Cálculo, diseño y ensayo de máquinas V304 RAMÓN MARTÍNEZ ARTIGAS Mª DEL CARMEN HERRÁEZ MARTÍN CÁLCULO, DISEÑO Y ENSAYO DE MÁQUINAS 2012 Martínez Artigas, Ramón Cálculo, diseño y ensayo de máquinas [Archivo de Internet] / Ramón Martínez Artigas, Mª del Carmen Herráez Martín. – Ávila: Universidad Católica de Ávila, 2012. – 1 archivo de Internet (PDF). – (Manuales) ISBN 978‐84‐9040‐ 221‐4 1. Máquinas – Diseño D.L. AV 321‐2012 2. Máquinas – Ensayo I. Herráez Martín, María del Carmen TJ233 62‐11 © Servicio de Publicaciones Universidad Católica de Ávila C/ Canteros s/n. 05005 Ávila Tlf. 920 25 10 20 [email protected] www.ucavila.es © Primera edición (edición electrónica): septiembre 2012 “Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra sólo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necesita imprimir o descargar algún fragmento de esta obra (http://www.conlicencia.com ; 91 702 19 70 / 93 272 04 47).” ISBN: 978‐84‐9040‐221‐4 Depósito Legal: AV 321‐2012 Índice general UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Diseño en Ingeniería Mecánica 1.2. Fases del diseño 1.3. Factores de diseño 1.4. Factor de seguridad 1.5. Normas y códigos Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 1 UNIDAD 2. DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA 2.1. Resistencia estática 2.2. Cargas estáticas y factor de seguridad 2.2.1. 2.2.2. Ejemplo 1 Ejemplo 2 2.3. Teorías del fallo de un material 2.4. Teoría de la tensión normal máxima 2.5. Teoría de la tensión cortante máxima 2.6. Teoría de la energía de distorsión 2.7. Fallo de materiales dúctiles 2.8. Fallo de materiales frágiles 2.9. Concentración de la tensión 2.10. Determinación de los factores de concentración de tensión 2.11. Concentración de la tensión y cargas estáticas 2.12. Estudio mecánico de la fractura 2.13. Estado de tensión en una grieta UNIDAD 3. DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA 3.1. El diagrama S-N 3.2. Factores que modifican el límite de fatiga 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.5. Acabado superficial Tamaño Temperatura Concentración de tensiones Efectos diversos 3.3. Esfuerzos fluctuantes 3.4. Resistencia a la fatiga en el caso de esfuerzos fluctuantes Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 2 UNIDAD 4. RESORTES MECÁNICOS 4.1. Resortes helicoidales 4.1.1. 4.1.2. Esfuerzos en resortes helicoidales Deformaciones de resortes helicoidales 4.2. Resortes de tensión 4.3. Diseño de resortes helicoidales 4.4. Cargas de fatiga UNIDAD 5. COJINETES DE RODAMIENTO Y COJINETES DE FRICCIÓN 5.1. Cojinetes de rodamiento 5.1.1. 5.1.2. 5.1.3. 5.1.4. Tipos de cojinetes de rodamiento Vida y carga en cojinetes de rodamiento Selección de rodamientos de bolas y de rodillos cilíndricos Lubricación de rodamientos 5.2. Cojinetes de fricción 5.2.1. 5.2.2. 5.2.3. 5.2.4. 5.2.5. 5.2.6. 5.2.7. Lubricación Tipos de lubricación Viscosidad Ley de petroff Teoría de la lubricación hidrodinámica Factores de diseño Relación entre las variables Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 3 UNIDAD 6. ENGRANAJES 6.1. Engranajes rectos 6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.1.5. 6.1.6. 6.1.7. 6.1.8. 6.1.9. 6.1.10. 6.1.11. 6.1.12. 6.1.13. 6.1.14. Nomenclatura Teoría de engrane Ley de engrane Tamaño del diente: paso y módulo Línea de engrane, línea de empuje y ángulo de presión Dimensiones de un engranaje normal Perfil del diente: cicloidal y evolvente Engrane entre perfiles de evolvente Cremallera de evolvente Limitaciones en el engrane de perfiles de evolvente Coeficiente de engrane Interferencia y penetración Fabricación de ruedas dentadas Tallado por cremallera 6.2. Engranajes helicoidales 6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.5. Forma de los dientes Engrane de dos ruedas helicoidales Relación entre ángulos de las hélices base y primitiva Cremallera helicoidal Coeficiente de engrane 6.3. Engranajes cónicos 6.3.1. 6.3.2. Número límite de dientes en la talla Geometría de engranajes cónicos 6.4. Engranajes hiperbólicos UNIDAD 7. EJES DE TRANSMISIÓN 7.1. Diseño para cargas estáticas 7.2. Flexión alternante y torsión continua 7.3. Método de Soderberg 7.4. Método de Sines Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 4 UNIDAD 8. EMBRAGUES, FRENOS, ACOPLAMIENTOS Y VOLANTES 8.1. Embragues y frenos de tambor con zapatas interiores 8.2. Embragues y frenos de tambor con zapatas exteriores 8.3. Embragues de fricción de disco y acción axial 8.3.1. 8.3.2. Desgaste uniforme Presión uniforme 8.4. Embragues y frenos cónicos 8.4.1. 8.4.2. Desgaste uniforme Presión uniforme 8.5. Energía y temperatura 8.5.1. 8.5.2. Energía Temperatura 8.6. Otros tipos de embragues y acoplamientos 8.7. Volantes 8.7.1. Ecuación del movimiento Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 5 CÁLCULO, DISEÑO Y ENSAYO DE MÁQUINAS 1 INTRODUCCIÓN V304(01) Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ÍNDICE ♦ OBJETIVOS................................................................................................3 ♦ INTRODUCCIÓN ........................................................................................4 1.1. Diseño en Ingeniería Mecánica............................................................5 1.2. Fases del diseño...................................................................................6 1.3. Factores de diseño ...............................................................................9 1.4. Factor de seguridad ...........................................................................10 1.5. Normas y códigos...............................................................................12 ♦ RESUMEN ................................................................................................13 Unidad 1. Introducción. 1 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ OBJETIVOS • Conocimiento del concepto de diseño, así como de las fases que configuran este concepto. • Conocimiento de los factores que intervienen en el proceso de diseño. • Conocimiento de los conceptos de Factor de Seguridad, Norma y Código. Unidad 1. Introducción. 3 Formación Abierta ♦ INTRODUCCIÓN Este manual es un estudio de los procesos de toma de decisiones empleados por los ingenieros mecánicos al describir los planes para la realización material de máquinas, dispositivos y sistemas. Tales procesos son aplicables en todo el campo del diseño en Ingeniería, y no solo en el diseño en ingeniería mecánica. 4 Unidad 1. Introducción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 1.1. DISEÑO EN INGENIERÍA MECÁNICA Para comprender los procesos de toma de decisiones empleados por los ingenieros, aplicarlos en situaciones concretas y hacerlos que generen beneficios, se requieren determinadas circunstancias, una situación concreta, o bien, un “vehículo” para llevarlos a cabo. Pues bien, este vehículo que se ha elegido en este manual es el de la Ingeniería Mecánica. Diseñar Es establecer un plan para satisfacer una necesidad. En principio, esta necesidad debe estar bien definida (por ejemplo: obtener energía de forma limpia respetando la Tierra), pero puede ocurrir que no lo esté tanto (por ejemplo, muchas personas perecen en accidentes de avión). En este último caso, ni la necesidad ni el problema a resolver están bien definidos. Para estos casos se necesitará un esfuerzo mental mayor para satisfacer la necesidad o necesidades que se plantean. Los problemas de diseño no tienen, además, una sola respuesta, no existe la “respuesta correcta”, ya que lo que ahora es correcto, después puede no serlo. Diseño mecánico Consiste en el diseño de objetos y sistemas de naturaleza mecánica: piezas, estructuras, mecanismos, máquinas e instrumentos diversos. El diseño mecánico hace uso de las matemáticas, las ciencias de los materiales y las ciencias mecánicas aplicadas a la ingeniería. El diseño en ingeniería mecánica incluye el diseño mecánico, abarcando todas las disciplinas de la ingeniería mecánica, incluso las ciencias térmicas y de los fluidos. Unidad 1. Introducción. 5 Formación Abierta 1.2. FASES DEL DISEÑO Se puede describir el proceso total de diseño, desde que empieza hasta que termina, como se muestra en la figura: Identificación de la necesidad Definición del problema Síntesis Análisis y optimización Evaluación Iteración Presentación Comienza con la identificación de una necesidad y con la decisión de hacer algo al respecto. Después de muchas iteraciones, el proceso finaliza con la presentación de los planes para satisfacer tal necesidad. El diseño, generalmente comienza cuando el ingeniero se da cuenta de una necesidad y decide hacer algo al respecto. La necesidad puede manifestarse simplemente como un descontento, como la intuición de una dificultad o como la sensación de que algo no está bien. Las necesidades se identifican de repente, a partir de una circunstancia adversa o de una serie de circunstancias fortuitas que surgen simultáneamente. La necesidad, generalmente, no es evidente, aunque se identifica fácilmente después de que alguien la ha planteado. Por ejemplo, la necesidad de tener agua y aire más limpios, o de tener mejor transporte público, ha llegado a ser totalmente evidente. 6 Unidad 1. Introducción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Existe una gran diferencia entre la identificación de la necesidad y la definición del problema que sigue a continuación. El problema es más específico, para una sola necesidad pueden existir diversos problemas. Si la necesidad es tener aire más limpio, los problemas pueden ser reducir la emisión de los automóviles, o de las chimeneas industriales, o de viviendas, etc. La definición del problema debe abarcar todas las especificaciones para el objeto que se ha de diseñar. Las especificaciones definen el costo, la cantidad de piezas a fabricar, la duración esperada, la temperatura de trabajo y la fiabilidad. También están las velocidades necesarias, las fuentes de energía, las limitaciones de temperatura, el alcance máximo, las variaciones esperadas en las variables y las restricciones en tamaño y peso. Existen, además, muchas condiciones intrínsecas que dependen del diseñador o de la propia naturaleza del problema. Los procesos de fabricación de que se dispone y las instalaciones industriales son restricciones a la libertad de acción del diseñador, por lo que forman parte de las condiciones intrínsecas. Por ejemplo, en una fábrica pequeña no puede plantearse fabricar algo que necesite grandes instalaciones, el diseñador deberá buscar otro método de fabricación si quiere fabricarlo. Todo lo que limite la libertad de selección del diseñador es una condición o especificación. Por ejemplo, en los catálogos se oferta tipos y tamaños de un mismo producto pero puede ocurrir que no pueden surtirlos todos o existe escasez de algunos. Una vez que se ha definido el problema y obtenido un conjunto de especificaciones implícitas, el siguiente paso en el diseño es la síntesis de una solución óptima, aunque esta síntesis deberá ser analizada reiteradamente hasta que la solución satisfaga la necesidad. Puede ocurrir que al realizar la síntesis y desarrollar el diseño, se llegue a una solución no válida, por lo que habrá que replantear dicha síntesis. El diseño es un proceso iterativo en el que se pasa por varias etapas en las que se evalúan los resultados y después se vuelve a una etapa anterior del proceso. De esta forma se analiza y se optimiza el propio diseño para, después, volver a la fase de síntesis. Para el análisis y la optimización se requiere que se ideen modelos teóricos que admitan alguna forma de análisis matemático. Tales modelos reciben el nombre de modelos matemáticos. Al crearlos, se espera encontrar alguno que reproduzca lo mejor posible el sistema real. Unidad 1. Introducción. 7 Formación Abierta Evaluación Es la fase en la que se produce la demostración definitiva de que un diseño es acertado y, generalmente, incluye pruebas con un prototipo en el laboratorio. En esta fase es cuando se desea observar si el diseño satisface realmente la necesidad. La comunicación del diseño a otras personas es el paso final en el proceso de diseño. Muchos importantes diseños o inventos se han perdido porque los diseñadores no fueron capaces de explicar sus creaciones a otras personas. La presentación es un trabajo de venta. Cuando el ingeniero presenta o expone una nueva solución a sus superiores está tratando de vender que su solución es la mejor. Si esta fase no tiene éxito, el tiempo y el esfuerzo empleados en las fases anteriores no habrán servido para nada. 1. Identificación de la necesidad Mantener la atmósfera limpia. 2. Definición del problema Minimizar las emisiones por el escape de los automóviles. 3. Síntesis Filtrar los gases de combustión del motor antes de expulsarlos a la atmósfera. 4. Análisis y optimización Elegir un método químico capaz de resolver el problema sobre el papel y en la realidad. 5. Presentación Comunicación en prensa y revistas especializadas de la fabricación e instalación de un aparato capaz de hacer que el escape de un automóvil expulse gases con un grado de contaminación mucho menor. 8 Unidad 1. Introducción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 1.3. FACTORES DE DISEÑO La resistencia de un elemento o pieza es una propiedad muy importante para determinar la forma geométrica y las dimensiones que tendrá. La resistencia, en ese caso, es un factor importante de diseño. Factor de diseño Es una característica que influye en el diseño de un elemento. Generalmente son varios los factores de diseño para un solo elemento. En ocasiones, alguno de esos factores será crítico y, si en el elemento queda superado ese factor, ya no será necesario considerar los demás. Son ejemplos de factores de diseño: resistencia, fiabilidad, condiciones térmicas, corrosión, desgaste, fricción, procesamiento, utilidad, coste, seguridad, peso, ruido, estilización, forma, tamaño, flexibilidad, control, rigidez, acabado superficial, lubricación, mantenimiento, volumen. Alguno de estos factores se refiere directamente a las dimensiones, al material, al procesamiento, al ensamble con otros elementos, etc. Unidad 1. Introducción. 9 Formación Abierta 1.4. FACTOR DE SEGURIDAD Con el fin de establecer un mínimo de seguridad al establecer la configuración geométrica y las dimensiones que tendrá cualquier elemento de máquina, se ha introducido un valor que proporciona una evaluación cuantitativa de esta seguridad en el uso del elemento diseñado. Resistencia Es una propiedad de un material o de un elemento mecánico. La resistencia de un elemento depende de la clase de tratamiento y procesado del material. El esfuerzo es algo que ocurre en una pieza o elemento debido a la aplicación de una fuerza, mientras que la resistencia es una propiedad intrínseca del elemento y depende del material y del proceso que se usó para fabricar el elemento. El factor de seguridad es el factor utilizado para evaluar la condición segura de un elemento. Supongamos que un elemento mecánico se somete a una acción F (una fuerza, un momento de flexión o torsión, etc.). Si F aumenta, al final llegará a ser tan grande que cualquier pequeño incremento adicional haría que el elemento perdiera la capacidad de realizar su función (por rotura, por ejemplo). Pues bien, si llamamos Fu a este valor último de F, entonces el factor de seguridad será: n= Fu F Si F<Fu ⇒ n>1 (ej. F=½Fu ⇒ n=2 ⇒ seguridad en el elemento). Si F=Fu ⇒ n=1 (ej. F=Fu ⇒ n=1 ⇒ poca/ninguna seguridad en el elemento). Si F>Fu ⇒ n<1 (ej. F=2Fu ⇒ n=½<1 ⇒ ninguna seguridad en el elemento). Por lo tanto, para que un elemento sea seguro a la hora de aplicarle una acción F, deberá tener un factor de seguridad >1. 10 Unidad 1. Introducción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Se define margen de seguridad como: m=n‒ 1 Que intuitivamente refleja el intervalo que nos queda para llegar a la inseguridad de un elemento al aplicarle una acción F. Unidad 1. Introducción. 11 Formación Abierta 1.5. NORMAS Y CÓDIGOS En épocas pasadas, por ejemplo, no había ninguna norma para la fabricación de roscas de tornillo, tuercas o pernos. Una tuerca de 10 mm proveniente de un perno de una máquina no podía ser montada en un perno de 10 mm de otra máquina porque no coincidía el paso de las roscas de los dos pernos. Norma Es un conjunto de especificaciones para piezas, materiales o procesos, establecidos con el fin de lograr uniformidad, eficacia y calidad. El objetivo de una norma es fijar un límite en el número de términos de las especificaciones (que no haya cualquier medida, por ejemplo). Código Es un conjunto de especificaciones para efectuar el análisis, diseño, fabricación o construcción de un objeto o sistema. El objetivo de un código es alcanzar un grado concreto de seguridad, eficacia y buen funcionamiento o buena calidad. Están por ejemplo la Norma Española (UNE), las Normas Europeas (EN), o las normas internacionales (ISO). 12 Unidad 1. Introducción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ RESUMEN En esta Unidad se ha estudiado el concepto de Diseño y, más concretamente, el concepto de Diseño Mecánico. Después se han establecido las fases que intervienen en un proceso de diseño (identificación de una necesidad, definición del problema, síntesis, análisis y optimización, evaluación y presentación y desarrollo. A continuación se han descrito los múltiples factores que intervienen en cualquier fase de diseño. Se ha estudiado, en concreto, uno de los factores más importantes en cualquier fase de diseño, el Factor de Seguridad, que garantiza el correcto funcionamiento de lo diseñado. Por último, se definen factores que obligan en el proceso de diseño: las normas y los códigos o reglamentos. Unidad 1. Introducción. 13 CÁLCULO, DISEÑO Y ENSAYO DE MÁQUINAS 2 DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ÍNDICE ♦ OBJETIVOS................................................................................................3 ♦ INTRODUCCIÓN ........................................................................................4 2.1. Resistencia estática .............................................................................5 2.2. Cargas estáticas y factor de seguridad...............................................6 2.2.1. Ejemplo 1.........................................................................................7 2.2.2. Ejemplo 2.........................................................................................8 2.3. Teorías del fallo de un material .........................................................10 2.4. Teoría de la tensión normal máxima .................................................11 2.5. Teoría de la tensión cortante máxima ...............................................12 2.6. Teoría de la energía de distorsión .....................................................13 2.7. Fallo de materiales dúctiles ...............................................................14 2.8. Fallo de materiales frágiles ................................................................15 2.9. Concentración de la tensión ..............................................................16 2.10. Determinación de los factores de concentración de tensión ..........17 2.11. Concentración de la tensión y cargas estáticas...............................19 2.12. Estudio mecánico de la fractura........................................................20 2.13. Estado de tensión en una grieta........................................................21 ♦ RESUMEN ................................................................................................23 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 1 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ OBJETIVOS • Conocimiento de los conceptos de Carga Estática, Resistencia Estática y Factor de Seguridad. Éste último como garantía para el buen funcionamiento de lo diseñado al existir factores desconocidos o incontrolables en el proceso de diseño. • Análisis de las distintas teorías existentes que explican cuándo ocurrirá el fallo del elemento de máquina diseñado, aplicadas a materiales dúctiles y materiales frágiles. • Análisis de cómo afectan las discontinuidades de los elementos de máquinas en la aparición de concentración de tensiones que pueden acelerar el fallo del elemento. En concreto, se estudiará cómo se determina el factor de concentración de tensiones para carga estática en grietas, analizando la mecánica de la fractura. Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 3 Formación Abierta ♦ INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior se indicó que la resistencia es una propiedad de un material o elemento mecánico. Esta propiedad puede ser inherente al material o bien originarse por el tratamiento o procesado del mismo (por ejemplo, templando acero se consigue mayor dureza). La resistencia de una pieza mecánica es independiente de que sea sometida o no a la acción de una carga. Es una característica del elemento aún antes de que sea ensamblado en una máquina, estructura o sistema. Una carga estática es una acción estacionaria en el tiempo de una fuerza o un momento. Para que una fuerza o momento sean estacionarios o estáticos deben poseer magnitud, dirección y punto de aplicación, y éstos han de ser invariables. Una carga estática puede ser tracción o compresión axial, fuerza cortante, momento de flexión o de torsión, o cualquier combinación de estas acciones. La carga no debe experimentar alteración alguna para que sea considerada como estática. La finalidad de este capítulo es desarrollar las relaciones entre la resistencia y las cargas, a fin de lograr dimensiones óptimas de los componentes, con el requisito de que el elemento no falle al estar en servicio. Es conveniente hacer notar que casi todos los datos numéricos que se utilizan para el diseño poseen alguna incertidumbre. La información publicada en tablas para la resistencia de los materiales, no es totalmente exacta. Las resistencias tabuladas pueden ser los valores mínimos esperados, o valores típicos; sin embargo, la resistencia de una muestra real de material casi siempre resultará diferente de los valores publicados. Por ejemplo, si una biela de un conjunto de 100 se prueba hasta que falle, la resistencia de cada una de las 99 restantes tendrá algún grado de incertidumbre. Además de estas dudas concernientes a las resistencias, existe una indeterminación similar respecto de la magnitud de las cargas. Por ejemplo, a un perno de una conexión atornillada se le aplica una carga de tensión axial y de torsión cuando se le aprieta la tuerca. La intensidad de tal carga depende del ajuste de la rosca, la fricción entre los hilos o filetes, rozamiento entre la cara de la tuerca y la arandela, y del par aplicado a la tuerca. Por esto, siempre existirá alguna incertidumbre sobre la tensión y la torsión reales que quedan en el perno después de apretarle la tuerca. Para tener en cuenta estas incertidumbres que existen en el diseño se emplea en concepto de factor de seguridad, que relaciona las cargas en una pieza con su resistencia con el fin de lograr un diseño seguro. 4 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 2.1. RESISTENCIA ESTÁTICA Lo ideal sería que el ingeniero, al diseñar un elemento de máquina, dispusiera de gran cantidad de datos obtenidos en diferentes ensayos de resistencia realizados con el material elegido para la pieza, con el mismo tratamiento térmico, acabado superficial y tamaño que el elemento. Las cargas del ensayo, además, deberían ser las mismas que las cargas que van a actuar sobre la pieza. Así el ingeniero sabría qué factor de seguridad utilizar y cuál sería la fiabilidad o vida útil de la pieza. Lo que ocurre es que estos ensayos tienen un coste y, por lo tanto, en algunos casos estarán justificados pero en otros no (por ejemplo, cuando la rotura de la pieza ponga en peligro vidas humanas, o cuando se fabrique en cantidades muy grandes, estará justificada la realización de estos ensayos). Por lo general, y es de lo que trata este texto, el ingeniero dispondrá únicamente de datos publicados de resistencia última y deformación (ensayo de tracción). El ingeniero entonces, con esta escasa información deberá diseñar el elemento teniendo en cuenta cargas estáticas, dinámicas, estados tensionales planos o tridimensionales, temperaturas altas o bajas y tamaños grandes o pequeños de las piezas. Deberá diseñar a partir de los datos obtenidos en un ensayo de tracción (carga estática aplicada gradualmente dando tiempo a desarrollarse la deformación) aunque la pieza vaya a soportar cargas dinámicas complejas o cíclicas. En resumen, el problema fundamental del diseñador radica en utilizar los datos del ensayo simple de tracción y relacionarlos con la resistencia de la pieza, independientemente del estado tensional o de las condiciones de las cargas. Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 5 Formación Abierta 2.2. CARGAS ESTÁTICAS Y FACTOR DE SEGURIDAD Se definió el factor de seguridad como n= Fu S = F σ Donde: Fu Representa la carga máxima que permitirá al elemento realizar su función (valor límite de F). S Resistencia. σ Tensión. (S es el valor límite de σ, y deben ser coherentes, cortante-cortante o axial-axial). A veces conviene definir dos factores de seguridad. Uno, nS, que tiene en cuenta las incertidumbres en la resistencia. El otro nL, que tiene en cuenta las incertidumbres en las cargas. Por eso, el factor de seguridad total será, n = nSnL Aplicando cada factor de seguridad a sus respectivas variables, σp = S nS Fp = Fu nL Donde: σp Tensión permisible. Fp Carga permisible. A veces no es necesario utilizar estos dos factores de seguridad, ya que con la primera ecuación se pueden encontrar las dimensiones de la pieza en el caso de tracción pura, por ejemplo. 6 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 2.2.1. EJEMPLO 1 A una biela de sección transversal rectangular se le carga en tracción pura una fuerza F=4,8 kN. La resistencia a tracción de fluencia del material es de 320 MPa. Empleando nS=1,2 y nL=2,0, determinar las dimensiones de la sección transversal de la biela si se especifica que el ancho debe ser 6 veces mayor que el espesor de la biela. Solución El área de la sección transversal de la biela es A = a.b = 6b.b =6b2 La tensión generada en la biela es: σ= F 4,8 ⋅ 1000 800 = = 2 A 6b 2 b Ahora bien, n = nSnL = 1,2x2,0 = 2,4 De la ecuación σ=S/n 800 320 ⋅10 6 = b2 2,4 Despejando b, obtenemos el espesor de la biela, así como su ancho. b = 2,45 mm a = 6b = 15 mm Dimensiones sección biela: 2,5x15 mm. Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 7 Formación Abierta 2.2.2. EJEMPLO 2 A un eje de sección circular se le somete a flexión estática por medio de tres fuerzas según indica la figura. El eje se fabricará con una barra de acero que tiene una resistencia a fluencia de 44 kg/cm2. El factor de seguridad con base en la resistencia ha de ser nS=1,20. La naturaleza de las cargas F1, F2 y F3 es tal que puede esperarse que ocurran diferentes sobrecargas relativas si el eje no es utilizado apropiadamente. Debido a esto, se eligen nL=nS=1,25, y n2=2,40. F1=120 kg 4 cm F2 =350 kg 8 cm F3 =120 kg 8 cm 4 cm R1 R2 a) Calcular un diámetro adecuado para el eje por medio de nL, n2, n3 y nS. b) Determínese un diámetro adecuado mediante un solo factor de seguridad. Solución a) Utilizando Fp=npFi se obtiene F1p=1,25(120)= 150 kg F2p=2,40(350)= 840 kg F3p=1,25(120)= 150 kg El máximo momento flector se produce en el centro de la viga: ⎡ F + F + F3 ⎤ M = 12 ⎢ 1 2 ⎥ − 8F1 2 ⎣ ⎦ 8 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Y así, el momento permisible es: ⎡150 + 840 + 150 ⎤ Mp = 12 ⎢ ⎥ − 8(150) = 5.640kg / cm 2 ⎣ ⎦ La tensión permisible vale σp =Mp/Ic = 32Mp/πd3 Utilizando la ecuación σp=S/nS 1 44 32 ⋅ 5640 3 = 11,6cm d 1.566 = ⇒ = ( ) 1,20 πd3 b) Utilizando el mayor de los factores n1, n2 y n3, se encuentra que el factor de seguridad total es n = nSn2 = 2,1x2,40 = 2,88 Mediante las cargas de diseño especificadas se determina el momento máximo: ⎡120 + 350 + 120 ⎤ M = 12 ⎢ ⎥ − 8 (120 ) = 2.580kg / cm 2 ⎣ ⎦ Como σ=M/Ic 1 S M 32M 44 32 ⋅ 2580 3 = = ⇒ = ⇒ = d 1.720 ( ) = 12cm πd3 πd3 n Ic 2,88 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 9 Formación Abierta 2.3. TEORÍAS DEL FALLO DE UN MATERIAL Al diseñar elementos mecánicos se debe estar seguro de que las tensiones internas no rebasen la resistencia del material. Si se emplea un material dúctil, por ejemplo, lo que más interesa es la resistencia de fluencia, ya que una deformación permanente se consideraría como fallo. Para los materiales frágiles, como los hierros colados, no existe punto de fluencia, así que debe utilizarse la tensión de rotura como criterio de fallo. Estos materiales poseen mayor resistencia a la compresión que a la tracción. El problema, en general, consiste en relacionar un estado de tensión con una única resistencia, como la fluencia o la tracción, a fin de lograr seguridad. 10 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 2.4. TEORÍA DE LA TENSIÓN NORMAL MÁXIMA Esta teoría establece que el fallo suele ocurrir cuando la tensión principal máxima sea igual a la resistencia. Supongamos un estado tensional en el que: σ1 > σ2 > σ3 Esta teoría establece que el fallo se produce cuando: σ1 = Sy σ1 = Su Donde: Sv y Su Resistencias a fluencia y a rotura, respectivamente. En el caso de torsión pura, σ1=τ, por lo tanto, un elemento sometido a torsión pura fallará cuando: τ = Sy Experimentalmente, se demuestra que esta teoría de la tensión normal máxima, no es del todo correcta. Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 11 Formación Abierta 2.5. TEORÍA DE LA TENSIÓN CORTANTE MÁXIMA Esta teoría es fácil de emplear y siempre proporciona predicciones seguras. Se emplea únicamente para predecir la fluencia y, por lo tanto, solo se emplea para materiales dúctiles. Esta teoría afirma que se inicia la fluencia del material siempre que en un elemento mecánico, la tensión cortante máxima sea igual a la mitad de la resistencia a fluencia. τmáx = Sy 2 Es decir, que la resistencia de fluencia por cortante es: Ssy = 0,5 Sy 12 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 2.6. TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN Esta teoría es algo más compleja que la de la tensión cortante máxima, pero es la más adecuada para el caso de materiales dúctiles. Solo se emplea para definir el inicio del proceso de fluencia (fallo). La teoría establece que, partiendo de un estado tensional triaxial en el que σ1 > σ2 > σ3, se iniciará la fluencia cuando: 2Sy2 = (σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2 En esta teoría, la resistencia de fluencia por cortante es: Ssy = 0,577 Sy mayor que la obtenida en la teoría anterior. Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 13 Formación Abierta 2.7. FALLO DE MATERIALES DÚCTILES Al realizar una comparación experimental de las tres teorías anteriores, se obtiene que la teoría de la energía de distorsión predice la fluencia en materiales dúctiles con mayor exactitud. Representando las tres teorías de fallo en un eje de esfuerzos biaxiales, se obtiene la gráfica: σB Teoría de la energía de distorsión Syt Syc Syt σA Teoría de la tensión cortante máxima Teoría de la tensió normal máxima Syc Figura 2.1. Representación gráfica de las teorías de fallo de esfuerzos biaxiales Obsérvese que la teoría de la tensión normal máxima equivale a la teoría de la tensión cortante máxima en el primero y tercer cuadrantes; sin embargo, la gráfica de la teoría de la tensión normal máxima queda fuera de la elipse de energía de distorsión en el segundo y cuarto. Sería muy peligroso, entonces, utilizar la teoría de la tensión normal máxima, ya que podría predecir condiciones de seguridad que en realidad no existen. 14 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 2.8. FALLO DE MATERIALES FRÁGILES Para los materiales frágiles se observa: La gráfica tensión-deformación es una línea recta hasta el punto de ruptura, es decir, no tienen fase de fluencia. La resistencia a la compresión suele ser mayor que la resistencia a la tracción. La resistencia a la torsión es aproximadamente igual a la resistencia a la tracción. Para este tipo de materiales se aplica la teoría de la tensión normal máxima y la teoría de Coulomb-Mohr. La teoría de Coulomb-Mohr se basa en dos ensayos: el de tracción y el de compresión. En el sistema de coordenadas σ, τ (Mohr), se trazan los dos círculos, uno para la resistencia a la tracción y otro para la resistencia a la compresión. La teoría de Coulomb-Mohr establece que la fractura se produce en un estado de tensión tal que origina un círculo tangente a la envolvente de los dos círculos anteriores. Si se colocan sobre el eje de abscisas las tensiones principales σ1 > σ2 > σ3, entonces las tensiones críticas son σ1 y σ3. Estas dos tensiones y las resistencias se relacionan: σ1 σ3 − =1 S t Sc σ1 ≥ 0 σ3 ≤ 0 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 15 Formación Abierta 2.9. CONCENTRACIÓN DE LA TENSIÓN En todos los ensayos y análisis vistos hasta ahora, se supone que la sección transversal del elemento ensayado permanece constante y que no existen irregularidades en él. Pero esto es difícil en la práctica. Los ejes deben tener hombros para la inserción de los cojinetes, ranuras para acoples de engranajes; los pernos tienen cabeza en un extremo y rosca en el otro (cambio de sección); etc. Toda discontinuidad de un elemento de máquina altera la distribución de tensiones en la proximidad de aquella, de manera que las teorías aplicadas ya no son exactas en esas zonas. Estas zonas de discontinuidad se denominan áreas de concentración de tensiones. Existe un factor de concentración de tensión teórico, que relaciona la tensión máxima real en la discontinuidad con el nominal. Kt = σmáx σ0 K ts = τmáx τ0 Donde: Kt Se utiliza para las tensiones normales. Kts Se utiliza para las tensiones cortantes. σ0 y τ0 Las tensiones σ0 y τ0 son más difíciles de definir pero, por lo general, se calcula por medio de las ecuaciones elementales y el área neta (descontando la discontinuidad) de la sección transversal, aunque a veces se usa el área total. Este factor se define como teórico porque depende de la configuración geométrica de la pieza, no del material del que está fabricada. 16 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 2.10. DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES DE CONCENTRACIÓN DE TENSIÓN Usando los métodos de la teoría de la elasticidad se pueden determinar los valores de los factores de concentración de tensión. Por ejemplo, en una placa de extensión infinita sometida a tracción uniforme, en la que existe un orificio elíptico en el centro, presentará una tensión máxima: 2b ⎞ ⎛ σmáx = σ0 ⎜ 1 + A ⎟⎠ ⎝ (*) s0 σmax 2a 2b σ0 Si a y b son iguales, la elipse es un círculo y la tensión máxima es: σmáx = 3σ0 De tal modo que Kt=3 La ecuación (*) puede utilizarse para determinar la tensión en el borde de una grieta transversal, haciendo a muy pequeña en comparación con b. En este caso, Kt sería un número muy grande. Al contrario, si se hace b muy pequeña respecto a a (grieta longitudinal), Kt se aproxima a la unidad. Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 17 Formación Abierta Otros métodos para obtener los factores de concentración de tensión son: Fotoelasticidad. Técnicas de elementos finitos. Método de la rejilla. 18 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 2.11. CONCENTRACIÓN DE LA TENSIÓN Y CARGAS ESTÁTICAS La concentración de la tensión es un efecto altamente localizado. Las tensiones intensas solo existen en una región muy pequeña cerca de la discontinuidad (ranura, por ejemplo). En el caso de materiales dúctiles, la primera carga aplicada al elemento hace que el material experimente fluencia en la discontinuidad, eliminándose así la concentración de tensiones. En consecuencia, en el caso de materiales dúctiles sometidos a cargas estáticas, no es necesario aplicar un factor de concentración de tensiones. La razón por la que la fluencia plástica alivia o elimina la concentración de tensiones en materiales dúctiles, se explica a continuación. Supongamos un material muy dúctil (en el diagrama tensión-deformación presenta una pendiente elástica muy pronunciada para pasar a una línea horizontal hasta la rotura). Al aplicar una carga que provoque fluencia en la zona de la discontinuidad y que, al dejar de aplicarla, ocurre que quedará una tensión residual (con carga cero). Ahora, al volver a aplicar una carga que provoque fluencia en la zona, la tensión provocada por esta última carga será la que se originaría normalmente menos la residual, aliviándose la concentración de tensiones. Se puede concluir entonces, que la deformación plástica (fluencia) en la proximidad de una discontinuidad, permite mejorar la resistencia de la pieza, no necesitándose utilizar factores de concentración de tensiones cuando el material es dúctil y las cargas son estáticas. Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 19 Formación Abierta 2.12. ESTUDIO MECÁNICO DE LA FRACTURA Del estudio de la concentración de las tensiones se obtiene el valor de la carga que produciría fluencia o deformación plástica en una pieza. De cualquier modo, los factores de concentración de tensiones están limitados a estructuras para las que se conocen todas las dimensiones con precisión (por ejemplo, el radio de curvatura de una discontinuidad). Cuando en una pieza existe una grieta, poro, inclusión o defecto de radio pequeño desconocido, el valor del factor de concentración de tensión tenderá a infinito a medida que el radio tienda a cero, lo cual hace inútil al propio factor. Si se conociera el valor del radio de curvatura en el extremo de una grieta, por ejemplo, las tensiones concentradas en esa zona provocarían una deformación plástica local, rodeada por una región de deformación elástica. En este caso, los factores elásticos de concentración de tensiones ya no serán válidos, por lo que el análisis desde el punto de vista de los factores de concentración de tensiones no conduciría a criterios útiles para el diseño cuando se presentan grietas muy agudas. Al combinar los diferentes análisis de los cambios elásticos producidos en una estructura o pieza, que se producen al desarrollarse una grieta aguda frágil, podrá calcularse la tensión media que originará el desarrollo de una grieta en la pieza. Tal cálculo es posible sólo en el caso de piezas agrietadas, para las que se ha llevado a cabo el análisis elástico, y para materiales que se agrietan de forma “relativamente frágil” (para los que se ha medido la energía de fractura). El concepto relativamente frágil se define como: “fractura sin fluencia que se produce a través de toda la sección transversal de la fractura”. De modo que el vidrio, aceros duros, aleaciones fuertes de aluminio, … (frágiles), pueden analizarse de esta manera. Los materiales dúctiles moderan la agudeza de las grietas, de modo que la fractura ocurre a tensiones medias del orden de la resistencia de fluencia. 20 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 2.13. ESTADO DE TENSIÓN EN UNA GRIETA Supongamos la placa de la figura sometida a tracción con una grieta en sentido transversal. h h σ σ 2a 2b La longitud de la placa, 2h, es grande en comparación con la anchura, 2b, y con la longitud de la grieta, 2a. Se aplica una tensión axial (tracción) de valor σ a ambos lados de la placa. El análisis elástico establece que las condiciones para el desarrollo de la grieta son controladas por la magnitud K0, factor elástico de intensidad de la tensión: K0 = σ (πa)1/2 (MPa.m1/2) Puede observarse que K0 es función del esfuerzo axial y de la configuración geométrica de la pieza. Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 21 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ RESUMEN • En primer lugar, hemos visto que los datos que podemos obtener de los materiales en los diferentes ensayos realizados, se reducen a la aplicación de cargas estáticas, y sería deseable tener muchos más datos más para poder diseñar con mayor seguridad, aunque esto no es así. Por ello, generalmente, los datos de que se dispone sobre la resistencia de los materiales, son referentes a la resistencia estática, es decir, a la resistencia del material respecto de la aplicación de cargas estáticas, y no dinámicas, fluctuantes, … • A partir de estas cargas estáticas se define el Factor de Seguridad como la relación entre la carga aplicada y la carga máxima que soportará la pieza o material. O la relación entre la resistencia del material y la tensión aplicada. • Las teorías que proporcionan información sobre si un material fallará, dependen de éste, tomándose su resistencia correspondiente a la característica del material: si es frágil, la tensión de rotura; si es dúctil, la tensión de fluencia, por ejemplo. • La teoría de la tensión normal máxima establece que un material fallará cuando la tensión principal máxima generada en él sea igual a la tensión admisible del material. • La teoría de la tensión cortante máxima establece que el material fallará cuando la tensión cortante máxima generada en él sea la mitad que su resistencia a fluencia (se aplica en materiales dúctiles). • La teoría de la energía de distorsión para materiales dúctiles es más conservadora que la anterior: Se producirá rotura cuando la tensión alcanzada sea 0,577 la resistencia a fluencia del material. • De las tres teorías anteriores, la que mejor predice el fallo en materiales dúctiles es la teoría de la energía de distorsión. Unidad 2. Diseño por resistencia estática. 23 Formación Abierta • Para materiales frágiles, existe la teoría de Coulomb-Mohr, que tienen en cuenta, tanto la tracción como la compresión. • Cuando en una pieza de una máquina sometida a cargas, existe una discontinuidad, aparece en torno a ella una concentración de tensiones que produce un fallo anticipado del material. En estas zonas, las teorías vistas ya no son de aplicación. Por eso se utiliza el factor de concentración de tensiones (relación entre la tensión máxima aparecida y la tensión nominal, sin discontinuidad). Este factor depende de la discontinuidad de la pieza y no del material de la misma. 24 Unidad 2. Diseño por resistencia estática. CÁLCULO, DISEÑO Y ENSAYO DE MÁQUINAS 3 DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ÍNDICE ♦ OBJETIVOS................................................................................................3 ♦ INTRODUCCIÓN ........................................................................................4 3.1. El diagrama S-N ....................................................................................5 3.2. Factores que modifican el límite de fatiga ..........................................7 3.2.1. Acabado superficial..........................................................................7 3.2.2. Tamaño ...........................................................................................7 3.2.3. Temperatura ....................................................................................8 3.2.4. Concentración de tensiones.............................................................8 3.2.5. Efectos diversos ..............................................................................9 3.3. Esfuerzos fluctuantes.........................................................................10 3.4. Resistencia a la fatiga en el caso de esfuerzos fluctuantes ............11 ♦ RESUMEN ................................................................................................13 Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. 1 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ OBJETIVOS • Conocimiento y análisis del diagrama S-N (resistencia por fatiga-ciclos de carga). • Estudio de los factores que pueden modificar el límite de fatiga de un elemento de máquina. • Conocimiento del concepto de esfuerzo fluctuante y estudio de la resistencia a la fatiga por este tipo de esfuerzos. Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. 3 Formación Abierta ♦ INTRODUCCIÓN Para obtener las propiedades de los materiales mediante un diagrama de tensión-deformación, las cargas se aplicaban de forma gradual, dando suficiente tiempo para que se desarrollase la deformación. La probeta, también, se ensaya hasta que rompe, de manera que los esfuerzos se aplican solo una vez (condiciones estáticas). Sin embargo, ocurre frecuentemente que los esfuerzos varían o fluctúan entre determinados valores. Por ejemplo, una fibra longitudinal de un eje sometido a cargas de flexión, pasa por tensiones de tracción y compresión en cada revolución del eje. Si el eje gira a 1.800 rpm, la fibra estará sometida a tracción-compresión 1.800 veces por minuto. Estas cargas reciben el nombre de fluctuantes. Suele ocurrir que, en la rotura de una pieza sometida a cargas fluctuantes, las cargas máximas aplicadas fueron inferiores a la resistencia última del material y, muchas veces, aún menores que la resistencia de fluencia. La característica de estas roturas ha sido que las cargas se repitieron muchas veces y, en consecuencia, la rotura de denomina fallo por fatiga. Los fallos por fatiga comienzan con una pequeña grieta, tan pequeña que es inapreciable a simple vista e incluso con técnicas de inspección mecánica (rayos X). Se produce esta grieta en un punto de discontinuidad del material (cambio de sección, chavetero, orificio,…), o en grietas internas del material o irregularidades originadas por el mecanizado. Una vez que se forma la grieta, se produce el efecto de concentración de tensiones, creciendo y extendiéndose rápidamente. Como la superficie sometida a tensión va disminuyendo, la tensión va creciendo hasta que, finalmente, se produce la rotura por la grieta. Es decir, que la rotura por fatiga origina dos superficies características, una debida a la progresión de la grieta y otra originada por la rotura repentina. En el fallo por carga estática, la pieza sufre primero una deformación grande (tensión superior a la tensión de fluencia). La pieza entonces debe sustituirse antes de romper, pero esta anomalía es apreciable a simple vista. Pero en un fallo por fatiga no se observa ninguna señal de la posible anomalía, la rotura es repentina y total y, por lo tanto, peligrosa. El diseño contra fallos estáticos es relativamente sencillo, pues los estudios actuales son muy completos. Pero la rotura por fatiga es un fenómeno más complicado, solo explicado parcialmente que puede dar lugar a la aplicación de factores de seguridad altos, encareciendo el producto y haciéndole poco competitivo. 4 Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 3.1. EL DIAGRAMA S-N Para determinar la resistencia de materiales frente a la fatiga, las probetas se someten a fuerzas repetidas o variables de magnitud controlada y específica, contándose los ciclos que soporta el material dichas fuerzas hasta su rotura. El dispositivo para ensayos de fatiga más usado es la máquina de viga rotatoria. Ésta somete a la probeta a flexión pura (no a cortante) por medio de pesos. La probeta del ensayo se pule cuidadosamente, recibiendo un pulido final en dirección axial para evitar rayaduras circunferenciales. Para determinar la resistencia a la fatiga de un material es necesario un gran número de pruebas debido a la naturaleza estadística de la fatiga. En el caso del ensayo con la viga rotatoria (tracción-compresión alterna de las fibras), se aplica una carga constante de flexión y se registra el número de revoluciones de la viga hasta su rotura. La primera prueba se realiza con un esfuerzo algo menor que la resistencia última del material; la segunda se lleva a cabo con un esfuerzo menor que el utilizado en la primera. Este proceso continúa y los resultados del ensayo se plasman en una gráfica, obteniéndose el diagrama S-N (diagrama logarítmico) como el de la figura. Ciclos bajos Ciclos altos Duración finita Duración infinita 140 Resistencia a la fatiga,S 120 100 90 80 70 60 50 40 30 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 105 10 6 10 7 10 8 Número de ciclos de esfuerzo, N Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. 5 Formación Abierta La resistencia última a la fatiga (límite de fatiga) será la línea horizontal de la derecha de la gráfica, en la que el material ya no rompe cualquiera que sea el número de ciclos. Se observa que en un ciclo de esfuerzos (N=1) consta de una aplicación (por ejemplo, la tracción en la parte cóncava de la viga) y una supresión de la carga, seguida de otra aplicación (la compresión en la parte convexa de la viga) y otra supresión, pero en sentido contrario. Por lo tanto, N=1/2 significa que solo hay aplicación de, por ejemplo, tracción y después se suprime (ensayo simple a tracción), obteniéndose un límite de fatiga máximo (límite de tracción). Desde N=1/2 hasta N=103, se considera la zona de ciclos bajos, obteniéndose límites de fatiga altos (fatiga de ciclos bajos). A partir de N=103, se obtiene la fatiga de ciclos altos. La ciencia todavía no ha podido explicar completamente el mecanismo real de la fatiga (las últimas tendencias dicen que la rotura por fatiga se inicia en una imperfección que crea una microgrieta, la cual, origina una concentración de tensiones, las cuales van haciendo crecer la misma, hasta la rotura), pero el ingeniero debe crear cosas que no fallen, utilizando la ciencia si ésta es factible de utilizarse (bajo coste y resultados óptimos). 6 Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 3.2. FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE FATIGA Se ha comentado que la probeta para ensayos de fatiga en máquina de viga rotatoria para obtener el límite de fatiga, se elabora con mucho cuidado y es ensayada en condiciones controladas en forma precisa. Es de esperar que el límite de fatiga de un elemento mecánico estructural no resulte igual que el obtenido en laboratorio. Los factores que modifican el límite de fatiga son: Acabado superficial. Tamaño. Temperatura. Concentración de tensiones. 3.2.1. ACABADO SUPERFICIAL La superficie de la probeta de un ensayo de fatiga está perfectamente pulida, recibiendo un pulido final en dirección axial para eliminar rayaduras circunferenciales. La mayor parte de los elementos de máquinas no tienen esta calidad superficial. Cabe decir, que cuanto mayor es el valor de Ra (medida de la rugosidad superficial), menor es el límite de fatiga, ya que la rugosidad se puede considerar como iniciadora de grietas. Por eso, cuando se diseña un elemento de máquina para el cual existe probabilidad de fallo por fatiga, hay que tener en cuenta el acabado superficial que se le dará. 3.2.2. TAMAÑO El ensayo de fatiga con viga rotatoria se realiza con probetas de diámetros 7,5; 10 o 12,5 mm, por lo que, los elementos de máquinas con mayor diámetro o diferente sección no tienen los valores obtenidos en los ensayos. El ensayo de probetas grandes es costoso y, por eso, los datos son escasos para tamaños mayores. Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. 7 Formación Abierta Existe una teoría que dice que todo fallo está relacionado con la probabilidad de interacción de un esfuerzo intenso con un desperfecto crítico en un cierto volumen. Cuando el volumen de la pieza es grande, existe mayor probabilidad de encontrar un desperfecto, para un esfuerzo constante, por lo que la probabilidad de fallo se incrementa. Por lo tanto, cuanto mayor es el tamaño de las piezas, menor es la resistencia a fatiga de las mismas. 3.2.3. TEMPERATURA La temperatura cambia todas las propiedades mecánicas de un material. Las altas temperaturas producen movilidad de las dislocaciones y reducen la resistencia a fatiga en la mayoría de los materiales. Esta movilidad de las dislocaciones origina que un proceso de fallo independiente del tiempo, se transforme en un proceso de fallo dependiente del mismo (fallo por fatiga). Además también intervienen factores relacionados con la plasticidad del material al aumentar la temperatura. 3.2.4. CONCENTRACIÓN DE TENSIONES Existen un gran número de elementos de máquinas que poseen agujeros, ranuras, muescas o discontinuidades que alteran la distribución de las tensiones (concentración de tensiones). Se define el factor de concentración de esfuerzo en el caso de fatiga (Kf) como: Kf = Límite de fatiga de probetas sin discontinuidades Límite defatiga de probetas con discontinuidades Ocurre, que en materiales frágiles, la sensibilidad a las discontinuidades desde el punto de vista de la fatiga es muy baja (Kf ≈ 1). 8 Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 3.2.5. EFECTOS DIVERSOS Los efectos residuales pueden servir para mejorar el límite de resistencia a la fatiga o para afectarlo negativamente. Cuando el esfuerzo residual es de compresión, se mejora el límite de fatiga, ya que el fallo por fatiga siempre ocurre por esfuerzos de tracción, por lo que, todo lo que sea reducir el esfuerzo de tracción, disminuirá la posibilidad de fallo por fatiga. En operaciones como el graneado con perdigones, martillado o laminado en frío, que originan esfuerzos de compresión en la superficie de la pieza y ayudan a mejorar el límite de fatiga, siempre y cuando el material no se trabaje en exceso. El límite de fatiga de piezas formadas a partir de barras o láminas (estirado o laminación), o forjadas, se pueden ver afectadas por la direccionalidad de la operación de formado. Por ejemplo, en elementos laminados o estirados se tiene un límite de fatiga en dirección transversal de entre un 10 y un 20% menor que el límite respectivo en dirección longitudinal. Es de esperar que, en piezas que funcionan en ambientes corrosivos, se produzca una disminución del límite de fatiga, esto se debe al ataque de la superficie por el material corrosivo que da lugar al origen de grietas. Los recubrimientos metálicos, como el cromado o niquelado, reducen el límite de fatiga hasta en un 50%. El galvanizado (revestimiento con zinc) no influye en el límite de fatiga. En cuanto a la frecuencia del esfuerzo cíclico, en condiciones normales, no influye en el límite de fatiga, pero cuando existe corrosión o temperaturas elevadas si influye: cuanto menor sea la frecuencia del esfuerzo y mayor sea la temperatura, tanto mayor será la propagación de las grietas y menor el límite de fatiga. Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. 9 Formación Abierta 3.3. ESFUERZOS FLUCTUANTES Hasta ahora se han tratado los esfuerzos cíclicos (valor positivo y negativo, pasando por el valor cero, por ejemplo, tracción-compresión) en las piezas y su relación con el límite de fatiga. Los esfuerzos fluctuantes son aquellos que varían cíclicamente en su valor pero manteniendo siempre el mismo signo, sin pasar por el valor cero (por ejemplo, tracción máxima-tracción mínima). Con este planteamiento, existirán unas componentes del esfuerzo: σmín = esfuerzo mínimo. σmáx = esfuerzo máximo. σa = amplitud de esfuerzo. σm = esfuerzo medio. σs = esfuerzo estático. El esfuerzo estático no es el mismo que el esfuerzo medio. Puede tener cualquier valor entre σmín y σmáx. El esfuerzo estático existe debido a una carga o precarga fija, constante en el tiempo, aplicada a la pieza y suele ser independiente de la parte variable de la carga. Por ejemplo, un resorte helicoidal de compresión siempre trabaja colocado en un espacio de longitud menor que la del resorte libre. El esfuerzo originado es el estático. 10 Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 3.4. RESISTENCIA A LA FATIGA EN EL CASO DE ESFUERZOS FLUCTUANTES Una vez definidas las componentes del esfuerzo actuantes en el trabajo de un elemento de máquina sometido a esfuerzo fluctuante, vamos a definir el Diagrama de Goodman, que refleja de forma gráfica el ensayo de fatiga con esfuerzo fluctuante. A Su B er zo m ín im o i áx m rzo fue s io E ed m zo r e fu Es Es fu Tracción Se mo 0 Compresión Esfuerzo Sy Sy Su Esfuerzo medio σm Límite de rotura Límite elástico Se Límite de fatiga Figura 3.1. Diagrama de goodman En este primer diagrama, el esfuerzo medio es abscisa y las demás componentes son ordenadas, considerando la tracción en dirección positiva del eje vertical. La resistencia a tracción (Su), el límite elástico (Sy) o el límite de fatiga (Se) se llevan como ordenadas por encima o por debajo del origen. La línea de esfuerzo medio es una recta a 45º, que va del origen al punto A, que representa la resistencia a la tracción de la pieza. El diagrama de Goodman modificado consiste en las rectas trazadas desde el punto A hasta Se, arriba y abajo del origen. Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. 11 Formación Abierta Su Paralelas σmín 0 zo er u f Es io Es fu er zo Se ed m o zo er fu s E o im áx m ín im σmáx m Sy σm Sy Su Límite de rotura Límite elástico Se Límite de fatiga Figura 3.2. Diagrama de goodman modificado El segundo diagrama de Goodman modificado es más real que el primero. Cuando el esfuerzo medio es de compresión, el fallo se define por las dos líneas gruesas paralelas que parten de +Se y -Se, y se han trazado hacia abajo y a la izquierda. Cuando el esfuerzo medio es de tracción, el fallo se define por la línea de esfuerzo máximo o por el límite elástico, según lo indica el contorno de línea gruesa a la derecha del eje de las ordenadas. El diagrama de Goodman modificado es útil para el análisis, cuando todas las dimensiones de la pieza se conocen y se pueden calcular fácilmente las componentes del esfuerzo; pero es bastante difícil emplearlo en el diseño, es decir, cuando no se conocen las dimensiones. 12 Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ RESUMEN • El fallo por fatiga de un material se produce cuando, estando las cargas aplicadas por debajo de la resistencia última del material, éstas se aplican de forma cíclica durante un largo periodo de tiempo. El fallo se produce como consecuencia de la aparición de una pequeña grieta en cualquier imperfección del material, la cual va creciendo hasta romperse la pieza. • La relación entre la resistencia a la fatiga (valor de la carga cíclica aplicada) y el número de ciclos aplicados, se representa en un Diagrama S-N. En él, se obtiene el Límite de Fatiga de una pieza o material, que el valor de la carga cíclica aplicada que hace romper la pieza después de un número de ciclos infinito. • Este límite de fatiga puede verse alterado por el acabado superficial y el tamaño de la pieza, la temperatura a la que está sometida y la geometría de la misma (concentración de tensiones), así como por otros factores. • Otra forma de actuar las cargas y que influye en el límite de fatiga es, cíclicamente, pero con valores del mismo signo, es decir, sin pasar por el valor cero (cargas fluctuantes). Unidad 3. Diseño por resistencia a la fatiga. 13 CÁLCULO, DISEÑO Y ENSAYO DE MÁQUINAS 4 RESORTES MECÁNICOS Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ÍNDICE ♦ OBJETIVOS................................................................................................3 ♦ INTRODUCCIÓN ........................................................................................4 4.1. Resortes helicoidales ...........................................................................5 4.1.1. Esfuerzos en resortes helicoidales...................................................5 4.1.2. Deformaciones de resortes helicoidales...........................................8 4.2. Resortes de tensión ...........................................................................10 4.3. Diseño de resortes helicoidales ........................................................12 4.4. Cargas de fatiga..................................................................................13 ♦ RESUMEN ................................................................................................15 Unidad 4. Resortes mecánicos. 1 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ OBJETIVOS • Conocimiento de los distintos tipos de resortes mecánicos. • Estudio de los resortes helicoidales: esfuerzos y deformación. • Estudio de resortes de tracción. • Conocer los diferentes aspectos del diseño de los resortes helicoidales. Unidad 4. Resortes mecánicos. 3 Formación Abierta ♦ INTRODUCCIÓN Los resortes mecánicos se utilizan en las máquinas con objeto de ejercer fuerzas, proporcionar flexibilidad y almacenar o absorber energía. En general se clasifican en: de alambre, planos, o con formas especiales. Los de alambre incluyen los resortes helicoidales de sección circular (se fabrican con el fin de resistir cargas de tracción, compresión o torsión), los resortes helicoidales de extensión y los resortes de torsión. Dentro de los planos se incluyen los tipo de cantiléver y elípticos, los muelles arrollados de tipo reloj y muelles planos en forma de arandela. Resorte Helicoidal Resorte Helicoidal de extensión Figura 4.1. 4 Tipos de resortes Unidad 4. Resortes mecánicos. Resorte de torsión Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 4.1. RESORTES HELICOIDALES Los resortes helicoidales son elementos mecánicos que se montan entre dos partes mecánicas de una máquina con el fin de amortiguar impactos o de almacenar energía y devolverla cuando sea requerida. Consisten en un arrollamiento de espiras de alambre, generalmente de sección circular, pero también de sección cuadrada y rectangular. 4.1.1. ESFUERZOS EN RESORTES HELICOIDALES La figura (izquierda) a continuación representa un resorte helicoidal de compresión de alambre redondo cargado con una fuerza F. El diámetro medio del resorte es D y el diámetro del alambre es d. Si se secciona el resorte en un punto (figura derecha), se separa una parte y se sustituye por el efecto de las fuerzas internas, la parte seccionada ejercería una fuerza cortante directa F y un momento de torsión T en el resto del resorte. Para visualizar la torsión, se puede pensar en una manguera de jardín enrollada en espiral e imaginar que se tira del extremo libre de ella en dirección perpendicular al plano del rollo. A medida que cada vuelta de la manguera se saca de la espiral, se tuerce o gira sobre su propio eje. En el resorte ocurre lo mismo al comprimirlo. F F d F F T D Figura 4.2. Resorte helicoidal de compresión Unidad 4. Resortes mecánicos. 5 Formación Abierta Realizando una superposición, se obtiene una tensión máxima en el alambre del resorte de valor: τ= 8FD 4F + πd3 πd2 Se define ahora el índice del resorte, como una medida de la curvatura de las vueltas: C= D d Por lo tanto, τ= 8FD ⎡ d ⎤ 8FD ⎡ 1 ⎤ 8FD ⎡ 0,5 ⎤ 1+ = 1+ = 1+ 3 ⎢ 3 ⎢ ⎥ C ⎥⎦ πd ⎣ 2D ⎦ πd ⎣ 2C ⎥⎦ πd3 ⎢⎣ τ = KS 8FD πd3 (1) Donde Ks es el factor de multiplicación del esfuerzo cortante. En la mayor parte de los resortes C varía desde aproximadamente 6 hasta 12. Esta ecuación proporciona la tensión cortante máxima en el alambre, que se produce en la fibra del lado interior del resorte. Esta ecuación se puede expresar de la siguiente forma, τ=K 8FD πd3 ( 2) Donde K es el factor de corrección de Wahl, que incluye el cortante directo (F+T) y cualquier otro efecto debido a la curvatura del resorte. La curvatura del alambre aumenta el esfuerzo por la parte interior del resorte pero lo disminuye ligeramente en la exterior (ver figura). K= 6 4C − 1 0,615 + 4C − 4 C Unidad 4. Resortes mecánicos. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas d d (a) Tensión cortante torsional pura (T) Figura 4.3. (b) Tensión cortante directa (F) Tensiones en un resorte helicoidal Eje del resorte Eje del resorte d d D/2 D/2 Tensión resultante (a)+(b) Figura 4.4. Tensión resultante (a)+(b)+curvatura (K) Tensiones en un resorte helicoidal Las investigaciones revelan que la tensión cortante por curvatura está concentrada en la parte interior del resorte. Los resortes sometidos sólo a cargas estáticas, sufrirán fluencia en la fibra interior y aliviarán esta tensión. Por lo tanto, en estos resortes sometidos a cargas estáticas, se puede despreciar la tensión por curvatura y utilizar la ecuación (1). Unidad 4. Resortes mecánicos. 7 Formación Abierta 4.1.2. DEFORMACIONES DE RESORTES HELICOIDALES Para obtener la ecuación de la deformación de un resorte helicoidal se considerará un elemento de alambre determinado por dos secciones transversales próximas. La figura muestra tal elemento, de longitud dx, separado de un alambre de diámetro d. dx d b a γ gdx dα c Figura 4.5. Elemento diferencial de alambre de resorte Se considerará el segmento ab de la superficie del alambre y paralelo al eje del mismo. Debido a la carga, girará un ángulo γ hasta ocupar la nueva posición ac. De la deformación transversal (Hooke), y tomando la ecuación (2) con K=1, γ= τ 8FD = 3 G πd G (3) La distancia bc es γdx, y el ángulo dα que gira una sección transversal con respecto a otra, es: dα = γdx 2 γdx = d/ 2 d ( 4) Si el número de vueltas o espiras activas del resorte es N, la longitud total del alambre será πDN. Sustituyendo γ de la ecuación (3) en la ecuación (4) e integrando en toda la longitud del alambre, ∫ πDN 28 0 d dx = ∫ πDN 16 FD 0 π d4G dx = 16 F D2 N d4 G La carga F tiene un brazo de palanca de D/2, por lo que la deformación total del resorte será: 8 Unidad 4. Resortes mecánicos. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas y=α D 8FD3N = 4 2 dG Para hallar la constante del resorte hay que usar la ecuación k=F/y, y sustituir el valor de y obtenido: k= d4G 8D3N (5) Unidad 4. Resortes mecánicos. 9 Formación Abierta 4.2. RESORTES DE TENSIÓN Los resortes de tensión (o extensión), que se muestran en la figura, disponen de medios para transmitir la carga desde el soporte hasta el cuerpo del resorte (tapón roscado o gancho giratorio, más caros), como son los extremos de gancho de la figura, por lo que hay que tener en cuenta al diseñarlos el efecto de concentración de tensiones. Gancho alzado Media espira Figura 4.6. Resortes de tensión Cuando los resortes de tensión se fabrican con sus espiras en contacto, se dice que son del tipo cerrado. Los fabricantes imparten una cierta tensión inicial a estos resortes con objeto de mantener la longitud libre de manera más precisa. La tensión inicial se origina en el proceso de enrollado o bobinado, torciendo el alambre a medida que se enrolla en el mandril formador. Cuando el resorte se termina y se retira del formador, la tensión inicial queda incorporada debido a que éste no puede hacerse más corto. La dirección de los esfuerzos puede visualizarse observando la figura: en (a), el bloque A simula el efecto de las espiras apiladas y la longitud libre del resorte es L cuando no se le aplica ninguna fuerza externa. En (b), se considera aplicada una fuerza externa F que origina que el resorte se alargue o extienda la distancia y. En (c), se muestra la relación entre la fuerza externa y el alargamiento del resorte; se observa que F debe exceder la tensión inicial (Fi) del resorte antes que se experimente una deformación total y. 10 Unidad 4. Resortes mecánicos. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas F F y L k Fi A y F Figura 4.7. Resorte de tensión Unidad 4. Resortes mecánicos. 11 Formación Abierta 4.3. DISEÑO DE RESORTES HELICOIDALES El diseño de un resorte nuevo comprende las siguientes consideraciones: El espacio en que debe adaptarse y operar. Valor de las fuerzas y las deformaciones que se producirán. Precisión y fiabilidad necesarias. Tolerancias y variaciones permisibles de las especificaciones. Condiciones ambientales, como temperatura y ambiente corrosivo. El diseñador utiliza estos factores citados con el fin de seleccionar y especificar los valores adecuados para el tamaño del alambre, el número de espiras, el diámetro y la longitud libre, el tipo de extremos, el material y el módulo de resorte necesarios para satisfacer los requisitos de fuerza y alargamiento-contracción de trabajo. Debido al gran número de variables dependientes, el problema es complejo y, por eso, existen simplificaciones del problema del diseño de resortes mediante gráficas. Estas gráficas están destinadas a utilizarse con las dos ecuaciones fundamentales vistas [(2) y (5)], y en ellas se utilizan líneas verticales y horizontales para los distintos parámetros de diseño. 12 Unidad 4. Resortes mecánicos. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 4.4. CARGAS DE FATIGA Los resortes casi siempre están sometidos a cargas cíclicas, por lo que casi siempre se fabrican para trabajo en condiciones de fatiga. En muchos casos, el número de ciclos de vida requeridos puede ser pequeño, por ejemplo, varios miles para un resorte de candado o para un interruptor eléctrico de palanquilla; pero el de una válvula de motor de combustión interna alternativo de automóvil debe soportar millones de ciclos de operación sin fallo alguno, de manera que deben diseñarse para una duración infinita. Comúnmente, cuando se trata de ejes y de otros elementos de máquinas, la carga de fatiga se considera de esfuerzos invertidos (±, tracción-compresión, por ejemplo) de forma alternada. Por otra parte, los resortes helicoidales nunca se usan al mismo tiempo como resortes de tensión y de compresión. De hecho, por lo general se montan con una precarga que hace que su longitud inicial disminuya para, una vez colocados se vean sometidos a esfuerzos fluctuantes de compresión (un solo signo) donde la carga mínima es mayor que cero siempre. σ σ máx σa σr σa σmín σm O t Figura 4.8. Esfuerzo fluctuante de compresión En el análisis de resortes para determinar la causa de un fallo por fatiga o en el diseño de aquéllos destinados a resistirla, es conveniente aplicar el factor de multiplicación del esfuerzo cortante, Ks, tanto a la tensión media τm, como a la amplitud del esfuerzo τa. Unidad 4. Resortes mecánicos. 13 Formación Abierta Definimos entonces: Fa = Fmáx − Fmín 2 Fm = Fmáx + Fmín 2 Donde los subíndices tienen el mismo significado que los de la figura cuando se plica una fuerza axial F al resorte. Así, las tensiones originadas en el alambre serán, aplicando la ecuación (1), τa = K S 8FD πd3 τm = K S 8FD πd3 El fallo en torsión ocurrirá siempre que, τa = límite de resistencia a la fatiga por torsión o bien si τmáx = τm + τa = límite de resistencia de fluencia por cortadura (torsión) Los mejores datos acerca de los límites de fatiga a la torsión de aceros para resortes son los que elaboró Zimmerli, que descubrió que el tamaño, el material y la resistencia a la tracción no influyen en el límite de resistencia a la fatiga (sólo en vida infinita) de aceros para resortes en tamaños inferiores a D=10 mm. 14 Unidad 4. Resortes mecánicos. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ RESUMEN • Al aplicar una carga paralela al eje en un resorte helicoidal, se produce una tensión cortante en el alambre, debida a la propia fuerza y al momento de torsión que se origina. Esta tensión cortante depende de la fuerza aplicada, del diámetro del resorte, del diámetro del alambre y de la curvatura del resorte (relación entre los diámetros, del resorte y del alambre). • También se produce en el resorte una deformación que depende de la fuerza aplicada, del diámetro y del número de espiras del resorte, del diámetro del alambre y del módulo de elasticidad transversal del material. • Cuando un resorte es sometido a cargas fluctuantes (lo normal en un resorte), se tendrá en cuenta, tanto la tensión cortante máxima, como la tensión cortante media. Unidad 4. Resortes mecánicos. 15 CÁLCULO, DISEÑO Y ENSAYO DE MÁQUINAS 5 COJINETES DE RODAMIENTO Y COJINETES DE FRICCIÓN Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ÍNDICE ♦ OBJETIVOS................................................................................................3 ♦ INTRODUCCIÓN ........................................................................................4 5.1. Cojinetes de rodamiento ......................................................................5 5.1.1. Tipos de cojinetes de rodamiento ....................................................5 5.1.1.1. Cinemática de rodamientos radiales ............................................9 5.1.1.2. Cinemática de rodamientos de apoyo angular............................10 5.1.2. Vida y carga en cojinetes de rodamiento .......................................11 5.1.3. Selección de rodamientos de bolas y de rodillos cilíndricos ...........14 5.1.4. Lubricación de rodamientos ...........................................................19 5.2. Cojinetes de fricción ..........................................................................21 5.2.1. Lubricación ....................................................................................21 5.2.2. Tipos de lubricación.......................................................................21 5.2.3. Viscosidad .....................................................................................23 5.2.4. Ley de petroff.................................................................................24 5.2.5. Teoría de la lubricación hidrodinámica...........................................25 5.2.6. Factores de diseño ........................................................................31 5.2.7. Relación entre las variables ...........................................................32 ♦ RESUMEN ................................................................................................33 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 1 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ OBJETIVOS • Conocer los diferentes tipos de rodamientos que existen, sus características principales, sus funciones, su cinemática, la relación entre la carga que soportan y su vida útil, así como los criterios a seguir para la elección entre rodamiento de bolas o de rodillos cilíndricos, y la lubricación correcta de los mismos. • Conocer los diferentes tipos de lubricación, el concepto de viscosidad de un lubricante y la teoría sobre la lubricación hidrodinámica. • Estudiar los factores de diseño de un cojinete de fricción y la relación existente entre ellos. Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 3 Formación Abierta ♦ INTRODUCCIÓN Un cojinete es la pieza o conjunto de ellas sobre las que se apoya y gira el eje o árbol transmisor de movimiento giratorio de una máquina. Dependiendo del tipo de contacto entre el eje y el cojinete, éste puede ser cojinete de rodamiento (rodamiento) y cojinete de fricción. 4 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 5.1. COJINETES DE RODAMIENTO La expresión cojinete de rodamiento se emplea para describir aquellos rodamientos en los que la carga principal se transmite a través de elementos que están en contacto de rodadura y no de deslizamiento (a través de bolas, rodillos,…). En un cojinete de rodamiento, la fricción inicial (arranque) es aproximadamente el doble de la que hay a la velocidad de funcionamiento y, por lo tanto, es despreciable en comparación con la de un cojinete de deslizamiento. El diseño de este tipo de rodamientos plantea el problema de diseñar un elemento que se acomode en un espacio de dimensiones especificadas, que reciba una carga de determinadas características y, finalmente, que tenga propiedades que le permitan tener una vida satisfactoria trabajando en determinadas condiciones de servicio. Por lo tanto, hay que tener en cuenta factores como cargas de fatiga, rozamiento, calentamiento, resistencia a la corrosión, problemas cinemáticos, propiedades de los materiales, lubricación, tolerancias dimensionales, ensamble, utilización y coste. 5.1.1. TIPOS DE COJINETES DE RODAMIENTO Los cojinetes de rodamiento se fabrican para soportar cargas radiales (perpendiculares al eje), axiales (paralelas al eje) o una combinación de ambas. En la figura se ha representado un cojinete de bolas y puede observarse la nomenclatura de todas sus partes. Se compone de cuatro partes esenciales: anillo exterior, anillo interior, bolas y separador. A veces, en los cojinetes de menor calidad, se suprime el separador, cuya función es la de separar los elementos rodantes (bolas) para que no exista contacto entre ellos. Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 5 Formación Abierta Ancho Radio de borde Hombros Diámetro interior Diámetro exterior Radio de borde Pista del anillo exterior Pista del anillo interior Separador Figura 5.1. Características de un rodamiento de bolas Los rodamientos se pueden clasificar: • Según la dirección de la carga: Radiales: carga perpendicular al eje. Axiales: carga paralela al eje. Mixtos: la carga es oblicua y permiten desplazamientos de un anillo respecto al otro. • Según el elemento de soporte: Anillos: radiales. Discos: axiales. • Según el elemento rodante: Bolas. Rodillos: cilíndricos (agujas L/D>2,5), para carga axial o carga radial únicas. Cónicos, para cargas axial y radial combinadas. 6 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas En la figura siguiente pueden observarse algunos tipos de rodamientos. A B F C D G E H I Figura 5.2. Tipos de rodamientos A) Los cojinetes de ranura profunda y una sola hilera de bolas soportan carga radial y cierta carga axial. Para introducir las bolas en las ranuras, se desplaza el anillo interior a una posición excéntrica, luego se separan (después de ponerlas todas) y se coloca el separador. B) Cuando se emplea una ranura de llenado en los anillos interior y exterior, se logra introducir un mayor número de bolas y aumentar la capacidad de carga del cojinete; sin embargo, cuando existen cargas axiales, disminuye su capacidad a las mismas por el choque de las bolas contra los bordes de la ranura. C) El cojinete de contacto angular tiene mayor capacidad frente a cargas axiales. Todos estos rodamientos pueden disponer cubiertas o sellos de protección en uno o en ambos lados. Estas cubiertas no proporcionan un cierre perfecto, pero sí ofrecen una buena protección contra el polvo y la suciedad. En este caso de disponer de sello o cubierta, se lubrican en fábrica. Supuestamente, un cojinete sellado está lubricado de por vida, a veces se cuenta con un medio de relubricación. Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 7 Formación Abierta D) Los cojinetes con una sola hilera de bolas resisten cierto grado de desalineamiento o desviación del eje, pero si tal efecto es muy intenso, deben usarse cojinetes autoalineantes. E) Los cojinetes de doble hilera de bolas pueden obtenerse en diversos tipos y tamaños para soportar mayores cargas radiales y axiales. A veces, con este mismo fin, se usan dos cojinetes juntos de una sola fila de bolas aunque, en general, los de doble hilera requieren menos partes y ocupan menos espacio. F) Los rodamientos de bolas diseñados para soportar empuje en una sola dirección, se fabrican también de muchos tipos y tamaños. G) Los de rodillos cilíndricos soportan más carga que los de bolas del mismo tamaño por su mayor superficie de contacto. Sin embargo, tienen la desventaja de que requieren una configuración geométrica casi perfecta en las pistas y rodillos. Un ligero desalineamiento hace que éstos pierdan su posición correcta. Por supuesto, éstos no soportan carga axial. H) Los cojinetes de agujas son muy útiles cuando se cuenta con espacio radial limitado. Tienen gran capacidad de carga cuando llevan separadores. I) 8 En los cojinetes de rodillos cónicos se combinan las ventajas de los cojinetes de bolas y de los de rodillos cilíndricos, ya que pueden soportar carga radial, axial o una combinación de ambas. Además, tienen la gran capacidad de carga de los cojinetes de rodillos cilíndricos. Estos cojinetes de rodillos cónicos se diseñan de manera que todas las generatrices de la superficie cónica de los rodillos y de las pistas, se cortan en un punto común del eje del cojinete. Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 5.1.1.1. CINEMÁTICA DE RODAMIENTOS RADIALES En la figura siguiente se puede observar un rodamiento de bolas acoplado en un eje y en el soporte correspondiente. 1 ω21 2 ω21 Vc −ω21 d ω32 3 3 ri ωc rc re ω31 Figura 5.3. Cinemática de un rodamiento de bolas radial Anillo exterior (1) fijo. Bola (2) Anillo interior (3) solidario con el eje. ω31=velocidad del eje (3) ω32=velocidad relativa de (2) con (3) ω21=velocidad de la bola (3) Vc=velocidad de traslación de las bolas Se cumple que: ω31 = ω32 + ω21 Tomando momentos respecto al punto de contacto 2-3: ϖ21 d = ϖ31 ri → ϖ21 = ri ϖ31 (velocidad de rotación de la bola alrededor de su d propio eje) Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 9 Formación Abierta La velocidad de traslación de las bolas (o del separador) será: Vc = ϖc rc = ϖ21 d ri d r r = ϖ31 = i ϖ31 ⇒ Vc = i ϖ31 2 d 2 2 2 ϖc = rj 2rc ϖ 31 Generalmente, ϖc = 2 ϖ31 3 5.1.1.2. CINEMÁTICA DE RODAMIENTOS DE APOYO ANGULAR En la figura siguiente se puede observar un rodamiento de apoyo angular de bolas acoplado en un eje y en el soporte correspondiente. Este tipo de rodamientos se usan cuando se prevé que existan cargas angulares y, en ellos, es posible el desplazamiento de los anillos uno respecto a otro. 1 ω''21 ω'21 2 3 ω 21 ω32 ω31 ω 21 Figura 5.4. 10 Cinemática de un rodamiento de bolas angular Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Anillo exterior (1) fijo. Bola (2) Anillo interior (3) solidario con el eje. ω31=velocidad del eje (3) ω´21=rotación de la bola alrededor de su propio eje ω”21=velocidad de pivotamiento de la bola (3) Se cumple también que: ω31 = ω32 + ω21 Y además, ω21 = ω´21 + ω”21 En un rodamiento mal diseñado, en el apoyo de menor rozamiento de la bola desaparece el pivotamiento y se produce en su totalidad en el otro apoyo. Por lo tanto, las curvas-superficies de rodadura se diseñan de tal manera que las tangentes en los apoyos se cortan en el eje del árbol de transmisión (como en la figura). 5.1.2. VIDA Y CARGA EN COJINETES DE RODAMIENTO Al rodar la bola o el rodillo de un cojinete de rodamiento en la zona de carga se producen esfuerzos en el anillo interior, en el elemento rodante y en el anillo exterior. Si un cojinete de rodamiento se limpia y lubrica correctamente, se instala y sella contra la entrada de polvo y suciedad, se conserva en esta condición y se hace trabajar a temperaturas razonables, entonces la fatiga del material será la única causa posible de fallo. Como esta fatiga implica muchos millones de aplicaciones de esfuerzo en el tiempo de trabajo durante el funcionamiento, se utiliza generalmente la expresión vida del cojinete. La vida media (L10) o vida nominal de un cojinete de rodamiento se define como el número total de revoluciones u horas de trabajo, a una velocidad constante dada, que superarán el 90% de un grupo de rodamientos iguales antes que aparezcan síntomas de fatiga. El fallo por fatiga en un cojinete de rodamiento se manifiesta como agrietamiento o descascarado de las superficies de rodadura (bolas y anillos). L10 (rev) = K 1 Pª ( *) Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 11 Formación Abierta Donde: K Coeficiente de proporcionalidad. P Carga que soporta el rodamiento. a Constante (bolas, a=3; rodillos, a=10/3). Se define capacidad dinámica de carga (C) como la carga que, soportada por un grupo de rodamientos iguales, produce una duración nominal de 106 revoluciones. La vida nominal de un millón de revoluciones es un valor base elegido por facilidad de cálculo. La carga nominal correspondiente para alcanzar esa vida, es tan alta, que se produciría deformación plástica en las superficies de contacto de los elementos rodantes. En consecuencia, la capacidad dinámica de carga es simplemente un valor de referencia, y no se llegará a aplicar una tan grande. 106 = K 1 Cª ( * ) L10 ( rev ) = 106 Cª 1 Cª = 106 Pª Pª O también, C = P L1/a (L en millones de revoluciones) Por ejemplo, si se desea una vida de 27 millones de revoluciones para un cojinete de bolas, la capacidad dinámica de carga deberá ser C = P (27)1/3 = 3P Es decir, 3 veces la carga aplicada. Para obtener la vida en horas: L10 (h ) = L10 ( h) = 12 L10 (rev ) N (rev / min ) 60 (min/ h ) donde N es la velocidad de giro 106 Cª 60N Pª Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Se define carga dinámica equivalente de un cojinete de rodamiento a la carga radial o axial, según el rodamiento, que aplicado a éste, le provocaría una vida nominal igual a la que le producirían las cargas realmente aplicadas. Este es un dato que aparece en las características propias de cada rodamiento (tablas). Experimentalmente se ha demostrado que dos rodamientos idénticos, probados con cargas diferentes P1 y P2, tienen vidas L1 y L2, respectivamente, estando relacionadas de la siguiente forma. L1 ⎛ P2 ⎞ =⎜ ⎟ L 2 ⎝ P1 ⎠ a Donde: a=3 Para cojinetes de bolas. a=10/3 Para cojinetes de rodillos. Ejemplo 1 Se trata de seleccionar un cojinete de rodillos que soporte una carga radial de 4 kN y que tenga una vida nominal L10 de 1.200 horas a una velocidad de 600 rpm. • Solución: P=4 kN, L10=1200 h, a=10/3, N=600 rpm L10 ( h ) = 106 Cª 60N Pª (L10 C= 60 N)10 P 3 3 6 10 (10 ) 3 (1200 ⋅ 60 ⋅ 600 )10 4 = 12,38kN = 3 6 10 (10 ) Con este dato, se iría a las tablas de los rodamientos y se buscaría, para las características requeridas, el que tuviera un valor de la capacidad dinámica de carga obtenido (12,38 daN), o menor. Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 13 Formación Abierta 5.1.3. SELECCIÓN DE RODAMIENTOS DE BOLAS Y DE RODILLOS CILÍNDRICOS A excepción de los rodamientos para carga axial pura, los rodamientos de bolas y rodillos cilíndricos trabajan generalmente con una combinación de cargas axial y radial. La capacidad de los rodamientos en los catálogos están basadas solo en carga radial, por eso conviene definir una carga radial equivalente, Fe, que tenga el mismo efecto en la vida del rodamiento que las aplicadas realmente. Se recomienda que la carga radial equivalente sea el mayor valor obtenido en: Fe = V Fr Fe = XV Fr + Y Fa Donde: Fe Carga radial equivalente. Fr Carga radial aplicada. Fa Carga axial aplicada. V Factor de rotación. X Factor radial. Y Factor axial. El factor de rotación V sirve para corregir por las diversas condiciones del anillo giratorio. Para un anillo interior rotatorio, V=1, y para un anillo exterior móvil, V=1,2 (la vida de fatiga se reduce en estas condiciones). Los factores X e Y dependen de la configuración geométrica del rodamiento, del número de bolas y del diámetro de éstas. Cuando de obtienen teóricamente los valores X e Y, las curvas resultantes se pueden aproximar mediante dos rectas, por eso se dan dos valores para estas constantes, cogiéndose el grupo de valores que dé la mayor carga equivalente. Factores de carga radial equivalente Tipos de cojinetes de bolas X1 Y1 X2 Y2 De contacto radial 1 0 0,5 1,4 De contacto angular con ángulo suave 1 1,25 0,45 1,2 De contacto angular con ángulo fuerte 1 0,75 0,4 0,75 De doble fila 1 0,75 0,63 1,25 14 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Las normas y los diferentes fabricantes de rodamientos establecen dimensiones límites estándar para los rodamientos, las cuales definen el diámetro interior, el exterior, el ancho y los radios de borde. Para, por ejemplo, un diámetro interior dado, existen diversos anchos y diámetros exteriores. Los rodamientos se designan por un número de dos dígitos (clave). El primer número del símbolo procede de la serie de anchos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El segundo número corresponde a la serie de diámetros exteriores: 0, 1, 2, 3 y 4. Cómo el símbolo de series no indica directamente las dimensiones, es necesario recurrir a tablas. 0 1 2 3 4 r 3 Serie de diámetros Diám. ext. DE 33 31 32 30 23 22 21 13 12 10 03 04 02 Diám. int. DI Serie de dimensiones 00 2 1 0 Figura 5.5. Nomenclatura de los rodamientos Ejemplos de tablas de rodamientos son: Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 15 Formación Abierta Dimensiones y capacidad dinámica de carga de rodamientos de bolas serie 02 DIÁMETROS HOMBRO mm mm RADIO BORDE mm dS (int.) AL CAP. DINÁM. CARGA kN dH (ext.) 30 9 0,6 12,5 27 3,58 12 32 10 0,6 14,5 28 5,21 15 35 11 0,6 17,5 31 5,87 17 40 12 0,6 19,5 34 7,34 20 47 14 1,0 25 41 9,43 25 52 15 1,0 30 47 10,8 30 62 16 1,0 35 55 14,9 35 72 17 1,0 41 65 19,8 40 80 18 1,0 46 72 22,5 45 85 19 1,0 52 77 25,1 50 90 20 1,0 56 82 26,9 55 100 21 1,5 63 90 33,2 60 110 22 1,5 70 99 40,3 65 120 23 1,5 74 109 44,1 70 125 24 1,5 79 114 47,6 75 130 25 1,5 86 119 50,7 80 140 26 2,0 93 127 55,6 85 150 28 2,0 99 136 64,1 90 160 30 2,0 104 146 73,9 95 170 32 2,0 110 156 83,7 DI DE ANCHO mm mm 10 16 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Dimensiones y capacidad dinámica de carga de rodamientos de bolas serie 03 DIÁMETROS HOMBRO mm mm RADIO BORDE mm dS (int.) AL CAP. DINÁM. CARGA kN dH (ext.) 35 11 0,6 12,5 31 6,23 12 37 12 1,0 16 32 7,48 15 42 13 1,0 19 37 8,72 17 47 14 1,0 21 41 10,37 20 52 15 1,0 25 45 12,24 25 62 17 1,0 31 55 16,2 30 72 19 1,0 37 65 21,6 35 80 21 1,5 43 70 25,6 40 90 23 1,5 49 80 31,4 45 100 25 1,5 54 89 40,5 50 110 27 2,0 62 97 47,6 55 120 29 2,0 70 106 55,2 60 130 31 2,0 75 116 62,7 65 140 33 2,0 81 125 71,2 70 150 35 2,0 87 134 80,1 75 160 37 2,0 93 144 87,2 80 170 39 2,0 99 153 94,8 85 180 41 2,5 106 161 101,9 90 190 43 2,5 111 170 110,8 95 200 45 2,5 117 179 117,9 DI DE ANCHO mm mm 10 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 17 Formación Abierta Dimensiones y capacidad dinámica de carga de rodamientos de rodillos cilíndricos SERIE 02 SERIE 03 DI DE ANCHO CAPAC. DE ANCHO CAPAC. mm mm mm kN mm mm kN 25 52 15 10,9 62 17 23,1 30 62 16 18,0 72 19 30,3 35 72 17 26,0 80 21 39,2 40 80 18 34,0 90 23 46,3 45 85 19 35,6 100 25 63,6 50 90 20 36,9 110 27 75,7 55 100 21 45,4 120 29 92,6 60 110 22 55,6 130 31 103,0 65 120 23 65,0 140 33 116,0 70 125 24 65,8 150 35 136,0 75 130 25 80,1 160 37 162,0 80 140 26 87,2 170 39 163,0 85 150 28 99,7 180 41 196,0 90 160 30 126,0 190 43 211,0 95 170 32 140,0 200 45 240,0 100 180 34 154,0 215 47 274,0 110 200 38 205,0 240 50 352,0 120 215 40 220,0 260 55 416,0 130 230 40 239,0 280 58 489,0 140 250 42 280,0 300 62 538,0 Los diámetros al hombro son los diámetros que deben tener los ejes (dS) y los soportes (dH) para que el contacto con el rodamiento sea estable, teniendo en cuenta los radios de borde de éste. Es decir, que el diámetro del eje debe coincidir con el diámetro interior del rodamiento, pero el diámetro al hombro es el diámetro que tiene el eje (superior) inmediato al interior para que el rodamiento haga tope. 18 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas dS Figura 5.6. dH Diámetros al hombro 5.1.4. LUBRICACIÓN DE RODAMIENTOS Las superficies de contacto de los cojinetes de rodamiento tienen un movimiento relativo que es de rodadura y de deslizamiento y, por ello, es difícil describir con exactitud lo que ocurre. Si la velocidad relativa de las superficies deslizantes es suficientemente grande, la acción del lubricante es hidrodinámica. La lubricación elastohidrodinámica es el fenómeno que ocurre cuando se introduce un lubricante entre superficies que están en contacto rodante puro. En los rodamientos, en las superficies de los mecanismos de leva y seguidor, y en el contacto entre dientes en engranajes, ocurre este contacto y, por lo tanto, esta lubricación. Cuando un lubricante queda atrapado entre dos superficies en contacto rodante se origina un incremento muy grande en la presión interna de la película de lubricante. Además, como la viscosidad está relacionada en forma exponencial con la presión, también se produce un incremento muy grande en la viscosidad del lubricante atrapado entre las superficies. Los objetivos a alcanzar con un lubricante para cojinetes de rodamiento, son: Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 19 Formación Abierta Formar una película entre las superficies en contacto deslizante y rodante. Ayudar a distribuir y disipar el calor. Impedir la corrosión de las superficies de contacto. Proteger las piezas de la entrada de materias extrañas. Tanto el aceite como la grasa pueden emplearse como lubricantes. Las reglas para el uso de uno u otro lubricante, son: Empléese grasa cuando Empléese aceite cuando La temperatura no es mayor de 90 ºC. La temperatura es elevada. La velocidad es baja. La velocidad es alta. Se requiere protección especial contra la Se usan fácilmente sellos a prueba de aceite. entrada de materias extrañas. Se desean alojamientos sencillos para los El tipo de cojinete no es adecuado para cojinetes. lubricación con grasa. El cojinete se lubrica desde un sistema central Se necesita operar en periodos largos sin que sirve también para otras piezas de proporcionar atención. máquinas. 20 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 5.2. COJINETES DE FRICCIÓN Un cojinete de deslizamiento es un cojinete en el que el giro del eje que se apoya en él se realiza en contacto directo con el casquillo del cojinete que permanece estático, interponiendo únicamente entre los dos elementos una película de lubricante para reducir el rozamiento y el calor generado. 5.2.1. LUBRICACIÓN El objetivo de la lubricación es reducir el rozamiento, el desgaste y el calentamiento de los elementos de máquinas que se mueven unos con respecto a otros. Se llaman lubricantes las sustancias que realizan estas funciones al introducirlas entre las superficies en movimiento. El ámbito de aplicación de los cojinetes de fricción es muy amplio. Los cojinetes de cigüeñal y las bielas de un motor de combustión interna, tienen que trabajar durante miles de kilómetros, a temperaturas elevadas y en condiciones de carga variables. Los cojinetes de fricción que se emplean en las turbinas de vapor de las plantas generadoras de energía deben tener fiabilidades próximas al 100%. En el otro extremo, existen miles de aplicaciones en las que las cargas son ligeras. Se requiere un cojinete simple, fácil de instalar y que utilice poco o nada de lubricante. En estos casos, el cojinete de rodamiento sería una elección inadecuada, por el alto coste, la necesidad de tolerancias estrechas, las altas velocidades o los efectos de inercia. Se podría establecer una solución a base de un cojinete de nylon que no requiera lubricación, o un cojinete de bronce con anillo de aceite, lubricación por mecha, con película de lubricante sólido o con lubricación por grasa. 5.2.2. TIPOS DE LUBRICACIÓN Existen cinco formas básicas de lubricación: Hidrodinámica. Hidrostática. Elastohidrodinámica. De película mínima o al límite. Con material sólido. Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 21 Formación Abierta La lubricación hidrodinámica es aquella en que las superficies del cojinete que soportan la carga están separadas por una capa de lubricante relativamente gruesa, impidiendo el contacto entre metal y metal, y en la que la estabilidad así obtenida puede explicarse por las leyes de la mecánica de fluidos. La lubricación hidrodinámica no depende de la introducción del lubricante a presión, aunque sí puede hacerse; sin embargo, sí se requiere que haya un abastecimiento adecuado de lubricante en todo momento. La presión en el lubricante la origina la superficie en movimiento, que lo arrastra hacia una zona en forma de cuña a una velocidad suficientemente grande que origina la presión necesaria para separar las superficies, actuando contra la carga que soporta el cojinete. Esta lubricación también se llama lubricación de película y ocurre en los cojinetes de fricción. La lubricación hidrostática se obtiene introduciendo el lubricante, que a veces es aire o agua, en el área de soporte de la carga a una presión suficientemente elevada para separar las superficies con una capa relativamente gruesa. No se requiere así, como en la lubricación hidrodinámica, el movimiento de una superficie con respecto a otra (velocidades pequeñas o nulas). Se da en apoyos verticales de ejes, con o sin movimiento. La lubricación elastohidrodinámica es el fenómeno que ocurre cuando se introduce un lubricante entre las superficies que están en contacto rodante, como en los dientes de engranajes o en los rodamientos. Su explicación matemática requiere la teoría de Hertz del esfuerzo de contacto y de la mecánica de fluidos. Cuando el área de contacto es insuficiente, se aminora la velocidad de la superficie móvil, se reduce la cantidad de lubricante suministrado, se produce un aumento de la carga, o bien aumenta la temperatura del lubricante disminuyendo su viscosidad, puede ocurrir que no se forme una película de lubricante lo suficientemente gruesa para que exista lubricación fluida (hidrodinámica), estableciéndose películas de pocas unidades moleculares de espesor. A esta lubricación se le denomina lubricación de película mínima o al límite. Este cambio de hidrostática a película mínima no ocurre bruscamente y a menudo coexisten los dos tipos de lubricación. Cuando los cojinetes tienen que trabajar a temperaturas extremas, debe usarse un lubricante de película sólida, como el grafito o el disulfuro de molibdeno (MoS2), ya que el aceite no soportaría dichas temperaturas. 22 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 5.2.3. VISCOSIDAD U F A u h y Figura 5.7. Esquema de movimiento sobre lubricante Supongamos que en la figura, la placa A se mueve a una velocidad U sobre una película de lubricante de espesor h. Puede considerarse que la película está formada por una serie de capas horizontales, en las que la fuerza F ocasiona su deformación o el deslizamiento de unas sobre otras. También se supondrá que las capas que están en contacto con la placa móvil tienen la velocidad U y que las que están en contacto con la superficie fija tienen velocidad cero. La velocidad de las capas intermedias u, depende de su distancia a la superficie estacionaria y. La ley de Newton para el movimiento de un fluido viscoso establece que el esfuerzo cortante que se genera en el fluido es proporcional a la variación de la velocidad con respecto a y, τ= F du =μ A dy Donde μ es una constante de proporcionalidad que define la llamada viscosidad (viscosidad absoluta o viscosidad dinámica). La derivada du/dy es la intensidad de cambio de la velocidad con respecto a la distancia (o gradiente de la velocidad). La viscosidad entonces, es una medida de la resistencia al rozamiento interno del fluido. Si el gradiente de velocidad es constante, dU/dy=U/h, por lo tanto, τ= F U =μ A h Las unidades de la viscosidad son kg.s/m2=Pa.s, o lo que es lo mismo, tensión por tiempo. Esta unidad se conoce como reyn (Osborne Reynolds). Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 23 Formación Abierta 5.2.4. LEY DE PETROFF El rozamiento en los cojinetes fue explicado por primera vez por Petroff, considerando la hipótesis de que el eje o árbol es concéntrico o coaxial con el cojinete, aunque esto no es realmente así. c r L N rps Figura 5.8. Eje vertical en cojinete Consideremos un eje vertical como el de la figura, que soporta una carga muy pequeña y en el que el espacio libre c está completamente lleno de aceite. El radio del eje es r y la longitud del cojinete L. Si el eje gira a N rps, su velocidad periférica será: U = 2πrN (mm/s) De la ecuación de la viscosidad, que expresaba el esfuerzo cortante originado en el lubricante, τ=μ U 2πrμN = h c El momento de la fuerza que genera el esfuerzo cortante (τA), donde A es el área del eje en el cojinete, será: 24 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas T = τA r = 2πrμN 4π2r 3LμN 2πrL r = c c (*) Si W es la fuerza pequeña que actúa sobre el cojinete, perpendicular al eje del árbol, entonces la presión P del eje sobre el cojinete (fuerza por unidad de área proyectada) será P=W/2rL. El rozamiento es fW, siendo f el coeficiente de fricción y, por lo tanto, el momento producido por el rozamiento es: T = fWr = f 2rLP r = 2r2fLP Si se sustituye en esta ecuación el valor de T de la ecuación (*) y se despeja el coeficiente de fricción, f = 2π2 μN r LEY DE PETROFF (1883) (f es adimensional) P c 5.2.5. TEORÍA DE LA LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA La teoría de la lubricación hidrodinámica tiene su origen en 1880, en Inglaterra, de la mano de Beauchamp Tower, cuando estaba encargado de estudiar la fricción en las chumaceras de los ejes de los carros de ferrocarril y determinar la mejor forma de lubricarlos. Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 25 Formación Abierta Cojinete parcial de bronce Orificio de lubricación W N Nivel del lubricante Muñón Figura 5.9. Muñón de chumacera de ferrocarril La figura muestra el soporte de muñón que investigo Tower. Tiene un cojinete parcial de 4” de diámetro y 6” de longitud, con un arco de contacto de β=157º y lubricación del tipo de baño. Los coeficientes de fricción obtenidos por Tower en su investigación con este cojinete fueron bastante bajos. Después de ensayar este cojinete, Tower abrió un orificio de ½” de diámetro en la parte superior; pero al poner en movimiento el mecanismo, el aceite brotó por dicho orificio. Tratando de impedirlo, puso un tapón de corcho, pero éste también saltó y entonces lo tapó con un taco de madera. Cuando también fue expulsado el tapón de madera, Tower se dio cuenta y puso un manómetro en el agujero, midiendo una presión mayor que el doble de la carga por unidad de superficie. Investigó las presiones de la película de lubricante en el cojinete, a todo lo ancho y largo del mismo, obteniendo una distribución de presiones como ilustra la siguiente figura. 26 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas P máx P=0 L=6" D=4" Figura 5.10. Distribución de presiones en la chumacera Los resultados obtenidos por Tower tenían tal regularidad que Osborne Reynolds llegó a la conclusión de que debía haber una ley definida que relacionara la fricción, la presión y la velocidad. La teoría matemática actual de la lubricación está basada en el trabajo de Reynolds que siguió a los experimentos efectuados por Tower. La ecuación diferencial original, formulada por Reynolds, la uso para explicar los resultados de Tower. Reynolds imaginó que el lubricante quedaba adherido a ambas superficies y era impulsado por la superficie en movimiento hacia un espacio con forma de cuña, de estrechamiento progresivo, lo cual daba origen a una presión en la película de fluido, de intensidad suficiente para soportar la carga del cojinete. Una de las más importantes hipótesis simplificativas del problema se originó en la apreciación de Reynolds de que las películas de fluido eran tan delgadas, en comparación con el radio del cojinete, que su curvatura podía despreciarse. Esto le permitió sustituir el cojinete parcial curvo por uno plano. Otras suposiciones son: El lubricante obedece la ley de Newton del movimiento de un fluido viscoso. Las fuerzas debidas a la inercia del lubricante son despreciables. El lubricante es incompresible. La viscosidad es constante en toda la película. La presión no varía en la dirección axial. Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 27 Formación Abierta La siguiente figura (a) muestra un muñón soportado por una película de lubricante que gira en el sentido del reloj, de espesor variable h sobre un cojinete parcial que está fijo. El muñón tiene una velocidad superficial constante U. Utilizando la suposición de Reynolds de que puede despreciarse la curvatura y, estableciendo un sistema de referencia xyz, se hacen las siguientes consideraciones adicionales: El cojinete y el muñón se prolongan o extienden indefinidamente en la dirección z. Esto significa que no puede haber flujo de lubricante en esta dirección. La presión de la película es constante en la dirección y. En consecuencia, la presión dependerá sólo de la coordenada x. La velocidad de una partícula cualquiera del lubricante en el seno de la película, depende sólo de las coordenadas x e y. La otra figura (b), representa un elemento de lubricante en el interior de una película, de dimensiones dx, dy y dz, y sobre el que actúan en cada cara las fuerzas representadas: fuerzas normales debidas a la presión actuando en las caras derecha e izquierda, y fuerzas cortantes debidas a la viscosidad y a la velocidad del fluido que actúan sobre las caras superior e inferior. Cojinete Muñon U r dx dy h β (a) Figura 5.11. Muñón soportado por una película de lubricante 28 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Muñón rotatorio u= - U y &τ &y Flujo del lubricante (τ + ------ dy)dx dz dx dp dy (p + ------ dx)dy dz dx p dy dz h τ dx dz z Cojinete estacionario (b) Figura 5.12. Elemento de lubricante de la película Realizando un equilibrio de fuerzas en el elemento: ⎛ ∂τ ⎞ dp ⎞ ⎛ ∑F = ⎜p + dx ⎟ dy dz + τ dx dz − ⎜ τ + dy ⎟ dx dz − p dy dz = 0 dx ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ⎝ Esta expresión se reduce a: dp ∂τ = dx ∂ y (* *) ⎛ ∂u ⎞ Recordando la ley de Newton τ = μ ⎜ ⎟ , en la que se emplea la derivada ⎝ ∂y ⎠ parcial porque la velocidad u depende de x y de y. Sustituyendo esta ley en la ecuación (**), dp ∂2 υ =μ 2 ∂y dx Manteniendo x constante, e integrando dos veces la expresión anterior, u= 1 dp 2 y + C1y + C2 2μ dx Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 29 Formación Abierta Las condiciones de contorno son: y =0→u=0 y = h → u = −U Despejando C1 y C2 en las dos condiciones establecidas, se obtiene la expresión: u= ( ) 1 dp 2 U y − hy − y 2μ dx h Esta ecuación proporciona la velocidad del lubricante en el seno de la película, en función de la variable y, y del gradiente de presión dp/dx. La ecuación indica que la distribución de velocidad se obtiene superponiendo una distribución parabólica (primer término), y una distribución lineal (segundo término). El término parabólico puede ser positivo o negativo, dependiendo del signo del gradiente de la presión. Cuando esta presión es máxima, dp/dx=0 y la velocidad es: u=− U y H Se define Q como el volumen de lubricante que fluye en la dirección x por unidad de tiempo, es decir, el caudal de lubricante. Usando un ancho igual a la unidad en la dirección z, el caudal será: h Q = ∫udy o Sustituyendo u e integrando, Q=− Uh h3 dp − − 2 12μ dx Considerando ahora que el lubricante es incompresible, entonces el caudal será el mismo para cualquier sección transversal (dQ/dx=0), dQ U dh d ⎡ h3 dp ⎤ =− − ⎢ ⎥ =0 dx 2 dx dx ⎣ 12μ dx ⎦ 30 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Es decir, d ⎡ h3 dp ⎤ dh ⎢ ⎥ = −6U dx ⎣ μ dx ⎦ dx Igualdad que es la ecuación clásica de Reynolds para flujo unidimensional (despreciando fugas laterales, es decir, flujo en la dirección z). No existe solución general a esta ecuación diferencial, pero sí soluciones parciales aproximativas, como por ejemplo la de Sommerfeld para la ecuación diferencial considerando fugas laterales: ∂ ⎡ h3 ∂p ⎤ ∂ ⎡ h3 ∂p ⎤ ∂h ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ = −6U ∂x ⎣ μ ∂x ⎦ ∂z ⎣ μ ∂z ⎦ ∂x ⎡⎛ r ⎞ 2 ⎛ πN ⎞ ⎤ r Solución: f = ∅ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ c ⎣⎢⎝ c ⎠ ⎝ P ⎠ ⎦⎥ 5.2.6. FACTORES DE DISEÑO En el diseño de cojinetes de fricción pueden distinguirse dos grupos de variables. En el primer grupo se encuentran aquellas cuyos valores son dados o están bajo control del diseñador: La viscosidad μ . La carga por unidad de área proyectada de cojinete P. La velocidad de rotación N. Las dimensiones del cojinete y del muñón r, c, β y L. Por lo general, de estas cuatro variables, el diseñador no tiene control sobre la velocidad porque ésta depende del diseño general de la máquina. A veces se especifica la viscosidad de antemano, como por ejemplo, cuando se almacena el aceite en un depósito y se emplea desde allí para lubricar y enfriar diversos cojinetes. Las variables restantes y, a veces la viscosidad, puede controlarlas el diseñador y, por lo tanto, son decisiones personales. En otras palabras, cuando se han definido estas cuatro variables el diseño estará completo. En el segundo grupo se hallan las variables dependientes. El diseñador no puede controlarlas excepto en forma indirecta, cambiando una o más del primer grupo. Estas variables son: Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 31 Formación Abierta El coeficiente de fricción f. La elevación de temperatura ΔT. El caudal de lubricante Q. El espesor mínimo de película h0. Puede considerarse que estas cantidades son los factores de diseño porque es necesario establecer limitaciones sobre sus valores. Tales limitaciones se definen por las características de los materiales de cojinete y del lubricante. Por lo tanto, el problema fundamental del diseño de cojinetes de fricción es definir límites satisfactorios para el segundo grupo de variables y, después, decidir los valores de las variables del primer grupo de manera que no se rebasen dichas limitaciones. 5.2.7. RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES Existe una relación entre las variables vistas en los párrafos anteriores, generalmente establecidas por medio de diagramas (temperatura-viscosidad; número característico del cojinete-caudal lubricante; número característico del cojinete-variable de fricción; número característico del cojinete-espesor mínimo de película; número característico del cojinete-presión máxima en la película; etc.). Se define el número característico del cojinete o número de Sommerfeld como, S = (r / c)2 (μN / P) Donde: S Número característico del cojinete. r Radio del muñón, mm. c Holgura radial, mm. µ Viscosidad, reyn. N Velocidad relativa muñón-cojinete, rps. P Carga por unidad de área proyectada, kg. El número de Sommerfeld contiene todas las variables usualmente especificadas por el diseñador y es adimensional; por lo tanto, se ha usado como abscisa en los diagramas citados. 32 Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ RESUMEN • Un cojinete de rodamiento (rodamiento) es un cojinete en el que el contacto entre el eje que gira y la máquina se produce a través de elementos de rodadura (sin fricción). Los rodamientos se clasifican según la carga que se aplica sobre ellos: radiales (carga perpendicular al eje), axiales (carga paralela al eje), y mixtos (ambas cargas a la vez); según el elemento rodante: de bolas, de rodillos cilíndricos y de rodillos cónicos. • En todo rodamiento, la velocidad relativa entre eje y soporte es la suma de la velocidad relativa entre eje y bola más la velocidad relativa entre bola y soporte. • En un rodamiento, existe relación entre la carga que soporta y la vida útil del mismo. • La lubricación tiene como finalidad reducir el rozamiento entre dos superficies en contacto. Existen cuatro tipos de lubricación: hidrodinámica, hidrostática, elastohidrodinámica y de película mínima. • La viscosidad de un lubricante es la relación que existe entre la tensión cortante generada en él y el gradiente de velocidad del mismo. • Con la Ley de Petroff se puede obtener el coeficiente de fricción existente entre un eje vertical que gira y el cojinete de fricción que lo soporta. • La teoría de la lubricación hidrodinámica proporciona el coeficiente de fricción existente en un cojinete de este tipo. • Los factores que influyen en la elección de un cojinete de fricción son: la viscosidad del lubricante, la carga que soporta, la velocidad de giro del eje y las dimensiones de cojinete y eje. Otros factores son el coeficiente de fricción, la temperatura, el caudal del lubricante y el espesor de la película de lubricante. Unidad 5. Cojinetes de rodamiento y cojinetes de fricción. 33 CÁLCULO, DISEÑO Y ENSAYO DE MÁQUINAS 6 ENGRANAJES Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ÍNDICE ♦ OBJETIVOS................................................................................................3 ♦ INTRODUCCIÓN ........................................................................................4 6.1. Engranajes rectos.................................................................................7 6.1.1. Nomenclatura ..................................................................................7 6.1.2. Teoría de engrane ...........................................................................8 6.1.3. Ley de engrane................................................................................9 6.1.4. Tamaño del diente: paso y módulo ................................................10 6.1.5. Línea de engrane, línea de empuje y ángulo de presión................11 6.1.6. Dimensiones de un engranaje normal............................................12 6.1.7. Perfil del diente: cicloidal y evolvente.............................................13 6.1.8. Engrane entre perfiles de evolvente...............................................15 6.1.9. Cremallera de evolvente ................................................................18 6.1.10. Limitaciones en el engrane de perfiles de evolvente ......................19 6.1.11. Coeficiente de engrane..................................................................19 6.1.12. Interferencia y penetración.............................................................21 6.1.13. Fabricación de ruedas dentadas....................................................24 6.1.14. Tallado por cremallera ...................................................................26 6.1.14.1. Cremallera herramienta............................................................26 6.1.14.2. Parámetros de generación .......................................................26 6.1.14.3. Cálculo de datos intrínsecos ....................................................28 6.1.14.4. Número límite de dientes en la talla .........................................31 6.1.14.5. Formas de evitar la penetración en la talla ...............................33 6.2. Engranajes helicoidales .....................................................................44 6.2.1. Forma de los dientes .....................................................................44 6.2.2. Engrane de dos ruedas helicoidales ..............................................45 6.2.3. Relación entre ángulos de las hélices base y primitiva ..................46 6.2.4. Cremallera helicoidal .....................................................................47 6.2.5. Coeficiente de engrane..................................................................49 6.3. Engranajes cónicos............................................................................54 6.3.1. Número límite de dientes en la talla ...............................................59 6.3.2. Geometría de engranajes cónicos .................................................60 6.4. Engranajes hiperbólicos ....................................................................63 ♦ RESUMEN ................................................................................................67 Unidad 6. Engranajes. 1 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ OBJETIVOS • Conocer los diferentes tipos de engranajes existentes, dependiendo de los ejes que se transmiten el movimiento y dependiendo del tipo de los dientes de las ruedas dentadas que constituyen el engranaje. • Conocimiento de la geometría de las ruedas dentadas, así como de la geometría del engranaje. • Estudio matemático del funcionamiento de un engranaje y sus características fundamentales. • Conocer las diferentes formas de fabricación de ruedas dentadas. Unidad 6. Engranajes. 3 Formación Abierta ♦ INTRODUCCIÓN En casi todas las máquinas es necesario transmitir movimiento de rotación de un eje a otro. Los engranajes constituyen uno de los mejores medios disponibles para hacerlo. Los engranajes están constituidos, básicamente, por ruedas dentadas, que son elementos circulares acoplados al eje (solidarios) en los cuales se han tallado una serie de dientes en su contorno y que son los encargados de transmitir el movimiento del eje a los dientes de la otra rueda dentada del engranaje, solidaria al eje al que se quiere transmitir el movimiento. Para esta transmisión de movimiento de un eje a otro, se dispone de diversos tipos de engranajes. Los engranajes se clasifican según la disposición de los ejes cuyo movimiento se quiere transmitir (o según la forma geométrica de los axoides relativos a las ruedas dentadas) y según el tipo de dientes: • Engranajes cilíndricos (los axoides son cilindros): transmiten movimiento de rotación entre ejes paralelos. Según la orientación de los dientes, pueden ser: Rectos: dientes paralelos al eje de rotación. Helicoidales: dientes no paralelos al eje de rotación (forman una hélice sobre el cilindro axoide). • Engranajes cónicos (los axoides son conos): transmiten movimiento de rotación entre ejes que se cortan en un punto. Según el ángulo que forman los ejes, pueden ser: < 90º. = 90º. > 90º. También pueden ser, según el tipo de diente, rectos o helicoidales. • Engranajes hiperbólicos (los axoides son hiperboloides de revolución): transmiten movimiento de rotación entre ejes que se cruzan en el espacio. Existen varios tipos: Con ruedas cilíndrico helicoidales. Tornillo sinfín/corona. Hipoides. Con doble transmisión cónica. Ruedas hiperbólicas (para ejes que se cruzan oblicuamente). 4 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Recto Helicoidal (1a) (1b) Figura 6.1. Engranajes cilíndricos < 90º = 90º (2a) (2b) > 90º (2c) Figura 6.2. Engranajes cónicos Unidad 6. Engranajes. 5 Formación Abierta Ruedas Cilindrico Helicoidales Tornillo sin fín/Corona (3a) (3b) Doble transmisión cónica Tornillo sin fín/Corona (3c) (3d) Figura 6.3. 6 Engranajes hiperbólicos Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 6.1. ENGRANAJES RECTOS Los engranajes rectos se emplean para transmitir movimientos de rotación entre ejes paralelos. Su contorno es de forma cilíndrica circular y sus dientes son paralelos al eje de rotación. 6.1.1. NOMENCLATURA Se muestran a continuación distintos parámetros característicos de una rueda dentada: b α e h rb ac p α ap rp r rc Figura 6.4. Parámetros característicos de una rueda dentada z = número de dientes p=360º/z=2πr/z (paso) m= p/π(módulo) p=e+h (e=h) r=radio circunferencia primitiva o axoide rp=radio circunferencia de pie de diente rc=radio circunferencia de cabeza de diente a=ac+ap (altura de diente=altura de cabeza+altura de pie) ac=m ap=m+j (j=juego, holgura entre la cabeza del diente y la base del diente de la otra rueda, generalmente j=m/6) e=espesor del diente (medido sobre la circunferencia primitiva) h=hueco (medido sobre la circunferencia primitiva) b=ancho de diente rb=rcosα (circunferencia base: tangente a la línea que forma un ángulo α con la horizontal) Unidad 6. Engranajes. 7 Formación Abierta 6.1.2. TEORÍA DE ENGRANE Para estudiar la teoría de engrane, lo más sencillo es realizarla sobre los engranajes rectos, ya que al tener los dientes paralelos a las generatrices de los cilindros axoides, se pueden estudiar en el plano. La transmisión de movimiento en un engranaje recto se realiza por medio del contacto directo con deslizamiento entre los dientes de las dos ruedas que forman el engranaje. Esta transmisión, si las ruedas están bien diseñadas, es equivalente a una rodadura sin deslizamiento entre dos poleas de fricción cuyos cilindros de rodadura coincidan con los cilindros axoides. 2 ω2 O2 ω2 r2 a I ω21 ω1 r1 1 O1 -ω1 ω1 Figura 6.5. Transmisión de movimiento en un engranaje Como la velocidad del centro instantáneo de rotación I debe ser la misma para las dos ruedas, se cumplirá la ecuación: ω1r1 = ω2r2 (6.1) De aquí se obtiene que la relación de transmisión del engranaje será: μ= ω2 r1 = ω1 r2 (6.2) Si se conoce la distancia entre centros de las ruedas a y la relación de transmisión μ, como la distancia entre centros debe ser igual a la suma de los radios de los axoides o radios primitivos, se cumplirá: 8 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas a = r1 + r2 (6.3) r1 = μ μ +1 (6.4) r1 = 1 μ +1 (6.5) 6.1.3. LEY DE ENGRANE La ley de engrane de un engranaje dice que la relación de transmisión de un engranaje debe ser constante. Suponiendo que la velocidad angular de una rueda dentada de un engranaje sea constante, para conseguir que la velocidad angular de la otra rueda sea constante y no aparezcan aceleraciones angulares que produzcan vibraciones, se debe conseguir en todo momento que la relación de transmisión sea constante, es decir, que se cumpla la ley de engrane. En la ecuación (6.2) se observa que para que la relación de transmisión sea constante, se deben mantener constantes los radios primitivos de las ruedas dentadas. Los axoides deben ser circunferencias. Para que los radios primitivos se mantengan constantes, el centro instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas, punto I, se debe mantener fijo. Además, el centro instantáneo I debe estar en la recta de unión de los centros de las ruedas. Por otro lado, este centro instantáneo relativo se encuentra en la perpendicular a la tangente común a las dos superficies en el punto de contacto. Unidad 6. Engranajes. 9 Formación Abierta O2 P I Axoides O1 Figura 6.6. Perfiles conjugados En consecuencia, cuando la perpendicular trazada en todo momento a la tangente de los perfiles de los dientes en el punto de contacto, corta a la recta de unión de centros en un punto fijo, se cumple la ley de engrane. A los perfiles que cumplen la ley de engrane se les llama perfiles conjugados. 6.1.4. TAMAÑO DEL DIENTE: PASO Y MÓDULO El paso se define como la distancia entre flancos homólogos de dientes consecutivos medida sobre la circunferencia primitiva, por lo tanto su valor será: p= 2πr πd = z z (6.6) Siendo r y d, el radio y el diámetro de la circunferencia primitiva, respectivamente, y z el número de dientes de la rueda dentada. Con el fin de no manejar continuamente el número π, se define el módulo como: m= 10 p 2r d = = π z z (6.7) Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Para que dos ruedas dentadas puedan engranar correctamente, además de cumplir la ley de engrane, deben tener el mismo paso, o lo que es lo mismo, el mismo módulo. Por lo tanto se cumplirá: m= 2r1 2r2 d1 d2 = = = z1 z 2 z1 z2 Y la relación de transmisión será: μ= ω2 r1 z1 d1 = = = ω1 r2 z2 d2 Con el fin de reducir el número de herramientas de tallado de ruedas dentadas, se han normalizado los módulos según la tabla siguiente, aunque se pueden encontrar ruedas dentadas con módulos no normalizados. Módulos normales (mm) (0,875) 1 (1,125) 1,25 (1,375) 1,5 (1,75) 2 (2,25) 2,5 (2,75) 3 (3,5) 4 (4,5) 5 (5,5) 6 (7) 8 (9) 10 (11) 12 Evitar los números entre paréntesis Los números mayores o menores se obtienen multiplicando o dividiendo los de la tabla por 2, 4, 8, 16, etc. 6.1.5. LÍNEA DE ENGRANE, LÍNEA DE EMPUJE Y ÁNGULO DE PRESIÓN La línea de engrane está formada por los diferentes puntos que va ocupando el punto de contacto entre los dientes de dos ruedas dentadas en un engranaje. Como cada diente tiene dos flancos de posible contacto, un engranaje tendrá dos posibles líneas de engrane, en función del sentido de giro relativo del engranaje. Para perfiles cualesquiera, la línea de engrane tendrá una trayectoria cualquiera, pero si los perfiles de los dientes son de evolvente de círculo, la línea de engrane es una línea recta que forma un ángulo constante con la horizontal. Unidad 6. Engranajes. 11 Formación Abierta La línea de empuje es la dirección de las fuerzas que se transmiten entre las dos ruedas dentadas que forman el engranaje. Estas fuerzas son perpendiculares a la tangente a los dos perfiles de los dientes en el punto de contacto P (figura) y, si éstos cumplen la ley de engrane, esta línea pasará por el centro instantáneo de rotación I. Por lo tanto, la dirección de la línea de empuje variará al variar el punto de contacto entre dientes. Para dientes con perfil de evolvente, la línea de engrane y la línea de empuje, coinciden, siendo una línea recta. El ángulo de presión, α, es el formado, en cada punto de contacto dientediente, por la línea de empuje y la tangente común a los axoides en el punto I (horizontal). Para dientes con perfil de evolvente, el ángulo de presión es constante. Generalmente, α=20º o 25º. Empuje P α I Línea de engrane Figura 6.7. Ángulo de presión 6.1.6. DIMENSIONES DE UN ENGRANAJE NORMAL Un engranaje se puede considerar normal cuando está formado por dos ruedas en las que: 12 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas El módulo m tiene un valor normalizado, se expresa en mm. El ángulo de presión α es de 20º. La altura de cabeza ac=m. La altura de pie ap=1,25m. El espesor del diente e y el hueco h son iguales, medidos sobre la circunferencia primitiva. 6.1.7. PERFIL DEL DIENTE: CICLOIDAL Y EVOLVENTE Para que las dos ruedas dentadas que forman un engranaje transmitan correctamente el movimiento, deben cumplir la ley de engrane, es decir, los perfiles de sus dientes deben ser conjugados. De entre múltiples perfiles conjugados, los dos más utilizados son: Perfil cicloidal. Perfil de evolvente. Los dientes de perfil cicloidal están formados: en la cabeza por un perfil epicicloide y en el pie por un perfil hipocicloide. 1 Hipocicloide Epicicloide 2 Figura 6.8. Perfil cicloidal de un diente Unidad 6. Engranajes. 13 Formación Abierta Este perfil se genera al girar (figura) las circunferencias 1 y 2 (iguales) por fuera y por dentro de la circunferencia primitiva. El giro en los sentidos indicados para generar un flanco del diente, y en sentidos contrarios para generar el otro flanco. El perfil lo genera el punto H al rodar las circunferencias indicadas sobre la circunferencia primitiva. Si la circunferencia 2 fuera mayor que la 1, se generaría un diente con un pie estrecho, debilitándolo. Este perfil está prácticamente desechado debido a las ventajas que presenta el perfil de evolvente, utilizándose en casos donde no se exige gran precisión o para acabados superficiales no muy buenos. El perfil de evolvente es el más usado y se emplea para engranajes de precisión. También son más caros de fabricar. La evolvente generada a partir de una circunferencia es aquella curva en la que la perpendicular a la tangente en cualquier punto de la misma, es tangente a la circunferencia directora. Evolvente de circ. base 6 5 4 3 A6=A0 B5=B0 C4=C0 D3=D0 E2=E0 F1=F0 2 1 0 F E D Circ. cabeza C Circ. base B Circ. pie Figura 6.9. 14 A Perfil de evolvente de un diente Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas La circunferencia base es la circunferencia a partir de la cual se genera el perfil de evolvente. El perfil de evolvente tiene una serie de ventajas, como son: El perfil de evolvente es conjugado de sí mismo. Sigue siendo conjugado aunque varíe la distancia entre centros de las ruedas. La línea de engrane es recta y coincide con la línea de empuje. El ángulo de presión es constante. La cremallera de generación de los dientes tiene los flancos rectos. 6.1.8. ENGRANE ENTRE PERFILES DE EVOLVENTE La figura siguiente muestra el engrane entre los perfiles de evolvente de dos ruedas dentadas en los que el contacto se produce en el punto P. O 2 ω2 α rb2 r2 α I T2 Axoides P T1 r1 ω1 rb1 α O 1 Figura 6.10. Engrane entre perfiles de evolvente Unidad 6. Engranajes. 15 Formación Abierta Al ser evolvente el perfil de la rueda 1, la perpendicular trazada a la tangente del perfil de la rueda 1 en el punto P será tangente a la circunferencia base de la rueda 1. Al ser también evolvente el perfil de la rueda 2, la perpendicular trazada a la tangente del perfil de la rueda 2 en el punto P será tangente a la circunferencia base de la rueda 2. Como la tangente a los dos perfiles en el punto P es única, su perpendicular también lo será y, por lo tanto, la perpendicular trazada por el punto P a la tangente de los perfiles en el punto de contacto es tangente a las dos circunferencias base. De esto se desprende que: La perpendicular trazada a la tangente común de los perfiles de los dientes en el punto de contacto corta siempre a la recta de unión de centros en un punto fijo, que será el centro instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas, I, por lo que se cumple la ley de engrane. Resultando que el perfil de evolvente es conjugado de sí mismo. El contacto se produce siempre sobre la tangente común a las dos circunferencias base, por lo que la línea de engrane es recta. Al ser la línea de engrane recta, el ángulo de presión será constante durante toda la línea de engrane. Así quedan demostradas tres de las ventajas del perfil de evolvente enumeradas en el apartado anterior. De la figura se desprende que los radios de las circunferencias primitivas serán: r1 = rb1 cos α r2 = rb2 cos α De esta forma, r1 rb1 = r2 rb2 Por lo que la relación e transmisión del engranaje será, μ= 16 ϖ2 r1 z1 d1 rb1 = = = = ϖ1 r2 z 2 d2 rb2 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas De esta última ecuación se puede escribir, ϖ1 rb1 = ϖ 2 rb2 Esta ecuación indica que las velocidades lineales de los puntos de las circunferencias base de las dos ruedas, son iguales. De aquí se deduce que el movimiento de dos ruedas con perfil de evolvente es equivalente al movimiento de dos carretes en los que en uno se desenrolla una cuerda y en el otro se enrolla, y cuyos radios son los radios de base de las ruedas. De la figura se deduce que el deslizamiento que ocurre en el punto de contacto P será: Deslizamiento = PI(ϖ 2 + ϖ1 ) Ocurre, que la distancia entre centros de dos ruedas dentadas de un engranaje con dientes con perfil de evolvente, puede variar, y el perfil de evolvente de los dientes seguirá siendo conjugado. Al variar la distancia entre centros, a, variará el ángulo de presión, α. cos α = rb1 rb2 rb1 + rb2 rb1 + rb2 = = = r1 r2 r1 + r2 a cos α´= rb1 + rb2 a´ Como consecuencia de esto, los engranajes se pueden montar de dos formas diferentes: 1. Engranajes montados a cero: las circunferencias primitivas son tangentes. se debe cumplir que z1+z2 ≥ 28. Estos engranajes se pueden montar con ruedas: Ruedas talladas a cero: en la talla, las circunferencias primitivas (rueda y cremallera) son tangentes. Ruedas talladas con desplazamiento (talla en V): en la talla, las circunferencias primitivas (rueda y cremallera) no son tangentes. 2. Engranajes montados con desplazamiento: las circunferencias primitivas no son tangentes. se debe cumplir que z1+z2< 28. Estos engranajes se pueden montar con ruedas: Ruedas talladas con desplazamiento (talla en V): en la talla, las circunferencias primitivas (rueda y cremallera) no son tangentes. Unidad 6. Engranajes. 17 Formación Abierta 6.1.9. CREMALLERA DE EVOLVENTE La cremallera de evolvente se puede considerar como el límite a que tiende una rueda dentada cuando su radio tiende a infinito, conservando el paso y el ángulo de presión. En la figura siguiente se puede apreciar que el radio de curvatura del perfil de evolvente en el punto P es la distancia TP. En la cremallera, como el punto T se va al infinito, resulta que el radio de curvatura del perfil se hace infinito, por lo que el perfil del diente de la cremallera de evolvente es recto. P O T α ∞ ∞ T P O Figura 6.11. Cremallera de evolvente Los datos intrínsecos de una cremallera de evolvente son: α ac p e h Línea de referencia p b Figura 6.12. Parámetros característicos de una cremallera de evolvente Ángulo de presión, α. Paso, p. Espesor del diente en la línea de referencia, e. Hueco, h. Altura de cabeza, ac. Paso base, pb. pb = p cosα 18 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Para que puedan engranar una rueda dentada y una cremallera, deben tener las dos el mismo paso base. pb (cremallera) = pb (rueda) = p(cremallera) cosα Y el radio primitivo de la rueda será: r= rb cos α (cremallera ) 6.1.10. LIMITACIONES EN EL ENGRANE DE PERFILES DE EVOLVENTE Para que dos ruedas dentadas engranen bien, se debe cumplir que: Antes de dejar de engranar dos dientes, entren en contacto los dientes siguientes. No haya interferencia entre los dientes de las dos ruedas. El radio de cabeza sea como máximo igual al radio de apuntamiento del diente (distancia desde centro de la rueda a la intersección de las evolventes de un mismo diente). 6.1.11. COEFICIENTE DE ENGRANE El coeficiente de engrane indica el número de dientes de una rueda dentada que, por término medio, están engranando a la vez con dientes de la otra rueda. Este coeficiente debe ser mayor que 1, así se garantiza que antes de dejar de engranar un diente, empiece a engranar el siguiente y de este modo la transmisión del movimiento es suave y continua. En la figura siguiente se observa que el engrane de un diente comienza en el punto A2 y finaliza en el punto A1: Unidad 6. Engranajes. 19 Formación Abierta rb2 2 B2 T2 B2́ C A1 I Zona de engrane A2 gb B1 B1́ T1 rb1 1 Figura 6.13. Representación del coeficiente de engrane El arco de conducción, medido sobre la circunferencia base, durante el que se produce el engrane de un diente será gb y, por tanto, el coeficiente de engrane será: ε= gb pb Por la forma en que se traza la evolvente, resulta que: gb = A 2 A 1 = IA 1 + IA 2 Pero, IA1 = T1A1 − T1I T1A1 = rc12 − rb12 TI1 = rb1 tg α Por lo tanto, 20 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas gb = rc12 − rb12 − rb1 tg α + rc 22 − rb22 − rb2 tg α Y, pb = p cos α Entonces, ε= 6.1.12. 2 rc12 − rb12 − rb1 tgα + rc22 − rb2 − rb2 tgα p cos α INTERFERENCIA Y PENETRACIÓN Cuando el diente de una rueda dentada intenta penetrar en el diente de la rueda con la que engrana se produce la interferencia, y cuando la interferencia se produce con la herramienta que talla la rueda, la herramienta elimina todo el material de la rueda que produce la interferencia, produciéndose en este caso la penetración del diente. Estos dos fenómenos son inadmisibles, por lo que deben ser eliminados. Como el contacto entre dientes de ruedas dentadas con perfil de evolvente se produce siempre sobre la línea de engrane que es una recta, la zona activa del diente de la rueda será el tramo de perfil comprendido entre los puntos A2 y C. La distancia entre la circunferencia primitiva y la circunferencia base es: r − rb = r (1 − cos α ) Cuando una rueda tiene pocos dientes, la distancia entre la circunferencia primitiva y la de base se hace muy pequeña, pudiendo penetrar la cabeza de la otra rueda por debajo de la circunferencia base de la rueda pequeña. Aunque la circunferencia de cabeza de una rueda penetre por debajo de la circunferencia base de la otra rueda, no habrá problemas de interferencia o penetración siempre que se cumpla que el radio mínimo de la zona de engrane sea mayor que el radio base (para la misma rueda), pues en este caso, el contacto se producirá siempre entre perfiles de evolvente (figura siguiente). Unidad 6. Engranajes. 21 Formación Abierta rc A P rb rP rp Figura 6.14. Engrane sin interferencia o penetración El problema de interferencia o penetración aparecerá cuando el contacto se intente producir por debajo de la circunferencia base. En este caso (figura siguiente), la trayectoria del punto de contacto C, al ser el punto I el centro instantáneo de rotación relativo, intenta penetrar en el diente de la otra rueda, produciéndose la interferencia, y si el punto C fuese de la herramienta, produciría penetración. Cuando se produce penetración en la talla, queda debilitado el pie del diente, con lo que queda reducida su resistencia. rb2 C rb2 T2 I 2 T1 1 rb1 Figura 6.15. Engrane con interferencia o penetración 22 Unidad 6. Engranajes. 2 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Según se observa en la figura anterior, para que no le produzca interferencia o penetración la rueda 1 a la 2, la circunferencia de cabeza de la rueda 1 no debe pasar más allá del punto T2. En la figura siguiente se representa el radio máximo de cabeza de la rueda 1 para que no le produzca interferencia o penetración a la rueda 2. O2 T1T2 α rb2 T2 I rc1(máx) T1 rb1 α O1 Figura 6.16. Radio máximo de cabeza para no producir interferencia o penetración rc1(máx ) = rb12 + T1T2 2 Teniendo en cuenta que: μ= r1 rb1 z1 = = r2 rb2 z2 T1T2 = (rb1 + rb2 ) tg α Unidad 6. Engranajes. 23 Formación Abierta ⎛ z + z2 ⎞ ⎛ 1⎞ T1T2 = rb1 ⎜ 1 + ⎟ tg α = rb1 ⎜ 1 ⎟ tg α μ⎠ ⎝ ⎝ z1 ⎠ Resulta: 2 rc1(máx ) = rb1 ⎛ z + z2 ⎞ 1+ ⎜ 1 ⎟ tg α ⎝ z1 ⎠ Para evitar la interferencia o penetración se debe alejar el punto T2 o disminuir la altura de cabeza. Para ello se suele utilizar los siguientes métodos: Aumentar el número de dientes de la rueda pequeña. Aumentar el ángulo de presión. Utilizar dientes cortos. Aumentar el espesor del diente desplazando la herramienta de generación. Este último método es el más utilizado, ya que no precisa herramientas especiales. Este desplazamiento tiene un límite, ya que puede ocurrir que la cabeza del diente se reduzca a un punto. Este límite del radio de cabeza será: rc = 6.1.13. rb cos α FABRICACIÓN DE RUEDAS DENTADAS Las formas más comunes de fabricar ruedas dentadas son las siguientes: 1. Fundición: se fabrican en moldes, pero este proceso no garantiza que los perfiles sean cicloidales o evolventes. 2. Tallado: Tallado con fresa de forma: se hace mediante una fresa cuya sección coincide con la forma del hueco entre dientes. El hueco entre dientes varía con el número de dientes de la rueda, por lo tanto, serían necesarias infinitas fresas para cada módulo. En la práctica se utilizan 8 fresas para cada módulo, sirviendo cada fresa para una gama de números de dientes. Se desprende de aquí que este tallado no es de mucha precisión. 24 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Tallado por estampación: para ruedas muy pequeñas (relojes). Se cortan por presión, de una vez. Tallado por generación: genera perfil de evolvente. Se elimina en él el movimiento de corte de la herramienta y los movimientos de la rueda a tallar y el de la herramienta son los mismos que si estuvieran engranando entre ellas. La máquina de tallado, además de proporcionar el movimiento de corte a la herramienta, sincroniza los movimientos de engrane entre la pieza y la herramienta. Existen varios tipos de tallado por generación: Sistema MAAG: la herramienta es una cremallera. Sistema FELLOWS: la herramienta es un piñón (como el anterior pero con piñón). Sistema BROWN-SHARPE: la herramienta es un tornillo sinfínfresa. Figura 6.17. Tallado con fresa de forma Figura 6.18. Tallado por generación mediante cremallera Unidad 6. Engranajes. 25 Formación Abierta 6.1.14. TALLADO POR CREMALLERA Es el que proporciona mayor calidad y precisión a las ruedas dentadas de un engranaje. Se efectúa mediante una herramienta llamada cremallera. 6.1.14.1. CREMALLERA HERRAMIENTA En los tallados por generación por medio de cremallera-herramienta, la sección de corte de la herramienta es una cremallera, tal como se observa en la siguiente figura. p /2 e0 p0 /2 h0 Borde cortante Figura 6.19. p0 ap0 ac0 Línea Media (L.M.) j0 α0 Parámetros característicos de una cremallera herramienta Los datos intrínsecos de la cremallera herramienta son los siguientes: Ángulo de empuje, α0. Paso, p0. Altura de cabeza, ac0. Altura de pie, ap0. Juego, j0. 6.1.14.2. PARÁMETROS DE GENERACIÓN Al tallar una rueda dentada se puede hacer que la línea media de la cremallera coincida o no con el axoide de la rueda. Este posible desplazamiento de la cremallera respecto de la rueda, se suele expresar en módulos (V=xm0). Los datos de generación de una rueda dentada serán: los datos intrínsecos de la cremallera (α0, p0, ac0, ac0 y j0), el radio de generación de la rueda, r0 y el desplazamiento de la herramienta, V. 26 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas L.M. V = x.m0 I Axoide ω Axoide v r0= ω V = Desplazamiento v = Velocidad z·m0 z·p r0= ω 0 = 2 Figura 6.20. Generación de una rueda dentada mediante cremallera Según sea el desplazamiento de la herramienta, negativo (V=-0,5m0), nulo (V=0) o positivo (V=+0,5m0), se obtienen perfiles de los dientes tal como se observa en la figura siguiente. V=0 V=-0,5m 0 V=+0,5m 0 rc -V rb r0 +V rp Figura 6.21. Tipos de desplazamientos y dientes generados Unidad 6. Engranajes. 27 Formación Abierta 6.1.14.3. CÁLCULO DE DATOS INTRÍNSECOS A partir de los datos de generación se obtendrán en la rueda dentada unos datos de funcionamiento que se pueden deducir de la siguiente figura. V.tg α 0 p /2 p /2 0 0 e0 α0 I V = x.m0 A L.M. Recta axoide de generación Circ. axoide de generación r0 rb Circ. base α0 O Figura 6.22. Datos de funcionamiento a partir de la generación de la rueda Para determinar los datos intrínsecos de la rueda generada, en la figura se observa que: rb = r0 cos α0 Y por tanto, pb = p0 cos α0 mb = m0 cos α0 También se observa que: e0 = 28 p0 2V tg α 0 2 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Siendo e0 el espesor del hueco de la cremallera medida sobre la recta axoide y que, como la generación es similar a un engrane sin holgura, coincide con el espesor del diente de la rueda e0 medida sobre la circunferencia primitiva de generación. La expresión que relaciona los espesores del diente medidos sobre la circunferencia base y primitiva, es: e0 = eb − 2rb ( tg α 0 − α 0 ) cos α0 = eb − 2r0 ( tg α0 − α0 ) cos α 0 Despejando eb y sustituyendo e0 de la ecuación anterior, se obtiene: ⎛p ⎞ eb = ⎜ 0 + 2V tg α0 + 2r0 ( tg α 0 − α0 ) ⎟ cos α0 ⎝ 2 ⎠ El radio de pie rp de la rueda, es el radio del punto más bajo del diente que contacta con el diente de la cremallera herramienta, sin tener en cuenta el suplemento de cabeza j. Según se aprecia en la figura, el radio de pie será la distancia OA, y su valor es: rp = ( OT ) 2 + ( AT ) 2 OT = r0 cos α 0 AT = TI − AI TI = r0 sin α0 AI = ac 0 − V sin α0 Resulta entonces, rp = ( r0 cos α0 ) 2 ⎛ a −V⎞ + ⎜ r0 sin α0 − c 0 ⎟ sin α0 ⎠ ⎝ Unidad 6. Engranajes. 2 29 Formación Abierta El radio de fondo de la rueda rf será, rf = r0 + V − ac 0 − j Y el radio de cabeza de la rueda rc será, rc ≤ r0 + V + ap0 Recopilando, los datos intrínsecos de la rueda serán: Radio base rb = r0 cos α0 Paso base pb = p0 cos α0 Módulo base mb = m0 cos α0 Espesor base ⎛p ⎞ eb = ⎜ 0 + 2V tg α0 + 2r0 ( tg α 0 − α0 ) ⎟ cos α0 2 ⎝ ⎠ Radio de cabeza rc ≤ r0 + V + ap0 30 ( r0 cos α0 ) 2 ⎛ a −V⎞ + ⎜ r0 sin α0 − c 0 ⎟ sin α0 ⎠ ⎝ Radio de pie rp = Radio de fondo rf = r0 + V − ac 0 − j Unidad 6. Engranajes. 2 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 6.1.14.4. NÚMERO LÍMITE DE DIENTES EN LA TALLA Este número es zL. Si hacemos z<zL, se producirá en la talla, penetración. α L.M. m α m T r Circ. primitiva rb Circ. base α O Figura 6.23. Límites en la generación para no producir penetración La profundidad máxima que debe alcanzar la cremallera es cuando la L.M. es tangente al círculo primitivo (axoide), y la cabeza de la cremallera alcance como máximo el punto T. El número límite de dientes para que no exista penetración es: rb cos α = r − m Como, mz = 2r Entonces: r cos2 α = r − 2r zL 2 = 1 − cos2 α = sen2 α zL Unidad 6. Engranajes. 31 Formación Abierta ZL = 2 sen2 α Si α = 20º , ZL = 2 ≅17 0,3422 ZL = 14 (teórico) (práctico) Ejemplo 1: Calcular el número de dientes en una rueda para que coincidan la circunferencia base y la de pie. Solución: Al coincidir las circunferencias base y de pie: rb=rp r cos α = rp = r − ap = r − ( m + j ) = r − m − Como m = 1 7 m=r − m 6 6 2r , z r cos α = r − 7 2r 7r 7 ⎞ ⎛ =r − = r ⎜1 − ⎟ 6 z 3z ⎝ 3z ⎠ 7 7 7 = 1 − cos α ⇒ z = = = 38,7 3z 3 (1 − cos α ) 3 (1 − cos 20 ) la circunferencia de pie estará por encima de la Si z<38,7 circunferencia base. 32 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 6.1.14.5. FORMAS DE EVITAR LA PENETRACIÓN EN LA TALLA Con el fin de evitar la penetración en la talla de una rueda dentada que, por otra parte, hace inservible la misma, se proponen a continuación posibles soluciones. Aumentando el ángulo de presión α La talla es a cero (axoide y L.M. tangentes) y la herramienta no está normalizada, es decir, hay que fabricar la cremallera con el ángulo calculado. ZL = 2 sen2 α Si ↑ α ⇒ ↓ ZL α > 20º Dentado rebajado (ac=my=ap; y<1) Se usan cremalleras que en lugar de tener altura m, tienen un poco menos, my. Por supuesto, la cremallera no está normalizada. α L.M. my α my T r rb Circ. primitiva Circ. base α O Figura 6.24. Obtención de dentado rebajado rb cos α = r − my r cos2 α = r − 2r y zL Unidad 6. Engranajes. 33 Formación Abierta 2y = 1 − cos2 α = sen2 α ZL zL = 2y ≅14y sen2α Talla con desplazamiento (ruedas V) Consiste esta talla en que, la línea media (L.M.) de la cremallera no llega a la circunferencia primitiva, no es tangente, se desplaza un valor V=xm. m +m.x1 L.M. α α m T r Circ. primitiva 1 r b1 Circ. base α O 1 Figura 6.25. Talla con desplazamiento de la rueda 1 Las dos ruedas 1 y 2, que van a engranar, tienen que ser talladas con la misma cremallera y, además, van a ser montadas a cero (circunferencias primitivas tangentes) y por lo tanto, el desplazamiento de la cremallera en la rueda 2 es hacia dentro (x2m = − x1m). rb1 cos α = r1 + mx1 − m r1 cos2 α = r1 + 2r1 ( x1 − 1) z1 2 (1 − x1 ) = 1 − cos2 α = sen2 α z1 1 − x1 = 34 z1sen2 α = 2 z1 z = 1 2 zL sen2α Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas x1 = zL − z1 14 − z1 = , tomando zL con los valores teórico (17) y práctico (14). zL 17 Para la rueda 2: m.x =-m.x 2 α 1 m α L.M. m T r Circ. primitiva 2 rb2 Circ. base α O 2 Figura 6.26. Talla con desplazamiento de la rueda 2 Ejemplo 2 Tallar una rueda con 10 dientes y calcular en los tres casos los valores α, y, x1, para que sea posible. Solución: z= 2 2 2 2 1 ⇒ sen2α = ⇒ sin α = = = ⇒ α = 26,57º 2 sen α z z 10 5 z = 14y ⇒ y = x1 = z 10 = ⇒ y = 0,71 14 14 14 − z 14 − 10 4 = = ⇒ x1 = 0,24 17 17 17 Unidad 6. Engranajes. 35 Formación Abierta Ejemplo 3 Calcular todas las magnitudes características de dos ruedas dentadas que constituyen un engranaje cilíndrico-recto, sabiendo que el número de dientes de ambas ruedas es z1=18 y z2=24, y que han sido construidas con módulo 4. Solución: Paso angular: p1 = 360º 360º = = 20º z1 18 p2 = 360º 360º = = 15º z1 24 Paso: p = π m = 4π p= 2πr z Radios primitivos: r1 = p z1 4π 18 = = 36mm 2π 2π r2 = p z2 4π 24 = = 48mm 2π 2π p = e + h, como e = h ⇒ p = 2e ⇒ e = h = p 4π = = 2π 2 2 ac = m = 4mm ap = m + j = m + 1 7 7 14 = 4,66mm m= m= 4= 6 6 6 3 a = ac + ap = 4 + 14 26 = = 8,66mm 3 3 36 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas rc1 = r1 + ac = 36 + 4 = 40mm rc 2 = r2 + ac = 48 + 4 = 52mm rp1 = r1 − ap = 36 − 14 94 = = 31,3mm 3 3 rp2 = r2 − ap = 48 − 14 130 = = 43,3mm 3 3 rb1 = r1 cos α = 36 cos 20º = 33,83mm rb2 = r2 cos α = 48 cos 20º = 45,11mm μ= ω2 r1 36 = = = 0,75 ω1 r2 48 d = r1 + r2 = 36 + 48 = 84mm (Dis tancia entre centros de ruedas) Ejemplo 4 En un engranaje cilíndrico-recto de z1=19 y z2=59, construido con módulo 4, calcular el coeficiente de engrane. Solución: El coeficiente de engrane viene dado por: ε= 2 rc12 − rb12 − rb1 tgα + rc22 − rb2 − rb2 tgα p cos α m= 2r z r1 = m z1 4x19 = = 38mm 2 2 r2 = m z2 4x59 = = 118mm 2 2 rc = r + ac = r + m rc1 = r1 + m = 42mm rc 2 = r2 + m = 122mm Unidad 6. Engranajes. 37 Formación Abierta rb = r cos α rb1 = r1 cos α = 38cos 20º = 35,7mm rb2 = r2 cos α = 118 cos 20º = 110,9mm p = πm = 4 π Pb = p cos α = 4π cos 20º = 11,81mm 2 rc12 − rb12 − rb1 tgα + rc22 − rb2 − rb2 tgα ε= p cos α = 422 − 37,5 2 − 37,5 tg20º + 1222 − 110,92 − 110,9 tg20º = = 1,33 4 π cos 20º Ejemplo 5 En un engranaje cilíndrico-recto de z1=16 y z2=30, m=4, se pide calcular el deslizamiento en el primer punto de contacto P, cuando la velocidad de rotación de la rueda 1 es 3.000 rpm. α=20º. Solución: Deslizamiento = PI ( ω2 + ω1 ) = V2 sen γ − V1 senβ ω1 = 3000rpm = 3000 2 π rad rad = 100 π 60 s s μ= z ω2 z1 16 2π rad rad 3000 = 1600rpm = ⇒ ω2 = 1 ω1 = = 53,33 π z2 30 60s s ω1 z2 r1 = m z1 4x16 = = 32mm 2 2 r2 = m z2 4x30 = = 60mm 2 2 rc 2 = r2 + ac = r2 + m = 60 + 4 = 64mm PI = TI1 − T1P T1I = rb1 tgα = r1 cos α tgα = r1 senα = 32 sen 20º = 10,94mm T1P = O1P sen β 2 O1P = rc 22 + ( r1 + r2 ) − 2rc 2 (r1 + r2 ) cos ( γ − α ) 38 2 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas cos γ = rb2 rc 2 γ = arc cos rb2 r cos α 60 cos 20º = arc cos 2 = arc cos = 28,24º rc 2 rc 2 64 2 O1P = 64 2 + ( 32 + 60 ) − 2x64 ( 32 + 60 ) cos ( 28,24 − 20 ) = 905,61mm2 2 O1P = 30,09mm cos β = rb1 O1P = r1 cos α O1P = 32cos 20º ,09 = 0,999 ⇒ β = 2,25º 30 T1P = O1P sen β = 30,09 sen 2,25º = 1,18mm PI = TI1 − T1P = 10,94 − 1,18 = 9,76 Deslizamiento = PI ( ω2 + ω1 ) = 9,76 ( 53,3 π + 100 π ) = 4.700,56 Deslizamiento = 4,7 mm s m s Unidad 6. Engranajes. 39 Formación Abierta O2 α γ rb2 r2 rc2 T2 β I γ P T1 V1 V2 rb1 r1 β α O1 Figura 6.27. Engranaje del problema 5 40 Unidad 6. Engranajes. α Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Engranajes V Se utilizan estos engranajes cuando z1+z2<28. En estos engranajes, ac m. La figura siguiente corresponde a dos ruedas con menos de 14 dientes cada una: x1 = 14 − z1 17 x2 = 14 − z2 17 O2 r r2 α m·x1 m m C1́ r1́ r b1 b2 α r2́ C´ 2 m·x2 r1 O1 Figura 6.28. Talla de engranajes V O1O2 = d0 = r1 + r2 (montadas a cero ) dc = r1' + r2' ( montadas con desplazamiento ) Al tallar la rueda así, con desplazamiento, el diente ha aumentado de altura, entonces si se montan las ruedas a cero, existiría interferencia en el funcionamiento porque el juego j que se les da no es suficiente. Por lo tanto, no se pueden montar a cero y habrá que alejar los centros de las ruedas. Usamos C1´ y C2´ como círculos primitivos (círculos polares). La distancia entre centros de ruedas en el engranaje, dc, será: dc = r1 + mx1 + mx 2 + r2 = r1 + r2 + m ( x1 + x 2 ) = r1 + r2 + m ( x1 + x 2 ) 2 ( z1 + z2 ) 2 ( z1 + z2 ) = ⎛ mz1 mz 2 ⎞ 2 ( x1 + x 2 ) = r1 + r2 + ⎜ + = r1 + r2 + ( r1 + r2 ) B = d0 (1 + B ) ⎟ 2 ⎠ z1 + z2 ⎝ 2 Donde: B=2(x1+x2)/(z1+z2) Unidad 6. Engranajes. 41 Formación Abierta Pero se comprueba que usando C1´ y C2´ como círculos primitivos y poniendo los centros a la distancia dc, existía demasiado juego lateral, es decir, el espesor (de diente) en una rueda, más el hueco de la otra, no es igual al paso y se produce “golpeteo” en el funcionamiento del engranaje. Por lo tanto, hay que reducir dc a dv: dv = r1´´+r2 ´´< dc rb1 = r1 cos α = r1´´ cos α v ( α ha var iado al acercar los centros ) rb2 = r2 cos α = r 2´´ cos α v dv = r1 ⎛ ⎞ cos α cos α cos α cos α + r2 = ( r1 + r2 ) = d0 ⎜ 1 + − 1⎟ = d0 (1 + B v ) cos α v cos α v cos α v cos α v ⎝ ⎠ Donde: Bv=(cosα/cosαv) − 1 El ángulo αv se obtiene de la expresión: tg α v − α v = B tg α + ( tgα − α ) Por lo tanto, d0 < dv < dc Ejemplo 6 Un engranaje está formado por dos ruedas cilíndrico-rectas de z1=9 y z2=13 dientes, construidas con módulo 3. Calcular el ángulo de presión αv, así como la distancia entre centros de ejes y los radios polares en un montaje correcto. Solución: 42 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas z1 + z2 = 9 + 13 = 22 < 28 ⇒ talla en V x1 = 14 − z1 14 − 9 5 = = 17 17 17 x2 = 14 − z2 14 − 13 1 = = 17 17 17 B= 2 ( x1 + x 2 ) m= z1 + z2 1 ⎞ ⎛ 5 + 2⎜ ⎟ 17 17 ⎠= 6 = ⎝ 9 + 13 187 2r mz1 3x9 27 mz 2 3x13 39 ; r2 = ⇒ r1 = = = = = z 2 2 2 2 2 2 d0 = r1 + r2 = 27 39 + = 33mm 2 2 6 ⎞ ⎛ dc = d0 (1 + B ) = 33 ⎜ 1 + ⎟ = 34,06mm ⎝ 187 ⎠ tg α v − α v = B tg α + ( tgα − α ) = 6 tg20º + ( tg20º −20º ) = 0,0266 187 α v = 24,07º Bv = cos α cos 20º −1= − 1 = 0,0292 cos α v cos 24,07º dv = d0 (1 + B v ) = 33 (1 + 0,0292 ) = 33,96mm Unidad 6. Engranajes. 43 Formación Abierta 6.2. ENGRANAJES HELICOIDALES En un engranaje formado por ruedas dentadas rectas, el inicio del engrane de un diente se produce al mismo tiempo en toda su longitud, es decir, se produce un "choque" (debido a errores en el mecanizado) en toda la arista del diente. En los engranajes formados por ruedas helicoidales, el engrane de un diente se produce de forma progresiva, comienza en un punto y este contacto es progresivo a lo largo del diente. Por eso, estos engranajes son más suaves, más silenciosos y tienen menos vibraciones. En los engranajes helicoidales aparecen, eso sí, fuerzas axiales que no aparecen en los rectos, aunque estas fuerzas no son mayor inconveniente si se colocan unos rodamientos adecuados en los ejes. Otras ventajas que tienen respecto a los rectos es que, a igualdad de módulos, los helicoidales pueden transmitir más par; también se pueden tallar ruedas con menos de 14 dientes sin que exista penetración; y el coeficiente de engrane puede ser mayor que 2, e incluso mayor que 3 (2-3 dientes en contacto al mismo tiempo). 6.2.1. FORMA DE LOS DIENTES Una rueda dentada helicoidal se puede considerar como el límite de una serie de ruedas dentadas rectas escalonadas, o como una rueda dentada recta torsionada. βb (medido en circ. base) Figura 6.29. Rueda helicoidal como límite de una serie de ruedas escalonadas 44 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas La sección de una rueda helicoidal por un plano perpendicular al eje, tiene la misma forma que la sección de una rueda recta. Éste es el perfil frontal o aparente de la rueda helicoidal. La hélice sobre el cilindro de base forma un ángulo con la generatriz βb. D B βb A C Cilindro Base Figura 6.30. Diente helicoidal La forma de los flancos de los dientes es una superficie llamada helicoide reglado. Esta superficie se obtiene por medio de una recta oblicua en el plano ABCD que se desenrolla o rueda sin deslizamiento sobre el cilindro de base. El ángulo entre la recta oblicua y las generatrices del cilindro base es el ángulo de la hélice en la base βb. Cada punto de la recta oblicua describe una evolvente del cilindro base, así, las secciones de los dientes por planos perpendiculares al eje de la rueda tienen sus flancos con perfil de evolvente. 6.2.2. ENGRANE DE DOS RUEDAS HELICOIDALES Las dos ruedas que forman un engranaje helicoidal que transmite el movimiento entre ejes paralelos, deben tener la misma inclinación de la hélice sobre el cilindro base pero sentidos contrarios, es decir, una hélice a derechas y otra a izquierdas (βb1= −βb2). Cada rebanada de las ruedas helicoidales, perpendicular a los ejes de las ruedas y de espesor diferencial, engranan como dos ruedas rectas cuyos perfiles sean los perfiles frontales de las helicoidales. El ángulo de presión (ángulo de presión frontal o aparente), αa, con que engranan estas rebanadas será: Unidad 6. Engranajes. 45 Formación Abierta cos α t = rb1 + rb2 r1 + r2 Y los radios primitivos serán: r1 = rb1 cos αa r2 = rb2 cos α a Los flancos de los dientes sobre los cilindros primitivos también forman unas hélices cuyo ángulo de inclinación respecto de las generatrices es β. 6.2.3. RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS DE LAS HÉLICES BASE Y PRIMITIVA En la figura se representan los desarrollos de los cilindros base y primitivo de una rueda helicoidal en los que se aprecia la diferencia entre los ángulos de las hélices sobre los cilindros de base y primitivo. Se llama paso helicoidalp de una hélice al avance axial correspondiente a una vuelta completa de la hélice. Todos los puntos del diente tienen el mismo paso helicoidal. 2πrb β r Hélice rb b p primit iva Hélice de base 2πr β p Figura 6.31. 46 Relación entre ángulos de hélice base y primitiva Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Se observa que: tg βb = tg β = 2πrb p 2πr p tg βb rb = = cos α a tg β r 6.2.4. CREMALLERA HELICOIDAL Una cremallera es una rueda dentada de radio infinito, por lo tanto, el cilindro primitivo es un plano. Una cremallera helicoidal será una cremallera de dientes inclinados respecto a sus laterales. El ángulo de inclinación de cualquier arista de la cremallera respecto de una dirección transversal será β . Los flancos de los dientes son planos, al igual que en la cremallera recta. En una cremallera helicoidal se pueden distinguir dos perfiles, tal como muestra la figura: el perfil frontal o aparente, que es el perfil de la cremallera visto en sus laterales, y el perfil normal, que es el perfil de la cremallera visto en un plano perpendicular a los dientes. El ángulo entre estos dos perfiles es β. Unidad 6. Engranajes. 47 Formación Abierta αn N S al norm n ó i ecc N´ pn a β β pa αa A A´ a Sección frontal o aparente Figura 6.32. Secciones frontal y normal de una rueda dentada helicoidal Donde: 48 pn Paso normal. pa Paso aparente. mn Módulo normal. ma Módulo aparente. β Ángulo de inclinación aparente (medido en círculo primitivo). βb Ángulo de inclinación real (medido en círculo base). αa Ángulo de presión aparente. αn Ángulo de presión real (20º). Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas pn = pa cos β mn = ma cos β NN´ tg αn NN´ = a = = cos β tg α a AA´ AA´ a tg βb rb r cos αa = = = cos αa tg β r r Número límite de dientes en la talla Este número, al igual que en las ruedas rectas, es zL: zL = 14cos3 β < 14 Es decir, por ejemplo, si se quiere tallar una rueda de 9 dientes, no podríamos tallarla recta, se produciría penetración en la talla. Se podría tallar una helicoidal de 9 dientes con un ángulo de inclinación β, 9 = 14 cos3 β ⇒ β = 30,34º 6.2.5. COEFICIENTE DE ENGRANE Se llama salto de base gβ de un diente helicoidal, al arco que avanza un extremo del diente respecto del otro extremo, medido sobre el cilindro base. b β g b β Cilindro base Figura 6.33. Salto de base de un diente helicoidal Unidad 6. Engranajes. 49 Formación Abierta De la figura: gβ = b tg βb El salto de base mejora el coeficiente de engrane en los engranajes helicoidales respecto de los rectos, ya que el contacto de un diente tendrá una parte correspondiente al perfil del diente y otra debida al salto de base. El coeficiente de engrane total será la suma del coeficiente correspondiente al perfil del diente, más el coeficiente correspondiente al salto de base. ε y = ε α + εβ Donde: εγ Coeficiente de engrane total. εα Coeficiente de engrane debido al perfil aparente. εβ Coeficiente de engrane debido al salto de base. El coeficiente de engrane total será: 2 rc12 − rb12 + rc22 − rb2 − (r1 + r2 ) sen αn + b tg βb εγ = πmn cos αa cos βb Cabe decir que los engranajes cilíndrico-helicoidales no se usan en V. La razón es que ya de por sí, fabricar ruedas cilíndrico-helicoidales es más caro (respecto de las rectas) y, además, el montaje en V es también más caro. Además se pueden poner menos de 14 dientes sin penetración y no hace falta tallarlas en V. Ejemplo 7 Un engranaje construido con dos ruedas cilíndrico-helicoidales de z1=10 y z2=32 dientes, talladas con una herramienta normalizada de módulo 6. Calcular el coeficiente de engrane sabiendo que no existe penetración en la talla del piñón pero que está en el límite (es decir, es el piñón del menor número de dientes que se puede tallar sin penetración). Ancho de la rueda: b=20 mm. 50 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Solución: Límite : zL = 14cos3 β 1 ⎛ 10 ⎞ 3 10 = 14cos β ⇒ cos β = ⎜ ⎟ ⇒ β = 26,63º ⎝ 14 ⎠ 3 αn = 20º ( normalizado ) mn = 6 tg αn tg αn tg20º = cos β ⇒ tg α a = = = 0,4072 ⇒ αa = 22,15º tg α a cos β cos 26,63º tg βb = cos αa ⇒ tg βb = tg β cos αa = tg26,63º cos 22,15º = 0, 4644 ⇒ βb = 24,91º tg β mn 6 z 10 ma z1 cos β 1 cos 26,63º = = = 33,56mm r1 = 2 2 2 mn 6 z2 32 ma z 2 cos β cos 26,63º r2 = = = = 107,39mm 2 2 2 rb1 = r1 cos αn = 33,56 cos 20º = 31,54mm rb2 = r2 cos αn = 107,39 cos 20º = 100,91mm rc1 = r1 + ma = r1 + mn 6 = 33,56 + = 40,27mm cos β cos 26,63º rc 2 = r2 + ma = r2 + εγ = = mn 6 = 107,39 + = 114,10mm cos β cos 26,63º 2 rc12 − rb12 + rc22 − rb2 − ( r1 + r2 ) sen αn + b tg βb cos βb = πmn cos αa 40,27 2 − 31,542 + 114,102 − 100,912 − ( 33,56 + 107,39 ) sen 20º +20tg24,91º cos 24,91º cos 22,15º π ·6 ε γ = 2,04 Unidad 6. Engranajes. 51 Formación Abierta Ejemplo 8 Construir con módulo aproximadamente 6 (mn) un engranaje cilíndricohelicoidal montado entre dos ejes que distan entre sí 110 mm, con una relación de transmisión de 2/3 y ancho de ruedas b=5 mm. Determinar en este engranaje: Número de dientes de las dos ruedas. Ángulo de inclinación aparente y normal. Radios de cabeza. Coeficiente de engrane. Solución: r1 + r2 = d μ= r1 2 3r = ⇒ r2 = 1 r2 3 2 r1 + 3r2 =d 2 ⇒ 5r1 =d 2 ⇒ r1 = 2d 2x110 = = 44mm 5 5 r2 = d − r1 = 110 − 44 = 66mm a) ma = 2r1 2r2 = z1 z2 Como mn≅ 6, ma tendrá que ser un poco mayor. Tanteamos con z1 y z2 2x44 = 6,2857 = mα ( si z1 = 14 ) z1 2x66 = 6,2857 = mα ( si z2 = 21) z2 b) mn = ma cos β ⇒ cos β = mn 6 = ·2857 = 0,9545 ⇒ β = 17,34º ma 6 tg αn tg αn tg20º = cos β ⇒ tg αa = = 34 = 0,3813 ⇒ αa = 20,87º tg α a cos β cos17 ' 52 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas tg βb = cos α a tg β ⇒ tg βb = cos α α tg β = cos 20,87º tg17,34º = 0,2918 βb = 16,27º c) rc1 = r1 + mn = 44 + 6 = 50mm rc 2 = r2 + mn = 66 + 6 = 72mm d) rb1 = r1 cos αn = 44 cos 20º = 41,35mm rb2 = r2 cos αn = 66 cos 20º = 62,02mm 2 rc12 − rb12 + rc22 − rb2 − ( r1 + r2 ) sen αn + b tg βb cos βb εγ = = πmn cos αa 502 − 41,352 + 722 − 62,022 − ( 44 + 66 ) sen 20º +5tg16,27º cos16,27º = π ·6 cos 20,87º ε γ = 1,55 Unidad 6. Engranajes. 53 Formación Abierta 6.3. ENGRANAJES CÓNICOS Los engranajes cónicos son aquellos que permiten transmitir el movimiento entre ejes que se cortan. En los engranajes cónicos, los axoides de las ruedas son conos con los vértices coincidentes en el punto de corte de los ejes. El eje instantáneo de rotación relativo entre las dos ruedas es la línea en la que se produce el contacto de las generatrices de los conos primitivos o axoides. 2 ω2 ω1 δ2 r2 Eje instantáneo relativo ω21 δ1 r1 1 ω1 ω2 Σ δ2 δ1 ω21 −ω1 Figura 6.34. Engranaje cónico 54 Unidad 6. Engranajes. Σ Cálculo, diseño y ensayo de máquinas La relación de transmisión de estos engranajes es: μ= ω2 r1 z1 = = ω1 r2 z2 La relación de radios también será la relación de los senos de los ángulos de los semiconos, por lo tanto, μ= sen δ1 sen δ 2 Y la suma de los ángulos de los semiconos será el ángulo entre ejes: Σ = δ1 + δ2 Para determinar el ángulo de semicono que le corresponde a cada rueda, dado el ángulo entre ejes y la relación de transmisión, teniendo en cuenta las ecuaciones anteriores: sen δ1 = μ sen δ 2 = μ sen ( Σ − δ1 ) sen δ1 = μ sen Σ cos δ1 − μ cos Σ senδ1 Dividiendo por cos δ1: tg δ1 = μsenΣ − μ cos Σ tg δ1 Despejando, tg δ1 = μ sen Σ 1 + μ cos Σ Operando de forma similar para δ2: tg δ2 = sen Σ cos Σ + μ Unidad 6. Engranajes. 55 Formación Abierta ω1 2 ω2 1 ω21 Figura 6.35. Engranaje cónico para ejes perpendiculares Si el ángulo entre ejes es de 90º, los ángulos correspondientes a cada semicono serán: tg δ1 = μ tg δ2 = 1 μ Si el ángulo entre los ejes concurrentes es mayor de 90º, puede ocurrir que uno de los conos primitivos se convierta en una rueda plana (δ2=90º) (figura), e incluso en un cono interior (δ2>90º). 56 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ω1 2 ω2 1 ω21 Figura 6.36. Σ Engranaje cónico para ejes con ángulo mayor de 90º La relación geométrica que existe entre los engranajes cónicos y los cilíndricos es la misma que existe entre la geometría esférica y la geometría plana. Del mismo modo que en los engranajes cilíndricos podía estudiarse el movimiento en solo dos dimensiones sobre un plano de referencia perpendicular a los dos ejes, en los engranajes cónicos puede también estudiarse el movimiento en solo dos dimensiones, pero sobre una esfera de referencia con el centro en el punto de corte de los ejes. Los dos conos axoides o primitivos cortan sobre la esfera de referencia dos circunferencias que ruedan una sobre otra sin salirse de la superficie de la esfera. Se demuestra que, dado un perfil de los dientes de una rueda, se puede conseguir un perfil conjugado en la otra rueda. Unidad 6. Engranajes. 57 Formación Abierta Axoides o conos primitivos Figura 6.37. Axoides y cremalleras de un engranaje cónico En los engranajes cónicos, el equivalente de la cremallera es la rueda plana, cuyo cono axoide o primitivo es un plano diametral de la esfera. El perfil de los dientes de esta rueda suele tomarse como perfil de referencia para definir la familia de ruedas capaces de engranar con ella. Plano axoide Figura 6.38. Cremallera de un engranaje cónico Del mismo modo que la evolvente plana se obtenía haciendo rodar un plano sobre el cilindro base, la evolvente esférica se obtiene haciendo rodar un plano sobre el cono de base. La rueda plana de evolvente esférica no tiene los flancos rectos, lo que hace que, aunque las ruedas con este perfil sean conjugadas, no se utilice. 58 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas El perfil realmente empleado en las ruedas cónicas es el de dientes piramidales. La rueda plana correspondiente tiene los flancos planos, de modo que los dientes tienen forma de pirámide truncada con vértice en el centro de la esfera. El resto de las ruedas tienen perfil conjugado de la rueda plana piramidal y, aunque sus dientes no sean planos, se les llama piramidales. Las ruedas piramidales no funcionan tan bien como las de perfil de evolvente esférico, por lo que no se pueden utilizar para altas velocidades. La mayoría de problemas de los engranajes (ruedas) cónicos, como son la penetración o el coeficiente de engrane, se pueden estudiar sobre engranajes (ruedas) rectos equivalentes: zv = rv = z cos δ r cos δ Donde: zv Nº dientes rueda recta equivalente. rv Radio primitivo rueda recta equivalente. 6.3.1. NÚMERO LÍMITE DE DIENTES EN LA TALLA Utilizando las ruedas rectas equivalentes: rv = r cos δ 2r 2rv cos δ 2r 1 z ⇒ zv = = = = m m m cos δ cos δ zL = z vL cos δ = 14cos δ < 14 Se pueden tallar, por tanto menos dientes que en los rectos. Unidad 6. Engranajes. 59 Formación Abierta 6.3.2. GEOMETRÍA DE ENGRANAJES CÓNICOS b L δc1 δ1 θc1 θp1 rv rp1 δp1 rm1 Σ m+j m Figura 6.39. Parámetros característicos de un engranaje cónico Recordemos las ecuaciones ya vistas: μ= ω2 r1 z1 = = ω1 r2 z 2 tg δ1 = μ sen Σ 1 + μ cos Σ tg δ2 = senΣ cos Σ + μ Además, 2r1 = z1 m 2r 2 = z 2m 60 Unidad 6. Engranajes. r1 rc1 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Para tornear el cono de cabeza, si la altura de cabeza es igual al módulo, tg θc = m = long.generatriz m m senδ 2 sen δ = = r z·m z sen δ 2 δ c = δ + θc Si la altura de fondo es m+j, tg θp = m+ j m + j ( m + j ) sen δ 2 ( m + j) sen δ = = = r z·m long.generatriz z·m sen δ 2 δp = δ − θp Ejemplo 9 Calcular todas las magnitudes lineales y angulares de las dos ruedas de dentado recto que constituyen un engranaje cónico de ángulo Σ=60º y número de dientes z1=12 y z2=26, construidos con módulo 6. Solución: μ= ω2 z1 12 = = = 0, 4615 ω1 z2 26 m= 2r ; z r2 = mz2 6x26 = = 78mm 2 2 r1 = mz1 6x12 = = 36mm 2 2 3 sen Σ sen 60º 2 = 26 3 = 0,9 = = tg δ2 = 6 1 μ + cos Σ 12 50 + cos 60º + 26 13 2 δ1 = Σ − δ2 = 60º −42º ⇒ ⇒ δ2 = 42º δ1 = 18º zL = z vL1 cos δ1 Unidad 6. Engranajes. 61 Formación Abierta 12 = zvL1 cos18º ⇒ z vL1 = 12 = 12,62 < 14 ⇒ cos18º Hay que tallar con desplazamiento rv1 = r1 36 = = 37,85mm cos δ1 cos18º rv 2 = r2 78 = = 104,96mm cos δ2 cos 42º zv1 = z1 12 14 − 12,62 = = 12,62 ⇒ x = = 0,0812 cos δ1 cos18º 17 x.m = 0,0812x6 = 0,4871 zv 2 = z2 26 = = 34,98 cos δ 2 cos 42º L1 = r1 36 = = 116,5mm sen δ1 sen18º L2 = r2 78 = = 116,57mm sen δ2 sen 42º rc1 = rv1 + mx + m = 37,85 + 0, 4871 + 6 = 44,34mm rc 2 = rv 2 − mx + m = 104,96 − 0,4871 + 6 = 110,47mm rp1 = rv1 + mx − m + j = 37,85 + 0,4871 − 6 − 1 = 31,34mm rc 2 = rv 2 − mx − m − j = 104,96 − 0,4871 − 6 − 1 = 97,47mm tg θc1 = m + mx 6 + 0, 4871 = ,5 = 0,0557 ⇒ θc1 = 3,187º L1 116 tg θc 2 = m − mx 6 − 0, 4871 = ,57 = 0,0473 ⇒ θc1 = 2,707º L2 116 tg θp1 = m − mx + j 6 − 0, 4871 + 1 = ,5 = 0,0559 ⇒ θp1 = 3,199º L1 116 tgθp2 = m + mx + j 6 + 0,4871 + 1 = ,57 = 0,0642 ⇒ θp2 = 3,675º L1 116 62 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 6.4. ENGRANAJES HIPERBÓLICOS Los engranajes hiperbólicos transmiten el movimiento entre ejes que se cruzan en el espacio. Si se tienen dos ruedas dentadas helicoidales en las que los ángulos de inclinación de sus hélices (β) no cumplan la condición de tener el mismo valor y sentidos contrarios, al engranar entre ellas (que lo harán), sus ejes no serán paralelos, sino que se cruzarán. Estas ruedas dentadas forman entonces un engranaje hiperbólico. ω2 2 1 β1 β1 V1 2 V2 V1 β2 β1 1 β2 V2 β2 ω1 Figura 6.40. Cremalleras movidas por las ruedas V2 r r V r cos β1 z1 ω μ= 2 = 2 = 1 2 = 1 = V r2 V1 r2 cos β2 z2 ω1 1 r1 Ya que, V2 sen ( 90º −β1 ) cos β1 = = V1 sen ( 90º −β2 ) cos β2 mn = ma1 cos β1 = ma2 cos β2 2r1 2r cos β1 = 2 cos β2 z1 z2 Una rueda helicoidal puede engranar con otra cuyo ángulo de la hélice sea positivo, negativo e incluso con una rueda recta, siempre que tengan el mismo módulo normal. Unidad 6. Engranajes. 63 Formación Abierta Si una de las ruedas que forma el engranaje tiene pocos dientes, normalmente cuatro o menos, tiene el aspecto de un tornillo. En este caso se les suele llamar engranajes de tornillo sinfín, en los que la rueda de pocos dientes se llama tornillo sinfín y la rueda de más dientes, corona. Figura 6.41. Engranaje de tornillo sinfín Estos engranajes permiten grandes relaciones de reducción, pudiendo ser de 100 o mayor. La relación de transmisión en engranajes rectos o helicoidales raramente llega a 10. Normalmente son engranajes irreversibles, no permitiendo la entrada de movimiento por la corona. También se produce en ellos un gran deslizamiento en el punto de contacto, por lo que deben estar convenientemente lubricados y refrigerados. En los engranajes de tornillo sinfín, el contacto entre los dientes de las ruedas es un contacto puntual. Con el fin de convertir el punto de contacto en una línea de contacto y así distribuir la fuerza a transmitir, se suele hacer engranajes de tornillo sinfín con la corona glóbica, no siendo ya una rueda helicoidal. También se usa una corona helicoidal con un tornillo sinfín glóbico. En este caso, se consigue que, aunque el contacto entre dientes sea puntual, se aumente el número de dientes que están en contacto. Finalmente, otra solución que se suele adoptar es realizar tanto el tornillo sinfín como la corona, glóbicos. De este modo se consigue aumentar el número de dientes en contacto y que el contacto de cada diente sea lineal. 64 Unidad 6. Engranajes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Figura 6.42. Tornillo sinfín con corona glóbica En un engranaje de tornillo sinfín: β1 = β2 = β sen β = mn z1 2r1 mn = ma cos β pn = πmn pa = πma rc1 = r1 + mn rc 2 = r2 + mn rp1 = r1 − mn − j rp2 = r2 − mn − j Unidad 6. Engranajes. 65 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ RESUMEN • Los engranajes se pueden clasificar según la disposición de los ejes que se transmiten el movimiento (rectos, cónicos e hiperbólicos), y según la geometría de los dientes (rectos y helicoidales). • Las características más importantes del funcionamiento de un engranaje son: Relación de transmisión. Ley de engrane. Paso y módulo. Línea de engrane, línea de empuje y ángulo de presión. Perfiles de los dientes: cicloidal y evolvente. Coeficiente de engrane. • La fabricación más común de las ruedas dentadas se realiza a partir de una herramienta llamada cremallera (rueda dentada de radio infinito). • Existe unos límites en la talla de las ruedas dentadas: El número máximo de dientes que se pueden tallar. El ancho y alto de los dientes a tallar (interferencia y penetración). • Para evitar la interferencia y la penetración, las ruedas se tallan y se montan con desplazamiento (ruedas V), se tallan con el diente rebajado o se aumenta el ángulo de presión. • Todas las características estudiadas en los engranajes rectos son de aplicación en los engranajes helicoidales, cónicos e hiperbólicos. Unidad 6. Engranajes. 67 CÁLCULO, DISEÑO Y ENSAYO DE MÁQUINAS 7 EJES DE TRANSMISIÓN Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ÍNDICE ♦ OBJETIVOS................................................................................................3 ♦ INTRODUCCIÓN ........................................................................................4 7.1. Diseño para cargas estáticas...............................................................5 7.2. Flexión alternante y torsión continua .................................................7 7.3. Método de Soderberg...........................................................................8 7.4. Método de Sines .................................................................................12 ♦ RESUMEN ................................................................................................13 Unidad 7. Ejes de transmisión. 1 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ OBJETIVOS • Conocimiento de los diferentes métodos existentes para el diseño de ejes de transmisión de potencia. • Análisis de los mismos para obtener conclusiones respecto de la elección del método más idóneo en cada caso. Unidad 7. Ejes de transmisión. 3 Formación Abierta ♦ INTRODUCCIÓN Un eje de transmisión (o árbol) es un elemento cilíndrico de sección circular, que suele transmitir un movimiento de giro y sobre el que se montan distintos elementos mecánicos de transmisión de potencia (engranajes, poleas, volantes, cadenas, manivelas, etc.). Los ejes son barras sometidas a esfuerzos de flexión, tracción, compresión o torsión, que actúan individualmente o combinados. En este último caso es de esperar que la resistencia estática y la de fatiga sean consideraciones importantes de diseño, puesto que un eje puede estar sometido en forma simultánea a la acción de esfuerzos invertidos en forma alternante, o repetidos sin cambios de signo (fluctuantes). Cuando la deformación lateral de un eje debe mantenerse dentro de unos límites estrechos, entonces hay que fijar sus dimensiones considerando tal deformación antes de analizar los esfuerzos. La razón es que si un eje se hace lo bastante rígido para que esas deformaciones no sean considerables, es probable que los esfuerzos resultantes no rebasen la seguridad, pero de ninguna manera debe suponer el diseñador que son seguros, casi siempre es necesario calcularlos para comprobar que están dentro de los límites aceptables. Siempre que sea posible, los elementos de transmisión de potencia, como engranajes o poleas, deben montarse cerca de los cojinetes de soporte. Esto reduce el momento flector y, en consecuencia, la deformación y la tensión por flexión. 4 Unidad 7. Ejes de transmisión. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 7.1. DISEÑO PARA CARGAS ESTÁTICAS Las tensiones que aparecen en la superficie (en la superficie la tensión es máxima) de un eje macizo de sección circular, sometido a cargas combinadas de flexión y de torsión, son: σx = 32M 16 T τxy = π d3 πd3 Donde: σx Tensión longitudinal debido a la flexión. τxy Tensión cortante debido a la torsión. d Diámetro del eje. M Momento flector en la sección crítica T Momento de torsión en la sección crítica. Mediante el círculo de Mohr se obtiene que la tensión cortante máxima es: 2 τmáx ⎛σ ⎞ = ⎜ x ⎟ + τ2xy ⎝ 2 ⎠ (1) 16 M2 + T 2 πd3 (2) Sustituyendo σx y τxy, τmáx = La teoría del esfuerzo cortante máximo para el fallo estático expresa que Ssy=Sy/2. Empleando un factor de seguridad n, la ecuación (2) puede escribirse, sabiendo que Sy es el límite de fluencia del material, Sy 2n = 16 M2 + T 2 3 πd Unidad 7. Ejes de transmisión. (3) 5 Formación Abierta De aquí podemos despejar el diámetro del eje en el límite del fallo: ⎡⎛ 32n ⎞ 2 2 d = ⎢⎜ ⎟ M +T ⎜ ⎟ ⎢⎣⎝ πS y ⎠ ( 1 ) 1 2 ⎤3 ⎥ ⎥⎦ (4) Utilizando la teoría de la energía de distorsión (Ssy=0,577Sy), 1 1 3 ⎡ ⎤ 2 2 ⎛ ⎞ 32n 3T 2 ⎢ ⎥ d= M + ⎟ ⎥ ⎢ πS ⎜ 4 ⎠ ⎥ ⎢⎣ y ⎝ ⎦ 6 Unidad 7. Ejes de transmisión. (5) Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 7.2. FLEXIÓN ALTERNANTE Y TORSIÓN CONTINUA En todo eje rotatorio, cargado con momentos flectores y torsionales constantes, se producirá un esfuerzo flector que se invierte alternativamente al girar el eje, y un esfuerzo de torsión que permanece constante. Esta es una situación muy común. Utilizando el subíndice a para indicar el esfuerzo alternante y el subíndice m para señalar el esfuerzo medio, las ecuaciones del apartado anterior se expresan como: σa = 32M π d3 τm = 16 T π d3 Se obtienen las mismas expresiones cuando los ejes son huecos o tubulares. George Sines afirma que, experimentalmente, se comprueba que la resistencia a la fatiga por flexión no se ve afectada por la existencia del esfuerzo medio por torsión, hasta que la resistencia de fluencia a la torsión no supere el 50%. Este hecho proporciona un método muy sencillo para diseñar en el caso de una combinación de esfuerzos por flexión alternante y por torsión constante. Simbolizando por Se al límite de fatiga y por n el factor de seguridad, la ecuación de diseño para el eje quedará: Se = σa n Sustituyendo σa en la primera ecuación, y teniendo en cuenta que la τm no afecta al límite de fatiga a la flexión, 1 ⎛ 32Mn ⎞ 3 d=⎜ ⎟ ⎝ πSe ⎠ Es necesario hacer una advertencia en relación con el uso de la ecuación anterior. Para tener la seguridad de que un eje cuyo diámetro se determinó con esta ecuación no sufrirá fluencia, debe calcularse el factor de seguridad estático n por los métodos del apartado 7.2. Unidad 7. Ejes de transmisión. 7 Formación Abierta 7.3. MÉTODO DE SODERBERG En el siguiente análisis se dará un ejemplo que indica cómo utilizar un diagrama de Soderberg para determinar las dimensiones de un eje sometido a una combinación de torsión constante y flexión alternante, que es un tipo común de carga en ejes de transmisión. Se emplea en este método de Soderberg la teoría del esfuerzo cortante máximo. Si consideramos un elemento de la superficie de un eje macizo de sección circular, el cual gira a una velocidad de ω rad/s, sometido a estos esfuerzos, la tensión cortante para cualquier plano definido por el ángulo α, será: y τxy= 16T π d3 σx= 32M cos ωt πd3 x P σα τα α τxy α σx α Q τxy α Figura 7.1. Elemento diferencial de la superficie de un eje macizo de sección circular 8 Unidad 7. Ejes de transmisión. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Haciendo el equilibrio de fuerzas: τα + σx sen α cos α + τxy sen2α − τ xy cos2 α = 0 ( ) τα = τxy cos2 α − sen2 α − σx senα cos α Sustituyendo σx y τxy, y desarrollando, τα = 16T 16M cos 2α − 3 sen2α cos ωt 3 πd πd Para ese mismo plano definido por α, el esfuerzo cortante tendrá un valor medio de: τam = 16T cos 2α πd3 y una amplitud de componente alternante ταa = 16M sen2α πd3 En la figura siguiente se observa el diagrama de Soderberg para resistencia al cortante. Los esfuerzos cortantes alternos se llevan como ordenadas, y los esfuerzos medios de corte estáticos, como abscisas. La línea de Soderberg es una recta que pasa por el límite de fatiga a cortadura Sse y la resistencia de fluencia al cortante Ssy. El límite de fatiga a cortadura es el límite correspondiente a un elemento de máquina después de haber tenido en cuenta los factores de tamaño, acabado superficial, concentración de esfuerzo, etc. Unidad 7. Ejes de transmisión. 9 Formación Abierta Sse A Línea de Soderberg 45º Línea de esfuerzo seguro 16M πd 3 75º 15º 90º 0º B 16T πd 3 Esfuerzo cortante medio Ssy Ssu ταm Figura 7.2. Diagrama de Soderberg Para determinar si el fallo ocurrirá o no en ciertos planos que forman un ángulo α con la horizontal, se sitúa un punto en la figura para cada valor de α. Sus coordenadas serán (ταm, ταa). Por ejemplo, para planos horizontales (α=0) las coordenadas del punto son: ⎛ 16T ⎞ ⎜ πd3 ,0 ⎟ ⎝ ⎠ En el caso de planos verticales las coordenadas serán: ⎛ 16T ⎞ ⎜ − πd3 ,0 ⎟ ⎝ ⎠ Pero éste es realmente el mismo punto para el que α=0. En el caso de α=45º, el punto es: ⎛ 16M ⎞ ⎜ 0, πd3 ⎟ ⎝ ⎠ Al considerar la figura se llega a la conclusión de que el factor de seguridad debe ser el correspondiente al punto de la elipse que esté más próximo a la línea de fallo. El problema se resuelve trazando una recta paralela a la línea de fallo y tangente a la elipse. Con tal recta podrá determinarse gráficamente el factor de seguridad n. El valor de este factor es: 10 Unidad 7. Ejes de transmisión. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas πd3 n= ⎛ T 16 ⎜ ⎜ S sy ⎝ 2 ⎞ ⎛ M ⎞ ⎟ +⎜ ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ S se ⎠ 2 Despejando el diámetro del eje, ⎧ ⎪⎪16n ⎡⎛ T ⎢⎜ d=⎨ ⎜ ⎪ π ⎢⎣⎝ S sy ⎪⎩ 1 2 2 ⎞ ⎛ M ⎞ ⎤ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ S se ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ 1 2 ⎫3 ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪ O, usando la teoría del esfuerzo cortante máximo (Ssy=0,5Sy y Sse=0,5Se), ⎧ ⎡ ⎪⎪ 32n ⎢⎛ T d=⎨ ⎜ ⎜ ⎪ π ⎣⎢⎝ Ssy ⎩⎪ 1 2 2 ⎞ ⎛M⎞ ⎤ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ S e ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ 1 2 ⎫3 ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪ Unidad 7. Ejes de transmisión. 11 Formación Abierta 7.4. MÉTODO DE SINES El investigador George Sines, de la Universidad de California en Los Ángeles, ha propuesto una solución que ha sido verificada por muchos experimentos. La teoría o método de Sines dice: "La resistencia a la fatiga por flexión no varía por la existencia de un esfuerzo medio de torsión hasta que τmáx=1,5 Ssy". n= Se S = e σa 32M πd3 El diámetro del eje será: 1 ⎛ 32Mn ⎞ 3 d=⎜ ⎟ ⎝ πS e ⎠ 12 Unidad 7. Ejes de transmisión. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ RESUMEN • Un eje de transmisión (o árbol) es un elemento cilíndrico de sección circular, que suele transmitir un movimiento de giro y sobre el que se montan distintos elementos mecánicos de transmisión de potencia (engranajes, poleas, volantes, cadenas, manivelas, etc.). • En primer lugar se ha dimensionado el eje teniendo en cuenta que actúan cargas de flexión y torsión, aplicando a las tensiones que aparecen en el material la teoría del esfuerzo cortante máximo y la teoría de la energía de distorsión. • Después se dimensiona el eje teniendo en cuenta que las cargas son una flexión alternante y una torsión continua. • El método de Soderberg para diseño de ejes se utiliza para este tipo de cargas del punto anterior (flexión alternante y torsión continua). Utiliza este método la teoría del esfuerzo cortante máximo y es un método gráfico. • Por último, el método de Sines dice que "la resistencia a la fatiga por flexión no varía por la existencia de un esfuerzo medio de torsión hasta que τmáx=1,5 Ssy". Unidad 7. Ejes de transmisión. 13 CÁLCULO, DISEÑO Y ENSAYO DE MÁQUINAS 8 EMBRAGUES, FRENOS, ACOPLAMIENTOS Y VOLANTES Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ÍNDICE ♦ OBJETIVOS................................................................................................3 ♦ INTRODUCCIÓN ........................................................................................4 8.1. Embragues y frenos de tambor con zapatas interiores .....................9 8.2. Embragues y frenos de tambor con zapatas exteriores ..................17 8.3. Embragues de fricción de disco y acción axial ................................19 8.3.1. Desgaste uniforme .........................................................................20 8.3.2. Presión uniforme ............................................................................20 8.4. Embragues y frenos cónicos .............................................................22 8.4.1. Desgaste uniforme .........................................................................22 8.4.2. Presión uniforme ............................................................................23 8.5. Energía y temperatura ........................................................................24 8.5.1. Energía ..........................................................................................24 8.5.2. Temperatura ..................................................................................25 8.6. Otros tipos de embragues y acoplamientos .....................................26 8.7. Volantes ..............................................................................................27 8.7.1. Ecuación del movimiento ...............................................................27 ♦ RESUMEN ................................................................................................31 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 1 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ OBJETIVOS • Conocer la función que realizan los embragues, frenos y volantes en las máquinas. • Conocer los diferentes tipos de frenos y embragues existentes. • Analizar el funcionamiento de estos dispositivos con la finalidad de poder diseñarlos. • Conocer el comportamiento energético y térmico de los embragues y frenos. Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 3 Formación Abierta ♦ INTRODUCCIÓN En este capítulo se van a tratar un grupo de elementos mecánicos relacionados generalmente con la rotación y que tienen en común la función de transmitir, absorber o almacenar energía mecánica de rotación. Debido a tal similitud de funciones, los embragues, los frenos, los acoples y los volantes se estudian en el presente. En la figura siguiente (a) se muestra una representación dinámica simplificada de un embrague, o freno, de fricción. Dos masas de inercia I1 e I2, que giran con velocidades angulares ω1 y ω2, respectivamente, una de las cuales puede ser cero en el caso de un freno, se llevan a la misma velocidad al hacer la conexión del embrague. Embrague o freno ω1 I2 ω2 I1 a) Ts θ s Te θe I,θ b) Figura 8.1. Esquema dinámico de embrague o freno y volante Se producirá deslizamiento porque los dos elementos se mueven a velocidades diferentes y se disipará energía en forma de calor durante la acción, originando así una elevación de la temperatura. Para analizar el funcionamiento de estos dispositivos interesará conocer lo siguiente: La fuerza que se ejerce. El momento de torsión transmitido. La pérdida de energía. El incremento de temperatura. 4 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Los distintos tipos de estos dispositivos son: De tambor con zapatas interiores. De tambor con zapatas exteriores. De disco. De cono. Volante Es un dispositivo almacenador de energía por efecto de la inercia. Absorbe energía mecánica al ser incrementada su velocidad angular y la devuelve cuando ésta disminuye. La figura anterior (b) es una representación matemática de un volante. Un momento de torsión de entrada Te, que corresponde a una coordenada θe, originará un incremento en la velocidad del volante; y un momento de torsión de carga o salida Ts, correspondiente a la coordenada θs, absorberá energía del volante y hará que se desacelere o pierda velocidad. Consideraciones previas En el análisis de todos los tipos de embragues y frenos de fricción se emplea el mismo procedimiento general. Son necesarios los siguientes pasos: 1. Suponer o determinar la distribución de la presión sobre las superficies de fricción. 2. Hallar una relación entre la presión máxima y la presión en un punto cualquiera. 3. Aplicar las condiciones de equilibrio estático para determinar: La fuerza actuante. El par de torsión. Las reacciones en los apoyos. Esquemáticamente, estos pasos se pueden aplicar a la figura siguiente, en la que se muestra una zapata de fricción de corta longitud articulada en A, sobre la que actúan una fuerza F, una reacción normal N y una fuerza de rozamiento fN entre las superficies de contacto, siendo f el coeficiente de rozamiento. Se designará la presión en un punto cualquiera por p y la presión máxima por pmáx. El área de la zapata es A. Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 5 Formación Abierta b Ry A F a Movimiento N Q fN Figura 8.2. Esquema de acción de una zapata de fricción 1. Como la zapata es corta se supone que la presión está uniformemente distribuida sobre el área de rozamiento. 2. Por el paso 1: p=pmáx 3. Como la presión está uniformemente distribuida, pueden sustituirse las fuerzas de presión normales por una fuerza de presión equivalente: N = pmáx A Aplicando las ecuaciones de la estática para los momentos respecto del punto de articulación, ΣMA = Fb − Nb + fNa = 0 Sustituyendo N=pmáxA y despejando F, F= pmáx A ( b − fa ) b Siendo su descomposición horizontal y vertical, Rx = fpmáx A Ry = pmáx A − F 6 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Lo anterior es muy útil cuando se conocen las dimensiones del embrague o freno, y se especifican las características del material de fricción. Sin embargo, en el diseño interesa más la síntesis que el análisis, es decir, el objetivo es seleccionar un conjunto de dimensiones que permitan obtener el mejor freno o embrague, dentro de las limitaciones del material de fricción que se haya especificado. En la ecuación anterior de la fuerza F, si b=fa, el numerador se anula y no se requiere aplicar ninguna fuerza. Esta es la condición de autotrabado de la zapata. Por lo general no interesa el diseño de un freno que sea autotrabado, pero sí debería aprovecharse plenamente el efecto de autoenergización. Este puede obtenerse seleccionando para el material de fricción un valor de f que nunca será excesivo, aún en las condiciones más adversas. Una manera de hacer esto es incrementar la especificación que da el fabricante para el coeficiente de rozamiento, por ejemplo en 25-50%. De modo que si f´=0,75f a 0,85f, la ecuación b = f´a podrá utilizarse para obtener las dimensiones de a y b, necesarias para el grado de autoenergización deseado. Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 7 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 8.1. EMBRAGUES Y FRENOS DE TAMBOR CON ZAPATAS INTERIORES El dispositivo de zapatas interiores de la figura muestra una zapata articulada en A (talón) y sobre la que se aplica la fuerza de trabajo F en el otro extremo (punta). Como la zapata es larga, no puede suponerse que la distribución de las fuerzas normales sea uniforme. La disposición mecánica no permite aplicar ninguna presión en el talón de la zapata y, en consecuencia, se considerará que en este punto la presión es cero. Rotación tambor y rdθ F dθ θ2 θ x a A r Figura 8.3. Zapata interior Es práctica habitual omitir el material de fricción en una corta distancia a partir del talón, ya que contribuye muy poco al funcionamiento, evitando así interferencias. Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 9 Formación Abierta a.s en θ y fdNcosθ θ dN dNsenθ fdN θ Fx dNcosθ fdNsenθ θ2 F Fy A θ1 c x r-a .c Rx os θ θ Ry a r ión tac o R Figura 8.4. Freno de tambor con zapata interior Se considerará que existe una presión p sobre un elemento de área del material de fricción localizado a un ángulo θ desde la articulación. La presión máxima pmáx se encontrará a un ángulo θmáx desde dicha articulación. Se realizará la hipótesis (paso 1) de que la presión en un punto es proporcional a la distancia vertical al punto de articulación. Tal distancia vertical es proporcional a senθ, y (paso 2) la relación entre las presiones es: pmáx p = sen θ sen θmáx Por lo que, p = pmáx sen θ sen θmáx De esta ecuación se deduce que p será máxima cuando θ=90º, o si el ángulo a la punta θ2 es menos que 90º, entonces p será máxima en este extremo. 10 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Cuando θ=0, la presión es cero. Por lo tanto, el material de fricción situado en el talón influye muy poco en la acción de frenado y se podría omitir. Un buen diseño concentraría la mayor cantidad del material citado en la vecindad del punto de máxima presión, como se ve en la figura anterior, donde éste comienza a un ángulo θ1, medido desde el punto de articulación A y termina a un ángulo θ2. En cuanto al (paso 3), las reacciones en la articulación serán Rx y Ry. La fuerza aplicada tiene las componentes Fx y Fy, y actúan a una distancia c del punto A. A un ángulo θ cualquiera, desde este punto, se ejercerá una fuerza normal elemental de magnitud dN, dN = pbr dθ Donde b es el ancho de la zapata (material de fricción). Sustituyendo el valor de p, dN = pmáxb r sen θ dθ sen θmáx Esta fuerza de presión tiene las componentes horizontal y vertical, respectivamente, dN.cosθ y dN.senθ, como indica la figura. La fuerza de rozamiento f.dN tiene componentes horizontal y vertical, de magnitudes f.dN.senθ y f.dN.cosθ, respectivamente. Aplicando las condiciones de equilibrio estático, será posible calcular la fuerza de trabajo F, el momento de torsión T y las reacciones en la articulación Rx y Ry. Se determina la fuerza F mediante la condición de que sea nula la suma de momentos con respecto al punto de articulación. Las fuerzas de fricción tienen un brazo de palanca a este punto de valor r−a.cosθ. El momento Mf de tales fuerzas es, Mf = ∫f dN ( r − acos θ) = fpmáxb r sen θmáx ∫ θ2 θ1 sen θ ( r − acos θ) dθ que se obtiene sustituyendo el valor de dN de la ecuación anterior a ésta. La ecuación que se acaba de obtener se integrará para cada problema. El brazo de palanca de la fuerza normal dN, con respecto al punto A, es a senθ. Llamando al momento de las fuerzas normales MN y sumando sus momentos con respecto a A, se obtiene, MN = dN ( a sen θ ) = ∫ pmáx bra sen θmáx ∫ θ2 θ1 sen2 θ dθ Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 11 Formación Abierta La fuerza de trabajo debe equilibrar estos momentos: F= MN − Mf c Aquí se ve que existe una condición para que esta fuerza sea nula. Es decir, que si MN=Mf, se obtiene el efecto de autotrabado y no se requiere aplicar ninguna fuerza. Esto proporciona un método para determinar las dimensiones necesarias para que haya alguna acción autoenergizante. Por consiguiente, usando f´ en lugar de f, puede despejarse a de la relación MN=Mf, donde f´ se hace aproximadamente igual de 0,75 a 0,85f. El momento T, aplicado al tambor por la zapata, es la suma de las fuerzas de rozamiento f dN multiplicadas por el radio de aquél, ∫ T = f dNr = fpmáx br 2 sen θmáx ∫ θ2 θ1 fpmáx br 2 ( cos θ1 − cos θ2 ) sen θ dθ = sen θmáx Las reacciones en la articulación se calculan por suma de fuerzas en dirección horizontal y en dirección vertical. Por lo tanto: ∫ ∫ R x = dN cos θ − f dN sen θ − Fx = Ry = ∫ dN senθ + ∫ f dN cos θ − F y = pmáx br ⎛ ⎜ sen θmáx ⎝ ∫ pmáx br ⎛ ⎜ sen θmáx ⎝ ∫ θ2 θ1 θ2 θ1 sen θ cos θ dθ − f sen2 θ d θ + f ∫ θ2 θ1 ∫ θ2 θ1 sen2 θ dθ ⎞⎟ − Fx ⎠ sen θ cos θ dθ ⎞⎟ − Fy ⎠ El sentido de las fuerzas de rozamiento se invierte si lo hace la rotación. De modo que, para movimiento en sentido contrario al del reloj, la fuerza será: F= MN + Mf c Y como ambos momentos tienen el mismo sentido, se pierde así el efecto de autoenergización. Asimismo, en el caso de rotación contraria a la del reloj, las reacciones serán, Rx = pmáx br ⎛ ⎜ sen θmáx ⎝ Ry = pmáxbr ⎛ ⎜ sen θmáx ⎝ ∫ θ2 θ1 ∫ sen θ cos θ dθ + f θ2 θ1 sen2 θ dθ − f ∫ θ2 θ1 ∫ θ2 θ1 sen2 θ dθ ⎞⎟ − Fx ⎠ sen θ cos θ dθ ⎟⎞ − Fy ⎠ Al utilizar estas expresiones, el sistema de referencia siempre tendrá su origen en el centro del tambor. La parte positiva del eje x pasa por el punto de articulación, y la del eje y está siempre en el sentido general de aplicación de la zapata y del lado de ésta, aún si el sentido de giro es contrario. El análisis anterior implica las siguientes hipótesis: 12 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 1. La presión de un punto de contacto de la zapata es proporcional a la distancia desde el punto de articulación, siendo cero en el talón. Esto debe considerarse desde el punto de vista de que las presiones especificadas por lo fabricantes son valores medios y no máximos. 2. El efecto de la fuerza centrífuga es despreciable. En el caso de frenos las zapatas no giran y no existe fuerza centrífuga. En el diseño de embragues, el efecto de esta fuerza debe considerarse al escribir las ecuaciones de equilibrio estático. 3. La zapata es rígida. Como esto no se verifica nunca, ocurre siempre alguna deformación, dependiendo de la carga, la presión y la rigidez de la zapata. La distribución resultante de la presión puede ser diferente de la que se ha supuesto. 4. Todo el análisis se ha basado en un coeficiente de rozamiento que no varía con la presión. En realizad, este coeficiente puede cambiar según cierto número de condiciones, como la temperatura, el desgaste y el medio circundante. Ejemplo 1 El freno mostrado en la figura tiene 300 mm de diámetro y es accionado por un mecanismo que aplica la misma fuerza F sobre cada zapata. Éstas son idénticas y tienen un ancho de cara de 32 mm. El revestimiento es asbesto moldeado, con un coeficiente de fricción de 0,32 y un límite de presión de 1000 kPa. Determinar: 1. La fuerza de trabajo del freno. 2. La capacidad del freno (par de torsión total desarrollado). Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 13 Formación Abierta 30º Rotación 62 62 F F 100 126º 112 150 50 50 24º Solución: Las fuerzas normales al contacto y las de rozamiento en las dos zapatas son: Rotación f.dN dN dN f.dN 1. La zapata derecha es autoenergizante. La fuerza F de trabajo se obtiene considerando que la presión máxima se produce en esta zapata. a = 1122 + 502 = 122,65 mm Para este freno, θ1 = 0° θ2 = 126° 14 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas θmáx = 90° ⇒ sen θmáx = 1 Integrando la ecuación del momento de fricción entre θ2 y cero: Mf = f dN ( r − a cos θ ) = ∫ = fpmáx b r sen θmáx fpmáx b r sen θmáx ∫ θ2 θ1 sen θ (r − a cos θ ) dθ = θ2 ⎧⎪ ⎫⎪ fp b r 1 θ2 2 máx − θ − θ r cos a sen ⎨ ⎬= 0 2 0 ⎪ ⎪⎩ ⎭ sen θmáx a ⎛ ⎞ 2 ⎜ r − r cos θ2 − 2 sen θ2 ⎟ ⎝ ⎠ Pasando a metros todas las longitudes, ( ) Mf = ( 0,32 ) ⎡1000 103 ⎤ ( 0,032 )( 0,150 ) ⋅ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎛ 0,123 ⎞ sen2 126° ⎥ = 304 N.m ⋅ ⎢0,150 − 0,150 cos126° − ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎦ Integrando la ecuación del momento de las fuerzas normales entre θ2 y cero: p bra MN = dN ( a sen θ ) = máx sen θmáx ∫ θ2 ∫ sen 2 θ dθ = θ1 θ = 2 pmáx bra θ 1 p bra ⎛ θ2 1 ⎞ − sen 2θ = máx − sen 2θ2 ⎟ = ⎜ sen θmáx 2 4 sen θmáx ⎝ 2 4 ⎠ 0 ⎡ π 126 1 ⎤ = ⎡1000 103 ⎤ ( 0,032 )( 0,150 )( 0,123 ) ⎢ − sen 2x126° ⎥ = 790 N.m ⎣ ⎦ ⎣ 2 180 4 ⎦ ( ) Por lo tanto, la fuerza de trabajo será: F= MN − Mf 790 − 304 = = 2,29 kN c 100 + 112 2. Aplicamos la ecuación: Tdcha = fpmáxbr 2 ( cos θ1 − cos θ2 ) sen θmáx = ( ) 2 0,32 ⎡1000 103 ⎤ ( 0,032 )( 0,150 ) ( cos 0° − cos126° ) ⎣ ⎦ = 1 Tdcha = 366 N.m Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 15 Formación Abierta El momento que aporta la zapata izquierda no podrá determinarse hasta que se conozca su presión máxima de operación. Los momentos de las fuerzas de rozamiento y normales son proporcionales a esa presión máxima. Por lo tanto, para la zapata izquierda: MN = 790pmáx 1000 Mf = 304pmáx 1000 Entonces: F= MN + Mf c ⎛ 790 ⎞ ⎛ 304 ⎞ ⎜ 1000 ⎟ pmáx + ⎜ 1000 ⎟ pmáx ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ 2,29 = ⎝ ⇒ pmáx = 444 kPa 100 + 112 El momento en la zapata izquierda será: Tizda = fpmáx br 2 ( cos θ1 − cos θ2 ) sen θmáx = ( ) 2 = 0,32 ⎡ 444 103 ⎤ ( 0,032 )( 0,150 ) ( cos 0° − cos126° ) ⎣ ⎦ Tizda = 162 N.m La capacidad del freno será el momento total: T = Tdcha + Tizda = 366 + 162 = 528 N.m 16 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 8.2. EMBRAGUES Y FRENOS DE TAMBOR CON ZAPATAS EXTERIORES El embrague-freno de la figura dispone de elementos de fricción exteriores accionados por un mecanismo cualquiera. Fx F Fy y c fdNsenθ θ fdN dN θ2 fdNcosθ dNsenθ θ dNcosθ θ θ1 Rx A x Ry r a tac Ro ió n Figura 8.5. Freno de tambor con zapata exterior Los momentos de las fuerzas de fricción y normales, con respecto al punto de articulación, son iguales a los de las zapatas interiores: Mf = fpmáx b r sen θmáx ∫ θ2 θ1 sen θ ( r − a cos θ ) dθ MN = dN ( a sen θ ) = ∫ pmáx bra sen θmáx ∫ θ2 θ1 sen2 θ dθ Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 17 Formación Abierta Ambas ecuaciones dan valores positivos para momentos en el sentido del reloj, cuando se emplean para zapatas exteriores. La fuerza de trabajo debe ser lo bastante grande para equilibrar ambos momentos. F= MN + Mf c Las reacciones horizontal y vertical en el punto de articulación de hallan de la misma manera que para las zapatas interiores: Rx = ∫ dN cos θ + ∫ Ry = ∫ dN cos θ − ∫ dN sen θ + F f dN sen θ − Fx = y = pmáx br ⎛ ⎜ sen θmáx ⎝ pmáx br ⎛ ⎜f sen θmáx ⎝ ∫ θ2 sen θ cos θ dθ + f θ1 ∫ θ2 θ1 sen θ cos θ dθ − ∫ θ2 θ1 ∫ θ2 θ1 sen2 θ dθ ⎞⎟ − Fx ⎠ sen2 θ dθ ⎞⎟ + Fy ⎠ Si la rotación fuera en sentido contrario al del reloj, se invierte el signo del término de fricción en cada ecuación: F= MN − Mf c Además existe autoenergización para la rotación en sentido contrario al del reloj. Las reacciones horizontal y vertical son: ∫ ∫ ∫ ∫ R x = dNcos θ + f dN sen θ − Fx = R y = dNcos θ − dN sen θ + Fy = pmáx br ⎛ ⎜ sen θmáx ⎝ pmáx br sen θmáx ∫ ⎛ −f ⎜ ⎝ θ2 θ1 ∫ sen θ cos θ dθ − f θ2 θ1 sen θ cos θ dθ − ∫ θ2 ∫ θ2 θ1 θ1 sen2 θ dθ ⎞⎟ − Fx ⎠ sen2 θ dθ ⎞⎟ + Fy ⎠ Hay que observar que, cuando se emplean elementos con zapatas exteriores como embragues, el efecto de la fuerza centrífuga será reducir la fuerza normal. De esta manera, a medida que aumenta la velocidad se requiere un valor mayor de la fuerza de aplicación F. 18 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 8.3. EMBRAGUES DE FRICCIÓN DE DISCO Y ACCIÓN AXIAL Un embrague axial es aquel en el que los elementos friccionantes que entrarán en contacto se mueven en dirección paralela al eje de rotación. Uno de los más antiguos es el embrague cónico, con una estructura sencilla y bastante poderoso. Sin embargo, excepto para aplicaciones sencillas, ha sido desplazado por el embrague de disco, que emplea uno o varios de estos elementos como medios de operación. Las ventajas del embrague de disco son que no tiene efectos de fuerza centrífuga, la gran superficie de fricción que puede tenerse en un espacio reducido, las superficies disipadoras de calor más efectivas y la distribución más favorable de la presión. En la figura siguiente se muestra un disco de fricción con un diámetro exterior D y uno interior d. Interesa determinar la fuerza axial F necesaria para producir cierto momento T y una presión p. generalmente se usan dos métodos para resolver el problema, dependiendo del tipo de embrague. Si los discos son rígidos, entonces, en primer lugar ocurrirá la mayor cantidad de desgaste en las zonas exteriores puesto que el trabajo de fricción es mayor en estas áreas. Después de ocurrir esta cierta cantidad de desgaste, la distribución de la presión cambiará de manera que éste sea uniforme. Esta es la base del primer método de resolución. En otro tipo de construcción se emplean resortes para obtener presión uniforme sobre el área. Esta hipótesis de uniformidad de presión es la que se usa en el segundo procedimiento. dr r d F D Figura 8.6. Disco de un freno Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 19 Formación Abierta 8.3.1. DESGASTE UNIFORME Después de que los discos se han desgastado hasta hacer posible el desgaste uniforme, la presión máxima debe ocurrir en r=d/2, a fin de que sigua siéndolo. Siendo pmáx la presión máxima, puede escribirse, pr = pmáx d d ⇒ p = pmáx 2 2r Que es la condición para que el trabajo efectuado a la distancia r sea igual al realizado a la distancia d/2. La figura anterior muestra un elemento de área circular de radio r y ancho dr. El área de este elemento es 2πr.dr, de modo que la fuerza normal que actúa en este elemento es df=2πpr.dr. La fuerza total se halla por integración desde r=d/2 hasta r=D/2: F=∫ D/2 d/2 2πpr dr = πpmáx d∫ D/2 d/2 dr = πpmáx d ( D − d) 8 El par de torsión se determina integrando el producto de la fuerza de fricción y el radio: T= ∫ D/2 d/ 2 2πfpr 2 dr = πfpmáx d ∫ D/2 d/2 r dr = πfpmáx d 2 D − d2 8 ( ) Sustituyendo el valor de F, puede obtenerse otra expresión para el momento de torsión: T= Ff (D + d) 4 La ecuación que nos proporciona el valor de F nos da el valor de la fuerza axial de aplicación por par de superficies de rodamiento, y para la presión máxima seleccionada pmáx. Después se utilizará la expresión última del momento de torsión para obtener la capacidad torsional por superficie de fricción. 8.3.2. PRESIÓN UNIFORME Cuando se considera presión uniforme sobre el área del disco, la fuerza de trabajo es simplemente el producto de la presión y el área, F= πpmáx 2 D − d2 4 ( ) Como antes, el momento se halla integrando el producto de la fuerza de fricción y el radio, 20 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas T = 2πfp ∫ D/ 2 d/2 r 2 dr = 2πfp 3 D − d3 24 ( ) Como p=pmáx, la ecuación puede escribirse como: T= Ff D3 − d3 3 D2 − d2 Hay que observar que para ambas ecuaciones, el momento corresponde a un solo par de superficies de contacto o rozantes. Por lo tanto, este valor debe multiplicarse por el número de partes de superficies de contacto. Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 21 Formación Abierta 8.4. EMBRAGUES Y FRENOS CÓNICOS Un embrague-freno cónico es como un embrague-freno de tambor de zapatas interiores pero, tanto las zapatas como el tambor, adoptan una forma cónica respecto del eje longitudinal del embrague-freno. α p dA dr sen α dr r α F d D Figura 8.7. Embrague o freno cónico El ángulo del cono α, así como el diámetro y el ancho de cara del mismo, son los parámetros geométricos de diseño importantes. Si el ángulo es demasiado pequeño, por ejemplo menor que 8º, la fuerza necesaria para abrir el embrague puede ser bastante grande, y el efecto de cuña disminuye rápidamente cuando se usan ángulos de cono mayores. Los valores normales de α son entre 10º y 15º. Para hallar una relación entre la fuerza de trabajo F y el momento de torsión transmitido, se designan las dimensiones del cono como en la figura. Como en el caso del embrague axial, es posible obtener un conjunto de relaciones para una hipótesis de desgaste uniforme y otro para la presión uniforme. 8.4.1. DESGASTE UNIFORME La relación de presión es la misma que para el embrague axial: p = pmáx d 2r En la figura, se considera un elemento de área dA, de radio r y ancho dr/senα. Por lo tanto, 22 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas dA = 2πr dr sen α Como se indica en la figura, la fuerza de trabajo será la integral de la componente axial de la fuerza elemental p.dA. Así, ∫ F = p dA sen α = ∫ d ⎞ ⎛ 2πr dr ⎞ ⎜ pmáx 2r ⎟ ⎜ sen α ⎟ sen α = πpmáx d ⎝ ⎠⎝ ⎠ D/2 ⎛ d/2 ∫ D/2 d/2 dr πpmáx d (D − d) (Ecuación exacta que el caso de embrague de disco y 2 acción axial) F= La fuerza elemental de fricción es fpdA, y el momento es la integral del producto de esa fuerza por el radio, ∫ T = rfp dA = ⎛ ∫ (rf ) ⎜⎝ p D/2 máx d/2 T= d ⎞ ⎛ 2πr dr ⎞ πfpmáx d = 2r ⎟⎠ ⎜⎝ sen α ⎟⎠ sen α πfpmáx d 2 D − d2 8 sen α ( ∫ D/2 d/2 r dr ) La ecuación del momento en el caso de embrague de disco de acción axial es un caso especial de esta última ecuación, en la que α=90º. Este momento de torsión también puede expresarse: T= Ff ( D + d) 4 senα 8.4.2. PRESIÓN UNIFORME Utilizando p=pmáx, ∫ F = pmáx dA sen α = F= πpmáx 2 D − d2 4 ( ∫ D/2 d/2 ⎛ 2πr dr ⎞ pmáx ⎜ ⎟ sen α ⎝ sen α ⎠ ) El momento es: ∫ T = rfpmáx dA = T= ⎛ 2πr dr ⎞ ∫ (rfp ) ⎜⎝ sen α ⎟⎠ D/2 máx d/2 πfpmáx D3 − d3 12 sen α ( ) O bien, T= Ff D3 − d3 3 sen α D2 − d2 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 23 Formación Abierta 8.5. ENERGÍA Y TEMPERATURA La energía cinética procedente del movimiento de los elementos de un freno o un embrague, se convierte en energía calorífica. 8.5.1. ENERGÍA Cuando se detienen los elementos rotatorios de una máquina mediante un freno, este último debe absorber la energía cinética de la rotación, la cual se transforma en calor. Asimismo, cuando los elementos de una máquina que inicialmente está en reposo, se aceleran hasta cierta velocidad, tiene que producirse deslizamiento en el embrague hasta que los elementos alcancen la velocidad del impulsor. Durante el resbalamiento, el embrague o el freno absorben la energía cinética, la cual se transforma en calor. Se ha visto cómo la capacidad de par de torsión de un embrague o freno depende del coeficiente de fricción del material y de una presión o fuerza normal de seguridad. Sin embargo, el carácter de la carga puede ser tal que, si se deja actuar este momento de torsión, puede arruinar el embrague o el freno por el calor generado en ellos. En consecuencia, la capacidad de un embrague está limitada por dos factores: las características del material de fricción y la capacidad del embrague para disipar el calor. Si el calor se genera más rápidamente de lo que se disipa, entonces surge un problema de elevación de temperatura o calentamiento. En la figura siguiente puede verse un embrague-freno. Consiste en dos elementos de inercia conectados por medio de un embrague. Los elementos de inercias I1 e I2 tienen velocidades angulares ω1 y ω2, respectivamente. Durante la operación del embrague, ambas varían y al final serán iguales. Se supone que los dos ejes son rígidos y que el par de torsión T generado, es constante. Embrague o freno ω1 I2 I1 Figura 8.8. 24 Esquema de un embrague o freno Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. ω2 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas La operación del embrague termina en el instante en el que las dos velocidades angulares se hacen iguales. Considérese que el tiempo requerido para esto es t1. Se demuestra que: t1 = I1I2 ( ω1 − ω2 ) T (I1 + I2 ) La energía total disipada durante el ciclo de operación de embragado o frenado es: E= I1I2 ( ω1 − ω2 ) 2 2 (I1 + I2 ) Que es independiente del par de torsión y que, si las unidades son kg y m, la energía disipada será en Julios. 8.5.2. TEMPERATURA La elevación de la temperatura en un sistema de embrague o de freno puede evaluarse aproximadamente por la expresión: ΔT = E Cm Donde: E Energía disipada; J. ΔT Elevación de temperatura, ºC. C Calor específico del material, J/kgºC. m Masa de las piezas del embrague o freno, kg. Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 25 Formación Abierta 8.6. OTROS TIPOS DE EMBRAGUES Y ACOPLAMIENTOS El embrague de dientes cuadrados es de contacto directo y sus características son: No tiene deslizamiento. No genera calor. No puede conectarse a altas velocidades. A veces no puede cerrarse cuando ambos ejes están en reposo. Su conexión a cualquier velocidad va acompañada de choque. Estos embragues de acción directa no se usan tanto como los de fricción pero tienen aplicación importante donde se desea una operación sincronizada, por ejemplo, en prensas mecánicas con motor o en algunos dispositivos para laminadores. Algunos mecanismos de impulso rectilíneo o destornilladores motorizados deben girar hasta un límite y luego detenerse. En estos casos se requiere un embrague del tipo de desconexión por sobrecarga. Estos mecanismos suelen tener carga por resorte para que abran con un valor de momento predeterminado. Un embrague de giro libre permite que el elemento impulsado gire libremente al interrumpirse el impulso transmitido, cuando se detiene su máquina motriz o porque otra máquina aumenta la velocidad de dicho elemento. En la construcción se emplean rodillos o bolas montadas entre el casquillo exterior y un elemento interior que tiene superficies de leva maquinadas en su periferia. La acción de impulso se obtiene acuñando los rodillos entre el casquillo y tales superficies. Así, este embrague es equivalente a un mecanismo de trinquete con un número infinito de dientes. 26 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas 8.7. VOLANTES Un volante o volante de inercia es un dispositivo almacenador de energía por efecto de la inercia. Absorbe energía mecánica al ser incrementada su velocidad angular y la devuelve cuando ésta disminuye. Al incrementarse la inercia del sistema debido a la presencia del volante, a igualdad de condiciones, se reducen las fluctuaciones de velocidad. Si una máquina tiene una velocidad angular máxima, ωmáx, y una velocidad angular mínima, ωmín, con valores muy separados, en volante se encarga de reducir ese intervalo de valores. Suelen emplearse volantes de inercia en máquinas cíclicas para reducir las variaciones de la velocidad cuando hay cambios en el par motor o en el par solicitado al motor dentro del ciclo. Si el par de la carga y el par del elemento motor de una máquina son constantes no se precisan volantes. Se emplean volantes cuando se quiere conseguir una velocidad de régimen constante (o con las menores fluctuaciones posibles) y: El par de la carga es constante pero el par motor es variable con el tiempo (por ejemplo, motores de combustión). Viceversa (por ejemplo, bombas alternativas). Para el cálculo de los volantes de inercia se suelen utilizar dos parámetros auxiliares, la velocidad angular media, ωm, y el coeficiente de fluctuación, Cf, que se definen: ωm = ωmáx + ωmín 2 Cf = ωmáx − ωmín ωm 8.7.1. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO Basándonos en la figura siguiente se deducirán las ecuaciones del movimiento de la masa cuyo momento de inercia respecto al eje de rotación es I. Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 27 Formación Abierta T 0 Ti θ 0 θi I,θ Figura 8.9. Esquema de volante de inercia Tanto el par motor, Ti, como la carga, T0, pueden ser dependientes del ángulo que define la posición y de la velocidad angular: .. ∑M = 0 = T ( θ , θ ) − T ( θ , θ ) − I θ i i i 0 0 0 Si se supone que el eje es rígido (θi=θ0=θ) la ecuación anterior se convierte en: .. ( ) ( ) I θ = Ti θ, θ − T0 θ, θ Y conocidos Ti y T0, se puede determinar θ. En la mayoría de los casos las funciones T=f(θ) son muy complicadas y hay que recurrir a métodos aproximados. En algunos casos la carga es constante (T0=cte), y el par motor es oscilante y se conoce la ley con la que varía en una vuelta (por ejemplo, un motor de explosión). Si queremos mantener una velocidad constante se debe cumplir: 2π T0 2π = ∫ Td i θ 0 O lo que viene a ser lo mismo, el par motor medio, (Ti)m, debe ser igual a T0 (con la hipótesis de velocidad constante). Puede entonces hallarse la aceleración angular en función del momento de inercia del volante, I, en cualquier punto θa: T ( θa ) − ( Ti )m ⎛ d2θ ⎞ ⎜ 2⎟ = I ⎝ dt ⎠θa 28 Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. Cálculo, diseño y ensayo de máquinas Integrando la ecuación se puede obtener la variación de velocidad entre dos puntos cualesquiera, por ejemplo, θa y θb: θb θ b2 − θ a2 = ∫ θa ( 2 Ti − ( Ti )m I ) dθ Para definir el volante de inercia es de gran utilidad esta última ecuación puesto que si conocemos la curva Ti(θ), sabemos que la máxima fluctuación de velocidad se producirá entre los valores del ángulo que dan el máximo valor del área de esa curva. Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 29 Cálculo, diseño y ensayo de máquinas ♦ RESUMEN • Los embragues, frenos y volantes tienen la función de transmitir, absorber o almacenar energía mecánica de rotación. Para analizar el funcionamiento de estos dispositivos interesará conocer lo siguiente: la fuerza que se ejerce, el momento de torsión transmitido, la pérdida de energía y el incremento de temperatura. • Los principales tipos de embragues y frenos son: de tambor con zapatas interiores, de tambor con zapatas exteriores, de disco y de cono. • El procedimiento para el análisis de todos los embragues y frenos es el siguiente: Suponer o determinar la distribución de la presión sobre las superficies de fricción. Hallar una relación entre la presión máxima y la presión en un punto cualquiera. Aplicar las condiciones de equilibrio estático para determinar: La fuerza actuante. El par de torsión. Las reacciones en los apoyos. • Cuando se detienen los elementos rotatorios de una máquina mediante un freno, este último debe absorber la energía cinética de la rotación, la cual se transforma en calor. Asimismo, cuando los elementos de una máquina que inicialmente está en reposo, se aceleran hasta cierta velocidad, tiene que producirse deslizamiento en el embrague hasta que los elementos alcancen la velocidad del impulsor. Durante el resbalamiento, el embrague o el freno absorben la energía cinética, la cual se transforma en calor. • Otros embragues y acoplamientos son: de acción directa (dientes cuadrados), de desconexión por sobrecarga, etc. • Un volante es un dispositivo almacenador de energía por efecto de la inercia. Absorbe energía mecánica al ser incrementada su velocidad angular y la devuelve cuando ésta disminuye. Unidad 8. Embragues, frenos, acoplamientos y volantes. 31