Donde La fuerza ejercida por el líquido sobre el elemento diferencial dA será: El diferencial de momento de esta fuerza dF con respecto al eje “x” será: 𝑑𝑀𝑥 = γ𝑦2𝑑𝐴 Momento de inercia Ix del área de la placa con respecto al eje “x” Se considera la figura plana A: Los momentos de inercia del elemento dA con respecto a los ejes “x” y “y” serán: dIx = y2dA dIy = x2dA Para el área completa momentos de inercia serán: los Definimos el momento polar de inercia Jo respecto al punto “O” o eje “z” dJO = r2dA Para el área completa el momento polar de inercia será: 𝑑𝐽𝑜 = 𝑟2𝑑𝐴 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 yo xo y yo son los ejes centroidales que pasan por el centroide C x’ y y’ son las distancias desde el elemento diferencia dA hasta los ejes centroidales xo ; yo dx y dy son distancias fijas desde el centroide C hasta los ejes cartesianos x ; y respectivamente. xo Momento de inercia del elemento diferencial dA con respecto al eje “x” 𝑰𝒙 = 𝒚′ + 𝒅 𝒚 𝑰𝒙 = (𝒚′ )𝟐 +𝟐𝒚′ 𝒅𝒚 + (𝒅𝒚 )𝟐 𝒅𝑨 𝑰𝒙 = (𝒚′ )𝟐 𝒅𝑨 + 𝟐𝒅𝒚 𝟐 𝒅𝑨 𝒚′ 𝒅𝑨 + (𝒅𝒚 )𝟐 𝒅𝑨 𝑰𝒙 = yo (𝒚′ )𝟐 𝒅𝑨 + 𝟐𝒅𝒚 𝒚′ 𝒅𝑨 + (𝒅𝒚 )𝟐 𝒅𝑨 (𝒚′ )𝟐 𝒅𝑨 = Momento de inercia del área con respecto al eje centroidal xo = Ixo 𝟐𝒅𝒚 𝒚′ 𝒅𝑨 = Momento del área con respecto al eje centroidal xo. Es igual a cero (la coordenada “y” del área con respecto al eje centroidal xo es igual a cero) (𝒅𝒚 )𝟐 𝒅𝑨 = 𝑨(𝒅𝒚 )𝟐 xo Ix = Ixo + A( dy )2 Iy = Iyo + A( dx )2 Ixo = Momento de inercia del área respecto al eje centroidal xo (tablas) Iyo = Momento de inercia del área respecto al eje centroidal yo (tablas) A = Área de la figura. dy , dx = Coordenadas vertical y horizontal del centro de gravedad de la figura. 𝑥 2 yo xo 𝑦 2 (c) (d) CASO II: Elemento diferencial perpendicular al eje del cual se calcula el momento de inercia Para calcular Ix: Todos los puntos del elemento diferencial no se encuentran a una misma distancia del eje “x”, por lo tanto, aplicar el teorema de ejes paralelos (fi. c): Ix =Ixo + A(dy)2 Ixo = Momento de inercia respecto al eje xo, A = Área de la figura, dy = y/2 Para calcular Iy: Todos los puntos del elemento diferencial no se encuentran a una misma distancia del eje “y”, por lo tanto, aplicar el teorema de ejes paralelos (fi. d): Iy =Iyo + A(dx)2 Iyo = Momento de inercia respecto al eje yo, A = Área de la figura, dx = x/2 En la figura adjunta, determinar: A) Momento de inercia respecto al eje “x” con elementos rectangulares diferenciales de espesor dy B) Momento de inercia respecto al eje “y” con elementos rectangulares diferenciales de espesor dx 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 "𝑑𝑦" 𝐼𝑥 = 𝑦 2 𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦 = 4 − 4𝑥 2 𝑑𝐴 = 2𝑥 𝑑𝑦 𝑥= 2𝑥 = 2 2𝑥 = 2 4−𝑦 4 4−𝑦 4 𝐼𝑥 = 𝑦 𝑑𝐴 𝑦2 𝐼𝑥 = 0 4 − 𝑦 𝑑𝑦 dy x x y 4−𝑦 2 2𝑥 = 4−𝑦 𝑑𝐴 = 4 − 𝑦 𝑑𝑦 4 2 dA =(2x)dy 𝑰𝒙 = 𝟏𝟗. 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟒 Elemento diferencial paralelo al eje “x”. Todos los puntos del elemento diferencial se encuentran a la misma distancia del eje “x” En la figura adjunta, determinar: A) Momento de inercia respecto al eje “x” con elementos rectangulares diferenciales de espesor dy B) Momento de inercia respecto al eje “y” con elementos rectangulares diferenciales de espesor dx dA = ydx Elemento diferencial vertical de espesor dx 𝐼𝑦 = 𝑥 2 𝑑𝐴 𝑑𝐴 = 4 − 4𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 y 1 𝐼𝑦 = 2 𝑥 𝑑𝐴 𝐼𝑦 = 𝑥 2 4 − 4𝑥 2 𝑑𝑥 −1 𝑰𝒚 = 𝟏𝟔 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟒 𝟏𝟓 dx Elemento diferencial paralelo al eje “y”. Todos los puntos del elemento diferencial se encuentran a la misma distancia del eje “y” En la figura adjunta, determinar El momento de inercia con respecto al eje “x” El momento de inercia con respecto al eje “y” Elemento diferencial horizontal paralelo al eje “x” de espesor dy 𝑑𝐴 = 𝑥𝑑𝑦 2 ℎ 𝑦 = 2 𝑥2 𝑏 𝑏 𝑦 𝑥= ℎ ℎ 2 𝐼𝑥 = 𝑦 𝑑𝐴 𝐼𝑥 = 𝑦 2 0 𝐼𝑥 = 𝑏 7 ℎ2 1 ℎ2 7 2 1 𝑏𝑦 2 1 1 2 𝑑𝑦 𝑥= 𝐼𝑥 = 1 ℎ2 ℎ2 7 𝑏 ℎ2 𝐼𝑥 = 1 7 ℎ2 2 𝑏 𝑰𝒙 = 𝟐 𝟑 𝒃𝒉 𝟕 1 𝑏𝑦 2 ℎ 1 ℎ2 5 𝑦 2 𝑑𝑦 0 𝑑𝐴 = 𝐼𝑥 = 1 𝑏𝑦 2 1 ℎ2 𝑏 dA = xdy 𝑑𝑦 7 ℎ 𝑦2 1 7 ℎ2 2 0 x dy y En la figura adjunta, determinar El momento de inercia con respecto al eje “x” El momento de inercia con respecto al eje “y” x Elemento diferencial vertical paralelo al eje “y” de espesor dx 𝑦= 𝑑𝐴 = ℎ − 𝑦 𝑑𝑥 𝑏 𝐼𝑦 = 𝑥 2 𝑑𝐴 𝑥2 𝐼𝑦 = 0 ℎ 2 𝑥 𝑏2 ℎ ℎ − 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏 𝑑𝐴 = ℎ − dx ℎ 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑏2 ℎ𝑥 3 ℎ𝑥 5 𝐼𝑦 = − 3 5𝑏 2 h-y 𝑏 0 y ℎ𝑏 3 ℎ𝑏 3 𝐼𝑦 = − 3 5 𝑰𝒚 = 𝟐 𝒉𝒃𝟑 𝟏𝟓 dA = (h – y)dx En la figura adjunta determinar: El momento de inercia con respecto al eje “x” El momento de inercia con respecto al eje “y” Elemento diferencial horizontal paralelo al eje “x” de espesor dy 𝑦= 𝐷𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 2: 𝑓2 𝑏2 𝑦 = 𝑥 𝑎 𝑑𝐴 = 𝑥1 − 𝑥2 𝑑𝑦 𝑥1 − 𝑥2 1 2 𝑎2 𝑦 = 𝑏 𝑑𝐴 = 𝑎𝑦 2 1 𝑏2 𝑏 𝐼𝑥 = 2 𝑦 𝑑𝐴 𝐼𝑥 = 𝑦 0 2𝑎𝑏 3 𝑎𝑏 3 𝐼𝑥 = − 7 5 2 1 𝑎𝑦 2 − 2 𝑏 1 𝑑𝐴 = 𝑥1 − 𝑥2 𝑑𝑦 𝑏 2 𝑥 𝑎2 𝐷𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 1: 𝑓1 2 1 𝑎𝑦 2 1 𝑏2 = 𝑎𝑦 2 1 𝑏2 2 𝑥1 = 𝑎 𝑦 𝑏 dA = (x1 – x2)dy 1 2 f2 𝑎𝑦 2 𝑥2 = 2 𝑏 dy 𝑥2 ; 𝑦 𝑥1 ; 𝑦 𝑎𝑦 2 − 2 𝑏 y f1 𝑎𝑦 2 − 2 𝑑𝑦 𝑏 2 𝑎𝑦 − 2 𝑏 𝟑𝒂𝒃𝟑 𝑰𝒙 = 𝟑𝟓 𝑑𝑦 𝐼𝑥 = 𝑎 𝑏 1 𝑏2 0 5 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑎 − 2 𝑏 𝑏 4 𝑦 𝑑𝑦 0 𝐼𝑥 = 𝑎 1 𝑏2 7 𝑏 𝑦2 7 2 0 5 𝑏 𝑎 𝑦 − 2 𝑏 5 𝐼𝑥 = 0 𝑎 1 𝑏2 7 𝑏2 𝑎 𝑏5 − 2 7 𝑏 5 2 En la figura adjunta determinar: El momento de inercia con respecto al eje “x” El momento de inercia con respecto al eje “y” dA = (y1 – y2)dx Elemento diferencial vertical paralelo al eje “y” de espesor dx 𝐷𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 1: 𝑓1 𝑏2 𝑦 = 𝑥 𝑎 𝐷𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 2: 𝑓2 𝑏 𝑦2 = 2 𝑥 2 𝑎 𝑑𝐴 = 𝑦1 − 𝑦2 𝑑𝑥 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑏 1 𝑎2 2 𝑦1 = 𝑏 1 𝑎2 f1 1 𝑥2 𝑥; 𝑦1 x 𝑏 − 2 𝑥2 𝑎 1 𝑥2 𝑥; 𝑦2 dx f2 𝑑𝐴 = 𝑑𝐴 = 𝑦1 − 𝑦2 𝑑𝑥 𝑏 1 1 𝑥2 𝑎2 𝐼𝑦 = 2 𝑥 𝑑𝐴 𝑎 𝐼𝑦 = 𝑥 0 2𝑎3 𝑏 𝑎3 𝑏 𝐼𝑦 = − 7 5 2 𝑏 1 𝑎2 1 𝑥2 𝟑𝒂𝟑 𝒃 𝑰𝒚 = 𝟑𝟓 − 𝑏 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑎2 𝑏 − 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 𝐼𝑦 = 𝑏 𝑎 1 𝑎2 0 5 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏 − 2 𝑎 𝑎 4 𝑥 𝑑𝑥 0 𝐼𝑦 = 𝑏 1 𝑎2 7 𝑎 𝑥2 7 2 0 𝑏 𝑥5 − 2 𝑎 5 𝑎 𝐼𝑦 = 0 𝑏 1 𝑎2 7 𝑎2 𝑏 𝑎5 − 2 7 𝑎 5 2 En la figura compuesta, determinar El momento de inercia con respecto al eje “x” El momento de inercia con respecto al eje “y” Momento de inercia respecto al eje “x” Usamos el teorema de los ejes paralelos respecto al eje “x” II 𝐼𝐼𝑥 = 𝐼𝐼𝑥𝑜 + 𝐴𝐼 (𝑑𝑦𝐼 )2 𝐼𝑥 = 𝐼𝐼𝑥 + 𝐼𝐼𝐼𝑥 − 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑥 III I 𝐼𝐼𝐼𝑥 = 𝐼𝐼𝐼𝑥𝑜 + 𝐴𝐼𝐼 (𝑑𝑦𝐼𝐼 )2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑥 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑥𝑜 + 𝐴𝐼𝐼𝐼 (𝑑𝑦𝐼𝐼𝐼 )2 Elemento I Área (mm2) (300)(200) = 30𝑥10 II 3 (300)(200) = 60𝑥10 III 1 2 Ixo (mm4) 1 1 𝑏ℎ3 (300)(200)3 36 36 = 6.667𝑥107 1 𝑏ℎ3 12 3 −π(75)2 = −17671.46 dy (mm) 1 200 3 1 (300)(200)3 12 = 2 𝑥 108 1 200 2 1 1 − (π)(75)4 − π𝑟 4 4 4 = −24850488.76 𝐼𝑥𝑜 + 𝐴 𝑑𝑦 = 100 (30𝑥103 )(66.67)2 = 13.333 𝑥107 (60𝑥103 )(100)2 = 6 𝑥 108 (−17671.46)(100)2 = 100 𝐼𝑥𝑜 = 241816177.9 𝐼𝑥 = = 66.67 A(dy )2 (mm4) = −176714600 𝐴 𝑑𝑦 2 2 = 556618400 𝑰𝒙 = 𝟕𝟗𝟖𝟒𝟑𝟒𝟓𝟕𝟕. 𝟗 𝒎𝒎𝟒 En la figura compuesta, determinar El momento de inercia con respecto al eje “x” El momento de inercia con respecto al eje “y” Momento de inercia respecto al eje “y” Usamos el teorema de los ejes paralelos respecto al eje “y” II 𝐼𝐼𝑦 = 𝐼𝐼𝑦𝑜 + 𝐴𝐼 (𝑑𝑥𝐼 )2 𝐼𝑦 = 𝐼𝐼𝑦 + 𝐼𝐼𝐼𝑦 − 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑦 III I 𝐼𝐼𝐼𝑦 = 𝐼𝐼𝐼𝑦𝑜 + 𝐴𝐼𝐼 (𝑑𝑥𝐼𝐼 )2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑦 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑦𝑜 + 𝐴𝐼𝐼𝐼 (𝑑𝑥𝐼𝐼𝐼 )2 Elemento I Área (mm2) (300)(200) = 30𝑥10 II 1 2 3 (300)(200) Iyo (mm4) 1 3 1 𝑏 ℎ 300 3 (200) 36 36 = 15 𝑥107 1 3 𝑏 ℎ 12 = 60𝑥103 III −π(75)2 = −17671.46 dx (mm) 2 300 3 1 300 3 (200) 12 = 45 𝑥 107 1 1 − (π)(75)4 − π𝑟 4 4 4 = −24850488.76 𝐼𝑦𝑜 + 𝐴 𝑑𝑥 (30𝑥103 )(200)2 = 12 𝑥 108 300 + 150 (60𝑥103 )(450)2 = 450 = 1.215 𝑥 1010 300 + 150 = 450 𝐼𝑦𝑜 = 575149511.2 𝐼𝑦 = = 200 A(dx )2 (mm4) (−17671.46)(450)2 = −3578470650 𝐴 𝑑𝑥 2 2 = 9771529350 𝑰𝒚 = 𝟏𝟎. 𝟑𝟒𝟔𝟔 𝒙 𝟏𝟎𝟗 𝒎𝒎𝟒 y’ 2.22 m En la figura compuesta, determinar la posición de los ejes centroidales x’ ; y’ y luego el momento de inercia con respecto a los ejes centroidales x’ ; y’ IV Momento de inercia respecto al eje x’ III x’ Usamos el teorema de los ejes paralelos respecto al eje x’ II 𝐼𝐼𝑥′ = 𝐼𝐼𝑥𝑜 + 𝐴𝐼 (𝑑𝑦𝐼 )2 𝐼𝑥′ = 𝐼𝐼𝑥′ + 𝐼𝐼𝐼𝑥′ + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑥′ + 𝐼𝐼𝑉𝑥′ 1.41 m 2 𝐼𝐼𝐼𝑥′ = 𝐼𝐼𝐼𝑥𝑜 + 𝐴𝐼𝐼 (𝑑𝑦𝐼𝐼 ) I 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑥′ = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑥𝑜 + 𝐴𝐼𝐼𝐼 (𝑑𝑦𝐼𝐼𝐼 )2 𝐼𝐼𝑉𝑥′ = 𝐼𝐼𝑉𝑥𝑜 + 𝐴𝐼𝑉 (𝑑𝑦𝐼𝑉 )2 Elemento Área (m2) I = 1.44 II = 2.70 III = 1.80 IV = 0.90 Ixo (m4) 1 𝑏ℎ3 12 1 𝑏ℎ3 36 1 𝑏ℎ3 12 1 𝑏ℎ3 36 1 (3.6) 0.4 12 1 (1.8) 3 3 36 1 (0.6) 3 12 1 (0.6) 3 36 dy (m) 𝐼𝑥𝑜 + (1.44)(1.21)2 = 2.108 = 0.0192 1.41 − 0.20 = 1.21 = 1.35 1.41 − 1.40 = 0.01 (2.70)(0.01)2 = 2.7 𝑥 10−4 3 = 1.35 1.41 − 1.90 = −0.49 (1.80)(−0.49)2 = 0.432 3 = 0.45 1.41 − 2.40 = −0.99 (0.90)(−0.99)2 = 0.882 3 𝐼𝑥𝑜 = 3.1692 𝐼𝑥′ = A(dy )2 (m4) 𝐴 𝑑𝑦 𝐴 𝑑𝑦 2 𝑰𝒙′ = 𝟔. 𝟓𝟗𝟏𝟓 𝒎𝟒 2 = 3.4223 y’ 2.22 m En la figura compuesta, determinar la posición de los ejes centroidales x’ ; y’ y luego el momento de inercia con respecto a los ejes centroidales x’ ; y’ IV Momento de inercia respecto al eje y’ III x’ Usamos el teorema de los ejes paralelos respecto al eje y’ 𝐼𝑦′ = 𝐼𝐼𝑦′ + 𝐼𝐼𝐼𝑦′ + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑦′ + 𝐼𝐼𝑉𝑦′ II 𝐼𝐼𝑦′ = 𝐼𝐼𝑦𝑜 + 𝐴𝐼 (𝑑𝑥𝐼 )2 1.41 m 2 𝐼𝐼𝐼𝑦′ = 𝐼𝐼𝐼𝑦𝑜 + 𝐴𝐼𝐼 (𝑑𝑥𝐼𝐼 ) I 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑦′ = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑦𝑜 + 𝐴𝐼𝐼𝐼 (𝑑𝑥𝐼𝐼𝐼 )2 𝐼𝐼𝑉𝑦′ = 𝐼𝐼𝑉𝑦𝑜 + 𝐴𝐼𝑉 (𝑑𝑥𝐼𝑉 )2 Elemento Área (m2) I = 1.44 II = 2.70 III = 1.80 IV = 0.90 Iyo (m4) 1 3 𝑏 ℎ 12 1 3 𝑏 ℎ 36 1 3 𝑏 ℎ 12 1 3 𝑏 ℎ 36 dx (m) 1 3.6 3 (0.4) = 1.5552 12 1 = 0.486 1.8 3 (3) 36 1 0.6 3 (3) 12 1 0.6 3 (3) 36 2.22 − 1.80 = 0.42 (1.44)(0.42)2 = 0.254 2.22 − 1.80 = 0.42 (2.70)(0.42)2 = 0.4763 = 0.054 2.22 − 2.70 = −0.48 (1.80)(−0.48)2 = 0.4147 = 0.018 2.22 − 3.20 = −0.98 (0.90)(−0.98)2 = 0.8644 𝐼𝑦𝑜 = 2.1132 𝐼𝑦′ = 𝐼𝑦𝑜 + A(dx )2 (m4) 𝐴 𝑑𝑥 𝐴 𝑑𝑥 2 𝑰𝒚′ = 𝟒. 𝟏𝟐𝟐𝟔 𝒎𝟒 2 = 2.0094