Espacios muestrales, Axiomas, interpretaciones y propiedades de probabilidad

Probabilidad y Estadística
Espacios muestrales, Axiomas, interpretaciones y
propiedades de probabilidad
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1. Cuatro universidades, 1, 2, 3 y 4, están participando en un torneo de básquetbol. En la
primera ronda, 1 jugará con 2 y 3 jugará con 4. Acto seguido los ganadores jugarán por el
campeonato y los dos perdedores también jugarán. Un posible resultado puede ser
denotado por 1324 (1 derrota a 2 y 3 derrota a 4 en los juegos de la primera ronda y luego 1
derrota a 3 y 2 derrota a 4).
a. Enumere todos los resultados en S. Aquí se nos pide enumerar todas las
maneras posibles en las que las 4 universidades tengan sus respectivos ganadores
y perdedores. Para entonces S = {1324, 1342, 1423, 1432, 2314, 2341, 2413, 2431,
3124, 3142, 3214, 3241, 4123, 4132, 4213, 4231}
b. Que A denote el evento en que 1 gana el torneo. Enumere los resultados en
A. En los resultados anteriores podemos observar que los que inician con el número
1 son aquellos donde la universidad 1 ganó el torneo (Derrotó a los demás en 1
ronda). Para entonces A = {1324,1342,1432,1423}
c. Que B denote el evento en que 2 gana el juego de campeonato. Enumere los
resultados en B. Se trata de los resultados en donde la Universidad 2 ganó 2
rondas del Torneo, por lo que B = {1324, 1342, 1423, 1432, 2314, 2341, 3214, 3241,
2413, 2431, 4213, 4231}
d. ¿Cuáles son los resultados en AUB y en A n B? ¿Cuáles son los resultados
en A’? AUB son todos aquellos elementos que son tanto del Conjunto A como del
Conjunto B, solo que unidos, por lo que sería AUB = {1324,1342,1432,1423, 1324,
1342, 1423, 1432, 2314, 2341, 3214, 3241, 2413, 2431, 4213, 4231}.
La intersección de A y B no existe ya que ambos conjuntos tienen elementos diferentes, por
lo que AnB no tiene resultados. Por otro lado, A’ son todos aquellos elementos que no
forman parte del conjunto A, en este caso son los elementos de los otros conjuntos (B, C, D).
Por lo que A’ = {3124, 3142, 4123, 4132, 2314, 2341, 3214, 3241, 2413, 2431, 4213, 4231}
3.-Tres componentes están conectados para formar un sistema como se muestra en el
diagrama adjunto. Como los componentes del subsistema 2-3 están conectados en
paralelo, dicho subsistema funcionará si por lo menos uno de los dos componentes
individuales funciona. Para que todo el sistema funcione, el componente 1 debe funcionar y
por lo tanto el subsistema 2-3 debe hacerlo. El experimento consiste en determinar la
condición de cada componente [E (éxito) para un componente que funciona y F (falla) para
un componente que no funciona].
a. ¿Qué resultados están contenidos en el evento A en que exactamente dos de los
tres componentes funcionan?
R= (E E F), (F E E), (E F E)
b. ¿Qué resultados están contenidos en el evento B en que por lo menos dos de los
componentes funcionan?
R= (E F E), (E E F), (E E E), (F E E)
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c. ¿Qué resultados están contenidos en el evento C en que el sistema funciona?
R= (E F E), (E E E), (E E F)
d. Ponga en lista los resultados en C, AC, AC, BC y BC.
R=
C´= (F F F), (F E E), (F F E), (E F F)
AuC= (E E F), (E F E), (F E E), (E E E)
AnC= (E E F), (EFE)
BuC= (E E F), (E F E), (F E E), (E E E)
BnC= (E E F), (E F E), (E E E)
7.- Un departamento académico acaba de votar secretamente para elegir un jefe de
departamento. La urna contiene cuatro boletas con votos para el candidato A y tres con
votos para el candidato B. Suponga que estas boletas se sacan de la urna una por una.
a. Ponga en lista todos los posibles resultados.
AAAABBB AAABABB AAABBAB AAABBBA AABAABB AABABAB AABABBA AABBAAB
AABBABA AABBBAA ABAAABB ABAABAB ABAABBA ABABAAB ABABABA ABABBAA
ABBAAAB ABBAABA ABBABAA ABBBAAA BAAAABB BAAABAB BAAABBA BAABAAB
BAABABA BAABBAA BABAAAB BABAABA BABABAA BABBAAA BBAAAAB BBAAABA
BBAABAA BBABAAA BBBAAAA
R= el resultado es de 35 resultados de conteo posibles de ambas letras, resultado de una
permutación.
b. Suponga que mantiene un conteo continuo de la boletas retiradas de la urna. ¿Para qué
resultados A se mantiene adelante durante todo el conteo?
R=
AAAABBB
AABABAB
AAABABB
AABAABB
AAABBAB
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9. Diagramas de Venn - Ley de De morgan
a.
=
Lo contrario a la unión de elementos en A y B es igual a la intersección de A negado y B negado.
A la izquierda, la unión queda en rosa, y su negación es el área azul. A la derecha, la
subexposición lineal de los colores sombrea de negro el area de la intersección de los
elementos negados, el sombreado azul y amarillo no representan a la intersección.
En efecto, son iguales.
b.
=
Lo contrario a la intersección de elementos en A y B es igual a la unión de A negado y B negado.
A la izquierda, el diagrama solo tiene una intersección sombreada en el centro, no
representa a la unión, a la derecha, los sombreados nunca se tocaron en el centro...
En efecto, hay equidad.
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15. Considere el tipo de secadora de ropa (de gas o eléctrica) adquirida por cada uno de
cinco clientes diferentes en cierta tienda.
a. Si la probabilidad de que a lo sumo uno de éstos adquiera una secadora
eléctrica es 0.428, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos adquieran
una secadora eléctrica? El total de las probabilidades debe ser de 1, por lo que
para obtener la probabilidad de adquisición de una secadora de gas se debe
simplemente restar 0.428 a 1, y el resultado es 0.572 de probabilidad.
b. Si P(los cinco compran una secadora de gas) = 0.116 y P(los cinco compran una secadora
eléctrica) = 0.005, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos se adquiera una secadora
de cada tipo? La probabilidad de que se adquiera una secadora de cada tipo por parte de los
5 clientes es de 0.879. Porque la suma de ambas probabilidades (0.116+0.005) se trata de
comprar una secadora y lo tomamos como P(A), restando las sumas de ambas
probabilidades a 1 da como resultado 0.879, representando el valor de P(A’) o mejor dicho
todo aquello que no pertenece a lo que originalmente conocemos como P(A).
17. Que A denote el evento en que la siguiente solicitud de asesoría de un consultor de
“software” estadístico tenga que ver con el paquete SPSS y que B denote el evento en que
la siguiente solicitud de ayuda tiene que ver con SAS. Suponga que P(A ) = 0.30 y P(B) =
0.50.
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21. Pólizas
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25. Las tres opciones principales en un tipo de carro nuevo son una transmisión automática
(A), un quemacocos (B) y un estéreo con reproductor de discos compactos (C). Si 70% de
todos los compradores solicitan A, 80% solicitan B, 75% solicitan C, 85% solicitan A o B,
90% solicitan A o C, 95% solicitan B o C y 98% solicitan A o B o C, calcule las
probabilidades de los siguientes eventos. [Sugerencia: “A o B” es el evento en que por lo
menos una de las dos opciones es solicitada; trate de trazar un diagrama de Venn y rotule
todas las regiones.]
a. El siguiente comprador solicitará por lo menos una de las tres opciones.
P(AUBUC)=0.98
La probabilidad de que el comprador solicite por lo menos una de las opciones es del 98%
b. El siguiente comprador no seleccionará ninguna de las tres opciones.
Explicación
utilizando las leyes de Morgan que nos dice que P(ẴПƀПĈ) y esto es 1.00- P(AUBUC) y
sabemos que P(AUBUC) es 98 así que seria 1.00 – 0.98
Así que es 02% de no elijan ni una de las opciones
c. El siguiente comprador solicitará sólo una transmisión automática y ninguna otra de las
otras dos opciones.
Explicación
A= P(AUBUC) - P(BUC)
P(BUC) = 95
P(AUBUC)=98
A= P(AUBUC) - P(BUC)=98-95
El comprador que solo elija la opción A es de un 03%
d. El siguiente comprador seleccionará exactamente una de estas tres opciones.
Explicación
Ya sabemos cuanto es solo A ahora hacemos los mismo, pero con B y C.
SA= P(AUBUC) - P(BUC)
P(BUC) = 95
P(AUBUC)=98
SA= P(AUBUC) - P(BUC)=98-95=03
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SB= P(AUBUC) - P(AUC)
P(AUC) = 90
P(AUBUC)=98
SB= P(AUBUC) - P(BUC)=98-90=08
SC= P(AUBUC) - P(AUB)
P(AUB) = 85
P(AUBUC)=98
SC= P(AUBUC) - P(AUB)=98-85=13
P(sAUsBUsC)=03+08+13
Así que si el comprador seleccionará exactamente una de estas tres opciones la
probabilidad es del 24%
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