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Curso Matemáticas
Matem´aticas Básicas
B´asicas para ciencias, ciencias económic
econ´omicas
as e ingen
i ngenier´
ierı́as
ıas..
Autora: Margarita Ospina Pulido
Colecci´
Coleccion
ón notas de clase
Facultad de Ciencias Sede Bogot aá´
Editorial Universidad Nacional de Colombia, 2016
Solucionario
Elaborado por Brayan David Escobar López
L´opez
(Estudiante de Matemáticas
Matem´aticas y Monitor del curso en el segundo semestre de 2016)
Ejercicios 1.1
1. Contenen
Contenencia
cia
2. Pertenen
Pertenencia.
cia.
⊆P
I⊆
B
BP
BP
I
I
B
P
I
N
P
C
PC
PC
12
C
B
CB
CB
5
I
D
ID
A
B
AB
D
E
A
⊇D
A ⊇B
A ⊇B
F
P
A
E
AE
F
F
F
N
⊆E
F ⊆P
⊆F
N
I
FP
4
N
ID
0
AB
3
1
FP
18
AE
6
⊇F
15
F
N
P
I
A
B C
D
E
F
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
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∈
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∈/
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∈/
∈/
∈
∈/
∈/
∈/
∈/
∈
∈/
∈
∈/
Ejercicios 1.2
1. C = a, b, c
{
(a)
(b)
}
d , a , d , b , d , c , d , a , b , d , a , c , d , b, c , d , D
= ℘ (C )
e , a , e , b, e , c , e , d , e , a , b, e , a , c , e , a , d , e ,
℘ ( E) = ℘ ( D )
b , c , e , b, d , e , c , d , e , a , b , c , e , a , b , d , e , a , c , d , e , b , c, d , e , E
℘ (D)
{
}{
∪ {{ } { } { } { } { } { } { } }
∪ {{ } { } { } { } { } { } { } { }
}{ }{
}{
}{
}{
} }
2. verdadera
1
Ejercicios 1.3
1. complementos
P = I
A = I
0,2,4

B = x x es mayor que 12
0,1,2,3,4,5,7,9,10,11

C = 0,3,5,7
x x es mayor que 8

D = x x es par y menor que 16
x x es mayor o igual a 16

E = 0,1,2,4
x x es mayor o igual a 6

F = x x es mayor o igual a 1
U = ∅
∪{ }
{|
{
}∪{ |
{|
{
}∪{ |
{|
}∪{
}
}∪{ |
}
}
}
2. Algunos ejemplos:
∪I =U
P∩I = ∅
A∩B= B
U∩E= E
P
∪A=P
P∩A= A
B ∩ C = {6, 8}
B∪U = U
P
∪E= I
I∩E= E
U∪P=U
A∩U = A
I
3. H denota
denota cualquier
cualquier conjunto
∅
∪H =H
∅
∩H= ∅
Ejercicios 1.5
15. ( A
∪ B )  = A  ∩ B
A∪B
A
(A
U
B
A
2
∪ B )
B
U
}
A
B
A
U
A
16. ( A
U
B
∩ B )  = A  ∪ B
A∩B
A
A
B
(A
∩ B )
U
B
A
A
A
U
A
Ejercicios 1.7
2. B = 1, 8
{ }
3. B = {1,2,4,5,7,9}
3
B
U
B
B
U
B
U
A
A
∩ B
B
A
∩ B
B
U
Ejercicios 1.8
U: pacientes de cardiologı́a
cardiolog´ıa
A: pacientes con presi on
ó´ n alta
F: pacientes que fuman
C: pacientes con colesterol alto
U
A
A
A
C
A
U
A
∩ F ∩ C 
∩ C ∩ F
8
∩ C ∩ F A ∩ F ∩ C
A∩C∩F
∩ A ∩ F
C ∩ F ∩ A
C
4
F
7
6
2
∩ C ∩ A
9
C
F
4
12
F
ó´ n alta, que tienen el colesterol alto y que fuman
∩ C ∩ F:pacientes que tienen la precion
A ∩ F ∩ C  :pacientes que tienen la preci on
ó´ n alta, que fuman y que no tienen el colesterol alto
A ∩ C ∩ F  :pacientes que tienen la preción
preci´on alta, que tienen el colesterol alto y que no fuman
C ∩ F ∩ A  :pacientes que tienen el colesterol alto, que fuman y que no tienen la preci´on
on alta
A ∩ F  ∩ C :pacientes que no tienen la preción
preci´on alta, que no fuman y que no tienen el colesterol alto
A ∩ C ∩ F  :pacientes que tienen la preción
preci´on alta, que no tienen el colesterol alto y no fuman
C ∩ A ∩ F :pacientes con colesterol alto, que no tienen la preción
preci´on alta y que no fuman
F ∩ C ∩ A  :pacientes que fuman, que no tienen el colesterol alto y que no tienen la preci´on
on alta
A
d) 1 es falsa y 2 es verdadera
4
Ejercicios 2.2
1. Divisores
natural divisores cantidad natural
divisores
cantidad
1
1
1
9
139
3
2
12
2
10
1 2 5 10
4
3
13
2
11
12
2
4
124
3
39
1 3 13 39
4
5
15
2
60
1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60
12
6
1236
4
77
1 7 11 77
4
7
17
2
153
1 3 9 17 51 153
6
8
1248
4
0
N
∞
Ejercicios 2.3
1. m.c.d(34,148) = 2
2. m.c.d(17,384) = 1
3. m.c.d(8,148,384) = 4
5. m.c.d(120, 20) = 20
4. m.c.d(17, 148, 384) = 1
6. m.c.d(120, 20 n) = 20
donde 2,3 y 5 no son divisores de n
7. m.c.d(4,n) = 4 donde n es tal que, 2 no es divisor de n
Ejercicios 2.5
1. M.C. M.(34,10) = 170
6. M.C. M.(20,24) = 120
2. M.C. M.(17,38) = 646
7. M.C. M.(8, 5) = 40
M.C. M.(4,10) = 20
3. M.C. M.(8,9,6) = 72
8. M.C. M.(11,3) = 33
M.C. M.(33,1) = 33
4. M.C. M.(17,14,38) = 4522
5. M.C. M.(20, 120) = 120
9. M.C. M.(25,4) = 100
M.C. M.(20,50) = 100
5
∗
10. no es posible
Ejercicios 2.6
−9
2. −9
1.
3.
−9
−24
8. −16
5. 480
4. 480
−16
10. −26
7.
6. 5
9.
11.
−11
12. 39
Ejercicios 2.7
grupo
expresión simplificada
−9 3
−12 = 4
−7 = 4 = − 1 = 8
21
−12 3 −24
2
−4 34
5 = −10 = 85
−2 = 1
−4 2
−11 = 1
−33 3
−15 = 45
2
−6
12
16
3
4
1
3
2
5
1
2
1
3
15
2
=
−
−
Ejercicios 2.8
1.
77
60
7.
−7
12.
2
15
18.
2
10
2.
77
60
8.
7
15
13.
2
15
19.
3.
7
15
14.
−2
1
18
4.
7
15
15.
−2
20.
1
18
21.
−1
22.
−1
9.
15
7
15
5.
−7
10.
1
5
6.
−7
11.
−8
15
15
3
15
15
16.
−2
17.
−2
15
15
Ejercicios 2.9
1.
− 7 ≤ −5 ≤ − 3 ≤ 2 ≤
8
6
7
3
3
2
≤ 125 ≤ 125 ≤ 235
6
23.
−1
24.
−1
25.
−7
26.
−259
20
20
90
18
18
900
2.
−23 ≤ −3 ≤ − 3 ≤ − 1 ≤
5
2
10
5
7
100
≤ 165 ≤ 73 ≤ 178
Ejercicios 2.11
Forma decimal periódica
Expresión como cociente de dos enteros
2,35
=
1,358
=
5,624
=
8,631
=
3, 0524
=
2, 9
=
3,29
=
1,569
=
233
99
1357
999
5568
928
990 = 165
7768
1942
900 = 225
30219
10073
9900 = 3300
3
1 =3
33
10
157
100
Ejercicios 2.12
1. 1,897
2.
≤ 1,89 ≤ 2, 345643 ≤ 2, 349
−2,349 ≤ −2, 345643 ≤ −2, 345622 ≤ −1,89 ≤ −1,897
Ejercicios 2.14
1. 12, 545545554...
5. 2
2. 3,3
6.
3. 1,1
9. NO
√6
√
7. 2
4. 1, 113311133311113333... 8.
10. NO
11. NO
5
3
12. NO
7
1.
− 
4
,2
3
10.
2. [1, 4]
11.


∪
5
,∞
7
3. (
−∞, −1)
4. (
−∞, 1] ∪ [11, ∞)
5.
∅
6.
− 
7.
8.
9.
13.
14.
15.
∅
=(
5
,0
8
0,
5
16
7 1
,
3 3
[1, 3)
12. ( 5, 5)
2
5
R
−  ∪  
− −  ∪
−
− {0, 1}
−5 , −1 ∪ −1 , −2
R
 
−  ∪
7
2
∞,
2
3
2
(2, ∞)
16. [ 30, 10]
− − ∪ [10,30]
−∞, ∞)
17.
R

1
3
Ejercicios 5.9
| −
| ≥ 1.5
1. condición para una temperatura T no sana: T 98.6
soluci ón de la inecuación: ( ∞,97.1] [100.1, ∞]
−
∪
| − 115| ≤ 5
2. V : voltaje real representado por la inecuaci ón V
solución de la inecuación: [110, 120]
3. se encuentra en el intervalo:[23.520.000, 24.780.000]
4. puede agregar a cada lado una distancia menor o igual a 5 metros
5. valores en el intervalo [ 58.6, 79.21]
6. [59,95]
7. [168, 192]
8. [8192.8, 9313.9]
9.
−  ∪
1,
1
2
[1, 3)
Ejercicios 6.1
15
7

2. (3x + 5)2
3. (2x
− 6)

6. (5x
4 x2
+ 6x + 9
4. (4x + 1) (16x2
5. ( x
− 2) 3

− 3) 2
7. (2x + 3)3
8. (10x
− 7)(10x + 7)
√ √ √ √
9. ( 3x − 5)( 3x + 5)
− 4 x + 1)
Ejercicios 6.2
÷ t(x) = (−2x22− 8x − 31)( x − 4) − 125
÷ w(x) = (−2x + 6x − 17)( x + 3) + 50
3
7
25
p( x ) ÷ z( x ) = (− x2 − x − )( 2x − 3) −
2
4
4
t( x ) ÷ w( x ) = (1)( x + 3) − 7
5. p( x )
p( x )
÷ t(x) = (5x33+ 20x22+ 78x + 312)( x − 4) + 1245
÷ w(x) = (5x − 15x + 43x − 129)( x + 3) + 384
5
15
37
111
285
r ( x ) ÷ z ( x ) = ( x3 + x2 + x +
)(2x − 3) +
2
4
8
16
16
x 9
19
q( x ) ÷ z( x ) = ( − )( 2x − 3) −
2 4
4
6. r ( x )
r( x)
Ejercicios 6.3
1. ( x + 1)( x
2. ( x
− 5)( x − 3)
− 2)( x + 1)2
(x
25( x + 1)( x
− 2) 2 ( x + 1) 2
− 5)( x − 3)
(x
− 2 ) 3 ( x + 1 )2
3. x2 ( x + 1)2
4. No es posible
5. ( x + 1)( x
− 2)( x + π)
( x + 1 )2 ( x
− 2)
Ejercicios 6.5
1. ( x 2)( x + 1)3 tiene dos ceros, x = 2 es un cero racional de multiplicidad 1 y x =
es un cero racional de multiplicidad 3.
−
16
−1
2. 3( x 2)( x 1)( x + 2)2 tiene 3 ceros, x = 2 es un cero racional de multiplicidad
1, x = 1 es un cero racional de multiplicidad 1, x = 2 es un cero racional de
multiplicidad 2.
−
3.
−
−
−
1
1
(3x + 1)(3x 2)( x + 2)( x 3) tiene 4 ceros, x =
es un cero racional de multi9
3
2
plicidad 1, x = es un cero racional de multiplicidad 1, x = 2 es un cero racional
3
de multiplicidad 1, x = 3 es un cero racional de multiplicidad 1.
−
−
−
4. ( x + 3)3 tiene un cero, x =
5. (2x
−3 es un cero racional de multiplicidad 3.
− 1)(4x + 1)( x2 + 2) tiene dos ceros reales, tiene un factor cuadrático x2 + 2 que
1
no se puede factorizar en los reales, x = es un cero racional de multiplicidad 1,
2
1
x=
es un cero racional de multiplicidad 1.
4
−
6. ( x + 2 )2 (2x
− 1)(4x2 + 2x + 1) tiene dos ceros reales, tiene un factor cuadr ático
1
4x2 + 2 x + 1 que no se puede factorizar en los reales, x = es un cero racional
2
de multiplicidad 1, x = 2 es un cero racional de multiplicidad 2.
7. ( x


−
−
√21 − 5
x+

√21 − 5
−
x+

tiene 4 ceros, x = 2 es un cero
− 2)( x + 1)
2
2
racional de multiplicidad 1, x = −1 es un cero racional de multiplicidad 1, x =
√21 5
√21 − 5
−
es un cero irracional de multiplicidad 1, x = −
es un
− 2
2



cero irracional de multiplicidad 1.
Ejercicios 7.1
Hay 15 conjuntos de dos elementos:
15 = ( 62)
a, b
a, c
a, d
{ }
{ }
{ }
{ a, e }
{ a, f }
{ b, c }
{ b, d }
{ b, e }
{ b, f }
{ c, d }
{ c, e }
{ c, f }
{ d, e }
{ d, f }
{ e, f }
Hay 20 conjuntos de dos elementos:
{
20 = ( 63)
a, b , c
}
{ a, b , d }
{ a, b , e }
{ a , b, f }
{ a , c, d }
17
{ a, c , e }
{ a, c , f }
{ a, d, e }
{ a, d, f }
8
Dominio: R
6
Imagen: [ 0, ∞)
4
2
−2
−4
2
4
3. Numeral 2)
2
2
y = g (x)
−1
1
−1
2
1
3
4
−1
−2
−4
2
1
−1
−2
−3
2
3
4
3
4
y = g( x ) + 1
2
1
−1
1
−2
2
3
4
y = g ( x + 1)
−4
36
−1
1
−1
−2
−3
2
y = g (2 x )
2
2
y = g (x
−1
− 1)
2
1
3
4
−1
−2
−2
−4
−4
y=g
 
1
2
1
x
2
3
4
5. Sean f y g funciones no cero, en las siguientes tablas se expresa si la operaci ón entre
dos funciones pares o impares da como resultado una función par (P) , impar (I) ,
nunca par nunca impar (N)
¿ Hay cambios en las siguientes tablas si f es cero o g es cero?
Tabla f + g
+
g par
f par
Tabla f
g impar
×
N
f par
f impar
g par
Tabla f
g impar
◦
◦g
g par
g impar
f par
f impar
P
6. a) Dom ( f ) = R ; Im( f ) = [1, ∞)
P
f impar
Dom (l ) = (0, ∞) ; Im(l ) = R
− 
49
8
Dom (m) = R ; Im(m) = 1, 1
Dom (n ) = [0, ∞) ; Im(n ) = [0, ∞)
Dom (h ) = R ; Im( h) =
Dom ( j) = R ; Im( j) = (0, ∞)
∞,
{ −}
Dom ( g ) = R ; Im( g) = [0, ∞)
Dom (k ) = R
×g
− {0} ; Im(g) = − {0}
R
b) dominios composiciones
37
1) (0, ∞)
2) (0, ∞)
7. a) Area =
√2
√3
4
− { 0}
−1 , 3
3)
R
5)
R
4)
 
6)
R
7) [0, ∞)
− {0}
9)
8) [e−2 , ∞)
10)
− 
1
,3
2
R
2
L2 ; Perimetro = 3 L
d2
d ; Area =
b) l =
s
2
c) Area = 6 L2 ; Volumen = L 3
8. Es una función escalonada que vale 2500 hasta 2, luego cada 500 (eje y) hay escalones
1
de de ancho (15 min , eje x)
4
1
En total hay 18 escalones de de ancho, finalmente a partir de 6.5 (6h 30 min) hay
4
un escalón a la altura 12000, es decir la función vale 12000 en ( 6.5, ∞).
9. x = 50
10. Logra llegar con una ventaja de aproximadamente medio minuto.
11. a) 3200
b) 100
12. a)
× 2t/3
1
gr
8
1 t/15
b) 2
2
c) Entre 0.0.gr y 0.1gr
×
c) Sı́
d) Entre 24 y 27 horas
d) Entre 105 y 120 horas
Ejercicio 13.4
Alcanza un altura de 7.52 metros y su base está a una distancia del edificio de 2.74 metros.
Ejercicios 13.7
1. T. Coseno.
2. T. Coseno.
3. T. seno.
Ejercicios 13.9
38
4. T. seno.
1. verdadero
2. Falso
3. verdadero
4. Falso
Ejercicios 13.10 (pag 468)
− 
k ( x ) = 2 sin x
2
π
4
Dominio: R
1
Imagen: [ 2, 2]
−
Amplitud: 2
−6 − 4 − 2
2
6
4
−1
−2
Desplazamiento de fase:
π
4
Periodo: 2 π
4
l (x) = 1
| − 3sin (2x − π)|
3
Dominio: R
2
Imagen: [ 0, 4]
1
−6 − 4 − 2
2
4
6
−1
Ejercicios 13.12 (pag 476)
1. b)
3. c)
5. b)
7. a)
2. b)
4. b)
6. c)
8. a)
8
15
10. Por ejemplo sen (θ ) = ; cos(θ ) =
17
17 12. Por ejemplo sen(α) =
11.
√
AB = 6 y BC = 2 3
13. Por ejemplo sen(α) =
39
9. b)
−
−
√15
4
√
2 5
5
14. α = β = 0
∨ α = 2π − β
18. d)
19. c)
17. α =
20. a)
21. 33.7
40
π
4
∨ α = 54 π
22. 2.83Km
23. 39542