TRIGONOMETRIA-1

2022
Universidad Nacional Amazónica
de Madre de Dios
CEPRE-UNAMAD
TRIGONOMETRIA
CICLO
ORDINARIO
2022 - 2
Contenidos:
❖ I. T. de Ángulos Compuestos y
Múltiples
❖ Transformaciones Trigonométricas
❖ Resolución de Triángulos
BOLETÍN
03
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Identidades Auxiliares.
DE ÁNGULOS COMPUESTOS Y
sen(x ± y)
MÚLTIPLES
= tanx ± tany
cosx.cosy
Identidades Para el Seno.
sen(x + y).sen(x − y) = sen2 x − sen2 y
sen(x + y) = senx.cosy + cosx.seny
sen(x + y).sen(x − y) = cos2 y − cos2 x
sen(x − y) = senx.cosy − cosx.seny
cos(x + y).cos(x − y) = cos2 x − sen2 y
Si x=y, entonces
tan(x ± y) = tanx ± tany ± tanx.tany.tan(x ± y)
sen2x = 2senx.cosx
Identidades Para el Coseno.
cos(x + y) = cosx.cosy − senx.seny
cos(x − y) = cosx.cosy + senx.seny
2tanx
1 + tan2 x
cos2x =
1 − tan2 x
1 + tan2 x
Identidades Para el Ángulo Triple.
Si x=y, entonces
cos2x
sen2x =
sen3x= 3senx − 4sen 3 x
= cos2 x − sen2 x
sen3x = senx(2cos2x + 1)
Por identidad pitagórica, se deduce que:
cos3x = 4cos3 x − 3cosx
= 1 − 2sen2 x
cos2x
cos2x = 2cos2 x − 1
cos3x = cosx(2cos2x − 3)
Identidades Para el Tangente.
tan(x + y) =
tanx + tany
1 − tanx.tany
tanx − tany
tan(x − y) =
1 + tanx.tany
Si x=y, entonces
tan2x =
TRIGONOETRIA
tan3x =
3tanx − tan3 x
1 − 3tan2 x
Propiedades.
1. Si x+y+z=180°, entonces
tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz
cotx.coty + cotx.cotz + coty.cotz = 1
2. Si x+y+z=90°, entonces
2tanx
1 − tan2 x
cotx + coty + cotz = cotx.coty.cotz
tanx.tany + tanx.tanz + tany.tanz = 1
2
CEPRE - UNAMAD
Inovación permanente
EJERCICIOS PROPUESTOS
1
1
2
D) 2
A)
2
3
√
2sen(30◦ + x) − 3senx
E=
cosx
√
3
B)
2
7
Reduzca la siguiente expresión:
E) 0
K=
tan3x − tan3x.tan2x.tanx − tanx
2tan2x
A) −1
B) 1
8
Del gráfico, calcule senθ.
θ
12
1
2
√
√
E) 6 + 2
C)
3
65
63
D)
65
A)
cot20◦ (1 − cot40◦ .cot70◦ )
B) sec50◦
C) sen50◦
E) tan40◦
5
16
Simplifique la expresión
A) csc50◦
D) cos50◦
9
B)
62
65
5
63
7
E)
60
C)
Si ABCD es un cuadrado, calcule cotx.
1
B
C
Evalúe:
3
1 − (tan23◦ .tan47◦ + tan23◦ .tan20◦ +
tan47◦ .tan20◦ )
1
A)
2
D) 3
6
C) 2
1
E)
2
D) −2
sen(15◦ + x) + cos(75◦ + x)
sen15◦
B) 1
C) 1
√
E) 3 + 1
C) 1
Calcule el máximo valor de la expresión:
A) 2
√
√
D) 6 − 2
5
√
3
B)
3
√
A) 3
√
D) 3 − 1
Si: 5sen(37◦ + x) = 2cos(60◦ + x), calcule
cotx.
√
√
√
4+ 3
4+ 3
4− 3
A)
B) −
C)
2
√2
√2
3−4
3
D)
E) −
2
2
M=
4
para x = 3◦ .
Simplifique la siguiente expresión:
1
B)
3
M
C) 2
A
E) 0
Calcule el valor de:
16
5
16
D)
7
A)
M=
1
1
−
tan10x + tan5x cot5x + cot10x
3
x
D
B)
3
7
15
4
8
E)
3
C)
TRIGONOMETRÍA
´
10
cos2 θ − sen2 θ
sen4θ
De acuerdo al gráfico, calcule senθ.
csc2θ
2
D) sec2θ
A)
14
B)
sec2θ
2
C) csc2θ
sen2θ
E)
2
Calcule el valor de la expresión:
sen20◦ cos40◦ sen70◦
2cos10◦
2
A) −
5
3
D)
5
11
2
B)
5
1
2
3
D)
4
3
C) −
5
E) 0
A)
15
Con los datos de la figura, simplifique:
B)
1
4
De la identidad:
1 + tanβ + tan2 β.
cos4 θ − sen4 θ − 1
= AsenM θ
senθ
Calcule: A2 + M 2 .
A) 5
B) 10
D) 13
16
A) cotα
D) cotβ
12
B) tanα
C) tanβ
E) tan2 α
Simplifique la expresión:
A) cot20◦
D) tan40◦
17
α
13
18
Simplifique la expresión:
C) 2sen20◦
E) tan20◦
(sec40◦ + 1)(sec80° + 1)(sec160° + 1)
30°
30°
√
D) 2 3
B) cot40◦
Calcule el valor de la siguiente expresión:
A) 1
D) 4
B) 3
C) 6
E) 8
sen40◦ + sen20◦
cos40◦ + 1 + cos20◦
Con los datos de la figura, determine el valor
√
de 5 3tanα.
A) 5
1
8
3
E)
2
C)
10
3
5
E)
2
B) 2
C) 3
E) −1
Si: senx = tan3 x, calcule valor de la siguiente expresión:
x
tan .cosx.csc3 x
2
C)
1
2
D) 2
A)
B) 1
3
2
E) 3
C)
Ejercicios Resueltos
TRANSFORMACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1
Simplifique la expresión:
Identidades de Suma o Diferencia a
Producto.
Si: A > B, se cumplen:
!
A+B
senA + senB = 2sen
.cos
2
!
A+B
senA − senB = 2cos
.sen
2
!
A+B
cosA + cosB = 2cos
.cos
2
!
A+B
cosA − cosB = −2sen
.sen
2
sen3x + senx
cosx
Soluci´on:
A−B
2
!
A−B
2
!
A−B
2
!
A−B
2
Se tiene:
sen3x + senx
sen3x + senx
=
cosx
cosx
2sen2xcosx
=
cosx
= 2sen2x
2
!
Simplificar:
senx + sen3x + sen5x
cosx + cos3x + cos5x
Solución:
Se tiene:
(sen5x + senx) + sen3x
E =
(cos5x + cosx) + cos3x
2sen3xcos2x + sen3x
E =
2cos3xcos2x + cos3x
sen3x(2cos2x + 1)
E =
cos3x(2cos2x + 1)
∴ E = tan3x
E=
Identidades de Producto a Suma o
Diferencia.
Si: A > B, se cumplen:
2senA.cosB = sen(A + B) + sen(A − B)
2cosA.cosB = cos(A + B) + cos(A − B)
2senA.senB = cos(A − B) − cos(A + B)
2cosA.senB = sen(A + B) − sen(A − B)
3
Simplificar:
Propiedad.
E=
Si: x + y + z = 180◦
Solución:
x
y
z
senx + seny + senz = 4cos .cos .cos
2
2
2
x
y
z
cosx + cosy + cosz = 4sen .sen .sen + 1
2
2
2
TRIGONOETRIA
sen5x − sen3x
cos3x − cos5x
sen5x − sen3x
cos3x − cos5x
2cos4xsenx
=
2sen4xsenx
= cot4x
E =
2
´
CEPRE - UNAMAD
Inovación permanente
EJERCICIOS ´PROPUESTOS
1
E = cos67◦ + cos7◦
√
3
B)
5
√
4 3
A)
5
√
3 5
D)
4
2
A) 2senx
D) cos2x
Calcule el valor de:
√
2 3
C)
5
√
3 3
E)
5
7
√
A) 2√3
D) 3 2
3
A) tan4x
D) tan2x
4
√
C) 3
E) 1
B) tanx
17
24
16
D)
25
B)
10
6
B) sen50◦
Simplifique la expresión:
cos2x.senx + cos4x.senx
cos3x
C) 3
√
3
E)
2
De la siguiente igualdad:
B) 15
C) 16
E) 18
Simplifique la expresión:
cos25◦ − sen25◦
− cot70◦
cos25◦ + sen25◦
17
25
14
E)
3
C)
P = 2cos25◦ .cos15◦ − cos10◦
3
2
Calcule: P + Q.
A) √
0
D) 2
Simplifique:
A) sen40◦
D) sec40◦
√
3
A) 13
D) 17
10
23
B)
2(sen7x − senx)sen4x = cos(Px) − cos(Qx)
C) cot4x
E) cot2x
Encuentre el valor de:
A)
5
A) 1
9
1 + sen16◦
R=
2
C) 2
E) 5
Halle el valor de:
D)
sen5x − sen3x
cos5x + cos3x
B) −1
1
− 2sen70◦
2sen10◦
Simplifique la expresión:
M=
Indique el valor de m en la igualdad:
A) 1
D) 4
8
sen75◦ + sen45◦
cos15◦
√
B) − 3
C) sen2x
E) tanx
3 + 5sen23◦ = m.cos7◦
Simplifique:
A=
B) 2cosx
11
B) 2
C) 1
E) −1
Calcule el valor de la expresión:
C) tan40◦
E) tan50◦
cos10◦ + sen40◦ +
3
2
2cos5◦ .cos25◦
√
3
A)
√2
D) 3
B) 2
C)
√
2
E) 1
TRIGONOMETRÍA
12
2sen80◦
A) sen40◦
D) cos70◦
13
tan40◦ − 2sen80◦
2sen80◦ − cot40◦
Simplifique la expresión:
!
sen50◦
− 1 cos20◦
sen110◦
B) −sen10◦
A)
1
D) − tan40◦
3
C) −cos70◦
E) sen50◦
16
Simplifique la expresión:
cos2x + sen(x + 10◦ ) + cos(3x + 80◦ )
1 + 2sen(10◦ − x)
A) sen2x
D) 1 + sen2x
14
15
B) cos2x
Simplifique la expresión:
√
3
B) −
tan40◦
3
√
C) − 3tan40◦
√
E) − 3tan50◦
Reduzca la siguiente expresión:
cos10x.cos2x − cos2 6x
A) −cos2 4x
D) cos2 6x
C) tan2x
E) 2cos2x
Si: Mcos40◦ .cos80◦ = csc100◦ − csc40◦ ,
halle el valor de M.
A) −4sen10◦ B) −4csc10◦ C) −sec10◦
D) −4cos10◦
E) −4sec10◦
−tan40◦
17
B) −sen2 6x
C) cos2 4x
E) −sen2 4x
Si: cos10◦ − sen75◦ .sen85◦ .sec10◦ = a, determine el valor de sec10◦ − 1, en términos
de a.
a
a
A)
B)
C) 2a
2a
4
D)
E) a + 1
3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
Ley de Senos.
Ley de Tangentes.
a−b
=
a+b
tan
A−B
2
!
!
A+B
tan
2
!
B −C
tan
2
b−c
!
=
b+c
B +C
tan
2
!
A −C
tan
2
a−c
!
=
a+c
A +C
tan
2
Donde: R = cincunradio
a
b
c
=
=
= 2R
senA senB senC
Ley de Proyecciones.
De donde:
a = 2RsenA
b = 2RsenB
c = 2RsenC
a = b.cosC + c.cosB
b = a.cosC + c.cosA
c = a.cosB + b.cosA
Además:
asenB = bsenA
asenC = csenA
bsenC = csenB
Área de la Región Triangular.
Ley de Cosenos.
S=
a2 = b2 + c2 − 2bccosA
b2 = a2 + c2 − 2accosB
c2 = a2 + a2 − 2abcosC
TRIGONOETRIA
2
bc
ac
ab
.senA = .senB = .senC
2
2
2
CEPRE - UNAMAD
Inovación permanente
EJERCICIOS PROPUESTOS
1
En un triángulo ABC se cumple que:
7
En un triángulo ABC se cumple la relación:
senA 1
=
senB 4
Calcule: 2ab−1 .
A) 0,25
D) 0,60
2
A) 105◦
D) 140◦
8
C) 2/3
E) 1/4
C) 18
E) 14
√
En un triángulo ABC se tiene que: b = 5 2,
c − a = 4 y A = 45◦ , halle el lado c.
9
En un triángulo ABC, reducir:
A) R
R
D)
2
10
6
C) equilátero
E) obtusángulo
2(bccosA + cacosB + abcosC)
B) bc
C) 4R
R
E)
4
bcsenA(cotB + cotC)
A) a2
D) abc
En un triángulo ABC. Simplifique:
A) ab
D) abc
B) 2R
En un triángulo ABC simplificar:
¿Qué tipo de triángulo es?
B) isósceles
3
2
E) 24
C)
a+b+c
senA + senB + senC
En un triángulo ABC se verifica que:
A) escaleno
D) rectángulo
B) 3
D) 12
C) 17
E) 18
a
b
c
=
=
cosA cosB cosC
C) 145◦
E) 100◦
Calcular el perı́metro de un triángulo ABC,
sabiendo que:
A) 6
B) 20
B) 13
B) 120◦
A
B
bsen2 + asen2 = 6 − c
2
2
El coseno del mayor ángulo de un triángulo
cuyos lados son tres números enteros y consecutivos es igual a 1/5. Calcule el perı́metro
de dicho triángulo.
A) 10
D) 15
5
C) 0,30
E) 0,45
B) 1/3
A) 15
D) 21
4
Calcule la medida del ángulo B.
B) 0,50
Si los lados de un triángulo son: 1, x,2x, y el
ángulo opuesto al lado 1 es 60◦ , halle x2
A) 1/2
D) 3/2
3
sen2 A + sen2C ac
+ 2=1
sen2 B
b
C) ac
E) a2 + b2 + c2
11
B) b2
C) c2
E) 2abc
Calcular el área de un triángulo cuyos lados
√ √
√
son 26, 20 y 18.
A) 7
D) 10
B) 8
C) 9
E) 11
CEPRE - UNAMAD
Inovación permanente
12 En un triángulo ABC, se tiene que:
A = 60 ; b = 2 ; B = 45
Calcular: “ a 2 ”
A) 12
D) 9
B) 3
17 En la figura, se tiene el triángulo ABC
con BC = 3 AC .
Halle el valor de:
E=
C) 6
E) 2
s e n 2 x tan( x − y )
tan( x + y ) s e n 2 y
C
13 En un triángulo ABC, se tiene que:
a=b=c
3
5
7
Calcular: “ m C ”
A) 30°
D) 60°
B) 120°
C) 53°
E) 45°
03 En un triángulo ABC, se cumple que:
a cos B + b cos A = 4R s e n C cos C
Calcule la medida del ángulo C.
A) 30°
D) 75°
B) 45°
C) 60°
E) 135°
El coseno del mayor ángulo de un
triángulo cuyos lados son tres números
enteros consecutivos es 1 5 . Calcule el
semiperímetro de dicho triángulo.
15
A) 7
D) 9
B) 5
C) 10
E) 8
16 Del grafico mostrado calcular cos x .
B
C
2
2y
2x
A
A)
D)
B
2
B)
3
1
5
C)
2
E)
2
3
2
3
5
En un triángulo ABC, m B =  ,
AB = 4 cos  , BC = 2 cos 2 + 1 y el área de la
región triangular es s e n(m ) + s e n(n ) .
Calcule: “ m + n ”
18
A) 4
D) 12
B) 6
C) 8
E) 10
19 Con los datos de la figura, halle:
s e n( B + C )( a 2 + c 2 − ac )
N=
2a s e n B − ( c cos A + a cos C ) s e n A
C
1
D
3
a
b
x
4
A
A)
D)
5
6
8
9
B)
5
7
C)
E)
6
7
4
5
A
A) a
D) b
c
B) 2b
60°
B
C) 2c
E) 2a