Primera entrega: Probar que la solución a la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple corresponde a una función senoidal. Se puede considerar el movimiento armónico simple como un bloque de masa m, unido al extremo de un resorte, con el bloque libre de moverse sobre una superficie horizontal sin fricción. Cuando el bloque se desplaza a una posición x, el resorte ejerce sobre el bloque una fuerza proporcional a la posición y se conoce por la ley de Hooke, así: 𝐹𝑠 = −𝑘𝑥 A F se le llama fuerza restauradora y k es una constante que mantiene la proporcionalidad conocida como constante de elasticidad. Al aplicar la segunda ley de Newton al movimiento del bloque, se obtiene: 𝑚𝑎𝑥 = −𝑘𝑥 Por definición, 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2 , y así la ecuación anterior se puede expresar como: 𝑑2𝑥 𝑘 =− 𝑥 2 𝑑𝑡 𝑚 A conveniencia matemática, se define 𝜔2 = 𝑘 𝑚 Se obtiene: 𝑑2 𝑥 = −𝜔2 𝑥 𝑑𝑡 2 Se encuentra una solución matemática a la ecuación anterior, esto es, una función x(t) que satisfaga la ecuación diferencial de segundo orden y sea una representación matemática de la posición de la partícula como función del tiempo. Se busca una función cuya segunda derivada sea la misma que la función original con un signo negativo y multiplicada por 𝜔2 . Las funciones trigonométricas seno y coseno muestran este comportamiento, así que se puede construir una solución alrededor de una de ellas o de ambas, así: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) Función senoidal Esto quiere decir que, 𝑑𝑥 𝑑 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = −𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2 𝑥 𝑑 = −𝜔𝐴 sen(𝜔𝑡 + 𝜑) = −𝜔2 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Donde A, 𝜔 y 𝜑, son constantes del movimiento y tienen sentido físico. Para probar que la solución planteada es correcta, puede reemplazarse las expresiones en la ecuación principal, obteniendo como resultado cero. −𝜔2 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝜔2 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) = 0 Tomando en cuenta el movimiento del pistón, utilice los conceptos de la conservación de la energía mecánica para establecer la ecuación diferencial de variable separable, cuyas variables son el desplazamiento del pistón y el tiempo La energía mecánica de un sistema masa-resorte está dado inicialmente por: 𝑑𝐸 1 1 = 𝑚𝑣 2 + 𝑘𝑥 2 𝑑𝑡 2 2 Donde m es masa, v es velocidad, k es la constante elástica, x es la distancia de desplazamiento. Para este sistema en particular se asume conservación total de la energía y no cambia respecto al tiempo 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 0 , descartando pérdidas por fricción o algún otro factor. Además, la única variable que cambia respecto al tiempo es la distancia de oscilación, la cual se denominará S, así: 1 1 𝑑𝑠 2 2 0 = 𝑚𝑣 + 𝑘 ( ) 2 2 𝑑𝑡 Simplificando y reorganizando se obtiene que: 𝑑𝑠 𝑚 = −√ 𝑣 𝑑𝑡 𝑘 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 1 𝑚 =√ 𝜔 𝑘 𝑦 𝑣 = −𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) Donde A es la amplitud del movimiento y 𝜔 es denominada frecuencia angular. 𝜑 es la posición inicial del desplazamiento. Reemplazando 𝑑𝑠 1 = . 𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑑𝑡 𝜔 𝑑𝑠 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒆𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝑑𝑡 𝑑𝑠 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)𝑑𝑡 Integrando 𝑠2 𝑡2 ∫ 𝑑𝑠 = 𝐴 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)𝑑𝑡 𝑠1 𝑡1 1 − cos(𝜔𝑡) 𝑠2 − 𝑠1 = 𝐴 ( ) 𝜔 𝑠𝑖 𝑡1 = 0 𝑦 𝜑 = 0 Identificar la relación entre el desplazamiento del pistón y los parámetros a utilizar en el diseño del prototipo. (Ver esquema de la figura 1, utilizar H como la distancia variable entre el pistón y el eje de giro del disco)