Guía para admisión Parte 2 Aritmética Apartado 1: Ley de los Signos Introducción: La ley de los signos es una regla fundamental en aritmética que nos permite realizar operaciones con números positivos y negativos. Es importante comprender esta ley para poder realizar correctamente las operaciones y obtener resultados precisos. Representación lineal de los números naturales: Antes de adentrarnos en la ley de los signos, es útil comprender cómo se representan los números naturales en una línea numérica. Imagina una línea horizontal donde los números positivos se encuentran a la derecha del cero y los números negativos se encuentran a la izquierda del cero. Por ejemplo: Esta representación nos ayuda a visualizar y comparar los números positivos y negativos en relación con el cero. No es de ahuevo leer esto pero si lo comprendes, te volverás un crack. Se dice que la cantidad de numeros naturales es infinita, al igual que la cantidad de numeros racionales pero también se dice que hay más numeros racionales que numeros naturales, ¿Por qué? Guía para admisión Parte 2 1 Es más que claro que los numeros naturales se extienden desde -infinito hasta + infinito, si quisieras recorrerlos todos, jamás terminarías pero, ¿Qué tal si tuvieras una cantidad infinita de tiempo para contar, llegarías entonces al límite?, la respuesta es no, y esto se debe a que los números en realidad no están ubicados en una recta como siempre lo hemos aprendido, más bien forman un círculo, y el radio de éste círculo sí que es infinito, y hay una cantidad infinita de círculos independientes unos de los otros por ejemplo; el círculo de numeros naturales (1,2,3…), el círculo de numeros impares (1,3,5…), el círculo de cuadrados perfectos (1,4,9) entre otros. Pero a pesar de ser círculos independientes unos de los otros, coinciden en ciertos valores y esta especie de conexión entre los círculos puede ser descrita como una “función”, ¡¡ vayamos a la explicación !! El círculo de números naturales estará formado por valores discretos es decir; sólo podrá incrementarse una unidad a la vez (1,2,3). Puedes visualizarlo mejor si imaginas a un corredor en una pista circular. En el punto de partida, estará posicionado en el 0, este corredor avanzará al punto 2 despues de 2 pasos y al punto 10 después de 10 pasos, si no hubiese objetos alrededor de la pista circular (un espacio complétamente vacío), el corredor no sabría cuando puede parar de correr, el punto de partida osease, el 0, tiene como objetivo ser una “referencia” para medir el avance del corredor, de esta manera, si el corredor tiene como meta llegar a el numero 100 desde el 0, y por alguna razón se le ocurre dar un paso hacia atrás, terminará ubicado en una posición negativa (-1) con respecto al 0. Si alargamos la pista mucho más, un millón de veces más, dará la impresión de que el corredor está ubicado en una pista recta, el mejor de ejemplo de esto es nuestro planeta, a pesar de ser una esfera, su gran tamaño hace pensar que nos ubicamos en un terreno plano con montañas y valles, peso si fueras suficientemente grande para observar el planeta muy alejado de tu vista, podrías notar que su superficie es curva y no plana. Explicar lo que viene a continuación (que la cantidad de números racionales es mayor a la cantidad de números enteros), requiere mucha imaginación y una gran concentración y mucho más tiempo, pero en pocas palabras podría decirse que la cantidad de números enteros es un círculo único que toma valores discretos, es decir; que sólo incrementa en una unidad a la vez (1,2,3…), mientras que los numeros racionales son un enorme grupo de círculos, por ejemplo; considera la siguiente sucesión: 0.1, 0.2, 0.3 …, esta sucesión sólo puede sumar 0.1 unidades a la vez y seguirá así hasta el infinito, Guía para admisión Parte 2 2 otro círculo de los números racionales puede ser la sucesión de 0.3, 0.6, 0.9…, esta sucesión sólo suma 0.3 unidades cada vez y se extiende hasta infinito. La razón por la cuál se dice que todos estos círculos hechos por sucesiones de numeros racionales, pertenecen al enorme grupo de numeros racionales, es porque cada círculo, a pesar de ser independiente de el resto, guarda una conexión entre algunos valores, tal y como ocurre en los círculos mencionados anteriormente, estos comparten el número 0.3 y compartirán el 0.6 y el 0.9, y una cantidad infinita de números que compartan el múltiplo 0.3, si interáramos encontrar el círculo de numeros racionales con los incrementos más pequeños, jamás llegaríamos al valor más chico, 0.0001 (1/10,000), es enorme comparado con 1x10^-23, que es igual a dividir el número 1 sobre 1 seguido de 23 ceros (1/100000000000000000000000), y este mismo número resulta enorme comparado con otros más chicos. Es por ello que no podríamos introducir a todos los números irracionales en un círculo cómo lo hacemos con los numeros naturales, dicho esto, la cantidad de números racionales es mayor a la cantidad de números naturales porque la cantidad de círculos (sucesiones), que contiene el grupo de numeros racionales, es enorme (infinita) mientras que los numeros naturales pueden reducirse a un único círculo de radio infinito. En otras palabras, existen infinitos más grandes que otros infinitos, (Héctor Herrera, 2020, Universal numerical relationship theory, pag 2223). Explicación de la ley de los signos: La ley de los signos establece las reglas para realizar operaciones con números positivos y negativos. A continuación, se presentan las reglas básicas: 1. Suma de números con el mismo signo: Si sumamos dos números con el mismo signo (positivo o negativo), el resultado tiene el mismo signo que los números sumados. Por ejemplo: (+3) + (+5) = +8 (-4) + (-2) = -6 2. Suma de números con signos diferentes: Si sumamos dos números con signos diferentes, el resultado tiene el signo del número con mayor valor absoluto y se le asigna el signo del número que tiene mayor magnitud. Por ejemplo: (+7) + (-2) = +5 Guía para admisión Parte 2 3 (-9) + (+3) = -6 3. Resta de números: La resta se puede expresar como una suma con el opuesto del número que se resta. Es decir, la resta de un número es lo mismo que sumarle su opuesto. Por ejemplo: (+4) - (+2) se convierte en (+4) + (-2) = +2 (-6) - (-3) se convierte en (-6) + (+3) = -3 4. Multiplicación y división de números: La multiplicación y la división siguen las mismas reglas que la suma y la resta en cuanto a los signos de los números involucrados. Si multiplicamos o dividimos números con signos iguales, el resultado es positivo. Si multiplicamos o dividimos números con signos diferentes, el resultado es negativo. Ejemplos con explicación paso a paso: 1. Ejemplo de suma con el mismo signo: (+3) + (+5) Sumamos los valores absolutos: 3 + 5 = 8 Mantenemos el signo común: +8 Respuesta: +8 2. Ejemplo de suma con signos diferentes: (+7) + (-2) Restamos los valores absolutos: 7 - 2 = 5 El número con mayor valor absoluto es 7, por lo tanto, el resultado tiene el signo del 7: +5 Respuesta: +5 3. Ejemplo de resta: (-6) - (-3) Convertimos la resta en una suma: (-6) + (+3) Restamos los valores absolutos: 6 - 3 = 3 Guía para admisión Parte 2 4 El número con mayor valor absoluto es 6, por lo tanto, el resultado tiene el signo del 6: -3 Respuesta: -3 Truco: Un truco útil para recordar la ley de los signos es utilizar la siguiente regla nemotécnica: "El mismo signo suma y diferente signo resta" Este truco nos ayuda a recordar que cuando los números tienen el mismo signo, se suman, y cuando tienen signos diferentes, se restan. Aplicación del truco: Ejemplo: (-8) + (-2) Utilizando el truco, sabemos que como los números tienen el mismo signo (ambos negativos), debemos sumarlos. Sumamos los valores absolutos: 8 + 2 = 10 Mantenemos el signo común (negativo): -10 Respuesta: -10 De esta manera, podemos utilizar el truco para simplificar la aplicación de la ley de los signos y obtener la respuesta de manera más sencilla. Continúa... 4.1. NÚMEROS ENTEROS 4.1.1. Operaciones (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación) En este tema, exploraremos las operaciones básicas con números enteros. Los números enteros incluyen tanto los números positivos como los negativos, así como el número cero. Adición: La adición de números enteros se realiza sumando los valores numéricos y manteniendo el signo del número con mayor valor absoluto. Por ejemplo: (-3) + (-5) = -8 4 + (-7) = -3 Guía para admisión Parte 2 5 Sustracción: La sustracción de números enteros se realiza sumando el primer número con el opuesto aditivo del segundo número. Por ejemplo: (-3) - (-5) = 2 4 - (-7) = 11 Multiplicación: La multiplicación de números enteros sigue las reglas de los signos. Si los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo; si tienen signos diferentes, el resultado es negativo. Por ejemplo: (-3) * (-5) = 15 4 * (-7) = -28 División: La división de números enteros también sigue las reglas de los signos. Si los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo; si tienen signos diferentes, el resultado es negativo. Por ejemplo: (-15) / (-3) = 5 28 / (-7) = -4 Potenciación: La potenciación implica elevar un número entero a una potencia determinada. Si el exponente es par, el resultado será siempre positivo; si el exponente es impar, el resultado conservará el signo del número base. Por ejemplo: (-2)^4 = 16 (-3)^3 = -27 Radiciación: La radicación de números enteros implica extraer la raíz cuadrada de un número. Para números enteros negativos, la radicación no tiene solución en los números reales. Por ejemplo: √25 = 5 √(-36) no tiene solución en los números reales Truco: Al sumar o restar números enteros, imagina que estás moviéndote a lo largo de una línea numérica. Si vas hacia la derecha, sumas; si vas hacia la izquierda, restas. Mantén en cuenta los signos y realiza las operaciones paso a paso. 4.1.2. Resolución de problemas Guía para admisión Parte 2 6 En esta sección, aprenderemos a resolver problemas que involucran operaciones con números enteros. Los problemas pueden implicar situaciones de ganancias y pérdidas, cambios de temperatura, distancias y más. La clave para resolver problemas de números enteros es identificar el significado de los números y aplicar las operaciones adecuadas. Truco: Al resolver problemas con números enteros, es útil establecer variables y ecuaciones que representen las cantidades involucradas. Luego, traduce las palabras del problema a expresiones matemáticas y resuelve la ecuación para encontrar la respuesta. 4.2. NÚMEROS RACIONALES 4.2.1. Representación En esta sección, exploraremos la representación de los números racionales. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción, es decir, una división de dos números enteros. La representación de un número racional puede ser en forma de fracción o en forma decimal. Fracción: Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador. El numerador representa la parte que se toma de la unidad, y el denominador representa la cantidad de partes iguales en las que se divide la unidad. Por ejemplo: 3/4 representa 3 partes de un todo dividido en 4 partes iguales. Decimal: Un número racional también puede expresarse en forma decimal. Al dividir el numerador entre el denominador, obtenemos el valor decimal del número racional. Por ejemplo: 3/4 = 0.75 Truco: Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador utilizando la división larga. Si obtienes una repetición de dígitos, coloca una línea horizontal sobre los dígitos repetidos para indicar la repetición. 4.2.2. Relación de equivalencia En esta sección, exploraremos la relación de equivalencia entre las fracciones. Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, pero están escritas de manera diferente. Para determinar si dos fracciones son equivalentes, podemos Guía para admisión Parte 2 7 simplificarlas a su forma más reducida o encontrar un factor común entre el numerador y el denominador. Truco: Para simplificar una fracción, encuentra el máximo común divisor (MCD) entre el numerador y el denominador y divide ambos por el MCD. Si el MCD es 1, la fracción no puede simplificarse más. 4.2.3. Relación de orden entre fracciones comunes y decimales En esta sección, exploraremos cómo comparar y ordenar fracciones comunes y decimales. Para comparar fracciones comunes, podemos encontrar un denominador común y comparar los numeradores. Para comparar fracciones decimales, podemos comparar los valores decimales directamente. Truco: Para comparar fracciones comunes, encuentra un denominador común multiplicando los denominadores originales. Luego, compara los numeradores. Para comparar fracciones decimales, compáralas dígito por dígito, comenzando desde la parte entera hacia la parte decimal. 4.2.4. Operaciones (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación) En esta sección, exploraremos las operaciones básicas con números racionales. Las operaciones con números racionales siguen las mismas reglas que las operaciones con números enteros. Adición y sustracción: Para sumar o restar fracciones, primero debemos encontrar un denominador común. Luego, sumamos o restamos los numeradores y mantenemos el denominador común. Por ejemplo: 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1 Multiplicación: Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores. Por ejemplo: (2/3) * (5/8) = (2 * 5) / (3 * 8) = 10/24 = 5/12 División: Para dividir fracciones, multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Por ejemplo: (2/3) / (4/5) = (2/3) * (5/4) = (2 * 5) / (3 * 4) = 10/12 = 5/6 Potenciación: Para elevar una fracción a una potencia, elevamos el numerador y el denominador a esa potencia. Por ejemplo: Guía para admisión Parte 2 8 (3/4)^2 = (3^2) / (4^2) = 9/16 Radición: Para calcular la raíz cuadrada de una fracción, calculamos la raíz cuadrada del numerador y el denominador por separado. Por ejemplo: √(4/9) = √4 / √9 = 2/3 Truco: Al realizar operaciones con fracciones, es útil simplificar las fracciones antes de continuar. También puedes convertir las fracciones a decimales para facilitar los cálculos. 4.2.5. Razones y proporciones En esta sección, exploraremos las razones y proporciones. Una razón es una comparación entre dos cantidades mediante una fracción. Una proporción es una igualdad entre dos razones. Razón: La razón se expresa en forma de fracción y representa la relación entre dos cantidades. Por ejemplo, si se tienen 2 manzanas y 3 naranjas, la razón de manzanas a naranjas es 2/3. Proporción: Una proporción es una igualdad entre dos razones. Se puede resolver una proporción utilizando la regla de tres. Por ejemplo, si se tiene la proporción 2/3 = x/6, se puede encontrar el valor de x multiplicando cruzadamente: 2 * 6 = 3 * x, lo que resulta en x = 4. Truco: Para resolver proporciones, recuerda que los productos de los términos diagonales son iguales. Si uno de los términos es desconocido, puedes despejarlo utilizando álgebra. 4.2.6. Cálculo de porcentajes En esta sección, exploraremos cómo calcular porcentajes. Un porcentaje es una fracción cuyo denominador es 100. Para calcular un porcentaje, multiplicamos la fracción decimal por 100. Cálculo de un porcentaje: Para calcular un porcentaje, multiplicamos la fracción decimal por 100. Por ejemplo, si queremos calcular el 20% de 80, multiplicamos 0.20 por 80, lo que resulta en 16. Incremento o disminución porcentual: Para calcular el incremento o la disminución porcentual de una cantidad, utilizamos la fórmula: (nuevo valor - valor Guía para admisión Parte 2 9 original) / valor original * 100%. Por ejemplo, si un precio original de $100 aumenta a $120, el incremento porcentual es: (120 - 100) / 100 * 100% = 20%. Truco: Para calcular porcentajes mentalmente, puedes utilizar estrategias como descomponer el número en múltiplos de 10 o utilizar propiedades como el 10% (que es simplemente mover el punto decimal un lugar a la izquierda). 4.2.7. Potencias de 10 y notación científica o exponencial En esta sección, exploraremos las potencias de 10 y la notación científica o exponencial. Las potencias de 10 son números que se obtienen al multiplicar 10 por sí mismo varias veces. La notación científica o exponencial se utiliza para representar números grandes o pequeños de manera más compacta. Potencias de 10: Las potencias de 10 se expresan en forma de 10^n, donde n es un número entero positivo o negativo. Por ejemplo, 10^2 = 100 y 10^-3 = 0.001. Notación científica o exponencial: La notación científica o exponencial se utiliza para representar números grandes o pequeños de manera más compacta. Se expresa como a * 10^n, donde a es un número decimal mayor o igual a 1 y menor que 10, y n es un número entero que indica el desplazamiento del punto decimal. Por ejemplo, 3.2 * 10^4 representa 32000 y 7.8 * 10^-2 representa 0.078. Truco: Para convertir un número a notación científica, desplaza el punto decimal hasta que quede un solo dígito diferente de cero a la izquierda del punto decimal. El número de lugares que desplazaste el punto decimal será el exponente de 10. 4.2.8. Resolución de problemas En esta sección, aplicaremos los conceptos aprendidos anteriormente para resolver problemas aritméticos que involucran números enteros, números racionales, razones, proporciones, porcentajes y potencias de 10. A continuación, se presentarán algunos ejemplos de problemas y cómo resolverlos: Ejemplo 1: Problema de proporción Juan tiene 4 manzanas y 6 naranjas. Si Marta tiene 9 manzanas, ¿cuántas naranjas tiene Marta? Solución: Podemos establecer una proporción entre las manzanas y las naranjas: 4/6 = 9/x Guía para admisión Parte 2 10 Para resolver la proporción, multiplicamos cruzadamente: 4x = 6 * 9 4x = 54 x = 54/4 x = 13.5 Por lo tanto, Marta tiene 13.5 naranjas. Ejemplo 2: Problema de porcentaje Un artículo tiene un precio original de $80. Si está en oferta con un descuento del 25%, ¿cuál es el precio de oferta? Solución: Para calcular el precio de oferta, multiplicamos el precio original por el porcentaje de descuento: Descuento = 25% = 0.25 Precio de oferta = Precio original - (Descuento * Precio original) Precio de oferta = $80 - (0.25 * $80) Precio de oferta = $80 - $20 Precio de oferta = $60 Por lo tanto, el precio de oferta es de $60. Ejemplo 3: Problema de notación científica La distancia entre la Tierra y el Sol es de aproximadamente 149,600,000 kilómetros. Exprésala en notación científica. Solución: Para expresar la distancia en notación científica, debemos mover el punto decimal hasta que quede un solo dígito diferente de cero a la izquierda del punto decimal. En este caso, sería 1.496 * 10^8 kilómetros. Truco: Al resolver problemas aritméticos, es útil identificar la información relevante, establecer las relaciones adecuadas y utilizar los conceptos y técnicas adecuados para llegar a la solución. Además, asegúrate de leer cuidadosamente el enunciado del problema y entender lo que se te pide. 4.3. PROPORCIONALIDAD 4.3.1. Razón y proporción. Guía para admisión Parte 2 11 En este tema, estudiaremos la relación entre dos cantidades y cómo se expresan mediante razones y proporciones. Una razón es una comparación de dos cantidades por medio de la división. Por ejemplo, si tenemos 2 manzanas y 3 naranjas, la razón de manzanas a naranjas es 2:3. Una proporción, por otro lado, es una igualdad de dos razones. Por ejemplo, si tenemos la proporción 2:3 = 4:6, significa que la razón entre manzanas y naranjas es la misma que la razón entre 4 y 6. En la resolución de problemas de proporción, podemos utilizar el método de producto cruzado. Si tenemos la proporción a:b = c:d, podemos multiplicar en cruz para obtener ad = bc. Truco: Para resolver problemas de proporción, es útil recordar que los términos de la misma posición en cada razón deben ser comparables. Además, siempre verifica si la proporción es verdadera multiplicando los términos extremos y los términos medios y comparando los productos obtenidos. 4.3.2. Regla de tres simple directa e inversa. La regla de tres es una herramienta utilizada para resolver problemas de proporcionalidad directa o inversa. En la regla de tres simple directa, si dos cantidades son directamente proporcionales, su relación se mantiene constante. Por ejemplo, si 4 trabajadores pueden construir un muro en 5 días, entonces 8 trabajadores podrían construirlo en la mitad de tiempo, es decir, en 2.5 días. En la regla de tres simple inversa, si dos cantidades son inversamente proporcionales, su producto se mantiene constante. Por ejemplo, si un coche recorre 300 km en 6 horas, entonces para recorrer 600 km, el tiempo requerido sería la mitad, es decir, 3 horas. Truco: Para resolver problemas de regla de tres, identifica las cantidades directa o inversamente proporcionales y utiliza la relación constante para encontrar la cantidad desconocida. 4.4. PORCENTAJES 4.4.1. Concepto de porcentaje. Guía para admisión Parte 2 12 El porcentaje es una forma común de expresar una parte de un todo en términos relativos a 100. Se representa utilizando el símbolo "%". Por ejemplo, si tenemos 20 manzanas y 5 de ellas son verdes, podemos decir que el 25% de las manzanas son verdes. 4.4.2. Cálculo de porcentajes. Para calcular un porcentaje, utilizamos la fórmula: Porcentaje = (Parte / Total) * 100 Por ejemplo, si tenemos un examen con 40 preguntas y hemos respondido correctamente 30 preguntas, podemos calcular el porcentaje de respuestas correctas de la siguiente manera: Porcentaje = (30 / 40) * 100 = 75% Esto significa que hemos respondido correctamente el 75% de las preguntas. Truco: Para calcular rápidamente un porcentaje, puedes utilizar la regla del 10%. Si conoces el 10% de una cantidad, puedes multiplicarlo por el número correspondiente para obtener otros porcentajes. Por ejemplo, si el 10% de un número es 50, el 20% sería 2 veces ese número (100), el 30% sería 3 veces ese número (150), y así sucesivamente. 4.4.3. Incrementos y descuentos porcentuales. Los incrementos y descuentos porcentuales son cálculos comunes en los que se aplica un aumento o disminución a una cantidad original. Para calcular un aumento porcentual, se utiliza la fórmula: Aumento = Cantidad original * (Porcentaje de aumento / 100) Por ejemplo, si un artículo tiene un precio original de $100 y se aplica un aumento del 20%, el aumento sería: Aumento = $100 * (20 / 100) = $20 El nuevo precio sería la suma de la cantidad original y el aumento: Nuevo precio = $100 + $20 = $120 Para calcular un descuento porcentual, se utiliza la misma fórmula, pero con el porcentaje de descuento: Descuento = Cantidad original * (Porcentaje de descuento / 100) Guía para admisión Parte 2 13 Truco: Para calcular rápidamente un aumento o descuento, puedes utilizar la regla del 10%. Si conoces el 10% de una cantidad, puedes multiplicarlo por el número correspondiente para obtener otros porcentajes. Por ejemplo, si el 10% de un número es 10, el 20% sería 2 veces ese número (20), el 30% sería 3 veces ese número (30), y así sucesivamente. 4.5. NOTACIÓN CIENTÍFICA Y OPERACIONES CON NÚMEROS GRANDES 4.5.1. Notación científica. La notación científica es una forma de representar números muy grandes o muy pequeños de manera más compacta. Consiste en escribir un número en forma de un producto entre un número decimal y una potencia de 10. Por ejemplo, el número 300.000 se puede escribir en notación científica como 3 x 10^5. En la notación científica, el número decimal debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10. La potencia de 10 indica cuántas posiciones se desplaza el número decimal hacia la izquierda (si es positiva) o hacia la derecha (si es negativa). 4.5.2. Operaciones con números grandes. Cuando realizamos operaciones con números muy grandes, es útil utilizar la notación científica para simplificar los cálculos. Para sumar o restar números en notación científica, primero se igualan las potencias de 10 y luego se suman o restan los números decimales. Para multiplicar números en notación científica, se multiplican los números decimales y se suman las potencias de 10. Para dividir números en notación científica, se dividen los números decimales y se restan las potencias de 10. Truco: Para realizar cálculos rápidos con números grandes, utiliza la notación científica y simplifica los cálculos al operar con los números decimales y las potencias de 10 por separado. 4.5.3. Redondeo de números. Cuando trabajamos con números muy grandes, a menudo es necesario redondear el resultado. El redondeo consiste en aproximar un número a un número más cercano y más manejable. Para redondear un número, se toma en cuenta la cifra decimal siguiente. Si esa cifra es igual o mayor que 5, se aumenta el último dígito de la parte entera en 1 y se eliminan Guía para admisión Parte 2 14 todas las cifras decimales. Si la cifra decimal siguiente es menor que 5, se eliminan todas las cifras decimales. Truco: Para redondear un número de manera más rápida, utiliza la regla del redondeo a la par. Si la cifra decimal siguiente es 5, elige el número par más cercano. Por ejemplo, si tienes que redondear 3.175 a dos decimales, la cifra decimal siguiente es 7, por lo que redondearías a 3.18 utilizando la regla del redondeo a la par. 4.6. PROPORCIONES Y PORCENTAJES 4.6.1. Razones y proporciones. Una proporción es una igualdad entre dos razones. Una razón es una comparación entre dos cantidades. En una proporción, los términos de una razón son proporcionales a los términos de la otra razón. La forma general de una proporción es: a/b = c/d Donde "a" y "c" son los términos antecedentes y "b" y "d" son los términos consecuentes. Para resolver una proporción, se puede utilizar el método de productos cruzados. Consiste en multiplicar los términos antecedentes de una razón y los términos consecuentes de la otra razón. Si los productos son iguales, la proporción es verdadera. Truco: Para resolver una proporción más rápidamente, puedes utilizar la regla de tres. Coloca los términos conocidos en una diagonal y deja el término desconocido solo en la otra diagonal. Luego, multiplica en cruz y divide para encontrar el valor desconocido. 4.6.2. Cálculo de porcentajes. El porcentaje es una forma de expresar una parte de un todo como una fracción de 100. Se utiliza para comparar cantidades y expresar cambios relativos. Para calcular un porcentaje, se utiliza la fórmula: Porcentaje = (Parte / Total) x 100 Para encontrar la parte o el total, se puede utilizar la regla de tres. Si se conoce el porcentaje y la parte, se puede despejar el total dividiendo la parte por el porcentaje y Guía para admisión Parte 2 15 luego multiplicando por 100. Si se conoce el porcentaje y el total, se puede despejar la parte multiplicando el total por el porcentaje y luego dividiendo por 100. Truco: Para calcular rápidamente el 10% de una cantidad, divide la cantidad entre 10. Para calcular el 5%, divide el 10% entre 2. 4.6.3. Aplicación de porcentajes. El cálculo de porcentajes se utiliza en muchas situaciones prácticas, como descuentos, aumentos, tasas de interés, impuestos, entre otros. Para calcular un descuento, se resta el porcentaje de descuento del precio original. Para calcular un aumento, se suma el porcentaje de aumento al precio original. Truco: Para calcular el precio con descuento de manera rápida, puedes multiplicar el precio original por el complemento del porcentaje de descuento. Por ejemplo, si tienes un descuento del 20%, multiplicar el precio original por 0.8 te dará el precio con descuento. 4.6.4. Potencias de 10 y notación científica o exponencial. Las potencias de 10 son una forma conveniente de expresar números muy grandes o muy pequeños. Se utilizan en notación científica o exponencial para simplificar la representación de estos números. En una potencia de 10, el número base es siempre 10 y el exponente indica cuántas veces se multiplica el número base por sí mismo. Por ejemplo: 10^2 = 10 x 10 = 100 10^3 = 10 x 10 x 10 = 1,000 10^4 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10,000 La notación científica o exponencial se utiliza para escribir números en forma abreviada. Consiste en escribir el número como un producto de dos factores: un número entre 1 y 10 y una potencia de 10. Por ejemplo: 3,200,000 = 3.2 x 10^6 0.00056 = 5.6 x 10^-4 Para multiplicar o dividir números en notación científica, se multiplican o dividen los factores numéricos por separado y se suman o restan los exponentes. Guía para admisión Parte 2 16 Truco: Para convertir un número en notación científica a forma estándar, mueve el punto decimal hacia la derecha si el exponente es positivo y hacia la izquierda si el exponente es negativo. 4.6.5. Resolución de problemas. La aritmética tiene muchas aplicaciones prácticas en la resolución de problemas. Se pueden utilizar las operaciones, proporciones, porcentajes y otras técnicas aprendidas para resolver situaciones de la vida cotidiana. Al resolver problemas, es importante comprender el enunciado, identificar los datos relevantes, elegir la estrategia adecuada y realizar los cálculos paso a paso. Es recomendable verificar la solución obtenida para asegurarse de que sea lógica y coherente. Truco: Al resolver problemas, utiliza diagramas, tablas o gráficos para organizar la información y visualizar mejor el problema. Además, lee cuidadosamente el enunciado y subraya los datos importantes. Formulario: Sección 1: Números enteros (4.1.1) 1. ¿Cuál es el resultado de la operación (-5) + 3? a) -8 b) -2 c) 2 d) 8 2. Calcula el producto de -4 y (-2). a) -6 b) 6 c) -8 d) 8 3. ¿Cuál es el cociente de la división (-12) ÷ 4? a) -3 b) 3 c) -4 d) 4 Guía para admisión Parte 2 17 4. Simplifica la expresión (-2)^3. a) -8 b) -6 c) 6 d) 8 5. Calcula la raíz cuadrada de 49. a) 7 b) -7 c) 49 d) -49 Sección 2: Problemas de números enteros (4.1.2) 1. Si Juan tenía 5 dólares y gasta 8 dólares, ¿cuál es el cambio que recibirá? a) -3 dólares b) 3 dólares c) -13 dólares d) 13 dólares 2. Un termómetro marca -3 °C en la mañana y sube 8 °C durante el día. ¿Cuál es la temperatura final? a) -11 °C b) 5 °C c) 11 °C d) -5 °C 3. El saldo de una cuenta bancaria es de -50 dólares. Si se depositan 30 dólares, ¿cuál es el nuevo saldo? a) -20 dólares b) 20 dólares c) -80 dólares d) 80 dólares 4. Un elevador desciende 6 pisos y luego sube 3 pisos. ¿A qué piso llega finalmente? a) 3 b) -3 Guía para admisión Parte 2 18 c) 9 d) -9 5. Un camión cargó -8 toneladas de mercancía en un almacén y descargó 12 toneladas en otro almacén. ¿Cuál es el cambio neto en la carga del camión? a) -20 toneladas b) 20 toneladas c) 4 toneladas d) -4 toneladas Sección 3: Números racionales - Representación, equivalencia y orden (4.2.1, 4.2.2, 4.2.3) 1. ¿Cuál de los siguientes números racionales es equivalente a 3/5? a) 2/5 b) 6/10 c) 1/3 d) 4/7 2. Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: -1/2, 3/4, 1/3, -5/6. a) -1/2, -5/6, 1/3, 3/4 b) -5/6, -1/2, 1/3, 3/4 c) -5/6, -1/2, 3/4, 1/3 d) -1/2, 1/3, 3/4, -5/6 3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es un número decimal periódico? a) 1/4 b) 2/3 c) 3/8 d) 5/9 4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es un número decimal no periódico? a) 3/10 b) 4/5 c) 7/8 d) 2/9 5. ¿Cuál es el valor exacto de la expresión 0.6 + 0.25 - 0.15? a) 0.70 Guía para admisión Parte 2 19 b) 0.75 c) 0.45 d) 0.66 Sección 4: Operaciones con números racionales (4.2.4) 1. Calcula la suma de 1/2 y 3/4. a) 5/8 b) 7/8 c) 1/4 d) 1/8 2. Realiza la resta de 2/3 y 1/4. a) 1/2 b) 1/12 c) 5/12 d) 7/12 3. Encuentra el producto de 2/5 y 3/8. a) 1/10 b) 3/40 c) 6/40 d) 5/16 4. Calcula el cociente de 3/4 dividido por 1/2. a) 3/8 b) 2/3 c) 4/6 d) 5/8 5. Simplifica la expresión (2/3)². a) 4/9 b) 8/9 c) 1/9 d) 9/4 Sección 5: Razones, proporciones y porcentajes (4.2.5, 4.2.6) Guía para admisión Parte 2 20 1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una razón equivalente a 4:7? a) 8:14 b) 5:9 c) 16:21 d) 3:5 2. En una receta de cocina, se necesitan 2 tazas de azúcar por cada 3 tazas de harina. Si quiero hacer la mitad de la receta, ¿cuántas tazas de azúcar necesitaré? a) 1/2 taza b) 1 taza c) 2 tazas d) 3 tazas 3. En una tienda de descuentos, un artículo que originalmente costaba $80 está en oferta con un descuento del 20%. ¿Cuál es el precio de venta del artículo con el descuento? a) $60 b) $64 c) $72 d) $84 4. Si el precio de un artículo se incrementa en un 25% y luego se reduce en un 20%, ¿cuál es el cambio porcentual neto en el precio del artículo? a) -5% b) 5% c) 20% d) 45% 5. Una tienda ofrece un descuento del 15% en todos sus productos. Si compro un artículo con descuento y el precio final es de $85, ¿cuál era el precio original del artículo sin descuento? a) $72 b) $100 c) $89 d) $92 Sección 6: Potencias de 10 y notación científica (4.2.7) Guía para admisión Parte 2 21 1. Escribe el número 0.000043 en notación científica. a) 4.3 × 10^5 b) 4.3 × 10^4 c) 4.3 × 10^-5 d) 4.3 × 10^-4 2. Calcula 3 × 10^4 ÷ (2 × 10^2). a) 1.5 × 10^2 b) 1.5 × 10^6 c) 1.5 × 10^8 d) 1.5 × 10^0 3. Escribe el número 2.5 × 10^-3 en forma decimal. a) 0.0025 b) 0.025 c) 0.25 d) 2.5 4. Calcula (5 × 10^2) × (2 × 10^3). a) 1 × 10^5 b) 1 × 10^6 c) 1 × 10^7 d) 1 × 10^8 5. Escribe el número 8.25 × 10^6 en forma decimal. a) 825,000 b) 8,250,000 c) 82,500,000 d) 825,000,000 Sección 7: Resolución de problemas (4.2.8) 1. Un equipo de fútbol ha ganado el 60% de los partidos que ha jugado. Si ha jugado 25 partidos en total, ¿cuántos partidos ha ganado? a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 Guía para admisión Parte 2 22 2. Un vendedor recibió una comisión del 5% por vender un producto que costaba $500. ¿Cuánto dinero recibió de comisión? a) $5 b) $10 c) $25 d) $50 3. Un estudiante respondió correctamente el 80% de las preguntas de un examen que tenía 40 preguntas en total. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente? a) 24 b) 28 c) 32 d) 36 4. En un salón de clases, el 30% de los estudiantes son mujeres. Si hay 25 estudiantes en total, ¿cuántos de ellos son mujeres? a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 5. Un libro originalmente costaba $120, pero ha sido rebajado en un 25%. ¿Cuál es el precio de venta del libro con el descuento? a) $90 b) $95 c) $100 d) $105 Respuestas a los reactivos: 1. D 11. C 21. B 31. D 2. C 12. D 22. A 32. D 3. B 13. A 23. C 33. C 4. A 14. B 24. B 34. B 5. D 15. C 25. D 35. C Guía para admisión Parte 2 23 6. A 16. D 26. C 7. B 17. A 27. A 8. C 18. B 28. A 9. D 19. C 29. B 10. B 20. D 30. B Guía para admisión Parte 2 24