TÉCNICAS DE REDONDEO VECTORES Para redondear un número, se examina el dígito que está a la derecha del que va a ser el último en el número redondeado. Identificado esté dígito se procede a aplicar alguna de las siguientes reglas: COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR (2 dimensiones-2D-) Sean 𝐴⃗ 𝑦 𝛼 un vector y un escalar respectivamente, el producto entre ellos está representado por 𝛼𝐴⃗; según el valor del escalar se puede presentar alguno de los siguientes casos: Donde 𝐴𝑥 = |𝐴⃗|𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑦 𝐴𝑦 = |𝐴⃗|𝑆𝑒𝑛 𝜃 MAGNITUD DE dimensiones) UN VECTOR (2 |𝐴⃗| = √𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 DIRECCIÓN DE UN VECTOR 𝐴𝑦 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) 𝐴𝑥 SUMA DE VECTORES 3) Si el dígito examinado es igual a 5, se presentan dos casos: EN GENERAL: Dados tres vectores en 2D, tales que: *si el dígito precedente es par, entonces, en este caso se aplica el criterio 1) por ejemplo, al redondear a 2 cifras significativas 4.8512, el redondeo es 4.8. ⃗⃗ = 𝐵𝑥 𝑖̂ + 𝐵𝑦 𝑗̂ 𝑦 𝐶⃗ = 𝐶𝑥 𝑖̂ + 𝐶𝑦 𝑗̂ 𝐴⃗ = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂; 𝐵 *si el dígito precedente es impar, entonces, en este caso se aplica el criterio 2) por ejemplo, al redondear a 3 cifras significativas 3.9752, el redondeo es 3.98. MULTIPLICACIÓN ENTRE UN VECTOR Y UN ESCALAR Al multiplicar un vector por un escalar, como resultado de esta operación se obtiene que el vector puede variar en magnitud, dirección y sentido. En general: 1) Si el dígito examinado es menor que 5 (o sea 1, 2, 3 o 4), simplemente se elimina junto con todos los dígitos que están a su derecha. Por ejemplo, al redondear a tres cifras significativas el número 5.4237, se observa que 3 está a la derecha de la tercera cifra significativa, entonces, 3 por ser menor que 5 se debe eliminar junto con los números que estén a su derecha, por lo tanto, el redondeo es 5.42. 2) Si el dígito examinado es mayor que 5 (o sea 6, 7, 8 o 9), se aumenta en 1 el dígito precedente y se eliminan todos los dígitos desde el examinado. Por ejemplo, al redondear a dos cifras significativas el número 2.4751, se observa que 7 está a la derecha de la segunda cifra significativa, entonces, el 4 se aumenta en 1 el dígito y además se eliminan todos los dígitos desde el examinado (7), por lo tanto, el redondeo es 2.5. 𝑅𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦 Entonces, al sumar los tres vectores se obtiene el vector 𝑅⃗⃗ (vector resultante), esto es: Si 𝛼 > 1, entonces |𝐴⃗| aumenta y su sentido se conserva. Si 𝛼 < -1, entonces |𝐴⃗| aumenta, pero cambia de sentido. Si 0 < 𝛼 < 1, entonces |𝐴⃗| disminuye y su sentido NO cambia. Si 0 > 𝛼 > -1, entonces |𝐴⃗| disminuye y su sentido cambia. Si 𝛼 = 1, entonces, ninguna de las características de 𝐴⃗ se modifican. Si 𝛼 = -1, entonces |𝐴⃗| No se modifica, pero cambia de sentido. CINEMÁTICA DESPLAZAMIENTO ∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 ⃗⃗ + 𝐶⃗ = 𝑅⃗⃗ 𝐴⃗ + 𝐵 Donde las componentes rectangulares del vector 𝑅⃗⃗ ; se calculan sumando componentes rectangulares semejantes, es decir que: 𝑅𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 𝑛 𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = ∑ 𝑖=1 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = |∆𝑥𝑛 | ∆𝑡𝑛 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑣̅𝑥 = MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL ∆𝑥 ∆𝑡 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 ∆𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑣𝑥 = lim 𝑣̅𝑥 = lim ≡ 𝑣 = ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 𝑥𝑖𝑛𝑠 𝑑𝑡 𝑎̅ = 𝑣𝑥 = 𝑣0 𝐶𝑜𝑠 𝜃0 = 𝑣0𝑥 ∆𝑡→0 𝑎𝑥 = 1 𝑦 − 𝑦0 = 𝑣0 𝑆𝑒𝑛 𝜃0 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2 ∆𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 ≡ ∆𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑔𝑥 2 𝑦 − 𝑦0 = 𝑥. 𝑡𝑎𝑛 𝜃0 − 2 2𝑣0 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃0 𝑉𝑜𝑥 = 𝑉0 𝐶𝑜𝑠𝜃 Componentes de la Velocidad en un instante de tiempo “t”: Ecuaciones de movimiento: 𝑣𝑦 = 𝑣𝑦𝑖 − 𝑔𝑡 1 𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2 2 𝑣𝑦 − 𝑣𝑖𝑦 = −2𝑔(𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 ) 𝑉𝑦 = 𝑉0 𝑆𝑒𝑛𝜃 − 𝑔𝑡 Altura máxima que alcanza el proyectil: (𝑉0 )2 (𝑆𝑒𝑛 𝜃)2 𝑌𝑚á𝑥 = 2𝑔 Alcance horizontal máximo: 𝑣𝑥 2 − 𝑣𝑖𝑥 2 = 2𝑎(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 ) Caída libre (MUA). 𝜔= 2𝜋 (𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) 𝑇 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑣𝑡 = 𝑅𝜔 Velocidades tangencial y angular en términos de la frecuencia: 𝑣𝑡 = 2𝜋𝑅𝑓 𝑦 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑉𝑥 = 𝑉𝑜𝑥 𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡 1 𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 + 𝑎𝑡 2 2 𝑉𝑜𝑦 = 𝑉0 𝑆𝑒𝑛𝜃 4𝜋 2 𝑅 𝑇2 𝑠 = 𝑅𝜃 (𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜) Componentes de la velocidad inicial: Movimiento Uniforme Acelerado (MUA). Ecuaciones de movimiento: 2𝜋𝑅 (𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙) 𝑇 𝑎𝑐 = 𝑥 = 𝑣0 𝐶𝑜𝑠 𝜃0 𝑡 𝑑2 𝑥 𝑎𝑥 = 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣𝑡 = 𝑣𝑦 = 𝑣0 𝑆𝑒𝑛 𝜃0 − 𝑔𝑡 Aceleración instantánea ∆𝑡→0 𝑣2 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑟𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑅 𝑎𝑐 = Ecuaciones de movimiento: ∆𝑣 ∆𝑡 𝑎𝑥 = lim 𝑎̅𝑥 = lim 1 1 𝑦 𝑇 = 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑇 𝑦 𝑓. 𝑇 𝑓 Tiro parabólico 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑎̅ 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑎𝑐𝑒𝑙. 𝑝𝑟𝑜𝑚. = 𝑓= 𝑋𝑚á𝑥 = (𝑉0 )2 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 𝑔 Posición del proyectil en un instante de tiempo “t”: 1 𝑋 = 𝑋0 + 𝑉𝑥 ∗ 𝑡 ↔ 𝑦 = 𝑦0 + 𝑉𝑜𝑦 ∗ 𝑡 − 𝑔 ∗ 𝑡 2 2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 𝑇= 𝑓= 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 (𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜) # 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 # 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 (𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 Frecuencia angular 𝜔 = 2𝜋 𝑅𝑎𝑑 ∗ 𝑓 = 𝑇= 2𝜋 𝜔 2𝜋𝑅𝑎𝑑 𝑇 SEGUNDA LEY DE NEWTON ∑ 𝐹⃗ = 𝑚. 𝑎⃗ Energía potencial gravitatoria: Fuerza recuperadora en un resorte 𝐹𝑒 = −𝑘𝑥 donde k es la constante de elasticidad del resorte. ⃗⃗ Fuerza de fricción 𝑓⃗ = 𝜇𝑁 coeficiente de fricción. Trabajo 𝑊 = 𝐹⃗ ∙ 𝑠⃗ (Producto punto entre la fuerza y el desplazamiento) 𝑊 = 𝐹⃗ ∙ 𝑠⃗ = |𝐹⃗ |. |𝑠⃗|𝐶𝑜𝑠 𝜃 Trabajo realizado por una fuerza constante. DENSIDAD (𝜌) 𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑦 Energía potencial elástica: CONSERVACIÓN MECÁNICA DE LA ENERGÍA PRESIÓN ABSOLUTA EN UN FLUIDO Donde E=K+U: 𝑷𝒂𝒃𝒔 = 𝝆𝒉𝒈 + 𝑷𝒂𝒕𝒎 𝐾𝑖 + ∑ 𝑈𝑖 = 𝐾𝑓 + ∑ 𝑈𝑓 Donde 𝝆𝒉𝒈 es la presión hidrostática Siendo ∑ 𝑈 = 𝑈𝑔 + 𝑈𝑒 PRINCIPIO DE PASCAL: Perdida de energía cinética debido a la fricción ∆𝐾 = − 𝑓𝑠 IMPULSO |𝐹⃗ |∆𝑡 = 𝐼⃗ = ∆𝑝⃗ CONSERVACIÓN MOVIMIENTO DE LA CANTIDAD 𝑊 𝑃̅ = ∆𝑡 𝑃̅ = 𝐹 ∗ 𝑣 |𝐹⃗2 | 𝐴2 DE 𝑃1 + 1 1 𝜌𝑣 2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣 2 + 𝜌𝑔𝑦2 2 1 2 2 O bien 𝑛 𝑛 ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝑝𝑖 = ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝𝑓 𝑖=1 𝑖=1 En el caso de que el sistema tenga dos masas, la anterior expresión es: 𝑝⃗1𝑖 + 𝑝⃗2𝑖 = 𝑝⃗1𝑓 + 𝑝⃗2𝑓 Potencia media = ECUACIÓN DE BERNOULLI Teorema de trabajo y energía cinética la suma de todos los trabajos. 𝐴1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 𝑝⃗ ≡ 𝑚𝑣⃗ 𝑜 |𝐹⃗1 | FLUIDOS EN MOVIMIENTO CANTIDAD DE MOVIMIENTO 𝑥 1 2 𝐹⊥ 𝐴 donde 𝑭⊥ es la fuerza normal neta en un lado de la superficie. 𝐸𝑖 = 𝐸𝑓 𝑊 = ∫𝑥 𝑓 𝐹 𝑑𝑥 si la fuerza es variable. 𝑊𝑁𝑒𝑡𝑜 = ∆𝐾 donde 𝐾 = 𝑚𝑣 2 y el trabajo neto es 𝑚 𝑉 𝑃= 𝑊 = |𝐹⃗ |. ∆𝑥 Trabajo realizado por una fuerza variable. 𝜌= La presión (P) se define como la fuerza normal por unidad de área, es decir: 1 𝑈𝑒 = 𝑘𝑥 2 2 donde 𝜇 es el ⃗⃗⃗⃗ Peso |𝐹 ⃗| 𝑔 | = 𝑚|𝑔 FLUIDOS EN REPOSO 𝑃+ 1 𝜌𝑣 2 + 𝜌𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2