Taller 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÀTICAS
CÀLCULO INTEGRAL
Taller 3
Pf. Martha C. Moreno
I. SUSTITUCIÔN
1. Demostrar:
c b
Z
Zb
f (x)dx = 0
a. f (c x)dx +
a
b.
Z
c a
x f (sen(x))dx =
Z
2
0
f (sen(x))dx
sug: u =
x
0
c. con la parte b. encontrar:
Z1
Z
x sen(x)
dx
1+cos2 x dx =
1+x2
0
0
2. a. Si f es continua y
Z4
f (x)dx = 10; encontrar
0
b. Si f es continua y
c. Si f es continua y
Z2
0
Z9
Z2
f (x)dx = 6; encontrar
0
Z3
f (x)dx = 4; encontrar
0
R
g.
i.
k.
R
Ze
sen3 (x)dx
1
4
t(1 + t) dt
f (2x)dx
0
f (2sen( )) cos( )d
xf (x2 )dx
0
3. Evaluar
las siguientes integrales:
Z
3
a.
x sen(x4 )dx
b.
R p
c.
x 1 + 3xdx
d.
e.
Z2
Z
sen(x)+cos(x)
Z
1
(sen(x) cos(x)) 3
xdx
q
p
1+x2 + (1+x2 )3
Z
f.
dx
3
px dx
x2 +1
h.
Z4
(1 + tan(t))3 sec2 (t)dt
j.
Z
sec(x) + cos c(x)dx
0
4
e
Z1
pdx
x
xe
ln(x)
x2
dx
Z1
l.
0
0
1
p
x 1
x4 dx
R
m.
dx
ex +e
Z1
o.
q.
Z
Z
n.
x
ez +1
ez +z dz
Z
p.
r.
II. INTEGRACIÓN POR PARTES
1. Evaluar
Z las siguientes integrales:
a.
c.
e.
g.
i.
xe
R
dx
d.
ln(2x + 3)dx
f.
2
e sen(3 )d
Z1
Z
b.
x2 cos(mx)dx
R
R
x
m.
0.
q.
s.
u.
Z9
3
px
dx
4+x2
ln(y)
y dy
Z
j.
x4 (ln x)2 dx
1Z
R
R
p
cos( x)dx
n.
xarct(x)dx
p.
x ln( 11+xx )dx
r.
x3 e
Z
l.
Z
dx
ecos t sen(2t)dt
0Z
Z
x2
sen(ln(x))dx
sen(x)ln(tan(x))dx
p
arct( x)dx
p
eax cos(bx)dx
Z1
Z
t.
p
3
px
dx
4+x2
Z2
4
2
x (ln x) dx
3
v.
Z
x.
1
cos( 2 )d
2
Z
0
w.
tsen(2t)dt
4
Z2
R
dz
1+z
arcsen(x)dx
Z
0
k.
p
arctan( z)
p
z
x2 e3x dx
Z
h.
dx p
arcsen(x)2 1 x2
Z
0
x2
(1 x)100 dx
dx
x ln x ln(ln(x))
x3 e
x2
dx
ecos t sen(2t)dt
0
2. Z
Demostrar la formula de reducciòn
y usarla para evaluar Zla integral
Z
n
n
n 1
a. (ln x) dx = x(ln x)
n (ln x)
dx;
(ln x)5 dx
Z
Z
R
n 1
b. tann xdx = tann 1 x
tann 2 xdx; n 6= 1;
tan5 (2x)dx
2
3. Verdadero o Falso (Justi…car)
a. Si f (0) = g(0) = 0 y f 00 y g 00 son continuas, entonces
Za
Za
00
0
0
f (x)g (x)dx = f (a)g (a) f (a)g(a) + f 00 (x)g(x)dx
0
0
2; h0 (1) = 2 , h00 (1) = 3; h(2) = 6; h0 (2) = 5;
Z2
continua, entonces
h00 (z)dz = 2
b. Si h(1) =
h00
h00 (2) = 13
1
Zb
c. 2 f (x)f 0 (x)dx = f 2 (b)
f 2 (a)
a
4.Completar:
a. Si f ( ) = 2 y
Z
[f (x) + f 00 (x)] sin x dx = 5, entonces f (0) =
0
b. Si n
Z1
00
xf (2x)dx =
0
Z2
tf 00 (t)dt, entonces n =
0
0
c. Si f (0) = 1; f (2) = 3 y f (2) = 5;entonces
Z1
0
x f 00 (2x)dx =
f (4) = 7; f 0 (1) =; f 0 (4) = 3 y f
Z4
es continua.Entonces
xf 00 (x)dx =
d. Si f (1) = 2,
1
3
00