EF Pregunta 1 La suma de “𝑛” variables aleatorias independientes de la forma 𝑋𝑖 , donde 𝑋𝑖 es una v.a. que sigue una distribución exponencial con parámetro 𝜆, resulta en: (1.5 ptos) a. Una v.a. que sigue una distribución gamma con parámetros “𝑛” y 𝜆. b. Si “𝑛” es suficientemente grande, podemos decir que el resultado es una v.a. que sigue 𝑛 𝑛 una distribución normal con media 𝜆 y varianza 𝜆2 . c. Alternativas “a” y “b” son correctas. d. No podemos afirmar nada pues las “𝑛” variables aleatorias son independientes. e. Ninguna de las anteriores. Pregunta 2 Celsa sabe que el promedio de las notas del Examen Final del curso Estadística 2 es de 10.5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? (1.5 ptos) Hint: Use la desigualdad de Markov a. b. c. d. e. El porcentaje de alumnos con una nota de al menos 16 no es superior a 65.63% El porcentaje de alumnos con una nota de al menos 14 no es superior a 75% El porcentaje de alumnos con una nota de al menos 15 es superior a 70% El porcentaje de alumnos con una nota de al menos 15 no es superior a 70% Hay más de una alternativa correcta. Pregunta 3 La función de densidad conjunta de la variable aleatoria bivariada (𝑋, 𝑌) está dado por 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑒 −(5𝑥+3𝑦) Definida para todo 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0. Por otro lado, las funciones marginales de densidad de las v.a. 𝑋 y 𝑌 están dadas por: 𝑓𝑋 (𝑥) = 5𝑒 −5𝑥 , para todo 𝑥 ≥ 0; y, 𝑓𝑌 (𝑦) = 3𝑒 −3𝑦 , para todo 𝑦 ≥ 0. En base a la información proporcionada responda las siguientes preguntas: Hint: La función de densidad de una v.a. que sigue una distribución exponencial con parámetro 𝜆 está dada por 𝑓𝑇 (𝑡) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 i. ¿Cuál debe ser aproximadamente el valor de 𝑘? (1 pto) a. 5 b. 3 c. 20 d. 10 e. Ninguna de las anteriores ii. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? (1.5 ptos) Las variables aleatorias 𝑋 y 𝑌 son independientes. Las variables aleatorias 𝑋 y 𝑌 no son independientes. Las variables aleatorias 𝑋 y 𝑌 son discretas. Las alternativas “a” y “c” son correctas. Las alternativas “b” y “c” son correctas. a. b. c. d. e. iii. ¿Cuál es aproximadamente la probabilidad que 𝑌 ≥ 1? (1.5 ptos) a. 5% b. 10% c. 15% d. 20% e. Ninguna de las anteriores iv. Dado que 𝑋 > 0.5 y 𝑌 > 1, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad que 𝑋 + 𝑌 < 2? (2 ptos) a. 14.3% b. 56.5% c. 26.7% d. 95.2% e. Ninguna de las anteriores Pregunta 4 En un determinado país, el cambio porcentual anual en su PBI (𝑋) y el rendimiento anual de la bolsa local (𝑌) sigue una distribución normal bivariada definida por: (𝑋, 𝑌)~𝑁(𝜇𝑋 = 2%, 𝜎𝑋2 = (1.5%)2 , 𝜇𝑌 = 8%, 𝜎𝑌2 = (10%)2 , 𝜌𝑋,𝑌 = 0.5) En base a la información mostrada responda las siguientes preguntas: i. ¿Cuál es aproximadamente la probabilidad que en un determinado año el PBI de dicho país sea crezca más de 3% y la bolsa local rinda más de 9%? (2 ptos) a. 9% b. 18% c. 22% d. 25% e. 44% ii. Si en un determinado año la bolsa local ha rendido 6%, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad que el crecimiento del PBI sea inferior a 1%? (2 ptos) a. 36.5% b. 42.6% c. 25.6% d. 10.3% e. Ninguna de las anteriores Pregunta 5 Antonella está interesada en averiguar qué porcentaje de la población limeña entiende a cabalidad el teorema del límite central, para ello ha realizado una encuesta 1,000 personas las cuales fueron elegidas de manera aleatoria. De las 1,000 personas sólo 123 dieron una respuesta satisfactoria a Antonella (satisfactoria en este caso significa que la respuesta llevó a Antonella a concluir que la persona entiende a cabalidad el teorema del límite central). En base a la información proporcionada responda las siguientes preguntas: i. A un 99% de confiabilidad ¿Antonella podría afirmar que el porcentaje de personas en Lima que entiende a cabalidad el teorema del límite central es diferente de 15%? (1.5 ptos) a. Sí, porque la proporción muestral es diferente de 15%. b. Sí, porque el intervalo de confianza de dos colas al 99% de confiabilidad para la proporción poblacional no incluye al 15%. c. No, porque el intervalo de confianza de dos colas al 99% de confiabilidad para la proporción poblacional no incluye al 15%. d. No, porque el intervalo de confianza de dos colas al 99% de confiabilidad para la proporción poblacional sí incluye al 15%. e. Ninguna de las anteriores. ii. De una muestra aleatoria de 1,000 personas limeñas (como la tomada por Antonella), el número de personas que entiende a cabalidad el teorema del límite central es una v.a., pues tomas otra muestra de tamaño 1,000 y dicho número saldrá probablemente distinto. ¿Qué distribución sigue dicha v.a.? (1.5 ptos) a. Distribución de Bernoulli b. Distribución Binomial c. Distribución Chi cuadrado d. Distribución de Poisson e. No se puede determinar Pregunta 6 A fin de estudiar la relación lineal entre el rendimiento del mercado en conjunto y el rendimiento de la acción 𝐴, Celsa ha realizado un análisis de regresión. La siguiente tabla muestra un resumen de dicho análisis. Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.968429792 Coeficiente de determinación R^2 0.937856263 R^2 ajustado 0.936784819 Error típico 0.051294449 Observaciones 60 ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de libertad Regresión Residuos Total Intercepción Mercado Suma de Promedio de Valor crítico de F cuadrados los cuadrados F 1 2.303072675 2.303072675 875.3201162 1.09732E-36 58 0.152604987 0.00263112 59 2.455677662 Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad -0.029312183 0.008405728 -3.487167669 0.000937815 1.924109228 0.065034869 29.58580937 1.09732E-36 Inferior 95% Superior 95% Inferior 95.0% Superior 95.0% -0.046138076 -0.01248629 -0.046138076 -0.01248629 1.793927795 2.054290662 1.793927795 2.054290662 En base a la información proporcionada responda las siguientes preguntas: i. ¿Qué porcentaje aproximadamente de la variación en el rendimiento de la acción A es explicado por el modelo de regresión lineal? (1 pto) a. 6.22% b. 96.84% c. 93.79% d. 5.13% e. Ninguna de las anteriores. ii. Según el modelo de regresión lineal, si el rendimiento del mercado ha sido de 10%, ¿cuánto se espera que sea el rendimiento de la acción A? (1.5 ptos) a. 19.24% b. -2.93% c. 16.31% d. 29.58% e. Ninguna de las anteriores. iii. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? (1.5 ptos) a. Uno de los supuestos para que un modelo de regresión lineal sea válido es que los errores sigan una distribución normal con varianza constante. b. Uno de los supuestos para que un modelo de regresión lineal sea válido es que los errores no estén correlacionados. c. Uno de los supuestos para que un modelo de regresión lineal sea válido es que los errores no estén correlacionados con la variable independiente (𝑋). d. Uno de los supuestos para que un modelo de regresión lineal sea válido es deba existir una dependencia lineal entre las variables dependiente (𝑌) e independiente (𝑋). Todas las anteriores ES La suma de 𝑛 = 1,000 variables aleatorias independientes de la forma 𝑋𝑖 , donde cada 𝑋𝑖 es una v.a. que sigue una distribución de Bernoulli con probabilidad de éxito 𝑝 = 0.002, resulta en: (1.5 ptos) f. Una v.a. que sigue una distribución binomial con parámetros 𝑛 = 1000 y 𝑝 = 0.002. g. Dado que "𝑛" es grande y “𝑝" muy pequeño, la v.a. resultante sigue aproximadamente una distribución de poisson con parámetro 𝜆 = 2. h. Alternativas “a” y “b” son correctas. i. No podemos afirmar nada pues las “𝑛” variables aleatorias son independientes. j. Ninguna de las anteriores. Pregunta 2 Celsa sabe que el promedio y la desviación estándar de las notas del Examen Final del curso Estadística 2 eson 10.5. y 1.5, respectivamente ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? (1.5 ptos) Hint: Use las desigualdades de Chebyshev y Markov f. g. h. i. j. El porcentaje de alumnos con una nota menor igual 7.5 no es superior a 25% El porcentaje de alumnos con una nota de al menos 14 es superior a 75% El porcentaje de alumnos con una nota de al menos 15 es superior a 70% El porcentaje de alumnos con una nota menor igual a 6 es superior a 11.11% Hay más de una alternativa correcta. Pregunta 3 La función de densidad conjunta de la variable aleatoria bivariada (𝑋, 𝑌) está dado por 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑒 −(6𝑥+7𝑦) Definida para todo 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0. Por otro lado, las funciones marginales de densidad de las v.a. 𝑋 y 𝑌 están dadas por: 𝑓𝑋 (𝑥) = 6𝑒 −6𝑥 , para todo 𝑥 ≥ 0; y, 𝑓𝑌 (𝑦) = 7𝑒 −7𝑦 , para todo 𝑦 ≥ 0. En base a la información proporcionada responda las siguientes preguntas: Hint: La función de densidad de una v.a. que sigue una distribución exponencial con parámetro 𝜆 está dada por 𝑓𝑇 (𝑡) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 v. ¿Cuál debe ser aproximadamente el valor de 𝑘? (1 pto) a. 42 b. c. d. e. 13 49 36 Ninguna de las anteriores vi. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? (1.5 ptos) a. Las variables aleatorias 𝑋 y 𝑌 son independientes. b. Las variables aleatorias 𝑋 y 𝑌 no son independientes. c. Las variables aleatorias 𝑋 y 𝑌 son continuas. d. Las alternativas “a” y “c” son correctas. e. Las alternativas “b” y “c” son correctas. vii. ¿Cuál es aproximadamente la probabilidad que 𝑋 ≥ 0.5? (1.5 ptos) a. 5% b. 10% c. 15% d. 20% e. Ninguna de las anteriores viii. Dado que 𝑋 > 0.25 y 𝑌 > 0.6, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad que 𝑋 + 𝑌 < 1? (2 ptos) a. 16.7% b. 58.9% c. 25.4% d. 93.6% e. Ninguna de las anteriores Pregunta 4 En un determinado| país, el cambio porcentual anual en su PBI (𝑋) y el rendimiento anual de la bolsa local (𝑌) sigue una distribución normal bivariada definida por: (𝑋, 𝑌)~𝑁(𝜇𝑋 = 2%, 𝜎𝑋2 = (1.5%)2 , 𝜇𝑌 = 8%, 𝜎𝑌2 = (10%)2 , 𝜌𝑋,𝑌 = 0.5) En base a la información mostrada responda las siguientes preguntas: iii. ¿Cuál es aproximadamente la probabilidad que en un determinado año el PBI de dicho país sea crezca más de 2% y la bolsa local rinda menos de 8%? (2 ptos) f. 10.4% g. 16.7% h. 22.1% i. 25.2% j. 33.3% iv. Si en un determinado año la bolsa local ha rendido 8%, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad que el crecimiento del PBI sea inferior a 2%? (2 ptos) f. 36.5% g. h. i. j. 50.0% 25.6% 10.3% Ninguna de las anteriores Pregunta 5 A fin de estimar qué porcentaje de la población piurana va a votar por un determinado candidato a la alcaldía, Vittorio ha llevado a cabo una encuesta a 300 personas. De dichas personas, 154 piensan votar por el candidato del partido “Manos Limpias”. En base a la información proporcionada responda las siguientes preguntas: iii. A un 90% de confiabilidad ¿Vittorio podría afirmar que el porcentaje de votantes piuranos que votarán por el candito del partido “Manos Limpias” es estadísticamente superior a 40%? (1.5 ptos) f. Sí, porque la proporción muestral es diferente de 51.3%. g. Sí, porque el resultado de la prueba de hipótesis con 𝐻0 : 𝑝 ≥ 35% y 𝐻1 : 𝑝 < 35% indica que se debe rechazar la hipótesis alternativa. h. No, porque el resultado de la prueba de hipótesis con 𝐻0 : 𝑝 ≥ 35% y 𝐻1 : 𝑝 < 35% indica que se debe rechazar la hipótesis nula. i. No, porque el tamaño de la muestra es muy pequeña para concluir algo j. Ninguna de las anteriores. iv. De una muestra aleatoria de 300 votantes piuranos (como la tomada por Vittorio), el número de personas que que votarán por el candidato del partido “Manos Limpias” es una v.a., pues tomas otra muestra de tamaño 300 y dicho número saldrá probablemente distinto. ¿Qué distribución aproximadamente sigue dicha v.a.? (1.5 ptos) f. Distribución de Bernoulli g. Distribución Normal h. Distribución Chi cuadrado i. Distribución de Poisson j. Ninguna de las anteriores Pregunta 6 A fin de estudiar la relación lineal entre el rendimiento del mercado en conjunto y el rendimiento de la acción 𝐴, Celsa ha realizado un análisis de regresión. Aquí un resumen de dicho análisis. Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.968429792 Coeficiente de determinación R^2 0.937856263 R^2 ajustado 0.936784819 Error típico 0.051294449 Observaciones 60 ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de libertad Regresión Residuos Total Intercepción Mercado Suma de Promedio de Valor crítico de F cuadrados los cuadrados F 1 2.303072675 2.303072675 875.3201162 1.09732E-36 58 0.152604987 0.00263112 59 2.455677662 Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad -0.029312183 0.008405728 -3.487167669 0.000937815 1.924109228 0.065034869 29.58580937 1.09732E-36 Inferior 95% Superior 95% Inferior 95.0% Superior 95.0% -0.046138076 -0.01248629 -0.046138076 -0.01248629 1.793927795 2.054290662 1.793927795 2.054290662 En base a la información proporcionada responda las siguientes preguntas: iv. ¿Cuánto aproximadamente es la desviación estándar de los errores en el modelo de regresión lineal? (1 pto) f. 6.22% g. 96.84% h. 93.79% i. 5.13% j. Ninguna de las anteriores. v. Según el modelo de regresión lineal, si el rendimiento del mercado ha sido de 6%, ¿cuánto aproximadamente se espera que sea el rendimiento de la acción A? (1.5 ptos) f. 11.54% g. -2.93% h. 8.61% i. 19.24% j. Ninguna de las anteriores. vi. Al 95% de confiabilidad, ¿Se podría afirmar que intercepto de la línea de regresión lineal es diferente de 0? (1.5 ptos) e. Sí, pues el intervalo de confianza al 5% de significancia no contiene al 0. f. No, pues el intervalo de confianza al 5% de significancia sí contiene al 0. g. Sí, porque el modelo de regresión lineal estima que el intercepto es igual a -2.93% aproximadamente. h. Sí, pues el rendimiento de la acción A tiene que ser un número positivo. i. Ninguna de las anteriores.