Mecánica de Fluidos DR. VILLASEÑOR RÍOS CESAR ALEJANDRO Presión La razón de la fuerza normal aplicada a un área en un punto 𝑃= 𝑑𝐹 𝑑𝐴 Ecuación Diferencial Hidrostática 𝒅𝑷 𝒅𝒛 𝑷𝟏 𝜸 = −𝜸 = −𝝆𝒈 + 𝒛𝟏 = 𝑷𝟐 𝜸 + 𝒛𝟐 En la troposfera 𝑷 𝒛 = 𝑻𝟎 −𝜶(𝒛−𝒛𝟎 ) 𝑷𝟎 𝑻𝟎 En la estratosfera 𝑃 𝑧 = 𝑃0 𝑒 − 𝑧−𝑧0 𝑔 𝑅𝑇 Ejercicios Al gato hidráulico mostrado en la figura se le aplica una fuerza F=100N, ¿Cuál será la fuerza F2 que se observa en el pistón de salida si la masa del pistos es despresiable? Resolución 1. Calcular la sumatoria de momentos alrededor de c 2. Calcular el equilibrio de fuerzas en el área A1 3. Calcula el equilibrio de furezas para F2 Ejercicios ¿Cuál es la presión en el fondo del tanque? Resolución Propiedades del agua a 50 °F, 𝛾 = 𝑙𝑏𝑓 1 2 𝑓𝑡 = 𝑙𝑏𝑓 62.4 3 𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑓 0.007 𝑝𝑢𝑙𝑔2 1. Usar la idea de que la cabeza piezométrica es constante Ejercicios Una capa de aceite de 0.9 m se forma en un tanque lleno de agua de 3 m ¿Cuál es la presión manométrica en el fondo del tanque? Resolución Propiedades: gravedad especifica del aceite es: 0.8 Peso especifico del agua es 9810 N/m^3 1. Usar la idea de que la cabeza piezométrica es constante 2. Encontrar P2 usando la capa de aceite 3. Igualar las presiones en la interface 4. Encontrar P3 usando la capa de agua Respuestas Presión a 2.1 m=7.063 kPa Presión a 0 m=27.7 kPa Ejercicios El fluido en el tubo es agua a 10° C y el fluido en el manómetro es mercurio ¿Cuál es la presión manométrica en el centro del tubo? Resolución Datos: ∆ℎ = 60 𝑐𝑚 𝑙 = 180 𝑐𝑚 𝑁 𝛾ℎ20 = 9810 3 𝑚 𝑁 𝛾𝐻𝑔 = 13,000 3 𝑚 Procedimiento 1. Encontrar la presión en el punto 2 usando la ecuación hidrostática 2. Encontrar la presión en el punto 3 3. Encontrar la ecuación en el punto 4 usando la ecuación hidrostática Respuestas Presión en el punto 2: 79.8 kPa Presión en el punto 3: 79.8 kPa Presión en el punto 2: 62.1 kPa Ejercicios ¿Cuál será la presión del aire? Resolución Datos: 𝑙1 = 40 𝑐𝑚 𝑙2 = 100 𝑐𝑚 𝑙3 = 80 𝑐𝑚 𝐺𝑒𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 0.8 𝛾ℎ𝑔 = 133,000 La diferencia de presión en la columna de aire es depreciable. Procedimiento 1. Encontrar la presión en los diferentes puntos usando la ecuación hidrostática. Respuestas Presión del aire=110 kPa Ejercicio Una boquilla se diseña tal que 𝒖 𝒙 = 𝒖𝟎 𝟎𝟓𝒙 𝑳 𝟏− Donde 𝒖𝟎 es la velocidad de entrada igual a 10 m/s y la longitud es de 0.5m. La velocidad es uniforme a lo largo de la boquilla. Encontrar la aceleración en el punto medio y al final de la boquilla. Ejercicio Procedimiento 1. Evaluar las derivadas de la ecuación para la aceleración. Respuestas Aceleración en x=0.5L ◦237 m/s^2 Ejercicio Un tanque abierto con agua se drena por medio de un agujero en el fondo. El tanque tiene una altura de 10 m. Encontrar la velocidad de salida del agua. Suposiciones 1. La velocidad del liquido en la superficie es mucho menor que la velocidad de salida. Procedimiento 1. Aplicar la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2. Respuesta 1. 14 m/S Ejercicio En un viaje (Patm 1 atm 101.3 kPa), a un automóvil se le acaba la gasolina y es necesario extraer gasolina por acción de un sifón del automóvil de un buen samaritano. El sifón es una manguera con diámetro pequeño y para iniciar la acción es necesario introducir uno de los extremos en el tanque lleno de gasolina, llenar la manguera de ésta mediante succión y, enseguida, poner el otro extremo en una lata que está colocada abajo del nivel del tanque. La diferencia en la presión entre el punto 1 y el punto 2 hace que el líquido fluya de la mayor elevación hacia la menor. En este caso, el punto 2 está ubicado 0.75 m abajo del punto 1, y el 3 está 2 m arriba del 1. El diámetro del sifón es de 4 mm y deben descartarse las pérdidas por fricción en él. Determine: a) el tiempo mínimo para llevar 4 L de gasolina del tanque a la lata y b) la presión en el punto 3. La densidad de la gasolina es de 750 kg/m3. Ejercicio Analisis A) el tiempo para llevar 4 L de gasoline Se toma en cuenta que el punto 1 esta en la superficie libre del tanque por lo cual es a presión atmosferica. La velocidad de la gasolina del tanque es muy baja respect a la velocidad de la gasoline del tubo. El punto 2 se toma como referencia. La gasolina se descarga a la atmosfera por lo cual la presión en el punto es la atmoferica. Formulas Se aplica la ecuación de Bernoulli en el punto 1 y 2 Se calcula el área del tubo Se calculo el gasto (Vel*A) Se calcula el tiempo. Respuesta= 53.1 s Analisis B) La presión en el punto 3 Se puede determinar la presión en el punto 3 cuando se escribe la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3. Nótese que V2=V3. Respuesta 81.1 kPA Ejercicio EL campo vectorial 𝑉 = 10𝑥𝑖 − 10𝑦𝑗 representa un campo de velocidad de 2 dimensiones ¿El campo V es irrotacional? Análisis Calcula las derivadas correspondientes Ejercicio EL campo vectorial 𝑉= 𝐶𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 𝑖+ 𝐶𝑦 𝑥 2 +𝑦 2 𝑗 ¿El campo V es irrotacional? Análisis Calcula las derivadas correspondientes Teorema de transporte de Reynolds Teorema de transporte de Reynolds 𝑑𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑏𝜌 𝑑𝑉 + 𝑏𝜌𝑣 𝑑𝐴 Ecuación de continuidad Se deriva de la conservación de la masa, lo cual quiere decir que la masa del sistema es constante. Obtendremos la forma euleriana aplicando el teorema de transporte de Reynolds donde la propiedad extensiva B=m y la propiedad intensiva b=1 Forma general de la ecuación de continuidad 𝑑𝑚𝑠𝑦𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑚𝑠𝑦𝑠 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑉 + 𝜌𝑣 𝑑𝐴 =0 𝜌 𝑑𝑉 + 𝜌𝑣 𝑑𝐴 = 0 Forma general de la ecuación de continuidad 𝑑 𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑉 + 𝑑 𝑚𝑐𝑣 𝑑𝑡 + 𝜌𝑣 𝑑𝐴 = 0 𝑚𝑜 − 𝑚𝑖 = 0 Ejercicios Un tanque se llena por como se muestra en la figura y a su vez se descarga como se muestra ¿a que velocidad se carga o se descarga? Ecuación de continuidad en un tubo Si el flujo en el tubo es constante entonces 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 Por lo cual 𝝆𝟐 𝑨𝟐 𝒗𝟐 = 𝝆𝟏 𝑨𝟏 𝒗𝟏 Si el flujo es incompresible 𝑨𝟐 𝒗𝟐 = 𝑨𝟏 𝒗𝟏 𝑸𝟏 = 𝑸𝟐 Ejercicios Un tubo de 120 cm de diámetro se estrecha hasta 60 cm. El flujo de entrada es de 2 m/s ¿Cuál es la velocidad de salida? Forma diferencial de la ecuación de continuidad Podemos aplicar la ecuación general de continuidad a un volumen de control pequeño. Ahora que las funciones depende de las coordenadas (x,y,z) y las velocidades de los ejes (u,v,w) podemos reescribir la ecuación como sigue Forma diferencial de la ecuación de continuidad Problema Las componentes de velocidad de un flujo son 𝒖 = 𝑽 𝒙𝟑 + 𝒙𝒚𝟐 𝒗 = 𝑽 𝒚𝟑 + 𝒚𝒙𝟐 V es constante ¿Satisface la ecuación de continuidad? Ejercicio Un tubo lleva agua fria (10°C) de una reserva para una planta. La head loss en el tubo es de 𝑳 𝒉𝒍 = 𝟎.𝟎𝟐 𝑫 𝑽𝟐 𝟐𝒈 Si el diametro del tubo es de 20 cm y el flujo volumétrico es de 0.06 m^3/s. ¿Cual sera la presión del tubo en L=2000m suponiendo que 𝜶𝟐 = 𝟏 Respuesta 𝑝2 = 418 𝑘𝑃𝑎 Análisis Dimensional Implica combinar variables dimensionales para formar grupos adimensionales, llamados grupos 𝝅, pueden considerarse como los parámetros de escala para el flujo de fluidos. donde n es el número de variables dimensionales y m es el número de dimensiones básicas incluidas en las variables. El teorema de Buckingham establece que el número de grupos 𝝅 independientes es igual n-m En mecánica de fluidos, las tres dimensiones básicas son masa (M), longitud (L) y tiempo (T). Grupos 𝜋 Son combinaciones adimensionales de variables físicas que se utilizan para describir y analizar el comportamiento de los fluidos. Se obtienen mediante el análisis dimensional, que implica identificar las variables relevantes y combinarlas de tal manera que las dimensiones se cancelen entre sí. Al formar grupos 𝝅, se eliminan las unidades de medida y se obtienen relaciones más generales y útiles que son independientes del sistema de unidades. En el caso del flujo en tuberías, un grupo 𝝅 común es el número de Reynolds (Re), que relaciona la fuerza inercial con la fuerza viscosa y describe la transición entre flujos laminar y turbulento. Estos grupos adimensionales son herramientas poderosas para el diseño, la predicción y la comprensión de diversos fenómenos de flujo de fluidos. Grupos 𝜋 Los grupos 𝝅 dependientes son aquellos que se pueden expresar en términos de otros grupos 𝝅. Estos grupos dependientes son útiles para simplificar o expresar relaciones entre variables, pero no proporcionan información nueva o independiente. Los grupos 𝝅 independientes son aquellos que no se pueden expresar en términos de otros grupos 𝝅. Son considerados como parámetros de escala independientes y proporcionan información adicional y única sobre el fenómeno estudiado. Estos grupos Π independientes son especialmente importantes porque representan características físicas fundamentales y establecen restricciones sobre el comportamiento del sistema. Grupos 𝜋 independientes Numero de Reynolds 𝑹𝒆 = 𝝆𝑽𝑳 𝝁 Numero de Weber 𝑾𝒆 = 𝝆𝑽𝟐 𝑳 𝝈 Numero Mach 𝑴= 𝑽 𝒄 Numero de Froude 𝑭𝒓 = 𝑽 𝒈𝑳 Grupos 𝜋 dependientes Coeficiente de presión 𝑪𝒑 = ∆𝒑 (𝝆𝑽𝟐 )/𝟐 Coeficiente de esfuerzo de corte 𝑪𝒇 = 𝝉 (𝝆𝑽𝟐 )/𝟐 Coeficiente de fuerza 𝑪𝑭 = 𝑭 (𝝆𝑽𝟐 𝑳)/𝟐 Ejemplo Se utiliza un modelo a escala 1:49 de una presa propuesta para predecir las condiciones de flujo del prototipo. Si el caudal de diseño del flujo de inundación sobre el vertedero es de 15,000 m^3/s, ¿qué caudal de agua se debe establecer en el modelo para simular este flujo? Si se mide una velocidad de 1.2 m/s en un punto del modelo, ¿cuál es la velocidad en un punto correspondiente en el prototipo? Plan La gravedad es responsable del flujo, por lo que el número de Froude es el grupo significativo. Para obtener una similitud dinámica, 1.Calcular la relación de velocidades a partir de la similitud del número de Froude. 2.Calcular la relación de caudal utilizando la escala y calcular el caudal del modelo. 3.Utilizar la relación de velocidades obtenida en el paso 1 para encontrar la velocidad en un punto del prototipo. Respuestas Qm=0.89 m^3/s Vp=8.4 m/s Ejemplo Se realiza una prueba en un túnel de viento con aire a presión atmosférica y 20°C utilizando un modelo a escala 1:10 de un automóvil. El automóvil tiene una longitud de 4 m y se desplaza a una velocidad de 100 km/h en condiciones similares de aire. ¿Cuál debería ser la velocidad del túnel de viento para que la resistencia medida se pueda relacionar con la resistencia del prototipo? La experiencia demuestra que los grupos dependientes son independientes del número de Reynolds para valores superiores a 105. La velocidad del sonido es de 1235 km/h. Plan Los efectos del numero de Mach son poco importantes (0.08). La similitud dinámica se logra cuando los números de Reynolds son iguales y cuando el coeficiente de esfuerzo córtate son iguales 1. Determine la velocidad del modelo para la similitud dinámica 2. Calcula el numero de Reynolds para el prototipo 3. Calcula el numero de Reynolds para el túnel de viento. Fluido en Tuberias ¿Por qué los líquidos usualmente se transportan en tuberías circulares? Esto es así porque las tuberías con una sección transversal circular pueden resistir grandes diferencias de presión entre el interior y el exterior sin distorsión considerable. Las tuberías no circulares, por lo general se usan en aplicaciones como los sistemas de calefacción y enfriamiento de edificios, donde la diferencia de presión es relativamente pequeña, los costos de fabricación e instalación son bajos, y el espacio disponible para reparar ductos está limitado Flujo Laminar y Turbulento Flujo laminar: se caracteriza por líneas de corriente suaves y movimiento sumamente ordenado. Flujo Turbulento: se caracteriza por fluctuaciones de velocidad y movimiento también desordenado. La transición de flujo laminar a turbulento no ocurre repentinamente; más bien, sucede sobre cierta región en la que el flujo fluctúa entre flujos laminar y turbulento antes de volverse totalmente turbulento. La mayoría de los flujos que se encuentran en la práctica son turbulentos. El flujo laminar se encuentra cuando los fluidos muy viscosos, como los aceites, fluyen en pequeñas tuberías o pasajes estrechos. Numero de Reynolds La transición de flujo laminar a turbulento depende de Geometría la rugosidad de la superficie la velocidad del flujo la temperatura de la superficie el tipo de fluido entre otros factores. Numero de Reynolds Vprom velocidad de flujo promedio (m/s). D longitud característica de la geometría Numero de Reynolds Para flujo a través de tuberías no-circulares, el número de Reynolds se basa en el diámetro hidráulico. 𝐷ℎ = 4𝐴𝑐 𝑝 Numero de Reynolds Numero de Reynolds Numero de Reynolds La longitud de entrada hidrodinámica usualmente se toma como la distancia desde la entrada de la tubería hasta donde el esfuerzo de corte de pared alcanza dentro de aproximadamente 2 por ciento el valor correspondiente al flujo totalmente desarrollado. En flujo laminar, la longitud de entrada hidrodinámica está dada aproximadamente como 𝐿ℎ = 0.05𝑅𝑒𝐷 En flujo turbulento 𝐿ℎ = 1.359𝐷𝑅𝑒 1/4 = 10𝐷 Caída de presión y perdida de carga Factor de Fricción de Darcy: es un parámetro que se utiliza para calcular la pérdida de carga en un flujo de fluido a través de una tubería, teniendo en cuenta la rugosidad y otras propiedades del flujo. 𝑓= 64 𝑅𝑒 En el análisis de los sistemas de tuberías, las pérdidas de presión comúnmente se expresan en términos de la altura de la columna de fluido equivalente, llamada pérdida de carga ℎ𝑙 = 2 𝐿 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑓 𝐷 2𝑔 Tuberías inclinadas Las relaciones para la velocidad promedio y flujo volumétrico en tuberías inclinadas son Ejemplo Petróleo a 20°C (𝜌 = 888 𝑘𝑔 𝑚3 y 𝜇 = 0.8 𝑘𝑔 ) 𝑚(𝑠) fluye de manera estacionaria a través de una tubería de 5 cm de diámetro y 40 m de largo. La presión a la entrada y la salida de la tubería se mide en 745 y 97 kPa, respectivamente. Determine el flujo volumétrico de petróleo a través de la tubería si se supone que la tubería está a) horizontal b) inclinada 15° hacia arriba c) inclinada 15° hacia abajo d) También verifique que el flujo a través de la tubería es laminar Ejemplo Se tiene agua a 40°F (𝜌 = 62.42 𝑙𝑏𝑚 𝑓𝑡 3 y 𝜇 = 1.038𝑥10−3 𝑙𝑏𝑚 ) 𝑓𝑡(𝑠) que fluye de manera estacionaria a través de una tubería horizontal de 0.12 in (=0.010 ft) de diámetro y 30 ft de largo con una velocidad promedio de 3.0 ft/s. Determine a) la pérdida de carga b) la caída de presión