TOPOLOGIA
Exercı́cios sobre espaços métricos
1. Verifique se as funções abaixo são métricas (distâncias):
a) d(x, y) = |x2 − y2 |, X = R
b) d(x, y) = |x3 − y3 |, X = R
1 1
c) d(x, y) = − , X = R∗
x y
d) d(x, y) = e x−y , X = R
e) d(x, y) = |x − 3y|, X = R
f) d(x, y) = sin2 (x − y), X = R
p
g) d(x, y) = |x − y|, X = R
2. Seja X = Rn . Definem-se em X:
d2 (x, y) = máx{|xk − yk | : k = 1, · · · , n} ;
d3 (x, y) =
n
X
|xk − yk |.
k=1
Demonstre que d2 e d3 são métricas em X.
3. Seja (X, d) um espaço métrico. Mostre que são métricas as seguintes funções:
p
′
a) d (x, y) = d(x, y)
b) ρ(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x, y)
c) k(x, y) = mı́n{1, d(x, y)}
4. Dois números p > 1 e q > 1 são chamados expoentes conjugados, se
1 1
+ = 1.
p q
Prove que para todo x, y ∈ R+ e para os expoentes conjugados p e q, a
seguinte desigualdade é válida:
xy ≤
x p yq
+ .
p
q
2
5. Demonstre a desigualdade de Hölder (para a soma finita). Se p e q são
1 1
expoentes conjugados, i. é, + = 1, com a1 , · · · , an ≥ 0 e, b1 , · · · , bn ≥ 0.
p q
Então a desigualdade seguinte é válida
n
X
ai bi ≤
n
X
1
1
n
X
aip p ×
bqi q
i=1
i=1
i=1
6. Demonstre a desigualdade de Minkowski (para a soma finita). Se p ≥ 1,
a1 , · · · , an ≥ 0 e, b1 , · · · , bn ≥ 0. Então a desigualdade seguinte é válida
n
X
1
1
1
n
n
X
X
p
p
ai p +
bi p .
(ai + bi ) p p ≤
i=1
i=1
i=1
7. Seja p ≥ 1. Definimos as seguintes funções em Rn × Rn
1
n
X
d p (x, y) =
(xi + yi ) p p
i=1
d∞ (x, y) = máx |xi − yi |.
1≤i≤n
a) Prove que d p e d∞ são métricas em Rn
b) Prove que elas são métricas equivalentes.
8. Seja um espaço métrico (E, d). Demonstre que existe em E uma métrica d′
limitada por 1 (para todo par de pontosx, y ∈ E se verifica que d(x, y) ≤ 1)
equivale à métrica dada.
9. Demonstre que a recta real é metrizável.
10. Consideremos na recta real os conjuntos
A = Z+
B = {n −
1
: n ≥ 2, n ∈ Z}
n
Achar d(A, B).
11. Sejam A, B ∈ Matm.n (K). Define-se Distância entre as matrizes:
d(A, B) :=
m X
n X
2 1/2
ai j − bi j
.
i=1 i=1
3
a b c
f g h
Ache a distância de A =
k l m
p q r
d e
i j
e B =
n o
s t
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
12. Seja U uma esfera aberta de centro em x0 e raio δ. Então para todo ponto
y de U existe uma esfera aberta V com centro em Y e inteiramente contida
em U.
13. Demonstre as equivalências:
i) f : X → Y é contı́nua em X
ii) f −1 (U) é um aberto de x, para cada aberto U de f (x)
iii) { f (xn )}n∈N tende a f (x), para cada sucessão (xn )n∈N que tende a x
14. Se f : X → Y e g : Y → Z são funções uniformemente contı́nuas, então
g ◦ f é uniformemente contı́nua.
15. Demonstre que a aplicação f : R × R → R dada por f (x, y) = x + y é
uniformemente contı́nua.
16. Demonstre que todo espaço métrico compacto é completo.
1
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Ilı́dio Agostinho