de galletas el día de la promoción “lleve cuatro y pague
tres”, ¿qué porcentaje del precio total es la rebaja?
A)
B)
C)
D)
E)
80%
75%
40%
25%
20%
14. Paola tiene en su tarjeta BIP un saldo de $ 400 que ocupa para movilizarse en Metro o
Transantiago. Si el pasaje cuesta $ 600, ¿qué porcentaje del saldo, deberá agregar a su
tarjeta BIP para comprar un pasaje?
A) 20%
B) 25%
1
C) 33 %
3
D) 50%
2
E) 66 %
3
15. Carlos vende una estufa a gas en $ 34.000 si el pago es al contado y en $ 35.700 si el
pago es en cuotas. El porcentaje de recargo al pagar en cuotas es
A)
B)
C)
D)
E)
4,7%
4,5%
4,3%
0,5%
5%
16. En un corral hay pavos blancos y pavos castellanos. Si
son los pavos blancos de los pavos castellanos?
A)
B)
C)
D)
E)
37,5%
40%
60%
62,5%
67,5%
10
3
son blancos, ¿qué porcentaje
8
17. Juan deposita en un Banco $ 10.000.000 a un interés simple trimestral del 4%. Al cabo
de 9 meses, ¿cuánto es el capital final?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
11.200.000
11.810.000
11.180.000
11.108.000
11.080.000
18. Hernán tiene 18 años deposita un capital al 8% de interés simple anual. ¿Qué edad
tendrá Hernán cuando el capital se triplique?
A)
B)
C)
D)
E)
25
43
48
54
68
años
años
años
años
años
19. Sean a y b números positivos. Se puede determinar en qué razón están las cantidades
a y b, si:
(1) El doble de a es equivalente al triple de b.
(2) La diferencia entre a y b es 10.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
20. Se puede determinar el valor numérico de
(1) x – y = 4
(2) x : y = 5 : 3
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
11
x  y
, si:
y
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1
2
1
D
C
2
A
D
3
E
B
A
4
B
C
E
5
E
6
E
C
C
3
EJERCICIOS PÁG. 7
1. B
6. B
11. B
16. C
2. E
7. D
12. D
17. A
3. A
8. D
13. D
18. B
4. C
9. E
14. D
19. A
5. C
10. C
15. E
20. B
12
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12
UNIDAD: DATOS Y AZAR
ESTADÍSTICA I
Estadística:
Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que
se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis,
interpretación y comunicación de conjuntos de datos.
Población:
Es un conjunto cuyos elementos poseen alguna característica común
que se quiere estudiar.
Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.
Muestra:
Es un subconjunto de la población, que debe ser representativa de ella
y aleatoria.
Variable
Cualitativa:
Son aquellas en que las observaciones realizadas se refieren a un
atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad,
profesión, etc.
Las variables cualitativas pueden ser de 2 tipos:
Variable
Cuantitativa:

Nominal: Son clasificadas en categorías y no admiten criterio de
orden: estado civil (casado, viudo, divorciado), color de pelo
(negro, rubio, castaño), etc.

Ordinal: En ellas existe una relación de orden intuitivo: nivel
educacional (básico, medio, superior), medallas deportivas (oro,
plata, bronce), etc.
Son aquellas en que cada observación tiene un valor expresado por un
número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc.
Las variables cuantitativas pueden ser de 2 tipos:

Discretas: Toman sólo valores enteros, por ejemplo: número de
hijos, número de departamentos en un edificio, etc.

Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el
peso, la estatura, etc.
EJEMPLOS
1.
Si se quiere hacer un estudio estadístico de las alturas de los alumnos de los cuartos
medios A, B y C de un colegio, que tienen entre 16 y 18 años de edad, la población
corresponde a
A)
B)
C)
D)
E)
2.
En estadística una muestra de la población es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
mitad de la población.
que considere a los datos extremos.
por sobre el 75% de la población.
proporcional de la población.
representativa y aleatoria.
cualitativa nominal.
cualitativa ordinal.
cuantitativa discreta.
cuantitativa continua.
ninguna de las anteriores.
¿Cuál de los siguientes enunciados representa el uso de una variable cualitativa?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
más de la
una parte
una parte
una parte
una parte
Se pregunta a alumnos de un curso por su deporte preferido, entre: fútbol, basquetbol,
tenis, natación, ciclismo; el tipo de variable estadística es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
todos los alumnos del colegio.
los alumnos de los cuartos medios A, B y C.
las alturas de todos los alumnos del colegio.
las alturas de los alumnos de los cuartos medios A, B y C.
las edades de los alumnos de los cuartos medios A, B y C.
Recuento del número de ventanas de un edificio
Edades de los alumnos de un colegio
Profesiones de los habitantes de una comuna
Salario obtenido por los trabajadores de una empresa
Las temperaturas máximas alcanzadas en el mes de Enero
El peso de los pacientes de un consultorio médico es una variable
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Cuantitativa.
Discreta.
Continua.
I
II
III
I y II
I y III
2
TABULACIÓN DE DATOS
Frecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia
absoluta).
Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las
frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última posición.
Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores
de la variable y el total de datos, expresada en tanto por ciento.
Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la
frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición.
Marca de clase: Valor representativo de un intervalo, se calcula como el promedio de los
límites aparentes, inferior y superior de éste.
EJEMPLOS
1.
La tabla adjunta, muestra la cantidad de televisores por casa que hay en un
condominio de 20 casas. ¿En cuántas casas hay menos de 4 televisores?
A)
2
B)
4
C)
6
D) 10
E) 18
2.
Frecuencia
Absoluta
2
3
4
5
4
6
8
2
Un alumno obtuvo las siguientes notas en matemática: 7; 2; 6; 6; 5; 4; 7; 6; 6 y 5.
La frecuencia relativa de la nota 6 es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Nº de Televisores
por casa
60%
40%
30%
20%
10%
El límite superior de un intervalo es 18 y su marca de clase es 16, entonces su límite
inferior es
A)
B)
C)
D)
E)
4
14
15
17
19
3
4.
La tabla adjunta, muestra la distribución de frecuencias del número de bicicletas (x)
que tiene cada uno de los 25 alumnos de un curso. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
El valor de A es 6.
El 52% de los alumnos tiene una o dos bicicletas.
El valor de C es 100.
Solo I
Solo III
Solo II y III
Ninguna de ellas
Todas ellas
x
f
fac
fr
fr ac
1
2
5
5
20%
20%
8
13
B%
52%
3
A
17
16%
68%
4
8
25
32%
C%
La siguiente tabla estadística se refiere a las edades de personas que asisten a clases
de Yoga. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a
ella?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
13 personas tienen menos de 20 años.
12 personas tienen 25 años.
El 50% de estas personas tienen a lo menos 25 años.
I
II
III
I y II
I y III
4
Edad
frecuencia
[10, 15[
5
[15, 20[
8
[20, 25[
12
[25, 30[
15
[30, 35[
10
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central son indicadores que representan valores numéricos en
torno a los cuales tienden a agruparse los valores de una variable estadística. Los
principales son: la media aritmética, la mediana y la moda.
Media Aritmética (x)
Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de datos. Si se tienen n datos;
x1, x2, x3,…, xn, su media aritmética es
x =
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
Media Aritmética para datos organizados en una tabla de frecuencias
Si los datos son; x1, x2, x3,…, xn, y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3,…, fn, entonces la
media aritmética es
x · f + x2 · f2 + x3 · f3 + ... + xn · fn
x = 1 1
f1 + f2 + f3 + ... + fn
Dato
Frecuencia
x1
f1
x2
f2
x3
f3

xn
fn
Media Aritmética para datos agrupados en intervalos
Si las marcas de clases son; c1, c2, c3,…, cn, y las frecuencias de los intervalos respectivos
son f1, f2, f3,…, fn, entonces la media aritmética es
x =
c1 · f1 + c2 · f2 + c3 · f3 + ... + cn · fn
f1 + f2 + f3 + ... + fn
EJEMPLOS
1.
La media aritmética del siguiente conjunto de datos: 10; 8; 6; 0; 8; 3; 2; 2; 8; 0, es
A)
B)
C)
D)
E)
4,7
6
5,9
4,5
8
5
2.
La media aritmética entre los siguientes números: 0,1; 0,1; 0,22; 0,23, es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
La siguiente tabla de frecuencia, corresponde a la estatura de 10 personas. ¿Cuál es la
media aritmética de las estaturas?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
12 · 13-3
12,4 · 10-3
62 · 10-3
62 · 10-2
64 · 10-2
1,60
1,62
1,65
1,68
1,70
m
m
m
m
m
Altura (m)
f
1,50
3
1,60
2
1,70
5
La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de las edades de 10 personas
(agrupadas en intervalos). ¿Cuál es el promedio de sus edades?
A)
B)
C)
D)
E)
30 años
29 años
25 años
17,5 años
15,5 años
Edades de personas
(en años)
Marca de clase
Frecuencia
absoluta
[10, 20[
15
2
[20, 30[
[30, 40[
[40, 50[
35
2
1
[50, 60[
55
1
6
MODA (Mo)
Es el dato de mayor frecuencia, es decir, el que más se repite.
La muestra puede ser:
AMODAL: Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia.
UNIMODAL: Si existe un solo dato que tenga mayor frecuencia.
BIMODAL (o POLIMODAL): Si existen dos (o más) datos que tienen la misma frecuencia.
MEDIANA (Me)
Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran
ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número par de datos, la
mediana es la media aritmética de los dos términos centrales.
EJEMPLOS
1.
La moda del siguiente conjunto de datos: 3, 7, 6, 5, 5, 7, 6, 8 y 7 es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3
5
6
7
8
La tabla adjunta, muestra los resultados de una encuesta realizada a 100 personas
respecto al número de hermanos. ¿Cuál es la moda?
A) 20
B) 19
C) 4
D) 2
0
E)
3.
Número de
Hermanos
f
0
1
2
3
4
5
19
18
19
14
20
10
De acuerdo al conjunto de datos: 1; 2; 2 y 4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si se agrega un 1, la muestra es bimodal.
Si se agrega un 1 y un 4, la muestra es amodal.
Si se agrega un 1; 4 y 5, la muestra es polimodal.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
7
4.
Se encuestaron 8 familias y el número de personas por familia dio los siguientes
resultados: 7; 3; 6; 2; 4; 6; 4 y 6. Entonces, la mediana es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
2
3
4
5
6
De los siguientes datos: p + q, 8p + 16q, 10p + 20q, 6p + 12q, 2p + 4q y 4p + 8q
con p < q y mayores que cero, ¿cuál es la mediana?
A)
4p + 8q
B)
5p + 10q
C)
5p + 20q
D) 6p + 12q
E) 10p + 10q
6.
La siguiente tabla representa las edades de un grupo de personas. Con respecto a estos
datos es FALSO que
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Edad
17
18
19
20
Total
22 personas tienen 19 años o menos.
la moda es 18 años.
el 33,3 % tiene 18 años.
la media aritmética es 18,6 años.
la mediana es 18 años.
f
5
10
7
8
30
En la siguiente tabla, ¿cuál(es) de la(s) siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El intervalo modal es [30, 40[.
El intervalo donde se encuentra la mediana es [20, 30[.
El dato mayor de la muestra es 40.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Edades
[0, 10[
[10, 20[
[20, 30[
[30, 40[
f
1
2
3
4
8
REPRESENTACIÓN GRÁFICA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS
A menudo, una representación gráfica de una distribución de frecuencias nos da una mejor
idea de un estudio estadístico que un cuadro con números. Existen distintos tipos de
gráficos, algunos de los más utilizados son
GRÁFICO DE BARRAS
Utilizado en variables de tipo cualitativa y cuantitativa discreta, este gráfico (fig. 1), consiste
en una serie de barras que indican a los datos, cuyas alturas representan la frecuencia
absoluta de estos.
X
Dato 1
Dato 2
f
A
B
Dato 3
C
Dato 4
D
Dato 5
E
Frecuencia (f)
Gráfico de Barras
A
C
fig. 1
D
B
E
Dato 1
Dato 2
Dato 3
Dato 4
Dato 5
Dato (x)
GRÁFICO CIRCULAR
El gráfico circular (fig.2), es utilizado en variables de tipo cualitativa y cuantitativa discreta.
El gráfico consiste en un círculo dividido en secciones proporcionales al tamaño de la
muestra y la frecuencia de los datos.
X
f
fr
Dato 1
a
a%
Dato 2
b
b%
Dato 3
c
c%
Dato 4
d
d%
Dato 5
e
e%
Gráfico Circular
f
x°
=
total
360°
Dato 5
Dato 4
Dato 1
fig. 2
f
fr
=
total
100%
Dato 3
Dato 2
HISTOGRAMA
x
f
Intervalo 1
a
Intervalo 2
b
Intervalo 3
c
Intervalo 4
d
Frecuencia
Se utiliza para representar a los datos agrupados en intervalos (fig3). El histograma se
elabora representando a los datos en el eje horizontal y a las frecuencias en el eje vertical, y
trazando barras cuyas bases equivalgan a los intervalos de clase y cuyas alturas
correspondan a las frecuencias de clase.
d
b
a
1
2
3
Intervalos
9
fig. 3
c
4
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Al igual que el histograma, este gráfico (fig. 4), se utiliza en datos agrupados en intervalos.
Para confeccionarlo, debemos unir con una recta a los puntos donde se intersectan la marca
clase y la frecuencia de los intervalos. Para “anclar” el polígono al eje horizontal, debemos
agregar un intervalo de frecuencia cero, antes del primer y después del último intervalo.
Polígono de frecuencias
Frecuencia (f)
X
C
f
6
Intervalo 1
Clase 1
a
a5
Intervalo 2
Clase 2
b
c4
Intervalo 3
Clase 3
c
d3
Intervalo 4
Clase 4
d
b2
fig. 4
1
0
Clase
Clase 1
Clase 2
Clase 3
Clase 4
Clase
Clase (c)
POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS U OJIVA
Este gráfico (fig. 5), se representa uniendo puntos referidos al límite superior y frecuencia
acumulada de cada intervalo. Para “anclar” la Ojiva al eje horizontal, se posiciona en el
límite inferior del primer intervalo.
Polígono de frecuencias acumuladas (fac)
X
fac
D6
[a, b[
A
[b, c[
B
5
C
4
[c, d[
C
3
[d, e[
D
2
f acumulada (fac)
fig. 5
1
B
0
A
a
b
10
c
d
e
X (lim.sup.)
EJEMPLOS
1.
La tabla adjunta, muestra una distribución de frecuencias de las edades, en años, de
los alumnos de un colegio que cursan 4to medio.
Edades (años)
Nº de
alumnos
16
17
18
19
20
3
9
12
6
0
¿En cuál(es) de los siguientes gráficos queda representada la distribución de frecuencia
de la tabla?
I) de barras
II) poligonal
Nº de alumnos
Nº de alumnos
12
12
9
9
6
6
3
3
0
A)
B)
C)
D)
E)
2.
16 17 18 19 20 Edad
(años)
III) circular
16 años
19 años
10%
20%
30%
17 años
40%
16 17 18 19 20 Edad
(años)
18 años
Solo en I
Solo en I y II
Solo en I y III
Solo en II y III
En I, II y III
Según el histograma de la figura 1 y su tabla de frecuencia, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
Nº de alumnos
[16 – 18[
12
[18 – 20[
18
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Nº de alumnos
Distancia de la casa al
colegio en km
18
fig. 1
12
La amplitud de los intervalos es 2.
Las marcas de clases son 17 km y 19 km.
El promedio o media aritmética es 18.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
11
16 17 18 19 20 km
3.
El gráfico de Ojiva de la figura 2, muestra el peso de niños al nacer, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
36 niños al nacer pesan menos de 4 kg.
4 niños al nacer pesan entre 4 y 4,5 kg.
El 90% de los niños pesan menos de 4 kg. al nacer.
f acumulada (fac)
40
6
36
5
4
28
3
fig. 2
2
12
1
0
4
2
A)
B)
C)
D)
E)
2,5
3
Pesos (kg.)
4,5
4
3,5
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
2
B
E
A
C
E
3y4
D
B
B
C
E
5y6
A
C
B
A
7y8
D
C
E
D
11
E
B
E
Págs.
12
B
6
7
E
C
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 12-E
ESTADÍSTICA I
1.
Si se ordenan en forma creciente los sueldos de 12 personas y se saca el promedio de
los dos centrales, ¿qué se obtiene?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
a+2
a+4
a+5
a+6
2a + 10
El valor central de siete múltiplos consecutivos de 3 ordenados en forma decreciente,
coincide con
A)
B)
C)
D)
E)
4.
mediana
moda
media aritmética
suma del primero y último sueldo
diferencia entre los sueldos
Con respecto a los datos: a + 4, a + 6, a + 2, a + 8, a + 10, a + 2; la mediana es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
La
La
La
La
La
solo la moda.
solo la mediana.
solo la media.
la media y la mediana.
la moda y la mediana.
Si el número de preguntas contestadas en una PSU por 10 alumnos fue:
56, 57, 55, 58, 62, 55, 57, 56, 57, 57, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La mediana es 57.
El promedio (media) es 57.
La moda coincide con el promedio.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
5.
De los siguientes datos: 2; 2; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 8, si se cambian los números 4 por 5,
¿Cuál de las siguientes medidas cambian?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Moda.
Mediana.
Media Aritmética.
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
El gráfico de la figura 1 muestra las notas obtenidas por un curso en la prueba de
matemática. Entonces, la moda es
Nº de alumnos
A)
B)
C)
D)
E)
16
14
10
14
4y6
10 y 14
3, 4, 5 y 6
12
10
8
6
4
fig. 1
2
2
4
5
6
7
Notas
El gráfico de la figura 2, representa la superficie de los 5 océanos del mundo en
millones de km2. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
La superficie del océano Pacífico es 10 veces la superficie del océano Ártico.
El promedio de las superficies es aproximadamente 80 millones de km 2.
La frecuencia relativa de la superficie del Océano Atlántico es
aproximadamente un 25%.
Superficie de 5 océanos
2
180
150
80
20
18
Ártico
0
Indico
50
fig. 2
Antártico
100
100
Atlántico
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
200
Pacífico
A)
B)
C)
D)
E)
Millones de km2
7.
3
Océanos
8.
Dados los siguientes datos: 1 · 12, 1 + 22, 2 · 32, 3 + 42, 3 · 52, 3 + 62, 4 · 72.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
9.
La moda es 18.
La media aritmética (promedio) es 3 · 52.
La mediana es 19.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Con respecto al histograma de la figura 3 y su tabla de frecuencia, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
Hay 10 niños que tienen más de 4 años y menos de 8 años.
Hay 14 niños que tienen menos de 8 años.
Pueden haber 8 niños con 12 años.
Nº de niños
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Edad (años)
Nº de niños
[0 – 4[
[4 – 8[
[8 – 12[
4
10
8
fig. 3
10
8
6
4
2
0
4
8
12
Edad
(años)
10. El gráfico de la figura 4 muestra el producto interno bruto y su evolución desde el año
2008 al año 2014. ¿Cuál es la media aritmética (promedio) en esos 7 años, en miles de
millones?
$
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
(Miles de millones)
90
60
65
70
75
80
80
70
60
fig. 4
50
40
30
20
10
0
3
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Año
11. En una encuesta realizada a 100 niños sobre la cantidad de días en la semana que
almorzaban en el colegio, se obtuvo la siguiente tabla. A partir de estos datos, ¿cuáles
son los valores de x, de y y de z?
A)
B)
C)
D)
E)
x
y
45
35
25
35
25
5
5
15
5
10
z
Nº de
días
1
2
3
4
5
0,45
0,35
0,25
0,05
0,10
F.
absoluta
25
20
x
15
y
F.
relativa
0,25
0,20
z
0,15
0,05
12. La tabla adjunta muestra el peso de 40 niños al nacer. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
I, II
El intervalo modal es [3; 3,5[.
El intervalo modal coincide con el intervalo donde se ubica la mediana.
La frecuencia relativa de los niños cuyo peso es menor que 3,5 kg es 70%.
Peso
[2; 2,5[
[2,5; 3[
[3; 3,5[
[3,5; 4[
[4; 4,5[
I
II
I y II
II y III
y III
f
4
8
16
8
4
13. Dos toneladas de ranas producidas en el sur de Chile, se exportaron durante el
presente año a los destinos indicados en el gráfico de la figura 5. De acuerdo a esto,
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
Lo que se exportó a Irán y Japón correspondió al 25% de lo que se exportó
a Italia.
Si se decidiera, para el próximo año, disminuir la exportación a Italia en un
50%, se le exportarían 720 kilos.
Si para el próximo año aumentara la exportación a 4 toneladas, la
exportación al R.U. sería de 120 kilos.
ITALIA
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
72%
14%
IRÁN
4%
JAPÓN
3%
R.U.
CHINA
OTROS
4
2%
5%
fig. 5
14. Carlos y José deciden escalar un monte por separado, pero por el mismo sendero,
llegando ambos a la cima que está a 1.300 m. El gráfico de la figura 6, muestra la
distancia recorrida por cada uno hasta la cima. ¿Cuál(es) de las siguiente afirmaciones
es (son) siempre verdadera(s)?
distancia (m)
1300
1200
Carlos
José
1000
800
600
fig. 6
400
200
30 60 90 120 150 180 210 240 270
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Tiempo (min)
José demoró en llegar a la cima 210 minutos.
Carlos descansó durante 1 hora.
José y Carlos demoraron el mismo tiempo en llegar a la cima.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
15. ¿Cuál es la mediana del conjunto de datos de la tabla adjunta?
A)
B)
C)
D)
E)
14,5
15
16,5
17,5
24
x
7
f
6
10
12
15
15
20
24
23
9
16. Camila ha obtenido las siguientes notas en matemática 5,6; 7,0; 6,1 y 6,3. Si debe
rendir su última prueba la cual es coeficiente dos, ¿cuánto debe ser la nota, para que
Camila obtenga exactamente un promedio final de 6,2 en matemática?
A)
B)
C)
D)
E)
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
5
17. De un grupo de 200 personas consultadas por su nivel educacional se obtuvo la
siguiente tabla:
Educación Básica (EB)
40
Enseñanza Media (EM)
80
Técnico Superior (TS)
60
Universitaria (U)
20
Total
200
El gráfico circular que representa la información dada en la tabla es
A)
B)
80° EM
108° TS
60° U
C)
108° TS
72° EM
36° U
72°EB
36° U
144° EB
72º TS
144° EM
40° EB
108° TS
D)
144° EB
E)
80° EB
60° EM
36° U
72º TS
72° EM
40° U
18. De dos cursos en los que se aplicó la Evaluación Nº 5, uno de ellos, con 30 alumnos,
tuvo un promedio de 600 puntos; en el otro, con 20 alumnos, el promedio fue de 500
puntos. Entonces, ¿cuál es el promedio correspondiente a la totalidad de los alumnos
de ambos cursos?
A)
B)
C)
D)
E)
560
570
580
590
600
puntos
puntos
puntos
puntos
puntos
6
19. Las temperaturas máximas y mínimas, durante una semana del mes de febrero, están
representadas en el gráfico de la figura 7. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) FALSA(S)?
Temperatura (ºC)
máximas
mínimas
33
30
27
25
22
20
fig. 7
15
13
10
6
5
Lu
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Ma
Mi
Ju
Vi
Sá
Do
Días
El promedio de las temperaturas máximas diarias durante la semana, fue
26ºC.
La mayor diferencia de temperaturas máximas en la semana fue 13ºC.
El promedio de las temperaturas mínimas en los 3 últimos días de la
semana, fue 7ºC.
Solo I
Solo II
Solo III
Todas ellas
Ninguna de ellas
20. Los 800 alumnos que se matricularon el año recién pasado, en una cierta universidad
en las carreras de medicina (M), derecho (D), ingeniería (I) y otras (O), se
distribuyeron según muestra el gráfico circular de la figura 8. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La frecuencia relativa del grupo de medicina es de 10%.
La frecuencia relativa del grupo de ingeniería es de 30%.
El 60% de los alumnos prefirió derecho u otras carreras.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
360
O
240
I
7
fig. 8
120 D
80
M
21. La tabla adjunta muestra las edades de hombres y mujeres de una comunidad.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El intervalo modal de los hombres y las mujeres es el mismo.
El promedio de las edades de los hombres es 37 años.
La moda y la mediana de las mujeres se encuentran en el intervalo
[25-35[.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
Género
[15-25[
[25-35[
[35-45[
[45-55[
Hombre
3
7
4
6
Mujer
4
8
6
2
Edad
22. El histograma de la figura 9, muestra una distribución de frecuencias con respecto a los
puntajes obtenidos en un Test por un grupo de alumnos, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
La amplitud de cada intervalo es 3.
El intervalo donde se ubica la mediana es [11,5 – 14,5[.
El intervalo modal es [8,5 – 11,5[.
Frecuencia
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
20
16
12
10
fig. 9
8
20,5
17,5
14,5
11,5
8,5
5,5
2,5
2
Puntajes
23. La siguiente tabla de frecuencia, corresponde a los valores obtenidos en el lanzamiento
de un dado, una cierta cantidad de veces. Si el promedio de todos los valores es 3,
entonces n es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
x
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
8
f
11
6
4
n
4
5
24. El gráfico circular de la figura 10, muestra las preferencias de 120 personas sobre las
frutas que consumen en la temporada de verano: sandía (S), manzanas (M), peras (P),
naranjas (N) y duraznos (D). Si se compraron 2.400 kilos de estas frutas, ¿cuál es el
total de kilos de manzanas y de duraznos que se compraron?
Manzanas
A) 40
B) 20
C) 300
D) 15
E) 400
Duraznos
S
53,3
20
400
20
300
M
135º
30º
N
fig. 10
P
D
25. El gráfico de la figura 11, muestra los milímetros de agua caídos en 10 de los 12 meses
de un año. Si se sabe que el promedio de los 12 meses fue 25 mm de agua caída,
¿cuántos milímetros de agua cayeron en total entre los meses de Octubre y
Noviembre?
mm
A) 60
B) 80
C) 120
D) 240
E) 250
de agua caída
50
45
40
35
30
25
fig. 11
20
15
10
5
E
F
M A
M
J
J
A
S
O N
D
Meses del año
26. Un fabricante de pilas quiere conocer cual es la duración media de sus productos; para
ello toma una muestra de 100 pilas y éstas dan un promedio de duración de 18 horas.
¿Cuál es la duración de la primera pila si la suma de las 99 restantes es 1.780 horas?
A)
B)
C)
D)
E)
22
20
19
18
16
hr
hr
hr
hr
hr
27. A una fiesta de fin de año asisten 80 hombres, 100 mujeres y 60 niños. Si hubieran
asistido 30 parejas más y 20 niños más, entonces la frecuencia relativa de los niños
A)
B)
C)
D)
E)
aumentaría en un 33, 3 %.
disminuiría en un 25%.
aumentaría en un 25%.
se mantendría igual.
ninguna de las anteriores.
9
28. La tabla adjunta muestra 3 grupos de un curso con diferente número de alumnos, a los
cuales se les ha determinado su promedio de edades, entonces la media del curso es
N° de alumnos
A
B
Media( x )
11
10
C
9
16
Grupo
A) 9,90
B) 9,92
C) 10,00
D) 10,10
E) 19,67
12
22
29. El gráfico de frecuencias acumuladas (ojiva), de la figura 12; representa los resultados
obtenidos por 100 alumnos en la PSU. ¿Cuál(es) de las siguiente)s) aseveraciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
69 alumnos obtuvieron menos de 650 puntos.
El intervalo modal es [550 - 650[.
El 8% de los alumnos obtuvieron 450 puntos.
f acumulada (fac)
100
6
84
5
4
693
fig. 12
2
34
1
0
8
350
A)
B)
C)
D)
E)
450
550
650
750
850 puntajes
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
30. Mario contesta todas las preguntas de un examen de tipo verdadero o falso, obteniendo
un promedio de 6 puntos. Cada respuesta correcta tiene 7 puntos y cada respuesta
incorrecta 0 punto. Si Mario contestó bien las 20 primeras y de las restantes, contestó
en forma incorrecta un tercio, ¿cuántas respuestas correctas tuvo en total?
A)
B)
C)
D)
E)
35
30
25
15
5
10
31. Se puede determinar el promedio de notas de todos los alumnos de dos cursos A y B,
si:
(1) Se conocen todas las notas de ambos cursos.
(2) El promedio aritmético del curso A es 5,8 y el del curso B es 6,3.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. Se puede determinar la suma de 5 números, si:
(1) La media aritmética de ellos es 13.
(2) Los números son consecutivos y la mediana es 13.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. La tabla adjunta muestra el número de lanzamientos de un dado y la frecuencia de
cada uno de los resultados posibles. Se puede determinar x, si:
(1) La suma total de todos los resultados posibles es 372.
(2) La moda es 5.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Resultado
Frecuencia
1
2
3
13 15 17
34. La renta per cápita en dólares de 5 países es: 3.000, 4.000, x, 5.000
puede conocer la renta per cápita x, si:
(1) La moda es 4.000.
(2) La mediana es 4.000.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
11
4
x
y
5
6
20 19
8.000. Se
35. El promedio de notas en una prueba de matemática de 10 alumnos es 4,9. Al profesor
se le pierden dos pruebas. Las notas de los dos alumnos cuyas pruebas se perdieron se
pueden saber, si:
(1) El promedio de las notas de los dos alumnos es 5,5.
(2) El promedio de los 8 alumnos restantes es 4,75.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
RESPUESTAS
1.
A
6.
C
11. B
16. B
21. D
26. B
31. E
2.
C
7.
E
12. E
17. C
22. E
27. D
32. D
3.
D
8.
B
13. E
18. A
23. C
28. B
33. A
4.
E
9.
B
14. B
19. E
24. C
29. D
34. A
5.
D
10. A
15. D
20. E
25. A
30. B
35. E
12
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13
UNIDAD: DATOS Y AZAR
COMBINATORIA
TÉCNICAS DE CONTEO
Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso ocurre en k etapas distintas, en donde la
primera etapa puede ocurrir de n1 maneras diferentes, la segunda de n2 maneras diferentes y así
sucesivamente, entonces el número total de maneras en que ocurre el suceso está dado por
n1 . n2 . n3 . … . nk
Principio Aditivo: Si dado un determinado suceso que tiene formas alternativas de llevarse a
cabo, donde la primera de esas alternativas puede realizarse de n1 maneras, la segunda
alternativa puede realizarse de n2 maneras, y así sucesivamente, hasta la última alternativa que
puede realizarse de nk maneras, entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso
es n1 + n2 + n3 +… + nk
EJEMPLOS
1.
Si Don Juan dispone de 5 autos y 3 camionetas, entonces ¿de cuántas maneras
diferentes puede movilizarse un día cualquiera?
A) 8
B) 9
C) 15
D) 20
E) 25
2.
En un concurso de televisión, participan cuatro competidores en la etapa final. Si los
premios son sólo para el primer y segundo lugar, ¿de cuántas maneras distintas pueden ser
repartidos los premios?
A) 2
B) 4
C) 7
D) 12
E) 16
3.
En un centro comercial todos los LCD están con descuento. Aprovechando esta oferta,
Patricio decide comprar uno, pero debe elegir entre las siguientes marcas: Sony, Samsung,
LG y Panasonic. El LCD Sony se encuentra en 4 tamaños y 2 colores, el Samsung está en
5 tamaños y 3 colores, el LG está en 2 tamaños y 3 colores y el LCD, Panasonic está en
7 tamaños y un solo color. ¿De cuántas maneras puede comprar su LCD Patricio?
A)
4
B)
9
C) 24
D) 36
E) 162
1
FACTORIALES
La expresión n! se lee, factorial de n o n factorial.
Definición: Sea n un número natural. Se llama factorial de n al producto de los n primeros
números naturales. Es así que:
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ........... · 3 · 2 · 1 o bien
n! = 1 · 2 · 3 · .............. · (n – 2) · (n – 1) · n
Se define
0! = 1
Las siguientes identidades expresan el significado de factorial n:
1! = 1,
2! = 1 · 2 = 2,
3! = 1 · 2 · 3 = 6,
PROPIEDAD
n! = n(n – 1)!
EJEMPLOS
1.
¿Cuál es el valor de
15 !
?
13 ! · 2 !
A) 2.730
B) 1.365
210
C)
105
D)
52,5
E)
2.
El valor de
10 ! + 9 !
es
10 !  9 !
A) 11
B)
9
C)
2
11
D)
10
11
E)
9
2
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
PERMUTACIONES
Definición: Se denomina permutación, a cada una de las diferentes ordenaciones que se
pueden realizar con todos los elementos de un conjunto.
Permutación Simple o Lineal: Son las permutaciones que pueden hacerse con los
elementos de un conjunto, sin repetirlos.
P(n) = n!
Permutaciones con repetición: El número de permutaciones de n elementos, de los
cuales, k1 son iguales, k2 son iguales,…. kr son iguales, está dada por
Prep =
n!
k1! · k2! · ... kr!
Permutaciones circulares: Es una permutación que se aplica a conjuntos ordenados en
forma circular (cerrado), es decir que no tiene principio ni final. Para ello, se fija
arbitrariamente un elemento fijo y los demás se permutan.
Pcircul = (n – 1)!
EJEMPLOS
1.
¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila?
4
A)
B) 16
C) 24
D) 64
E) 216
2.
¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la palabra
MATEMATICA?
A)
B)
6!
10!
10!
C)
2! · 3!
10!
D)
7!
10!
E)
2! · 2! · 3!
3.
Un grupo de 5 amigos, suben a un automóvil. Si sólo uno de ellos sabe conducir, ¿de
cuántas formas distintas se pueden distribuir en el interior del automóvil?
A)
5
B) 10
C) 24
D) 62
E) 120
3
VARIACIONES O ARREGLOS
Definición: En un conjunto de n elementos, se denominan variaciones o arreglos a los
diferentes grupos o conjuntos que se pueden formar con sólo r elementos (r < n).
Variaciones sin repetición: Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de conjuntos de
r elementos que se pueden obtener, sin repetir ninguno de ellos, está dada por (r < n):
Vnr =
n!
(n  r)!
Variaciones con repetición: Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de conjuntos
de r elementos que se pueden obtener, en los cuales se puede repetir uno o más de ellos,
está dada por (r < n):
n
VR r = nr
OBSERVACIÓN:
Tanto en permutaciones como en variaciones interesa el orden de los
elementos.
EJEMPLOS
1.
7
¿Cuál es el valor de V 5 ?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
5.040
2.520
1.760
35
Ninguna de las anteriores
¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 y 9?
A)
B)
C)
D)
E)
9
9!
504
3024
99
4
3.
¿Cuántas palabras con o sin sentido, se pueden formar con tres letras de la palabra
CAMPEON?
24
A)
120
B)
210
C)
840
D)
E) 5.040
4.
Una comisión de 16 delegados de la sociedad Negro y Negro debe escoger su directiva,
conformada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocero. Si el
cargo de presidente es para el socio con mayor cantidad de acciones, ¿de cuantas
maneras se puede conformar tal directiva?
16
A)
V4
B)
V3
C)
V4
16
15
15
D) V3
E)
5.
16
V5
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los números naturales 1, 2, 3,
4, 5 y 6?
A) 720
B) 216
C) 120
D) 20
18
E)
6.
El número de formas distintas en que se pueden sentar 6 concejales de un municipio en
los tres primeros asientos de la sala de reuniones, considerando que el primer asiento
está reservado para el Alcalde, es
A) 18
B) 30
C) 36
D) 72
E) 216
5
Combinaciones:
Son los diferentes grupos que se pueden formar con n elementos de
modo que cada grupo tenga r elementos, no interesando el orden de
estos.
El número de combinaciones de n elementos tomados de r en r está
dado por la fórmula
Cn
r =
n!
(n  r)!  r!
CUADRO RESUMEN
Prep =
si
¿Se pueden
repetir los
elementos?
si
si
Permutación
no
P(n) = n!
n
si
Variación
¿Se pueden
repetir los
elementos?
no
Combinación
no
VR r = nr
Vnr =
Cnr =
EJEMPLOS
9
¿Cuál es el valor de C 7 ?
A)
B)
C)
D)
E)
no
¿Intervienen
todos los
elementos?
¿Importa
el orden?
1.
n!
k1! · k2! · ... · kr!
16
36
63
72
Ninguna de las anteriores.
6
n!
(n  r)!
n!
(n  r)! · r!
2.
Cuatro amigos deciden organizar un campeonato de tenis. En la primera fase se han de
enfrentar todos entre sí. ¿Cuántos partidos se deben realizar?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 24
3.
¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo saluda
una vez a cada una de las otras?
A) 11
B) 12
C) 24
D) 66
E) 144
4.
En una caja hay 8 corbatas, ¿de cuántas formas se pueden escoger 5 de ellas?
A) 13
B) 40
C) 56
D) 168
E) 336
5.
Al unir cinco vértices de un heptágono, ¿cuántos pentágonos se pueden obtener?
A)
21
B) 30
C) 35
D) 42
E) 105
7
RESPUESTAS
Pág.
Ejemplo
1
2
3
1
A
D
D
2
D
E
3
C
E
C
4y5
B
C
6y7
B
B
8
4
5
6
C
D
B
B
D
C
A
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 13-E
COMBINATORIA
1.
Usando todas las letras de la palabra CORTINA, ¿cuántas palabras con o sin sentido se
pueden formar?
49
A)
128
B)
C) 1.260
D) 2.520
E) 5.040
2.
Si se usan los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ¿Cuántas números de tres cifras distintas se
pueden formar?
21
A)
128
B)
210
C)
343
D)
E) 5.040
3.
¿De cuántas maneras distintas pueden distribuir cinco personas alrededor de una mesa
con 5 sillas?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
5
10
15
24
25
¿De cuántas maneras se pueden ordenar cuatro niños en una fila?
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 24
5.
Para el aniversario del colegio CSS se realizan alianzas. El curso de Juan Luis decide
hacer una bandera con tres franjas horizontales de igual tamaño y distinto color.
¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arcoíris?
A)
B)
C)
D)
E)
36
126
210
336
504
6.
A un anuncio de trabajo se presentan 8 personas para cinco cupos. ¿De cuántas
maneras distintas se pueden completar dichos cupos?
A) 336
B) 56
C) 40
5!
D)
8!
E)
7.
¿De cuántas maneras se pueden completar los puestos de presidente, vicepresidente,
secretario y tesorero en un comité de 7 personas?
28
A)
35
B)
840
C)
D) 1.680
E) 5.040
8.
La cantidad de cuadriláteros que se pueden formar con los 7 puntos de la circunferencia
de la figura 1, es
A
G
F●
A) 28
B) 35
C) 210
D) 256
E) 840
9.
●
●
●B
fig. 1
E●
●
●C
D
En un hospital se debe determinar un turno de tres enfermeras. Si hay 12 enfermeras
disponibles, ¿cuántos turnos es posible establecer?
36
A)
110
B)
220
C)
440
D)
E) 1.320
10. El número de combinaciones de 5 objetos tomados de tres en tres, es
A) 10
B) 20
C) 30
D) 60
E) 120
2
11. Se tienen que repartir 2 premios entre 10 alumnos. Si ambos premios no pueden ser
concedidos a un mismo alumno, ¿de cuántas maneras se pueden repartir?
A) 20
B) 30
C) 45
D) 90
E) 180
12. En una pared se deben colocar 7 cuadros de distinto tamaño en línea, de modo que el
más grande debe ubicarse en el centro. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
A)
360
720
B)
C) 1.440
D) 2.520
E) 5.040
13. Siete libros (todos con tapas de distintos colores) se deben ubicar uno al lado del otro
en un estante. Si el libro de tapa roja se debe colocar en uno de los extremos, y el libro
de tapa verde en el otro extremo, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar los libros?
A)
35
120
B)
240
C)
720
D)
E) 1.440
14. Dominguito pertenece a un curso que tiene 15 alumnos. Si se deben escoger
3 representantes de este curso, pero uno de los elegidos debe ser Dominguito, ¿de
cuántas maneras se pueden escoger los 3 representantes?
A)
91
182
B)
210
C)
364
D)
E) 2.730
15. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con las cuatro letras de la
palabra RANA?
A) 3
B) 6
C) 12
D) 24
E) 48
3
16. ¿De cuántas formas se pueden repartir 2 premios entre 25 personas, si se sabe que
ambos pueden ser concedidos a una misma persona?
A)
225 formas
B) 25 formas
C) 50 formas
D) 600 formas
E) 625 formas
17. El esquema de la figura 2, representa 5 ciudades y las carreteras que las unen. ¿De
cuántas formas diferentes se puede viajar de la ciudad A a la ciudad B, si no está
permitido retroceder?
C
A)
B)
C)
D)
E)
17
21
30
32
45
A
D
fig. 2
B
E
18. Cinco turistas llegan a un pueblo en el que hay 6 hoteles. ¿De cuántas maneras pueden
hospedarse si lo deben hacer de modo que deben estar cada uno en hoteles diferentes?
A) 24
B) 30
C) 60
D) 120
E) 720
19. ¿De cuántas maneras posibles se pueden sentar tres niños y dos niñas en una fila de
butacas de un cine, si las niñas y los niños deben estar siempre juntos?
A)
B)
C)
D)
E)
3!2!∙2!
3!2!3!
3! 2!
5!
6
20. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar cuatro libros de física, tres de
química y cinco de matemática en un estante lineal, si los libros de cada asignatura
deben estar siempre juntos?
A) 4! · 3! · 5!
B) 4! · 3! · 5! · 3
C) 4! · 3! · 5! · 3!
D) 4 · 3 · 5 · 3
E) 12!
4
21. ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger un comité por dos hombres y tres
mujeres, de un grupo de cuatro hombres y cinco mujeres?
A)
B)
C)
D)
E)
90
80
72
60
45
22. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con los ocho vértices de un octágono
regular?
A) 336
B) 168
C) 112
D) 56
28
E)
23. Usando solamente los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5. ¿Cuántos números pares de cuatro cifras
se pueden formar, si un mismo dígito se puede repetir más de una vez en un mismo
número?
A)
B)
C)
D)
E)
648
540
375
300
180
números
números
números
números
números
24. Con las letras A, B, C, D, E, F y G se desea formar códigos de tres letras. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Es posible formar un total de 210 códigos diferentes, sin repetición
letras.
Es posible construir 343 códigos, si en un mismo código se permite
repetición de letras.
Es posible construir sólo 5 códigos en los cuales aparece la letra A
primer lugar y la letra E en el último lugar y se permite la repetición
letras.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
5
de
la
en
de
25. En el juego del LOTO se eligen 6 números que se espera sean sorteados de un total de
36. ¿De cuántas maneras distintas un apostador puede acertar exactamente 4
números?
A) C64
B) C36
4
C) C 64 · C 26
D) C 64 · C 30
2
E)
C 64 · C 36
2
26. Un mentalista pronostica que de las cinco cifras que forman el número ganador de la
LOTERIA de fin de semana, habrá dos cifras iguales a 4 y tres cifras iguales a 7.
¿Cuántos números hay con tales características?
A) 10
B) 20
C) 40
D) 60
E) 120
27. Si el número de combinaciones de n objetos tomados de dos en dos es igual a 36, el
valor de n es
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 18
28. Un artesano fabrica cerámicas con números de cuatro cifras diferentes, ocupando sólo
los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5. ¿Cuántas cerámicas puede hacer, si los números formados
deben estar entre 1.000 y 5.000?
A) 24
B) 96
C) 120
D) 256
E) 625
6
29. ¿Cuántas diagonales se pueden dibujar en un decágono?
A) C 10
2
B)
V210
C) C 10
2 – 10
D) V210 – 10
E)
C 10
2 – 2
30. El directorio de una empresa está constituida por 10 personas. ¿De cuántas maneras
diferentes se pueden sentar todos alrededor de una mesa con 10 sillas, si el presidente
y el vice-presidente deben estar juntos?
A)
B)
C)
D)
E)
10!
9!
9! · 2!
8!
8! · 2!
31. Se entregan dos premios a un grupo de personas. Se puede saber el número de formas
en que se reparten, si:
(1) El grupo está formado por dos hombres y tres mujeres.
(2) Una persona no puede recibir los dos premios.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. Se puede saber el número de formas distintas como se deben disponer alrededor de
una mesa un grupo de seis personas, si:
(1) La mesa tiene forma circular.
(2) La mesa tiene dispuesta seis sillas.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
33. Con las letras de una palabra, se puede saber la cantidad de palabras de cinco letras
con o sin sentido que se forman, si:
(1) La palabra tiene 3 consonantes diferentes.
(2) La palabra tiene 2 vocales distintas.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. Con los dígitos del número 1.234, se puede conocer la cantidad de números que se
pueden formar, si:
(1) El número es par.
(2) Los números deben tener cuatro dígitos distintos.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. En una cafetería que ofrece 8 tipos de jugo y 10 tipos de sándwich. Se puede saber
como hace su pedido Tomás, si:
(1) Pide a lo más un sándwich y un jugo.
(2) Pide a lo más un jugo y un sándwich.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
RESPUESTAS
1.
E
6.
B
11. D
16. E
21. D
26. A
31. C
2.
C
7.
C
12. B
17. B
22. D
27. C
32. B
3.
D
8.
B
13. C
18. E
23. B
28. B
33. E
4.
E
9.
C
14. A
19. A
24. B
29. C
34. B
5.
C
10. A
15. C
20. C
25. D
30. E
35. C
8
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA N° 14
UNIDAD: DATOS Y AZAR
PROBABILIDADES
NOCIONES ELEMENTALES
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones, un
número indefinido de veces.
Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir, existiendo un
conjunto de resultados posibles (espacio muestral).
Espacio Muestral: Los resultados posibles en un experimento aleatorio.
Evento (o suceso): Es un subconjunto del espacio muestral.
Evento cierto: Es el propio espacio muestral.
Evento imposible: Es aquel que no tiene elementos, es decir, el subconjunto vacío del
espacio muestral.
Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la ocurrencia de uno de
ellos impide la ocurrencia del otro.
Eventos independientes: Son aquellos en los que la ocurrencia de uno no afecta la
ocurrencia del otro.
Eventos complementarios: son aquellos que no tienen elementos comunes pero juntos
completan el espacio muestral.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de los siguientes experimentos es (son) aleatorio(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Lanzar una ruleta y observar si sale el 36.
Lanzar un dado y observar si la cara superior muestra un cinco.
Lanzar una moneda al aire y observar si sale cara.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
2.
¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzamiento
de dos dados”?
6
A)
B) 12
C) 36
D) 216
E) Ninguna de las anteriores.
3.
Si se lanzan tres monedas, ¿cuál de los siguientes eventos es imposible?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Obtener
Obtener
Obtener
Obtener
Obtener
Dado el espacio muestral E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y los eventos A = 1, 3, 5,
B = 2, 4, 6 y C = 3, 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
VERDADERA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
al menos una cara
como máximo un sello
exactamente dos caras
un sello y tres caras
como máximo dos caras
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
A y B son complementarios.
B y C son mutuamente excluyentes.
A y C son mutuamente excluyentes.
I
III
I y II
I y III
II y III
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Al lanzar un dado el evento “sacar un número menor que siete”, es un
suceso cierto.
“Lanzar un dado y que salga un número menor que tres” y “lanzar un dado
y que salga un múltiplo de tres” son sucesos mutuamente excluyentes.
“Lanzar dos dados y obtener una suma mayor que 12”, es un evento
imposible.
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2
PROBABILIDAD CLÁSICA
La probabilidad de un suceso A es la razón entre el número de casos favorables al evento A
y el número total de casos posibles.
P(A) =
Número de casos favorables (A)
Número total de casos
OBSERVACIONES:

La probabilidad de que no ocurra A es P(A’) y se calcula

0  P(A)  1
o bien
P(A’) = 1 – P(A)
0%  P(A)  100%
EJEMPLOS
1.
Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos?
2
36
3
B)
36
7
C)
36
11
D)
36
12
E)
36
A)
2.
Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 5?
25
36
11
B)
36
1
C)
36
1
D)
6
5
E)
6
A)
3.
Si la probabilidad que el día de hoy llueva es 0,375, ¿cuál es la probabilidad de que
este día no llueva?
A) -0,625
B) -0,375
C) 0,375
D) 0,525
E) 0,625
3
4.
Una caja contiene 20 esferas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que al
sacar una esfera al azar, ésta sea un número primo o un múltiplo de 10?
1
2
1
B)
10
1
C)
20
9
D)
20
11
E)
20
A)
5.
En una caja se encuentran 12 tarjetas numeradas del 1 al 12, las tarjetas que tienen
impreso un número primo son verdes, las que tienen impreso un múltiplo de 4 son
amarillas y el resto rojas. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una tarjeta, ésta sea
de color rojo?
1
4
1
B)
3
5
C)
12
7
D)
12
2
E)
3
A)
6.
Un dado está cargado de tal forma que la probabilidad que salga un divisor de 6 es el
doble de la probabilidad que salga otro número. Al lanzar el dado, ¿cuál es la
probabilidad de que salga el número 1?
1
10
1
B)
6
1
C)
5
1
D)
3
2
E)
5
A)
4
DIAGRAMA DE VENN
Un Diagrama de Venn es una manera de representar gráficamente conjuntos,
subconjuntos, intersecciones de conjuntos, uniones de conjuntos. Normalmente se utilizan
en esta representación óvalos o círculos, que muestran la relación existente entre los
conjuntos y subconjuntos involucrados. Cada óvalo o círculo es un subconjunto diferente.
La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones
lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen,
indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.
Por
ejemplo,
supongamos
como
conjunto las personas que viajan en un
Tour, si A representa las personas que
hablan inglés, el óvalo de la izquierda
contendrá al número total de personas
que los hacen, si B representa a las
personas que hablan francés, el óvalo
de la derecha tendrá el número de
turista que hablen francés, la parte
común de los óvalos (A y B) contiene a
las personas que hablan ambas idiomas.
El
rectángulo contiene todas las
personas que participen en éste tour,
representando C las personas que no
dominan ninguno de los dos idiomas.
DIAGRAMA DE VENN
C
A
B
AyB
Apoyados en el Diagrama de Venn es posible determinar cantidad de elementos que
cumplen las condiciones y de ésta forma permite determinar probabilidad utilizando
probabilidad clásica
EJEMPLOS
1.
1
1
1
habla portugués,
japonés y
ambos idiomas.
6
3
12
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo uno de estos
idiomas?
En un curso de 120 alumnos,
1
3
1
B)
12
1
C)
4
5
D)
12
7
E)
12
A)
5
2.
En un curso de 80 alumnos, la cuarta parte de ellos habla inglés, la quinta parte
francés y la décima parte ambos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno
escogido al azar hable inglés o francés?
16
80
20
B)
80
28
C)
80
36
D)
80
44
E)
80
A)
3.
En un curso de 40 alumnos, el 50% practica futbol, el 37,5% practica basquetbol,
mientras que 5 alumnos practican ambos deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que al
elegir un alumno, éste no practique ningún deporte?
1
8
1
B)
5
1
C)
2
1
D)
3
1
E)
4
A)
6
TRIÁNGULO DE PASCAL
Representa una regularidad numérica que se ilustra en la siguiente figura:
1
1
1
1
2
1
1
3
4
1
1
3
1
6
5
4
10
1
10
5
1
Se pueden observar algunas regularidades y estas son:
Los coeficientes primero y último de cada fila son siempre 1.
Cualquier otro coeficiente de una fila se obtiene como la suma de los dos valores que
están justo arriba en la fila anterior.
 Si se suman los números de cada fila el resultado es siempre una potencia de 2.
 Existe una simetría en cada fila respecto a su centro.


OBSERVACIÓN: El triángulo de Pascal también se utiliza en experimentos aleatorios que
tengan dos sucesos equiprobables de ocurrencia, como por ejemplo: lanzar una moneda, el
sexo de una persona, respuestas de preguntas del tipo verdadero o falso, etc.
Así al lanzar una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la vez) se obtienen 16
resultados posibles, que al determinarlos a través del triángulo de Pascal son:
1
1
1
1
3
4
1
2
1
3
6
1
Cero lanzamiento 20
Un lanzamiento 21
Dos lanzamientos 22
Tres lanzamientos 23
Cuatro lanzamientos 24
1
4
1
Esta situación se grafica de la siguiente manera
1
1C
4
1C3
1C2
3
4C S
1C
1S
2CS
3C2S
2
6C S
2
3CS2
1S2
4CS
3
1S3
1S4
CCCS
OBSERVACIÓN:
4C3S significa
CCSC
CSCC
SCCC
O sea, 4C3S indica que hay cuatro casos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.
7
EJEMPLOS
1.
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras si se lanza una moneda 4
veces?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1
3
1
4
2
3
3
4
1
64
Un matrimonio tiene 4 hijos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
La probabilidad que sean 4 hijos varones es
1
.
4
3
.
8
11
La probabilidad que sean a lo más dos hijos varones es
.
16
La probabilidad de que sean 2 varones y 2 damas es
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Al lanzar 5 moneda, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad de obtener 3 caras, es igual a la probabilidad de obtener 3
sellos.
La probabilidad de obtener a lo más una cara, es igual a la probabilidad de
obtener a lo menos 2 sellos.
La probabilidad de obtener 4 sellos, es igual a la mitad de la probabilidad de
obtener 3 sellos.
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
8
PROBABILIDADES DE EVENTOS
Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:
P(A o B) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurra A o B está dada por:
P(A o B) = P(A  B) = P(A) + P(B)
EJEMPLOS
1.
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3?
1
6
1
B)
4
1
C)
3
1
D)
2
2
E)
3
A)
2.
Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad que el resultado corresponda a un número
mayor que 4 o a un número primo?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
1
3
2
3
5
6
Ninguna de las anteriores.
9
3.
Un naipe inglés consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales
dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta
consta de 3 figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 10 cartas numeradas desde
1 (as) a 10, entonces la probabilidad de obtener un “AS” o un “REY” al extraer una de
las 52 cartas de una baraja inglesa es
1
13
2
B)
13
4
C)
13
1
D)
4
1
E)
3
A)
4.
La siguiente tabla muestra la distribución por electivo y sexo de los alumnos de IV
medio de un liceo. Si se escoge un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea
hombre o pertenezca al plan humanista?
Hombre
Mujer
Humanista
10
15
12
16
11
B)
16
1
C)
2
2
D)
5
5
E)
16
A)
10
Biólogo
15
15
Físico
15
10
PROBABILIDAD DE EVENTOS
Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de
uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.
P(A y B) = P(A  B) = P(A)  P(B)
Los sucesos A y B se consideran dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno
influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro, afectándose el espacio
muestral.
P(A y B) = P(A  B) = P(A)  P(B/A)
EJEMPLOS
1.
Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la segunda contiene
3 bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, ¿cuál es la probabilidad
de que ambas sean verdes?
3
10
6
B)
10
9
C)
10
9
D)
20
18
E)
100
A)
2.
En el lanzamiento de una moneda de $ 100 y una de $ 50, la probabilidad de obtener
cara en la de cien y sello en la de cincuenta es
1
4
1
B)
3
1
C)
2
3
D)
4
E) 1
A)
11
3.
Si se lanzan 2 dados, ¿cuál es la probabilidad que muestren el mismo número?
1
2
1
B)
3
1
C)
6
1
D)
36
5
E)
36
A)
4.
Si se sacan, desde una caja que tiene 9 esferas numeradas del 1 al 9, dos de estas
esferas una tras otra sin reposición, ¿cuál es la probabilidad que ambas indiquen un
número impar?
5
18
5
B)
9
1
C)
2
5
D)
36
25
E)
81
A)
5.
En una caja hay 3 camisas blancas y 2 azules. Si se sacan sucesivamente 2 camisas,
sin devolverlas a las cajas, ¿cuál es la probabilidad que éstas sean de distinto color?
2
3
2
B)
5
3
C)
5
3
D)
10
7
E)
10
A)
12
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Si se recuerda, si dos eventos no son independientes, entonces la probabilidad que ocurran
ambos se calculada según la relación P(A B) = P(A)  P(B/A) , en esta relación P(B/A) se
llama probabilidad condicionada y se lee:
P(B/A): probabilidad de B, dado que ocurrió A, y se determina según la relación:
P(B/A) =
P(A B)
P(A)
OBSERVACIÓN:
la probabilidad condicionada también es posible determinarla reduciendo el
espacio muestral.
EJEMPLOS
1.
En cierta población se ha logrado constatar que: la probabilidad que una persona este
obesa y tenga el colesterol alto es 0,1 y la probabilidad que un individuo sea obeso es
0,4. Si se escoge una persona que resulta estar obeso, entonces ¿cuál es la
probabilidad que tenga el colesterol alto?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
0,10
0,25
0,40
0,60
0,90
Se lanzan 2 monedas, si a lo menos en una de ellas salió cara, ¿cuál es la probabilidad
de que ambas lo sean?
1
4
1
B)
3
3
C)
8
1
D)
2
2
E)
3
A)
13
LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
Esta ley establece que la frecuencia relativa de los resultados de un experimento aleatorio
tiende a estabilizarse a cierto número que corresponde a la probabilidad del suceso, cuando
el experimento se realiza muchas veces.
En la tabla se han anotado las frecuencias del suceso “salir sello” en el lanzamiento de una
moneda.
Nº lanzamientos
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
100
56
0,56
150
70
0,47
200
110
0,55
300
145
0,48
400
208
0,52
500
255
0,51
La probabilidad de un suceso, es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando
el experimento se repite un gran número de veces.
EJEMPLOS
1.
Si se lanza 2.400 veces un dado común, entonces el numero 4 saldrá
A)
B)
C)
D)
E)
2.
exactamente 60 veces.
exactamente 400 veces.
exactamente 600 veces.
aproximadamente 600 veces.
aproximadamente 400 veces.
Si se lanza 5.000 veces un dado común, según la Ley de los Grandes Números, ¿en qué
porcentaje, aproximadamente, de esas repeticiones, saldrá un múltiplo de 3?
A)
B)
C)
D)
E)
En
En
En
En
En
un
un
un
un
un
10%
12%
17%
33%
45%
14
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs.
1y2
3y4
5y6
8
9 y 10
11 y 12
13
14
1
2
3
4
5
6
E
B
A
B
E
E
B
E
C
B
C
D
C
A
B
D
D
E
E
B
B
C
C
A
E
B
C
B
A
C
15
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 14
PROBABILIDADES I
1.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Ninguna de ellas.
En el experimento aleatorio “lanzar tres monedas”, ¿cuál(es) de las siguientes
proposiciones es (son) ejemplo(s) de evento(s) mutuamente excluyente(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
En el experimento aleatorio “lanzar tres veces una moneda”, tiene un
espacio muestral de 3 elementos.
En el experimento aleatorio “lanzar dos monedas distintas”, su espacio
muestral tiene 6 elementos.
El suceso complementario del espacio muestral es el conjunto vacío.
“Obtener exactamente dos caras” y “Obtener exactamente dos sellos”.
“Obtener a lo más una cara” y “Obtener a lo más un sello”.
“Obtener exactamente un sello” y “obtener a lo menos una cara”.
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Ninguna de ellas.
Se lanza una moneda 3 veces y se obtienen 3 caras, ¿cuál es la probabilidad que la
cuarta vez se obtenga cara?
1
2
1
B)
4
3
C)
4
3
D)
8
7
E)
16
A)
4.
Se escoge una ficha de dominó (28 piezas) al azar. ¿Cuál es la probabilidad que se
obtengan 6 puntos?
1
28
4
B)
28
5
C)
28
6
D)
28
8
E)
28
A)
5.
De los 4.500 alumnos de una Universidad, la probabilidad de que un alumno sea
1
egresado es
, ¿cuántos no egresados tiene la Universidad?
50
A)
B)
C)
D)
E)
6.
4.410
4.300
4.210
3.900
3.600
Un jugador de básquetbol encesta 8 de cada 10 lanzamientos al aro. ¿Cuál es la
probabilidad de que este jugador no enceste?
4
5
B) 1
1
C)
5
3
D)
5
2
E)
5
A)
7.
¿En cuál de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es igual a cero?
A)
B)
C)
D)
E)
Tener más de 10 hijos
Nacer en un año terminado en cero
Que un mes tenga 29 días
Que al elegir al azar una fruta en invierno esta sea manzana
Que al tirar 3 dados, el producto de los números obtenidos sea 210
2
8.
Mauricio tiene en su bolsillo 3 monedas de $ 10, 4 de $ 50, 7 de $ 100 y 4 de $ 500.
¿Cuál es la probabilidad de que saque una moneda de $ 500 ó una de $ 10?
12
18
7
B)
18
3
C)
18
4
D)
18
8
E)
18
A)
9.
En el curso 4°A hay el doble de mujeres que de hombres y en el 4°B hay 5 hombres
menos que mujeres. Si la probabilidad de elegir un alumno que sea hombre, es la
misma en ambos cursos, entonces ¿cuántos alumnos en total tiene el 4°B?
A)
B)
C)
D)
E)
15
20
25
30
35
10. En un curso de 50 alumnos, los puntajes en un ensayo de matemática tienen la
siguiente distribución:
Puntaje
x < 350
350  x  500
500 < x  650
650 < x  820
Cantidad de
alumnos
15
10
13
12
Al elegir un alumno del curso al azar, la probabilidad de que no tenga un puntaje
de 350 a 500 puntos es
1
2
1
B)
5
4
C)
5
3
D)
19
7
E)
10
A)
3
11. Al lanzar un dado cargado, la probabilidad de que salga un número impar es el triple de
la probabilidad que salga un número par. Si se lanza un dado dos veces, entonces ¿cuál
es la probabilidad que en ambos lanzamientos se obtenga un número impar?
1
4
1
B)
16
3
C)
16
9
D)
16
12
E)
16
A)
12. ¿En cuál de las alternativas es mayor la probabilidad de sacar amarillo?
A)
B)
Rojo
C)
Rojo
120º
90º
Amarillo
Amarillo
90º
Verde
Rojo
Amarillo
Amarillo
135º
Verde
120º
Verde
D)
Rojo
45º
Ama
-rillo
Verde
45º
E)
Rojo
120º 120º
Amarillo Verde
Verde 45º
Rojo
Ama
-rillo
13. Una caja contiene 12 fichas de igual tamaño. Cada una de ellas contiene una letra de la
palabra PROBABILIDAD. Al sacar al azar una de las fichas, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo las probabilidades de las letras B, A y D son iguales.
5
.
La probabilidad de sacar una vocal es
12
Solo la probabilidad de la letra O, es la menor.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
4
14. Se tienen 5 bolitas blancas y 3 negras en una urna y 5 blancas y 7 negras en otra urna.
¿Cuántas bolitas blancas es necesario traspasar desde una urna a la otra para que la
probabilidad de sacar una bolita negra sea la misma en ambas urnas?
A)
B)
C)
D)
E)
5
4
3
2
1
15. Al ser consultadas 100 personas, sobre el tipo de artículo que regalan en Navidad,
respondieron de las siguientes maneras:
Regalos
Rodados
Didácticos
Juegos
Ropa
Cosas útiles
Libros
Otros
Nº de personas
4
13
18
14
34
1
16
Si se elige una persona encuestada al azar, entonces ¿cuál es la probabilidad que no
regale libros y tampoco didácticos?
A)
B)
C)
D)
E)
14%
17%
34%
85%
86%
16. En un naipe de 52 cartas (13 picas, 13 corazones, 13 diamantes, 13 tréboles), ¿cuál es
la probabilidad de sacar al azar una pica, un corazón, un diamante, un trébol y
nuevamente un corazón, en ese orden y sin reposición?
13
52
13
B)
52
13
C)
52
13
D)
52
13
E)
52
A)
13 13
·
·
51 50
12
·4+
48
13
13
+
+
51
50
13 13
·
·
·
52 52
13
13
+
+
52
52
·
13 12
·
49 48
13
+
49
13 12
·
52 51
13
+
+
52
+
12
48
12
51
5
17. La tabla muestra el número de vehículos (motos, automóviles y camiones) que pasan
por un peaje y el número de ellos que son plateados. ¿En que tipo de vehículos es
mayor la probabilidad de que al elegir un vehículo al azar este sea plateado?
A)
B)
C)
D)
E)
Solo en camiones
Solo en motos
Solo en automóviles
En camiones y automóviles
En motos y automóviles
Vehículo
Total de
vehículos
Total de vehículos
plateados
60
30
120
60
90
30
Motos
Automóviles
Camiones
18. Una compañía de seguros debe elegir a una persona para desempeñar cierta función de
entre 50 aspirantes. Entre los candidatos, algunos tienen título universitario, otros
poseen experiencia previa en el área de seguros y algunos cumplen ambos requisitos,
como se indica en la tabla adjunta.
Título
Sin título
Con experiencia
5
10
Sin experiencia
15
20
Si se elige un aspirante al azar entre los 50, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad de que el elegido tenga experiencia es
La probabilidad de que el elegido tenga título es
3
.
10
2
.
5
La probabilidad de que el elegido no tenga experiencia es
5
.
10
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
19. Al lanzar al aire dos dados, uno a continuación del otro, de distintos colores, se observa
que la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete. La probabilidad de
que en el segundo dado aparezca el cuatro es
4
21
5
B)
21
6
C)
21
7
D)
21
8
E)
21
A)
6
20. La ruleta de la figura 1, está dividida en 8 sectores iguales. Entonces, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
La probabilidad de obtener un número impar es de un 50 %.
La probabilidad de obtener los números 1 ó 3 es de un 25%.
La probabilidad de obtener el números 6 es de un 15%.
Ruleta
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo III
Solo I y II
I, II y III
Ninguna de las anteriores.
fig. 1
8
1
7
2
6
3
5
4
21. El disco de la figura 2 está dividido en cuatro sectores iguales pintados de colores
diferentes: azul, blanco, verde y rojo.
Al hacer dos lanzamientos, ¿cuál es la
probabilidad de caer por lo menos una vez en el sector rojo?
1
2
1
B)
4
3
C)
4
3
D)
8
7
E)
16
A)
Azul
Rojo
fig. 2
Blanco
Verde
22. En una urna con fichas azules, blancas, rojas y verdes, la probabilidad de escoger una
ficha azul o blanca es 0,4. Si en la urna hay 15 fichas de las cuales 7 son verdes,
entonces ¿cuál es el número de fichas rojas?
A)
B)
C)
D)
E)
6
5
4
2
3
7
23. Una caja contiene 3 esferas verdes y 2 amarillas. Si se sacan sucesivamente 2 esferas,
sin devolverlas a la caja, entonces ¿cuál es la probabilidad de que éstas sean de
distinto color?
A)
B)
C)
D)
E)
3
10
2
5
3
5
7
10
Ninguna de las anteriores.
24. Un concurso consiste en elegir una de tres cajas que se encuentran tapadas, dentro de
las cuales hay sobres y solo uno de ellos contiene el premio. La caja 1 tiene 8 sobres, la
caja 2 tiene 5 sobres y la caja 3 tiene 4 sobres. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
1
.
12
Si el concursante ganó, la probabilidad que el sobre provenga de la caja 2
8
es
.
23
Si el concursante pierde, la probabilidad que el sobre provenga de la caja 1
35
es
.
97
La probabilidad de ganar si escoge la caja 3 es
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I, II y III
25. En una población hay 1.000 jóvenes entre hombres y mujeres, los cuales practican un
sólo deporte, entre Fútbol y Tenis. De los hombres 340 practican Fútbol y 230 Tenis.
Además, 180 mujeres practican Fútbol. Si escogemos un joven al azar, entonces ¿cuál
es la probabilidad de que sea mujer y practique tenis?
25
48
22
B)
25
1
C)
4
23
D)
100
43
E)
100
A)
8
26. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 sellos, si se lanza una moneda 5
veces?
1
16
1
B)
32
4
C)
32
5
D)
32
10
E)
32
A)
27. En un grupo de 80 deportistas, la cuarta parte de ellos juega tenis, la quinta parte
practica natación y la décima parte practica ambos deportes. ¿Cuál es la probabilidad
de que un deportista escogido al azar practique tenis o natación?
16
80
20
B)
80
28
C)
80
36
D)
80
44
E)
80
A)
28. Al contestar 3 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdaderas(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad de contestar erróneamente solo 2 preguntas es
3
.
8
La probabilidad de contestar correctamente a lo menos 2 preguntas es
La probabilidad de no contestar ninguna pregunta correctamente es
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
9
1
.
8
3
.
8
29. Si se lanza 3600 veces una moneda, entonces el número de caras que saldrá será
A)
B)
C)
D)
E)
exactamente 1800 veces.
exactamente 3600 veces.
exactamente 1300 veces.
aproximadamente 1800 veces.
aproximadamente 3600 veces.
30. En un viaje de gira de estudio 1.200 alumnos, deben escoger entre dos opciones, un
1
2
escoge sólo Oceanía,
escoge sólo
crucero por Oceanía y/o un viaje a Europa. Si
4
3
1
Europa y
ambos, entonces ¿cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al
12
azar escoja sólo uno de estos viajes?
A)
B)
C)
D)
E)
11
12
1
12
1
4
5
12
7
12
31. En un experimento aleatorio, dos eventos A y B son complementarios, si:
(1) Al unir los conjuntos A y B se obtiene el espacio muestral.
(2) La intersección de A y B es vacía.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. Al lanzar un dado, podemos conocer el número que aparece en la cara superior, si
sabemos que:
(1) El número es primo.
(2) El número es impar menor o igual a tres.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
33. En una caja hay 22 fichas de color azul, rojo y blanco, de las cuales 10 son rojas. Se
puede determinar la probabilidad de sacar una ficha azul, si:
(1) La probabilidad de sacar una ficha roja o blanca es
(2) La probabilidad de sacar una ficha blanca es
A)
B)
C)
D)
E)
9
.
11
4
.
11
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. Una ruleta tiene 36 sectores circulares iguales numerados del 1 al 36. Se puede
determinar la probabilidad de que salga un número par o un número de color blanco, al
hacer girar la ruleta, si:
1
.
4
(2) La ruleta está dividida en 4 sectores iguales donde los 9 primeros son rojos, los 9
siguientes azules, los otros 9 blancos y los 9 restantes negros, donde cada número
es equiprobable.
(1) La probabilidad de que salga un número azul es
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es
una bola azul se puede calcular, si:
(1) El total de bolas que hay en la caja es 12.
(2) En la caja sólo hay bolas rojas, blancas y azules.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
11
1
. La probabilidad de extraer
4
RESPUESTAS
1.
C
6.
C
11. D
16. A
21. E
26. D
31. C
2.
C
7.
E
12. C
17. E
22. D
27. C
32. C
3.
A
8.
B
13. B
18. C
23. C
28. D
33. D
4.
B
9.
A
14. D
19. A
24. E
29. D
34. B
5.
A
10. C
15. E
20. C
25. C
30. A
35. E
12
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 15
UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA
Ángulo nulo
: Es aquel que mide 0º.
Ángulo agudo
: Es aquel que mide más de 0º y menos de 90º.
Ángulo recto
: Es aquel que mide 90º.
Ángulo obtuso
: Es aquel que mide más de 90º y menos de 180º.
Ángulo extendido : Es aquel que mide 180º.
Ángulo completo
: Es aquel que mide 360º.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
La
La
La
La
La
suma de un ángulo agudo con un ángulo obtuso resulta un ángulo extendido
mitad de un ángulo obtuso es un ángulo recto
suma de un ángulo obtuso con un ángulo extendido resulta un ángulo completo
suma de dos ángulos rectos con un ángulo extendido resulta un ángulo completo
suma de dos ángulos agudos resulta un ángulo recto
En la figura 1, AB es una recta y AOE = 90°, entonces  mide
E
A) 3°
B) 7°
C) 11°
D) 33°
E) 57°
C
fig. 1
3
57º
A
O
B
3.
En la figura 2, L es recta y  = 3 e  = 2. Entonces, ¿cuál(es) de las expresiones
siguientes es (son) igual(es) al doble de  ?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
4
180 - 2
4

3
fig. 2
  
L
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
En la figura 3, L es una recta, ¿cuánto mide ?
L
A)
B)
C)
D)
E)
5.
105º
110º
125º
135º
145º


fig. 3
110°
2
¿Cuál es la medida de 2 en la figura 4?
A)
B)
C)
D)
E)
B
C
20º
30º
40º
50º
60º
3
O
6
fig. 4
2

A
D
6.
En la figura 5, si  +  = 250º
y
 +  = 270º, entonces  –  =
A) 110º
B) 90º
C) 70º
D) 50º
30º
E)
 

2
fig. 5
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN
Ángulos consecutivos: Son aquellos que tienen el vértice y un rayo en común.
C
B
O


 y  consecutivos
A
Ángulos adyacentes o par lineal: Son aquellos que tienen el vértice y un rayo en común
y los otros dos rayos sobre una misma recta.
B

C
O

A
 y  adyacentes
Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos que tienen el vértice en común y que los
rayos de uno son las prolongaciones de los rayos del
otro.


 y  opuestos por el vértice,   
OBSERVACIONES

Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida
(congruentes).




Rectas perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman cuatro ángulos rectos.
L2
L1
L1  L2
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, OC es bisectriz del ángulo DOB. Si DOA = 70º y COA = 56º, entonces
¿cuánto mide el ángulo BOA?
A)
B)
C)
D)
E)
D
42º
40º
35º
28º
14º
C
B
O
3
A
fig. 1
2.
Si en la figura 2, L3 es recta y L1  L2, entonces el valor de la expresión
(180 – ) + (90 – ) es
L3
A) 45º
B) 60º
C) 90º
D) 135º
E) 180º
3.


fig. 2
L2
En la figura 3, AB y CD se intersectan en el punto O. ¿Cuánto mide el ángulo x?
C
A
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 75º
E) 105º
4.
L1
7
fig. 3
 5
O
x
D
B
En la figura 4, los puntos B, O y C son colineales, el BOD =
1
COA y OD  OA.
2
¿Cuál es el valor del ángulo AOC?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
En la figura 5, si OA  OD, BOA =
A)
B)
C)
D)
E)
A
15º
30º
45º
60º
75º
fig. 4
D
O
C
B
1
1
COB = DOC, entonces el ángulo COA mide
2
3
D
9º
15º
30º
45º
60º
C
fig. 5
B
O
4
A
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS
Ángulos complementarios:
Son dos ángulos cuyas medidas suman 90º. Si  y  son
complementarios,  es el complemento de  y  es el
complemento de . El complemento de un ángulo x es
90º – x.
Ángulos suplementarios:
Son dos ángulos cuyas medidas suman 180º. Si  y  son
suplementarios,  es el suplemento de  y  es el
suplemento de . El suplemento de un ángulo x es
180º – x.
EJEMPLOS
1.
El suplemento de un ángulo 3 es 60º. ¿Cuánto mide ?
A) 120º
B) 80º
C) 50º
D) 40º
20º
E)
2.
Si el suplemento del ángulo (35 – ) es 160º, entonces el complemento de  es
A) 15º
B) 35º
C) 75º
D) 105º
E) 165º
3.
El complemento de un ángulo  es igual al doble de dicho ángulo. ¿Cuánto mide ?
A)
B)
C)
D)
E)
60º
45º
30º
20º
15º
5
4.
El suplemento del complemento de 30º – 2 es
A) 30º –
B) 60º –
C) 90º –
D) 120º –
E) 150º –
5.
El complemento de (2 – 30º) más el suplemento de ( – 10º) es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
6.
2
2
2
2
2
310º
290º
250º
230º
200º
–
–
–
–
–
3
3
3
3
3
Si el triple del complemento de ( – 30º) es igual al suplemento de ( – 40º),
entonces  mide
A) 25º
B) 70º
C) 80º
D) 100º
E) 155º
6
PARES DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA
TRANSVERSAL
T
L1 // L2
ÁNGULOS ALTERNOS:

1
ALTERNOS EXTERNOS
ALTERNOS INTERNOS
1 con 7
3 con 5
2 con 8
4 con  6
4
5
8
2
3
L1
6
L2
7
Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida.
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
1 con 5

2 con 6
3 con 7
4 con 8
Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida.
ÁNGULOS COLATERALES

COLATERALES EXTERNOS
COLATERALES INTERNOS
1 con 8
4 con 5
2 con 7
3 con 6
Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180º.
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, L1 // L2. Luego, el valor del x es
A)
B)
C)
D)
2 – 
–
–
180º – ( + )
1
–
E)
2
L1
L2
7

x

fig. 1
2.
Si en la figura 2, BA // CD, entonces ¿cuánto mide ?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
C
15º
20º
25º
30º
35º
3
D
fig. 2
5 – 70°
A
En la figura 3, L1 // L2,  =
B
1
, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes
4
es (son) iguales a 72º?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
+
 – 2
+

L1
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de las anteriores.


L2

fig. 3
En la figura 4, L1 // L2 , L3 // L4 y  +  = 50º. Entonces, el suplemento de  es
A) 25º
B) 50º
C) 90º
D) 130º
E) 155º

L3
L4

L2
fig. 4
L1
5.
Si en la figura 5, L1 // L2, entonces la medida de  es
A)
B)
C)
D)
E)
22º
28º
32º
38º
48º
L1
L2
8

 + 10º
5 + 2º
fig. 5
ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS
’ C

TEOREMAS

La suma de las medidas de los ángulos interiores es
igual a 180º.
 +  +  = 180º
’ 
A

 ’
B
La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360º.
’ + ’ + ’ = 360º

La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos
interiores no adyacentes a él.
’ =  + 
’ =  + 
’ =  + 
EJEMPLOS
1.
En el triángulo BED de la figura 1, el valor del ángulo x es
C
A) 19º
B) 23º
C) 29º
D) 58º
E) 116º
fig. 1
18°
46°
35°
D
B
A
L
x
E
2.
En el triángulo ABC de la figura 2, ¿cuánto mide el ángulo ABC?
C
A) 100º
B) 60º
C) 57º
D) 45º
20º
E)
fig. 2
5

A
9
3
B
3.
En el triángulo ABC de la figura 3, el valor de x + y es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
C x
58º
122º
160º
180º
238º
y
B
58º
A
En el GHI de la figura 4, a medida del x es
150°
A) 45º
B) 75º
C) 135º
D) 150º
E) 210º
G
x
H
El valor de  en el DEF de la figura 5, con G perteneciente a DE, es
A)
B)
C)
D)
E)
30º
40º
50º
60º
70º
F

fig. 5
4
D
6.
I
fig. 4
2x – 15º
5.
fig. 3
E
G
Si en la figura 6, L1 // L2, y AC  EB , entonces el valor de x es
C
A) 40º
B) 70º
C) 90º
D) 100º
E) 110º
E
L1
x + 40º
fig. 6
20º
A
10
B
L2
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Según sus lados
Según sus ángulos interiores
Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta Acutángulo: Tiene sus tres ángulos
medida.
agudos.
Isósceles: Tiene dos lados de igual medida.
Rectángulo: Tiene un ángulo recto.
Equilátero: Tiene sus tres lados de igual
medida.
Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.
OBSERVACIÓN:
En un triángulo isósceles no equilátero al lado distinto se le llama base y al
ángulo distinto se le llama ángulo del vértice.
EJEMPLOS
1.
Según sus lados y según sus ángulos el triángulo ABC de la figura 1, es
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 1
C
x
escaleno y acutángulo.
escaleno y rectángulo.
isósceles y acutángulo.
isósceles y obtusángulo.
isósceles y rectángulo.
B
30º
4x
A
2.
En la figura 2, el ABC es equilátero y el BDC es rectángulo isósceles. ¿Cuál es la
medida del x?
C
x
D
A) 45º
B) 60º
C) 75º
D) 105º
E) 135º
fig. 2
A
3.
B
En el ABC de la figura 3, AC = BC, ¿Cuál es la medida del x?
B
x
A) 30º
B) 60º
C) 75º
D) 80º
E) 150º
fig. 3
150º
A
11
C
4.
En la figura 4, AC = BC, OD // AC y  = 2, AOD = 54º, entonces ¿cuál es la medida
del x?
fig. 4
C
A)
B)
C)
D)
E)
O
x
18º
36º
46º
48º
72º


A
5.
B
D
En la figura 5, el DEF es equilátero y el ABC es isósceles de base AB . Si el
ACB = 40º y DE // AB , entonces la medida del ángulo x es
A
A)
B)
C)
D)
E)
40º
50º
60º
70º
80º
F
B
x
D
E
fig. 5
C
6.
En la figura 6, el ABC es isósceles de base AC y el BDC es rectángulo isósceles. Si
ABC : CBD = 2 : 3, entonces el ACD mide
D
C
A) 30º
B) 45º
C) 75º
D) 120º
E) 160º
7.
fig. 6
A
B
En la figura 7, el ABC es equilátero. Si DB  AC , entonces el ángulo x mide
C
A) 60º
B) 75º
C) 90º
D) 100º
E) 120º
A
fig. 7
x
E
12
D
B
OTROS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO CUALQUIERA

En todo triángulo, la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los
otros dos y mayor que la diferencia (positiva) de las medidas de los otros dos.
C

lc – bl < a < b + c
lc – al < b < a + c
la – bl < c < a + b
b
a



c
A
B
En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa.
 >  si y sólo si a > b
EJERCICIOS
1.
¿Cuál de las siguientes desigualdades incluye las posibles medidas del lado AB del
triángulo ABC de la figura 1?
C
A)
B)
C)
D)
E)
2.
4
1
3
3
1
<
<
<
<
<
x
x
x
x
x
<
<
<
<
<
fig. 1
6
6
4
7
7
3
4
A
x
B
En el triángulo DEF de la figura 2, el orden creciente de las medidas de los lados es
F
A)
B)
C)
D)
E)
3.
d, e, f
f, e, d
d, f, e
f, d, e
e, d, f
fig. 2
e
d
40º
D
60º
f
E
En el triángulo PQR de la figura 3, el orden decreciente de las medidas de los ángulos
interiores es
R

A) , , 
fig. 3
B) , , 
8
5
C) , , 
D) , , 


E) , , 
6
P
Q
13
4.
¿Cuántos triángulos se pueden construir con dos trazos que miden 3 cm y 7 cm, si el
tercer lado debe medir un número entero de centímetros?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
3
4
5
6
7
En el ABC de la figura 4, el orden creciente de las medidas de los lados es
A)
B)
C)
D)
E)
C
c, b, a
a, c, b
a, b, c
c, a, b
b, c, a
fig. 4
b
100º
70º
c
A
6.
a
B
En el triángulo ABC de la figura 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
CD es mayor que DB .
El ángulo ACD mide 70º.
AB mide lo mismo que BC .
C
fig. 5
60º
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
70º
A
14
100º
D
B
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
D
C
E
E
E
D
3y4
A
E
D
D
E
5y6
D
C
C
D
A
7y8
B
E
D
E
D
9 y 10
C
B
E
B
A
B
11 y 12
D
C
C
A
B
D
13 y 14
E
A
B
C
A
B
Págs.
15
7
B
B
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 15
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
1.
Si el triple de  es un ángulo agudo, entonces  puede tomar el (los) valor(es)
I)
II)
III)
 = 28°
 = 14°
 = 31°
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
solo
solo
solo
solo
I, II
I.
II.
I y II.
I y III.
y III.
En la figura 1, a = 4x + 10º. ¿Cuál es la medida del ángulo a?
B
A) 50º
B) 60º
C) 100º
D) 120º
E) 210º
3.
fig. 1
O
2x
a
x
A
C
Si en la figura 2, L1 // L2 y L3 es transversal, entonces ¿cuál es el valor del ángulo x?
L3
A) 30º
B) 60º
C) 120º
D) 130º
E) 150º
4.
fig. 2
x 6
L1
L2
2 + 20º
En la figura 3, los puntos A, O y B son colineales. Si el DOC = 5º y
4EOD = BOC = 2AOE, entonces el complemento del AOE es
A)
B)
C)
D)
E)
85º
65º
50º
40º
25º
D
C
fig. 3
E
A
O
B
5.
En la figura 4, si  +  =  y  = 2, entonces ¿cuánto mide ?
C

A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 90º
E) 120º
6.
F

fig. 5
5
80º
D
E
G
En el triángulo ABC de la figura 6, se traza la transversal DE , con A, B y E puntos
colineales. ¿Cuánto mide el ángulo x?
C
63º
107º
117º
127º
133º
D
54º
fig. 6
x
47°
A
16°
B
Si O  MN, entonces ¿cuánto mide el x de la figura 7?
A)
B)
C)
D)
E)
9.
B
El valor de  en el DEF de la figura 5, con G perteneciente a DE, es
A)
B)
C)
D)
E)
8.


A
A) 20º
B) 30º
C) 80º
D) 100º
E) 120º
7.
fig. 4
L
fig. 7
 x
60º
40º
30º
20º
10º
2
M

120º
O
N
En la figura 8, L es una recta, y el AOC puede tomar como valor máximo 110º y el
valor máximo para el BOD es 120º, cada uno en el sentido que indica la figura. Si
ambos toman al mismo tiempo su valor máximo, ¿cuántos grados tiene la parte
formada por la intersección?
A)
20º
B) 30º
C) 50º
D) 100º
E) 110º
D
A
2
C
O
B
fig. 8
L
E
10. De acuerdo a la información dada en la figura 9, ¿cuál es la medida del x?
R
A)
B)
C)
D)
E)
110°
140°
150°
155°
160°
T
fig. 9

x


40°
Q
P
S
11. En el ABC de la figura 10, la medida del ángulo ABC es
A)
B)
C)
D)
E)
C 90º + x
40º
50º
60º
70º
80º
fig. 10
50º + x
70º + x
A
B
12. Si en la figura 11, CAB = CBA y  +  = 250º, entonces el valor del ángulo x es
 D
A) 70º
B) 90º
C) 110º
D) 140º
E) 150º
fig. 11
C x
A

B
E
13. En la figura 12, DAB = ABC. Entonces, el x mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
80º
100º
110º
120º
140º
C
fig. 12
E
x
110°
B
A
14. En el triángulo ABC de la figura 13, el valor de la expresión 180 – ( + ) +  es
C
A)
B)
C)
D)
E)





180º

3
A
fig.13


B
15. Si en el triángulo ABC de la figura 14,  = 2,  = 2,  = 40º y  = 70º, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
El triángulo ABC es isósceles.
El x = 110º
III)
El triángulo ABD es isósceles.
C
fig. 14

D
 
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
x

A
B
16. En la figura 15, L es una recta, x + y = 120º, z + v = 90º y x = v. ¿Cuál es
el valor del x?
A)
B)
C)
D)
E)
L
10º
15º
20º
30º
45º
x
w
fig. 15
y
v z
17. Si en la figura 16, L1 // L2 y 3 = 2, entonces la medida del x es
fig.16
A) 30º
B) 60º
C) 100º
D) 130º
E) 150º

 x
L1
30º
L2
18. En la figura 17 se tiene que AE  FB y AB // ED , AED = 100º, entonces el valor del
D
x es
fig.17
20º
A)
B)
C)
D)
E)
10º
15º
20º
30º
50º
E
C
F
A
4
x
B
19. Si los lados de un triángulo son números enteros, si dos de ellos miden 7 cm y 13 cm,
entonces su mayor perímetro es
A)
B)
C)
D)
E)
33
42
30
39
40
20. De acuerdo con la información de la figura 18, es FALSO que
D
A)
B)
C)
D)
E)
ACD = 100º
DAB = 90º
CAB > ADB
CB < AC
AC > DC
fig. 18
C
80º
50º
60º
A
B
21. En la figura 19, las rectas L1 y L2 no son perpendiculares. Entonces,  + 4 + 2 + 5 =
A)
180º
360º
B)
540º
C)
720º
D)
E) 1.080°


fig. 19


L1
L2
22. En el triángulo ABC de la figura 20, AE y CD son bisectrices de los ángulos CAB y
BCA, respectivamente. Entonces, el ángulo x mide
C
A)
B)
C)
D)
E)
168º
158º
146º
122º
112º
E
x
fig. 20
68º
A
D
B
23. En la figura 21, L1, L2, L3 y L4 son rectas tales que L3 // L4 y L3 es bisectriz del
ángulo obtuso formado por L1 y L2. La medida de x es
fig. 21
A)
B)
C)
D)
E)
20°
30°
50°
60°
70°
L3
2x
x + 30°
5
L1
L2
L4
24. En un triángulo ABC, uno de sus ángulos interiores mide 20º más que el otro, pero 35º
menos que el tercero. ¿Cuál es el complemento del menor?
A)
B)
C)
D)
E)
65º
55º
45º
35º
0º
25. En el triángulo ABC de la figura 22, EB es una recta, entonces el ángulo  es siempre
igual a
C
fig. 22

A) 2 + 
E
B) 2 – 

C)  + 
D) 2


E) 
A
B
D
26. ,  y  son los ángulos interiores de cierto triángulo. Si el doble de , menos  es igual
a 45º y  es igual al doble de , menos , entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El triángulo es rectángulo.
El triángulo es escaleno.
 + = 120º
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
27. ,  son ángulos suplementarios. Si  varía entre 139º y 162º, entonces ¿cuál es la
variación que experimentará el complemento de ?
A)
B)
C)
D)
E)
18º
25º
49º
52º
63º
y
y
y
y
y
41º
65º
72º
81º
89º
28. Si  +  = 15º y  +  = 32º (fig. 23), entonces el x es
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 23
124º
142º
360º
263º
236º
4
x
6
6
2
29. En el triángulo ABC de la figura 24, AM = AQ y BN = BQ. Si el ACB = 50º, entonces el
valor del x es
C
A) 50º
B) 55º
C) 65º
D) 130º
E) No se puede determinar.
M
fig. 24
N
x
Q
A
B
30. En la figura 25, se tiene AB = AC, AF = FC = CD y ABD = 78º, entonces el FDB mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
14º
19º
24º
26º
27º

C
E
A
fig.25
F
B
31. En la figura 26, L es una recta. Se puede determinar la medida del ángulo , si:
(1)  –  = 90º
(2)  = 3
A)
B)
C)
D)
E)
32.
fig. 26
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional

En la figura 27, L1 // L2, si:

L
(1)  +  = 180º
(2)  +  =  + 
A)
B)
C)
D)
E)
L
fig. 27

(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
 
L1
L2
7
33. Se puede determinar que el ABC de la figura 28 es isósceles, si:
C
1
ABC
2
(2) BAC = 2ACB
(1) ACB =
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 28
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
B
34. En la figura 29, AD // CE. Se puede determinar que AB es bisectriz del DAC, si:
(1) ACB rectángulo en C.
(2) DAB = 45º
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 29
A
D
C
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
B
E
35. En el PQR de la figura 30, RPQ = 50º y PSR= 60º, entonces, QS = SP, si:
(1) RPS + PQR = 50º
R
(2) RPS + QRP = 120º
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 30
S
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Q
P
RESPUESTAS
1.
C
6.
A
11. E
16. B
21. E
26. D
31. D
2.
E
7.
C
12. D
17. D
22. C
27. C
32. A
3.
B
8.
D
13. E
18. A
23. C
28. E
33. C
4.
D
9.
C
14. E
19. D
24. B
29. C
34. C
5.
A
10. C
15. D
20. E
25. E
30. E
35. A
8
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16
UNIDAD: GEOMETRÍA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,
de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean de igual medida.
C
AB  PQ
R
AC  PR
CB  RQ
ABC

PQR

A  P
B  Q
C  R
P
B
A
Q
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, LMN  HIJ, entonces los ángulos correspondientes a los MNL y NML,
respectivamente, son
A)
B)
C)
D)
E)
2.
JIH
IJH
IHJ
IJH
HIJ
y
y
y
y
y
IJH
JIH
JIH
IHJ
HJI
I
N
J
fig. 1
M
L
H
Los triángulos ABC y DEF de la figura 2, son escalenos y rectángulos en B y en F,
respectivamente. Si ABC  DFE, entonces ¿cuál de las opciones siguientes es
verdadera?
A) BC  DF
A
F
B) AC  FE
C) ABC = FDE
D) CAB = EDF
E)
DE  AB
fig. 2
E
D
B
C
3.
Los triángulos PQR y TNM de la figura 3, son escalenos. Si PQR  TNM, entonces
¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
M
R
A) PQ  TN
fig. 3
B) PR  TM
C) QR  NM
N
D) QRP  NMT
P
E) PQR  TMN
Q
T
4.
En la figura 4, si CAB  PRQ, entonces ¿cuál es el valor de x?
A) 4
B) 7
C) 12
D) 15
E) Falta información
C
10
Q
7
15
fig. 4
P
Dada la figura 5, se cumple que el ABC  PQR con AB = 3x + 2 y PQ = 5x – 8,
entonces ¿cuál es el valor de la medida del trazo PQ ?
A)
B)
C)
D)
E)
5
10
15
17
18
B
A
R
fig. 5
P
C
6.
R
B
A
5.
x+3
Q
Sean los triángulos RST y XWZ, de la figura 6, isósceles y congruentes en ese orden,
cuyas bases son RS y XW , respectivamente, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s)?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
TSR  ZXW
II)
STR  ZXW
III)
SRT  WZX
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
S
T
I
II
III
I y II
II y III
fig. 6
R
2
X
W
Z
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
C

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado.


A
C’
c
A’
C

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales.
A

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus
tres lados respectivamente iguales.

B A’
c
LLA>: Dos triángulos
son congruentes
cuando
tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de
esos lados respectivamente iguales.
c
b
A
C

c
c’
B’
C’
a
b
A
B’
b’
C

c’
C’
b



B
a’
b‘
B A’
b’
B A’
c’
C’

c’
B’
b<c
B’
EJEMPLOS
1.
Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. ¿En cuál(es) de
ellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
en
en
en
en
en
II)
III)
I
II
III
I y II
II y III
3
2.
¿Qué pareja(s) de triángulo(s) es (son) congruente(s)?
I)
II)
30º
10º
7
7
III)
15
5
30º
20º
5
150º
12
115º
30º
15
12
150º
150º
65º
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
En la figura 1, P, R, T y Q, R, S son colineales, para que el triángulo PQR sea
congruente con el triángulo STR en ese orden, debe cumplirse que
S
A) PRQ  SRT
P
B) PR = RS y PQ = ST
C) QR = RT y PR = RS
D) QPR  TSR
R
E) PQ = ST
4.
fig. 1
T
Q
En la figura 2, se tiene que PS = QS = RS, PQ = QR y SQR = 2 QSR, entonces el
S
x mide
fig.2
A) 144º
B) 108º
C) 90º
D) 72º
E) 36º
P
R
x
Q
5.
En la figura 3, G, C y F son colineales, BC  CD y AC  CE y BAC  DEC, ¿cuál(es)
de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
A
GC  FC
BAC  DEC
D
AB // DE
C
G
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
F
fig.3
B
4
E
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice a la línea que contiene al
lado opuesto.
C
ABC Obtusángulo
ABC Rectángulo
ABC Acutángulo
C
C
E
F
E
E
D
H
A
D
H = ORTOCENTRO
(punto de intersección
de las alturas)
F
B
A=H
B
A
B
H = ORTOCENTRO coincide con
el vértice recto del ABC
A=H
H = ORTOCENTRO
está fuera del ABC
obtusángulo
H
EJEMPLOS
1.
En el MNO de la figura 1, OP , MQ y RN son alturas. El ángulo MNO mide 40º,
entonces el ángulo PHQ mide
O
fig. 1
Q
A) 120º
B) 130º
H
C) 140º
R
D) 150º
N
E) ninguno de los anteriores.
M
2.
P
En el triángulo SRT de la figura 2, TH es altura,  = 100º y β = 140º. ¿Cuál es la
medida del ángulo x?
T 
A)
B)
C)
D)
E)
20º
30º
50º
60º
70º
fig. 2
x
β
S
5
H
R
3.
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 3, CD es altura. ¿Cuál es la medida del
ángulo x?
B
fig. 3
D
A) 140º
25°
x
B) 135º
C) 125º
D) 115º
40°
E) 100º
C
E
A
4.
En la figura 4, ABC rectángulo en C y BDE isósceles de base BD . ¿Cuál es el valor del
DBC?
D
A)
B)
C)
D)
E)
5.
40º
35º
30º
20º
15º
C
fig. 4
30°
A
B
E
En el triángulo RCQ de la figura 5, H es el ortocentro. Si RQC = 66º, entonces ¿cuánto
mide el RHC?
A)
B)
C)
D)
E)
C
94º
114º
118º
123º
124º
fig. 5
H
Q
R
6.
El triángulo GOL de la figura 6, es isósceles de base GO , IO y JG son alturas y
OLG = 40º. ¿Cuánto mide el IHJ?
L
fig. 6
40º
I
A) 140º
B) 120º
C) 100º
D) 70º
50º
E)
J
H
G
6
O
BISECTRIZ: Es el trazo que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.
C
 
E
F

A
OBSERVACIÓN:
I = INCENTRO (punto de
intersección de las bisectrices)
I



B
D
El incentro equidista de los lados del triángulo ID  IE  IF
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, ACB escaleno y CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuál es la medida del
ángulo ACB?
B
70º
10º
A)
20º
B)
50º
C)
60º
D)
E) 110º
2.
D
A
C
Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos
triángulos
A)
B)
C)
D)
E)
3.
fig. 1
60º
isósceles congruentes.
acutángulos congruentes.
isósceles acutángulos congruentes.
escalenos rectángulos congruentes.
isósceles rectángulos congruentes.
En el triángulo ABC, rectángulo en A, como muestra la figura 2, AE y CD son
bisectrices de los ángulos CAB y ACB respectivamente, entonces el ángulo x mide
C
A) 144º
B) 154º
C) 116º
D) 64º
36º
E)
E
fig. 2
x
128°
7
A
D
B
4.
En el triángulo ABC de la figura 3, I es el incentro. Si AIB = 100º, ¿cuánto mide el
ACB?
C
fig. 3
A)
B)
C)
D)
E)
20º
40º
50º
80º
Faltan datos para determinarlo
I
100°
A
5.
B
En el ABC, isósceles de base AB de la figura 4, el trazo DC es bisectriz del ACB. Si
CAB = 55º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
B
A) 40º
B) 60º
C) 75º
D) 90º
E) 105º
55º
A
6.
fig. 4
D x
C
En el RST de la figura 5. Si TH es altura, HP y SP son bisectrices del SHT y QST
respectivamente, entonces la medida del ángulo HPS es
T
A)
B)
C)
D)
E)
P
75º
55º
45º
30º
25º
60º
fig. 5
R
8
H
S
Q

Transversal de gravedad: Es el trazo que une el vértice con el punto medio del lado
opuesto. G es centro de gravedad (punto de intersección de estas)
C
F
C
E
G
A
ABC es rectángulo
D
en C y CD es
transversal
de
gravedad, entonces:
B
A
D
AD = BD = DC
B
CG
AG BG 2
=
=
=
GD
GE
GF
1
EJEMPLOS
1.
En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y CE  BE . La medida del
ángulo BCA es
A
A)
B)
C)
D)
E)
40º
70º
80º
90º
no se puede calcular.
70º
E
fig. 1
C
B
2.
En el ABC de la figura 2, si CM es transversal de gravedad y BCM = MBC = 30º,
entonces el BCA mide
C
fig. 2
A) 120º
B) 100º
C) 90º
D) 80º
60º
E)
A
9
M
B
3.
En el triángulo ABC, rectángulo en C de la figura 3, el trazo CD es transversal de
gravedad. Si CAD = 50º, entonces el ángulo DCB mide
A)
B)
C)
D)
E)
C
20º
25º
30º
40º
5º
fig. 3
A
4.
D
B
En figura 4, AE y BD son transversales de gravedad del ABC. Si AE = 18 cm y
BD = 15 cm, entonces DG + AG =
C
A)
B)
C)
D)
E)
22
17
16
24
11
cm
cm
cm
cm
cm
D
E
G
A
5.
fig. 4
B
En el triángulo ABC de la figura 5, D, E y F son puntos medios, si BP = 8 cm,
DP = 3 cm, AP = 10 cm, entonces CD + EP + FP =
A)
B)
C)
D)
E)
24
20
21
18
15
C
cm
cm
cm
cm
cm
F
A
10
P
D
fig. 5
E
B

SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del
triángulo.
C
O = CIRCUNCENTRO
(punto de intersección
de las simetrales)
O
A
OBSERVACIÓN:
B
El circuncentro equidista de los vértices del triángulo: AO  OC  OB
EJEMPLOS
1.
En el MNP de la figura 1, R Q es simetral del trazo MN , si MQ  NQ , la medida del x
es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
P
15º
70º
40º
50º
90º
fig. 1
Q
x
M
40º
R
En el MNO de la figura 2, EA y FB son simetrales, el ángulo OMN mide 40º y el
ángulo MNO mide 80º, entonces el ángulo ACB mide
O
A)
B)
C)
D)
E)
E
140º
130º
120º
110º
100º
F
fig. 2
C
N
B
A
M
3.
N
En la figura 3, el punto O es el circuncentro del ABC. Si OAB = 20º y COB = 70º,
entonces la medida del x es
A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 3
x
10º
15º
18º
20º
25º
70°
O
A
11
20°
B

MEDIANA: Es el segmento que une los puntos medios de cada lado del triángulo.
C
OBSERVACIONES
E
F
A
FE // AB y AB = 2 · FE
FD // BC y BC = 2 · FD
D
DE // AC y AC = 2 · DE
B
ADF  DBE  FEC  EFD
EJEMPLOS
1.
En el triángulo PQR de la figura 1, PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide el x?
A)
B)
C)
D)
E)
R
35º
45º
50º
55º
60º
E
55º
P
2.
fig. 1
x
D
Q
En el triángulo ABC de la figura 2, MN , NO y MO son medianas, entonces la suma de
las medidas de los ángulos MON y ONM es
B
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 2
140º
135º
130º
125º
120º
M
A
12
75º
50º
O
N
C
3.
En el ABC de la figura 3, los puntos D, E y F son puntos medios de los lados del
triángulo, entonces ¿cuál de los siguientes opciones corresponde al ángulo que es
congruente, con el FEC?
C
A) FED
fig. 3
B) EFD
E
F
C) FDE
D) BAC
E) BDE
4.
B
D
A
Si en el triángulo DEF rectángulo en F, como muestra la figura 4, MN es mediana.
¿Cuánto mide el ángulo NMD?
F
A) 40º
B) 100º
C) 120º
D) 130º
E) 140º
fig. 4
M
N
40°
D
5.
E
En la figura 5, el trazo DE es mediana del ABC y β –  = 60º, entonces el valor del
ángulo x es
C
fig. 5
x
A) 150º
B) 130º
C) 100º
D) 90º
E) 70º
D
A
13


150º
E
B
ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO

En todo triángulo isósceles no equilátero coinciden los elementos secundarios
correspondientes al lado distinto.
C
AC = BC
CD = hc = tc = b  = sc
AB  BC
A



D
B
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a
cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.
C
30°30°
F
E
G
30°
30°
A
30°
D
30°
B
EJEMPLOS
1.
En un triángulo isósceles ABC, de base AB , se traza la altura hc correspondiente al
vértice C. Si 2hc = AB, entonces se forman dos triángulos
A)
B)
C)
D)
E)
2.
equilátero congruentes.
escalenos rectángulos congruentes.
isósceles rectángulos congruentes.
acutángulos congruentes.
escalenos no congruentes.
En el triángulo equilátero ABC de la figura 1, E es el punto medio del trazo AB y BD es
bisectriz del ángulo ABC. ¿Cuánto vale el suplemento de (x + y)?
C
A) 150º
B) 120º
C) 90º
D) 60º
30º
E)
y
fig. 1
D
x
A
14
E
B
3.
En el ABC de la figura 2, AD es transversal gravedad y CAD  BAD. Entonces, la
medida del ángulo ADB es
C
fig. 2
A) 110º
B) 100º
C) 90º
D) 80º
60º
E)
D
A
4.
El triángulo ABC de la figura 3, es isósceles de base AB y CD  AB entonces,
¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) congruentes?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
C
ADE  BDE
AEC  BEC
ADC  BDC
fig. 3
E
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
A
D
B
En la figura 4, AP es bisectriz del CAB y el triángulo ABC es isósceles de base BC .
¿Cuál es la medida del CAB?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
B
C
fig. 4
3
45º
60º
65,5º
75,5º
90º
P
5
A
B
D
El ABC es isósceles de base AB (fig. 5). Si se trazan las alturas AD y BE , ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
C
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
BEC  ADC
ADB  ADC
BAE  ABD
fig. 5
I
II
III
I y II
I y III
15
E
D
A
B
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
B
D
E
C
D
A
3y4
C
D
C
D
E
5y6
C
B
D
C
B
A
7y8
B
D
C
A
D
D
9 y 10
D
C
D
B
D
11
D
C
B
12 y 13
B
C
B
D
D
14 y 15
C
E
C
E
A
Págs.
16
E
7
8
9
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 16
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
1.
Dos triángulos isósceles que tienen bases de igual longitud, son siempre congruentes
si
A)
B)
C)
D)
E)
2.
la altura de los 2 triángulos mide lo mismo.
sus ángulos basales son agudos.
el ortocentro de cada uno, queda en el interior del triángulo.
sus bases son de menor medida que sus lados congruentes.
los ángulos basales de ambos triángulos miden lo mismo.
En el triángulo ABC de la figura 1, BD es bisectriz del ABC. Si CAB = 70º y
BCA = 50º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
C
fig. 1
A) 30º
B) 50º
C) 60º
D) 70º
E) 100º
3.
D x
A
B
¿Cuál(es) de los siguientes par(es) de triángulo(s) es (son) siempre congruente(s)?
3
I)
4
5
II)
5
III)
53°
60°
8
10
5
60°
8
60°
8
6
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
37°
10
4.
En el triángulo ABC de la figura 2, rectángulo en C, CD es transversal de gravedad. Si
CAD = 60º, entonces el ángulo BCD mide
C
A)
B)
C)
D)
E)
5.
fig. 2
45º
40º
30º
25º
20º
A
B
D
Si en un triángulo ABC, isósceles y rectángulo en C, se traza CD  AB , entonces ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) BAC  BCD
B) ADC  BDC
C) AD  DB
D) AD  CA
E)
6.
AC  BC
En el ABC de la figura 3, ED y FE son medianas, entonces es FALSO
C
A)
B)
C)
D)
E)
7.
FEC
ADF
CFE
AEC
FDE





DBE
FEC
DEF
AEB
ECF
fig. 3
E
F
A
D
B
En la figura 4, los puntos A, B y D son colineales, ABC  DBE,  = 36º y CBE = 20º,
¿cuánto mide el DEB?
E
C
A) 20º
B) 36º
C) 64º
D) 108º
E) 116º
fig. 4

A
2
B
D
8.
El PQR de la figura 5, es isósceles de base PQ . Si el PRQ = 80º, PS bisectriz del
QPR y TQ es altura, entonces el valor de x es
R
fig. 5
A) 160º
B) 125º
C) 115º
D) 90º
40º
E)
9.
T
S
x
P
Q
En la figura 6, el ABC  AED, si BAF = 70º y CAF = 10º, entonces el AED es
A)
B)
C)
D)
E)
D
10º
45º
55º
70º
80º
fig. 6
C
E
F
A
B
10. En la figura 7, ABC rectángulo en C, trazo AD bisectriz del CAB y DB // AC ,
entonces si el ángulo BEA = 110º, el ángulo CBA mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
B
90º
70º
50º
40º
20º
E
fig. 7
110°
C
A
11. En el triángulo ABC, de la figura 8 es rectángulo en C y CD  AB , AE es bisectriz del
BAC. Si EFC = 57º, entonces la medida del ABC es
C
A)
B)
C)
D)
E)
24º
26º
28º
34º
57º
fig. 8
E
57°
F
x
B
3
D
A
12. En la figura 9, si el ángulo  = 60º, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
C
 y  son ángulos suplementarios.
1
= 
5
= – 3β
fig. 9

Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III


A
B
13. En el ABC de la figura 10, CAB = 12º y ABC = 132º. Si AD es bisectriz del EAB y
los puntos E, A y C son colineales, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es
verdadera?
C
A)
B)
C)
D)
E)
AD = BD
AD = AC
AD = AB
AB = BC
AB = BE
A
B
E
fig.10
10
D
14. En el ABC de la figura 11, BD y AD son bisectrices de ABC y EAC respectivamente.
Si ACB = , entonces ADB en función de  es
A)
B)
C)
D)
E)
C
D

2
α
2α
90º – α
ninguna de las anteriores.
E
4
A
fig. 11
B
15. En el triángulo ABC de la figura 12, el punto I es el incentro del ABC, si DAE = 25º y
AIE = 80º, entonces la medida del ángulo EBD es
A)
B)
C)
D)
E)
C
20º
23º
30º
37º
53º
D
fig. 12
I
A
E
B
16. En la figura 13, si el ABC es rectángulo en C y CD es altura, ¿cuáles de las
afirmaciones siguientes nos permiten asegurar que ADC  BDC?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
ABC isósceles.
AD  DC
C
fig. 13
D punto medio de AB .
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
A
D
B
17. Según la información de la figura 14, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I)
ACB  DFE
II)
III)
AB  EF
BCA  FED
C
10º
16
16
140º
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y III
II y III
A
15
5
F
B
30º
D
140º
E
fig. 14
18. Desde el vértice C del triángulo ABC de la figura 15, se han trazado la altura CD y la
bisectriz CE del ACB. Entonces, el DCE mide
C
fig. 15
A)
B)
C)
D)
E)
25º
20º
15º
10º
5º
30°
40°
A
D
E
B
19. El PQR de la figura 16, es rectángulo en P y ED es simetral del lado QR . Si
QRP = 70º, ¿cuál es la medida del EDP?
P
A)
B)
C)
D)
E)
70º
50º
30º
20º
10º
fig. 16
E
R
Q
D
20. En el ΔABC de la figura 17, AB  BC y el triángulo AEC es isósceles de base AC . Si
ACB = 15º y AD es bisectriz del BAE, entonces la medida del ADB es
A)
B)
C)
D)
E)
B
20º
30º
40º
50º
60º
fig. 17
D
E
A
C
21. El ABC de la figura 18, es equilátero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
C
EPD = 120º
fig. 18
P es punto medio de AB .
Si CE  CD , entonces EP  PD .
E
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
A
6
D
P
B
22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son
congruentes.
B) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes.
C) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos congruentes, son congruentes.
D) Si dos triángulos rectángulos tienen dos catetos congruentes, son congruentes.
E) Todas las anteriores son correctas.
23. En la figura 19, PTR  SVQ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
TR // VQ
II)
PR // SQ
III)
PT  SV
S

T
R


A)
B)
C)
D)
E)
Q
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
V
fig. 19

P
24. En el ABC de la figura 20, PQ y ST son alturas del APB y SCB respectivamente, Si
APQ  SCT, entonces la medida del x + y es
B
A) 40º
B) 50º
C) 60º
D) 80º
E) 100º
fig. 20
Q
T
x
A
80°
y
P
S
25. En el ABC de la figura 21, BC  AD y CD  DE , entonces 3 =
C

A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 21
E
75º
60º
45º
30º
15º
115º
B

D
A
7
26. En el ABC de la figura 22, AE y BD son alturas, M es punto medio de AB y el MDE
mide 70º. Entonces, la medida del DME es
A)
B)
C)
D)
E)
C
20º
30º
40º
50º
70º
fig. 22
E
D
A
M
B
27. En la figura 23, el ABC es rectángulo en C, DE es mediana, EF  BE y BAC = 20º. El
valor del x es
F
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 23
D
70º
40º
35º
55º
20º
x
B
28. El ABC de la figura 24,
BD
y
AE
A
E
son bisectrices de los CAB y ABC,
respectivamente. Si el ACB = , entonces el AFB es igual a
C
fig. 24

A) 90º – 
B) 180º – 2

C) 90º –
2

D) 90º +
2
E) 90º + 2
D
F
E
A
B
29. En la figura 25, se cumple que los APR  BQT, y que los ángulos en D y en C son
rectos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
ATD  BRC
DFA  CEB
GRT es isósceles
fig. 25
G
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
T
R
A
B
Q
P
H
E
8
F
30.
En la figura 26, ABCD es un rectángulo y EDC es un triángulo rectángulo en D. Se
puede determinar que el EDC  CBA, si:
E
(1) CD es altura del EAC.
fig. 26
(2) ED  DA
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
B
31. En el MNP de la figura 27, se puede afirmar que RON  ROP, si:
(1) R punto medio de NP .
P
fig. 27
(2) MOP equilátero.
R
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
M
N
O
32. En el triángulo PQR de la figura 28, S es punto medio de PQ . Se puede determinar que
el PQR es isósceles, si:
R

(1) RS  PQ
(2)   
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 28

P
S
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
55º
Q
9
33. En el ABC de la figura 29, se puede asegurar que ADF  CEF, si:
C
fig. 29
(1) CD  AB y AE  BC
(2) ABC es equilátero.
A)
B)
C)
D)
E)
E
F
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
B
D
34. En el ABC de la figura 30, se tiene que ADC  BEC. El DEC es equilátero, si:
(1) CAD = 30º
C
fig. 30
(2) ADC = 120º
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
D
E
B
35. El ABC de la figura 31 es rectángulo, si:
(1) CAB = ABC
(2) BFA = 135º; AD y BE son bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente.
A)
B)
C)
D)
E)
C
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
E
A
10
D
fig. 31
F
B
CLAVES
1. E
6. D
11. A
16. D
21. C
26. C
31. D
2. E
7. C
12. E
17. A
22. D
27. C
32. D
3. B
8. C
13. C
18. E
23. E
28. D
33. C
4. C
9. B
14. A
19. B
24. E
29. E
34. B
5. D
10. C
15. A
20. E
25. C
30. B
35. B
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 18
UNIDAD: GEOMETRÍA
POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS
POLÍGONOS
DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y
que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).
NOMBRE DE POLÍGONOS:
TRIÁNGULOS
CUADRILÁTERO
PENTÁGONO
HEXÁGONO
HEPTÁGONO
OCTÓGONO
DECÁGONO
ENDECAGONO
DODECÁGONO
ICOSAGONO
3 LADOS
4 LADOS
5 LADOS
6 LADOS
7 LADOS
8 LADOS
10 LADOS
11 LADOS
12 LADOS
20 LADOS
Observación: Para nombrar un polígono se combinan conceptos. (polígono de 15 lados es
pentadecágono, 20 lados es icoságono)
PROPIEDADES DE POLÍGONOS CONVEXO DE n LADOS:
Suma de los ángulos interiores = 180º · (n – 2)
Suma de los ángulos exteriores = 360º
Diagonales desde un vértice = n – 3
n(n  3)
Total de diagonales =
2
EJEMPLOS
1.
¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 7 lados?
A) 1.260º
B) 1.080º
900º
C)
720º
D)
360º
E)
2.
¿Cuántos lados tiene un polígono, cuyos ángulos interiores suman 720º?
A)
B)
C)
D)
E)
4
5
6
7
8
3.
El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un pentágono es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
¿Cuánto suman las medidas de los ángulos exteriores de un hexágono?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
1
2
3
4
5
90º
180º
360º
540º
720º
El total de diagonales de un heptágono es
A) 4
B) 7
C) 9
D) 14
E) 28
6.
Con los datos del polígono de la figura 1 y sabiendo que   , ¿cuál es el valor de
 + ?
A) 45º
B) 90º
C) 135º
D) 180º
E) 270º
7.


fig. 1
Si el total de diagonales de un polígono es 9, entonces el número de lados de dicho
polígono es
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
E) 14
2
POLÍGONO REGULAR
DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En
caso contrario se dice que es irregular.

a
=
a
180º (n  2)
n


a
a

 ’
a
Pentágono regular
a
a
a
a
a
360°
 =
n
a
a
a
a
a
a
a
Hexágono regular
Observaciones:
 Todo polígono regular es posible de inscribir en una circunferencia.
 Al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice, todos los ángulos que se
forman son congruentes.
EJEMPLOS
1.
¿Cuánto mide cada ángulo exterior de un polígono regular de 8 lados?
A) 45º
B) 80º
C) 135º
D) 180º
E) 225º
2.
¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
60º
120º
180º
240º
720º
¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 108º?
A)
B)
C)
D)
E)
4
5
6
7
8
3
4.
Si los ángulos exteriores de un polígono regular miden 36º cada uno, entonces el
número de lados del polígono es
A) 6
B) 9
C) 10
D) 12
E) 18
5.
En el hexágono regular de la figura 1, se trazaron las diagonales AB y CD . ¿Cuánto
mide el ángulo x?
B
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 90º
E) 120º
x
C
D
fig. 1
A
6.
Si  corresponde a la medida de cada ángulo exterior de un polígono regular, entonces
 no puede medir
A) 45º
B) 60º
C) 90º
D) 120º
E) 135º
7.
En el pentágono regular de la figura 2, ¿cuál es la medida del x?
A) 18º
B) 30º
C) 36º
D) 72º
E) 108º
x
fig. 2
4
CUADRILÁTERO
DEFINICIÓN
Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados.
CLASIFICACIÓN
Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides.
PROPIEDADES




La suma de los ángulos interiores es 360º.
La suma de los ángulos exteriores es 360º.
Número total de diagonales es 2.
Diagonales desde un vértice: 1.
EJEMPLOS
1.
En el cuadrilátero de la figura 1, el valor de  +  es
D

A) 220º
B) 140º
C) 110º
D) 80º
E) 60º
C
120º
fig. 1
100º
B

A
2.
En el cuadrilátero ABCD de la figura 2, la medida del x es
D
A) 50º
B) 60º
C) 90º
D) 100º
E) 120º
3.
C
120º
x
fig. 2
50º
A
B
En la figura 3, L1, L2, L3 y L4 son rectas donde L1 // L2. Entonces,  +  +  =
A)
B)
C)
D)
E)
100º
200º
260º
280º
360º
L1
L2
5
L3
L4


fig. 3

80º
4.
En el cuadrilátero ABCD de la figura 4, AB = BC y AD = BD = CD. Si CDB= 40º,
entonces DAB =
D
C
A) 35º
B) 40º
C) 70º
D) 90º
E) 140º
fig. 4
B
A
5.
En el cuadrilátero ABCD de la figura 5, ¿cuánto mide el ángulo exterior CBE?
D
4
A) 36º
B) 72º
C) 108º
D) 126º
E) 144º

fig. 5
2
3
B
A
6.
C
E
En el cuadrilátero de la figura 6, si  +  = , entonces  =
A) 30º
B) 50º
C) 55º
D) 70º
E) 105º


fig. 6
150º

7.
En la figura 7, L1, L2, L3 y L4 son rectas. Entonces, ¿cuánto mide el ángulo x?
L1
A) 30º
B) 40º
C) 50º
D) 80º
E) 100º
x
100º
50º
80º
L2
6
L4
L3
fig. 7
PARALELOGRAMO
DEFINICIÓN:
Paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos
paralelos.
CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
CUADRADO
RECTÁNGULO
a
NOMBRE
45º
45º
45º
a
45º
Lados opuestos
congruentes
Ángulos opuestos
congruentes
Ángulos contiguos
suplementarios
Las diagonales
se dimidian
Diagonales
perpendiculares
Diagonales
bisectrices
Diagonales
congruentes
a




45º
ROMBOIDE
a
a


a
45º
45º

a
45º
a
PROPIEDADES
ROMBO

a



b b
b

a


a



b

a






















EJEMPLOS
1.
¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo?
A)
50º
2.
B)
130º
130º
C)
50º
50º
130º
D)
50º
130º
130º
E)
130º
130º
50º
130º
50º
50º
En un cuadrado de vértices A, B, C, D y diagonales AC y BD , ¿cuál es el valor de la
suma del ángulo ABD con el ángulo BCD?
A) 45º
B) 90º
C) 135º
D) 145º
E) 180º
7
3.
En la figura 1, ABCD es rectángulo, AC y BD son diagonales. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
I)
DCA  BAC
II)
BDC  ADB
III)
ADB  CAD
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
D
C
E
I
II
I y II
I y III
II y III
fig. 1
B
A
En la figura 2, DEFG es un rombo. ¿Cuánto mide el ángulo x?
F
G
A) 22,5º
B) 67,5º
C) 90º
D) 112,5º
E) 122,5º
fig. 2
3x
x
D
5.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) necesariamente verdadera(s) en
un paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD ?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
E
Si AC  BD y AC  BD , entonces ABCD es un rombo.
Si AC  BD y AB = BC, entonces ABCD es un cuadrado.
Si AC  BD y AB  BC , entonces ABCD es un romboide.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
En el rectángulo ABCD de la figura 3, EB = BC y ECA = 10º. ¿Cuánto mide el
ángulo BMA?
D
A) 130º
B) 110º
C) 100º
D) 70º
E) 55º
C
M
A
8
E
fig. 3
B
TRAPECIO
Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos,
llamados bases.
DEFINICIÓN:
PROPIEDAD:
En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD ) son
suplementarios.
D
D

C
A
B
C


A
D

 +  = 180º
 +  = 180º

C



A
B
B
AB // CD
AB // CD
AB // CD
Trapecio Rectángulo
Trapecio Escaleno
Trapecio Isósceles
TRAPECIO ISÓSCELES
PROPIEDADES:



Además de la propiedad general de los trapecios, los isósceles tienen las
siguientes propiedades:
Diagonales congruentes.
Ángulos basales congruentes.
Ángulos opuestos suplementarios.
EJEMPLOS
1.
En el trapecio de la figura 1, AB // DC . Entonces, ¿cuál es la medida del ángulo ?
D
A)
B)
C)
D)
E)
2.
180º
140º
110º
100º
70º
A
y





B
AB // DC . Entonces, siempre es
verdadero que
A
B
A
C
B
fig. 1
70º
En el trapecio ABCD de la figura 2, A  B
A)
B)
C)
D)
E)
C

D
C
fig. 2
C
C
D
D
D
A
9
B
3.
En el trapecio ABCD de la figura 3, AB // CD y AD = BC. Si el ADC = 100º, entonces
el ABC mide
D
fig. 3
A) 50º
B) 60º
C) 70º
D) 80º
E) 100º
4.
A
B
En el trapecio ABCD de la figura 4, DC // AB , ADC = 120º y DAC = 20º. ¿Cuánto
mide el ángulo CAB?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
D
C
fig. 4
20º
30º
40º
50º
60º
B
A
En el trapecio ABCD de la figura 5, AD = DC = CB, AB // CD y ABC = 76º. ¿Cuánto
mide el ACD?
D
C
fig. 5
A) 36º
B) 38º
C) 54º
D) 66º
E) 104º
6.
C
B
A
En el trapecio ABCD de la figura 6, AB // DC y AD = BC. Si ADC = 2x + 10º y
ABC = x + 20º, entonces el ángulo DAB mide
D
A) 30º
B) 50º
C) 70º
D) 80º
E) 110º
7.
C
fig. 6
B
A
En el trapecio de la figura 7, AD  DC  BC y AB // DC . Si ACB = 60º, entonces el
ángulo ADC mide
D
A) 40º
B) 80º
C) 100º
D) 120º
E) 140º
C
fig. 7
A
10
B
TRAPEZOIDE
DEFINICIÓN:
CLASIFICACIÓN:
Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos.
Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos.
C
D
A
B
D
C
AB  AD y CD  CB
TRAPEZOIDE
B
A
TRAPEZOIDE
SIMÉTRICO (DELTOIDE)
PROPIEDADES DEL DELTOIDE (Unión de dos triángulos isósceles distintos con base común)



a
a
Diagonales perpendiculares.
Una diagonal es bisectriz.
La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral
de la otra diagonal.
ab
b
b
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un trapezoide simétrico?
A)
B)
120º
2.
80º
120º
130º
E)
40º
50º
40º
30º
120º
30º
150º
150º
20º
30º
¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un deltoide?
A)
B)
2
2
3
C)
3
2
3
3.
D)
C)
60º
2
D)
3
2
2
3
4
E)
2
2
3
2
4
4
5
En el deltoide ABCD de la figura 1, D  B. Entonces, se cumple que
A) A  C
3
C
D
B) A  B
B
C) A + B = 180º
fig. 1
D) AD  DC
E) AD  AB
A
11
4.
En el trapezoide ABCD de la figura 2, DCB = 100º, DAB = 40º, CDA = 3x + 30º y
C
ABC = x + 10º. ¿Cuánto mide el ángulo CDA?
A) 45º
B) 80º
C) 135º
D) 140º
E) 165º
5.
B
D
fig. 2
A
En la figura 3, DEFG es un deltoide con GD = DE y GF = EF. Si DEF = 130º y
GDE = 20º, entonces el ángulo FGE mide
A)
B)
C)
D)
E)
F
80º
75º
65º
55º
50º
G
E
fig. 3
D
6.
En un deltoide de vértices A, B, C
y
D, AC es bisectriz del BAD, entonces es
siempre verdadero que
A)
B)
C)
D)
E)
D = B
A > C
A < C
A = C
A = B
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
7
1y2
C
C
B
C
D
E
B
3y4
A
B
B
C
E
E
C
5y6
B
D
C
C
B
E
A
7y8
A
C
D
A
D
B
9 y 10
C
D
D
C
B
C
11 y 12
C
A
E
E
E
A
Págs.
12
C
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 18
POLÍGONOS - CUADRILÁTEROS
1.
En todo paralelogramo siempre se cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
2.
las
los
los
las
los
diagonales son congruentes.
ángulos opuestos son suplementarios.
ángulos consecutivos son suplementarios.
diagonales son bisectrices.
lados consecutivos son congruentes.
¿En cuál(es) de los siguientes paralelogramos, al trazar sus diagonales, se forman cuatro
triángulos congruentes entre sí?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Rombo.
Rectángulo.
Romboide.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
La figura 1, está formada por un rectángulo ABCD, un triángulo equilátero ABE y un
triángulo rectángulo isósceles, entonces la diferencia positiva entre los ángulos FBE y
DAE es
A) 165º
B) 150º
C) 45º
D) 30º
E) 15º
D
C
F
B
A
fig. 1
E
4.
En el trapecio ABCD de bases AB y CD de la figura 2, las bisectrices EC y ED de los
ángulos en C y en D, respectivamente, forman un ángulo x que mide
D
A) 124º
B) 118º
C) 62º
D) 56º
E) faltan datos
C
x
fig. 2
E
82º
42º
A
5.
ABCD es un cuadrado de lado 12 cm y EFGH es un cuadrilátero inscrito en el cuadrado de
la figura 3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
B
AEH y CFG son congruentes
DGH  BEF
D4G
4
HGF  GFE
F
H
fig. 3
7
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
A
E
B
7
En la figura 4, el cuadrado ABCD está formado por 9 cuadrados congruentes, ¿cuál de las
siguientes alternativas es FALSA?
D
A)
B)
C)
D)
E)
R
C
U
SRD  PSA
CQR  BPQ
PUS  RTQ
PQRS cuadrado
TQR  SDR
fig. 4
S
Q
T
A
7.
C
P
B
figura 5, ABCD es un rectángulo y el triángulo AEF es equilátero. Si
2
BCA = CDA, entonces el suplemento del ángulo AGF es
3
D
F
C
A) 0º
B) 30º
fig. 5
G
C) 45º
D) 60º
E) 90º
En
la
A
2
E
B
8.
En la figura 6, ABCD es un rombo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
9.
D
=
+=
 +  = 90º
C


Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
fig. 6

A
B
En el cuadrado ABCD (fig. 7). EF // AB y DE = DG. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
D
DEG = GEF
II)
CGE = 3DEG
III)
EFC = 2EGD
G
C
fig. 7
E
A)
B)
C)
D)
E)
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
F
A
B
10. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 60º?
A)
B)
C)
D)
E)
3
4
5
6
7
11. En el hexágono regular de la figura 8, ¿cuál es el valor del ángulo ?
A)
B)
C)
D)
E)
30º
45º
50º
60º
No se puede calcular
fig. 8

3
12. El pentágono de la figura 9, es regular. Entonces, ¿cuánto mide el ángulo ?
A) 108º
B) 72º
C) 60º
D) 54º
36º
E)

fig. 9
13. La figura 10, formada por un hexágono regular y un triángulo donde E, G y C son
colineales, al igual que los puntos C, F y D. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es
FALSA?
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 10
EDC equilátero
EGHA rombo
ABFG rectángulo
ABDE trapecio isósceles
ABDH romboide
G
F
D
E
H
A
14. En el triángulo ABC de la figura 11, AC // MN , NO // BC
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
y
BPON paralelogramo.
MCON paralelogramo.
BMN  PCO
B
OP // AB . ¿Cuál(es) de las
A
fig. 11
N
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
O
R
B
P
M
C
15. En la figura 12, ABCD es rombo y DAB = 40º, ¿cuál es la medida del x?
D
A) 110º
B) 100º
C) 90º
D) 80º
E) 70º
C
x
fig. 12
A
4
B
16. En el romboide ABCD de la figura 13, BG es bisectriz del ABC y EF // BC . ¿Cuál es la
medida del BHE?
D
G
C
F
100º
A) 100º
B) 80º
C) 50º
D) 30º
20º
E)
H
fig. 13
E
A
B
17. En la figura 14, DEFG es un cuadrilátero con GD  GF , GM = EM y DF  GE . Si
DEF = 130º y GDE = 20º, entonces el ángulo MFG mide
F
fig. 14
A)
B)
C)
D)
E)
40º
50º
65º
75º
80º
G
M
E
D
18. Si en el trapecio ABCD de la figura 15, AB // CD , AD = DC = CB y CDA = 100º,
entonces el ángulo x mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 15
20º
22,5º
30º
40º
faltan datos para determinarlo.
x
A
B
19. En el cuadrilátero ABCD de la figura 16, AB = AD. DAB = 50º, CDA = 150º y
bisectriz de los ángulos en A y en C. Entonces, x =
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
85º
75º
65º
55º
45º
x
B
A
5
fig. 16
AC
20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Existe un polígono regular cuya suma de ángulos interiores es 1080º.
El total de diagonales que se pueden trazar en un pentágono son 5.
Un pentágono regular tiene sus ángulos interiores de 108º.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
21. ABCDE es un pentágono regular (fig. 17), AD, BD y EC son diagonales. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
D
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
ADE  BDC
FGD  DCG
ECD  ADE
E
C
F G
fig. 17
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
A
B
22. La figura 18, está formada por cuatro rombos congruentes. Si los puntos D, K y C son
colineales, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
IKJ = 40º
F
HEK  IAK
IKA= 80º
H
D
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
A
6
G
K
J
I
E
110º
C
B
fig. 18
23. En la figura 19, el vértice A del cuadrado ABCD pertenece al lado EF del cuadrado EFGD.
Si DB es diagonal del cuadrado ABCD y EAD = 50º, entonces x =
D
A)
B)
C)
D)
E)
40º
45º
50º
75º
85º
C
G
fig. 19
x
50º
E
B
A
F
24. En la figura 20, PTR  SQV. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
S
SV // TP
Cuadrilátero TPVS es un paralelogramo.
TRS  VQP
T
A)
B)
C)
D)
E)
R
10º
V
50º
20º
Q
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
fig. 20
70º
P
25. En el triángulo ABC de la figura 21, ADEF es un rombo, AF = FC y ABEF es un trapecio
isósceles. ¿Cuál es la medida del x?
C
x
A)
B)
C)
D)
E)
90º
60º
50º
40º
No se puede calcular
fig. 21
F
E
A
D
B
26. En la figura 22, ABCD es trapecio isósceles con AB // CD , AC y DB son diagonales,
entonces es siempre verdadero que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
DAC  CBD
D
ABE  CDE
AED  BEC
C
fig. 22
E
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
A
7
B
27. En la figura 23, se tiene un octógono regular. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos
X e Y respectivamente?
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 23
30º y 60º
36º y 75º
45º y 75º
45º y 67,5º
22,5º y 67,5º
y
x
28. De la figura 24 se sabe que los ángulos ABC, BCF, FDE, DEA Y EAB miden 124º, 72º, 40º,
116º y 108º respectivamente. Entonces, el ángulo CFD mide
A
A) 50º
B) 65º
C) 80º
D) 100º
E) 110º
B
E
F
fig. 24
C
D
29. En la figura 25, QRST es un rombo donde TP  RQ y el ángulo TQR mide 40º. ¿Cuánto
mide el ángulo SPT?
R
Q
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 25
40º
35º
25º
20º
15º
T
S
P
30. En la figura 26, ABDE es un rombo, DE = DC y los ángulos DCB y BAE son congruentes y
miden  . Entonces, el ángulo BEC mide
E
A) 180º - 2
B) 45º - 

C) 90º 2
D) 90º - 
E) 180º - 
D
fig. 26
A
8
B
C
31. Se puede determinar que el paralelogramo ABCD, de la figura 27, es un rombo, si:
(1) AC  DB
D
C
(2) AC  DB
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 27
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
B
32. En la figura 28, P, T y R son puntos colineales. Se puede determinar la medida del ángulo
x, si se sabe que:
S
R
T
(1) PQRS y PMNT son cuadrados.
fig. 28
(2) PMN = NTP = 90º
A)
B)
C)
D)
E)
x
N
Q
P
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
M
33. El la figura 29, ABCD es un cuadrado y BD es diagonal. Se puede determinar siempre la
medida del DFC, si:
D
(1) CEB = 40º
F
(2) E punto cualquiera de AD .
A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 29
E
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
9
B
34. En la figura 30, ABCD es un rectángulo, OT // BC y AD = DT. Entonces, BTA = 90º, si:
(1) OT = OA
(2) DT = TC
A)
B)
C)
D)
E)
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
T
C
fig. 30
O
A
B
35. El ABC de la figura 31, es isósceles de base AB y ABED es paralelogramo. El DFC es
congruente con el EFB, si:
C
fig. 31
(1) F punto medio de DE .
(2) F punto medio de BC .
A)
B)
C)
D)
E)
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
10
F
B
E
CLAVES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
C
A
E
C
D
E
E
8. D
9. E
10. D
11. D
12. E
13. E
14. E
15. A
16. C
17. A
18. D
19. A
20. E
21. C
11
22. B
23. E
24. A
25. B
26. C
27. D
28. D
29. B
30. D
31. C
32. A
33. E
34. B
35. D
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 19
UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA:
RADIO:
Dado un punto O y una distancia r, se
llama circunferencia de centro O
y
radio r al conjunto de todos los puntos del
plano que están a la distancia r del
punto O.
0: Centro
r: Radio
r
O
1
C(O,r) =
(O,r)
Trazo cuyos extremos son el centro de la
D
circunferencia y un punto de ésta ( OA ).
CUERDA:
Trazo cuyos extremos son dos puntos de
DIÁMETRO:
cuerda
E
arco
diámetro
B
O
secante
una circunferencia ( DE ).
 (O,r)
P
Cuerda que contiene al centro de la
circunferencia ( BC ). Es la cuerda de
mayor longitud.
C
radio
T
A
Q
M
tangente
SECANTE:
Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)
TANGENTE:
Recta que intersecta a la circunferencia en un sólo punto (TM). T punto de
tangencia.
ARCO:
Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella
(arco CE). Se mide en sentido anti horario (grados positivos)
ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus
rayos son radios de la misma (EOD). Mide lo mismo que el arco que lo
contiene.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes opciones es FALSA?
A)
B)
C)
D)
El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio
La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro
En circunferencias congruentes los radios son congruentes
Al intersectarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del
centro
E) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia
1
2.
¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
En la circunferencia de centro O (fig. 1) de diámetro AB , el ángulo AOC mide 54o.
¿Cuál es la medida del ángulo BCO?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Una cuerda no puede pertenecer a una secante
Una cuerda puede pertenecer a una tangente
La tangente intersecta en más de un punto a la circunferencia
Los rayos de un ángulo del centro son cuerdas
El diámetro es una cuerda
C
17º
24º
27º
32º
No se puede determinar
B
fig. 1
O
A
Según los datos de la circunferencia de centro O de la figura 2,  +  es
A)
B)
C)
D)
E)
198º
168º
144º
132º
126º
fig. 2
A 39
o
O
 48o
C

B
5.
En la circunferencia de la figura 3, OD y OC son radios. ¿Cuál(es) de las siguientes
relaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
ODC = OCD
II)
AE  OE
III)
DE  CE
D
O
A
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
fig. 3
E
C
2
B
MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO
En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que
subtiende dicho arco.
D
arco DE = EOD = 
 O
E
ÁNGULO INSCRITO:
H
Es todo ángulo cuyo vértice es un punto
G
de la circunferencia y parte de sus rayos
son cuerdas de ésta (FHG).
F
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como
subtiende el mismo arco.
C

=
1

2
D

O

A
medida la mitad del arco que
O

O

B
A
A
B

E
B
O: centro de la circunferencia
EJEMPLOS
1.
En la circunferencia de centro O (fig. 1), AC es diámetro. Entonces, la medida de  es
A) 10º
B) 20º
C) 40º
D) 80º
E) 140º
C
O

A
20º
fig. 1
B
2.
En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 2, ¿cuánto mide el BCA?
A)
B)
C)
D)
E)
C
22º
34º
36º
44º
68º
fig. 2
O
68º
A
3
B
3.
En la circunferencia de centro O (fig. 3), se cumple que el arco BA es igual al arco DC y
el arco AED más el arco CB es igual a 3 veces el arco BA. Entonces, la medida del x
es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
C
B
45º
60º
72º
84º
90º
x
D
O
A
fig. 3
E
Según los datos entregados en la circunferencia de centro O de la figura 4, ¿cuánto
mide el ángulo ?
x
2x + 30°
A) 35º
B) 40º
C) 70º
D) 120º
E) 150º
5.
O

fig. 4
x + 50°
AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 5). Si BOA = 2COB,
entonces el CDB mide
D
A) 30º
B) 35º
C) 45º
D) 60º
E) 120º
6.
fig. 5
A
O
B
En la circunferencia de centro O de la figura 6,  +  = 90º. Entonces, la medida de 
es
A)
B)
C)
D)
E)
7.
C
E
15º
30º
45º
60º
75º

O

fig. 6
En la circunferencia de centro O de la figura 7, BOA = 70º y COB = 40º. ¿Cuánto
mide el ángulo ABC?
A)
B)
C)
D)
E)
140º
125º
120º
110º
95º
fig. 7
O
C
A
B
4
TEOREMA
TEOREMA
Todos los ángulos inscritos en una
circunferencia que subtienden un mismo arco
tienen igual medida.
En
todo
cuadrilátero
inscrito
en
circunferencia, los ángulos opuestos
suplementarios.
D




una
son
C
 +  = 180º
 +  = 180º
=


A
B
TEOREMA
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia
es recto.
La recta tangente a una circunferencia es
perpendicular al radio en el punto de
tangencia.
C
BCA = 90º
O: centro de la circunferencia
A
O
B
O
Q
r
P
TEOREMA
QP tangente en P  QP  OP
Dos cuerdas paralelas determinan arcos
congruentes. (Arco DA = Arco BC)
B
A
C
D
OBSERVACION:
Cuando
un
radio
es
perpendicular a una cuerda, se cumple que el
radio dimidia la cuerda y si un radio dimidia a
una cuerda, el radio es perpendicular a ella.
EJEMPLOS
1.
Si en la circunferencia de la figura 1,  +  +  = 90°, entonces la medida de  es
A)
B)
C)
D)
E)
2.

15º
30º
45º
60º
90º


P
fig. 1
Q
En la figura 2, TPQ = 140º y QRP = 15º. ¿Cuánto mide el PQT?
A)
B)
C)
D)
E)
T
15º
20º
25º
30º
35º
R
fig. 2
P
5
Q
3.
En la figura 3, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Entonces, x =
D
A)
30º
B)
65º
C) 115º
D) 130º
E) 230º
4.
30º
fig. 3
x
35º
A
B
En la figura 4, AC es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo
BCA?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
C
15º
25º
35º
55º
70º
O
A 55º
C
fig. 4
B
En la figura 5, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si  = 145° y
D
 =  – , entonces  es igual a

A)
B)
C)
D)
E)
6.
35º
45º
55º
60º
70º


C
B
En la circunferencia de centro O de la figura 6, PA y PB son tangentes en A y B,
respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
B
A)
25º
B)
50º
C)
65º
D) 100º
E) 130º
7.
fig. 5
A 
C
O
O
P
50º
A
fig. 6
En la figura 7, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el
OPT?
T
A)
B)
C)
D)
E)
10º
20º
30º
40º
50º
P
40º
O
fig. 7
6
ÁNGULO INTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA
El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forman por la intersección de dos
cuerdas, como se muestra en la figura 1, y su medida corresponde a la semisuma de los
arcos que subtiende.
A B
 =
arco BA + arco CD
2

fig. 1
C
D
ÁNGULO EXTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA
El ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia,
cuyos rayos pueden ser rectas tangentes o secantes a la misma, como se muestra en la
figura 2, y su medida corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende.
C
arco DC  arco AB
=
2
A
P
fig. 2

B
D
ÁNGULO SEMI INSCRITO
El ángulo semi-inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia, sus rayos lo
forman una cuerda AC y una recta L tangente en A, como se muestra en la figura 3, su
medida corresponde a la mitad del arco que subtiende.
C
fig. 3
arco AC
=
2

A
L
EJEMPLO
1.
En la circunferencia de la figura 4, la recta L es tangente en B, el ángulo DBC mide 50º
y el arco EB mide 140º, entonces el valor de x + y es
E
D
A) 70º
B) 80º
C) 90º
D) 100º
E) 120º
x
C
y
B
L
7
fig. 4
2.
AD y BC son cuerdas que se intersectan en E (fig. 5). Si el arco BA mide 60º y el arco
CD mide 100º, ¿cuánto mide el ángulo ?
A
A) 20º
B) 60º
C) 80º
D) 100º
E) 160º
3.
B
E

C
fig. 5
D
La recta L tangente a la circunferencia en el punto A (fig. 6). Si el triángulo ABC es
isósceles de base AB, entonces el ángulo DAC mide
B
A)
B)
C)
D)
E)
20º
25º
35º
40º
70º
40º
C
L
fig. 6
A
D
4.
En la circunferencia de la figura 7, ángulo CPA mide 40º, si el arco AC es el triple del
arco DB, entonces ¿cuánto suman los arcos CD y BA?
A
B
A) 40º
B) 80º
C) 120º
D) 160º
E) 200º
P
D
C
fig. 7
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1
2
3
4
5
1y2
E
E
C
B
A
3y4
C
A
C
D
5y6
B
C
C
C
7 <y 8
B
C
E
8
E
6
7
A
D
B
E
C
A
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 19
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
1.
En la circunferencia de centro O de la figura 1, AC y BD son diámetros. Si el ángulo
DOC mide 80º, entonces ¿cuánto mide el ángulo ABO?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
20º
30º
40º
45º
50º
D
C
O
fig. 1
B
A
A
En la figura 2, O es el centro de la circunferencia. Si ORQ = 36º
y ROP = 54º,
entonces ¿cuánto mide el RTP?
A)
63º
B)
72º
C) 108º
D) 117º
E) 144º
3.
O
Q
T
P
R
En la circunferencia de la figura 3, el ángulo ACD mide 10o y el arco BC mide 100º, la
medida del ángulo x es
C
A)
45º
B)
50º
C)
60º
D) 65º
E) 100º
4.
fig. 2
fig. 3
D
x
A
B
En la figura 4, BCA = 40º y CDB = 30º. ¿Cuánto mide el ABC?
A) 60º
B) 90º
C) 100º
D) 110º
E) 120º
C
40º
B
30º
D
fig. 4
A
5.
6.
En la figura 5, MQ es diámetro y TNQ = 16º. ¿Cuánto mide el MQT?
T
A) 74º
B) 64º
C) 45º
D) 32º
E) 16º
M
En la figura 6, O es el centro de la circunferencia. Si BE // CD
entonces ¿cuánto mide ?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
8.
9.
N
y
fig. 5
COA = 110º,
D
E
55º
110º
125º
135º
140º
Q

O
fig. 6
A
C
B
El arco BC es un cuarto de circunferencia con centro en A (fig. 7). Si BD  AB ,
entonces el ángulo CAD mide
C
D
A) 15º
fig. 7
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 75º
B
A
En la figura 8, la circunferencia tiene centro en O. La medida del ángulo x es
C
A) 12,25º
B) 12,5º
C) 25º
a O 50º
D
A
x
D) 37,5º
a
E) 50º
fig. 8
B
En la figura 9, la recta L es tangente en C a la circunferencia circunscrita al triángulo
ABC, el valor de  +  es
C
B
A) 70º


L
B) 90º
C) 100º
20o O
D) 120º
fig. 9
E) 140º
A
10. En la figura 10, ¿cuánto mide el ángulo inscrito ?
k + 30º
fig. 10
A) 28º
B) 40º
C) 55º
D) 80º
E) 110º
2k + 10º

2
k
11. En la circunferencia de centro O, de la figura 11, BCD = 125º. Entonces, el DAB
mide
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
45º
55º
60º
65º
75º
A
B
O
fig. 11
12. En la circunferencia de centro O (fig. 12), BOA = 2ABD. ¿Cuánto mide el ángulo
BCA?
A)
B)
C)
D)
E)
22,5º
30º
40º
45º
90º
O
C
D
fig. 12
A
B
13. Si en la circunferencia de centro O de la figura 13, el ángulo inscrito BCA mide 80º,
entonces ¿cuánto mide el ángulo ABO?
C
A)
B)
C)
D)
E)
10º
20º
25º
50º
70º
fig. 13
O
A
B
14. En la circunferencia de centro O y diámetro DB de la figura 14, ¿cuánto mide el ángulo
COA?
C
A)
B)
C)
D)
E)
70º
100º
120º
140º
160º
30º
D
B
O
fig. 14
40º
A
15. En la circunferencia de centro O de la figura 15, BAC + BDC = 80º. Entonces, el
BOC mide
A)
B)
C)
D)
E)
B
160º
80º
60º
40º
20º
A
C
O
D
fig. 15
3
16. O y O’ son los centros de las circunferencias de la figura 16. Si DAC = 40º, entonces
¿cuánto mide el ángulo ACD?
A)
B)
C)
D)
E)
D
10º
20º
25º
40º
50º
A
O
C
O
’
fig. 16
B
17. En la circunferencia de centro O de la figura 17, ¿cuánto mide el ángulo OPR?
R
A)
B)
C)
D)
E)
35º
40º
45º
50º
70º
fig. 17
70º
O
T
Q
P
18. En la circunferencia de centro O de la figura 18, CA , AB y CB son secantes. Si  = 80º
y  = 50º, entonces el ángulo x es igual a
C
A)
65º
B)
75º
C)
90º
D) 100º
E) 130º
fig. 18
O
x

B 
A
19. En la figura 19, CB // DA . Si el arco CD mide 80º, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
BCA = 40º
II)
BEA = 80º
III)
A)
B)
C)
D)
E)
C
arco DA = 100º
B
fig. 19
E
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
D
4
A
20. O es centro de la circunferencia de la figura 20, QOP = ROQ = SOR y RSO = 72º.
¿Cuánto mide el ángulo PTQ?
A)
B)
C)
D)
E)
T
54º
36º
35º
27º
18º
fig. 20
O
S
P
Q
R
21. En la circunferencia de centro O de la figura 21, ¿cuánto mide ?
A) 40º
B) 70º
C) 80º
D) 100º
E) 140º
Q
140º
P
R

O
fig. 21
22. En la circunferencia de centro O, de la figura 22, AB es diámetro y BCD = 130º.
Entonces, la medida del ángulo x es
A)
B)
C)
D)
E)
D
40º
50º
55º
65º
70º
C
x
A
O
B
fig. 22
23. En la figura 23, DE es tangente a la circunferencia de centro O, en D. ¿Cuál es el valor
del x?
A)
B)
C)
D)
E)
63º
36º
26º
18º
12º
A
O
E
x
126º
D
fig. 23
24. En el cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de la figura 24,  –  = 120º. Si

 = , ¿cuánto mide el ángulo x?
C
2

A) 30º
fig. 24
B) 75º
C) 105º
D x
D) 150º

E) 155º
B

A
5
25. En la circunferencia de centro O de la figura 25, AB es diámetro y arco CA  arco BD.
Si el arco CA mide 3m + 10º y el ángulo ADC mide 3m – 10º, entonces x + y =
A)
B)
C)
D)
E)
C
170º
160º
150º
140º
120º
y
D
x
A
B
O
fig. 25
26. En la circunferencia de centro O (fig. 26), AE // BD . Si el ángulo COD mide 140º,
entonces ¿cuánto mide el ángulo AEC?
A
A)
B)
C)
D)
E)
20º
30º
40º
50º
60º
E
B
O
D
C
fig. 26
27. En la circunsferencia de la figura 27, el cuadrilátero PQRS está inscrito. Si el QRS
mide 81º y el SPR mide 23º, entonces el RSQ mide
S
A)
B)
C)
D)
E)
38º
44º
57º
69º
76º
P
R
fig. 27
Q
28. Dadas dos circunferencias, la primera con centro en A y radio 3 cm y la segunda con
centro en B y radio 2 cm. Si la distancia AB es igual a 1 cm, entonces se puede
asegurar que las circunferencias son
A)
B)
C)
D)
E)
concéntricas.
tangentes exteriores.
tangentes interiores.
secantes.
interiores no tangentes.
6
29. De las siguientes proposiciones siempre es (son) verdadera(s)
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
En una circunferencia hay infinitas cuerdas de igual longitud.
Dos puntos de una circunferencia determinan dos arcos de distinta medida.
Dos angulos inscritos en una circunferencia miden lo mismo.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
30. En la circunferencia de centro O de la figura 28, AC es perpendicular con OD , el angulo
CED mide 108º, entonces el BAC mide
A)
B)
C)
D)
E)
18º
27º
36º
54º
72º
B
C
E
A
O
fig. 28
D
31. En la circunferencia de centro O de la figura 29, se puede conocer la medida de , si:
(1) BOA = 2
(2) ABO = 
A)
B)
C)
D)
E)

B
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
O
A
fig. 29
32. En la figura 30, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Se puede saber
la medida del CDA, si:
C
(1) BCD = 80º
(2) DAB = 100º
A)
B)
C)
D)
E)
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
O
B
fig. 30
A
7
33. En la circunferencia de centro O de la figura 31, AD y BC son diámetros. Se puede
conocer el valor del ángulo x, si:
A)
B)
C)
D)
E)
34.
D
C
(1) El arco CA mide 110º
(2) BCA + BDA = 70º
fig. 31
O
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
x
A
AB es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 32).
B
La medida del CBA se
puede determinar, si:
B
(1) AB = 2AC
(2) BOC = 2COA
A)
B)
C)
D)
E)
O
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 32
A
C
35. En la circunferencia de centro O de la figura 33, A y B son puntos de tangencia. Se
puede determinar la medida del BOA, si:
B
(1) PBO = OAP
(2) BOA = 3APB
A)
B)
C)
D)
E)
O
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
P
A
fig. 33
CLAVES
1.
2.
3.
4.
5.
E
A
C
D
A
6. C
7. B
8. B
9. E
10. C
11.
12.
13.
14.
15.
B
D
A
D
B
16.
17.
18.
19.
20.
8
C
D
D
C
E
21.
22.
23.
24.
25.
C
A
D
C
D
26.
27.
28.
29.
30.
C
E
C
A
B
31.
32.
33.
34.
35.
A
E
D
D
B
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 20
UNIDAD: GEOMETRÍA
PERÍMETROS Y ÁREAS
TEOREMA DE PITÁGORAS
c2
En todo triángulo rectángulo, la suma de
las áreas de los cuadrados construidos
sobre sus catetos, es igual al área del
cuadrado construido sobre su hipotenusa.
Tríos pitagóricos
a
b
c
3
4
5
5
12
13
8
15
17
b2
a2
a2 + b2 = c2
Triángulos Notables
a
a 2
a
2a
a 3
60º
a
a
a 5
a 10
a
2a
3a
EJEMPLOS
1.
En el triángulo rectángulo de la figura 1, la hipotenusa mide
A) 75
B) 90
C) 15 3
D) 30 5
E) 60 5
2.
C
60
fig. 1
30
B
A
¿Cuánto suman los tres lados del triángulo de la figura 2?
A)
8+4 3
fig. 2
B) 12 + 4 3
C) 16 + 2 3
D) 12 + 2 3
E) 16 + 4 3
60º
4
3.
La longitud de AB , en la figura 3, es
C
4 cm
B
2 cm
A) 2 3 cm
D
B) 2 5 cm
C) 2 6 cm
2 cm
fig. 3
D) 2 7 cm
E) 2 8 cm
4.
E
2 cm
A
En la figura 4, el triángulo ABC es rectángulo isósceles. Si la altura CD mide 5 cm,
entonces la hipotenusa AB mide
C
2 cm
A)
fig. 4
B)
5 2 cm
C) 10 2 cm
D) 10 cm
E) 20 cm
A
5.
D
B
En la figura 5, se tiene que AC = 15, BC = 17 y BD = 5. Entonces, la medida de AD
es
C
A) 4
17
B)
C) 5
D)
39
E) 6
fig. 5
A
B
D
6.
En la figura 6, ¿cuál es el valor de b?
4
3
B) 3
1
C)
3
D) 5
A)
E)
fig. 6
2 cm
5 cm
10 cm
a
5 cm
2 cm
60°
b
5
6 cm
3
2
a
Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados.
denotará por p.
El perímetro se
Área es la medida que le corresponde a toda la región poligonal. El área se denotará por A.
Nombre
Figura
a
d
a
Cuadrado
Perímetro
Área
a2
a
4a
d2
2
2a + 2b
ab
a
a
Rectángulo
b
b
a
a
Rombo
d1
h
a
h·a
a
d2
4a
d1  d2
2
2a + 2b
a · h1 = b · h2
a+b+c+d
a c
 2 h


a
a
Romboide
b
h2
h1
b
a
c
Trapecio
d
b
h
a
EJEMPLOS
1.
Si el área de un cuadrado es 289 cm2, entonces su perímetro mide
A)
B)
C)
D)
E)
2.
60
64
68
72
76
cm
cm
cm
cm
cm
Si el perímetro del rectángulo ABCD de la figura 1 es 4x y BC = x – y, entonces DC
mide
A) x + 2y
B) x – 2y
C) x – y
D) x + y
E) 2x
D
C
fig. 1
A
3
B
3.
Los vértices de una figura son A(3, 0); B(5, 3); C(3, 6) y D(1, 3). ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
¿Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden 7 y 8 cm?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
La figura resultante es un rombo.
Las diagonales están en la razón 2 : 3.
El área de la figura es 12.
27
28
42
56
60
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
En la figura 2, ABCD es un trapecio rectángulo. Si DC = 7 cm, AD = 6 cm y el ángulo
ABC mide 30°, entonces el perímetro y el área son, respectivamente
A) (42 + 18 3 ) cm y
B) (32 + 6 3 ) cm
6.
(32 + 6 3 ) cm2
D
y
(42 + 18 3 ) cm
C) (42 + 18 3 ) cm y
(42 + 6 3 ) cm2
D) (32 + 6 3 ) cm
y
(32 + 18 3 ) cm2
E) (32 + 2 3 ) cm
y
(42 + 18 3 ) cm2
C
fig. 2
2
B
A
En la figura 3, el cuadrado se ha dividido en 4 rectángulos congruentes entre sí, y cada
rectángulo tiene un perímetro de 50 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
A) 45
B) 50
C) 60
D) 80
E) 100
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 3
4
Nombre
Figura
Perímetro
Área
a+b+c
a  ha b  hb c  hc


2
2
2
s=semiperímetro
fórmula de Herón
C
b
ha
Triángulo
hc
A
hb
a
B
c
s=
a
Triángulo
Equilátero
a
a+b + c
2
A  s(s  a)(s  b)(s  c)
3a
a2 3
4
a+b+c
ab
c · hc
=
2
2
a
Triángulo
Rectángulo
b hc
c
a
EJEMPLO
1.
En el triángulo isósceles ABC de base AB de la figura 1, se sabe que AC = 17 cm;
AB = 16 cm y CD es altura. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ADC?
C
A)
B)
C)
D)
E)
10
20
30
40
50
fig. 1
cm
cm
cm
cm
cm
A
2.
D
B
El área y perímetro de la figura 2, respectivamente es
Área
A) 225 cm2
Perímetro
12(3 + 5 ) cm
B) 225 cm
2
15(3 +
5 ) cm
C) 225 cm
2
15(3 +
3 ) cm
D) 125 cm2
15(3 +
5 ) cm
2
45(1 +
5 ) cm
E) 225 cm
C
30
A
5
fig. 2
15
B
3.
En el rectángulo ABCD de la figura 3, AE = EB = BC = 5 cm.
perímetro del triángulo CEA?
¿Cuánto
D
4.
A)
5 (2 +
2 +
5 ) cm
B)
5 (1 +
3 +
5 ) cm
C)
5 (1 +
2 +
5 ) cm
D)
5 (3 +
2 +
5 ) cm
E)
5 (3 +
3 +
5 ) cm
C
M
A
mide el
E
fig. 3
B
En la figura 4 se muestra un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuál es el área de este
hexágono regular?
A)
9 3 cm2
B) 25 3 cm2
C) 36 3 cm2
fig. 4
D) 54 3 cm2
150
E)
3 cm2
4
5.
Si la base de un triángulo disminuye en su cuarta parte y su altura respectiva aumenta
en su cuarta parte, entonces el área del nuevo triángulo con respecto al original
A)
B)
C)
D)
E)
6.
6 cm
aumenta en 1/8.
disminuye en 1/8.
aumenta en 1/16.
disminuye en 1/16.
No se puede determinar.
¿Cuál es el área de un terreno triangular cuyos lados miden 50, 80 y 100?
A)
115  10  60  40
B)
220  10  60  40
C)
220  100  70  50
D)
110  100  70  50
E)
115  15  35  65
6
Nombre
Figura
Circunferencia y
Círculo
O
Sector circular
O
Perímetro
Área
D = 2r
r
r2
D Diámetro
Arco AB + 2r
  2r
Arco AB =
360º

A
B
  r
2
360º
EJEMPLOS
1.
En la figura 1. ¿Cuál es el área y el perímetro de una circunferencia de radio 10 cm?
Área
Perímetro
2
A)
25 cm
B)
50 cm2
C) 100 cm2
D) 100 cm2
E) 100 cm2
2.
 cm
5 cm
10 cm
20 cm
25 cm
O
10 cm
fig. 1
En la circunferencia de centro O de la figura 2, BC = 6 cm y el radio OB mide 5cm.
¿Cuál es el área de la región achurada?
C
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(24 − 25)
(48 − 25)
(10 − 24)
(25 − 24)
(25 − 48)
2
cm
cm2
cm2
cm2
cm2
A
O
B
fig. 2
En la figura 3 se muestra un cuadrado de lado 8 cm y una circunferencia inscrita. ¿Cuál
es el perímetro de la región achurada?
A)
B)
C)
D)
E)
32 cm
36 cm
(16 + 8) cm
(32 + 8) cm
(32 + 16) cm
fig. 3
7
4.
En la figura 4 se muestran dos circunferencias congruentes cuyos centros O1 y O2 se
encuentran separados 12cm. AB y CD son tangentes a las circunferencias cuyos
diámetros miden 2 cm. ¿Cuál es el área achurada de esta figura?
A)
B)
C)
D)
E)
(24
(24
(12
(12
(24
+
+
+
+
+
D
) cm2
2) cm2
) cm2
2) cm2
4) cm2
C
O1
O2
A
5.
(24
(24
(12
(12
(24
+
+
+
+
+
) cm
2) cm
) cm
2) cm
4) cm
La figura 5, muestra un cuadrado de lado 8 y una circunferencia inscrita en él. ¿Cuál es
el área y el perímetro de la región achurada?
Área
A)
B)
C)
D)
E)
7.
B
¿Cuál es el perímetro de la región achurada del ejemplo anterior?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
fig. 4
Perímetro
2
4 – ) cm
(16 – 4) cm2
(16 – 4) cm2
(48 – 12) cm2
(48 – 12) cm2
(
( 4 + 2) cm
(16
(16
(16
(24
fig. 5
– 4) cm
+ 4) cm
– 4) cm
+ 6) cm
En la figura 6 se tiene una semicircunferencia de centro O y radio 20 cm. Si los arcos
BO y OA son semicircunferencia. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada?
A)
B)
C)
D)
E)
10 cm
20 cm
40 cm
(40 + 20) cm
(40 + 40) cm
fig. 6
A
8
20 cm
O
B
FIGURAS EQUIVALENTES
Son aquellas que tienen igual área.
C
En todo triángulo:

D
A1
Cada transversal de gravedad
lo divide en dos triángulos
equivalentes.
D es el punto medio de BC
A1 = A 2
A2
A
B
C
A5 A
4
F


Las tres transversales lo dividen
en seis triángulos equivalentes.
Todos los triángulos que tienen
igual
base
y
altura
son
equivalentes
G
A6
A1
A
A2
E
D, E, F puntos medios
A3
A 1 = A 2 = A 3 = A4 = A5 = A6
D
B
A 1 = A 2 = A3
L1
A2
A1
L1 // L2
A3
b
A1
A2
b
A3
L2
b
b
C

Las medianas generan cuatro
triángulos congruentes y por
consecuencia equivalentes.
I
F
II
A
III
I, II, III, IV
son
congruentes
E
IV
B
D
EJEMPLOS
1.
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 1, AD = DE = EB. Si AB = 10 cm y
AC = 6 cm, ¿cuánto mide el área del triángulo DBC?
C
A)
B)
C)
D)
E)
2
8 cm
16 cm2
20 cm2
24 cm2
48 cm2
fig. 1
A
9
D
E
B
CUADRILÁTEROS
D
En todo paralelogramo:

C
A1
Al trazar las diagonales se
forman
cuatro
triángulos
equivalentes.
A4
A2
B
A
E
D

A1 = A2 = A3 = A4
A3
C
El área del paralelogramo es
el
doble
del
área
del
triangulo
(Triángulo formado por un lado
del paralelogramo y un punto
cualquiera del lado opuesto)
A(#ABCD) = 2 · A(ABC)
A
B
En todo Cuadrilátero de diagonales perpendiculares:

El área del cuadrilátero es el
semiproducto de sus diagonales.
D1
(Cuadrados, Rombos y Deltoides)
D2
A=
D1  D2
2
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, DEFG es un rombo de perímetro 40 cm. ¿Cuál es el área del rombo?
A)
25 3 cm2
B)
40 3 cm2
C)
50 3 cm2
G
F
fig. 1
D) 100 3 cm2
2x
E) 150 3 cm2
D
10
x
E
2.
En el cuadrilátero ABCD de la figura 2, las diagonales miden 10 y 12 cm. ¿Cuál es el
área de este cuadrilátero?
B
A)
B)
C)
D)
E)
18
27
36
45
60
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
A
C
fig. 2
D
3.
En la figura 3, E es punto medio de BC, L1 // L2, AD = 4 cm, DE = 5 cm y EA = 7 cm.
¿Cuál es el área del cuadrilátero ABCD?
A)
4 6 cm2
B)
2
D
C
8 6 cm
C) 10 6 cm2
D) 12 6 cm
fig. 3
E
2
E) 15 6 cm2
4.
L1
L2
B
A
El triángulo ABC de la figura 4 es equilátero de lado 2 cm, G es baricentro. ¿Cuál es el
área del cuadrilátero ABCG?
C
A) 6 cm2
B) 9 3 cm2
C) 4 3 cm2
F
D) 2 3 cm2
2
E)
3 cm2
3
5.
A
G
D
fig. 4
E
B
En la figura 5, ABCD es un rectángulo de lados 4 cm y 7 cm. ¿Cuál es el área de la
región achurada?
A)
B)
C)
D)
E)
14
28
36
45
60
D
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
C
fig. 5
G
A
11
B
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
7
2
4
6
8
D
C
D
D
B
C
B
D
B
D
D
E
C
D
D
B
D
A
D
B
D
B
E
D
E
E
C
E
B
E
A
Págs.
1
3
5
7
y
y
y
y
9
10 y
11
12
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 20
PERÍMETROS Y ÁREAS
1.
El perímetro de la figura 1, es
6 cm
A)
B)
C)
D)
E)
2.
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 1
24 cm
8 cm
En la figura 2, triangulo ABC rectángulo en C. D es punto medio de AB. ¿Cuál es la suma
de todos los trazos de la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
15
19
32
37
64
24
29
30
33
34
C
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 2
8 cm
6 cm
A
D
B
El logo del metro (fig. 3) está formado por tres rombos congruentes de diagonales que
miden 0,6 y 0,8 m. Se desea pintar este logo sobre un mural rectangular de 2,6 m de
largo por 1 m de ancho. Si el logo debe ser pintado de rojo y el fondo del mural de color
blanco, entonces las medidas de las superficies que se deben pintar son
A)
B)
C)
D)
E)
Rojo
Blanco
1,88 m2
0,72 m2
1,44 m2
0,24 m2
2,36 m2
0,72
1,88
1,16
2,36
0,24
m2
m2
m2
m2
m2
fig. 3
4.
En la figura 4, ABCD es un cuadrado, AC es diagonal y mide 6 2 cm. Si F y G son
puntos medios, entonces ¿cuál es el perímetro del trapecio AFGC?
A)
B)
(6 +
D
2 ) cm
C
fig. 4
(6 + 9 2 ) cm
C) (12 + 2 2 ) cm
D) (12 + 6 2 ) cm
G
E) (12 + 9 2 ) cm
A
5.
12 cm2
12,5 cm2
13 cm2
13,5 cm2
18 cm2
En la figura 5, el perímetro del rectángulo ABCD es 60 cm y EBCF es un cuadrado de
área 16 cm2. ¿Cuánto mide el área del rectángulo ABCD?
A)
B)
C)
D)
E)
D
60 cm2
88 cm2
104 cm2
108 cm2
120 cm2
F
C
fig. 5
A
7.
B
¿Cual es el área de la región achurada del ejercicio anterior?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
F
E
B
La figura 6, está formada por cuatro cuadrados congruentes. Si cada uno de los
triángulos achurados tiene un área de 12 mm 2, ¿cuál es el área total de la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
24
36
48
60
96
mm2
mm2
mm2
mm2
mm2
fig. 6
2
8.
En la figura 7, el cuadrado DEFG tiene igual área que el rectángulo ABCD de lados 3 cm
y 12 cm. ¿Cuál es la medida de GB ?
G
F
A)
B)
C)
D)
E)
54
36
12
20
15
cm
cm
2 cm
cm
cm
fig. 7
C
D
E
3 cm
A
9.
B
12 cm
En el cuadrado ABCD que muestra la figura 8 se ha dibujado un triángulo equilátero ABE
de altura 4 3 cm. Entonces, el perímetro del cuadrado es
D
A)
B)
C)
D)
E)
64
32
24
16
12
cm
cm
cm
cm
cm
C
E
A
fig. 8
B
10. ABCD es un cuadrado que tiene un perímetro de 48 cm (fig. 9). Si AE = 13 cm, ¿cuál es
la medida del área del trapecio ABCE?
D
E
C
fig. 9
A) 30 cm2
B) 44 cm2
C) 84 cm2
D) 114 cm2
E) 144 cm2
A
B
11. La figura 10, muestra cuatro triángulos rectángulos escalenos congruentes entre sí. Si
se unen como piezas de un puzzle, ¿cuál(es) de las siguientes figuras es (son) siempre
posible(s) formar?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Un rectángulo.
Un rombo.
Un cuadrado.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
fig. 10
3
12
La figura 11 está formada por 36 cuadrados congruentes de perímetro 8 cm cada uno.
¿Cuál es el área de la región achurada?
fig. 11
A) 18
B) 32
C) 72
D) 80
E) 144
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
13. En la figura 12, el cuadrado PQRS está formado por el rectángulo A y por los triángulos
isósceles rectángulos congruentes B, C, D y E. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones
corresponde(n) a un área equivalente a las tres cuartas partes del área del cuadrado?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
A+B+C
2(B + C + D + E)
A
+ 2D + 2E
2
S
R
B
C
A
A
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
D
P
fig. 12
E
Q
14. Si en el rombo ABCD de la figura 13, AB = 13 cm y DE = 12 cm, entonces ¿cuál es el
perímetro del trapecio EBCD?
D
A)
B)
C)
D)
E)
40
41
46
50
52
cm
cm
cm
cm
cm
C
fig. 13
A
E
B
15. En la figura 14, D y E son puntos medios y el área del triángulo AED es 15 cm 2. ¿Cuál es
el área del triangulo ABC?
A)
B)
C)
D)
E)
20
25
30
45
60
C
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
fig. 14
D
4
A
E
B
16. En la figura 15 ABCDEF es hexágono regular, la diagonal AD mide 4 3 cm, ¿cuánto
mide el área de la región achurada?
9 3
2
3 3
B)
4
3 3
C)
2
D) 9 3
A)
cm2
E
D
fig. 15
cm2
F
cm2
C
cm2
A
E) 6 3 cm2
B
17. ¿Qué significa que dos figuras sean equivalentes?
A)
B)
C)
D)
E)
Que
Que
Que
Que
Que
tienen igual área.
tienen igual perímetro.
sus lados son proporcionales.
sus tres lados respectivos miden lo mismo.
sus tres ángulos respectivos miden lo mismo.
18. El hexágono regular de la figura 16, está formado por la intersección de dos triángulos
equiláteros congruentes de lado 6 cm. ¿Cuál es el área de la figura total?
A)
B)
C)
D)
E)
19.
6 3 cm2
12
12
24
48
3 cm2
cm2
cm2
cm2
fig. 16
¿Cuál es el perímetro de la figura 16?
A)
B)
C)
D)
E)
20
22
24
26
36
cm
cm
cm
cm
cm
5
20.
Se muestran tres cuadrados congruentes, cada uno ha sido dividido en cuatro
cuadrados congruentes con sus respectivos arcos de circunferencia. ¿Cuál es el orden
creciente de los perimetros de las regiones achuradas?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
II)
III)
II, I, III
III, I, II
II, III, I
I, II , III
I, III, II
21. ABCD es un rombo de lado 10 cm. Si se ha dividido en rombos congruentes como
muestra la figura 17 y la diagonal AC mide 16 cm, entonces, el área de la región
achurada es
D
A)
B)
C)
D)
E)
27
42
54
48
96
C
2
cm
cm2
cm2
cm2
cm2
fig. 17
B
A
22. En la figura 18, ABCD es un rectángulo y M es un punto cualquiera de DC . Entonces,
¿cuál es la mitad del área de la región achurada?
A)
B)
C)
D)
E)
1
ab
8
1
ab
4
1
ab
2
3
ab
4
ab
M
D
C
fig. 18
b
B
A
a
6
23. En el rectángulo ABCD de la figura 19, AB = x cm y BC = y cm. Si en cada esquina hay
un cuadrado de lado z cm, ¿cuánto mide el área de la región achurada?
A)
B)
C)
D)
E)
(x
(x
(x
(x
(x
·
·
·
·
·
y
y
y
y
y
−
−
−
−
+
D
z2) cm2
4z2) cm2
4z) cm2
2z2) cm2
4z2) cm2
C
fig. 19
A
B
24. Si en un cuadrado de lado L, cada lado aumenta en un 50%, entonces la nueva área es
A)
B)
C)
D)
E)
1,25
1,50
2,25
2,75
3,25
L2
L2
L2
L2
L2
25. En la circunferencia de la figura 20, el radio mide 12 cm. ¿Cuál es la longitud del arco
CD?
C
A) 4 cm
B) 8 cm
C) 12 cm
D) 24 cm
E) 48 cm
30º
fig. 20
D
26. En el triángulo equilátero ABC de lado 16 cm de la figura 21, se trazan las medianas. Si
en el triángulo resultante se trazan nuevamente las medianas, entonces ¿cuánto mide el
área de la región achurada?
C
fig. 21
A) 48 3 cm2
B) 24 3 cm2
F
C) 16 3 cm2
E
D) 12 3 cm2
E)
4 3 cm2
A
7
D
B
27. En la figura 22, CH es altura del triángulo equilátero ABC, BP es a PC como 1 es a 2 y
área AHQ
Q es la intersección de los trazos AP y CH . EL valor de
es
área ABC
3
12
1
B)
10
1
C)
8
1
D)
6
1
E)
12
A)
C
fig. 22
P
Q
A
H
B
Fuente: DEMRE, PSU 2012, pregunta N° 52
28. ABCD es un cuadrado de lado 4 2 cm y M, N, P, Q son puntos medios de sus lados
(fig. 23). ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo MNRS?
S
D
A)
B)
C)
D)
E)
16
18
20
22
24
cm
cm
cm
cm
cm
C
R
M
P
A
29.
Q
N
fig. 23
B
En la figura 24, las tres circunferencias son concéntricas, con centro en O. Si
OA = AB = BC = 2 cm, entonces el área de la región achurada es
A)
B)
C)
D)
E)
6
4
3
2

cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
fig. 24
60º
O
A
B
C
8
30.
Las siguientes figuras están construidas a partir de un cuadrado de lado a (a > 9). ¿En
cuál(es) de ellas se verifica que el área de la región achurada es a2 – 9?
I)
II)
III)
a
a
a
1
a–3
a
a
a
9
3
3
a–1
A)
B)
C)
D)
E)
a–4
Solo en I
Solo en I y en II
Solo en I y en III
Solo en II y en III
En I, en II y en III
31. En el triángulo ABC de la figura 25, AC  CB
puede determinar, si:
y
CD  AB . El perímetro del ADC se
C
(1) AC = 10 cm y AB = 12 cm
fig. 25
(2) CD = 8 cm y AD = DB = 6 cm
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
D
B
32. Se puede determinar el área del rombo de la figura 26, si:
(1) AC = 8 cm y BC = 5 cm
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C
D
(2) DB = 6 cm y el perímetro del rombo ABCD mide 20 cm.
fig. 26
A
9
B
33. G es un punto del interior del rectángulo ABCD de la figura 27. Se puede saber la
medida del perímetro de la región achurada, si:
D
(1) AB = 18 cm y BC = 6cm.
C
(2) G es la intersección de las diagonales.
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 27
G
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
B
34. La figura 28, muestra una circunferencia de centro O y un trapecio isósceles OABC. Se
puede determinar el área de la región achurada, si:
(1) COD = 60º y CB = 6 cm
C
(2) D punto medio de OA y OC  CB .
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
O
B
fig. 28
A
D
35. En la figura 29, ABC  A'B'C', ambos son triángulos equiláteros y el polígono achurado
es un hexágono regular. Es posible obtener el área del hexágono achurado, si se conoce
la medida del segmento:
C
(1) AB
C'
B'
(2) AB'
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 29
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
B
A'
Fuente: DEMRE, PSU 2012, pregunta N° 69
10
CLAVES
1. E
6. C
11. D
16. D
21. C
26. D
31. D
2. B
7. E
12. C
17. A
22. B
27. B
32. D
3. B
8. E
13. C
18. B
23. B
28. C
33. C
4. B
9. B
14. C
19. C
24. C
29. A
34. C
5. D
10. D
15. E
20. A
25. A
30. E
35. D
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 21
UNIDAD: ÁLGEBRA
ISOMETRÍAS
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas
rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares y el punto de intersección se considera
como origen.
y
Eje de las Ordenadas
6
II
Cuadrante
I
Cuadrante
5
4
A
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
C
III
Cuadrante
B
1
2 3 4 5 6
x
Eje de las Abscisas
-2
-3
-4
-5
IV
Cuadrante
-6
OBSERVACIONES



Los puntos destacados en la figura son; A (4, 4), B (0, 0) y C (-5, -3)
Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x, 0).
Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, y).
EJEMPLOS
1.
El punto (3,-3) se encuentra ubicado en
A)
B)
C)
D)
E)
el
el
el
el
el
primer cuadrante.
segundo cuadrante.
cuarto cuadrante.
tercer cuadrante.
eje de las abscisas.
2.
Si a y b son números enteros, de modo que a > b, entonces el punto D, cuyas
coordenadas son (a – b, b – a), se ubica en
A)
B)
C)
D)
E)
3.
cuadrado.
rombo.
rectángulo.
romboide.
trapecio.
Si los puntos (-3, 0), (0, 4) y (0, 0) son vértices de un rectángulo, entonces el vértice
que falta es el punto
A)
B)
C)
D)
E)
5.
primer cuadrante.
segundo cuadrante.
tercer cuadrante.
cuarto cuadrante.
origen del sistema.
Al unir los puntos del plano (3, 0), (0, 3), (3, 3) y (0, 0) el cuadrilátero que se forma es
un
A)
B)
C)
D)
E)
4.
el
el
el
el
el
(3, 4)
(-3, -4)
(-3, 4)
(3, -4)
(0, -4)
En el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (-5, 3), (4, 3), (2, 5) y (-3, 5) se traza
el segmento cuyos extremos son los puntos A(3, 4) y B(-4, 4). Entonces, AB corresponde
a una
A)
B)
C)
D)
E)
transversal de gravedad.
altura.
mediana.
bisectriz.
simetral.
2
ISOMETRÍA
Se llaman transformaciones isométricas en el plano o isometrías en el plano, a aquellas
funciones que se aplican a todos los puntos del plano, y que una vez aplicadas a los puntos de
una figura F, la figura resultante F’ conserva todas las dimensiones, tanto lineales como
angulares, de la figura primitiva F. Las isometrías más importantes son: Las traslaciones,
las rotaciones y las simetrías.
TRASLACIONES
Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los
puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada dirección,
sentido y distancia, por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama su “vector
de traslación”. Al ABC de la figura 1 se le aplicó el vector traslación t obteniéndose el
A’B’C’.
C
t
B
A
OBSERVACIONES
Una figura conserva



C’
t
B’
fig. 1
t
A’
todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares.
Una figura jamás rota; es decir, el ángulo que forma con la horizontal no varía.
No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en
una única.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de los siguientes casos representa(n) una traslación?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
II)
III)
I
II
III
I y II
I y III
En la figura 2, para trasladar el punto A al punto B se aplicó el vector de traslación
y
A)
B)
C)
D)
E)
A
3
T(-5, -1)
T(-4, -9)
T(-9, -4)
T(-4, 9)
T(9, 4)
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
B
3
fig. 2
1
2
3
4
5
x
3.
En la figura 3, ¿cuál es el
para obtener el triángulo B?
vector
de
traslación
que
se
aplicó al triángulo A
8
A)
B)
C)
D)
E)
(8, -4)
(8, 4)
(4, -10)
(10, 4)
(10, -4)
7
A
6
5
4
3
2
B
1
0
1
2
3
4
5
6
8
7
9
10 11
12 13 14
15 16
fig. 3
4.
Al aplicar el vector traslación T(3,-3) a los vértices del triángulo ABC de la figura 4,
resulta A1, B1, C1, de coordenadas
y
C
4
A)
B)
C)
D)
E)
5.
A1(-2, 6);
A1(6, -2);
A1(9, -3);
A1(6, -2);
A1(0, -4);
3
B1(-2, 11); C1(1, 10)
B1(11, -2); C1(4, 7)
B1(24, -3); C1(21, -12)
B1(11, -2); C1(10, 1)
B1(-5, -4); C1(-4, -7)
2
1
-1
-1
A
1
2
3
B
4
5
6
7
8
fig. 4
x
9
En la figura 5, A ha sido trasladada para obtener la figura B. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
El vector de traslación es T(-7, 3).
Las figuras A y B tienen áreas distintas.
Al aplicar a la figura A el vector de traslación T1(-1, -6) y a continuación
aplicar el vector de traslación T2(-6, 9), se obtiene la figura B.
y
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
10
9
8
7
6
fig. 5
5
B
4
3
2
A
1
1
4
2
3 4 5
6
7 8 9 10 11 12 13
x
ROTACIONES
Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del plano. Cada
punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo bien determinados, por lo que
toda rotación queda definida por su centro de rotación y por su ángulo de giro. Si la
rotación se efectúa en sentido contrario a como giran las manecillas del reloj, se dice que la
rotación es positiva o antihoraria; en caso contrario, se dice que la rotación es negativa u
horaria.
Al punto P de la figura 1, se le aplicó una rotación de centro O y ángulo de giro ,
obteniéndose el punto P`.
P`

P
fig. 1
O
OBSERVACIONES
 Una rotación
con centro O y ángulo de giro , se representa por R (O, ). Si la rotación es
negativa, se representa por R (O, - ).
 El centro de rotación se mantiene invariante ante una rotación.
 Si rotamos el punto (x, y) con respecto al origen O(0, 0) en un ángulo de giro de 90º,
180º, 270º ó 360º, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente
tabla.
Punto Inicial
( x, y )
R (0, 90º)
( -y, x )
R (0, 180º)
( -x, -y )
R (0, 270º)
( y , -x )
R (0, 360º)
(x,y)
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes alternativas representa una rotación de la figura 2 en 45º con
centro P?
fig. 2
P
A)
P
B)
C)
D)
E)
P
P
P
P
5
2.
Al aplicar una rotación de centro en el origen y ángulo de giro de 270º, en sentido
antihorario, al punto A(-2,7), se obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(2, 7)
(-2, -7)
(7, -2)
(7, 2)
(-7, -2)
En el plano cartesiano de la figura 3, al rotar el triángulo de vértices A, B y C en 180º con
centro en (0, 0), se obtiene otro triángulo de vértices
Y
A)
B)
C)
D)
E)
A’(4, -5),
A’(4, -5),
A’(5, 4),
A’(-4, 5),
A’(4, 5),
B’(-6, -4),
B’(6, -4),
B’(-4, -6),
B’(6, 4),
B’(-6, 4),
C’(2, 2)
C’(-2, 2)
C’(2, 2)
C’(-2, 2)
C’(-2, -2)
6
A
5
B
4
3
2
fig. 3
1
-4 -3 -2 -1
-1
C
4.
3
6 X
4 5
-2
-3
Al rotar el ABC de la figura 4, con centro en el origen O y un ángulo de 90º, se obtendrá
un A’B’C’ cuyos vértices son
y
C
A’
A)
B)
C)
D)
E)
5.
1 2
(1, -4)
(-1, 4)
(-1, -4)
(4, 1)
(4, -1)
B’
(1, -1)
(-1, 1)
(-1, -1)
(1, 1)
(1, -1)
4
C’
3
(4, -2)
(-4, 2)
(-4, -2)
(2, 4)
(2, -4)
fig. 4
2
A
B
-4 -3 -2 -1
-1
1
1
2
3
x
-2
El punto A(4, 5) se rota en torno al punto B(1, 1) en 90º, obteniéndose el punto A’. Dicho
punto A’ se traslada según el vector T(1, 2), resultando el punto A”de coordenadas
A)
B)
C)
D)
E)
(4, -3)
(-2, 6)
(5, 1)
(-5, 1)
(6,-2)
6
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN EL PLANO
SIMETRÍAS
Las simetrías o reflexiones, son aquellas transformaciones isométricas que invierten los
puntos y figuras del plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (simetría
central) o respecto de una recta (simetría axial).
SIMETRÍA CENTRAL
Dado un punto fijo O del plano, se llama simetría (reflexión) con respecto a O a aquella
isometría que lleva cada punto P del plano a una posición P’ de modo que P’ está en la recta
OP, a distinto lado con respecto a O, y OP = OP’. El punto O se llama centro de la simetría y
P, P’ puntos correspondientes u homólogos de la simetría.
La figura 1 muestra un triángulo simétrico con respecto a O
Q
P’
R’
OP  OP '
O
OQ  OQ'
OR  OR '
fig. 1
R
Q’
P
OBSERVACIONES




Una simetría (reflexión) respecto de un punto
centro O.
Los trazos de la figura original son paralelos
transformada.
El sentido de la figura no cambia respecto al giro
Todo punto del plano cartesiano A(x, y) tiene
origen O(0, 0).
O equivale a una rotación en 180º de
con los trazos homólogos de la figura
de las manecillas del reloj.
su simétrico A’(-x, -y) con respecto al
EJEMPLOS
1.
Mediante una reflexión con respecto a O, la figura sombreada se reflejó en la figura
punteada. Esto se verifica mejor en
A)
B)
C)
O
O
D)
O
7
E)
O
O
2.
En el plano cartesiano de la figura 2, al trazo AB se aplica una simetría central con
respecto a un punto, y se obtiene como imagen A'B' . ¿Cuál es el punto?
A)
B)
C)
D)
E)
M
N
P
Q
R
7
4
-1
R
B
Q P
B’
fig. 2
N M
2
6
4
x
A’
Al segmento AB de la figura anterior, se aplica una simetría (reflexión) con respecto al
punto P, resultando un segmento A’’B’’, entonces las coordenadas de B’’ son
A)
B)
C)
D)
E)
4.
A
6
2
3.
y
(2,
(4,
(5,
(2,
(2,
2)
2)
2)
3)
-1)
Al triángulo de vértices A(2, 1), B(1, -2) y C(-3, -1) de la figura 4, se aplica una simetría
central con respecto al origen O(0, 0), obteniéndose el triángulo A’B’C’. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La abscisa de B’ es -1.
El origen refleja a A en A’(2, -1).
AB // A 'B' , AC // A 'C' y BC // B'C'
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
y
A
O
x
C
B
8
fig. 4
SIMETRÍA AXIAL
Dada una recta fija L del plano, se llama simetría axial con respecto a L o reflexión con
respecto a L, a aquella isometría tal que, si P y P’ son puntos homólogos con respecto a ella,
PP'  L y, además, el punto medio de PP' está en L. La figura 1, muestra dos triángulos
simétricos respecto de L.
L
Q
Q’
R
fig. 1
P
P’
R’
OBSERVACIONES




En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas del
reloj.
No es posible superponer, mediante traslaciones y/o rotaciones, los triángulos congruentes
PQR y P´Q´R´.
Los puntos de la recta L permanecen invariantes ante esta reflexión.
Todo punto del plano cartesiano A (x, y) tiene un simétrico A’ (x, -y) con respecto al eje
de las abscisas y un simétrico A” (-x , y) con respecto al eje de las ordenadas.
EJEMPLOS
1.
¿En cuál de los siguientes casos se verifica mejor una simetría axial con respecto a L?
A)
B)
L
2.
C)
L
D)
E)
L
L
L
¿Cuáles son la coordenadas del punto simétrico al punto R(-a, -b), con respecto al eje de
las abscisas, si a y b son distintos de cero?
A)
B)
C)
D)
(a, b)
(a, -b)
(-a, b)
(-b, a)
9
3.
E) (b, -a)
Al triángulo ABC de la figura 2, se aplica una simetría (reflexión) respecto a la recta
L (L // Eje y). Entonces, las coordenadas del vértice C se transforman en
y
A)
B)
C)
D)
E)
(-7, -2)
(-7, 2)
(-3, -2)
(-3, 2)
(3, 2)
L
B
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
A
4.
fig. 2
1
2
3
4
5
x
C
-3
-4
-5
En la figura 4, hay un triángulo rectángulo isósceles con un rombo.
B
fig. 4
A
¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor una simetría axial de la figura con
respecto a AB ?
A)
B)
C)
D)
5.
E)
En la figura 3, PQRS es un cuadrado simétrico al cuadrado P’ Q’ R’ S’ con respecto al
eje y. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las diagonales del
cuadrado P’ Q’ R’ S’?
y
fig. 3
R’
R
4
A) (2, -4)
B) (4, 2)
C) (-5, 2)
S
Q’
S’
Q
D) (-4, -2)
1
E) (-4, 2)
10
P’
2
P
5
6
x
EJE DE SIMETRÍA
Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a
la recta (figura 1).
OBSERVACIONES
fig. 1
Existen figuras que no tienen eje de simetría.
 Existen figuras que tienen sólo un eje de simetría.
 Existen figuras que tienen más de un eje de simetría.
 La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.

Eje de Simetría
CENTRO DE SIMETRÍA
El centro de simetría P de una figura es tal que cada punto de la misma tiene un simétrico en
la figura respecto a P (Figura 2).
F
E
fig. 2
A
OBSERVACIONES
P
D
* No todas las figuras tienen centro de simetría.
B
C
* El centro de Simetría si existe, es único.
* La distancia desde un punto de la figura al centro de simetría, es la misma que la distancia
desde en centro de simetría hacia el punto homólogo.
EJEMPLOS
1.
¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Uno
Dos
Tres
Cuatro
Infinitos
¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo isósceles?
A)
B)
C)
D)
E)
Ninguno
Uno
Dos
Tres
Cuatro
11
3.
¿Cuál(es) de los siguientes polígonos tiene(n) centro de simetría?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Triángulo Equilátero
Cuadrado
Hexágono Regular
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
¿Cuántos ejes de simetría tiene un heptágono regular?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 7
E) 14
5.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
El cuadrado tiene centro de simetría.
Todo segmento tiene centro de simetría.
Todos los cuadriláteros tienen centro de simetría.
El triángulo equilatero no tiene centro de simetría.
El centro de una circunferencia es también su centro de simetría.
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1y2
3y4
5y6
7y8
9 y 10
11 y 12
1
2
3
4
5
C
E
E
B
E
C
D
C
D
D
C
B
A
E
A
B
A
D
C
D
C
C
D
D
C
B
B
12
E
C
6
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 21
UNIDAD: ALGEBRA Y FUNCIONES
ISOMETRÍAS
1.
Al punto (2, -3) se le aplica una traslación obteniéndose el punto (8, -7). Si al punto
(-2, 5) se le aplica la misma traslación, entonces se obtiene el punto
A)
B)
C)
D)
E)
2.
(-4, 1)
(1, 4)
(4, 1)
(-1, -4)
(-1, 4)
Al aplicar una rotación de centro O y ángulo de giro de 90º en sentido antihorario a la
figura 1, se obtiene
O
fig. 1
A)
3.
B)
C)
E)
Mediante una simetría central con respecto a O, la figura sombreada se reflejó en la
figura no sombreada. Esto no es cierto en
A)
B)
C)
D)
E)
O
O
O
4.
D)
O
O
¿En cuál de las siguientes figuras no se muestra una simetría (reflexión) con respecto a
la recta L?
A)
L
B)
L
C)
L
D)
L
E)
L
5.
¿Qué figura se obtiene al aplicar una rotación de centro O y un ángulo de giro de 90º,
en sentido antihorario, a la figura 2?
fig. 2
O
A)
B)
C)
D)
6.
E)
En la figura 3, la circunferencia de centro T se traslada según un vector a la
circunferencia punteada de centro P. ¿Cuáles son las coordenadas del vector traslación?
y
A)
B)
C)
D)
E)
(2, 3)
(-2, 3)
(-12, 1)
(2,-3)
(-5, 2)
P
2
fig. 3
-7
-5
T
-1
x
FUENTE: DEMRE, 2013.
7.
¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo?
A)
B)
C)
D)
E)
Uno
Dos
Cuatro
Ocho
Infinitos
2
8.
El cuadrado ABCD de la figura 4 ha sido transformado, mediante un vector traslación,
en el cuadrado achurado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
y
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
9.
El vector traslación fue T(2, 0).
Los puntos B y C permanecen
invariantes.
El área del cuadrado permanece
constante.
D
C 4
A
B 2
2
-2
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
x
fig. 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
El triángulo tiene tres ejes de simetría
El rectángulo tiene cuatro ejes de simetría
La circunferencia tiene sólo dos ejes de simetría
El trapecio isósceles tiene un eje de simetría
El cuadrado tiene sólo dos ejes de simetría
FUENTE: DEMRE, 2010
10. En el plano cartesiano luego de aplicar la traslación T1(-8, 1) al triángulo ABC de
vértices A(14, 3), B(16, 3) y C(16, 0) se trasforma en el A’B’C’, y a éste se le aplica
una traslación T2(-5, 1) obteniéndose el A’’B’’C’’ cuyo vértices C’’ es
A)
B)
C)
D)
E)
(8, 1)
(11, 1)
(24, 1)
(29, 2)
(3, 2)
11. A todos los puntos del plano cartesiano de la figura 5, se les aplica una simetría central
respecto al punto P(-1, 2). ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de
las diagonales del cuadrado imagen A’B’C’D’?
A)
B)
C)
D)
E)
y
(2, 1)
(-2, -1)
(2, -1)
(1, -1)
(-1, -1)
D
5
C
4
3
A
B
P
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
3
1 2
3
4 5 x
fig. 5
12. El trazo de la figura 6, intersecta a los ejes en los puntos (3, 0) y (0, 6).
y
6
fig. 6
3
x
Si al trazo se le realiza primero una rotación en 180º con respecto al origen (0, 0), y
después un desplazamiento de 2 unidades hacia abajo, ¿cuál de los siguientes gráficos
representa mejor esta situación?
A)
y
B)
-3
y
-3
-2
x
y
C)
-6
x
x
-3
-6
-8
D)
y
y
E)
6
3
x
6
-3
x
13. Al triángulo de la figura 7 se le aplica la traslación T(1, 1) y a continuación, al triángulo
transformado, se le aplica la rotación R(0, 180º), entonces la figura resultante es
y
4
3
2
1
fig. 7
-4 -3 -2 -1
-2
-3
-4
A)
y
B)
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x
y
y
C)
4
3
2
4
3
2
1
1
1 2 3 4
x
-2
-3
-4
D)
-4 -3 -2 -1
-2
-3
-4
1 2 3 4
y
E)
4
3
2
-4 -3 -2 -1
-2
-3
-4
1 2 3 4
y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-2
-3
-4
x
1
1 2 3 4 x
4
-3 -2 -1
-2
-3
-4
1 2
3 4 5
x
x
14. Luego de aplicar la rotación R(0, -90º) al triángulo equilátero ABC de la figura 8, se
transforma en el A’B’C’, cuyo vértice C’ es
y
A) ( 3 , 0)
 3

B) 
, 0 
 2

C
A
C) (0, 3 )
D) (2, 0)
E) (- 3 , 0)
-2
0
-1
fig. 8
B
1
2
x
15. En una simetría axial, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Las figuras cambian de sentido respecto al giro de las manecillas del reloj.
Es posible superponer mediante la traslación y/o rotación las figuras.
Las figuras obtenidas son congruentes.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
16. Mediante una rotación de centro O y ángulo de 90º (en cualquier sentido), el ABC
ocupa la posición A’ B’ C’. Esto NO se cumple en
A)
B)
A’
C)
A’
C’
C
B’
O
A
C’
B
B
C’
O
A
C
B’
E)
B
A
A’
O
C
A
C’
B’
O
B’
C = A’
5
B’
O
A’
A
D)
B
B = C’
C
17. En el plano cartesiano de la figura 9, a partir del pentágono (A), ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
Si se aplica una simetría axial respecto al eje de las ordenadas se obtienen
el pentágono (D).
El pentágono (B) se obtiene al aplicar una traslación y una rotación
adecuada.
El pentágono (C) se obtiene al aplicar una simetría central con respecto al
origen de coordenadas.
(A)
A)
B)
C)
D)
E)
D
C
y
C
D
Solo I
Solo II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
(D)
E
E
A
B
B
A
fig. 9
x
A
B
B
A
E
E
(B)
D
C
C
D
(C)
18. En el plano cartesiano de la figura 10, se ha dibujado un rectángulo de vértices
A(3, -1), B(6, -1), C(6, 1) y D(3, 1) y una recta L que bisecta al 1 er y 3er cuadrantes.
Si efectuamos una reflexión (simetría axial) de los puntos de este plano con respecto a
L, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Las coordenadas del punto homólogo de A
son A’(-1, 3).
Las diagonales del rectángulo imagen
9

A’B’C’D’ se intersectan en el punto  0,  .
2

Esta transformación de ABCD en A’B’C’D’
pudo efectuarse mediante traslaciones y
rotaciones adecuadas.
y
L
D
C
A
B
fig. 10
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
6
x
19. Al romboide ABCD de la figura 11 se le ha trazado las diagonales y numerado los cuatro
triángulos que se generan. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El 1 es una simetría (reflexión) centro en P del 3.
El 2 es una rotación de 180º y centro P del 4.
El ABC es una simetría (reflexión) del CDA cuyo eje de simetría pasa por
AC .
D
C
2
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
P
3
1
fig. 11
4
A
B
20. En el sistema de ejes coordenados de la figura 12, se ha ubicado el punto P(a, b).
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
El simétrico de P respecto al eje x es P’(a –b).
El simétrico de P respecto al origen es P’’(-a, -b).
El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro
punto en el primer cuadrante.
y
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 12
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
P
x
FUENTE: DEMRE, 2010
21. El trazo PQ se rota en torno a M obteniendo P'Q' (fig. 13). ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
Q
Y
I)
II)
III)
PQ  P'Q'
PMQ  P’MQ’
QM  P'M
P
M
P’
X
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Q’
fig. 13
7
22. Si aplicamos una simetría axial con respecto al eje x al trazo AB de la figura 14, el
punto A se trasforma en el punto A’ de ordenada a, y si luego aplicamos una simetría
central con respecto al origen de coordenadas al trazo transformado A'B' , obtenemos el
trazo A"B" cuyo punto B” tiene abscisas b. Luego a + b =
y
B
A) -2
B) 0
C) -1
D) 1
E) 2
A
4
fig. 14
1
x
-1
-3
23. Al rotar el romboide de la figura 15 en 270º, con centro en el punto O y sentido
antihorario. Se transforma en el romboide de la alternativa
y
fig. 15
O
x
A)
B) y
y
C)
O
O
x
D)
y
O
x
E)
y
O
x
y
O
x
x
8
24.
A todos los puntos del plano cartesiano (fig. 16) se les aplica una simetría (reflexión)
con respecto al punto E de coordenadas (2, 3). ¿Cuáles son las coordenadas del punto
homólogo de B?
y
B
7
A)
B)
C)
D)
E)
(1,
(1,
(1,
(2,
(0,
-1)
0)
3)
-1)
1)
6
fig. 16
5
4
3
2
C
A
E
1
1
2
3
4
x
25. Sobre los segmentos AB, CD y EF se han construido rectángulos congruentes, como
se muestra en las figuras que aparecen en (I), en (II) y en (III). ¿Cuál(es) de estas
figuras tiene(n) sólo un eje de simetría?
I)
A
B
II)
III)
E
C
D
A)
B)
C)
D)
E)
F
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
26. Dado el cuadrilátero de vértices A(0, -5); B(5, 0); C(3, 0) y D(0,-3). ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El cuadrilátero es un trapecio isósceles.
Tiene un único eje de simetría el cual pasa por el origen.
Su centro de simetría está dado por la intersección de sus diagonales.
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
9
27. Al punto A de coordenadas (3,-3) se aplica una rotación de 90° respecto al punto B de
coordenadas (1,1), obteniendo el punto A’ . Luego, a dicho punto se aplica una simetría
axial respecto a la recta que pasa por el punto A y el origen del sistema. Las
coordenadas de este nuevo punto son
A) (-3,-5)
B) (-5,-3)
C) (-1, 3)
D) (3, 1)
E) (3, 3)
28. Si al punto D(a, b) se aplica una simetría central respecto al punto E de coordenadas
(c, d) se obtiene el punto D’. Si a dicho punto D’, se aplica una traslación de
coordenadas (a, b), se obtiene el punto
A)
B)
C)
D)
E)
(2c – a, 2d – b)
(2c, 2d)
(2a – c, 2b – d)
(c, d)
(-c, -d)
29. Respecto al rectángulo de la figura 17, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Al realizar una simetría axial del rectángulo respecto del lado BC y luego,
otra simetría axial respecto del lado BA se obtiene una traslación.
Al realizar una simetría axial respecto de un lado cualquiera, y luego una
simetría axial respecto de una de sus diagonales, sólo un vértice se
mantiene invariante.
Al realizar una cantidad par de simetrías axiales respecto a una misma
diagonal, la figura permanece invariante.
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
D
C
A
B
fig.17
10
30. Dado el triángulo equilátero ABC de la figura 18, donde I es el Incentro, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El punto I es centro de simetría.
El triángulo BFI se obtiene al aplicar dos simetrías axiales respecto del
cateto menor y de la hipotenusa del triángulo AEI respectivamente.
Al rotar el triángulo AEI en sentido horario en 120° con respecto al punto I
y luego aplicarle una simetría axial respecto de su hipotenusa se obtiene el
triángulo CFI.
C
fig.18
1
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
D
F
I
A
E
B
31. Sean los cuadrados ABCD y EFGH congruentes (fig. 19). Se puede determinar si el
cuadrado ABCD es simétrico (reflejo) al cuadrado EFGH respecto a L, si:
D
(1) AC // EG
(2) AF  L
A)
B)
C)
D)
E)
C
A
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 19
H
G
B
L
E
F
32. En el sistema cartesiano se aplicó una traslación al segmento AB obteniéndose el
segmento A’ B’. Se puede determinar el vector de traslación, si :
(1) Se conocen las coordenadas de A y B’.
(2) Se conocen las coordenadas de B y A’.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
11
33. En un cuadrilátero convexo ABCD, P es el punto de intersección de las diagonales AC y
BD . El triángulo ABP es una simetría (reflexión) del triángulo CDP con centro en P, si:
(1) ABCD es un paralelogramo.
(2) DP = PB y CP = PA
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. En el sistema cartesiano de origen O. Se puede determinar las coordenadas del punto
P(x, y), si:
(1) Al punto P se le aplica una rotación R(0, 180º) se obtiene el punto (-4, 5).
(2) Al punto P se le aplica la traslación T(-2, -3) y a continuación la rotación R(0, 90º)
se obtiene el punto (8, 2).
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. En la figura 20, se cumple que ABC  A’B’C’. El A’B’C’ es una imagen de simetría
axial, con respecto a la recta L del ABC, si :
(1) L  AA' y L  BB'
(2) BP  B'P , AQ  A 'Q y CR  C'R
A)
B)
C)
D)
E)
B
P
R
C
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
Q
L
RESPUESTAS
1. C
6. A
11. A
16. B
21. C
26. A
31. E
2. C
7. B
12. B
17. C
22. B
27. A
32. C
3. E
8.
C
13. B
18. B
23. B
28. B
33. D
4. A
9.
D
14. A
19. B
24. A
29. C
34. D
5. D
10. E
15. D
20. C
25. E
30. C
35. C
12
B’
C’
A’
fig. 20
GUÍA ACUMULATIVA Nº 2
1.
3-1 – 3-2 : 3-3 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3
8
3
0
8
3
-3
(35 · 1) + (35 · 2) – (35 · 4) + (35 · 5) =
A) -70
B) -35
C) 35
D) 70
E) 140
3.
El valor de
1
(2 + 1)2 es
3
A)
B)
C)
1
3
9
5
D)
3
5
E)
9
4.
Si p = -2 y q = 2, entonces ¿cuál de las siguientes expresiones es menor que cero?
A)
B)
C)
D)
E)
q-p
pq
(p + q)q
-(q – p)p
(pq)q
5.
¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) FALSA(S) si N =
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
N truncado a la centésima es 3,14.
N redondeado a la milésima es 3,143.
N redondeado a la décima es menor que  truncado a la décima.
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
1
1
Si a = 0,49 y b = 0,2 entonces ab    =
b
a
A)
B)
C)
D)
E)
7.
22
?
7
1
10
1
10
3
10
3
10
4
5
Si A es una aproximación por exceso a la milésima de
5 y B es una aproximación por
defecto a la milésima de 5 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
A>B
A+B
= 5
2
A – 5> 0
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2
8.
-36 + 3 -49 
A)
B)
C)
D)
E)
9.
81 =
18i
9 (3i +1)
9 (1 – 3i)
9 (3i – 1)
-36
1+i
=
2  i
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
2
1  3i
5
1 + 3i
5
3 + 3i
5
10. Si p =
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
1
r  q
,q=
y r=
, entonces el valor de
es
2
3
10
q
 p
10
10
10-8
10-2
10-1
10
102
11. ¿Cuál es la novena parte de (312 + 310)?
A)
320
B)
8 · 310
C)
2 · 310
D) 310
E) 10 · 38
3
12. Si x3 =
25 +
9 , entonces x2 =
A) 34
B) 16
C)
8
D) 4
E)
2
13. El orden creciente de los números a = 2 2 , b =
A)
B)
C)
D)
E)
3
3
y c=
10 es
a, b, c
a, c, b
b, c, a
b, a, c
c, a, b
14. Un tipo de bacteria se triplica cada 12 horas. Si en el laboratorio hay una muestra con
2 de estas bacterias, ¿cuál es la cantidad de bacterias al cabo de p días?
A)
B)
C)
D)
E)
2
2
2
2
2
·
·
·
·
·
3p
3p
3p + 2
32p
32p + 2
15. Si m es un número irracional, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
m-2 es irracional.
m2 es racional.
m2 es real.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
4
16. ¿Cuántas veces la cuarta parte de 1
A)
B)
C)
D)
E)
1
es el cuadrado de 3?
3
1
3
1
3
9
27
17. 3,2 horas equivalen a
A) 3 horas 2 minutos
B) 3 horas 12 minutos
C)
32 minutos
D)
320 minutos
E) 3.060 minutos
18. ¿Cuál es el valor de x en
x
+ 4 = 4?
4
A)
0
B)
4
C)
8
D) 12
E) 16
19. Si un pack de 6 ladrillos pesan 9,6 kg, ¿cuánto pesan dos tercios del pack?
A) 6.400 gr
B)
640 gr
C)
64 gr
D)
6,4 gr
E)
0,0064 gr
20. Si 3 –
p
= 3, entonces el valor de p es
3
A)
0
B)
3
C)
6
D) 9
E) -6
5
21. En la ecuación
1
x+1
x–1=
– 2, el valor de la mitad de x es
2
3
A) -4
B) -2
C) -1
D) 2
E) 4
22. Dada la ecuación y = 1 – 2x, si x aumenta en 1, entonces y
A)
B)
C)
D)
E)
23. Si
aumenta en 3.
aumenta en 2.
aumenta en 1.
disminuye en 1.
disminuye en 2.
a
b
– 2 = , entonces x =
x
x
A) ab
B) a – b
C) a + b
a  b
D)
2
a+b
E)
2
24. (x2 + y2)2 – (x2 – y2)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
4x2y2
2x2y2
0
2y4
2x4
6
25. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a (x + y)?
I)
x3 + y3
x2  xy + y2
-1
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
26.
2
a2
A)
B)
C)
 x  y 


 x2  y2 


2x2 + 3xy + y2
2x + y
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III

2  a2
a4
=
3a2  2
a4
a2  2
a4
1
a2
1
D) a6
E) 1
27.
b 1
1
a
b  a : b  a =

 

A) a – b
B) a + b
1
C)
a  b
1
D)
a+b
a  b
E)
a2 b2
7
28. Si a2 – b2 =
A)
B)
C)
D)
E)
a
b
+ , con a + b ≠ 0, entonces a – b =
2
2
0,25
0,5
1
2
4
29. Si P = 25x, entonces la expresión
5x  5-x
5x + 5-x
es equivalente a
P  1
A)
P +1
P +1
B)
P  1
P+1
C)
P  1
P  1
D)
P+1
E) 0
30. El costo de una polera es $ p. Por cada polera adicional que se compre se hace un
descuento de $ q. ¿Cuánto es el costo, en pesos, de una decena de poleras?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
(p + 11q)
(p – 9q)
(10p – q)
(p + 11(p – q))
(10p – 9q)
31. Ana tiene el cuádruplo de fichas que Rosa, y ésta la cuarta parte de lo que tiene Cecilia,
entonces se puede afirmar que
A)
B)
C)
D)
E)
Cecilia tiene la misma cantidad de fichas que Ana.
Rosa tiene más fichas que Ana.
Ana tiene menos fichas que Cecilia.
Cecilia tiene menos fichas que Rosa.
ninguna de las anteriores.
8
32. La mitad de un número excede a un quinto del número en 12. ¿Cuál es la cuarta parte
del número?
A) 40
B) 20
C) 10
D) 4
E)
1
33. Un padre reparte entre sus tres hijos 1.140 acciones. El hijo mayor recibe la mitad de
lo que recibe el hijo del medio, y el menor, seis acciones menos que el triple del mayor.
¿Cuánto recibe el hijo menor?
A)
B)
C)
D)
E)
573
567
564
382
191
acciones
acciones
acciones
acciones
acciones
34. Un comerciante que tenía 80 juguetes, primero vendió los
9
de ellos a $ 1.700 cada
20
3
del resto a $ 1.500 cada uno y finalmente vendió los restantes a
4
$ 1.200 cada uno. Entonces, por el segundo y el tercer grupo de juguetes recibió
uno, luego los
A)
B)
C)
D)
E)
$ 114.000
$ 90.000
$ 62.700
$ 61.200
$ 49.500
35. En el triángulo ABC de la figura 1, la recta R es simetral de BC , BD es bisectriz del
ABC, ABD = 3x + 10º y DBC = 5x – 10º. Entonces,  –  es igual a
A
A)
B)
C)
D)
E)
5º
10º
15º
20º
30º
R

D
D

fig. 1
30º
B
9
C
36. En el ABC de la figura 2, CD bisectriz del ACB, DE // AC y FE // AB . ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
C
CE  AF
D punto medio de AB .
ADEF es paralelogramo.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
fig. 2
E
F
A
B
D
37. En el triángulo isósceles de la figura 3, con AC  BC , ACDE y BCFG son cuadrados.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
D
DCJ  FCI
BFI  ADJ
AF  BD
F
C
J
E
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
fig. 3
I
A
G
B
38. En el cuadrado ABCD de la figura 4, E, F, G, H son puntos medios. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
D
EFC es isósceles.
EIHD es deltoide
DE < HG
H
C
N
I
E
A)
B)
C)
D)
E)
G
J
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
L
K
A
10
fig. 4
M
F
B
39. ¿A cuál(es) de los siguientes cuadriláteros se le(s) puede circunscribir siempre una
circunferencia?
I)
II)
12
III)
4
9
100º
9
9
80º
A)
B)
C)
D)
E)
6
4
4
4
4
9
4
Solo en I
Solo en II
Solo en III
Solo en I y II
En todas
40. En el pentágono regular de la figura 5,  +  =
A) 144º
B) 128º
C) 108º
D) 90º
E)
36º


fig. 5
41. En el cuadrilátero ABCD de la figura 6, BC y AD son perpendiculares a AB , DE y CE
son bisectrices de los ADC y BCD respectivamente. Entonces, DEC mide
D
C
A)
45º
B)
60º
C)
90º
D) 135º
E) 150º
E
B
fig. 6
A
42. En la figura 7, DE es tangente a la circunferencia de centro O en el punto E y BC  BD .
Si EAB = 10º, ¿cuál es el complemento de ?
A
A)
B)
C)
D)
E)
20º
30º
40º
50º
60º
D

fig. 7
O
B
E
11
C
43. El ABC de la figura 8, es equilátero y la altura BD mide 6 cm. ¿Cuál es el diámetro de
la circunferencia circunscrita?
C
fig. 8
A) 10 cm
B)
8 cm
C)
6 cm
D) 4 cm
E)
3 cm
D
B
A
44. En la figura 9, ¿cuál es el valor de ?
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 9

30º
35º
40º
50º
60º
70º
120º
45. En la figura 10, los ABC y ABD están inscritos en la circunferencia y son rectángulos
en C y D respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
ADB  BCA
AED  BEC
AEB es isósceles.
B
Solo I
Solo III
Solo I y II
I, II y III
Ninguna de ellas.
E
fig. 10
C
A
D
46. En la figura 11, MP es tangente a la circunferencia, arco PQ mide 68º y QMP = 42º.
Entonces, arco QR mide
A)
B)
C)
D)
E)
Q
208º
182º
140º
104º
71º
M
R
P
12
fig. 11
47. Si un cuadrado de perímetro 72 cm se divide en 36 cuadritos congruentes, entonces el
área de los cuatro cuadritos centrales es
A)
6 cm2
B)
12 cm2
C)
24 cm2
D) 36 cm2
E) 324 cm2
48. Si cada lado de un cuadrado disminuye 3 cm, el área resultante es 81 cm 2. Entonces,
¿cuál es el perímetro del cuadrado original?
A)
B)
C)
D)
E)
12
24
36
44
48
cm
cm
cm
cm
cm
49. Si la diagonal de un cuadrado mide d cm, entonces su perímetro es
A) 4d cm
B) 2d 2 cm
C) d 2 cm
d
D)
2 cm
2
E) 3d cm
50. En un rectángulo cuyo largo es el doble de su ancho, la suma de sus diagonales es
4 5 cm. Luego, el perímetro del rectángulo es
A)
6 cm
B) 12 cm
C)
6 5 cm
D) 12 5 cm
E) no se puede determinar
13
51. Si en un rombo una diagonal aumenta un
1
1
y la otra disminuye un
, entonces el
4
5
área
1
.
20
1
disminuye un
.
20
aumenta en la mitad.
disminuye en la mitad.
permanece invariante.
A) aumenta un
B)
C)
D)
E)
52. En un triángulo ABC se trazan las transversales de gravedad AA', BB' y CC' , siendo G
su punto de intersección. Si D es punto medio de CG , ¿qué parte del área del triángulo
ABC es el área del cuadrilátero B’GA’D?
2
3
1
B)
3
1
C)
6
1
D)
4
1
E)
2
A)
53. El área de un triángulo cuyos lados miden 10 cm, 10 cm y 16 cm, es
A)
B)
C)
D)
E)
18
36
48
60
96
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
54. El perímetro de un rectángulo es 12x. Si su ancho es x, el área del rectángulo mide
A) x2
B) 5x2
C)
x2
2
D)
5x2
2
E)
5x2
4
14
55. El área del hexágono regular de la figura 12 es 240 cm2. Si M y N son puntos medios de
cada lado, entonces el área de la región achurada es
M
fig. 12
A)
40 cm2
B)
60 cm2
C)
80 cm2
D) 100 cm2
E) 120 cm2
N
56. En la figura 13, CD  AB y BC  AE . Si EB = 5 cm, CD = 8 cm y AB = 13 cm,
entonces el área de la región sombreada es
C
E
fig. 13
A) 52 cm2
2
B) 30 cm
C) 26 cm2
D) 22 cm2
E) 20 cm2
A D
B
57. En la figura 14, ABCD es trapecio. Si AB : DC = 5 : 3, EF es mediana y mide 12 cm,
entonces la base AB mide
D
C
A) 15 cm
B)
9 cm
C)
8 cm
D) 7,5 cm
E)
5 cm
E
F
A
B
58. En la figura 15, triángulo ABC es equilátero. Si DC = EB =
fig. 14
AB
, entonces ¿cuál(es) de
3
las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
DE  AC
C
DA
2 3
=
DE
3
Área DEC
2
=
9
Área ABC
fig. 15
D
E
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
A
15
B
59. Si el punto A(4,3) se gira en 90º, en sentido antihorario y con centro en el origen , se
obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son
A)
B)
C)
D)
E)
(4, -3)
(-4, 3)
(3, 4)
(-3, 4)
(3, -4)
60. Si al punto (-6, -1) se le aplica una traslación T(4, 3) y luego una rotación en 180º
con respecto al origen, entonces el punto transformado tiene por coordenadas
A)
B)
C)
D)
E)
(-2, 2)
(10, 2)
(-10, -2)
(10, 4)
(2, -2)
61. Al segmento PQ de la figura 16, se le aplica una simetría con respecto a la recta x = 3.
Entonces, las coordenadas de Q’ son
y
fig. 16
A) (3, 1)
P
Q
B) (0, 1)
1
C) (-1, 1)
D) (-3, 1)
2
6
x
E) (-6, 1)
62. Al aplicar una rotación antihoraria de 90º al punto A(4, 1)con respecto al punto (2, 1)
de la figura 17, se obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son
y
A)
B)
C)
D)
E)
(2,
(2,
(1,
(1,
(0,
3)
4)
4)
3)
5)
3
2
fig.17
A
1
1
2
3
4
x
63. En el gráfico de la figura 18, se muestra el número de hermanos que tienen los 40
alumnos de 4º medio. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que tiene, a lo más, tres
hermanos?
Nº de alumnos
A)
B)
C)
D)
E)
15%
25%
37,5%
62,5%
75%
15
fig. 18
10
5
0
16
1
2
3
4
5
Nº de hermanos
64. Para comprar un regalo, 10 amigos aportaron dinero como muestra la tabla de la figura
19. ¿Cuál es la media aritmética de los aportes?
A)
B)
C)
D)
E)
Aportes
$ 8.000
$ 8.700
$ 9.200
$ 10.000
$ 12.500
$
$
$
$
5.000
10.000
12.000
15.000
Nº de personas
4
3
1
2
fig. 19
65. En la aplicación de un ensayo de lenguaje para los dos cuartos medios de un colegio,
el 4º A, con 30 alumnos, obtuvo un promedio de 630 puntos, y para el 4º B, con 20
alumnos, su promedio fue de 600 puntos. ¿Cuál fue el promedio del total de alumnos
de ambos cursos en dicho ensayo?
A)
B)
C)
D)
E)
615
616
617
618
619
puntos
puntos
puntos
puntos
puntos
66. En cada una de dos cajas, A y B, hay 3 bolitas numeradas con los números 4, 5 y 6.
Si se extrae al azar 1 bolita de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de
ambas sea mayor a 9?
6
9
5
B)
9
4
C)
9
1
D)
3
1
E)
2
A)
67. Al lanzar simultáneamente dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma
mayor o igual a 10?
1
3
1
B)
6
3
C) 36
4
36
D)
5
E)
36
A)
17
68. En un curso de 30 alumnos, se sabe que 12 hombres usan lentes, que 3 mujeres no
usan lentes. Si los hombres en total son 17. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un
alumno al azar, que sea mujer y use lentes?
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
1
6
11
15
13
30
17
30
69. Sean a, b y c tres números naturales. Se puede determinar el orden de ellos, si:
(1) b no es el menor.
(2) 0 < a – b < a – c
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
70. Sean a y b distinto de cero. Entonces,
a
es un número entero negativo, si:
b
(1) a y b son números enteros de distinto signo.
(2) a es múltiplo de b.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
71. Se puede determinar la longitud de una cuerda que se ha dividido en tres segmentos,
si:
(1) Uno de los segmentos mide 110 cm.
(2) El segmento menor es la tercera parte del mayor.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
18
72. Se puede determinar el valor numérico de la expresión
3
3
, si:

2a
2b
(1) a – b = 4
(2) a · b = 9
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
73. En la figura 20, se puede determinar el área del triángulo ABC, si:
C
(1) CD = DB = 5 cm
(2) ADC es equilátero.
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 20
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
D
B
74. El cuadrilátero ABCD de la figura 21, está inscrito en la circunferencia de centro O. Se
puede determinar el valor del , si:
C
D
(1) E es punto medio del arco BC.
(2) ABCD es cuadrado.
O
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
E

fig. 21
A
B
75. En la figura 22, arco AB es un cuarto de la circunferencia. Se puede determinar la
longitud del arco AB, si:
y
(1) OEDC es un cuadrado de lado 3 cm.
(2) BC = AE
A)
B)
C)
D)
E)
B
C
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
D
O
19
E
fig. 22
A
x
RESPUESTAS
1. D
11. E
21. B
31. A
41. C
51. E
61. B
71.E
2. E
12. D
22. E
32. C
42. C
52. C
62. A
72.C
3. B
13. D
23. D
33. B
43. B
53. C
63. E
73.C
4. D
14. D
24. A
34. C
44. D
54. B
64. C
74.C
5. B
15. C
25. E
35. B
45. E
55. C
65. D
75.A
6. C
16. E
26. A
36. C
46. C
56. D
66. A
7. C
17. B
27. B
37. E
47. D
57. A
67. B
8. D
18. A
28. B
38. E
48. E
58. E
68. A
9. D
19. A
29. D
39. A
49. B
59. D
69. B
10. C
20. A
30. E
40. C
50. B
60. E
70. C
20
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 24
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ECUACIÓN DE LA RECTA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x 1, y1)
y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:
y
dAB =
(x2  x1 )2 + (y2  y1)2
B
y2
y2  y1
A
y1
x2  x1
0
x1
x2
x
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB
son
xm
x + x2
= 1
,
2
ym
y + y2
= 1
2
y
B
y2
M
ym
y1
0
A
x1
EJEMPLOS
1.
La distancia entre los puntos A = (2, 3) y B = (5, 6) es
A)
6
B)
2 3
C) 3 2
D) 6
E) 18
xm
x2
x
2.
El punto medio del trazo cuyos extremos son los puntos A = (-3, 6) y B = (2, 5) es
A) (-1, 11)
B) (-5, 1)
 1 11 
C)  ,

2 2 
 1 11 
D)  - ,

 2 2 
 1 11 
E)  , - 
2
2 
3.
¿Cuánto mide el radio de una
puntos A(-1, -5) y B (-7, 3)?
A)
B)
5
2
C)
10
circunferencia de diámetro AB determinado por los
D) 4 2
E) 10
4.
En la circunferencia del ejercicio 3, ¿cuáles son las coordenadas del centro?
A) (-8, -2)
B) (-4, -1)
C) (-3, -4)
 7 3
D)  - , - 
 2 2
 9 1
E)  - ,- 
 2 2
5.
Si los puntos A(3, 4), B(-2, 6) y C(3, 6) son los vértices de un triángulo rectángulo,
entonces el área del triángulo es
A)
2
B)
3
C)
5
D) 8
E) 10
6.
La intersección de las diagonales del cuadrado formado por los vértices que están en los
puntos (4, 5), (-3, 5), (-3, -2) y (4, -2) es el punto de coordenadas
A) (1, 2)
1 3
B)  , 
2 2
1 1
C)  , 
2 2
3 1
D)  , 
2 2
3

E) 1, 
 2
2
PENDIENTE DE UNA RECTA
Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x,
en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)
y
B L
y2
y2 – y1
y  y1
BP
A 
m = tg  =
= 2
y1
P
PA
x2  x1

x1
x2
x
x2 – x1
RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA
Sea  el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:

( = 0º) si y sólo si (m = 0)

(0º    90º) si y sólo si (m  0)
y
y
L
L

x
0
L es paralela al eje x

x
0
L tiene pendiente positiva
( = 90º) si y sólo si (m no está definida)
y
L

(90º    180º) si y sólo si m  0)
y
L

0

x
0
L es paralela al eje y
L tiene pendiente negativa
EJEMPLOS
1.
La pendiente de la recta pasa por los puntos A(1, -1)
6
5
6
7
7
8
8
5
8
7
A) B)
C)
D)
E)
x
3
y
B(-6, 7) es
2.
¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente positiva?
A)
B)
y
C)
y
y
x
3.
D)
E)
y
x
y
x
x
x
¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente 7?
A)
B)
y
D)
y
x
E)
y
y
7
7
1
-7
C)
y
1
1
7
x
x
7
x
-1
x
-1
4.
Si los puntos A(2, 3),
B(3, -2) y C(a, 8) son colineales, entonces a =
A) 5
B) 3
C) 1
D) -3
E) -7
5.
Dados los puntos A(2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k, -3), ¿cuánto debe ser el valor de
k para que el producto de las pendientes de AB y CD sea -1?
A) -9
B) -3
C) 3
D) 9
E) 15
4
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
A, B y C son Reales
Si A = 0  B  0
Si B = 0  A  0
Ax + By + C =0
ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA
m = pendiente, m =
y = mx + n
-A
B
n = coeficiente de posición
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO A (x1, y1) Y TIENE PENDIENTE DADA m
(y – y1) = m(x – x1)
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS A(x1, y1) y B(x2, y2)
(y – y1) =
y2  y1
x2  x1
(x – x1)
ECUACIÓN DE SEGMENTOS O CANÓNICA
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes.
x y
+
=1
a b
a ≠0 y b≠0
(a, 0) es el punto del eje X
(0, b) es el punto del eje Y
EJEMPLOS
1.
La ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -3) y tiene pendiente A)
B)
C)
D)
E)
2.
2x
2x
2x
2x
2x
+ 3y + 17 = 0
+ 3y – 17 = 0
+ 3y – 6 = 0
– 3y – 1 = 0
+ 3y + 1 = 0
 1
La ecuación de la recta que pasa por los puntos 1,  y
 2
3
A) y = x – 1
2
3
B) y = - x + 2
2
2
7
C) y = - x +
3
6
2
1
D) y = x –
3
6
2
1
E) y = x +
3
3
5
-3 

 - 2, 2  es


2
es
3
3.
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) y tiene pendiente 0?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
3x – y = 0
x–y=0
y=3
x=3
x = 3y
¿Cuál es la ecuación de la recta que representa el gráfico de la figura 1?
A)
B)
C)
D)
E)
6x
6x
5x
5x
5x
–
–
–
–
–
5y
5y
6y
6y
6y
=
=
=
=
=
y
15
30
15
-30
-15
-6
5.
x
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente -1?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
fig. 1
5
x
x
x
x
x
+ y=0
–y=0
+y=1
–y=1
= -1
¿Qué valor debe tener k para que la recta (k – 1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 pase por el
punto (2, 1)?
A)
B)
C)
D)
E)
2
1
2
0
1
2
-2
6
RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales o ambas tienen pendientes
que se indeterminan.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Entonces:
Si m1 y m2 pertenecen a los reales, entonces
L1 // L2 si y sólo si m1 = m2
L2
y
L1


0
x
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 ó cuando en
una de las rectas la pendiente es cero y en la otra la pendiente se indetermina.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Entonces:
L1
y
L2
Si m1 y m2 pertenecen a los reales, entonces
L1  L2 si y sólo si m1 · m2 = -1
0
x
EJEMPLOS
1.
La recta que pasa por los puntos (0, 0) y (-2, 3) es paralela a la recta que pasa por los
puntos
A)
B)
C)
D)
E)
2.
(0,
(0,
(4,
(0,
(0,
5)
6)
0)
6)
6)
y
y
y
y
y
(4,
(3,
(0,
(0,
(0,
3)
5)
6)
4)
2)
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta paralela a la recta de ecuación
3x – 2y = 6?
A)
B)
C)
D)
E)
3x + 2y = 0
4x + 3y = 4
3x – 2y = 0
5x – 4y = 3
x+y=3
7
3.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta perpendicular a la recta de
ecuación x – 3y = 4?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
3x – y = 2
3x + y = -1
3x + 2y = 1
x+y=3
x – y = -3
¿Qué valor debe tener k para que las rectas 2x + ky = 0 y 3x – 5y = 6 sean
perpendiculares?
10
3
6
5
6
5
5
4
10
3
A) B)
C)
D)
E)
5.
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -1) y es paralela a la recta
2y – x + 8 = 0?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
x – 2y – 2 = 0
2x + y – 7 = 0
x – 2y + 6 = 0
x – 2y – 6 = 0
x – 2y + 9 = 0
Si una recta tiene ecuación 3x + 2y = -1, ¿cuál es la ecuación de una recta perpendicular
a ella y que pasa por el punto (3, -2)?
A)
B)
C)
D)
E)
2x + 3y = 0
x + 2y = -1
2x + y = 4
3x – 2y = 13
2x – 3y = 12
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
C
D
A
B
C
B
3y4
E
C
E
C
D
5y6
E
D
C
D
A
B
7y8
C
C
B
C
D
E
Págs.
8
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 24
ECUACIÓN DE LA RECTA
1.
Si el punto (-1, 2) pertenece a la recta de ecuación y =
1  x
. El valor de p es
p
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 3
2.
El punto Q(a, a + 1) pertenece a la recta de ecuación y = -x + 3. Entonces, las
coordenadas de Q son
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(1, 2)
(-1, 0)
(2, 3)
(-2, -1)
(3, 4)
En el triángulo ABC (fig. 1), AB // OX . Si m1, m2 y m3 son las pendientes de
AB , BC y CA , respectivamente, entonces un orden creciente está representado por
A)
B)
C)
D)
E)
m1
m3
m2
m2
m3





m2
m1
m1
m3
m2





m3
m2
m3
m1
m1
y
C
fig. 1
O
x
A
B
4.
Con respecto a las rectas L1, L2 y
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
L3 de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes
y
La pendiente de L1 es cero.
La pendiente de L2 es positiva.
La pendiente de L3 es negativa.
L1
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
x
0
L3
fig. 2
L2
En el gráfico (fig. 3), ABCD es un rectángulo en que sus vértices A, B, C y D tienen por
coordenadas (-2, 0), (6, 0), (6, 4) y (-2, 4), respectivamente. ¿Cuál es el valor de la
pendiente de la diagonal AC ?
y
A)
B)
C)
D)
E)
6.
1
2
1
2
-2
1
2
D
C
A
B
fig. 3
x
¿Cuál de los siguientes gráficos podría representar a la recta y = 5x – 2?
A)
y
y
B)
x
D)
y
C)
x
E)
y
x
2
x
y
x
7.
El valor de m en la figura 4 es
A)
B)
C)
D)
E)
y
7
6
5
4
3
m
2
-4
8.
•
2
fig. 4
x
Dada la recta de la figura 5, de ecuación y = 2x
y (2, 1) es el punto medio del
segmento que corta en P y al eje x en Q. Las coordenadas del punto P son
A)
B)
C)
D)
E)
1 
 2 , 1


1 3
 2, 2 


(4, 2)
(2, 4)
(1, 2)
fig. 5
y
y = 2x
P
(2, 1)
Q
x
Publicación DEMRE 2012
9.
¿Cuáles son, respectivamente, los valores de la pendiente y del coeficiente de posición
de la recta 3x + 2y + 6 = 0?
A) -3
3
B) 2
3
C)
2
3
D) 2
3
E)
2
y -6
y
3
y -3
y -3
y
3
3
10. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la recta
2y + 3x – 12 = 0?
I) La recta intersecta al eje x en el punto (4, 0).
II) La recta intersecta al eje y en el punto (0, 6).
III) La pendiente de la recta es negativa.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
11. El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta de ecuación
4x + 3y = 12 es
A) 5
B) 6
C) 7,5
D) 10
E) 12
12. La ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 1) y de pendiente -
A)
B)
C)
D)
E)
x
x
x
x
x
1
es
3
+ 3y – 16 = 0
+ 3y – 8 = 0
+ 3y + 2 = 0
– 3y + 8 = 0
+ 3y – 2 = 0
13. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, 4) y B(-7, -12) es
A)
B)
C)
D)
E)
16x – 9y + 4 = 0
16x + 5y + 12 = 0
5x – 16y + 74 = 0
16x – 5y – 74 = 0
16x – 5y + 52 = 0
4
14. Según el gráfico de la figura 6, la ecuación de la recta L es
A)
B)
C)
D)
E)
2x
3x
3x
2x
2x
+ 3y = 0
+ 2y – 6 =
+ 2y – 4 =
– 3y + 6 =
+ 3y – 6 =
y
L
2
0
0
0
0
fig. 6
0
y
15. En la figura 7, ¿cuál es la ecuación de la recta L?
A)
B)
C)
D)
E)
x
x
x
x
x
x
3
fig. 7
–y–4=0
–y+4=0
+y–4=0
+y+4=0
+y=0
135º
x
4
L
16. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la recta de ecuación x – 1 = 0?
y
A)
y
B)
y
C)
1
-1
x
D)
y
17. ¿Cuál de las siguientes
ecuación y – b = 0?
A)
B)
C)
D)
E)
La
La
La
La
La
recta
recta
recta
recta
recta
rectas
y
E)
1
del
x
plano
-1
cartesiano
paralela al eje y que pasa por el punto (b,
paralela al eje y que pasa por el punto (0,
paralela al eje x que pasa por el punto (b,
paralela al eje x que pasa por el punto (0,
que pasa por los puntos (0, 0) y (b, b)
5
x
-1
x
0)
b)
0)
b)
es
1
x
representada
por
la
18. El punto P de ordenada 10 está en la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto
A(7, -2). Entonces, la abscisa de P es
A) 11
29
B)
3
C) 7
D) -1
E) -3
19. Dada la recta L: 5 – 2y – 3x = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Una recta perpendicular a L tiene pendiente
2
.
3
5

La recta L intersecta al eje de las abscisas en el punto  0,  .
2

3
Una recta paralela a L tiene pendiente - .
2
I
II
I y II
I y III
II y III
20. ¿Cuál debe ser el valor de k en la ecuación de la recta 4kx + 5y – 1 = 0 para que sea
paralela a la recta 3x – 2y + 1 = 0?
A)
B)
C)
D)
E)
15
8
5
6
8
15
5
6
15
8
6
21. ¿Qué valor debe tener m para que las rectas (3 – m)x + 2y – 5 = 0 y -4x + y – 7 = 0
sean perpendiculares?
A) 11
11
B)
4
7
C)
2
5
D)
2
E) -5
22. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y que es paralela a la
recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2)?
A)
B)
C)
D)
E)
x + 6y + 16 = 0
x + 6y – 10 = 0
x + 6y – 20 = 0
x – 6y – 20 = 0
6x + y – 9 = 0
23. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular al segmento AB determinado por los
puntos A(2, 7), B(6, -3) y que pasa por el punto medio de éste?
A)
B)
C)
D)
E)
5x
2x
2x
2x
2x
+ 2y –
– 5y +
– 5y +
+ 5y –
+ 5y –
24 = 0
31 = 0
2=0
18 = 0
39 = 0
24. Una recta L1 pasa por el punto (2, -1) y tiene pendiente 3.Si una recta L2, perpendicular
con L1, contiene al punto (6, 1), entonces la ordenada del punto donde se cortan L1 y
L2 es
A) -3
B) -2
C) 1
D) 2
E) 3
7
25. En una panadería la relación entre el costo de fabricación del pan y su precio de venta
es lineal. El costo de un kilogramo de pan blanco es de $ 320 y se vende en $ 600, un
kilogramo de pan dulce tiene un costo de $ 680 y se vende en $ 1.050. Si el costo de
un kilogramo de pan negro es de $ 340, ¿cuál es su precio de venta?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
637,5
625
620
616
525
26. ¿Cuál es la ecuación de la recta L tangente a una circunferencia de centro (2, -3) en el
punto (5,3)?
A) x + 2y – 11 = 0
B) x + 2y + 11 = 0
C) 2x + y – 11 = 0
D) 2x + y + 11 = 0
x – 2y – 11 = 0
E)
27. La ecuación de la recta L1 es 2x –ky + 3 = 0. Si se intersecta con otra recta L2 en el
punto (3, 3), entonces el valor de k es
A) 9
B) 3
C) -9
D) -3
E) 6
28. Se tiene una recta que pasa por el punto A(1, 2) de pendiente -2, y otra recta
perpendicular a ella que pasa por el punto (2, -5), entonces el punto de intersección
entre ellas es
A)
B)
C)
D)
E)
(-4, 0)
(-4, -4)
(-4, 4)
(4, 4)
(4, -4)
8
29. En la figura 8, las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de las siguientes
opciones representa a la ecuación de la recta L1?
5
x  2
4
5
B) y = (x  2)
4
4
C) y = (x  2)
5
4
D) y = x  2
5
5
E) y= - (x  2)
4
A)
y=
y
L1
L2
fig. 8
4
2
5
x
30. Sean L1: 3x + 2y = 9 y L2: 4x – y = 1, entonces, ¿cuál es la ecuación de la recta que
pasa por el punto de intersección de L1 y L2 y tiene pendiente 3?
A)
B)
C)
D)
E)
y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
3x + 6
3x – 6
3x
3(x – 3)
3(x + 3)
31. Se puede determinar la pendiente de una recta L, si:
(1) La recta L pasa por el punto (-2, 0).
(2) El ángulo formado por la recta L y el eje x es 45º.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. Se puede determinar la ecuación de una recta, si:
(1) Se conoce la pendiente y el punto donde la recta corta al eje y.
(2) Se conoce la distancia entre dos puntos de ella.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
33. La ecuación de la recta L se conoce, si:
(1) L es paralela a la recta 2x – y + 5 = 0.
(2) L pasa por el punto (-1, 3).
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. Se puede calcular el área del triángulo OAB (fig. 9) formado por la recta L y los ejes
coordenados, si:
(1) Conocemos las coordenadas del punto A.
(2) Conocemos la pendiente de la recta L.
A)
B)
C)
D)
E)
O
(1) L1: y = -3x + 2
L2: 3y = x – 15
y
2
L2
2
3a
x
-4
-a
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 9
B
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Las rectas L1 y L2 son perpendiculares, si:
(2)
y
L
L1
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
A
x
RESPUESTAS
1. D
6. A
11. B
16. D
21. D
26. A
31. B
2. A
7. E
12. B
17. D
22. A
27. B
32. A
3. C
8. E
13. E
18. A
23. C
28. E
33. C
4. C
9. D
14. E
19. D
24. D
29. B
34. C
5. A
10. E
15. C
20. E
25. B
30. C
35. D
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 25
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen
un sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Ax + By = C
Dx + Ey = F

donde A, B, C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente
ambas ecuaciones.
OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta
en un sistema de ejes coordenados.

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON
DOS INCÓGNITAS
RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con
lo cual surge una de las siguientes posibilidades:
I)
Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la
solución del sistema (fig. 1).
II)
III)
Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (fig. 2).
Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay
solución (fig. 3).
L1
y
y
fig. 1
L2
fig. 2
y
L1 = L2
b
L1
a
L1  L2 = (a, b)
fig. 3
x
x
L1  L2 = L1 = L2
L2
x
L1  L2 =  (vacío)
EJEMPLOS
1.
El par ordenado (3, 2) es solución del (de los) sistema(s):
2x + 4y = 14
I)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
x  y=1
II)
3x  2y = 5
3x + y = 11
III)
3x  8y = -7
5x + 2y = 20
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Para que el par ordenado (1, 2) sea solución del sistema
ax + y = 4
x + by = 7
, los valores de a y
b deben ser, respectivamente,
A)
B)
C)
D)
E)
3.
3
2
-2
6
2
y -2
y 3
y 4
y 3
y 4
¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4 con y + x = 0?
y
A)
-4
-2
y
B)
y
C)
4
4
4
2
2
2
-2
2
x
4
-4
-2
-4
-2
2
x
4
-4
-4
D)
-4
4
2
4
3
2
-2
4
y
4
2
2
-2
-4
E)
y
-2
4
x
-4
-2
-2
-2
-4
-4
2
2
4
x
x
4.
La figura 4, es la solución gráfica del sistema
A)
B)
C)
D)
E)
5.
-x  y = -2
-x  y = 3
y
-x + y = 2
3
x  y=3
2x  2y = 4
3x  3y = 3
-2
x  y=3
-x + y = -2
-x + y = 3
I)
II)
III)
2
-3
-3x + 3y = 2
En el sistema de ecuación
3x + 5y = 11
6x + 10y = 22
, las rectas
se cortan en el origen.
son coincidentes.
son paralelas no coincidentes.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 4
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
3
x
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos:
sustitución, igualación y reducción.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las
ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con
una incógnita.

MÉTODO DE IGUALACIÓN: Se debe despejar la misma variable en ambas ecuaciones
y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita.

MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas,
en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose
un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones,
resultando así una ecuación con una incógnita.
EJEMPLOS
1.
Sea el sistema
y = 3x  7
2x  5y = -4
. El valor de x es
A)
2
B)
3
C)
-2
D) -3
E) -39
2.
En el sistema
x = 2y  1
x = 14  3y
, el valor de y es
A) -12
B)
-1
C)
3
D)
5
E)
6
3.
En el sistema
x + 4y = 23
3x  4y = 5
, el valor de y es
A) -7
B) -4
C) 3
D) 4
E) 7
4
4.
Dado el sistema
x  3y = 2
6x + 5y = -34
, entonces el valor de x – y es igual a
A) 6
B) 4
C) 2
D) -2
E) -6
5.
Dado el sistema
0,3x + 0,2y = -0,9
0,2x  0,3y = -0,6
, el valor de x es
A) -3
B) -0,3
C) 0
D) 0,3
E) 3
6.
Al resolver el sistema
A) x =
B) x =
C) x =
D) x =
E) x =
7.
x + 4y = 2
2x + 3y = 6
se obtiene como solución
2
18
, y=5
5
2
18
, y=5
5
2
18, y = 5
2
18
- ,y=
5
5
2
18, y =
5
2
2
Si x  y = 9 , entonces el valor de x – y es
x+y=9
A) 9
B) 4
C) 1
D) 0
E) -1
5
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Dado
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
I)
II)
III)
, entonces:
El sistema tiene solución única si
a1
b
 1.
a2
b2
El sistema tiene infinitas soluciones si
El sistema no tiene solución si
a1
b
c
= 1 = 1.
a2
b2
c2
a1
b
c
= 1  1.
a2
b2
c2
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de los siguientes sistemas tiene solución única?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
2x  3y = 4
6x  9y = 12
3x + 4y = 5
3x + 4y = 6
5x  6y = 4
5x + 8y = 4
4x  9y = 2
8x  18y = 4
2x  14y = 10
x  7y = 8
¿Cuál de los siguientes sistemas no tiene solución?
A)
B)
C)
D)
E)
6x  11y = 9
5x + 8y = 7
x+y=7
3x  2y = 11
9x  7y = 10
3x + 6y = 5
7x  3y = 4
21x  9y = 12
4x  2y = 5
12x  6y = 10
6
3.
¿Cuál de los siguientes sistemas tiene infinitas soluciones?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
4x + 5y = 8
8x + 10y = 24
5x  3y = 6
15x  9y = 18
2x + 3y = 6
3x  2y = 8
6x  7y = 10
5x + 11y = 9
10x  4y = 10
20x  8y = 5
En el sistema
2x + ky = -5
4x + y = -15
, ¿qué condición debe cumplir k para que tenga solución
única?
A) k  1
1
B) k =
2
1
C) k = 2
1
D) k  2
1
E) k 
2
5.
El sistema
A)
B)
C)
D)
E)
6.
a
a
a
a
a
=
=
=
=
=
6
6
4
12
9
ax + 6y = 2
6x + by = 3
y
y
y
y
tendrá infinitas soluciones si y sólo si
b=6
b=9
b = 18
b=4
¿Para qué valor de k el sistema
5x  ky = 2
3x + 2y = 3
4
3
10
3
2
10
3
5
A) B)
C)
D)
E)
7
no tiene solución?
APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Los sistemas de ecuaciones lineales tienen aplicación en problemas de planteo. Si el
enunciado implica dos incógnitas, dicho problema podrá ser resuelto mediante un sistema de
ecuaciones. Cómo por ejemplo: problemas de edades, de cifras o dígitos, etc.
EJEMPLOS
1.
El enunciado: “Un cuarto de la suma de dos números es 81 y un tercio de su diferencia
es 54”, está representado por
A)
B)
4x + y = 81
3x  y = 54
x+y
= 81
4
x  y
= 54
3
C)
81
4
54
x  y=
3
D)
4(x + y) = 81
3(x  y) = 54
E)
1
81
(x + y) =
4
4
1
54
(x  y) =
3
3
x+y=
2.
Un carpintero produce bancos y sillas, en una semana fabrica 33 piezas entre bancos y
sillas. Si se vende los bancos a $ 5.000 y las sillas a $ 2.500, recibe $ 120.000, ¿cuál
es el sistema que permite determinar el número de bancos (x) y de sillas (y)?
A)
B)
C)
D)
E)
x + y = 33
2.500x + 5.000y = 120.000
x + y = 33
5.000x + 2.500y = 120.000
x + y = 33
5.000x + 2.500y = 1.200
x + y = 33
2.500x + 5.000y = 12.000
x + y = 33
25x + 50y = 120.000
8
3.
Un niño con $ 410 compra 34 dulces: unos de $ 10 y otros de $ 15. ¿Cuántos dulces de
$ 10 compró?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
12
14
20
23
34
La suma de dos números, x e y, es 1 y su diferencia es 10, ¿cuál es el valor de cada
uno de ellos?
A) x =
B) x =
C) x =
D) x =
E) x =
5.
11
2
11
2
11
2
11
2
11
2
y=
y=
y=
y=
y=
9
2
9
2
9
2
2
9
9
2
Si el producto de dos números es 240 y la suma de sus valores recíprocos es
entonces la suma de ellos es
A) -30
5
B) 40
5
C)
6
D) 30
E)
60
9
5
,
40
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1
2
3
4
5
2y3
B
B
D
E
B
4y5
B
C
D
D
6y7
C
E
B
8y9
B
B
C
10
6
7
A
A
C
E
C
B
B
D
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 25
SISTEMAS DE ECUACIONES
1.
Para que el par ordenado (-2, -3) sea solución del sistema
2kx + 3y = 5
3x + 2ty = -6
, los valores
de k y t deben ser, respectivamente,
A)
1 y -2
7
B) y 1
2
14
C)
0 y 4
14
15
D) y
4
4
14
E) y 0
4
2.
¿Para qué valores de a y b, el sistema de ecuaciones
soluciones?
a
A) -2
B) -4
C) 2
D) 4
E) 4
3.
Dado el sistema
b
15
15
-1
13
15
2x + 3y = 6
x + 4y = 2
el valor de x – y es
A)
4
18
B)
5
16
C)
5
16
D)
11
12
E)
11
1
ax + 3y = 15
4x + 3y = b
tiene infinitas
4.
En el sistema
x + 2y = 3
x  y = -3
, entonces xy es
1
2
-1
1
2
1
2
A) B)
C)
D)
E)
5.
Dado el sistema
x  y=4
x2 + y2 = 106
, entonces x · y es igual a
A) 45
B) 51
C) 90
D) 102
E) 122
6.
Si
13x + 2y = 44
12x  y
= 15
, entonces 37x =
A)
2
9
B)
C) 59
D) 74
E) 333
7.
La intersección de las rectas y = 3 – x
A)
B)
C)
D)
E)
8.
e
y = x – 9 es el punto
(3, 0)
(-3, 6)
(6, 3)
(0, -3)
(6, -3)
En el sistema
x + y = a + 3b
x  y = a  3b
, el valor de y es
A) a
B) -3b
C) 3b
D) -a
E) a – b
2
9.
La solución gráfica del sistema
y
A)
2x  y = 3
es
3x + 2y = 8
y
B)
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
x
4
-4 -3 -2 -1
-1
1
x
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-3
10. ¿Para qué valor de k el sistema
E)
4
-2
y
E)
4
1
2
3
4
x
y
4
3
2
2
1
1
-4 -3 -2 -1
-1
D)
3
-2
3
C)
2
-3
D)
A)
B)
y
C)
1
2
3
4
x
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
5x  ky = 2
3x  2y = 3
1
2
3
4
x
tiene solución única?
k2
k  -2
10
k
3
-4
k
3
-3
k
2
Publicación DEMRE 2008
11. Si
A)
B)
C)
D)
E)
m+n=a
m  n =b
, entonces 4mn =
a2 – b 2
(a – b)2
(a + b)2
a–b
4a2 – 4b2
3
12. Si
A)
B)
C)
D)
E)
x  y  p=0
x  2y + 3p = 0
, entonces
-2
5
4
2
5
4
5
5
4
13. En el sistema de ecuaciones
A)
B)
C)
D)
E)
x
=
y
x + y = m  2n
x  y = m + 2n
m2
4n
m2 + 4n2
m2 – 4n2
m2 – n 2
a  b=6
, entonces a · b =
14. Si el sistema 1
1
=4

a
b
A)
B)
C)
D)
E)
9
3
2
1
9
1
9
3
2
4
, el valor de x2 – y2 es
15. ¿Para qué valores de a y b, el sistema
5x  4y = 8
ax + 6y = b
no tiene solución?
A) a = 5 y b = 8
15
y b = -12
B) a = 2
15
C) a = y b  -12
2
D) a = 10 y b = 16
15
E) a =
y b  -12
2
16. Dos pasteles y un chocolate cuestan $ 920 y tres pasteles y un chocolate cuestan
$ 1.270. ¿Cuánto cuesta un pastel?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
700
500
440
350
220
17. Un pantalón (P) cuesta $ 2.000 menos que el 20% de un abrigo (A). Si en la
liquidación, después de una rebaja de $ 20.000, el abrigo quedó en $ 30.000, ¿en cuál
de las alternativas se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular el
valor del pantalón y del abrigo?
A) P – 2.000 =
B) P – 2.000 =
C) P – 2.000 =
D) P + 2.000 =
E) P + 2.000 =
A
5
A
5
A
5
A
5
A
5
y A + 20.000 = 30.000
y A – 20.000 = 30.000
y A = 50.000
y A – 20.000 = 30.000
y A + 20.000 = 30.000
5
18. La señora Pilar acostumbra comprar todas las semanas 3 kilogramos de plátanos y
2 kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $ 1.850. Como en la semana siguiente
los plátanos subieron $ 50 por kilogramo y las manzanas bajaron $ 30 por kilogramo,
cambió su costumbre y compró 2 kilogramos de plátanos y 3 kilogramos de manzanas
y gastó $ 1.910. ¿Cuánto costaba el kilogramo de plátanos esa cierta semana?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
450
350
400
346
292
19. La diferencia entre dos ángulos complementarios es 50º. Entonces, la suma entre el
mayor y el doble del menor es
A)
B)
C)
D)
E)
70º
110º
140º
160º
180º
20. A una función de teatro organizada por un colegio asistieron 1.000 personas, dejando
$ 2.650.000 por la venta de entradas, las cuales eran de dos tipos: galería que costaba
$ 2.000 y platea que costaba $ 3.000. Si se vendieron entradas de los dos tipos,
¿cuántas personas asistieron a la platea?
A)
B)
C)
D)
E)
350
400
450
550
650
21. Juan compra 13 fichas en un casino, entre verdes y rojas. Las fichas verdes valen
$ 800 y las rojas valen $ 300. Si el total gastado en ellas fue $ 6.900, entonces
¿cuántas fichas verdes compró?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 10
E) 13
6
22. El número de niños que asiste a una función de circo excede en 50 al número de
adultos. Si cada adulto paga $ 3.000 y cada niño $ 2.000 y hubo una recaudación total
de $ 775.000, ¿cuántos adultos asistieron a la función?
A)
B)
C)
D)
E)
75
125
135
185
235
23. Entre dos ficheros A y B tengo 120 fichas. Si del fichero A saco 12 y las coloco en el
fichero B, ambos ficheros quedan con igual cantidad. ¿Cuántas fichas había inicialmente
en A?
A)
B)
C)
D)
E)
24.
72
68
60
54
48
Entre cerámica y piso flotante necesito 170 m2 para arreglar la casa. Si el metro
cuadrado de cerámica cuesta $ 6.000 y el metro cuadrado de piso flotante es un 30%
más barato, ¿cuál es la cantidad x de metros cuadrados de cerámica e y de piso
flotante si se sabe que el costo total es $ 840.000?
A)
B)
C)
D)
E)
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
30
70
40
84
60
y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
140
100
130
86
110
25. En la oficina se acostumbra a comprar mensualmente 20 resmas de papel (R) y
10 cartuchos de tinta (T) para impresora. Cierto mes se gastó $ 80.000, como al mes
siguiente el cartucho de tinta subió en $ 500 y la resma bajó $ 300 cada una, se hizo
un pedido de 25 resmas y 6 cartuchos de tinta y se gastó $ 76.000. ¿Cuál es el sistema
de ecuaciones que permite conocer los precios de cada artículo?
A)
B)
C)
D)
E)
20R + 10T = 80.000
25(R + 300) + 6(T  500) = 76.000
20R + 10T = 80.000
25(R  300) + 6(T  500) = 76.000
20R + 10T = 80.000
25(R  300) + 6(T + 500) = 76.000
20R + 10T = 80.000
25(R + 300) + 6(T + 500) = 76.000
20R + 10T = 80.000
25(R  300) + 6T = 76.000
7
26. Según el sistema
A)
B)
C)
D)
E)
x + y = 4a
x  y = 2b
, ¿cuál es el valor de 3x – y?
4a + b
4a – b
4a + 2b
4(a + 2b)
4a + 4b
27. Si el sistema
(k  1)x + 2y = 6
2x +(t  2)y = 12
tiene infinitas soluciones, entonces k + t es igual a
A) 8
B) 6
C) 2
D) -2
E) -8
28. Un perrito y un conejo pesan entre los dos 45 kg, el perro con el gato pesan 33 kg,
mientras que el conejo y el gato pesan 42 kg. ¿Cuánto pesarán el perro, el gato y el
conejo juntos?
A)
30 kg
B)
90 kg
C)
60 kg
D) 40 kg
E) 120 kg
29. Una flota de taxis cobra por carrera un cargo fijo (bajada de bandera), más una
cantidad por cada 200 metros de recorrido. A un cliente que anduvo 4 km le fue
cobrado $ 1.750, mientras que otro que recorrió 1 km tuvo que pagar $ 550. ¿Cuánto
se le cobrará a un pasajero por una carrera de 900 metros?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
720
970
360
500
510
8
30. Si Patricia(x) tiene 3 años menos que Ximena (y) y dentro de 4 años sus edades
sumarán 79 años. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que permite encontrar las edades
de Patricia y Ximena?
A)
B)
C)
D)
E)
x  y = -3
x + y = 71
x  y = -3
x + y = 79
x  y=3
x + y = 79
3x  y = 3
x + y = 79
x  y=3
x + y = 71
31. Pepe tiene dos hijos, él tiene 30 años más que su hijo mayor. Se puede calcular la edad
de Pepe, si se conoce:
(1) La diferencia de las edades de sus hijos.
(2) La suma de las edades de sus hijos.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. Sean p y
ellos, si:
(1)
q números enteros positivos. Se puede determinar el valor numérico de
p
5
y (p + q)2 = 144
=
q
7
(2) q – p = 2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
33. En el sistema
2x + 5y = 9
4x + ky = p
, (a, b) es la solución, si:
(1) a = 2 y b = 1
(2) k = 1 y p = 9
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. Se puede determinar el valor numérico de
3a  b
, si:
3a
(1) a : b = 3 : 2
(2) a – b = 5
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Sean x e y números positivos y distintos. Se puede determinar el valor numérico de la
x  y
, si:
expresión
2
x + y2  2xy
(1) x + y = 6
(2) x – y = 4
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
RESPUESTAS
1. E
6. D
11. A 16. D
21. A
26. E
31. C
2. E
7. E
12. E 17. D
22. C
27. A
32. A
3. A
8. C
13. D 18. B
23. A
28. C
33. C
4. D
9. B
14. E 19. B
24. B
29. E
34. A
5. A
10. C
15. C 20. E
25. C
30. A
35. B
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 26
UNIDAD: ÁLGEBRA
VECTORES Y ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
VECTORES
B
L
Extremo
A
Origen
fig. 1
Un vector es un segmento de recta dirigido AB caracterizado por tener:
Es la longitud del segmento AB y se anota como AB .

Módulo:

Dirección: Está dada por la posición de la recta que contiene al vector (recta L).
Sentido:
Existen dos sentidos posibles, de A hacia B o de B hacia A, indicados por la
flecha AB o BA respectivamente.

OBSERVACIONES

Dos vectores son iguales o equipolentes si tienen igual módulo, dirección y sentido.

Los vectores también se expresan con una letra minúscula y una flecha sobre dicha letra: u

Si A coincide con B, tendremos el vector cero o nulo AB = AA = 0
OPERACIONES CON VECTORES
Adición
Para sumar dos vectores u y v (fig.2), copiamos v a continuación de u, haciendo coincidir el
origen de v con el extremo de u. Luego, u + v es el vector que resulta de unir el origen de u
con el extremo de v (fig. 3).
v
u+v
fig. 2
u
u
v
fig. 3
Sustracción
El vector diferencia entre u y v, en ese orden, es u + (-v), donde –v (inverso aditivo de v)
tiene igual módulo y dirección pero sentido contrario a v.
Ponderación por un escalar
Dado a  lR y un vector v y se define el vector a · v como:
I. La magnitud de a · v es a · v
II. Si a > 0, la dirección y sentido de a · v corresponden a las del vector v.
III. Si a < 0, la dirección es la misma de v y su sentido contrario a v.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
Dos vectores son iguales si tienen igual longitud o módulo.
Restar dos vectores v1 y v2 (en ese orden) equivale a sumar el primero con el
inverso
III)
aditivo del segundo vector.
Dos vectores en un plano son paralelos si forman el mismo ángulo con respecto a
una recta de referencia común.
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
En la figura 4, el vector resultante de u + w – v tendrá la dirección y sentido indicado en
A)
B)
v
u
C)
fig. 4
w
D)
E)
3.
El vector 3x se muestra en la figura 5, entonces el vector -x es el que se muestra en
A)
B)
3x
C)
fig. 5
D)
E)
4.
Todos los vectores mostrados en la figura 6 tienen igual dirección y son de módulo
2 unidades. El vector x + w y el vector y – z, dan como resultado, respectivamente
vectores de módulo
A)
B)
C)
D)
E)
0 y 0
0 y 4
4 y 0
-4 y 4
0 y -4
x
w
y
fig. 6
2
z
Y
VECTORES EN lR2
6
Se
puede
establecer
una
relación
entre
5
las
B
coordenadas del extremo de un vector asociándolo a
un vector anclado en el origen, así OA = (4, 4),
4
A
3
2
1
OB = (-4, 3), OC = (-5, -3)
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
C
O
1
2 3 4 5 6
-2
-3
-4
-5
-6
DEFINICIONES
Dados los vectores a = (a1, a2), b = (b1, b2), se definen:
MÓDULO O MAGNITUD DE UN VECTOR
a
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

(a1)2 + (a2 )2
a  b = (a1  b1, a2  b2)
PONDERACIÓN POR UN ESCALAR (REAL) K
k · a = k · (a1, a2) = (k · a1, k · a2)
OBSERVACIONES

Se definen los vectores unitarios (módulo igual a 1): i = (1, 0) y j = (0, 1), de modo que
cualquier vector en el plano se puede expresar en términos de ellos (forma canónica).
a = a1 · i + a2 · j = (a1 , a2)

Dado el vector AB no anclado en el origen, con A(x1, y1) y B(x2, y2), entonces:
AB = (x2 – x1, y2 – y1)

Para dos vectores u y v en el plano o en el espacio, se cumple la desigualdad
u  v  u  v , llamada desigualdad triangular.
u+v
v
u
3
X
EJEMPLOS
1.
Sean a = (2, 3) y
A)
B)
C)
D)
E)
2.
(-3, 8)
(5, 9)
(-3, -8)
(-10, 10)
(-5, 5)
El módulo o magnitud del vector w = (-1, -3) es igual a
A)
-10
B)
10
C)
4
D)
7
16
E)
3.
En la figura 1, OABC es un cuadrado de lado 3 cm, OB y AC son diagonales. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
b = (-7, 2) entonces 2a + b =
AC y OB tienen igual módulo.
OA + AB + BC = OC
OB se puede representar por 3 i + 3 j .
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
y
C
O
B
fig. 1
A
x
Un vector anclado en el origen tiene módulo igual a 7 unidades, y la abscisa de su
extremo es 2. ¿Cuál es la coordenada de la segunda componente, sabiendo que está
ubicado en el cuarto cuadrante?
A) 5
B) 3 5
C) -5
D) -3 5
E) -9
4
VECTORES EN lR3
Se puede establecer una relación entre las coordenadas del extremo de un vector asociándolo
a un vector anclado en el origen, así OA = (2, 3, 5)
Z
5
2
A
O
3
Y
X
DEFINICIONES
Dados los vectores a = (a1, a2 , a3), b = (b1, b2 , b3), se definen:
MÓDULO O MAGNITUD DE UN VECTOR
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
a = (a1)2 + (a2 )2 +(a3 )2
a  b = (a1  b1, a2  b2, a3  b3,)
PONDERACIÓN POR UN ESCALAR (REAL) k
k · a = k · (a1, a2 ,a3 ) = (k · a1, k · a2 , k · a3)
OBSERVACIONES

Se definen los vectores unitarios (módulo igual a 1): i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) y
k = (0, 0, 1), de modo que cualquier vector en el plano se puede expresar en términos de
ellos en forma canónica
a = a1 · i + a2 · j + a3 · k = (a1, a2, a3)

Dado el vector AB no anclado en el origen, con A(x1, y1 ,z1) y B(x2, y2 ,z2), entonces:
AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
5
EJEMPLOS
1.
Sean a = (1, 3,-5) y
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3.
b = (-6, 2, 3) entonces 3a – b =
(9, -7, -18)
(-3, 11, -12)
(-3, 7, -18)
( 9, 7, -18)
( 9, 7, 12)
El módulo o magnitud del vector w = (-2, -1, 3) es igual a
A)
-14
B)
14
C)
4
D)
36
E)
 14
ˆ y e  2iˆ  ˆj  4k
ˆ , entonces el vector c – e =
ˆ  2k
Dados los vectores c  5iˆ  3j
ˆ
ˆ  2k
A) 3iˆ  4j
ˆ
ˆ  2k
B) 3iˆ  2j
ˆ
ˆ  6k
C) 3iˆ  4j
ˆ
ˆ  6k
D) 3iˆ  4j
E)
4.
5.
ˆ
ˆ  6k
3iˆ  4j
Dados los vectores r =(-3,2,1) y q =(4,-2,-5), el módulo de r – q es
A)
17
B)
53
C)
65
D)
85
E)
101
¿Para qué valor(es) de Z el módulo del vector (4, 3, Z) es 50 ?
A) 5
B) -5
C) 5 ó -5
43
D)
E)
 43
6
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA EN lR 2
P
y
L
d
p
P0
x
Dado un vector posición p0 = (x0, y0) y un vector director d = (d1, d2), para representar la
recta que pasa por un punto P(x, y) de ella, existe un   lR tal que:
p = p0 +  d
(x, y) = p0 +  d
Considerando que cada punto de la recta está en función del parámetro  también es posible
expresar la ecuación vectorial de la recta de la forma:
r() = p0 +  d
OBSERVACIÓN:

Un vector director se puede determinar a través de la diferencia de dos vectores posición.
EJEMPLOS
1.
La ecuación vectorial de una recta que tiene vector posición (1, 4) y vector director
(-2, 4), es
A) r() = (1 + 4, -2 + 4)
B) r() = (1 – 2, 4 – 4)
C) r() = (-2 + , 4 + 4)
D) r() = (1 – 2, 4 + 4)
E) r() = (-2 + 4, 1 + 4)
2.
Un vector de posición de la recta cuya ecuación vectorial es r(t)=(-5 + t, 1 + 3t) es
A)
B)
C)
D)
E)
(5, -1)
(1, -5)
(-5, 1)
(1, 3)
(-1, 3)
7
3.
Dada la recta de ecuación vectorial r() = (4, 6 – 3), ¿cuál de los siguientes puntos
pertenece a la recta?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones vectoriales representa a una recta que pasa por los
puntos (6, 2) y (-2, 3)?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
(-4, 16)
(4 , 3)
(12, -2)
(0, 5)
(4, -3)
I)
m(t) = (6 – 2t, 2 +3t)
II)
s() = (6 + 8, 2 - )
III)
v(f) = (14–8f, 1 + f)
Solo I
Solo III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones vectoriales representa(n) a la recta L de la
figura 1?
L
y
I) m() = (7 + , 0 - 2)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
r() = (0 + 3, 14 + 6)
14
v() = (3 - , 8 + 2)
I
II
III
I y III
II y III
fig.1
7
x
Para que la recta de ecuación vectorial g(k)= (-a, b) + k(2, 3) corte al eje de las abscisas
2b
, el parámetro k debe ser equivalente a
con a ≠ 3
A)
B)
C)
D)
E)
b
3
b
3
a
2
a
2
3
2
8
ECUACIÓN PRINCIPAL DE UNA RECTA A PARTIR DE LA ECUACIÓN VECTORIAL EN lR2
Sea r()= (p1 + d1, p2+d2), con vector posición p = (p1, p2) y vector director d = (d1, d2),
entonces:
Ecuaciones paramétricas:
x = p1 + d1
Ecuación continua o cartesiana:
x  p1 y  p2
=
d1
d2
OBSERVACIONES:
y = p2 + d2
la cual se obtiene despejando  de
cada una de las ecuaciones
paramétricas.

De la ecuación continua se puede obtener la ecuación principal de la recta, de la forma
y = mx + n
d
Donde m = 2
d1

Ordenando los términos de la ecuación principal, es posible obtener la ecuación general de
la recta: ax + by + c = 0.

En lR3 , dados los vectores posición p =(p1,p2,p3 ) y vector director d =(d1,d2,d3), se tiene:
Ecuaciones paramétricas:
Ecuación continua:
x = p1 + d1
y = p2 + d2
z = p3+d3
x  p1 y  p2
z  p3
=
=
d1
d2
d3
EJEMPLOS
1.
Las ecuaciones paramétricas de la recta de vector posición (5, 3) y vector director
(2, -1) son
A)
B)
C)
D)
E)
2.
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
5
5
5
3
5
+ 3t
–t
+ 2t
–t
+ 2t
,
,
,
,
,
y=2–t
y = 3 + 2t
y=3+t
y = 5 + 2t
y=3–t
Las ecuaciones paramétricas de una línea recta son x = 6 + 2; y = 3 – . Entonces, su
ecuación continua es
A)
B)
C)
D)
E)
x  6
2
x  2
6
x  6
2
x  6
2
x+6
2
=
=
=
=
=
y+3
-1
y  3
-1
y  3
-1
y  3
1
y+3
1
9
3.
x  2
y+2
, entonces ¿cuál(es) de las
=
5
3
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
Si la ecuación continua de una recta es
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
La ecuación principal
r(t) = (2 – t, 3 + 4t) es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
de
la
recta
que
corresponde
a
la
ecuación
vectorial
-4x + 11
-4x + 5
4x + 5
x+1
4x +1
¿Cuál(es) puede(n) ser una ecuación continua de la recta y = 2x – 6?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
El vector dirección es (5, 3).
El vector posición es (2, -2).
3
16
La ecuación principal es y = x 
5
5
x  3
y
=
1
2
x  1
y+4
=
1
2
x  3
y  3
=
2
2
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
Dada la ecuación vectorial s(t) = (5 – t, -2 + 4t, 1 + 6t), su ecuación continua es
A)
B)
C)
D)
E)
x+5
-1
x  5
-1
x  5
-1
x  5
-1
x  5
-1
=
=
=
=
=
y+2
=
4
y+2
=
4
y  2
=
4
y  2
=
-4
y  2
=
4
z  1
6
z  1
6
z  1
6
z+1
6
z+1
-6
10
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA EN lR3
z
L
P
d
p
P0
Eje X: Eje de las abscisas
Eje Y: Eje de las ordenadas
Eje Z: Eje de las cotas
y
x
Dado un vector posición p0 = (x0, y0, z0) y un vector director d = (d1, d2, d3), para representar
la recta que pasa por un punto P(x, y, z) de ella, existe un   lR talque:
p = p0 +  d
(x, y, z)= p0 +  d
Considerando que cada punto de la recta está en función del parámetro  también es posible
expresar la ecuación vectorial de la recta de la forma:
r() = p0 +  d
OBSERVACIÓN:

Un vector director se puede determinar a través de la diferencia de dos vectores posición.
Ejemplos
1.
La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (3, 1, -3) con vector director
(2, 4, 1), corresponde a
A) r(t) = (2+ 3t, 4 + t, 1 – 3t)
B) r(t) = (5t, 5t, -2t)
C) r(t) = (3 + 2t, 1 + 4t, -3 + t)
D) r(t) = (3 + t, 1 + 3t, -1 – 2t)
E) r(t) = (2 + 4t, 1 + 3t, -3 + t)
11
2.
Un vector posición de la recta de ecuación vectorial r(t) = (2 + 5t, 1 + 3t, -1 – 2t), es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(2, 1, 1)
(2, 1, -1)
(2, 1, 2)
(5, 3, -2)
(-5, -3, 2)
¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales contiene al punto (2, -1, 3)?
A) m() = (5 - , -7 + 2, 12 – 3)
B) p(t) = (6 – t, 5 + 2t, 8 – 2t)
C) r() = (2 + , 2 + 2, 6 - )
D) v() = (8 - , 1 + 3, 3 - )
E) s() = (5 - , 3 + 2, 1 + )
4.
La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(2, 3, -1) y B(1, 3, 2), es
A) m() = (2, 3, -1)+ (-1, 0, -3)
B) r(t) = (2, 3, 1)+ t(2, 0, -2)
C) q() = (2, -3, -4)+ (1, 0, -1)
D) n() = (1, 3, 2)+ (4, 0, 12)
E) f(k) = (3, 3, -4)+ k(1, 0, -3)
5.
¿Cuál de las siguientes rectas pasa por el origen?
A) m() = (2, 3, 1) + (-1, -4, -1)
B) r(t) = (7, 5, 1) + t(1, 6, -2)
C) q() = (2, -3, -4) + (10, -15, -20)
D) n() = (8, 3, -2) + (-12, -17, -15)
E) f(k) = (6, 3, 1) + k(1, 1, 1)
6.
¿Cuál
de
los
siguientes
puntos
(x, y, z) = (2, 0, -1) + (9,-3, -6)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(9, -3, -6)
(2, 0, -1)
(-25, 9, 17)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
Ninguno de ellos.
12
pertenecen
la
recta
de
ecuación
RECTAS PARALELAS EN FORMA VECTORIAL EN

Si se tienen dos rectas, en su forma vectorial r1() = p + d y r2() = q + s, entonces
r1() es paralela a r2(), si:
d = k · s, con k perteneciente a los reales.
RECTAS PERPENDICULARES EN FORMA VECTORIAL EN

Si se tienen dos rectas, en su forma vectorial r1() = p + d y r2() = q + s con
d = (d1, d2) y s = (s1, s2), entonces r1() es perpendicular a r2(), si: d1 · s1 + d2 · s2 = 0.
Observación: Lo anterior se puede extender a rectas secantes en el espacio.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes
r() = (3 – 3, 2 – 4)?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
m()
m()
m()
m()
m()
(1
(1
(2
(2
(5
representa
una
recta
paralela
a
la
recta
+ , 2 + )
+ 6, 3 + 4)
+ 3, 3 – 4)
+ 6, 3 + 8)
– 3, 6 + 4)
¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a r() = (1 – 1, 4 + 2)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
=
=
=
=
=
rectas
m() = (4 + 2, 3 + )
v() = (2 + 6, 3 + 3)
p() = (5 – 4, 2 – 2)
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Si r1() = (2 + 3, 3 – 2) y r2(t) = (1 + 2t, 4 – at), entonces ¿cuál debe ser el valor de
a para que r1() sea perpendicular a r2(t)?
A) -3
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
13
4.
¿Cuál de las siguientes rectas no es paralela a la recta de ecuación vectorial
t() = (5 – 3, 9 – 4, -2 + 2)
2
 4
A) m() =(3,3,3)+   1, ,  
3
3


3
B) r(t) =(1,7,9)+ t  ,2, 1 
2

C) q() =(2,-3,4)+ (6,8,-4)
D) n() =(5,3,1)+ (-6,-8,4)
E) f(k) =(2,3,5)+ k(5,9,-2)
5.
Si r1(t) = (5 – 4t, 3 + 3t, 1 + 7t) y r2() = (5 – , 3 + 8, 1 + b) , entonces ¿cuál
debe ser el valor de b para que r1(t) sea perpendicular a r2()?
A) -4
20
B) 7
C)
4
20
D)
7
E)
7
6. ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a r() = (2 – 2, 1 + 4, 5 + )?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
m() = (2 + 6, 1 + 2, 5 + 4)
p() = (3 – 2, 4 +3, 6 – 4)
v() = (-2 + 3, 9 +  , 7 + 2)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
14
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
2
D
E
E
A
4
A
B
E
D
6
D
B
E
E
C
7y8
D
C
B
C
D
B
9 y 10
E
C
E
A
D
B
11 y 12
C
B
A
E
C
D
13 y 14
D
E
A
E
A
D
Págs.
15
5
6
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 26
VECTORES Y ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
1.
El módulo del vector u = (-2, -3, -6) es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
¿Cuál de los siguientes vectores tiene igual sentido y dirección que el vector
 3 1 2
- , , -  ?
 4 5 3
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(-45,
(-15,
(-30,
(-45,
(-90,
12, -20)
4, -6)
8, -80)
12, -40)
24, -120)
Dados los vectores a = (-1, 4, 2) y b = (-2, 3, 5) y el escalar  = -3, entonces a + b
es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
49
11
7
-7
7
(5, -5, -13)
(-7, -5, -13)
(-6, 4, 4)
(1, -9, -1)
(5, 7, 17)
Dados los puntos A(-3, 0, -2) y B(1, 4, -1), ¿cuál es la longitud del segmento AB?
A)
41
B)
38
C)
33
D)
29
E)
21
5.
6.
Si v = 3i – 5j y w= -2i + 3j, entonces la magnitud del vector v – w es igual a
A)
5
B)
13
C)
89
D)
13 –
E)
5 –
En la figura 1, los puntos A, C, D y B son los vértices de un cuadrilátero. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
5
13
(DB + BA) es igual a DA.
A
(DB + BA + AC) es igual a CD.
(DB + BA + AC + CD) es el vector nulo.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
B
fig. 1
C
Dados los vectores a = (5, u) y b = (4, 3), con u > 0, ¿cuál de los siguientes números
es el valor de u para que la longitud de a sea el triple de la longitud de b?
A) 10 2
B) 5 10
C) 5 2
D) 2 5
E) 9
8.
D
Sean v= (a – b, 4, 2) y w = (5, a + b, 2). Si v = w, entonces a · b es
A) -9
9
B) 4
9
C)
4
D) 4
E) 5
2
9.
1
 1 2 -1 

Dados los vectores v =  , ,
 , w =  -3, 1,  y el escalar , entonces w + v
2
2 3 4 

corresponde a
 1  6 2 + 3 2  1 
A) 
,
,

3
4 
 2
 -6 +  2 + 3 - + 1 
B) 
,
,
3
4 
 2
 -3 +  2 + 3 - + 2 
C) 
,
,
3
4 
 2
 -6 +  2 + 1 - + 2 
D) 
,
,
3
4 
 2
 -6 +  2 + 3 - + 2 
E) 
,
,
3
4 
 2
10. Un vector de posición de la recta v(t)=(-9 + t, 5 + 3t) es
A)
B)
C)
D)
E)
(-9, 5)
(9, 5)
(9, -5)
(1, 3)
(5, -9)
11. Una ecuación para la recta que tiene vector posición (2, 3) y dirección (-2, 5) es
A) r() = (2 + 2, 3 + 5)
B) r() = (2 – 2, 3 + 5)
C) r() = (2 – 2, 3 – 5)
D) r() = (2 – 2, 3 – 5)
E) r() = (2 – 2, 5 – 3)
12. Una ecuación para la recta que contiene a los puntos A(3, -5) y B(4, 6) puede ser
A) r(t) = (3 – t, 5 + 11t)
B) r(t) = (3 + t, 5 + 11t)
C) r(t) = (t – 3, 11t – 5)
D) r(t) = (3 + t, -5 + 11t)
E) r(t) = (3 + 4t, -5 + 6t)
3
13 Dada la recta de ecuación vectorial r() = (2 + 3 , 4 – 2), ¿cuál(es) de los siguientes
puntos pertenece(n) a la recta?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
(4, 8)
(11, -2)
(5, 2)
I
II
III
I y II
II y III
14. La recta cuya ecuación vectorial es r() = (4 + 3, 6 + 2) tiene por ecuaciones
paramétricas
A)
B)
C)
D)
E)
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
6
4
4
4
3
+ 2 , y = 4 + 3
+ 6 , y = 3 + 2
+ 3 , y = 6 + 2
– 3 , y = 6 – 2
+ 4 , y = 2 + 6
15. En las opciones se muestran ecuaciones vectoriales, para t variando en los números
reales. ¿En cuál de ellas la recta NO pasa por el origen?
A)
v(t)=t(1, 2, 3)
B)
p(t)=(2, 4, 6) + t(1, 2, 3)
C) g(t)=(-3, 9, -12) + t(1, -3, 4)
D) n(t)=(-2, -10, -28) + t(1, 5, 14)
E)
m(t)= (2, 10, 21) + t(1, 5, 7)
(Pregunta 58) Modelo Demre 2015.
16. La ecuación cartesiana de la recta con vector posición (3, 5) y vector director (-1, 7) es
A)
B)
C)
D)
E)
5x – 3y + 6 = 0
7x + y – 19 = 0
7x + y – 26 = 0
x + 7y + 20 = 0
7x + y+ 16 = 0
4
17. Una ecuación continua para la recta y = 6x + 2, podría ser
A)
B)
C)
D)
E)
x  0
1
x  2
6
x  0
6
x  1
6
x 2
1
y  2
6
y  0
=
1
y  2
=
1
y  8
=
1
y 0
=
6
=
18. La ecuación vectorial de la recta en lR3 correspondiente a la ecuación continua
x  2
y+3
z  1
es
=
=
3
4
2
A)
r(t) = (3 + 2t, 4 – 3t, 2 + t)
B)
r(t) = (-2 + 3t, 3 + 4t, -1 + 2t)
C) r(t) = (-3 – 2t, -4 – 3t, -2 + t)
D) r(t) = (2 + 3t, -3 + 4t, 1 + 2t)
E)
r(t) = (2 – 3t, -3 – 4t, 1 – 2t)
19. La ecuación vectorial de la recta en lR3 de vector posición (3, 4, 5) y vector director
(-2, 7, -3) es
A) r() = (3 – 2, 4 + 7, 5 + 3)
B) r() = (3 + 2, 4 – 7, 5 – 3)
C) r() = (3 – 2, 4 + 7, 5 – 3)
D) r() = (3 + 2, 4 + 7, 5 + 3)
E) r() = (-2 + 3, 7 + 4, -3 + 5)
20. ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela con r(t) = (5 + 6t, 1– t)?
A) m(t) = (5 – 6t, 1 – t)
1
B) p() = (15 – 3, -  )
2
C) v() = (-5 + 12, 11 + 2)
D) g(w) = (5 + w, 1 + 6w)
1 

E) h(s) =  5 + s, - s 
6 

5
21. ¿Cuál de las siguientes
r(t) =(-4 + 2t, 1 – 3t, 5 + t)?
rectas
es
paralela
a
la
recta
de
ecuación
A) q(t)=(-8 + 4t, 2 – 6t, 5 – 2t)
B) P(t)=(2t ,-5 + 3t, 7 – t)
C) m(t)=(2 + 4t, -8 + 6t, 8 – 2t)
D) n(t)=(-4 + t, 1 + t, 5 + t)
E) g(t)=(6 – 2t,-14 + 3t,12 – t)
22. ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a r(t) = (3 + 6t, 1 – t)?
A) f() = (3 – , 1 + 6)
B) p() = (3 + , 1 – 6)
C) v() = (13 + 2, 1 – 12)
D) r() = (9 + 3 , 18)
E) g() = (4 + 6, 5 – 1)
23. Si v(t) = ( 1 + t, 5 – 3t) y m(t) = (6 + 2t, 3 – bt), ¿cuál debe ser el valor de b para
que v(t) sea perpendicular a m(t)?
A)
B)
C)
D)
E)
3
2
3
2
3
2
5
24. ¿Cuál de las siguientes rectas
r(t)=(-3 + t, 4 – 2t, 5 – 3t)?
es
A) r() = (-2 + 5, 2 + , 2 + )
B) r() = (-2 - , -2 + 2, -2 + 3)
C) r() = (, -2 – 2, -4 + 3)
D) r() = (1 + 2, -4–4, -7 + 6)
E) r() = (2 – 3, -6 + 6, -10 – 9)
6
perpendicular
a
la
recta
de
ecuación
25. Dado los vectores u = (0, 3, 4), v = (5, 0, -12) y w = (-15, 8, 0), entonces ¿cuál de
las siguientes alternativas es FALSA?
A) 8  u + v  18
B) 12  u + w  22
C) 8  u – v  18
D) 4  v – w  30
E) 0  w  16
26. Se sabe que un vector tiene origen en (0, 0) y las componentes de su extremo son
iguales, además el módulo de dicho vector es 3. Entonces, las componentes del
extremo del vector pueden ser
A)
B)
C)
3 3
 2, 2 


 3 2 3 2
, 
2 
 2
3 2 3 2 
,

2 
 2
D) (1, 8 )
 3 2 3 2
E)  ,

2 
 2
27. El triángulo ABC de la figura 6 es equilátero de lado 6a. Si CD  AB y AE es bisectriz
del ángulo CAB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
BG = 2a 3
C
BG + GC = 4a 3
fig.6
GA + 2GE = 0
E
Solo I
Solo II
Solo II y III
Solo I, III
I, II, III
G
A
7
D
B
28. Dadas las rectas L1: x + 1 = 2t, y – 1 = t, z – 1 = 0 y L2: x = 1 – k, y = -1 + 2k,
z = -1 + 3k, entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
 5 1 
L1 pasa por el punto  - , , 1
 2 4 
Si d1 y d2 son los vectores directores de L1 y L2 respectivamente, entonces
d1 · d 2 = 0
III)
A)
B)
C)
D)
E)
L2 pasa por el punto (1, -1, -1).
Solo I
Solo II
Solo II y III
Solo I y II
I, II y III
29. Dado los puntos P(1, 2, 3), Q(-1, 1, -1) y R(a, b, c), ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si PQ  PR, entonces 2a + b + 4c – 16 = 0
a1 b 2
c3
Si PQ // PR, entonces


2
1
4
Si PQ = -PR, entonces (a, b, c) = (3, 3, 7)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
30. La recta de ecuación v()=(9 – 3, -8 + 4), se gira en 270° con centro en el punto
(0, 4), obteniéndose la recta L. ¿Cuál es la ecuación vectorial de L?
A) r(t) = (4t, 2t + 4)
B) r(t) = (8t, 6t + 3)
C) r(t) = (4t, 4 + 3t)
D) r(t) = (-1 + 12t, 9t)
E) r(t) = (4 + 4t, 3t)
8
31. Se puede conocer un vector director de una recta, si se conoce:
(1) Dos puntos por donde pasa la recta.
(2) La ecuación cartesiana de la recta.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. Sea p(t) = (4 + 3t, 2 – t) y v(f) = (2 – bf, 3 – 2f), se puede determinar el valor de b,
si:
(1) El punto (11, 0) pertenece a la recta v(f).
(2) La recta p(t) es paralela a la recta v(f).
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. Dos rectas en el espacio tienen vectores directores p = (p 1, p2, p3) y q = (q1, q2, q3).
Estas rectas son paralelas, si:
(1) (p1, p2, p3) = k (q1, q2, q3) con k  lR - {0} y las rectas no son coincidentes
(2) Las rectas no son secantes.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
34. Los vectores directores de dos rectas en el espacio son v = (a, b, c) y u = (d, e, f).
Estas rectas son perpendiculares, si:
(1) a · d + b · e + c · f = 0
(2) Las dos rectas son secantes.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. El punto A(a, b, c) pertenece a la recta de ecuación r() = (3 – 2, 4 + 7, 5 – 3), si:
(1)
3  a
b  4
5  c
=
=
2
7
3
(2) A pertenece a la recta de ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
x  3
y  4
z  5
=
=
-2
7
-3
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
10
RESPUESTAS
1. E
6. C
11. B
16. C
21. E
26.B
31. D
2. D
7. A
12. D
17. A
22. D
27.B
32. D
3. A
8. B
13. E
18. D
23. B
28.E
33. A
4. C
9. E
14. C
19. C
24. A
29.E
34. C
5. C
10. A
15. E
20. E
25. E
30.C
35. D
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 27
UNIDAD: GEOMETRÍA
GEOMETRÍA PROPORCIONAL I
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean,
respectivamente, congruentes con los ángulos del otro, y cuando tengan sus lados
homólogos proporcionales.
C
R


ABC  PQR  


A  P
AB BC CA

B  Q y
=
=
PQ QR RP
C  R 
A
OBSERVACIONES
B
P
Q
Esta definición encierra la idea de similitud de forma: es decir, dos triángulos son
semejantes, si y sólo si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo
tamaño.
 Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos
de uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando
además, tengan sus lados homólogos proporcionales.
 La congruencia es un caso particular de semejanza.

EJEMPLOS
1.
Si en la figura 1, ABC  A’B’C’, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
C’
I) A’B’ = 6
C
II) A’C’ = 12
fig. 1
III) ’ = 
4
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III

A
9
3
2
B
’
A’
B’
Los lados de un triángulo miden 30 cm, 50 cm y 60 cm. ¿Cuánto mide el lado más
largo de un triángulo semejante con él, cuyo lado menor mide 20 cm?
A)
B)
C)
D)
E)
30
40
50
60
70
cm
cm
cm
cm
cm
3.
21
3
A
II)
70°
D
3x – 1
E
A)
B)
C)
D)
E)
III)
70°
80°
150°
30°
110°
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguno de ellos.
El triángulo ABC de la figura 3, es escaleno y rectángulo en C. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
B
2x–8
¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?
I)
5.
fig. 2
C
A) 2
B) 5
C) 8
D) 14
E) 16
4.
F
En la figura 2, si ABC  DEF, entonces DE mide
I)
ACD  ABC
II)
III)
BCD  BAC
ADC  ACB
C
fig. 3
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
A
Son polígonos semejantes:
I)
II)
III)
Dos Cuadrados.
Dos Rombos.
Dos hexágonos regulares.
De las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2
D
B
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para establecer la semejanza entre dos triángulos, no es necesario verificar cada una de
las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas,
provocan necesariamente la ocurrencia de las restantes.
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL) (A-A)
Dos triángulos serán semejantes, cuando dos ángulos
respectivamente, congruentes a dos ángulos del otro.
C
de
uno
de
ellos
sean,
R
O sea, en la figura 1:
fig. 1
Si A  P y B  Q
entonces
ABC  PQR
A
B
Q
P
COROLARIO 1
Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero.
O sea, en la figura 2:
C
Si DE // AB ,
entonces
fig. 2
CDE  CAB
E
D
COROLARIO 2
A
B
Al trazar en el interior de un triángulo ABC un segmento ED, no paralelo al lado de AB, de
tal forma que EDC  BAC, entonces el EDC es semejante con el ABC.
C
O sea, en la figura 3:
fig. 3
Si EDC ≅ CAB,
D
entonces
CDE  CAB
E
A
COROLARIO 3
B
Si se prolongan dos lados de un triángulo y se traza una paralela al otro lado, se determina
un nuevo triángulo semejante al primero.
D
E
O sea, en la figura 4:
Si DE // AB ,
entonces
CDE  CBA
fig. 4
C
A
3
B
EJEMPLOS
1.
En el paralelogramo ABCD de la figura 5, EF // AB . ¿Cuál(es) de las afirmaciones
siguientes es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
EPD es semejante con CDB.
EPD es semejante con FPB.
ABD es semejante con CDB.
D
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
C
E
P
F
A
fig. 5
B
En el PQR de la figura 6, ST // PQ . Si RS : SP = 2 : 5 y PQ =14 , entonces ST =
R
A) 4
B) 5,6
C) 6,5
D) 7
E) 11
fig. 6
S
T
3
P
3.
Q
¿Cuál es el valor de x en la figura 7, si se sabe que L1 // L2?
A) 3
B) 4
C) 9
D) 14
E) 21
4.
L1
18
fig. 7
2x + 3
x+5
12
L2
En la figura 8, CA  AB y ED // AC . ¿Cuál es el área del cuadrilátero ADEC?
A)
B)
C)
D)
E)
C
12
60
72
90
96
fig. 8
E
12
A
D
16
4
4
B
5.
Si en la figura 9, ABC  QPC, con PQ = 6, PC = 5, CQ = 10, AB = 18 entonces, el
trazo BQ mide
C
fig. 9
A) 2,5
B) 5
C) 10
D) 15
E) 20
P
Q
B
A
6.
En la figura 10, PQ // MN . Si MN mide el triple de PQ , ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
Los triángulos PQR y MNR son isósceles.
Los triángulos PQR y MNR son semejantes.
MR es el triple de QR .
R
fig. 10
P
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
M
5
Q
N
TEOREMA 2 (LAL)
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido entre
lados proporcionales.
R
C
O sea, en la figura 1:
AC
Si A  P y
PR
=
AB
PQ
k·b
b
, entonces ABC  PQR
B
c
A
TEOREMA 3 (LLL)
fig. 1
P
Q
k·c
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales.
C
O sea, en la figura 2:
Si
AB
PQ
=
BC
QR
=
CA
RP
, entonces PQR  ABC
q
TEOREMA 4 (LLA>)
P
k·q
p
Q
r
k·p
A
O sea, en la figura 3:
AC
=
C
PQ > PR
R
AB
,
PR
PQ
entonces PQR  ABC
respectivamente
AB > AC
k·q
q
P
B
k·r
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados
proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes.
Si C  R y
fig. 2
R
r
A
Q
B
k·r
fig. 3
EJEMPLOS
1.
En la figura 4, ABC  DEF. ¿Cuál es la medida de la suma de los segmentos DE y EF?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
21
4
27
4
30
4
51
4
61
4
C
12
A
F
10
9
B
7
fig. 4
y
x
D
E
Según los datos dados en la figura 5, ¿cuál es la medida del segmento AC?
R
B
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
4
E)
C
3x – 6
3
3x
6
Q
m
14
A
6
fig. 5
m
7
P
3.
Según los datos de la figura 6, ¿cuál es la medida del segmento PQ?
A)
B)
C)
D)
E)
A
12
18
24
27
54
C
36
70°
3y
6x
fig. 6
2y
4x
70°
B
4.
R
Q
P
¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) semejante(s) al triángulo escaleno de la
figura 7?
a
fig. 7
b
c
I)
II)
a+2
b+2
III)
1,3 a
c+2
A)
B)
C)
D)
E)
5.
b
2
c
2
1,3 c
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
Si PQR  STU (fig. 8), entonces el valor de (x – y) es
A) 4
B) 6
C) 10
D) 14
E) 21
6.
a
2
1,3 b
U
R
8
14
P
y
7
Q
x
fig. 8
S
T
5
En la figura 9, AC : DF = BC : EF, entonces BC es igual a
A) 4
B) 5
C) 7
D) 14
E) 28
C
F
3x – 7
8
A
7
x
4
B
fig. 9
D
E
TEOREMA 5
En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazos
homólogos cualesquiera y también están en la misma razón que sus perímetros (figura 1).
C
C’
b
t
h
Perímetro ΔABC
= c = a =
= ....
b'
tc'
ha'
Perímetro ΔA'B'C'
b
a
tc
a’
fig. 1
ha’
ha
c
A
tc’
b’
B
c’
A’
B’
TEOREMA 6
Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón
en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera (figura 1).
2
2
2
t 
h 
Área ΔABC
b
=   =  c  =  a 
Área ΔA'B'C'
 b' 
 tc' 
 ha' 
OBSERVACIÓN:
= ....
Estos teoremas también son válidos en polígonos semejantes.
TEOREMA 7 (DE LA BISECTRIZ INTERIOR)
En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo interior divide al lado opuesto en la misma razón
que los lados adyacentes (figura 2)
C
fig. 2
AD
AC
=
DB
CB
CD es bisectriz
D
A
B
EJEMPLOS
1.
En la figura 3, el trazo DE es paralelo al lado AB del triángulo ABC. ¿Cuál es el
perímetro del CDE?
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 3
36
32
27
21
18
16
6
8
D
A
8
E
12
B
2.
Los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura 4, son semejantes. S y S’ representan las
áreas del primer y segundo triángulo, respectivamente. Si S : S’ = 1 : 4, ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
C’
a : a’ = 1 : 2
hc : hc’ = 1 : 4
hc : hc’ = tc : tc’
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
fig. 4
C
a’
tc
hc
hc’
a
A
tc’
B
B’
A’
En la figura 5, si ABC  A’B’C’, AB : A’B’ = 1 : 3 y h = 3, entonces h’ mide
A)
B)
C)
D)
E)
C’
C
3
5
6
8
9
fig. 5
h’
h
A
B
A’
B’
4.
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, los catetos x e y miden 21 y 28,
respectivamente. Si CD es bisectriz del ángulo recto, entonces las medidas de a y b
son respectivamente
C
a
b
6 y 8
A)
fig. 6
x
y
6 y 9
B)
8 y 12
C)
D) 12 y 15
E) 15 y 20
b
B
a
D
A
5.
En la figura 7, el área del ABC es 80 cm2. Si DE // BC , entonces ¿cuál es el área del
trapecio DBCE?
A)
B)
C)
D)
E)
20
35
40
45
60
C
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
fig. 7
E
12
9
A
9
D
B
TEOREMAS DE EUCLIDES
El triángulo de la figura 1 es rectángulo en C y CD es altura.
C
a y b: catetos
c: hipotenusa
b
p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.


a
hc


A qD
p
B
c
Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura hc al cuadrado es igual al
producto entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
q
h
= c
hc
p

fig. 1


h2c = p  q
Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo, cada cateto al cuadrado es igual
al producto entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
p a

=
a c
OBSERVACIÓN:
q b

=
b c
a2 = p  c
a · b = c · hC 
hc =
b2 = q  c
ab
c
EJEMPLOS
1.
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 2, CD es altura. ¿Cuál es la medida de
CD ?
A)
A
3 13
fig. 2
9
B) 2 13
C) 6
D) 4
E) 36
2.
C
D
4
B
En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 3, BD es altura. ¿Cuál es la medida de
AD ?
C
A) 10
2
B) 8
fig. 3
D
C) 2
4
D) 2 5
E)
4 5
10
A
B
3.
En el triángulo ABC rectángulo en A de la figura 4, AD es altura. ¿Cuál es la medida de
BC ?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
C
2 2
6 2
8
9
10
1
fig. 4
3
A
B
En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 5, BD es altura. ¿Cuál es la medida de
AB ?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
D
15
A
3 5
6 5
6
10
13
D
C
3
fig. 5
B
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, CD es altura. ¿Cuál es la medida de
BC ?
C
A) 5
B) 8
C) 4 6
fig. 6
D) 4 3
A
E) 4 2
6.
D
B
4
12
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 7, CD es altura. ¿Cuál es la medida del
cateto AC ?
A) 48
B) 16
C) 4 3
D)
E)
7.
B
2 2
D
fig. 7
4 2
2 6
4
A
C
Según los datos proporcionados por la figura 8, la medida de x es
C
A) 1,5
B) 2 5
fig. 8
4
D
C) 3 5
D) 5
E) 9
x
6
A
11
B
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
E
B
D
D
E
C
4y5
E
A
C
D
B
B
6y7
D
D
C
D
B
D
8y9
C
B
E
E
B
10 y 11
C
B
D
B
D
Págs.
12
C
7
D
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 27
GEOMETRÍA PROPORCIONAL I
1.
Se puede afirmar que los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura 1 son semejantes si se
cumple
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
 = ’
BC = B’C’
 = ’
C’
C
I
II
I y II
I y III
II y III


A
’
B’
’
A’
B
En
la figura 2, el trazo DE es paralelo al lado
AC del
Si AB = 14 cm, AC = 21 cm y AE = 8 cm, entonces DE mide
triángulo ABC.
C
A)
6 cm
B)
7 cm
C)
8 cm
D) 9 cm
E) 12 cm
fig. 2
D
E
A
3.
fig. 1
’

B
Las rectas L1 y L2 de la figura 3, son paralelas y los trazos BD y AE se intersectan
en C. Si AC = 6 cm, AB = 10 cm y CE = 9 cm, entonces ED mide
A)
B)
C)
D)
E)
12
13
14
15
18
cm
cm
cm
cm
cm
L1
D
E
fig. 3
C
L2
A
B
4.
Los rectángulos de la figura 4, son semejantes. Si FG = 20 cm, GH = 30 cm y el
perímetro del rectángulo ABCD es de 360 cm, entonces su lado menor mide
A)
B)
C)
D)
E)
72 cm
108 cm
144 cm
216 cm
ninguna de las anteriores.
D
C
A
5.
E
F
fig. 4
24
27
30
36
48
cm
cm
cm
cm
cm
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 5, CD  AB y BD = DA = 8. ¿Cuánto
mide CD ?
B
A)
B)
C)
D)
E)
7.
G
Un par de lados homólogos de dos polígonos semejantes miden 12 cm y 18 cm. Si el
perímetro del polígono mayor mide 54 cm, ¿cuál es el perímetro del polígono menor?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
B
H
D
2 2
4
8
8 2
64
C
fig. 5
A
En el triángulo ABC rectángulo en A de la figura 6, AD es altura. ¿Cuál es la medida de
BC ?
C
fig. 6
D
A) 15
5
B) 20
C) 25
D) 5 3
10
A
B
E) 10 3
2
8.
El triángulo ABC de la figura 7, es rectángulo en C y CD es altura. Si BD = 1 y AB = 9,
entonces AC es igual a
C
A)
3
B) 2
C) 3
D) 2 2
E) 6 2
9.
fig. 7
A
D
B
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 8, CD  AB . Si AD = 16 y BD = 4,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
CD =
8
II)
BC = 4 5
III)
AC = 8 5
A
C
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
fig. 8
D
B
10. En el ABC de la figura 9, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
AHD  CHE
ADC  BDC
AEB  CDB
C
fig. 9
E
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
H
50°
A
D
11. En la figura 10, L1 // L2. Si EC = 36 cm y CB = 81 cm, entonces
4
9
2
B)
3
16
C)
81
9
D)
4
3
E)
2
A)
E
L1
B
Área (CDE)
=
Área (ABC)
D
C
L2
3
A
fig. 10
B
12. A la misma hora, un edificio y un semáforo de 3 m de altura, proyectan una sombra de
60 m y 150 cm, respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio?
A) 30 m
B) 90 m
C) 120 m
D) 150 m
E) 180 m
13. En el triángulo ABC de la figura 11, PQ es tal que el CPQ es congruente con el CBA.
Si AB = 15 cm, AC = 18 cm y PQ = 5 cm, entonces el segmento CQ mide
C
A)
B)
C)
D)
E)
6
5
4
3
2
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 11
P
Q
A
B
14. En la figura 12, ¿cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
Si ED // AB , entonces ABC  DEC.
Si ED  AB y C es punto medio de AD , entonces ABC  EDC.
Si ABC isósceles de base AB y C es punto medio de AD , entonces
ABC  EDC.
E
A)
B)
C)
D)
E)
D
60°
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
fig. 12
C
A
B
15. En el ABC rectángulo en C de la figura 13, DE  BC . Si ED = 8, BD = 10 y DA = 20,
¿cuánto mide el perímetro del trapecio CADE?
B
fig. 13
A) 56
B) 62
D
C) 64
E
D) 70
E) 192
C
A
4
16. En el triángulo ABC de la figura 14, ED = 5 cm, EC = 8 cm, AE = 12 cm y DEC
isósceles de base EC , entonces el perímetro del ABC es
C
A)
B)
C)
D)
E)
18
27
32
64
72
cm
cm
cm
cm
cm
E
fig. 14
 D

A
B
17. La razón entre las áreas de dos cuadrados es 9 : 1 y la diferencia de las medidas de sus
lados es 4 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado menor?
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
5
6
cm
cm
cm
cm
cm
18. En el ABC de la figura 15, AC = 30 cm y AB = 20 cm, entonces el área del cuadrado
AEFD es
C
A) 12
B) 48
C) 60
D) 64
E) 144
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
fig. 15
D
F
A
E
B
19. En la figura 16, ABC  A’B’C’. Si AB = 2 cm y A´B´ = 6 cm, ¿cuál(es) de las
afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si CD = 4 cm, entonces C´D´ = 12 cm.
Si Perímetro (ABC) = 7 cm, entonces Perímetro (A’B’C’) = 21 cm.
Si Área (ABC) = 6 cm2, entonces Área (A’B’C) = 36 cm2.
C’
C
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
fig. 16
A
5
D
B
A’
D’
B’
20. Juan observa dos postes cilíndricos de igual diámetro, situados frente a él, tal como se
muestra en la figura 17. La distancia entre Juan y el centro del poste A es
(x + 6) metros y la distancia entre los centros de ambos postes es (3x – 7) metros.
¿A cuántos metros se encuentra Juan del centro del poste B?
A) 4
B) 5
C) 10
D) 15
E) 29
fig. 17
30 m
20 m
A
B
21. En la figura 18, ABCD es un cuadrado y EFCG es un rectángulo. Si BF : FC = 1 : 4 y
EF = 2 cm, entonces el perímetro del cuadrado es
D
A)
B)
C)
D)
E)
10
16
20
32
40
cm
cm
cm
cm
cm
G
C
fig. 18
E
A
F
B
22. Un avión de combate vuela a 3.000 m de altura (fig. 19). En el momento preciso en
que vuela sobre el punto P ubicado en tierra, se lanza un cohete desde este punto,
impactando al avión en el punto Q. Si BC = 1.500 m, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El avión recorrió de A a B, lo mismo que de B a Q.
El cohete viajó de P a Q el doble de lo que viajó el avión de A a Q.
El impacto se produjo porque el cohete viajó con la misma rapidez que el
avión.
B
A
Q
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Ninguna de ellas.
C
P
6
fig. 19
23. En el PQR de la figura 20. Si ST  PQ , QS  PR y RQ  PQ , entonces, ¿cuál(es) de
las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?
R
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
PQR  QSR
PTS  STQ
QRS  PST
fig. 20
S
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
P
Q
T
24. En el triángulo ABC de la figura 21, CD es bisectriz del ángulo ACB y DBC isósceles de
base BC , entonces la medida de AD es
C
A) 18
B) 15
C) 12
9
D)
6
E)
fig. 21
18
12
10
B
D
A
25. En la figura 22, PQ y ST representan a 2 pinos. Una lechuza que estaba posada en P,
voló 40 metros en forma rectilínea hasta el punto R donde atrapó un ratón, y luego alzó
vuelo, también en forma rectilínea y recorriendo 30 metros, se posó con su presa en
S. Si el pino PQ mide 28 metros, ¿cuánto mide la altura del pino ST ?
P
S
A) 10,5 metros
B) 14 metros
C) 21 metros
fig. 22
D) 22,5 metros
28
metros
E)
3


R
T
Q
26. Si en un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos miden 6 cm y 12 cm,
entonces la longitud del cateto correspondiente a la mayor de las proyecciones es
A) 6 6 cm
B) 6 3 cm
C) 6 2 cm
D) 3 6 cm
E) 2 6 cm
7
27. En la figura 23, los triángulos ABC y DBC son isósceles. Si AC = BC = 4 2 y
DC = DB = 8, entonces AB mide
C
A) 2 3
B) 4 2
C) 4
D) 5
E) 6
fig. 23
D
A
B
28. En el triángulo ABC de la figura 24, se ha trazado CE tal que ECB = BAC. Si
AB = 5 cm y BC = 4 cm, entonces AE mide
A)
B)
C)
D)
E)
C
1,25 cm
1,8 cm
2,5 cm
3,2 cm
ninguna de las anteriores.
fig. 24
A
E
B
29. En la figura 25, el triángulo ABC es rectángulo en C y CD  AB . ¿Cuál es la longitud de
la hipotenusa del triángulo ABC?
C
fig. 25
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 14
24
A
D
x
30. En el triángulo ABC de la figura 26, CD es bisectriz del
B
x+2
ángulo ACB y CD =
AC
,
2
entonces la razón entre los lados CB y BD es respectivamente
C
A)
B)
C)
D)
1
1
2
2
: 3
:2
:1
3:2
E)
2 3 :3
fig. 26
A
8
D
B
31.
En cuál (es) de las figuras dadas en I), II) y en III) se cumple siempre la semejanza
de los triángulos indicados?
I)
II)
A
D
B
E
C
B
D
E
AD y BE se intersectan en C y AB // DE
ABC  DEC
III)
A
C
AB // ED , A está en EC y B está en CD
ABC  EDC
C
A
D
B
AB  CD
ABC  ACD
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo en II
Solo en III
Solo en I y en II
En I, en II y en III
(Fuente: DEMRE, año 2013)
32. Se puede determinar en qué razón se encuentran las áreas de dos triángulos
semejantes, si:
(1) Sus perímetros están en la razón 2 : 3.
(2) El perímetro del triángulo más pequeño es 40 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
33. En la figura 27, L1 // L2. Se puede determinar el valor de x, si:
(1) AB = 3
(2) BD = 4
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 27
A
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
D
B
L1
2x – 1
E
C
L2
2x + 6
34. En la figura 28, el ABC es isósceles de base AB . Se puede determinar que
CEB  BED, si:
C
(1) CE  AB
(2) AD = BD
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 28
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
D
B
E
35. El triángulo ABC de la figura 29, es isósceles de base AB . Los triángulos AED y BFE son
semejantes, si:
C
(1) DE  AC
fig. 29
(2) EF  BC
F
D
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
B
E
A
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
10
RESPUESTAS
1.
2.
3.
4.
5.
D
D
D
A
D
6. C
7. B
8. E
9. A
10. C
11.
12.
13.
14.
15.
C
C
A
A
C
16.
17.
18.
19.
20.
11
E
B
E
C
D
21.
22.
23.
24.
25.
E
A
E
B
C
26.
27.
28.
29.
30.
A
C
B
D
E
31.
32.
33.
34.
35.
D
A
C
D
C
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 28
UNIDAD: GEOMETRÍA
GEOMETRÍA PROPORCIONAL II
DIVISIÓN DE TRAZOS

DIVISIÓN INTERNA
Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m: n, si AP : PB = m : n
A
P
B
Observación: Un caso particular de división interna, es la división áurea, que consiste en
dividir un trazo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento
mayor, sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor.
(AP > PB)
A
P
B
se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO: 
La razón
=
AB
=
AP
5 + 1
 1,618034
2
EJEMPLOS
1.
Un punto P divide interiormente a un segmento AB en la razón 5 : 3. Si PB = 36 cm,
¿cuánto mide AB?
A)
B)
C)
D)
E)
12
48
60
72
96
cm
cm
cm
cm
cm
1
2.
Un punto Q divide en sección áurea a un trazo CD, con CQ > QD . Si CD = 10 cm y
CQ = x, entonces la ecuación para determinar x es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
x2
x2
x2
x2
x2
+ 10x – 100 = 0
– 10x + 100 = 0
– 10x – 100 = 0
+ 10x + 100 = 0
+ x – 100 = 0
¿Cuál(es) de los siguientes trazos, se encuentra(n) dividido(s) interiormente por el
punto P en la razón 2 : 3?
20
I)
P
A
II)
A
5
B
6
P
B
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
En la figura 1, el punto B divide interiormente al segmento AC en la razón 3 : 2. Si
AB = 6 cm, ¿cuál es la medida de AC?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
B
18
A
4.
15
2
P
III)
A)
B)
C)
D)
E)
12
2 cm
4 cm
6 cm
10 cm
15 cm
A
B
C
fig. 1
La pierna y el brazo de Juan están en razón áurea, respectivamente. Si la pierna mide
un metro de longitud, entonces ¿cuánto mide el brazo?
A)
B)
C)
D)
E)
5 +1
2
5 +1
3
5  1
2
5  1
3
5  1
4
m
m
m
m
m
2
TEOREMA DE THALES
Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una de
ellas, son respectivamente proporcionales a los segmentos determinados en la otra.
En la figura 1, L1 y L2 son rectas y AD // BE // CF.
A
Entonces:
D
B
AB DE
=
BC
EF
E
F
C
L2
L1
fig. 1
EJEMPLOS
1.
En la figura 2, si L1 // L2 // L3, entonces x vale
A)
B)
C)
D)
E)
0
2
3
4
6
L1
fig. 2
2
4
L2
x+2
x–1
L3
2.
Si en la figura 3, L1 // L2 // L3, entonces x + y =
A) 24
B) 11
C) 8
D) 5
3
E)
L1
6
8
16
y
4
L2
x
L3
3
fig. 3
3.
x+y
=
y
En la figura 4. Si L1 // L2 // L3, entonces
2
3
3
B)
5
3
C)
2
5
D)
3
5
E)
2
A)
4.
L1
10
x
fig. 4
L2
15
y
L3
¿En cuál(es) de las siguientes figuras la medida de x es igual a 5?
I)
II)
x
4
III)
L1
4
x
4
12
L1
12
15
L2
L1
L3
5.
L2
Solo en I
Solo en III
Solo en I y en II
Solo en I y en III
En I, en II y en III
En la figura 5, si ABCD es paralelogramo y EF // CD , entonces la medida de GF es
D
A)
B)
C)
D)
E)
6.
x
L1 // L2
L1 // L2
L1 // L2 // L3
A)
B)
C)
D)
E)
15
L2
15
12
4
2
3
4
5
6
5
C
G
E
F
6
fig. 5
A
B
En la figura 6, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . Si EF // AB , BF : FC = 1 : 2 y
AD = 30 cm, ¿cuál es la medida de AE ?
D
A)
B)
C)
D)
E)
10
15
20
25
30
C
fig. 6
cm
cm
cm
cm
cm
4
E
F
A
B
HOMOTECIA
Es una transformación que a partir de un punto fijo (centro de homotecia) multiplica todas
las distancias por un mismo factor (razón de homotecia). Es decir, al aplicar una homotecia
de centro O y razón k a un punto P cualquiera, se obtiene otro punto P’, tal que P, O y P’ son
colineales y OP’ = k · OP
En la figura 1, O es centro de homotecia y k es la razón de homotecia.
Propiedades:
C’
1) Los ángulos de las figuras homotéticas tienen igual medida.
C
2) AB // A´B´ , CA // C´A´ , BC // B´C´
3)
B
O
OA'
OB'
OC'
=
=
=k
OA
OB
OC
B’
A
Entonces,
fig. 1
A’
ABC  A’B’C’
OBSERVACIONES

A las figuras que cumplen con todas las propiedades, se les llama figuras
homotéticas, y a las que no cumplen con la propiedad 2, sólo se les denomina figuras
semejantes.

Al aplicar una homotecia se obtiene una figura semejante a la original, por lo tanto,
se cumplen todas las propiedades de las figuras semejantes.

La homotecia permite ampliar o reducir figuras, manteniendo la forma.

Si k > 1 implica una ampliación de la figura, si k < 1 implica una reducción de la
figura.

Al aplicar una homotecia de razón negativa, se obtiene una imagen invertida de la
figura original.
EJEMPLOS
1.
A un hexágono de perímetro 36 cm, se le aplica una homotecia de razón k = 2 : 1,
entonces el perímetro del nuevo hexágono es
A)
9 cm
B)
18 cm
C)
36 cm
D) 72 cm
E) 108 cm
5
2.
A un pentágono de área 108 cm2, se le aplica
k = 1 : 3, entonces el área del pentágono resultante es
una
homotecia
de
razón
A)
9 cm2
B)
12 cm2
C)
36 cm2
D) 324 cm2
E) 972 cm2
3.
Si a una figura del plano se le aplica una homotecia de centro cualquiera y razón
negativa ( < 0), entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
La figura homotética está ubicada al mismo lado con respecto al centro de
homotecia y con diferente orientación.
La figura homotética está ubicada a distinto lado con respecto al centro de
homotecia y con diferente orientación.
Si  = -1, La figura homotética es equivalente con la figura original.
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
Si al ABC se le aplica una homotecia con centro en P y razón k = -1 : 2, se obtiene
el A’B’C’, entonces la figura que mejor representa esta transformación corresponde a
A)
B)
C
C)
C
C
B
A
A
B
C’
A
P
B’
A’
B
P
B’
A’
A’
B’
C’
C’
P
D)
P
E)
C
C
B
A
P
A
C’
B
C’
B’
A’
6
A’
B’
PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las cuerdas
B
C
Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en
el interior de ella, el producto de los segmentos
determinados en una de ellas, es igual al producto de
segmentos determinados en la otra.
P
D
A
AP · PB = CP · PD
Teorema de las secantes
B
D
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan
dos secantes,
el producto de una de ellas por su
segmento exterior, es igual al producto de la otra secante
por su segmento exterior.
P
C
A
PA · PC = PB · PD
Teorema de la tangente y la secante
T
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan
una tangente y una secante, la tangente al cuadrado, es
igual al producto entre la secante y su segmento exterior.
P
2
PT = PA · PB
B
A
EJEMPLOS
1.
En la circunferencia de la figura 1, AB y CD son cuerdas que se intersectan en P. Si
AP = 9 cm, PB = 12 cm y CP = 18 cm, entonces CD mide
A) 24 cm
B) 21 cm
C) 13,5 cm
D) 6 cm
3 cm
E)
2.
fig. 1
D
P
A
B
C
En la figura 2, PS y PU son secantes a la circunferencia de centro O. Si PR = RS = 14
y PT = 8, entonces TU es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
S
8
16,5
24,5
41
49
fig. 2
R
O
U
7
P
T
3.
En la circunferencia de centro O de la figura 3, AB es tangente y AC secante.
Entonces, según los datos proporcionados en la figura, ¿cuál es la longitud de DC?
A
A)
B)
C)
D)
E)
4.
10
D
B
O
6
3 2
fig. 4
B
En la circunferencia de la figura 5, PS y PR son secantes. Si PQ = 2 cm, QR = 5 cm
y PS = 14 cm, ¿cuál es la longitud de PT?
1
2
4
5
D)
7
E) 13
A)
B)
C)
6.
fig. 3
4
C
En la figura 4, AC y BD son cuerdas. Si AE = EC, entonces la cuerda AC mide
D
A) 36
3
B) 18
A
C
C) 9
E
E
D) 6 2
E)
5.
18
21
25
29
30
cm
cm
cm
P
fig. 5
T
S
Q
cm
R
cm
En la circunferencia de centro O de la figura 6, MN es tangente en N y MS es secante.
Si MR = 3 cm y RS = 45 cm, entonces la tangente MN mide
A) 144 cm
B) 72 cm
C) 32 cm
D) 12 cm
E)
3 5 cm
N
fig. 6
M
O
R
S
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1
2
3
4
5
1y2
E
A
C
D
C
3y4
D
B
D
D
A
A
5y6
D
B
D
B
7y8
A
D
B
D
A
D
8
6
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 28
GEOMETRÍA PROPORCIONAL II
1.
En la figura 1, las rectas L4 y L5 intersectan a las rectas paralelas L1, L2 y L3. ¿Cuál es
el valor de x?
L4
A)
B)
C)
D)
E)
0,4
1
3,5
5
8
L5
fig. 1
L1
x + 13
3x
L2
7
8
L3
2.
En el cuadrilátero ABCD de la figura 2, la medida de BC es
D
A) 2
B) 4
C) 7
D) 10
E) 14
C
3x – 1
3x + 4
x
x+2
A
3.
fig. 2
B
En el ABC de la figura 3, DF // BC . Si AF = 4FB, AD = 20 cm, entonces la medida del
segmento DC es
C
A) 4 cm
B) 5 cm
C) 8 cm
D) 10 cm
E) 15 cm
D
A
F
fig. 3
B
4.
Si el trazo MN de la figura 4, está dividido interiormente por el punto P en la razón
5 : 4 y MP = 45 cm, entonces la medida de MN es
A)
B)
C)
D)
E)
5.
12
25
45
36
81
cm
cm
cm
cm
cm
M
P
fig.4
N
En el PQR de la figura 5, PR // TU y PT // SU . Si SR = 12 cm, SU = 15 cm y
TQ = 5 cm, entonces la medida de QU es
R
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
5
6
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 5
12
15
S
P
6.
T
En el trapecio ABCD de la figura 6, sus bases son AB y CD .
ED : AE = 1 : 4 y BC = 30 cm, entonces BF mide
D
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 10 cm
D) 20 cm
E) 24 cm
7.
U
5
Q
Si EF // AB ,
C
E
F
A
B
fig. 6
En la circunferencia de la figura 7, AC y BD son cuerdas que se cortan en E. ¿Cuál es
la longitud de EC ?
D
A) 1
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11,5
fig. 7
6
2
A
E
3
B
2
C
8.
En la circunferencia de centro O de la figura 8, AD y DB son secantes. ¿Cuál es la
longitud de BC ?
D
A)
B)
C)
D)
E)
3
2,0
2,4
3,75
6,0
6, 6
E
4
5
A
C
O
fig. 8
B
9.
El área de un hexágono regular es de 24 3 luego de aplicar una homotecia se obtiene
un hexágono regular de área 6 3 . ¿Cuál es el factor de homotecia?
A)
B)
C)
D)
E)
0,5
0,25
2:1
4:1
3:2
10. En la circunferencia de centro O de la figura 9, BC es tangente y AC es secante. ¿Cuál
es la medida de BC ?
C
5
A) 10 3
D
B) 10 2
15
C) 5 3
D) 10
E) 13
fig. 9
A
B
O
11. En la circunferencia de centro O de la figura 10, AB y CD son cuerdas que se
intersectan en E. Si AE  EB , CE = 4 cm y
es
ED = 9 cm, entonces la medida de AB
A
A) 6 cm
B) 9 cm
C) 12 cm
D) 24 cm
E) 36 cm
C
E
B
O
fig. 10
D
3
12. En la figura 11, el triángulo A’B’C’ se obtuvo al aplicar una homotecia de factor 1,5. Si
el perímetro del A’B’C’ es 36 cm, entonces el perímetro del triángulo ABC es
C
O
C´
A)
B)
C)
D)
E)
54
36
24
18
12
cm
cm
cm
cm
cm
A
fig. 11
B
A´
B´
13. En la circunferencia de centro O de la figura 12, AC y BD son cuerdas que se cortan
en T. Si CT : TA = 3 : 5, DT= 5 cm y TB= 12 cm, entonces AC mide
C
D
A) 2 cm
B) 6 cm
C) 10 cm
D) 16 cm
E) 17 cm
T
B
O
fig. 12
A
14. Al pentágono regular de la figura 13, se le aplicó una homotecia de razón negativa.
¿Cuál de los puntos señalados es el posible centro de homotecia?
fig.13
A)
B)
C)
D)
E)
P
Q
S
R
T
T
P
S
Q
R
15. En el ABC de la figura 14, una expresión que representa a x en términos de a, b y c
es
A)
B)
C)
D)
E)
ab
c
ca
b
b(b + c)
a
ab
b+c
Ninguna de las anteriores
C
c
a
b
x
35°
A
fig.14
36
35°
B
(Fuente: DEMRE, año 2013)
4
16. En el rectángulo PQRS de la figura 15, si PS = 12 cm, PT = 15 cm y TR = 5 cm,
entonces el área del trapecio PQUT es
A)
B)
C)
D)
E)
44
48
84
90
96
S
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
R
T
U
P
fig. 15
Q
17. En la circunferencia de centro O de la figura 16, AD es diámetro, CB es tangente en B
y CA es secante. ¿Cuál es la longitud del radio de la circunferencia?
A)
B)
C)
D)
E)
C
3
4
6
8
9
2
4
D
B
fig. 16
O
A
18. El trazo AB (fig. 17) se divide interiormente en la razón 2 : 3, siendo P el punto de
división del trazo. A continuación el trazo PB se divide interiormente en la razón 1 : 2,
siendo Q el punto de división de PB . ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
AP  QB
II)
III)
AQ  PB
AQ > QB
40 cm
A
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
5
fig. 17
B
19. ¿Cuál(es) de los siguientes trazos, está(n) dividido(s) por el punto B en razón áurea?
4+4 5
I)
A
8
B
4 5–4
C
B
0,61
C
AB > BC
1,61
II)
A
1
AB > BC
10
III)
A)
B)
C)
D)
E)
A
15 – 5 5
B
5 5–5
C
BC > AB
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
20. En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura 18, CE  AB .
CD = 8 cm y DB = 4 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la circunferencia?
A) 16
B) 20
C) 32
D) 80
E) 100
Si
C
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 18
A
O
B
D
E
21. En la figura 19, DC es diámetro de la circunferencia de centro O y AB es tangente en
A. Si AC = CB = 8 cm, AD = 15 cm, entonces AB mide
D
A) 10 2 cm
B)
2 34 cm
C)
2 32 cm
O
A
D) 2 30 cm
E) 17 cm
C
B
6
fig. 19
22. En la figura 20, PB y PA son secantes a la circunferencia. Si PC = 4 cm, DA = 2 cm y
PC : CB = 1 : 2, ¿cuánto mide PD?
A) 24 cm
B) 16 cm
C) 8 cm
D) 6 cm
1 cm
E)
B
C
fig. 20
P
D
A
23. En la circunferencia de centro O de figura 21, AD = 16 cm y DC = 9 cm. Si el
segmento DE es paralelo a la tangente BC , ¿cuál es la medida del segmento DE?
C
D
A) 20 cm
B) 10 cm
C)
9,6 cm
D) 7,68 cm
E)
8 2 cm
fig. 21
A
O E
B
24. En la figura 22, si el punto P corresponde a la intersección de las cuerdas AB y CD, es
FALSO afirmar que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
si AP = PB, entonces CP = PD.
si AB  CD y CP = PD, entonces AB es diámetro.
si CP = PA, entonces PB = PD.
B
C
I
II
III
I y II
II y III
P
O
A
D
fig. 22
…
8
25. En la figura 23, se muestra un trazo en que P´ es homotético al punto P, con centro de
homotecia O y OP = 20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
Si k = 1 : 4, entonces P´P = 15
Si k = 1 : 4, entonces OP´ = 15
Si k = 1 : 1, entonces P = P´
fig. 23
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y III
II y III
O
7
P´
P
26. En la circunferencia de la figura 24, PA y PB son secantes. Si PC = 4, CA = 3 y
DB = 2, entonces PD mide
A
A) -1 –
29
B) -1 +
29
C
fig. 24
C) 2( 29 – 1)
D) 6
E) 4
P
B
D
27. Si el punto P divide interiormente a un trazo AB en la razón 3 : 2, entonces no es
correcto afirmar que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
P divide al trazo AB en razón áurea.
el trazo AP es menor que el trazo PB.
el trazo PB es menor que el trazo AP.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
28. Si P divide en sección áurea al trazo AB de la figura 25, siendo AP > PB, entonces se
cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
x2
x2
x2
x2
x2
– ax + a2 = 0
+ ax – a2 = 0
+ ax + a2 = 0
– ax – a2 = 0
– ax – 2a = 0
x
A
P
a
B
fig. 25
29. En la circunferencia de centro O de la figura 26, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
B
CF  AF  EF  FD
C
2
CQ  DQ  EQ
BQ
EQ
=
DQ
D
CQ
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
O
F
A
8
fig. 26
E
Q
30. En el trapecio MNOP de bases MN y OP de la figura 27, QR // MN
NR = 8, OR = 6 y OS = 4, entonces OP mide
P
A) 3
B) 4
C) 6
D) 7
E) 10
S
y QS // MO . Si
O
Q
fig.27
210
R
M
N
31. En la figura 28, la circunferencia de centro O tiene radio 9 cm y AD = 2DB, entonces
¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) correcta(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
CD = 2 6
II)
AC = 6 6
III)
CB = 6 2
C
fig. 28
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
A
B
D
O
32. En la figura 29, las circunferencias de centros O y P son tangentes exteriormente en T,
RT es tangente, RW y RX son secantes. Si RX = 16 cm, RS = 5 cm y RN = 8 cm,
entonces RW mide
R
fig. 29
A)
B)
C)
D)
E)
faltan datos para determinarlo
26 cm
18 cm
16 cm
10 cm
N
S
T
O
X
P
W
33. En la circunferencia de centro O de la figura 30, AC y DB son cuerdas. Se puede
determinar la medida del radio de la circunferencia, si:
(1) DE = EB = 4 cm
(2) CE = 2 cm
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
E
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
B
O
fig. 30
A
9
34. En la figura 31, PT es tangente a la circunferencia y PB = 8 cm. Se puede determinar
la medida de PT , si:
T
(1) AB = 10 cm
(2) PB : BA = 4 : 5
A)
B)
C)
D)
E)
P
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
B
fig. 31
A
35. En la figura 32, el MPN es homotético del ABC, si:
N
(1) CAB = NMP y ABC = MPN
fig. 32
(2) AB // MP , AC // MN y BC // NP
A)
B)
C)
D)
E)
C
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola
Se requiere información adicional
M
A
O
10
B
P
RESPUESTAS
1.
2.
3.
4.
5.
E
E
B
E
C
6. E
7. C
8. A
9. A
10. D
11.
12.
13.
14.
15.
C
C
D
C
D
16.
17.
18.
19.
20.
11
D
A
E
D
B
21.
22.
23.
24.
25.
A
D
C
A
D
26.
27.
28.
29.
30.
B
D
D
C
D
31.
32.
33.
34.
35.
B
E
C
D
E
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 30A
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
FUNCIONES
DEFINICIÓN
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada
elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.
f: A  B
x  y
x
y
1
2
3
4
5
5,5
6
2
3
3
2,5
3
4
5
y
Recorrido
Se expresa como:
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 x
Dominio
y se lee “f es una función de A en B”.

Se dice que y es la imagen de x mediante f lo cual se denota y = f(x), y que x es
pre-imagen de y.
Dominio de una función: es el conjunto formado por todas las pre-imágenes (x) y se denota Df.
Recorrido de una función: es el conjunto formado por todas las imágenes (y) y se denota Rf.
OBSERVACIÓN:
y se denomina variable dependiente y x se denomina variable independiente.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo ]a, b[?
y
A)
a
y
B)
a
b x
a
a
b x
y
D)
b
x
y
E)
b x
y
C)
a
b
x
2.
Con respecto al gráfico de la figura 1, la suma de la imagen de 3 y la preimagen de 0 es
y
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
6
4
1
3
fig. 1
2
1
-1
-1
1
2
3
4
5
x
-2
3.
Según la función f dada en la gráfica de la figura 2, ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es verdadera?
y
A)
B)
C)
D)
E)
Df = [1, 4]
Rf = [0, 3[
La imagen de 4 es 0
x = 5 tiene imagen
la pre-imagen de 1 es 0
3
fig. 2
1
4.
3
4
5
x
Sea f(x)= 3x  3 . ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece al dominio?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
2
1
6
3
2
0
¿Cuál(es) de los siguientes valores pertenece(n) al recorrido de la función f(x)=
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
0
-4
1
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2
x  5
?
x+4
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Para encontrar las imágenes de una función, se reemplaza la variable independiente en la
fórmula que define la función, por el número o expresión, en la que se desea evaluar.
Algunos Tipos de Funciones
Función Continua:
Geométricamente es aquella que no presenta cortes en su gráfica. Si
la función no es continua, se llama discontinua.
Función Creciente:
Es aquella que al aumentar la variable independiente, también
aumenta la variable dependiente.
Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable
dependiente disminuye.
Función Constante:
Es aquella que al aumentar la variable independiente la variable
dependiente no cambia.
EJEMPLOS
1.
Si f(x) = x2 – 1, ¿cuál de las siguientes relaciones es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
f(-1) = f(1)
f(1) < f(3)
f(-2) > f(1)
f(0) < 0
f(0) > f(-1)
Si f(x) = 4, y h(x) = x, entonces ¿cuál es el valor de la expresión f(0,5) · h(4)?
A) 2
B) 3
C) 4,5
D) 6
E) 16
3.
Sea f(x) = x2 – 2x + 1. Entonces, f(x + 2) =
A)
B)
C)
D)
E)
(x
(x
(x
(x
(x
+ 1)(x – 2)
+ 1)2
– 1)
+ 2)2
+ 2)(x + 1)
3
4.
¿Cuál(es) de las siguientes gráficas representa(n) una función continua en el intervalo
]a,b[?
I)
II)
y
a
A)
B)
C)
D)
E)
5.
b
x
III)
y
a
b
y
x
a
b
x
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Con respecto al gráfico de la función f de la figura 1, ¿cuál de las siguientes alternativas
es FALSA?
y
fig. 1
A) f(-2) = -f(2)
2
B) f(0) = f(0,5)
1
C) f(1) > f(3)
D) f es creciente en el intervalo [-2, 3]
-2 -1
1 2 3 x
E) f es decreciente en el intervalo [2, 3]
-2
6.
Con respecto al gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
y
f(x) es creciente.
g(x) es decreciente.
h(x) es decreciente.
f(x)
g(x)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
h(x)
fig. 2
Si f(x – 1) = x2, entonces el valor de f(3) es
A) 1
B) 4
C) 9
D) 16
E) 25
4
x
Modelos Lineales
Se denomina Función Afín a la función definida por f(x) = mx + n, con m y n números reales
distintos de cero.
Se denomina Función Lineal a la función definida por f(x) = mx, con m número real distinto
de cero.
Se denomina Función Constante a la función de la forma f(x) = c, con c un número real.
y
OBSERVACIÓN:
y
y
x
x
Función Afín
Función Lineal
x
Función Constante
La función lineal f(x) = mx, cumple las siguientes propiedades:
 Para todo a y b pertenecientes al Df se cumple que
f(a + b) = f(a) + f(b)

Para todo a perteneciente al Df y   lR se cumple que
f( · a) =  f(a)
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función lineal?
I)
II)
y
III)
y
x
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
x
I
II
III
I y II
II y III
5
y
x
2.
Con respecto a la función graficada en la figura 1, es correcto afirmar que
I)
II)
III)
es una función afín.
su ecuación es f(x) = -2x + 2.
intersecta al eje de las abscisas en el punto (0, 4).
y
A)
B)
C)
D)
E)
3.
fig.1
2
4
x
Sean las funciones f(x) = a y g(x) = 2a, con a un número real. Entonces, el valor de
g(4) + f(2) es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
a
3a
4a
5a
6a
Si en la ecuación y – 3 = 0, tenemos una función respecto de la variable independiente x,
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Su dominio es el conjunto de los números reales.
Su recorrido es {3}.
Su representación gráfica es una recta perpendicular al eje de las ordenadas.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
6
APLICACIONES LINEALES
En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es
necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La
función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación.
EJEMPLOS
1.
En la cuenta de energía eléctrica se consigna un cargo fijo de $ 641. Sabiendo que el
cálculo de tarifas es un modelo lineal y que el valor del kWh es de $ 118, ¿cuál es la
función que permite calcular el costo G de x kWh?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
G(x)
G(x)
G(x)
G(x)
G(x)
=
=
=
=
=
641x
641 + 118x
118 + 641x
118x
118 – 641x
Si por cada 12 kilómetros recorridos un automóvil consume 1 litro de bencina, ¿cuál es la
modelo lineal que permite calcular el consumo C de bencina en términos de la cantidad x
de kilómetros recorridos?
A) C(x) = 12x
x
B) C(x) =
12
C) C(x) = x + 12
D) C(x) = x – 12
12
E) C(x) =
x
3.
Un plan telefónico mensual permite hablar hasta 6 horas pagando una cuota de $ 10.500.
Todo minuto extra tiene un costo de $ a. Si x es el tiempo de llamadas en minutos, ¿cuál
es la función que representa el costo mensual C para valores de x superiores al tiempo
pactado?
A)
B)
C)
D)
E)
C(x)
C(x)
C(x)
C(x)
C(x)
=
=
=
=
=
ax – 10.500
ax + 10.500
a(x – 360) + 10.500
a(360- x) + 10.500
a(x + 360) + 10.500
7
4.
En una cuenta del agua potable se consigna un cargo fijo de $ 900. Sabiendo que el
modelo de cálculo de tarifas tiene un lineal y que por un consumo de 15 m3 se facturó el
mes pasado $ 6.000, ¿cuál es la función que permite calcular el costo G de x m3 de agua?
6.000
x
15
+ 15 · 6.000 x
– 15 · 6.000 x
6.000  900
+
x
15
6.000  900
–
x
15
A) G(x) = 900 +
B) G(x) = 900
C) G(x) = 900
D) G(x) = 900
E) G(x) = 900
5.
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la situación anterior?
A)
G
G
B)
G
C)
6.000
6.000
6.000
900
900
900
5 10 15 x
5 10 15
D)
x
5 10 15
G
E)
G
6.000
6.000
900
900
5 10 15 x
5 10 15
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs.
1
3
5
7
y
y
y
y
2
4
6
8
1
2
3
4
5
6
7
E
E
C
B
B
E
A
B
C
B
B
C
E
C
E
D
B
D
B
D
8
D
x
x
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 30B
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
FUNCIONES II
TRASLACIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES
Sea y = f(x) una función.

La función y = f(x) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el
desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el
sentido negativo (fig. 1 y 2).

La función y = f(x – h) es la función f trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el
desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo
(fig. 3 y fig. 4).

La función y = f(x – h) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y, y
h unidades en el eje x.
Si h y k son positivos, entonces:
y = f(x) + k
y = f(x) – k
y
y = f(x – h)
y
y = f (x + h)
y
f
y
f
x
x
fig. 1
f
f
x
fig. 2
x
fig. 3
fig. 4
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, se tiene la gráfica de la función f(x) = 3x. ¿Cuál es la gráfica de la
función f(x) = 3x + 3?
y
3
2
1
fig. 1
1 2 3 x
-3 -2 -1
-2
-3
A)
y
B) y
C) y
3
2
1
3
2
1
3
2
1
-3 -2 -1
-2
-3
1 2 3 x
-3 -2 -1
1 2 3 x
-3 -2 -1
-2
-2
-3
-3
1
D)
E) y
y
3
2
1
1 2 3 x
-3 -2 -1
-2
-3
3
2
1
1 2 3 x
-3 -2 -1
-2
-3
1 2 3 x
2.
La figura 2 muestra la gráfica de la función y = x2. ¿Cuál es la gráfica de la función
y = (x + 1)2?
y
fig. 2
x
A) y
B)
C)
y
x
x
3.
D) y
y
x
x+2?
y
x
x
x . ¿Cuál es la gráfica de
La figura 3 muestra la gráfica de la función y =
y = -1 +
E)
y
fig. 3
x
A)
B)
y
C)
y
y
x
4.
D)
E)
y
y
x
x
x
x
La gráfica de la función y = x3 es la que aparece en la figura 4. ¿Cuál es la gráfica de
y = (x – 2)3 + 2?
y
8
-2
fig. 4
x
2
-8
A)
B)
y
C)
y
D)
y
x
2
2
x
-2
-2
x
x
2
E)
y
y
2
1
1 2
x
SIMETRIA DE GRÁFICA DE FUNCIONES
Sea y = f(x) una función.


La función y = - f(x) es simétrica a la función f(x) respecto al eje x. (fig. 1).
La función y = f(-x) es simétrica la función f(x) respecto al eje y. (fig. 2).
y = -f(x)
y
y = f(-x)
y
f
f
x
x
fig. 1
fig. 2
EJEMPLOS
1
La figura 1, muestra la gráfica de la función f(x) =
f(x) = - -x ?
y
x . ¿Cuál es la gráfica de
fig. 1
x
A) y
B)
x
2.
y
C)
y
D)
y
E)
x
x
x
f
No
está
definida
en lR
En la figura 2, f(x)= 3 x está representada gráficamente al lado izquierdo (2a), y g(x)
está representada al lado derecho (2b), la cual es una reflexión de f(x) con respecto del
eje y, ¿cuál(es) de las siguientes funciones tienen como gráfico g(x)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
h(x) =
3
-x
y
y
3
t(x) = - x
3
u(x) = - -x
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
x
f(x)
x
(2a)
(2b)
fig. 2
3
g(x)
FUNCIONES PARES
Son aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan
valores iguales.
f(x) = f(-x)
FUNCIONES IMPARES
Son aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan
valores opuestos.
f(x) = -f(-x)
OBSERVACIÓN: Las funciones pares tienen una gráfica que es simétrica respecto al eje de las
ordenadas, mientras que las funciones impares tienen gráficas simétricas con respecto del
origen del sistema de coordenadas.
EJEMPLOS
1.
Si f es una función par, tal que f(5) = 9, entonces -f(-5) es
A) 9
B) -9
C) 5
D) -5
E) No se puede determinar
2.
¿Cuál de las siguientes funciones es impar?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
x3 + 1
x2 – 1
x
x3 + 2
3x4 – 2
¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función par?
A)
B)
y
C)
y
y
x
x
D)
x
E)
y
x
4
y
x
COMPOSICION DE FUNCIONES
La función compuesta de funciones f(x) y g(x) está definida por
(f o g) (x) = f(g(x))
El Dominio de (f o g) (x) es el conjunto de toda
pertenece al Dominio de f.
x en el Dominio de g, tal que g(x)
Propiedades de la Composición de Funciones
Es asociativa:
h o (g o f) = (h o g) o f
No es conmutativa: (f o g) ≠ (g o f)
EJEMPLOS
1.
Sea f(x) = 3x + 2 y g(x) = x2, entonces (f o g)(-2) =
A) -16
B) -14
C) -10
D) 14
E) 16
2.
Sean f(x) = x + 2 y g(x) = 2x – 1 funciones reales. Entonces, (f o g)(x) es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
2x + 1
2x + 3
3x + 1
(x + 2)(2x – 1)
x–1
Considere la función f(x) = x2 – 1. Entonces, f(f(f(2)))=
A) 5
B) 7
C) 27
D) 62
E) 63
5
4.
Considere las funciones f(x) = x2 y g(x) = x + 2. ¿Cuál de los siguientes valores de x
cumple que f(g(x)) = g(f(x))?
A) -2
B) -6
C) -0,5
D) 0
E) 0,5
5.
Si f(x) =
x
y g(x) = x2 + 1, entonces el dominio de (f o g)(x) es
A) lR
B) lR 0
C) [1, +[
D) lR+
E) lR – {0}
6.
Si f(x) = x + 1 y g(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
1
, entonces el dominio de (g o f)(x) es
x
lR
lR+
lR – {0}
lR – {1}
lR – {-1}
6
FUNCIÓN PARTE ENTERA
f(x) = [x] con x  lR
Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor
o igual a x.
y
Su representación gráfica es
4
f(x) =  x 
x
-3  x < -2
-2  x < -1
-1  x < 0
0x<1
1x<2
2x<3
3x<4
OBSERVACIÓN:
3
2
1
f(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
-1
x
-2
-3
-4
A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál es el valor de la expresión [0,85] + [-2,1]?
A) -2
B) -3
C) -1
D) 2
E) 3
2.
Sea f(x) = [x – 3], entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)
verdaderas(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
f(1,75) – f(2,8) = -1
f(-1,2) – f(-3,7) = 2
f(0) + f(7,2) = 1
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
7
3.
Sea f la función f(x) = [x] + [-x], entonces f(-1,3) + f(3,6) =
A) 1
B) 0
C) -1
D) -2
E) 2
4.
¿Cuál de las siguientes funciones no puede representar el gráfico de la figura 1?
y
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
[x – 1]
[x] – 1
[x – 1] + 1
[x + 1] – 2
[x – 2] + 1
1
-3 -2
-1
1
2
3
-2
fig. 1
-3
5.
x
-1
¿Cuál es la función representada en el gráfico de la figura 2?
A) f(x) = [x + 2]
B) f(x) = [x – 2]
C) f(x) = 2[x]
[x]
D) f(x) =
2
x
E) f(x) =  
2 
y
2
1
fig. 2
0
-2
2
-1
4
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs.
1 y2
3
4
5y6
7y8
1
2
3
4
B
D
B
D
B
C
D
C
A
E
B
E
C
E
D
C
C
8
5
6
A
E
E
x
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 30AB
FUNCIONES
1.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo ]-2,2[?
y
I)
y
II)
2
2
1
1
-2 -1
-1
2
x
-2
-1
-1
-2
A)
B)
C)
D)
E)
2.
A)
B)
C)
D)
E)
3.
1
2
lR
lR
lR
lR
lR
–
–
–
–
–
lR
lR
lR
lR
lR
x 1
x2  4
{2}
{4}
{-2, 2}
{-2, 2, 4}
{2, 4}
– {-1}
– {0}
– {1}
– {5}
5
x+1
x
-2
-1
-1
-2
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
El recorrido de la función es f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
1
-2
¿Cuál es el dominio de la función f(x) =
y
III)
?
1
2
x
4.
En la figura 1, están representadas las funciones f(x) y g(x), ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
2
f(x) =
x
a
1
2
3
x
b
g(x)
En el gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
y
f(-4) = f(0)
f(1) = 1
f(-5) – f(-3) = 0
fig. 2
y = f(x)
2
1
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
-5
-4
2
-1
-3
3
1
-2
5
x
4
-2
De acuerdo al gráfico de la figura 3, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)
verdadera(s)?
y
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
fig. 1
3
I
II
III
I y II
I y III
I)
II)
III)
6.
y
a–b=3
f(x) es creciente.
g(x) es función lineal.
f(-2) = f(1)
f(0) + f(3) = 3
f(-2) = f(3)
4
3
2
1
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
-4 -3 -2 -1
fig. 3
1
-1
2
3 4
x
La figura 4, muestra el gráfico de una función y = f(x), definida en los reales. ¿Cuál es
el valor de [f(-3) + f(3)] · f(0) – f(2)?
y
6
A)
B)
C)
D)
E)
5
8
7
6
4
0
4
fig. 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
2
1 2 3 4
x
8.
Si f(x) =
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
9.
4x  1
, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
x  2
9
4
1
f(0) =
2
f(2) = 7
f(-2) =
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Si f y g son funciones reales tales que f(a) = a2 + a y g(a) = -a, entonces el valor
de f(-1) – g(-2) es
A) -3
B) -2
C) 0
D) 2
E) 3
10. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función impar?
A)
B)
y
C)
y
x
D)
y
x
E)
y
x
y
x
x
3
11. ¿Cuál de las siguientes funciones es par?
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
(x + 1)2
x2 + x
x4 – 1
x3 – 2
[x]
12. Sea f(x) = ax + b con a, b números reales, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si b ≠ 0, entonces f(x) es lineal.
Si a ≠ 0, entonces f(x) es lineal.
Si a ≠ 0 y b = 0, entonces f(x) es lineal.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Todas las afirmaciones son falsas.
13. La figura 5 muestra la gráfica de f(x). ¿Cuál es la gráfica de la función g(x) = f(x + 2)?
y
fig. 5
x
A)
y
B)
y
y
C)
x
x
D)
x
E)
y
y
x
x
4
14. Sea f(x) = (x – 1)2 la función real representada en el gráfico de la figura 6. ¿Cuál de los
siguientes gráficos representa al gráfico de la función g(x) = (1 – x)2?
y
x
y
A)
fig. 6
y
B)
x
y
C)
x
D)
y
x
y
E)
x
x
15. El gráfico de la figura 7, muestra el valor del pasaje en un taxi colectivo rural de
acuerdo a la distancia recorrida por el pasajero. Entonces, ¿cuál(es) de las afirmaciones
siguientes es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Por un recorrido de 18 km se debe cancelar $ 600.
El valor del pasaje aumenta en $ 300 por cada 15 km.
Si un pasajero recorriera exactamente 20 km, tendría que pagar $ 600.
$
I
II
I y II
I y III
II y III
900
600
300
0
 2x – 1 , si x  1
f(0) + f(2)
16. Si f(x) = 
, entonces
=
-7f(1)
 3x + 2 , si x > 1
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 7
1
2
7
2
35
-1
1
5
5
10
20
30
40
km
x2  9 ?
17. ¿Cuál es el dominio de la función real f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
[3, +[
[-3, +[
[0, +[
]-, -3] U [3, +[
[9, +[
18. Si f(x) = 3x, entonces 3 ∙ f(3x) es igual a
A) 81x
B) 9x
C) 81x2
D) 9x2
E) ninguna de las anteriores.
19. Si f(x – 1) =
3x  5
, entonces f(-2) es
x+2
A) -11
B) -8
C) -5
D)
0
E) Indefinido.
20. Sea la función real f(x) = px + 2, si f(-4) = 8, entonces el valor de p es
A) -14
B) -2
C) -1,5
D)
1,5
E) 14
21. Sean
las funciones f(x) =

 1 , si x  0
. ¿Cuál(es) de las siguientes

 -1 , si x > 0
x y g(x)= 
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
f (g(x)) solo está definida para x > 0
f (g(0)) = (g f(0))
(f o g)(x) = 1 para x > 0
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
6
22. Sea f(x) = x + 2, entonces la gráfica de la función g que es simétrica a f(x) con
respecto al eje y es
y
A)
y
B)
2
2
1
-2 -1
y
C)
2
1
1
2
3
x
1
-2 -1
-2
1
2
3
x
-2 -1
-2
2
3
x
1
2
3
x
-2
y
D)
1
y
E)
2
1
2
1
-2 -1
1
2
x
3
-2 -1
-2
-2
23. La figura 8 muestra la gráfica de la función y = x2. ¿Cuál es la gráfica de la función
y = -(x – 6)2 – 6?
y
fig. 8
x
A)
B)
-6
y
y
y
-6
C)
x
6
-6
x
-6
-6
y
y
D)
6
E)
x
x
-6
7
x
24. Si A es el área de un cuadrado y p su perímetro, entonces A en función de p se
expresa como
A) A(p) = p2
B) A(p) =
p2
4
p2
16
D) A(p) = 4 p
C) A(p) =
E) A(p) = 2 p
25. El recorrido de f(x) =
2x  5
es
4  3x
A) lR
 2
B) lR – - 
 3
 4
C) lR – - 
 3
2 
D) lR –  
3 
4
E) lR –  
3 
26. Sea f(x + 2)=(x + 3)2 – 5hx + 4, entonces f (h – 1) es
A) 5h + 8
B) -9h – 4h2 + 13
C) -3h – 4h2 + 5
D) 4h – 4h2 + 13
E) 15h – 4h2 + 4
27. Si f(x + 1) = x2 – 1, entonces f(x – 1)=
A)
B)
C)
D)
E)
x+1
x2 + 1
(x + 1)2
(x – 2)2
(x – 2)2 – 1
8
28. Si f(x)=
2
x
1
1
y f   = 32, ¿cuál es el valor de
?
n
f(n)
 
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 32
29. Considere las funciones f(x) = x y g(x) = x  4 . El dominio de la función (g o f)(x)
está dado por
A) lR 0
B)
C)
D)
E)
[16, +[
lR
lR+
[4, + [
30. Si f(x) es función creciente, f(0) = 3 y g(x) = 3, ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
f(0) · g(0) < f(3) · g(0)
f(g(0)) < g(3)
f(3 – g(3)) < f(g(0))
g(f(1)) = g(f(0))
f(g(0)) = f(g(2))
31. El gráfico de la figura 9, corresponde a una función. Se puede determinar la función de
la forma f(x) = mx + n, si:
(1) Se conoce el área del AOB.
(2) Se conoce el valor de
A)
B)
C)
D)
E)
y
B
.
A
fig. 9
B
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
O
9
A
x
32. La gráfica de la función f(x) = [x + a] + b se puede obtener, si:
(1) Se conoce el valor de a.
(2) Se conoce el valor de b.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. Se puede determinar que la función f de la forma f(x) = ax + b, es una función lineal,
si:
(1) f(-3) = -1 y f(6) = 2
(2) a ∙ b = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. Se definen f(x) = 2x – 2 y g(x) = -x + 3. Si g(a) = b, se puede determinar el valor
numérico de f(b), si:
(1) Se conoce a.
(2) Se conoce b.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
35. La función para calcular aproximadamente el área, en metros cuadrados, de la
11
superficie corporal de una persona está dada por S(p) =
· px, donde p es la masa
100
de una persona en kilogramos y x una constante. Se puede determinar la superficie
corporal de una persona, si:
(1) x =
2
y la persona pesa 65 kg.
3
(2) La estatura de la persona es 1,75 m.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
11
RESPUESTAS
1. B
8. C
15. B
22. A
29. B
2. C
9. B
16. D
23. D
30. B
3. B
10. E
17. D
24. C
31. C
4. E
11. C
18. E
25. B
32. C
5. B
12. C
19. B
26. E
33. A
6. A
13. B
20. C
27. E
34. D
7. B
14. D
21. B
28. C
35. A
12
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 31
UNIDAD: ESTADÍSTICA II
DATOS Y AZAR
MEDIDAS DE POSICIÓN
Las medidas de posición dividen la distribución en partes iguales y sirven para clasificar a un
individuo o elemento dentro de una determinada población o muestra. Así en la PSU los
resultados de prueba que realiza un determinado individuo, sirve para clasificar a dicho
sujeto en una determinada categoría en función de la puntuación obtenida. En economía se
utiliza principalmente para definir sectores socioeconómicos según ingreso per cápita
familiar (por ejemplo quintiles).
Para determinar las medidas de posición es necesario que los datos se encuentren
ordenados en forma creciente.
Las medidas de posición, más utilizadas son: Cuartiles, Quintiles, Deciles y percentiles.
Así como la mediana divide la distribución en dos partes iguales, existen tres cuartiles,
cuatro quintiles, nueve deciles y noventa y nueve percentiles que dividen en cuatro, cinco,
diez y cien partes iguales a la distribución.
CUARTILES
Los cuartiles son 3, los que dividen los datos ordenados en 4 partes.
Los cuartiles son datos bajos los cuales se acumula el 25%, 50% y el 75% de los datos
estudiados, se representan como Q1, Q2 y Q3 respectivamente.
OBSERVACIÓN: Q2 coincide con la mediana.
QUINTILES
Los quintiles son 4, los que dividen los datos ordenados en 5 partes.
Los quintiles son datos bajos los cuales se acumula el 20%, 40%, 60% y el 80% de los
datos estudiados.
DECILES
Los deciles son 9, los que dividen los datos ordenados en 10 partes.
Los deciles son datos bajos los cuales se acumula el 10%,20%, … y el 90% de los datos
estudiados
PERCENTILES
Los percentiles son 99, los que dividen los datos ordenados en 100 partes.
Los percentiles son datos bajos los cuales se acumula el 1%,2%, 3%,4%… y el 99% de los
datos estudiados.
Para determinar el LUGAR en el que se ubica la medida de posición buscada, existe una
relación que depende de la medida de posición que se desee calcular.
Medida de
Posición
Posición
(lugar)
Cuartil
Quintil
Decil
Percentil
N+1
PQ = K ×
K
4
N+1
PK = K ×
K
5
N+1
PD = K ×
K
10
N+1
PP = K ×
K
100
PQ , indica la posición del cuartil K, siendo K = 1, 2, 3
K
PK , indica la posición del quintil K, siendo K = 1, 2, 3, 4
K
PD , indica la posición del decil K, siendo K = 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 8, 9
K
PK , indica la posición del percentil K, siendo K = 1, 2, 3, 4,…………..,99
K
Para determinar una medida de posición para datos no agrupados, se procede de la
siguiente manera:
-
Ordenar los datos en forma creciente
Determinar el lugar que ocupa la medida de posición buscada.
Respecto a la posición tenemos dos posibilidades de resultados:
Número entero: el valor será el dato que ocupa ese lugar.
Número decimal: el valor será el promedio entre los datos que se encuentra a la
izquierda de la posición con el dato que se encuentra a la derecha.
DATOS TABULADOS
Si los datos se encuentran tabulados en una tabla de frecuencia, se debe proceder de
manera similar a la utilizada para encontrar la mediana, se busca en la columna de
frecuencia acumulada el lugar que corresponde a la media de posición buscada y de esta
manera se determina el dato correspondiente.
OBSERVACIÓN
Cuando los datos se encuentren en una tabla de intervalos solo indicaremos el intervalo al
que pertenece la medida de posición buscada.
EJEMPLOS
1.
Para la variable números de televisores por hogar, se obtuvo la distribución que
aparece en la tabla adjunta. El primer, segundo y tercer cuartil son, respectivamente
A)
B)
C)
D)
E)
0,
1,
0,
1,
2,
2
3
3
3
3
y
y
y
y
y
N° de televisores por hogar
0
1
2
3
4
5
4
5
5
4
4
2
Frecuencia
26
22
30
54
30
38
2.
La tabla se muestra una parte de la tabla de transformación de Puntaje Corregido (PC)
a Puntaje Estándar (PS) para un Facsímil de matemática con 75 preguntas y sus
correspondientes percentiles. Un alumno que quedó en el Percentil 89 significa que
A) ocupa el puesto 89.
B) supera a 89 alumnos de un total de 100.
C) supera al 89% de los alumnos que
rindió esta prueba.
D) hay 89 alumnos que obtuvieron 633 puntos.
E) ninguna de las anteriores
3.
PS
Percentil
43
44
45
46
47
623
626
629
633
640
87
88
88
89
90
El ingreso de Eugenio está ubicado en el tercer intervalo quintílico. Respecto a este
ingreso se puede afirmar que
A)
B)
C)
D)
E)
4.
PC
Supera solo al 40% de la población.
Supera a menos del 40% de la población.
Es menor al ingreso del 40% de ingresos más altos.
No más de un 40% es superior a él.
No más de un 40% es inferior a él.
El valor x en una muestra está ubicado entre el segundo y tercer decil. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones respecto a x es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El valor de x es inferior al primer cuartil.
El valor de x es inferior al segundo quintil.
El valor de x es superior al percentil 28.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
3
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión, o medidas de variabilidad, indican la dispersión de los valores de
la muestra respecto a su valor central. Mientras menor sea la medida de dispersión mas
homogénea será la muestra.
RANGO
Rango o recorrido es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR o TÍPICA
Es una medida de dispersión y nos indica cuánto tienden a alejarse los datos del promedio
aritmético.
Para calcular la desviación estándar () se utiliza la siguiente fórmula:
Para datos no agrupados
=
Para datos agrupados
en tablas de frecuencia
=
(x1  x)2 + (x2  x)2 + ... + (xn  x)2
n
f1 · (x1  x)2 +f2 · (x2  x)2 + ... + fn · (xn  x)2
f1 + f2 + f3 + ..... + fn
Donde xi : dato
fi : frecuencia
OBSERVACIÓN:
Al trabajar con datos agrupados en intervalos se utiliza la marca de clase de cada uno de
ellos, en lugar de xi.
PROPIEDADES
Sea x una variable aleatoria y k un número real
1)  (x)  0
2)  (k) = 0
3)  (x + k) =  (x)
4)  (kx) = k·  (x)
4
VARIANZA
Es otra medida de dispersión que corresponde al cuadrado de la desviación estándar.
Var(x) = 2 =
Para datos agrupados
en tablas de frecuencia
(x1  x)2 + (x2  x)2 + ... + (xn  x)2
n
Var(x) = 2 =
f1(x1  x)2 + f2 (x2  x)2 + ... + fn(xn  x)2
f1 + f2 + f3 + ... + fn
Donde xi : variable
fi : frecuencia
OBSERVACIÓN:
1.
2.
El valor de la varianza es siempre un número no negativo
Al trabajar con datos agrupados en intervalos se utiliza la marca de clase de cada uno
de ellos, en lugar de xi.
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Sea x una variable aleatoria y k un número real
1) Var (x)  0
2) Var (k) = 0
3) Var (x + k) = Var (x)
4) Var (kx) = k2 · Var(x)
EJEMPLOS
1.
El rango en el conjunto de datos {3, 7, 8, 11, 1, 10, 15, 20, 21, 22, 24, 23} es
A)
B)
C)
D)
E)
12
20
21
22
23
5
2.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
Con respecto a la tabla de frecuencias adjunta, ¿cuál(es) de la siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
La desviación estándar es un número real no negativo.
La diferencia entre un dato y el promedio de la muestra puede ser
negativa.
El rango es una medida de dispersión que puede ser negativa.
El promedio es 6.
El total de datos es 5.
La desviación estándar es
12,8 .
Edad (años)
Nº de niños
[0 – 4[
[4 – 8[
[8 – 12[
2
1
2
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
En una familia las edades de sus hijos son 3, 4, 7, 9 y 12 años. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Si todos aumentaran un año, entonces la media sería 5 unidades mayor.
La muestra es amodal.
10, 8 años.
La desviación estándar es de
II
III
I y II
I y III
II y III
6
GRÁFICO DE CAJA Y BIGOTES
El diagrama de caja es una representación gráfica basada en cuartiles, que ayuda a ilustrar
una muestra de datos. Para elaborar este gráfico, sólo se necesitan cinco datos: el valor
mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo de la muestra.
TIPOS DE MUESTRA
Muestra Simétrica: Los valores intercuartílicos están igualmente dispersos.
Valor
mínimo
Q1
Q2
Q3
Valor
máximo
Muestra Positivamente Asimétrica: Los valores más grandes se encuentran más
dispersos que los más pequeños.
Valor
mínimo
Q1
Q2
Q3
Valor
máximo
Muestra Negativamente Asimétrica: Los valores más pequeños se encuentran más
dispersos que los más grandes.
Valor
mínimo
Q1
Q2
7
Q3
Valor
máximo
EJEMPLOS
1.
A partir del siguiente diagrama de cajas y bigotes de la figura 1, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
La distribución es simétrica
Los valores mayores están más dispersos
La muestra presenta una asimetría negativa.
Los valores menores están más concentrados.
Hay pocos valores altos.
fig. 1
En el diagrama de caja y bigotes que se muestra en la figura, se muestran las estaturas
de los alumnos de un determinado curso (en cm)
fig. 2
165
169
172
177
185
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El 50% de los alumnos tienen estaturas entre 169 cm y 177 cm.
El rango de las estaturas es 20 cm.
La distribución de las estaturas es asimétrica.
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I, II y III
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
2y3
E
C
C
B
5y6
E
B
E
E
8
C
E
Págs.
8
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 31
ESTADÍSTICA II
1.
Las temperaturas mínimas registradas durante la última semana en cierta ciudad son
-5, 2, 0, -3, -2, 1 y 0 °C, entonces el rango de estos valores es
A) -7
B) -5
C) 5
D) 6
E) 7
2.
La tabla siguiente muestra los resultados sobre una encuesta hecha a un grupo de 30
adolescentes respecto al número de teléfonos celulares que han tenido. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
I
II
III
I y II
I y III
Nº celulares
frecuencia
[1 – 3[
[3 – 5[
[5 – 7[
9
12
9
La varianza de los datos de la tabla es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
La media de los datos es 4.
La amplitud de cada intervalo es 1.
La desviación típica de muestra es 2,4 .
0,5
0,575
1,11
1,25
1,438
Dato
Frecuencia
12
13
14
15
3
1
4
2
La tabla muestra los puntajes obtenidos en un test de lógica, por tres grupos diferentes
de empleados, pertenecientes a una misma empresa.
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
20
20
20
20
10
20
20
0
10
20
-20
50
20
-10
80
Si llamamos 1 a la desviación típica del grupo 1, 2 a la desviación típica del grupo 2 y
3 a la desviación típica del grupo 3, entonces se puede afirmar que
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
1
1
=
=
<
<
<
2
3
3
2
3
= 3
> 1
 2
< 3
< 2
5.
Los cursos P y Q en el último control obtuvieron el promedio y desviación estándar
indicadas en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
I
II
I y II
I y III
II y III
Curso
Promedio
Desviación
Estándar
P
Q
4,6
5,3
1
0,8
Si todos los datos de una muestran se incrementan en 4 unidades, entonces la varianza
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
El curso Q es más homogéneo.
El curso P tiene una mayor varianza.
El curso Q presenta mayor variación en los puntajes.
se incrementa
se incrementa
queda igual.
se incrementa
se incrementa
en 4 unidades.
en 2 unidades.
en un 25%.
en un 50%.
A un grupo de estudiantes universitarios se les pregunta el número máximo de horas
que le dedican a sus estudios durante la semana. Si los resultados se ilustran en el
gráfico de la figura 1, entonces la varianza de la muestra es
A)
frecuencia
6,3
6
B) 4,7
31
C)
D) 6,3
E) 31
fig. 1
4
2
5
8.
10
15
20
horas
Si todos los datos de una muestra se multiplican por 4, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El promedio se cuadruplica.
La desviación típica se cuadruplica.
La varianza se duplica.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
2
9.
Una prueba consta de 40 preguntas y fue respondida por 70 alumnos obteniéndose un
promedio de 30 respuestas correctas con una varianza igual a 9. Si el puntaje de esta
prueba se calcula mediante la fórmula
Puntaje = 4 · nº respuestas correctas + 64
¿Cuál es la desviación estándar para el puntaje?
6
A)
B) 10
C) 12
D) 36
E) 100
10. ¿Cuál es la desviación estándar de los datos mostrados en la tabla?
A) 16,4
B)
1,64
C)
X
1
2
3
4
16,4
D) 1,64
E)
0,504
Frecuencia
3
2
1
4
11. Se tiene un conjunto de 4 números enteros cuya desviación estándar es p. Si a cada
valor se agregan 3 unidades, entonces la nueva desviación estándar es
A)
B)
C)
D)
E)
p
4p
p+4
p + 12
12p
12. Al analizar los puntajes de los 4 controles realizados por Juan y Pedro, se obtuvieron
los siguientes resultados:
Juan
613
54,47
Promedio
Desviación estándar
Pedro
613
168,74
De acuerdo con esta información, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Juan tiene puntajes más cercanos a su promedio.
Ambos han obtenido los mismos puntajes en los controles.
Existe un error en el cálculo de las desviaciones estándar de Pedro o de
Juan, porque ambos tienen el mismo promedio.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
3
13. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La varianza puede ser igual a la desviación estándar.
Si sumamos a todos los valores de la variable una constante, la varianza no
cambia.
La varianza es la raíz cuadrada de la desviación estándar.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
14. Se tienen cuatro números x, y, z, w cuya varianza es , entonces la varianza de kx,
ky, kz, kw, con k un número natural, es
A)
B)
C)
D)
E)
4k
k4
k2
k
4(k + )
15. Sea una desviación estándar , tal que 0 <  < 1, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La varianza es mayor que la desviación estándar.
La media aritmética es cero.
La mediana es cero.
Solo I
Solo II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
16. De acuerdo a la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
A+B=3
La desviación estándar es
La varianza es 2.
2.
Solo I
Solo II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
4
xi
4
5
6
7
8
(xi – x )2
B
1
0
A
4
17. En una muestra de 10 datos se obtiene una desviación estándar igual a 1,5. Si a cada
elemento de la muestra se agregan 10 unidades, entonces la nueva desviación
estándar y varianza son, respectivamente
Desv. Est.
A)
B)
C)
D)
E)
Varianza
101,5
101,5
11,5
1,5
1,5
102,25
12,25
12,25
102,25
2,25
18. Con respecto a la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El promedio aritmético ( x ) es 4.
Los datos (x) son 20.
La desviación estándar () es 2 .
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
x
2
3
4
5
6
f
1
1
1
1
1
x– x
-2
-1
0
1
2
(x – x )2
4
1
0
1
4
19. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?
A) Una desviación estándar pequeña, significa que los datos están concentrados muy
cerca del promedio aritmético.
B) Una desviación estándar grande, indica poca confianza en el promedio aritmético.
C) La desviación estándar siempre es no negativa.
D) Dos muestras con igual número de datos y con el mismo promedio aritmético,
tienen desviaciones estándar iguales.
E) La desviación estándar siempre se mide en la misma unidad que los datos.
20. Si el valor de A es una variable que está entre el cuarto y quinto decil, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Su valor es superior al 40% de los datos.
La mediana del conjunto es mayor que el valor de A.
El valor de A es menor que el tercer cuartil.
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
5
21. La siguiente tabla muestra los valores de una variable X y sus respectivas frecuencias.
¿Cuál es el valor de la mediana?
A)
B)
C)
D)
E)
5,5
6
6,5
7
7,5
X
frecuencia
4
5
6
7
8
4
8
10
20
8
22. La distribución de pensiones en miles de pesos que recibe un grupo de adultos mayores
se representa mediante el siguiente diagrama de caja y bigotes (figura 2). ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El 25% de los pensionados gana más de $ 750.000.
El promedio de las pensiones es $ 650.000.
El 25% de las personas del grupo gana a lo menos $ 300.000.
fig. 2
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
100
300
650
750
800
23. El ingreso de Felipe está ubicado entre el segundo y tercer decil. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones respecto a este ingreso en relación a la población es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Es inferior al 25%.
Es superior al 20%.
Es superior al 22%.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
24. La tabla siguiente muestra los valores aproximados de la distribución en quintiles del
ingreso familiar per cápita en Chile. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
Quintil
Primer quintil
A)
B)
C)
D)
E)
El
El
El
El
El
60%
20%
20%
40%
60%
tiene
tiene
tiene
tiene
tiene
un
un
un
un
un
Ingreso Familiar
71.000
Segundo quintil
Tercer quintil
118.000
182.000
Cuarto quintil
333.000
ingreso
ingreso
ingreso
ingreso
ingreso
mayor a 71 mil pesos.
entre 118 mil y 333 mil pesos.
mayor a 182 mil pesos.
no mayor a 71 mil pesos.
a lo menos de 118 mil pesos.
6
25. El gráfico de caja y bigotes de una muestra es simétrico. Entonces, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
xmin + xmax = Q1 + Q3
xmax - xmin = Q3 - Q1
Q3 – Q2 = Q2 - Q1
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
26. La distribución de ingresos de una población se representa mediante el siguiente
diagrama de caja y bigotes (fig. 3). Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
El 50% gana más de 40 mil pesos.
El 25% gana a lo menos 30 mil pesos.
El 25% gana no menos de 60 mil pesos.
fig. 3
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
10
30
40
60
90
27. Los promedios de tiempos de 100 metros planos de dos atletas es 14,28 s, se debe
elegir entre los dos el que tenga menos variación en sus resultados, esto se puede
determinar, si:
(1) Se conoce la moda de cada muestra.
(2) Se conoce la desviación estándar de cada muestra.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
28. Se puede determinar el valor de la desviación estándar de una muestra, si:
(1) La muestra no tiene moda.
(2) Todos los datos tienen la misma frecuencia.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
29. Se puede determinar el valor de la mediana de una distribución, si:
(1) Se conoce el valor de Q3 – Q1.
(2) La distribución es simétrica.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por si sola
(2) por si sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por si sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
30. Se puede determinar los valores de los quintiles de una muestra, si se conoce:
(1) Los cuartiles de la muestra.
(2) Los deciles de la muestra.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por si sola(1) ó (2)
Se requiere información adicional.
CLAVES
1.
2.
3.
4.
5.
E
E
D
D
C
6. C
7. E
8. C
9. C
10. B
11.
12.
13.
14.
15.
A
A
D
C
E
8
16.
17.
18.
19.
20.
C
E
C
D
E
21.
22.
23.
24.
25.
D
A
B
E
D
26.
27.
28.
29.
30.
C
B
E
E
B
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 32
UNIDAD: DATOS Y AZAR
PROBABILIDADES II
VARIABLES ALEATORIAS
Se llama VARIABLE ALEATORIA a toda función que asocia un número real a cada
elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio.
Observación: Se simbolizan con letras mayúsculas, por ejemplo: X; Y; Z;…
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (VAD)
Son aquellas que pueden tomar una cantidad finita de valores o una cantidad infinita
numerable de valores, por ejemplo suma de puntos en el lanzamiento de dos dados, las
preguntas correctas en una prueba, números de hijas mujeres de una familia etc.
Ejemplo:
Supongamos que el experimento consiste en lanzar una moneda tres veces y definimos la
variable aleatoria X como el número de caras obtenidas.
Resultados posibles
(s,s,s)
(s,s,c);(s,c,s);(c,s,s)
(s,c,c);(c,s,c);(c,c,s)
(c,c,c)
Valores de X
0
1
2
3
Ejemplo:
Supongamos que el experimento consiste en lanzar un dado y se define la variable aleatoria
Z como número de lanzamientos hasta que salga un dos.
El número de lanzamientos que puede tomar la variable hasta que salga el valor dos puede
ser infinito, pero es posible contarlos, es decir es una cantidad infinita numerable. Por lo
tanto es una variable discreta.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (VAC)
Son aquellas que pueden tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo en
los números reales, por ejemplo peso de los alumnos de un curso,
tiempo de
funcionamiento de un dispositivo electrónico, cantidad de agua consumida en mes por una
familia, tiempo que demora un alumno en llegar del colegio a su casa etc.
Observación:
Los valores que toma la variable aleatoria se denomina Recorrido
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de los siguientes enunciados corresponde una variable aleatoria?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Obtener tres puntos al lanzar un dado.
Número de caras en el lanzamiento de cuatro monedas.
Tiempo de caída de un objeto desde la azotea de un edificio.
Obtener pinta roja al sacar una carta del naipe inglés.
Color rubio del cabello de la persona sentada a mi lado
Una bolsa contiene 6 monedas, tres azules y tres rojas. Si se extraen dos monedas,
una tras otra sin reposición, ¿cuál(es) de los siguientes enunciados define(n) una
variable aleatoria?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Solo
Solo
Solo
Solo
I, II
I
II
I y II
I y III
y III
En una bolsa hay 4 fichas enumeradas del 3 al 6. Se extraen dos de ellas sin reposición
y se define la variable aleatoria X, como la suma de los números obtenidos. ¿Cuál(es)
de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Número de caras obtenidas.
Número de monedas de color azul.
Tiempo empleado en realizar el experimento.
Es una variable aleatoria discreta
El recorrido de la variable aleatoria es {7, 9, 11}
El total de resultados posibles de la variable aleatoria son 3
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Para el experimento de lanzar dos veces un dado, se define la variable aleatoria X como
la parte entera del cuociente de los valores obtenidos. Entonces, el recorrido de la
variable aleatoria es
A)
B)
C)
D)
E)
{0}
{1}
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{0, 1, 2, 3, 4, 5}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
2
FUNCIÓN
DE
PROBABILIDAD
PARA
VARIABLE
DISCRETA
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta “X” a la función que
asocia cada valor de xi con su probabilidad de ocurrencia pi.
Se denota por f(x) = P(X = xi)
Propiedades:
1. 0  f(xi)  1
2. f(x1) + f(x2) + …….+ f(xn) = 1
3. P(X = a) = 0, si a no pertenece al recorrido de la variable aleatoria
Observaciones:
1. El recorrido de la variable aleatoria es el dominio de la función de probabilidad
2. El recorrido de la función de probabilidad está en 0, 1
Ejemplo:
Definida la variable X como el número de caras que pueden obtener en el lanzamiento de
tres veces una moneda. La tabla muestra la probabilidad para los diferentes valores de X:
Resultados
Valores de X
0
1
2
3
(s,s,s)
(s,s,c);(s,c,s);(c,s,s)
(s,c,c);(c,s,c);(c,c,s)
(c,c,c)
f(x)
f(xi)=P(X = xi)
f(0)= P(X=0) = 1/8
f(1)= P(X=1) = 3/8
f(2)= P(X=2) = 3/8
f(3)= P(X=3) = 1/8
Función de probabilidad
f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1
3/8 -
1
3
3
1



8
8
8
8
1/8 -
0
1
2
3
 1
Valores v.a.
EJEMPLOS
1.
En la fabricación de 30 dados se sabe que el 20% de ellos son defectuosos. El proceso
de control de calidad consiste en examinar cinco de ellos, uno tras otro sin devolución,
si se define la variable aleatoria X como el número de dados defectuosos que se
obtienen, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad de que todos sean defectuosos es 0,6.
El recorrido de la variable aleatoria es {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
La probabilidad de obtener todos buenos es 0,8.
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
3
2.
Si el experimento aleatorio consiste en lanzar dos veces un dado y se define la variable
aleatoria X: el doble de la suma de los números que aparecen, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Los valores de la variable aleatoria son {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,
24}.
El recorrido de la función de probabilidad es [4, 24].
1
P(14) = .
6
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I, II y III
Se tiene un dado cargado cuyos resultado y probabilidades se muestran en la tabla
adjunta
X
1
2
3
4
5
6
P(X=xi)
0,30
0,15
0,05
0,18
0,20
0,12
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
P(X sea un número primo) = 0,70.
P(X > 6) = 0.
P(X > 4) = 1 – P(X < 4).
II
III
I y II
I y III
II y III
La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria X
X
P(X=xi)
-20
0,18
-10
m
0
0,22
10
0,33
20
0,10
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El valor de m = 0,17
P(X  10) = P(X > 0)
P(X  -10) = 1 – P(X = -20)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
4
FUNCIÓN
DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE DISCRETA
La función de distribución de probabilidad F(x) asocia a cada valor de x la probabilidad
acumulada, es decir F(x) = P(X  x)
Propiedades:
1.
Como F(x) es una probabilidad, se cumple que 0  F(x)  1
2.
Si x1, x2, x3, .…., xn-1, xn son valores de la variable aleatoria, entonces
P(X  xn-1) = P(X=x1) + P(X=x2) + P(X=x3) +......+ P(X=xn-1)
3.
4.
Si a < b , entonces P( a < X  b ) =
P(X > a) = 1 - P(X  a) = 1 – F(a)
F (b) – F (a)
Observación:
En el caso de variable aleatoria discreta la función de distribución de probabilidad es una
función escalonada.
Función de distribución
F(x)
1








Valores v.a.
discreta
Ejemplo:
Para la variable X definida como el número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una
moneda, la siguiente tabla muestra la función probabilidad y función de distribución de
probabilidad para los diferentes valores de X:
Función de distribución
X
0
1
2
3
F(xi)=P(X  xi)
F(0) = P(X  0) = 1/8
F(1) = P(X  1) = 1/8 + 3/8 = 4/8
F(2) = P(X  2) = 4/8 + 3/8 = 7/8
F(3) = P(X  3) = 7/8 + 1/8 = 8/8 = 1
F(x)
1
7/8
4/8
1/8
  
0 1 2
5
 
3
Valores v.a.
discreta
EJEMPLOS
1.
La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria W
w
-2
-1
0
1
f(w)
0,20
0,45
0,3
0,05
¿Cuál es la probabilidad que P(W  0)?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
P(W = -2) + P(W = -1)
P(W = -2) + P(W = -1) + P(W = 0)
1 – P(W = 0)
1 – P(W < 0)
Ninguna de las anteriores
El gráfico muestra la función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria X
F(X)
1
0,8
0,4
-2
0
1
Variable
aleatoria: X
4
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
P(X = -2) = P(X= 1)
P(X  1) = 0,8
P(X  4) = 1
Solo I
Solo II
Solo III
I, II y III
Ninguna de las opciones anteriores.
La función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria X está dada por la
siguiente tabla
X
P(X  xi)
10
0,05
20
0,30
¿Cuál es el valor de P(X > 30)?
A)
B)
C)
D)
E)
0,23
0,42
0,58
0,65
1,75
6
30
0,42
40
0,75
50
1
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA
La función de distribución de probabilidad F(x) asocia a cada valor de x la probabilidad
acumulada, es decir F(x) = P(X  x).
La probabilidad de que la variable esté comprendida en el intervalo [a, b] está dada por el
área bajo la curva de la función entre los puntos a y b
y
f(x)
P(a < x < b)
a
b
x
Propiedades:
1. Como f(x) es una probabilidad, se cumple que 0  F(x)  1.
2. Si a < b, entonces P(a < X  b) = F(b) – F(a).
3. P(X > a) = 1 - P(X  a) = 1 – F(a)
4. P(X = a) = 0, es decir la probabilidad que la variable tome exactamente un valor es
igual a cero.
5. P(X < a) = P(X  a)
Observación:
En el caso de variable aleatoria continua la función de distribución de probabilidad es una
función continua.
EJEMPLO
1.
Se define la función de distribución de la variable X como f(x) = x2, con
entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
P(0,1 < x  0,8) = 0,63
P(x > 0,7) = 1 – F(0,7)
P(x < 0,1) = 0,1
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
7
0 < x < 1,
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Para variables aleatorias continuas X, la función de probabilidad es denominada Función de
densidad de probabilidad, es una función continua y la probabilidad está dada por el
área bajo la curva de la función.
La distribución más importante dentro de las distribuciones continuas es la distribución
normal.
Es un modelo matemático, que recibe su nombre debido a que en cierto momento se pensó
que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución
permite representar fenómenos estadísticos de manera probabilística.
El gráfico de la función de densidad de una variable
aleatoria con distribución normal es similar al
mostrado en la figura, es decir tiene una forma
conocida como Campana de Gauss, y es simétrico
con respecto a la media, . Esta distribución queda
definida por dos parámetros: la media () y la
desviación estándar (), y se denota X ~ N(, ).

Características:
1.
El área bajo la curva es igual a la unidad.
2.
Es simétrica con respecto a x =  , y deja un área igual a 0,5 a la izquierda y otra de
0,5 a la derecha, es decir, hay una probabilidad del 50% de observar un dato mayor a la
media y un 50% de observar un dato menor a la media.
3.
Es asintótica al eje de las abscisas, es decir, la curva se acerca lo más posible al eje de
las X sin llegar a tocarlo.
4.
La media, moda y mediana coinciden.
5.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
EJEMPLO
1.
En el Colegio Universo, el peso de los 40 alumnos del 3º medio, tienen una distribución
normal con media de 72 kg y desviación estándar de 3 kg. ¿Cuál es la probabilidad de
que un alumno elegido al azar pese menos de 72 kg.?
A)
B)
C)
D)
E)
0,02
0,025
0,05
0,25
0,5
8
INTERVALOS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si una población tiene media  y desviación estándar , se tiene que
En el intervalo   ,   
el área encerrada es 0,6826
es decir, 68,26% del total.
-

+
En el intervalo   2,   2
el área encerrada es 0,9544
es decir, 95,44% del total.
-2

+2
En el intervalo   3,   3
el área encerrada es 0,9973
es decir, 99,73% del total.
-3

+3
EJEMPLOS
1.
Sea X una variable aleatoria con distribución N ~ (18,3). ¿Cuál(es) de las siguientes
proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
La probabilidad de que la variable tome valores mayores que 18 es el 50%.
P(X  21) = 0,6587
P(X > 24) = 0,0228
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Los pacientes afectados por una bacteria y su tiempo de recuperación, en días, tiene
una distribución N ~ (6; 1,3). ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente se recupere
en un tiempo mayor a 9,9 horas?
A)
B)
C)
D)
E)
0,99865
0,49865
0,5
0,0228
0,00135
9
3.
El tiempo de duración que tienen los focos fabricados por una empresa, se distribuye
en forma normal con media aritmética igual a 1.020 horas y desviación estándar
51 horas. ¿Cuál es la probabilidad en porcentaje de que dure más de 1.122 horas?
A) 47,720%
B) 45,440%
C) 22,800%
D) 2,280%
1,587%
E)
4.
¿Cuál de los siguientes gráficos representa a tres distribuciones de probabilidad normal
con la misma media y diferentes desviaciones estándar?
A)
B)
C)
D)
E)
10
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
La distribución normal estándar o tipificada, es aquella que tiene media 0 y desviación
estándar 1. Se denota por X ~ N(0, 1)
Por ser la gráfica simétrica respecto
= 0 , entonces se cumple P(X  -x1) = P(X  x1)
Gráficamente:

-x1
x1

EJEMPLOS
1.
Sea X una variable aleatoria con distribución N ~ (0,1). ¿Cuál(es) de las siguientes
proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
P(X  -1) = 0,1587
P(X  -2) = P(X  2)
P(X  3) = 0,00135
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
En una distribución normal estándar X ~ N(0,1), ¿cuál de las alternativas es la
correcta?
A)
B)
C)
D)
E)
P(X  3) = 0,49865
P(X = -3) = 0,0135
P(X  3) = 0,4973
P(X  -3) = 0,00135
P(-3  X  3) = 0,865
11
OTROS CASOS
Cuando la el valor de la variable xi no se encuentra dentro de los intervalos dados, existe
una tabla, llamada tabla normal tipificada, que permite determinar el valor de:
F(X) = P(X  xi)
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,00
0,50000
0,53983
0,57926
0,61791
0,65542
0,69146
0,72575
0,75804
0,78814
0,81594
0,84134
0,86433
0,88493
0,90320
0,91924
0,93319
0,94520
0,95543
0,96407
0,97128
0,97725
0,98214
0,98610
0,98928
0,99180
0,99379
0,99534
0,99653
0,99744
0,99813
0,99865
0,99903
0,99931
0,99952
0,99966
0,99977
0,99984
0,99989
0,99993
0,99995
0,99997
0,01
0,50399
0,54380
0,58317
0,62172
0,65910
0,69497
0,72907
0,76115
0,79103
0,81859
0,84375
0,86650
0,88686
0,90490
0,92073
0,93448
0,94630
0,95637
0,96485
0,97193
0,97778
0,98257
0,98645
0,98956
0,99202
0,99396
0,99547
0,99664
0,99752
0,99819
0,99869
0,99906
0,99934
0,99953
0,99968
0,99978
0,99985
0,99990
0,99993
0,99995
0,99997
0,02
0,50798
0,54776
0,58706
0,62552
0,66276
0,69847
0,73237
0,76424
0,79389
0,82121
0,84614
0,86864
0,88877
0,90658
0,92220
0,93574
0,94738
0,95728
0,96562
0,97257
0,97831
0,98300
0,98679
0,98983
0,99224
0,99413
0,99560
0,99674
0,99760
0,99825
0,99874
0,99910
0,99936
0,99955
0,99969
0,99978
0,99985
0,99990
0,99993
0,99996
0,99997
0,03
0,51197
0,55172
0,59095
0,62930
0,66640
0,70194
0,73565
0,76730
0,79673
0,82381
0,84849
0,87076
0,89065
0,90824
0,92364
0,93699
0,94845
0,95818
0,96638
0,97320
0,97882
0,98341
0,98713
0,99010
0,99245
0,99430
0,99573
0,99683
0,99767
0,99831
0,99878
0,99913
0,99938
0,99957
0,99970
0,99979
0,99986
0,99990
0,99994
0,99996
0,99997
0,04
0,51595
0,55567
0,59483
0,63307
0,67003
0,70540
0,73891
0,77035
0,79955
0,82639
0,85083
0,87286
0,89251
0,90988
0,92507
0,93822
0,94950
0,95907
0,96712
0,97381
0,97932
0,98382
0,98745
0,99036
0,99266
0,99446
0,99585
0,99693
0,99774
0,99836
0,99882
0,99916
0,99940
0,99958
0,99971
0,99980
0,99986
0,99991
0,99994
0,99996
0,99997
0,05
0,51994
0,55962
0,59871
0,63683
0,67364
0,70884
0,74215
0,77337
0,80234
0,82894
0,85314
0,87493
0,89435
0,91149
0,92647
0,93943
0,95053
0,95994
0,96784
0,97441
0,97982
0,98422
0,98778
0,99061
0,99286
0,99461
0,99598
0,99702
0,99781
0,99841
0,99886
0,99918
0,99942
0,99960
0,99972
0,99981
0,99987
0,99991
0,99994
0,99996
0,99997
0,06
0,52392
0,56356
0,60257
0,64058
0,67724
0,71226
0,74537
0,77637
0,80511
0,83147
0,85543
0,87698
0,89617
0,91309
0,92785
0,94062
0,95154
0,96080
0,96856
0,97500
0,98030
0,98461
0,98809
0,99086
0,99305
0,99477
0,99609
0,99711
0,99788
0,99846
0,99889
0,99921
0,99944
0,99961
0,99973
0,99981
0,99987
0,99992
0,99994
0,99996
0,99998
0,07
0,52790
0,56749
0,60642
0,64431
0,68082
0,71566
0,74857
0,77935
0,80785
0,83398
0,85769
0,87900
0,89796
0,91466
0,92922
0,94179
0,95254
0,96164
0,96926
0,97558
0,98077
0,98500
0,98840
0,99111
0,99324
0,99492
0,99621
0,99720
0,99795
0,99851
0,99893
0,99924
0,99946
0,99962
0,99974
0,99982
0,99988
0,99992
0,99995
0,99996
0,99998
0,08
0,53188
0,57142
0,61026
0,64803
0,68439
0,71904
0,75175
0,78230
0,81057
0,83646
0,85993
0,88100
0,89973
0,91621
0,93056
0,94295
0,95352
0,96246
0,96995
0,97615
0,98124
0,98537
0,98870
0,99134
0,99343
0,99506
0,99632
0,99728
0,99801
0,99856
0,99896
0,99926
0,99948
0,99964
0,99975
0,99983
0,99988
0,99992
0,99995
0,99997
0,99998
0,09
0,53586
0,57535
0,61409
0,65173
0,68793
0,72240
0,75490
0,78524
0,81327
0,83891
0,86214
0,88298
0,90147
0,91774
0,93189
0,94408
0,95449
0,96327
0,97062
0,97670
0,98169
0,98574
0,98899
0,99158
0,99361
0,99520
0,99643
0,99736
0,99807
0,99861
0,99900
0,99929
0,99950
0,99965
0,99976
0,99983
0,99989
0,99992
0,99995
0,99997
0,99998
Modo de utilizar: En la columna 1 se busca la unidad y décima de x i y en la fila 1 la
centésima de x1, en el lugar en el que intersecta la fila que contiene la unidad y la décima
con la columna que contiene la centésima contiene el valor de P(X < xi)
12
Modo de utilizar:
En la columna 1 se busca la unidad y décima de x i y en la fila 1 la centésima de x 1, en el
lugar en el que intersecta la fila que contiene la unidad y la décima con la columna que
contiene la centésima contiene el valor de P(X < xi).
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,00
0,50000
0,53983
0,57926
0,61791
0,65542
0,69146
0,72575
0,75804
0,78814
0,81594
0,84134
0,86433
0,88493
0,90320
0,91924
0,93319
0,94520
0,95543
0,96407
0,97128
0,97725
0,98214
0,98610
0,98928
0,99180
0,99379
0,99534
0,99653
0,99744
0,99813
0,99865
0,99903
0,99931
0,99952
0,99966
0,99977
0,99984
0,99989
0,99993
0,99995
0,99997
0,01
0,50399
0,54380
0,58317
0,62172
0,65910
0,69497
0,72907
0,76115
0,79103
0,81859
0,84375
0,86650
0,88686
0,90490
0,92073
0,93448
0,94630
0,95637
0,96485
0,97193
0,97778
0,98257
0,98645
0,98956
0,99202
0,99396
0,99547
0,99664
0,99752
0,99819
0,99869
0,99906
0,99934
0,99953
0,99968
0,99978
0,99985
0,99990
0,99993
0,99995
0,99997
0,02
0,50798
0,54776
0,58706
0,62552
0,66276
0,69847
0,73237
0,76424
0,79389
0,82121
0,84614
0,86864
0,88877
0,90658
0,92220
0,93574
0,94738
0,95728
0,96562
0,97257
0,97831
0,98300
0,98679
0,98983
0,99224
0,99413
0,99560
0,99674
0,99760
0,99825
0,99874
0,99910
0,99936
0,99955
0,99969
0,99978
0,99985
0,99990
0,99993
0,99996
0,99997
0,03
0,51197
0,55172
0,59095
0,62930
0,66640
0,70194
0,73565
0,76730
0,79673
0,82381
0,84849
0,87076
0,89065
0,90824
0,92364
0,93699
0,94845
0,95818
0,96638
0,97320
0,97882
0,98341
0,98713
0,99010
0,99245
0,99430
0,99573
0,99683
0,99767
0,99831
0,99878
0,99913
0,99938
0,99957
0,99970
0,99979
0,99986
0,99990
0,99994
0,99996
0,99997
0,04
0,51595
0,55567
0,59483
0,63307
0,67003
0,70540
0,73891
0,77035
0,79955
0,82639
0,85083
0,87286
0,89251
0,90988
0,92507
0,93822
0,94950
0,95907
0,96712
0,97381
0,97932
0,98382
0,98745
0,99036
0,99266
0,99446
0,99585
0,99693
0,99774
0,99836
0,99882
0,99916
0,99940
0,99958
0,99971
0,99980
0,99986
0,99991
0,99994
0,99996
0,99997
0,05
0,51994
0,55962
0,59871
0,63683
0,67364
0,70884
0,74215
0,77337
0,80234
0,82894
0,85314
0,87493
0,89435
0,91149
0,92647
0,93943
0,95053
0,95994
0,96784
0,97441
0,97982
0,98422
0,98778
0,99061
0,99286
0,99461
0,99598
0,99702
0,99781
0,99841
0,99886
0,99918
0,99942
0,99960
0,99972
0,99981
0,99987
0,99991
0,99994
0,99996
0,99997
0,06
0,52392
0,56356
0,60257
0,64058
0,67724
0,71226
0,74537
0,77637
0,80511
0,83147
0,85543
0,87698
0,89617
0,91309
0,92785
0,94062
0,95154
0,96080
0,96856
0,97500
0,98030
0,98461
0,98809
0,99086
0,99305
0,99477
0,99609
0,99711
0,99788
0,99846
0,99889
0,99921
0,99944
0,99961
0,99973
0,99981
0,99987
0,99992
0,99994
0,99996
0,99998
0,07
0,52790
0,56749
0,60642
0,64431
0,68082
0,71566
0,74857
0,77935
0,80785
0,83398
0,85769
0,87900
0,89796
0,91466
0,92922
0,94179
0,95254
0,96164
0,96926
0,97558
0,98077
0,98500
0,98840
0,99111
0,99324
0,99492
0,99621
0,99720
0,99795
0,99851
0,99893
0,99924
0,99946
0,99962
0,99974
0,99982
0,99988
0,99992
0,99995
0,99996
0,99998
0,08
0,53188
0,57142
0,61026
0,64803
0,68439
0,71904
0,75175
0,78230
0,81057
0,83646
0,85993
0,88100
0,89973
0,91621
0,93056
0,94295
0,95352
0,96246
0,96995
0,97615
0,98124
0,98537
0,98870
0,99134
0,99343
0,99506
0,99632
0,99728
0,99801
0,99856
0,99896
0,99926
0,99948
0,99964
0,99975
0,99983
0,99988
0,99992
0,99995
0,99997
0,99998
0,09
0,53586
0,57535
0,61409
0,65173
0,68793
0,72240
0,75490
0,78524
0,81327
0,83891
0,86214
0,88298
0,90147
0,91774
0,93189
0,94408
0,95449
0,96327
0,97062
0,97670
0,98169
0,98574
0,98899
0,99158
0,99361
0,99520
0,99643
0,99736
0,99807
0,99861
0,99900
0,99929
0,99950
0,99965
0,99976
0,99983
0,99989
0,99992
0,99995
0,99997
0,99998
EJEMPLOS:
P(X  1,24) = 0,8925
P(X  1,24) = 1 – P(X  1,24) = 1 – 0,8925 = 0,1075
P(X  -1,24) = P(X  1,24) = 1 – P(X  1,24) = 1 – 0,8925 = 0,1075
13
OBSERVACIÓN: En la PSU darán la tabla de manera que se busca directamente la
P(X < x) ó si la variable aleatoria se denomina Z, entonces P(Z < z).
TABLA PSU
Si Z  (0, 1) es una distribución normal estándar, entonces:
Z
0,99
1,00
1,15
1,24
1,28
1,64
1,96
2,17
P(Z  z)
0,839
0,841
0,875
0,893
0,900
0,950
0,975
0,985
ESTANDARIZACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Para poder utilizar la tabla para encontrar la probabilidad P(X < xi) en una distribución
normal, no estándar, es necesario estandarizar la variable.
Si X es una variable que tiene distribución normal con media  y desviación estándar , es
X
, que tiene
decir X ~ N( , ), se define una nueva variable aleatoria Z de la forma: Z 

una distribución normal estándar, es decir, Z ~ N(0 , 1).
Entonces la probabilidad en términos de la variable X puede calcularse en términos de Z, de
la siguiente manera.
x  

P X  x  P  Z 
 

EJEMPLO
Los notas de 40 alumnos que rindieron examen de admisión en un colegio para ocupar las
vacantes en el 1º medio, tienen una distribución N(5,1; 1,2).
¿Cuál es la probabilidad de que sean aceptados con nota superior a 6?
Solución: P(X > 6) =
1 – P (X < 6)

6  5,1 
= 1 – P Z <

1,2 

= 1 – P( Z < 0,75)
= 1 – 0,773
= 0,22
14
Z
P Z  z 
0,75
1,00
1,15
1,24
1,28
1,64
1,96
2,17
0,773
0,841
0,875
0,893
0,900
0,950
0,975
0,985
EJEMPLOS
1.
Sea X una variable aleatoria que tiene distribución normal con media a y desviación
estándar b, la que se transforma en una variable aleatoria Z con distribución N(0,1).
Entonces Z se expresa
A) Z 
B)
X
C) Z 
D) X 
E)
2.
Z
X b
a
Za
b
Xa
b
Za
b
ab
X
Sea X y Z variables aleatorias, X con distribución N(100,16), y Z la tipificada de X con
distribución N(0,1). Entonces, ¿cuál es la representación gráfica de la probabilidad de
que X sea mayor que 124?
A)
B)

100 101,5


C)
1,5

16
D)

0
1,5


0
1,5

E) Ninguna de las anteriores
3.
Sea X variable
P(X > 124) es
A)
B)
C)
D)
E)
aleatoria con distribución N(100, 16), utilizando la tabla, el valor de
1,5
0,93319
0,1359
0,06795
0,06681
15
RESPUESTAS EJEMPLOS
Pág
1
2
3
4
2
B
E
A
E
3y4
A
D
A
E
6
B
D
C
7
C
8
E
9 y 10
C
E
D
11
E
D
15
C
D
16
E
A
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 32
PROBABILIDAD II
1.
¿Cuál(es) de los siguientes enunciados define una variable aleatoria discreta?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
¿Cuál(es) de los siguientes enunciados define una variable aleatoria continua?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Consumo de kilos-watt hora durante una semana.
Número de clientes que esperan pagar en la caja de un supermercado.
Número de llamadas que recibe un celular en una hora.
Cantidad de gasolina consumida por un vehículo.
Tiempo necesario para armar un puzzle de 1.500 piezas.
El consumo diario de agua potable de un condominio.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
En un test de 5 preguntas de verdadero-falso, se define la variable aleatoria X: número
de preguntas falsas que se obtienen. ¿Cuál(es) de las siguientes es (son) proposiciones
son verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
El recorrido de la variable aleatoria es {1,2}.
El espacio muestral del experimento tiene 32 casos posibles.
Los resultados para la variable aleatoria X son equiprobables.
I
II
III
I y II
II y III
4.
En una bolsa hay 10 fichas, todas de igual peso y tamaño; 4 fichas son de color blanco
y 6 son rojas. Si se define la variable aleatoria X como la cantidad de fichas de color
blanco que se obtienen en las extracciones indicadas a continuación, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Si se extraen 3 fichas a la vez, los valores de X son {0, 1, 2, 3}.
Si se extraen 6 fichas a la vez los valores de la variable aleatoria X son
{0,1, 2}
Si se extraen 5 fichas a la vez los valores de X son {0, 1, 2, 3, 4}
I
II
III
I y II
I y III
La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
W
-4
-2
0
1
3
5
f(W)
0,171
0,035
0,163
p
0,227
0,303
Entonces, el valor de p es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
6.
0,899
0,299
0,211
0,101
0,001
La probabilidad de que Juan convierta un gol en un tiro penal es de 0,6. Se define la
variable aleatoria X como la cantidad de goles convertidos en tres lanzamientos.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
P(X = 0) = P(X = 3)
P(X = 1) = P(X = 2)
P(X  0) = 1
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
2
7.
Una bolsa contiene 10 cubitos de igual tamaño, 4 dorados, 3 plateados y 3 blancos. Si
se extraen, sin reposición, 3 cubitos y se definen las siguientes variables aleatorias con
sus recorridos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
8.
El recorrido es {1, 2, 3} si la variable aleatoria X es número de cubitos
plateados.
El recorrido es {1, 2, 3, 4} si la variable aleatoria Y es número de cubitos
dorados.
El recorrido es {3, 4} si la variable aleatoria Z es un cubito de cada color.
Solo I
Solo II
Solo III
I, II y III
Ninguna de las anteriores
Si la variable aleatoria X definida como el número de caras que se obtiene cuando se
lanza cinco veces una moneda, ¿cuál de las siguientes tablas representa la función
probabilidad de este experimento?
A)
B)
C)
D)
X
1
2
3
4
5
P(X)
5
32
6
32
11
32
6
32
5
32
X
0
1
2
3
4
5
P(X)
1
32
5
32
10
32
11
32
4
32
1
32
X
0
1
2
3
4
5
P(X)
1
32
5
32
10
32
10
32
5
32
1
32
X
1
2
3
4
5
P(X)
5
32
8
32
6
32
8
32
5
32
E) Ninguna de las opciones anteriores.
3
9.
Una bolsa contiene 5 fichas enumeradas del 5 al 9. Si se extraen 3 fichas una tras otra
sin reposición y se define la variable aleatoria Z como el menor valor de las fichas
sacadas, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
10.
El espacio muestral tiene 6 elementos
P(X = 5) = 2 P(X = 6)
El recorrido de la variable aleatoria es {5, 6, 7, 8, 9}
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
Se lanza dos veces un dado y se define una variable aleatoria X de la siguiente
manera: se designa el valor 1 cuando el primer número es mayor que el segundo; 0 si
los dos números son iguales y -1 si el primer número es menor que el segundo.
Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) P(X = 0) = 6
B) El recorrido de la función de probabilidad es {-1 , 0 , 1}
C) P(X = -1) = P(X = 1)
5
D) P(X = 1) =
36
E) Ninguna de las anteriores
11.
Se tiene un dado cargado donde la probabilidad de obtener un número par es un tercio
de la probabilidad de obtener un número impar. Si se define la variable aleatoria X
como el número obtenido, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es la correcta?
A) La probabilidad de obtener un número primo es
B)
C)
D)
E)
5
.
6
P(X = 2) = 3· P(X = 5)
P(X < 3) = P(X > 4)
P(X = 6) : P(X = 1) = 3 : 1
Ninguna de las anteriores
12. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria Y.
Y
1
2
3
4
5
f(Y)
1
a
2
a
0,15
2a
3
a
4
Entonces, el valor de a es
A)
B)
C)
D)
E)
0,050
0,020
0,024
0,200
0,240
4
13.
En dos cubos se han impreso, en cada uno de ellos, dos números uno, dos números
cero y dos números -1. Si se lanza uno tras otro, y se define la variable aleatoria W
como la suma de los cuadrados de los números obtenidos por las caras obtenidas,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El recorrido de la variable aleatoria es {-2, -1, 0, 1, 2}
P(W = -1) = P(W = 1)
P(W = 1) = P(W = 2)
Solo I
Solo III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de las anteriores
14. Con respecto a la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
X
P(X = xi)
P(X  xi)
10
0,11
0,11
20
0,19
0,30
30
M
N
40
0,23
0,67
50
0,17
0,84
60
Q
1,00
N-Q
=M
2
M + Q = P(X  20)
P(X > 40 ) = 1 – P(X  30)
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
5
15. Se define la función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria X como:
f(x) =
4x + 9
13
, donde x = -2, -1, 0, 1
Entonces, la función de probabilidad asociada a ella esta dada por
x
-2
-1
0
1
f(x)
1
13
5
13
9
13
13
13
x
-2
-1
0
1
f(x)
1
13
6
13
15
13
28
13
A)
C)
B)
D)
x
-2
-1
0
1
f(x)
1
13
4
13
4
13
4
13
x
-2
-1
0
1
f(x)
1
13
4
13
7
13
1
13
E) Ninguna de las anteriores
16. La longitudes, en cm, de las varillas que fabrica una empresa, tiene una distribución
N(10;0,3). ¿Cuál es la probabilidad, en porcentaje, de que una varilla mida menos de
9,1 cm?
A)
B)
C)
D)
E)
100,0%
49,865%
34,13%
15,87%
0,135%
17. En una distribución normal estándar si P(X  -a) = t; entonces P(X  a) =
A)
B)
C)
D)
E)
–t
t
t–1
1–t
No se puede determinar
18. Si X ~ N(0,1) , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad P(X < 0) es 50%
P(X > 1,5) = 1 – P(X  1,5)
P(X = 0,5) = 0
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
6
19. Los promedios obtenidos por los alumnos de un colegio, en su último semestre de
cuarto medio, tiene una distribución N(5,0; 0,8). ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Aproximadamente, el 68% de los alumnos tiene promedio entre 4,2 y 5,8.
Aproximadamente, el 2% de los alumnos tiene promedio menor a 3,4.
Un 13,6%, aproximadamente, tiene promedio entre 5,8 y 6,6.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
20. En una distribución normal
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
N(90, 15), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
P(90 < x < 105) = 0,3413
P(60 < x < 90 ) = 0,4772
P(105 < x < 120) = 0,1359
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
21. Sea una distribución normal N(24,3; 4,8), entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
La desviación estándar es igual a 4,8.
El promedio de la muestra es 24,3.
P(X > 24,3) = 0,5.
P(X < 4,8) = 0,5.
P(19,5  X  29,1)  68%.
22. Sea F(x) una función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
de valores {0, 1, 2, 3}, equiprobable:
0,25 si 0  x  1

0,5 si 1  x  2
F x  P X  x 
z si 2  x  3

y si 3  x
Entonces, los valores de z e y, respectivamente son:
A)
B)
C)
D)
E)
0,5 y 1
0,5 y 0,5
0,75 y 1
1 y 0,5
1 y 0,75
7
23. La gráfica que representa a dos distribuciones de probabilidad normal


N1 x1 , 1

N2 x2 , 2 , con x1  x2 y 1  2 , corresponde a
A)
B)
x1
x2
x2
x1
C)
D)
x1
x1
x2
E)
x2
x1
8
x2

y
24. Sea el gráfico de la figura 2, la representación de la función distribución de probabilidad
para la variable aleatoria X
1,0
0,8
fig. 2
0,6
0,4
0,2
1
0
2
3
4
5
Entonces, la función probabilidad asociada corresponde a:
A)
X
0
1
2
3
4
P(X)
0,2
0,1
0,2
0,1
0,4
con P(X) = 0, en cualquier otro caso.
B)
X
0
1
2
3
4
5
P(X)
0,2
0,1
0,1
0,1
0,4
0,1
con P(X) = 0, en cualquier otro caso.
C)
X
1
2
3
4
5
P(X)
0,1
0,1
0,2
0,2
0,4
con P(X) = 0, en cualquier otro caso.
D)
X
0
1
2
3
4
5
P(X)
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
con P(X) = 0, en cualquier otro caso.
E)
Ninguna de las opciones anteriores.
9
25.
Se estima que los resultados de la prueba de selección universitaria (PSU) tienen una
distribución N(500,100). Si en el año 2013 rindieron la prueba 240.000 personas y
para postular a las Universidades se exige un mínimo de 400 puntos. Entonces,
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
38.088 alumnos tienen menos de 400 puntos.
324 alumnos tienen más de 800 puntos.
32.616 alumnos tienen entre 600 y 700 puntos.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
26. Sean X, W variables aleatorias con distribución N(80,4) y N(120,10) respectivamente.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
P(W  130 ) > P(X  84)
P(X  92 ) = P(W  90)
P(W  120) > P(X  80)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
27. Se sabe que las notas de un determinado examen tienen una distribución normal. Se
puede conocer la media, si:
(1) El 15,87% obtuvo nota superior a 6,2
(2) El 15,87% obtuvo nota inferior a 4,6
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
28. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria X, se
puede calcular el valor de P(X= 2) si:
(1) a + b + c + d = 1
(2) P(X  1) = P(X  2)
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
x
0
1
2
3
f(x)
a
b
c
d
29. Sea X una variable con distribución normal. Se puede conocer cuántos elementos están
en el intervalo del promedio menos una desviación estándar y el promedio más una
desviación estándar, si se conoce que:
(1) Un 68,3% de la muestra se encuentra en ese intervalo.
(2) La cantidad de elementos del conjunto.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
30. Sea X una variable aleatoria discreta y F(x) la función distribución de probabilidad. Se
puede conocer la probabilidad de P(xi) si se conoce
(1) F( xi1 )
(2) F( xi )
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
RESPUESTAS EJERCICIOS
1.D
6.B
11.C
16.E
21.D
26.B
2.E
7.E
12.D
17.B
22.C
27.C
3.B
8.C
13.B
18.E
23.B
28.E
4.E
9.D
14.C
19.E
24.A
29.B
5.D
10.C
15.B
20.D
25.E
30.C
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA N° 33
UNIDAD: Datos y Azar
DATOS Y AZAR
TRIÁNGULO DE PASCAL PARA SUCESOS NO EQUIPROBABLES
Recordemos, el triángulo de pascal se utiliza cuando el experimento aleatorio tiene solo dos
resultados, y ahora lo utilizaremos en el caso de que los sucesos no sean equiprobables.
El triángulo de Pascal es el siguiente:
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Ejemplo:
Al lanzar una moneda cargada, la probabilidad que salga cara es
2
, si esta moneda es lanzada
3
3 veces ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
1
1
1
1
C3
1
2
3
C2S1
1
3
C1S2
1
S3
Obtener 2 caras tiene 3 casos favorables, luego la probabilidad de obtener 2 caras es
1
2
1
2
P = 3 P(C)  P(C)  P(S) = 3 


 3 

3
3
3
4
27 9

4
9
EJEMPLOS
1.
Una prueba tiene 6 preguntas con cinco alternativas cada una, de las cuales solo una es
la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga cuatro aciertos si contesta la
prueba al azar?
A)
1
5
 
4
2
4
  
5
4
1
1
 4
B) 6      
5
5
6
1
C) 15   
5
6
1
D) 15   
5
4
2
1
 4
E) 15      
5
 
5
2.
Un deportista de tiro con arco tiene una probabilidad de acertar en el centro de 0,4,
entonces ¿cuál será la probabilidad de que al disparar cuatro veces al blanco acierte en el
centro una vez?
1
A)
B)
C)
1
3
3
1
2
3
4     
5
5
2
4   
5
2
D)  
5
E)
3
2
3
5  5
 
 
4
2
3
4     
5
5
2
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Al considerar un experimento dicotómico donde uno de los resultados se denomina éxito con
probabilidad de ocurrencia p y el otro fracaso, con probabilidad de ocurrencia (1 – p), en que
la probabilidad de éxito es constante y además el resultado obtenido en cada prueba es
independiente de los resultados obtenidos anteriormente, entonces se dice que el experimento
sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli.
La distribución binomial se representa por B(n, p), siendo n el número de pruebas o
repeticiones del experimento y p probabilidad de éxito.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Al realizar un experimento dicotómico n veces, la probabilidad de obtener x éxitos, siendo p la
probabilidad de éxito y (1 – p) la probabilidad de fracaso, se calcula mediante la función de
probabilidad binomial
n
x
n x
f(x) = P(X = x) = Cx  p  (1  p)
OBSERVACION:
n 
n!
Cnx =   =
x!
n
 x !
x

 
EJEMPLO
Un matrimonio tiene 4 hijos, se define la variable aleatoria X como el número de varones que
tenga el matrimonio, ¿cuál es la probabilidad que exactamente tengan 2 varones?
Probabilidad de éxito, que sea varón:
1
2
Probabilidad de fracaso, que no sea varón:
P  X  2 
2
C24
1 1
   
2 2
42
1
2
2
2
6
4!
123 4 1 1
24
1 1
6
3
1 1

    
  
  

1 2 1 2 4 4
4 4 16 8
2!  4  2 !  2   2 
4
OBSERVACIÓN
Cuando el experimento tiene solo dos posibles resultados, se puede utilizar la función de
probabilidad binomial o el triángulo de Pascal.
3
EJEMPLOS
1.
Un estudio sobre los hábitos de consumo arrojó que el 65% de la población ha fumado
alguna vez en su vida. Si se elige a 20 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad que 8 de
ellas nunca haya fumado?
8
12
8
12
 35 
 65 
 
A) C20
8  


 100 
 100 
 35 
 65 
B) C12
8  
   100 
100




8
12
 35 
 65 
 
C) 


 100 
 100 
12
 35 
D) C20
8  

 100 
12
E)
2.
 35 
 100 


8
 65 
 

 100 
8
 65 
 

 100 
Se define la variable aleatoria X como la cantidad de caras que resultan en el lanzamiento
de una moneda no cargada cinco veces. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
Los valores que toma la variable X son {1, 2, 3, 4, 5}
P(X = 1) = P(X = 5)
5
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
1
P(X = 4) = 5   
2
I
II
III
I y III
II y III
4
ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA
La esperanza o valor esperado de una variable aleatoria discreta se determina por la suma de
los productos de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho evento.
La esperanza representa la cantidad media que se espera como resultado de un experimento
aleatorio.
E(x)  x1  p1  x2  p2  ........  xn  pn
xi
P(X = x)
n
:
:
:
valor de cada suceso.
probabilidad que la variable tome el valor i.
cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria.
EJEMPLO
El
valor
esperado
en
el
lanzamiento
de
un
dado
no
1
1
1
1
1
1
1 2 3 4 5 6
21
E  X  = 1· +2· +3· +4· +5· +6· = + + + + + =
= 3,5
6
6
6
6
6
6
6 6 6 6 6 6
6
EJEMPLOS
1.
La función probabilidad de una variable X está definida por
0,3 si x  0

0,2 si x  1
P X  x  
0,5 si x  2

0 en cualquier otro caso
¿Cuál es el valor esperado de X?
A)
B)
C)
D)
E)
2,2
1,8
1,5
1,2
0,8
5
cargado
sería:
2.
Sea X una variable aleatoria tal que su función probabilidad está dada por la siguiente
tabla
X
P(X = x)
-2
0,2
-1
0,1
0
0,3
1
0,1
2
0,3
Entonces, el valor de la esperanza de x es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Si se define la variable x como la suma de los puntos en el lanzamiento de dos dados, el
valor esperado de x es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
0,1
0,2
0,4
0,5
1,2
251
36
240
36
242
36
252
36
256
36
Los gráficos muestran la función de probabilidades de dos variables aleatorias discretas, P
y Q. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
0,5
0,5
0,3
0,2
0,3
0,2
1
2
1
3
Variable Q
Variable P
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
E(P) > E(Q)
E(P)  E(Q) = 0,6
E(Q) =
2
1
E(P)
I
II
I y II
II y III
I y III
6
3
APLICACIÓN DE ESPERANZA MATEMATICA AL VALOR ESPERADO EN UN JUEGO DE
AZAR
La esperanza o valor esperado en matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar y hacen
relación a la esperanza que tenía de ganar un juego un individuo que hacía un gran número de
apuestas.
OBSERVACIONES
Si E(X) = 0 el juego es equitativo, es decir se considera justo
Si E(X) > 0 el juego se considera favorable
Si E(X) < 0 el juego se considera injusto.
EJEMPLO 1
Un jugador tiene 3 oportunidades de lanzar un dado no cargado, si sale un número múltiplo de
3 en el primera lanzamiento gana $ 600, si sale en el segundo lanzamiento $ 360, si sale un
en el tercer lanzamiento gana $ 135, el juego termina al momento que salga un número
múltiplo de 3. Si en ninguno de los tres lanzamientos sale un número múltiplo de 3 el jugador
pierde $ 810, ¿será justo este juego?
Números múltiplos de 3 = {3, 6}
2 1

6 3
4 2 2 1 2
P(X  $360)     
6 6 3 3 9
4 4 2 2 2 1
4
P(X  $135)       
6 6 6 3 3 3 27
4 4 4 2 2 2
8
P(X  $810)       
6 6 6 3 3 3 27
200
40
5
30
1
2
4
8
 360 
 135 
 810 
E(X)  600

3
9
27
27
E(X)  200  80  20  240  $60
P(X  $600) 
EJEMPLO 2
Dada la siguiente distribución de probabilidad para la variable aleatoria X, ¿se trata de un
juego favorable?
P(X=300) =
1
2
1 1
1

=
2 2
4
1
1
1
=
P(X=-2.000) =
2
8
2
P(X=500) =
P(X=800)=
1
2

1
2
E(X) = 300 

1
+ 500 
2
1
+ 800 
4

1
2

1
- 2.000 
8
1
1
=
2
8
1
8
E(X) = 150 + 125 + 100  250 = $ 125
Se puede decir entonces que el juego es favorable, pues la esperanza es mayor que 0.
7
EJEMPLOS
1.
Se tiene una urna con tres bolitas verdes y dos bolitas amarillas. El juego consiste en
sacar una bolita de la urna, si la bolita es amarilla el jugador gana $1.000, si la bolita es
verde debe pagar $800, ¿es conveniente jugar?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Se requiere más información.
El juego es injusto.
El juego es equitativo.
El juego es favorable.
Ninguna de las opciones anteriores.
La siguiente tabla expresa el dinero que se espera ganar en un juego de azar, asociado a
las probabilidades de un juego:
$
100
200
300
-400
P($)
0,1
0,3
A
0,2
Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
A = 0,4
P(-400) = P(200) – P(100)
La esperanza del juego es de $110.
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
De una baraja inglesa se escoge una carta. Si la carta es un número el jugador gana
$ 200, si la carta es un mono el jugador debe pagar $ 500. El valor esperado, en pesos, al
jugar un gran número de veces es
8.000
52
2.000
-$
52
$0
1.000
$
52
2.000
$
52
A) -$
B)
C)
D)
E)
8
RELACIÓN ENTRE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN Y LAS MEDIAS DE MUESTRAS
MUESTRA
Una muestra en un subconjunto de la población y el muestreo es la elección al azar o
intencionada de elementos de la población.
Muestreo Aleatorio Simple
Es aquel en que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado
para integrar la muestra.
Una muestra simple aleatoria es aquella en que sus elementos son seleccionados mediante el
muestreo aleatorio simple.
Existen tres formas de extraer una muestra de una población:
* Muestreo con Reposición
En el muestreo con reposición, el elemento seleccionado en cada extracción vuelve a ser
incluido en la población antes de extraer el siguiente elemento. En este tipo de muestreo, un
elemento de la población puede aparecer más de una vez en la muestra. Para determinar el
número de muestras se utiliza principio multiplicativo de técnicas de conteo, donde se
considera el orden.
* Muestreo sin Reposición
En este tipo de muestreo, el elemento extraído de la población queda descartado de cara a la
siguiente extracción. Es decir, un elemento sólo puede aparecer una vez en la muestra. Para
determinar el número de muestras se utiliza principio multiplicativo de técnicas de conteo,
donde se considera el orden.
* Muestreo sin Orden
Para determinar el número de subconjuntos de un conjunto dado, en el cuál no importe el
orden de los elementos, se debe usar combinatoria.
Tamaño de la muestra extraída
El tamaño de la muestra, n, es la cantidad de elementos que tiene, y que pueden desde 1
hasta N elementos, con N el tamaño de la población.
Ejemplo:
Sea el conjunto de los números {1, 2, 3}, entonces las muestras con reposición según su
tamaño son:
n=1
{1, 2, 3}
: 3 elementos
n = 2 {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)}
: 9 elementos
Sea el conjunto de los números {1, 2, 3}, entonces las muestras sin reposición según su
tamaño son:
n=1
{1, 2, 3}
: 3 elementos
n = 2 {(1,2); (1,3); (2,1); (2,3); (3,1); (3,2)}
: 6 elementos
Sea el conjunto de los números {1, 2, 3}, entonces las muestras sin orden, según su tamaño
son:
n=1
{1, 2, 3}
: 3 elementos
n = 2 {(1,2); (1,3); (3,1)}
: 3 elementos
9
EJEMPLO
1.
Se tiene un conjunto con 10 elementos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Si se realiza un muestreo con reposición de muestras de tamaño 2 se tendrían
100 elementos.
Al muestrear sin reposición para tener muestras de tamaño 3 la cantidad de
elementos del conjunto resultante sería 720.
La cantidad de elementos resultante para muestras de tamaño 1 es el mismo
para el muestreo con y sin reposición.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Si un conjunto tiene cinco elementos entonces el total de muestras de 3 elementos, con
reposición, es
A) 125
B)
75
C)
60
D) 40
E)
25
3.
Se muestrea un conjunto de siete elementos, con muestras de dos elementos sin
reposición. ¿Cuál es la cantidad de muestras que se pueden extraer?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
49
42
36
35
14
¿Cuántas muestras de tamaño 3 se pueden tomar, sin que importe el orden, del conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}?
A) 216
B) 120
C) 125
D) 60
E) 20
10
RELACIÓN ENTRE MEDIA DE UNA POBLACIÓN Y LAS MEDIAS DE MUESTRAS
La media de una población () se puede estimar a partir de la media de las muestras ( xi )
donde i toma valores desde 1 hasta el número total de muestras k obtenidas de tamaño n,
extraídas de la población, con reemplazo o sin reemplazo, con orden o sin orden.
Para determinar la media poblacional, se utiliza la expresión:

x1  x2  x3  ...  xk
k
El promedio de las medias de todas las muestras de tamaño n que se puedan hacer de un
conjunto de N elementos, es igual al promedio de la población.
ERROR MUESTRAL
El error de la muestra i, se denomina ei y es la diferencia entre la media de la población y la
media de la muestra i, que se determina según la expresión:
ei    xi
Donde  es la media de la población y xi es la media de la muestra i.
OBSERVACIÓN
*
El error muestral puede ser positivo o negativo.
*
La suma de todos los errores muestrales es cero.
*
A medida que el tamaño de la muestra crece, el error tiende a disminuir, ya que el tamaño
de la muestra se acerca al tamaño de la población.
EJEMPLOS
1.
Si el promedio de un conjunto de cuatro elementos es igual a 10,5, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
El promedio es el mismo no importando el tamaño de las muestras.
El promedio de las muestras de dos elementos es menor al promedio del
conjunto inicial.
El muestreo con o sin reposición da como resultado el mismo promedio
muestral.
I
III
I y II
I y III
II y III
11
2.
Dado el conjunto {3, 6, 12} al hacer un muestreo de 2 elementos sin reposición, el
máximo promedio muestral que se obtiene es
A) 4,5
B) 6,0
C) 7,5
D) 9,0
E) 12,0
3.
Si la probabilidad de ocurrencia de un evento corresponde a la razón entre la cantidad de
casos favorables y la cantidad de casos totales del experimento, entonces para el
conjunto {1, 2, 3}, ¿cuál es la probabilidad de obtener en una muestra de tamaño dos,
con reposición, una media igual a 2?
4
27
2
B)
9
2
C)
3
1
D)
2
1
E)
3
A)
4.
Para el conjunto {3, 7, 11}, ¿cuál es la diferencia entre el valor máximo y mínimo de la
media que se puede obtener con una muestra de tamaño 2 sin reposición?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
2
3
4
5
6
La tabla presenta la frecuencia absoluta de las medias muestrales de una población.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Medias
96
98
100
102
104
frecuencia
1
2
3
2
1
La población tiene tres elementos.
La media de la población es 100.
El mayor valor absoluto del error muestral es 4.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
Ninguna de ellas.
12
INTERVALO DE CONFIANZA
En ocasiones la media de una muestra se considera como una estimación de la media de la
población a la cual pertenece la muestra.
Por ejemplo, dada como población los alumnos que rindieron la PSU y como variable el puntaje
promedio lenguaje-matemática, se toma una muestra en forma aleatoria de esta población y
se determina que el valor de la media para este grupo, es de 624,5 puntos. Se plantea como
interrogante como se compara este valor de media, con el valor de la media de la población.
Si bien 624,5 es la estimación de la media de la muestra, esto no permite asegurar que es una
estimación de la media poblacional (a nivel nacional), ya que al tomar otra muestra el valor
variará.
Intervalo de confianza es un rango de valores entre los cuales estará el valor de media
estimada para la población, dada una determinada probabilidad de acierto.
Nivel de confianza: Es la probabilidad que el parámetro poblacional se encuentre en un
intervalo de confianza dado. Se determina por (1 - ), siendo  el nivel de significación.
Los niveles de confianza más usuales son: 90%, 95% y 99%, que corresponden a niveles de
significación de 10%, 5% y 1%, respectivamente.
Límites de Confiabilidad: Son los límites del intervalo de confianza.
Para una población, la media aritmética de una variable aleatoria que sigue una distribución
normal de desviación estándar , para un nivel de confianza (1 - ), de la cual se toma una
muestra de tamaño n, con media aritmética , se determina según la relación:


 


,   Z  
  Z   

n
n
2
2

 
se denomina margen de error.
Z  
2 n

La tabla muestra los valores de Z  según el nivel de confianza
2
Nivel de
confianza

Z 
2
50%
68%
75%
80%
90%
95%
99%
0,67
0,99
1,15
1,28
1,64
1,96
2,58
13
EJEMPLO
La estatura de la población es una variable aleatoria con distribución normal de desviación
estándar igual a 0,4 m. Si la media de la estatura de un grupo de 100 personas es 1,68 m. El
intervalo en el que se encuentra el promedio de la población con un 95% de confianza está
dado por:

0, 4
0, 4 
 
   
,  Z  
; 1, 68  1, 96 
  Z   
  1, 68  1, 96 

100
100 
2 n
2  n 

0, 4
0, 4 

; 1, 68  1, 96 
 1, 68  1, 96 
10
10 

 1, 68  1, 96  0, 04; 1, 68  1, 96  0, 04
 1, 68  0, 0784; 1, 68  0, 0784
 1, 6016; 1,7584
EJEMPLOS
1.
Con respecto a la variación del intervalo de confianza, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
A mayor nivel de confianza, mayor la amplitud del intervalo.
A mayor desviación estándar de la población, mayor amplitud del intervalo.
A mayor cantidad de elementos de la muestra, la amplitud es menor.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
Para estudiar el promedio de notas de los alumnos de cuarto medio de un colegio, se ha
elegido un curso de 35 alumnos cuyo promedio es de 5,3. Si el promedio de notas es una
variable que sigue una distribución normal con una desviación estándar de 0,9, el
intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza de 90% es
A)
B)
C)

0,9
0,9 
; 5,3 + 1,64 
5,3  1,64 

35
35 


0,9
0,9 
; 5,3 + 1,96 
5,3  1,96 

35
35 

0,9
0,9 

5,3  1,64  35 ; 5,3 + 1,64  35 



0,9
0,9 
; 5,3 + 0,9 
D) 5,3  0,9 

35
35 


0,9
0,9 
; 5,3 + 1,64 
E) 5,3  1,64 

35
35 

14
RESPUESTAS EJEMPLOS
Pág.
1
2
3
4
2
E
B
4
A
C
5y6
D
B
D
C
8
B
E
E
10
E
A
B
E
11 y 12
D
D
E
C
14
E
A
15
5
E
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 33
DATOS Y AZAR
1.
Se lanza un dado 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad que salga, exactamente, dos veces
el 6?
5
A)
1
6
 
B)
1
6
 
2
C)
53
65
D) 10 
53
65
2
1
E) 10   
6
2.
El 40% de una población de 500 habitantes se encuentra afectado por un virus, si se
escogen 5 personas al azar ¿cuál es la probabilidad que solo 3 de ellos se encuentren
afectados?
3
2
A)
2 3
5  5
   
B)
2
3
5  5
 
 
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
C) C53      
5
5
2
3
D) C53      
5
5
E)
2
3
V35      
5
 
5
3.
La probabilidad que un equipo de futbol gane un partido es un 60%, que empate un
10%. Si juegan 7 partidos, ¿cuál es la probabilidad que tan solo pierda un partido?
A)
B)
3
10
2
5
1
6
 3 
 7 
C) 7      
 10 
 10 
1
6
2
 7 
D) 7     

5
 
 10 
1
E)
4.
6
 3 
3
7 
  5
 10 
 
Una moneda está cargada de manera tal que la probabilidad de obtener cara es un
tercio de la probabilidad de obtener sello, al lanzar 4 veces la moneda, ¿cuál es la
probabilidad que salga 3 veces sello?
1
3
1
3
A)
1
2
3  3
 
 
B)
1
3
 4   4
 
 
C)
1
2
4      
3
 
3
1
3
1
3
3
1
1
3
D) 4      
4
 4
E)
5.
1
2
4      
3
3
Un estudiante contesta al azar una prueba de 20 preguntas de 5 alternativas cada una
de las cuales solo una de ellas es correcta, ¿cuál es la probabilidad que conteste
correctamente 12 preguntas?
12
æ 1ö
20
×ç ÷
C12
è 5ø
B)
æ 4ö æ 1ö
ç 5÷ × ç 5÷
è ø è ø
C)
æ 1ö
12 × ç ÷
è 5ø
D)
4
20
1  C12
  
5
E)
1
 4
20
C12
     
5
5
8
12
æ 4ö
×ç ÷
è 5ø
8
A)
12
æ 4ö
×ç ÷
è 5ø
8
12
8
8
1
  
5
12
2
6.
Sea la función de probabilidad para la variable X, según la siguiente distribución
f(x)  P(X  x)
0, 4

0,6
0

si x=1
si x=0
en cualquier otro caso
Si x = 1 es definido como éxito, y el experimento se realiza 10 veces, entonces la
probabilidad de obtener 3 éxitos, está dada por
3
7
2
3
3
     
A) C10
5
5
3
7
2
3
B) 10      
5
5
3
7
7
3
2
3
C) C10
3      
5
 
5
2
3
D) C10
3      
5
5
3
7
2
3
E) 3      
5
 
5
7.
Se lanza un dado normal 7 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener el número 4,
cinco veces?
5
2
5
2
1
5
A) C57      
6
 
6
1
5
B) C74      
6
6
1
C) C74   
6
4
5
  
6
1
D) C54   
6
4
5
  
6
5
3
3
2
1
5
E) C54      
6
6
3
8.
En un juego se pueden obtener los valores {1, 2, 3, 4} con una probabilidad de 0,2;
0,1; 0,3; 0,4 respectivamente. Si se juega 12 veces, ¿cuál es la probabilidad de que en
tres jugadas se obtenga un número primo?
3
9
3
2
A) C12
3      
5
 
5
3
9
3
9
1
3
B) C12
3      
 4
 4
3
1
C) C12
3      
4
 
 4
3
9
2
3
D) C12
3      
5
5
3
9
2
3
E) C39      
5
5
9.
Un juego de azar tiene una distribución binomial, representada por B(15;0,3).
¿Cuál(es) expresión(es) representa(n) la probabilidad de que en 15 lanzamientos se
obtengan tres fracasos?
12
 7 
  
 10 
12
 7 
  
 10 
I)
 3 
C15
3  

 10 
II)
 3 
C15
12  

 10 
3
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
3
3
12
 3 
 7 
C15
7  
   10 
10
 
 
I
II
III
I y II
II y III
10. Se lanzan dos dados y se define la variable X como el valor absoluto de la diferencia de
los puntos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad que el resultado sea 0 es igual a la probabilidad que la
diferencia sea 6.
E(X) redondeado a la décima es 1,9.
La variable aleatoria x puede tomar 5 valores diferentes.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
4
11. Se define la variable aleatoria X como la cantidad de tréboles que resulten en la
extracción de una carta con reposición de una baraja del naipe inglés. Si el
experimento se realiza 6 veces, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
Los valores que toma la variable X son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(X = 2) = P(X = 4)
6
3
P(X = 0) =  
4
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y II
I y III
12. Una caja contiene 8 esferas rojas, 2 verdes y 10 blancas, se extraen 4 veces una
esfera, con reposición. Se define la variable X como número de esferas rojas. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
La variable X puede tomar tres valores distintos
P(X = 0) = P(X = 3)
2
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
2
2
3
P(X = 2) = 6      
5
 
5
III)
I
II
III
I y III
II y III
13. En cierta población el 30% de los habitantes se encuentran afectado por un virus, la
semana siguiente el 10% de los enfermos se recupera y el 30% de los sanos se
contagia. En la segunda semana, al escoger 5 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad
que dos ellas estén enfermas?
A)
2
3
2
3
æ 21 ö æ 49 ö
ç 100 ÷ × ç 100 ÷
è
ø è
ø
æ 52 ö æ 48 ö
B) ç
÷ ×ç
÷
è 100 ø è 100 ø
2
3
2
3
3
2
æ 21 ö æ 49 ö
C) 10 × ç
÷ ×ç
÷
è 100 ø è 100 ø
æ 52 ö æ 48 ö
D) 10 × ç
÷ ×ç
÷
è 100 ø è 100 ø
æ 52 ö æ 48 ö
E) 10 × ç
÷ ×ç
÷
è 100 ø è 100 ø
5
14. La función de probabilidad de una variable X está definida por la siguiente tabla
X
P(X = x)
1
0,3
2
0,1
3
0,3
4
0,2
5
0,1
¿Cuál es el valor esperado de X?
A)
B)
C)
D)
E)
2,7
2,5
2,3
1,8
1,0
15. Sea E(X) la esperanza matemática de una variable aleatoria discreta X, con p y q
números pertenecientes a los reales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
E(pX) = p E(X)
E(pX + q) = p E(X) + q
E(X2) = (E(X))2
I
II
I y II
I y III
II y III
16. ¿Cuál es el valor esperado al lanzar un dado normal de 8 caras numeradas del 1 al 8?
A)
B)
C)
D)
E)
2,625
3,5
4
4,5
6
17. El primer premio de una rifa es $ 100.000 y el segundo $ 80.000. Si la probabilidad de
ganar el primer premio es 0,002 y la probabilidad de ganar el segundo premio es
0,0025, ¿cuál sería un precio justo a pagar por un número de esta rifa?
A)
B)
C)
D)
E)
20
$
40
$
$ 200
$ 400
$ 4.000
6
18. Si los siguientes gráficos representan la función de probabilidad de diferentes variables
aleatorias, ¿qué función presenta el mayor valor de esperanza?
A)
B)
C)
0,4
0,2
0,4
0,2
0,1
-2
-1
0
0,2
0,1
0,1
2
-2
1
D)
0,4
0,3
0,2
0,2
0,1
-1
0
1
-1
0,1
0
1
2
3
E)
0,3
0,3
0,2
0,2
0,2 0,2
-2
-1
0
1
0,2 0,2
0,1
0,1
-2
2
-1
0
1
2
19. Un juego consiste en lanzar un balón a un arco, hasta tres veces, siendo la probabilidad
3
. Si un jugador acierta en el primer intento gana $ 1.000, si lo
de insertar igual a
4
hace en el segundo gana $ 640 y si acierta en el tercero gana $ 320, el juego termina
cuando el jugador encesta el balón. Si el valor esperado en este juego es $ 877,5,
¿cuánto paga el jugador que no acierte ningún tiro?
A)
B)
C)
D)
E)
$
7,5
$ 40
$ 120
$ 480
$1.747,5
20. La edad de vida de los chilenos corresponde a una variable aleatoria con distribución
normal, con una desviación estándar igual a 12 años. Al tomar una muestra de 1600
personas se obtuvo un promedio de 72 años, cuyo intervalo de confianza al 99% está
representado por

2,58  12
2,58  12 
, 72 +
A) 72 

1600
1600 


1,96  12
1,96  12 
, 72 +
B) 72 

1600
1600 

2,58  12
2,58  12 

, 72 +
C) 72 
1600
1600 

2,58  12
2,58  12 

, 1600 +
D) 1600 

72
72 

E) Ninguna de las opciones anteriores.
7
21. Si la media de una población se encuentra en el intervalo de confianza


 


,   Z  
  Z 2  
 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
2
n
n





es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
IV)
A)
B)
C)
D)
E)
 corresponde a la media de la población.
 corresponde a la desviación estándar de la población.

El término Z  está asociado al nivel de confianza.
2
n representa a la cantidad de elementos de la población.
Solo I y II
Solo II y III
Solo III
Solo III y IV
I, II, III y IV

22. Siendo  la media de la muestra de tamaño n, con margen de error de Z  , la
2
amplitud del intervalo de confianza está dado por la expresión
A) 2

B) 2
n


C) 2  Z  
n
2

D) Z 
n


E) Z

2
n
23. En un colegio, se realizó una investigación sobre la cantidad de horas que dedican al
día a leer los alumnos de enseñanza media, para lo cual se tomó una muestra de 100
alumnos. La media de la muestra fue de 2,1 horas y la desviación estándar de la
población fue de 1 hora. Entonces, el intervalo de confianza para la media de los
alumnos, con un nivel de confianza del 75% es
A)
B)
C)
D)
E)
]1,985; 2,215[
[0,95; 3,25]
[1,904; 2,296]
[2,025; 2,175]
[1,985; 2,215]
8
24. El número de horas diarias de actividad física que realizan los niños de una comunidad
durante el fin de semana es una variable aleatoria con distribución normal, cuya
desviación estándar es 1,25 horas. Para una muestra al azar de 16 niños se estima un
margen de error de 24 minutos, entonces el nivel de confianza que se tendría es de
aproximadamente
A)
B)
C)
D)
E)
95%
80%
76,8%
75%
50%
25. Una caja contiene 4 pañuelos, de colores café, amarillo, verde y morado. El juego
consiste en extraer uno a uno los pañuelos, si el primero sale café el jugador gana
$500, si el segundo pañuelo sale café el jugador gana $ 200, si en ninguno de los
intentos anteriores se extrae el pañuelo de color café pierde $ 400, ¿cuál es el valor
esperado en este juego?
A) -$ 75
B) -$ 25
C) $ 25
D) $ 75
E) $ 125
26. Se puede determinar la cantidad que puede perder un individuo en un juego, si se
conoce:
(1) La probabilidad de ganar.
(2) La probabilidad de perder.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
27. Para una variable aleatoria X se conoce la media muestral. Se puede determinar el
intervalo de confianza de la media para la población, si se conoce:
(1) El nivel de confianza.

(2)
n
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
28. Se puede determinar la probabilidad de obtener exactamente 2 caras en el lanzamiento
de una moneda, si:
(1) Se realizan 10 lanzamientos.
(2) La moneda está cargada.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
29. Si la probabilidad de obtener éxito en un juego es 0,4. Se puede determinar la
probabilidad de ganar 5 veces, si:
(1) La probabilidad de fracaso es 0,6.
(2) Se juega 15 veces.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
30. La siguiente tabla muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria X
X
P(X = x)
1
0,1
2
A
3
B
Se puede determinar el valor de A y B si se conoce:
(1) El valor esperado es 2,8.
B
(2)
=1
A
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
4
0,3
CLAVES
1.
D
7. A
13. E
19. D
25. B
2.
C
8. D
14. A
20. A
26. E
3.
C
9. D
15. C
21. B
27. C
4.
D
10. C
16. D
22. C
28. E
5.
A
11. E
17. D
23. E
29. B
6.
C
12. C
18. C
24. B
30. D
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 36
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
POTENCIAS – ECUACIÓN EXPONENCIAL – FUNCIÓN EXPONENCIAL
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
Sean a, b  lR – {0} y m, n  . Entonces:

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
am · an = am + n

CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
am : an = am – n
EJEMPLOS
1.
-3a · 32 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Si n  , entonces (-5)2n =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
-3a – 2
-3a + 2
-32a
92a
(-9)a + 2
(-5)2 · (-5)n
(-5)2 · (-5)2n
(-5)2 + n · (-5)n
(-5)n + 1 · (-5)n + 1
(-5)n · (-5)n
(-3)3 =
A) -27
B) -9
C)
3-3
D)
9
E) 27
4.
6n : -6n – 5 =
A) -65
B) -6-5
C) 6-5
D) 65
E) -62b – 5
-2
5.
1
2
 
-1
1
2
 
· (-2)-1
=
-2
· (-2)
A) 1
B) 4
C) -1
D) -4
E) 64
6.
5x + 1  5x
5x
A)
=
5
5x
B) 5x + 1
C) 5x + 1 – 1
D) 0
E) 4
7.
(37 + 33)(34 + 30)-1 =
A)
B)
C)
D)
E)
3-14
3-6
33
36
2 · 33
2
Sean a, b  lR – {0} y m, n  . Entonces:

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
am · bm = (a · b)m

CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
am
bm

 a
=  
b
m
POTENCIA DE UNA POTENCIA
(am)n = am · n
EJEMPLOS
1.
5x – 2 · (20)x – 2 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
8 x 1
4 x 1
A)
B)
C)
D)
E)
3.
2
100(x  2)
104x – 8
102x – 4
102x – 2
2-2x + 4
=
22x – 24
2x – 5
2x – 1
4x – 1
2x + 1
Al simplificar la expresión
A)
B)
C)
D)
E)
273a
 2
33 +
· 9-a
a
se obtiene
36
9-a
35a + 9
36a – 9
9-a + 2
3
4.
a
La expresión aa , con a perteneciente a los enteros, es equivalente a
I)
(aa)a
II)
a(a)
a
a
((a)a )
III)
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Si a = 2-2, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
(4n)4
=
=
m
A) 32  
n
4
n
B) 16  
m
C) 4
4
1 m
 
2 n
4
m
E) 16  
n
7.
a · a-3
2-25
2-10
2-4
210
225
(8m )4
D)
a-2 · a5
4
2n
 1 
(-3)2n  

 27 
=
A) 32n
B) 62n
C) 3-2n
D) 81n
E) 81-n
4
Sean a, b  lR – {0} y m, n  Z. Entonces:

POTENCIAS DE IGUAL BASE
am = an

 m = n , con a distinto de -1 , 0 y 1
POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
a = b  an = b n
ECUACIÓN EXPONENCIAL
Ecuación exponencial es aquella que tiene la(s) incógnita(s) en el exponente de una o más
potencias.
Para resolver una ecuación exponencial se debe reducir cada miembro de la igualdad a una
potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades correspondientes. Las bases
deben ser distintas de cero, uno y menos uno.
EJEMPLOS
1.
2.
Si
52x
A)
B)
C)
D)
E)
6
1
4
8
5
–1
= 25, entonces la expresión 2x + 3 =
Si 4x + 1 · 22x – 6 = (0, 5)x, entonces x es
A)
B)
C)
D)
E)
4
3
4
5
5
2
4
3
4
5
5
3.
Si 5x - 5x-1 + 5x – 2 = 21, entonces x es
A) 0
B) 2
C) -2
D) 1
E) -1
4.
Si 2x · 3y · 5z · 7w = 180, con x, y, z, w  , entonces x + y + z + w =
A)
B)
C)
D)
E)
5.
La solución de la ecuación (0,01)-x + 5 = 100 es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
2
3
4
5
no es divisible por siete, por ende no se puede determinar.
6
5
4
3
2
Si x es un número real, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Si x6 = 36, entonces x = 3.
Si x5 = 55, entonces x = 5.
Si x3 = y3, entonces x = y.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
3
¿Cuál es el valor de x en la ecuación  
5
A)
B)
C)
D)
E)
x+2
6
5
4
3
1
6
-x + 2
 125 
= 

 27 
?
FUNCIÓN EXPONENCIAL
f(x) = ax, con a  lR+ y a  1
La función f definida por
se
denomina
función
exponencial.
Propiedades
El Dominio es: Df = lR
El Recorrido es: Rf = lR+
La gráfica intercepta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).
Si a  1, entonces f(x) = ax es creciente.
Si 0  a  1, entonces f(x) = ax es decreciente.
La gráfica no corta al eje de las abscisas.






GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
f(x) = 2x
1)
x
f(x)
y
1
4
1
2
-2
-1
0
1
1
2
2
4
1
f(x) =  
2
2)
f(x) = 2
4
x
1
-2 -1
x
f(x)
-2
4
-1
2
0
1
1
1 2
x
2
x
x
f(x) =  1 
y
2
1
2
1
4
4
1
-2 -1
1 2
x
EJEMPLOS
1.
Con respecto a la función f(x) = 7x, ¿cuál de las siguientes opciones es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
La función f(x) es creciente
f(3) = 343
La gráfica no intersecta al eje de las abscisas
La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (1, 0)
f(-2)  f(2)
x
1
Dada la función f(x) =   , ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
4
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La función f(x) es decreciente.
f(-2) = 16
f(-1) > f(1)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
7
3.
En la función exponencial f(x) = kax, si f(0) = 2 y f(2) = 50, ¿cuál es el valor de la
constante k y de la base a, respectivamente?
y -5
y -5
5
y
y -5
y
5
A) - 2
B)
2
C) -2
D)
2
E) 2
4.
kx
Para que la función f(x) = a , sea decreciente se debe cumplir que
A)
B)
C)
D)
E)
5.
0<a<1 y k<0
a>1 y k>0
a>1 y k<0
a>1 y k<1
ninguna de las alternativas anteriores.
La gráfica de la función y = -5x está mejor representada en la opción
A)
y
y
B)
y
C)
x
x
D)
y
x
y
E)
x
x
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
7
1y2
B
E
A
A
D
E
C
3y4
C
C
D
B
B
E
E
5y6
A
B
B
D
A
D
C
7y8
D
E
E
C
B
Págs.
8
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 36
POTENCIAS – ECUACIÓN EXPONENCIAL – FUNCIÓN EXPONENCIAL
1.
-24 – (42 – 25) =
A) -32
B) -16
C) 32
D) 16
E)
0
2.
¿Cuánto es la cuarta parte de 212?
8
A)
B)
C)
D)
E)
3.
-2
 1 -3 
 3b 


A)
B)
C)
D)
E)
12
1 1
   
2 2
23
110
210
26
=
1 6
b
9
1 6
b
3
1 -5
b
3
9b-5
9b6
4.
m3(x
 2)
 mx
m2(x
A)
B)
C)
D)
E)
 5)
 4
=
m2x + 7
m2x - 12
m2x + 8
m2x - 3
m6x + 8
(Fuente: DEMRE, Admisión 2012)
5.
a4 b-12
a-2 b-4
=
A) a2b-16
B) a6b-8
C) a-2b3
8
D)
6
8
E) 6
6.
Si 0,125x + 2 = 16x – 1, entonces x es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
7.
-1
1
2
2
7
1
7
7
Si 52x = 125, ¿cuántas veces x es igual a 6?
A)
B)
C)
D)
E)
4
3
2
2
9
2
9
2
8.
Si nx + 3 = m, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
9.
m
=
n
x+3
nx
nx + 2
nx + 3
n-x – 3
Si 16 · 16 = 4x, entonces x =
A)
B)
C)
D)
E)
3
4
5
6
8
10. Sean a y b números racionales distintos de cero y sean m, n y k números enteros.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría ser FALSA?
A) (-a)3 = -a3
 a
 
b 
0
0
b
 
 a
1
C) (-a)-2n =
a2n
n k+m
D) (a )
= ank + anm
B)
E) (a-m · b)-n =
amn
bn
(Fuente: DEMRE, Admisión 2015)
11. La expresión
b5 + b5 + b5
b5 + b5
es equivalente a
A) b
B) b5
2 + b5
2
1
D)
2
1
E) 1
2
C)
3
-a
12.
2
3
 
3
  
2
a
9
4
 
A)
B)
a
=
1
3
2
2
3
C)  
2
3
D)  
2
E)
3
 
2
a
2
a
13. 63 + 63 + 63 + 63 + 63 + 63 =
A) 63
B) 64
C) 618
D) 363
E) 3618
14. Si 3x + 2 = 243, entonces 2x es igual a
A) 3
B) 5
C) 6
D) 8
E) 27
15. Si M =
(t2 )-2 · (-t)2
t4
, entonces cuando t = 0,1 el valor de M es
A)
0,001
0,01
B)
10.000
C)
D)
100.000
E) 1.000.000
4
16. Si 32x · 9x · 272x =
1
5
81
, entonces
x
es igual a
2
A) -4
B) -2
C) -1
D) 1
E) 2
17. Si (0,01)x – 5 = 100, entonces el valor de x es
A) -6
B) -4
3
C)
2
D) 3
E) 4
18. El valor de x en la ecuación 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 = 56 es
2
3
2
C)
3
D) -3
E) -4
A)
B)
2
19. El valor de x2 en la ecuación  
3
x  3
9
=  
4
A) -3
B) -1
C) 1
D) 3
E) 9
5
x+3
es
20. Si tomáramos una hoja de papel de 0,1 mm de grosor y la dobláramos sucesivamente
por la mitad, ¿cuál sería el grosor del cuerpo resultante luego del n-ésimo doblez?
A)
B)
C)
D)
E)
0,1 · 2n + 1 mm
0,1 · 2n – 1 mm
0,1 · 2n mm
(0,1 + 2n + 1) mm
(0,1 + 2n) mm
21. El número de bacterias B en un cierto cultivo está dado por B = 100 t · 100100, siendo t
el tiempo en horas. ¿Cuál será el número de bacterias al cabo de 4 horas?
A)
B)
C)
D)
E)
100400
4 · 100100
400100
100104
104100
22. El gráfico de la función f(x) = 2x – 1 está representado por la opción
y
A)
y
B)
4
-1
4
3
3
2
2
1
1
1
2
1
2
1
3
2
1
-1
x
y
C)
1
1
2
x
1
-2 -1
D)
E)
y
y
2
4
3
1
2
1
2
1
-2 -1
2
1
x
6
1
2
x
x
23. Un microorganismo se duplica cada 15 minutos. Si una muestra de laboratorio existía
un microorganismo a las 09:00 A.M, ¿cuántos microorganismos habrá en esa misma
muestra a las 4:00 P.M?
A)
B)
C)
D)
E)
228
224
220
214
27
24. Si 2x + 2-x = M, entonces 4x + 4-x =
A)
B)
C)
D)
E)
M2
M2
M2
M2
M2
–x
–1
+2
–2
+1
25. Sea n un número entero, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
2n es un número entero divisible por 2.
1
es un número menor que 1.
2n
2 n – 2 n – 1 = 2n – 1
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Ninguna de ellas
(Fuente: DEMRE, Admisión 2014)
26.
4n  4n  1
2n  2n  1
A)
=
2n 1
B) 3  2n
C)
2n1
3
D) 3  2n 1
E)
2n1
3
7
27. Si P = 7n + 4 – 7n + 3, n  N, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
28. Si
P es divisible por 6.
P es múltiplo de 2.
P es divisible por 14.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
3x
x
2 2
x 1

16
, entonces x=
27
A) 3
B) -3
C) 4
D) -4
E) No se puede determinar.
29. Si n pertenece a los números enteros positivos, entonces (-1)2n + 1+ (-1)2n– (-1)n(n + 1) =
A) 1
B) -1
C) 3
D) -3
E) -2
30. (5x + 4 – 5x + 3)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
25x + 4 – 25x + 3
52x + 4 – 52x + 3
52x + 8 – 52x + 6
16 ∙ 25x + 3
4 ∙ 5x + 3
8
31. La expresión
ax + 7
ax + 2
toma siempre un valor positivo, si:
(1) a es un número positivo.
(2) a es un número par.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. Sean
x

2
5
3
e
y

0.
Se
puede
determinar
el
valor
numérico
de
3
6
y
+   ·   · z , si:
6
y
(5  x)
(x  5)
2
(1) y = 4
(2) z = 5
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. Sea f una función real de la forma f(x) = a  xn. Se pueden determinar los valores de a
y n, si se sabe que:
(1) f(1) = 1
(2) f(2) = 8
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola (1) ó (2)
Se requiere información adicional
(Fuente: DEMRE, Admisión 2014)
9
34. Se puede determinar el punto de intersección del gráfico de la función exponencial
f(x) = n · ax, con el eje de las ordenadas, si:
(1) Se conoce el valor de a.
(2) Se conoce el valor de n.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola (1) ó (2)
Se requiere información adicional
x
1
35. Se puede afirmar que f(x) =   , de variable x, es una función exponencial creciente
 a
sobre los reales, si:
(1) a es positivo.
(2) a < 1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
RESPUESTAS
1. E
8. C
15. E
22. E
29. B
2. D
9. B
16. C
23. A
30. D
3. E
10. D
17. E
24. D
31. A
4. C
11. E
18. A
25. C
32. B
5. B
12. A
19. C
26. D
33. C
6. C
13. B
20. C
27. E
34. B
7. A
14. D
21. D
28. B
35. C
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 37
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
RAÍCES – FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
DEFINICIÓN 1: Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces
real b , no negativo, tal que bn = a
n
a = b  bn = a
con
a = b  bn = a
a es el único
n
a es el único
b0
DEFINICIÓN 2: Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces
real b tal que bn = a
n
n
con b  lR
OBSERVACIONES:
Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces
ES REAL.

n
La expresión ak , con a real no negativo,
potencia de exponente fraccionario.

n

k
a
= a
k
n
a2 = a, para todo número real
EJEMPLOS
16 –
3
125 +
4
81 –
5
-32 =
A) 14
B)
6
C)
4
D) 2
E)
0
2.
¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) equivalentes con
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
9
3
-3
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
a NO
se puede expresar como una
a
1.
n
(-3)2 ?
3.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
6
6
2
A)
(-2) =(-2)
B)
04 = 0 2
C)
23 = 2
D)
(-2) no es un número real
4
E)
3 (-3)
3
2
es un número real
3
4.
El valor de
(-2)3 
5
(-5)2
es
-55
A) -2
7
B) 5
3
C) 5
7
D)
5
E) no está definido.
5.
0,04 +
A)
B)
C)
D)
E)
0,064 =
0,024
0,24
0,6
1
6
25
5
6.
3
( 9)
A)
B)
C)
D)
E)
4
=
1
9
3
6
9
81
2
PROPIEDADES
Si
n
n

MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
a y
b
están definidas en lR, entonces:
n

a ·
n
b =
n
a
b
=
n
a
, b0
b
EJEMPLOS
43 2 ·
A)
B)
23 4 =
4
8
C)
83 2
D)
63 6
E)
2.
· b
DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
1.
na
Si
A)
B)
4
83 8
a
> 0, entonces
b
4
a
b3
b
=
a3
1
a
b
 a
C)  
b 
4
1
ab
D)
E)
4
b
a
3
3.
3 +
7 ·
7 
3 =
A) -2
B) 2
C) 4
D) 10
E)
3 + 7
4.
Si a  b y n es impar, entonces el valor de
A)
n
a 
n
n
b
n
b  a
B) 0
C) 1
D) -1
E) no está definido.
xy
5.
xy
xy
xy
B)
xy
xy
D)
E)
p
yx
=
xy
A)
C)
6.
xy
xy ·
 1
· yx
 1
xy
y
x · yx
xy
xy
y
x · yx
xy
(x · y)x
3p + 2  3p ·
 1
p
2-3 =
A) 3
3
p
B)
· ( 8)
8
 5
C) 3 ·  p 
 8
D) 6
E) 3
-
6
p
4
n
a  b
n
b  a
es
PROPIEDADES
Si

n
m
a y
a están definidas en lR, entonces:
POTENCIA DE UNA RAÍZ
n m
a

m
= (n a)
RAÍZ DE UNA RAÍZ
nm
a=
nm
a
EJEMPLOS
1.
4( 2) =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3
0,5
0,25
2
4
-0,25
64 =
A) 2
B) 4
C) 8
3.
D)
5
64
E)
6
8
4 5
-2 =
9
A) - 2
9
2
C) -
20
B)
2
20
D)
2
E) no es un número real.
5
1
4.
43 
3
A)
3
2
B)
6
2
C)
3 0,4 =
2
3
D) 6
E) 2
5.
5
10 ·
32-2 =
A) -20
B) -5
C)
0,5
D)
E)
6.
3
A)
B)
5
20
-24 ·
18
9
3
-64 =
27
27
6
C)
32
D) 2
E) no está definido.
7.
Si p > 0, entonces
A)
6
p
B)
3
1
p
C)
3
p
D)
3
p2
E)
6
p5
p
3
p
=
6
PROPIEDADES

AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ
n

mn m
a
, m  +, a  lR+
PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE
n

a =
a 
mb
=
mn
am  bn , a, b  lR
FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL
b
n
a =
n
bn  a , b  lR
EJEMPLOS
1.
2.
3.
12
38 =
A)
3
9
B)
3
81
C)
4
3
D)
4
9
E)
4
27
3
2 
A)
3
36
B)
6
12
C)
12
D)
6
E)
12
2·
3
3 =
6
54
54
3 =
A)
3
36
B)
3
24
C)
3
18
D)
3
12
E)
3
6
7
+
+
4.
6
4
4
6
=
3
A)
 2 2
3
 
B)
 2 3
3
 
2
C) 2
1
12
-
·3
1
4
3
2
D)
E) 6
5.
6.
A)
4
B)
8
C)
18
D)
24
E)
28
La expresión x ·
B)
C)
D)
E)
3
x2 ·
3
x es equivalente a
x3
A)
7.
8 + 18 =
2 
3
x4
3
x16
3
x18
9
x16
Si x  0, entonces 2 18x2 –
32x2 – 3x 2 =
A) -x 2
B)
x 2
C) -2x 2
D)
2x 2
E)
3x 2
8
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción
equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz.
Fracciones de la forma
CASO 1:
a
CASO 2:
b c
Fracciones de la forma
a
p b +q c
EJEMPLOS
1.
5
=
5
A) 5 5
B) 5
5
C)
5
1
D)
5
E)
5
2.
12
2 3 3 2
=
A) 24 3 + 36 2
B) 24 3 – 36 2
C) -4 3 – 6 2
3.
D)
6 2 –4 3
E)
4 3 +6 2
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la tercera parte de
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3
9
1
3
2
108
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
9
1
?
3
4.
Para racionalizar la expresión
A)
B)
C)
D)
n
bm
n
b
n
bn
 m
n
bm
 n
, se debe amplificar por
bm
bm
E)
5.
a
n
3 +
2
3 
2
=
A) 5 +
6
B) 5 + 2 6
5+2 6
C)
5
D) 5
1
E)
5
6.
a2  b2
a 
=
b
A) (a + b)( a + b )
B) (a – b)( a + b )
C) (a + b)( a 
b)
D) (a – b) ( a 
b)
E)
7.
a + b
1
2 

1 
2 3
 =
2
6
A) - 2
B)
6
C)
D)
E)
2
2
3
2 
1
2
10
FUNCIÓN RAÍZ
Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por
f(x) =
x
Su representación gráfica es
x
f(x)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,70..
1
1,22..
1,41..
1,58..
1,73..
1,87..
2
y
f(x) =
2
x
1
1
2
3
4
x
OBSERVACIONES:

El dominio es: Df = lR+
0 .

El recorrido es: Rf = lR+
0 .
La función es creciente.
La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.


EJEMPLO
1.
x  2 , es
El gráfico que mejor representa a la función h(x) =
A)
B)
y
C)
y
y
2
2
2
1
1
1
1 2 3 4
x
1 2 3 4
D)
x
E)
y
2
1 2 3 4
y
2
1
1
1 2 3 4
x
11
1 2 3 4
x
x
2.
¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor al gráfico de f(x) =
A)
y
B)
C)
y
y
2
x
2
2
x
-1
D)
x
E)
y
y
2
-2
¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el gráfico de la figura 1?
y
A) f(x) =
x+3 –1
B) g(x) =
x  3 +1
C) h(x) = 3 E) p(x) = -1 +
fig. 1
3
x  1
D) s(x) = -1  3  x
4.
x
2
x
3.
x + 2?
-1
x
x  3
Si f(x) = x2 + 5 +
x2 , entonces f(-2) es igual a
A) 5
B) 1
C) -1
D) 3
E) ninguno de los valores anteriores.
(Fuente: DEMRE MODELO MAT 2015)
5.
Las intersecciones de la función f(x) = x + 4 , con los ejes x e y, respectivamente
son,
A)
B)
C)
D)
E)
2 y -4
4 y 2
4 y -2
-4 y 2
2 y 0
12
6.
Dada la función f(x) = 2  2  x , ¿cuál(es) de las siguiente(s) afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El dominio de la función es D = ]-, 2].
El recorrido de la función es R = ]-, 2].
La imagen de (-2) es cero.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
13
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
C
D
A
D
C
B
3y4
A
B
B
D
A
E
5y6
B
A
E
E
D
D
C
7y8
A
D
B
C
B
E
A
9 y 10
E
C
D
C
B
A
A
11,12 y 13
C
C
D
A
D
E
Págs.
14
7
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 37
RAÍCES – FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
1.
3
-8 +
A)
5
4 =
-4
6
B)
-4
C) 0
D) -4
E) 4
2.
¿Cuál(es) de las siguientes raíces representa(n) un número real?
I)
4
II)
5
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
-32
7
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
0,09 es equivalente a
A)
B)
C)
D)
E)
4.
-1
0,003
0,018
0,03
0,18
0,3
El valor de 5 12 – 2 27 es
A) -8 3
B) -4 3
C)
4 3
D)
2 3
E)
3
5.
Si
5 es aproximadamente 2,2360, entonces
centésima es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
0,447
0,45
0,46
0,446
0,54
5 6 ·4 8 =
A) 20 14
B) 80 3
C) 50 3
D) 40 3
E) 20 3
7.
Si
x = 2 2 , el valor de
9 · x, es
A) 72
B) 24
C) 6 2
8.
D)
72
E)
2 18

La expresión - 3  2 3
A)
B)
C)
D)
E)
9.
un
un
un
un
un
número
número
número
número
número
El producto
A)
6
7
B)
6
49
C)
6
74
D)
12
7
E)
12
49

2
es
racional positivo
racional negativo
irracional positivo
irracional negativo
entero negativo.
7 ·
6
7 , es equivalente a
2
0,2 aproximado por redondeo a la
10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A)
5  10  0
5
B)
=
10
2
2
C) ( 10  5)2 es un irracional positivo
1
1
D)

<0
10
5
1
es un número racional
E)
10  5
11.
1
5 
=
6
A)
6 +
5
B)
6 –
5
C)
5 –
6
D) - 5 – 6
6 + 5
E)
-11
x = b, con b > 1, entonces x + 1 en función de b, es
12. Si 1 +
A)
B)
C)
D)
E)
13.
b2
b2
b2
b2
b2
– 2b + 1
– 2b + 2
– 2b – 2
+ 2b – 2
+ 2b + 2
3 3 +
2 ·
3 3 
2 =
A) 5
B) 25
C) - 25
D)
5
E)
6 3
3
6
14.
16
3
2 ·
A)
B)
=
2
2
3
2
6
C)
2
D) 1
E) 2
15. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene un valor diferente a 3 2 ?
A)
3 8
2
6
B)
2
C)
D)
2+2+2
2 2 + 2
288
E)
4
16. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número real?
I)
2 5  5
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4 3  3 5
9  4 5
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
17. Al ordenar de menor a mayor los siguientes números: a =
d=
A)
B)
C)
D)
E)
3
5
2
y
e=
2
, entonces el término central es
5
b
c
a
e
d
4
5
10
, b=
,
2
3 5
c=
5
125
,
18. La figura 1 muestra un triángulo equilátero de lado 4 y área x, un rectángulo de
ancho 2 , largo 5 y área y, y un triángulo de catetos 2 y 7 y área z. Entonces, se
cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
x
y
z
y
x





y
z
y
x
z





z
x
x
z
y
x
y
B)
-1
-2
x
-2 -1
D)
1
2
3
2
1
x
4
x
E)
x
2
x
1 2
-3
-4
4  x?
y
B)
y
-1
-2
20. ¿Cuál gráfico representa mejor la función f(x) =
y
y
C)
y
1
A)
C)
y
4
4
fig. 1
x – 2 está representada en la opción
y
A)
2
7
5
4
19. La función f(x) =
z
y
2
x
x
x
D)
-4
y
E)
y
4
x
5
-4
x
21. Sea f una función en los números reales, definida por f(x) =
entonces el valor de a es
ax + 1 . Si
f(3) = 4,
A) -5
B) -4
C) 3
D) 4
E) 5
22. El crecimiento de una enredadera está dada por la función f(x) = x + 1 , siendo x el
tiempo en semanas, y f(x) el crecimiento en metros. Entonces, el tiempo que demora
en crecer una longitud de 4 metros es
A) 3 semanas
B) 8 semanas
C) 10 semanas
D) 12 semanas
E) 15 semanas
23. Si
3 +1 –
3  1 = m, entonces el valor de
m2
es
2
A) 2 3 – 2 2
B)
3 –
C) 1
D)
2 –
2
3
E) 4 3 – 4 2
24. El resultado de la expresión ( 5 + 2)5 ( 5 – 2)4 – ( 5 – 2)5 ( 5 + 2)4 es
A)
B)
C)
D)
E)
entero positivo.
entero negativo.
0
irracional positivo.
irracional negativo.
6
(x  4)2 +
25. Si 2 < x ≤3 , entonces la función h(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
(3  x)2 +
(x  5)2 es igual a
x–6
3x – 6
12 – 3x
x+2
3x – 12
26. ¿Cuál(es) de los siguientes números multiplicados por ( 2 + 3) da(n) como resultado
un número racional?
I)
II)
2 2 2 3
1
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2 +
1
2 -
3
3
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
(Fuente: DEMRE, Admisión 2014)
27. La expresión
A)
B)
C)
D)
E)
(2
x2 )2 es igual a
x2 + 2
x2 – 2
x2 – 2
(2 – x)2
2 – x2
28. Dado f(x) = 2 – x y g(x) =
siguientes afirmaciones es FALSA?
x , respecto de la función (fog)(x). ¿Cuál de las
A) El dominio son todos los reales positivos.
B) El recorrido de la función es ]-, 2].
C) (fog)(3) = 2 – 4 3 .
D) El (-6) no tiene imagen
E) (fog)(x) = g(f(x))
7
29. Sea q una aproximación por exceso a la centésima de
defecto a la centésima de
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2 y p una aproximación por
2 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
q=p
p+q
= 2
2
q = 2 - k, con k un número real positivo.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y II
Ninguna de ellas.
(Fuente: DEMRE, Modelo 2015)
30. Si
A)
B)
C)
D)
E)
p
 0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
q
I)
p2 +
q2 = p + q
II)
p2 +
q2 = p + q
III)
p2 +
q2 > 0
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y III
II y III
(Fuente: DEMRE, Admisión 2011)
31. La expresión
3
a +
b es un número real, si:
(1) b > 0
(2) a > 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
32. Sea f(x) =
x + q . Se puede determinar el valor de q, si se sabe que:
(1) x = 2
(2) f(2) = 3
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
x  p , con x  p, intersecta al eje positivo de las abscisas, si:
33. La gráfica de f(x) =
(1) p  0
(2) p > 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. La expresión
9
está definida en los números reales, si:
p
(1) p es un número entero.
(2) p es un número racional.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. El valor de
9a +
b
a
se puede determinar, si se sabe que:
(1) a = 3
(2) b = 4a y a > 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
RESPUESTAS
1. C
8. D
15. C 22. E
2. C
9. C 16. D
3. E
10. E 17. C 24. A 31. A
4. C
11. D 18. E 25. C 32. B
5. B
12. B 19. B 26. C 33. B
6. B
13. A 20. A 27. C 34. E
7. B
14. D 21. E
10
29. E
23. B 30. D
28. E 35. B
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 38
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
LOGARITMOS – FUNCIÓN LOGARÍTMICA
DEFINICIÓN
El logaritmo de un número real positivo b en base a, positiva y distinta de 1,
número m a que se debe elevar la base para obtener dicho número.
loga b = m  am = b ,
OBSERVACIONES:
b0,
a > 0,
es el
a 1
La expresión loga b = m se lee “logaritmo de b en base a es igual a m”.
logaritmo es la operación inversa de la exponenciación.
log10 a = log a.
log a = ln a. (logaritmo natural, con e = 2,7128…….)

El
e
CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO

loga 1 = 0

loga a = 1
EJEMPLOS
1.
Si log 64 = 2, entonces x es
x
A) -8
B) 8
C) -8 y 8
D) 642
E) 264
2.
log 125 = 3 expresado en forma exponencial es
5
A) 35 = 125
1
3
B) 5 = 125
C) 53 = 125
D) 125
1
5
E) 125-3
=3
1
=
5

loga am = m
3.
33 = 27 expresado en forma logarítmica es
A) log3 27 = 3
B) log27 3 = 3
C) log1 27 = 3
3
D) log1 3 = 27
3
1 
E) log3   = 27
3 
4.
Si
ln e = x, entonces x es
A) 1
B) - 1
2
1
C)
2
D) -2
E) 2
5.
log (3 · 3-1) =
A) -1
B) 0
C) 1
D) 9-1
E) -9
6.
1 
log3   =
9 
1
3
1
B) 3
C) 2
D) -2
A)
E)
7.
3
logm
A)
B)
C)
D)
E)
9
m2 + m
=
m+1
2m
m+1
m
-m
1
2
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Sean

b  0,
c  0,
a > 0,
LOGARITMO DE UN PRODUCTO
loga (b · c)

a  1
= loga b + loga c
LOGARITMO DE UN CUOCIENTE
loga
b
= loga b – loga c
c
EJEMPLOS
1.
log 5 + log 7 =
3
3
A) log3 5 · log3 7
B) (5 · 7)3
C) 335
D) log3 12
E)
2.
log 35
3
log 128 – log 16 =
2
2
A) -2
B) -1
C) 1
D) log3 9
E)
3.
log 64
4
log 3 + log 4 – log 2 escrito como el logaritmo de un número es
A) log 5
B) log 6
C) log 10
3
D) log
2
3
E) log
8
3
4.
El desarrollo logarítmico de
A)
B)
C)
D)
E)
5.
3a
es equivalente a
2b
log 3 + log a - log 2 + log b
log 3 – log 2 + log a – log b
log 3 + log 2 – log a – log b
1,5 (log a – log b)
log 5 + log a – log b
Si log2m  log2n = 5, el cuociente
m
es igual a
n
A) 10
B) 25
C) 32
D) 64
E) 128
6.
7.
log
a+b
=
a  b
A)
B)
C)
D)
2 log b
log + log (-b)
log a (log b – log (-b))
log (a + b) – log (a – b)
E)
log a log b2  log a
log b
El valor de 3 – log 40 es
A)
B)
C)
D)
E)
log
log
log
log
log
2
5
15
20
25
4

LOGARITMO DE UNA POTENCIA

LOGARITMO DE UNA RAÍZ

CAMBIO DE BASE

loga bn = n loga b
loga
n
log b =
a
log a
c
log x = log y  x = y
a
a
EJEMPLOS
1
=
16
log
A) 1 – 4 log 2
B) -4 log 2
C) -8 log 2
D) 4 log 2
E) 0
2.
log c b
COMPOSICION FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
OBSERVACIÓN:
1.
1
loga b, con n  0
n
b =
log
2
3
25 =
A) 3 log2 25
B) 3 log2 5
2
log 5
2
3
3
log 5
D)
2
2
1
log 5
E)
2
3
C)
5
log x
a x
a
3.
La expresión logab · logbc es equivalente a
A) logac
B) logcb
C) logbc
D) logabc
E) logbac
4.
Si 10log1000 = x, entonces x es
A)
1
B)
10
100
C)
D) 1000
E) 10000
5.
log (a3 ·
c3 ) =
c)
2
log c
B) 3 log a +
3
3
C) 3 log a –
log c
2
D) 3 log a + 1,5 log c
3
E)
log c · 3 log a
2
A) 3 log (a +
6.
El valor de x en la ecuación log(2x – 10) = log(x + 5) es
A) 15
B) 10
C) 5
D) 4
E) -4
7.
3
Si 27 log c – 8 = 0, entonces log c2 =
3
2
2
B)
3
4
C)
9
8
D)
81
16
E)
81
A)
6
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
f(x) = loga x,
Una función f definida por
con a  lR+, a  1
y x0
se denomina
función logarítmica.
GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
i)
a>1
y
f(x) = log2 x
con a = 2
f(x) = log2 x
2
x
1
8
1
4
1
2
1
2
4
8
f(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
1 2 3 4
x
-2
-3
ii) 0 < a < 1
y
f(x) = log 1 x
con a =
2
1
2
3
2
x
1
8
1
4
1
2
1
2
4
8
f(x)
3
2
1
0
-1
-2
-3
1 2 3 4
-2
x
f(x) = log 1 x
2
OBSERVACIONES






El dominio es: Df = lR+
El recorrido es: Rf = lR
La gráfica intersecta al eje x en el punto (1, 0).
Si a  1, entonces f(x) = loga x es creciente.
Si 0  a  1, entonces f(x) = loga x es decreciente.
La curva no intersecta al eje y.
7
EJEMPLOS
1.
El dominio de la función f(x) = log(3x – 1) es
A)
B)
1

 3 ,  


 1

- 3,  


1

 3 ,  


 1

D) - , + 
3


E) ]0, +[
C)
2.
La gráfica de f(x) = log x – 1 pasa por el punto
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(1,
(1,
(1,
(2,
(0,
0)
1)
-1)
0)
0)
3

Dada la función f(x) = log2  x  2  , ¿cuál es la pre imagen de 4?
2


12
34
B)
3
28
C)
3
20
D)
3
E)
2
A)
8
4.
Dada la función g(x) = log 1 (4x + 1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
5
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
g(6) = -2
la gráfica de la función g pasa por el origen.
la gráfica de la función g es decreciente.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
El gráfico que mejor representa a la función f(x) = log 1 (x + 1) es
3
A)
B)
y
C)
D)
y
y
E)
y
y
1
x
1 2
x
x
9
1
x
1 2
x
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1
2
3 4
1y2
B
C
A C B D E
3y4
E
E
B B C D E
5y6
B
C
A D D A E
8y9
A
C
A E C
10
5 6 7
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 38
LOGARITMOS – FUNCIÓN LOGARÍTMICA
1.
En la expresión log3 x = 1, el valor de x es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1
3
1
3
-1
3
-3
Si log(x – 1) = 3, entonces x vale
4
A)
29
B)
31
C)
999
D)
E) 1.001
3.
Si logx
1
= 2, el valor de x es
16
1
32
1
B) 32
1
C)
4
1
D) 4
A)
E)

1
4
4.
¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
A) log 10 = 1
B) log15 = 5
C) log1 (64) = 6
2
D) log 0 = 0
E) log3(-27) = 3
(Fuente: DEMRE MODELO 2012)
5.
log2 (-2) =
A) -2
B) -1
C) 1
D) 2
E) No está definido en los números reales
6.
¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 24?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
log 12 · log 2
log 20 + log 4
2log 12
log 2 · log 3 · log 4
log 8 + log 3
¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
A) log311 · log35 = log355
B) log 5 13 =
1
log13
5
C) log315 = 5
log 30
D)
= log 6
log 5
E) log 7 + log 9 = log 16
2
8.
log 1 
2
log 16
2
log 27
=
3
4
3
-1
-7
4
3
1
3
A) B)
C)
D)
E)
(Fuente: DEMRE MODELO 2013)
9.
3
log( 5 ) =
A) log(3 · 5 )
3
log 5
B)
2
C) log
6
D) log 3
E)
10.
5
5
5 · log 3
log 16  log
2
3
log 36
1
27
=
6
7
2
7
B)
6
17
C)
6
11
D)
2
1
E)
2
A)
3
11.
log1 (16 ·
3
4) =
4
A)
B)
C)
D)
E)
12.
7
3
7
3
1
3
1
3
2
3
log (x3 – x) =
A)
B)
C)
D)
E)
log x3
log x
log x + log (x + 1) + log (x – 1)
2 log x
log x – log (x2 – 1)
log x + log x2 – log 1
13. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
log 1 · log 5 = log 5
1
<0
log
10
log 6 · log 10 = log 6
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
4
14. Si x =
1
1
, entonces -x log   =
2 x 
4
A)
B)
2
-2
1
C)
2
1
D) 2
1
E)
4
15. ¿Cuál de las siguientes figuras representa al gráfico de la función f(x) = log3 x + 1?
A)
y
y
B)
C)
y
2
1
1
1
3
1
2
3
x
-1
D)
1
1
3
3
1
x
E)
y
2
y
1
-1
1
3
2
1
x
3
2
3
x
16. Dada la función f(x) = log (x – 1), su representación gráfica es
2
A)
y
y
B)
C)
x
1
D)
-2
x
1
E)
y
x
y
y
2
5
x
2
x
x
17. El gráfico de la figura 1 puede representar la función
y
A)
B)
C)
D)
E)
y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
log
log
log
log
log
x
x+1
x+2
(x + 1)
(x + 2)
18. Si f(x) = log( x
A)
B)
C)
D)
E)
– 4)
fig. 1
2
1
x
(16 – x), entonces f(7) =
2
3
39
93
27
19. Respecto a la función f(x) = log5 (2x + 1), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
f(12) = 2
Intersecta al eje x en (1,0).
f es creciente.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
20. log4 (log3 81) =
A)
B)
C)
D)
E)
4
3
2
1
0
6
21. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
log (ab) = log a · log b
log (a + b) = log a + log b
log a
= log a – log b
log b
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Ninguna de ellas.
22. Si 4 log a = 1, entonces log
a =
1
16
1
B)
8
1
C)
4
1
D)
2
E) 2
A)
23. Si log 700 = 2,84, entonces log 70 es
A) 28,4
3,84
B)
1,84
C)
D)
0,284
E) 284
24. Si log5 3 =
7
, entonces log5 75 es igual a
10
27
10
57
B)
10
35
C)
2
7
D)
2
7
E)
5
A)
7
25. Si log a + log b = c – log b, entonces a =
A)
B)
C)
D)
E)
10c
2b
2 · b · 10c
10c
b2
b2 · 10c
2 · 10c
b
26. En la ecuación log3 (log2x) = 1 el valor de x es
A)
B)
C)
D)
E)
27.
8
6
4
3
2
-1
Se define en lR, la operación a
* b = log
a
ba  log ba , entonces
b
1
*9 =
3
3
2
3
B) 
2
2
C)
3
2
D) 
3
1
E) 
2
A)
28.
Si a, b y c son números reales positivos y distintos de 1, entonces log b ∙ log c ∙ log a =
a
A)
B)
C)
D)
0
1
a + b +c
a∙b∙c
1
E)
abc
8
b
c
29. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes entre sí?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
log (x)
2log (y)
log (1)
b b
 b b
=b
logb x + logb y2 = 0
log (x)
b
b
b
= y-2
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
30. Agustina depositó $ 800.000 en un banco al 5% de interés compuesto anual. ¿Cuál de
las siguientes expresiones permite calcular el tiempo, en años, en que su dinero se
duplicará, sin hacer depósitos ni retiros en ese tiempo?
 1.600.000  800.000 
A) log

1,5


log 1.600.000  log 800.000
B)
log 1,5
 1.600.000 
C) log

 800.000  1,05 
 1.600.000  800.000 
D) log

1,05


log 1.600.000  log 800.000
E)
log 1,05
(Fuente, DEMRE Admisión 2013)
31. Sean p, q y r números reales mayores que 1. Si log5
p > log4 q > log3 (2r), entonces
se cumple que:
A)
B)
C)
D)
E)
p>q>r
r>p>q
r>q>p
q>p>r
p>r>q
(Fuente, DEMRE Admisión 2015)
9
32. Se puede determinar el valor numérico de la expresión real
log ab  log cd
, si:
b d
(1) a = 1
(2) b = 100 y d = 1.000
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. Se puede determinar el valor de q, en la función real f(x) = log3 (4x + q), si se sabe
que:
 15 
(1) f   = 3
 2 
(2) La gráfica de f intersecta al eje x en el punto (1,0)
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
(Fuente, DEMRE Admisión 2015)
34. El gráfico de la función real f(x) = logb x es decreciente, si:
(1) b > 0
(2) b < 1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Se puede determinar el valor numérico de log 20, si:
(1) Se conoce el valor de log 3.
(2) Se conoce el valor de log 2.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
RESPUESTAS
1. D
8. A
15. A
22. B
29. D
2. E
9. B
16. C
23. C
30. E
3. C
10. A
17. C
24. A
31. A
4. A
11. B
18. A
25. C
32. A
5. E
12. B
19. D
26. A
33. D
6. E
13. D
20. D
27. B
34. B
7. B
14. D
21. E
28. B
35. B
11
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 39
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma
ax2 + bx + c = 0, con a, b y c coeficientes reales y a  0.
El cálculo de las soluciones o raíces de esta ecuación, se realiza aplicando la siguiente
fórmula:
x=
-b ±
b2  4ac
2a
Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación esta se puede escribir como:
(x – x1) · (x – x2) = 0
Si x1 y x2 (son las soluciones o raíces) de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0,
entonces siempre se cumple que:
x 1 + x2 = -
b
a
x1 · x2 =
c
a
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es de segundo grado?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
x2 – 2x = 0
(x + 1)(-x + 2) =0
(2x + 1)2 = 4 x2
(x + 3)(x – 3)= 2x
x2 – 5x = x
¿Cuáles son las soluciones (o raíces) de la ecuación x2 + 6x – 16 = 0?
A) 4 y -4
B) 8 y -2
C) -4 y -4
D) 1 y -16
E) 2 y -8
3.
En la ecuación (x –
5 )(x + 3) = 0, el conjunto solución es
A) { 5 , 3}
B) { 5 , -3}
C) {- 5 , 3}
D) { 5 – 3,

 5  3
E) 
,
 2

4.
5 + 3}

5 + 3

2


¿Cuál es la suma de las soluciones (o raíces) de la ecuación 2x2 + 3x + 1=0?
3
4
3
2
1
2
3
4
3
2
A) B)
C)
D)
E)
5.
¿Cuál es el producto de las soluciones (o raíces) de la ecuación 5x2 – 6x + 1 = 0?
3
5
1
5
1
5
3
5
6
5
A) B)
C)
D)
E)
6.
Una ecuación de segundo grado cuyas
igualdades (x1 + x2) = -2 y x1 · x2 = 5 es
A)
B)
C)
D)
E)
7.
x2
x2
x2
x2
x2
raíces,
x1
y
x2,
satisfacen
– 2x – 5 = 0
– 2x + 5 = 0
+ 2x + 5 = 0
+ 2x – 5 = 0
– 5x – 2 = 0
¿Cuál es la suma de las soluciones (o raíces) de la ecuación x2 + 25 = 0?
A) 10i
B)
5i
C) 0
D) 5
E) 10
2
las
FUNCIÓN CUADRÁTICA
A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c coeficientes reales
y a  0 se le denomina función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con
respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje
de simetría.
y
Eje de simetría
f(x) = ax2 + bx + c
Parábola
fig. 1
x
Concavidad:
Es la abertura que tiene la parábola.
Si a  0, la parábola tiene sus ramas hacia
abajo.
Si a  0, la parábola tiene sus ramas hacia
arriba.
y
y
fig. 3
fig. 2
x
x
INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
La parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c.
y
fig. 4
c
x
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes opciones representa una función cuadrática?
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
(x2 – 4) – (x2 + 2x)
-3x + x3
x+4
(x + 2)(x – 2) – x2
(-2x + 1)2
3
2.
En la figura 5, se muestra el gráfico de la función cuadrática f(x) = (q – 5)x2 + bx + c.
Luego, se cumple que
y
A)
B)
C)
D)
E)
3.
q
q
q
q
q
x
Con respecto a la función f(x) = 3x2 + 13x – 10, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
fig. 5
>5
=5
<5
es cualquier real distinto de cero.
es cualquier número real.
Su concavidad está orientada hacia arriba.
El punto de intersección con el eje y es (0, -10).
f(-5) = 0
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
En la figura 6, el gráfico de f(x) = x2 – 6x – 2 intersecta al eje de las ordenadas en el
punto
y
A)
B)
C)
D)
E)
5.
fig. 6
(2,0)
(-2,0)
(6,0)
(0,-2)
(0,2)
x
La gráfica de la función f(x) = (-4x – 3)(2 – 3x) intersecta al eje y en
2
3
3
-3
-6
6
A) B)
C)
D)
E)
4
CEROS DE LA FUNCIÓN
Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los cuales y = 0
(fig. 1).
y
fig. 1
x2
x1
x
DISCRIMINANTE
La expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las
raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c.
Si
b2 – 4ac  0
Si
b2 – 4ac = 0
y
Si
b2 – 4ac  0
y
y
x1 = x2
x1
x2
x1
x2
x
La parábola intersecta al eje x
en dos puntos, por lo tanto
tiene 2 soluciones (raíces
reales distintas).
x1 = x2
La parábola es tangente al eje
x, por lo tanto tiene sus
soluciones idénticas (una única
solución real).
EJEMPLOS
1.
Los ceros de la función y = 3x2 – 12 son
A) 2 y -12
B) -3 y 12
0
C) 4 y
D) 2 y -2
E) 2 y -4
2.
x
Los ceros de la función y = 2x2 + 12x son
A)
0 y 6
B)
6 y 0
C)
0 y -6
D) -12 y 0
E)
6 y -6
5
x
La parábola no intersecta al
eje x, no tiene solución
real.
3.
El discriminante de la función f(x) = (x – 3)(x + 2) es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
igual a 3.
igual a -2.
igual a -25.
igual a 25.
Igual a -6.
Si en la función y = ax2 + bx + c sus ceros son de igual signo y su discriminante mayor
que cero, ¿cuál de los siguientes gráficos no correspondería a la función?
A)
B)
y
C)
y
y
x
x
x
D)
y
E)
y
x
x
5.
Con respecto de la función asociada al gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes
aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Tiene 2 ceros.
El discriminante es mayor a cero.
f(0) = -2
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
y
fig. 2
-2
5
x
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la
función cuadrática f(x) = x2 + px + 9?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si -6 < p < 6, existen 2 intersecciones con el eje x.
Si p = 6, existe una intersección con el eje x.
Si p =-6, no hay intersección con el eje x.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
6
EJE DE SIMETRÍA
El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas”
congruentes.
Eje de simetría:
y
x=
x1 + x2
2
fig. 1
o
x
x1
x2
x=
x
-b
2a
Eje de Simetría
VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.
y
Eje de simetría
 -b 4ac  b2 

,
V= 
 2a

4a


fig. 2
 -b
,f
V= 
 2a
x
 -b  
 2a  


Vértice
EJEMPLOS
1.
En la parábola de la figura 3, la ecuación del eje de simetría es
A)
B)
C)
D)
E)
x
y
x
y
x
=
=
=
=
=
y
2
2
-2
-2
0
fig. 3
2
-2
7
x
2.
El eje de simetría de la parábola asociada a la función y = -2x2 – 20x – 62 es
5
12
5
-5
-2
-7
A) x = B)
C)
D)
E)
3.
=
=
=
=
La función y = -x2 + 2x – 1 alcanza su máximo valor en
A)
B)
C)
D)
E)
4.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
0
-1
-2
1
2
La función cuadrática correspondiente a la parábola de la figura 4 es
y
A)
B)
C)
D)
E)
y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
2
x
x2
x2
x2
x2
+ 2x – 3
– 2x – 3
+ 4x – 3
– 4x – 3
–x–3
2
-3
-1
fig. 4
1
3
x
-3
-4
5.
Dada la función f(x) = x2 – x – 6, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son)
verdadera(s)?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
x = 3 es un cero de la función.
II)
La ecuación del eje de simetría es x =
III)
 1 25 
.
El vértice de la parábola es  , 4 
2
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
8
1
.
2
FUNCIONES DE LA FORMA
y = ax2
y
y = x2
4
La figura 1 muestra las gráficas de
1
1
y = x2, y = x2, y = -x2 e y = - x2.
2
2
1 2
x
2
y=
2
fig. 1
OBSERVACIONES:
x
2
-2
Si  a   1, la gráfica de y = ax2
es más “angosta” que la gráfica de
y = x2.

-2
1 2
x
2
y=-
-4
Si 0   a   1, la gráfica de y = ax2
es más “ancha” que la gráfica de
y = x2.

y = -x2
FUNCIONES DE LA FORMA
y = ax2 + c
y
La figura 2, muestra las gráficas
de y = x2, y = x2 + 2 e y = x2 – 3.
y = x2 + 2
6
y = x2
OBSERVACIONES


Si c  0, la parábola se desplaza
c unidades hacia arriba con
respecto al origen.
2
y = x2 – 3
x
0
Si c  0, la parábola se desplaza
c unidades hacia abajo con
respecto al origen.
fig. 2
-3
EJEMPLOS
1.
En la figura 3, se muestran tres gráficas de funciones cuadráticas. ¿Cuál(es) de las
siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
y
ab
a=c
bc
y = ax2
y = bx2
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
x
fig. 3
2
y = cx
9
2.
Al desplazar la parábola asociada a la función y = x2 + 2, cinco unidades hacia abajo
se obtiene la función
A)
B)
C)
D)
E)
3.
y = x2 – 5
y = -x2 + 5
y = x2 – 3
y = x2 + 3
ninguna de las anteriores.
¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función f(x) = 2x 2 + 2?
y
A)
y
B)
y
C)
4
4
2
2
-1
1
x
2
D)
x
-1
E)
y
y
4
-2
8
2
x
2
-1
4.
x
1
x
1
El gráfico de la figura 4, podría corresponder a la función
y
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
2
-x
-x2
-x2
-x2
-x2
+ 2x – 3
+ 2x + 3
– 2x – 3
– 2x + 3
– 3x + 4
fig. 4
-3
5.
1
x
En la figura 5, la función f(x) = ax2 + c es de segundo grado, entonces ¿cuál es la
ecuación correspondiente a la figura?
f(x)
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
x2 – 2
-x2 – 2
-x2 + 2
-x2 – 4
-x2 + 4
fig.5
4
-2
10
2
x
FUNCIONES DE LA FORMA
f(x) = a(x – h)2 + k
y
k
x
h

La parábola se traslada h unidades en el eje x (sentido opuesto) y k unidades en el eje y.

(h, k) corresponde a las coordenadas del vértice de la parábola.
EJEMPLOS
1.
Si f(x) = (x + 2)2 + 1, su gráfico está representado por
A)
y
B)
y
2
2
-1
1
x
1
D)
x
2 x
y
E)
y
-2
1
x
-2
2.
y
C)
-1
Una función cuadrática cuya parábola tiene vértice (2, -3) puede ser
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
(x + 2)2 + 3
(x – 2)2 + 3
3(x – 2)2 – 3
3(x + 2)2 – 3
3(x + 2)2 + 3
11
x
3.
Al expresar la función cuadrática f(x) = -2(x + 1)2 + 2 en la forma f(x) = ax2 + bx + c,
el valor de b – a es
A) 6
B) 2
C) 0
D) -2
E) -6
4.
El eje de simetría de la parábola asociada a la función y = (x + 1) 2 – 6 es
A) x =
B) x =
C) x =
D) x =
E) x =
5.
3
2
1
0
-1
-3
2
Dada la parábola de ecuación y = -(x – 3)2 – k, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si k = 2, la parábola intersecta al eje y en (0, -2).
Si k = -3, la parábola tiene eje de simetría y = 3.
Si k = 1, la parábola tiene vértice (3, -1).
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
12
La función f(x) = axn, con a un número real distinto de cero y n un número natural mayor
que 1, se denomina función potencia. Su gráfica depende si n es par o impar.
y
Si n es par
Si n es impar
y f(x) = x5
f(x) = x4
f(x) = x3
f(x) = x2
1
-1
-
1
2
x
1
2
x
1
EJEMPLOS
1.
Con respecto a la función f(x) = 2x4, se puede afirmar que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Es una función par
Su gráfica es una parábola.
Pasa por el origen.
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I, II y III
¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor a la función f(x) = 2x3 + 1?
A)
B)
y
C)
y
y
1
x
x
x
D)
E)
y
y
x
x
13
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1y2
3y4
5y6
7y8
9 y 10
11 y 12
13
1
2
3
4
5
6
7
C
E
D
C
A
D
E
E
A
C
C
C
C
E
B
E
D
D
A
D
B
D
C
A
D
D
C
D
B
E
E
C
C
C
14
B
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 39
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
1.
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de segundo grado?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
x2 + x = 3 + 2x
5x – x2 = 4x + 7 – x2
2x2 = 3
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
¿Qué valor debe tener k en la ecuación 3x2 – 5kx – 2 = 0, para que una de sus raíces
sea -2?
A)
0
B)
1
C) -1
D) -4
E) -20
3.
¿Qué
valores
deben
tener
los
coeficientes
de
la
(a – 1)x2 + (b + 3)x + c = 0, para que sea de segundo grado?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
a  1,
a = 1,
a  1,
a  1,
a, b y
b=3 y c=0
b y c, cualquier real.
b y c, cualquier real.
b  3 y c, cualquier real.
c, cualquier real.
La ecuación 2(x2 – 6) = -2x tiene como conjunto solución
A) { 6 , 0}
B)
C)
D)
E)
{2, 6 }
{3, -2}
{2, -3}
{-2, -3}
ecuación
en
x,
5.
Las raíces (soluciones) de la ecuación x2 – 2x + 10 = 0 son
A) 2 y 5
B) -2 y -5
C) 2i y -5i
D) 1 + 3i y 1 – 3i
E) 1 + 5i y 1 – 5i
6.
¿Qué valor debe tener n en la ecuación
1 2
3
x –
x + n = 0, para que el discriminante
4
4
de la ecuación sea cero?
3
4
9
16
3
4
9
16
9
4
A) B)
C)
D)
E)
7.
La ecuación de segundo grado cuyas raíces son  = 2 +
A)
B)
C)
D)
E)
8.
5 y =2–
5 , es
x2 – 4x – 1 = 0
x2 – 4x + 1 = 0
x2 – 5x + 1 = 0
x2 – 5x – 1 = 0
ninguna de las anteriores.
Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces el valor de f(x + 1) es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
x2
x2
x2
x2
x2
+
+
+
+
+
3x – 2
5x – 3
5x – 2
5x
3x
(Fuente: DEMRE ADMISIÓN 2013)
9.
Si f(x) = x2 + mx + 6 y f(-4) = 2, entonces m es igual a
A) 5
B) 3
C) 2
D) -2
E) -3
2
10. Si f(x) = x2 – ax + 5ab – a2, entonces f(b – a) es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
(a
(a
a2
a2
b2
– b)2
+ b)2
– b2
+ b2
– a2
11. De las gráficas siguientes, ¿cuál(es) de ellas pertenece(n) a una función cuadrática?
y
I)
II)
y
III)
y
x
x
x
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
12. La gráfica de la función f(x) = (-3x + 2)(1 – x) intersecta al eje y en el punto
A)
B)
C)
D)
E)
13.
3

 0, 2 


(-2, 0)
(0, -2)
(2, 0)
(0, 2)
Con respecto a la gráfica asociada a la función f(x) = x2 – 2x – 7, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Intersecta al eje de las abscisas en dos puntos.
Sus ramas abren hacia arriba.
f(-2) = 1
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
3
14. Respecto a la parábola asociada a la función cuadrática f(x) = x2 + 2x + c, ¿cuál(es) de
las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si c > 1, no intersecta al eje x.
Si c  1, siempre intersecta al eje x.
Si c > 0, siempre intersecta al eje x.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
15. La figura 1, muestra la parábola correspondiente a la función f(x) = x2 – 8x + 15.
¿Cuáles son las coordenadas del vértice P?
y
A)
B)
C)
D)
E)
(1, -4)
(3, -5)
(4, -1)
(4, 15)
(-4, -1)
fig. 1
x
P
16. Respecto a la parábola correspondiente a la función f(x) = x2 – 9x + 14, ¿cuál(es) de
las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Sus ceros son x1 = 7 y x2 = 2.
Intersecta al eje y en (0, 14).
Su eje de simetría es x = 4.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
17. ¿Cuál es la función cuadrática cuya representación gráfica es la parábola de la figura 2?
y
A)
B)
C)
D)
E)
y
y
y
y
y
fig. 2
2
= 3x + 3
= 3x2 – 3
= x2 + 3
= x2 – 3
= x2 – 1
-1
1
-3
4
x
18. Si f(x) = x2 – 5, su gráfico es
y
A)
y
B)
C)
y
5
x
x
5
x
-5
y
D)
y
E)
5
x
-5
x
19. El gráfico de la figura 3, podría corresponder a la función cuadrática
y
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
x2 + 2x
3 + 2x – x2
x2 – 2x + 3
x2 + 2x – 3
x2 – 2x
fig. 3
x
Eje de simetría
20.
Dado el gráfico de la figura 4
y
12
fig. 4
3
1 2
¿Cuál es la función que representa a la parábola?
A)
B)
C)
D)
E)
y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
x2
3x
-3x2
3x2
3x4
5
x
21. ¿Cuál de las gráficas siguientes representa a la función cuadrática y = 3(x – 2)2?
A)
y
y
B)
x
2
2
x
-2
y
D)
y
C)
x
y
E)
x
x
-2
-2
22. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función y = -(x + 1)2?
y
A)
y
B)
1
x
x
-1
D)
y
-1
y
C)
-1
E)
x
y
-1
23. ¿Cuál(es) de las siguientes parábolas tiene eje de simetría negativo?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
y = 2(x – 3)² – 1
y = 3(x + 1)² – 2
y = -2(x – 2)2 + 1
I
II
III
I y II
II y III
6
x
x
24. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a las funciones f(x) = 2x + 1
y g(x) = x2 + 1?
A)
y
y
B)
C)
x
D)
y
x
x
y
y
E)
x
x
25. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA con respecto a la función f(x)= -(x2 – 4),
cuando x recorre todos los números reales?
A)
B)
C)
D)
La función toma un valor máximo.
Las ramas de la parábola asociada a la función se abren hacía abajo.
La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,-4).
La gráfica de la función intersecta al eje de las abscisas en los puntos (2,0) y
(-2,0).
E) El eje de simetría de la gráfica de la función es el eje y.
(Fuente: DEMRE ADMISIÓN 2013)
2
1

26. Las soluciones de la ecuación 4 x  
2

= 10, son
A) ( 5 + 0,5) y (- 5 + 0,5)
B) ( 5 + 0,5) y (- 5 – 0,5)
 5
1  5
1
C) 
+  y  
 2


2  2
2 

 5
 5
1
1
D) 
+  y + 
2
2
 2
 2
E)
5
1
+
2
2
y -
5
1
+
2
2
7
27. Con respecto al gráfico de la figura 5, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El vértice de la parábola es (0, -12).
f(x) = x2 – x – 12.
El eje de las ordenadas es el eje de simetría de la parábola.
y
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
f(x)
fig. 5
-3
0
4
x
-12
28. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 100t – 5t2, donde t se
mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros. Entonces, ¿en cuál(es) de los
siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
en
en
en
en
en
6 segundos.
10 segundos.
14 segundos.
I
II
III
I y en II
I y en III
29. Sea f una función real de la forma f(x) =a ∙ xn, con n = 2, 3 y 4, a número real y
distinto de cero, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si n= 2 y a =-2, entonces f(-2) = f(2)
Si n= 3 y a =-3, entonces f(-1) = -f(1)
Si n= 4 y a =-2, entonces f(-3) = f(3)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
8
30. En el computador se necesita reproducir una fotografía rectangular cuyo largo es 10 cm
mayor que el ancho. Se puede determinar las medidas del largo y del ancho, si se sabe
que:
(1) El área de la fotografía es 600 cm2.
(2) El perímetro de la fotografía es 100 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
31. Dada la parábola y = x² + bx + c. Se puede determinar los valores de b y c, si:
(1) La función asociada a la parábola es y = (x – 3)² – 5
(2) Intersecta al eje y en (0,4) y tiene vértice (3,-5)
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. Se puede determinar el eje de simetría de la parábola correspondiente a la función
f(x) = ax2 + bx + c, si se conocen los valores de:
(1) b y c
(2) a y b
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. La gráfica de la parábola asociada a f(x) = ax2 – 2x + c, es tangente el eje x, si:
(1) a · c = 1
(2) a = 2 y c > 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
34. Dada la función f(x) = x2 + bx + c. Se puede determinar las coordenadas del vértice,
asociada a la función, si:
(1) Intersecta al eje x en x1 = 2 y x2 = 3.
(2) b = -5 y c = 1 – b
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. El gráfico correspondiente a la función f(x) = ax2 + b está representada por la figura 6,
si:
(1) a > 0 y -a > -b
(2) b > 0
A)
B)
C)
D)
E)
y
fig. 6
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
x
RESPUESTAS
1.
D
8.
D
15. C
22. C
29. E
2.
C
9.
A
16. C
23. B
30. D
3.
C
10. B
17. B
24. C
31. D
4.
D
11. B
18. B
25. C
32. B
5.
D
12. E
19. E
26. D
33. A
6.
D
13. E
20. D
27. B
34. D
7.
A
14. A
21. A
28. E
35. A
10
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
INECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS DE INECUACIONES
Una relación entre números o letras en que se usan los signos <, >,  o  se llama
desigualdad.
Cuando una desigualdad presenta una incógnita se denomina inecuación y su valor de
verdad (verdadero o falso) dependerá del valor que se le asigna a la incógnita. Para resolver
inecuaciones es necesario conocer las propiedades de las desigualdades.
PROPIEDAD 1
Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma un mismo número, el
sentido de la desigualdad no cambia
Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c
PROPIEDAD 2
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc
PROPIEDAD 3
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
número negativo, el sentido de la desigualdad cambia
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c < 0, entonces ac >bc
PROPIEDAD 4
Si de los miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambos
negativos, se consideran sus recíprocos la desigualdad cambia
Si 0 < a < b o a < b < 0, entonces
1 1
>
a b
EJEMPLOS
1.
Si a, b y c son números reales, con b > c > a
desigualdades es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
y c  0, ¿cuál de las siguientes
b–a < c–a
a+c > c+b
b – 10 < a – 10
a – 10 > a – c – (10 – c)
c–b > a–b
Si 0 < a < 1, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
a2 < 0
a3 > a 2
0 > -a2
-a3 – a2 > 0
a(a + 1) < 0
INTERVALOS EN lR
Se llama intervalo en lR al conjunto de números reales que cumple con la desigualdad dada.
Intervalo cerrado desde
a hasta b
[a , b] = {x  lR / a  x  b}
Intervalo abierto entre
ayb
]a , b[ = {x  lR / a < x < b}
]a , b] = {x  lR / a < x  b}
Intervalo semiabierto o
semicerrado
[a , b[ = {x  lR / a  x < b}
a
b
lR
a
b
lR
a
b
lR
a
b
lR
EJEMPLOS
1.
La gráfica
A)
B)
C)
D)
E)
2.
{x
{x
{x
{x
{x





lR
lR
lR
lR
lR
-1
/
/
/
/
/
2
lR, representa el conjunto solución de
-1 < x < 2}
-1 < x  2}
-1  x < 2}
-1  x  2}
x  2}
La representación gráfica del conjunto solución de la inecuación, que cumple con x  8
y x > 3 es
A)
B)
C)
D)
3
8
3
8
3
8
3
8
E)
3
8
2
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b  0,
ax + b  0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, con a  0, y que son verdaderas para un conjunto de
valores de la incógnita x, el cuál se llama conjunto solución de la inecuación. Este
conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica.
Al despejar la incógnita en una inecuación lineal, se llega a una de las siguientes
situaciones:
Inecuación
Conjunto Solución
Representación Gráfica
x<
-b
a
-b 

S =  - ,
a 

-b
a
x
-b
a
-b 

S =  - , 
a

-b
a
x>
-b
a
 -b

S =  , + 
 a

x
-b
a
 -b

S =  , + 
a

-b
a
-b
a
EJEMPLOS
1.
La inecuación 3x + 11 > -1 tiene como conjunto solución
A)
B)
C)
D)
E)
2.
{x
{x
{x
{x
{x





IR
IR
IR
IR
IR
/
/
/
/
/
x
x
x
x
x
>
<
<
<
>
-4}
4}
-6}
6}
6}
La inecuación 3(x – 1) > 2(x + 2) tiene como conjunto solución
A)
B)
C)
D)
E)
{x
{x
{x
{x
{x





IR
IR
IR
IR
IR
/
/
/
/
/
x
x
x
x
x
< 7}
> 7}
>1}
< -7}
> -1}
3
3.
La inecuación 3x + 1 ≥ 2(x – 1) – (2 – x), tiene como conjunto solución
A) {x  lR / x ≥ 1}
B) {x  lR / x ≤ 4}


5
C) x  lR/ x  - 
2


D) lR
E) 
4.
La solución de la inecuación 4x – 1 ≥ 2(x – 1) es
A) {x

B) x


C) x

D) {x
E) {x
5.
1
 lR / x  - 
2
 lR / x ≥ 2}
 lR / x ≤ 2}
El intervalo que es conjunto solución de la inecuación
A)
B)
C)
D)
E)
6.
 lR / x ≥ -2}
1
 lR/ x  - 
2
3  x
5  x

es
2
3
]1, +[
]-, 1]
[1, +[
[-1, +[
]-, -1]
¿Cuál es el menor número entero que es solución de la inecuación
A) 5
B) 3
C) 1
D) 0
E) -1
4
1  x
2  x

?
4
7
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita.
El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada
inecuación. Es decir si, S1, S2, ..., Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el
conjunto solución del sistema, entonces:
S = S1  S2  S3  ...  Sn
EJEMPLOS
1.
La solución gráfica del sistema de inecuaciones
2x  3  1
7  3x > -8
A)
2
B)
C)
D)
E)
2.
2
5
5
2
5
2
5
2
5
El conjunto solución del sistema
A)
B)
C)
D)
E)
1  2x < -11
8x  12 > 2x
]-, 2[
]2, 6[
]6, +[
lR

5
es
es
3.
Al resolver el sistema
A)
B)
C)
D)
E)
2x  2 > x + 1
3x  10 + x
, el intervalo solución es
]3, 5]
[5, +[
[3, 5]
[3, 5[
[3,+[
2(x + 3) < 6 + x
4.
La solución del sistema
A)
B)
C)
D)
E)
2x + 1
3x + 2 es
>
2
4
{0}
]-, 0[
[0, +[
lR
No tiene solución
1
 3
2
, la solución es el intervalo
x
x
3
x
+


3
2
4
6
2x 
5.
Al resolver el sistema
7

A) -, 
4

3

B)  , + 
4

3
C)  ,
4
3
D)  ,
4
7
4 
7
4 
3 
E)  , 2 
4 
6
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
1. |x| ≤ a, si y solo sí -a ≤ x ≤a
2. |x| ≥ a, sí y sólo sí x ≤ -a ó x ≥ a
OBSERVACIÓN Si
Si
x2 ≤ a2, siendo a un número real no negativo, entonces |x| ≤ a.
x2 ≥ a2, siendo a un número real no negativo, entonces |x| ≥ a.
EJEMPLOS
1.
La inecuación -5 ≤ x + 2 ≤ 9 tiene el mismo conjunto solución que:
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
x + 2 ≥ -5
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
El conjunto solución de la inecuación |x – 4| < 0 es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
|x| ≤ 7
x+2≤9 ó
x+2 9
x + 2  -5
lR - {-4}
lR - {2}
lR - {4}
lR

¿Cuántos números enteros cumplen la condición que el exceso de su valor absoluto
sobre 2 no es mayor que 1?
A)
B)
C)
D)
E)
3
4
6
7
8
7
DIAGRAMA DE SIGNOS
Una forma de resolución de las inecuaciones cuadráticas y racionales es el uso del diagrama
de signos. Para ello, se debe encontrar los puntos críticos, que son aquellos valores donde la
expresión se anula y/o se indefine. Luego se evalúan las expresiones con un valor de prueba
que determinará el signo de la expresión en el intervalo.
EJEMPLOS
1.
¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación x ∙ (x + 1)  12?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Los valores de x que satisfacen la inecuación
A)
B)
C)
D)
E)
3.
]-, -4] U [3,+[
]-, -3] U [4, +[
[-4 , 3]
[-4, +[
]- , 3]
]-, -1[ U [0, +[
]-, -1[ U ]0, +[
]-, -1] U [0, +[
[0, +[
]-, -1[
Al resolver la inecuación
A)
B)
C)
D)
2x + 1
 1 son
x+1
1
 0, se obtiene como conjunto solución
x+2
2
-2
2
2
-2
E)
-2
8
PROBLEMAS DE INECUACIONES
En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, <,  o ,
tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (), “como máximo” (),
“sobrepasa” (), “no alcanza” (), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de
inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de
ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema. Además, las inecuaciones y
sistemas de inecuaciones, permite encontrar solución a diversas situaciones de tipo
algebraicas como por ejemplo determinar dominios y recorridos de funciones.
EJEMPLOS
1.
¿Cuántos números enteros cumplen simultáneamente las siguientes condiciones?
 El exceso del doble del número sobre 4 supera las 4 unidades.
 El exceso de 3 sobre el número no es menor que el opuesto de 4.
A)
B)
C)
D)
E)
2.
¿Cuántos números primos cumplen la condición que su doble, disminuido en 7 no
supera las 4 unidades?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
más de 4
4
3
2
menos de 2
4
3
2
1
Ninguno
El dominio de la función f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
{x
{x
{x
{x
{x





lR
lR
lR
lR
lR





x
x
x
x
x
x+2
es
x+1
>-2}
>-1}
 -2 o x >-1}
< -2 o x >-1}
 -2 o x  -1}
9
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs.
1
2
1
E
C
2
B
D
3
4
5
6
D
3y4
A
B
D
B
D
5y6
7
8
9
D
C
C
C
C
E
A
B
A
D
E
B
E
D
10
GUÍA DE EJERCICIOS Nº 41
INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
1.
Si a > b > c, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) negativa(s)?
c
b
b
a
c
c
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
b
a
a
c
b
a
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Si a y b son números reales y b – a < 0, ¿cuál de las siguientes desigualdades es
siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
3.






a>b
a2 > b 2
b>a
ab < 0
4b < 2a
Si a y b son números reales tales que a > 0 y
expresiones representa(n) un número negativo?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a∙b
a2 ∙ b
a ∙ b2
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
b < 0, ¿cuál(es) de las siguientes
4.
Si x e y son números reales con x > y, ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades
es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
-x < -y
x–y>0
1
1
<
x
y
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Si r > s, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
1
1
>
r  s
s  r
(r – s)∙(s – r) < 0
r  s
<0
s  r
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
La inecuación 4 – x < -7 tiene como conjunto solución
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
{x
{x
{x
{x
{x





lR
lR
lR
lR
lR
/
/
/
/
/
x
x
x
x
x
>
>
>
<
<
-6}
-22}
11}
6}
-6}
La inecuación 3 – 2x  -7 tiene como conjunto solución
A)
B)
C)
D)
E)
{x
{x
{x
{x
{x





lR
lR
lR
lR
lR
/
/
/
/
/
x
x
x
x
x





5}
-5}
5}
-10}
-5}
2
8.
El conjunto solución de la inecuación -3(1 – 3x)  12x es
A)
B)
C)
D)
E)
9.

x

{x
{x

x

{x
1

7
 -1}
 1}
1
 - 
7
 -1}
 lR / x  -
 lR / x
 lR / x
 lR / x
 lR / x
El intervalo solución de la inecuación -
A)
B)
C)
D)
E)
]-12, +[
]-, -12[
]-, -8[
]-, +[
]-, -12]
10. El conjunto solución de la inecuación
A)
B)
C)
x
x
x

>8 
es
3
2
6
x
2x  1
x  3

>
es
5
3
3
5

x  lR / x < 
3

5

x  lR / x < - 
3

5

x  lR / x > - 
3

5

D) x  lR / x > 
3

5

E) x  lR / x < - 
6

11. Al resolver la inecuación A)
B)
C)
D)
E)
x
x
x
+
3–
8
4
8
{x  lR / x  -12}
{x  lR / x  -12}
{x  lR / x  12}
lR

3
el conjunto solución es
12. La solución gráfica del sistema de inecuaciones
4x + 1  5
x  3<5
es
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
8
0
1
8
0
1
8
0
1
8
0
1
8
13. El conjunto solución del sistema
A)
B)
C)
D)
E)
x+3
<5
2
2x
2 
 0
7
es
]-, 7[
[7, +[
{7}

lR
1  x  -0,5
14. Al resolver el sistema x
x
x , la solución es el intervalo
+
<5 
3
2
6
A)
B)
C)
3

 2, 5 


1


 2, 5 


3

 - , 2 


D) ]-, 5[
 3 15 
E)  ,

2 2 
4
15. Si |2x + 1| ≤ 3, entonces la solución es
A)
B)
C)
D)
E)
-3
3
-2
2
-2
1
-1
2
-4
2
16. El conjunto solución de la inecuación |x| – 1 ≥ 2 es
A)
B)
C)
D)
E)
{x
{x
{x
{x
{x





lR
lR
lR
lR
lR
/
/
/
/
/
x ≥ 3}
x ≤ 3}
x ≤ -3}
-3 ≤ x ≤ 3}
x ≥ 3 ó x ≤ -3}
17. Si -1 < x < 0, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
1
< -x
-x
1
-x <
x
1
> -1
x
1
<x
x
1
>1
x
18. Se desea cercar un jardín rectangular cuyo perímetro sea menor a 120 cm, pero no
menor que 90 cm. Si el largo es el doble del ancho, ¿entre qué valores, en cm, variará
el ancho k?
A)
B)
C)
D)
E)
15
15
30
30
45





k
k
k
k
k





20
20
40
40
60
5
19. Si el área de un cuadrado no alcanza los 16 cm2, entonces su perímetro en cm varía
entre
A)
B)
C)
D)
E)
-16 y 16
-8 y 8
0 y 16
-4 y 4
0y4
20. El IMC es la razón entre la masa corporal y el cuadrado de la estatura de una persona,
respectivamente. Diversos estudios realizados, han concluido que el grupo de mejor
kg
. Si una persona mide
salud corresponde a un IMC comprendido entre 20 y 25
m2
1,5 metros, para ser considerada saludable, su masa corporal deberá estar entre
A)
B)
C)
D)
E)
30
30
40
45
45
y
y
y
y
y
37,5 kg.
56,25 kg.
50 kg.
56,25 kg.
55 kg.
21. ¿Cuantos números
x2 < 3x – 2?
A)
B)
C)
D)
E)
enteros
pertenecen
conjunto
4
3
2
1
Ninguno
22. El conjunto solución de la inecuación
A)
B)
C)
D)
E)
al
2x + 1
 1 es
x+3
]-, 2]
]-3, 2]
[2, +[
]-, -3[ U [2, +[
]-, -3] U ]2, +[
6
solución
de
la
inecuación
23. El dominio de la función f(x) =
A)
B)
2x  1 es
1

 -, 2 


1

-, 2 


1

 2 , + 


1

D)  , + 
2


E) lR
C)
24. Sean las funciones f(x) = x3 y g(x) = x5, ¿cuál es el conjunto que contiene a todos los
números reales tales que f(x) ≥ g(x)?
A)
B)
C)
D)
E)
]-, -1[ U ]0, 1[
]-, -1] U [0, 1]
]-1, 0[ U ]1, +[
[-1, 0] U [1, +[
[-1, 1]
25. Todos los números reales que encuentran a más de 6 unidades de 5 y a menos de 10
unidades de 3 están representados por
A)
B)
C)
D)
E)
]-1, 11[
]-7, -1[
]11, 13[
]-7, 13[
]-7, -1[ U ]11,13[
26. En el sistema de inecuaciones
3 + 2x < 13
x  1<4
que
A)
B)
C)
D)
E)
20
18
17
15
9
7
siempre se cumple que 3x + 2 es menor
27. Si 1 < 2x +5 < 13, entonces es correcto afirmar que
A)
B)
C)
D)
E)
|x
|x
|x
|x
|x
–
–
–
–
–
1|<
1|<
1|<
1|>
1|>
4
3
2
2
3
28. El dominio de la función f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
(x  3)2  (x  2)2 es
1

 2 , + 


1

 2 , + 


[-3, 2]
lR

29. ¿Cuáles de las siguientes funciones tienen como dominio el mismo conjunto?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
f(x)=
II)
f(x) =
III)
f(x) =
x+1
x  2
x+1
x  2
1
2x  4
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguna tiene el mismo dominio
30. El dominio de la función f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
x2 + 3x + 2
es
x  1
[-2,-1]
[1, +[
[-2, -1] U ]1, +[
[-2, -1] U [1, +[
]- , -2] U [1, +[
8
31. La expresión
x
es positiva, si:
y·z
x
<0 y z<0
y
x
<0
(2) y · z > 0 y
z
(1)
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
32. La expresión
m2
es negativa, si:
m  1
(1) m > 0
(2) m – 1 < 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
33. En una bolsa hay P bolitas. Se puede determinar el número de bolitas que hay en la
bolsa, si:
(1) 5 < P < 10
(2) 2P < 14
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. Se puede determinar que a < b, si:
(1) a + b < 2b
(2)
1
1
>
a
b
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
35. Se puede determinar que la expresión
a+b
es negativa, si:
a  b
(1) a < b
(2) a y b  lR+
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
CLAVES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B
A
A
B
E
C
C
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
E
B
A
D
D
D
C
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
C
E
D
A
C
D
E
10
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
B
D
B
E
C
B
D
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
C
C
A
C
C
A
C
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 42
UNIDAD: GEOMETRÍA
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
DETERMINACIÓN DEL PLANO:
Un plano queda determinado básicamente por una recta y un punto no perteneciente a ella
(fig. 1), como también en los siguientes casos:
P
L1
fig. 1
A

Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 2).
P
L1
fig. 2
L2

Tres puntos no colineales (fig. 3).
P
A
B

Por dos rectas paralelas (fig. 4).
fig. 3
C
P
L1
L2
fig. 4
EJEMPLO
1.
¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
Un
Un
Un
Un
Un
plano
plano
plano
plano
plano
está
está
está
está
está
determinado
determinado
determinado
determinado
determinado
por
por
por
por
por
una recta y un punto perteneciente a la recta.
los cuatro vértices de un cuadrilátero.
dos rectas perpendiculares.
dos lados no consecutivos de un rombo.
los vértices de un triángulo rectángulo.
ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO
DETERMINACIÓN DEL PLANO:
Un plano está definido por un vector normal a todos los vectores contenidos en el plano y un
punto cualquiera que pertenezca a dicho plano.
Sea n el vector normal y B un punto del plano y cuyo vector de posición es b, como se
muestra en la siguiente figura.
O
b
n
r
R
B

ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO
Sea u y v dos vectores directores contenidos en el plano y A un punto cualquiera de él.
O
r

a
n
A
v
R
u
Si A= (xo, yo, zo), R = (x, y, z), entonces AR = R – A;
Ecuación vectorial: AR = v + t u
(x - xo, y - yo, z - zo) = (v1, v2, v3)+ t(u1, u2, u3)
Ecuación vectorial del Plano:
(x, y, z) = (xo, yo, zo)+ (v1, v2, v3) + t(u1, u2, u3)
Ecuaciones Paramétricas:
x - xo = v1 + tu1
y - yo = v2 + tu2
z - zo = v3 + tu3
Al resolver el sistema formado por ecuaciones paramétricas y construir una única única
ecuación en función de x,y,z se obtiene la Ecuaciones General (cartesiana) del plano.
tiene
A(x - xo) + B(y - yo)+ C (z - zo); donde D = - Axo - Byo - Czo ; de este modo se
Ecuación general del Plano:
Ax + By + Cz + D = 0
2
EJEMPLOS
1.
Las ecuaciones paramétricas del plano que pasan por el punto A(1,1,1) y tiene como
vectores directores u = (1, -1,1) y v = (2,3,-1) son
A)
B)
C)
D)
E)
2.
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
1
1
1
1
1
+  + 2t ; y = 1 –  – 3t ;
–  + 2t ; y = 1 –  + 2t ;
+  + 2t ; y = 1 –  + 3t ;
–  + 2t ; y = 1 +  – 3t ;
+  + 2t ; y = 1 –  + 3t ;
z=
z=
z=
z=
z=
1+–t
1 +  + 3t
1+–t
1+–t
1––t
La ecuación del plano que pasa por los puntos (-1, 2, 3) y (3, 1, 4) y contiene al vector
a = (0, 0,1), corresponde a
A) x + 4y + 8 = 0
B) -x – 4y + 7 = 0
C) x + 4y + 7 = 0
D) x – 4y + 9 = 0
E) -x – 4y – 9 = 0
3.
Sea  el plano determinado por la ecuaciones paramétricas: x = 1 +  + t;
y = 2 –  + 2t; z = 4 – 3t, ¿cuál(es) de los siguientes puntos pertenece a este plano?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
9
)
2
(0, 9, -1)
(-2, -1, 2)
(2, 1,
I
II
III
I y III
II y III
¿Cuál de las siguientes ecuaciones cartesianas corresponden al plano que pasa por los
puntos A(-1,1,-1), B(0,1,1) y C(4,-3,2)?
A)
B)
C)
D)
E)
7x
7x
8x
8x
8x
+ 8y – 3z – 4 = 0
+ 8y – 4z – 3 = 0
– 7y – 4z + 12 = 0
– 7y – 4z – 3 = 0
+ 7y – 4z – 3 =0
3
DEFINICIONES
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina
cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.
Arista
Cara
Vértice
PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos
congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos P1 y P2, que tienen una arista
común y su medida es el ángulo formado por dos rectas L1 y L2 perpendiculares a la arista
en un mismo punto, de modo que L1 pertenezca a P1 y L2 pertenezca a P2.
Semiplano
P2
Ángulo
diedro
P1
Arista
s
P1
P2
EJEMPLOS
1.
¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por los planos P 1 y P2 que se cortan
perpendicularmente en la figura 1?
P2
A) 30º
B) 45º
C) 54º
D) 90º
E) 108º
2.
fig. 1
P1
¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por las caras laterales del prisma de la figura 2,
cuya base es un pentágono regular?
A) 30º
B) 45º
C) 54º
D) 90º
E) 108º
fig. 2
4
CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un
eje
ESFERA
eje de giro
CILINDRO
CONO
TRONCO DE
CONO
CILINDRO CON
DOS CONOS
TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:
Prisma triangular
Prisma trapezoidal
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Cilindro circular recto
EJEMPLOS
1.
Dado un triángulo ABC, rectángulo en C (fig. 1). ¿Cuál es el cuerpo generado por la
rotación de dicho triángulo en torno a su hipotenusa?
C
A
A)
2.
B)
fig. 1
B
C)
E)
D)
En la figura 2, se muestra un cuerpo de revolución. Este cuerpo puede ser generado
por la rotación de la región
fig. 2
I)
A)
Solo I
II)
B) Solo II
III)
C) Solo III
5
D) Solo I y II
E)
Solo I y III
CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
NOMBRE
PARALELEPÍPEDO
RECTANGULAR
FORMA
h
ÁREA
VOLUMEN
2(ab +bh + ah)
a·b·h
6a2
a3
a
b
a
HEXAEDRO
REGULAR (CUBO)
a
a
Volumen
Área de la base
por la altura
B
PRISMA RECTO
RECTANGULAR
h
a
b
h(a + b + c)+ 2B
B = área basal
Bh
2rh + 2r2
r2 · h
c
CILINDRO RECTO
BASE CIRCULAR
h
 r
EJEMPLOS
1.
Si la diagonal del hexaedro regular que muestra la figura 1, mide 2 6 cm, entonces el
área de la figura sombreada es
A) 8 cm2
B) 8 2 cm2
fig. 1
C) 6 2 cm2
D) 4 2 cm2
E) 6 cm2
2.
Cada una de las caras del hexaedro regular se han achurado como se muestra en la
figura 2. Si la superficie total achurada es de 24 cm2, ¿cuál es el volumen de cubo?
(considere  = 3)
A)
B)
C)
D)
E)
8
48
96
48
64
cm3
cm3
cm3
6 cm3
cm3
fig. 2
6
3.
La figura 3, muestra un tubo cilíndrico de 3 m de altura y de radio 0,5 m. ¿Cuál es el
área del manto del cilindro?
A) 1,5 m2
B) 3 m2
C) 6 m2
3 2
D)
m
2
E) 2 m2
4.
fig. 3
h = 3m
La figura 4, muestra un paralelepípedo cuyas aristas miden 2 cm, 3 cm y 6 cm. De las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s):
El área total del cuerpo es 72 cm 2.
El volumen del cuerpo es 36 cm 3.
La mayor longitud rectilínea entre dos vértices del paralelepípedo es 7 cm.
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
2 cm
fig. 4
3 cm
6 cm
5.
Al desplazar n cm un triángulo equilátero de altura
recto de volumen 9 cm3 el valor de n debe ser
3 (fig. 5) y obtener un prisma
A) 81 cm
B) 27 cm
C) 9 3 cm
fig. 5
D) 3 3 cm
E)
6.
3 3
cm
4
n cm
En la figura 6, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. Si AD = 3DC = 6a, entonces el
área del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto del lado AD es
A)
B)
C)
D)
E)
20
24
28
30
32
3
a
a3
a3
a3
a3
D
2
cm
cm2
cm2
cm2
cm2
C
fig. 6
A
7
B
FORMA
NOMBRE
PIRÁMIDE RECTA
BASE CUADRADA
g
h
a
a
CONO
RECTO
BASE CIRCULAR
ÁREA
h g
VOLUMEN
1 2
2ag + a2
a ·h
g
=
apotema 3
lateral
Volumen
Área de la base
por la altura
dividido por tres
rg + r2
g= generatriz
1 2
r · h
3
r
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, la pirámide EFGIP está inscrita en el hexaedro regular. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
La diferencia entre el volumen del cubo y la pirámide es el doble del
volumen de la pirámide.
El volumen del cubo es tres veces el volumen de la pirámide.
El área del cubo es tres veces el área de la pirámide.
P
I
II
I y II
I y III
II y III
fig. 1
E
2.
G
I
F
Al girar en torno al lado AB del rectángulo ABCD de la figura 2, se obtiene un cilindro
de volumen
D
A)
B)
C)
D)
E)
32
32
12
16
16
C
fig. 2
2
A
8
4
B
NOMBRE
ESFERA
FORMA
ÁREA

r
VOLUMEN
4 3
r
3
4r2
EJEMPLOS
1.
Para que el volumen de una esfera sea igual a 288 cm3 es necesario que su diámetro
mida
A) 3 cm
B) 6 cm
C) 9 cm
D) 12 cm
E) 16 cm
2.
¿Cuál es el menor volumen del paralelepípedo rectangular de la figura 1, que contiene
tres esferas congruentes de volumen 36 cm3 cada una?
A)
B)
C)
D)
E)
36
27
27
36
36
· 18 cm3
· 9 cm3
· 3 cm3
· 27 cm3
· 3 cm3
fig. 1
6 cm
6 cm
3.
En la figura 2, ¿qué radio debe tener una esfera para que su volumen y área sean
iguales numéricamente?
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
3
4
5
6
r
9
fig. 2
PUNTOS EN EL ESPACIO
En la figura 1 observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan
también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ.
El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el punto K
está en el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A
está “suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene
coordenadas
(a, b, c).
Z
c
K
fig. 1
A
L
Y
b
a
M
X
OBSERVACIONES:
Dados los puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2)
(x2  x1)2 + (y2  y1)2 + (z2  z1)2

Distancia entre dos puntos: d
=

Coordenadas del punto medio:
 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 
,
,


2
2
2



Vector AB:
AB
(x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1)
EJEMPLOS
1.
En la figura 2, ¿cuál es la distancia entre el punto A (0, 4, 0) y el punto (6, 4, 8)?
z
A)
5
B) 4 5
C) 10
D)
10
E)
8
fig. 2
A
2 13
4
6
x
10
y
2.
El triángulo EFG de la figura 3, tiene sus vértices ubicados en las coordenadas
E = (4, 0, 0), F = (0,4, 0) y G = (0, 0, 4). ¿Cuánto mide el área de la pirámide de base
triangular que se forma con los ejes coordenados?
z
A) 48 + 8 3
B) 96 + 8 3
C) 48
D) 24 + 8 3
E) 96
G
fig. 3
F
y
E
x
3.
Un hexaedro regular tiene tres de sus vértices ubicados en las coordenadas (3, 1, 0),
(3, 1, 3) y (3, 4, 0) de la figura 4. ¿Cuál de las siguientes alternativas podrían
considerarse las coordenadas de los vértices faltantes?
z
A)
B)
C)
D)
E)
(3,4 3), (0,1,3) y (0,0,3)
(3,4 3), (0,4,3) y (3,1,3)
(0,1, 3), (3,1,3) y (3,3,3)
(3,4 3), (0,1,3) y (0,4,3)
(0,4, 3), (0,0,3) y (3,3,3)
fig. 4
y
x
4.
En el cubo de la figura 5, la arista es 4 cm y un vértice está en el origen (0, 0, 0). Si el
punto A tiene coordenadas (4, 2, 0) y cada arista se ha dividido en cuatro partes
iguales, ¿cuáles son las coordenadas del punto B?
z
A)
B)
C)
D)
E)
(3,
(4,
(3,
(3,
(4,
3,
3,
4,
4,
3,
fig. 5
3)
4)
3)
4)
3)
B
y
A
x
11
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1
2
3
4
C
E
B
E
1
A
3
C
B
4
D
E
5
A
E
6y7
D
E
8
C
E
9
D
A
B
10 y 11
C
D
D
12
B
5
6
D
E
GUÍA DE EJERCICIOS N° 42
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
1.
Sea  el plano determinado por las ecuaciones paramétricas x = 3 + 2 – t;
y = -1 +  – 2 t; z = 2 + 3 – 5t. ¿Cuál(es) punto(s) pertenece(n) a este plano?
I)
II)
III)
2.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
El
punto
(2,-3,-3)
(4,-2,0)
(1,1,1)
I
II
I y II
I y III
II y III
de
intersección
entre
la
recta
L:
x
1
2
=y=
3
z
4
y
el
plano
2x + 3y + z = 11 es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
5, -8)
-2, 5)
2, -5)
4, -7)
-1, 6)
¿Cuál de las siguientes ecuaciones cartesianas corresponden al plano que pasa por los
puntos (2, 3, 4), (1, 1, 1) y (-5, 3, 2)?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
(2,
(5,
(5,
(3,
(4,
7x
7x
4x
4x
4x
+ 19y – 14z –
– 19y – 14z +
+ 19y – 14z –
+ 19y – 14z –
– 19y – 14z +
15 = 0
9=0
15 = 0
9=0
105 =0
El plano , tiene por ecuación x + 5y – 3z – 4 = 0 un posible vector normal al plano es
A)
B)
C)
D)
E)
(1, -5, -3)
(-1, -5, -3)
(2, 10, -6)
(3, 5, -1)
(3, 15 ,9)
5.
Sea la ecuación del plano dado por a r = (1,2,0) + (2,1,1) + t(3,0,-1) la ecuación
cartesiana del plano corresponde a
A) x – 5y + 3z + 9 = 0
B) 5x – y + 3z – 9 = 0
C) x + 5y – 3z – 9 = 0
D) 5x + 5y + 3z + 9 = 0
E) x + 5y – 3z – 9 = 0
6.
Con respecto a un cubo que tiene área 108 cm2, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
La diagonal en la cara superior del cubo es 3 2 cm.
La diagonal del cubo es 3 6 cm.
Su volumen es 54 2 cm3.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
En la figura 1, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo de área 45 cm2 y perímetro
36 cm, entonces el volumen del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto al lado
mayor AD es
D
A)
B)
C)
D)
E)
135 cm
125 cm3
108 cm3
117 cm3
45 cm3
fig. 1
A
8.
C
3
B
Un cuadrado de lado 3 cm se traslada 4 cm apoyado sobre uno de sus lados en un
plano perpendicular a él, como se muestra en la figura 2. ¿Cuál es el volumen del
cuerpo generado?
A)
B)
C)
D)
E)
9
12
27
36
64
cm3
cm3
cm3
cm3
cm3
fig. 2
2
9.
Se inserta una esfera de radio R en un cilindro cuyas paredes son tangentes a la esfera
como muestra la figura 3, el volumen que no ocupa la esfera es
A)
B)
C)
D)
E)
La mitad del cilindro.
La mitad de la esfera.
La cuarta parte del cilindro.
El doble de la esfera.
Las dos terceras partes del cilindro.
fig. 3
10. En la figura 4, ¿cuánto mide el mayor ángulo diedro formado por el plano ABCD y una
de las caras del paralelepípedo rectangular de aristas 6, 6 3 y 12?
A)
B)
C)
D)
E)
C
12
75°
45º
30º
60º
90º
B
fig. 4
6
D
A
6 3
11. La figura 5, muestra una caja rectangular de volumen 128 cm3, que contiene bombones
en forma de esfera, ¿cuál es el área de estos bombones?
A)
B)
C)
D)
E)
54
36
32
28
24
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
fig. 5
12. Si el contenido de un cilindro circular recto con un volumen de 175 cm3, se vacía en
un cono recto de base circular de radio y altura iguales a la del cilindro (fig. 6),
entonces ¿cuál es la cantidad de líquido que no se alcanza a traspasar?
1
cm3
3
175
cm3
B)
3
175 
cm3
C)
3
350
cm3
D)
3
350
cm3
E)
3
A)
fig. 6
3
13. El trapecio rectángulo que muestra la figura 7 se hace girar indefinidamente en torno al
lado AC . Si las medidas de sus bases son 6 cm y 2 cm, respectivamente y su
generatriz mide 5 cm, entonces el volumen del cuerpo generado es
A)
B)
C)
D)
E)
28π cm2
30π cm2
32π cm2
34π cm2
52π cm2
A
2 cm
fig. 7
5 cm
C
6 cm
20a2
cm3 y el perímetro de su base
3
cuadrada es 8a cm. ¿Cuál es la longitud de la altura de dicha pirámide?
14. En la figura 8, el volumen de la pirámide es
A)
B)
C)
D)
E)
5
cm
4
2 cm
4 cm
5 cm
10 cm
fig. 8
15. La distancia entre el punto A (0, 5, -5) y el punto B (-5, 0, 5) es
A) 10
B) 15
C) 5 2
D) 5 3
E) 5 6
16. Se tiene un rombo, cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm, el cual se hace rotar
indefinidamente en torno a sus diagonales, entonces la razón entre los volúmenes
generados es
A)
B)
C)
D)
E)
1:3
3:4
2:3
9:8
27 : 64
4
17.
Los puntos A, B, C y D de la figura 9, son los vértices de la base de una pirámide de
base cuadrada. ¿Cuáles son las coordenadas correspondientes al vértice de la cúspide
de la pirámide para que su volumen sea 48 cm 3?
z
A)
B)
C)
D)
E)
(2,
(3,
(3,
(3,
(4,
1,
2,
6,
4,
9,
7
6
5
4
3
2
1
6)
9)
9)
9)
3)
1
2
3
4
5
6
fig. 9
1 2 3 4 5 6 7
B
C
D
y
A
x
18. Se tiene un barril con capacidad para 20 litros, el cual contiene agua hasta la mitad de
su capacidad, si se introducen esferas de acero de 5 cm de radio, ¿cuántas de éstas
son necesarias como mínimo para que el barril se llene? (considere  = 3).
A) 20
B) 40
C) 80
D) 160
E) 500
19. Al sumergir completamente un cubo en un tubo cilíndrico de 3 cm de radio (fig. 10), el
nivel del agua sube
3 cm, entonces la arista del cubo sumergido mide
(considere  = 3)
A)
6 cm
B) 3 3 cm
fig. 10
C) 3 3 3 cm
D)
3
6 cm
E) 3 3 6 cm
20. La figura 11 muestra un triángulo ABC obtusángulo de área 24 cm2 que se gira
indefinidamente en torno al eje y, entonces el volumen del cuerpo geométrico generado
por el área achurada es
y
fig. 11
A) 192 cm3
A
B) 128 cm3
C) 124 cm3
D) 120 cm3
96 cm3
E)
B
C
0
2
4 x
5
21. La figura 12, muestra una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm y volumen
12 3 cm3, entonces el valor de su apotema es
S
fig. 12
A) 3 3 cm
B) 2 3 cm
C) 3 2 cm
D) 4 cm
E) 5 cm
C
A
B
22. En la figura 13, se tiene un prisma recto cuya base es un hexágono regular de lado L y
altura 4L. ¿Cuál es el volumen del prisma?
A) 6L3 3
B) 4L3
C) L3 3
3 3
L 3
D)
4
9 3
E)
L
4
fig. 13
4L
L
23. La figura 14, representa una piscina generada al trasladar n metros el trapecio
achurado. El largo de la piscina es 8 m y tiene 1,5 m de profundidad mínima y 2,5 m de
profundidad máxima. Para que el volumen de la piscina sea 56 m 3 el valor de n debe
ser
A)
B)
C)
D)
E)
1,5
2,5
3,5
4,0
4,5
m
m
m
m
m
n
fig. 14
24. La figura 15 muestra un cubo de área 150 cm2, donde M es el punto medio de su arista
AB , entonces el área del triángulo MCD es
A) 25
25
B)
4
25
C)
2
25
D)
2
25
E)
4
5
D
5
D
5
C
3
A
3
6
M
B
fig. 15
25. ABCD es un cuadrado de lado a cm y el trapecio EFBA es isósceles AE = BF = a. ¿Cuál
es el volumen del cuerpo de la figura 16?
A)  2a2 + 3 a2 3  a cm3
4
B)
fig. 16


3 2 

3
 a + 4 a 3  2a cm


a
C) (1 + 3 3 )2a3 cm3
D)
E)
C
D
A
a2
a +
3 a cm3
4
B
2
2+
a
3
3 a3 cm3
2
E
2a
2a
F
26. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al rotar el triángulo achurado de la
figura 17, en torno a la recta L? ( = 3)
4 cm
A) 198 cm3
B) 192 cm3
C) 96 cm3
D) 24 cm3
12 cm3
E)
fig. 17
6 cm
L
27. Un triángulo isósceles rectángulo de cateto a se hace girar indefinidamente entorno a
uno de sus catetos, entonces el área del manto del cuerpo generado es
A)
B)
C)
D)
E)
a2 
2a2
a2 2 
a3 
a2 2
28. El trapecio isósceles de área 10 3 cm2 y altura 2 3 cm cuya base menor es de 4 cm,
se desplaza 4 cm, generando el prisma que muestra la figura 18, entonces ¿cuál(es)
de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s) ?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El área total del prisma es 40 + 10 3 + 8 13 .
La base mayor del trapecio vale 6 cm.
El volumen del prisma es 40 3 .
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
fig. 18
4 cm
7
29. En la figura 19, al cilindro de radio 10 cm y de largo 30 cm, se le ha hecho un orificio
en el centro del cilindro con un diámetro de 18 cm, en toda su extensión. ¿Cuál es el
volumen del cuerpo cilíndrico resultante?
98
A)
570
B)
702
C)
800
D)
E) 1.502
cm3
cm3
cm3
cm3
cm3
18 cm
10 cm
fig. 19
30. En la figura 20 se muestra un cuarto de circunferencia y un triángulo rectángulo
isósceles, que se hace girar indefinidamente en torno al eje y, entonces el volumen del
cuerpo generado es
y
fig. 20
A) 192
B) 128
C) 96
D) 64
E) 32
4
x
31. Las caras A y B de la caja (fig. 21) son cuadradas y el resto son rectangulares. El
volumen de la caja se puede determinar, si:
(1) El área de una de las caras cuadradas es de 36 cm2.
(2) El perímetro de una de las caras rectangulares es de 32 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
B
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 21
A
32. El área del manto del cono, se puede determinar, si:
(1) Se conoce la generatriz del cono.
(2) Se conoce la razón entre la generatriz y el radio.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información
8
33. Se puede determinar el área total de un paralelepipedo, si:
(1) Tiene su base cuadrada.
(2) Se conoce el área basal del peralelepípedo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
34. En el tubo de la figura 22, el segmento AC es tangente en A a la circunferencia interior.
Se puede determinar el volumen del tubo, si:
C
(1) La medida del segmento AC es 5 cm.
(2) El largo del tubo es 80 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
A
fig. 22
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
35. Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los cuerpos generados por los
triángulos ABC y DEF de la figura 23, al hacerlas girar en torno al eje indicado, si:
(1) ABC  DFE
(2) BC = EF = 2 cm
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 23
C
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
F
60°
A
9
60°
B
D
E
RESPUESTAS
1. C
6. D
11. C
16. B
21. B
26. B
31. C
2. C
7. A
12. E
17. D
22. A
27. C
32. C
3. D
8. D
13. E
18. A
23. C
28. D
33. E
4. C
9. B
14. D
19. C
24. B
29. B
34. C
5. A
10. D
15. E
20. E
25. E
30. D
35. D
10
SISTEMAS NUMÉRICOS
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
Se define m  n = (m – n)n y p  r = 3p + 6r, para m, n, p y r números enteros,
entonces, el valor de (1  2)  (-3) es
2.
La suma de tres números pares consecutivos es siempre
I)
II)
III)
3.
divisible por 3.
divisible por 6.
divisible por 12.
Se requiere repartir 176 globos entre 25 niños. ¿Cuál es la mínima cantidad de globos
que debemos agregar para que cada niño reciba la misma cantidad de globos, sin que
sobre ninguno?
1
4.
Al realizar en una calculadora la operación 70 : 9, ella da como resultado 7,777777778.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
La calculadora trunca a la novena cifra decimal.
El resultado expresado con tres cifras significativas queda aproximado por
exceso.
El resultado truncado a la décima queda aproximado por defecto.
III)
5.
6.
1

3
1
1+
1
4
=
Si n es un numero natural mayor que 3, ¿cuál es el orden creciente entre las siguientes
fracciones?
5
n  3
5
B=
n+2
5
C=
n
A=
7.
La expresión
21,6 · 102
0,4 · 10-3
escrita en notación científica es
2
8.
¿Cuál(es) de los siguientes número(s) representa(n) un numero real?
I)
5  3
II)
III)
9.
2 3  3 2
3
2 5  5
1
¿Qué condición debe cumplir x para que
x  3
sea un número real?
m
en los números reales, ¿en cuál(es) de las
n
siguientes operaciones el resultado es igual a 4?
10. Se define la operación m # n =
I)
2#
1
2
II)
8#2
III)
0#4
3
11. Simplifica las siguientes expresiones:
a) - 25 + -4  3 -16 + 2 -49 
b)
169
i12 + i15 + i46 + i33 =
12. ¿Qué valor debe tomar x para que el producto de (1 – 2i)(x – 5i) sea un complejo
imaginario puro?
13. Para cada uno de los siguientes números complejos, determinar su conjugado y su
módulo:
a) 3 + 4i
b) 5 – 12i
c) –7 + i
4
14. Determinar el recíproco de los siguientes números complejos:
a) 2 + 3i
b) -i
c) -1 – 2i
15.
3i
=
2  3i
5
EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
Se define a  b = ab + b y a # b = 2a – 4b, para a y b números enteros, el valor de
(2  5) # (-2)
A)
B)
C)
D)
E)
82
66
60
38
22
Fuente: Demre 2007
2.
La suma de tres números impares consecutivos es siempre
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Divisible por 3.
Divisible por 6.
Divisible por 9.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Fuente: Demre 2009
3.
En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados.
¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño
invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
A) 11
B) 20
C) 21
D) 0
E)
7
Fuente: Demre 2006
6
4.
Al realizar la operación 20 : 3 en una calculadora, ella da como resultado 6,666666667.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
La calculadora redondea a la novena cifra decimal.
La calculadora trunca a la novena cifra decimal.
20
es un número decimal periódico.
3
I
II
III
I y III
II y III
Fuente: Demre Modelo Proceso 2015
1
5.
1
1+
1+
A)
B)
C)
D)
E)
=
1
1+1
5
2
2
5
1
3
5
1
2
Fuente: Demre 2009
6.
Si a es un numero natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta entre las
3
3
3
y r=
?
fracciones p = , t =
a
a  1
a+1
A)
B)
C)
D)
E)
p<t<r
r<p<t
t<r<p
r<t<p
p<r<t
Fuente: Demre 2007
7
7.
La notación científica de un número se expresa como a · 10n, donde 1  a < 10 y n es entero.
6,25 · 10-6
Luego, la expresión
2,5 · 103
escrita en notación científica es
A) 25 · 10-10
B) 2,5 · 10-11
C) 2,5 · 10-10
D) 2,5 · 10-9
0,25 · 10-8
E)
8.
¿Cuál(es) de las siguientes es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
9.
11 < 2 3 < 4
3 2 < 19 < 2 5
2 2 <
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
¿Cuál(es) de los siguiente(s) numero(s) representa(n) un numero real?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
10.
7 <3
2 
5
3
-7
0
4
Solo I
Solo II
Solo II y III
I, II y III
Ninguno de ellas
Si z1 = 3 – 4i y z2 = –2 + 5i, entonces z1 – z2 =
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
1
5
5
–i
+i
– 9i
+i
– 9i
8
11. El valor de (i38 – i13)2 es
A) i
B) -i
C) 2i
D) -2i
E) 2 + 2i
12.
Si z1 = 7 – 5i y z2 = -11 – 2i, entonces
z1 + z2
=
A) -1
B) -5
C) 5
D) 7
E)
65
13. Si n es un número entero positivo, entonces se puede determinar que n es divisible por
2, si se sabe que:
(1) 2n es par.
(2) 3n es par.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Fuente: Demre 2012
14. Se puede determinar el valor de
x
, con x e y enteros positivos, si:
y
(1) y es la cuarta parte de x.
(2) y es igual a 0,25.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
15. La siguiente expresión 1 corresponde a un número real, si:
x
(1) x es un número entero.
(2) x es un número entero no negativo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Fuente: Demre 2012
10
RESPUESTAS
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
-15
2.
I y II
3.
24
4.
II y III
5.
-
6.
B<C<A
7.
5,4 · 106
8.
Solo III
9.
x>3
10. I y II
7
15
11. a) -18 + 4i
b) 0
12. x = 10
13. a) conjugado: 3 – 4i;
b) conjugado: 5 + 12i;
c) conjugado: -7 – i;
2

13
b) i
1
c) - +
5
14. a)
15.
módulo: 5
módulo: 13
módulo: 5 2
3
i
13
2
i
5
3
11
+
i
13
13
EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. A
4. D
7. D
10. E
13. B
2. A
5. D
8. C
11. C
14. A
3. A
6. B
9. C
12. C
15. E
11
ÁLGEBRA, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PLANTEAMIENTOS
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
Si al doble de (a + b)2 se le resta el doble de a2 – b2, se obtiene
2.
Si se sabe que p3 + q3 = 10 y p + q = 5, entonces p2 – pq + q2 es
3.
Se define a  b = 2a – b y a  b = ab en los números reales. Si a = 3 y b = 4,
entonces (a  b)  b es igual a
4.
x
y  z
Si x = -2, y = -3 y z = -1, entonces 
 es igual a
 x 
5.
x+y
x  y

x
y
, con x  0 e y  0 es
El valor de la expresión
x  y
x+y

y
x
5.
Si p2 + pq = 12 y p + 7 = 5, entonces el valor de q es
7.
Si un número excede a su tercera parte en lo mismo que su quinta parte excede al
7
, entonces ¿cuál es el doble del número?
opuesto de
15
8.
La suma de tres números impares consecutivos es 1.502.401, entonces ¿cuál es la
diferencia entre el menor y el mayor?
9.
El valor de x en la ecuación
10.
1
1
1
1
con x, p y q distintos de cero, entonces x es igual a

=
+
p
x
x
q
a2
bx  2a + b
=
es
b
x  1
2
11. Sea n un número de dos cifras, donde la cifra de las unidades es x y ésta es 5 unidades
mayor que la cifra de las decenas. ¿Cuál es el sucesor de n?
12. Con una cuerda de 44 cm se forma un rectángulo de tal forma que el largo es igual al
doble del ancho, aumentado en una unidad. ¿Cuál es el largo del rectángulo?
13. De un curso de 30 alumnos, la tercera parte son mujeres, y de éstas, la mitad aprobó
la asignatura de matemática. Si todos los hombres menos dos aprobaron matemática,
¿cuántos alumnos del curso reprobaron?
14. Una herencia de $ 1.058.000 fue repartida entre tres hermanos de diferentes edades,
de modo que el hermano mayor recibe el doble de lo que recibe el hermano del medio,
aumentado en $ 2.000 y este último recibe el doble de lo que recibe el hermano menor,
aumentado en $ 2.000. ¿Cuando recibió el hermano menor?
15. Dos vehículos, distantes entre si 40 km, viajan en dirección a una misma ciudad, que
se encuentra a 400 km del más lejano. Si el vehículo más cercano a la ciudad viaja con
km
y el otro vehículo viaja con una velocidad
una velocidad constante de 90
hr
km
constante de 120
, ¿a qué distancia se encontrarán ambos vehículos justo en el
hr
momento en que el más lento llega a la ciudad?
3
EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
Claudio tiene $ x, su hermana Viviana tiene $ 30 más que el doble de lo que tiene
Claudio. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa el dinero que tiene
Viviana, en pesos?
A) 30x + 2
B) 2x + 30
x
+ 30
C)
2
x
D)
+2
30
E) x + 60
(Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)
2.
Si t – 7 = 8, entonces la diferencia entre t 2 y 42, en ese orden, es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
-15
209
22
121
217
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)
3.
Si T = 2m – 6n, entonces, -2T es igual a
A) -4m + 12n
B) 4m – 12n
C) -4m – 12n
D) m – 3n
E) -m + 3n
(Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)
6.
Si x  0, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalentes a x – x-1?
x  1
x
B) 0
C) x2 – 1
A)
x2  1
x
E) 2x
D)
(Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)
4
5.
Si m y n pertenecen a los números enteros positivos, donde m < n, ¿cuál de las
m
siguientes expresiones es mayor que
?
n
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
m  n
n
m+n
n
n
n+1
I
II
III
I y II
II y III
(Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)
6.
Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a
A) -20
B) -10
C) -30
D) 10
E) 30
(Fuente DEMRE: P.S.U. 2009)
7.
Si 3,6x = 36 y 4,8 · 100 = w, entonces x · w es igual a
A)
48
480
B)
C) 4.800
D) 48.000
E) ninguno de los valores anteriores.
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)
8.
Un niño escogió un número, le sumó 12 y luego dividió el resultado por 2, obteniendo
su edad. Si su hermano menor tiene 12 años y la diferencia entre las edades de ambos
es 2 años, entonces el número que escogió el niño es
A)
B)
C)
D)
E)
8
10
12
14
16
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)
5
9.
Si la cuarta parte de la edad de una persona es 8 años, entonces la mitad de su edad
más un año es
A) 2 años
B) 5 años
C) 16 años
D) 17 años
E) 33 años
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2010)
10. Si x e y son dos números reales positivos, tal que x2 + y2 = 6xy con x mayor que y
¿cuál es el valor de la expresión
x+y
?
x  y
A) 2 2
2
B)
2 2
C)
D) 2
E) Ninguno de los anteriores
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)
11. ¿Cuál debe ser el valor de x para que la expresión
9
3
sea igual al inverso aditivo

2
x
de -3?
A)
B)
C)
D)
E)
2
6
15
6
15
1
18
25
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2010)
12. Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad
tendrá Juan en un año más?
A)
B)
C)
D)
E)
21
20
16
15
11
años
años
años
años
años
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2008)
6
13. Si al doble de 108 se le resta m se obtiene n y el triple de n es 123, ¿cuál es el valor
de m?
93
67
175
C)
2
-175
D)
E) 175
A)
B)
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2011)
14. Una fábrica de zapatos debe entregar un pedido de T pares de zapatos en 3 días. Si el
2
1
1
primer día entrega
de él, el segundo día
de lo que resta y el tercer día
del
5
3
4
resto, entonces lo que quedó sin entregar es
1
T
10
9
T
B)
10
3
T
C)
10
1
T
D)
5
1
E)
60
A)
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2011)
15. Se repartió una herencia entre cinco hermanos, dos tíos y una prima. Si cada hermano
recibió la séptima parte de la herencia y cada tío la mitad de lo que recibió cada uno de
los hermanos, ¿qué parte de la herencia recibió la prima?
2
7
5
B)
7
11
C)
14
1
D)
7
3
E)
14
A)
(Fuente: DEMRE P.S.U. 2011)
7
RESPUESTAS
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
4b(a + b)
2
16
1
-1
-4
2
-4
a  b
a+b
2pq
q  p
11x – 49
15 cm.
7
$ 150.000
80 kilómetros
EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. B
6. A
11. A
2. B
7. C
12. A
3. A
8. E
13. E
4. D
9. D
14. C
5. E
10. B
15. D
8
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
Si las notas de Esteban en una asignatura son: 3, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 3, 4 y de estas notas
se cambia un 6 por un 7, ¿cuál(es) de las siguientes medidas de tendencia central
cambia(n)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La moda.
La mediana.
La media aritmética (promedio).
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
Ninguna de ellas.
(Fuente: DEMRE 2012)
2.
El gráfico de la figura muestra los puntajes obtenidos por todos los integrantes de un
curso en una evaluación de Historia. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
N° de
alumnos
10
8
6
4
2
0
A)
B)
C)
D)
E)
15
20
25
30
35
Puntos
El curso tiene exactamente 10 alumnos.
Exactamente 10 alumnos obtuvieron menos de 30 puntos.
Más de la mitad del curso, obtuvo un puntaje sobre los 25 puntos.
16 alumnos corresponden al 50% de los integrantes del curso.
El promedio de los puntajes fue de 25 puntos.
(Fuente: DEMRE 2011)
1
3.
El gráfico circular de la figura muestra el resultado de una investigación sobre el color
del cabello de 1.200 personas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
360 personas tienen el cabello rubio.
Más del 50% de las personas tienen el cabello rubio o negro.
Hay tantas personas con cabello rubio como personas con el cabello
castaño.
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Castaño
30%
Negro
24%
Rubio
Colorín
16%
(Fuente: DEMRE 2011)
4.
A los 45 alumnos de un curso se les consulto acerca de cuál era su deporte favorito. La
tabla adjunta muestra los resultados obtenidos. Para estos datos, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La moda es 19.
La media aritmética (o promedio) es 11,25.
La mediana es 11.
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas
Deportes
Nº de
alumnos
Tenis
9
Básquetbol
13
Fútbol
19
Natación
4
(Fuente: DEMRE 2011)
2
5.
De acuerdo a los datos 18, 27, 34, 52, 54, 59, 61, 68, 78, 82, 85, 87, 91, 93, 100,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Primer cuartil: Q1 = 52
Tercer cuartil: Q3 = 87
El Rango es 82.
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I, II, III
Si en una tienda de ropa, se deben escoger dos trajes de seis diferentes, ¿de cuántas
maneras distintas se puede hacer esta selección?
A) 1
B) 15
C) 6
D) 12
E) 3
(Fuente: DEMRE 2012)
7.
En una fila de 7 sillas se sientan cuatro mujeres y tres hombres, ¿de cuántas maneras
se pueden sentar ordenadamente, si las mujeres deben estar juntas y los hombres
también?
A)
B)
C)
D)
E)
2
4∙3
3! ∙ 4! ∙ 2
3! ∙ 4!
4∙3∙2
(Fuente: DEMRE 2011)
3
8.
La tabla adjunta está incompleta y muestra el número de piezas de géneros de
distintos tipos A1 a A8, que hay en una tienda. Si se elige una de estas piezas, al azar,
¿cuál es la probabilidad de que ésta sea del tipo A6 o del tipo A8?
A)
B)
C)
D)
E)
0,2
0,3
0,34
0,65
No se puede determinar
Ai
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
4
4
0,08
16
7
5
7
Frecuencia
relativa
0,16
0,14
28
38
45
(Fuente: DEMRE 2012)
9.
Un dado cargado es lanzado 30 veces y el número seis se obtiene 8 veces. Encuentra el
número esperado para el número seis en 12 nuevos lanzamientos.
A)
B)
C)
D)
E)
0,8
1,6
1,8
3,0
3,2
10. En el experimento de lanzar tres monedas, se define una variable aleatoria como el
número de caras que se obtienen. Si p es la probabilidad de que la variable aleatoria
tome el valor 0 y q es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 2,
entonces (p + q) es
A)
B)
C)
D)
E)
3
8
3
4
1
2
2
3
ninguno de los valores anteriores.
(Fuente: DEMRE 2012)
4
11. En una habitación se encuentran 20 personas adultas y 12 adolescentes. De los adultos
14 son mujeres y de los adolescentes 4 son hombres. Si se escoge una persona al azar,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5
.
8
5
La probabilidad de que esta persona sea un hombre es
.
12
La probabilidad de que esta persona sea un adulto es
La probabilidad de que esta persona sea una adolescente es
2
.
3
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
(Fuente: DEMRE 2006)
12. El cuadro muestra la venta de dos tipos de vehículos en un negocio durante el mes de
Junio, separados por color. ¿Cuál es la probabilidad de que si se elige un vehículo al
azar, éste sea o bien una camioneta de cualquier color o bien cualquier vehículo de
color blanco?
A)
B)
C)
D)
E)
24
29
6
14
6
16
6
29
Ninguna de las probabilidades anteriores.
Auto
Camioneta
Blanco
8
6
14
Rojo
5
10
15
Total
13
16
29
(Fuente: DEMRE 2006)
13. Los sueldos de tres personas son distintos y su promedio (o media aritmética) es
$ 10.000. Se puede determinar el sueldo de estas personas, si se sabe que:
(1) La mediana es igual a la media aritmética.
(2) El sueldo menor es la mitad del sueldo mayor.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
(Fuente: DEMRE 2011)
5
14. Un grupo de amigos desea viajar al norte. Se puede determinar el número de
combinaciones en las cuales se pueden sentar dentro del vehículo, si se conoce:
(1) Cuántos tienen licencia para conducir.
(2) Cuántos asientos tiene el vehículo
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
15. Se tiene una caja con fichas del mismo tipo. Al extraer al azar una ficha de la caja, se
puede determinar la probabilidad de que ésta sea roja, si se conoce:
(1) La cantidad total de fichas que hay en la caja.
(2) La cantidad de colores de fichas que hay en la caja.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
(Fuente: DEMRE 2009)
6
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
La siguiente tabla muestra la talla de zapatilla de ballet de 73 bailarinas de un estudio
de danza en Francia. Calcule:
Talla
4
5
6
7
8
a) La media.
b) La varianza de la muestra.
c)
2.
La desviación estándar.
f
9
14
22
11
17
El gráfico de la figura 1 corresponde a la información recopilada de una encuesta hecha
en Santiago acerca de la cantidad de hermanos. De acuerdo a lo que se desprende de
él, complete la tabla y luego responda:
Frecuencia
100
fig. 1
80
60
40
20
10
0
Variable
1
2
Frecuencia
absoluta
3
Frecuencia
relativa
a) ¿Cuánta gente tiene la muestra?
b) ¿Cuál es la moda de la muestra?
c)
¿Cuál es la media aritmética?
d) ¿Cuál es la mediana?
7
4
5
Frecuencia
relativa %
Hermanos
Frecuencia
acumulada
3.
Con los datos suministrados en el ejercicio anterior, grafique:
a) Gráfico circular:
b) Gráfico poligonal:
f(%)
Hnos
4.
Dados los siguientes datos: p + q, p, q, p + 1, q + 1, con p y q naturales tal que
p > q > 1. Calcule:
a) Moda.
b) Mediana.
c)
5.
Media aritmética.
Si en el cuarto medio A de un colegio hay r alumnos y el promedio de la última prueba
de matemática fue t y en el cuarto B hay n alumnos y el promedio de la misma prueba
fue h, calcule:
a) La suma de todas las notas de la última prueba de matemática del cuarto A.
b) La suma de todas las notas de la última prueba de matemática del cuarto B.
c)
El promedio general de la prueba.
6.
La probabilidad de que Juan tome un bus al trabajo en cualquier mañana es 0,4. ¿Cuál
es la probabilidad que en una semana de trabajo de 5 días Juan tome un bus
solamente dos veces?
7.
¿De cuántas formas se deben escoger 4 personas de un total de 15 si
a) formarán un comité?
b) formarán una directiva?
8
8.
¿De cuántas maneras se pueden ordenar los 8 libros de la tabla adjunta en un estante
si
Química
Biología
Rojo
Azul
Verde
1
1
0
1
2
3
a) no deben mezclarse las asignaturas?
b) no deben mezclarse los colores?
9.
Cuatro alumnos y un profesor se tomarán una fotografía, ¿de cuántas maneras se
pueden sentar en una fila si
a) el profesor debe quedar al centro?
b) el profesor debe sentarse en uno de los extremos?
10. En una urna hay 5 fichas verdes y 8 azules. Si todas las fichas son del mismo tipo,
calcule la probabilidad de
a) sacar una ficha azul y a continuación una verde, sin devolución.
b) sacar una ficha azul y a continuación una verde, con devolución.
c)
sacar una ficha de cada color, sin devolución.
d) sacar una ficha de cada color, con devolución.
11. En el experimento de lanzar un dado dos veces, se define una variable aleatoria como
la suma de los números que se obtienen. Si a es la probabilidad de que la variable
aleatoria tome el valor 2, b es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor
3, y así sucesivamente hasta k que es la probabilidad de que la variable aleatoria tome
el valor 12, entonces
a) a + b = ______
b) f – g = ______
c)
k ∙ d = ______
d) h(c + e) = ______
9
12. En el colegio particular “NAMELA” hay una competencia de Natación, los tiempos en
minutos siguen una distribución Normal N(10,4). Si participan 80 competidores,
¿cuántos tardarán menos de 8 minutos en terminar la competencia?
13. En un closet hay 14 prendas entre pantalones y blusas, todas ellas son de color rojo,
negro y gris. Si la probabilidad de que una prenda elegida al azar sea un pantalón rojo
1
1
3
y que sea pantalón es , complete la siguiente tabla
es , que sea negra es
7
2
7
Rojo
Pantalón
Blusa
Total
Negro
Gris
Total
3
1
3
2
son rubias y de los
7
hombres, 9 no son rubios. Si se escoge una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que esta persona sea
14. En una sala hay 14 mujeres y 16 hombres. De las mujeres,
a) hombre?
b) mujer y de pelo oscuro?
c)
mujer o de pelo oscuro?
15. Si en una caja hay sólo fichas rojas y negras y el triple de fichas rojas que de negras.
Si la probabilidad de sacar al azar una ficha y que ésta sea negra es 0,25, entonces
¿cuántas fichas hay como mínimo en la caja?
10
RESPUESTAS
EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. B
6. B
11. A
2. C
7. C
12. A
3. E
8. B
13. C
4. E
9. E
14. C
5. E
10. C
15. E
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
a) 6,1
b) 1,49
c)
1,22
2.
Variable
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa %
Frecuencia
acumulada
1
2
3
4
5
60
80
40
10
10
0,3
0,4
0,2
0,05
0,05
30
40
20
5
5
60
140
180
190
200
a) 200 personas
b) 2
c)
2,15
d) 2
11
3.
a) Gráfico circular:
b) Gráfico poligonal
f(%)
2 hnos
40%
40
1 hno
30%
30
20
3 hnos
20%
10
5
4 hnos 5 hnos
5%
5%
1
4.
a) Amodal.
b) q + 1
3p + 3q + 2
c)
5
5.
a) r ∙ t
b) n ∙ h
r·t+n·h
c)
r +n
6.
5 
P(X = 2) =   (0,4)2(0,6)3
2
= 10 · 0,16 · 0,216
= 0,3456
7.
a) 1.365
b) 32.760
12
2
3
4
5
Hnos
8.
a) 2! ∙ 3! ∙ 5!
b) 3! ∙ 2! ∙ 5!
9.
a) 4!
b) 4! ∙ 2
10.
a)
b)
c)
d)
8
13
8
13
8
13
8
13
5
12
5
·
13
5
·
·2
12
5
·2
·
13
·
11.
a)
b)
c)
d)
1
36
6
36
1
36
4
36
12.  = 10
Z=
2
36
5

36
4
·
36
5 
 3
 
+
36 
 36
+
=4
8  10
= -0,5
4
Mirando la tabla 0,5 corresponde a 0,6915. Como es negativo debemos calcular
1 – 0,6915 = 0,3085. Por lo tanto, 30,85% tardará menos de 8 minutos.
13
13.
Pantalón
Blusa
Total
Rojo
Negro
Gris
Total
2
1
3
3
4
7
1
3
4
6
8
14
14.
a)
b)
c)
16
30
10
30
21
30
15. 4 fichas.
14
TRIÁNGULO, CONGRUENCIA, POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 1, CD es altura y CE es transversal de
gravedad. Si BAC = 65°, determine la medida del ángulo DCE
C
A
2.
fig. 1
D
E
B
En el ABC de la figura 2, CD es altura, ED es transversal de gravedad del BCD y
DCA = 2DEC. Entonces, el valor de  +  es
C

fig. 2
E

A
3.
10º
D
B
En la figura 3, el PQR  STR. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
siempre verdadera(s)?
P
20º
I)
II)
III)
PQ // SR
x + y = 160º
PR  RT
R
T
y
x
fig. 3
Q
S
4.
En la figura 4, ABC  ECD, entonces la medida del DEC es
E
B
C
D
fig. 4
A
5.
En el triángulo ABC de la figura 5, ED y EF son medianas. Si BED = 50° y
CFE = 70°, entonces la medida del ángulo DEF es
C
fig. 5
F
E
A
6.
D
B
Si el triángulo ABC la figura 6 es equilátero y ABD  CAE, entonces EFB mide
C
fig. 6
E
D
F
A
B
2
7.
En el deltoide ABCD de la figura 7 AB  AD . A, C, E son puntos colineales y
BCE = 160°. Determine la medida del ángulo CDB
A
fig. 7
D
B
C
E
8.
En el romboide ABCD de la figura 8, AC es diagonal y F pertenece al segmento AC, CE
es bisectriz del ángulo BCD y E pertenece al segmento AB. Si DF  AC , ACE = 5° y
ABC = 130°, entonces la medida del ángulo ADF es
D
C
F
fig. 8
A
9.
E
B
En el rombo ABCD de la figura 9, el punto E está sobre la diagonal AC de tal manera
que DE  CE . Si DAC = 15°, determine la medida del ángulo DEC
D
C
E
fig. 9
A
B
3
10. En el rombo ABCD de la figura 10, ABE  CBF. Si FEB = 40°, entonces la medida del
ángulo x es
D
F
C
E
fig. 10
x
B
A
11. El octágono ABCDEFGH de la figura 11 es regular. Los puntos I, A, B son colineales, si
AIH = 70°, entonces la medida del ángulo AHI es
F
E
fig. 11
G
D
H
C
I
A
B
12. En la circunferencia de centro O de la figura 12, el ángulo AOB es el cuádruplo del
ángulo BAO, entonces la medida del ángulo x es
O
fig. 12
x
A
B
13. En la circunferencia de centro O de la figura 13, BC diámetro y el ángulo OAB mide
64°, entonces la medida del ángulo BCA es
C
O
A
fig. 13
B
4
14. En la circunferencia de centro en O de la figura 14, OA , OD , OC son radios, con A y C
puntos de tangencia de las rectas BA y BC, respectivamente. Si AD  OC , entonces la
medida del ángulo CBO es
B
fig. 14
D
A
C
O
15. En la circunferencia de la figura 15, A, B, C y D son puntos sobre la circunferencia, si
DAC =  y AD es paralelo a BC . Entonces, el arco BC + arco DA en función de  es
D
fig. 15
C
A
B
5
EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
El triángulo ABC de la figura 1 es isósceles de base AB , AE y BD son transversales de
gravedad y F es su punto de intersección. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
C
AFD  BFE
CAE  EAB
AE : FE = 3 : 1
fig. 1
E
D
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
F
A
B
Si en la figura 2, DA  BA , CB  AB y  = . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
CB  DA
II)
BD  AC
III)
OA  DA
B
C

O
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
fig. 2

D
A
Fuente: (DEMRE 2009)
3.
En la figura 3, PTR y SVQ son congruentes. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre verdadera(s)?
S

TR // VQ
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
PT // SV

V
R
RQV  RPT
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
T

Q
fig. 3

P
Fuente: (DEMRE 2007)
6
4.
En la figura 4, los triángulos ABC y DEF son congruentes y AC  CB . ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
DGF  EGF
Los triángulos ABC y DEF pueden ser equiláteros.
AB
DG =
2
C
III)
A)
B)
C)
D)
E)
F

Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III

fig. 4

A

B
G
D
E
Fuente: (DEMRE 2012)
5.
En el deltoide ABCD de la figura 5, con AB  BC y AC y BD diagonales que se
intersectan en E. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
B
A)
B)
C)
D)
E)
6.
I)
II)
AEB  CEB
ADE  CDB
III)
AEB  AED
A
C
E
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
fig. 5
D
En la figura 6, ABCD es un rombo. Si DAB = 160º y BE es bisectriz del DBC,
entonces, la medida del ángulo DEB es
D
A)
B)
C)
D)
E)
165°
160°
155°
150°
140°
E
C
A
B
7
fig. 6
7.
En la figura 7, ABCDE es un pentágono regular, la medida del DFC es
C
A) 72°
B) 90°
C) 100°
D) 108°
E) 120°
B
F
D
fig. 7
A
E
Fuente: (DEMRE 2010)
8.
En la circunferencia de centro O de la figura 8, si  +  = 32°, entonces la medida del
ángulo  es
A)
B)
C)
D)
E)
16°
32°
48°
64°
Indeterminado.


fig. 8
O

Fuente: (DEMRE 2008)
9.
En el semicírculo de centro O figura 9, BAC = 20°, el valor del x es
A)
B)
C)
D)
E)
D
20°
35°
40°
55°
70°
C
fig. 9
x
A
B
O
Fuente: (DEMRE 2003)
10. En la figura 10, EB y FC son diámetros de la circunferencia de centro O y CF es
bisectriz del ángulo ECA. La medida del x es
E
fig. 10
A) 40°
B) 60°
C) 80°
D) 90°
E) 120°
20°
F
O
A
C
x
B
Fuente:
(DEMRE 2009)
x
8
11. En la figura 11, AB  BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE , entonces el
ángulo  mide
A)
B)
C)
D)
E)
A
10º
20º
40º
70º
80º
B

fig. 11
O
D
E
20°
C
Fuente: (DEMRE 2007)
12. En la figura 12, el triángulo ABC es isósceles de base AB . La circunferencia de centro C
y radio r intersecta a los lados del triángulo en D y E. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
C
ABD  ADC
ABE  BAD
ADC  BEC
E
A)
B)
C)
D)
E)
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
fig. 12
D
A
B
Fuente: (DEMRE 2008)
13. En la circunferencia de centro O de la figura 13, se puede calcular la medida del BEC,
si:
(1) arco DA + arco BC = 190º
(2) arco CD + arco AB = 170º
A)
B)
C)
D)
E)
D
C
E
fig. 13
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
9
O
B
14. En la figura 14, PQR es rectángulo en R. Se puede calcular la medida del x, si:
R
(1) S punto medio de PQ y PSR = 72º.
fig. 14
(2) 2 RPQ = 3 RQS
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) Por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
x
P
S
Q
15. En el cuadrilátero de la figura 15 se puede determinar que CAD  ACD, si:
(1) AB // CD y AD // BC
(2) DAC  BAC
A)
B)
C)
D)
E)
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C
fig. 15
A
10
B
RESPUESTAS
Página 1
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
40°
130°
Solo II
30°
70°
60°
70°
60°
150°
100°
65°
30°
26°
30°
360  4α
Página 6
CLAVES EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. D
6. A
11. C
2. C
7. D
12. D
3. D
8. B
13. D
4. E
9. B
14. D
5. C
10. B
15. C
11
ECUACIÓN DE LA RECTA, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Y ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
Dada la ecuación de la recta 3x + 7y – 21 = 0. Determine las coordenadas donde la
recta corta al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.
2.
Grafique las rectas
a) 3x + 2y + 6 = 0
b) 3x – 2y + 6 = 0
y
0
c)
y
x
3x + 2y – 6 = 0
3.
x
d) -3x + 2y = -6
y
0
0
y
x
0
x
Dada la recta de ecuación y = a(x + 4), determine en cada caso el valor del parámetro
a de modo que:
a) la recta pase por el punto (0, 1).
b) la recta pase por el punto (2, 3).
c) la recta pase por el punto (0, 0).
4.
Dadas la graficas adjuntas, determine las ecuaciones generales respectivas
y
y
2
2
0
3
x
y
2
0
-3
x
3
-3
x
0
-2
-2
5.
Grafique
a) 2x – 8 = 0
b) 3y + 12 = 0
d) Todo punto del
plano
de
la
forma (4, y)
y
y
y
0
0
0
0
Dado el sistema
a) x + y
7.
punto del
plano de la forma
(x, 5)
y
x
6.
c) Todo
x
2x + 5y = 16
5x + 2y = 19
x
x
, determine
b) x – y
Dado el sistema de ecuaciones
c) (x + y)(x – y)
2x + 3my = 2
3tx  2y = 12
, determine el valor de los parámetros
m y t para que la solución del sistema sea (3, -4).
2
d) x ∙ y
8.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones
ax + by = -c
dx  ey = f
, ¿cuál de las siguientes
proposiciones es verdadera?
I)
II)
III)
9.
Si a · e = d · b, entonces el sistema tiene solución única.
Si a · e = d · (-b) y b · f = e · c, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
Si -a · e = d · b y b · f = -e · c, entonces el sistema no tiene solución.
Dado el sistema de ecuaciones
mx + ny = m2 + nm
nx + my = n2 + mn
, determine
a) x + y
b) x – y
c) x ∙ y
10. Se tienen lápices, libros y cuadernos que en total son 32 unidades. Entonces, se puede
determinar el número de cuadernos, si:
(1) El total de unidades de lápices y libros son 24.
7
de los cuadernos.
(2) Los lápices son 10 y los libros equivalen a
4
11. Dados los puntos A (2, -8) y B (-7, 4), calcule los vectores r y d tales que r tenga
inicio en A y termine en B y d comience en B y tenga su fin en A. Analice cuál es la
diferencia principal entre los vectores obtenidos.
12. Dados los puntos A (1, -2, -3) y B (0, 4, 0.5). Hallar la ecuación vectorial de la recta
que pasa por el punto medio del segmento AB y con vector director
r (4, 1, -4).
3
13. Verifique que las ecuaciones
x  1
3  y
=
7
3
e
y  2
x  4
representan rectas
=
7
3
perpendiculares en el plano cartesiano.
14. Identifique para cada recta si son perpendiculares o paralelas
a) r(x, y) = (-1, 2) + t(2, -3) y m(x, y) = (2, -1) + (3, 2)
b) p(x, y) = (0, -1) + t(-2, 3) y n(x, y) = (-1, 0) + (-2, 3)
15. Hallar la ecuación vectorial de la recta en el espacio que pasa por el punto C (1, 0, -4) y
que tiene como vector director aquel que está anclado al origen y tiene como punto final
la mitad del segmento formado por las cabezas de los vectores directores de las rectas
x+4
y  2
=
= z + 1.
x = ( + 5, 4, 7 + 1) y
2
4
4
SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
La recta L de ecuación 6y + 3x = 2 intersecta al eje de las abscisas en el punto P como
muestra la figura 1. El valor de la abscisa del punto P es
y
1
3
3
2
3
1
3
2
3
A) B)
C)
D)
E)
L
fig. 1
P
x
Fuente: (DEMRE 2012)
2.
¿Cuál(es) de los siguientes gráficos podría(n) representar a una recta de ecuación
y = ax – 3?
I)
y
II)
y
III)
y
3
x
x
-3
A)
B)
C)
D)
E)
-3
x
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Ninguno de ellos.
Fuente: (DEMRE 2012)
3.
Sea (-2, 8) un punto que pertenece a la recta de ecuación y =
x  2
. El valor de m es
m
1
2
-3
0
1
2
3
A) B)
C)
D)
E)
Fuente: (DEMRE 2011)
5
4.
¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones se representan en el gráfico de la figura 2?
y
A)
B)
C)
D)
E)
2y + x = 4; 2y – x = 4
2y – x = 2; 2y + x =2
-2y – x = 2; -2y + x = 2
2y + x = 4; -2y + x = 4
y + 2x = 8; y – 2x = 8
fig. 2
2
-4
4
x
Fuente: (DEMRE 2010)
5.
Si P es el conjunto de todos los puntos del plano de la forma (3, y) y S es el conjunto
de todos los puntos del plano de la forma (x, 2), entonces el único punto común entre
los conjuntos P y S es
A)
B)
C)
D)
E)
(5,
(3,
(2,
(1,
(0,
1)
2)
3)
-1)
0)
Fuente: (DEMRE 2010)
6.
Con respecto a
x+y=3
x  y=1
, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(x + y)(x – y) = 3
2x = 4
2y = 2
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Fuente: (DEMRE 2012)
7.
En el sistema
3x  my = 9
nx + 4y = 11
, ¿qué valor debe tener m y n, respectivamente, para que
la solución del sistema sea x = -1 e y = 3?
A) -4 y 1
B) 4 y 1
C) 4 y -1
D) -4 y -1
E) -2 y -23
Fuente: (DEMRE 2011)
6
8.
En el sistema
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3x + y = 1
x + ay = b
. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
Si a = b = 1, entonces el sistema no tiene solución.
Si a = -1 y b = 1, entonces el sistema posee infinitas soluciones.
Si a = 1 y b = -1, entonces el sistema posee una única solución.
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
Fuente: (DEMRE 2010)
9.
Dado el sistema
x + y = 7a + 3b
x  y = 7a  3b
, el valor de y es
A) 0
B) 3b
C) 6b
D) 7a
E) 14a
Fuente: (DEMRE 2008)
10. Se tienen naranjas, tomates y papas que en conjunto pesan 3 kg. Se puede determinar
el peso de las papas, si se sabe que:
(1) Las naranjas y las papas, juntas pesan 2 kg.
(2) Los tomates y las papas, en conjunto pesan 1,750 kg.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Fuente: (DEMRE 2009)
11. Calcular la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A (1, 3, 0.5) y
B (7, 0, -0.5)
A)
B)
C)
D)
E)
r()
r()
r()
r()
r()
=
=
=
=
=





·
·
·
·
·
(6, -3, 0) + (1, 3, 0.5)
(6, -3, -1) + (1, 3, 0.5)
(6, -3, 1) + (1, 3, 0.5)
(-6, 3, -1) + (1, 3, 0.5)
(-6, -3, -1) + (7, 0, 0.5)
7
12. Dada la recta r() =  · (3, -4, 2) + (1, 3, -1), ¿cuál de los siguientes puntos pertenece
a la recta?
A)
B)
C)
D)
E)
(-4, -1, 1)
(-1, 3, 1)
(7, 5, 3)
(-5, 11, -5)
(-2, -7, -3)
13. ¿A qué recta pertenece el punto (0, -2, 6)?
A)
B)
C)
D)
E)
r()
r()
r()
r()
r()
=
=
=
=
=





·
·
·
·
·
(7,
(2,
(4,
(5,
(4,
4, 1) + (12, 6, 8)
-7, 0) + (2, 9, 6)
3, 1) + (-4, -5, 5)
2, 0) + (10, -6, 6)
7, 1) + (4, -7, 6)
14. ¿Cuál sería una ecuación
r(m) = m · (4, -1) + (8, -3)?
A)
B)
C)
D)
E)
continua
de
una
recta
x  1
y  2
=
4
-1
y  3
x
=
2
-4
x  1
y+3
=
-4
-1
y  4
x–7=
4
y  2
x–1=
-4
15. ¿A cuál de las siguientes rectas pertenece el punto (2, -5, 4)?
A)
B)
C)
D)
E)
r() =  · (7, 1, 4) + (-5, 6, 0)
r() =  · (2, 3, 5) + (3, -1, -3)
r(t) = t · (3, 1, 2) + (2, 5, 4)
r(m) = m · (0, 7, 4) + (2, 2, 8)
r(s) = s · (2, 6, 1) + (1, -1, 3)
8
paralela
con
la
recta
RESPUESTAS PARTE DESARROLLO
1.
(0, 3);
(7, 0)
2.
a)
b)
y
c)
y
x
d) y
3
3
-2
y
2
-2
x
-3
2
x
x
-3
4.
3.
a) 2x + 3y – 6 = 0;
b) 2x + 3y – 6 = 0;
c) 2x – 3y + 6 = 0;
1
a)
4
1
b)
2
c) 0
5.
y
a)
b)
y
c)
y
2x – 3y – 6 =0
2x – 3y + 6 = 0
2x + 3y + 6 = 0
d)
y
5
x
4
-4
x
x
4
6.
a)
b)
c)
d)
5
1
5
6
1
;
3
4
9
7.
m=
8.
Solo II) es verdadera
t=
9.
a) x + y = m + n
b) x – y = m + n
c) x ∙ y = 0
10. El número de cuadernos es 24. Cada una por sí sola.
11.
r = (-9, 12)
d = (9, -12)
Se puede observar que son vectores con la misma dirección, pero opuestos entre ellos.
12. r() =  · (4, 1, -4) + (0.5, 1, -1.25)
9
x
13.
d1  d2 = (7, -3) · (3, 7) = (7 · 3, -3 · 7) = 21 – 21 = 0
14. a) 
b) //
15.
3

x =   , 4, 4  + (1, 0, -4)
2

RESPUESTAS SELECCIÓN MULTIPLE
1. C
4. A
7. A
10. C
13. C
2. D
3. A
5. B
6. E
8. A
9. B
11. B
12. D
14. A
15. D
10
GEOMETRÍA PROPORCIONAL
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
En la figura 1 AD : CD : DB = 7 : 2 : 3. Si AC = 15 cm, ¿cuál es la medida de CD ?
A
2.
D
C
fig. 1
B
En el DEF de la figura 2, GH // FE y DG : GF = 1 : 4. ¿Cuál es la medida de FE ?
F
G
4y + 22
fig. 2
3y
D
3.
H
E
Un niño se encuentra de pie a 1 metro de la base de un semáforo, ambos ubicados en
forma paralela (fig. 3). Si el niño proyecta una sombra de 50 cm y la altura del
semáforo es 4,5 m, ¿cuál es la altura del niño?
fig. 3
1m
1
50 cm
4.
En la figura 4, las rectas S1 y S2 intersectan a las rectas paralelas L1, L2 y L3. Si
AC = 45 cm, BC = 30 cm y EF = 20 cm, ¿cuánto mide DE ?
S1
A
L1
L2
D
fig. 4
B
E
C
L3
5.
S2
F
Las rectas L1 y L2 de la figura 5, son paralelas. Determinar el valor de x.
L1
(x – 2) cm
(x + 3) cm
6.
fig. 5
18 cm
24 cm
L2
En la figura 6, L1 // L2 y A, E y B son colineales. Si AE : EB = 3 : 11 y DC = 70 cm.
Entonces, ¿cuánto mide EC ?
D
E
A
B
fig. 6
L1
7.
En la figura 7, L1 // L2. Entonces,
C
L2
Área (ECD)
=
Área (ABD)
D
3
x C
B
x+4
fig. 7
E
5
A
L1
L2
2
8.
En el RQP de la figura 8, RQ  QP . Si QP = 6 cm y RH = 5 cm, ¿cuál es la medida del
segmento HP?
R
fig. 8
H
P
Q
9.
En el FDE de la figura 9, FD = 12 y DE = 5. Determinar la medida de DH .
E
H
fig. 9
D
F
10. En el THR de la figura 10, TH  HR y HM es altura. Si TM = t cm, MR = (t + 3) cm y
HM = 28 cm. ¿Cuál es la medida de RM ?
T
M
fig. 10
R
H
11. En la circunferencia de la figura 11, DF = 6 cm, FB = 8 cm y FA = 3 · FC. ¿Cuál es la
medida de AC ?
B
C
D
fig. 11
F
A
3
12. En la circunferencia de la figura 12, RE y RD son secantes. Si RG = 4 cm, GD = 5 cm
y FE = 9 cm. Entonces, ¿cuál es la medida de RE ?
E
F
fig. 12
R
G
D
13. En la figura 13, PT es tangente y PA es secante de la circunferencia. Si PB = PT – 3 y
BA = PB + 6, entonces ¿cuánto mide PA ?
A
B
fig. 13
P
T
14. Determinar el perímetro del polígono ABCDE de la figura 14.
A
D
E
9
6
3
B
fig. 14
C
12
2
15. En la circunferencia de centro O y radio 6 cm. de la figura 15, el ACB = 60º.
Determinar
C
a) Área achurada.
fig. 15
60º
b) Longitud del arco BCA.
O
A
4
B
EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
En la figura 1 el punto Q divide al segmento PR en la razón 2 : 5. Si Q R mide 20,
entonces ¿cuánto mide PR ?
A)
B)
C)
D)
E)
P
8
28
50
70
Ninguno de los valores anteriores.
Q
R
fig. 1
Fuente: Demre 44, 2007
2.
¿En cuál(es) de las figuras dadas en I), en II) y en III) se cumple siempre la
semejanza de los triángulos indicados?
I)
A
II)
III)
D
E
C
B
C
B
D
E
AD y BE se intersectan
en C y AB // DE
ABC  DEC
A)
B)
C)
D)
E)
A
A
C
D
B
AB  CD
ABC  ACD
AB // ED , A está en
EC y B está en CD
ABC  EDC
Solo en I
Solo en II
Solo en III
Solo en I y en II
En I, en II y en III
Fuente: Demre 49, 2013
3.
¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?
I)
II)
III)
25º
70º
110º
25º
135º
70º
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Ninguno de ellos son semejantes entre sí.
Fuente: Demre 48, 2010
5
4.
En la figura 2, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEC. Si CM = 5, AB = 21
y CN = 15, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) CN : AB = CM : ED
35
II) Área EDC =
2
Área EDC
1
III)

9
Área ABC
E
M D
C
fig. 2
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
A
N
B
Fuente: Demre 50, 2009
5.
¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12?
I)
8
1
10
x
L1
8
2
L2
L1 // L2
A)
B)
C)
D)
E)
II)
x
15
L1
III)
10
L1
8
15
L2
L1 // L2
L2
x
L3
L1 // L2 // L3
Solo en I
Solo en II
Solo en III
Solo en II y en III
En I, en II y en III
Fuente, Demre 49, 2007
6.
En la figura 3, AB = 6 cm, AE = 10 cm y BC = 24 cm. La medida de AD es
B
A) 20 cm
B) 30 cm
110
cm
C)
3
D)
114
cm
5
E)
80
cm
3
fig. 3
A
E
D
C
Fuente, Demre 41, Modelo 2014
6
7.
En la figura 4, L // L’ y los puntos B,C,D,E,G y F son las intersecciones de las rectas AC,
AE y AF con las rectas L y L’, respectivamente. ¿Cuál de las siguientes igualdades es
siempre verdadera?
AB
BD
AB
B)
AD
BD
C)
DG
AB
D)
BD
AD
E)
AG
A)
=
=
=
=
=
A
AC
CF
AC
AF
CE
EF
AG
GD
GF
DE
L’
G
B
L
D
C
fig. 4
F
E
Fuente, Demre 48, 2013
8.
¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que c2 = a · b?
I)
c
A)
B)
C)
D)
E)
II)
a
III)
a
b
c
a
c
b
b
Solo en I
Solo en II
Solo en I y en II
Solo en I y en III
En I, en II y en III
Fuente: Demre 54, 2012
9.
En el ABC de la figura 5, E es punto medio de AB y D está en el segmento AE. ¿Cuál
es la medida del segmento DE?
A
A)
B)
C)
D)
E)
1,4
0,6
2,5
3,6
4,4
cm
cm
cm
cm
cm
D E
6 cm
B
8 cm
fig. 5
C
Fuente: Demre 53, 2013
7
10. En la figura 6, el segmento BC mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de
centro O. Si O está en el segmento AB que mide 25 cm y A pertenece a la
circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro?
C
A) 8
B) 16
C) 9
D) 16,6
E) 24,6
fig. 6
A
B
O
Fuente: Demre 48, 2011
11. En la circunferencia de centro O de la figura 7, AB es un diámetro, CD  AB ,
DB = 3 cm y CD = 4 cm. El radio de la circunferencia es
A) 4 cm
B) 5 cm
25
C)
cm
6
19
D)
cm
6
E) Indeterminable con los datos dados
C
fig. 7
A
O D
B
Fuente: Demre 45, 2010
12. Si en la figura 8, los triángulos ABC y EAD son congruentes, entonces el perímetro del
polígono ABCED es
D
A)
B)
C)
D)
E)
32
40
42
48
56
cm
cm
cm
cm
cm
C
E
6 cm
6 cm
3
A
8 cm
fig. 8
B
Fuente: Demre 39, 2011
8
13. En la figura 9, PT es tangente en T a la circunferencia de centro O. PQ pasa por el
centro de la circunferencia y la intersecta en R y en Q, respectivamente. Se puede
calcular el valor del radio si:
Q
(1) Se conoce la medida de PT .
(2) Se conoce la medida de RP .
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
T
O
fig. 9
R
P
Fuente: Demre 68, 2007
14. En la figura 10, se puede determinar que el ABC es semejante al PQR, si:
(1)  =  y PQ = AB
AB
BC
AC
(2)
=
=
PQ
QR
PR
A)
B)
C)
D)
E)
R
C

(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig.10

P
Q
A
B
Fuente: Demre 74, 2012
15.
En el triángulo ACD de la figura 11, se puede determinar la medida del segmento BC,
si:
D
(1) AB = 3 cm
(2) Se conoce la medida del segmento DC.
fig. 11
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
A
B
Fuente: Demre 78, Modelo 2014
9
C
RESPUESTAS
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
6 cm
2.
30
3.
1,5 m
4.
10 cm
5.
17
6.
55 cm
7.
4
9
8.
4 cm
9.
60
13
10. 7 cm
11. 16
12. 12
13. 12
14. 39 + 3 5
15. a) 12 cm2
b) 8 cm
CLAVES EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. B
6. B
11. C
2. D
7. C
12. A
3. A
8. C
13. C
4. E
9. A
14. B
5. D
10. B
15. C
10
FUNCIONES
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1.
Una empresa paga a sus vendedores un sueldo base mensual de $ 350.000 más
$ 3.000 por artículo vendido. Si un vendedor vende x artículos en un mes, Determinar
una función S(x) que modele el pago, en pesos, de dicha empresa.
2.
Dadas las funciones f(x) = x2, g(x) =
1 2
x
5
y h(x) = 5x2. Si x =
1
1
g  y h  de mayor a menor.
5
 
5
3.
Si f(x) =
I)
II)
III)
4  4x + x2
, entonces es correcto afirmar que
x  2
f(3) – f(-5) = -6
2f(-1) + 5f(1) = -11
f(2) = 0
1
, ordenar f  1  ,
5
5
4.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA, con
f(x) = (x – 3)2, cuando x recorre todos los números reales?
I)
II)
III)
IV)
5.
respecto
a
la
función
La función toma un valor mínimo.
Las ramas de la parábola asociada a la función se abren hacia abajo.
El eje de simetría de la gráfica de la función es la recta de ecuación y = 3.
La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,9).
Si f(x) = 3x2, entonces
I)
3 · f(3x) =
II)
2[f(2x)]2 =
6.
Si f(x – 1) = x2 – (a + 1)x + a, entonces f(a) es
7.
Si f(x) = x3 + 24 + x2 , entonces f(-2) – f(1) es igual a
2
8.
Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a
9.
Si f(x) = 2x3, g(x) = x4 y h(x) = 4x2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
f(x)  g(x)  h(x) para todo valor de x distinto de cero.
f(x)  g(x) para todo 0 < x < 1.
g(x)  h(x) para todo x > 2.
10. Gráfica en el plano cartesiano la función f(x) = 3 –
x  2 , con x ≥ 2.
11. La figura 1, muestra dos funciones simétricas respecto al eje y. Es correcto afirmar que
y
g(x)
f(x)
fig. 1
d
I)
II)
III)
b
a
a+b=0
f(c) = g(d) =0
f(c) + g(d) = f(a) + g(b)
3
c
x
12. Una persona deposita cierto capital C en una entidad bancaria a régimen de interés
compuesto. Al cabo de tres meses retira todo su dinero. Si la tasa de interés es del 1%
mensual. ¿Cuál es el capital final?
13. Para organizar su fiesta, un joven dispone de un presupuesto de $ 30.000 más $ 7.000
por cada invitado. ¿Cuál es la función que representa el presupuesto para una fiesta
con p invitados?
14. En la función f(x) = ax3 + b, se sabe que f(0) = -1 y f(1) = 1, entonces a · b es
igual a
15. Si f(x) = x2, entonces f(p +q) – f(p) +f(q) es igual a
4
EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
Un técnico cobra un cargo fijo de $ 17.000 más $ 1.500 por hora de trabajo. ¿Cuál de
las siguientes funciones modela el cobro, en pesos, para un trabajo de n horas de este
técnico?
A)
B)
C)
D)
E)
g(n) = 17.000n + 1.500
f(n) = 17.000 + 1.500n
h(n) = 17.500n
p(n) = 17.000n · 1.500
q(n) = n + 18.500
(Fuente: DEMRE, Prueba modelo 2014)
2.
Sean f y g funciones, tales que, g(x) = 1, para x ≥ 2; g(x) = -1, para x < 2 y
f(x) = x , para x ≥ 0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
f(g(x)) solo está definida para x ≥ 2.
g(f(x)) está definida para todos los números reales.
f(g(4)) = g(f(4))
I
II
III
I y III
I, II y III
(Fuente: DEMRE, Prueba modelo 2014)
3.
Si f(x) =
x2 + 5 +
x2 , entonces f(-2) es igual a
A) 5
B) 1
C) -1
D) 3
E) ninguno de los valores anteriores.
(Fuente: DEMRE, Prueba modelo 2014)
5
4.
Si f(x) = x2 – 3x – 4 y g(x) = x – 4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
f(0) · g(0) = 0
f(x) = g(x) · (x + 1)
g(3) + f(1) = -7
I
II
I y III
II y III
I, II y III
(Fuente: DEMRE, Admisión 2010)
5.
Si f(x) =
1  2x  x2
, entonces el valor de f(-3) es
x+1
A) 1
B) -1
C) 7
D) 8
E) -8
(Fuente: DEMRE, Admisión 2014)
6.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA, con
f(x) = -(x2 – 4), cuando x recorre todos los números reales?
respecto
a
la
función
A)
B)
C)
D)
La función toma un valor máximo.
Las ramas de la parábola asociada a la función se abren hacia abajo.
La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, - 4).
La gráfica de la función intersecta al eje de las abscisas en los puntos (2, 0)
y (-2, 0).
E) El eje de simetría de la gráfica de la función es el eje y.
(Fuente: DEMRE, Admisión 2014)
6
7.
Si f(x) = x2 – x + 3, entonces f(1 – x) es igual a
A) -x2 + x
B) x2 – x + 3
C) x2 + x + 3
D) -x2 + x + 3
E) -x2 – 3x + 3
(Fuente: DEMRE, Admisión 2014)
8.
Si f(x) = log2 x, entonces f(16) – f(8) es
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
4
7
(Fuente: DEMRE, Admisión 2010)
9.
Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
f(x) ≠ g(x), para todo número real x distinto de cero.
f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero.
f(x) < g(x) < h(x), para todo número real distinto de cero.
I
II
III
I y II
II y III
(Fuente: DEMRE, Admisión 2009)
7
10. Sean las funciones reales f(x) = x2, g(x) = x3 y h(x) = x4,
desigualdades es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
f(x) ≤ g(x)
f(x) ≤ g(x)
f(x) < g(x)
g(x) < f(x)
f(x) < g(x)
≤
≤
<
<
<
h(x),
h(x),
h(x),
h(x),
h(x),
para
para
para
para
para
todo
todo
todo
todo
todo
número
número
número
número
número
¿cuál de las siguientes
real.
real distinto de 0 y de 1.
real positivo distinto de 1.
real negativo distinto de -1.
real mayor que 1.
(Fuente: DEMRE, Admisión 2013)
11. En la figura 1 se muestran dos parábolas de tal manera que una es la simétrica de la
otra con respecto al eje x. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
y
p+c=0
m>0 y a<0
g(-1) = -f(-1)
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
g(x) = ax2 + bx + c
x
fig. 1
f(x) = mx2 + tx + p
(Fuente: DEMRE, Admisión 2013)
12. En una red social mundial de Internet, por cada semana que pasa, la cantidad de
personas asociadas a esa red se duplica. Si inicialmente había doscientas personas en
esa red, ¿cuál de las siguientes funciones describe la cantidad de personas asociadas a
esa red, al final de t semanas?
A)
B)
C)
D)
E)
f(t) =
g(t) =
h(t) =
m(t) =
p(t) =
200(t + 1)
200 · 2t
100 · 2t
200t
200t + 1
(Fuente: DEMRE, Admisión 2014)
8
13. El costo total para fabricar sopaipillas incluye un costo fijo de $ 5.000 más un costo de
$ 80 por unidad. ¿Cuál de las siguientes funciones expresa el costo total (C), en pesos,
para fabricar x sopaipillas?
A)
B)
C)
D)
E)
C
C
C
C
C
=
=
=
=
=
5.000 · 80x
5.000 + 80x
5.000x + 80
(5.000 + x) · 80
(5.000 + 80) · x
(Fuente: DEMRE, Admisión 2012)
14. La tabla adjunta muestra el ahorro que posee Alicia, después de gastar semanalmente
la misma cantidad de dinero. ¿Cuál gráfico representa mejor esta situación?
Semana
Ahorro en $
A)
0
20.000
1
18.000
B)
Ahorro
5
2
16.000
C)
Ahorro
5
Semana
D)
3
14.000
5
5
10.000
Ahorro
5
Semana
E)
Ahorro
4
12.000
Semana
Semana
Ahorro
5
Semana
(Fuente: DEMRE, Admisión 2011)
15. Sea f una función real de la forma f(x) = a · xn. Se puede determinar los valores de a y
n, si se sabe que:
(1) f(1) = 1
(2) f(2) = 8
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
(Fuente: DEMRE, Admisión 2014)
9
RESPUESTAS
Página 1
1.
S(x) = 350.000 + 3.000x
2.
1
1
1
h  > f   > g 
5
5
5
3.
4.
5.
Solo II
Solo II y III
I) 81x2
II) 288x4
a
0
x2 + 5x
Solo III
6.
7.
8.
9.
y
3
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Solo I
C · (1,01)3
f(p) = 30.000 + 7.000p
-2
2q(p + q)
2
Página 5
SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. B
6. C
11. C
2. D
7. B
12. B
3. A
8. A
13. B
4. D
9. B
14. D
5. A
10. E
15. C
10
11
x
POTENCIAS - RAICES - LOGARITMOS
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1)
3x + 3 + 3x + 1
3x (1x + 3 + 1x + 1 )
=
2)
Verificar si N = 815 – 813 es divisible por 7, 8 y 9
3)
Si 9x – 1 = 27 ·
4)
Obtener dominio, recorrido y gráfica de la función f(x) = 2x + 1
3x , entonces x =
5)
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
La octava parte de 410 equivale a 217
0
II)
III)
IV)
6)
1
1
1
2  3  6 = 1


Si m < n, entonces (m – n)3 > 0
9x + 9x + 9x es equivalente a 32x + 1
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) números reales?
I)
5
-32
II)
4
-81
III)
4  2 5
7)
El resultado de 4 20 + 6 27 – 5 12 – 2 80 es
8)
Racionalizar cada expresión
I)
II)
III)
9)
6
2 3
3
5
4 x3
12
5  1
Obtener dominio, recorrido y gráfica de la función f(x) = 2 –
10) El resultado de la expresión
(1 –
2)2 –
2
(2 2 – 3)2 +
1  x
(3 2  4)2 es
11) Aplicando propiedades,
-2
 a3 

I) Desarrollar log 
b 
 
=
II) Expresar en un solo logaritmo
1
3
1
3
log(a) + log(b) – log(c) – log(d) =
2
2
2
2
12) Si log81 27 = x, entonces x =
13) El valor de la expresión log0,25 32 es
14) Obtener dominio, recorrido y gráfica de la función f(x) = log2 (x – 3)
15) Si 10.0002 log16 (x 3)  100 , entonces x=
3
EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
Si 22x = 8. ¿Cuántas veces x es igual a 9?
A) 6
9
B)
2
C) 3
3
D)
2
E) Ninguna de las anteriores
(Fuente: DEMRE 2004, Pregunta Nº 34)
2.
m3(x
 2)
m2(x
A)
B)
C)
D)
E)
 mx + 4
 5)
=
m2x + 7
m2x – 12
m2x + 8
m2x – 3
m6x + 8
(Fuente: DEMRE 2011, Pregunta Nº 20)
3.
Si 3x + 3-x = P, entonces 9x + 9-x es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
P2
P2 + 2
P2 – 2
P2 – 1
3P
(Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 21)
4
4.
¿En cuál(es) de las siguientes expresiones el valor de x es -3?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
1
64
43 · 4 x = 1
(4-1)x = 64
4x =
Solo en I
Solo en II
Solo en III
Solo en I y en II
En I, en II y en III
(Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 29)
5.
Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5.000 de
ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es
A)
B)
C)
D)
E)
5.000 ·
5.000 ·
5.000 ·
5.000 ·
5.000 ·
33 bacterias
34 bacterias
39 bacterias
360 bacterias
3180 bacterias
(Fuente: DEMRE 2006, Pregunta Nº 35)
6.
x  3?
¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor al gráfico de f(x) =
A)
y
B)
y
y
C)
3
3
x
x
D)
E)
y
- 3
3
x
y
x
3
3
x
(Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 33)
5
7.
Para todo m > 0 la expresión
3
m4 
3
m2 
m es igual a
A) m
B)
8
m7
m5
C)
D)
5
m7
E)
6
m7
(Fuente: DEMRE 2010, Pregunta Nº 24)
8.
0,4 
x
3
2
3
x
=
A) 0,2 · x
1
B)
2
 x3
3
1
C)
4
3
x
10
D) 0,2  x
2
E)
 x
3
1
3
(Fuente: DEMRE 2011, Pregunta Nº 25)
9.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
( 3 + 4)2 = 19
5 +1 
5  1= 2
2 50 + 4 18
= 11
8
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
(Fuente: DEMRE 2014, Pregunta Nº 15)
6
10.
6
3
=

2+ 2
2  2
A) 0
B)
3
2 2
C) 6 – 9 2
D)
E)
6  9 2
2
6  3 2
2
(Fuente: DEMRE 2005, Pregunta Nº 25)
11.
log21 
log216
=
log3 27
4
3
-1
-7
4
3
1
3
A) B)
C)
D)
E)
(Fuente: DEMRE 2011, Pregunta Nº 36)
12. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
æ1ö
log ç ÷ = -2
3 9
è ø
Si log x = -2, entonces x = 3.
3
Si logx 49 = -2, entonces x =
1
.
7
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
(Fuente: DEMRE 2006, Pregunta Nº 30)
7
13. ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
A) log 10 = 1
B) log 5 = 5
1
C) logæ 1 ö 64 = 6
çç 2 ÷÷
è ø
D) log 0 = 0
E) log (-27) = -3
3
(Fuente: DEMRE 2011, Pregunta Nº 36)
14. Sean x e y números positivos, la expresión log(x3 · y-2) es equivalente a
A) -6 · log(xy)
3
B) - · log(xy)
2
C) 3 · log x – 2 · log y
3  log x
D)
-2  log y
E) (3 · log x)(-2 · log y)
(Fuente: DEMRE 2010, Pregunta Nº 34)
15. Agustina depositó$ 800.000 en un banco al 5% de interés compuesto anual. ¿Cuál de
las siguientes expresiones permite calcular el tiempo, en años, que su dinero se
duplicará, sin hacer depósitos ni retiros en ese tiempo?
 1.600.000  800.000 
A) log 

1,5


log 1.600.000  log 800.000
B)
log 1,5
æ 1.600.000 ö
C) log ç
÷
è 800.000 × 1,05 ø
 1.600.000  800.000 
D) log 

1,05


log 1.600.000  log 800.000
E)
log 1,05
(Fuente: DEMRE 2012, Pregunta Nº 38)
8
16. Sea f una función real de la forma f(x) = a · xn. Se puede determinar los valores de a y
n, si se sabe que:
(1) f(1) = 1
(2) f(2) = 8
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
(Fuente: DEMRE 2012, Pregunta Nº 74)
17. Si m y n son números reales, entonces la expresión
número real, si:
m  n , representa siempre un
(1) m = n
(2) m2 > n2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
18. Se puede determinar el valor de q, en la función real f(x) = log3 (4x + q), si se sabe
que:
 15 
(1) f   = 3
 2 
(2) La gráfica de f intersecta al eje x en el punto (1, 0).
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
(Fuente: DEMRE 2013, Pregunta Nº 76)
9
RESPUESTAS
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1)
15
2)
Divisible por 7, 8 y 9;
3)
x=
4)
domf = lR
10
3
y
8
7
recf = lR+
6
5
4
3
2
1
5)
I y IV
6)
Solo I
7)
8 3
8)
I)
-1 0
x
1 2
3
5
II)
3 x2
4x
III) 3( 5 + 1)
9)
domf = ]-, 1]
rect = ]-, 2]
y
2
1
-3
-2
-1
0
x
1
10) 6 2 - 8
10
11) I) -6 · log(a) + 2 · log(b)
II) log
12)
x=
13) -
ab3
cd3
3
4
5
2
14) domf = {x  lR / x > 3}
recf = lR
y
2
-1
0
1
2
3
4
x
15) x = 5
CLAVES EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. A
7. C
13. A
2. C
8. B
14. C
3. C
9. D
15. E
4. E
10. D
16. C
5. C
11. A
17. A
6. C
12. C
18. D
11
INECUACIONES - ECUACION DE SEGUNDO GRADO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS
GEOMÉTRICOS
EJERCICIOS DE DESARROLLO
2 – 4x  6
es
1.
El conjunto solución del sistema
2.
Todos los números reales x para los cuales
que cumplen
3.
El conjunto de todos los números que están a una distancia no menor que 10 de 3 y a
una distancia menor que 15 de 5 es
4.
El conjunto solución de la ecuación x – 3 =
5.
¿Cuál es el valor de p en la ecuación 6x2 − 15x + 2xp − 5p = 0, si una de sus
5
soluciones es ?
4
3 – 6x  0
x2  16 es un número real son aquellos
5x  1 es
6.
¿Para qué valor de x la función f(x) = 5 + (x −3)2 alcanza su mínimo valor?
7.
La superficie del triángulo formado por el vértice de la parábola y = x2 – 10x + 24 y los
puntos (0, 5) y (0, -3) es
8.
La trayectoria que recorre una pelota al ser lanzada hacia arriba está dada por la
ecuación h(x)= 12x – x2, donde la altura h se mide en metros y x en segundos en todo
momento, ¿en qué instante la pelota se encuentra a mayor altura?
9.
Un grupo de amigos debe pagar una cuenta de $ 100 pesos en partes iguales. Uno de
ellos dijo: Si hubiese dos amigos más en el grupo, la cuota habría disminuido en $ 2,5
pesos. ¿Cuántos eran ellos?
10. El área de una esfera es 144 cm2. Determine su volumen
2
11.
El radio basal y la altura de un cono recto miden, respectivamente, 5 cm y 12 cm.
Entonces, la superficie del manto de este cono mide
12.
Las aristas que concurren a un vértice de un paralelepípedo recto de base rectangular
miden 3 cm, 4 cm y 12 cm. Entonces, la diagonal de este cuerpo mide
13. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 18 cm. Si su
altura es 5 cm, entonces determine la altura de la cara lateral o generatriz de ella.
14. En la figura 1, se representa la mitad de un anillo circular. Determine el volumen
generado al girar este anillo en torno al eje indicado
fig. 1
2
4
15. En un cono recto el área lateral es el doble del área basal. ¿Cuál es la razón entre el
radio de la base y la altura del cono?
3
EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
En los números Reales el conjunto solución del sistema
A)
B)
 7
- 6 ,

 1
- 6 ,

3 – 6x  4
1 – 2x  0
es
1
- 
2
1
2 
C)

1

D)  , + 
2

1

E) -, 
6

(Fuente: DEMRE, Admisión 2012)
2.
¿Cuál es el conjunto de todos los números que están a una distancia mayor que 6 de 0
y a una distancia menor que 20 de 8?
A)
B)
C)
D)
E)
]6, 8[
]6, 28[
]-12, -6[ U ]6, 28[
]-, 28[
]-, -12[ U ]-6, 6[ U ]28,+[
(Fuente: DEMRE, Admisión 2008)
3.
Leonardo tiene una cierta cantidad de dinero en monedas de $ 500. Si le regalaran
otras 5 de estas monedas tendría menos de $ 50.000, pero si gastara $ 10.000 le
quedarían más de 20 monedas de $ 500. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera, con respecto al dinero que tiene Leonardo?
A)
B)
C)
D)
E)
Tiene
Tiene
Tiene
Tiene
Tiene
$ 20.000.
$ 47.500.
más de $ 47.500.
menos de $ 20.000.
más de $ 20.000 y menos de $ 47.500.
(Fuente: DEMRE, Prueba modelo 2014)
4.
En un ABC, BC = m, AC = x
intervalo
A)
B)
C)
D)
E)
y
AB = 2x – 1. Si x ≥ 1, entonces m pertenece al
]x – 1, 3x – 1[
[x, 2x – 1]
]0, 3x – 1[
[1, 3x – 1[
[x, 3x – 1[
(Fuente: DEMRE, Prueba modelo 2014)
4
5.
Con respecto a la ecuación (k – 1)x2 + 2x + k =0; (k  1). ¿Para qué valor de k las
raíces sumadas son igual al producto de las mismas?
A) -1
B) 2
C) -2
D) 0
E) 1
6.
Sea a  0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto de
las soluciones de la ecuación x2 + 3ax + 2a2 = 0?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Son iguales.
Tienen igual signo.
Una es el doble de la otra.
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
Ninguna de ellas
(Fuente: DEMRE, Admisión 2005)
7.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la
función f(x) = ax2 + bx + c?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola que abre hacia
abajo.
La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,c).
Si a = 0, b  0 y c  0, entonces f es una función afín.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
(Fuente: DEMRE, Admisión 2011)
8.
En la figura 2, se muestran dos parábolas de tal manera que una es la simétrica de la
otra con respecto al eje x. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
y
g(x) = ax2+ bx + c
I) p + c = 0
II) m > 0 y a < 0
fig. 2
III) g(-1) = -f(-1)
A)
B)
C)
D)
E)
x
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
f(x) = mx2+ tx + p
(Fuente: DEMRE, Admisión 2013)
5
9.
Sea la función f definida por f(x) = x2 + 2ax – 1, con a ≠ 0 y dominio el conjunto de los
números reales. El valor de x donde la función alcanza su valor mínimo es
A)
B)
C)
D)
E)
-1
3a2 – 1
a
-a2 – 1
-a
(Fuente: DEMRE, Prueba modelo 2014)
10. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a las
funciones de la forma f(x) = x2 – p, con dominio en los números reales?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si p > 0, entonces la gráfica de f intersecta al eje x en un solo punto.
Si p < 0, entonces la gráfica de f no intersecta al eje x.
Si p < 0, entonces la ordenada del punto donde la gráfica de f intersecta
al eje y es positiva.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
(Fuente: DEMRE, Prueba modelo 2014)
11. Los radios basales de un tronco de cono recto miden 12 cm y 4 cm, respectivamente.
Si su generatriz mide 10 cm, entonces su volumen será 416 cm3 cuando su altura
mida
A) 6 cm
B) 3 cm
C) 9 cm
D) 12 cm
E) 15 cm
12. La figura 3, se muestra un cubo de arista 2. Si el vértice A está en el punto (0,0,0)
arista AD está en el eje Z y el vértice B está en el eje y, entonces las coordenadas del
vértice E son
z
H
G
A)
B)
C)
D)
E)
(0, 2, 0)
(0,-2, 0)
(2, -2, 0)
(-2, 2, 0)
(-2, 0, 2)
fig. 3
C
D
F
A
E
B
y
x
(Fuente: DEMRE, Admisión 2011)
6
13. La figura 4, es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Las rectas AD y BC son paralelas.
Las rectas AB y DC son paralelas.
Las rectas AD y BC no se intersectan.
A’
B’
D’
C’
A
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
D
fig. 4
B
C
(Fuente: DEMRE, Admisión 2008)
14. En la figura 5, ABCD es un rombo. Se puede determinar el volumen del cuerpo
generado al hacer girar en forma indefinida el rombo en torno a la diagonal BD , si se
conoce la medida de:
B
(1) BC
(2) BD
A)
B)
C)
D)
E)
A
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C
fig. 5
D
(Fuente: DEMRE: ADMISIÓN 2014)
15.
Se puede determinar la suma de las raíces de la ecuación x2 + ax + b = 0, si:
(1) a = 3b
(2) b = 2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
RESPUESTAS
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1

-1, 2 


1.
5.
9.
-
15
4
8 personas
13.
2. ]-, -4]  [4, +[
2 7 cm
6.
3. ]-10, -7]  [13, 20[
3
7.
10.
288 cm3
14.
224
 cm3
3
20
65 cm2
11.
15.
3
3
EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE
1.
2.
3.
4.
5.
C
C
E
A
C
6. D
7. E
8. C
9. E
10. D
8
11.
12.
13.
14.
15.
A
D
D
C
C
4.
{10}
8.
6 seg.
12. 13 cm.
MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 1
1. El resultado de 137 + 62 – 137 + 50 =
A)
1
B) 36
C) 37
D) 137
E) Ninguna de las anteriores
2. Esteban, Sebastián y Eduardo, tres jóvenes ejecutivos forman una sociedad, aportando
con capitales de $ 5 · 105; $ 6 · 105; $ 7 · 105 respectivamente, si las ganancias que
alcanzan a $ 72 · 105 se reparten en forma proporcional al capital aportado, ¿cuánto
dinero recibió Esteban?
A)
B)
C)
D)
E)
$ 2 · 106
$ 3 · 105
$ 2,8 · 106
$ 5 · 106
Ninguna de las anteriores
3. Si x = 3 5 ,
A)
B)
C)
D)
E)
y,
y,
x,
z,
x,
z,
x,
y,
y,
z,
y = 5 3,
z = 2 10 , el orden decreciente es
x
z
z
x
y
4. ABCD es un cuadrado de lado x (fig. 1), BD es la cuarta parte de un arco de
circunferencia, el área achurada esta representada por la expresión algebraica
x2
(2 – 2)
2
2
B) x (4 – )
A)
C)
C
fig. 1
x2
(4 – )
2
2
x2 x
(4 – )
4 4
E) ninguna de las anteriores.
D)
D
A
B
5. Un artículo tiene un valor de $ p, al ser pagado en 10 cuotas iguales, se agrega un 10%
del valor original. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
A) 7p%
B) 8p%
C) 9p%
D) 10p%
E) 11p%
6. Entre un grupo de amigos del colegio la razón entre los hombres y mujeres es 3 : 2,
¿cuál es el número de mujeres si el número de hombres es 18?
A)
B)
C)
D)
E)
12
13
14
15
16
7. Las cifras de las docenas de un número de dos cifras excede a las cifras de las unidades
en 2. Si x representa las unidades, entonces el número es
A)
B)
C)
D)
E)
11x
20x
11x
2x
12x
+
+
+
+
+
20
11
2
11
2
8. Señale en cuál(es) de los casos siguientes el gráfico representa las características
propuestas por la ecuación
I) -2x + y + 2 = 0
y
III) y = 3
y
x
A)
B)
C)
D)
E)
II) 3x + y = -4
IV) x – 3y = 0
y
x
y
x
Solo I y II
Solo I y IV
Solo II y III
Solo II y IV
I, II, III y IV
2
x
9. La relación entre la demanda (q) de un producto y el precio ($ p) es lineal. Si la
demanda semanal de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $ 58 por
unidad, y de 200 unidades cuando el precio es de $ 51 por unidad. Hallar la ecuación de
demanda
A)
B)
C)
D)
E)
10.
p – 7q = 35
p + 7q = 65
100p + 7q = 6500
200p – q = 5100
ninguna de las anteriores.
2
3
de los pasajeros de un tren son mujeres,
de los hombres están solteros. ¿Qué
3
5
porcentaje, aproximadamente, de los pasajeros del tren corresponde a los hombres
casados?
A)
B)
C)
D)
E)
8,8%
11,1%
13,3%
16%
20%
11. Determina el valor de k en la ecuación x + (k – 1) y + 8 = 0 para que la recta que
representa sea paralela a la recta cuya ecuación es 2x – 3y = 0
A)
B)
C)
D)
E)
5
3
1
2
-1
2
5
2
12. Si 2x – 2 + 2x + 2 = 17, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
x+7 =
2
3
4
5
0
3
13. ¿Qué sucede con el área de un triángulo equilátero si el lado se triplica?
A)
B)
C)
D)
E)
Aumenta
Aumenta
Aumenta
Aumenta
Aumenta
4
5
6
7
8
veces
veces
veces
veces
veces
14. ¿Cuál es la máxima superficie que se puede abarcar con una soga de 144 metros de
longitud colocada en forma rectangular en el piso?
A)
B)
C)
D)
E)
36 m2
5184 m2
1296 m2
1000 m2
Falta información
15. La calificación de un estudiante fue de 30 puntos en la primera prueba de álgebra y en
cada prueba siguiente obtuvo 7 puntos más que en la prueba anterior. ¿Cuál es su
calificación (c) en la prueba n?
A)
B)
C)
D)
E)
c = 23 + 7n
c = 37 + 7n
c = 2 + 7n
c = 30 + 23n
Ninguna de las anteriores
16. En la figura 2, ABC y DEF son triángulos equiláteros. Si AD = DE = EB y el perímetro
del triángulo ABC es 54 cm, entonces ¿cuánto mide el perímetro de la figura achurada?
A) 40
B) 54
C) 60
D) 66
E) 108
C
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 2
F
A
4
D
E
B
17. Sea la función y = x2 + 3x – 28, determinar el punto simétrico del punto (3, f(3)) con
respecto al eje y
 -9

A)  , -10 
 2

B) (-3, -10)
 1

C)  - , -13 
 2

D) (-3, -13)
E) (-6, -10)
18. La edad actual de una persona con la edad que tendrá en 2 años más, está en la razón
3 : 4, ¿qué edad tendrá en 5 años más?
A) 8 años
B) 11 años
C) 12 años
D) 6 años
E) Ninguna de las anteriores
19. Si en la figura 3, O es centro de la circunferencia y AC = 15º, entonces la medida del
ángulo x es
A)
B)
C)
D)
E)
22,5°
45°
60°
30°
falta información.
20. En un triángulo rectángulo, si cosec  =
A)
E
1
, ¿cuál es el valor de cos ?
c
c
1  c2
C) c
D)
1 + c2
E)
1  c2
O x
15°
C
1
c
B)
B
A
5
fig. 3
D
21. En el PQR (fig. 4), AB // QR , BC // PR , si PB = 4, BQ = 5, RP = 15, entonces AP =
A)
B)
C)
D)
E)
20
3
20
7
3
10
9
ninguna de las anteriores.
R
A
fig. 4
C
P
B
Q
22. Sebastián tiene una fotografía de 5,4 cm de alto por 8,6 cm de ancho,
¿aproximadamente qué ancho debe tener una ampliación si se desea que tenga 20,6 cm
de alto?
A)
B)
C)
D)
E)
31
32
33
34
35
cm
cm
cm
cm
cm
23. Sea un ABC, recto en B, c = 30° y
AC = 8, calcular la altura correspondiente a la
hipotenusa
A) 3 3
B) 5 3
C) 4 3
D)
3
E) 2 3
24. En la figura 5, se tiene un triángulo rectángulo. Se hace rotar la figura indefinidamente
en torno al eje BC , entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es
B
A) 8 cm3
B) 8 3 cm3
C)  cm3
8 3
D)
cm3
3
E)
4 cm
8 3
cm3
3
fig. 5
60°
A
6
C
25. Una pareja al casarse, planifican tener familia con 4 hijos, pero el esposo desea que
tres de sus hijos sean del mismo sexo y uno de otro, ¿cuál es la probabilidad que los
deseos del esposo se cumplan?
A)
B)
C)
D)
E)
3
8
1
8
1
2
5
14
3
4
26. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados comunes el producto de sus puntos
sea 18?
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
36
5
18
2
9
1
18
27. Tres profesores de matemática registraron una calificación media en sus exámenes
de 79 - 82 - 84 puntos para cursos que tienen 32, 25 y 17 alumnos, respectivamente,
¿cuál es la calificación media, en puntos de la totalidad de los alumnos?
A)
B)
C)
D)
E)
82,3
80,4
84,5
81,16
No se puede determinar
7
28. Un curso decide asistir al patio de comida de una determinada casa comercial. La oferta
del día era elegir entre dos combos: hamburguesas + bebida o pollo + bebida. Las
preferencias se muestran en la siguiente tabla
Hamburguesa + bebida
Pollo + bebida
8
7
10
20
Niños
Niñas
Si se elige al azar un integrante del curso. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad que sea niña y haya elegido pollo + bebida es
4
.
9
4
.
9
II)
La probabilidad que sea niño y haya elegido hamburguesa + bebida es
III)
La probabilidad de que sea niña o niño y hayan elegido hamburguesa +
1
bebida es .
3
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
29. En la figura 6, se puede determinar la clasificación del triángulo es ABC, si:
(1)  = 2
C
(2)  +  = 90°

fig. 6
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional

A
30. ¿Cuál es el precio de 10 limones y de 10 naranjas?
(1) 3 limones y 9 naranjas cuestan $ 270.
(2) 14 limones y 14 naranjas cuestan $ 700.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8

B
CLAVES
1
C
6
A
11
B
16
C
21
A
26
E
2
A
7
A
12
B
17
B
22
C
27
D
3
B
8
D
13
E
18
B
23
E
28
D
4
D
9
C
14
C
19
B
24
E
29
B
5
E
10
C
15
A
20
E
25
C
30
B
9
MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 2
1. ¿Cuál es la quinta parte de 0,2?
A)
B)
C)
D)
E)
0,004
0,04
0,4
0,25
2,5
2. 0,04 es la cuarta parte de
A) 16
B) 4
C) 1,6
D) 0,4
E) 0,16
3.
0,05 · 0,01
=
0,1
A)
B)
C)
D)
E)
0,005
0,0005
0,00005
0,000005
0,0000005
4. Si p = 0,3 y q = 0,2, entonces 2p – (p – q) =
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
1
3
2
5
3
5
1
2
0,6
1
3
, b =
y c =
, entonces un orden creciente de esta expresiones
6
0,6
0,06
está representado por la alternativa
5. Sean a =
A)
B)
C)
D)
E)
abc
cab
acb
cba
bac
6. Si s = -3,5 y t = -5,75, entonces t – s =
A)
B)
C)
D)
E)
1
5
1
2
4
1
2
3
1
-2
4
1
-2
5
2
7. Al dividir la mitad de x por 0,5 cuando x = 0,5 se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
0,125
0,25
0,5
1
2
8
y queda todavía la mitad del
13
depósito, menos 150 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
8. De un depósito lleno de agua se han gastado los
A)
B)
C)
D)
E)
1.200
1.300
1.400
1.500
Ninguna de las anteriores.
2
9. Si m + q = 1, entonces cuando q = 0,2, ¿cuántas veces (m – q) está contenido en 3?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 15
10. ¿Cuál es el promedio entre
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
y
1
?
6
1
4
1
2
1
2
4
11. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 1?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
1
2
2
2
1
2
0,5
1
2
I
II
III
I y II
II y III
3
12. 2
2
2
 2
+ 1 
9
 3
=
A) 9
B) 5
8
C)
3
10
D)
3
29
E)
9
13. Si m = 0,75 y n = 0,5, entonces el inverso aditivo de m – n es
A) 0,75
B) 0,50
C) 0,25
D) -0,25
E) 1,00
14. Si a = 0,5, entonces el valor de p en la ecuación a +
3
1
=p+
es
2
a
A)
B)
1
4
9
C)
4
D) -1
3
E) 4
15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (-3)-2?
A) 9
B) -9
1
C)
9
1
D) 9
E) 81
4
16.
33
21
A)
B)
C)
D)
E)
·
22
32

32
23
=
23
8
39
8
87
8
135
8
153
8
17. Una dueña de casa compró 4,5 kilogramos de pan a $ (p + q) el kilogramo. Si q = 2p y
q = $ 60, ¿cuánto canceló la dueña de casa?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
90
120
180
405
910
18. Si a + 0,5 = 0,25 y b + 0,25 = 0,5, entonces a – b =
A) -1,5
B) -0,5
C) 0
D) 0,5
E) 1,5
19. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) correcta(s)?
I) (-0,3)2 < 0,3
II) (0,3)2 > 0,3
III) (-0,3)3 > 0,3
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
I y II
I y III
II y III
5
20. La tercera parte de m es
A)
B)
C)
D)
E)
1
m
. Entonces m +
=
6
3
1
6
1
5
1
3
1
2
2
3
21. ¿Cuál es el número decimal que representa la quinta parte de la quinta parte de 20?
A)
B)
C)
D)
E)
0,80
0,50
0,40
0,25
0,20
22. Dividiendo por 0,2 a la mitad de un número resulta 1,2. ¿cuál es el número?
A)
B)
C)
D)
E)
23. Si
A)
B)
C)
D)
E)
0,12
0,24
0,48
2,40
4,80
1,1
n + 0,01
=
, entonces n =
0,1
0,01
1,1
0,1
0,11
0,01
0,011
6
24. Los
A)
B)
C)
D)
E)
25. Los
A)
B)
C)
D)
E)
3
de un número es 675. ¿Cuál es la quinta parte de este número?
20
13,5
135
300
600
900
2
1
1
1
de la suma 1 +
+
+
son igual a
3
2
4
8
1
5
4
4
5
16
45
45
16
26. Si a y b son enteros distintos de cero, ¿cuál es el valor de a?
(1) a · b = a,
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
a
=3
b
c+1
= 1, C = 2
a
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
27. Se puede determinar el valor de x, si:
A)
B)
C)
D)
E)
(1)
x
2
1
+
=
4
2
2
(2)
x 2
x
·
=
4 2
4
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
28. Si m y n son números enteros, m es menor que n, si:
(1) 0 <
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
m
<1
n
n
>1
m
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
29. Se puede determinar que número es k si :
(1)
3
5
<k<
7
7
(2) k2 <
A)
B)
C)
D)
E)
3
7
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
30. Se puede determinar la fracción que representa la edad de Julio, respecto a la de
René, si:
(1) La suma de ambas edades es 60 años.
(2) René es 5 años mayor que Julio.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
CLAVES
1
B
6
D
11
C
16
B
21
A
26
D
2
E
7
C
12
B
17
D
22
C
27
A
3
A
8
B
13
D
18
B
23
B
28
E
4
E
9
C
14
A
19
A
24
E
29
E
5
B
10
A
15
C
20
E
25
B
30
C
9
MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 3
1. El cuadrado de la figura 1, se completa con los números 1, 2, 3 y 4 de modo que no se
repitan en las filas, columnas y diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2z = y – x
2y = 3x + 2z
y – x – 2z = 0
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
4
z
x
3
y
1
4
fig. 1
2
3
2. Un artículo vale $ 2.000 y se reajusta mensualmente en $ 200. ¿Cuál será su valor al
n-ésimo mes de reajuste?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
200n
[2.000 + 200(n – 1)]
[2.000 + 200n]
[2.000 + 200]n
200(n – 1)
3. 43 : 22 · 4 – 8 · 4 : 2 =
A) -12
B) -8
C) -4
D) 48
E) 112
1
4. 1 –
1 
A) -2
B) -1
1
C)
3
1
D)
2
E) 1
1
1+1
=
5. Si a = 0,026 · 102 y b = 0,003 · 10-3, entonces la notación científica de a · b es igual a
A) 78 · 10-7
B) 78 · 10-6
C) 7,8 · 10-7
D) 7,8 · 10-6
E) 0,78 · 10-5
6. En una automotora hay m vehículos rojos y a vehículos azules de un total de z
vehículos. Si m corresponde a la cuarta parte del total de vehículos y a corresponde a
la mitad de los vehículos rojos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5
z.
8
El 37,5% de los vehículos son rojos y azules.
El 25% de los vehículos son sólo rojos.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
7. El número
A)
Los vehículos que no son rojos ni azules corresponde a
912
es igual a
6 3
35
C) 36
D) 312
E) 812
B)
8. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa al siguiente enunciado: “La
diferencia de los cuadrados de 2 impares consecutivos es igual a -72”?
A)
B)
C)
D)
E)
(2p + 1)2 – (2p + 3)2 = -72
(2p + 1)2 + (2p + 3)2 = -72
[(2p + 1) – (2p + 3)]2 = -72
(p + 1)2 – (p + 3)2 = -72
[(p + 1) – (p + 3)]2 = -72
2
9. (a b +
a )(a b –
a) =
A) a(ab – 2 ab + 1)
B) a(ab + 2 ab – 1)
C) a(ab + 1)
D) -a(ab – 1)
E) a(ab – 1)
10. La factorización de 8x3 – 27y3 es
A)
B)
C)
D)
E)
(2x
(2x
(2x
(2x
(2x
+ 3y)[4x2 – 6xy + 9y2]
– 3y)[4x2 + 6xy + 9y2]
– 3y)[4x2 – 6xy + 9y2]
+ 3y)[4x2 + 6xy – 9y2]
– 3y)[4x2 + 6xy – 9y2]
11. Si 2x – 2-x = m, entonces 4x + 4-x es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
2m2
m2 + 4
m2 + 2
m2 – 2
m2 – 4
12. Si p3 y 4q son directamente proporcionales y cuando p = 2 q vale 4, entonces ¿cuál es
el valor de q cuando p = 4?
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
6
16
32
128
3
13. Un artículo que costaba $ (p + q) subió en un q%. ¿Cuál es el nuevo valor del artículo?
 100p + 101q 
A) $ 

100


(p + q)(100 + q)
B) $
100
C) $ (p + 2q)
(p + q)(100  q)
D) $
100
(p + q)(100 + p)
E) $
100
14. El resultado de
A)
B)
C)
D)
E)
-2  x
x2 + 5x + 6
+
4
es
x+3
3
x+3
2
x+3
2x + 4
x+3
3
x+2
ninguna de las expresiones anteriores
15. En la figura 2, ABCD es un cuadrado, AFGC es un rectángulo y DCE un triángulo
equilátero de altura 2 3 . ¿Cuál es el perímetro de la figura 2?
E
A) 24 + 12 2
D
B) 12 + 12 2
fig. 2
C
C) 12 + 8 3
G
D) 12 + 4 3
E) 12 + 8 2
A
B
F
16. En el cuadrado ABCD de lado 8 cm de la figura 3, E, F, G y H son puntos medios de sus
lados respectivos. Sí I, J, K y L son puntos medios del cuadrado EFGH, entonces el área
de la región achurada es
D
H
C
A)
B)
C)
D)
E)
48
44
24
20
14
I
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
L
E
G
J
A
4
K
F
B
fig. 3
17. En la circunferencia de centro O de la figura 4, PA y PC son secantes, AB  AF ,
AE  BE , arco AC = 120º y APC = 20º. ¿Cuál es el valor de x + y – z?
A)
B)
C)
D)
E)
B
A
340º
250º
190º
160º
130º
O
120º
z
C
F
x
20º
P
y
G
fig. 4
H
E
18. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (2, 3) y es
perpendicular a 6y – 2x – 1 = 0?
A)
B)
C)
D)
E)
3x
3x
3x
2x
6x
–y–9=0
+y+9=0
+y–9=0
– 6y + 1 = 0
+ 2y – 1 = 0
19. Si la suma de 2 números es 28 y su diferencia es 4, entonces el producto de esos
números es
A) 192
B) 112
C)
28
4
D)
E) -192
20. Dado el sistema
A)
B)
C)
D)
E)
a + b = 5p  2q
a  b = 5p + 2q
, el valor de b es
5p
10p
2q
-4q
10p – 2q
21. La solución de -3 < 3x – 6 < 12 es
A)
B)
C)
D)
E)
3<x<4
1<x<6
-1 < x < 6
-3 < x < 2
-6 < x < -1
5
22. El intervalo solución de -4 < -3x + 2  8 es
A)
B)
C)
D)
E)
[-2, 2]
[-2, 2[
]-2, 2[
]-2, 2]
]-, -2]  ]2,+[
23. El conjunto solución de
A)
B)
C)
D)
E)
{x
{x
{x
{x
{x





lR
lR
lR
lR
lR
/
/
/
/
/
2x  3  5
3x  1 < -7
x  4}
x  -2}
x < -2}
x > -2}
-2 < x  4}
24. Si f(x) = 32 – x – 1 – x, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
f(3) = 5
f(1) = f(4)
f(-1) + f(2) = 0
I
II
III
I y II
II y III
x  1 es
25. La mejor representación gráfica de f(x) =
A)
y
B)
y
y
C)
2
1
1
2
-1
1
2
x
1
x
x
1
y
D)
y
E)
2
2
1
1
-3
x
-2 -1
-2 -1
-1
-2
6
1
2
x
26. En un vehículo de transporte se gasta mensualmente $ 100.000 en mantención. Si cada
12 kilómetros recorridos gasta 1 litro de gasolina, ¿cuál es el costo total del mes, si
recorre x kilómetros y el valor de cada litro de gasolina es de $ 600?
A) $ (100.000 – 50x)
B) $ (600x + 100.000)
 12

C) $ 
· 600 + 100.000 
 x

 12

D) $ 
+ 100.000 
 600x

E) $ (50x + 100.000)
27. En la tabla de la figura 5, A y B son inversamente proporcionales. Se puede conocer el
valor numérico de x + y + z, si:
(1) x = 6 e y = 3
(2) m = 2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
9
y
m
B
x
18
z
fig. 5
28. La edad actual de un padre es el triple de la edad de su hijo. Se puede conocer la edad
actual del padre, si:
(1) Hace 5 años, la edad del padre era el cuádruplo de la edad de su hijo.
(2) En 15 años más, la edad del hijo será la mitad de la edad de su padre.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
29. Las rectas L1: y = ax – 4 y L2: y = mx + b se intersectan en el punto (2, 3) si :
(1) m = b = 1
7
(2) a =
2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
30. En la figura 6, ABCD es un rectángulo y EDC es un triángulo rectángulo en D. Se puede
determinar que el EDC  CBA, si:
(1) CD es altura del EAC.
(2) ED  DA
A)
B)
C)
D)
E)
E
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 6
C
D
A
B
CLAVES
1
E
6
E
11
C
16
D
21
B
26
E
2
C
7
D
12
D
17
D
22
B
27
C
3
D
8
A
13
B
18
C
23
C
28
D
4
B
9
E
14
A
19
A
24
B
29
C
5
D
10
B
15
E
20
C
25
A
30
B
8
MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 4
1.
8 – 6 {4 – 2[6 – (8 : -4 · 2) – 22]} =
A) -64
B) 20
C) 24
D) 56
E) 152
2.
Si n = -5 y m = -6, entonces el doble del sucesor par de m disminuido en el antecesor
de n es
A) -2
B) -4
C) -16
D) -18
E) -20
3.
¿Cuál es el valor de x-y si x es igual a 3 e y es el antecesor de -2?
A) 27
B) 3
C) 1
1
D)
3
1
E)
27
4.
Si n < 0, entonces 5 – n – n – 5 es igual a
A) 10 + 2n
B) 10 – 2n
C) 2n
D) 10
0
E)
5.
5
7
, -3, , …, la diferencia entre el 5º y 7º término es
2
2
En la serie -2,
A)
9
B)
1
C) -1
D) -9
E) -18
6.
Si x es un número entero e y un número entero negativo, ¿cuál(es) de las expresiones
siguientes es (son) siempre enteros positivos?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
x3y2
(xy + 2)2
xy2 – 1
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
Si 2x = 32, entonces ¿cuál es el valor de 2x – 2?
128
8
1
C)
128
D)
-8
E) -128
A)
B)
8.
Hace 8 años la edad de un padre era 8 veces la de su hijo, y 16 años después de la
edad actual, la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuánto suman sus edades
actuales?
A)
B)
C)
D)
E)
30
36
44
52
84
años
años
años
años
años
2
9.
1
-1 –
=
1
1 
3 
1
2
7
5
2
3
8
3
3
5
8
3
A) B)
C)
D)
E)
3
10. - 22
– 32 =
A) 265
B)
73
C) -55
D) -73
E) -265
11. Un viaje de estudios tiene un valor de $ 288.000 por persona, de los cuales se debe
cancelar la cuarta parte para hacer reserva. Si el segundo mes se cancela la mitad del
resto y la diferencia en 2 cuotas, ¿cuál es el valor de cada cuota?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
36.000
54.000
72.000
108.000
144.000
12. ¿A cuántos quintos corresponden 7 unidades?
A)
B)
C)
D)
E)
1
15
35
15
15
21
35
3
13. Si Julia puede hacer m queques en s minutos, ¿cuántos queques podrá hacer en
30 minutos?
A) 30 m
30 s
B)
m
ms
C)
30
D) ms
30 m
E)
s
14. Al ordenar en forma creciente los números a = 24 · 33 · 52, b = 23 · 32 · 54 y
c = 22 · 34 · 52 se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
c, b, a
a, c, b
b, a, c
c, a, b
a, b, c
15. Se sabe que p es inversamente proporcional a q y que cuando p = 5, q = 3. Entonces,
¿cuál es el valor de p si q = x?
5x
3
x
B)
15
15
C)
x
15
D)
p
5
E)
x
A)
4
16. Si a y b son números enteros, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre un número entero positivo?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
ab
a
b
(ab + 1)2
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Ninguno de ellos
17. Sean ,  y  ángulos interiores de un triángulo. Si  :  :  = 1 : 3 : 5, entonces
2 –  +  =
A) 100º
B) 90º
C) 80º
D) 70º
60º
E)
18. La expresión 103 + 10 expresada en notación científica es
A)
B)
C)
D)
E)
1010
101 · 10
10,1 · 102
1,01 · 103
101 · 10-2
19. En una elección se presentan dos candidatos Humberto y Santiago, obteniendo el
primero de ellos el 60% de los votos. Si el 20% del resto corresponde a 30 votos nulos,
¿cuántos votos obtuvo Santiago, si no hubo votos en blanco?
A) 375
B) 255
C) 120
D) 90
30
E)
5
20. Si en la figura 1, AB : BC = 3 : 4 y BC : CD = 7 : 5, entonces AB : BD como
A)
B)
C)
D)
E)
3
3
3
3
7
:
:
:
:
:
9
12
48
A
4
B
C
D
fig. 1
16
21. Si 936 = ps · qt · ru, entonces el cuociente entre la suma de las bases de las potencias y
la suma de los exponentes primos es
A) 108
B) 90
3
C)
18
D)
5
1
E)
3
m
1
22. Si m = -2, entonces el valor de m2 ·  
m
es
A) 16
B)
2
C)
1
D) -1
E) -16
23. En la figura 2, todos los triángulos son equiláteros congruentes. ¿Cuál es la razón entre
los triángulos achurados y en blanco?
A) 9 : 16
B) 16 : 9
C) 9 : 7
D) 7 : 9
7 : 16
E)
fig. 2
6
km
, ¿cuál será su
h
rapidez en su viaje de vuelta por la misma carretera si demora 2 horas?
24. Si un vehículo demora 3 horas en su viaje de ida a una rapidez de 70
A)
B)
C)
D)
E)
25. Si
km
h
km
70
h
km
105
h
km
150
h
Ninguna de las anteriores
46
p
r
p  q
= -2 y
= -3, entonces
es igual a
q
q
r  q
A) 12
B) 6
2
C)
3
3
D)
4
3
E) 4
26. El valor de x – y es positivo si :
(1) x > y
(2) -x < y
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
27. El valor de n en la expresión p25 · 525 = 10n se puede obtener si :
(1) p =
4
(2) p = 2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
28. Sea xy  0 y 3x = 0,3. Se puede determinar que xy es un número entero, si:
(1) y es múltiplo de 2.
(2) y es múltiplo de 5.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
29. Se puede determinar en qué razón están a y 2c, si:
(1) a : b = 2 : 3
(2) c : b = 2 : 1,5
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
30. La expresión
x+1  1
es mayor que 0, si:
x
(1) x es cualquier número real.
(2) x  1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
CLAVES
1
D
6
B
11
B
16
C
21
D
26
A
2
A
7
B
12
E
17
C
22
A
27
D
3
A
8
D
13
E
18
D
23
C
28
C
4
E
9
C
14
D
19
C
24
C
29
C
5
B
10
E
15
C
20
E
25
D
30
B
8
MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 5
1. Si
A)
B)
C)
D)
E)
2
7
se resta de la suma entre
5
10
y
4
, se obtiene
3
29
20
31
30
0
31
30
29
20
2. Si x es el menor de tres números enteros consecutivos que suman 114, entonces el
sucesor del número mayor es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
36
37
40
57
58
(8  1)2 + (25  1)2 =
A)
7 +5
B)
691
C) 689
D) 25
E) 31
1
4. El valor de -a-3 · b2 – a2 · b-3, cuando a = b = -
1
es
3
A) -6
B) -
2
243
C) 0
2
243
E) 6
D)
5. Con la tercera parte de p tarros de pintura se pinta la quinta parte de una casa.
¿Cuántos tarros de pintura se necesitan para pintar la tercera parte de la casa?
A)
B)
C)
D)
E)
p
tarros
5
p tarros
9p tarros
9
p tarros
5
5
p tarros
9
6. Si medio kilo de naranjas cuesta $ 400 y se proyecta que el kilo subirá a $ 1.000, ¿cuál
será el porcentaje de aumento?
A) 200%
B) 150%
C) 50%
D) 25%
E) 20%
7. Una persona recibe a fin de mes $ a que equivale a un 9% menos de lo que recibe
habitualmente. ¿Cuánto debería recibir normalmente esa persona?
A) $ 1,10 a
B) $ 0,91 a
a
C) $
0,91
D) $ 0,9 a
a
E) $
0,9
2
8.
0,7 · 0,4
0,28
A)
B)
C)
D)
E)
=
1
1,1
1, 1
1,2
1, 2
9. Si 3x – 2 = 16, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
x2  5x + 6
3x2  8x + 4
=
6
16
3
24
41
5
48
3
16
10. El precio de dos artículos A y B es de $ 860 y $ 720, respectivamente. Entre los dos
artículos, Rosario compró 11 unidades, gastando a lo más $ 8.650. ¿Cuál es la máxima
cantidad de unidades que puede comprar Rosario del artículo A?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
11. En un trayecto corto, Emilio da cierta cantidad de pasos de 80 cm cada uno,
demorándose 10 minutos cuando camina. Al devolverse corriendo, disminuye la cantidad
1
de sus pasos en un 33 % y se demora 4 minutos. ¿De qué longitud es cada paso que da
3
Emilio al correr?
A)
B)
C)
D)
E)
1,3 m
1,2 m
1,1 m
1m
No es posible calcularlo
3
12. Dados los números reales p =
A)
B)
C)
D)
E)
3
14
7
,q=
y r=
, entonces se verifica que
8
37
19
p<q<r
P<r<q
q<r<p
q<p<r
r<p<q
13. Un corredor de los 100 metros planos que se prepara para las Olimpiadas, ha registrado
un tiempo de 10 segundos. ¿Cuál es la rapidez de este atleta?
A)
B)
C)
D)
E)
36
40
45
50
60
Km/hora
km/hora
km/hora
km/hora
km/hora
14. Entre empanadas y sopaipillas, Karen gastó $ 2.550. El valor de cada sopaipilla es de
$ 120 y el valor de cada empanada es de $ 650. Entre sopaipillas y empanadas compró
8 unidades, ¿cuál es la ecuación que permite determinar la cantidad x que gastó Karen
en sopaipillas?
A) 120 · x + 650 · (x – 2.550) = 8
B) 650x + 120(x – 2.550) = 8
x
2.550  x
=8
+
C)
120
650
x
x  2.550
+
D)
=8
120
650
E) 120x + (x – 8)650 = 2.550
15. Si
3x + 2y = -3
3x  2y = 5
, entonces 4y2 – 9x2 =
A) - 33,3
23
B) 3
C) -15
D)
3
E) 15
4
16. ¿Para qué valor de k el sistema
A)
B)
C)
D)
E)
kx + ay = 5
ax + ky = k
, tiene infinitas soluciones?
-5 ó 5
5 ó - 5
-25 ó 25
0
No se puede determinar
17. Sea f(x + 3) = 2x – 1. Entonces f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
2x
2x
2x
2x
2x
+2
–7
+5
· 7
–5
18. ¿Cuántos números enteros cumplen con la siguiente condición: “el triple del exceso de
un número sobre 2, no es negativo y es menor que 5”?
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
2
3
4
19. El conjunto solución de la inecuación

A) x


B) x


C) x


D) x

E) lR
 lR / x 
6

11 
 lR / x 
6

11 
 lR / x 
6

13 
 lR / x  -
x
x
 2x 
 1 es
3
6
6

13 
5
20. En la figura 1, L1 // L2, A y B son puntos que pertenecen a las rectas L1 y L2,
respectivamente. Si  = 50º, entonces el valor de x es
A
A)
B)
C)
D)
E)
50º
40º
30º
20º
no se puede determinar
L1
x
fig. 1
C

L2
B
21. En la figura 2, ABCD es un cuadrilátero de modo que AB = 4 cm, BC = 3 cm,
AD = 12 cm y CD = 13 cm. Entonces, el área del cuadrilátero ABCD es
D
A)
B)
C)
D)
E)
36
32
26
24
12
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
C
fig. 2
A
B
22. El trapecio de la figura 3, tiene área 180 cm2. Si la altura mide x cm, AB = x + 5 cm y
CD = x + 1 cm, ¿cuál es la semisuma de las bases?
A)
B)
C)
D)
E)
12
15
18
30
36
C
D
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 3
B
A
23. En la figura 4, ABC rectángulo en C, E y F son dos puntos de la hipotenusa AB tales
que AE = FB = 3 cm. ¿Cuál es el área del cuadrilátero EFCD?
C
A) 18 cm2
B) 12 3 cm2
C)
9 3 cm
fig. 4
D
2
15 3
cm2
2
E) 6 cm2
D)
30º
A
6
E
F
B
24. En la figura 5, ABCD y BPQC son cuadrados congruentes de lado 8 2 cm. Si el arco ABC
y el arco PBC son semicircunferencias, entonces el perímetro de la región sombreada es
A)
B)
C)
D)
E)
D
8 2  cm
4 2  cm
8 cm
4 cm
16 cm
C
Q
fig. 5
A
B
P
25. En la figura 6, ABC rectángulo isósceles de base AB , BC = 4 2 , D y E puntos medios
de AC y BC , respectivamente, F punto medio de DE . ¿Cuál es la ecuación de la recta
que pasa por F y es paralela a AC ?
y
A)
B)
C)
D)
E)
x
x
x
x
x
–y+2=0
+y–2=0
–y+4=0
+y–4=0
–y–2=0
C
F
D
A
fig. 6
E
O
B
x
26. En la figura 7, AP  PB  BQ y los ABC y PQR son rectángulos en C y R,
respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I) ABC  QPR
II) ABC y QPR tiene igual área.
III) CP  BR
C
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
fig. 7
Q
B
A
P
R
7
27. En la figura 8, ABCD es un rectángulo. Se puede determinar el perímetro de la región
achurada si :
(1) El perímetro del rectángulo ABCD es 32 cm.
(2) AP  PQ  QB
A)
B)
C)
D)
E)
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C
fig. 8
A
P
Q
B
28. El cuadrilátero ABCD de la figura 9, es un rectángulo si :
(1) DAB = BCD = 90º
D
(2) AB  CD
A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 9
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
B
29. El ángulo de inclinación de la recta ax + by + c = 0 es obtuso, si:
(1) ac > 0 y bc > 0
(2) ab > 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
30. Sea a un número entero positivo. Al multiplicar a por 4 se obtiene un número cuadrado
perfecto si :
(1) a es un número par.
(2) a es el cuadrado de un número entero.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
CLAVES
1
B
6
D
11
B
16
A
21
A
26
C
2
C
7
C
12
E
17
B
22
B
27
A
3
D
8
E
13
A
18
C
23
B
28
C
4
E
9
E
14
C
19
B
24
C
29
D
5
E
10
B
15
E
20
E
25
A
30
B
9
MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 6
1. Si q = 5, ¿cuánto debe agregarse a la expresión p – q para obtener 9?
A) 4
B) 14
C) 4 – p
D) 5 – p
E) 14 – p
2. El exceso de un número sobre 5 es 1. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones
es (son) igual(es) al doble del cuadrado de dicho número?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2 · 62
2 · (6 · 62)
(2 · 6)2
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
3. Si al cuadrado de un número n se le suma 10, se obtiene lo mismo que si al cuadrado de
n se le resta n. Entonces, n =
A) 10
B)
5
C)
2
D) -5
E) -10
4. Cuando 5 se suma a cierto número entero y esta suma se multiplica por -8, el resultado
es cero. ¿Cuál es el número?
A) -8
B) -5
C) 0
D) 5
E) 8
5. Sabiendo que A > B > C y que una persona debe reunir A, ¿cuánto le falta para reunir la
suma deseada si primero reúne B y luego gasta C?
A) A + B – C
B) B – C – A
C) C + A – B
D) A – (B + C)
E) -A – (B – C)
6. Si a, b y c son tres números enteros consecutivos cuya suma es 42 y a < b < c,
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a es primo.
b es múltiplo de 7.
c es divisible por 3.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
7. ¿Qué suma de dinero se ha repartido entre tres personas si la primera recibió $ a, la
segunda el doble de la primera y la tercera recibió $ 100 más que las otra dos juntas?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
3a
6a
(3a + 100)
(6a + 100)
(6a + 300)
8. A un colegio llegan como donación p cajas conteniendo q libros cada uno. Si x son las
cajas con libros de Matemática y el resto son cajas con libros de Física, entonces
¿cuántos son los libros de Física?
A)
B)
C)
D)
E)
(q – p)x
pq – x
px – q
(p – x)q
p – qx
2
9. Un niño para ir a la casa de su amigo debe caminar a cuadras. Si un vecino lo lleva en
automóvil durante b cuadras y luego el niño toma una micro en la cuál viaja c cuadras,
¿cuántas cuadran le restan por recorrer para llegar a casa de su amigo?
A)
B)
C)
D)
E)
a
a
a
b
a
+b–c
– (b + c)
– (b – c)
+c
–b
10. El doble del suplemento de un ángulo, mide 4º más que su suplemento. De acuerdo a
esta información, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
El ángulo mide 4º.
El suplemento del ángulo mide 4º.
El complemento del ángulo mide 4º.
El complemento del suplemento del ángulo mide 4º.
Ninguna de las anteriores.
3
de su precio original, el precio de un pantalón quedó en
10
$ 11.700. ¿Cuánto costaba el pantalón antes del alza de precio?
11. Después de ser alzado en
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
8.190
9.000
11.340
12.060
15.210
12. En una biblioteca la quinta parte de los libros son de Física, un tercio del resto son de
Química y los 240 restantes son de Matemática. ¿Cuántos libros tiene la biblioteca?
A)
B)
C)
D)
E)
320
360
384
450
Ninguna de las anteriores
3
13. En una parcela, los limoneros son 10 menos que los naranjos. Si la cuarta parte de los
naranjos es 120, ¿cuántos limoneros hay en la parcela?
A) 20
B) 40
C) 470
D) 480
E) 490
14. Sea x un número distinto de cero, entonces
x
del recíproco de x es
100
A)
B)
x
1
1
C)
x
D) 100
1
E)
100
15. ¿Qué número dividido por
3
w
da como resultado
?
w
3
A) 1
B) 9 · w2
3
C)
w
w
D)
3
E)
w2
9
5
3
más los
de la edad de mi abuelo es igual a 52 años. ¿Qué edad tienen mi
8
16
abuelo?
16. Los
A) 104 años
B) 96 años
C) 72 años
D) 64 años
E) 52 años
4
17. Una goma vale 3 veces lo que vale 1 lápiz. Un niño compró 1 goma y 3 lápices. Si pagó
$ 720, ¿cuánto vale un lápiz?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
80
90
120
180
240
18. En un colegio de 600 alumnos, el lunes asistieron 480. ¿Qué fracción de los alumnos
faltó el lunes a clases?
A)
B)
C)
D)
E)
1
20
1
5
1
4
3
5
4
5
19. ¿Cuál es la expresión que corresponde al enunciado: “Hallar un número n cuyo cuádruplo
es igual a cinco octavos de 160”?
A) n4 =
B) 4n =
C) 4n =
D) n4 =
E) 4n =
5
: 160
8
5
160 :
8
5
· 160
8
5
· 160
8
5
+ 160
8
5
20. Un quinto de un quinto de un número es 1. ¿Cuál es el número?
A)
B)
C)
D)
E)
1
25
1
5
1
5
25
21. Ciento veinte alumnos se distribuyen en las salas A, B y C. Si
sala A,
A)
B)
C)
D)
E)
1
de ellos se ubica en la
3
5
en la sala B y el resto en la sala C, ¿cuántos alumnos se ubican en la sala C?
12
90
85
60
30
20
22. C cajas con botellas de aceite pesan D kilogramos. Si cada caja contiene 24 botellas de
igual peso, ¿cuántos kilogramos, pesa cada botella de aceite?
A)
B)
C)
D)
E)
D
24 C
24
CD
24 C
D
C
24D
CD
24
23. Julieta tiene $ 60.000 para comprar libros y cuadernos. Cada libro cuesta $ 12.000 y
cada cuaderno $ 2.000. Después de comprar los libros, Julieta se da cuenta que sólo
puede comprar 6 cuadernos. ¿Cuántos libros compró?
A)
B)
C)
D)
E)
6
5
4
3
2
6
24. El denominador de cierta fracción es 3 unidades menor que le doble del numerador.
2
¿Cuál es la fracción, si se sabe que es equivalente a ?
3
6
A)
9
1
B)
3
3
C)
2
1
D) 3
2
E) 3
25. ¿Cuánto mide el triple del suplemento de ?
(1)  y  son complementarios.
(2)  = 2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
26. ¿Cuántos alumnos tiene cierto liceo mixto?
3
de la cantidad de hombres.
4
(2) Los hombres son 200 más que las mujeres.
(1) Las mujeres son
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
27. En un partido de básquetbol se sabe que Pablo y Felipe en conjunto anotaron 24 puntos.
Se puede determinar cuántos puntos anotó Pablo, si:
(1) Felipe y José en total anotaron 15 puntos.
(2) José anotó la mitad de lo que anotaron en conjunto Pablo y Felipe.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
28. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos interiores de un triángulo ABC?
(1) El triángulo ABC es rectángulo.
(2) Dos de los ángulos interiores son complementarios.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
29. El un festival folklórico, ¿cuántas personas aplaudieron la interpretación de una canción?
(1) 6.215 personas no aplaudieron la canción.
(2) El total de asientos del teatro era 8.520.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
30. ¿Cuál es el número n?
(1) La cuarta parte de n es igual a
1
de 32.
8
(2) Las tres octavas partes de n son igual a 0,375 n.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
CLAVES
1
E
6
E
11
B
16
D
21
D
26
C
2
A
7
D
12
D
17
C
22
A
27
C
3
E
8
D
13
C
18
B
23
C
28
D
4
B
9
B
14
E
19
C
24
A
29
E
5
C
10
B
15
A
20
E
25
C
30
A
9
MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 7
1.
3
 1
1
4
=
+1 
1
1

0,25
1 
2
5
6
3
4
21
12
19
24
2
A) B)
C)
D)
E)
2. Los números p, q y r son primos. Si n = (p · q)r, entonces la cantidad de divisores que
tiene n es
A)
B)
C)
D)
E)
r +1
(r + 1)
r2
r2 – 1
2r
3. Si m y n son números primos y distintos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
m + n es irracional.
m + n es irracional.
m · n es irracional.
4. Si p y q son dos números irracionales de modo que p : q = 3 : 5, entonces p y q
pueden ser, respectivamente
p
q
A)
3
5
B)
27
1
50
1
3
5
D)
54
120
E)
27
75
C)
5. Si n es un número entero positivo de modo que
siguientes valores puede ser n?
A)
B)
C)
D)
E)
n es primo, entonces ¿cuál de los
22
32
42
52
72
6. Si x = 10-4, entonces
(0,01) · (0,0001) · 10-1
10 · 0,001
es igual a
A) x3
B) 1000 x2
C) 2000 x2
D)
x2
1000
E)
x3
10
7. Si A =
A)
B)
C)
D)
E)
A,
B,
C,
A,
C,
8
1
,B=
9
3 2
y C=
32
, entonces el orden creciente es
7
B ,C
A ,C
A ,B
C, B
B, A
2
8. Si 3 pie equivalen a una yarda y 12 pulgadas son equivalentes a 1 pie, entonces
¿a cuántas yardas equivalen r pulgadas?
A) 36 r
B) 12 r
r
C)
36
r
D)
12
1
E)
36
9. El 15% de un número resulta ser un número entero, entonces el número no puede ser
A)
33,3
B)
6,6
C) 100
D) 15
E) -40
10. Para obtener el 115% de ganancia en la venta de un artículo, éste se debe vender en
$ 150.500. ¿Cuál era el precio del artículo?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
7.000
12.475
70.000
121.915
137.075
11. Si una entidad financiera ofrece un préstamo de $ 2.000.000 al 1,4% mensual de interés
compuesto, ¿cuál será la deuda en 3 años más?
A)
B)
C)
D)
E)
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
(1,14)36
(1,014)36
(1,014)3
(0,014)36
(0,14)3
3
12. El gráfico de la figura 1, representa el promedio de hurto semanal entre los meses
de Enero y Abril, del año 2009 en Santiago (Fuente: Diario “El Mercurio”). ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El promedio de delitos el día Viernes aumenta en un 33,3 % con respecto
al día Jueves.
La disminución de robos que se produce el Domingo con respecto al
Sábado es aproximadamente 41%.
Los días viernes y sábado la variación porcentual es igual a la variación
porcentual de los días miércoles y jueves.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
fig. 1
lu
ma
mi
ju
vi
sá
do
días
13. En un número de tres dígitos, a es el dígito de las centenas, b es el dígito de las decenas
y la unidad es c, entonces la deferencia de los números abc – cba es siempre múltiplo
de
A) 17
B) 11
C) 7
D) 5
E) 2
14. Al dividir (p2x2 – px2 – p + 1) por (p – 1) se obtiene
A) (x p – 1) (x p + 1)
B) (x p + 1)2
C) (x p – 1)
D) (x p – 1)2
E) No se puede determinar
4
15. En el ABC de la figura 2, AB  BC y el triángulo AEC es isósceles de base AC . Si
ACB = 15º y AD es bisectriz, entonces la medida del ángulo ADB es
C
A)
B)
C)
D)
E)
20º
30º
40º
50º
60º
fig. 2
E
D
A
B
16. Si A = Bpq + Bp2, entonces q =
A
– p2
BP
A
B)
B(q + p)
A)
A
 pq
B
A
–p
D)
Bp
A
E)
–p
B
C)
17. Si p y q son números naturales, entonces en el triángulo PQR de la figura 3, se cumple
que
R
A)
B)
C)
D)
E)
p
p
q
p
q
<
=
<
<
=
q
q
p
2q
3p
fig. 3
p
p+q
P
Q
p + 2q
18. En la figura 4, el punto G es el centro de gravedad del triángulo equilátero ABC de lado
18 cm. Entonces, el perímetro del triángulo ABG es
C
fig. 4
A) (12 3 + 18) cm
B)
C)
D)
E)
(18 3 + 2) cm
54 cm
27 cm
18 cm
G
A
5
B
19. En el cuadrilátero ABCD de la figura 5, AB // CD y BC  CD . Si ABD isósceles de base
AD y BAD : BDC = 2 : 1, entonces la medida del ángulo CBD es
D
A)
B)
C)
D)
E)
18º
36º
54º
72º
no se puede determinar
C
fig. 5
A
B
20. En la figura 6, BC  AB , CD  L2 y L1 // L2. Si AD es bisectriz del ángulo BAC, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
AB  BD
CDE isósceles de base DE .
BAC = BCD
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
B
D
L1
fig. 6
E
A
C
L2
21. En la figura 7, L1 es simetral de AB y L2 es simetral de CB . Si P es un punto cualquiera
de L1 y Q es un punto cualquiera de L2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
PBC = QBC
AP // CQ
PC y QC
son bisectrices de los
ángulos APB y CQB, respectivamente.
fig. 7
A
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
C
L1
B
L2
22. En la circunferencia de centro O de la figura 8, CD  AB y ACD =
1
DCB. Si
2
CD = 6 cm, entonces el área del círculo es
A) 18 cm2
B) 36 3  cm2
C) 48 cm2
D) 108 cm2
E) 48 3  cm2
A
D
O
B
fig. 8
C
6
23. En el triángulo ABC de la figura 9, CAB = 50º, CF  CE
y
DB  EB , entonces la
medida del ángulo DEF es
C
A)
B)
C)
D)
E)
65º
115º
130º
230º
no se puede determinar
fig. 9
F
E
A
D
B
24. Si los catetos del triángulo ABC rectángulo en C de la figura 10, miden 15 cm y 20 cm,
entonces el área de la región achurada es
7 

A) 150 
  cm2
25 

49 

B) 150 
 cm2
4 

C) (150 – 5) cm2
D) (150 – 25) cm2
E) no se puede determinar
C
fig. 10
A
B
25. En la circunferencia de centro O de la figura 11, BD  AD y OD = 2 cm. Si BCO = 30º,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
BOD = 60º
BC = 2BD
El área del círculo es 16 cm2.
A
D
B
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
fig. 11
O
C
7
26. En la figura 12, la suma de las áreas de los tres círculos congruentes es 3, entonces el
área del triángulo equilátero PQR es
R
A) 4 + 2 3
fig. 12
B) 16 3
C) 6  3 3
D) 7 3  12
E) 144 3
P
Q
27. En el cuadrado ABCD de la figura 13, de lado 8 cm, H y F son puntos medios de IJ y
AB , respectivamente. Si BG : GC = 1 : 7, entonces el área de la región achurada es
A)
B)
C)
D)
E)
12
18
20
32
36
D
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
C
fig. 13
H
I
E
A
J
G
F
B
28. En el cuadrado ABCD de la figura 14, BAE = 15º, AB = 6 cm. ¿Cuánto mide el área
achurada?
D
54  18 3
2
B) 18 3 – 9
A)
C)
fig. 14
6 3
E
D) 36 – 3 3
E)
C
3 3
A
8
B
29. En el trapecio ABCD de la figura 15, se puede determinar la medida del CEB, si:
1
DCB.
5
(2) CE y BE son bisectrices de DCB y ABC, respectivamente.
(1) ABCD trapecio rectángulo y ABC =
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
D
C
fig. 15
E
A
B
30. Si en el triángulo ABC de la figura 16, BCD es isósceles de base BC y CBD= 20º,
entonces se puede determinar la medida del ECD, si:
(1) AC  DC y E es punto medio.
C
(2) CE es altura.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
9
E
fig. 16
D
B
CLAVES
1
A
6
B
11
B
16
D
21
C
26
D
2
B
7
B
12
A
17
C
22
C
27
D
3
D
8
C
13
B
18
A
23
A
28
C
4
E
9
D
14
A
19
C
24
D
29
C
5
C
10
C
15
E
20
E
25
E
30
D
10
MINI ENSAYO DE MATEMÁTICA Nº 8
1. 2[3 – {5 – 2(7 – 10) – 1} + 5] =
A)
B)
C)
D)
E)
36
21
18
0
-4
-1



1 
2.  2 +

3

1 + 
2

A)
B)
C)
D)
E)
=
12
5
9
2
2
9
2
3
5
12
3. Si 2n divide exactamente al producto 6  5  4  3  2, entonces el mayor valor posible
de n es
A)
B)
C)
D)
E)
6
5
4
3
2
4. Si p = 3k, donde k es un entero, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
p es par.
p – 3 es divisible por 3.
2p es divisible por 6.
I
II
III
I y III
II y III
5. La quinta parte de la quinta potencia de 5t es
A)
B)
C)
D)
E)
54t4
54t5
54t
t5
t4
6. ¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios para formar la figura de la posición 20?
Posición: 1
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
76
79
80
81
84
7. El número racional q =
m
3 4 
es punto medio del intervalo  ,  . Entonces, un valor de
n
5 5 
m + n puede ser
A)
B)
C)
D)
E)
5
12
17
21
26
8. 37 – 33 =
A)
B)
C)
D)
E)
4
2 · 33 · 5 2
23 · 3 3 · 5
24 · 3 3 · 5
22 · 3 4 · 52
34
2
9. ¿Cuál (es) de los siguientes números no es (son) real(es)?
I)
32 3
II)
18  9 3
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2 6 3 3
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
10. En una bandada de loros, la razón entre la cantidad de hembras y machos es h : m. Si
los machos son L, ¿cuántas son las hembras?
A)
B)
C)
D)
E)
hm
L
hL
m
mL
h
m+L
h
h+L
m
11. Del gráfico (fig. 1) que muestra las tasas promedio de desempleo desde el año 1996
hasta el año 2004, se puede afirmar que es (son) verdadera(s):
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
El año que menos desempleados hubo fue en 1999.
En los años 2000 y 2001 hubo la misma cantidad de desempleados.
La variación porcentual experimentada entre los años 1999 y 2000 es
similar a la acontecida entre los años 2002 y 2003.
II
III
I y II
I y III
II y III
%
10
(Promedio, en %)
9,7
9
6
9,2
9,0
8,5
8
7
9,2
6,5
6,1
8,9
6,1
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
3
fig. 1
12. Si el 20% de
A)
B)
C)
D)
E)
10
es 1, entonces el 20% de (t + 2) es
t+2
0,1
0,2
0,4
0,01
0,05
13. El sueldo de una secretaria era de $ 220.000. El mes pasado su sueldo fue reajustado en
un 30% y sólo recibió $ 271.700. ¿Qué porcentaje de descuento le hicieron, debido a sus
reiterados atrasos?
A)
B)
C)
D)
E)
1,5%
2%
3,5%
4%
5%
14. Un comerciante aumenta el precio de un metro de género en un 20% y posteriormente
lo rebaja en un 30% resultando así a $ 4.200. ¿Cuál era el precio primitivo?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
7.200
6.000
5.600
5.200
5.000
15. ¿Qué expresión representa el enunciado: “el triple de un número, aumentado en 2 es
igual al cubo del mismo número, disminuido en 5”?
A)
B)
C)
D)
E)
3x + 2 = (x – 5)3
3(x + 2) = (x – 5)3
3(x + 2) = x3 – 5
3x + 2 = x3 – 5
(3x + 2) – 5 = x3
4
16. En una fiesta, el número de varones es la mitad del número de damas. Si se retiran 5
matrimonios de la fiesta, las damas que quedan son el triple de los varones. ¿Cuál es
número de varones que siguen en la fiesta?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
17. Si 15p + 30 = q, entonces p + 2=
A)
B)
C)
D)
E)
q
15
q
10
q
2
2q
15q
18. Si p =
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
y q=
1
, entonces p · q =
1p
1
2
1
2
4
1
4
19. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, 4) y (-1, 2) es
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
2
2
1
-2
5
20. La función f, representada en el gráfico cartesiano de la figura 2, es
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
y
2x – 1
x–1
-x – 1
x+1
-x + 1
f
fig. 2
1
-1
x
21. Luis gana $ m más que Juan y éste gana $ m menos que Pedro. Si Juan gana $ 2m y
Pedro gana $ 300.000, ¿cuánto gana Luis?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
100.000
200.000
300.000
600.000
900.000
22. Si a = 2m + 4, m =
b  2
5
y c + m = 3, entonces la expresión -a – (b + c), en
función de m, es
A) 2m – 1
B) 1 – 2m
C) -2m – 1
D) 2m + 1
E) m + 1
23. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 7. Si se invierte el orden de sus
cifras, resulta el doble del número original más 2 unidades. ¿Cuál es el número?
A)
B)
C)
D)
E)
16
25
34
52
61
6
24. Si M =
A)
B)
C)
D)
E)
T+1
2
0
-1
M
T  1
T+1
25. Si a =
A)
B)
C)
D)
E)
M
T+1
, entonces
=
M  1
T  1
b(1 + 3x)
, entonces x =
x  2
2a + 4b
a
b+2
a  3
b+2
a  3b
2a + b
a  3b
b + 2a
a  3
26. Si p, s y t son enteros distintos de cero, ¿cuál es el signo de la expresión ps + pt?
(1) ps  pt
(2) p  s  t  0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
27. Se puede afirmar que a3 > a, si:
(1) a es número racional.
(2) a  0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
28. a y b son números enteros consecutivos, si:
(1) a es menor que b.
(2) a es impar y b es par.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola (1) ó (2)
Se requiere información adicional
29. En el cuadrilátero ABCD de la figura 3,  +  = 90°, si:
(1) DE = EC = BC
A)
B)
C)
D)
E)
E
D
(2) ABCD es paralelogramo.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional

C

fig. 3
B
A
30. En la figura 4, ABCD es un paralelogramo, si:
C
(1) AD // BC
45º
(2) x = 45º
A)
B)
C)
D)
E)
B
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
x
A
8
fig. 4
CLAVES
1
E
6
D
11
B
16
B
21
C
26
B
2
E
7
C
12
C
17
A
22
D
27
E
3
C
8
C
13
E
18
B
23
A
28
E
4
E
9
D
14
E
19
A
24
B
29
C
5
B
10
B
15
D
20
B
25
D
30
C
9
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 1
ARITMÉTICA - NÚMEROS ENTEROS
1.
Si se guardan 438 juguetes colocando seis en cada caja, entonces el número de cajas
que se necesitan está entre
A)
B)
C)
D)
E)
2.
40
50
60
70
80
y
y
y
y
y
Cuatro niños P, Q, R y S coleccionan láminas, P tiene el triple de láminas que Q y el
doble que R, y S tiene el doble de láminas que P. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
50
60
70
80
90
S es el que tiene más láminas.
Q es el que tiene menos láminas.
R tiene menos lámina que Q.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Observando las siguientes relaciones:
1
2
3
4
9
y
·3=2·2–1
·4=3·3–1
·5=4·4–1
·6=5·5–1
· 11 = x · x – 1
· 21 = 20 · 20 – 1
se puede deducir que x + y =
A) 29
B) 31
C) 83
D) 109
E) Ninguna de las anteriores.
4.
Dos obreros cobraron por pintar el frontis de una casa, $ 60.000 y trabajaron en ello
durante 5 días. Si uno de los obreros recibió diariamente $ 4.000, ¿cuánto recibió
diariamente el otro?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
$
$
$
$
$
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
En la secuencia de la figura 1, ¿cuántos
respecto al 7mo?
1ero
2do
cuadrados más habrá en el
3ero
8vo lugar con
4to
fig. 1
…
A)
B)
C)
D)
E)
6.
16
15
14
13
12
Asisten a una reunión 52 personas, de las cuales se sabe que:
- Los hombres son 4 más que las mujeres.
- 16 hombres no usan lentes.
- 10 mujeres usan lentes.
Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
30 personas no usan lentes.
12 hombres usan lentes.
22 personas usan lentes.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2
7.
La figura 2, corresponde a una máquina procesadora de números enteros que opera de
la siguiente manera. Al triple del número que ingresa por A, le agrega el cuadrado del
que ingresa por B. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si por A y B entran números impares, por C sale un número par.
Si por A y B entran números negativos, por C sale un número positivo.
Si por C, sale un impar negativo, por A entró un número negativo y por B
entró un impar.
A
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
B
C
fig. 2
8.
Tres líneas de buses salen al litoral central con frecuencias de 6, 8 y 12 minutos,
respectivamente. Si las 7:00 horas A.M. salen simultáneamente las tres líneas, en
su primera salida, ¿cuántas salidas simultáneas tendrán las tres líneas hasta las
10:00 A.M.?
A)
B)
C)
D)
E)
9.
9
8
7
6
3
La tabla de la figura 3, muestra los posibles años de nacimiento y muerte de dos
filósofos griegos de la antigüedad. De acuerdo con estos datos, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones sería(n) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Thales habría vivido más de 90 años.
El año de la muerte de Thales, Pitágoras aún no nacía.
Pitágoras habría nacido el año en que Thales cumplía 60 años.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
Nacimiento Muerte
3
Thales
-640
-547
Pitágoras
-580
-500
fig. 3
10. Si p es un número múltiplo de 6, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3p es un número par.
p + 6 es un múltiplo de 6.
2p es un múltiplo de 3.
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
11. Si M = 215 – 25, entonces
verdadera(s) con respecto a M?
Es divisible por 210.
Es divisible por 3.
Es divisible por tres números sucesivos.
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
12. Si s, t, u
s
A)
B)
C)
D)
E)
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
t
y
0
v son números enteros cuya ubicación en la recta numérica es
u
v
, entonces se cumple que
(s – t)(u – v) < 0
(s – u)tv < 0
(s + t)(t – u) > 0
(v + t)(u + s) >0
u–t=0
13. Si hoy es martes, ¿qué día será dentro de 51 días?
A)
B)
C)
D)
E)
Lunes
Jueves
Miércoles
Viernes
Sábado
4
14. Sea M un conjunto de tres números naturales pares consecutivos, cuyo elemento
menor es (n – 4), entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El promedio de los tres términos es n – 2.
El producto de los tres números es par.
La suma de los tres números es múltiplo de 6.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
15. ¿Cuál es el valor de cada una de las incógnitas a, b, c y d en el cuadrado de la
figura 4, para que se cumpla que la suma de cualquier fila, columna o diagonal sea la
misma?
A)
B)
C)
D)
E)
a
b
c
d
1
3
2
2
1
4
2
1
7
7
2
7
3
4
2
7
4
7
1
4
6
a
8
b
5
3
c
9
d
16. Si a, b, c  – y a > b, ¿cuál(es) expresión(es) es (son) siempre negativa?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(a – b)(b –a)
a2 · b
(b – c)(a – c)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Ninguna de ellas.
17. Sean a, b, c  –. Si b < c y a – b > 0, entonces siempre se cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
b+c>0
c(a – c) < 0
b(c – a) < 0
(c + b)(a – b) < 0
(b – c)(a – c) < 0
5
fig. 4
18. Si p es un número entero, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
(p2 – 1) es el entero antecesor del cuadrado de p.
(p + 1)2 es el cuadrado del entero sucesor de p.
-(p + 1) es el entero antecesor de p.
I
III
I y II
I y III
II y III
19. Sean x e y dos números consecutivos. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son) correcta(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
x – y – y – x = 0
(x – y)2 + (y – x)2 = 2
x – y2 = (y + x)2
I
II
III
I y II
I y III
20. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el número 4079?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4 · 1.000 + 7 · 10 + 9
4 · 103 + 0 · 102 + 7 · 100 + 9 · 101
4 unidades de mil, 10 centenas, 7 decenas y 9 unidades.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
21. 33 + 33 + 33 =
A) 2727
B) 273
C) 327
D) 39
34
E)
6
22. Un número N de cuatro cifras, se llama SIMÉTRICO si puede representarse mediante la
expresión N = 1.000b + 100c + 10c + b, donde b y c son dígitos y b  0. ¿Cuál de los
siguientes números es SIMÉTRICO?
101
A)
B) 2.001
C) 4.774
D) 5.435
E) 11.001
23. ¿Cuántos números enteros positivos de dos cifras tienen las siguientes propiedades:
“Es divisible por 6 y la cifra de las unidades es el sucesor de las cifras de las decenas”?
A)
B)
C)
D)
E)
Ninguno
1
2
3
Más de 3
24. Si a y b son números naturales. La expresión a  b es un número negativo, si:
(1) a  b = -a2 – b2
(2) a  b + 5 = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1 ó (2)
Se requiere información adicional
25. Si p, s y t son enteros distintos de cero. Se puede determinar el signo de la expresión
ps + pt, si:
(1) ps < pt
(2) p < s < t < 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
MATERIAL TEM-01
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 1
1. D
6.
E
11. D
16. C
21. E
2. B
7.
A
12. C
17. D
22. C
3. A
8.
B
13. B
18. B
23. C
4. E
9.
D
14. E
19. D
24. D
5. B
10. E
15. E
20. A
25. B
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 2
NÚMEROS RACIONALES, IRRACIONALES Y REALES
1.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) al decimal 2,025?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
5 · 10-4 + 4 · 10-3 + 3 · 10-2 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
20,25 · 10-1
202,5 · 102
0,2025 · 10-1
12
543
345
345
345
1
Si x =
3
3
7
7
3
2
7
7
2
-6
5
A) B)
C)
D)
E)
·
·
·
·
·
10-9
10-4
10-5
10-4
10-2
1
x
e y = 2, determine el valor de
=
1
x+
y
y 
4.
Si a =
1
1
, determine el valor de
=
1
5
1 
1
1 
a
A) -4
B) 5
1
C)
5
D) -3
4
E)
5
5.
Al ordenar las siguientes fracciones I =
3
4
9
, II =
, III =
7
9
20
creciente se tiene
A)
B)
C)
D)
E)
6.
III, II, I, IV
III, II, IV, I
II, III, I, IV
IV, I, II, III
I, IV, II, III
1
· 10-1 + 5 · 10-2 + 1
5
=
5 · 10-2 + 1
1
50
101
B)
100
107
C)
499
107
D)
500
107
E)
105
A)
2
y IV =
2
, en forma
5
7.
Si a = 0,02 y b =
5
, entones 102a – 10b-2 =
2
121
2
6
B)
5
2
C)
5
12
D)
5
18
E)
5
A)
8.
¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) siempre FALSA(S), para a  +?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
9.
5
2
>
5a + 2
5a  2
2
5
>
5a + 2
5a + 2
5
2
>
5a + 3
5a  3
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
Ninguna de ellas.
En la recta numérica de la figura 1, los segmentos BC, CD, DE
longitud. ¿Qué número real corresponde al punto E?
3
14
5
B)
14
7
C)
14
8
D)
14
9
E)
14
A)
B
3
7
3
C
D
y
E
EF son de igual
F
5
7
fig. 1
10. Al ordenar en forma creciente los números -3, -,
8 , -2 se obtiene
8 , -, 2
A) -3,
8 , 2
B) -, -3,
2
C) -, - ,
8 , -3
D) -2, -,
8 , -3
2
E) - , -, -3,
8
11. Si x e y son dos números tales que x 4 = y4, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
igualdades es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
x2 = y2
x = y
x3 = y3
Solo III
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
12. Si r es un número racional distinto de cero, ¿cuál de los siguientes números es
siempre irracional?
13.
A)
2r
B)
r
C)
13r
D)
0,17r
E)
r+3
0,00051 0,000003
:
=
170.000
0,09
A)
B)
C)
D)
E)
9
9
9
9
9
·
·
·
·
·
10-3
10-4
10-5
10-13
10-17
4
14.
-3
 0,00048 


16


-3
 27.000 
: 

 9 · 10-3 
=
A) 1033
B) 10-33
C) 9 · 1033
D) 9-3 · 10-3
E) 10-3
15. (0,25 – 1)-2 : (1 – 0,25)-3 =
3
4
3
B) 4
4
C)
3
4
D) 3
A)
E) -1
3
4
16. Si 1 < x < 2 e y = 8, entonces ¿qué letra de la recta numérica (fig. 2) representa
x
mejor al número ?
y
A)
B)
C)
D)
E)
a
b
c
d
e
17. Si p = 2 · 10-2, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
a b
0
p-2 · p
p-1 · p2
es igual a
1
1
50
25 · 102
25 · 10-2
4 · 104
5
1
2
e
c d
1
3
2
2
lR
5
2
3
fig. 2
18. ¿Cuál es el orden, de menor a mayor, de los números P =
T=
A)
B)
C)
D)
E)
4
3 2
2 2
, R =
5
2
, S =
2
4
8
y
?
S, T, R, P
R, T, S, P
S, R, P, T
P, R, T, S
R, S, T, P
19. Si a y b son números racionales negativos, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
ab + b2 es un número racional.
ab es un número real.
a + b es un número irracional.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
20. Si r es un número racional, entonces ¿cuál de las siguientes opciones se siempre un
número real?
A)
B)
C)
1
r + 20
1
r  0,2
1
r+ 2
1
D)
r + 2,3
1
E)
r  0,3
6
2
de la altura se deja caer. Si la soltamos desde
3
una altura de 27 metros, ¿cuál es la distancia que recorre esta pelota, hasta que toca el
suelo por tercera vez?
21. Una pelota de tenis rebota hasta los
A) 103 m
B) 87 m
C) 63 m
D) 60 m
45 m
E)
22. ¿Cuál(es) de las siguientes números no es (son) real(es)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
B)
C)
D)
E)
3 
7
3 2  2 5
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
Ninguno de ellos.
23. ¿Cuánto vale
A)
5  2
1
2.003 · 2.001
+
 2.003 ?
2.002
2.002
1
2.002
0
1
2.002
1
-1
24. ¿Cuál es el valor numérico de 2x – y?
(1) x + 2 = 2y
(2) x = y
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1 ó (2)
Se requiere información adicional
7
25. Se puede afirmar que el inverso multiplicativo de
(1)
b
3
=
a
4
(2) b – 3 = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1 ó (2)
Se requiere información adicional
8
3
a
es el número racional , si:
4
b
MATERIAL TEM-02
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 2
1. A
6.
E
11. C
16. A
21. B
2. D
7.
C
12. A
17. C
22. B
3. E
8.
B
13. C
18. D
23. E
4. E
9.
E
14. A
19. B
24. B
5. D
10. D
15. A
20. C
25. C
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 3
NÚMEROS COMPLEJOS
1.
La suma de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria del complejo z = 5 – 2i
es
3
A)
7
B)
C) 21
D) 29
E) -29
2.
El valor de ( -8 +
3
-8 ) es
A) 12i
B) -2 + 2i 2
C)
4 – 8i 2
D) -4 + 8i 2
E) -12
3.
El valor de la expresión (i15 + i)5 es
A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
E) 5i
4.
El valor de 1 + i + i2 + i3 + i4 + … + i90 es
A) 0
B) i
C) -i
D) 1
E) -1
5.
Si z1 = (2x – 5y) + (3x + 4y)i y z2 = 19 + 17i, entonces ¿cuánto deben valer x e y
para que z, sea igual a z2?
x
A) 1
B) 1
C) -1
D) 7
E) -7
6.
z
7
-7
7
-1
-1
i(1 - i) =
A) 1
B) i
C) 1 – i
D) 1 + i
E) -1 + i
7.
Si z1 = 3 + 2i y z2 = 2 – 3i, ¿cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
8.
z1 · z2 = 6 – 6i
z1 + z2 = 5 – i
z1 – z2 = 1 + 5i
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
La expresión (1 + i 2 )(1 – i 2 ) es igual a
A) 1 + 2i
B) -1 + 2i
C) 1 – 2i
D) -1 – 2i
E) 3
2
9.
Si z = -3 + 8i, entonces z2 es igual a
A)
9 + 64i
B) 55 + 48i
C) -55 – 48i
D) -64 + 9i
E) 73 – 48i
10. Al factorizar la expresión 4x2 + 36, se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
(2x + 6)(2x + 6)
(2x – 6)(2x – 6i)
(2x + 6i)(2x – 6i)
(2x + 6i)(2x – 6)
No se puede factorizar.
11. Si z = a + bi y p = z · z , entonces p es
A)
B)
C)
D)
E)
Un
Un
Un
Un
Un
número
número
número
número
número
real cualquiera
real positivo
real negativo
imaginario
real no negativo
12. La suma de un número complejo y sus conjugado es igual a 6 y la diferencia z – z es
igual a 4i. Entonces, z =
A) 3
B) 3
C) 6
D) 6
E) -3
+ 2i
– 2i
+ 4i
– 4i
+ 2i
13. Si z = 2 – 3i, el valor del módulo de z es igual a
A) -1
B) 1
13
C)
D)
19
E)
5i
3
14. Sean z1 = 2a + b – 3i, y z2 = 6 + bi – 9i. Si a y b son números reales y z2 = 2z1,
entonces el valor de a + b es
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
2
3
6
15. Si z = a + bi, entonces
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
El módulo de z es igual al módulo de z .
El módulo de z es a2 – b2.
z2 = z · z
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
16. Si el producto de los números complejos (2 + ai) y (2 + bi) es un número real puro,
entonces se cumple
A)
B)
C)
D)
E)
a=0 y b0
ab = 4
a = -b
ab = 1
ab = -1
17. i4 + i-4 =
A) i
B) -i
C) -2
D) 0
E) 2
18. ¿Para qué valor de x la fracción
3x  4 + 12
x  i4
A) 0
B) -1
C) 1
D) 2
E) Para ningún valor.
4
no está definida?
19. ¿Qué valor debe tener k en
2  ki
para que el cuociente sea un imaginario puro?
k  i
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
20. Sean v = 5 + i, u = 2 – 2i y s = 2 + 2i, entonces
uv
=
s
A) 1 – 5i
B) 5 + 5i
C) 5 – 5i
D) -5 + 5i
E) 1 + 5i
21. Si a = i, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
a + ai
=
a  ai
i
1+i
i–1
2i
1
22. Si z = a + bi es un número complejo tal que (4 + i) · z = 2 – 5i, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
9
22
9
22
3
22
3
22
Ninguna de las anteriores.
5
a
=
b
23. Si z = a + bi es un número complejo tal que (2 + i) · z – 2 = 0. Entonces a + b =
1
2
2
C)
5
2
D) 5
5
E)
6
A)
B)
24. Si
z
= z + i, entonces el valor de z es
1  i
A) 1 – i
B) 1 + i
C) -1 + i
D) 2 – i
E) -2 + i
25. El número complejo
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
+
es igual a
i
1  i
1
i
+
2
2
i
1
–
2
2
i
1–
2
1
+i
2
1–i
26. 2i-4 + 3i-3 + 4i-2 + i-1 =
A) -10i-1
B) 2 – 2i
C) 2 + 2i
D) -2 + 2i
E) 2i
6
27. Sea el número complejo z = 1 – i 2 . Si z denota al conjugado de z, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
1
=
z
1
z
3
1
- z
3
2z
-2 z
2
z
3
28. Dado el número complejo z = -1 + i 3 , entonces z2 + z + 3 =
A) i 3
B) 3 + i 3
C) i
D) 3 - i 3
E) -i 3
29. Se puede determinar el valor de
z1
, si:
z2
(1) z1 + z2 = 5i
3
(2) z2 =
i
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
30. Se puede determinar el valor del módulo de la suma de un número complejo Z y su
conjugado, si se conoce:
(1) La parte real de Z.
(2) La parte imaginaria de Z.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
CLAVES TEM 03
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 3
1. D
6. D
11. E
16. C
21. A
26. D
2. B
7. D
12. B
17. E
22. D
27. A
3. C
8. E
13. C
18. C
23. C
28. E
4. B
9. C
14. D
19. C
24. A
29. C
5. D
10. C
15. D
20. A
25. B
30. A
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 4
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
1.
El desarrollo de (x – 2y)2 es equivalente a
A)
B)
C)
D)
E)
2.
2y + 4y2
4y + 4y2
2xy + 4y2
4xy – 4y2
4xy + 4y2
2b(a + b)
2b(a – b)
2b2 – 2ab
(a – b)2 + b2
(a + b)2 + b2
Si A = p + 1, B = p – 1, C = A · B, entonces C – 2(A + B) =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
–
–
–
–
–
Si x = a2 – b2, y = (a – b)2, z = 4ab, entonces y – x + z =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
x2
x2
x2
x2
x2
p2 + 2p
p2 – 2p
p2 – 2p – 1
p2 + 2p – 1
ninguna de las anteriores.
¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
g2 – h2 = (g – h)2
g2 – h 2 = h 2 – g 2
(g – h)2 = (h – g)2
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
Ninguna de ellas.
5.
Si al doble de (a + b)2 se le resta el doble de (a2 – b2), se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
6.
2
3 

1  5 y 


A)
B)
C)
D)
E)
7.
4ab
4b(a + b)
4a(a + b)
2ab + b2
2ab – b2
9 2
y
25
9 2
y
25
9 2
y
25
9 2
y
25
9 2
y
25
=
+
+
–
–
–
6
y+1
5
6
y+1
5
6
y+1
5
6
y+1
5
6
y
5
Si p + q – 1 = 0, entonces el valor de 2p2 + 4pq + 2q2 es
A) 4
B) 2
C) 1
D) -2
E) -4
8.
3x2  6x
x2  4x + 4
A)
B)
C)
D)
E)
=
3x
x+2
3x
x  2
-3x
x+2
-3
0
2
9.
Al dividir (8a2 – 2) por (4a + 2) se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
2a – 1
2a + 1
2–a
a+1
a–2
2
10.
2
 m2  1 



 +  2m  =
 2

 m2 + 1 
 m + 1


A)
B)
C)
D)
E)
m2 – 1
m2 + 1
m2
1
0
11. Al simplificar la expresión
an + 2  an
a2 + 1
 2
se obtiene
A) an – 2(a2 – 1)
B) an + 2(a2 – 1)
an(a2  1)
2
D) an (a2 + 1)
E) an + 2 (a – 1)
C)
12. a4 – b4 =
A)
B)
C)
D)
E)
(a
(a
(a
(a
(a
–
–
–
–
–
b)2 · (a + b)2
b)2 · (a2 + b2)
b)(a + b)(a2 + b2)
b)(a + b)(a2 – b2)
b)4
3
13. Al simplificar
A)
9x2 + 6xy + y2
9x2  y2
, resulta
3x + y
3x  y
3x  y
3x  y
C) 6xy
D) -6xy
3x + y
E)
-3x + y
B)
14. Si a2 ≠ b2, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
15.
10b
3
5
–
+
2
a+b
a  b
a  b2
2
a+b
2a
a  b
-2
a  b
2
a+b
2b
-a + b
x
x+1
3x2  x + 2
+
–
=
x+1
x  1
x2  1
A)
B) -
x  1
x+1
x2  3
x2  1
1  x
C)
x+1
D) -1
E) 1
4
es equivalente con
16. Al dividir
4a2  25b2
4a2  20ab + 25b2
por
5b + 2a
se obtiene
2a  5b
A) -1
B) 1
C)
D)
E)
1
20 ab
5a + 2b
0
17. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el área de un cuadrado de lado
x + 2y?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
18.
(x + 2y)2
(x + y)2 – (x – y)2 + x2 + 4y2
( 2x + 8y)2
2
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
1  a3
3 + 3a + 3a2
=
1  a
3
1+a
B)
3
a  1
C)
3
D) 1 – a
A)
E)
19.
1  a2
3a + 6
-ab + 2c  ac + 2b
=
b+c
A)
B)
C)
D)
E)
2+a
a–2
2–a
ab + ac – b
4 – 2a
5
20.
2x2  5x  3
x2 + x  12
A)
B)
C)
D)
E)
=
2x  1
x+4
2x  1
x  4
2x + 1
x  4
2x + 1
x+4
-5x  1
x  12
21. La factorización de w2 – 6xy – 9x2 – y2 está representada por
A)
B)
C)
D)
E)
(w
(w
(w
(w
(w
+ 3x + y)(w – 3x + y)
– 3x – y)(w + 3x + y)
+ 3x + y)(-w – 3x – y)
+ 3x + y)(w + 3x – y)
– 3x – y)(-w + 3x + y)
22. Al resolver
A)
B)
C)
D)
E)
(x
(x
(x
(2
(2
2x  1
2x2  5x + 2
:
resulta
x  3
9  x2
+ 2)(3 + x)
+ 2)(-3 – x)
– 2)(3 + x)
– x)(3 – x)
– x)(3 + x)
23. El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo
es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es
A)
B)
C)
D)
E)
(4x
(2x
(2x
(4x
(4x
+
+
+
+
+
16) metros
8) metros
16) metros
8) metros
32) metros
6
24. Si en los números reales se definen las operaciones a  b = a2 + 2ab + b2
mn = m2 – 2mn + n2 entonces el valor de (4  3) – (3  5) es igual a
y
A) 33
B) 47
C) 63
D) -27
E) -63
25. Considerando que para todo número entero positivo K, se tiene que
1
1
1
=
–
, entonces la suma de los primeros 99 términos de la forma
k
k+1
k(k + 1)
1
,
con
k
un
número
entero
positivo,
es
decir,
k(k + 1)
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+…
+
, es
2  3
3  4
4  5
99  100
98  99
1  2
A)
B)
C)
D)
E)
100
101
99
100
101
100
99  100  1
99  100
Ninguna de las anteriores
26. Si en un rectángulo de largo 2a y de ancho a + 2, se aumenta el largo al doble y el
ancho en 3a + 6, entonces el área del nuevo rectángulo, con respecto al original,
aumenta a
A)
B)
C)
D)
E)
8 veces
6 veces
en 16 unidades
en 8 unidades
16 veces
7
27. La figura 1 está formada por dos rectángulos. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones
representa(n) el área de la región achurada?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(w + z)x – yw
zx + w(x – y)
zy + (z + w)(x – y)
fig. 1
x
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
y
z
1+
28. Dada la expresión
w
1
2
x + 2x
, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
1
+1
x
FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Si x = 3 – 2, entonces el número que resulta es irracional negativo.
Si x = 1, entonces el número es racional.
Si x = 0, entonces el número es real.
I
II
III
I y II
I y III
29. Si x e y son dos números distintos, se puede determinar el valor de la expresión
x2  y2
, si:
x  y
(1) x + y = 8
(2) x – y = 2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
30. La expresión 4a2 + 12ab + xb2 es un trinomio cuadrado perfecto, si:
(1) x2 = 81
(2) x es un número positivo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
8
CLAVES TEM 04
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 4
1. E
6. D
11. A
16. B
21. B
26. A
2. A
7. B
12. C
17. E
22. E
27. E
3. E
8. B
13. A
18. A
23. A
28. E
4. B
9. A
14. D
19. C
24. E
29. A
5. B
10. D
15. C
20. D
25. B
30. C
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 5
ECUACIONES DE PRIMER GRADO - PLANTEAMIENTOS
1.
El valor de x en la ecuación 3(x – 2) – 2(x – 1) = -5 – 4x es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3
1
5
3
5
1
5
9
5
El valor de x en la ecuación -1 – x – (x – 1) + x = 3 es
A) 5
B) 3
C) 0
D) -1
E) -3
3.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución x = -2?
A)
B)
C)
D)
E)
x2 – 4 = 0
x+2=0
(x + 2) (x – 2) = 0
4(2 – x) = 0
(x – 6) (x + 2) = 0
4.
Si
1
p
2
= 0 y p = , entonces q =

4
2
q
4
2
1
1
D)
4
2
E)
5
A)
B)
C)
5.
Si
a
b
1
1
+
=
, entonces
=
x
x
2
x
A) a + b
B) 2(a + b)
1
C)
a+b
1
D)
2(a + b)
1
E)
a  b
6.
El conjunto solución de la ecuación
A)
B)
2
1
es
+2 =
x
2
 4 4
- , 
 3 5
4 4
 ,- 
3 5 
 4 4
- , - 
 3 5
4 4
D)  , 
3 5 
C)
E)
3 5 
 , 
4 4
2
7.
En la ecuación 3
1
3
15
x + 2,25 = x +
, el valor de x es
2
8
6
2
25
2
B)
15
5
C)
12
2
D)
3
3
E)
4
A)
8.
Si
A)
B)
C)
D)
E)
9.
1
a
= 1, con a  -1, entonces el recíproco de x es
+
x
x
2
a
1
1
+a
–1
+a
+ 2a
1
1+a
Si
1
1
1
=

, entonces x =
30
x
3x
A)
B)
C)
D)
E)
5
10
15
20
30
10. La ecuación de incógnita x, k(x + 3) = 3(k + 2x) – 2(5 – kx), tiene solución única si k
es distinto de
A)
B)
C)
D)
E)
10
3
-2
-3
-6
3
11. Sea
20
4

= 90 ·  2   . Si N = 2x – 1, entonces x =
N
N


14
9
19
B)
9
28
C)
9
D) 1
E) 2
A)
12. La mitad de (1 + a) es 8, entonces el doble de (a – 5) es igual a
A)
4
B) 20
C) -20
D) 40
E) 24
13. El doble de un número más
1
de él resulta 60. ¿Cuál es la cuarta parte del número?
2
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 24
14. Si a =
3x
, entonces x =
bx + 1
3a
ab + 1
3+a
B)
1  ab
3a
C)
b +1
2
D)
ab + 1
4
E)
ab + 1
A)
4
15. En la igualdad
A)
B)
C)
D)
E)
AC
A
, el valor de B es
=
D+B
3
3AC
DA
3C
D
3C – D
3CA – D
DA  3C
A
km
y
h
Mario sale a la misma hora desde la ciudad B hacia la ciudad A, también con rapidez
constante. Si la distancia entre ambas ciudades es de 400 km y al cabo de dos horas se
cruzan en el camino, entonces ¿cuál es la rapidez de Mario?
16. Luis sale desde la ciudad A hacia la ciudad B con una rapidez constante de 120
A)
B)
C)
D)
E)
80 km/h
120 km/h
160 km/h
200 km/h
240 km/h
4
3
de una cantidad de dinero, se tomaron los
, cometiéndose
5
7
en ello un error de $ 2.600. ¿A cuánto ascendía el total de dinero?
17. En lugar de tomar los
A)
B)
C)
D)
E)
$ 7.000
$ 9.100
$ 13.000
$ 18.200
$ 91.000
18. Se repartieron 30 caramelos entre 4 niños, recibiendo cada uno c caramelos. Si
sobraron 2c caramelos, ¿cuántos caramelos recibió cada niño?
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
6
5
19. Un estanque cuya capacidad es de 500 litros, está vacío. ¿En cuántos minutos se
llenará, si abrimos al mismo tiempo tres llaves que vierten, la primera 12 litros por
minuto, la segunda, 8 litros por minuto y la tercera 5 litros por minuto?
A)
B)
C)
D)
E)
15
16
20
24
25
20. 2 carpinteros arman un estante en una hora y media. Si uno de ellos es 3 veces más
rápido que el otro, ¿cuánto se hubiera demorado el más lento al armarlo solo?
A)
B)
C)
D)
E)
2 horas
3 horas
4,5 horas
5 horas
6 horas
21. Si resto 2.520 al triple de una cantidad, obtengo la mitad de ella, ¿cuál es esa
cantidad?
108
A)
504
B)
C) 1.008
D) 2.520
E) 5.040
22. Mario y Luis aportan comprando para la fiesta de navidad 30 regalos. Cada regalo de
Mario tiene un costo de $ 3.000 y cada regalo de Luis es de $ 5.000. Si el costo total es
de $ 112.000, ¿cuál(es) de los siguientes expresiones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Mario aporta con 19 regalos.
Luis aporta con 11 regalos.
Mario invierte menos dinero que Luis.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
Ninguna de ellas.
6
23. Aarón pinta en 20 minutos una muralla de 5 m de largo por 3 m de alto y Antonio
demora lo mismo pero en una muralla de 30 m2, ¿cuánto tiempo demorarán en pintar
juntos una muralla de 15 m de largo por 3 m de alto?
A) 6, 6 min
B) 10 min
C) 13, 3 min
D) 15 min
E) 20 min
24. Se puede determinar cuántos juguetes tiene René, si:
(1) Los 18 juguetes de Gonzalo son el triple de los de René.
(2) Gonzalo tiene 6 juguetes más que el doble de los que tiene René.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
25. Se puede determinar cuánto demorará Pedro en demoler un muro, si:
(1) Juan demuele el muro en 8 horas.
(2) Pedro y Juan juntos, lo demuelen en 6 horas.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
7
MATERIAL TEM-05
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 5
1. B
6.
C
11. A
16. A
21. C
2. A
7.
A
12. B
17. A
22. C
3. D
8.
C
13. B
18. D
23. E
4. A
9.
D
14. C
19. C
24. A
5. D
10. E
15. C
20. E
25. C
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 6
ESTADISTICA, COMBINATORIA Y PROBABILIDAD
1.
¿Qué es necesario hacer primero para obtener la mediana de p puntajes de una prueba?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
¿Cuál es la media aritmética de los siguientes números: 0,16; 0,24; 0,18; 0,22; 0,20?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Conocer la suma de los p puntajes
Conocer el primer y último puntaje de la prueba
Calcular la moda y la media aritmética
Calcular el rango de los puntajes
Ordenar los puntajes de menor a mayor o de mayor a menor
1
0,50
0,20
0,02
0,05
Al realizar una encuesta de la cantidad de personas que viven por casa se obtuvieron los
datos de la tabla adjunta, con respecto a esta información, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
La media aritmética y la mediana son iguales.
La muestra es bimodal.
Una de las modas en igual a la mediana.
I
II
III
I y III
II y III
Nº de personas
por casa (xi)
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
absoluta
(f)
5
20
30
30
5
10
4.
El gráfico de la figura 1, muestra los precios de distintos frutos secos. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) P y M valen lo mismo.
II) Un kilo de N más un kilo de A vale $ 14.500.
III) En promedio un kg de estos frutos vale
$ 5.500.
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Valor
A
8.000
N
3.250
I
II
III
I y II
II y III
P
M
100
200
500
A: Almendras
N: Nueces
P: Pasas
M: Maní
500
1.000
Gramos
El promedio de los cuatro cuartos medios de un colegio es 5,9, si los promedios de cada
curso y su cantidad de alumnos está dado en la siguiente tabla, el valor de x es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
fig. 1
6,5
6,4
6,1
6,0
5,9
4o
x
A
B
C
D
5,0
6,5
No alumnos
30
20
25
25
x
6,0
El gráfico circular de la figura 2 muestra el número de alumnos por idioma en una
academia que tiene 300 alumnos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La moda es estudiar chino.
La frecuencia relativa de los alumnos de alemán es 20%.
La media aritmética es 75 alumnos.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
Chino
120
Inglés
90
2
Francés
30
Alemán
60
fig. 2
7.
La tabla adjunta muestra los resultados por intervalos, que obtuvieron 30 alumnos de un
curso en un ensayo de PSU, con respecto a estos datos, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
8.
El intervalo modal es el mismo donde se ubica la mediana.
El 50% de los alumnos tiene un puntaje desde 550 puntos, hasta un puntaje
menor a 750.
La frecuencia relativa del segundo intervalo es 33%.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
Frecuencia
[450 – 550[
8
[550 – 650[
10
[650 – 750[
5
[750 – 850[
7
¿Cuál de los siguientes gráficos representa la información entregada en la tabla adjunta?
Intervalo
Frecuencia
[14 – 18[
8
[18– 22[
5
[22 – 26[
7
[26 – 30[
3
II)
I)
f
f
8
7
8
7
5
5
3
3
14 18
A)
B)
C)
D)
E)
9.
Intervalo
22
26
30
x
III)
fac
•
23
20
•
•
13
•
16
20
24
28
•
•
•
8
x
•
•
14
18
22
26
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
La siguiente tabla corresponde a los pesos de 20 personas, el promedio de sus pesos es
A)
B)
C)
D)
E)
56
60
61
65
66
3
Intervalo
Frecuencia
[45 – 55[
8
[55 – 65[
5
[65 – 75[
4
[75 – 85[
3
30
x
10. Con los dígitos 2, 3 y 4. ¿Cuántos números 3 cifras se pueden formar?
A)
6
B)
9
C) 12
D) 24
E) 27
11. ¿Cuántas palabras de 6 letras, con o sin sentido se pueden formar con las letras de la
palabra: ”AMIGOS”?
60
A)
B) 120
C) 360
D) 720
E) 1440
12. ¿De cuántas formas se pueden ordenar alrededor de una mesa 5 amigos?
A)
24
B)
25
C)
75
D) 120
E) 125
13. ¿Cuántos pentágonos se pueden formar utilizando los vértices de un octógono?
A) 5!
B) 8! – 5!
C) C58
D) V58
E)
P8
14. En una liga de futbol hay 16 equipos, el número de formas distintas de clasificar al final
de la temporada los tres primeros equipos es
A) 16!
B) 163
16!
C)
3!
D) C16
3
E)
V316
4
15. Si se forman palabras de 5 letras (sin importar que carezcan de significado), con las
letras de la palabra PROTEGIDA, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
120 palabras sólo contienen consonantes.
720 palabras comienzan con dos vocales consecutivas.
210 palabras comienzan con R y terminan en E.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
16. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6 en el lanzamiento de un dado y cara en el
lanzamiento de una moneda?
1
2
1
B)
4
1
C)
6
1
D)
12
2
E)
3
A)
17. Se lanza una moneda al aire 3 veces y sea C = cara y S = sello, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad de obtener CCC es
1
.
8
La probabilidad de obtener SCS en ese orden es
1
.
8
La probabilidad de obtener dos sellos y una cara es
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de las anteriores.
5
3
8
.
18. Una caja tiene 9 esferas de igual tamaño numeradas del 1 al 9, si se sacan dos de estas
esferas una tras otra sin reposición, ¿cuál es la probabilidad que ambas indiquen un
número impar mayor que 3?
1
12
1
B)
4
1
C)
3
21
D)
36
2
E)
5
A)
19. Si una pareja proyecta tener 4 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que tengan 2 hombres y
2 mujeres?
1
8
1
B)
4
3
C)
8
6
D)
8
1
E)
2
A)
20. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 2 cuando se lanza un dado dos
veces?
25
36
11
B)
36
1
C)
36
1
D)
6
5
E)
6
A)
6
21. Una baraja inglesa consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales
dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta consta
de tres figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 10 cartas numeradas desde 1 (as) al
10. Si se usa esta información, ¿cuál es la probabilidad de obtener una “pinta roja” o un
“as” al extraer una de las 52 cartas de una baraja inglesa?
15
26
15
B)
13
7
C)
26
7
D)
13
4
E)
13
A)
22. Se lanza 3000 veces un dado común, entonces el número de veces que se obtendrá un
número mayor que cuatro es
A)
B)
C)
D)
E)
exactamente 100 veces.
exactamente 500 veces.
exactamente 1000 veces.
aproximadamente 500 veces.
aproximadamente 1000 veces.
23. En un grupo de 400 hombres y 600 mujeres, la probabilidad de que un hombre tenga la
presión arterial alta es de 0,05 y la de una mujer con presión arterial alta es de 0,10.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona del grupo tenga la presión arterial alta?
A)
B)
C)
D)
E)
2
25
3
25
1
5
3
5
Ninguna de las anteriores.
7
24. En una caja hay 6 ampolletas en buen estado y 4 que están quemadas. Si de la caja se
sacan 2 ampolletas a la vez, se prueba una de ellas y se verifica que se encuentra en
buen estado, entonces ¿cuál es la probabilidad que la otra ampolleta también se
encuentre en buen estado?
2
5
4
B)
5
4
C)
9
5
D)
9
1
E)
2
A)
25. Una bolsa contiene 5 bolitas azules, 4 bolitas rojas y 3 bolitas verdes. Si se extrae al azar
una bolita de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad que no sea verde?
1
2
1
B)
3
1
C)
4
2
D)
3
3
E)
4
A)
26. Se encuestaron 100 jóvenes con respecto a la preferencia de dos video-juegos A y B. Se
observa que los que prefieren jugar ambos juegos son el doble de los que prefieren
jugar solo a A y el triple de los que prefieren jugar solo a B y hay 12 de estos jóvenes
que no juegan a ninguno de ellos. Si se escoge un joven al azar, ¿cuál es la probabilidad
que prefiera jugar a ambos juegos?
A)
B)
C)
D)
E)
12%
16%
24%
40%
48%
8
27. En el cajón de mi cómoda hay sólo calcetines azules y negros. Se puede determinar la
cantidad total de calcetines, si:
(1) Hay un sólo par de calcetines negros.
(2) La probabilidad de sacar un par de calcetines azules es
A)
B)
C)
D)
E)
4
.
5
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
28. La distribución del número de horas que duraron en uso 100 pilas está dada en el gráfico
de la figura 3. Se puede determinar el promedio de duración de las pilas si se sabe que:
(1) c = a + b
Nº de pilas
c
(2) c = 50
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 3
a
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
b
300
500
700
Horas
29. La tabla adjunta muestra el número de alumnos que calzan 40, 41, 42 y 43 en un curso.
Se puede determinar la cantidad de alumnos que calzan 42, si:
(1) El promedio de número de calzado del grupo de alumnos es 41,2.
(2) La mediana del número de zapatos del grupo de alumnos es 41.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
9
Nº de
calzado
Frecuencia
40
5
41
4
42
x
43
2
30. Se tiene una bolsa con fichas blancas, negras, verdes y rojas de igual tamaño. Se puede
determinar la moda, si:
(1) El número total de fichas es 36.
(2) Las blancas, negras y verdes tienen igual número y suman 24.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
10
MATERIAL TEM-06
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 6
1. E
6. C
11. D
16. D
21. D
26. E
2. C
7. D
12. A
17. D
22. E
27. C
3. E
8. E
13. C
18. A
23. A
28. E
4. E
9. C
14. D
19. C
24. D
29. A
5. B
10. E
15. C
20. B
25. E
30. C
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 7
ANGULOS EN EL TRIÁNGULO – CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1.
El ABC de la figura 1, es rectángulo en C. Si D es punto medio de AB y  = 23º,
entonces  –  es
C
fig. 1
A) 44º
B) 46º
C) 88º

 
D) 92º
A
B
D
E) 96º
2.
En la figura 2, ABC = DAB = 80º y DC  BC . ¿Cuánto suman el x con el y?
C
A) 90º
B) 20º
C) 110º
D) 150º
E) Ninguna de las anteriores.
fig. 2
D
y
B
x
A
3.
En la figura 3, L es recta. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son)
verdadera(s)?
I)
x = 75º
II)
 = 45º
III)
A)
B)
C)
D)
E)
x
 = 120º
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2 
fig. 3

3
L
4.
En el triángulo ABC de la figura 4, CD es transversal de gravedad y AC = BC.
Entonces, el x mide
C
fig. 4
x
A)
B)
C)
D)
E)
5.
25º
35º
45º
55º
65º
35º
A
D
En el ABC de la figura 5, AD = CD = DB. ¿Cuánto mide el ACE?
A)
B)
C)
D)
E)
B
E
C
30º
45º
60º
90º
No se puede determinar.
B
D
A
6.
fig. 5
En la figura 6, MR  QR y PQ = QR. Si 1 = 50º, entonces 2 + 3 =
R
A) 70º
B) 80º
C) 90º
D) 100º
E) 130º
fig. 6
3
M
2
N
1
Q
P
7.
Si en el ABC (figura 7) se trazara CD , ésta sería transversal de gravedad y bisectriz.
¿Cuánto mediría el BCD?
C
A)
B)
C)
D)
E)
8º
18º
27º
36º
Falta información.
fig. 7
108º
A
2
D
B
8.
De acuerdo con la información suministrada en la figura 8 se puede deducir que
x – y =
A)
B)
C)
D)
E)
x
y
110º
120º
130º
140º
150º
fig. 8
40º
9.
 
En el triángulo LMN de la figura 9 H es el ortocentro y MNL = 66º. Luego, el LHM
mide
M
A)
B)
C)
D)
E)
94º
114º
118º
128º
176º
fig. 9
H
L
N
10. Desde el vértice C del triángulo ABC de la figura 10 se ha trazado la altura CD y la
bisectriz CE del ángulo ACB. Entonces, el DCE mide
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 10
25º
20º
15º
10º
5º
30º
40º
D
A
B
E
11. En el ABC de la figura 11, según los datos dados, ¿cuál es el valor de BPC?
C
A) 30º
B) 60º
C) 80º
D) 82,5º
E) 120º
fig. 11
 
P

A
3



B
C
12. En la figura 12, AB  CD y DE  AC . Entonces, x – y =
y
A) 44º
B) 46º
C) 56º
D) 92º
E) 136º
fig. 12
E
46º
A
B
x
D
13. En la figura 13, el ABC es equilátero. Si D es punto medio de AB , ¿cuánto mide
x + y – z?
C
fig. 13
0º
A)
B) 30º
C) 60º
D) 90º
E) 120º
y
A
x
z
B
D
14. En la figura 14,  :  = 1 : 2, entonces  –  es
D
A) 0º
B) 5º
C) 15º
D) 30º
E) 45º
B

fig. 14



C
A
15. En la figura 15, P, Q, y R son vértices de ángulos rectos. ¿Cuánto mide el x?
A)
B)
C)
D)
E)
R
30º
45º
50º
60º
70º
fig. 15
x
P
50º
70º
Q
4
16. En el triángulo ABC de la figura 16, si APM  NBP, entonces el ángulo x es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
C
35º
40º
45º
50º
55º
fig. 16
75º
M
N
x
35º
A
P
B
17. En la figura 17, ABC  PBR. Si PRB = 42º y APB = 68º, entonces PBC =
R
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 17
C
16º
26º
44º
86º
94º
P
A
B
18. Los 6 triángulos en que se ha subdividido el triángulo ABC son congruentes (fig. 18).
Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
C
A)
B)
C)
D)
E)
I)
AM  BC
II)
CM  AP
III)
TB  AP
fig. 18
N
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
A
M
T
P
B
19. En el triángulo ABC de la figura 19, ABD  BAE. Si ACB = 34º y AEB = 37º,
entonces el EPD =
C
A) 39º
B) 40º
C) 73º
D) 75º
E) 140º
fig. 19
D
A
5
P
E
B
20. En la figura 20, ANB  CMB, NAB = 30º y MPN = 100º. Entonces, la medida del
C
NAC es
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 20
40º
50º
60º
80º
85º
N
P
A
M
B
21. La figura 21 está formada por los triángulos ABD y BCE. Si BA = BC, A = C,
EB  BA y DB  BC , entonces D es congruente con
E
A
F
A) A
B) DBE
D
B
C) E
D) AFB
fig. 21
E) BFD
C
22. En el cuadrado PQRS de la figura 22, A, B, C, D y E son puntos medios de cada
segmento al que pertenecen. Entonces, la razón entre la región achurada y la región
en blanco es
B
S
R
5
A)
fig. 22
3
5
E
C
B)
A
4
3
C)
4
D
P
Q
3
D)
5
3
E)
8
E
23. En la figura 23, ABC  DEF. ¿Cuál es la medida del ángulo ACB?
B
A) 40º
B) 60º
C) 80º
D) 100º
E) 120º
40º
F
C
D 120º
fig. 23
6
A
24. En la figura 24, ABC  DBE y ACB  DBA. Si los triángulos ABC y DBE no
son equiláteros,
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
entonces
¿cuál(es)
de
las
siguientes
afirmaciones
(son)
E
El ABD es isósceles.
El DFC es isósceles.
El BFE es isósceles.
C
fig. 24
F
D
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
A
25. En el triángulo ABC de la figura 25, DE y EF
B
son medianas y EDC = ABC. Con
estos datos se puede concluir que el ABC no puede ser
A)
B)
C)
D)
E)
es
C
fig. 25
equilátero.
isósceles.
rectángulo.
obtusángulo.
escaleno.
D
E
A
F
B
26. Los triángulos ABD y BAC de la figura 26, son congruentes, si:
(1) MAB = MBA
D
C
(2) DA // BC
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 26
M
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
B
27. Si los triángulos de la figura 27 son congruentes, entonces se puede conocer el valor
del ACB, si:
D
50º
(1) AD = AC
C
(2) AC = BC
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 27
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
7
B
28. En el rectángulo ABCD
DEA  BFC, si:
de la figura 28, DE y BF
(1) DE // FB
son segmentos. Entonces,
D
F
C
(2) EBFD es un paralelogramo.
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 28
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
E
B
29. En el trapecio rectángulo ABCD de la figura 29, los triángulos AED y FBC son
rectángulos. Se puede determinar la congruencia de estos triángulos mediante el
postulado LAL, si:
(1) AE  FB
D
C
(2) DA // CF
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 29
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
30. En la figura 30,
A
E
F
B
L0 // L1 // L2 y L3 // L4. Se puede determinar que GAE  BHD, si:
(1) CA  BF
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
L1
A
G
L2
B
F
E
L3
8
D
C
L0
(2) GE // DH
L4
H
fig. 30
CLAVES TEM-07
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 7
1. C
6. B
11. E
16. A
21. C
26. E
2. C
7. B
12. D
17. B
22. D
27. C
3. B
8. D
13. A
18. B
23. C
28. D
4. D
9. B
14. C
19. B
24. E
29. A
5. D
10. E
15. D
20. A
25. E
30. C
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 8
1.
En el rectángulo ABCD de la figura 1, AB = 4 cm y BC = 3 cm. Si en cada esquina hay
un cuadrado de lado a cm, donde a = 1 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la región
achurada?
A)
B)
C)
D)
E)
10
12
14
16
18
D
cm
cm
cm
cm
cm
C
fig. 1
A
2.
B
El cuadrado ABCD de la figura 2, está dividido en dos rectángulos congruentes. Si cada
uno de los rectángulos tiene un perímetro de 60 cm, ¿cuánto mide el área del
cuadrado?
D
C
A)
32 cm2
B)
48 cm2
C) 164 cm2
D) 200 cm2
E) 400 cm2
fig. 2
A
3.
B
En el cuadrado ABCD que muestra la figura 3 se ha dibujado un triángulo equilátero
ABE de altura 10 3 cm. Entonces, el perímetro del cuadrado es
D
A)
B)
C)
D)
E)
20
40
60
72
80
cm
cm
cm
cm
cm
C
E
fig. 3
A
4.
Si el perímetro del rectángulo ABCD de la figura 4, es 8x + 8y
entonces su área es
A)
B)
C)
D)
E)
(2x
(2x
(2x
(4x
(4x
+
+
+
+
+
y)(2x + y)
3y)(3x + 2y)
y)(2x + 3y)
2y)(2x + 3y)
2y)(4x + 4y)
D
B
y
BC = 2x + y,
C
fig. 4
A
B
5.
En la figura 5, ABCD es rombo y ángulo DAB = 60º, ¿cuál es la medida del ángulo x?
D
A) 70º
B) 80º
C) 90º
D) 120º
E) 130º
C
x
fig. 5
A
6.
B
En la circunferencia de centro O de la figura 6, CA, AB y CB son secantes. Si
 = y + 30º y x = 4y, entonces el ángulo  en función de y es igual a
C
A) 150º – 3y
B) 25º + 8y
C) 130º – 12y
D) 45º + 4y
60º + 8y
E)
7.
fig. 6
O
x

B 
A
En la figura 7, O es el centro de la circunferencia. Si el ángulo x = 36º
y = 54º, entonces ¿cuánto mide el ángulo z?
A)
63º
B)
72º
C) 108º
D) 117º
E) 144º
y ángulo
fig. 7
O
y
T
P
Q
z
x
R
8.
o
En la circunferencia de la figura 8, el ángulo y mide 60
medida del arco x es
y el arco BC mide 100º, la
C
A)
15º
B)
20º
C)
60º
D) 65º
E) 100º
fig. 8
D
y
x
A
2
B
9.
En la figura 9, ángulo BCA = 80º y ángulo CDB = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo ABC?
C
A) 60º
B) 90º
C) 100º
D) 110º
E) 120º
80º
B
40º
D
fig. 9
A
10. En la figura 10, MQ es diámetro y ángulo TNQ = 32º. ¿Cuánto mide el ángulo MQT?
T
A)
B)
C)
D)
E)
74º
64º
58º
32º
16º
Q
fig. 10
M
N
11. En la circunferencia de centro O de la figura 11, ¿cuánto mide ?
Q
A) 20º
B) 40º
C) 70º
D) 110º
E) 140º
170º
P
R

O
fig. 11
12. En la figura 12, ¿cuánto mide el ángulo inscrito ?
x + 80º
A)
B)
C)
D)
E)
6º
10º
30º
45º
50º
fig. 12
3x + 100º

3
5x
13. En la figura 13, los arcos BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB, entonces
¿cuál es el perímetro de la región achurada?
A) 16
B) 24
C) 36
D) 48
E) 100
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 13
A
O
B
18 cm
14. En la figura 14, el perímetro del rectángulo ABCD es 44 cm y EBCF es un cuadrado de
área 49 cm2. ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD?
A)
B)
C)
D)
E)
15
16
18
24
56
D
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
F
C
fig. 14
A
E
B
15. En la figura 15, se tiene dos circunferencias concéntricas de centro O. Si OB = 12 cm y
AB = 12 cm, entonces el perímetro de la región achurada es
A)
B)
C)
D)
E)
12
18
16
18
64
+
+
+
+
+
12
12
24
24
64
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 15
B
A
O
16. En el romboide ABCD de la figura 16, BG es bisectriz del ángulo ABC
¿Cuál es la medida del ángulo BHE?
D
A) 100º
B) 80º
C) 50º
D) 40º
20º
E)
G
y
EF // BC .
C
F
80º
H
A
4
E
fig. 16
B
17. En la figura 17, la circunferencia tiene centro en O. La medida del ángulo p + y es
A)
B)
C)
D)
E)
C
15º
18º
25º
45º
60º
O 80º
p
p
y
A
D
fig. 17
B
18. En la figura 18, la recta L es tangente en C a la circunferencia circunscrita al triángulo
ABC, el valor de  +  es
A) 70º
B) 90º
C) 100º
D) 120º
E) 140º
C

L

B
O
40o
fig. 18
A
19. Si en el rombo ABCD de la figura 19, AB = 12 cm y DE = 10 cm, su área es
D
C
A) 140 cm2
B) 120 cm2
C) 40 cm2
D) 35 cm2
25 cm2
E)
fig. 19
A
E
B
20. Si en un cuadrado de lado a, cada lado aumenta en 3x unidades, entonces el perímetro
A)
B)
C)
D)
E)
aumenta
aumenta
aumenta
aumenta
aumenta
en
en
en
en
en
6x unidades.
9x unidades.
12x unidades.
15x unidades.
16x unidades.
5
21. La longitud de AB , en la figura 20, en función de a es
C
A)
26 a cm
a cm
B)
10 a cm
D
C)
6 a cm
B
fig.20
a cm
D)
4 a cm
E) 6a cm
22.
a cm
E
a cm
A
En la figura 21, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si  = 30° y  =2,
entonces  es igual a
D

A) 30º
B) 60º
C) 90º
D) 120º
E) 135º
fig. 21
A 

C

B
23. La figura 22, muestra un cuadrado de lado 12 y una circunferencia inscrita en él. ¿Cuál
es el perímetro de la región achurada?
Perímetro
A)
B)
C)
D)
E)
72
48
36
48
36
+ 6
– 12
+ 12
+ 12
+ 12
fig. 22
24. En el trapecio ABCD de bases AB y CD de la figura 23, las bisectrices EC y ED de
los ángulos en C y en D, respectivamente, forman un ángulo x que mide
D
A) 45º
B) 65º
C) 82º
D) 98º
E) 108º
C
x
fig. 23
E
82º
A
6
82º
B
25. La diagonal del cuadrado ABCD (fig. 24), mide 24 2 , y la del rectángulo PQRS mide
8 5 . Si DP  PQ  QC , ¿cuál es el perímetro de la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
96
114
112
128
126
S
R
fig.24
D
C
P
Q
A
B
26. G es un punto cualquiera del interior del rectángulo ABCD de la figura 25. Se puede
saber la medida del área de la región achurada, si:
(1) El perímetro del rectángulo ABCD mide 72 cm.
(2) El área del rectángulo ABCD mide 72 cm2.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
D
C
A
27. En el triángulo ABC de la figura 26, AC  CB
puede determinar, si:
B
y CD  AB . El perímetro del ADC se
C
(1) AC = 30 cm y AB = 36 cm
(2) CD = 24 cm y AD = DB = 18 cm
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 25
G
fig. 26
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
D
B
28. Se puede determinar el área del rombo de la figura 27, si:
(1) AC = 16 cm y BC = 10 cm
(2) DB = 12 cm y el perímetro del rombo ABCD mide 40 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 27
A
7
B
29. En la figura 28, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Se puede saber
la medida del CDA, si:
C
(1) BCD = 70º
(2) DAB = 110º
D
A)
B)
C)
D)
E)
O
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
B
fig. 28
A
30. En la circunferencia de centro O de la figura 29, A y B son puntos de tangencia. Se
puede determinar la medida del BOA, si:
B
(1) PBO = OAP
(2) BOA = 3APB
A)
B)
C)
D)
E)
O
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adición
P
A
8
fig. 29
CLAVES TEM-08
TALLER DE EJERCITACIÓN Nº 8
1. C
6. A
11. A
16. D
21. D
26. B
2. E
7. D
12. E
17. E
22. D
27. D
3. E
8. B
13. C
18. C
23. D
28. D
4. C
9. A
14. E
19. B
24. C
29. E
5. D
10. C
15. D
20. C
25. D
30. B
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 1
NÚMEROS ENTEROS
1.
-2 – (-4) · 3 =
2.
-6 + 5 · 3 – 23 : 4 =
3.
Si m es un número entero impar, encontrar
a)
b)
c)
4.
el número impar antecesor de 3m + 6.
el promedio de los tres impares consecutivos a m, siendo m el número mayor.
m2 – 2m + 1, ¿es un número impar?
Si llamamos T a la suma de tres números impares consecutivos, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
a)
b)
c)
T es siempre impar.
T nunca es divisible por el promedio de los números.
T es siempre múltiplo de tres.
5.
6.
7.
En las siguientes secuencias:
a)
1 + 2, 2 · 3, 3 + 4, 4 · 5, …
Encontrar el exceso del décimo término sobre el sexto término
b)
Si K es un número entero, entonces el antecesor de 2(K2 + 1) es
Si en los números enteros se definen las operaciones
a)
mn = m2 - 2mn + n2, encontrar el valor de (23)4
b)
a  b = ab – ba, encontrar el valor de 2  (3  2)
Determinar:
a)
8 4 + 8 4 + 8 4 + 84 =
b)
La descomposición en factores primos de 252.
c)
Cuántos divisores positivos tiene el número 30.
2
8.
9.
Si A = 23 · 5, B = 2 · 33 · 52 y C = 22 · 33 · 7, determine
a)
si 23 es un divisor común de A, B y C.
b)
si 22 es un divisor de A y C.
c)
si 80 es múltiplo de A y B.
d)
el m.c.m. entre A, B y C.
e)
el M.C.D. entre A, B y C.
Resolver
a)
Un reloj se adelanta 5 minutos en cada hora. Si el reloj al mediodía marca las
12 horas. ¿Qué hora marcará al mediodía del día siguiente?
b)
Se debe transportar 45 personas y se dispone de un solo vehículo que puede
llevar un máximo de 8 personas. ¿Cuántos viajes como mínimo tiene que realizar
el vehículo para transportar a todas las personas?
c)
En cada fila de asientos en un bus caben 4 personas. Si hay 47 pasajeros y 11 filas
de asientos. ¿Cuántos viajan de pie?
3
EJERCICIOS
1.
32 + 2 4 – 5 2 =
A) 0
B) 4
C) 7
D) 8
E) 50
2.
Si a = 3, b = 1, c = a – b y d = 2a : b, la representación en la recta numérica es
A)
0
a
b
d
c
B)
0
d
a
b
c
C)
0
b
a
c
d
0
b
d
c
a
0
b
c
a
d
D)
E)
3.
5 – {-22 – [16 : (33 – 52)]} =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
-7
-3
-1
1
17
¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) igual(es) a (22 + 2)2 – (2 + 2)2 + (2 + 1)2?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
(22 + 1)2
(2 + 2)2 + (2 + 1)2 + 22
(23 + 1)2 – (2 + 2)2
I
II
III
I y III
II y III
4
5.
Si al antecesor impar de 27 se le suma el sucesor par de 35 resulta
A)
B)
C)
D)
E)
6.
60
61
63
65
66
¿En cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) como resultado(s) 33?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
7.
A)
B)
C)
D)
E)
8.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
Se define a
(2
23 + 5 2
6 · 5 + 30
72 – 4 2
 b = ab + a y a  b = 3a – 2b, para a y b números enteros, el valor de
 3)  (2  3) es
20
22
30
33
9
Si la descomposición prima del número 348 es A2 · 3 · 29, entonces el valor de A es
A) 2
B) 4
C) 7
D) 13
E) 11
5
9.
Si m es un número par y n es un número impar, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
m + n · n + n es impar.
n · (m + n) es par.
m · (m + n) es par.
I
II
III
I y II
I y III
10. En una parcela hay 10 filas de árboles y en cada fila hay 15 árboles. Se cortaron
9 árboles por filas, ¿cuántos árboles quedan en la parcela?
A) 10
B) 15
C) 60
D) 141
E) 150
11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El 1 es un número primo.
El conjunto de los números enteros pares tiene solo un número primo.
Todos los números primos son impares.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
12. Según la relación presentada en la figura 1, ¿cuál es el valor de x + y?
3
A) 39
B) 63
C) 117
D) 162
E) 225
fig. 1
6
12
24
6
9
36 18
y
x
13. Se sabe que x es múltiplo de y, x
siguientes alternativas es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
e
y distintos de cero, entonces ¿cuál de las
xy es múltiplo de x
x : y es un número entero
y es divisor de x
y : x es un número entero
x es divisor de xy
14. ¿Cuál es la mitad de 28?
A) 27
B) 24
C) 18
1
D)  
2
E)
15.
4
8
1
2
 
Un comerciante compró 30 pañuelos a $ 200 cada uno y vendió 20 a $180 cada uno.
¿Á cuánto vendió, en promedio, cada uno de los pañuelos restantes si se sabe que no
gano ni perdió dinero?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
190
200
240
250
260
7
CLAVES TRM-01
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 1
Pág. 1
1) 10
2)
7
3)
a)
b)
c)
3m+4
m–2
No
4)
a)
b)
c)
Verdadera
Falsa
Verdadera
Pág. 2
5) a) 68
b) 2K2 + 1
6)
a)
b)
9
1
7)
a)
b)
c)
214
22 · 3 2 · 7
8
Pág. 3
8) a)
b)
c)
d)
e)
9)
a)
b)
c)
No
Si
No
23 · 3 3 · 5 2 · 7
2
14 horas
6
3
Claves Ejercicios Pág. 4
1.
2.
3.
4.
5.
A
E
E
B
B
6.
7.
8.
9.
10.
C
C
A
D
C
11.
12.
13.
14.
15.
B
E
D
A
C
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 2
NÚMEROS RACIONALES
1.
Resuelva las siguientes operaciones:
1
+
5
2
–
6
3
1
b)
2
 
3
c)
-1
2
2
3
6
1
·   +
:   =
5
4
2
5
d)
1 
2
0
-1
-3
 1
+ 3 
 3
1
1 
-1
=
=
1
1 
2.
=
a)
1
2
Hallar el valor de x, si:
a)
b)
c)
d)
1

x es el inverso aditivo de 1  1 
2



1

x es el opuesto de 1  1 +   1
4




 1
x es el inverso multiplicativo de  -2 
 2
1
4


x es el recíproco de  - : 
 5 5
3.
Orden en Q:
a)
Coloque el signo > , < o =
-
b)
4.
3
5
Si a =
-
4
6
4
2
, b=
3
5
2
7
3
8
y c=
3
, entonces el orden creciente de estos racionales es
4
Resuelva:
a)
Los tres cuartos del doble de un tercio de 60 son
b)
Luís se come los
c)
Andrés dispone de una cantidad de minutos para hablar en su celular. Si la
2
1
del total, la segunda semana
del resto y la tercera
primera semana ocupa
7
5
1
semana
del nuevo resto, entonces ¿qué fracción de minutos la quedan para la
4
cuarta semana?
d)
¿Cuántos 25avos hay en
e)
¿Qué fracción son los
2
1
de una torta y Felipe
del resto. ¿Qué parte come Felipe?
5
3
3
?
5
3
3
de
?
5
20
2
EJERCICIOS
1.
2-4 + 3-2 – 4-2 =
1
9
1
B)
3
1
C)
6
D) 9
E) 1
A)
2.
Si a 1
1
se le resta su recíproco (inverso multiplicativo) se obtiene
4
9
20
1
B)
5
1
C) 20
1
D) 5
9
E) 20
A)
3.
1  2
5
: - +  =
2  3
6
A)
B)
C)
D)
E)
4.
1
4
1
3
1
3
1
3
2
¿A cuántos novenos equivale la fracción
2
?
3
A) 29
B) 18
C) 6
D) 5
3
E)
3
5.
El número racional
20
es igual a
9
A) 20 · 0,9
B) 0,2 + 0,9
17
3
C)
+
4
5
11
D) 9 +
9
1
1
E)
:
9 20
6.
1
1
son novelas,
son biografías y el resto son
5
10
libros de estudios. ¿Cuántos libros de estudio hay?
Una biblioteca tiene 80 libros. De éstos
A)
B)
C)
D)
E)
7.
¿Cuántas botellas de
A)
B)
C)
D)
E)
8.
8
16
20
24
56
3
1
litros de capacidad se pueden llenar con 25 litros de aceite?
4
2
34
25
19
17
9
 1
1



4 ·   4    4 ·  1  =
4
4




A) -23
B) -15
C) -7
D) -5
E) 30
9.
1

El cuádruplo de  4 +  es igual a
4

A) 5
B) 17
17
C)
2
34
D)
2
E) 16
1
4
4
1

10. El cubo de   2  es igual a
2


63
8
27
8
3
2
9
4
27
8
A) B)
C)
D)
E)
1

11. El recíproco de  4 +  es
2

A)
B)
C)
D)
E)
9
2
2
9
1
+2
4
1
-4 +
2
1
-4 –
2
12. Si n es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta entre los
n
n  1
n+1
y c=
?
racionales a = , b =
3
3
3
A)
B)
C)
D)
E)
b<a<c
b<c<a
c<a<b
a<c<b
c<b<a
5
13. ¿Qué parte es
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
de
?
5
25
125
6
3
10
6
125
1
1
3
100
3
14. ¿Cuál de los siguientes números es mayor que
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
y menor que ?
6
5
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
15. *x* es tal que *x* =
x
x2
. ¿Cuál es el valor de *3*?
+
2
4
17
4
16
B)
4
15
C)
4
13
D)
4
12
E)
4
A)
6
16. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
1
1
2
+
=
2
3
5
2
6
3·
=
5
5
1 1
3
:
·2=
2 3
4
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
17.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2-1 + 3-1
4-1
=
1
10
5
B)
24
10
C)
3
4
D)
5
5
E)
4
A)
18. Si n es un número natural, entonces ¿cuál de las siguientes expresiones podría
2 2 2
representar el término n-ésimo de la secuencia , ,
, …?
3 9 27
n+1
A)
2
3
 
B)
2
3
 
n  1
n
1
C) 2 ·  
3
n  1
1
D) 2 ·  
3
E)
n
1

2 · 3 


7
CLAVES TRM-02
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 2
Pág. 1
1)
a)
b)
c)
d)
2)
a)
b)
c)
d)
5
3
29
30
10
3
2
1
2
5
4
2
5
-4
Pág. 2
3) a) > <
b) a, c, b
4)
a)
b)
c)
d)
e)
30
1
5
3
7
15
1
4
Claves Ejercicios Pág. 3
1.
2.
3.
4.
5.
A
A
D
C
E
6.
7.
8.
9.
10.
E
A
C
B
B
11.
12.
13.
14.
15.
B
A
B
C
C
16. B
17. C
18. C
---
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 3
NÚMEROS REALES
1.
Complete la tabla indicando con una “X” a que conjunto pertenece los números
Números
3
Racionales 
Irracionales ’
Reales lR
-1
2 
2
0
-2
4
7
-121
3
2.
-10
Resuelva
a)
Si p = 0,5 y
q = 0,05, entonces el valor de
b)
 0,002 
0,2 · 
 =
 20 
c)
(0,3)-2 : (0,9)-2 =
p  q
=
p + q  0,1
Compuestos
d)
e)
f)
3.
4.
0,016  0,01 =
2,2
1,3
=
0,00051 0,000003
=
:
170.000
0,09
Ordene en forma creciente los siguientes números
3
,
P=
a)
M=
b)
A = 4,32 · 10-3
3
2
2
y
S=
5
5
, B = 432 · 10-4
y C = 0,00432 · 102
Indique si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes proposiciones
es un número real
a)
____
b)
____
3 
c)
____
3 2  2 5 es un número complejo
d)
____
e)
____
f)
____ 3 2 < 2 5 < 4
5  2
3
2 
7
es un número irracional
2 es un número irracional
2 3 
12 es un número entero
2
g)
Si p es un número racional distinto de cero y q es un número irracional, entonces
1) _____ p · q es siempre un número irracional.
2) _____ p + q2 es siempre un número racional.
p
3) _____
es siempre un número real.
q
5.
Determine:
a) El número 4,56783 redondeado a la centésima ________.
b) El número 0,003482 con dos cifras significativas ________.
c) El número 1,48 truncado a la milésima _______.
d) El número 679,8 redondeado a la unidad _______.
e) Si aproximadamente
6 es 2,449489743, entonces
es ________.
3
0,24 con 8 cifras significativas
EJERCICIOS
1.
(0,2)-1 : (0,4)-1 =
A) 8
B) 4
C) 2
1
D)
2
1
E)
4
2.
¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a 10?
A) 10,1
B) 10,01
C) 10,005
D) 9,99
9,989
E)
3.
Si p =
2
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
y q = 1 + p, entonces siempre se cumple que
p2 pertenece a los números racionales.
q2 pertenece a los números reales.
q2 – p pertenece a los números irracionales.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
¿Cuál(es) de la siguientes proposiciones es (son) FALSA(S)?
I) 4,6 · 0,3 · 0,9  1, 5
3
II) 0,083 + 0,06 
20
2
III) -1 > -1,6
3
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
4
5.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)?
11 < 2 3 < 4.
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
3 2 <
2 2 <
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número real?
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2 5  5
4 3  3 5
9  4 5
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
¿Cuál de los siguientes números multiplicado por 100 resulta 10?
A)
B)
C)
D)
E)
8.
7 < 3.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
I)
7.
19 < 2 5 .
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
 0,07 
7· 
 =
 0,7 
0,7
A)
0,07
B)
0,007
C)
D) 70
E) 700
5
9.
Si a = 0,3 y b = 0,03, entonces
a  b
=
b
A) -0,7
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,7
E) 9
10. Si m = 0,1, entonces el producto entre el inverso aditivo de m y su inverso
multiplicativo es
A)
B)
C)
D)
E)
1
10
1
10
-10
1
-1
11. El orden de lo números P = 3,25 · 10-4, Q = 32,5 · 10-3 y R = 325 · 10-5, de menor a
mayor
A)
B)
C)
D)
E)
P, Q, R
R, P, Q
Q, P, R
P, R, Q
R, Q, P
12. (0,25 – 1)-2 : (1 – 0,25)-3 =
3
4
3
B) 4
4
C)
3
4
D) 3
A)
E) -1
3
4
6
13. ¿Cuál es el orden, de menor a mayor, de los números P =
T=
A)
B)
C)
D)
E)
14. Si
4
3 2
2 2
, R =
5
2
, S =
2
4
8
y
?
S, T, R, P
T, S, P, R
S, R, P, T
P, R, T, S
R, S, T, P
3 es 1,7320508 aproximadamente, entonces
0,12 redondeado a la quinta cifra
decimal
A)
B)
C)
D)
E)
0,34641
1,73205
3,46410
1,73206
0,34642
15. Al truncar a la diez milésima el número 3,472165 corresponde a
A)
B)
C)
D)
E)
3,47
3,472
3,4721
3,4722
3,47217
16. Si r es un número racional, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es siempre un
número real?
A)
B)
C)
1
r + 20
1
r  0,2
1
r+ 2
1
D)
r + 2,3
1
E)
r  0,3
7
17. Con respecto al número 3,0856216 se puede afirmar correctamente que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
al escribir el número con 3 cifras significativas queda en 3,085.
al redondear a la milésima el número, la aproximación resultante es por
exceso.
al truncar el número a la quinta cifra decimal resulta 3,08562 y la
aproximación resultante es por defecto.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
8
CLAVES TRM-03
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 3
1)
Números
3
-1
2 
Irracionales ’
X
2
0
-2
Racionales 
4
7
Reales lR
X
X
X
X
X
X
X
-121
3
2)
a)
b)
c)
-10
f)
1
2 · 10-5
9
1
180
5
3
9 · 10-5
3)
a)
b)
P, M, S
A, B, C
4)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
V
V
V
V
V
F
1)
2)
3)
d)
e)
V
F
V
Compuestos
X
X
X
5)
a)
b)
c)
d)
e)
4,57
0,0035
1,488
680
0,48989795
Claves Ejercicios Pág. 4
1.
2.
3.
4.
5.
C
C
E
C
C
6.
7.
8.
9.
10.
D
A
A
E
E
11.
12.
13.
14.
15.
D
A
D
A
C
16.
17.
----
2
C
D
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 4
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Y DESPEJE DE VARIABLES
1.
Despeje la variable que se indica
a) p ;
ap – 3 = a
b) m ; 3mx = 1 – x
c)
t;
5at
3

2
a
d) u ;
a  u
 m
bc
e) R ;
R2
 ab
m
f)
a  2b·
k;
k
c
2.
Resuelva
a) -3x = -7x –(2 – 3x)
b)
2
3
x–3= x–1
3
2
c)
2
1
=
x+1
x  3
d)
x 
e)
3
4x
(x  3) =
2
3
x+2
3x
=
3
2
2
3.
Resuelva las siguientes ecuaciones literales de incógnita x
a) ax + b2 = a2 – bx
b) (u – v)x + z(x – 1) = u – vx
c)
x  a
x  b
= 2 
b
a
d)
a
1  x

e)
1
3a
1
1
=
3b
x
f)
(a – x)2 = x(x + a)

1
=1
x  1
3
EJERCICIOS
1.
Si 4(3x – 5) – 4 = 12, entonces x =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1
3
1
3
3
-3
3
2
El valor de 4x en la ecuación, -2(5 – x) = 3 – {2x – (x + 3) + 13}
A) 0
B) -2
C) 2
D) 4
E) 6
3.
¿Cuál es el valor de
A)
B)
C)
D)
E)
1
en la ecuación x – 2 =
x
12
5
5
12
1
2
1
2
8
5
4
1
2+
1
2
?
4.
Si
3
5
x – 1 = x – 2, entonces x =
4
6
A) 12
B) -12
1
C)
12
1
D) 12
E) ninguna de las anteriores.
5.
Si
A)
B)
C)
D)
E)
6.
1
3
1
-1
-5
-9
Si P = 8m – 6t, entonces -
A)
B)
C)
D)
E)
7.
x
2
x
= 0, entonces x =
+
+
3
3
x
-4m
-4m
4m
-4m
-4m
1
P=
2
+ 6t
– 3t
+ 3t
– 6t
+ 3t
Si a  b, el valor de x en la ecuación ax + a = bx + b es
A) -1
B) 1
a  b
C)
a+b
a  b
D)
ab
a+b
E)
a  b
5
8.
En la ecuación x(x + y) = (x – y)2, el valor de x es
A) 3y
B) 2y
y
C)
2
y
D)
3
y
E) 3
9.
2
 a  n
x+ 
 = 0. Si a = 1 y n = -1, entonces 2x =
 3 
8
9
4
9
4
9
8
9
0
A) B)
C)
D)
E)
10. Si a  b, el valor de x en la ecuación
b
ax
– a = (x – b) es
a
b
A) -b
B) -2b
b
C)
2
D) 2b
E) b
6
11. Si c  d, al despejar x en la ecuación
c
d
= 0, el valor x es

c  x
d  x
A) cd
B) -cd
C) 1
D) 0
E) indefinido
12. Si m, n  0, en la ecuación
k  m
k  n
+
= 2, entonces k =
n
m
A) m + n
B) m – n
C) n – m
D) -m – n
E) 2(m + n)
13. Si (4x + 1) : (2x + 3) = 9 : 5, entonces el sucesor de x es
A)
B)
C)
D)
32
22
12
11
9
E)
5
14. Si a la expresión
5
x+h
se le resta , se obtiene 0, entonces x =
4
x  h
A) -9h
B) -h
C)
h
h
D)
9
E) 9h
7
15. Si a  b, en la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
1

= , entonces x =
A
x
B
AB
B  A
-AB
AB
A  B
AB
1
A  B
16. Si (m – n)  p, al despejar x en la ecuación m(1 – x) – n(1 – x) = p(1 – x) se obtiene
A) -1
B) 1
C) m + n + p
D) -m – n – p
p
E)
m+n
8
CLAVES TRM-04
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 4
1)
d)
e)
a+3
3
1  x
m=
3x
6
t=
5a2
u = a – bcm
R =  abm
f)
k=
a)
x = -2
12
x=
5
x= 7
4
x=5
x = 27
a)
b)
c)
2)
b)
c)
d)
e)
3)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
p=
a2c
4b2
x=a–b
x=1
x=a+b
x= -a
3ab
x=
(b  a)
a
x=
3
Claves Ejercicios Pág. 4
1.
2.
3.
4.
C
D
B
A
5.
6.
7.
8.
D
E
A
D
9.
10.
11.
12.
A
E
D
A
13.
14.
15.
16.
C
E
A
B
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 5
PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTOS
1.
2.
Interprete los siguientes enunciados:
a) La mitad de un número:
_____________
b) El doble de un número:
_____________
c)
_____________
El cuadrado de un número:
d) La tercera parte o un tercio de un número:
_____________
e) El triple de un número o tres veces un número:
_____________
f)
_____________
El cubo de un número:
g) La cuarta parte de un número o un cuarto de un número:
_____________
h) El cuádruplo de un número o un cuatro veces un número:
_____________
i)
_____________
La cuarta potencia de un número:
Escriba en lenguaje matemático:
a) El sucesor de un número:
______________________
b) El antecesor de un número:
______________________
c)
_______, _______, ______
Tres números consecutivos:
d) Tres números pares consecutivos:
_______, _______, ______
e) El exceso de a sobre b:
______________________
f)
______________________
Un número disminuido en la unidad:
g) Un número disminuido en su quinta parte:
______________________
h) Un número disminuido a su quinta parte:
______________________
i)
El quíntuplo de un número, aumentado en sus dos tercios:
___________
j)
El quíntuplo de, un número aumentado en un tercio de él:
___________
3.
Escriba en lenguaje matemático
a) El cuadrado del exceso de x sobre y:
_______________
b) La diferencia de los cuadrados de x e y:
_______________
c)
_______________
La mitad del exceso de un número sobre 12:
d) El semi producto entre a y b:
_______________
e) El producto entre un número aumentado en dos y el número disminuido en tres:
______________
4.
Resuelva
a) El cuádruplo de un número aumentado en la unidad es igual al doble del número
aumentado en 17. ¿Cuál es el sucesor del número?
b) ¿Cuál es el número que aumentado en sus tres cuartos da como resultado tres
cuartos?
c)
Un curso mixto está formado por 36 alumnos. Si el triple de la cantidad de mujeres
excede en 8 al doble de la cantidad de hombres, ¿cuántas mujeres hay en el curso?
2
d) Un trozo de alambre de 150 cm de largo se divide en dos segmentos tales que la
2
longitud de uno de ellos es
de longitud del otro. ¿Cuál es la longitud de cada
3
segmento?
e) ¿Qué edad tiene María si se sabe que en a años más tendrá el triple de la edad que
tenía hace b años?
f)
La edad de Raúl es el triple de la edad de Luís y en 11 años más la edad de Raúl
duplicará la edad de Luís. ¿Qué edad tienen ambos actualmente?
g) Laura tiene el cuádruplo de la cantidad de dinero que tiene Teresa. Si la sexta
parte del total de dinero que tienen juntas es $ 15.000, ¿cuánto dinero tiene cada
una?
3
EJERCICIOS
1.
El doble de un número, más
1
de él, es igual a 60, ¿cuál es la cuarta parte del
2
número?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 24
2.
¿Qué número es aquel, que al doble de su sucesor se le resta el triple de su antecesor
da como resultado el neutro aditivo?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Un trozo de alambre mide 45 metros. Si se corta en dos partes, de tal forma que una
de las partes es igual al doble del resto, ¿cuánto mide la parte menor?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
3
4
5
6
7
15
22
25
30
35
m
m
m
m
m
La diferencia de dos números naturales es 8 y su suma es 14. ¿A cuánto es igual la
diferencia entre el triple del menor y el mayor?
A) 3
B) 2
C) 1
D) -1
E) -2
4
5.
Si a 5 le resto c obtengo m. Si la mitad de m es 14, entonces c =
A) -11
B) -21
C) -23
D) 11
E) 21
6.
Dos números impares consecutivos son tales que, el exceso del triple del mayor sobre
el doble del menor es igual a 15. ¿Cuál es el número mayor?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
9
11
19
21
23
La quinta parte de t es 8 y el cuadrado del número natural p es 9, entonces la mitad de
(t + p) es
43
2
17
B)
2
23
C)
10
11
D)
10
49
E)
10
A)
8.
Se reparte cierta cantidad de artículos entre dos personas A y B, de manera que A
recibe el doble de lo que recibe B. Si la tercera parte del total de artículos es 27,
¿cuántos recibió B?
6
A)
B) 27
C) 54
D) 81
E) 162
5
9.
En una granja se consume la cuarta parte de la fruta producida y la demás se vende. Si
el año pasado se consumieron 5 toneladas de fruta, ¿cuántos kilogramos se vendieron?
A) 1.250
B) 1.500
C) 3.750
D) 15.000
E) 20.000
10. Luís tenía m años hace 5 años, ¿cuántos años tendrá en 12 años más?
A)
B)
C)
D)
E)
m
m
m
m
m
–7
– 12
+7
+ 12
+ 17
11. La edad de Mónica, más la mitad de su edad, más la tercera parte de su edad, más dos
años es igual al doble de su edad. ¿Cuál es la edad de Mónica?
A) 1 año y 3 meses
B) 1 año y 4 meses
C) 6 años
D) 12 años
E) 24 años
12. La edad de Ana es el doble que la edad de Belén y hace 15 años era el triple, ¿cuál es
la diferencia entre sus edades actuales?
A)
B)
C)
D)
E)
10
15
20
25
30
años
años
años
años
años
6
13. El triple de la edad que tenía Elisa hace x años, es el doble de la que tendrá dentro de
y años. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la edad actual de Elisa?
A)
B)
C)
D)
5xy
3x + 2y
2y – 3x
3x – 2y
3x + 2y
E)
5
14. La diferencia de los pesos de A y B es C. Si A pesa el triple de lo que pesa B, ¿cuánto
pesa B?
A) 3C
C
B)
4
3
C
C)
4
C
D)
2
3
E)
C
2
15. Si a t se le resta la unidad, se obtiene la diferencia entre el triple de x y el cubo de y,
entonces t =
A)
B)
C)
D)
E)
3x – y3
(3x – y)3
3x – y3 + 1
3x – y3 – 1
3(x – y3) – 1
16. Víctor gastó $ 18P en la compra de 1 libro y 5 cuadernos. Si el libro costó cuatro
novenos del total y todos los cuadernos tenían el mismo precio, ¿cuánto pagó Víctor
por cada cuaderno?
A) $ 4P
B) $ 2P
C) $ P
P
D) $
9
4
E) $ P
9
7
CLAVES TRM-05
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 5
1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3)
a)
b)
c)
d)
e)
x
2
2x
x2
x
3
3x
x3
x
4
4x
x4
m+1
m–1
m, m + 1, m + 2
2m, 2m + 2, 2m + 4
a–b
a–1
x
x–
5
x
5
2
5x + x
3
x

5 x + 
3


(x – y)2
x2 – y2
x  12
2
ab
2
(x + 2)(x – 3)
4)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
9
3
7
M = 16
60 y 90
a + 3b
2
11 y 33
18.000 y 72.000
Claves Ejercicios Pág. 4
1.
2.
3.
4.
B
C
A
E
5.
6.
7.
8.
C
B
A
B
9.
10.
11.
12.
D
E
D
E
13.
14.
15.
16.
2
B
D
C
B
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 06
ÁLGEBRA: PRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLES
CUADRADO DE BINOMIO
1.
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
Resolver:
a) (2x – 3y)2 = ______________________
b) (x2 + 4)2 = _______________________
2
1 
1
c)  a  b  = ______________________
2
3 

d)

2  2 3

2
= _______________________
e) (an – 1 + an – 3)2 = ____________________
2.
Indique si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:
a) ________
(4z – 2x)2 = 2(2z – x)2
b) ________
(1 – 3x)2 = (3x – 1)2
c)
________ (-3a – 2b)2 = (2b – 3a)2
d) ________
(1 – 3y)2 = -(3y – 1)2
e) ________
(-x – y )2 = (x + y)2
PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA
1.
(A + B)(A – B) = A2 – B2
Resolver:
a) (0,2 – x)(0,2 + x) = __________________
b) (5a – 2a)( 5a + 2a) = __________________
c)
1
 1

 + x   x  = ____________________
y
 y

d) (1 – x2y2)(1 + x2y2) = _________________
e)
(7x + 3)(7x – 3) = ____________________
PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
1.
Resolver
a) (x – 4)(x + 7) = _______________
b) (2x + 1)(2x – 5)= ______________
2 
1

c)  x -  x +  = _______________
3 
2

d)
1 
1

 3x - 2  3x - 4  = ______________



e)
(m2x – 3)(m2x + 5) = ____________
EJERCICIOS
1.
2.
b

 3a 

5

2
=
A) 9a2 –
b2
6
ab +
25
5
B) 9a2 +
b2
6
ab +
25
5
C) 9a2 –
b2
6
ab –
25
5
D) 9a2 –
b2
6
ab +
5
5
E) 9a2 +
b2
6
ab +
5
5
Si (m – 3n)2 = p + q, entonces (3n – m)2 =
A) -p + q
B) p – q
C) -p – q
D) p + q
E) ninguna de las anteriores.
3.

1 
1
 z   z +  =
y
y


A) z2 –
B) z2 –
2z
1
+
y
y2
1
y2
2
C) z2 –
y
1
D) z2 –
y
E) 2z
4.
(4a2 – b2) (4a2 + b2) =
A)
B)
C)
D)
E)
16a2
16a4
4a4
16a2
16a4
–
–
–
–
–
b2
b4
b2
b4
8a2b2 + b4
2
5.
(2x + 3x)(2x – 3x) =
A)
B)
C)
D)
E)
6.
22x – 3x
2x – 3x
4x – 9 x
42x – 92x
2x – 32x
1

(2z + 1) ·  2z   =
2

1
2
1
z–
2
1
1
z–
2
2
1
z+
2
1
2
A) 4z2 + z –
B) 2z2 +
C) 4z2 +
D) 4z2 +
E) 4z2 –
7.
(3t – 1)(3t + 2) =
A)
B)
C)
D)
E)
8.
9t2
9t2
9t2
9t2
9t2
+1
–2
– 3t + 2
+ 3t + 1
+ 3t – 2
(3x – 1)(3x + 4) =
A)
B)
C)
D)
E)
3x – 4
32x – 4
32x – 3x + 1 – 4
32x + 3x + 1 – 4
32x + 3x – 4
3
9.
(xa - 1 + xa + 1)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
x2a – 2
x2a – 2
x2a – 2
x2a – 2
x2a – 2
+
+
+
+
+
x2a + 2
x4a + x2a + 2
x2a + x2a + 2
2x2a + x2a + 2
2xa + x2a + 2
10. (3a – 1)2 =
A) 32a – 6a + 1
B) 32a – 2 · 3a + 1
2
C) 3a – 6a + 1
2
D) 3a – 2 · 3a + 1
E) 32a – 2 · 3a – 1
11. El desarrollo de (x – 1)2 – (x + 1)2 es
A) -4x
B) 4x
C) -2
D) 2
E) 0
12. Si (x + y)2 = 9
y
xy
= 1 , entonces x2 + y2 =
2
A) 13
B) 8
C) 7
D) 5
E) 4
13. El producto de (x – 1)(x + 1)(x2 + 1) es
A)
B)
C)
D)
E)
(x – 1)4
(x4 – 1)
(x2 – 1)2
(x4 + 1)
(x + 1)4
4
CLAVES TRM-06
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 6
PRODUCTOS NOTABLES
1) a) 4x2 – 12xy + 9y2
b) x4 + 8x2 + 16
1 2
1 2
1
a – ab +
b
c)
9
4
3
d)
e)
2)
a)
b)
c)
d)
e)
14 – 4 6
a2n – 2 + 2a2n – 4 + a2n – 6
F
V
F
F
V
PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA
1) a) 0,04 – x2
b) 52a – 22a
1
c)
- x2
y2
d) 1 – x4y4
e) 72x – 32
PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
1) a) x2 + 3x – 28
b) 4x2 – 8x – 5
1
1
c) x2 – x –
6
3
1
9
2
d) 9x – x +
8
4
e) m4x + 2m2x – 15
Claves Ejercicios Pág. 2
1.
2.
3.
4.
A
D
B
B
5.
6.
7.
8.
C
A
E
D
9.
10.
11.
12.
D
B
A
D
13.
----
B
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 07
ÁLGEBRA:
1.
FACTORIZACIONES
FACTOR COMÚN MONOMIO
a)
a3b + 2a – 3ab =
b)
x2y3 – xy2 =
c)
5 x + 1 – 5 x + 2 + 5x + 3 =
d)
3a3b + 3ab2 – 6ab =
2.
FACTOR COMÚN BINOMIO
a) ap – aq + bp – bq =
b) x + x2 – xy2 – y2 =
c) m3 + m2 + m +1 =
d) 6a – 9b + 21bc – 14ac =
3.
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
a)
1 – x2y4 =
b)
0,01 – 9x2 =
c)
x2 – (y + z)2 =
d)
a4n – 25b2 =
4.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
2b
b2
+
=
3
9
a)
4x2 – 28x + 49 =
b)
1+
c)
x2
+ 2xy + 9y2 =
9
d)
4m2 – 20mn + 25n2 =
5.
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
a)
x2 + 3x – 18 =
b) a2 – 2a – 35 =
c)
36 + 5x – x2 =
d) y2 + 8y + 7 =
2
6.
a)
7.
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
6x2 + 13x – 5 =
b) 2x2 – 5x – 3 =
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
a)
8x3 + 27y3 =
c)
1 + 8a3 =
b) 125 – 64a6 =
3
EJERCICIOS
1.
Al factorizar 2x3y – 8x2y2 – 6xy3 se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Al factorizar ma + na + mb + nb se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
3.
(m + n)(a + b)
(m + n)(n + b)
2amn + 2bmn
2mab + 2nab
ninguna de las anteriores.
La factorización de la expresión a2 + a – ab – b es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
x (2x2y – 8xy2 – 6xy3)
-6x6y6
2xy(x2 – 4xy – 3y2)
x3y2(2y2 – 8xy – 8x2)
2xy(x2 – 6xy – 3xy)
(a
(a
(a
(a
(a
– 1)(a – b)
– 1)(a + b)
+ 1)(a – b)
+ 1)(a + b)
+ 1)a – b
Al factorizar 16x2 – 9y2 se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
(4x – 3y)(4x – 3y)
(8x + 3y)(8x – 3y)
xy(16x – 9y)
(4x – 3y)2
(4x + 3y)(4x – 3y)
4
5.
Al factorizar x2 – (y – x)2, uno de los factores es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Al factorizar x2 + 6xy + 9y2 se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
7.
(x2 + 3)2
(x + 3y)2
(x + 6y)2
(x – 3y)2
(x – 4y)2
Al factorizar x2 – 2x – 15 se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
8.
x
y2
2x – y
x–y
2x
(x
(x
(x
(x
(x
+ 1)(x – 15)
– 5)(x – 3)
– 5)(x + 3)
+ 5)(x – 3)
+ 5)(x + 3)
x2 – x – 6 =
A)
B)
C)
D)
E)
(x
(x
(x
(x
(x
– 6)(x + 1)
+ 6)(x – 1)
– 3)(x + 2)
+ 3)(x – 2)
– 3)(x – 2)
5
9.
Al factorizar 2x2 + x – 3 =
A)
B)
C)
D)
E)
(2x
(2x
(2x
(2x
(2x
+ 3)(x + 1)
+ 3)(x – 1)
– 3)(x + 1)
– 3)(x – 1)
– 1)(x + 3)
10. 1 – a3b3 =
A)
B)
C)
D)
E)
(1
(1
(1
(1
(1
–
–
–
–
–
ab)3
ab)(1
ab)(1
ab)(1
ab)(1
+ a2b2)
– ab + a2b2)
+ ab + a2b2)
+ ab – a2b2)
11. (a – b)2 – c2 =
A)
B)
C)
D)
E)
(a
(a
(a
(a
(a
– b – c)(a + b – c)
– b + c)(a – b + c)
– b – c)(a – b + c)
+ b – c)(a + b + c)
+ b + c)(a – b – c)
12. 4a - 3 + 4a - 2 + 4a – 1 =
A)
B)
C)
D)
E)
4a – 3
4a + 2
43a - 6
21 · 4a - 3
20 · 4a - 3
6
13. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de la expresión algebraica
6x2 + 7x + 2?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(3x + 2)
(2x + 1)
(3x + 1)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
14. Al factorizar 5a4 + 40a se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
5a(a
5a(a
5a(a
5a(a
5a(a
+
+
+
+
+
2)3
2)(a - 2)2
2)(a2 – 2a + 4)
2)(a2 + 2a + 4)
2)(a2 – 2a – 4)
7
CLAVES TRM-07
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 7
1.
FACTOR COMÚN MONOMIO
a) a(a2b + 2 – 3b)
b) xy2(xy – 1)
c)
5x + 1 · 21
d) 3ab(a2 + b – 2)
2.
FACTOR COMÚN BINOMIO
a) (p – q)(a + b)
b) (x – y2)(1 + x)
c) (m + 1)(m2 + 1)
d) (2a – 3b)(3 – 7c)
3.
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
a) (1 + xy2)(1 – xy2)
b) (0,1 + 3x)(0,1 – 3x)
c) (x + y + z) (x – y – z)
d) (a2n + 5b)(a2n – 5b)
4.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
a) (2x – 7)2
b)
2
b

1 + 3 


2
c)
d)
x

 + 3y 
3

(2m – 5n)2
5.
TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c
a) (x + 6)(x – 3)
b) (a – 7)(a + 5)
c) -(x – 9)(x + 4)
d) (y + 7)(y + 1)
6.
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
a) (2x + 5)(3x – 1)
b) (x – 3)(2x + 1)
7.
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
a) (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
b) (5 – 4a2)(25 + 20a2 + 16a4)
c) (1 + 2a)(1 – 2a + 4a2)
Claves Ejercicios Pág. 4
1.
2.
3.
4.
5.
C
A
C
E
C
6.
7.
8.
9.
10.
B
C
C
B
D
11.
12.
13.
14.
--
C
D
D
C
2
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 8
TRIÁNGULOS
1.
En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál es la medida de x?
L1
4x – 12º
fig.1
2x + 36º
2.
L2
En la figura 2, L1 // L2. ¿Cuál es la medida de x?
5x – 72º
L1
fig.2
3x + 8º
3.
L2
En la figura 3, L1 // L2 y L4 es bisectriz del ángulo formado por L3 y L2. Entonces,
x + y =
L4
L3
146º
L1
fig.3
y
x
L2
4.
En la figura 4, L1 // L2; L3  L2 y L4 es bisectriz del ángulo formado por L1 y L3. ¿Cuál es
la medida de x e y?
L3
L4
3x + 15º
L1
fig.4
L2
6x - y
En cada una de las figuras encuentre la medida del ángulo que se indica
5.
C
ACB =___________
x + 10º
x
x - 40º
B
A
6.
P
68º
2x + 18º
Q
QRP =___________
x
R
2
7.
C ’
’ + ’ = 240º
’ = 2’
ACB =___________
’
B
A
8.
R

P
2 - 50º
MN // RP
MNR =___________

M
N
9.
T
P , R y Q puntos colineales
 = 2 = 6
QRT =___________


P

Q
R
3
10.
Considerando para cada caso la información dada, calcula la medida del x
a)
C
D
55º
AD : Altura
x = _____
120º
x
A
B
b)
Q
PS : Bisectriz del QPR
70º
S
x
x = _______
50º
R
P
c)
D
BC : Transversal de gravedad
40º
B
x = _______
x
A
C
d)
Q
ST : Mediana
x
S
x = _______
3

2
P
T
R
4
e)
S
AN : Simetral de MR
x = _______
N
x
M
35º
A
R
f)
C
x
AC  AB
CD  DB
D
x = _______
28º
A
B
g)
R
I : Incentro
40º
x = _______
I x
30º
M
N
5
EJERCICIOS
1.
En el triángulo ABC, de la figura 1, los puntos A, B y D son colineales. Si ACB = 100º,
¿cuánto mide el ángulo ?
C
A)
B)
C)
D)
E)
2.
fig. 1
62º
68º
72º
78º
82º

2 + 38º
A
En la figura 2, ABC es isósceles de base AB , ABD es equilátero y CBD = 12º. ¿Cuál
es la medida del ACB?
A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 2
36º
44º
62º
72º
78º
D
A
3.
B
Si en la figura 3, L es una recta, ¿cuál de las siguientes relaciones es correcta?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
D
B





=
=
=
=
=
3
4
180º – 
180º – 3
180º – 4
3
fig. 3
4
 
L
Si RS es altura del triángulo PQR de la figura 4 y QPR = 3PRS, ¿cuánto mide el
ángulo PRS?
A)
B)
C)
D)
E)
R
fig. 4
22,5º
30º
45º
60º
No se puede determinar
P
6
S
Q
5.
En la figura 5, el triángulo PQR es equilátero. Si  = 5 y  = 3, entonces ¿cuánto
mide el ángulo PSQ?
R

A) 84º
B) 96º
C) 112º
D) 132º
E) 148º
fig. 5
S


P
6.
En un triángulo equilátero ABC se traza la altura CD y la bisectriz del ángulo BAC,
la cual se intersecta con la altura CD en el punto F y se intersecta con BC en el
punto E. ¿Cuál es la suma de los ángulos CFE y AEB?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Q
90º
120º
150º
180º
230º
En un triángulo isósceles ABC, el ángulo distinto ACB mide 44º. Si se traza la bisectriz
del ángulo ABC, la cual se intersecta con AC en el punto D. ¿Cuánto mide el BDA?
A) 68º
B) 78º
C) 102º
D) 112º
E) 128º
8.
En la figura 6, ED  AB , BC  CE
 = 120º?
A)
B)
C)
D)
E)
y
 = 3. ¿Cuál es la medida del ángulo  si
E

20º
30º
45º
60º
Ninguna de las anteriores
C

fig. 6

A
7
D
B
9.
En el triángulo ABC de la figura 7, AC  CB
y
CD  CE . Si x = 50º y y = 20º,
¿cuánto mide el z?
C
A) 80º
B) 90º
C) 100º
D) 110º
E) 120º
z
fig. 7
y
x
D
A
E
B
10. En la figura 8, P, R, y S son puntos colineales, el triángulo PQR es isósceles de base
PQ . Si RS  SQ y PQ  SQ , ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son)
verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
RQS = 2
II)
PSQ = 4
III)
PRQ = 4
S
R
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
fig.8

P
Q
11. En el triángulo ABC de la figura 9, AC  BC , BAC = 2ABC y ACD = BCD. ¿Cuánto
mide el ángulo CDB?
A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 9
95º
105º
115º
120º
125º
A
D
B
12. En el triángulo EFG de la figura 10, EF = EG, EH  FG y  = 45º. Entonces, ¿cuál(es)
de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
=
 +  +  +  = 180º
Los triángulos EFH y EHG son isósceles.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
G
fig. 10

H

E
8


F
13. En la figura 11, se puede determinar cuánto mide el x, si:
(1) ABC es equilátero.
D
C
(2) ABD es isósceles y rectángulo en B.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 11
x
B
A
14. En la figura 12, L es una recta. El triángulo PQR es rectángulo, si:
(1) x + y = 270º
R
(2)  = 45º
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 12
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
y
x 
P
Q
L
15. En la figura 13, se puede determinar cuánto mide el ángulo x, si:
(1) ABC es rectángulo en C.
C
(2) CD es altura del ABC.
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 13
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
x
A
B
D
16. En la figura 14, PQ = QR y PQS es isósceles de base PQ . Se puede determinar la
medida del PSQ, si:
R
(1) PRQ = 70º y PQS = SQR
(2) QPS = 20º
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 14
S
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
P
9
Q
CLAVES TRM-08
TALLER DE REFORZAMIENTO Nº 8
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
x = 24°
x = 40°
107°
x = 25°; y = 105°
80°
50°
100°
65°
126°
Considerando para cada caso la información dada, calcula la medida del x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
25°
100°
50°
90°
55°
62°
110°
Claves Ejercicios Pág. 6
1.
2.
3.
4.
A
A
C
A
5.
6.
7.
8.
B
C
B
A
9.
10.
11.
12.
E
C
B
E
13.
14.
15.
16.
C
A
E
D
TIPS DE MATEMÁTICA Nº 1
1.
a2  b2
=
a  b
A)
B)
C)
D)
a+b
a–b
b–a
ab
a
E)
b
2. El valor de a2 – b2 si a = -2 y b = -3 es
A) 1
B) -1
C) 25
D) -5
E) 5
3. Dada la inecuación -2x + 5 < x – 4 su conjunto solución es
A)
B)
C)
D)
x
x
x
x
>
<
>
<
3
3
9
9
1
E) x >
3
4. Si f(x – 1) =
A)
B)
C)
D)
E)
6
5
4
7
5
3
5
5
3
4x  2
, entonces f(2) =
x+3
5. Determinar x en la ecuación logx (15 – 2x) = 2
A)
B)
C)
D)
E)
-5
3
-3
{-3, 5}
{-5, 3}
2
Solucionario
1. Comentario: Posible Error
Simplificar erróneamente:
a2  b 2
=a–b
a  b
Solución:
(a + b)(a  b)
a2  b2
=
=a+b
a  b
(a  b)
Alternativa correcta: es la A.
2. Comentario: Posible Error
a2 – b2 = -22 + 32
= -4 + 9
=5
Cuando la base es negativa, se debe colocar un paréntesis.
Solución:
a2 – b2 = (-2)2 – (-3)2
=4–9
= -5
Alternativa correcta: es la D.
3. Comentario: Posible Error
-2x + 5 < x – 4 /-x
-3x + 5 < -4 /-5
-3x < -9 / :3
x<3
Al dividir por un número negativo: cambia el sentido.
Solución:
-2x + 5
5
9
3
<
<
<
<
x – 4 / +2x
3x – 4 /+4
3x / :3
x
Alternativa correcta: es la A.
3
4. Comentario: Posible Error
Reemplazar x = 2  f(x – 1) =
4·2  2
6
6
donde
= f(1)  f(2)
=
2+3
5
5
Solución:
f(x – 1) = f(2)
Luego x – 1 = 2
 x=3
4·3  2
12  2
10
5
f(2) =
=
=
=
3+3
6
6
3
Alternativa correcta: es la E.
5. Comentario: Posible Error
Considerar x1 = -5 y x2 = 3 como conjunto solución, ya que la base no puede ser
negativa.
Solución:
log (15 – 2x) = 2  x2 = 15 – 2x
x
 x2 + 2x – 15 = 0
 (x + 5)(x – 3) = 0
 x1 = -5 y x2 = 3
Alternativa correcta: es la B.
4
TIPS DE MATEMÁTICA Nº 2
3
2
1. Si x = -32 , y = (-32)3 y z = -33 , entonces el orden decreciente es
A)
B)
C)
D)
E)
y, x, z
z, x, y
x=y=z
x=z<y
x, y, z
 0,0049 
2. 

 0,07 
A)
B)
C)
D)
E)
3.
-2
=
7-2 · 10-4
7-2 · 10-12
7-2 · 1012
72 · 104
7-2 · 104
x
y
+
y
x
=
2
xy
A)
xy
2
x2 + y2
2
x+y
C)
2
B)
D)
E)
2(x2 + y2 )
(xy)2
x2 + y2
xy
4. Si f(x – 2) = x2 + 5x + 1, entonces f(3) =
A)
B)
C)
D) -
51
23
5
5 
41
2
E) -51
5. La solución del sistema
A)
B)
C)
D)
E)
x  5<9
x  1>7
es
[8, 14]
[8, 14[
]8, 14]
]8, 14[
]-, 8[  ]14, + [
2
Solucionario
1. Comentario: Posibles Errores
B) z, x, y orden creciente
3
C) x = -32 = 93
y = (-32)3 = 93
2
3
z = -33 = -32 = 93
3
D) x = -32 = -35
y = (-32)3 = 35
2
z = -33 = -35
Solución:
x = -38
y = -36
z = -39
Luego y > x > z
Alternativa correcta: es la A.
2. Comentario: Posibles Errores
-2
 49 · 10-4 

A) 
 7 · 10-2 


 0,07 
B) 

 0,0049 
2
= (7 · 102)-2 = 7-2 · 10-4
 7 · 10-2 

= 

-4 
 49 · 10 
2
2
1

=  · 10-6 
7


=
10-12
2
7
= 7-2 · 10-12
Solución:
 0,0049 
 0,07 


-2
-2
 49 · 10-4 

= 
 7 · 10-2 


= (7 · 10-2)-2
= 7-2 · 104
Alternativa correcta: es la E.
3
3. Comentario: Posibles Errores
A)
C)
x+y
x +y
1
xy
=
=
2
2
2
xy
xy
x+y
xy
2
xy
=
x+y
2
x2 + y2
xy
2(x2 + y2 )
x2 + y2
2
D)
=
·
=
2
xy
xy
(xy)2
xy
Solución:
x2 + y2
x
y
+
xy
y
x
xy
x2 + y2
x2 + y2
=
=
·
=
2
2
2
2
xy
xy
xy
Alternativa correcta: es la B.
4
4. Comentario: Posibles Errores
B) Reemplazar x = 3
= 32 + 5 · 3 – 1
= 9 + 15 – 1
= 23
C) Reemplazar x = 3 en f(x – 2)
f(1) = 12 + 5 · 1 – 1
f(1) = 5
D)
f(x – 2) = 3
x2 + 5x – 1 = 3
x2 + 5x – 4 = 0
-5  25 + 16
x=
2
-5  41
x=
2
Solución:
f(3) = f(x – 2)
Entonces 3 = x – 2
5=x
Luego si x = 5 f(3) = 52 + 5 · 5 + 1
f(3) = 25 + 25 + 1
f(3) = 51
Alternativa correcta: es la A.
5. Comentario: Posibles Errores
A) [8, 14]
Intervalo cerrado incluye al 8 y 14.
B) [8, 14[
Incluye el 8.
C) ]8, 14]
Incluye el 14.
E) ]-, 8[  ]14, +[
Solución:
I x  5<9

x < 14
II x  1 > 7

x>8
Al graficar se tiene:
8
14
La solución es la intersección de las dos gráficas, luego la solución es ]8, 14[
Alternativa correcta: es la D.
5
TIPS DE MATEMÁTICA Nº 3
1. -52 · 5x + 3 =
A)
B)
C)
D)
E)
52x + 6
-52x + 3
5x + 5
-52x + 6
-5x + 5
2. Una olla con su tapa cuesta $ 28.000, si el precio de la olla es un 80% más cara que la
tapa, la tapa vale
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
5.000
5.600
10.000
12.400
22.400
3. Si a = x – 2, entonces ¿cuál ecuación es equivalente al cuadrado de a?
A)
B)
C)
D)
E)
2x – 4
x2 – 4
(x + 4)(x – 4)
x2 – 4x + 4
x2 + 4
4. 9x2 – (3x + 5)2 =
A) -25
B) 15x – 25
C) 30x
D) -30x – 25
E) 25 – 30x
5. Si a = -2, entonces a2 – 3 =
A)
B)
C)
D)
E)
-7
-5
-1
1
ninguna de las anteriores.
1
Solucionario
1. Comentario:
Cuidado con pensar que -52 debe ser positivo. La base de la potencia es 5 y no -5.
Solución:
-52 · 5x + 3 = -1 · 52 · 5x + 3
= -1 · 5x + 5
= -5x + 5
Alternativa correcta: es la E.
2. Comentario:
Cuidado con calcular el 80% de $ 28.000 y restarle el resultado.
Solución:
Olla
1,8x
Tapa
x
2,8x
 2,8x = 28.000
Alternativa correcta: es la C.
3. Comentario:
Cuidado con considerar a2 = x2 – 22, en vez de a2 = (x – 2)2, y luego, cada alternativa
considera distintas variaciones erróneas de la suma por diferencia.
Solución:
a2 = x2 – 4x + 4
Alternativa correcta: es la D.
2
4. Comentario:
Cuidado con considerar que (3x + 5)2 = (3x)2 + 52 lo cual no es correcto.
Solución:
9x2 – (3x + 5)2 = (3x + (3x + 5))(3x – (3x + 5))
= (6x + 5) · (-5)
Alternativa correcta: es la D.
5. Comentario:
- En A) al momento de reemplazar la variable en a2 – 3 = -7.
- En B) omitir la potencia -2 – 3 = -5.
- En C) omitir la potencia y el signo 2 – 3 = -1.
Solución:
(-2)2 – 3 = 1
Alternativa correcta: es la D.
3
TIPS DE MATEMÁTICA Nº 4
1. Una fórmula para calcular el área de un triángulo de lados a, b y c es la fórmula de
Herón: A =
p(p  a)(p  b)(p  c) , donde p es el semiperímetro del triángulo.
Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
2A
.
q
II) Un triángulo isósceles de hipotenusa 8 cm tiene área 16 cm 2.
III) El área de un triángulo isósceles de lado 10 cm y base 16 cm es 48 cm 2.
I) Un triángulo equilátero de lado q, tiene altura
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2. Si p es un número real, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I) p2 es positivo.
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
p2 =P
- p no es un número real.
Solo I
Solo II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas
3. En la figura 1, el ABC es rectángulo en B. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
I) Al aplicar una simetría axial con respecto a AB , se obtiene, con la figura
original un triángulo equilátero.
II) Al aplicar una simetría axial con respecto a BC , se obtiene, con la figura
original, un triángulo isósceles.
III) Al aplicar una simetría axial con respecto a AC , se obtiene un cuadrilátero
asimétrico.
A
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
30º
B
fig. 1
C
4. He decidido disminuir la cantidad de cigarrillos que consumo diariamente, para lo cual,
cada día fumaré la mitad de lo que fumé el día anterior. ¿Al cabo de cuántos días habré
dejado de fumar, si el día que comencé, fumé 28 cigarrillos?
A)
B)
C)
D)
E)
7 días
5 días
4 días
3 días
Ninguna de las anteriores
c
5. Se sabe que log b =
a
A)
B)
C)
D)
E)
a log a – log a
0
1
log a – a log a
logaa – 1

c log b
a
, entonces log log a
log a
a
a

=
Solucionario
1. Comentario:
Generalmente se tiende a utilizar siempre la fórmula dada, lo que a veces, como se
indica en la respuesta de las afirmaciones I y II, no es necesario.
Solución:
I) p =
A=
3q
2
y
(p – q) =
q
2
3q q q q
=
·
·
·
2
2 2 2
3q4
24
=
q2
4
3
2A
2q2 3
q 3
=
=
2
q
4q
Por lo tanto esta afirmación es verdadera.
Para las afirmaciones II y III, no es necesario utilizar la fórmula de Herón, ya que es más
fácil lo siguiente:
I)
hipotenusa = 8 cm  cateto = 4 2 cm
1
· 4 2 · 4 2 = 16 cm2 (Verdadero)
Área =
2
C
AB = 16 cm
II)
AC = 10 cm = BC
CD = 6 cm
AD = 8 cm
1
· AB · CD = 48 cm2
área =
2
A
D
B
Alternativa correcta: es la E.
2. Comentario:
Para cada una de las afirmaciones se debe tener presente que:
I) El cero también es un número real.
II) Si se desconoce que es positivo, no se puede deducir que
p = p.
III) El signo negativo delante de una letra no significa que dicha letra con el signo
negativo represente un número negativo.
Solución:
I) Falso, pues si p = 0, p2 = 0.
II) Falso, pues
p2 = p.
III) Falso, pues si p < 0, entonces –p > 0 y por lo tanto
Alternativa correcta: es la E.
- p es un número real.
3. Comentario:
Al aplicar una simetría con respecto a una recta, ésta siempre será eje de simetría de la
figura resultante, por lo que se obtendrá una figura simétrica.
Solución:
I)
Verdadera
60
II)
60
30
Verdadera
30
III) Si AC es eje de simetría, el cuadrilátero que se obtiene no puede ser asimétrico.
Alternativa correcta: es la C.
4. Comentario:
El problema es una adaptación de la paradoja de Zerón. Nunca ocurrirá que la mitad de
una cantidad, llegue a ser cero.
Solución:
1er
2do
3er
4to
5to
día 28 cigarrillos
día 14 cigarrillos
día 7 cigarrillos
día 3,5 cigarrillos
día 1,75 cigarrillos
En estricto rigor, de esta manera nunca dejaría de fumar, ya que es imposible llegar a
cero cigarrillos.
Alternativa correcta: es la E.
5. Comentario:
La propiedad indicada es un simple distractor, que no es necesario utilizar para
solucionar el problema.
Solución:
a
log a = a l og a
a
a
Alternativa correcta: es la C.
TIPS DE MATEMÁTICA Nº 5
1.
(3  2 3)2 + (4  2 3)2 =
A) 7 – 4 3
4 3 –7
1
7
4 3
B)
C)
D)
E)
2. Si a es un número entero negativo mayor que -4, un valor que siempre sea solución de
la inecuación ax + 3 < 7 puede ser
A) -4
B) -3
C) -2
4
D) 3
E) -1
3. Si x =
A)
B)
C)
D)
E)
9 , entonces es falso que
x+3=0
x2 = 9
xx = 27
x es irracional
3 · x = 32
4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El antecesor primo de un número compuesto es impar.
Al sumar dos números primos se obtiene un número par.
El cuociente de dos números primos es un número racional.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
1
5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
0, 9 + 1, 9 + 2, 9 = 5, 7
II)
0, 9 + 1, 9 + 2, 9 = 5, 9
III)
A)
B)
C)
D)
E)
0, 9 + 1, 9 + 2, 9 = 6
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
2
Solucionario
1. Comentario: Es un error asumir sin análisis que x2 = x. En estricto rigor
Están consideradas todas las alternativas que provienen de este error.
x2 = x.
Solución:
(3  2 3)2 = 2 3  3
(4  2 3)2 = 4  2 3
Alternativa correcta: es la C.
2. Comentario: Error ax + 3 < 7
ax < 4 /
x<
1
a
4
a
Se multiplicó ambos lados de la desigualdad por un número negativo, por lo que el
sentido de la desigualdad debió cambiar.
Solución:
ax + 3 < 7
ax < 4 /
x>
1
a
4
a
Bajo las condiciones a  {-1, -2, -3}, se tiene que
Alternativa correcta: es la E.
3
4
4

  -4, -2, - 
a
3


3. Comentario: Es un error asumir que 9 tiene dos valores 3, -3.
excepción de la alternativa A todas las demás son verdaderas.
9 = 3 por lo que con
Solución:
x=
9 = 3.
Alternativa correcta: es la A.
4. Comentario: Es un error olvidar que hay un número par que es primo (2).
Solución:
Como todos los primos distintos de 2 son impares, la afirmación II es falsa.
Alternativa correcta: es la D.
5. Comentario: Es un error sumar los números tal como aparecen, sin considerar que se
trata de decimales periódicos, y la mejor y más segura forma de realizar cualquier
operación con decimales de esta naturaleza es transformarlo a fracciones y luego
efectuar la operación.
Solución:
0, 9 = 1; 1, 9 = 2; 2, 9 = 3 etc.
Alternativa correcta: es la D.
4
TIPS DE MATEMÁTICA Nº 6
1.
(3  2 3)2 +
(4  2 3)2 =
A) 1
B) 7
C) 4 3
D) 4 3 – 7
E) 7 – 4 3
2. Si b es un número entero negativo mayor que -5, un valor que sea solución de la
inecuación bx + 2 < 6 puede ser
A) -4
B) -2
4
C) 3
D) -1
1
E) 2
3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El antecesor de un número primo es par.
Al sumar dos números primos se obtiene un número par.
El cuociente de dos números primos es un número racional.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
0,9 + 1,9 + 2,9 = 5,7
II)
0,9 + 1,9 + 2,9 = 5,9
III)
A)
B)
C)
D)
E)
0,9 + 1,9 + 2,9 = 6
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
5. El triple de un número es a lo sumo equivalente al exceso de 29 sobre 2. Entonces, el
número puede ser
A)
B)
C)
D)
E)
9
10
11
12
13
2
Solucionario
1. Comentario: Posible Error
Considerar que
errores.
x2 = x, dado que
x2 = x. Las alternativas consideran los posibles
Solución:
(3  2 3)2 = 2 3 – 3
(4  2 3)2 = 4 – 2 3
Alternativa correcta: es la A.
2. Comentario: Posible Error
bx + 2 < 6
bx < 4
x<
/
1
b
4
b
Se multiplicó ambos lados de la desigualdad por un número negativo, por lo que el
sentido de la desigualdad debió cambiar.
Solución:
bx + 2 < 6
bx < 4
x<
/
1
b
4
b
Por la condiciones b  {-4, -3, -2, -1}, se debe tener que
Alternativa correcta: es la E.
3
4
4


  -1, - , -2, - 4  .
b
3


3. Comentario: Posible Error
No considerar que hay un número par que es primo (2).
Solución:
Como todos los primos distintos de 2 son impares, las afirmaciones I y II son falsas.
Alternativa correcta: es la C.
4. Comentario: Posible Error
Sumar los números tal como aparecen, sin considerar que se trata de decimales
periódicos, y la mejor y más segura forma de realizar cualquier operación con decimales
de esta naturaleza es transformarlo a fracciones y luego efectuar la operación.
Solución:
0,9 = 1
1,9 = 2
2,9 = 3
Alternativa correcta: es la D.
5. Comentario: Posible Error
I) Considerar “ a lo sumo” : 3x  …
II) El exceso de 29 sobre 2 : 29 + 2
Alternativas B, C, D y E son respuestas del resultado de cometer uno o ambos errores.
Solución:
3x  29 – 2
3x  27
x9
Alternativa correcta: es la A.
4
TIPS DE MATEMÁTICA Nº 7
1. En la figura 1, L1 // L2, L3 // L4 y T  L4. Si  = 65º, entonces  =
A)
B)
C)
D)
E)
15º
20º
25º
35º
45º
L3

L4

L1
L2
fig. 1
2. El ABC de la figura 2, es rectángulo en C AE // DF , de modo que D y E son puntos
medios de AB y CD , respectivamente. Entonces, AE : DF =
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
3
5
:
:
:
:
:
C
1
2
3
1
3
fig. 2
E
A
F
D
B
3. Camilo e Italo están a una distancia de 1 km, y comienzan a caminar el uno hacia el otro
en forma simultánea, a igual ritmo, dando entre los dos, 1.400 pasos. Si la longitud de
los pasos de Camilo es de 0,8 m y los de Italo es de 0,6 m, ¿cuántos metros ha recorrido
Italo, hasta encontrarse con Camilo?
A)
B)
C)
D)
E)
640 m
600 m
400 m
360 m
Es necesario saber cuál de los dos dio más pasos.
4. En el cuadrilátero ABCD de diagonales AC y DB , se verifica que cada diagonal es
simetral de la otra. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
ABCD es un rombo.
AC es bisectriz del BCD.
AC = BD
5. En un número de tres cifras, la suma de la cifra de las unidades y de las decenas es 9, y
ésta es el doble de las unidades, mientras que la cifra de la centena es el sucesor par del
dígito de las decenas. Entonces, el número es
A)
B)
C)
D)
E)
245
454
645
863
872
2
Solucionario
1. Comentario: Una recta perpendicular a una de dos rectas paralelas, es perpendicular a
ambas.
Solución:
L3
65º
Como se muestra en la figura adjunta, se forma un
paralelogramo y por lo tanto, los ángulos opuestos
miden lo mismo.

65º
L4
65º
L1
Alternativa correcta: es la C.
L2
T
2. Comentario: Muchas veces, prolongar una línea soluciona un problema.
Solución:
En el ABP, DF es mediana y en el DFC, EP es mediana.
De esta manera, si EP = k  DF = 2k  AP = 4k
Por lo tanto, AE = 3k
AE : DF = 3k : 2k = 3 : 2
C
P
A
Alternativa correcta: es la B.
F
E
D
3. Comentario: No es necesario saber quien dio más pasos.
Solución:
Metros que recorre
por cada paso
Camilo
0,8
Italo
0,6
Cantidad de pasos
1.000  x
0,8
x
0,6
1.400
1.000  x
x
= 1.400
+
0,8
0,6
Al resolver esta ecuación se obtiene x = 360
Alternativa correcta: es la D.
3
Distancia recorrida
1.000 – x
x
1.000
B
4. Comentario: Es importante destacar que todo cuadrilátero cuyas diagonales son
simetrales necesariamente a lo menos es un rombo.
Solución:
I)
II)
III)
Verdadero, por lo afirmado en el comentario.
En un rombo, cada diagonal es bisectriz de los ángulos, por lo tanto
esta afirmación es verdadera.
Para que ABCD sea un cuadrado, debe verificarse que las diagonales
sean congruentes.
Alternativa correcta: es la B.
5. Comentario: Es deseable determinar los números, en vez de probar las alternativas.
Solución:
Decenas x
Unidades 9 – x
Cifra de las decenas es el doble de las unidades x = 2(9 – x)
x = 18 – 2x
3x = 18
x=6
Alternativa correcta: es la D.
4
C
D
U
8
6
3
TIPS DE MATEMÁTICA Nº 8
1. Si A < 0, entonces
a2 =
A) a
B) -a
C) 1
D) -1
E) 2a
2. Si a  b, entonces
a2  b2
es
a  b
A) b – a
B) a – b
C) a + b
D) -a – b
E) 2a + 2b
3. ¿Cuáles es valor de x si logx 16 = 2?
A)
B)
C)
D)
E)
4y – 4
-4
2 y -2
2
4
4. A es directamente proporcional con el cuadrado de B. Cuando A = 4, B toma el valor 2,
¿cuál será el valor de A cuando B = 8?
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
8
16
64
128
5. Si k2 = A y k  lN. Se puede determinar el valor de k, si:
(1) k2 = 9
(2) 2k – 6 = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
2
Solucionario
1. Comentario:
Es un error simplificar
a 2 = a.
Solución:
La
a2 es el valor absoluto de a, que es –a.
Alternativa correcta: es la B.
2. Comentario:
Es un error simplificar las potencias de a y de b.
a2  b 2
=a–b
a  b
Solución:
(a + b)(a  b)
a2  b2
=
=a+b
a  b
(a  b)
Alternativa correcta: es la C.
3. Comentario:
Es un error desconocer que la base no puede ser negativa y considerar como solución
4 y -4.
Solución:
x2 = 16 
x1 = 4
x2 = -4
Para x = -4 el logaritmo no está definido, luego la solución es x = 4.
Alternativa correcta: es la E.
3
4. Comentario:
Es un error no manejar la definición
A · B2 = k  4 · 4 = k  k = 16
16
64
1
A=
4
A · B2 = 16  A · 82 = 16  A =
Solución:
A
2
B
A
B2
=k ;
=1 ;
4
22
A
82
=k  k=1
= 1  A = 64
Alternativa correcta: es la D.
5. Comentario:
Posible error: desconocer que k  lN y dar la clave B porque sólo da una solución.
Solución:
(1) k2 = 9  k = 3 ó k = -3, pero por condición del problema k  lN luego k = 3.
(2) 2k – 6 = 0  2k = 6
 k=3
Alternativa correcta: es la D.
4
C u r s o : MATEMÁTICA
MATERIAL DESAFÍO Nº 01
1.
El orden creciente de los números irracionales p =
5
5
,q=
2 + 14
2 +
7
y r=
5+2 6
2 +
3
es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Las personas que asistieron a una fiesta se saludaron todas mediante un apretón de
manos. Una de ellas advirtió que los apretones de manos fueron 66 en total. ¿Cuántas
personas asistieron a la fiesta?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
11
12
13
14
15
personas
personas
personas
personas
personas
Si efectuáramos el producto de todos los números impares comprendidos entre 1 y
1994. ¿Cuál sería la cifra de las unidades del número obtenido?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
q<r<p
q<p<r
r<p<q
p<q<r
r<q<p
1
3
5
6
9
2
2
, el valor de y2 es
En el sistema de ecuaciones x  3xy + 2y = 6
x  2y = 5  x + y
A)
B)
C)
D)
E)
9
5
4
2
1
Respuestas:
1B
2B
3C
4E
C U R S O : MATEMÁTICA
MATERIAL DESAFÍO Nº 02
1.
Si en la ecuación ax2 + bx + c = 0 una de las raíces (soluciones), es el doble de la otra,
entonces se debe cumplir que
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Se calculó que 750 metros de una zanja podían ser excavados en 10 días. Si 7
trabajadores hicieron 350 metros y posteriormente con 5 ayudantes concluyeron la
obra en el plazo fijado, ¿cuántos días trabajaron los ayudantes?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Si
A)
B)
C)
D)
E)
4.
b2 = 8 ac
2b2 = 9 ac
4b2 = 9 c
9b2 = 2 ac
2b2 = 9 a
4
5
6
7
Ninguna de las anteriores.
a
c
1
a+1
c+3
=
=
y además se sabe que
=
, entonces el valor de k es
b
d
k
b+2
d+6
2
3
4
5
6
Se desea confeccionar un cilindro cuyo volumen no sea mayor que 648 cc ni menor que
432 cc. ¿Entre qué valores variará la altura si el radio es fijo e igual a 6 cm y además
se considera  = 3?
A) 4
B) 4
C) 4
D) 4
E) 24
<


<
<
Respuestas:
h
h
h
h
h


<
<
<
6
6
6
6
36
1B
2A
3A
4B
C U R S O : MATEMÁTICA
MATERIAL DESAFÍO Nº 03
1.
Si ab =
m2  p2
2
y a2 + b2 = p2, entonces un posible valor de a + b es
A) m2
B) -m2
C) p
D) -p
E) m
2.
El recíproco de un número entero positivo k está comprendido entre
2
4
. El
y
11
5
conjunto de todos los valores posibles de k es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
La suma de los perímetros de dos cuadrados es 100 cm y la suma de sus áreas es
325 cm2, entonces la diferencia positiva de sus lados es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
{3}
{2,3}
{2,3,4}
{2,3,4,5}
{6,7,8,9,10}
5
10
15
25
30
cm
cm
cm
cm
cm
Sean a y b números reales tales que a < b. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a+b
<b
2
3a + b
a<
<b
4
a + 3b
a<
<b
4
a<
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Respuestas:
1E
2D
3A
4E
C U R S O : MATEMÁTICA
MATERIAL DESAFÍO Nº 04
1.
2
2
4

– (22 ) 


2
Si se cumple: 222 + 1.024 = 1.024 · a, entonces 2
A)
0,5
· a es
0
2
B)
22
C)
212
D) -16
22
E)
2.
Si a – b = b – c =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
4
7
7 , entonces
(a  c)7 + (b  c)7 + (a  b)7
es
70
16
13
12
10
2
Si P(x + 1) = x2 + 1 y H = (x) =
 P(x  1) + P(x + 1) ; si x  1
, entonces

; si < 1
 P(x) + P(-x)
H(0) + H(1) es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
9
8
7
6
5
En la figura 1, se tiene AC semicircunferencia de centro B. Si AB es semicircunferencia
donde AB = BC = 2R, T es punto de tangencia. Determinar ET
A) R 6
2
B)
R
3
2
C)
R 6
3
R
D)
6
3
3
E)
R 6
2
Respuestas:
E
D
A
1D
2B
3B
4C
fig. 1
T
B
C
C U R S O : MATEMÁTICA
MATERIAL DESAFÍO Nº 05
1.
1  a2
(1 + ax)2  (a + x)2
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1
1  x
1
1+x
1
1  x2
1
1 + x2
1
(1  x)2
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) del trinomio p8 + q8 + p4 · q4?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
=
p4 + q4 + p2q2
p4 + q4 – p2q2
p2 + q2 + pq
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Si a +
1
1
= 3, entonces a3 +
=
a
a3
A) 5
B) 6
C) 18
D) 27
E) 36
1
4.
En el triángulo acutángulo ABC de la figura adjunta, se han trazado sus tres alturas.
Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
ACD  FBA
II)
DFB  EFB
III)
FDC  EDC
C
F
E
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Respuestas:
1C
A
2B
3C
4E
2
D
B
C u r s o : MATEMÁTICA
MATERIAL DESAFÍO Nº 06
1.
1
de la población de un pueblo, estaba afectada por una epidemia.
10
1
1
Actualmente
de las personas enfermas se mejoraron y
de las personas sanas
10
10
se enfermaron, ¿qué parte de la población tiene buena salud en este instante?
Hace un mes
81
100
41
B)
50
88
C)
100
41
D)
100
82
E)
50
A)
2.
Si
a
m
y 2a + 3b = 6m + 9n, entonces a · b =
=
b
n
A) 6mn
B) 9mn
C) 36mn
D) 2m2 + 5mn + 3n2
E) 3m2 + 6mn + 3n2
3.
Para una carrera se destinan $ 66.000 a repartir entre los tres corredores que terminen
en los tres primeros lugares de manera inversamente proporcional al puesto que
ocupan. ¿Cuánto dinero recibe cada uno de los tres clasificados?
1º lugar
A)
B)
C)
D)
E)
4.
$
$
$
$
$
36.000
11.000
33.000
30.000
40.000
2º lugar
$
$
$
$
$
18.000
22.000
22.000
24.000
20.000
3º lugar
$
$
$
$
$
12.000
33.000
11.000
12.000
6.000
Un tenista decide retirarse cuando haya logrado un 90% de triunfos en su carrera. Si
ha jugado 1.000 partidos obteniendo 880 triunfos, ¿cuál es el menor número de juegos
adicionales que debe ganar para retirarse?
A) 20
B) 40
C) 100
D) 120
E) 200
Respuestas:
1B
2B
3A
4E
C u r s o : MATEMÁTICA
MATERIAL DESAFÍO Nº 07
1.
4
¿A qué exponente hay que elevar 44 para obtener 44 ?
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64
2.
¿Qué valor debe tener el racional x en la recta de la figura 1 para que su distancia a
sea el doble de la distancia a
2
3
1
?
3
1
2
5
B)
12
4
C)
9
7
D)
12
8
E)
15
A)
3.
Si a + b + c = 0, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
4.
1
3
x
2
3
fig. 1
a
b
c2
=
+

b
a
ab
-5
-4
-3
-2
-1
Un computador recibe una instrucción que va generando en la pantalla los siguientes
números: -1, 6, 25, 62, 123, … ¿cuál será el siguiente número?
A)
B)
C)
D)
E)
215
214
187
186
185
Respuestas:
1E
2C
3D
4B
C U R S O : MATEMÁTICA
MATERIAL DESAFÍO Nº 08
1.
a y b son dos números enteros tales que si se multiplica a por el sucesor de b se
obtiene 9, y se multiplica b por el sucesor de a se obtiene 8. Entonces, a – b =
A) 2
B) 1
C) -1
D) -2
E) No se puede determinar
2.
En el triángulo ABC de la figura, r es el radio de la circunferencia inscrita. Si se cumple
que a + b + c = p, entonces el área del triángulo ABC es
C
A)
B)
C)
D)
E)
3.
p
r
2pr
pr
2
4pr
pr
Si x =
b
4.
10
E)
25
A
3
+
4
4
, entonces
3
12x2 + 15 =
El conjunto solución de la ecuación x –
A)
B)
C)
D)
E)
{-3, 4}
{3, -4}
{3, 4}
{-3}
{4}
Respuestas:
a
O
A) 8
B) 6
C)
40
D)
r
1B
2C
3A
4E
25  x2 = 1 es
c
B
C u r s o : Matemática
ENSAYO Nº 1
MATEMÁTICA
PSU
MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1.
Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para
responderla.
2.
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
3.
Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
4.
Antes de responder las preguntas N° 74 a la N° 80 de esta prueba lea atentamente las
instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 73.
ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que

es congruente con

es mayor que

es semejante con

es menor o igual a

es perpendicular a

es mayor o igual a

es distinto de
ángulo recto
//
es paralelo a
log

ángulo
AB
trazo AB
logaritmo en base 10

pertenece a
conjunto vacío
x
valor absoluto de x
[x] función parte entera de x
n!
2
factorial de n
1. El cuádruplo del cuadrado de 4 es
A) 20
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256
2. Al reducir la expresión 30 – 31 + 3-2 – 3-3, se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
27
20
20
27
7
27
7
27
52
27
3. Para obtener una pintura de un cierto color, un pintor mezcla 4 partes de pintura
amarilla, 3 partes de pintura roja y 1 parte de pintura azul. ¿Cuál es el porcentaje de
pintura roja en el total de la mezcla?
A)
B)
C)
D)
E)
24 %
30 %
33,3 %
37,5 %
50 %
4. Si x =
4
, ¿cuál de las siguientes expresiones es un número irracional?
5
A) x3
B) x
C) x2
D) x
1
E)
x
3
5. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 3
A)
B)
C)
D)
E)
I)
3·
II)
17
5
III)
3+
2
5
2
5
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
2
1
6. Dados los racionales p =  
2
Entonces, se cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
2
?
5
2
1
+ 1, q =  
4
2
1
+ 1, r =  
2
r<w<p<q
p<r<q<w
r<p<w<q
q<w<p<r
q<p<w<r
7. ¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) escrito(s) en notación científica?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
0,20 ∙ 105
4,08 ∙ 10-6
99,70 ∙ 106
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
4
2
1
+ 2 y w =  
4
+ 2.
8. ¿Qué parte de una hora son 36 segundos?
A)
B)
C)
D)
E)
1
1.000
1
100
1
360
1
36
1
6
9. El valor de una caja de lápices de colores duplica el valor de un cuaderno. Si en la
compra de dos decenas de cajas de lápices y 3 docenas de cuadernos se gastaron
$ 60.800, ¿cuál es el valor de la caja de lápices?
A)
B)
C)
D)
E)
$ 600
$ 800
$ 1.200
$ 1.600
$ 1.800
10. En una compañía, 40% de los empleados son profesionales universitarios. Si 30% de los
profesionales universitarios tienen estudios de postgrado y 50% de los que tienen
estudios de postgrado hablan alemán. ¿Qué porcentaje del total de empleados son
profesionales universitarios con estudios de postgrados y hablan alemán?
A)
B)
C)
D)
E)
6
12
18
24
30
%
%
%
%
%
11. Juan tiene 5 años menos que María y Clara tiene 3 veces más años que Juan. Si María
tiene n años, ¿cuál de estas expresiones representa la edad de Clara?
A)
B)
C)
D)
E)
5 – 3n
3n
n–5
3n – 5
3(n – 5)
5
12. Si 2x – 3 =
A)
B)
C)
D)
E)
13.
P
P
, entonces
+ 1 es
4
2
4x – 11
4x – 5
4x – 2
x+1
x+2
xy  2y + x  2
=
xy + x  5y  5
A)
B)
C)
D)
E)
x  2
x  5
x–5
x–2
y+1
2
5
14. Si a y b son números naturales consecutivos, tales que a < b, entonces 3a2 – 2b2 es
igual a
A)
B)
C)
D)
E)
a2
a2
a2
a2
a2
+ 4a – 2
– 2a + 4
– 4a – 2
+ 2a – 4
– 2a – 2
15. Dos ángulos suman 106º y la diferencia entre el suplemento de uno de los ángulos y el
complemento del otro ángulo es 40º. Entonces, ¿cuánto mide el mayor de ellos?
A)
B)
C)
D)
E)
78º
74º
62º
36º
28º
6
16.
3n + 4  6 · 3n + 1
3n + 1 · 7
A)
B)
C)
D)
E)
17.
=
1
3
3n + 4
3n + 1
3n + 4
3n + 1
2·3 4
2
=
A) 2 ·
6
4
B) 2 ·
6
2
C) 2 ·
D) 2
E) 8
3
2
18. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa 2ab 2. Si se construye un
cuadrado sobre uno de sus catetos, el perímetro de este cuadrado es
A)
B)
C)
D)
E)
4ab
2ab2
2a2b2
4ab2 2
ab 2
19. En la ecuación (x – 3)2 – 1 = 0, se cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
tiene
tiene
tiene
tiene
tiene
una raíz positiva y otra negativa
una raíz nula
raíces reales y positivas
las dos raíces iguales
las dos raíces complejas
7
20. En la figura 1, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La ecuación de la recta L es 2x + y – 6 = 0.
Una recta perpendicular a L, tiene por ecuación x – 2y + 8 = 0.
La recta L pasa por el punto (-2, 10).
y
6
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
fig. 1
3
21. Si f(x) = 2x, entonces ¿cuál es el valor de f(x + 1) · f(3x -1)?
A) 16x
B) 43x
C) 23x
D) 24x + 2
E) 2x + 1
22. Si log P+ log 5 = 2, entonces P =
A) 100
B) 50
C) 20
D) 10
2
E)
5
23. El conjunto solución para la inecuación 5x – 1 ≤ 7x + 4 es
A) x  -5
2
5
B) x 
2
C) x  -5
2
5
D) x 
2
E) x  5
12
8
L
x
24. ¿Cuál (es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
810,25 = 3
log 0,5 = -1
2
16
-1
3
=2
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
25. Si f(x) = x2 + x, entonces f(2n – 1) =
A)
B)
C)
D)
E)
2n2
4n2 + 1
2(2n – 1)
2n(2n – 1)
2n(2n + 3)
26. Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 9 cm y 10 cm, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes longitudes podría(n) corresponder al tercer lado?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
1 cm.
18 cm.
20 cm.
Solo I
Solo II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de las anteriores
27. En la figura 2, PC  AB . Si la medida del ángulo BAP es 40º, entonces el ángulo ABC
mide
P
A)
B)
C)
D)
E)
50º
40º
30º
20º
10º
fig. 2
A
P
C
P
9
B
28. Los lados de un triángulo ABC, son a, b, c y sus alturas son ha, hb y hc, respectivamente.
El enunciado: “En todo triángulo, las alturas son inversamente proporcionales a los lados
correspondientes” se traduce en la expresión
A)
a
b
c
=
=
ha
hb
hc
B)
C)
D)
E)
a
a
a
a
: b : c = h a : hb : hc
: b : c = h b : hc : h a
· b · c = h a · hb · hc
· ha = b · hb = c · hc
29. En la figura 3, AM mide 48 cm. P se ubica a 3 cm de R, que está a 10 cm de A y
3
SM + AR
PS = PM . Entonces,
2
5
A)
B)
C)
D)
E)
24 cm
19 cm
17 cm
15,5 cm
12 cm
A
P
S
M
fig. 3
30. ¿En cuál de los
h(x) = (x – 1)2 + 1?
A)
R
siguientes
y
gráficos
está
mejor
y
B)
representada
C)
x
E)
y
x
y
x
x
10
función
y
x
D)
la
31. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es factor del polinomio x4 – x3 + x2 – x?
A)
B)
C)
D)
E)
1
x
x–1
x2 + 1
x2 – 1
32. Al resolver el sistema de ecuaciones
A)
B)
C)
D)
E)
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
2
2
-2
-2
2
;
;
;
;
;
y
y
y
y
y
x+y=1
x  y=3
se obtiene
=5
= -1
=1
= -1
=0
33. Si an + 1 = 12 y an – 1 = 4, entonces a8 =
A) 3
B) 9
C) 10
D) 27
E) 81
34. Una señora compró un repuesto para su juguera y un repuesto para un televisor y al
llegar a su casa se dio cuenta que no le servían. Logró vender cada repuesto a $ 9.900 y
en uno ganó el 10% y en el otro perdió el 10%, entonces la señora
A)
B)
C)
D)
E)
perdió $ 200.
recuperó exactamente su dinero.
ganó $ 200.
perdió $ 1.000.
ganó $ 1.000.
35. Sean p, q y r tres números enteros. Si p + q = 2, pr + q= 16 y qr + p = 6, entonces
r-1 =
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
3
1
10
1
11
1
12
11
36.
3
6 10 =
A)
6
360
B)
6
600
C)
6
180
3
D) 360
E) ninguna de las anteriores.
37. log100.000 =
A)
B)
C)
D)
E)
5
6
7
8
0
38. Si en la ecuación
8
x
x
+
x + 2 = x, usamos la incógnita auxiliar u =
, entonces la
9
2
2
nueva ecuación es
A)
B)
C)
D)
E)
2u2 + 9u – 18 = 0
2u2 – 9u + 18 = 0
u2 – 9u – 18 = 0
2u2 – 9u – 18 = 0
u2 + 9u – 18 = 0
39. El conjunto de todos los números reales que satisfacen la desigualdad 4x + 3  5 son
A) [2, 5]
1

B) - , 
2

1

C) -8, 
2

D) [-2, 2]
E) [3, 4]
12
40. Los valores de x para los cuales la expresión
2x + 3 está definida en los reales son
3

A) ]-, 1] U  , +  
2


B) lR
C) 
D) [1,+[
 3

E) - , +  
 2

41. Con respecto a la parábola de ecuación y = (x + 2)2 + 5, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Su vértice es el punto (-2, 5).
Su eje de simetría es la recta x = 2.
Intersecta al eje y en el punto (5, 0).
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
42. Para ciertos valores de K la diferencia de las raíces (o soluciones) de la ecuación
x2 – 2kx + 3k = 0 es 4, entonces la suma de todos esos valores de k es
A) -2
B) 3
C) 0
D) 11
E) 4
43. El punto simétrico de A(6,8) en el plano cartesiano con respecto al punto (1,3) es
A)
B)
C)
D)
E)
(-1,-2)
(-3 -4)
(-4,-2)
(0,-3)
(-4,-3)
13
44. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos permite(n) teselar el plano?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Triangulo isósceles.
Cuadrado.
Pentágono regular.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
45. El valor de la expresión sen2(x + y) + cos2(x + y), siendo x e y ángulos cualesquiera es
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
2
0,5
0,6
46. En la figura 4 el triángulo ABC es isósceles de base AC y AD = CE . Entonces,
BAD  BCE por postulado
B
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 4
LLA
LLL
ALA
LLA>
LAL
A
D
E
C
47. En la figura 5, PQRS es un rectángulo de lados paralelos a los ejes x e y. Si las
coordenadas de P son (a, b) y las de R son (c, d), entonces las coordenadas de Q son
y
A)
B)
C)
D)
E)
(c, b)
(c, a)
(d, b)
(a, d)
(b, d)
S
P
R
fig. 5
Q
x
14
48. Al girar la figura 6 por el eje y, la parte achurada genera un cuerpo. ¿Cuál es su
volumen? (Considere  = 3).
x
A)
B)
C)
D)
E)
5
10
15
20
25
cm3
cm3
cm3
cm3
cm3
fig. 6
5 cm
1 cm
y
1 cm
eje
49. La mamá de Juanito se hace una ecografía, pues tiene un embarazo de 6 meses. La
fotografía que le entregan tiene la forma de la figura 7, formada por dos sectores
circulares de radio 6 y 12 cm. ¿Cuál es el valor del área achurada que corresponde al
feto?
A)

B) 2
C) 6
D) 9
E) 12
6
2
cm
cm2
cm2
cm2
cm2
30º
fig. 7
12
50. Si la diagonal de un cuadrado mide a + b, entonces el perímetro de un segundo
cuadrado, cuya área es el doble del primero, es
A)
B)
C)
D)
E)
2(a + b)
4(a + b)
(a + b)2
a2(a + b)
2 (a + b)
51. Pablo necesita saber el tamaño de su dormitorio para alfombrarlo; el tiene un plano de
escala 1 : 50; en él se aprecia que el dormitorio es rectangular y que el largo es 6,4 cm
y el ancho 8 cm. La superficie del dormitorio es
A) 12,8 cm2
B) 12,8 m2
C) 51,2 m2
D) 204,8 m2
E) 204,8 cm2
15
52. En un rectángulo el lado menor es a y el lado mayor es el triple del menor. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El perímetro del rectángulo es 8a.
El área del rectángulo es 3a2.
El área de un cuadrado de igual perímetro es 4a2.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
53. Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes ED y BC
perpendiculares al plano, como se muestra en la figura 8. Si la distancia entre el punto A
y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros,
¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED?
C
fig. 8
A) 1 metro
B) 3 metros
D
6m
C) 6 metros
D) 9 metros
2m
E) 30 metros
A
E
B
54. Con respecto a la figura 9, se realizan las siguientes afirmaciones, ¿cuál de estas
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

–
2
3
APB =
–
2
3
5
+
CPA =
2
2
C
P
CPB =
2

3
B
O
fig. 9
2
A
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
55. En la circunferencia de centro O de la figura 10, el radio mide
A) 5,4
B) 7,0
C) 10,8
D) 13,5
E) 19,0
A
18
P
16
16
C
30
B
fig. 10
O
D
56. El cuadrado ABCD de la figura 11, tiene un perímetro de p cm. Si en el cuadrado EFBG y
AB
FB =
, ¿cuánto mide el área del cuadrado EFBG?
3
A)
B)
C)
D
p
4
p
12
p
3
C
fig. 11
E
D)
p2
4
E)
p2
144
G
B
F
A
57. Si O es el centro de la circunferencia de la figura 13 y OC = 20 cm, OD = 16 cm,
¿cuánto mide el trazo AB?
A) 7 cm
B) 24 cm
C) 3 41 cm
D)
4 41 cm
E)
3 20 cm
D
A
B
fig. 12
O
C
58. En el triángulo ABC de la figura 13, PM // AB . Si PM = 10, AB = 15 y CT = 12, entonces
¿en cuál de las opciones se presenta la proporción correcta para determinar el valor de
x?
A)
B)
C)
D)
E)
10
15
10
15
10
15
10
15
10
15
=
=
=
=
=
C
12  x
12
12  x
x
x  12
12
12
12  x
12
x
fig. 13
P
M
x
A
17
T
B
59. La generatriz de un cono recto mide 13 cm y la altura 12 cm. ¿Cuál es su volumen?
300 cm3
A)
B)
144 cm3
C)
100 cm3
D) 1.872 cm3
E) 2.028 cm3
60. Se desea forrar una caja cúbica con tapa de arista x. ¿Cuál de las siguientes expresiones
representa la superficie a cubrir?
A) 12x2
B) 6x2
C)
x2
D) 4x2
E) 8x2
61. Según el censo 2002, la siguiente es una distribución de jefes de hogar según grupo
étnico en Chile.
Hombre
Mujer
Total
Mapuche
117.650
46.895
164.545
Aymara
9.137
4.686
13.823
Atacameño
4.495
2.244
6.739
Quechua
1.190
570
1.760
Total
132.472
54.395
186.867
Si se escoge una de estas personas al azar y resulta ser de la etnia quechua, ¿cuál es la
probabilidad de que sea una mujer jefe de hogar?
A)
B)
C)
D)
E)
50
186.867
1.760
186.867
570
54.395
570
1.760
Ninguna de las anteriores.
18
62. Al lanzar un dado rojo y uno azul, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus puntos
sea menor que 4 ó mayor que 11?
A)
B)
C)
D)
E)
4
12
1
9
2
9
1
12
2
12
63. Luis juega a lanzar 3 monedas, él gana cuando salen más caras que sellos. Entonces, su
probabilidad de ganar es
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
4
3
8
1
8
3
4
64. En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20
mujeres. El resto comió pescado. Si se elije una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que haya comido pescado?
A) 0
B) 0,24
C) 0,36
24
D)
60
36
E)
60
19
65. La tabla muestra la votación de los alumnos de una universidad acerca si están a favor o
en contra de la ley de divorcio. Con respecto a lo que se observa en la tabla,
A favor
En contra
Alumnos
70
45
Alumnas
65
20
Es verdadero que:
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad de que un hombre esté a favor es de 35%.
La probabilidad de que un hombre esté a favor o una mujer esté en contra
es 45%.
2
del alumnado está a favor de la ley.
Más de los
3
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I, II y III
66. Las edades de los jóvenes de un grupo musical son 15, 14, 13, 15, 14 y 13 años.
Entonces, es verdadero que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
la media es 14 años.
la mediana es 15 años.
la moda es polimodal.
I
II
III
I y II
I y III
67. La tabla muestra las edades de los jóvenes de un grupo de una parroquia. Con respecto
a la información de la tabla, es FALSO
A)
B)
C)
D)
E)
Edad
14
15
16
17
Total
El 25% tiene 15 años.
La moda es 16 años.
La media es 15,5625
El 35,7% tiene 16 años.
La mediana es 16 años.
20
fi
6
8
12
6
32
68. Las notas de Marcela en Matemática son: 3,5; 4,2; 5,3; 2,8; 5,6; y 5,6. Con respecto a
esta situación, es verdadero que
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
su media es 4,5.
la moda es un 5,6.
si Marcela obtiene en un trabajo un 5,8 y lo remplaza por su peor nota, su
media ahora es un 5,0.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
69. ¿Cuál es la desviación estándar de 2, 5, 6 y 7?
A)
7
B)
7
2
C)
8
D) 4
E) 5
70. Si A = (1, 5) y B = (5, 6), entonces AB es igual a
A)
17
B)
16
C)
12
D)
8
E)
6
71. ¿Cuál es la varianza de los números 1, 2, 3 y 10?
A)
B)
C)
D)
E)
25
2
25
2
50
2
50
2
4
21
72. Para que las rectas (-1, 4) + (3, 5) y (3, 8) + (-1, -k) sean perpendiculares, k debe
ser
3
5
3
B)
5
5
C)
3
5
D) 3
A) -
73. Al lanzar dos dados se obtiene como suma un número par. ¿Cuál es la probabilidad que
no aparezca ningún número primo?
A)
B)
C)
D)
E)
1
18
2
18
3
18
4
18
5
18
22
Evaluación de Suficiencia de Datos
Instrucciones Para las Preguntas N° 74 a la N° 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si
los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
A)
(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.
B)
(2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.
C)
Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder
a la pregunta.
E)
Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
Ejemplo:
P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?
(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.
(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado
más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:
P : Q = 3 : 2, luego
(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde
$ 10.000.000 : Q = 5 : 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el
enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave
D . Cada una por sí sola, (1) ó (2).
23
74. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país, si se sabe
que:
(1) El 52% de la población del país son mujeres.
(2) El 0,5% de la población son médicos.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
75. Sean c y q Reales positivos, entonces
a+b
an + bq
, si:
=
c
cq
(1) n = q
(2) c = q
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
76. Se puede determinar el valor de la tapa de una botella, si:
(1) La botella vale $ 200 más que la tapa.
(2) La botella y la tapa juntas valen $ 320.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
77. Si ABCD es un rectángulo de perímetro 56 cm y ABE es un triángulo isósceles de base
AB . Se puede determinar el área de la figura 14, si se sabe que:
E
(1) Los lados del rectángulo están en la razón 2 : 5.
fig. 14
(2) EF mide 10 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
D
A
24
C
F
B
78. En la figura 15, ABCD es un cuadrado, P es un punto de la recta AB, M es la intersección
de los segmentos PC y AD. Es posible determinar el área del triángulo PBC, si:
(1) El lado del cuadrado mide 8 cm.
D
C
(2) Se sabe que M es punto medio de AD.
A)
B)
C)
D)
E)
M
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
P
A
fig. 15
B
79. Se puede determinar que polígono es, si:
(1) El número total de diagonales que se pueden trazar es igual al número de lados del
polígono.
(2) La suma de los ángulos interiores es 540º.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
80. Se puede obtener la probabilidad de sacar una bolita negra de una caja, sin mirar en su
interior, si:
(1) En la caja hay 4 bolitas rojas y 3 amarillas.
(2) La tercera parte de las bolitas que hay en la caja no son negras.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
25
CLAVES MATEMÁTICA
CLAVES PSU ENSAYO Nº 1
Asignatura
: MATEMÁTICA
Nº Preguntas
: 80
Fórmula
:
B 7,5 + 250
1.
C
11.
E
21.
A
31.
E
41.
A
51.
B
61.
D
71.
B
2.
E
12.
B
22.
C
32.
B
42.
B
52.
E
62.
B
72.
A
3.
D
13.
A
23.
A
33.
E
43.
C
53.
B
63.
A
73.
E
4.
B
14.
C
24.
D
34.
A
44.
D
54.
A
64.
D
74.
E
5.
D
15.
A
25.
D
35.
C
45.
B
55.
E
65.
E
75.
A
6.
E
16.
B
26.
B
36.
A
46.
E
56.
E
66.
E
76.
C
7.
B
17.
B
27.
A
37.
A
47.
A
57.
B
67.
D
77.
C
8.
B
18.
D
28.
E
38.
D
48.
C
58.
A
68.
E
78.
C
9.
D
19.
C
29.
E
39.
B
49.
D
59.
C
69.
B
79.
D
10.
A
20.
E
30.
C
40.
E
50.
B
60.
B
70.
A
80.
B
Curso: Matemática
SOLUCIONARIO
ENSAYO Nº 1
MATEMÁTICA
1. La alternativa correcta es C
4 · 42 = 43 = 64
2. La alternativa correcta es E
1
3
1
1

+

1
1
9
27
27  81 + 3  1
=
27
52
=27
30 – 31 + 3-2 – 3-3 =
3. La alternativa correcta es D
Pintura roja
3
=
= 0,375
Total
8
0,375 · 100% = 37,5%
4. La alternativa correcta es B
64
125
4
=
B)
5
A)
16
C)
25
4
D)
5
1
5
=
E)
4
4
5
4
5
=
2
5
=
5
5
=
2
5
5
5. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
2
6
=
Falso
5
5
2
5·3+2
17
=
Verdadero
3 =
5
5
5
2
5·3+2
17
=
=
Verdadero
3+
5
5
5
3·
6. La alternativa correcta es E
2
1
5
1
+1=
p=   +1=
4
4
2
2
1
17
1
q=   +1=
+1=
16
16
4
 
2
1
9
1
r=   +2=
+2=
4
4
2
2
1
33
1
w=   +2=
+2=
16
16
4
Luego:
q
p
w
r
lR
7. La alternativa correcta es B
k · 10n con 1  k < 10
I)
II)
III)
0,20 · 105  k = 0,2 no es notación científica.
4,08 · 10-6  k = 4,08 si es notación científica
99,70 · 106  k = 99,70 no es notación científica
8. La alternativa correcta es B
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
Luego 1 hora = 3.600 segundos 
36
1
=
3.600
100
9. La alternativa correcta es D
Caja de lápices de colores = $ 2x
Cuaderno = $ x
20 · 2x + 36 · x = 60.800
40x + 36x = 60.800
76x = 60.800
x = 800
Luego, 2x = 1.600
2
10. La alternativa correcta es A
40% ó
2
3
1
3
6
= 6%
·
·
=
=
5 10 2
50
100
11. La alternativa correcta es E
J=M–5
M=n
C = 3J
J=n–5
C = 3(n – 5) *
C = 3n – 15
12. La alternativa correcta es B
P
/·2
4
P
4x – 6 =
/+1
2
P
4x – 5 =
+1
2
2x – 3 =
13. La alternativa correcta es A
xy  2y + x  2
y(x  2) + 1(x  2)
=
xy + x  5y  5
x(y + 1)  5(y + 1)
=
=
( y + 1)(x  2)
( y + 1 )(x  5)
x  2
x  5
14. La alternativa correcta es C
a<b
a < a + 1 Consecutivos
3a2 – 2 · (a + 1)2 = 3a2 – 2 · (a2 + 2a + 1)
= 3a2 – 2a2 – 4a – 2
= a2 – 4a – 2
3
15. La alternativa correcta es A
 +  = 106º
(180º – ) – (90 – ) = 40º
 - +  + 90 = 40
  –  – 90 = -40
  –  = 50
 =  + 50
  +  = 106º
  + 50 +  = 106º
2 = 56º
 = 28º
 = 78º
16. La alternativa correcta es B
3n + 4  6 · 3n + 1
=
3 n + 1 (33  6)
3n + 1 · 7
27  6
=
7
21
=
7
=3
3n + 1 · 7
17. La alternativa correcta es B
3
2 4
·
2
6
2
2 23 · 42
=
=
2
2
6
6
23 · 24 = 2 2
18. La alternativa correcta es D
x2 + x2 = (2ab2)2
2x2 = 4a2b4 / : 2
x2 = 2a2b4 /
x
x = ab2 2
x
 P = 4x  P = 4ab
2ab2
x
2
2
4
x
19. La alternativa correcta es C
(x – 3)2 – 12 = 0
(x – 3 + 1) (x – 3 – 1) = 0
(x – 2) (x – 4) = 0
x1 = 2 ; x = 4
20. La alternativa correcta es E
La ecuación es
x
y
=1
+
3
6
/ ·6
2x + y = 6
2x + y – 6 = 0
I)
II)
III)
Verdadera.
mL = -2
1
m =
2
y
y
y
y
=
=
=
=
Verdadera
-2x + 6 Verdadera
-2 · -2 + 6
4+6
10
21. La alternativa correcta es A
f(x + 1) + f(3x – 1) =
= 2x + 1 · 23x – 1
= 24x
= (24)x
= 16x
22. La alternativa correcta es C
log P + log 5 = 2
log 5P = log 100
5P = 100
P = 20
5
23. La alternativa correcta es A
5x – 1  7x + 4
5x – 7x  4 + 1
-2x  5 / (-1)
2x  -5 / :2
x-
5
2
24. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
1
4
810,25 = (34 )
= 31 = 3 (Verdadero)
1
log 0,5 = -1  2-1 =
= 0,5 (Verdadero)
2
2
16
-1
3
= 2  16
-1
3
4
-1
3
= (2 )
-4
3
=2
(Falso)
25. La alternativa correcta es D
f(2n – 1) = (2n – 1)2 + (2n – 1)
= 4n2 – 4n + 1 + 2n – 1
= 4n2 – 2n
= 2n (2n – 1)
26. La alternativa correcta es B
I)
1
1 < 9 + 10 (Falso)
9 < 1 + 10
10 < 1 + 9
9
10
II)
10
9
18
III)
9
10
20
18 – 10 < 9 < 18 + 10 (Verdadero)
18 – 9 < 10 < 18 + 9
10 – 9 < 18 < 10 + 9
9 < 10 + 20 (Falso)
10 < 9 + 20
20 < 10 + 9
6
27. La alternativa correcta es A
P
50º
 = 50º
A
P
100º
28. La alternativa correcta es E
80º
40º
x
C
P
B
h·L=k
A)
B)
C)
D)
E)
Indica proporcionalidad directa.
Indica una razón.
Indica una razón.
Indica una proporcionalidad inversa entre los lados y alturas.
Corresponde al enunciado.
29. La alternativa correcta es E
AR = 10
AP = 13
PM = 48 – 13 = 35
3
PM
PS =
5
3
· 35
PS =
5
PS = 21
A
R
10
P
3
21
PM = PS + SM
35 = 21 + x
14 = x = SM

SM + AR
14 + 10
24
=
=
= 12
2
2
2
30. La alternativa correcta es C
y
y
y = x2
y = (x – 1)2
2

1
x
x
1

y
y = (x – 1)2 + 1
2
1
1
7
x
S
14
M
31. La alternativa correcta es E
x(x3 – x2 + x – 1)
x(x2(x – 1) + (x – 1) · 1)
x · (x – 1)(x2 + 1)
1 · x (x – 1)(x2 + 1)
32. La alternativa correcta es B
x+y=1
x  y=3

2x = 4
x=2
y=1–x
y=1–2
y = -1
33. La alternativa correcta es E
an + 1 = 12
an – 1 = 4
an + 1
n  1
a
=
12
4
a2 = 3 /()4
a8 = 81
34. La alternativa correcta es A
Producto 1: ganó 10%  lo vendió a $ 9.900
 9.900 =
11
x  99.000 = 11x  x = 9.000
10
Producto 2: perdió 10%  lo vendió a $ 9.900
 9.900 =
9
9.900 · 10
x  x=
 x = 11.000
10
9
Luego: $ 20.000 – $ 19.800 = $ 200 (perdió)
8
35. La alternativa correcta es C
p+q=2
pr + q = 16
pr + p = 6
pr + qr + p + q = 22
r(p + q) + (p + q) = 22
(p + q)(r + 1) = 22
2
r + 1 = 11
r = 10 /()-1
r -1 =
1
10
36. La alternativa correcta es A
3
6 10 =
3
36 10
=
3
360
=
6
360
37. La alternativa correcta es A
10x = 100.000
10x = 105
x=5
38. La alternativa correcta es D
x
2
u=
u2 =
x
2
2u2 = x
/()2

u+
16 2
u + 2 = 2u2 /·9
9
9u + 16u2 + 18 = 18u2
2u2 – 9u – 18 = 0
9
39. La alternativa correcta es B
4x + 3  5
4x  2
1
2
1

x   -, 
2

x
40. La alternativa correcta es E
2x + 3  0
2x  -3
x-
3
2
41. La alternativa correcta es A
I)
(-2, 5) Verdadera
II)
x = -2
Falso
III)
(0, 9)
Falso
42. La alternativa correcta es B
x1 – x2 = 4 

-b +
b2  4ac
-b  b2  4ac
2 ·

=
2a
2a
x1 – x2 =
 Reemplazamos 
b2  4ac
2a
- b2  4ac
=4
a
(-2k)2  4 · 1 · (3k)
=4
1
 4k2 – 12k = 16
 4k2 – 12k – 16 = 0
 k2 – 3k – 4 = 0
 (k – 4)(k + 1) = 4
k=4
k = -1
10
43. La alternativa correcta es C
y
A
8
3
-4
1
-2
A’
6
x
44. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
Sí
Sí
No
45. La alternativa correcta es B
sen2 (x + y) + cos2 (x + y) = 1
B
46. La alternativa correcta es E
L.A.L.
A
47. La alternativa correcta es A
D
Q = (c, b)
48. La alternativa correcta es C
Volumen del cuerpo = Volumen el cono – Volumen del cono
Radio 2
Radio 1
VC =
 · 4 cm2 · 5 cm
 · 1 cm2 · 5 cm

3
3
15 cm3
3
VC = 5 cm3
VC = 15 cm3
VC =
11
E
C
49. La alternativa correcta es D
Área achurada = Área mayor – Área menor
1
1
· (12 cm)2 –
(6 cm)2
Aachurada =
12
12
144
36
Aachurada =
 cm2 –
 cm2
12
12
Aachurada = 12 cm2 – 3 cm2
Aachurada = 9 cm2
6
12
50. La alternativa correcta es B

a+b
A1
2x2 = (a + b)2  L = (a + b)
x
a+b
(a + b)2
=
2
A2 =
a+b
51. La alternativa correcta es B
Plano de escala 1 : 50
8 cm
400 cm = 4m
320 cm
=
3,2 m
6,4 cm
12,8 m2
52. La alternativa correcta es E
3a
a
a
P = 8a
3a
12
30º
53. La alternativa correcta es B
C
D
6m
2m
A 3x – 3
E
x+5
B
4x + 5
3x
4x + 5
=
21
63
 9x = 4x + 5
 5x = 5
x=1
 3 metros
54. La alternativa correcta es A
  2

=
–  (Verdadero)
2
2
2  3
3
=    (Falso)
APB =
2
2
3  5
CPA =
(Falso)
2
I)
CPB =
II)
III)
P
C
2
3
B
O
2
A
55. La alternativa correcta es E
3
1
18 · 48 = 16 · (16 + x)
P
A
18
16
54 = 16 + x
30
B
O
C
D
x
38 = x = 2r
19 = r
56. La alternativa correcta es E
A
A
D
C
2
EFBG
EFBG
 P 
= 

 12 
=
E
G
P
12
2
P
144
A
13

F P B
12
57. La alternativa correcta es B
x · x = 4 cm · 36 cm
4
A
x
x2 = 144 cm
D
x
16
B
O
x = 12 cm
20 20
 AB = 24 cm
C
58. La alternativa correcta es A
C
12
12  x
=
15
10
12 · 10 = (12 – x) · 15
10
12  x
=
15
12
P
M
x
A
B
T
59. La alternativa correcta es C
V=
Abasal · h
3
V=
13
12
4
 · r2 ·h
 · 25 cm2 · 12 cm
=
3
31
5
V = 100 cm3
60. La alternativa correcta es B
ÁCubo = 6x2
x
x
x
61. La alternativa correcta es D


570
mujer
P
 =
1.760
 jefe de hogar 
14
62. La alternativa correcta es B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
P(A) =
4
1
=
36
9
P(A) =
24
60
63. La alternativa correcta es A
(C + S)3 = 1 C3 + 3 C2 S + 3CS2 + 1S3
P(A) =
4
1
=
8
2
64. La alternativa correcta es D
Carne
Pescado
Total
Hombres
16
12
28
Mujeres
20
12
32
36
24
60
65. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
70
35
=
= 35% (Verdadero)
200
100
70
20
90
45
+
=
=
= 45% (Verdadero)
200
200
200
100
135
67,5
=
= 67,5% (Verdadero)
200
100
15
66. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
x = 14
Me =
(Verdadero)
14 + 14
= 14x (Falso)
2
3 modas 13, 14 y 15 (Verdadero)
67. La alternativa correcta es D
12
· 100 = 35,7%
32
68. La alternativa correcta es E
2,8
3,5
4,2
5,3
5,6
+ 5,6
27,0 : 6 =
4,5
300//
x = 4,5
4,2 + 5,3
9,5
Me =
=
2
2
Mo = 5,6
69. La alternativa correcta es A
El promedio x =
2+5+6+7
20
=
=5
4
4
La desviación estándar es
(2  5)2 + 02 + (6  5)2 + (7  5)2
4
=
9+0+1+4
4
=
14
2
=
7
16
70. La alternativa correcta es A
AB =
(5  1)2 + (6  5)2
=
42 + 12
=
17
71. La alternativa correcta es B
x =
1 + 2 + 3 + 10
16
=
=4
4
4
(1  4)2 + (2  4)2 + (3  4)2 + (10  4)2
4
Varianza es
(-3)2 + (-2)2 + (-1)2 + 62
4
9 + 4 + 1 + 36
=
4
50
=
4
25
=
2
=
72. La alternativa correcta es A
5
-k
d2
=
y m2 =
3
-1
d1
luego, m1 · m2 = -1
5
· k = -1
3
-3
k=
5
m1 =
73. La alternativa correcta es E
Suma par = 18 casos
Casos favorables = 5 casos
5
Luego, p =
18
17
74. La alternativa correcta es E
(1) No
(2) No
No, porque no necesariamente del
0,5% el 50% son hombres ó el 50%
mujeres
75. La alternativa correcta es A
a+b
an + b n
a+b
(Sí)
=
=
c
c
cn
a+b
an + bc
=
(2)
= ? (No)
c
c2
(1)
76. La alternativa correcta es C
(1) No hay valor en conjunto tapa + botella.
(2) No sabemos cuánto vale cada una.
Sí, con (1) y (2) podemos encontrar el valor de la botella y la tapa.
77. La alternativa correcta es C
E
14x = 56
x=4
luego: 2x = 8
5x = 20
D
C
2x
A
F
B
5x
78. La alternativa correcta es C
(1) No
D
(2) No
(1) y (2) sí:
x
x+8
=
4
8
8x = 4x + 32
4x = 32
x=8
C
M
8
4
P
18
x=8
A
8
B
79. La alternativa correcta es D
(1)
n(n  3)
= n  n2 – 3n = 2n
2
n2 – 5n = 0
n(n – 5) = 0

0 5 (Sí)
(2) 180 · (n – 2) = 540
n–2=3
n=5
80. La alternativa correcta es B
(1) No, ya que no indica la cantidad total de bolitas y no se indica la cantidad de negras
ni tampoco se nos indica si sólo hay negras, rojas o amarillas.
(2) Sí, hay
1
2
2
no negra, entonces hay
de negras lo que la probabilidad es .
3
3
3
19
C u r s o : Matemática
ENSAYO Nº 2
MATEMÁTICA
PSU
MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1.
Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para
responderla.
2.
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
3.
Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
4.
Antes de responder las preguntas N° 74 a la N° 80 de esta prueba lea atentamente las
instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 73.
ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que

es congruente con

es mayor que

es semejante con

es menor o igual a

es perpendicular a

es mayor o igual a

es distinto de
ángulo recto
es paralelo a
ángulo
log logaritmo en base 10

trazo AB

pertenece a
x valor absoluto de x
conjunto vacío
[x] función parte entera de x
u
AB
n! factorial de n
AC complemento del conjunto A
vector u
2
1

1. 3 – 1   =
2

A)
B)
C)
D)
E)
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
2. Si a  b = 2a – b, entonces 3  5 =
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
3. (0,1)-1 =
A)
B)
C)
D)
E)
102
10
10-1
10-2
-0,1
4. 2 elevado a su inverso multiplicativo es
A)
2
B) - 2
C) 2
D) -2
1
E)
2
3
5. 31 + 32 + 33 =
A) 39
B) 36
C) 96
D) 276
E) 3 · 32
6.
1  [2  (-2) + (-11)]
=
2
A) 3
B) -3
C) 4
D) -4
E) 6
1
12
7. Al simplificar la expresión
1
A)
B)
C)
1
2
+2
1
2
se obtiene
2 +1
1
3
1
2
D)
1
1  2
E)
2 –1
8. Carlita caminó 990 centímetros. Si ha dado 15 pasos, ¿cuántos centímetros ha avanzado
en promedio con cada paso?
A)
B)
C)
D)
E)
46
56
65
66
67
4
9. El producto (a3 + b3) ·
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
(a  b3 )-1
es igual a
0
a9 – b 9
a6 – b 6
a9 – 2a3b3 + b9
a6
10. El año pasado se limpió un canal en 28 días con 60 hombres. Este año se requiere
efectuar el mismo trabajo en sólo 2 semanas. ¿Cuántos hombres hay que contratar?
A)
9
B) 30
C) 80
D) 120
E) 840
11. a es directamente proporcional al recíproco de 2b. Si la constante de proporcionalidad
es 12, entonces el producto entre a y b es
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
1
12
6
12
24
12. Un curso de inglés tiene un costo mensual de 4p pesos. Si Blanca decide matricular a
tres de sus cuatro hijos por un período de 2 años, ¿cuánto dinero, en pesos, debería
cancelar?
A) 48p
B) 96p
C) 144p
D) 288p
E) 384p
5
13. Si x = 1,3
e
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
x=
y = 13 · 10-1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
13
9
2 13
·
5
3
· y = 0,013
x·y=
10-2
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
14. La mitad de un tercio de 1
A)
B)
C)
D)
E)
1
es equivalente con
5
5
100
10
100
20
100
60
100
500
100
15. Un vendedor de autos recibió $ 900.000 de comisión por la venta de 3 modelos iguales.
Si esta comisión corresponde al 2% del precio de venta, ¿cuál es el valor de cada
vehículo?
A)
B)
C)
D)
E)
$ 45.000.000
$ 15.000.000
$ 4.500.000
$ 1.500.000
Ninguno de los valores anteriores
6
16. Si p =
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
, q=
4
8
y r=
p
1
1
1
+
+
, entonces
es igual
q
p
q
r
8
19
19
8
7
8
8
7
25
2
17. Si la suma de 3 números impares consecutivos da como resultado 21, entonces el
sucesor del número impar mayor es
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
x
– 1, si x se incrementa en 2, entonces la variación que
3
experimenta A, con x e y distintos de cero, es
18. En la igualdad A = y ·
A) 2y
3y
B)
2
C) 1
2y
D)
3
E) ninguna de las anteriores.
19. Si (x  2) + (x  3) = 1, entonces el inverso aditivo de x es
A) -4
B) -3
1
C)
3
D) 3
E) 4
7
20. Si en el triángulo ABC de la figura 1,  = , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre falsa(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El ABC es obtusángulo.
El ABC es rectángulo.
El ABC es acutángulo.
C
fig. 1
Solo I
Solo II
Solo III
I, II y III
Ninguna de ellas.

A

B
21. Si p = 4, ¿cuál de las siguientes expresiones es irracional?
A)
3p
B)
p3
C)
pp
D)
p
p
E)
p
pp
22. Andrés tiene 15 años menos que Elena, y Francisca 12 años más que Andrés. Si las tres
edades suman 81 años, entonces la edad de Francisca es
A)
B)
C)
D)
E)
15
18
30
33
40
años
años
años
años
años
23. En un curso de 25 alumnos, 20 aprobaron un examen, ¿cuál es el porcentaje de
reprobados?
A)
B)
C)
D)
E)
15%
20%
25%
80%
95%
8
24. Se tiene un número primo de tres cifras, tal que la suma de ellas es once y la cifra de las
decenas es 1. ¿Cuál es el número, si es menor que 500 y la cifra de las unidades es un
número primo?
A)
B)
C)
D)
E)
119
218
317
416
No existe tal número.
25. Si y + 1 = 3, entonces y5 – 2 equivale a
A) -8 · 4
B) -31
C)
8
D) 10 · 3
E) 17 · 2
26. Si m = -(1)-1, x =
4
,y=
m  2
m  2
4
y z=
m
, entonces el orden decreciente de
m  1
x, y, z es
A)
B)
C)
D)
E)
x, z, y
x, y, z
y, x, z
z, x, y
z, y, x
27. La expresión
5a2  5 ·
9a + 9
, con a > 0 y a  1, es equivalente con
5a  5
A) 3(a + 1)
B) 3 a  1
3(a  1)
C)
5
a  1
D)
5
E)
3(a  1)
5
9
3
2
 p3q5 
 3 2
 : p q 
28. 
 r2 
 r3 




=
A) pq4
B) p3q11
C) p15q19
D)
E)
p11q19
r8
p15q19
r2
29. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
2 3 =3 2
6
II)
24
3
III)
A)
B)
C)
D)
E)
82
642
es un número irracional.
=
1
16
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
30. El conjunto solución del sistema de inecuaciones
A)
B)
C)
D)
E)
{x
{x
{x
{x
{x





lR
lR
lR
lR
lR
/
/
/
/
/
x  3}
x  -1}
1  x  3}
-1  x  3}
-3  x  -1}
10
2x + 3  1
-x + 2  -1
es
-(x  2),
31. El gráfico que mejor representa a la función f(x) = 
x  2 ,
y
A)
B)
C)
y
2
0
x
D)
si x  2
es
y
2
2
0
si x < 2
x
2
E)
y
x
0
y
2
0
x
2
-2
0
x
32. Si por el arriendo de un auto cobran $ 10.000 diarios, más $ 500 por cada km recorrido,
entonces la ecuación de la recta que relaciona el costo diario C con el número x de
kilómetros recorridos está representada por
A) C = 10.000 · x + 500
B) C = 500 · x + 10.000
x
C) C = 500 + 10.000
2
x
D) C = 500 + 10.000
2
E) C = 500 · 2x + 10.000
33. En un cultivo de plantas se observó que una enredadera tenía un crecimiento
proporcional al tiempo. Si en un principio la enredadera medía 2 cm y al cabo de
una semana 2,5 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La altura h de la planta en función del tiempo x (semanal) está
x
+ 2.
representada por h =
2
La gráfica de h(x) está representada en la figura adjunta.
Al cabo de un mes la planta alcanza una altura de 4 cm.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
h (altura)
2
0
11
fig. 2
x (tiempo)
34. Si f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
x  2
, entonces ¿cuál de las siguientes operaciones es verdadera?
2
Dom f : lR – {2}
f es función constante
f es función creciente
f es función decreciente
f es una función discontinua
35. En una escuela han organizado una campaña de invierno, la cual consiste en la
confección de frazadas, a partir de cuadrados de lana de 2 cm de lado. Si las frazadas
deben medir 2 m de largo y 1,6 m de ancho, ¿cuántos cuadrados de lana se necesitan
para una frazada?
A) 40
B) 80
C) 120
D) 160
E) 800
36. Para que n sea un número entero en la igualdad
8
4
+
= n, con k  lR+, entonces el
3
k
menor valor positivo de k es
A)
B)
C)
D)
E)
uno.
dos.
tres.
cuatro.
seis.
37. log 6 + log 5  log 3 =
A) -2
B) -1
C) 1
D) 2
E) log 8
38. Si AD = 10 cm y OC = 6 cm (fig. 3), ¿cuánto mide el área del rombo ABCD?
C
D
A) 192 cm2
B) 100 cm2
C) 96 cm2
D) 50 cm2
E) 24 cm2
fig. 3
O
A
12
B
39. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia que es tangente a los ejes
coordenados en el tercer cuadrante y cuyo perímetro es 12?
A)
B)
C)
D)
E)
(12, -12)
(-12, 12)
(-6, -6)
(-6, 6)
Otro punto
40. En la figura 4, la recta x + y = 12 intersecta a las rectas y = -x e y = x en los puntos
A y B, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de AB ?
y
A)
4 2
B)
4 5
C)
8 2
A
B
D) 12 2
E)
fig. 4
x
8 5
41. Si 2x = 2(1612) + 2(816), ¿cuál es el valor de x?
A)
B)
C)
D)
E)
48
49
50
96
98
42. En la figura 5,  = 4, el ángulo BCD mide
a
A) 30º
B) 60º
C) 90º
D) 120º
E) otro valor.
A
D

a

fig. 5
C
a
a
B
43. Hoy en día la edad de un padre es el doble de la edad de su hijo, y dentro de 50 años
será cuatro tercios de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
Padre
A)
B)
C)
D)
E)
Hijo
40 años – 20 años
50 años – 25 años
60 años – 30 años
90 años – 45 años
Ninguna de las anteriores.
13
44. Un listón de madera de 3 m de largo se corta de tal forma que uno de los trozos es
50 cm más corto que el otro. ¿Cuánto mide cada trozo?
A)
B)
C)
D)
E)
0,175 cm y 0,125 cm
1,75 m y 1,25 m
17,5 cm y 150 cm
175 cm y 12,5 cm
175 m y 125 m
45. El conjunto solución de la inecuación x + 1  x + 1 es
A)
B)
C)
D)
E)
{0}
{1}
{0,1}

lR
46. Si ABCD es un rombo y DE = EF = FG = GB (fig. 6), ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
1
Área ABCD
8
Área AED = Área BGC
1
Área AFE = 33 % Área DGC
3
D
Área AED =
C
E
F
fig. 6
G
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
A
B
a
47. Al aplicar al triángulo de vértices A(-2, 2), B(4, 1) y C(2, 5) una traslación T de
coordenadas (-2, 2) se obtiene el triángulo A’B’C’ siendo A’, B’ y C’ los vértices
homólogos de A, B y C, respectivamente. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio
del lado A´C´ ?
3

A) 1, 
2

11 

B)  -2,
2 

 11

C)  , -2 
 2

-11 

D)  2,
2 

7

E)  0, 
2

14
48. Si aplicamos una simetría al triángulo ABC de la figura 7 con respecto a la recta y = -x,
las nuevas coordenadas del punto B son
y
A)
B)
C)
D)
E)
C
4
(-3, -1)
(3, -2)
(-1, -3)
(-4, -4)
(1, 3)
A
3
fig. 7
2
B
2
1
-2
1
-1
2
3
4
5
6
x
2
7
-1
-2
49. La sombra de un árbol cuya altura no se conoce mide 15 m y la sombra de una vara
vertical de 6 m de alto mide 2 m. Si las medidas fueron tomadas a la misma hora ¿qué
altura tiene el árbol?
A)
B)
C)
D)
E)
30
35
40
45
50
m
m
m
m
m
50. Si AD y BC se intersectan en O, entonces para demostrar que los triángulos
AOB  COD, es necesario saber que
D
B
A) AB  DC
B) BAO  DCO
fig. 8
O
C) AB // CD
D) AO  DO y AB  CD
A
E) BO  CO y AO  DO
C
51. En la figura 9, la circunferencia tiene 2 cm de radio. Si b = 4 cm y b = 2a, el perímetro
del rectángulo ABCD es
C
D
A)
B)
C)
D)
E)
16
24
26
28
40
a
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 9
b
b
a
A
15
B
52. Si una cuerda de 32 cm dista 12 cm del centro de una circunferencia, entonces el área
del círculo y el perímetro de la circunferencia, respectivamente son
A) 256  cm2
B) 324  cm2
C) 400  cm2
D) 36  cm2
E) 40  cm2
y 32 
y 36 
y 40 
y 324 
y 400 
cm
cm
cm
cm
cm
53. En la circunferencia de centro O, AB y CD son cuerdas que se intersectan en el punto F,
entonces se cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
D
6a + 2 = 2b
3a(a + 2) = b2 – 9
3a(b – 3) = (b + 3)(a + 2)
3a(b + 3) = (a + 2)(b – 3)
3a + 2 = 2b
b+3
F
a+2
3a
fig. 10
b–3
O
A
B
C
54. En la figura 11, PT es tangente a la circunferencia de centro O y radio b. Entonces,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
a2 = c2 (c + b)
a2 + b2 = (c + b)2
1
TPO = TOB
2
I
II
III
I y II
II y III
T
a
P
c
A
B
O
fig. 11
55. En la figura 12, AB // CD , entonces los valores de a y b, respectivamente, son
A) 4 y 9
4
B)
y 15
3
C) 2 y 3
2
D) 1 y
3
E) 8 y 5
C
a+2
fig. 12
A
5
a
O
16
2
b+3
B
2b
D
56. Una tienda sube en un 15% el precio de todos sus artículos. ¿Por cuánto hay que
multiplicar cada precio original para obtener el nuevo precio de cada artículo?
A)
0,15
B)
1,15
C) 11,5
D) 15
E) 115
57. ¿Cuál es el coeficiente independiente que se obtiene al desarrollar el cuadrado de
2
1 

?
binomio  a 
2a 

A) 2
B) -2
C) 1
D) -1
E) Ninguno de los valores anteriores.
58. En la figura 13, la suma de los ángulos  , ,  y  , es

A) 2
B) 180 – 
C) 

D)
2
E) ninguna de las anteriores.

fig. 13



59. En una calle transitan vehículos con distinta cantidad de ruedas. Al contar un día, el
número de ruedas que pasaron, éstas fueron 35. Dentro de los vehículos que pasaron
estaban 3 carretillas de mano y 8 bicicletas. Si el resto de vehículos que transitaron por
esa calle sólo eran de 4 ruedas, entonces la cantidad de estos vehículos es
A) 4
B) 5
C) 15
D) 20
E) ninguna de las anteriores.
17
60. Durante una liquidación, un libro L se vende con un descuento D que corresponde al
18% del precio de compra. Si la ganancia determinada previamente a la liquidación,
corresponde al 30% sobre el precio de compra, entonces el porcentaje real de ganancia
por el libro L corresponde al
A)
B)
C)
D)
E)
22%
18%
16%
15%
12%
61. Si x= -3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
1
64
43 · 4 x = 1
(4-1)x = 64
4x =
Solo I
Solo II
Solo II y III
Solo I y II
I, II y III
62. La ecuación del eje de simetría de la parábola de ecuación y = -x2 + 6x – 2, es
A)
B)
C)
D)
E)
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
1
3
6
-1
-2
63. En una biblioteca hay p libros, de los cuales q son libros de ciencias básicas son f libros
de francés y el resto son de inglés. Si un curso de n alumnos retiran todos los libros de
inglés, y se reparten entre otros, ¿cuántos libros de inglés le corresponde a cada
alumno?
A)
B)
C)
D)
E)
(p + f  q)
n
n(p  f  q)
p
(p  q  f)
n
(f + q  p)
n
Ninguna de las anteriores.
18
64. Sean tres circunferencias tangentes exteriormente, de radios 3, 4 y 5 cm,
respectivamente. Entonces, el perímetro del triángulo que se forma al unir sus centros es
A)
B)
C)
D)
E)
12 cm2
24 cm2
12 cm
24 cm
ninguna de las anteriores.
65. ¿Qué número se debe restar de 7 para que el resultado sea 10?
A) -17
B) -3
C)
3
D) 17
10
E)
7
66. En el campo de don Ruperto durante el año nacieron 12 terneros, cuyos pesos en kg al
nacer fueron: 32, 31, 33, 34, 35, 33, 34, 35, 35, 31, 35, 34. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
67.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
La moda está representada por 35 kg.
La media aritmética corresponde a 32 kg.
La mediana de los datos es 34 kg.
I
II
III
I y II
I y III
1
1

=
x  1
x+1
A)
B)
C)
D)
1
2
x
 1
-1
1  x2
-2
x2  1
-2
1  x2
E) ninguna de las anteriores.
19
68. En el cuadrado de la figura 14, P es el punto de intersección de las diagonales y Q es
punto medio de CD . Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
AB
2
QAC = 15º
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
D
PQ =
I)
PB =
P
D
A
69. Dados los primeros 5 números impares
proposiciones es (son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
C
fig. 14
QC
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
I)
II)
III)
Q
positivos. ¿Cuál(es)
B
de las siguientes
La varianza es 8.
La desviación estándar es 2 2 .
La media aritmética es 5.
I
II
I y II
II y III
I, II y III
70. De las siguientes medidas:
I)
II)
III)
El rango.
Los Quintiles.
La mediana.
¿En cuál(es) de ellas es necesario ordenar los datos de menor a mayor?
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
Ninguna de ellas.
71. En una muestra la mediana y la media aritmética son iguales y el rango es el doble de la
mediana menos 4. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de datos cumple con lo anterior?
A)
B)
C)
D)
E)
{3,
{1,
{2,
{7,
{1,
4,
2,
4,
8,
3,
5,
3,
6,
9,
5,
6, 2}
4, 5}
8, 10}
10, 11}
7, 9}
20
72. En la siguiente muestra; 5, 5, 6, 6, 9, 9, 8, 8, 7, 7. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
IV)
A)
B)
C)
D)
E)
La mediana es 7.
La media aritmética es 7.
La moda es 7.
El cuartil 2 es 7.
Solo III
Solo I y III
Solo II,III y IV
Solo I,II y IV
I, II, III y IV
73. La media aritmética entre 2 números R y Q es 4 y su desviación estándar es 2 2 ,
entonces el producto de R y Q es
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
21
Evaluación de Suficiencia de Datos
Instrucciones Para las Preguntas N° 74 a la N° 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si
los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.
B) (2) por sí sola,
si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes
para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder
a la pregunta.
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
Ejemplo:
P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?
(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.
(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado
más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:
P : Q = 3 : 2, luego
(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde
$ 10.000.000 : Q = 5 : 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el
enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave
D . Cada una por sí sola, (1) ó (2).
22
74. Sean x, y, z números naturales, tales que xy = 2 e yz = 6. Se puede determinar los
valores de x, y, z, si:
(1) x, y, z son números consecutivos.
(2) xz = 3
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
75. La razón entre las hipotenusas de dos triángulos rectángulos semejantes es 2 : 3. Se
puede determinar el área de cada uno de ellos, si:
(1) Se conoce la razón entre sus perímetros.
(2) Se conocen las alturas trazadas a las hipotenusas de ambos triángulos
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
76. Dos conjuntos se dicen disjuntos, cuando no tienen elementos comunes. Entonces, se
puede determinar que A y B son disjuntos, si:
(1) A = [a, b]
(2) B es el conjunto de los números enteros mayores que a y que son menores que b.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
77. A, B y C son tres poblados vecinos. Se puede determinar la distancia entre los poblados
A y B, si:
(1) A está a 3 km al norte del pueblo C.
(2) B está a 4 km al este del pueblo C.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
23
78. En un plano, la ventana de una casa mide 23 mm de ancho. Podemos conocer los metros
de ancho que tiene la ventana en realidad, si:
(1) La escala utilizada en el plano es 1 : 100.
(2) Se conoce la altura real de la ventana.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
79. En el triángulo de la figura 15, se puede calcular el valor de x, si:
(1) b = 8
(2) a = 2b
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 15
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
b
a
x
a
80. Una máquina fabrica bolas de acero utilizadas en la molienda de minerales, de cada 100
de ellas 2 son defectuosas. La cantidad de bolas buenas diarias fabricadas se puede
conocer, si:
(1) Diariamente se venden 1.800 bolas de acero.
(2) Se detectan 36 bolas de acero defectuoso diariamente.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
24
CLAVES ENSAYO Nº 2
Asignatura
: MATEMÁTICA
Nº Preguntas
: 80
Fórmula
:
B · 7,2 + 274
1.
E
11.
C
21.
D
31.
B
41.
C
51.
E
61.
E
71.
C
2.
D
12.
D
22.
C
32.
B
42.
B
52.
C
62.
B
72.
D
3.
B
13.
D
23.
B
33.
E
43.
B
53.
B
63.
C
73.
E
4.
A
14.
C
24.
C
34.
C
44.
B
54.
B
64.
D
74.
D
5.
A
15.
B
25.
D
35.
B
45.
E
55.
A
65.
B
75.
B
6.
C
16.
E
26.
E
36.
C
46.
E
56.
B
66.
E
76.
E
7.
E
17.
C
27.
A
37.
C
47.
B
57.
D
67.
D
77.
C
8.
D
18.
D
28.
B
38.
C
48.
C
58.
A
68.
A
78.
A
9.
C
19.
B
29.
C
39.
C
49.
D
59.
A
69.
E
79.
B
10.
D
20.
E
30.
D
40.
E
50.
E
60.
E
70.
D
80.
B
Curso: Matemática
SOLUCIONARIO
ENSAYO Nº 2
MATEMÁTICA
1. La alternativa correcta es E
1

1 
3 – 1   = 3 –  
2

2 
5
=
2
2. La alternativa correcta es D
35=2·3–5
=6–5
=1
3. La alternativa correcta es B
-1
 1 
(0,1)-1 =  
 10 
= 101
4. La alternativa correcta es A
2
1
2
=
2
5. La alternativa correcta es A
31 + 32 + 33 = 3 + 9 + 27
= 12 + 27
= 39
6. La alternativa correcta es C
1  [4  11]
1  [-7]
8
=
=
=4
2
2
2
7. La alternativa correcta E
1
1 +
2
=
1
1+
2
=
1(1 
(1 +
2)
2)(1 
2)

1  2
1  2
– (1 –
2)=
2 –1
8. La alternativa correcta es D
5 pasos
990 cm
1 paso
x cm
990
= 66 cm
x=
15
9. La alternativa correcta es C
(a3 + b3) · (a3 – b3) =
(a3)2 – (b3)2 = a6 – b6
10. La alternativa correcta es D

Días
28
14
+
Hombres
60
x
En menos días, se requiere más hombres. Luego son cantidades inversamente
proporcionales.
Por tanto: 28 · 60 = 14 · x  x = 120
11. La alternativa correcta es C
a
=k
1
2b
a · 2b = k
12
= 16
a·b
2
2
12. La alternativa correcta es D
En un mes por los tres hijos, Blanca debería cancelar 12p. Por lo tanto, en 24 meses
Blanca cancelaría 12p · 24 = 288p.
13. La alternativa correcta es D
13  1
12
4
=
=
9
9
3
13
y=
10
4 13
2 13
x·y=
·
=
·
3 10
5
3
13
-2
-2
10 · y = 10 ·
= 0,013
10
x=
14. La alternativa correcta es C
1 1 6
1
20
·
·
=
=
2 3 5
5
100
15. La alternativa correcta es B
2% · PV = 900.000
900.000 · 100
2
PV = 45.000.000
PV =
Cada vehiculo cuesta
45.000.000
= 15.000.000
3
16. La alternativa correcta es E
r=
1
4
1
8
= 12 +
 r=2 
1
1
4
+
1
1
8
+
1
1
=4+8+
2
2
1
25
=
2
2
3
17. La alternativa correcta es C
Sean a , a + 2 y a + 4 los 3 números impares consecutivos
a + a + 2 + a + 4 = 21
3a = 15
a=5
a + 4 = 9  suc de 9 = 10
18. La alternativa correcta es D
(x + 2)
xy + 2y
–1=
–1
3
3
xy
2y
2y
 1+
=A+
3
3
3
A’ = y
19. La alternativa correcta es B
x–2+x–3=1
2x = 1 + 5
x=3
20. La alternativa correcta es E
Si  =  = 20º  ABC es obtusángulo.
Si  =  = 45º  ABC es rectángulo.
Si  =  = 70º  ABC es acutángulo.
21. La alternativa correcta es D
4
4 =
4
22 =
2 (Irracional)
22. La alternativa correcta es C
A
x – 15
E
x
F
(x – 15) + 12
x – 15 + x + x – 15 + 12 = 81
x = 33  Fca = 18
4
23. La alternativa correcta es B
25
5
=
100%
x
x = 20%
24. La alternativa correcta es C
C
D
U
A
1
B
Sólo hay 3 casos para B : 3 – 5 – 7
Si B = 3  A = 7  713 > 500
Si B = 5  A = 5  515 > 500
Si B = 7  A = 3  317 < 500
25. La alternativa correcta es D
y+1=3  y=2
25 – 2 = 32 – 2 = 30
26. La alternativa correcta es E
m = -1
-4
x =
3
3
y =4
1
z =
2

x
y
z
lR
5
27. La alternativa correcta es A
  5a  5 
9a  9
=
5a
=
5  a  1  a  1
2
5
9  a  1
3  a  1

5  a  1
2
= 3 (a + 1)
28. La alternativa correcta es B
3
9 15
 p3q5 
 = p q
= 
 r2 
r6


2
6 4
 p3q2 

 = p q
 r3 
r6


3
6
 p9q15 
 · r
 
= p3q11
6 4
 r6 
p q


29. La alternativa correcta es C
12 

 =2 3 3 2
18 

2 3 =
3 2 =
6
24
3
82 =
3
1
1
=
(racional)
2
4
6
=
24
=
3
(23 )2 = 26 = 22 = 4
3
642 = 64
4
1
=

64
16
30. La alternativa correcta D
2x + 3  1  2x  -2

x  -1
-x + 2  -1
-x  -3  x  3
-1
3
6
31. La alternativa correcta es B
f(x) = -(x  2) con x < 2
f(x) = (x  2) con x  2
y
y
x
1
2
1
0

2
1
0
2
y
y
x
2
3
0
1

1
x
2
y
1
0
2

2
3
x
0
2
2
x
32. La alternativa correcta es B
C = 10.000 + 500 · x
33. La alternativa correcta es E
Semana
0
1
2
.
.
.
x
Altura
h (altura)
2  2 + 0 · 0,5
2, 5  2 + 1 · 0,5
3  2 + 2 · 0,5
.
.
.
 2 + x · 0,5
De donde se obtiene: h =
2
0
x (tiempo)
x
4
+ 2 cuyo grafico es y si x = 4, entonces h =
+ 2 = 4.
2
2
Por tanto, las tres afirmaciones son verdaderas
7
34. La alternativa correcta es C
A) x -2
B) Para
Para
C) Para
 0  x  2 (Falsa)
x = 2  y = 0 ; para x = 6  y = 1
valores distintos de x se obtiene valores distintos de y (Falsa)
x1 < x2  y1 < y2, luego es creciente (Verdadero)
35. La alternativa correcta es B
El área de cada cuadrado de lana es 20 · 20 = 400 cm2
El área de una frazada es 200 · 160 = 32.000 cm2
 Número de cuadrados para confeccionar una frazada es
32.000
= 80
400
36. La alternativa correcta es C
8
+ 4 = n  lR
3
8
+ 2 = n  lR
Para k = 2 
3
8
4
+
= n  lR
Para k = 3 
3
3
Para k = 1 
37. La alternativa correcta es C
log 6 + log 5 – log3 = log
6 ·5
= log 10 = 1
3
38. La alternativa correcta es C
BCO es rectángulo en 0, ya que AC  BD
Por lo tanto OB = 8 cm
12 · 16
= 96 cm2
Área rombo =
2
39. La alternativa correcta es la C
y
-6
x
2r 12  r = 6
-6
 Las coordenadas
Son (-6, -6)
8
40. La alternativa correcta es E
Se determinan las coordenadas de A y B
x + y = 12

x – 2x = 12
y = -x
x = -12  y = 12
 A(-12, 12)
x + y = 12
y=x

x – 2x = 12
3x = 12  x = 4  y = 4
 BA(4, 4)
 dAB
2
4   12   4  12  320  8 5
2
41. La alternativa correcta es C
   2 2 
2  8   2 2 
2 1612
4
16
3
12
16
   2
2 2   2
 2 248

48
49
49
2x  249  249  2x  2  249  250  x  50
42. La alternativa correcta es B
En el ACD se tiene DAC = ACD = 
 2 +  = 180º
2 + 4 = 180°
 = 30°
Como ABCD es rombo  BCA = ACD = 30º
 BCD = 60º
43. La alternativa correcta es B
Edad actual
Dentro de 50 años
2x
x
2x + 50
x + 50
P
H
 2x + 50 =
4
(x + 50)
3
x = 25
2x = 50
9
44. La alternativa correcta es B
3m
x – 50 + x = 300
X – 50
2x = 350
x
x = 175 cm
45. La alternativa correcta es E
x+1x+1
xx
46. La alternativa correcta es E
Los puntos E y F se unen con el vértice C y el punto G se une con el vértice A. Los 8
triángulos que se forman son equivalentes (igual base DE = EF = FG = GE e igual altura
1
del área del
AF  BD , CF  BD y AF = CF ). Por lo tanto el área de cada triángulo es
8
rombo.
Luego las tres afirmaciones son verdaderas
D
C
E
F
G
A
B
a
47. La alternativa correcta es B
(-2, 2) + (-2, 2) = (-4, 4) (Coordenadas de A’)
(2, 5) + (-2, 2) = (0, 7) (Coordenadas de C’)
-4 + 0
= -2
2
4+7
11
ym =
=
2
2
xm =
11 

 -2, 2  (Coordenadas del punto medio de A´C´ )


10
48. La alternativa correcta es C
A (1, 3)
B (3, 1)
C(6, 4)
mBC = 1 y mL = -1  BC  L
BC : y = x  2
L : y = -x
Por otra parte, BC  L = M = 1, 1
Pero M es punto medio de BB ' , (B’ simetría de B)
3  x 1  y
,

 = (1, -1) 
2 
 2
x = -1,
y= -3
Así, B’ (-1,-3)
49. La alternativa correcta es D
h
6
=
15
2
 h = 45 m
50. La alternativa correcta es E
AOB =
COD (op por el vértice)
BO  CO (dato alternativa E)
AO  DO (dato alternativa E)
 AOB  COD (L A L)
51. La alternativa correcta es E
b  4  a  2
AB = 12 , BC = 8
Perímetro: 2  20  40
52. La alternativa correcta es C
Área   202  400
Perímetro: 2  20  40
20
16
11
12
16
53. La alternativa correcta es B
(a + 2) · 3a = b2  9
54. La alternativa correcta es B
2
PT = PA · PB  a2 = c(c + b)
POT rectángulo  (c + b)2 = a2 + b2
55. La alternativa correcta es A
a
2
=
 5a = 4a + 4  a = 4
2a + 2
5
b+3
2
=
 5b + 15 = 6b + 6  b = 9
3b + 3
5
56. La alternativa correcta es B
El 15% de aumento equivale a
100
15
+
. Esto es, basta multiplicar el precio por 1,15
100
100
57. La alternativa correcta es D
2
1 
1

2
; coeficiente independiente es -1
 a  2a  = a  1 +


4a2
58. La alternativa correcta es A
 =  +  =  +    +  +  +  = 2
12
59. La alternativa correcta es A
CANTIDAD DE
RUEDAS
CANTIDAD DE
VEHÍCULOS
TOTAL
RUEDAS
CARRETILLA DE
MANO
1
3
3
BICICLETA
2
8
16
VEHÍCULOS DE 4
RUEDAS
4
x
4x
35
Así : 4x + 19 = 35
x=4
60. La alternativa correcta es E
Descuento D x 
18
x = 0,82x ;
100
30
x
100
Ganancia
Precio de venta: 1,3x
Descuento de venta con descuento: (1,3 – 0,18)x = 1,12x
61. La alternativa correcta es E
1
64
43 · 4-3 = 40 = 1
43 = 64
4-3 =
62. La alternativa correcta es B
Si y = ax2 + bx + c, el eje de simetría es x =
En este caso, x =
-b
2a
-6
=3
-2
63. La alternativa correcta es C
C·B
F
I
q
f
x
p
x = p – (q + f)
Como son n alumnos, esta cantidad se divide por n
13
64. La alternativa correcta es D
2 (3 + 4 + 5) = 24 cm
4
5
4
5
3
3
65. La alternativa correcta es B
7 – x = 10  x = -3
66. La alternativa correcta es E
31, 31, 32, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 35, 35, 35
Moda: 35 (Dato mas repetido)
Mediana: 34 (Promedio de los dos términos centrales)
Media:
402
= 33,5
12
67. La alternativa correcta es D
1
1
(x  1)  (x  1)
2


 2
x  1 x  1
 x  1 x  1 x  1
68. La alternativa correcta es A
BC
AB
=
2
2
CAB = 45º
PQ =
Si CAB = 15º, entonces QAB = 60º, lo que no puede ser ya que ocurriría (entre otros)
que ABQ equilátero, lo que es imposible.
AB
BD =
2
14
69. La alternativa correcta es E
Los primeros 5 números impares positivos son: 1, 3, 5, 7, 9 y su media aritmética es 5.
Entonces, su varianza será:
(1  5)2 + (3  5)2 + (5  5)2 + (7  5)2 + (9  7)2
16 + 4 + 0 + 4 + 16
40
=
=
=8
5
5
5
Verdadera
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la Varianza, luego es
8 = 2 2 . Verdadera
La media aritmética es el promedio, ya conocido. Verdadera
70. La alternativa correcta es D
En los Quintiles es necesario ordenar de menor a mayor y también en la mediana.
En el rango no es necesario pues es la diferencia entre dato mayor y menor.
71. La alternativa correcta es C
Analizar cada alternativa, tal que la mediana sea igual a la media aritmética y donde el
doble de la mediana menos 4 sea igual al valor del rango.
72. La alternativa correcta es D
Primero ordenar de menor a mayor los datos. Se pude observar que la mediana es 7 la
media aritmética también es 7 no así la moda y también se sabe que el segundo cuartil
equivale a la mediana.
73. La alternativa correcta es A
Se sabe que la media aritmética es 4, luego R+Q=8 y calcularemos la desviación.
D.E. =
(R  4)2 + (Q  4)2
= 2 2 elevando al cuadrado:
2
R2  8R + 16 + Q2  8Q + 16
= 8 de donde R2 + Q2 – 8(R + Q) + 32 = 16
2
Como dato nos dan R + Q = 8 elevando al cuadrado R2 + 2RQ + Q2 = 64 reemplazando
El hecho que R2 + Q2 = 64 – 2PQ queda 64 – 2PQ – 8(8) + 32 = 16
Luego, -2PQ = -16 de donde PQ = 8
15
74. La alternativa correcta es D
xy = z ; yz = 6
Puede suceder que
a)
b)
y = 2 x = 1 y
y = 1 x = 2 y
z=3
z=6
Si x, y, z son consecutivos, entonces ocurre a)
Si x · z = 3, no puede ocurrir b) por lo tanto es a)
75. La alternativa correcta es B
(1) Se sabe que la razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, están en la
misma razón que dos elementos homólogos.
Por lo tanto, (1) no aporta información.
(2) Al conocer las alturas, que están también en la razón 2 : 3, se puede determinar la
constante de proporcionalidad, y por lo tanto, la medida de ambas.
76. La alternativa correcta es E
Es necesario conocer a y b, ya que éstos, pueden ser enteros consecutivos, en cuyo
caso, B = . También puede ocurrir que A = [1, 5] y así, B = {2, 3, 4}, que también son
elementos de A.
77. La alternativa correcta es C
A
5
3
C
4
B
78. La alternativa correcta es A
(1)
1
23
=
 x = 2.300 mm
100
x
16
79. La alternativa correcta es B
(2) Si a = 2b, entonces el otro cateto mide b 3 .
Por lo tanto x = 30º.
80. La alternativa correcta es B
Bueno
Defectuosos
98 k
2k
(1) Si 2k = 36  k = 18
(2) Se conoce 2k.
17
C u r s o : Matemática
ENSAYO N° 3
MATEMÁTICA
PSU
MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1.
Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para
responderla.
2.
A continuación encontrará una serie de símbolos,
desarrollo de los ejercicios.
3.
Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
4.
Antes de responder las preguntas N° 74 a la N° 80 de esta prueba lea atentamente las
instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 73.
los que puede consultar durante el
ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que

es congruente con

es mayor que

es semejante con

es menor o igual a

es perpendicular a

es mayor o igual a

es distinto de
ángulo recto

es paralelo a
ángulo
log logaritmo en base 10

conjunto vacío
AB
trazo AB

pertenece a
x
valor absoluto de x
n!
[x] función parte entera de x
2
factorial de n
1. 5 – {4 – [3 – (2 – 1 )]} =
A) -3
B) -2
C) -1
D) 1
E) 3
2. Si k + 1 = 5, entonces k2 – 12 =
A) 17
B) 15
C) 10
D) 7
E) 6
3. ¿Qué valor toma la expresión m-1 – m – m2 cuando m = -1?
A) 0
B) -1
C) -2
D) -3
E) 1
4. Si 2 + L = 9, entonces 2 – L =
A) -5
B) -6
C) -7
D) 5
E) 7
5. 444 + 444 + 444 + 444 + 4 =
A)
B)
C)
D)
E)
445
444 + 1
445 + 1
4(444 + 1)
1645 + 1
3
6. La edad de Matías es el 40% de la edad de su tío. Si Matías tiene 12 años, ¿cuál es la edad
de su tío?
A)
B)
C)
D)
E)
48
40
36
32
30
años
años
años
años
años
7. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a doce minutos si h = 1 hora?
A)
B)
C)
D)
E)
0,12
0,20
0,24
0,50
0,72
h
h
h
h
h
8. Con rombos congruentes se ha armado la siguiente secuencia de figuras:
…….
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
La sexta figura está formada por un número par de rombos.
La décima figura está formada por 21 rombos.
La cuarta y quinta figura suman en total 20 rombos.
I
II
III
I y III
II y III
4
9. Si el producto 0,3 · 0,30 se divide por 9, se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
0,90
0,01
0,10
0,81
8,10
10. La razón entre las estaturas de Rodolfo y Ramón es x : y, respectivamente. Si Rodolfo
mide z centímetros, ¿cuánto mide Ramón?
A) y cm
B) xz cm
yz
cm
C)
x
xz
D)
cm
y
E)
x
cm
z
11. El triple de la expresión a0 + 3ª con a  0 es
A)
B)
C)
D)
E)
6a
9a
3 + 3a
3 + 3a + 1
3 + 9a
12. En un supermercado el valor de un calefont es de $ 48.000 y si éste se desea instalar, se
cobra el 20% de su valor. El mismo calefont en una ferretería cuesta $ 58.200 con
instalación, y sin ella, $ 49.800. Si un gásfiter cobra $ 7.500 por la instalación, ¿con cuál
de las siguientes alternativas resulta más económico el calefont instalado?
A)
B)
C)
D)
E)
Comprarlo en el supermercado con instalación.
Comprarlo en el supermercado sin instalación.
Comprarlo en la ferretería con instalación.
Comprarlo en la ferretería sin instalación.
Con cualquiera de las alternativas resulta igual.
5
13. Si
A)
B)
C)
D)
E)
m3
= 3, entonces m2 =
m+m+m
1
3
1
9
1
3
9
14. En un concurso televisivo, se comprobó que el tanto por ciento de participantes que
contestaba correctamente era inversamente proporcional al número de preguntas
correctas. De los participantes que contestó correctamente, ¿qué tanto por ciento contestó
correctamente 16 preguntas si el 80% contestó 4 correctas?
A)
B)
C)
D)
E)
12,5%
16%
20%
25%
40%
15. En los números reales se define a  b = a + ab + b. Si n  1 = 2  n, entonces ¿cuál es el
valor de n?
A) 2
B) 1
C) 0,6
D) 0
E) -1
16. La expresión
A)
B)
C)
D)
E)
2
s 
3
4
s 
9
2
s 
3
2
s+
3
2
s+
3
4 2
2
t2
es el cuadrado de
s  st +
9
3
4
1
t
2
1
t
2
1
t
4
1
t
2
1
t
4
6
17. Si A = x + y + z
A)
B)
C)
D)
E)
x2
x2
x2
x2
x2
y
B = x – y – z, entonces A ∙ B =
– (y + z)2
– (y – z)2
+ (y – z)2
+ (y + z)2
– (y2 – z)2
18. Durante el último fin de semana, una gran tienda registró el medio de pago que usaron
2.500 de sus clientes. El resultado se muestra en el gráfico de la figura 1:
% de clientes
45%

30%

10%

fig. 1
5%

Efectivo Tarj. Crédito Cheques Redcompra
10%

Otros
Medio de pago
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Pagaron en efectivo 375 clientes menos de los que usaron cheques.
Los clientes que pagaron con Redcompra corresponden al 66,6 % de los que
pagaron en efectivo.
1.250 clientes usaron como medio de pago cheques o Redcompra.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
I, II y III
19. Si p y q son dos números enteros de modo que p = 2q + 5, entonces el antecesor de -p es
A)
B)
C)
D)
E)
-2q
-2q
-2q
-2q
-2q
+6
+5
–6
+4
–5
7
20. Si el triple del lado de un triángulo equilátero es 9 cm, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El triple de su área es de 27 cm2.
El triple de su perímetro es 27 cm.
El triple de su altura es 4,5 3 cm.
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
21. Sergio compró una docena de carpetas, 1 cuaderno, 3 gomas y 8 lápices. El cuaderno le
costó $ 500, cada lápiz $ 300 menos que el cuaderno, cada carpeta $ 300 más que el
cuaderno y cada goma, el 20% del cuaderno. ¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Lo pagado entre cuaderno y gomas, fue la mitad que lo cancelado por los
lápices.
Lo que pagó Sergio por las carpetas equivale a seis veces lo que pagó por los
lápices.
Lo que pagó Sergio por las carpetas equivale a cuatro veces lo que pagó por
el resto de los útiles.
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
22. Si el área de un círculo de radio R es 5, entonces ¿cuál es el área de un círculo de radio
5 R?
A)
B)
C)
D)
E)
25
125
250
500
650
8
23. Sabiendo que k es un número distinto de cero, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
k  1
< 0.
k +3
Si k = 7, entonces (k – 7)0 = 1.
Si k = 3, entonces la raíz cuadrada de k – 3 es real.
Si k = -3, entonces
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Ninguna de ellas.
24. Si la razón entre 12,5 y T es igual a la razón entre T y 8, ¿cuál de las siguientes
alternativas puede ser un valor de T?
A)
5
B) 10
C) 10,25
D) 20,5
E) 100
y
25. Si xy = 102, entonces x 2 =
A)
B)
C)
D)
E)
26.
3
3
50
25
20
10
5
=
5
3
5
B) 3
C) 5
3 5
D)
5
A)
3
E)
3 25
5
9
27. Si
1 1
= 2x, ¿cuál es el valor de x + 1?
·
4 4
A) -5
B) -4
C) -3
D) 4
E) 5
28. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) menor(es) que 1?
I)
2( 2 
2 +
II)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
2
2
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2)
3 +
2
2 
3
I
III
I y II
I y III
II y III
29. La parábola y la recta de la figura 2, pueden ser las representaciones gráficas de las
funciones
A) f(x) = x2 – 14x
7
B) f(x) = x2 – x
2
2
C) f(x) = x – 14
2
y
y
y
D) f(x) = 2x – 14x
y
E) f(x) = 2x2 – 14
y
y
g(x) = 2x
x
g(x) =
2
x
g(x) =
2
g(x) = 2x
x
g(x) =
2
4
30. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) irracional(es)?
I)
II)
1
4
9
0,75
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
fig. 2
2
1
0,125
I
II
III
I y II
II y III
10
x
31. ¿A cuál de los siguientes intervalos pertenecen las raíces (soluciones) de la ecuación
2x2 + 5x – 3 = 0?
A)
B)
C)
D)
E)
-4
-2
-5
-3
<
<
<
<
x
x
x
x
<
<
<
<
1
1
0
0
1
3<x<
2
32. Si A = 5 + 4n y B = 9 – 2n, entonces B en función de A es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
13  A
2
23 – A
23  A
4
23  A
2
271 – 8A
33. El conjunto solución de la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
x+3
3
=1 +
es
x
x

lR
{0}
{1}
lR – {0}
34. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la función
afín f(x) = ax + b?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si a = 0, la función es constante.
Si b > 0, la función es creciente.
Si a < 0, la función es decreciente.
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
11
35. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
x  2
?
x  2
]2, +[
[2, + [
]-, 2]
]-, -2[
lR – {2}
36. La función f se define como f(x) = 4x + 3n, donde n es una constante. Si f(-1) + f(-2) = 12,
¿cuál es el valor de n?
A) -4
B) -2
C) 2
D) 4
E) 6
37. Si a  [3, 9], b  [-2, 5[ y c = a ∙ b, entonces ¿a cuál de los siguientes intervalos
pertenece c?
A)
B)
C)
D)
E)
[-18, 15[
[-18, 45[
[-6, 45[
[-6, 15[
[-6, 45]
38. Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés compuesto durante n
años, entonces el capital final CF está dada por
n
r 

CF = C  1 +
100 

Al invertir $ 900.000 a un interés compuesto del 6% anual, al término de 5 años, se
tendrá, en pesos, una cantidad de
A)
B)
C)
D)
E)
9
9
9
9
9
∙
∙
∙
∙
∙
105 ∙ (1,05)4
105 ∙ (1,05)5
105 ∙ (1,05)6
105 ∙ (1,06)6
105 ∙ (1,06)5
12
39. En la figura 3, el triángulo ABC es rectángulo en B, siendo BE transversal de gravedad y
BD bisectriz del ángulo recto. Si m1 es pendiente de AC , m2 es pendiente de BE , m3 es
pendiente de BC y m4 es pendiente de BD , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
y
m1 > m 2
m4 < m3
m1 > m 4
I)
II)
III)
C
B
fig. 3
D
E
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
x
A
40. La figura 4, está formada por un cuadrado (de lado a), un triángulo rectángulo isósceles y
un rectángulo (de base b). Si el área del triángulo es la tercera parte del área del
rectángulo, entonces se cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
a
a
a
a
a
:
:
:
:
:
b
b
b
b
b
=
=
=
=
=
3
4
5
5
8
:
:
:
:
:
2
3
3
4
5
fig. 4
a
b
41. En el siguiente sistema de ejes coordenados (fig. 5), ABCD es un paralelogramo y P es el
punto de intersección de las diagonales. Si se rota el paralelogramo en 180º en torno al
origen del sistema, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
y
P queda en las coordenadas (-5, -4).
A queda en las coordenadas (-1, -1).
D queda en las coordenadas (3, -7).
D
7
P
4
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
1
C
A
fig. 5
B
1
5
7
x
42. En la recta de la figura 6, ¿cuál es la intersección entre el rayo AC y el rayo BC?
A)
B)
C)
D)
E)
El rayo BC.
El segmento BC.
El segmento AC.
El rayo AC.
La recta AC.
A
13
B
C
fig. 6
43. Con respecto a las figuras en el plano, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El triángulo equilátero tiene centro de simetría.
Todos los paralelogramos tienen centro de simetría.
Todos los polígonos regulares tienen centro de simetría y ejes de simetría.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
44. El plano se puede teselar (embaldosar) con un polígono regular
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
de tres lados.
de cuatro lados.
de cinco lados.
Solo con I
Solo con II
Solo con I y con II
Solo con II y con III
Con I, con II y con III
45. El triángulo ABC es rectángulo en A y el triángulo BCD es rectángulo en D (fig. 7). Si
DBA= 10º y BCD – ABC = 25º, ¿cuánto mide el ABC?
C
fig. 7
A) 27,5º
B) 35º
C) 45º
D) 90º
E) 110º
A
B
D
46. En el rectángulo ABCD (fig. 8), ACE = EAD = 30º. Si CE = 10, entonces ¿cuánto mide
DE ?
D
A) 5
B) 5 3
C) 10
D) 15
E) 20
E
C
fig. 8
A
14
B
47. En la figura 9, ABCD es un cuadrado de lado 4 y los triángulos AFD y DCE son equiláteros.
¿Cuál es el área del triángulo DFE?
E
fig. 9
A) 2 2
B) 4 2
D
C) 4 3
D) 8
E) 8 3
C
F
A
B
48. Se trazaron las diagonales de un cuadrilátero obteniéndose cuatro triángulos rectángulos
congruentes. Este cuadrilátero puede ser
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
un cuadrado.
un rectángulo.
un rombo.
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
49. Si en el triángulo ABC de la figura 10, AD : DE : EB = 2 : 3 : 1, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes parejas de triángulos tienen sus áreas en la razón 1 : 2, respectivamente?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
EBC y ADC
DEC y ABC
ADC y DBC
C
fig. 10
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
A
D
E
B
50. En el cuadrado ABCD de la figura 11, E y F son puntos medios de AB y BC ,
respectivamente. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
EBC  FCD
GFC  GED
AED  GED
G
F
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
A
15
E
B
fig. 11
51. En la figura 12,
AB es una semicircunferencia, CD  AB y AD : DB = 4 : 1. Si CD mide
8 cm, ¿cuánto mide AC ?
C
A)
B)
fig. 12
8 2 cm
8 3 cm
C) 8 5 cm
D) 10 cm
E) 17 cm
A
D
B
52. En el trapecio ABCD de la figura 13, EF // AB . Si AF : FD = a : b y BE = 8, entonces
EC =
A)
B)
C)
D)
E)
D
8b
a
8a
b
ab
8
8
ab
a+b–8
C
fig. 13
E
F
A
B
53. En la figura 14, AB // ED y AD  BE . Numéricamente, la razón entre los perímetros de los
triángulos EDC y ABC es
E
D
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
2
1
4
:
:
:
:
:
3
1
2
1
4
1
4
C
fig. 14
6
A
B
54. En la circunferencia de centro O de la figura 15, OP // QR . Si ROP = 80º, entonces
QPO =
A)
B)
C)
D)
E)
Q
10º
20º
40º
50º
80º
fig. 15
R
O
P
16
55. La longitud de la circunferencia de centro O de la figura 16, es de 20. Si OM  PQ y PQ
mide 16 cm, ¿cuánto mide OM ?
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
6
O
P
fig. 16
M
N
Q
56. Si sen ( – ) = cos 30º, entonces los valores de  y  pueden ser, respectivamente
A)
B)
C)
D)
E)
60º
45º
30º
70º
90º
y
y
y
y
y
30º
15º
30º
10º
60º
57. log(n3 – n) =
A)
B)
C)
D)
E)
log n3
log n
log n + log (n + 1) + log (n – 1)
2 log n
log n – log (n2 – 1)
log n + log n2 – log 1
58. ¿Cuál de las siguientes figuras se debe rotar en torno a su eje de simetría para obtener el
cuerpo de la figura 17?
A)
B)
C)
D)
E)
Rombo.
Rectángulo.
Triángulo equilátero.
Trapecio isósceles.
Trapezoide simétrico.
fig. 17
17
59. Si las coordenadas de los vértices A, B y C del paralelepípedo recto de la figura 18, son
(2, 2, 0), (2, 0, 4) y (0, 0, 4), respectivamente, entonces el volumen de este cuerpo es
igual a
Z
C
A)
8
B) 16
C) 32
D) 64
E) 256
fig. 18
B
y
A
x
60. ¿Cuál de los siguientes intervalos representa todos los valores que puede tomar la
probabilidad de un suceso?
A)
B)
C)
D)
E)
[0, 1]
]-, 1]
[0, +[
]0, 1[
[1 +  [
61. Un juego consiste en un tablero con 4 casilleros (fig. 19) y una bolsa en la que hay
4 tarjetas denominadas A, B, C y D. La regla del juego consiste en ir sacando al azar una a
una las tarjetas de la bolsa e irlas colocando a medida que se sacan, en los casilleros 1, 2,
3 y 4, en ese orden. Si un jugador saca la tarjeta A, ¿cuál es la probabilidad que a
continuación las tarjetas B, C y D, ocupen los casilleros 2, 3 y 4, respectivamente?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
1
3
1
8
1
9
1
27
1
2
fig. 19
3
4
62. Al lanzar un dado, ¿cuál de los siguientes sucesos tiene una probabilidad igual a la
probabilidad de obtener un número primo?
A)
B)
C)
D)
E)
Obtener
Obtener
Obtener
Obtener
Obtener
3 ó 6.
un número menor que 3.
un divisor de 5.
un número distinto de 1 y 2.
un número par.
18
63. El gráfico circular de la figura 20 muestra la situación académica final de los alumnos de un
curso en las asignaturas de Matemática y de Lenguaje
A3
54
fig. 20
R 18
18
A1
30
A2
A1 : Alumnos que solo aprobaron Matemática.
A2 : Alumnos que solo aprobaron Lenguaje.
A3 : Alumnos que aprobaron ambas asignaturas.
R : Alumnos que reprobaron ambas asignaturas.
Si se elige uno de estos alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad que haya reprobado
ambas asignaturas?
A)
B)
C)
D)
E)
55%
40%
30%
15%
10%
64. En un campeonato juvenil de fútbol, participan 10 equipos en que las edades promedio de
sus jugadores son: 18,4; 20,1; 19,9; 19,2; 18,3; 18,8; 19,1; 18,5; 20,4 y 20,2 años,
respectivamente. Si se sortea un premio entre estos equipos, ¿cuál es la probabilidad que
lo obtenga un equipo cuyos jugadores tengan una edad promedio inferior a 19 años?
A)
B)
C)
D)
E)
0,1
0,3
0,4
0,6
0,7
19
65. Al lanzar simultáneamente 5 monedas 95 veces, se obtuvieron los resultados indicados en
el gráfico de la figura 21.
Frecuencia
30
fig. 21
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
Nº de caras
De acuerdo a lo anterior, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La mediana es igual a la moda.
La mediana no es mayor que la media aritmética.
En 30 lanzamientos se obtuvieron exactamente dos sellos.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
66. La mediana de un conjunto de ocho números enteros pares consecutivos es 11. ¿Cuál es el
menor de estos ocho números?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 10
E) 18
67. ¿En cuál de las siguientes listas de números la desviación estándar es mayor?
A)
B)
C)
D)
E)
12,
13,
15,
16,
19,
15,
13,
16,
17,
19,
18
14
16
18
19
20
68. El gráfico de la figura 22, muestra los volúmenes de venta de dos modelos de automóviles,
A y B, durante los cuatro primeros meses del año pasado.
(unidades
vendidas)
600
500
400
300
Modelo A
500
400
Modelo B
400
300
300 300
200
200
200
fig. 22
100
Enero
Febrero
Marzo
Abril
(meses)
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Durante los cuatro meses se vendieron en total 2.600 automóviles de estos
modelos.
Durante los dos primeros meses la venta del modelo A, resultó equivalente al
75% de la venta del modelo B durante los cuatro meses.
De enero a febrero las ventas del modelo A aumentaron en un 25%.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
69. La longitud del vector u = (3, 4) es
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 5
70. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 6 personas en 4 sillas?
A) 360
B) 240
C) 120
D) 80
E) 60
21
71. Si un suceso A tiene probabilidad m, entonces P(AC) es
A) m – 1
B) 1 – m
1
C)
m
m
D)
100
E) m2
72. Se lanza una moneda al aire 3 veces y sea C = cara y S = sello, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad de obtener CCC es
1
.
8
1
.
8
1
La probabilidad de obtener CSS en ese orden es .
8
La probabilidad de obtener SCS en ese orden es
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de las anteriores
73. En una bolsa hay nueve fichas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos fichas una tras otra
sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 números pares?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
5
18
1
36
5
9
1
3
22
Evaluación de Suficiencia de Datos
Instrucciones Para las Preguntas N° 74 a la N° 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si
los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones
(1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
A)
(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.
B)
(2) por sí sola,
si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.
C)
Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes
para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es
suficiente.
D)
Cada una por sí sola,
responder a la pregunta.
E)
Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
(1)
ó
(2),
si cada una por sí sola es suficiente para
Ejemplo:
P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?
(1)
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.
P tiene $ 2.000.000 más que Q.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más
los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:
P : Q = 3 : 2 , luego
(P + Q) : Q = 5 : 2 , de donde
$ 10.000.000 : Q = 5 : 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el
enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave D . Cada una por sí sola, (1) ó (2).
23
74. En el gráfico de la figura 23, se puede determinar la pendiente de la recta L1, si se sabe que:
y
(1) El punto P tiene coordenadas (2, 5).
fig. 23
(2) La abscisa de Q es 6.
A)
B)
C)
D)
E)
P
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Q
x
L2
L1
75. Los triángulos ABC y DEC de la figura 24 son semejantes, si:
C
(1) DE // AB
fig. 24
(2) AD  DC y BE  EC
A)
B)
C)
D)
E)
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
E
A
B
76. Se puede determinar cuánto pagó Jorge por una camisa en una liquidación, si:
(1) $ 2.000 corresponden al 25% de descuento que le hicieron en la liquidación con
respecto al precio de la camisa, antes de la liquidación.
(2) Antes de la liquidación la camisa costaba $ 8.000 y en la liquidación le hicieron un 25%
de descuento.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
77. En la circunferencia de centro O de la figura 25, se puede determinar la medida del
segmento de tangente PC , si:
(1) Se conoce la medida del diámetro AB .
fig. 25
(2) OB : BP = 3 : 4
A)
B)
C)
D)
E)
A
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
O
B
p
C
24
78. En el plano cartesiano, la base AB de un triángulo isósceles ABC es paralela al eje x y las
coordenadas del punto medio de la base son (4, 4). Se puede determinar cuáles son las
coordenadas del vértice C, si:
(1) Las coordenadas de los extremos de la base son (2, 4) y (6, 4).
(2) La altura mide 4 unidades más que la base.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
79. Se puede determinar el volumen del cilindro de la figura 26, si se conoce:
(1) El área lateral.
(2) El perímetro de la base.
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 26
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
80. Un estudiante que rindió la PSU de matemática en noviembre del año pasado obtuvo 667
puntos. Se puede asegurar que su puntaje fue superior al 85% de los puntajes obtenidos
por el resto de los postulantes, si:
(1) Su puntaje se ubica en el percentil 87.
(2) Su puntaje es superior al que se ubica en el tercer cuartil.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
25
CLAVES MATEMÁTICA
CLAVES ENSAYO N° 3
Asignatura
: MATEMÁTICA
Nº Preguntas
: 80
Fórmula
:
B · 7,2 + 274
1.
E
11.
D
21.
E
31.
A
41.
C
51.
C
61.
A
71.
B
2.
B
12.
B
22.
B
32.
D
42.
A
52.
A
62.
E
72.
D
3.
B
13.
E
23.
C
33.
E
43.
B
53.
B
63.
D
73.
A
4.
A
14.
C
24.
B
34.
C
44.
C
54.
C
64.
C
74.
E
5.
D
15.
E
25.
D
35.
A
45.
A
55.
E
65.
D
75.
D
6.
E
16.
A
26.
E
36.
D
46.
A
56.
D
66.
B
76.
D
7.
B
17.
A
27.
C
37.
B
47.
D
57.
B
67.
A
77.
C
8.
A
18.
D
28.
D
38.
E
48.
E
58.
D
68.
E
78.
E
9.
B
19.
C
29.
B
39.
E
49.
E
59.
B
69.
E
79.
C
10.
C
20.
D
30.
E
40.
B
50.
A
60.
A
70.
A
80.
A
Curso: Matemática
SOLUCIONARIO
ENSAYO N° 3
MATEMÁTICA
1. La alternativa correcta es E
5 – {4 – [3 – (2 – 1)]} = 5 – {4 – [3 – (1)]}
= 5 – {4 – [2]}
= 5 – {2} = 3
2. La alternativa correcta es B
Si k + 1 = 5, entonces k2 – 12 = 42 – 12 = 16 – 1 = 15
3. La alternativa correcta es B
(-1)-1 = -1
-(-1) = 1
(-1)2 = 1
= -1 – -1 – 1
= -1 + 1 – 1
= -1
4. La alternativa correcta es A
2+L=9
L=7
Entonces, 2 – L = 2 – 7 = -5
5. La alternativa correcta es D
444 + 444 + 444+ 444 + 4 = 4 · 444 + 4
= 4(444 + 1)
6. La alternativa correcta es E
M = 12 y
T=
12 =
2
·T
5
12
· 5 = 30
2
7. La alternativa correcta es B
12 minutos  x
60 minutos  h
Donde x =
h
12h
=
= 0,2 h
5
60
8. La alternativa correcta es A
Figura
Nº rombos
1
3
2
3
.
.
.
n
5
7
.
.
.
2n + 1
Es (son) falsa(s)
I)
II)
III)
Falsa, se generan 2 · (6) + 1 = 13 rombos.
Verdadera, se generan 2 · (10) + 1 = 21 rombos.
Verdadera, se generan 2 ·(4) + 1 más 2 · (5) + 1
9. La alternativa correcta es B
0,3 · 0,30
0,09
=
= 0,01
9
9
10. La alternativa correcta es C
Sean
Ro = Rodolfo = z
Ra = Ramón
Ro
z
x
=
=
Ra
Ra
y
Entonces, Ra =
yz
x
2
esto es 20 rombos.
11. La alternativa correcta es D
3 · ( a0 + 3a) = 3 (1 + 3a)
= 3 + 3 · 3a
= 3 + 3a + 1
12. La alternativa correcta es B
Calefont
(sin instalación)
Instalación
Calefont
+ instalación
Tienda
48.000
20% de 48.000
es 9.600
57.600
Ferretería
49.800
Gasfiter
58.200
7500
Entonces, el calefont instalado resulta más económico comprándolo en el supermercado
(tienda) sin instalación y la instalación del gásfiter (48.000 + 7.500 = 55.500).
13. La alternativa correcta es E
m3
=3
m+m+m
m3
=3
3m
m2
= 3. Entonces, m2 = 9
3
14. La alternativa correcta es C
Sea Pp : El tanto por ciento de participantes que contesta correctamente
Np: Nº de preguntas correctas
Luego Pp · Np = Constante (Definición de P. Inversa)
Así Pp · 16 = 80 · 4
80 · 4
Pp =
= 20%
16
3
15. La alternativa correcta es E
Dada la definición: AB = A + AB + B
I)
n1=n+n+1
II)
2  n = 2 + 2n + n
Igualando: 2n + 1 = 3n + 2
Entonces, -1 = n
16. La alternativa correcta es A
2
4 2
2
t2
1 
2
 3 s  2 t  = 9 s  3 st + 4


17. La alternativa correcta es A
A · B = (x + y + z)( x – y– z)
= (x + (y+z))( x – (y + z))
= x2 – (y + z)2
18. La alternativa correcta es D
I)
Verdadera, pagaron en efectivo: 30% de 2.500 = 750 en cheque: 45% de
2.500 = 1.125.
II)
Falso, Red compra: 5% de 2500 = 125 NO es el 66,6% de 750 que es 500.
III)
Verdadera, cheques: 1.125, Red compra: 125. Entonces, total 1.250.
19. La alternativa correcta es C
p = 2q + 5  -p = -2q – 5  -p – 1 = -2q – 6
4
20. La alternativa correcta es D
Sea L el lado triángulo de un triángulo equilátero 3L = 9
L=3
I)
II)
III)
9
27
32
3 =
3 (cm2)  3A =
3 cm2.
4
4
4
Verdadera, P = 3 · 3 = 9  3P = 27 cm.
3
9
Verdadera, h =
3  3h =
3 = 4,5 3 cm.
2
2
Falsa, A(L) =
21. La alternativa correcta es E
Nº comprados
12
Costo unitario
500 + 300 = 800
Costo total
12 · 800 = 9.600
Cuadernos
1
500
500 = 500
Gomas
3
20% de 500 = 100
3 · 100 = 300
Lápices
8
500 – 300 = 200
8 · 200 = 1.600
Carpetas
Son verdaderas
I)
II)
III)
Verdadera, 500 + 3 · 100 = 800 =
1600
.
2
Verdadera, 9.600 = 6 · 1.600
Verdadera, 9.600 = 4 (500 + 300 + 1.600) = 4 · 2.400
22. La alternativa correcta es B
Sea r radio
r2 = 5   (5r)2 = 25r2
= 25 · 5
= 125
23. La alternativa correcta es C
I)
II)
III)
-3  1
-4
=
no es real, Falso.
-3 + 3
0
(7 – 7)0 = 00 no está definido, Falso.
3  3 = 0 = 0 es real, Verdadero.
5
24. La alternativa correcta es B
12,5
T
=
 T2 = 12,5 · 8
T
8
T2 = 100
 T = 10 Es un posible valor
25. La alternativa correcta es D
x
y
2
= (xy )
1
2
1
2 2
= (10 )
= 10
26. La alternativa correcta es E
Racionalizando
3
3
3
·
3
5
52
3
=
52
3 52
5
27. La alternativa correcta es C
1
1
·
= 2x
4
4
1
= 2x
16
2-4 = 2x  x = -4  x + 1 = -3
28. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
2( 2 
2 +
2
2
3 +
2
2 
3
2) =
=
=
2 2
2
2 · (0) = 0 < 1
SÍ
=2>1
NO
(+)
= ( –) < 1
( )
SÍ
6
29. La alternativa correcta es B
Del gráfico se desprende que ambas funciones pasan por (0,0) y (4,2).
7
x
Luego las únicas que cumplen son f(x) = x2 – x y g(x) = .
2
2
30. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
1
4
9
=
1
2
3
0,125
3
2
(Es racional)
3
3
=
2
4
0,75 =
1
=
=
1
1
8
=
(Es irracional)
1
1
=
8
(Es irracional)
8
31. La alternativa correcta es A
2x2 + 5x – 3 = 0
Factorizando (x + 3)(2x – 1) = 0, sus soluciones son:
1
x = -3 y x2 =
que pertenecen al intervalo -4 < x < 1.
2
32. La alternativa correcta es D
A = 5 + 4n  n =
a  5
reemplazando en:
4
B = 9 – 2n
 A  5
B = 9 – 2

 4 
23  A
B=
2
7
33. La alternativa correcta es E
Notar la restricción inicial x  0, para la ecuación:
3
x+3
=1+
x
x
x
3
3
x+3
=
+
=1+
x
x
x
x
Luego, se trata de una identidad con x  0
Pero
 Conjunto solución es IR – {0}
34. La alternativa correcta es C
I)
II)
III)
Verdadera, si a = 0  f(x) = b es constante.
Falsa, f(x) = ax + b es creciente si a > 0.
Verdadera, si a < 0  f(x) = ax + b es creciente.
35. La alternativa correcta es A
Dominio de f(x) : {x  2 y x > 2} = {x > 2} = ]2, +[
36. La alternativa correcta es D
f(-1) = 4 · -1 + 3n = -4 + 3n
f(-2) = 4 · -2 + 3n = -8 + 3n
 f(-1) + f(-2) = -12 + 6n = 12
n=4
37. La alternativa correcta es B
Como a  [3, 9] y b  [-2, 5[
c = a · b estará entre 9 · -2 = -18 y 9 · 5 = 45
 c  [-18, 45[
38. La alternativa correcta es E
Usando la fórmula se tiene Cf = 9 · 105 (1 + 0,06)5
Cf = 9 · 105 (1,06)5
8
39. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
Falsa, m1 (negativo) y m2 (positivo).
Falsa, m4 (Positivo) y m3 (cero).
Falsa, m1 (negativo) y m4 (positivo).
40. La alternativa correcta es B
Área  =
a·a
a2
=
2
2
Área rectángulo = 2a · b

1
a2
=
· 2ab
3
2
 3a2 = 4ab
3a = 4b
a:b=4:3
41. La alternativa correcta es C
y
D
7
P
4
1
C
A
B
1
5
7
x
Dado que ABCD es un paralelogramo:
I)
II)
III)
Verdadero, P(5,4) al hacer R(0,180º) de P queda en (-5,-4)
Verdadero, A(1,4) al hacer R(0,180º) de A queda en (-1,-4)
Falso, D(3,7) al hacer R(0,180º) de D queda en (-3,-7)
42. La alternativa correcta es A
A
B
C
La intersección entre AC y BC es “La parte común de ambos rayos”
Luego esta “parte común” es el rayo BC.
9
43. La alternativa correcta es B
I)
II)
III)
Falso, no tiene centro de simetría (tiene 3 ejes de simetría).
Verdadero, el centro de simetría corresponde al punto de intersección de las
diagonales.
Falso, el mismo triángulo equilátero no verifica centro de simetría.
44. La alternativa correcta es C
El plano sólo se puede teselar con un polígono regular de tres, cuatro y seis lados.
45. La alternativa correcta es A
C
A
B
D
De la figura y del dato se desprende que:
I)
BCD – ABC = 25º
II)
BCD + ABC = 80º
Entonces, 2ABC = 55º
ABC = 27,5º
46. La alternativa correcta es A
En el rectángulo ABCD
D
E
C
DEA = 60º y AEC = 120º
Como ACE = 30º, entonces EAC = 30º
 ACE es isósceles con AE = EC = 10
También el DAE es un  (30º - 60º - 90º)
10
Como AE = 10  DE =
=5
2
10
A
B
47. La alternativa correcta es D
E
D
C
F
A
B
Como CDA = 90º y FDA = 60º  FDC = 30º
Además CDE = 60º ( interior  equilátero)
Luego EDF = CDE + FDC = 30º + 60º = 90º
 DFE es rectángulo isósceles en D cuyos catetos miden 4.
4·4
 Área de DFE =
=8
2
48. La alternativa correcta es E
II)
Al trazar las diagonales en un rectángulo ABCD. Se forman 4 triángulos
rectángulos congruentes: ABC  DCB  DCA  BAD
49. La alternativa correcta es E
C
A 2k D
3k
E
k B
Como AD : DE : EB = 2 : 3 : 1
Los EBC, ADC, DEC, ABC, DBC tienen la misma altura, entonces la razón entre sus
áreas es la misma que la razón entre sus bases. Luego
I)
II)
III)
k : 2k = 1 : 2
3k : 6k = 1 : 2
2k : 4k = 1 : 2
11
50. La alternativa correcta es A
C
D
G
F
A
I)
II)
III)
E
B
Verdadera, EBC  FCD (LAL)
Falso
Falso
51. La alternativa correcta es C
Trazando el segmento CB , el ABC es rectángulo en C.
Usando Euclides.
2
I)
AC
= AD · AB = 4k · 5k = 20k2
2
II)
CD = AD · DB
A
82 = 4k · k
64 = 4k2
k2 = 16
De I) y II) AC 2 = 20 · 16  AC = 8 5
52. La alternativa correcta es A
D
F
A
C
C
E
B
Usando Teorema de Thales AF : FD = BE : EC
a : b = 8 : EC
8b
Donde EC =
a
12
D
B
53. La alternativa correcta es B
E
D
3
4
C
6
A
B
EDC  BAC
EC
3
1
Perímetro EDC

=
=
=
6
2
Perímetro ABC
BC
54. La alternativa correcta es C
Q
R
O
P
ROP = 80º  RQP = 40º (Inscrito)
Como OP // QR
Entonces
RQP = QPO = 40º (Alternos internos entre paralelas)
55. La alternativa correcta es E
Sea D: Diámetro de la circunferencia
D = 20
D = 20
O
P
M
Como OM  PQ y ON es el radio entonces PM = MQ = 8
Sea NM = x, entonces MR = 20 – x
Usando teorema de las cuerdas: x(20 – x) = 8 · 8 = 64
x2 – 20x + 64 = 0
(x – 16)(x – 4) = 0
 MN = 4
 OM = 10 – 4 = 6
13
N
Q
56. La alternativa correcta es D
sen ( – ) =
cos 30 =
3
= sen 60º
2
  –  = 60º
57. La alternativa correcta es B
log (n3 – n) = log n (n2 – 1) = log n (n + 1)(n – 1)
= log n + log (n + 1) + log (n – 1)
58. La alternativa correcta es D
Al rotar un trapecio isósceles entorno a su eje de simetría se obtiene el sólido de
revolución mostrado.
59. La alternativa correcta es B
Z
C
B
y
A
x
A(2,2,0) B(2,0,4) C(0,0,4)
Volumen paralelepípedo = Área (basal) · Altura
Área basal (en plano xy) = 2 · 2 = 4
Altura (cota z) = 4
 Volumen = 4 · 4 = 16
60. La alternativa correcta es A
Si P(x) es la probabilidad que de un suceso x.
Entonces, 0  P(x)  1
14
61. La alternativa correcta es A
Dado que se sacó A y ocupó el casillero 1, entonces sean
1
.
3
1
C en la 3° extracción = P(C) = .
2
1
D en la 3° extracción = P(D) =
=1
1
1
1
·1=
·
6
2
Probabilidad de sacar B en la 2° extracción = P(B) =
Probabilidad de sacar
Probabilidad de sacar
 P ( B y C y D) =
1
3
62. La alternativa correcta es E
Primos= {2, 3, 5}, pares = {2, 4, 6}
3
1
=
= P(par)
P(primo) =
6
2
63. La alternativa correcta es D
P(Reprobado ambas) =
18
R
=
= 0,15 = 15%
A1 + A2 + R
120
64. La alternativa correcta es C
Edades promedios menores a 19 años = {18,4; 18,3; 18,8; 18,5} = A
4
= 0,4
 P(A) =
10
65. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
Verdadero, M0 = Me = 2
Verdadero, Me = 2  x =
235
95
Falso, en 30 lanzamientos se obtienen 2 caras
15
Nº caras
Frecuencia
0
1
2
3
4
5
5
15
30
25
15
5
66. La alternativa correcta es B
Sea p par  {p, p + 2, p + 4, p + 6, p + 8, p + 10, p + 12, p + 14}
p+6+p+8
2p + 14
 Mediana es
=
=p+7
2
2
Como p + 7 = 11
p=4
67. La alternativa correcta es A
La desviación estándar es una medida de dispersión que indica cuánto tienden a alejarse
los datos de la media aritmética.
Claramente en el conjunto {12, 15, 18} con x = 15 los datos tienden a alejarse más
que en los otros casos.
68. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
Verdadero, 400 + 300 + 500 + 200 + 300 + 300 + 200 + 400 = 2.600
Verdadero, 400 + 500 = 75% de (300 + 200 + 300 + 400)
Verdadero, aumentaron de 400 a 500, es decir varió en 100 (100 de 400 es
25%).
69. La alternativa correcta es E
Longitud de u es: 32 + 42 = x2
9 + 16 = x2
25 = x2
5=x
70. La alternativa correcta es A
A64 =
6!
6  5  4  3  2!
=
= 6 · 5 · 4 · 3 = 360
2!
2!
71. La alternativa correcta es B
P(A) + P(AC) = 1
m + P(AC) = 1
P(AC) = 1 – m
16
72. La alternativa correcta es D
Casos totales:
CCC
SCS
CCS
SCC
CSC
SSC
SSS
CSS
Luego I, II y III son verdaderas.
73. La alternativa correcta es A
1
1
3
2
4
3
1
P=

=
6
9
8
74. La alternativa correcta es E
(1) Insuficiente, sólo se conoce un punto de L1.
(2) Insuficiente, sólo se conoce la abscisa de Q que está en L 2.
(1) y (2) Insuficiente, (necesito conocer dos puntos de L 1).
75. La alternativa correcta es D
(1) Suficiente, toda paralela a la base de un  determina un  semejante al primero.
(2) Suficiente, AD  DC y BE  EC  DE es mediana, es paralela a AB .
76. La alternativa correcta es D
Sean Co: Precio original de la camisa, Cr: Precio con rebaja.
(1) Suficiente, 2.000 = 25% de Co  Cr = Co – 2000 = 8.000 – 2.000
(2) Suficiente, 8.000 – 25% de 8.000 = 8.000 – 2.000 = Cr
17
77. La alternativa correcta es C
A
O
B
P
C
(1) Insuficiente, sólo se conoce AB .
(2) Insuficiente, sólo se conoce OB : BP : OC pero ningún valor de algún segmento
aludido.
(1) y (2) Suficiente, por (2) AB = 6k y se conoce AB por (1). Luego se puede
determinar k (constante de la proporcionalidad).
Usando teorema de la tangente y secante queda determinada (dado que se conoce k).
2
PC = PB · PA
2
PC = 4k · 6k
78. La alternativa correcta es E
(1) Insuficiente, se desconoce la medida de la altura.
(2) Insuficiente, se desconoce la medida de la base AB .
(1) y (2) Insuficientes, aún cuando se conoce el punto medio de la base que es (4, 4) y
la medida de la altura 4 + 4 = 8.
La ubicación de C podría ser C(4, 4 + 8) o C’ (4, 4 – 8), es decir, C(4, 12) o C’ (4, -4).
79. La alternativa correcta es C
Sea R: radio y h: altura del cilindro
(1) Insuficiente, sólo se conoce el valor de 2  R · h
(2) Insuficiente, sólo se conoce el valor de 2  R  R conocido
(1) y (2) Suficientes, R y h conocidos  V =  R2 · h conocido
80. La alternativa correcta es A
(1) Suficiente, si su puntaje se ubica en P 87, entonces fue superior al 87% de los
puntajes.
(2) Insuficiente, supera al 75% de los puntajes pero esto no implica que supera al 85%
de los puntajes.
18
C u r s o : Matemática
ENSAYO N° 4
MATEMÁTICA
PSU
MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1.
Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para
responderla.
2.
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
3.
Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
4.
Antes de responder las preguntas N° 74 a la N° 80 de esta prueba lea atentamente las
instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 73.
ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que

es congruente con

es mayor que

es semejante con

es menor o igual a

es perpendicular a

es mayor o igual a

es distinto de
ángulo recto

es paralelo a
ángulo
log logaritmo en base 10

conjunto vacío
[x] función parte entera de x
u
vector u
2
AB
trazo AB

pertenece a
x
valor absoluto de x
n!
factorial de n
AC
complemento del conjunto A
1.
1+2+3+4+5
=
2 + 4 + 6 + 8 + 10
5
2
1
3
1
2
3
8
11
26
A)
B)
C)
D)
E)
2. 4-1  5-1 =
A)
B)
C)
D)
E)
0,
0,
0,
0,
1,
02
05
20
45
25
1
3.
1
3 
3 
A)
B)
C)
D)
E)
=
1
3  1
7
23
5
13
2
3
23
7
13
5
3
4. Si N = 0,345 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
N truncado a la décima es igual a N redondeado a la décima.
N truncado a la centésima es menor que N redondeado a la centésima.
N truncado a la milésima es igual a N redondeado a la milésima.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
5. Durante el período de hibernación, un oso pierde la quinta parte de su masa original. Si
terminada la hibernación, la masa del oso es de 220 kilogramos, ¿cuál era su masa
original?
A)
176
B)
240
C)
264
D)
275
E) 1.100
kg
kg
kg
kg
kg
6. En cierta calculadora, 2103 aparece representado como 2E3. El producto de 2E3 y 3E2,
en dicha calculadora aparecerá representado como
A)
B)
C)
D)
E)
6E
5E
5E
6E
2.3
5
5
6
6
E3
7. Tres alumnos; Arenas, Mardones y Zúñiga promediaron al final del año un 3,97 en el
ramo de matemática. Como para aprobar el ramo se necesita un 4,0, el profesor les
dijo: “les doy 3 opciones para elegir”, A) redondear el promedio a la décima; B) truncar
el promedio a la décima o C) escribir el promedio con 2 cifras significativas. Si Arenas
eligió la opción A), Mardones eligió la opción B) y Zúñiga eligió la opción C), entonces es
verdadero que
A)
B)
C)
D)
E)
solo aprobó Arenas.
solo aprobó Mardones.
solo aprobó Zúñiga.
solo aprobaron Arenas y Zúñiga.
los tres aprobaron.
4
8. ¿Cuál(es) de los siguientes números no es (son) irracional(es)?
I)
3
-1 
II)
3
0,8
III)
A)
B)
C)
D)
E)
0,09-1
2
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
9. ¿Cuál de los siguientes números es el que se encuentra más próximo a 4 5 en la recta
numérica?
A) 8
B) 9
C) 5 2
D) 5 3
E) 5 5
3 
 1
10. Si x es un número perteneciente al conjunto 2, , 3, , 5 , entonces ¿cuál de las
2
8 

expresiones siguientes representa siempre un número entero?
A)
B)
C)
D)
E)
x
2
2x
3x
5x
8x
11. De los números: 2 2 , 3,
A) 3 y
B)
7
C)
2
D)
20
2
E) 3 y
7 y
20
, el menor y el mayor, respectivamente, son
2
7
y 3
y 2 2
y 3
20
2
5
12. Si 0  n  1, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
1
1
1
<
<
n
n
n2
1
1
1
B)
< <
2
n
n
n
A)
1
1
<
n
n
n2
1
1
1
<
<
D)
n
n
n2
1
1
1
E)
<
<
2
n
n
n
C)
1
<
13. Si n > 0
y
0 < 1 
m
, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
n
siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
m>0
m
<1
n
m2 + n 2 > 1
I
II
I y II
I y III
II y III
14. Si a > 1, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a log (a 2 – 1)?
A) 2loga – 1
B) 2loga – log1
log a2
log 10
D) log(a + 1) – log(a – 1)
E) log(a + 1) + log(a – 1)
C)
6
15. Si 7 = 2,64575131..., entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si se trunca
7 a la milésima, la aproximación es por defecto.
Si se redondea
Si se escribe
7 a la milésima, la aproximación es por exceso.
7 con 4 cifras significativas, la aproximación es por defecto.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
16. (256)0,16 · (256)0,09 =
A)
4
B) 16
C) 64
D) -16
E) 256, 25
17. Si a y b son dos números reales diferentes y a2 = ab, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a=0
a = -b
a+b=b
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
Ninguna de ellas.
18. En una elección, el candidato A recibió un tercio más de los votos que recibió el
candidato B, y éste recibió un cuarto menos, de los votos que recibió el candidato C. Si
por el candidato C votaron 24.000 personas, ¿cuántas lo hicieron por el candidato A?
A)
B)
C)
D)
E)
18.000
22.000
24.000
26.000
32.000
7
3

19. Si (x – 4) 1 +  = 0 y x  4, entonces x2 =
x

A) 16
B) 3
1
C) 3
1
D)
9
E) 9
20.
p-1q-1
p-3  q-3
A)
B)
C)
=
p2q2
q2  p2
p2q2
q3  p3
pq
q3  p3
D)
p3  q3
pq
E)
p3q3
p  q
21. Si
A)
B)
C)
D)
E)
n
3
3+n
=2 y
= 3, entonces
=
4
m
m+4
10
9
3
2
20
11
30
11
5
8
22. Si
A)
B)
C)
D)
E)
x+y=a
x  y=b
, entonces 4xy =
a2  b2
2
2(a + b)
2(a2 + b2)
(a2 – b2)
4(a2 + b2)
23. Si el inverso multiplicativo de t – 1 es t + 1, entonces t =
A) -1
B) 0
C) 1
D) 1
E)  2
24. Se define en el conjunto de los números reales
a
c
d
b
= ab – cd. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las raíces (soluciones) de la
2x 1
ecuación
= 3?
x
x
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Son reales y distintas.
Son de distinto signo.
La suma de ellas es negativa.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
25. Sabiendo que la suma de dos números es 10 y su producto 20, entonces la suma de los
recíprocos de estos números es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
1
10
1
2
1
2
4
9
26. Sabiendo que x es un número real, entonces ¿cuál de las siguientes proposiciones es
siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
Si
Si
Si
Si
Si
x  0, entonces x 2  x
x2  x, entonces x  0
x  1, entonces x 2  x
x  0, entonces x 2  x
x2  0, entonces x  0
27. ¿Cuál de los siguientes intervalos es el conjunto solución de la inecuación 2x – 3  7 – x?
10

A)  , + 
3

 10

B) 
, + 
 3

10 

C)  - ,
3 

D) ]-, 0[
E) ]4, +[
28. El numerador de una fracción es 6x + 1 y el denominador 7 – 4x. Si x puede tomar
cualquier valor entre -2 y 2, ambos incluidos, entonces los valores de x para los cuales el
numerador es mayor que el denominador están representados en el intervalo
3

A)  , 2
5

3

B)  , 2
5


3

C)  , 2 
5

D) [0, 2]
E) [-2,2]
29. ¿Qué valor debe tener x para que 9 veces 92x + 3 sea igual a 27x – 3?
A)
3
B)
1
C) -7
D) -15
E) -17
10
30. ¿Cuál es el valor de x si se sabe que f(x) = 2x, g(x) =
x
2
y f(g(x)) = 6?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 12
31. La siguiente tabla muestra la distancia d, en centímetros, que recorre una esfera que
desciende por un plano inclinado en t segundos.
t
0
1
2
3
d
0
10
40
90
4
5
160 250
¿Cuál será la distancia d para t = 2,5 seg?
A)
B)
C)
D)
E)
45 cm
62,5 cm
65 cm
75 cm
82,5 cm
32. Si f(x) = 5x2 – 2x – 1, entonces f(x + a) – f(x) es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
3a
5a2 – 2a
10ax – 4x + 2
10ax – 2x – 2
a(10x + 5a – 2)
33. Si la parábola de ecuación y = -x 2 + bx – 8 intersecta en un solo punto al eje x (de las
abscisas), entonces b es un número
A)
B)
C)
D)
E)
entero positivo.
racional positivo.
irracional negativo.
racional positivo o negativo.
irracional positivo o negativo.
11
3x + 1
y f(2c) = 2f(c), entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es
x
34. Si f(x) =
verdadera?
1
.
2
no es un número real.
1
puede valer 0 ó - .
2
puede ser cualquier número real.
puede ser cualquier número real, excepto 0.
A) El valor de c es B) c
C) c
D) c
E) c
35. Si f(x) =
A)
3x  2
, en que x  0, ¿para qué valores de x se cumple que f(x)  0?
4
2
3
x<2
x<4
x<3
ningún valor de x.
0<x<
B) 0 <
C) -2 <
D) 0 <
E) para
36. Se formarán siempre 2 triángulos congruentes si se traza
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
una bisectriz en un triángulo isósceles.
una diagonal en un rectángulo.
la simetral de un lado de un triángulo equilátero.
II
III
I y II
I y III
II y III
37. Si en el plano cartesiano, un punto de coordenadas (-2, 5), se trasladó de manera tal
que sus nuevas coordenadas son (1, -1), entonces ¿cuáles son las coordenadas del
vector traslación?
A)
B)
C)
D)
E)
(3, -6)
(1, 6)
(-3, 6)
(-1, -4)
(-3, -6)
12
38. Si las coordenadas de dos vértices de un rectángulo son (-1, 2) y (5, 2), ¿cuál(es) de los
siguientes puntos no pueden ser los vértices restantes?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
(5, 5)
(4, 2)
(-1, 4)
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
39. Si el vector u se multiplica por el escalar -4, se obtiene el vector v. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
u y v tienen la misma dirección.
u y v tienen el mismo sentido.
v tiene menor módulo que u.
I
II
III
I y II
I y III
40. Si A = (-4, 6), B = (-3, 5) y C = (x, 4) son tres puntos colineales, ¿cuál es el valor de
x2 + 3x – 4?
A) 4
B) 0
C) -3
D) -4
E) -6
41. En los triángulos ABC y DEF de la figura 1, se cumple que:
FD
DQ
FE
QE
=
=
y
. Si
AC
AP
CB
PB
CP  AB y FQ  DE , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
ABC  DEF
APC  EQF
PBC  DQF
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
C
F
fig. 1
A
P
13
B
D
Q
E
42. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura 2, son tangentes a PQ en P y en Q,
respectivamente. Si A, B, C y D son puntos de ella, donde AO // CO' y OB // O'D ,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
AB // CD
CD = 2AB
AO = CD
D
B
O
Solo I
Solo II
Solo I y II
I, II y III
Ninguna de ellas.
A
fig. 2
O’
C
Q
P
43. En el trazo PQ de la figura 3, PR : PQ = 2 : 5 y RS : RQ = 3 : 4. Entonces, PR : SQ =
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
5
8
8
:
:
:
:
:
4
8
8
3
5
P
R
Q
S
fig. 3
44. El lado del triángulo ABC de la figura 4, se divide en 8 partes iguales. Siete segmentos
de recta paralelos a BC , se dibujan desde los puntos de división. Si BC = 10, entonces la
suma de las longitudes de los siete segmentos es igual a
C
A)
B)
C)
D)
E)
33
34
35
45
70
fig. 4
A
B
45. En la circunferencia de diámetro BC y centro O de la figura 5, AB es una cuerda,
DE  AB . Con esta información se puede afirmar que es (son) siempre triángulo(s)
isósceles:
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
FOD
AEF
EBD
C
D
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
F
A
14
fig. 5
•O
E
B
46. En la circunferencia de centro O, AB es una cuerda (fig. 6), OAB =  – 35º
y
BOA =  – 50º, entonces  =
A
B
A) 45º
B) 50º
C) 100º
D) 106, 6 º
E) 120º
fig. 6
O
47. En la figura 7, L1 // L2 // L3. De acuerdo con los datos proporcionados en ella, ¿cuál es el
valor de x?
L1
A) 2 2
B) 2 3
m
C) 3 2
D) 2
E) 4
n
2
3n
L2
fig. 7
x
6m
L3
48. En el triángulo ABC de la figura 8, DE // AB , M y N son puntos medios de AB y AC ,
respectivamente. Si BE = x – 5 y EC = x + 4, entonces x =
C
A) 8
B) 9
C) 10
D) 14
E) 15
fig. 8
N
D
E
A
B
M
49. En la circunferencia de centro O de la figura 9, A, B y Q pertenecen a ella, OP = PQ,
AP = 12 y PB = 9. Entonces, OP =
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 9
4
6
7
8
6 3
O
A
P
B
Q
15
50. En la figura 10, AB es tangente a la circunferencia en P donde C, D y E pertenecen a
ella. Si AP = PB, AD = 4, DC = 5 y BE = 3, entonces EC =
C
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
fig. 10
E
D
A
B
P
51. Si los puntos (6, 12) y (0, -6) pertenecen a una recta, ¿cuál(es) de los siguientes
puntos no pertenece(n) a dicha recta?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
(-1, -4)
(3, 3)
(-3, -8)
I
II
III
I y III
II y III
52. Las rectas cuyas ecuaciones son: 2x + 3y – 6 = 0 y 4x – 3y – 6 = 0, se intersectan en
el punto
2

A)  2, 
3

2


B)  , 2 
3 
2

C)  -2, 
3

2

D)  2, - 
3

2

E)  -2, - 
3

53. En la figura 11, el punto A se refleja respecto a la recta L en el punto
y
A)
B)
C)
D)
E)
(3,
(4,
(5,
(6,
(6,
3)
4)
5)
6)
-2)
fig. 11
2
-2
2
16
A
-2
x
L
54. ¿A qué transformación isométrica equivale una homotecia de razón -1?
A)
B)
C)
D)
E)
A
A
A
A
A
una
una
una
una
una
traslación.
simetría axial.
rotación en 90º.
rotación en 45º.
simetría central o puntual.
55. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Dos rectas perpendiculares a un plano son paralelas entre sí.
Dos rectas paralelas a un mismo plano son paralelas entre sí.
Por un punto de un plano sólo pasa una recta perpendicular al plano.
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
56. En la figura 12, ¿cuál es la longitud de AB si se sabe que A y B son puntos medios de
dos aristas del cubo de lado 2 cm?
A)
6 cm
B) 2 3 cm
fig. 12
C) 2 6 cm
D)
E)
A
6
cm
2
6
cm
3

B
57. Si en la figura 13, a = 12, b = 5 y c = 3, ¿cuál es el área total del cuerpo en forma de
cuña?
c
A)
B)
C)
D)
E)
75
135
150
165
300
fig. 13
b
a
17
58. Si en el gráfico de la figura 14, los cuadrados se hacen girar en torno al eje y, se forma
un cuerpo de volumen igual a
y
A)
B)
C)
D)
E)
52
216
280
380
432





fig. 14
6
9
x
59. Dados los puntos del espacio A(4, -2, 1) y B(3, 1, 5), ¿cuál es la ecuación vectorial de
la recta L que los contiene?
A)
B)
C)
D)
E)
L
L
L
L
L
=
=
=
=
=
(3,
(4,
(4,
(4,
(4,
1, 5) + (4, -2, 1)
-2, 1) +  (1, -3, 4)
-2, 1) +  (3, 1, 5)
-2, 1) +  (-1, -3, 4)
-2, 1) +  (-1, 3, 4)
60. Si la varianza de un conjunto de n datos (con n > 1) es cero, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
La desviación estándar es igual a la varianza.
La suma de los datos es igual a cero.
El rango es igual a la desviación estándar.
I
II
III
I y II
I y III
61. Alrededor de una torta de cumpleaños se deben colocar 5 vasos de distintos colores. Si
el vaso rojo debe tener siempre la misma posición, ¿de cuántas maneras se pueden
ubicar los vasos alrededor de la torta?
A)
B)
C)
D)
E)
De
De
De
De
De
5 maneras.
4 maneras.
4! maneras.
5! maneras.
20 maneras.
18
62. Pepe le dice a Lucho: “lancé una moneda tres veces y el resultado fue 2 caras y un
sello, ¿en cuál de los tres lanzamientos obtuve el sello?”, a lo que Lucho respondió: ¡en
el tercer lanzamiento!. ¿Cuál es la probabilidad de que Lucho haya acertado?
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
1
3
1
4
1
6
1
8
63. En el lanzamiento de dos dados se define la variable aleatoria x como el producto de los
números que aparecen en las caras superiores. ¿Cuál es la probabilidad de que x tome
un valor primo?
A)
B)
C)
D)
E)
1
6
7
36
1
2
1
9
5
36
64. Se encuentran dispuestos en una fila L ladrillos. Si la probabilidad de escoger al azar un
2
ladrillo y que éste se encuentre con fisuras es
, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
11
afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a estos L ladrillos?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad de escoger un ladrillo sin fisuras es de
9
.
11
9
L ladrillos sin fisuras.
11
Teóricamente se espera que por cada 1.100 ladrillos 200 ladrillos sean con
fisuras y 900 estén sin fisuras.
Exactamente hay
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
19
65. Los romanos jugaban con un dado de 14 caras; 6 cuadradas y 8 triangulares. Si al hacer
rodar uno de estos dados, la probabilidad de que la cara superior sea cuadrada, es el
doble de que sea triangular, entonces al lanzar uno de estos dados, ¿cuál es la
probabilidad de que la cara superior sea triangular?
A)
B)
C)
D)
E)
2
5
3
5
3
8
3
7
4
7
66. En una caja hay R bolitas rojas y B bolitas blancas. Si se saca una bolita de la caja y no
se repone y luego se saca otra, entonces ¿cuál es la probabilidad de que la primera
bolita sea roja y la segunda sea blanca?
A)
RB
(R + B)2
RB
B)
R+B
R+ B
C)
(R + B)2
RB
D)
(R + B)2  1
RB
E)
(R + B)2  R  B
67. En una tienda de mascotas se encuentran a la venta, un perro blanco, un perro negro y
un perro gris; un gato blanco, un gato negro y un gato gris; un conejo blanco, un conejo
negro y un conejo gris. Isaac desea comprar un perro, un gato y un conejo, pero todos
de distinto color, ¿de cuántas maneras puede hacerlo?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 9
E) 27
20
68. La probabilidad de que el maestro Chang le gane una partida de ajedrez al maestro
1
Zukov, es
. Si estos maestros del ajedrez deciden jugar 3 partidas, ¿cuál es la
3
probabilidad de que el maestro Chang gane al menos una de ellas?
A)
B)
C)
D)
E)
1
9
2
3
19
27
8
9
8
27
69. La probabilidad de que un jugador acierte en su primera apuesta es 0,6. Si hace dos
apuestas, la probabilidad de que acierte en ambas es 0,1, entonces ¿cuál es la
probabilidad de que acierte en la primera y de que no acierte en la segunda?
A)
B)
C)
D)
E)
0,
0,
0,
0,
0,
2
3
4
5
6
70. El equipo de básquetbol de San Antonio tiene un promedio (media aritmética) de x
puntos por partido en n partidos. Si en el siguiente partido, el equipo marca p puntos,
entonces la nueva media aritmética será igual a
A)
B)
C)
D)
E)
nx + p
n+1
p
x+
n+1
p
x+
n
n(x + p)
n+ 1
x + np
n+1
21
71. Considerando los dos siguientes conjuntos de datos:
Conjunto A: 8, 10, 11, 12, 12, 14, 17, 21, 23, 25.
Conjunto B: 10, 12, 12, 13, 13, 14, 17, 18, 20, 24.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
El rango del conjunto A es menor que el rango del conjunto B.
La mediana del conjunto A, es menor que la del conjunto B.
La media aritmética en ambos conjuntos de datos es la misma.
I
II
III
I y II
I y III
72. Dado el siguiente gráfico (fig. 15), con las notas obtenidas por un curso en la prueba de
matemática
Nº de alumnos
16
14
12
10
8
6
4
2
fig. 15
2
3
4
5
6
7
Notas
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La nota 4 fue obtenida por un 40% más de alumnos que la nota 3.
El Nº de alumnos que obtuvo nota 7 corresponde al 50% de los que
obtuvieron nota 2.
El Nº de alumnos que obtuvo nota 6 corresponde al 300% de los alumnos
que obtuvieron nota 7.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
22
73. A es un conjunto formado por diez números distintos. Si a cada elemento de A se le
resta 20, entonces estos diez números pasan a ser los elementos del conjunto B. Si x (A)
es la media aritmética de los elementos de A y x (B) es la media aritmética de los
elementos de B, entonces ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
x (A)
x (A)
x (A)
x (A)
x (A)
=
=
=
=
=
x (B)
x (B)
x (B)
x (B)
x (B)
+
+
+
+
10
20
100
200
23
Evaluación de Suficiencia de Datos
Instrucciones Para las Preguntas N° 74 a la N° 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida
si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a
la pregunta.
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
Ejemplo:
P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?
(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.
(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado
más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:
P : Q = 3 : 2, luego
(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde
$ 10.000.000 : Q = 5 : 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el
enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave
D . Cada una por sí sola, (1) ó (2).
24
74. En el gráfico adjunto (fig. 16), se ha trazado la recta L paralela al eje x de las abscisas.
Se puede saber cuál es la ecuación de la recta L, si:
y
(1) Pasa por el punto (-3, -2).
fig. 16
(2) Corta al eje y en el punto (0, -2).
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
75. En el sistema
ax + ay = -4
2ax + y = -1
x
L
, se puede determinar el valor de x si se sabe que:
(1) a – 2 = 0
(2) a2 – 4 = 0
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
76. El 75% de los comensales de cierto banquete, ordenó postre. Si se escoge un comensal
al azar, se puede determinar la probabilidad de que éste haya ordenado café, si:
(1) El 60% de los que ordenaron postre, también ordenaron café.
(2) El 90% de los que ordenaron café, también ordenaron postre.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
77. Se puede saber cuál es el valor de a2 – b2, si:
(1) a – b = b + 2
(2) a – b = (a + b)-1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
25
78. Sabiendo que n es un entero positivo, se puede determinar que
sabe que:
n es un entero si se
(1) n es el cuadrado de un número entero.
(2) n es el cuadrado de un número entero.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
79. Dada la siguiente lista de números: 3, k, 2, 8, m, 3, se puede determinar la mediana de
esta lista si se sabe que:
(1) k y m son enteros y k  m.
(2) La media aritmética de la lista es 4.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
80. En el triángulo ABC (fig. 17), se puede determinar la longitud de AC si se sabe que:
(1)  = 40º
C
(2) BD = 8 cm
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
2
A
26
fig. 17
2

D
B
CLAVES ENSAYO N° 4
Asignatura
: MATEMÁTICA
Nº Preguntas
: 80
Fórmula
:
B · 7,2 + 274
1.
C
11.
D
21.
D
31.
B
41.
A
51.
D
61.
C
71.
A
2.
B
12.
C
22.
D
32.
E
42.
A
52.
A
62.
B
72.
B
3.
B
13.
B
23.
E
33.
E
43.
D
53.
B
63.
A
73.
C
4.
C
14.
E
24.
C
34.
A
44.
C
54.
E
64.
E
74.
D
5.
D
15.
D
25.
B
35.
A
45.
A
55.
D
65.
A
75.
A
6.
A
16.
A
26.
A
36.
E
46.
C
56.
A
66.
E
76.
C
7.
D
17.
D
27.
B
37.
A
47.
A
57.
C
67.
C
77.
B
8.
A
18.
C
28.
A
38.
B
48.
D
58.
C
68.
C
78.
D
9.
B
19.
E
29.
E
39.
A
49.
B
59.
E
69.
D
79.
C
10.
E
20.
B
30.
D
40.
E
50.
D
60.
B
70.
A
80.
B
Curso: Matemática
SOLUCIONARIO
ENSAYO N° 4
MATEMÁTICA
1. La alternativa correcta es C
Al sumar numeradores y denominadores queda:
15
1
=
30
2
2. La alternativa correcta es B
Al transformar, usando propiedades de Potencia queda:
1 1
1

=
= 0,05
4 5
20
3. La alternativa correcta es B
1
1
3 
3 
1
3  1
Desarrollando desde la parte más inferior: 3 –
Al final nos queda:
1
2
3 
5
=
1
1
5
1
2
= , luego
queda 3 –
=
5
3  1
2
2
5
2
1
5
=
13
13
5
4. La alternativa correcta es C
N = 0,345555555……..
I)
II)
III)
Truncado a la decima es 0,3 y redondeado a la decima es 0,3 correcta.
Truncado a la centésima es 0,34 y redondeado a al centésima es 0,35
correcta.
Truncado a la milésima es 0,345 y redondeado a la milésima es 0,346
Falsa.
1
5. La alternativa correcta es D
Planteando, la ecuación es: x –
x
4x
= 220 de donde
= 220 y x = 275
5
5
6. La alternativa correcta es A
2E3 equivale a 2 · 103 y 3E2 equivale a 3 · 102 su producto es 6 · 105 que equivale a
6E5.
7. La alternativa correcta es D
Arenas elige redondear a la decima: 3,97 = 4,0 aprobó.
Mardones trunca a la decima: 3,9 no aprueba.
Zúñiga escribe con 2 cifras significativas que es equivalente a redondear a la decima,
aprueba.
8. La alternativa correcta es A
I)
3
-1 = -1
II)
3
0,8 =
3
y
8
=
10
-1
 9 
0,09-1 = 

 100 
3
3
8
=
10
2
3
=
10
 100 
 9  = 3


luego no es irracional.
es irracional.
10
2 =  es irracional.
III)
9. La alternativa correcta es B
El proceso más rápido es entrar el número a la raíz y queda:
A)
64
B)
81
C)
50
D)
75
E)
42  5 =
80
125
10. La alternativa correcta es E
Reemplazando o sacando el M.C.M. que es 8, todos quedan como enteros con 8x.
2
11. La alternativa correcta es D
Los dejaremos expresados en raíces:
2 2 =
3=
8
9 (Mayor)
7
20
=
2
20
=
4
5 (Menor)
12. La alternativa correcta es C
Reemplazar n =
1
en cada una para que salga una raíz exacta. Luego verifique cual es
4
verdadera.
13. La alternativa correcta es B
I)
II)
III)
No siempre sirve que m > 0. Falsa.
m
< 1 de los datos. Verdadera
Se puede deducir que:
n
Pruebe con m = 0 y n = 1 cumple con las condiciones dadas en el
enunciado
Pero no en esta opción pues 02 + 12 no es mayor que 1. Falsa
14. La alternativa correcta es E
Por propiedad: log (a2 – 1) = log[(a + 1) · (a – 1)] = log(a + 1) + log(a – 1)
15. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
Truncado a la milésima es 2,645 es equivalente a aproximar por defecto
(no se sube, se toma el menor). Verdadero
Redondeado a la milésima es 2, 646, que es aproximar por exceso (se sube
pues el numero que sigue es mayor que 5). Verdadero
Escribir con cifras significativas es aproximar por redondeo. Falso
16. La alternativa correcta es A
Por propiedad de Potencia, se mantiene la base y se suman los exponentes.
0,16
(256)
0,09
 (256)
0,25
= (256)
1
2 4
= (16 )
= (16)
3
1
2
= 16 = 4
17. La alternativa correcta es D
Si a2 = ab entonces a2 – ab = 0 luego a · (a – b) = 0 de donde a = 0 ó a = b
I)
II)
III)
Verdadero
Falsa
a = 0 Verdadero
18. La alternativa correcta es C
Candidato A: 18.000 +
1
(18.000) =18.000 + 6.000 = 24.000 votos.
3
1
(24.000) = 24.000 – 6.000 = 18.000 votos.
4
Candidato C: 24.000 votos.
Candidato B: 24.000 -
19. La alternativa correcta es E
3

Como x  4, entonces 1 +  = 0 de donde x = -3 y x2 = (-3)2 = 9
x

20. La alternativa correcta es B
p-1  q-1
p-3  q-3
1 1
1

p 3 q3
p2q2
p q
pq
=
=
=
=
1
1
q3  p3
p q (q3  p3 )
q3  p3

p3
q3
p3q3
21. La alternativa correcta es D
Basta despejar m en la primera ecuación m =
Reemplazando nos da:
3
2
y n en la segunda n = 12
3 + 12
15
30
=
=
3
11
11
+4
2
2
22. La alternativa correcta es D
Sumando el sistema queda: 2x = a + b y restándolos 2y = a – b, luego se multiplican.
4
23. La alternativa correcta es E
1
= t + 1 de donde 1 = t2 – 1, luego t2 = 2  t =  2
t  1
24. La alternativa correcta es C
Como nos indica la formula dada: 2x2 – x = 3 ordenando 2x2 – x – 3 = 0
3
Factorizando (2x – 3) · (x + 1) = 0
x=
ó x = -1
2
I)
II)
Verdadera.
Verdadera.
III)
La suma es
1
Falsa.
2
25. La alternativa correcta es B
Nos dicen: x + y = 10 y x · y = 20 nos piden:
1
1
x+y
10
1
+
=
=
=
x
y
xy
20
2
26. La alternativa correcta es A
1
2
C) -2
1
D)
2
E) -1
B)
la hace Falsa.
la hace Falsa.
la hace Falsa.
la hace Falsa
27. La alternativa correcta es B
Resolviendo: 2x – 3 > 7 – x
3x > 10
 x>
10
3
28. La alternativa correcta es A
6
3
6x + 1
=
nos piden que 6x + 1 > 7 – 4x, es decir, 10x > 6, x >
10
5
7  4x
Que es su valor mínimo y su máximo lo dice el enunciado(x ≤ 2)
La fracción es:
5
29. La alternativa correcta es E
9 · 92x + 3 = 27x – 3, luego igualando bases: 32 · 32(2x + 3) = 33(x – 3) de donde
34x + 8 = 33x – 9  3x = 3-17
30. La alternativa correcta es D
La función f(x) duplica el número y la función g(x) lo divide por 2.
x
x
=x x=6
f(g(x)) = f   = 2 ·
2
2
31. La alternativa correcta es B
Analizando la 1° columna con la 2° podemos deducir la formula: 10t 2 = d
Luego basta reemplazar el valor 2,5 en t.
32. La alternativa correcta es E
f(x + a) = 5(x + a)2 – 2(x + a) – 1 = 5x2 + 10xa +5 a2 – 2x – 2a – 1
f(x) = 5x2 – 2x – 1
Al restarlas nos da: 10xa + 5a2 – 2a y factorizando por a se obtiene lo pedido.
33. La alternativa correcta es E
Para que la intercepte en 1 punto el discriminante debe ser igual a cero.
En la ecuación dada: a = -1, b = b y c = -8 y el discriminante es b2 – 4ac
Reemplazando nos da: b2 – 32 = 0  b = 4 2
34. La alternativa correcta es A
3(2c) + 1
6c + 1
=
2c
2c
 3c + 1 
2·f(c) = 2 · 

c


f(2c) =
Igualando las 2 ecuaciones:
nos queda: 6c + 1 = 12c + 4
6c + 1
6c + 2
=
eliminando la c de los denominadores
2c
c
y luego hay que despejar la letra c.
6
35. La alternativa correcta es A
3x  2
<0
4
2
Luego 3x – 2 < 0 de donde 3x < 2  x <
3
El ejercicio consiste en resolver la inecuación:
36. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
Depende, si la bisectriz es del ángulo distinto o de los iguales.
Verdadera, por L.L.L.
Verdadera, por L.A.L.
37. La alternativa correcta es A
(- 2, 5)
(1, - 1)
Se aplicó (3, -6)
38. La alternativa correcta es B
Dibuje en un sistema de coordenadas.
I)
II)
III)
Si puede ser.
No puede ser(dibújalo)
Si puede ser (independiente de la I)
39. La alternativa correcta es A
I)
II)
III)
Al multiplicar por un escalar, se mantiene la dirección (verdadero).
Al multiplicar por un número negativo cambia el sentido (falso).
El modulo es el valor absoluto, entonces es mayor (falso).
40. La alternativa correcta es E
Debemos calcular las pendientes entre AB y BC y deben ser iguales, es decir:
-1
igualando x = -2 luego este valor se debe reemplazar en la
mAB = -1 y mBC =
x+3
ecuación dada.
7
41. La alternativa correcta es A
I)
II)
III)
Tienen todos sus ángulos iguales y 2 lados correspondientes proporcionales.
No sigue el orden en cuanto a los ángulos.
No tienen sus ángulos iguales.
42. La alternativa correcta es A
I)
II)
III)
Por tener 2 lados proporcionales y el ángulo entre ellos congruente.
No se puede saber la proporción entre los triángulos.
No se puede deducir con los datos dados.
43. La alternativa correcta es D
3k
P
2k
R
S
9k
3k
4
4
Q
3k
4
PR = 2k y PQ = 5k de donde RQ = 3k
PR
2k
8k
8
Luego
=
=
=
3k
SQ
3k
3
4
y RS : RQ = 3 : 4
44. La alternativa correcta es C
C
Colocaremos a cada segmento de la base del triangulo x y a la
primera altura z.
Luego aplicamos el Teorema de Thales:
10
x
8x
=
z
10

z=
5
4
A
y así sucesivamente quedará:
5
10
15
20
25
30
35
140
+
+
+
+
+
+
=
= 35
4
4
4
4
4
4
4
4
8
B
45. La alternativa correcta es A
El △EBD tiene ángulos: 90°, , . El AEF tendrá ángulos: 90°, , .
Luego AFE  DFO   y FDO  , entonces el FDO es isósceles.
I)
II)
III)
C
D
Verdadera.
Falsa, solo se cumple cuando ABD = 45°
•O
F
Falsa, igual a la anterior.
E
A
B
46. La alternativa correcta es C
El triangulo AOB es isósceles de base AB, luego:
 – 35 +  – 35 +  – 50 = 180°
B
A
 – 35°
 – 35°
 – 50°
De donde 3 – 120° = 180°
luego  = 100°
O
47. La alternativa correcta es A
Usando Teorema de Thales:
n
=
m
n
x
=
Y también
m
2
x
= 2
anteriores:
2
6m2 = 3n2 
m
3n
=
de donde
n
6m
L1
m
2
3n
L2
2
igualando las 2 ecuaciones
x
6m
n
L3
48. La alternativa correcta es D
En el △ABC los trazos CM y BN son Transversales de gravedad, luego al
Interceptarse lo hacen en razón 2 : 1. Aplicando Thales en el CMB.
2y
x+4
Simplificando y despejando la x  x = 14
=
y
x  5
C
x+4
N
2y
D
E
y
A
9
M
x–5
B
49. La alternativa correcta es B
R
Usando el Teorema de las Cuerdas, y denominando al
trazo OP = x = PQ
O
P
A
RP · PQ = AP · PB, entonces: 3x · x = 12 · 9  x2 = 36
B
Q
50. La alternativa correcta es D
Designemos AP = a = PB, usando Teorema de la tangente
con la cuerda.
(AP)2 = AC · AD y (PB) 2 = BC · BE, a demás CE = x
Obtendremos 2 ecuaciones: a2 = 4 · (4 + 5) y a2 = 3 · (3 + x)
Igualando nos queda 36 = 9 + 3x  x = 9
4
A
C
x
5
E
D
3
a
P
a
B
51. La alternativa correcta es D
Tenemos que encontrar la recta que pasa por los 2 puntos dados.
12 + 6
18
=
= 3 y tomando el punto (0,-6), y + 6 = 3(x – 0)  y = 3x – 6
m=
6  0
6
I)
II)
III)
(-1,-4) no pertenece a dicha ecuación.
(3,3) pertenece a la ecuación.
(-3,-8) no pertenece a la ecuación.
52. La alternativa correcta es A
Hay que formar un sistema de Ecuaciones:
2x + 3y = 6
4x – 3y = 6
Basta sumarlas y quedara: 6x = 12  x = 2 la otra incógnita se obtiene por reemplazo.
53. La alternativa correcta es B
y
La distancia más corta es la línea recta, es decir hay que
buscar el punto simétrico de (-2,-2) con respecto a la
recta L y que pasa por el (1,1).
2
-2
2
A
10
-2
x
L
54. La alternativa correcta es E
Una Homotecia de razón -1 deja la figura del mismo tamaño pero rotada en 180°, es
decir una Simetría Central.
55. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
Verdadera, haga un ejemplo con 2 lápices y un cuaderno.
Falsa, pueden estar en distinta dirección.
Verdadera, es un axioma matemático.
56. La alternativa correcta es A
Usando la base del cubo, con lados 2 y 1 la diagonal
mide
5 en forma similar aplicando Teorema de
Pitágoras con lado 1 y
5 nos da
6.
A
6
1
B
2
5
57. La alternativa correcta es C
3
El área total es la suma de las áreas de las 5 caras de la figura.
Caras laterales: 30 + 30 = 60 (triángulos) Cara posterior: 15
Base inferior: 36
Base superior: 39
5
13
12
58. La alternativa correcta es C
y
Primero que nada se forman 2 cilindros.
x
Designemos al lado del cuadrado chico: x
Aplicando Thales:
3
9  x
=
 x = 4.
6
6+x
9
6
{9 – x}
El volumen del cilindro es  · r2 · h y uno es de radio y altura 6 y el otro 4.
11
x
59. La alternativa correcta es E
Una forma de obtener la ecuación vectorial dados 2 puntos es: Conservar un punto y
multiplicar por un escalar la resta de ellos, y es lo que se hizo en la alternativa correcta.
60. La alternativa correcta es B
I)
II)
III)
Si la varianza es cero, todos los datos son iguales y la varianza es el
cuadrado de la desviación estándar. Verdadera
Falso, pues todos los datos son iguales y su suma no siempre es 0.
El rango es la diferencia entre el dato mayor y el menor y es 0 pues todos
los números son iguales, Verdadera.
61. La alternativa correcta es C
Como hay un vaso fijo, los demás se pueden permutar: 4! (4 factorial)
62. La alternativa correcta es B
Se pueden dar 3 casos: ccs , csc , scc

P=
1
3
63. La alternativa correcta es A
Los casos posibles son 6 · 6 = 36
Casos Favorables: (1,2) (2,1) (1,3) (3,1) (1,5) (5,1) = 6 casos
6
Probabilidad =
36
64. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
2
9
=
11
11
2L
9L
=
Verdadera, pues: L –
11
11
Verdadera, pues la Probabilidad es teórica y basta multiplicar, la cantidad
de ladrillos por las probabilidades.
Verdadera, pues:
1 
12
65. La alternativa correcta es A
En las 6 caras cuadradas, de Probabilidad 2x  total 12x
Luego en las 8 triangulares de Probabilidad x  total 8x
8x
8
2
=
=
P(triangular) =
20x
20
5
66. La alternativa correcta es E
1ª sea Roja y 2ª sea Blanca

R
R+B

·
B
R+B  1
67. La alternativa correcta es C
Como tienen que ser de distinto color, se pueden dar solo los siguientes casos:
Perro: 3 colores
Gato: 2 colores
Conejo: 1 color
Total: 3 · 2 · 1
68. La alternativa correcta es C
Calcularemos que no gane ninguna partida el maestro Chang o sea que gane el maestro
Zulov las 3 partidas.
2 2 2
8
8


=
y como nos piden lo contrario, seria: 1 –
.
3 3 3
27
27
69. La alternativa correcta es D
1
10
1
de donde x =
6
P(primera) ·P(segunda) = 0,1 =
6
10
· x =
1
10
Entonces, P(acierte en la 1°) y
P(no acierte en la 2°)

6
10

5
6
·
13
=
1
2
70. La alternativa correcta es A
suma
= x luego la suma es xn
n
Si convierte p puntos más en 1 partido, la suma será: xn + p y el total de partidos será
n + 1.
Promedio original =
71. La alternativa correcta es A
I)
II)
III)
El rango de A es 17 y el de B es 14 Falso.
La mediana de A es 13 y la de B es 13,5 Verdadero.
La media aritmética en ambas es 15,3 Verdadero.
72. La alternativa correcta es B
I)
II)
III)
Nota 4: 16 alumnos. Nota 3: 12 alumnos. No es el 40%. Falso
Nota 7: 2 alumnos. Nota 2: 4 alumnos. Es el 50%. Verdadera
Nota 6: 8 alumnos. Nota 7: 2 alumnos. Es el 400%. Falso
73. La alternativa correcta es C
A
de donde  A = x(A)  10
10
Si a cada uno de los 10 se le restan 20 se resta en total: 200
200
A
x(B) =

10
10
Luego x(B) = x(A)  20
x(A) =
74. La alternativa correcta es D
(1) Si pasa por el punto (-3,-2) la recta es y = -2.
(2) Igualmente si corta al eje en (0,-2) la recta es y = -2.
Cada una por sí sola, da la respuesta.
75. La alternativa correcta es A
(1) Si a = 2, se resuelve como Sistema de Ecuaciones.
(2) No sirve, pues tiene 2 soluciones: a = ±2.
14
76. La alternativa correcta es C
Usando ambos datos, se puede deducir lo siguiente:
Café
Postre
Total
45%
X
30%
75%
Café
Postre
Luego
45%
3
· 75% = 45% de donde
5
9x
45
=
10
100
x=
Trasladándolo a un grafico:
P
30%
C
5%
45%
Observación: El 20% no toma ninguno de los dos.
77. La alternativa correcta es B
(1) a = 2b + 2 no sirve
1
de donde (a + b) · (a – b) = 1
(2) a – b =
a+b
Solo la (2) sirve.
78. La alternativa correcta es D
(1) Tiene raíz cuadrada exacta.
(2) n = n2 como n es un n° entero, también sirve.
La solución es cada una.
15
1
2
79. La alternativa correcta es C
(1) k  m
16 + k + m
(2)
= 4, luego k + m = 8
6
Si vemos todas las combinaciones que dan 8, siempre la mediana es 3, excepto 4 + 4.
Por ello la alternativa correcta es ambas juntas.
80. La alternativa correcta es B
(1)  = 40° no da mayor información.
(2) Si BD = 8, también CD = 8 (propiedad de la suma de 2 ángulos interiores es igual al
exterior no adyacente) y con ello sabremos AC pues el △ADC es isósceles.
La solución es (2) por sí sola.
16
C u r s o : Matemática
ENSAYO N° 5
MATEMÁTICA
PSU
MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1.
Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para
responderla.
2.
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
3.
Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
4.
Antes de responder las preguntas N° 74 a la N° 80 de esta prueba lea atentamente las
instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 73.
ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que

es congruente con

es mayor que

es semejante con

es menor o igual a

es perpendicular a

es mayor o igual a

es distinto de
ángulo recto

es paralelo a
ángulo
log logaritmo en base 10

conjunto vacío
[x] función parte entera de x
u
vector u
AB
trazo AB

pertenece a
x
valor absoluto de x
n!
factorial de n
AC
3
complemento del conjunto A
1. 5 – 3[6 – (-2)] : 4 =
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que
A)
B)
C)
D)
E)
3.
22
32
A)
B)
C)
D)
E)
4
?
5
5
14
5
10
5
7
16
20
9
11

33
2

32
22
=
23
8
27
2
87
8
135
8
153
8
4. El número 5,15 redondeado a la décima es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
5,2
5,25
5,16
5,15
5,1
4
5. El sueldo mensual del profesor González es de $ 720.000. Si se sabe que este profesor
todos los meses ahorra la vigésima parte de su sueldo, y que en 3 meses ha ahorrado
$ P, ¿cuál es el valor de P?
A) 36.000
B) 48.000
C) 72.000
D) 108.000
E) 162.000
6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto al número
N = 2  10-1 + 8  10-2 + 4  10-3 + 1  10-4?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
7. Si t =
A)
B)
C)
D)
E)
N redondeado a la décima es igual a 3  10-1.
N truncado a la centésima es igual a 2  10-1 + 8  10-2.
N redondeado a la milésima es igual a 2  10-1 + 8  10-2 + 5  10-3.
I
II
I y II
I y III
II y III
1
, ¿cuál de los siguientes números decimales es igual a t2?
40
0,050
0,625
0,0050
0,0000625
0,000625
8. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) real(es)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3  2 3
-0,45 + 0,5
22  (-3)3
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
5
9. Si t + 12 = 0, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
(t + 10)t  0
t  10
0
-2
t
t
0

3
4
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
10. Lo que cobra y lo que gasta diariamente un gasfíter suman $ 18.000. Si lo que gasta
equivale a las dos terceras partes de lo que cobra, ¿en cuánto dinero diario tiene que
disminuir el gasto para que éste sea igual a los tres quintos de lo que cobra inicialmente?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
450
480
600
720
960
11. Si A = 0,125, B =
A)
B)
C)
D)
E)
C
B
A
B
C





A
A
C
C
B





3
0,125 y C = 0,1252, entonces el orden de menor a mayor es
B
C
B
A
A
12. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Si el número 4,1504 se escribe con dos cifras significativas, entonces queda
aproximado por exceso.
Si el número 0,61001 se escribe con tres cifras significativas, entonces
queda aproximado por defecto.
Si el número 0,785 se escribe con dos cifras significativas, queda expresado
como 0,8.
I
II
III
I y II
II y III
6
13. Si a =
1
a2  a3
, entonces
=
a
10
A) -1
B) 0
C) 0,1
D) 0,09
E) 0,009
14. El conjunto solución de la inecuación log(x – 5)  0 es
A)
B)
C)
D)
E)
]-, 5[
]0, +[
[1, +[
]5, +[
]6, +[
15. ¿Cuál de los siguientes números no es irracional?
A)
0,2
B)
0,3
C)
0,4
D)
0,5
E)
0,6
16. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto al número
5 = 2,23606797...?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Si se redondea a la quinta cifra decimal, el resultado es un número racional.
Si se divide por 2, el resultado es un número irracional.
Si se eleva al cuadrado, el resultado es un número racional.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
7
17. En el triángulo ABC (fig. 1), AB = 12 ab, BC = 9b2 y AC = 4a2. ¿Cuál de las siguientes
expresiones representa el perímetro del triángulo ABC?
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 1
2
(2a – 3b)
(2a + 3b)2
(3a – 2b)2
(3a + 2b)2
(2a2 + 3b2)2
A
B
18. Si un feriante vende todas las manzanas que tiene en su local a $ 300 el kg ganará
$ 4.000, sin embargo, si vende todas las manzanas a $ 500 el kg ganará $ 12.000.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El feriante tiene para vender 40 kg de manzanas.
El precio de costo del kg de manzanas fue de $ 200.
Si vendiese a $ 400 el kg, ganará el doble de lo que gastó.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
19. ¿Cuál es el valor de x – yx – y cuando x = 2 e y = -2?
A) -18
B) -14
C) 14
D) 18
E) 256
20. Al dividir (ab2 + ab + c) por
b
se obtiene
2
A) 2(ab + b + c)
c

B) 2  ab + b + 
b

c

C) 2  ab + a + 
b

ab + b + c
D)
2
ab + b + c
E)
b+2
8
21. Si
A)
B)
C)
D)
E)
x+y+z
x+y
= 15 y
= 5, entonces z =
4
3
15
20
35
45
60
22. Si a + b = 10 y a – b = 5, ¿cuál es el valor de 2a2 – 2b2?
A)
B)
C)
D)
E)
50
100
150
200
250
23. Si  y  son las raíces (soluciones) de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, entonces
1
1
=
+
2

2
A) b – 4ac
B)
C)
b2  4ac
c2
b2  2ac
c2
D)
b2  4ac
2a
E)
b2  2ac
2a
24. ¿Cuál es el valor de A – B si se sabe que la diferencia de los cuadrados de A y B,
respectivamente, es igual a la suma de A y B?
A)
B)
C)
D)
E)
2
1
0,1
0,5
No se puede determinar
9
25. La suma de dos números es 21, y la diferencia positiva de sus cuadrados es 63. ¿Cuáles
son estos números?
A) 6 y 15
B) 14 y 7
C) 8 y 13
D) 10 y 11
E) 9 y 12
26. Sean a y b números reales tales que a  5b2 – 5. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a
< b2 – 5
5
a
- > 1 – b2
5
a
b2  1
<
10
2
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
27. ¿Cuáles son todos los valores de x que satisfacen simultáneamente las inecuaciones
2x + 7  15 y 23 – 8x  5 + x?
A)
B)
C)
D)
E)
[2,4[
]-, 2]
[2,4]
[-2, 4[
]-, 4[  [2, +[
28. ¿Cuál de las siguientes condiciones se debe cumplir para que siempre x tome un valor
positivo en la ecuación 10x + a = b?
A) b 
B) b 
a
C)
10
D) a 
E) a 
a
10

b
10
0
0 y b0
10
29. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 0,51 – x = 4?
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
2
3
4
30. Si f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
x
x
x
x
x
1
x
y f[f(x)] = f(x) esto se cumple si
vale 1.
vale -1
vale 1 ó -1.
toma cualquier valor real.
toma cualquier valor real distinto de cero.
31. ¿Cuál(es) de los siguientes nombres corresponde(n) a la función real definida por
f(x) – 5 = 3x?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Función afín.
Función lineal.
Función constante.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
32. Si h(x) = x2 – 2x + 1, entonces h(x + 1) =
A) -x2
B) x2
C) x2 + 2
D) x2 – 4x
E) x2 + 4x
11
33. Si f(x) =
3x  2
cuando x  0, ¿para qué valores de x se cumple que f(x)  0?
4
A) 0  x  2
B) 0  x  3
C) -2  x  4
2
D) -2  x 
3
2
E) 0  x 
3
34. Si f(x) = x2 + bx + c y f(-3) = 0 y f(1) = 0, entonces
b
=
2
A) 5
B) 1
C) 0
D) -1
E) -5
35. El dominio de la función f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
x
x
es el conjunto de
todos los reales.
todos los reales positivos.
todos los reales no negativos.
todos los reales excepto el cero.
ninguna de las anteriores.
36. Para llegar desde una esquina a la esquina opuesta de una plaza rectangular, un niño en
vez de caminar por el contorno de la plaza, lo hace por la diagonal de ésta,
economizando así una distancia equivalente al 50% del lado mayor. ¿En qué razón están
respectivamente, el ancho y el lado mayor?
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
2
3
2
:
:
:
:
:
2
4
3
4
5
12
37. El punto (3,6) se trasladó según un vector v, quedando ubicado en el punto (-2,-3). Si el
punto (4,7) se traslada según el vector v, entonces dicho punto quedara ubicado en
A)
B)
C)
D)
E)
el
el
el
el
el
primer cuadrante.
segundo cuadrante.
tercer cuadrante.
cuarto cuadrante.
eje de las abscisas.
38. Si el perímetro de un triángulo isósceles rectángulo es 2x, entonces su área en términos
de x es igual a
A) (2 +
2 )x2
B) (2 –
2 )x2
C) (3 – 2 2 )x2
D) (2 2 – 1)x2
E) (3 + 2 2 )x2
39. Sean u y v dos vectores tales que u + v = (1,8). Si
A)
B)
C)
D)
E)
1
u = (2,3), entonces v =
3
(1, 5)
(-1, 5)
(-5, 1)
(5, -1)
(-5, -1)
40. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El rombo tiene ejes de simetría y centro de simetría.
El romboide tiene centro de simetría, pero no tiene ejes de simetría.
El trapecio isósceles tiene eje de simetría, pero no tiene centro de simetría.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Ninguna de ellas
13
41. Si en el triángulo ABC de la figura 2, DBEF es un rectángulo, AC = 13, AB = 12 y
AD = m. Entonces, el perímetro del rectángulo en términos de m es igual a
A) 12 m
5 + 12m
B)
2
5m
6
C)
+
6
5
5m
D)
+3
6
144  7m
E)
6
C
F
A
D
B
42. En el ABC de la figura 3 se tiene: DAB = ABD = CBD = 
AC = AD, entonces  mide
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 2
E
y
ACB = 5 con
C
5
14°
15°
16°
18°
20°
fig. 3
D



A
43. Dos triángulos ABC y PQR son tales que:
B
AC  AB , ABC + ACB = 120º y
PQR = QPR = 60º. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
Los triángulos son equivalentes.
Los triángulos son semejantes.
Los triángulos tienen igual perímetro.
Todas las anteriores.
Ninguna de las anteriores.
44. En la circunferencia de centro O (fig. 4), la tangente PQ es
4
de OS. Si OS es radio de
3
longitud , entonces SP en términos de  es igual a
A) 

B)
2

C)
3
2
D)
3
3
E)
4
Q
O
14
S
fig. 4
P
45. El triángulo y el trapecio de la figura 5, tienen igual área e igual altura (h). Si la base del
triángulo mide 18 cm como se indica, ¿cuánto mide la mediana MN ?
A)
B)
C)
D)
E)
6 cm
8 cm
9 cm
No se puede determinar
Ninguna de las anteriores
N
18 cm
fig. 5
46. En la circunferencia de centro O (fig. 6), AOB = 2  BOC
y BDC = 20º. ¿Cuánto
mide el ángulo BAO?
A)
B)
C)
D)
E)
h
M
h
D
50º
40º
20º
60º
80º
O
fig. 6
C
B
A
47. El perímetro de la circunferencia de centro O y diámetro AB (fig. 7) es igual a 10 y
BC = 6, ¿cuánto mide OD ?
A)
B)
C)
D)
E)
1,
2,
3,
3,
3,
D
5
5
6
75
8
C
fig. 7
A
O
B
48. En el triángulo ABC (fig. 8) CD  AB y GF // AB . Si el trapecio ABFG tiene igual área
que el triángulo GFC y CD = 1, entonces ED =
1
2
1
B)
4
C) 2 –
C
A)
fig. 8
2
G
2  2
D)
2
2+ 2
E)
8
A
15
E
D
F
B
49. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la recta que pasa por el punto (5,2) y es
paralela a la recta de ecuación 4x – 2y + 3 = 0?
A)
B)
C)
D)
y
y
y
y
=
=
=
=
2x – 8
2x + 2
-2x – 2
2x + 8
1
9
E) y = - x +
2
2
50. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la simetral del trazo que
5
7


puntos  2,  y  0,  ?
2
2



A)
B)
C)
D)
E)
une los
2x + y – 1 = 0
x + 2y + 5 = 0
2x – y + 1 = 0
x + 2y – 7 = 0
2x + y + 1 = 0
51. En el plano cartesiano, la base de un triángulo isósceles se ubica en el eje x. La suma de
las pendientes de los tres lados de este triángulo es igual a
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2 3
E) no se puede determinar.
52. Si el punto P(-3,5) se refleja en la recta de ecuación y = -5, entonces ¿cuáles son las
coordenadas de la reflexión del punto P?
A)
B)
C)
D)
E)
(-3, -15)
(-3, -10)
(3, -10)
(-3, -5)
(-7, -5)
16
53. En una circunferencia de diámetro AB, se tiene que A(-2, 1) y B(6, -3). ¿Cuál es la
ecuación de la recta que pasa por el origen y por el centro de la circunferencia?
A)
B)
C)
D)
E)
x – 2y = 0
x + 2y = 0
2x – y = 0
2x + y = 0
3x – 2y = 0
54. El punto A(2, -4) se rota en torno al origen en 90º y en sentido antihorario, obteniéndose
el punto B. Si el punto B se refleja con respecto al eje x, se obtiene el punto C, entonces
la distancia entre A y C es igual a
A) 2
B) 2
C)
3
D) 2 2
E) 2 3
55. En un cubo se dice que dos aristas son opuestas si no están en una misma cara de él. El
número de aristas opuestas a una arista dada es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
3
4
5
6
8
56. En la figura 9, corresponde a una semiesfera de radio 2 cm. ¿Cuál es el área total de
este cuerpo geométrico?
A)
B)
C)
D)
E)
12  cm2
16  cm2
20  cm2
24  cm2
28  cm2
fig. 9
O
17
r
57. Si el cuadrado OPQR de lado a , se hace girar indefinidamente en torno al lado OR, da
origen al cuerpo geométrico de la figura 10. ¿Cuál de las siguientes expresiones
representa el volumen de este cuerpo geométrico?
A) a2
B) a3
C)
3
3
fig. 10
P
O
a2 
58. La ecuación vectorial de la recta en lR,
A)
B)
C)
D)
E)
Q
a
a3 
D)
E)
R
v(t)
v(t)
v(t)
v(t)
v(t)
=
=
=
=
=
x+1
y  2
z  3
corresponde a
=
=
5
-3
2
(1 + 5t, -2 + 3t, 2t + 3)
(1 – 5t, 2 + 3t, 3 + 2t)
(-1 + 5t, 2 – 3t, 3 + 2t)
(-1 – 5t, 2 + 3t, 3 – 2t)
(-1 + 5t, 2 – 3t, 3 – 2t)
59. Para la variable, número de mascotas por hogar, se obtuvo la distribución que se
muestra en la siguiente tabla. ¿A cuánto es igual la suma del primer cuartil con el
tercero?
A)
B)
C)
D)
E)
3
4
5
6
7
Número de mascotas
por hogar
Frecuencia
Frecuencia
acumulada
0
1
2
3
4
5
28
20
30
54
38
30
28
48
78
132
170
200
60. ¿Con cuál de los siguientes estadígrafos no es posible cuantificar la dispersión en un
conjunto de datos?
A)
B)
C)
D)
E)
Rango
Mediana
Varianza
Desviación media
Desviación estándar
18
61. De un asilo de ancianos se escogió a 8 personas cuyas edades son: 71, 72, 74, 75, 77,
78, 81 y 82 años. Al respecto, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La mediana es 76 años.
La moda es 82 años.
El 75% de los ancianos tiene más de 80 años.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
62. La cantidad de camisas vendidas en una sastrería en seis días de la semana pasada, se
muestra en la tabla adjunta. Si la información se entregase en un gráfico circular,
¿cuánto mediría el ángulo del sector circular representante de las ventas del día martes?
A)
B)
C)
D)
E)
6º
12º
15º
30º
60º
Día
lunes
martes
miér.
jueves
Camisas vendidas
45
30
15
20
viernes sábado
60
10
63. Entre 5 alumnos se entregará una beca a aquel que tenga el mejor promedio de notas
con la menor desviación estándar. Los alumnos y sus respectivas notas son:
Carreño
Molina
Prieto
Quiroz
Uribe
:
:
:
:
:
6,7;
7,0;
7,0;
6,4;
5,9;
6,8;
7,0;
7,0;
6,5;
6,9;
6,7;
6,0;
5,8;
6,9;
7,0;
6,6
6,8
7,0
7,0
7,0
¿Cuál de estos alumnos ganará la beca?
A)
B)
C)
D)
E)
Carreño
Molina
Prieto
Quiroz
Uribe
19
64. Si la desviación estándar de un conjunto de números es igual a 1, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
El rango es igual a 1.
La mediana es igual a 1.
La varianza es igual a 1.
I
III
I y II
I y III
II y III
65. En el experimento aleatorio: “lanzar un dado normal” corresponde(n) a evento(s)
complementario(s):
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Obtener un número par, o bien, obtener un número impar.
Obtener un número primo, o bien, obtener un número compuesto.
Obtener un número menor que 3, o bien, obtener un número mayor que 3.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
66. En 4 casilleros adyacentes de un mueble, se deben colocar 4 libros; 2 de tapa azul y 2 de
tapa roja. Si los libros con tapa de igual color deben quedar juntos, ¿de cuántas maneras
diferentes se pueden colocar los 4 libros?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 32
67. Si se lanzan 4 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos 3 caras?
A)
B)
C)
D)
E)
5
8
5
16
1
2
1
4
1
8
20
68. Al lanzar un dado 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de no obtener un 5?
A)
3
6
3
1
B)  
6
3
1
C)  
5
3
5
D)  
6
E) Ninguna de las anteriores
69. Una bolsa A tiene en su interior 2 bolitas rojas y 5 azules y una bolsa B tiene 5 bolitas
rojas y 2 azules. Si se escoge una de estas bolsas al azar y se extrae de su interior una
bolita, ¿cuál es la probabilidad de que la bolita sea roja y se haya extraído de la bolsa A?
A)
B)
C)
D)
E)
1
7
2
7
1
49
2
49
1
14
70. En una Compañía de Teatro, el 40% de los actores canta, el 35% baila y el 70% de los
que cantan bailan. Si se escoge de esta Compañía un actor al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que no cante ni baile?
A)
B)
C)
D)
E)
0,42
0,47
0,49
0,51
0,53
21
71. En la tabla adyacente se muestran frecuencias de las notas obtenidas por 20 alumnos en
una prueba de matemática no apareciendo la frecuencia de la nota 5.
Nota
Frecuencia
2
3
4
5
6
7
1
2
7
3
2
De acuerdo a esta tabla, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)
si se escoge de este grupo, un alumno al azar?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Es más probable que tenga nota 5, a que tenga nota 6.
Es más probable que tenga nota 4, a que tenga nota 5.
Es más probable que tenga menos de un 5, a que tenga más de un 4.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
72. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s) si se sabe que
A y B son dos eventos mutuamente excluyentes?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
P(A) + P(B) = 1
A  B=
P(A  B) = P(A) + P(B)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
73. En el experimento del lanzamiento de cuatro monedas, la variable aleatoria x toma el
valor 1 si se obtienen cuatro sellos o cuatro caras, x toma el valor -1 si se obtienen
tantos sellos como caras y x toma el valor 0 para el resto de los casos. ¿Cuál es la
probabilidad de x tome el valor 0?
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
2
1
4
5
16
7
16
22
Evaluación de Suficiencia de Datos
Instrucciones Para las Preguntas N° 74 a la N° 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida
si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a
la pregunta.
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
Ejemplo:
P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?
(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.
(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado
más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:
P : Q = 3 : 2, luego
(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde
$ 10.000.000 : Q = 5 : 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el
enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave
D . Cada una por sí sola, (1) ó (2).
23
74. El cuadrilátero ABCD (fig. 11), es un rectángulo de 540 cm2 de área. Se puede
determinar el área del cuadrilátero EBCF si se sabe que:
D
(1) EB = 12 cm
(2) AEFD es un cuadrado.
A)
B)
C)
D)
E)
F
C
fig. 11
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
E
B
75. El radio de la circunferencia de centro O (fig. 12), mide 3 cm y BC es diámetro. Se
puede determinar la medida del ángulo AOC si se sabe que:
C
(1) El arco menor AC mide  cm.
(2) El ángulo OAB mide 30º
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 12
O
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
76. Se cumple que
A
B
a + b
= 0,25, si:
4c
a
= 0,5
c
b
(2)
= 0,5
c
(1)
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
77. Se puede determinar el valor de k en la función real f(x) = 2kx + 1 si se sabe que:
(1) f(3) = 17
(2) La gráfica de f intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,2).
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
24
78. Se puede afirmar que
1
es un número positivo si se sabe que:
a
2
1
(1)   > 0
 a
3
1
(2)   > 0
 a
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
79. El triángulo PQR es rectángulo en P (fig. 13). Se puede determinar el perímetro del
triángulo SQR si se sabe que:
R
(1) SQ = 8 y RSQ = 120º
fig. 13
(2) QRS = SQR
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
P
S
Q
80. Sabiendo que a es un entero, entonces se puede determinar que b es un entero, si:
(1) La media aritmética de a, b y b – 2 es a.
(2) La media aritmética de a y b no es un entero.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
25
CLAVES ENSAYO N° 5
Asignatura
: MATEMÁTICA
Nº Preguntas
: 80
Fórmula
:
B · 7,2 + 274
1.
A
11.
A
21.
D
31.
A
41.
E
51.
B
61.
A
71.
B
2.
E
12.
C
22.
B
32.
B
42.
B
52.
A
62.
E
72.
D
3.
B
13.
D
23.
C
33.
E
43.
B
53.
B
63.
A
73.
B
4.
A
14.
E
24.
E
34.
B
44.
D
54.
D
64.
B
74.
C
5.
D
15.
C
25.
E
35.
B
45.
C
55.
C
65.
A
75.
D
6.
C
16.
E
26.
D
36.
D
46.
A
56.
A
66.
C
76.
C
7.
E
17.
B
27.
A
37.
C
47.
D
57.
D
67.
B
77.
A
8.
D
18.
C
28.
A
38.
C
48.
D
58.
C
68.
D
78.
B
9.
B
19.
B
29.
D
39.
E
49.
A
59.
D
69.
A
79.
C
10.
D
20.
C
30.
C
40.
D
50.
C
60.
B
70.
E
80.
A
Curso: Matemática
SOLUCIONARIO
ENSAYO N° 5
MATEMÁTICA
1. La alternativa correcta es A
Se resuelve primero el paréntesis cuadrado, luego la multiplicación, después la división
(pues es de izquierda a derecha) y al final se realiza la resta.
5 – 3 · [6 + 2] : 4 = 5 – 3 · [8] : 4 = 5 – 24 : 4 = 5 – 6 = -1
2. La alternativa correcta es E
La fracción
4
9
equivale a 0,8 la única mayor es
= 0,818181…
5
11
3. La alternativa correcta es B
Basta simplificar, usando propiedades de Potencias y queda:
33
2
4. La alternativa correcta es A
Al redondear 5,15 a la décima nos da 5,2 (pues el digito que sigue a la décima es el 5
que lo sube a éste en uno, quedando como 5,2)
5. La alternativa correcta es D
La vigésima parte es equivalente a la 20 a la parte de $ 720.000 que es $ 36.000
mensual, luego en 3 meses ahorrara 3 · $ 36.000 que es el valor de P solicitado.
6. La alternativa correcta es C
El numero N = 0,2841
I)
II)
III)
Verdadero, redondeado a la décima es 0,3
Verdadero, truncado a la centésima es 0,28
Falsa, redondeado a la milésima es 0,28
1
7. La alternativa correcta es E
Si t =
2
1 
1
1
entonces t2 =  

40
 4 10 
= (0,25 · 10-1)2 = (0,25)2 · 10-2 = 0,0625 · 10-2
8. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
Falsa,
9  2 3 =
9 
Verdadero, -0,45 + 0,5 =
Verdadero,
4  -27 =
12
no real (raíz cuadrada de un n° negativo)
0,05 real
31 real
9. La alternativa correcta es B
Basta resolver la ecuación, donde t = -12 y reemplazar, recordar que se pregunta
por la(s) FALSA(S).
10. La alternativa correcta es D
Un sistema de ecuaciones sencillo: C + G = 18.000 y G =
2
·C
3
Donde C = lo que cobra y G = lo que gasta
3
5
de donde
· C = 18.000 entonces C = 10.800 y G = 7.200. Los
de lo que cobra
5
3
3
inicialmente es
· 10.800 = 6.480 restado con 7.200 da lo solicitado $ 720.
5
11. La alternativa correcta es A
A=
1
8
B=
1
2
2
1
C=  
8
se puede analizar claramente con estas fracciones el orden
de menor a mayor.
12. La alternativa correcta es C
I)
II)
III)
Verdadero; 4,1504 con 2 C.S. es 4,2 es mayor que el original.
Verdadero; 0,61001 con 3 C.S. es 0,610 menor que el original.
Falso; 0,785 con 2 C.S. es 0,79.
2
13. La alternativa correcta es D
a2  a3
a2
a3
=

= a  a2 reemplazando queda: 0,1 – ( 0,1 )2 = 0,1 – 0,01
a
a
a
14. La alternativa correcta es E
Por definición de logaritmo, queda: (x – 5) > 100 luego x – 5 > 1 de donde x > 6
15. La alternativa correcta es C
El único No irracional es
0,4 =
4
2
que es un número racional.
=
9
3
16. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
Verdadero, redondeado a la 5°cifra decimal es 2,23606 que es racional.
5
se mantiene irracional.
Verdadero, si se divide por 2 queda
2
Verdadero, pues ( 2)2 = 2 que es un numero racional.
17. La alternativa correcta es B
El perímetro solicitado es: 4a2 + 12ab + 9b2 = (2 a + 3 b)2
18. La alternativa correcta es C
Sea x el número de kilos de manzanas solicitado.
La ecuación pedida es: 300x – 4.000 = 500x – 12.000 de donde x = 40.
I)
II)
III)
Verdadero, tiene 40 kg de manzanas para vender.
Verdadero, reemplazando la x por 40 en una de las ecuaciones nos da
$ 200 el costo.
Falsa, si las vendiese a $ 400 (los 40kg) obtendría $ 16.000 y como gastó
$ 8.000, solo gano $ 8.000 que no es el doble de $ 8.000.
3
19. La alternativa correcta es B
Reemplazando con paréntesis:
(2) – (-2)2 – 2 = 2 – (-2)4 = 2 – 16 = -14
20. La alternativa correcta es C
(ab2 +ab+c):
b
2
c
2ab2 + 2ab + 2c
2ab2
2ab
2c

=(ab2 +ab+c)· =
= 2  ab + a + 
=
+
+
2
b
b
b
b
b
b

21. La alternativa correcta es D
x+y+z
x+y
= 15, entonces x + y + z = 60 de igual manera, si
= 5, x + y = 15.
4
3
Luego z = 45
Si
22. La alternativa correcta es B
2a2 – 2b2 = 2 · (a2 – b2) = 2 · (a + b) · (a – b) = 2 · (10) · (5) = 100
23. La alternativa correcta es C
Usando propiedades de la Ecuación de 2°grado:
-b
La suma de las soluciones es:  +  =
a
c
La multiplicación de las soluciones:  ·  =
a
2
b2  2ac
c
 -b 
 2 


1
1
 +
( + )  2
b2  2ac
a
a
a2
+
=
=
=  
=
=
2
2
2
2
()2
()2
c2
c
c
 a
 a
 
 
2
2
2
24. La alternativa correcta es E
Planteando la ecuación nos queda: A2 – B2 = A + B factorizando (A + B) · (A – B) = A + B
No se puede simplificar por (A + B) pues hay que asegurarse que A + B  0 (no lo dice).
4
25. La alternativa correcta es E
Se debe plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 21
x2 – y2 = 63
.
Si factorizamos: (x + y) · (x – y) = 63, entonces (x – y) = 3 de donde x = 12 e y = 9.
26. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
a
< b2 – 1
5
a
Verdadero, al dividir por -5 queda - > -b2 + 1
5
Falsa, pues al dividir por 5 queda
Verdadero, pues al dividir por 10 queda
a
5b2
5
a
b2  1
<


<
10
10
10
10
2
27. La alternativa correcta es A
2x + 7 < 15 nos da x < 4 y 23 – 8x ≤ 5 + x nos da 18 ≤ 9x,
x≥2
En intervalo quedaría [2, 4[.
28. La alternativa correcta es A
Despejando la x nos queda
b  a
y para que sea positivo basta que b > a.
10
29. La alternativa correcta es D
1  x
1
2
 
=4
luego (2-1)1 – x = 22
30. La alternativa correcta es
de donde 2x – 1 = 22 luego x – 1 = 2
x=3
C
La función f transforma la expresión que contiene en su recíproco.
1
1
1
1
aplicando de nuevo f queda
de donde x2 = 1 la cual
f  =
= x , luego x =
1
x
x
x
x
tiene 2 soluciones(1 y -1).
5
31. La alternativa correcta es A
Ordenando nos queda: f(x) = 3x + 5 que es una función afín.
32. La alternativa correcta es B
Basta reemplazar x por (x + 1) y queda h(x) = (x + 1)2 – 2 · (x + 1) + 1 desarrollando
nos da x2 + 2x + 1 – 2x – 2 + 1 = x2
33. La alternativa correcta es E
Nos piden que
3x  2
2
sabiendo que x > 0
< 0 , es decir 3x – 2 < 0 y x <
4
3
34. La alternativa correcta es B
Al reemplazar la x por -3
9 – 3b + c = 0
1+b+c=0
y
por 1 nos da el siguiente sistema:
y restando ambas ecuaciones termino a término, 8 – 4b = 0,
luego b = 2.
35. La alternativa correcta es B
x debe ser distinto de cero y además definida, es decir x > 0
La única condición es que
36. La alternativa correcta es D
En la figura el ejercicio indica que el niño, en vez de caminar de A hacia C pasando por B
lo hizo de A directo hacia C (por la diagonal).
C
2
2
a +b
A
b
a
B
entonces con los datos del dibujo: a2 + b2 +
a
=a+b
2
ordenando nos queda
3a2
a2
a
= ab
+ ab + b2 , luego
+ b elevando al cuadrado a2 + b2 =
4
4
2
3a
b
3
Y simplificando por a:
= b, ordenando nos queda
= .
4
a
4
a2 + b2 =
6
37. La alternativa correcta es C
(3,6) + (x ,y) = (-2,-3) de donde (x,y) = (-5,-9),nos piden (4,7) + (-5,-9) = (-1,-2).
38. La alternativa correcta es C
Si uno de los lados iguales del triángulo isósceles mide a, él perímetro es 2 a + a 2
2x
Planteando la ecuación 2x = 2 a + a 2 = a · (2 + 2 ) nos queda a =
2+ 2
racionalizando:
2x(2  2)
2x(2  2)
a=
=
= x(2  2) , el área es
(2 + 2)(2  2)
4  2
a2
x2 (6  4 2)
=
= x2 (3  2 2)
2
2
39. La alternativa correcta es E
El vector u equivale a (6,9) luego (6,9) + (x,y) = (1,8) de donde (x,y) = (-5,-1)
40. La alternativa correcta es D
I)
II)
III)
Verdadero, el rombo tiene 2 ejes de simetría (las diagonales) y centro de
simetría. (Rotación en 180°)
Verdadero, el romboide tiene centro de simetría y no tiene ejes de simetría.
Verdadero, el trapecio isósceles tiene 1 eje de simetría (pasa por los puntos
medios de los lados opuestos paralelos), no tiene centro de simetría.
OBSERVACIÓN:
Todos los paralelogramos tienen centro de simetría.
41. La alternativa correcta es E
Si AD = m y designemos FD = x
Entonces por Teorema de Thales.
C
m
12
5m
luego x =
, entonces el perímetro del
=
x
5
12
rectángulo DBEF es
5m
5m
5m
144  7m
+
+ 12  m + 12  m =
+ 24  2m =
12
12
6
6
A
7
5
F
E
x
m
D 12 – m
B
42. La alternativa correcta es B
C
5
D
A
E



B
7
1° El ADC es isósceles de base CD . Sí alargamos el lado AC
El EAB mide 7 (suma de 2 ángulos interiores es igual al exterior no adyacente). Por la
misma propiedad, los ACD y ADC miden 4 c/u.
Por lo tanto el BCD mide , entonces BD = CD
2° Conclusión: El ADC es equilátero (todos miden 4), luego 4 = 60°.
43. La alternativa correcta es B
Si se dibujan son 2 triángulos equiláteros y como no dice nada de las medidas de sus
lados solo serán Semejantes.
44. La alternativa correcta es D
Tracemos OQ =  y PQ =
Q
4

3

4

3
O
P
x
 S
Designemos SP = x y sabemos que OS = 
Por Pitágoras:
nos queda:
16 2
 + 2 = (x + )2
9
25 2
 = (x + )2 aplicando raíz a ambos lados
9
5
 = x + , luego se despeja x.
3
45. La alternativa correcta es C
D
El área del triángulo es 9 · h y el área de un
trapecio es m · h y como tienen igual área:
9 · h = m · h de donde m = 9
O
C
A
8
B
46. La alternativa correcta es A
Si el BDC = 20° el arco BC mide 40°
Luego el BOC = 40° así AOB = 2 · 40° = 80°
Y como el AOB es isósceles de base AB, OAB = 50°
47. La alternativa correcta es D
C
D
8
Si el perímetro es 10 entonces el radio es 5.
Por Pitágoras AC = 8, los AOD y ACB
OD
AO
Son Semejantes, luego
=
CB
AC
x
5
30
de donde x =
=
6
8
8

A
5
6

x

5
O
B
C
48. La alternativa correcta es D
1–x
El ABC es semejante al GFC
Área ABC
2
si x = DE
=
1
Área GFC
2
 1 
= 

1
1  x 
de donde
2 =
F
x
A
2
E
G
1
1  x
despejando x =
B
D
2  1
2
=
2 
2
2
49. La alternativa correcta es A
-4
= 2 y usando el punto (5,2).
-2
La ecuación pedida es: y – 2 = 2(x – 5) luego se despeja y.
La pendiente de la recta dada es m =
50. La alternativa correcta es C
La simetral es la recta perpendicular que pasa por el punto medio.
7
5
5
7


2 + 0 2 + 2 
1
2
2
 = (1,3) y la pendiente es m =
=
Punto medio: 
,
0  2
-2
2
 2





Como la recta debe ser perpendicular la pendiente que nos sirve es m = 2 y la ecuación
es y – 3 = 2(x – 1), luego se ordena.
9
51. La alternativa correcta es B
Y
Los lados iguales tienen igual pendiente pero distinto
signo y el lado distinto tiene pendiente cero. Luego su
suma es 0.
X
52. La alternativa correcta es A
Es una simetría axial (con respecto a una recta).El punto (-3,5) está a una distancia 10
de la recta Y = -5, entonces basta sumar -10 a partir de la recta Y = -5 y quedara en el
par (-3, -15)
53. La alternativa correcta es B
El centro de la circunferencia es el punto medio de AB = (2,-1) y sabemos que el origen
es el (0,0) y el problema se reduce a encontrar la ecuación que pasa por estos 2 puntos.
1
-1  0
1
La pendiente es m=
= - y la ecuación es y – 0 = - (x – 0).
2
2  0
2
54. La alternativa correcta es D
Rotación en 90°(-y,x): Si A(2,-4) luego B = (4,2) y si a B se le realiza una Simetría con
respecto al eje X se obtiene C = (4,-2).
La distancia entre A y C es: (-2  -4)2 + (4  2)2 = 22 + 22 =
8 =2 2
55. La alternativa correcta es C
1
3
4
Basta elegir una arista y por observación hay 5 opuestas.
2
5
56. La alternativa correcta es A
El área total es el área de media esfera más el área de un circulo.
Media Esfera:
4  r2
= 2 · 22 = 2 y el área del circulo es  · 22.
2
10
O
r
57. La alternativa correcta es D
Si se gira se forma un cilindro de radio y altura
Volumen es:  · r2 · h =  · ( a )2 ·
a =·
R
Q
O
P
a y su
a3
58. La alternativa correcta es C
Basta igualar cada ecuación a t.
x+1
=t
5
y  2
=t
-3
z  3
=t
2
Luego despejamos x, y, z y obtendremos lo solicitado.
59. La alternativa correcta es D
1  200
= 50 se busca en la frecuencia acumulada y es 2.
4
3  200
=
= 150 y está en la fila del número 4.
4
Q1 =
Q3
60. La alternativa correcta es B
La única medida que NO es de dispersión es la mediana.
61. La alternativa correcta es A
I)
II)
III)
Verdadera, la mediana es el valor central, después de ordenarlos datos, ya
sea en forma ascendente o descendente.
Falsa, no hay moda (ningún dato se repite).
Falsa, El 75% de 8 es 6 y solo hay 2 ancianos mayores de 80.
62. La alternativa correcta es E
Se realiza una proporción: 30  x°
180  360°
360°  30
De donde x° =
180
11
63. La alternativa correcta es A
Por observación, el que tiene menos notas dispersas es Carreño y en cuanto a la media
aritmética todos tienen 6,7.
64. La alternativa correcta es B
I)
II)
III)
Falsa, nada se puede asegurar con respecto al rango.
Falsa, no se puede asegurar ni deducir.
Verdadera, pues la Varianza es el cuadrado de la desviación estándar.
65. La alternativa correcta es A
Eventos complementarios son aquellos donde no se repiten los elementos y su
intersección es el conjunto vacío.
I)
II)
III)
Verdadera, no se repiten y su unión son todos los n° del dado.
Falsa, el 1 no es primo ni compuesto.
Falsa, no se incluye el número 3.
66. La alternativa correcta es C
Los de tapa azul se pueden ubicar de 2! Igual que los de tapa roja (para que queden
juntos) y además ellos se pueden permutar de 2! maneras, lo que da: 2! · 2! · 2!
67. La alternativa correcta es B
1
Usando el triángulo de Pascal:
1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Luego, (C + S)4 = C4 + 4C3S + 6C2S2 + 4CS3 + S4
Al menos 3 caras son 5 casos favorables de 16 posibles.
P=
5
16
12
68. La alternativa correcta es D
En el primer lanzamiento de no obtener un 5 es:
En el segundo lanzamiento, también es:
En el tercer lanzamiento también es:
Luego en los 3 lanzamientos es:
5
6
5
6
5
6
3
5 5 5
5


=  
6 6 6
6
69. La alternativa correcta es A
La probabilidad de escoger una bolsa es
1
.
2
Que la roja se haya extraído de la bolsa A es
Entonces, que sucedan ambas es
2
.
7
1 2
1

= .
2 7
7
70. La alternativa correcta es E
Cantan
Bailan
Sabemos que: Cantan 40% y Bailan 35%
70% de los que cantan = 70% del 40% = 28% = bailan
12%
28%
7%
y cantan.
Observando el grafico, se deduce que lo que falta es un
53%.
71. La alternativa correcta es B
Como el total de alumnos es 20, el número que falta es el 5.
I)
II)
III)
5
3
> P (nota 6) =
20
20
7
5
Verdadero, P (nota 4) =
> P (nota 5) =
20
20
15
17
Falso, P (menos que 5) =
> P (más de 4) =
20
20
Verdadero, P (nota 5) =
13
Cantan y bailan
72. La alternativa correcta es D
Eventos Mutuamente Excluyentes, no tienen elementos comunes.
I)
II)
III)
Falso, no se sabe si son Complementarios.
Verdadero, pues su intersección es vacía (no hay elementos comunes)
Verdadero, por propiedad de Probabilidades
(P(AυB) = P(A) + P(B) – P(A  B)
73. La alternativa correcta es B
X = 1: {s, s, s, s} {c, c, c, c} =
2
16
X = -1: {s,s,c,c} {s,c,s,c} {c,s,c,s} {c,c,s,s}{c,s,c,s}{s,c,s,c} =
X = 0: resto de los casos es
6
16
8
1
=
16
2
74. La alternativa correcta es C
(1) No es suficiente, solo EB = 12.
(2) AEFD es un cuadrado, tampoco es suficiente.
D
Si usamos ambos datos:
Si x = AD, entonces, el área total es x(x + 12) = 540
(x + 30)(x – 18) = 0 de donde x= 18
Área pedida es 12 · 18
F
x
A
x
Luego, con Ambas Juntas se puede resolver.
75. La alternativa correcta es D
(1) El arco AC mide:
2 3
=  de donde  = 60°.
360
(2) El triángulo OAB es isósceles de base AB, luego x = 30° + 30°.
Con Cada Una por si sola se puede resolver.
14
C
E
12 cm
B
76. La alternativa correcta es C
1
·c
2
1
(2) b = · c
2
(1) a =
Con Ambas Juntas se deduce que a = b que es lo pedido.
77. La alternativa correcta es A
4
3
siempre es verdadero
(1) Si f(3) = 17, entonces 17 = 23k + 1
16 = 23k
(2) Dice que f(0) = 2 luego 2 = 20k + 1
1 = 20k
24 = 23k
k=
No se puede determinar el valor de k.
La respuesta es Sólo (1).
78. La alternativa correcta es B
(1) La expresión siempre da positivo, no depende del valor de a.
(2) Para que sea positivo obligatoriamente a debe ser positivo.
La respuesta es Sólo (2)
79. La alternativa correcta es C
R
(1) No es suficiente, pues solo se pueden colocar los
datos de la figura.
(2) QRS = SQR, indica usando la (1) que
SQ = SR = 8 y por medidas del PSR
(30°,60°,90°), se puede determinar PR y luego
por Teorema de Pitágoras podemos determinar
RQ.
30°
60°
P
S
8
Q
Ambas Juntas (1) y (2) es la solución.
80. La alternativa correcta es A
a+b+b  2
= a de donde b – 1 = a y como a es un numero entero,
3
entonces a + 1 = b también es entero.
(2) No se puede deducir nada con respecto a b.
(1) La media es
Sólo con (1) se puede resolver.
15
C u r s o : Matemática
ENSAYO N° 6
MATEMÁTICA
PSU
MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1.
Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para
responderla.
2.
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
3.
Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
4.
Antes de responder las preguntas N° 74 a la N° 80 de esta prueba lea atentamente las
instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 73.
ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que

es congruente con

es mayor que

es semejante con

es menor o igual a

es perpendicular a

es mayor o igual a

es distinto de
ángulo recto

es paralelo a
ángulo
AB
log logaritmo en base 10

conjunto vacío
[x] función parte entera de x
u
vector u
2
trazo AB

pertenece a
x
valor absoluto de x
n!
factorial de n
AC
complemento del conjunto A
1. Si x = -2, entonces x – x2 + x3 es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
-14
-12
-10
-6
2
1
5
es
2. El valor de la expresión
1
1+
5
1 
A)
B)
C)
D)
E)
24
5
1
17
3
2
3
-1
3. Una comitiva que asiste al mundial de Brasil, compuesta por 72 varones y 48 damas
debe alojarse en 6 hoteles diferentes. Los varones deben ser repartidos en los 6 hoteles,
quedando la misma cantidad en cada uno de ellos, la misma condición deben cumplir las
damas. ¿Cuántos varones y cuántas damas, respectivamente, quedaran en cada hotel?
A) 12 y 8
B) 10 y 8
C) 8 y 12
D) 7 y 5
E) 6 y 8
4. El exceso de -20 sobre el doble de -4 es
A) -36
B) -28
C) -12
D) 12
E) 28
3
5. El 0,2 de la tercera parte de 270 es
A)
B)
C)
D)
E)
60
36
20
18
9
6. El gráfico de la figura 1 muestra la distancia recorrida por dos amigos en función del
tiempo. Respecto a la información, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son)
FALSA(S)?
d (km)
15
fig. 1
15
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
30
45
60
t (min)
A los 15 minutos de iniciado el recorrido ambos amigos se encuentran.
En el minuto 45 ambos amigos recorren la misma distancia.
Uno de los amigos tarda 30 minutos en recorrer 15 km.
Solo I.
Solo II.
Solo III.
Solo I y II.
I, II y III.
7. Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
x-1 > 1
x3 < x2 < x
1
1
1
<
<
3
2
x
x
x
Solo I.
Solo I y II.
Solo I y III.
Solo II y III.
I, II y III.
4
8. En la figura 2 se tiene un cuadrado de lado 1 cm y diagonal p, un rectángulo de lados
1
1 cm y
cm y diagonal q, y un triángulo equilátero de lado 2 cm y altura r. ¿Cuál de
2
las siguientes relaciones de orden es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
q<p
q<r
r>p
q<r<p
q<p<r
p
1
1
r
1
2
q
fig. 2
2
9. log 8 – log 100 =
2
A)
B)
C)
D)
E)
5
4
3
2
1
10. Si x + 2 = 0, entonces ¿cuál de las siguientes expresiones es 0?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
x2 + 4x + 4
x2 – 4x – 4
x2 – 4
Solo I.
Solo II.
Solo I y III.
Solo II y III.
I, II y III.
11. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?
A) El 0 es un número par
B) El 1 es divisor de todos los números
C) Si el mcm y el MCD de los números {p, q, r} tienen el mismo valor, entonces
p = q = r.
D) Si el MCD de dos números es 1, entonces necesariamente ambos números son
primos.
E) El mcm entre p y q es (p · q) si p y q no tiene factores comunes distintos de 1.
5
12. Si p + q = 7 y q = 2, entonces p – q =
A) -7
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
13. El rectángulo ABCD de la figura 3 se ha dividido en cuadrados congruentes, cada uno de
perímetro 4a. ¿Cuál es la expresión que representa el perímetro del rectángulo?
D
C
A)
B)
C)
D)
E)
80
40
36
28
24
a
a
a
a
a
fig. 3
a
A
14. Si A + 4B = 2C + 3A, entonces A =
A)
B)
C)
D)
E)
2B – C
C – 2B
4B – 2C
2C – 4B
2B + C
1 
15. La fracción algebraica
A)
B)
C)
D)
E)
p2
q2
p
1+
q
es equivalente a
q  p
q
q  p
p
p  q
q
p  q
p
p+q
q
6
B
16. El triple de p es q, si la diferencia entre el triple de q y el cuádruplo de p es 10, ¿cuál es
la diferencia entre p y q respectivamente?
A) 20
B)
4
C)
2
D) -4
E) -20
17. Al simplificar la expresión
A)
B)
C)
D)
E)
xa + 1 + x a
xa
resulta
x+1
xa + 1 + 1
xa + 1
xa + 1
xa
18. Si a < b, con b  0 ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
a
<0
b
a–b<0
a·b<0
Solo I.
Solo II.
Solo III.
Solo II y III.
I, II y III.
-1
1

19.  a  
a

=
a2  1
a
1
B)
a  1
C) a – 1
a
D)
2
a  1
A)
E)
1  a2
a
7
20. Si a = -2, entonces (-1)a + (-1)-a es igual a
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
1
< 0 , con a ≠ 0, entonces ¿cuál (es) de las siguientes expresiones es (son) siempre
a
positiva?
21. Si
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I.
Solo II.
Solo III.
I, II y II.
Ninguna de ellas.
22. Si
a
(a 
A)
B)
C)
D)
E)
1 – a2
a3 – 1
1  a
1+a
es
3
un
número
4
2) (a + 2)  (a 
entero
4
con
a
>
2,
entonces
el
resultado
de
3
2) (a + 2) es
0
real negativo.
racional.
entero positivo.
irracional.
23. ¿Cuántos números enteros no negativos son tales que el exceso del doble de él, sobre 7
no supera las 4 unidades?
A)
B)
C)
D)
E)
3
4
5
6
7
8
24. La solución de la inecuación x  5 es el intervalo
A) [5, +[
B) ]5, +[
C) ]-, -5[  ]5, +[
D) ]-, -5]  [5, +[
E) [-5, 5]
25. Si f(x) = x2 – 3x – 3, entonces f (-2) =
A) -13
B) -5
C) -1
D)
1
E)
7
26. ¿Cuál es el valor de p en la ecuación px2 + 5x + p = 0, si x = -1 es solución de ella?
A)
B)
5
3
5
C)
2
2
D)
5
5
E) 2
27. Si uno de los ceros de la función cuadrática f(x) = 3x 2 – kx – (k – 1) es 3, entonces el
otro será
A)
B)
C)
D)
E)
7
2
3
2
3
-3
-7
9
28. Respecto a la ecuación 2x – 1 = 0 se puede asegurar que
A) no tiene solución
B) la solución son todos los números reales
1
1
C) tiene dos soluciones, x = ; x = 2
2
1
D) tiene solución única, x =
2
1
E) tiene solución única, x = 2
29. El gráfico de la figura 4 muestra el precio por distancia y por kilogramo que maneja una
empresa que se dedica al traslado de encomiendas.
Costo ($)
fig. 4
450
350
250
600
900
Distancia (Km)
Victoria desea enviar encomienda a cada uno de sus dos hijos, el primero se encuentra
al norte a 720 km de distancia y el segundo al Sur a 580 km de distancia. Si las
encomiendan tiene un peso de 28 kg cada una, ¿cuánto deberá cancelar por el servicio?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
800
9.800
12.600
22.400
25.200
30. ¿Cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales tienen la misma solución?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3x + y = 7
2x  y = 3
x  y=1
2x + y = 5
x
 y=0
2
2x + 3y = 7
Solo I y II.
Solo I y III.
Solo II y III.
I, II y III.
Ninguna de ellos.
10
31. La figura 5 muestra la gráfica de una función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
b=0
c<0
a>0
fig. 5
solo I.
solo I y II.
solo I y III.
I, II y III.
Ninguna de ellas.
-p
x
p
32. ¿Cuál de las siguientes funciones puede estar representada en la gráfica de la figura 6?
A)
B)
C)
D)
E)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
=
f(x)
x – a + b
b – x – a
x + a – b
b – x + a
-b – x – a
fig. 6
b
a
33. Si f(x + 1) = x2 + 2(x + 1) – 1, entonces f(a) =
A)
B)
C)
D)
E)
34.
a2 + 2a + 1
a2 + 2a
a2 + 2a – 2
a2
a–1
log a2
a
logbb
 logc c3 =
A) -5
B) -1
C) 0
D) 1
E) 5
11
x
35. La figura 7 muestra la gráfica de las funciones f(x) = (x – 1)2 + 2 y g(x) = 2x + 8.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
y
f(x) = g(x) si x = -1
f(x) = g(x) si x = 5
f(x)  g(x) si x  [-1,5]
f(x)
g(x)
fig. 7
Solo I.
Solo II.
Solo III.
Solo I y II.
I, II y III.
x
36. Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 – 2, entonces (f o g)(2) =
A) -3
B) 1
C) 5
D) 23
E) 10
37. La ecuación vectorial de la recta que contiene los puntos (2,1) y (-3,4) es
A)
B)
C)
D)
E)
r()
r()
r()
r()
r()
=
=
=
=
=
(2,1) + (-3,4)
(-3,4) + (2,1)
(2,1) + (5,3)
(-3,4) + (-5,-3)
(2,1) + (-5, 3)
38. El triángulo ABC de la figura 8 tiene coordenadas A(-2, 1), B(5, -1) y C(2, 4). ¿Cuál de
las siguientes alternativas es FALSA?
y
C
fig. 8
A
x
B
A) Al rotar el triángulo 90º en sentido anti horario respecto al origen las nuevas
coordenadas de A serán (-1, -2).
B) El simétrico de B respecto al origen es el punto (-5, 1).
C) El simétrico de C respecto al eje x es (-2, 4).
D) Al trasladar el triángulo según el vector (2, -1), el vértice A se ubicará en el origen.
E) Al rotar el triángulo 180º respecto al origen, las nuevas coordenadas de C serán
(-2, -4).
12
39. En la figura 9, ¿cuál de las siguientes transformaciones isométricas permite que la figura
(B) sea imagen de la figura(A)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Traslación.
Rotación.
Simetría.
y
fig. 9
Fig. A
I.
II.
III.
I y II.
II y III.
x
Fig. B
40. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras geométricas tiene(n) exactamente 2 ejes de simetría?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Rombo.
Rectángulo.
Romboide.
I.
II.
I y II.
I y III.
II y III.
41. Al trazar las diagonales de un deltoide en su interior se forman 4 triángulos que
siempre son
A)
B)
C)
D)
E)
Congruentes.
Semejantes.
Equivalentes.
Isósceles.
Rectángulos.
42. ¿Con cuál (es) de las siguientes combinaciones de figuras planas es siempre posible
teselar el plano?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Un pentágono y un triángulo escaleno.
Dos triángulos semejantes.
Dos polígonos regulares.
Solo I.
Solo II.
Solo III.
Solo II y III.
I, II y III.
13
43. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)
La razón de los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón
de sus áreas.
Dos triángulos semejantes tienen igual área.
La semejanza de triángulos es un caso particular de congruencia de
triángulos.
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I.
Solo II.
Solo I y III.
Solo II y III.
I, II y III.
44. En la figura 10, el área del triángulo ABC es 60 cm2, si E, D y F son puntos medios de los
lados a los que pertenecen, entonces ¿cuál es el área del triángulo FED?
C
A) 7,5 cm
B) 8 cm2
C) 10 cm2
D) 15 cm2
E) 20 cm2
2
fig. 10
D
F
B
E
A
45. En la figura 11, AP y PQ corresponden, respectivamente, a los lados de un hexágono
regular y un pentágono regular inscrito en la circunferencia de centro O. ¿Cuál es la
medida del APQ?
P
fig. 11
A) 60º
B) 66º
C) 114º
D) 132º
E) 228º
A
O
Q
46. En el rombo ABCD de la figura 12, AD = AC. Si DB = 4 3 cm, ¿cuál es el perímetro del
rombo?
D
A)
8 cm
B)
8 3 cm
fig. 12
A
C) (4 3 + 8) cm
D) 16 cm
C
E) 16 3 cm
B
14
47. En la figura 13, ABCD es cuadrilátero inscrito en una circunferencia de centro O. Si
ADC = 80º y DA : CD = 3 : 2, ¿cuál es medida del ?
D
A) 40º
B) 60º
C) 80º
D) 100º
E) 120º
A
O

fig. 13
B
C
48. En la circunferencia de centro O de la figura 14, E divide al diámetro AB en sección
aurea. Si EB =
5 – 1, ¿cuál es el radio de la circunferencia?
A) 5 + 1
B) 2
5 +1
C)
2
D) 1
5  1
E)
2
O
E
B
fig. 14
A
49. En la circunferencia de centro o de la figura 15, AP es tangente a la circunferencia en P.
2
Si la distancia de A a la circunferencia es
de la distancia de A al punto de tangencia P
5
y AP = 10, entonces el radio de la circunferencia mide
P
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 15
48
25
21
12,5
10,5
O
A
50. En el trapecio ABCD de la figura 16, MN es mediana. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) correcta(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
DM
MA
DM
DA
DC
MN
=
=
=
CN
NB
CN
D
CB
M
C
fig. 16
N
DM
A
CN
Solo I.
Solo I y II.
Solo I y III.
Solo II y III.
I, II y III.
15
B
51. En la circunferencia de centro O de la figura 17, AQ es diámetro, PQ tangente a la
32
cm. ¿Cuál es el radio de la circunferencia?
circunferencia en Q, RQ = 8 cm y RP =
3
Q
A) 3 cm
B) 5 cm
C) 6 cm
D) 10 cm
E) 20 cm
fig. 17
O
R
A
P
52. En la figura 18, ABCD es un cuadrado y ABE un triángulo rectángulo. Si el lado del
cuadrado es 4 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo?
D
C
A)
2 3 cm
B)
8 3 cm
B
C) (6 + 2 3 ) cm
D) 12 cm
E) No se puede determinar.
fig. 18
60°
A
B
4
53. En el triángulo ABC de la figura 19, se traza CD de manera que ACB  CDB. ¿Cuál(es)
de las siguientes aseveraciones es (son) FALSA(S)?
A)
B)
C)
D)
E)
I)
DCB  CAB
II)
III)
ADC  DBC
CDB  ACB
C
B
D
Solo I.
Solo II.
Solo III.
Solo I y II.
I, II y III.
fig. 19
A
54. En la figura 20, ABC rectángulo en C. Si AP = 6 cm y QB = 8 cm, ¿cuál es el área del
cuadrado PQRS inscrito en el triángulo?
C
A)
B)
C)
D)
E)
4
16
20
24
48
3 cm2
S
cm2
cm2
cm2
cm2
A
16
P
R
Q
fig. 20
B
55. Al aplicar homotecia con centro M, sobre el ABC de la figura 21, respecto a la razón de
homotecia (), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre FALSA(S)?
C
fig. 21
B
M
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
A
Si λ < 1 la figura resultante es de menor tamaño.
Si λ > 1 la figura homotética es de mayor tamaño que la figura original.
Si λ < 0 la figura homotética se encuentra a distinto lado de M, respecto a
la figura original.
Solo I.
Solo I y II.
Solo I y III.
Solo II y III.
I, II y III.
56. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y un ángulo
respectivamente iguales.
Dos triángulos son congruentes si tienen todos sus ángulos
respectivamente iguales.
Dos rombos siempre serán semejantes.
Solo I.
Solo I y II.
Solo II y III.
I, II y III.
Ninguna de ellas.
57. El cuadrado ABCO de la figura 22 se encuentra en el plano XY, si a esta figura se le
aplica una traslación según el vector T(0,0,4), ¿cuál es el volumen del cuerpo
resultante?
Z
fig. 22
A) 16
B) 32
C) 64
D) 96
E) 128
O
1
4
C
2
4
X
17
A
B
Y
58. La figura 23 representa un cubo. Si las coordenadas del vértice C es (0, 6, 0), entonces
¿cuál el área del triángulo ACG?
Z
A) 18 2
B) 18 3
E
C) 18 6
fig. 23
G
H
F
D) 36 2
D
C
E) 36 3
A
Y
B
X
59. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al hacer rotar indefinidamente el rectángulo de
la figura 24 en torno al eje z?
Z
A)
B)
C)
D)
E)
16
40
16
24
32
4
fig. 24
O
2
Y
X
60. El cuerpo geométrico de la figura 25, puede haber sido generado por la rotación de la
figura
fig. 25
A)
B)
C)
D)
E)
18
61. En la figura 26, PQ // AC
medida de AP es
y
RQ // AB . Si AC = 12, AR = 3 y PB = 2, entonces la
C
fig. 26
A) 9
B) 6
C) 3
3
D)
2
2
E)
3
R
A
Q
P
B
62. La tabla adjunta muestra la cantidad de libros leídos por un grupo de 40 estudiantes los
últimos 3 meses.
Nº de libros
0
1
2
3
4
5
6
frecuencia
1
6
3
10
8
4
8
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
la moda es 10.
la mediana es 3,5.
la media aritmética es 3.
Solo I.
Solo II.
Solo I y II.
Solo II y III.
I, II y III.
63. Un colegio solo ofrece dos electivos para sus estudiantes. De los 60 alumnos de IV
medio, 32 son mujeres y 20 de ellas pertenecen al electivo científico y 4 de los varones
pertenecen al plan humanista. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad
que sea un hombre que pertenezca al plan humanista?
A)
B)
C)
D)
E)
4
60
4
28
12
60
24
60
4
6
19
64. En una fila de 9 asientos deben ubicarse 4 mujeres y 5 hombres. ¿Dé cuántas maneras
pueden ordenarse, si las mujeres deben permanecer juntas y los hombres también?
A)
B)
C)
D)
E)
4
4!
4!
9!
4!
5
5!
5! 2!
5! 9!
65. Una urna contiene 5 esferas rojas y 4 esferas verdes; las rojas están numeradas del 1 al
5 y las verdes del 6 al 9. Si se escoge una esfera al azar, ¿cuál es la probabilidad que no
sea roja y que marque un número impar?
A)
B)
C)
D)
E)
2
9
3
9
5
9
6
9
7
9
66. Una prueba consta de 5 preguntas del tipo Verdadero o Falso. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
1
.
32
La probabilidad que exactamente 3 de las preguntas sean verdaderas es
10
.
32
La probabilidad que a los más 2 de las preguntas sean falsas es 50%.
La probabilidad que todas las preguntas sean falsas es
Solo I.
Solo I y II.
Solo I y III.
Solo II y III.
I, II y III.
20
67. Paulina tiene un 80% de probabilidad de aprobar un ramo, Tamara tiene un 70% de
probabilidad de aprobar el mismo ramo. ¿Cuál es la probabilidad que ambas reprueben
el ramo?
A)
B)
C)
D)
E)
6%
20%
21%
25%
30%
68. Se tiene 1 caja que contiene 6 fichas rojas y 4 blancas y una bolsa con 8 fichas rojas y
dos blancas. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una ficha de la caja y en caso
contrario se saca de la bolsa. Al realizar el experimento una vez, ¿cuál es la probabilidad
que se extraiga una ficha blanca?
A)
B)
C)
D)
E)
0,80
0,60
0,48
0,40
0,30
1
. Si todos
5
los otros eventos son equiprobables, ¿cuál es la probabilidad que en un lanzamiento se
obtenga un número par?
69. Al lanzar un dado cargado la probabilidad de obtener un número primo es
A)
B)
C)
D)
E)
3
6
7
15
2
6
5
15
1
6
70. Al lanzar 600 veces un dado no cargado, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es (son)
verdadera en éste experimento?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Teóricamente 100 de los resultados obtenidos corresponderán al número 1.
400
.
La probabilidad teórica que el número obtenido sea divisor de 6 es
600
100
La probabilidad teórica que el número obtenido sea múltiplo de 5 es
.
600
Solo I.
Solo I y II.
Solo I y III.
Solo II y III.
I, II y III.
21
71. A un grupo de personas se les pregunta el número de hijos que tienen, los resultados se
encuentran en la tabla adjunta. Si el promedio de hijos de esta muestra es 1,8 ¿cuál es
el valor de n?
A)
B)
C)
D)
E)
Nº de hijos
0
1
2
3
4
4
3
2
1
0
Frecuencia
2
15
27
3
n
72. La tabla adjunta muestra las preferencias de un grupo de personas al escoger una
película en una sala de cine.
Género
Animación
Acción
Romántica
Bélica
Frecuencia
240
380
400
260
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La moda es películas románticas.
El rango es 160.
La mediana es 390.
Solo I.
Solo I y II.
Solo I y III.
I, II y III.
Ninguna de ellas.
73. La tabla adjunta muestra el número de celulares que han tenido a lo largo de su vida, un
grupo de 30 trabajadores de una Empresa.
Nº de celulares
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
1
2
3
10
6
8
¿Cuál (es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La mediana es 4,5 celulares.
La moda es 10.
El 80% de los encuestados ha tenido 4 o más celulares.
Solo I.
Solo I y II.
Solo III.
Solo II y III.
Ninguna de ellas.
22
Evaluación de Suficiencia de Datos
Instrucciones para las preguntas N° 74 a la N° 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si
los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es s