Universidad Politécnica de Cuautitlán Izcalli Ing. Sergio Acosta Asignatura: M. I Funciones de 2 y más varias variables Objetivos : Reconocer una función de dos variables e identificar su dominio y rango. Dibujar el gráfico de una función de 2 variables. Trazar varias trazas o curvas de nivel de una función de dos variables. Reconocer una función de tres o más variables e identificar sus superficies de nivel. INFORMACIÓN GENERAL Lee, analiza y resuelve lo que se te pide El trabajo realizado por una fuerza (W = F.d) y el volumen de un cilindro circular recto (V = Πr2h) son ambas funciones de dos variables. El volumen de un sólido rectangular (V = lwh) es una función de tres variables. La notación para una función de dos o más variables es similar a la de una función de una función de variable única. Aquí hay dos ejemplos: ACTIVIDAD #1 Lee, analiza y resuelve lo que se te pide 1 Docente: Ing Sergio Abraham Acosta Vázquez 1.- Define una función en términos de una variable: ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ _______________________ 2.- Define rango de una función ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ _______________________ 3.- Define Dominio de una función ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ _______________________ Calcula el rango y dominio de las siguientes funciones 1) 2) 3) 4) f(x) = x2+2 g(x) = 1/x m(x)= x2+ 3/x-1 f(x) = (x2+2)/(x-2) FUNCIÓN DE 2 VARIABLES Definición Sea D⊆R2, una función f real de dos variables reales es una relación que asigna cada un solo par (x, y)∈D un número real f (x, y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de todos los valores que toma f(x,y). Nota: Sea D un conjunto de pares ordenados de Números. + Si f es una función de dos variables con dominio D∈ R2, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos P del espacio cuyas coordenadas (X, Y, Z) ∈ R3y verificar las condiciones w=f(x,y,z) y (x,y)∈D GRAFICO DE LA FUNCION DE 2 VARIABLES La gráfica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) para los cuales z= f(x, y) y (x, y) está en el dominio de f. Este gráfico se puede interpretar geométricamente como una superficie en el espacio. En la Figura , observe que el gráfico de z = f (x, y) es una superficie cuya proyección sobre el plano XY es D, el dominio de f. A cada punto (x,y) en D corresponde un punto (x,y,z) en la superficie, y, a la inversa, a cada punto (x, y, z) en la superficie allí corresponde a un punto(x,y) en D 2 Docente: Ing Sergio Abraham Acosta Vázquez ACTIVIDAD #2 Lee, analiza y resuelve lo que se te pide 1.- A que le podemos llamar Superficie en el espacio ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ _______________________ 2.- Evalúe el dominio de la siguiente función COMPOSICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES Lee, analiza y resuelve lo que se te pide No se puede formar el compuesto de dos funciones de varias variables. Porque en g(f(x,y)) f produce sólo una salida, mientras que se necesitan dos entradas para la función g. Sin embargo, si h es una función de varias variables y g es una función de una sola variable, puede formar la función compuesta de la siguiente manera. 3 Docente: Ing Sergio Abraham Acosta Vázquez FUNCIONES POLINOMIALES Lee, analiza y resuelve lo que se te pide Una función que se puede escribir como una suma de funciones de la forma cx m yn (donde c es un número real m y n son enteros no negativos) se llama función polinomial de dos variables. Por ejemplo, las funciones dadas por: son funciones polinómicas de dos variables. Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Se utiliza una terminología similar para funciones de más de dos variables. ACTIVIDAD #3 Lee, analiza y resuelve lo que se te pide 1.- ¿Qué es una función polinomial? ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ _______________________ 2.- Menciona 3 ejemplos ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ _______________________ 2.- Cuál es el rango de la siguiente función? 4 Docente: Ing Sergio Abraham Acosta Vázquez ACTIVIDAD #4 DOMINIO RANGO Y GRAFICO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 9−x2−y2 a. g(x,y)= b. f(x) = x2+2 c. g(x) = 1/x d. m(x)= x2+ 3/x-1 e. f(x) = (x2+2)/(x-2) f. f(x,y)=3x+5y+2 g. f(x,y)= 5x2 +y2 -25 h. f(x,y)= 4x2 +y2-16 i. f(x,y)= 25 -5x2 -y2 SELLO Y FIRMA DEL DOCENTE: __________________________________________________ Nota. -Solo se calificará si el alumno completo el ejercicio 5 Docente: Ing Sergio Abraham Acosta Vázquez