Análisis Estructural IC - 0610 TEMA 6: MÉTODOS DE ENERGÍA Introducción Repaso de conceptos básicos Energía: capacidad de realizar trabajo Trabajo de una fuerza sobre una partícula: fuerza por desplazamiento de la partícula en la dirección de la fuerza Trayectoria Introducción Repaso de conceptos básicos Trabajo de una fuerza en una partícula que viaja en línea recta en la misma dirección que la fuerza 𝟎 𝑑𝑊 = 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑟⃗ = 𝐹 𝑑𝑟 cos 𝜃 Con 𝜃 = 0, 𝑑𝑊 = 𝐹 𝑑𝑥 Entonces: 𝑊= 𝐹 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑑 Introducción Repaso de conceptos básicos Trabajo externo sobre un cuerpo deformable: fuerza por desplazamiento en la dirección de la fuerza La fuerza se incrementa muy lentamente 𝟎 Trabajo complementario Trabajo Introducción Repaso de conceptos básicos Cargas aplicadas consecutivamente 𝟐 𝟏 De 𝑥 a 𝑥 , 𝐹 genera trabajo igual a: 𝑈 =𝐹 𝑥 −𝑥 6.1 Energía elástica de deformación Caso de esfuerzos uniaxiales Elemento infinitesimal con esfuerzos axiales 𝑑𝑥 𝜀 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝜎 𝑑𝑦 𝐹 = 𝜎 𝐴 = 𝜎 𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑥 = 𝜀 𝑑𝑥 𝑑𝑈 = 1⁄2 𝜎 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⋅ 𝜀 𝑑𝑥 = 1⁄2 𝜎 𝜀 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑦 = 1⁄2 𝜎 𝜀 𝑑𝑉 𝑈 = 𝑑𝑈⁄𝑑𝑉 = 1⁄2 𝜎 𝜀 𝑈 : energía de deformación por unidad de volumen 1 𝜎 𝑈 = 𝜎 𝜀 𝑑𝑉 = 𝑑𝑉 2 2𝐸 6.1 Energía elástica de deformación Caso de esfuerzos cortantes Elemento infinitesimal con esfuerzos cortantes 𝛾 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝜏 𝛾 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐹 = 𝜎 𝐴 = 𝜏 𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑥 = 𝛾 𝑑𝑧 𝑑𝑈 = 1⁄2 𝜏 𝑑𝑧𝑑𝑦 ⋅ 𝛾 𝑑𝑧 = 1⁄2 𝜏 𝛾 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑦 = 1⁄2 𝜏 𝛾 𝑑𝑉 𝑈 = 𝑑𝑈⁄𝑑𝑉 = 1⁄2 𝜏 𝛾 𝑈 : energía de deformación por unidad de volumen 𝜏 1 𝑈 = 𝜏 𝛾 𝑑𝑉 = 𝑑𝑉 2 2𝐺 6.1 Energía elástica de deformación Energía elástica de deformación total 𝑈 = 𝑈 = 1 𝜎 𝜀 +𝜎 𝜀 +𝜎 𝜀 +𝜏 𝛾 2 +𝜏 𝛾 +𝜏 𝛾 1 𝜎 𝜀 +𝜎 𝜀 +𝜎 𝜀 +𝜏 𝛾 2 +𝜏 𝛾 +𝜏 𝛾 𝑑𝑉 Para muchos casos de esfuerzo plano, se puede simplificar a: 𝑈 = Como 𝜀 = 𝜎 /𝐸 y 𝛾 1 𝜎 𝜀 +𝜏 𝛾 2 𝑑𝑉 = 𝜏 /𝐺 𝑈 = 𝜎 𝑑𝑉 + 2𝐸 Esfuerzos normales por fuerza axial y momento flector 𝜏 𝑑𝑉 2𝐺 Esfuerzos cortantes por fuerza cortante y momento torsor 6.1 Energía elástica de deformación Elemento sometido a fuerzas axiales 𝐸𝐴 𝑁(𝑥) 𝑁(𝑥) Si la fuerza y el área son constantes a lo largo del elemento: 6.1 Energía elástica de deformación Elemento sometido a momentos flectores 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝑀(𝑥) 6.1 Energía elástica de deformación Elemento sometido a momentos flectores Si el momento y el segundo momento de área son constantes a lo largo del elemento: 6.1 Energía elástica de deformación Elemento sometido a fuerzas cortantes 𝑉(𝑥) 𝐺𝐴 𝑉(𝑥) 6.1 Energía elástica de deformación Elemento sometido a fuerzas cortantes - Se puede simplificar a: 6.1 Energía elástica de deformación Elemento sometido a momentos torsores 𝐺𝐽 𝑇(𝑥) 𝑇(𝑥) 6.1 Energía elástica de deformación Resumen Elementos sometidos a diferentes tipos de acciones internas Fuerzas axiales: Momentos flectores: Fuerzas cortantes: Momentos torsores: ( ) ( ) ( ) ( ) Estas ecuaciones aplican para sólidos con comportamiento elástico, lineal y sometidos a procesos adiabáticos (las cargas no añaden calor) 6.2 Cálculo de desplazamientos conservación de energía por La primera ley de la termodinámica estipula que el trabajo realizado es igual al cambio de energía. Entonces, la energía necesaria para deformar es igual al trabajo externo Al aplicar la fuerza externa, se acumula energía potencial de deformación elástica, porque las fuerzas intermoleculares tratan de regresar al sólido a su estado inicial. Esto es garantizado por el principio de conservación de energía Entonces, un desplazamiento causado por una fuerza que actúa en la misma dirección y en la misma ubicación, se puede encontrar al despejar