INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ZITÁCUARO Estadistica inferencial I Moises Giovanny Vazquez Maldonado Ing. Luis Arturo Castro Ramirez | Ejercicios unidad 3 21.a) Hipótesis: H0: μ = 300 (La media del peso de las cajas de cereal es igual a 300 gramos) H1: μ ≠ 300 (La media del peso de las cajas de cereal es diferente de 300 gramos) Nivel de significancia: α = 0.05 Para probar la hipótesis, podemos utilizar la prueba t de Student. Dado que conocemos la desviación estándar de la población, utilizaremos la prueba t de una muestra. Cálculos: El estadístico de prueba t se calcula utilizando la fórmula: t = (x̄ - μ) / (S / sqrt(n)) Donde x̄ es la media de la muestra (298.3), μ es la media hipotética (300), S es la desviación estándar de la muestra (4.5) y n es el tamaño de la muestra (25). Sustituyendo los valores, tenemos: t = (298.3 - 300) / (4.5 / sqrt(25)) t = -1.7 / 0.9 t = -1.89 Para un nivel de significancia de α = 0.05 y 23 grados de libertad (n - 1), el valor crítico de t para una prueba de dos colas es aproximadamente ±2.069. Conclusión: Como el valor absoluto de t (1.89) no es mayor que el valor crítico (2.069) en valor absoluto, no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. No podemos concluir que la media del peso de las cajas de cereal sea diferente de 300 gramos con un nivel de significancia del 5%. b) Repitiendo el procedimiento con un nivel de significancia de α = 0.10, el valor crítico de t para una prueba de dos colas es aproximadamente ±1.711. Conclusión: En este caso, el valor absoluto de t (1.89) es mayor que el valor crítico (1.711) en valor absoluto. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que hay evidencia suficiente para afirmar que la media del peso de las cajas de cereal es diferente de 300 gramos con un nivel de significancia del 10%. c) Desde la perspectiva del consumidor del producto, la hipótesis alternativa que debe plantear el inspector en este problema debería ser que la media del peso de las cajas de cereal es menor que 300 gramos. Esto se debe a que si las cajas de cereal pesaran menos de 300 gramos, los consumidores recibirían menos producto de lo que se indica en el envase. d) Para el inciso a) planteando como hipótesis alternativa μ < 300, la hipótesis se modifica de la siguiente manera: H0: μ = 300 (La media del peso de las cajas de cereal es igual a 300 gramos) H1: μ < 300 (La media del peso de las cajas de cereal es menor que 300 gramos) El cálculo del estadístico de prueba y la comparación con el valor crítico se realiza de la misma manera que en el inciso a). 22.a) Hipótesis: H0: σ = 3.0 (La desviación estándar del peso de las cajas de cereal es igual a 3.0 gramos) H1: σ ≠ 3.0 (La desviación estándar del peso de las cajas de cereal es diferente de 3.0 gramos) Para probar la hipótesis, utilizaremos la prueba chi-cuadrado con (n-1) grados de libertad, donde n es el tamaño de la muestra (25). Cálculos: El estadístico de prueba chi-cuadrado se calcula utilizando la fórmula: χ² = (n-1) * (S² / σ²) Donde n es el tamaño de la muestra (25), S es la desviación estándar de la muestra (4.5) y σ es la desviación estándar hipotética (3.0). Sustituyendo los valores, tenemos: χ² = (25-1) * (4.5² / 3.0²) χ² = 24 * (20.25 / 9) χ² = 54 Para un nivel de significancia de α = 0.05 y (n-1) = 24 grados de libertad, el valor crítico de chi-cuadrado para una prueba de dos colas es aproximadamente 36.415. Conclusión: Como el valor de χ² (54) es mayor que el valor crítico (36.415), rechazamos la hipótesis nula y concluimos que hay evidencia suficiente para afirmar que la desviación estándar del peso de las cajas de cereal es diferente de 3.0 gramos. b) Si el objetivo es proteger al consumidor del exceso de variabilidad en el peso de las cajas de cereal, la conclusión del inciso anterior (rechazo de la hipótesis nula) es favorable. Esto significa que existe evidencia para afirmar que la desviación estándar del peso de las cajas de cereal es diferente de 3.0 gramos, lo cual indica que puede haber una variabilidad mayor en los pesos de las cajas de cereal de lo que se esperaba. Al proteger al consumidor, es deseable tener una menor variabilidad en el peso de los productos, lo que garantiza una mayor consistencia en la cantidad de producto recibido. 23.a) Hipótesis: H0: μ ≤ 5 (El aumento promedio de temperatura en el agua es menor o igual a 5 °C) H1: μ > 5 (El aumento promedio de temperatura en el agua es mayor a 5 °C) En este caso, se plantea una hipótesis unilateral derecha, ya que estamos interesados en probar si el aumento promedio de temperatura es mayor a 5 °C. b) Prueba de hipótesis: Con un nivel de significancia de 5%, utilizaremos una prueba t de una muestra para probar la hipótesis planteada. Cálculos: El valor de t se calcula utilizando la fórmula: t = (x̄ - μ) / (S / √n) Donde x̄ es la media de la muestra (-x = 6.6), μ es la media hipotética (5), S es la desviación estándar de la muestra (2.0) y n es el tamaño de la muestra (10). Sustituyendo los valores, tenemos: t = (6.6 - 5) / (2.0 / √10) t ≈ 1.645 Para un nivel de significancia de α = 0.05 y 9 grados de libertad (n-1), el valor crítico de t es aproximadamente 1.833. Conclusión: Como el valor de t (1.645) es menor que el valor crítico (1.833), no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, no podemos afirmar con un nivel de significancia del 5% que el aumento promedio de temperatura en el agua es mayor a 5 °C. c) Si se trabaja con un nivel de significancia del 1%, el valor crítico de t será aún mayor. Dado que el valor calculado de t (1.645) sigue siendo menor que el valor crítico para un nivel de significancia del 1%, la conclusión del inciso anterior no se mantendría. En este caso, no tendríamos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula incluso con un nivel de significancia más estricto. 24.Para probar la hipótesis sobre la desviación estándar, podemos utilizar la prueba de chi-cuadrado. Las hipótesis se plantean de la siguiente manera: H0: σ ≤ 1.5 (La desviación estándar es menor o igual a 1.5) H1: σ > 1.5 (La desviación estándar es mayor a 1.5) Calcularemos el estadístico de prueba chi-cuadrado y lo compararemos con el valor crítico de chi-cuadrado para determinar si hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Cálculos: El estadístico de prueba chi-cuadrado se calcula utilizando la fórmula: χ^2 = (n - 1) * (S^2) / σ^2 Donde n es el tamaño de la muestra (10), S es la desviación estándar de la muestra (2.0) y σ es la desviación estándar hipotética (1.5). Sustituyendo los valores, tenemos: χ^2 = (10 - 1) * (2.0^2) / 1.5^2 χ^2 ≈ 13.78 El valor crítico de chi-cuadrado para un nivel de significancia de 5% y 9 grados de libertad (n-1) es aproximadamente 16.92. Conclusión: Como el valor del estadístico de prueba chi-cuadrado (13.78) es menor que el valor crítico (16.92), no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, no podemos afirmar con un nivel de significancia del 5% que la desviación estándar sea mayor a 1.5. 25.En el ejercicio 16, queremos probar la hipótesis de que la media de la densidad mínima de la capa de metal de los discos es igual a 2.0 micras, contra la alternativa de que es menor. Utilizaremos una prueba de hipótesis de una sola cola. Las hipótesis se plantean de la siguiente manera: H0: μ = 2.0 (La media de la densidad mínima es igual a 2.0 micras) H1: μ < 2.0 (La media de la densidad mínima es menor a 2.0 micras) Utilizaremos una muestra histórica de 18 densidades mínimas previamente proporcionadas en el ejercicio. Cálculos: Dado que tenemos una muestra pequeña (n = 18) y conocemos la desviación estándar poblacional, podemos utilizar la prueba t de Student. Calculamos el estadístico de prueba t utilizando la fórmula: t = (x̄ - μ) / (S / √n) Donde x̄ es la media de la muestra (calculada anteriormente), μ es la media hipotética (2.0 micras), S es la desviación estándar de la muestra (calculada anteriormente) y n es el tamaño de la muestra (18). Sustituyendo los valores, tenemos: t = (2.07 - 2.0) / (1.99 / √18) t ≈ 0.151 El valor crítico de t para un nivel de significancia de 0.05 y 17 grados de libertad (n-1) es aproximadamente -1.740. Conclusión: Como el valor del estadístico de prueba t (0.151) no es menor que el valor crítico (1.740), no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, no podemos afirmar con un nivel de significancia de 0.05 que la media de la densidad mínima de la capa de metal de los discos sea menor a 2.0 micras. 26.a) La hipótesis para la media pertinente al problema se puede plantear de la siguiente manera: H0: μ ≤ 200 (La media de la presión de estallamiento de las botellas es menor o igual a 200 psi) H1: μ > 200 (La media de la presión de estallamiento de las botellas es mayor a 200 psi) b) Utilizando una muestra de 15 botellas seleccionadas al azar, se obtiene una media de 202.5 psi y una desviación estándar de 7.0 psi. Para probar la hipótesis, utilizaremos una prueba de hipótesis de una sola cola y asumiremos que la distribución de la presión de estallamiento es aproximadamente normal. Calcularemos el estadístico de prueba t utilizando la fórmula: t = (x̄ - μ) / (S / √n) Donde x̄ es la media de la muestra (202.5 psi), μ es la media hipotética (200 psi), S es la desviación estándar de la muestra (7.0 psi) y n es el tamaño de la muestra (15). Sustituyendo los valores, tenemos: t = (202.5 - 200) / (7.0 / √15) t ≈ 1.73 Para un nivel de significancia de 0.05 y 14 grados de libertad (n-1), el valor crítico de t es aproximadamente 1.761. c) A pesar de que la media muestral (202.5 psi) es mayor que 200 psi, no podemos concluir que μ > 200 psi simplemente basándonos en este resultado. La razón es que el valor crítico de t (1.761) es mayor que el valor del estadístico de prueba t (1.73). Esto significa que no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. En otras palabras, aunque la media muestral está por encima de 200 psi, el valor del estadístico de prueba t no es lo suficientemente grande para indicar que la diferencia es estadísticamente significativa. Existe cierta incertidumbre en la estimación y la diferencia observada podría deberse al azar o a otras variaciones en los datos muestrales. Por lo tanto, no podemos concluir con certeza que la media de la presión de estallamiento de las botellas supere el mínimo de 200 psi. 27.Para probar la hipótesis sobre la desviación estándar, se puede utilizar una prueba de hipótesis de una cola con la distribución chi-cuadrado. Las hipótesis a probar son: H0: σ ≤ 5.0 (La desviación estándar de la presión de estallamiento de las botellas es menor o igual a 5.0 psi) H1: σ > 5.0 (La desviación estándar de la presión de estallamiento de las botellas es mayor a 5.0 psi) Para realizar la prueba, necesitamos calcular el estadístico de prueba chicuadrado. Utilizando la muestra de 15 botellas y la desviación estándar de la muestra (S = 7.0 psi), podemos calcular el estadístico de prueba chi-cuadrado utilizando la fórmula: χ^2 = (n - 1) * (S^2) / (σ^2) Donde n es el tamaño de la muestra (15), S es la desviación estándar de la muestra (7.0 psi) y σ es la desviación estándar hipotética (5.0 psi). Sustituyendo los valores, tenemos: χ^2 = (15 - 1) * (7.0^2) / (5.0^2) χ^2 ≈ 22.68 Para un nivel de significancia de 0.05 y 14 grados de libertad (n - 1), el valor crítico de chi-cuadrado es aproximadamente 23.684. Si el estadístico de prueba χ^2 es mayor que el valor crítico, rechazamos la hipótesis nula. En este caso, como χ^2 (22.68) es menor que el valor crítico (23.684), no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, no podemos concluir con certeza que la desviación estándar de la presión de estallamiento de las botellas sea mayor a 5.0 psi. 28.a) Las hipótesis adecuadas al problema son: H0: p ≤ 0.05 (La proporción de artículos defectuosos no supera el 5%) H1: p > 0.05 (La proporción de artículos defectuosos es mayor al 5%) b) Para probar la hipótesis, utilizaremos una prueba de hipótesis para la proporción poblacional. Usando la muestra de 100 artículos y la proporción muestral de defectuosos (p̂ = 8/100 = 0.08), podemos calcular el estadístico de prueba z utilizando la fórmula: z = (p̂ - p) / √(p * (1 - p) / n) Donde p es la proporción hipotética (0.05) y n es el tamaño de la muestra (100). Sustituyendo los valores, tenemos: z = (0.08 - 0.05) / √(0.05 * (1 - 0.05) / 100) z ≈ 1.34 Para un nivel de significancia de 0.05, el valor crítico de z para una prueba de cola derecha es aproximadamente 1.645. Si el estadístico de prueba z es mayor que el valor crítico, rechazamos la hipótesis nula. En este caso, como z (1.34) es menor que el valor crítico (1.645), no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. c) Aunque la proporción muestral es mayor al 5%, no podemos concluir que la afirmación del fabricante sea falsa y que su calidad es peor. Esto se debe a que no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Es posible que la proporción muestral sea simplemente el resultado de la variabilidad aleatoria en la muestra. d) Para determinar el tamaño de muestra necesario para tener un error máximo de estimación del 3%, podemos utilizar la fórmula: n = (Z^2 * p * (1 - p)) / (E^2) Donde Z es el valor crítico z correspondiente al nivel de confianza deseado, p es la estimación inicial de la proporción y E es el error máximo de estimación. Sustituyendo los valores, tenemos: n = (1.96^2 * 0.08 * (1 - 0.08)) / (0.03^2) n ≈ 650.67 Por lo tanto, el tamaño de muestra necesario para tener un error máximo de estimación del 3% es aproximadamente 651. 29.Para responder si es correcto afirmar que más del 8% de las facturas tienen alguna anomalía, podemos formular las siguientes hipótesis: H0: p ≤ 0.08 (La proporción de facturas con anomalías es menor o igual al 8%) H1: p > 0.08 (La proporción de facturas con anomalías es mayor al 8%) Utilizando la muestra de 200 facturas, en la cual se encontraron 10 facturas con anomalías, podemos calcular la proporción muestral de facturas con anomalías (p̂) como 10/200 = 0.05. Vamos a realizar una prueba de hipótesis para la proporción poblacional utilizando el estadístico de prueba z: z = (p̂ - p) / √(p * (1 - p) / n) Donde p es la proporción hipotética (0.08) y n es el tamaño de la muestra (200). Sustituyendo los valores, tenemos: z = (0.05 - 0.08) / √(0.08 * (1 - 0.08) / 200) z ≈ -0.9487 Para una prueba de cola derecha con un nivel de significancia de 0.05, el valor crítico de z es aproximadamente 1.645. Como el valor del estadístico de prueba z (-0.9487) no es mayor que el valor crítico (1.645), no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, no podemos afirmar con un nivel de significancia del 5% que más del 8% de las facturas tienen alguna anomalía. 30.a) La hipótesis pertinente al problema es la siguiente: H0: p ≥ 0.30 (La proporción de fumadores activos es mayor o igual al 30%) H1: p < 0.30 (La proporción de fumadores activos es menor al 30%) La hipótesis nula (H0) establece que la proporción de fumadores activos es igual o mayor al 30%, mientras que la hipótesis alternativa (H1) plantea que la proporción de fumadores activos es menor al 30%. b) Para verificar la hipótesis planteada con una significancia del 5%, vamos a realizar una prueba de hipótesis para la proporción poblacional utilizando el estadístico de prueba z: z = (p̂ - p) / √(p * (1 - p) / n) Donde p es la proporción hipotética (0.30), n es el tamaño de la muestra (150) y p̂ es la proporción muestral de fumadores activos. Calculando los valores, tenemos: p̂ = 35 / 150 ≈ 0.2333 z = (0.2333 - 0.30) / √(0.30 * (1 - 0.30) / 150) z ≈ -2.522 Para una prueba de cola izquierda con un nivel de significancia de 0.05, el valor crítico de z es aproximadamente -1.645. Como el valor del estadístico de prueba z (-2.522) es menor que el valor crítico (1.645), tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, podemos concluir con un nivel de significancia del 5% que la proporción de fumadores activos ha disminuido después de la campaña contra el uso del tabaco por parte de los estudiantes. c) La conclusión anterior no se mantiene si se desea tomar una decisión con una confianza del 99%. Esto se debe a que un nivel de confianza del 99% requiere un nivel de significancia más estricto. Si aumentamos el nivel de confianza, el valor crítico de z se desplaza hacia los extremos y se vuelve más difícil rechazar la hipótesis nula. En este caso, el valor crítico de z para un nivel de confianza del 99% sería aproximadamente -2.326. Como el valor del estadístico de prueba z (2.522) sigue siendo menor que el valor crítico (-2.326), aún tendríamos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula y concluir que la proporción de fumadores activos ha disminuido.