Teorı́a de Conjuntos
Universidad Nacional de Ingenierı́a
Los Profesores
2022-2
Teorı́a de Conjuntos
Definición
Es una colección de objetos bien definidos, llamados elementos. Si la
colección no posee elementos diremos que el conjunto es vacı́o.
Ejemplo
1
Las soluciones de la inecuación x 2 − 2x + 3 ≤ 0.
2
Los números primos.
3
Las vocales del alfabeto.
4
Las estudiantes de la UNI.
5
1, 2, 3, 4, 5, · · ·.
6
{x ∈ R | 1 ≤ x 2 ≤ 39}.
Teorı́a de Conjuntos
Generalmente un conjunto es representado por una letra mayúscula
A, B, C , · · ·
Definición
Diremos que x pertence al conjunto A si x es un elemento de A, y lo
escribimos x ∈ A. Cuando no lo es ∼ (x ∈ A) o x ∈
/ A.
Ejemplo
Determinar cual de las siguientes proposiciones son verdaderas:
{1} ∈ A,
{3, 4} ∈ A,
{4} ∈ A,
4 ∈ A.
donde A = {1, {2}, {3, 4}, {5}, {4}}.
Un conjunto es llamado conjunto universal, si es un conjunto
formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado.
Teorı́a de Conjuntos
Ejemplo
Sea el conjunto universal U = [0, 2], determine aquellos elementos que no
están en A = ⟨0, 1⟩. A′ = {0} ∪ [1, 2].
Determine los elementos del conjunto formado por los elementos de N
tales que 0 ≤ x 2 − 3x + 2 ≤ 6, estos son 1, 2, 3, 4.
Una variable es un sı́mbolo que representa un elemento no especificado de
un conjunto dado, denotado por lo general x.
De la definición anterior a partir de una variable nosotros podemos definir un
enuciado que puede ser verdadero o falso, es decir, una propiedad.
Veamos ello, sea A un conjunto no vacı́o, definamos una función p sobre el
conjunto A hacia el conjunto {V , F }, llamada función lógica, esto es
p
:
A → {V , F }
x → p(x)
Cuando p es siempre verdadero para cada x ∈ A diremos que ella es una
propiedad.
Teorı́a de Conjuntos
Definición
Un conjunto es dado por comprensión, si se puede escribir como,
{x ∈ U : p(x)},
donde U es un conjunto universal y p es una propiedad que depende de x:
La expresión anterior se lee “el conjunto formado por los elementos que
cumplen la propiedad p”.
Ejemplo
Sea A el conjunto de las funciones continuas. Determine por comprensión
el conjunto A.
Cuantificadores
Ejemplo
Sea A = R, p(x) : “x > 0′′ , p es la propiedad de aquello números reales
positivos. El valor de verdad de p cuando x = 1 y x = 0
Si x = 1, p(1) = V .
Si x = 0, p(0) = F .
Sea A un conjunto no vacı́o y p(x) una propiedad en A, definimos
V = {x ∈ A | p(x)}
V1 = {x ∈ N | x ≥ 1} = N.
V2 = {x ∈ R | x ≥ 1} ⊂ R.
• Cuantificador Universal: En el caso que V = A, es decir,
{x ∈ A | p(x) = V } = A
Cuantificadores
Para el conjunto V la propiedad p se cumple para todo x ∈ A, lo cual lo
podemos representar de manera simbólica como
∀x ∈ A, [p(x)]
≡
Para todo x que pertenece a A cumple p(x)
≡
p(x) para todo x ∈ A.
Donde el sı́Âmbolo ∀ es llamado cuantificador universal.
• Cuantificador Existencial: En el caso que
∅ ̸= V =
̸ A
entonces podemos decir V tiene al menos un elemento tal que p(x) es una
propiedad, de manera simbólica serı́a,
∃x ∈ A, [p(x)] ≡ Existe un x que pertenece a A tal que cumple p(x)
Donde el sı́mbolo ∃ es llamado cuantificador existencial. Otras formas de
enunciarla es
“Existe un x ∈ A tal que p(x)” o
“Para algún x ∈ A, p(x)”, o
“Para al menos un x ∈ A, p(x)”.
Cuantificadores
Negación de Cuantificador
∼ (∀x ∈ A, [p(x)]) ≡ ∃x ∈ A |∼ p(x).
∼ (∃x ∈ A | [p(x)]) ≡ ∀x ∈ A, ∼ p(x).
Ejemplo
∀ϵ > 0, ∃δ > 0 | ∀x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ϵ
⇒ ∃ϵ > 0, δ > 0, ∃x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ ∧ |f (x) − L| ≥ ϵ
Ejemplo
Todos los alumnos del curso de Cálculo Diferencial, tendrá un promedio
mayor de 11.
Cuantificadores
Sea A : Los alumnos del curso de Cálculo Diferencial, p la propiedad sacar nota
más de 11. p(x) : “x > 11”, escribir en el lenguaje coloquial la negación de la
proposición ∀x ∈ A, p(x)
∃x ∈ A | [∼ p(x)]
Existen alumnos o al menos un alumno de Cálculo Diferencial que tendrá
promedio menor o igual a 11 (≤ 11.)
Ejemplo
Negar las siguientes proposiciones
∀x ∈ A, ∃x ∈ A | [p(x, y )]
∃x ∈ A | ∀y ∈ A, [p(x, y )]
∃x ∈ A | ∀y ∈ A, ∼ [p(x, y )]
∀y ∈ A, ∃y ∈ A |∼ [p(x, y )]
Cuantificadores
Sea H = {(x, y ) ∈ R × R | x > 0, y > 0} definimos la función lógica sobre H
por
p(x, y ) : “y < x”
Veamos el valor de verdad de,
∀y ∈ R+ , ∃x ∈ R+ , [p(x, y ) : “y < x”]
∃x ∈ R+ | ∀y ∈ R+ , [p(x, y ) : “y < x ′′ ]
Sea y0 ∈ R+ y tomemos x = 2y0 , entonces tenemos
y0 < 2y0 ≡ V
Negando la proposición
∀x ∈ R+ , ∃y ∈ R+ , ∼ p(x, y ) = “y ≥ x”
Sea x0 ∈ R+ e y = 2x0 , entonces y = 2x0 ≥ x0 , luego la proposición es
falsa.
Álgebra de Conjuntos
Este ejemplo muestra que la posición del cuantificador es importante.
Definición (Inclusión de conjuntos)
Dados A y B dos conjuntos de elementos del conjunto Universal, diremos
que A está contenido en B, lo cual lo denotaremos A ⊂ B, si cada
elemento de A es un elemento de B, es decir,
∀x ∈ U, [x ∈ A ⇒ x ∈ B]
Ejemplo
Demostrar que si ∀x ∈ U, [x ∈
/A→x ∈
/ B] ⇒ B ⊂ A.
∀x ∈ U, [∼ (x ∈
/ A) ∨ (x ∈
/ B)]
[x ∈ A ∨ x ∈
/ B]
[x ∈ B → x ∈ A] ⇒ B ⊂ A
Álgebra de Conjuntos
Definición
Sea U un conjunto universal y A, B sub conjuntos de U, definimos la
unión de A y B denotado por A ∪ B como el conjunto de elementos de U
que estan en A o están en B, es decir
A ∪ B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
Ejercicio
Demostrar que para cualquier par A y B conjuntos
A ⊂ A ∪ B ∧ B ⊂ A ∪ B.
Definición (Intersección)
Sea U un conjunto universal y A, B sub conjuntos de U, definimos la
intersección entre A y B al conjunto de elementos de U que estan en A y
estan en B, es decir,
A ∩ B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
Álgebra de Conjuntos
Ejemplo
Demostrar que A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∩ (B ∪ C )
= {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∪ C )}
= {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ ((x ∈ B) ∨ (x ∈ C ))}
= {x ∈ U : ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∨ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ C ))}
= {x ∈ U : (x ∈ (A ∩ B)) ∨ (x ∈ (A ∩ C ))}
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
Definición
Diremos que los conjuntos A y B son disjuntos cuando A ∩ B = ∅.
Complemento de un conjunto
Definición (Complemento de un conjunto)
Sea A un conjunto de elemento de U conjunto universal definimos el
complemento de A, denotado por A′ , como el conjunto de elementos de U que
no pertenecen a A, es decir
A′ = Ac = {x ∈ U : x ∈
/ A} = {x ∈ U :∼ (x ∈ A)}
Ejemplo
Pruebe que si A y B son disjuntos entonces A ⊂ B ′
Desde que A ∩ B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} = ∅, entonces
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ≡ F , lo que implica siempre es verdadera
∀x ∈ U,
∼ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)]
∀x ∈ U,
[x ∈
/ A∨x ∈
/ B]
[∼ (x ∈ A) ∨ x ∈
/ B]
[∼ (x ∈ A) ∨ x ∈ B ′ ]
[x ∈ A → x ∈ B ′ ] ⇒ A ⊂ B ′ .
Teorı́a de Conjuntos
Definición
Sean A y B conjuntos de elementos del conjunto universal U. Definimos
la diferencia, de A con B, denotado por A − B, como el conjunto de
elementos de U que están en A pero no en B, es decir,
A−B
= {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x ∈
/ B)}
= {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B ′ }
= A ∩ B′
Definición
Sea A y B dos conjuntos de elementos del conjunto universal U, diremos
que A es igual a B si: A ⊂ B y B ⊂ A.
Teorı́a de Conjuntos
Ejemplo
Sea (A − B) ∪ (B − A) = ∅ ⇒ A = B
Como (A − B) ∪ (B − A) = ∅ ⇔ X ∪ Y = {x ∈ U : x ∈ X ∨ y ∈ Y } = ∅
| {z } | {z }
F
F
⇒A−B =∅∨B −A=∅
⇒ A ∩ B ′ = ∅ ∨ B ∩ A′ = ∅
⇒A⊂B ∨B ⊂A
⇒A=B
Definición
Sea U un conjunto universal y sean A y B subconjuntos de U, definimos
A△B = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)′
Propiedades
Ejercicio
Demostrar que: A△B = (A − B) ∪ (B − A).
Propiedades de conjuntos:
1
A ∪ A = A,
A∩A=A
2
A ∪ B = B ∪ A,
A∩B =B ∩A
3
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ),
4
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ),
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
5
A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A
A ∪ A′ = U, (A′ )′ = A,
6
A ∪ (A ∩ C ) = A;
A ∩ (A ∪ C ) = A;
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
∅′ = U.
A′ ∪ (A ∩ C ) = A′ ∪ C
A′ ∩ (A ∪ C ) = A′ ∩ C
EJERCICIO
Demostremos algunas propiedades
1
A△A = ∅
Por definición, A△A = (A − A) ∪ (A − A) = ∅ ∪ ∅ = ∅.
2
A△∅ = A
Por definición, A△∅ = (A − ∅) ∪ (∅ − A) = A ∪ ∅ = A
3
A△B = B△A
Por definición, A△B = (A − B) ∪ (B − A) = (B − A) ∪ (A − B)
4
A△B = A△C ⇒ B = C
Considerando que: (A△B)△A = (A△C )△A
Luego (A△(A△B) = A△(A△C ) ⇒ (A△A)△B = (A△A)△C
Por tanto: B = C .
Ejercicio
1
Sean A, B y C , demostrar que (A△B)△C = A△(B△C ).
2
Demostrar que C ∩ (A△B) = (C ∩ A)△(C ∩ B).
3
Demostrar que (A△B) ∪ (B△C ) = (A ∪ B ∪ C ) − (A ∩ B ∩ C ).
Definimos el conjunto potencia de un conjunto A como
P(A) = {B ⊂ A | B es un subconjunto de A}.
4
1
2
3
5
Demostrar por elementos que si X ⊂ A ∩ B entonces X ⊂ A y
X ⊂ B.
Demostrar por elementos P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).
Demostrar por elementos que P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B).
Demostrar que:
(A ∪ B) ∩ B ′ = A ⇒ A ∩ B = ∅
(A ∩ B)△(A ∩ (B△C )) = ∅ ⇒ A ⊂ C ′
6
Demostrar:
[(A△B)△C ] ∪ B = [A ∪ (B△C ) ∪ C ] − {[(A ∩ B)△(A ∩ C )] ∩ C }
Ejercicio
7
Demostrar por elemento que:
i) A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B
ii) A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
8
Demostrar que si: (A△B) ⊂ C → A ⊂ (B ∪ C )
9
Demostrar por elementos que
(A ∪ B) ∩ B ′ = A ⇔ A ∩ B = ∅. (A ⊂ B ′ ).
10
Usando elementos demostrar que:
[(A − B) ∪ (B − A)] ⊂ C ⇒ A ⊂ (B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ).
11
Demostrar que: {[A′ − (B ′ − C )]′ ∩ [C ′ − B]′ } ⊂ A ∩ (B ∪ C ).
12
Si (B ′ △C ′ )′ ⊂ (A′ ∪ B), simplificar:
{{[(A′ ∪ B ′ ) ∩ (A′ ∩ B)] ∪ (A ∪ B ′ )} ∪ (C ∩ A)} ∪ {(A△C )△C }.